b2001 matematik 2 unit8

UNIT 7 : PENGENALAN PENGGUNAAN PEMBEZAAN

B2001/UNIT 8/32

PENGGUNAAN PEMBEZAAN

PENGGUNAAN PEMBEZAAN

OBJEKTIF

Objektif Am : Memahami konsep pembezaan dalam masalah harian.

Mengaplikasikan konsep pembezaan dalam Masalah Optimum.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :

Menggunakan konsep pembezaan untuk menentukan kecerunan lengkungan dan seterusnya membina persamaan tangen dan normal.

Menggunakan konsep pembezaan untuk menyelesaikan masalah berkaitan dengan sesaran, halaju dan pecutan.

Meyelesaikan masalah berkaitan dengan kadar perubahan.

Menyatakan panduan yang boleh digunakan dalam menyelesaikan masalah optimum.

Menggunakan Pembezaan Peringkat Pertama untuk menentukan nilai optimum dan Pembezaan Peringkat Kedua untuk menentukan jenis nilai optimum sama ada minimum, maksimum atau titik lengkok balas.

Menyelesaikan Masaalah Maksimum atau Minimum menggunakan proses pembezaan.

8.0PENGENALAN KEPADA GARIS TANGEN DAN GARIS NORMAL KEPADA LENGKUNGAN

Kita telah mempelajari teori bagaimana hendak menyelesaikan titik pegun iaitu titik maksimum atau minimum. Unit ini akan fokuskan bagaimana masalah dalam kehidupan seharian boleh diselesaikan dengan menggunakan konsep pembezaan. Beberapa panduan umum ditunjukkan dalam contoh-contoh dalam unit ini.

Kecerunan lengkungan pada suatu titik ialah kecerunan tangen kepada lengkungan pada titik itu. Jika y=f(x) mewakili persamaan suatu lengkung, maka ialah kecerunan tangen pada suatu titik tertentu kepada lengkung itu. Jika koordinat bagi titik itu diketahui, maka kecerunan lengkungan dapat dicari dan seterusnya

persamaan tangen dapat ditentukan dengan y y1 = (x x1).

Tangen ialah garis lurus yang menyentuh suatu lengkungan pada satu titik.

Normal ialah garis lurus yang berserenjang dengan tangen bagi suatu lengkungan pada satu titik. Maka, kecerunan normal pada titik itu ialah dan seterusnya

persamaan tangen dapat ditentukan dengan y y1 =[1/ ] (x x1).

Rajah 8.1

8.1 PERSAMAAN TANGEN DAN PERSAMAAN NORMAL KEPADA LENGKUNGAN

Contoh 8.1

Carikan persamaan tangen kepada lengkungan y = 4x2 - 12x + 10 pada

titik di mana x = 4.Penyelesaian

Diberi y= 4x2 12 x + 10

Bezakan y berbanding x, maka

= 8x - 12

Oleh kerana x = 4, maka

Gantikan nilai x = 4 ke dalam

Maka, =20 Kecerunan lengkungan pada x = 4 ialah 20.

Apabila x = 4, y = 4 (4)2 12 (4) + 10 = 26

Persamaan Tangen pada nilai x = 4 ialah:

y y1 = (x x1)

y 26 = 20 ( x 4)

y = 20x 80 + 26

y = 20x - 54

Contoh 8.2

Suatu lengkung mempunyai persamaan x = a kos3 , y = a sin3 ,dengan ialah pemalar positif dan 0 2. Cari persamaan tangen pada titik ( a kos3 , a sin3 ).

Penyelesaian

Diberi =

dan =

Maka =

dan = -

= -

=

= -

= -

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Maka Persamaan Tangen pada titk () ialah

= - tan ( x a kos3 )

= - ( x - a kos3 )

=

=

=

=

Contoh 8.3

Carikan persamaan normal kepada lengkungan y = 4x2 - 12x + 10 pada titik di

mana x = 2.Penyelesaian

Diberi y = 4x2 12 x + 10

Bezakan y berbanding x, maka

= 8x - 12

Oleh kerana x = 2, maka

Gantikan nilai x = 2 ke dalam

Maka = 4 Maka, kecerunan Garis Normal pada x = 2 ialah 1/=

Apabila x = 2, y = 4 (2)2 12 (2) + 10 = 2

Persamaan Normal pada nilai x = 2 ialah

y y1 = [1/](x x1)

y 2 = ( x 2)

4y 8 = x 2

4y = 8x 2

y = 2x

Aktiviti 8.1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA!

1.Cari persamaan tangen dan persamaan normal kepada setiap lengkung yang berikut pada titik yang diberikan.

a.y = x2 2 pada titik ( 1 , -1 )

b.y = x2 5x + 2 pada titik ( 3 , -4)

c.y = (2x 1) ( x + 1) pada titik ( 1, 1)

d.y= ( x 2) ( x2 + 1 ) pada titik (-1 , -6 )

2.Cari persamaan tangen kepada lengkung y = ( x 5 ) ( 2x + 1 ) yang selari dengan paksi x3.Cari nilai k supaya garis y = 2x + k adalah normal kepada lengkung

y = 2x2 - 34. Cari persamaan normal kepada lengkung x = kos ( , y = sin ( pada titik

dengan ( =. Cari koordinat bagi titik apabila normal ini memotong lengkung sekali lagi.

Maklum Balas Aktiviti 8.1

1. a. y = 2x 3

x + 2y + 1 = 0

b. x y - 7 = 0

x + y + 1 = 0

c. y = 5x 4

5y + x = 6

d. y = 8 x + 2

x + 8y + 49 = 0

2. y =

3. y =

4. x = y ; ( -

8.2 SESARAN, HALAJU DAN PECUTAN

Suatu zarah mulai bergerak dari satu titik tetap O pada satu garis lurus.

Selepas masa t, jaraknya dari 0 ialah s. Maka s ialah suatu fungsi bagi t, iaitu

Halaju pada masa t bagi zarah itu ialah kadar perubahan jarak iaitu

Pecutan ditakrifkan sebagai kadar perubahan halaju terhadap masa. Oleh itu

Pecutan,

Unit digunakan untuk pecutan adalah m / s2, km/s2, km/j2 dan lain-lain lagi.

Didapati

Contoh 8.4

Suatu zarah P bergerak pada satu garis lurus supaya sesarannya, s meter, dari satu titik tetap 0 selepas t saat diberi oleh s = 8t2 t3. Carikan

a. jarak yang dilalui oleh P dalam saat ketiga

b. halaju P selepas 1 saat

c. pecutan P selepas 2 saat

Penyelesaian

a. s = 8t2 t3

apabila t = 3 , S3 = 8 ( 3 )2 - ( 3 )3 = 8 (9) - 27 = 45 m

apabila t = 2 ,S2 = 8 ( 2 )2 - ( 2 )3 = 8 (4) - 8 = 24 m

Jarak yang dilalui dalam saat ketiga = S3 S2 = 45 24 = 21 m

b.Halaju, v = = 16 t 3t3

Apabila t = 1,

V= 16 (1) 3 (1)2 = 16 3 = 13ms-1

c.Pecutan, a = = 16 6t

Apabila t = 2,

a = 16 6(2) = 16 12 = 4ms-2Contoh 8.5

Sebuah kereta peronda polis mengejar perompak melalui jalan lurus di bandar Kuantan. Jaraknya s meter, t saat selepas melalui bandar Kuantan diberi oleh s = t3 - 6t + 5t. Carikan

a. Halaju kereta apabila ia kembali kepada ke Bandar Kuantan

b. Halaju kereta peronda polis apabila pecutan sifar.

Penyelesaian

a.Apabila kereta berada semula di Bandar Kuantan, s = 0

t3 6t2 + 5 t = 0

t ( t2 6t + 5 ) = 0

t (t 1 ) ( t 5 ) = 0maka t = 0 , 1 atau 5

Halaju, v = = 3 t2 12t + 5

Apabila t = 0, v = 3 (0)2 12 (0) + 5 = 5 ms-1

Apabila t = 1, v = 3 (1)2 12 (1) + 5 = -4 ms-1

Apabila t = 5,v = 3 (5)2 12 (5) + 5 = 20 ms-1

V= 5 ms-1 ialah halaju zarah ketika ia melalui bandar Kuantan

Maka kereta peronda polis kembali ke bandar Kuantan dengan halaju -4 ms-1

dan 20 ms-1

b.Pecutan, a = = 6 t 12

Apabila a = 0

6 t 12 = 0

6t =12

t = = 2sHalaju, v = 3 (2)2 12(2) + 5

= 12 24 + 5

= -7 ms-1

Aktiviti 8.2


SELANJUTNYA!

1.Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus melalui jarak s meter, t saat selepas melalui 0. Carikan halaju dan pecutannya apabila t = 2.

a. s = t3b. s = 3t2 + t + 1

c. s = 3t4 4t32.Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus dan jaraknya, s meter dari titik tetap O, adalah diberi oleh s = t 2 t3 di mana t adalah masa dalam saat selepas melalui O. Carikan halaju zarah itu ketika pecutannya ialah sifar.

3.Sebuah kereta bergerak dari keadaan pegun dan bergerak sejauh s meter pada satu jalan lurus dalam t saat. Diberi bahawa s = t2 ( t + 2 ), carikan

a. Pecutannya selepas 4 saat

b. Masa t, apabila halajunya ialah 39 ms-1c. Jarak yang dilalui dalam saat keempat.

4. Sebuah kereta bergerak di satu jalan yang lurus dan jaraknya, s meter dari Bandar Ipoh diberi s = 27 t t3 di mana t adalah masa dalam saat selepas melalui Bandar Ipoh. Carikan

a. Nilai s apabila kereta berhenti seketika,

b. Halaju kereta apabila ia melalui Bandar Ipoh semula.


1.a.12ms-1, 12 ms-2

b.13ms-1, 6 ms-2

c.48 ms-12.

ms-13.a. 28 ms-2

b. 3 s

c. 51 m.

4.a.54

b.-54ms-1

8.3 KADAR PERUBAHAN

Kuantiti yang wujud dalam kehidupan seharian berubah terhadap masa. Misalnya, seorang jurutera elektrik mungkin berminat untuk mengetahui kadar perubahan arus pada sebuah litar elektrik sementara jurutera pembinaan mungkin ingin mengetahui kadar pengembangan konkrit pada sebuah jambatan. Seorang jurutera mekanikal perlu mengetahui kadar pengecutan dan pengembangan injap dalam sebuah pam yang digunakan untuk menggerudi minyak.

Perubahan arus I, terhadap masa t ialah atau , sementara perubahan isipadu terhadap masa ialah atau .

Contoh 8.6

Jika jejari sebuah bulatan bertambah pada kadar cms-1, carikan kadar tambahan luas apabila jejari bulatan ialah 10 cm.

Penyelesaian

Katakan

j = panjang jejari

A= luas bulatan

Maka A = ( j2

= 2( j

Diberi

= cms-1Kadar pertambahan luas, =

EMBED Equation.3

= 2( j

=

Apabila j = 10, =

= 4 ( cm2 s-1

Contoh 8.7

Jika f ( t ) = t 3 4t + 8, apakah kadar perubahan f(t) apabila t = 3 dan t = 5 ?

Penyelesaian

Diberi f(t) = t 3 4t + 8. Kadar perubahan f(t) ialah f ( (t). Maka,

f ( (t) = 3t2 4

Jika t = 3

f ( (t) = 3 (3)2 4 = 23

Jika t = 5

f ((5) = 3 ( 5 )2 = 71

Contoh 8.8

Sebuah bekas yang berbentuk kon mempunyai sudut semi bucu 30(. Air mengalir

keluar bekas melalui suatu lubang bucu dengan kadar 3 cm3 s-1. Cari kadar

perubahan tinggi air apabila isipadu dalam bekas itu ialah 81( cm3 .

Penyelesaian

Katakan pada sebarang masa t, isipadu air ialah v cm3,

Isipadu air, v = (j2 h

Tetapi j = h tan 30( =

Maka

v = (

=

Bezakan terhadap h, =

Diberi air mengalir keluar pada kadar 3 cm3 s-1 iaitu = -3

Gunakan rumus rantai =

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

-3 =

EMBED Equation.3

=

Diberi isipadu air ialah , v = 81( cm3Maka = 81( h = 9

Apabila v = 81(, = = -

Jadi , kadar susutan tinggi ialah cms-1

Aktiviti 8.3


SELANJUTNYA!

1. Sebuah kubus logam berkembang supaya sisi-sisinya berubah pada kadar 2 cms-1. Carikan kadar perubahan jumlah luas permukaan apabila isipadunya ialah 125cm3.

2. Jejari sebuah bulatan bertambah pada kadar tetap 0.5 ms-1. Carikan kadar tambahan luas bulatan apabila lilitannya ialah 12 m panjang.

3.Sebuah bekas, kosong pada awalnya, sedang diisikan dengan cecair. Kedalaman cecair dalam bekas selepas pengisian bermula selama t saat ialah x cm dan isipadu cecair ialah V cm3 di mana

V = ( x + 2 )

Diberi V bertambah dengan kadar malar dan x = 10 apabila t = 15, carikan

a. dalam sebutan ( ,

b. kadar tambahan bagi x apabila x = 7

4.Pasir dicurahkan ke atas lantai ufuk dengan kadar 4 cm3 per saat dan membentuknya satu timbunan dalam bentuk kon bulatan tegak dengan ketingginya kali jejarinya. Carikan kadar perubahan dalam jejarinya apabila jejarinya adalah 4 cm.


1.120 cm2 s-12.6 m2 s-13.a. 4( cm2 s-1

b.

cm s-14.

cm s-1

8.4MASALAH OPTIMUM

Istilah keuntungan maksimum, keupayaan maksimum, kos minimum atau jarak terdekat kerapkali digunakan dalam kehidupan harian. Seorang jurutera mungkin memikirkan masa terpendek untuk menyiapkan suatu projek pembangunan sementara seorang akauntan pula perlu memikirkan kos minimum apabila menyediakan belanjawan tahunan syarikatnya. Situasi tersebut di atas melibatkan masalah optimum.

Menyelesaikan Masalah Optimum

Masalah optimum adalah masalah yang melibatkan masalah maksimum atau minimum. Masalah optimum ini boleh diselesaikan dengan menggunakan pembezaan. Mengikut konsep pembezaan, nilai optimum berlaku bila seperti yang diilustrasikan pada Rajah 8.4 di bawah.

Rajah 8.4

Untuk menentukan nilai optimum itu sama ada adalah maksimum atau minimum, lakukan pembezaan peringkat kedua.

Jika ( 0, nilai optimum adalah minimum, manakala

jika ( 0, nilai optimum adalah maksimum.

Panduan Untuk Menyelesaikan Masalah Optimum

Contoh 8.9

Sebuah segiempat tepat mempunyai perimeter 28m. Cari luas maksimumnya.

Penyelesaian

Katakan x m dan y m masing-masing adalah panjang dan lebar segiempat tepat itu.

Diberi perimeter segiempat tepat = 28 m

Maka 2 x + 2 y = 28

x + y =14

y = 14 - x

Luas segimpat tepat, L = x y

= x ( 14 - x)

Bezakan luas L terhadap x,

Untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum,

Maka, 14 - 2x = 0

x = 7

( ( 0)

Dengan demikian, x = 7 memberikan luas maksimum.

L = 7 ( 14 - 7)

= 49 Jadi luas maksimum segiempat tepat itu ialah 49 m2.

Contoh 8.10

Sebuah tangki air aluminium berbentuk kuboid terbuka di atas ingin dibentuk daripada kepingan aluminium yang berbentuk segiemapat sama dengan sisi 5 m. Untuk membentuk tangki tersebut, kepingan segiempat sama dipotongkan daripada kempat-empat penjuru kepingan aluminium itu dan bakinya dilipatkan dan dipateri untuk membentuk tangki terbuka itu. Cari isipadu maksimum tangki tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan sama ada nilai optimum itu maksimum atau minimum, gunakan ujian terbitan kali kedua. Terbitan kedua isipadu ialah .

Apabila

Olehkerana isipadu adalah maksimum apabila

Apabila

Oleh kerana isipadu adalah minimum apabila

Oleh itu, apabila segiempat sama dipotong dari setiap bucu kepingan aluminium, isipadu tangki adalah maksimum.

Isipadu maksimum tangki itu ialah

Contoh 8.11

Farhanah tinggal di asrama puteri sebuah Politeknik yang jaraknya 1 km ke arah selatan pekan A dan jarak di antara pekan A dan pekan B ialah 10 km. Untuk pergi ke pekan B, Farhanah perlu berjalan kaki ke jalan utama dan menahan teksi untuk sampai ke pekan B.

Farhanah berjalan kaki dengan kelajuan 5 km/j ke jalan besar dan menaiki teksi yang

bergerak denagan kelajuan sekata 50km/j. Jika x ialah jarak dari pekan A ke jalan besar.

Cari nilai x supaya masa yang diambil untuk ke pekan B adalah minimum.

Penyelesaian:

Keseluruhan masa yang diambil untuk seluruh perjalanan Farhanah dari Politeknik ke bandar B,

Kita abaikan kerana jarak tidak mungkin negatif. Menggunakan pembezaan peringkat kedua,

Apabila masanya minimum.

Farhanah perlu berhenti km daripada pekan A suapaya masa yang diambil oleh Farhanah untuk ke pekan B adalah minimum.

Aktiviti 8.4


SELANJUTNYA!

1. Pagar sepanjang 80m diperlukan untuk membina sebuah kawasan tempat

meletak kereta persendirian. Apakah panjang dan lebar kawasan tempat

meletak kereta tersebut supaya menghasilkan luas yang maksimum.

2. Perbelanjaan C untuk menjalankan sebuah keretapi LRT pada satu halaju

purata v km/j ialah

di mana k adalah satu pemalar .Jika v = 20 , c = 116. Cari v untuk perbelanjaan yang minimum.

3. Sebuah selinder tertutup mempunyai isipadu 1000 cm3 . Carikan tinggi dan

jejari tapak bagi selinder itu jika jumlah luas permukaan adalah minimum.


1. 400 m2

2. v = 50 km/j

3. 108.4 cm, 5.42 cm

PENILAIAN KENDIRI 8

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri

ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan.

Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya!!

1.Cari titik maksimum dan/atau minimum bagi setiap fungsi berikut:

a.y = 2x2 -5x + 4

b.y = 4 -3x2

2.Cari halaju minimum jika .

3.Cari nilai minimum bagi x2 + 2y2 jika x and y dihubungkan oleh x +2y = 1.

4.Diberi y = 2x 3 - 2 1x2 + 78x - 98. Dapatkan kecerunan bagi tangen di titik (3, 1) dan seterusnya cari koordinat yang satu lagi di mana tangen pada lengkungan adalah selari dengan tangen yang tersebut. Carikan juga koordinat lengkuk balas (jika ada) bagi lengkungan tersebut.

5. Suatu jasad telah bergerak dalam suatu garis lurus supaya jaraknya, s meter dari suatu titik tetap O pada garis itu, pada masa t saat selepas ianya mula bergerak, diberikan oleh s = t2 - 5t + 6.

a.

Berapakah jarak jasad itu dari titik O pada mulanya?

b.Bilakah jasad itu berehat seketika?

c.

Cari masa yang diperlukan untuk jasad itu tiba ke titik permulaannya.

d.

Berapakah pecutan jasad itu?

5. Jabatan perancangan korporat Tenaga Nasional yang mengganggarkan bahawa selama t bulan daripada bulan Januari, permintaan terhadap bekalan elektrik ialah x juta unit sebulan, dengan . Keuntungan U (dalam RM juta ) dianggarkan sebagai

Cari kadar pertambahan keuntungan 6 bulan daripada sekarang.

7. Rajah 8.7 menunjukkan sebuah bekas kon.

Tinggi kon dan jejari tapaknya masing- masing

ialah 10cm dan 6cm. Pada mulanya,

kon mengandungi air itu setinggi h cm

dan jejari permukaanya ialah j cm.

a. Tunjukkan bahawa isi padu ruangan di dalam bekas itu yang tidak terisi

air ialah

c. Oleh kerana kebocoran di hujung bekas kon itu, air mengalir keluar dengan keadaan isi padu ruangan yang tidak terisi air berubah dengan kadar 10( cm3s-1, hitungkan kadar perubahan tinggi air itu apabila h = 2cm.

8.En. Mustaffa ingin memagar suatu kawasan berbentuk segiempat tepat dengan keluasan 196m2 di ladangnya untuk dijadikan kawasan menternak burung kasawari. Berapakah panjang pagar yang paling minimum yang diperlukan oleh En. Mustaffa untuk memagar kawasan dengan keluasan tersebut.

Rajah 8.8

9. Hasil tambah dua nombor adalah 56. Cari dua nombor tersebut supaya

Hasil darabnya adalah maksimum.

10.Sebuah silinder satu mulut terbuka perlu dibentuk dari sekeping logam. Berapakah keluasan bahan yang paling minimum diperlukan jika luas silinder ialah 54 ( cm2 .

11.En. Abu ingin memagar suatu kawasan dengan pagar yang panjangnya 800m. Dia ingin memagar kawasan tersebut kepada dua bahagian seperti gambarajah berikut. Cari nilai a dan b supaya luas kawasan yang dipagarnya adalah maksimum.

Maklum Balas Penilaian Kendiri 8

Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika YA, sila semak jawapan anda.

1. a. Nilai minimum ialah

b. Titik maksimum ialah (0, 4)

2. Nilai minimum ialah 2.25.

3. 0.333

4.( 4 ,11 )

5.a. 6 meter

b. t =

c. t = 2 dan t = 3 saat

d. 2

6. 0.596

7.a.

,

I tiada air = I kon - I air

= (6)2 ( 10) - j2 t

= 120 ( -

EMBED Equation.3 h

= 120 ( - -

I =

b.Kadar perubahan tinggi air ialah 6.94 cms-18. 32 m

9. 576

10. 54 ( cm 2

11.a =m, b = 100 m.

30(

j

h

Garis Tangen

y

EMBED MS_ClipArt_Gallery


EMBED Equation.3 dan a = EMBED Equation.3 oleh itu , a = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

UNIT 8

Halaju , v = EMBED Equation.3

Jarak, s = f (t)

Rajah 8.2

EMBED Equation.3 ialah kecerunan tangen kepada lengkung pada suatu titik

10

x

y

y= 4x2 12 x + 10

4

(

26

(

j

INCLUDEPICTURE "C:\\Program Files\\Microsoft Office\\Clipart\\Popular\\AMCONFUS.WMF" \* MERGEFORMAT

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

INPUT

EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

Darabkan kedua-dua belah dengan kos

INPUT

INPUT

EMBED Equation.3

Rajah 8.7

h cm

(

Garis Tangen

x

INCLUDEPICTURE "C:\\Program Files\\Microsoft Office\\Clipart\\Popular\\AMIDEA.WMF" \* MERGEFORMAT

6 cm

j cm

10 cm

Garis Normal

Garis Tangen

Garis Normsl

2

y

x

2

y= 4x2 12 x + 10

Rajah 8.3

[1/ EMBED Equation.3 ] ialah kecerunan Normal kepada lengkung pada suatu titik

INPUT



j

h

INPUT



6

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(

(

Titik minimum

Titik maksimuminimum

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x m

y m

Tulis semula L supaya mengandungi satu pembolehubah x sahaja.

10


Wakilkan simbol kepada semua pembolehubah yang diberi.

Bina persamaan yang dapat mengkaitkan pembolehubah-pembolehubah ini.

Jika lebih daripada satu pembolehubah terlibat, cari hubungan antara pembolehubah-pembolehubah tersebut.

Tulis persamaan yang perlu dioptimumkan.

Tentukan nilai optimum atau nilai pegun.

Gunakan ujian terbitan kedua untuk menguji nilai pegun dan tentukan nilai maksimum atau minimum.

Katakan x adalah sisi yang dipotongkan keluar daripada tiap-tiap penjuru seperti rajah 8.5. Panjang dan lebar kotak tersebut adalah (5 2x)m dan tinggi nya ialah x m seperti rajah 8.6. Suatu persamaan yang boleh dibentukkan tentang isipadu tangki ialah:

Isipadu = Tinggi X Lebar X Panjang

x

x

x

x

x

x

x

Rajah 8.5

Oleh demikian, persamaan Matematiknya ialah:

I = x ( 5 2x) (5 2x)

= x (25 20 x + 4x2)

= 25x 20x2 + 4x3

Untuk menentukan nilai optimumnya, bezakan I terhadap x. Maka

Pada titik optimum,

Oleh demikian,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Rajah 8.6

x

5 -2x

5 -2x

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Politeknik

Pekan A

Pekan B

Rajah 8.6

x km

(10 x) km

(

(

(

(

K

Langkah pertama ialah membentuk persamaan untuk masa, T bagi seluruh perjalanan Farhanah.

Masa yang diambil oleh Farahanah ke jalan besar ialah

Masa yang diambil dari K ke bandar B

Pekan B

Pekan A AA

Politeknik

x km

(

(

(

2

d2

Teorem Pythagoras

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Pembezaan peringkat pertama bagi T terhadap x ialah

Oleh kerana masa minimum apabila EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3

EMBED Word.Picture.8

EMBED Equation.3

EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8

Ladang En. Mustaffa

Kawasan Penternakan Burung Kasawari

b

b

a

a

TAHNIAH!!!!..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda.

_1057599550.unknown

_1057601449.unknown

_1057641383.unknown

_1057641677.unknown

_1057641823.unknown

_1057642475.unknown

_1057643124.unknown

_1066148851.unknown

_1091279486.unknown

_1091279514.unknown

_1091279270.unknown

_1076915326.unknown

_1079423849.unknown

_1091278590.unknown

_1091279190.unknown

_1087146603.unknown

_1087148444.unknown

_1079423880.unknown

_1076915438.unknown

_1076915536.unknown

_1076913643.unknown

_1076915259.unknown

_1076913448.unknown

_1057644062.unknown

_1062406640.unknown

_1057642245.unknown

_1057641795.unknown

_1057641604.unknown

_1057640953.unknown

_1057601598.unknown

_1057604566.unknown

_1057605519.unknown

_1057601525.unknown

_1057599789.unknown

_1057561683.unknown

_1057574036.unknown

_1057574153.unknown

_1057574215.unknown

_1057574278.unknown

_1057574180.unknown

_1057574119.unknown

_1057563428.unknown

_1057564648.unknown

_1057564771.unknown

_1057564869.unknown

_1057573338.unknown

_1057564719.unknown

_1057564074.unknown

_1057564199.unknown

_1057564626.unknown

_1057563898.unknown

_1057563270.unknown

_1057555893.unknown

_1057557028.unknown

_1057558359.unknown

_1057559679.unknown

_1057560376.unknown

_1057560440.unknown

_1057560034.unknown

_1057559580.unknown

_1057557084.unknown

_1057556922.unknown

_1057556961.unknown

_1057490347.unknown

_1057495350.unknown

_1057495611.unknown

_1057495674.unknown

_1057495929.unknown

_1057496240.unknown

_1057496286.unknown

_1057496329.unknown

_1057496024.unknown

_1057495723.unknown

_1057495847.unknown

_1057495651.unknown

_1057495629.unknown

_1057495440.unknown

_1057495563.unknown

_1057495421.unknown

_1057492990.unknown

_1057494864.unknown

_1057495211.unknown

_1057494779.unknown

_1057490760.unknown

_1057492969.unknown

_1057490631.unknown

_1057481705.unknown

_1057489885.unknown

_1057490005.unknown

_1057490211.unknown

_1057489944.unknown

_1057481925.unknown

_1057489814.unknown

_1057481794.unknown

_1057481424.unknown

_1057481484.unknown

_1057481521.unknown

_1057481462.unknown

_1057479767.unknown

_1057480760.unknown

_1057481243.unknown

_1057481262.unknown

_1057481367.unknown

_1057481256.unknown

_1057480455.unknown

_1057475808.unknown

_1057478744.unknown

_1057479117.unknown

_1057479012.unknown

_1049621291.unknown

_1054456197.unknown

_1057431836.unknown

_1057468815.unknown

_1057468850.unknown

_1057475676.unknown

_1057475720.unknown

_1057475577.unknown

_1057431936.unknown

_1054456709.unknown

_1054458132.unknown

_1057408197.unknown

_1054456893.unknown

_1054456260.unknown

_1051364737.doc

_1049621786.unknown

_1049865606.unknown

_1049639236.unknown

_1049865148.unknown

_1049865320.doc

3

2

4

3

4

4

)

4

(

5

10

10

1

)

4

(

5

0

10

1

)

4

(

5

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

_1049864203.unknown

_1049637914.unknown

_1049621624.unknown

_1049551038.unknown

_1049621275.unknown

_1049551469.unknown

_1049552063.unknown

_1049618911.unknown

_1049620170.unknown

_1049620835.unknown

_1049621205.unknown

_1049619972.unknown

_1049617857.unknown

_1049551690.unknown

_1049550933.unknown

_1049551006.unknown

_1049551007.unknown

_1049550947.unknown

_1046458840.unknown

b2001 matematik 2 unit8

Documents