aula_5 - função transferência

Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade

Aula 5

Cristiano Quevedo Andrea1

1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Curitiba, Março de 2011.

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Resumo

1 Função de TransferênciaFunção de Transferência para Circuitos ElétricosFunção de Transferência em Circuitos com Amp. OperacionaisFunção de Transferência de Sist. Mecânicos em TranslaçãoFunção de Transferência de Sistema Mecânico em RotaçãoFunção de Transferência de Sistemas com EngrenagensFunção de Transferência de Sistema Eletromecânico

2 Não-Linearidade e Linearidade

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Função de TransferênciaÉ uma função que relaciona algebricamente a saída de umdado sistema à sua entrada.Considere a equação diferencial de ordem n abaixo:

an∂nc(t)∂tn + an−1

∂n−1c(t)∂tn−1 + · · ·+ a0c(t)

= bm∂mr(t)∂tm + bm−1

∂m−1r(t)∂tm + · · ·+ b0r(t)

sendo c(t) a saída e r(t) a entrada. Os coeficientes ai e bi

formam a equação diferencial.Aplicando-se a transformada de Laplace em ambos os ladosda equação anterior, temos:

ansnC(s) + an−1sn−1C(s) + · · ·+ a0C(s) + C. I.

= bmsmR(s) + bm−1sm−1R(s) + · · ·+ b0R(s) + C. I. (1)

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Reorganizando a expressão (1), obtém-se:

(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0)C(s) = (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)R(s)

Assim, podemos obter a função de transferênciamanipulando-se a equação anterior:

C(s)R(s)

=(bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)

(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0)(2)

sendo n ≥ m. Neste caso, foram consideradas as condiçõesiniciais nulas para simplificação da expressão.Podemos ainda chamar C(s)/R(s) = G(s), então,

C(s) = R(s)G(s)

R(s) (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)

(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0)

C(s)

G(s)

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Exemplo

Obter a função de transferência da equação diferencialrepresentada por:

c(t) + 2c(t) = r(t). (3)

Aplicando-se a transformada de Laplace em (3), temos:

sC(s) + 2C(s) = R(s),

G(s) =C(s)R(s)

=1

s + 2,

neste caso foi suposto condições iniciais nulas.

Para obter a resposta degrau da função de transferência G(s),fazemos,

C(s) =1s

1s + 2

, sendo R(s) = 1/s. (4)

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Expandindo em frações parciais a equação (4), obtém-se:

C(s) =1/2s

−1/2

s + 2. (5)

Aplicando a transformada de Laplace inversa em (5),

c(t) =12−

12

e−2t .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

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Resumo



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Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3componentes: resistor, capacitor e indutor.

Componente Tensão Corrente Tensão Carga Z (s) = V (s)/R(s)

v(t) =∫

τ

0 i(τ)∂τ i(t) = C∂v(t)∂t

v(t) = 1C q(t) 1

Cs

v(t) = Ri(t) i(t) = 1R v(t) v(t) = R ∂q(t)

∂tR

v(t) = L ∂i(t)∂t

i(t) = 1L

∫ t0 v(τ)∂τ v(t) = L ∂

2q(t)∂t2

Ls

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Exemplo 1 : Considere o circuito elétrico simples ilustrado aseguir:

+

-

+

-

v(t)

L R

vC(t)

i(t)C

Aplicando-se a lei de somatório de tensão de malha do circuitoilustrado acima, temos:

v(t) = L∂i(t)∂t

+ Ri(t) + vC(t). (6)

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Aplicando-se a transformada de Laplace em (6),considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se:

V (s) = LsI(s) + RI(s) + VC(s), (7)

mas I(s) = VC(s)/1

Cs , assim temos,

V (s) = LsVC(s)

1Cs

+ RVC(s)

1Cs

+ VC(s). (8)

Portanto, de (8), a função de transferência entre a entrada esaída do circuito elétrico abordado é:

VC(s)V (s)

=1

LCs2 + RCs + 1.

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Agora, considere um circuito elétrico mais complexo,

+

-

+

-

v(t)

R1 R2

vC(t)CLi1(t) i2(t)

sendo i1(t) e i2(t) correntes de malha.As equações diferenciais do somatório de tensão de malha docircuito elétrico ilustrado anteriormente são:

Ri i1(t) + L∂(i1(t)− i2(t))

∂t= v(t), (9)

L∂i2(t)∂t

+ R2i2(t) +1C

∫ t

0i2(τ)∂τ − L

∂i1(t)∂t

= 0. (10)

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Aplicando-se a transformada de Laplace em (9) e (10),considerando-se as condições iniciais nulas, obtém-se:

R1I1(s) + LsI1(s)− LsI2(s) = V (s), (11)

LsI2(s) + R2I2(s) +1

CsI2(s)− LsI1(s) = 0. (12)

Organizando (11) e (12) na forma matricial,[

R1 + Ls −Ls−Ls Ls + R2 +

1Cs

] [I1(s)I2(s)

]

=

[V (s)

0

]

.

Neste exemplo podemos encontrar várias funções detransferência, tais como: VC(s)/I2(s), VC(s)/I1(s) eVC(s)/V (s). Neste caso abordaremos a função detransferência entre a entrada de tensão e a tensão nocapacitor.

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Inicialmente obteremos I2(s).

I2(s) =

det[

R1 + Ls V (s)−Ls 0

]

det[

R1 + Ls −Ls−Ls Ls + R2 +

1Cs

]

,

I2(s) =LCs2

(R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1V (s), (13)

mas I2(s) =VC(s)

1Cs

, então,

I2(s) = CsVc(s). (14)

Portanto, substituindo-se (14) em (13), obtém-se:

VC(s)V (s)

=Ls

(R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1.

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Resumo



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Amplificador Operacional (AOP)

O AOP é um amplificador CC multiestágio com entradadiferencial cujas características se aproximam das de umamplificador ideal.

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Características do AOP ideal:

Resistência de entrada infinita

Resistência de saída nula

Ganho de tensão infinito

Resposta em frequência infinita

insensibilidade à temperatura

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Considere o seguinte circuito:

A função de transferência da tensão de entrada Vi(s) para atensão de saída Vo(s) é dada por:

Vo(s)Vi(s)

= −Z2

Z1. (15)

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Então, considere outro circuito eletrônico, conforme ilustrado aseguir,

Inicialmente, calcula-se a impedância Z1(s),

Z1(s) =R1

R1C1s + 1=

360 × 103

2,016s + 1.

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O próximo passo é determinar o valor de Z2(s),

Z2(s) = R2 +1

C2s= 220 × 103 +

107

s.

Portanto, temos que:

Vo(s)Vi(s)

= −Z2(s)Z1(s)

= −1,232s2 + 45,95s + 22,55

s. (16)

Calcule Vo(s)Vi (s)

:

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Resposta

Vo(s)Vi(s)

=C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R2 + C1R1)s + 1

C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R1)s + 1

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Resumo



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Considere o circuito ilustrado abaixo:

Neste caso objetiva-se determinar a função de transferênciaX (s)/F (s), assim tem-se,

∑

FM = 0.

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A figura seguinte ilustra a ação das forças no objeto de massa M, tanto no

domínio do tempo quanto no domínio da frequência,

Então, podemos escrever,Ms2X (s) + fv sX (s) + KX (s) = F (s),

X (s)(Ms2 + fv s + K ) = F (s),

logo,

X (s)F (s)

=1

Ms2 + fv s + K.

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Considere agora outro sistema mecânico, conforme ilustradoabaixo:

Atuação das forças em M1:

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Atuação das forças em M2

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Da análise das forças em M1 e M2 temos:

[M1s2 + (fv1 + fv3)s + (K1 + K 2)]X1(s)− (fv3s + K2)X2(s) = F (s),

−(fv3s + K2)X1(s) + [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]X2(s) = 0.

Organizando matricialmente as expressões acima,[

[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2)

−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]

]

[

X1(s)X2(s)

]

=

[

F (s)0

]

. (17)

De (17) podemos, por exemplo, encontrar a função detransferência X2(s)/F (s) da seguinte maneira:

X2(s) =det

[

[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] F (s)−(fv3s + K2) 0

]

det[

[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2)−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]

] .

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Portanto,

X2(s)F (s)

=(fv3s + K2)

Φ, (18)

sendo

Φ = det[

[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2)

−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]

]

.

Em sistemas mecânicos, a sugestão é analisar separadamenteos blocos. Por exemplo, considere M2 parado e movimente M1

para direita, e depois realize a análise inversa.

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Resumo



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Considere o seguinte exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T (s),

para o sistema de rotação ilustrado abaixo:

Observando-se a figura acima, nota-se que o eixo elástico ésuspenso por meio de mancais em cada uma dasextremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado àesquerda e o deslocamento angular é medido à direita.

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Outro modo de verificar a operação dos sistemas rotativos éilustrado a seguir:

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Então, se submetemos um objeto na forma cilíndrica a umtorque, o mesmo tende a ter deslocamento angular.Adicionalmente se existir uma força de resistência ao movimentoangular causado pela aplicação do torque, consideramos que oobjeto é submetido à torção (movimentos angulares em umcorpo cilíndrico com sentidos opostos nas extremidades).

Para obter a função de transferência desejada, primeiramentedevemos obter um diagrama esquemático do sistema físicoilustrado anteriormente.

Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramos que elaocorre como uma mola concentrada em um ponto particular doeixo.A mola que representa a torção no corpo cilíndrico apresentauma inércia J1 a esquerda e uma inércia J2 a direita.Admite-se que o amortecimento no interior do eixo elástico éinsignificante.

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Diagrama esquemático do sistema girante analisado,

Análise em J1

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Análise em J2

O somatório de torques em J1 e J2 pode ser descrito como,

(J1s2 + D1s + K )θ1(s)− Kθ2(s) = T (s), (19)

−Kθ1(s) + (J2s2 + D2s + K )θ2(s) = 0.

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Reorganizando (19) na forma matricial, obtém-se:[

(J1s2 + D1s + K ) −K−K (J2s2 + D2s + K )

] [

θ1(s)θ2(s)

]

=

[

T (s)0

]

. (20)

Logo,

θ2(s) =det

[

(J1s2 + D1s + K ) T (s)−K 0

]

det[

(J1s2 + D1s + K ) −K−K (J2s2 + D2s + K )

] . (21)

Então,

θ2(s)T (s)

=KΨ,

sendo,

Ψ = det[(J1s2 + D1s + K ) −K

−K (J2s2 + D2s + K )

]

.

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Determinem G(s) = θ2(s)/T (s) para o seguinte sistemailustrado a seguir:

Resposta:

G(s) =1

2s2 + s + 1.

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Resumo



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Considere o sistema com engrenagens ilustrado a seguir:

Para o sistema ilustrado acima temos:

r1θ1 = r2θ2,

ouθ2

θ1=

r1

r2=

N1

N2.

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Observações

Sistemas acionados por motores raramente são vistos semtrens de engrenagens acionando a carga.

As engrenagens proporcionam vantagens mecânicas aosistema de rotação. Ex: A bicicleta de macha, ladeira a cima,por meio de uma troca de macha, fornece mais torque e menosvelocidade. Em linha reta pode-se obter menos torque e maisvelocidade.

Em muitas aplicações, as engrenagens apresentam folgas(backlash), que ocorrem devido a um ajustamento inadequadoentre os dentes da engrenagem.

Se admitirmos que as engrenagens não absorvam nem armazenam energia,podemos escrever,

T1θ1 = T2θ2, ou,T2

T1=

θ1

θ2=

N2

N1.

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Exemplo: Considere o sistema girante baseado emengrenagens ilustrado a seguir:

Será possível refletir as impedâncias da entrada do eixo nasaída?

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Em sistemas girantes baseados em engrenagens temos assituações ilustradas abaixo:

Assim, considerando-se o caso (b) da figura anterior, podemos refletir T1na

saída multiplicando-se por N2/N1. O resultado é ilustrado a seguir:

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O sistema anterior é conhecido (já discutido anteriormente) eas equações de movimento são,

(Js2 + Ds + K )θ2(s) = T1(s)N2

N1. (22)

Mas podemos descrever θ2(s) = N1N2θ1(s), deste modo (22)

torna-se,

(Js2 + Ds + K )N1

N2θ1(s) = T1(s)

N2

N1. (23)

Simplificando-se (23), obtém-se;[

J(

N1

N2

)2

s2 + D(

N1

N2

)2

s + K(

N1

N2

)2]

θ1(s) = T1(s). (24)

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A equação de movimento mostrada em (24) pode serrepresentada pela seguinte figura.

Observação

As impedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidaspor meio de trens de engrenagens multiplicando-se aimpedância mecânica pela relação,

(Número de dentes da engrenagem do eixo de destinoNúmero de dentes da engrenagem do eixo de origem

)2

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Exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T1(s), para o sistema

ilustrado abaixo:

Reflitamos primeiramente as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de

entrada para a saída conforme mostrado a seguir:

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Portanto, para este exemplo, a equação de torques pode serdescrita como,

(Jes2 + D2s + Ke)θ2(s) = T1(s)N2

N1. (25)

sendo,

Je = J1

(N2

N1

)2

+ J2; De = D1

(N2

N1

)2

+ D2; K = Ke.

De (25), obtemos a função de transferência θ2(s)T1(s)

,

G(s) =θ2(s)T1(s)

=N2/N1

Jes2 + Des + Ke.

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Resumo



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Estes sistemas podem ser utilizado para controle de posição deuma antena em azimute, por exemplo.

Outras aplicações: controle de robôs, rastreadores de sol erastreadores estelares, etc.

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Motor EletromecânicoUm motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamentode saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica geradapor uma entrada elétrica. No curso iremos abordar um particular sistemaeletromecânico, o servomotor de corrente contínua controlada pelaarmadura.

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O campo magnético é produzido por ímãs permanentesestacionários ou por meio de um eletroímã estacionáriochamado de campo fixo.

um circuito rotativo denominado armadura, através do qualcircula a corrente ia(t), corta o campo magnético segundo umângulo reto e experimenta uma força, F = Blia(t), sendo B aintensidade do campo magnético e l o comprimento docondutor.

O torque resultante aciona o rotor, o qual é o elemento girantedo motor.

Para o motor CC temos,

vb(t) = Kb∂θm(t)∂t

, (26)

sendo vb(t) a força contra-eletromotriz (fcem), Kb a constante de fcem e

∂θm(t)/∂t = ωm(t) é a velocidade angular.

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Aplicando-se a transformada de Laplace em (26),considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se

Vb(s) = Kbsθm(s). (27)

A descrição da transformada de Laplace, considerando-se ascondições iniciais nulas, da equação de malha do circuito dearmadura é:

RaIa(s) + LasIa(s) + Vb(s) = Ea(s). (28)

Neste contexto, o torque produzido pelo motor é proporcional àcorrente de armadura, assim,

Tm(s) = Kt Ia(s). (29)

sendo Kt uma constante de torque do motor.

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Assim, podemos escrever a corrente de armadura como,

Ia(s) =Tm(s)

Kt. (30)

Substituindo-se (27) e (30) em (28), obtemos,

(Ra + Las)Tm(s)Kt

+ Kbsθm(s) = Ea(s). (31)

A figura a seguir mostra um carregamento típico de um motor

sendo Jm é o momento de inércia equivalente na armadura eDm o amortecimento viscoso equivalente na armadura.

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Como já discutidos anteriormente, a equação de movimento dosistema típico de um motor ilustrado anteriormente é,

Tm(s) = (Jms2 + Dms)θm(s). (32)

Substituindo-se (32) em (31),

(Ra + Las)(Jms2 + Dms)Kt

θm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (33)

considerando-se Ra >> La

[Ra

Kt(Jms + Dm) + Kb

]

sθm(s) = Ea(s). (34)

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Depois das simplificações, determina-se a função detransferência desejada, θm(s)/Ea(s),

θm(s)Ea(s)

=Kt/(RaJm)

s[

s + 1Jm

(

Dm + Kt KbRa

)] . (35)

A equação (35) pode ser simplificada por:

θm(s)Ea(s)

=K

s(s + α).

Considere o caso,

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Na figura anterior é ilustrado um motor de inércia Ja e deamortecimento Da na armadura acionando uma carga deinércia JL e amortecimento DL.Refletindo-se as impedâncias da carga para a entrada temos,

Jm = Ja + JL

(N1

N2

)2

;Dm = Da + DL

(N1

N2

)2

. (36)

Considere novamente a expressão (31), com Ra >> La:

Ra

KtTm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (37)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (37)obtemos,

Ra

KtTm(t) + Kbωm(t) = ea(t). (38)

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Isolando-se Tm(t) em (38),

Tm(t) = −KbKt

Raωm +

Kt

Raea(t). (39)

De (39) podemos ter,

Tbloq =Kt

Raea(t) ⇒ torque de partida ou torque de rotor bloqueado

ωvazio =ea(t)

Kb⇒ velocidade sem carga ou velocidade a vazio

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As constantes elétricas da função de transferência do motorpodem ser determinadas a partir de,

Kt

Ra=

Tbloq

ea(t).

e

Kb =ea(t)ωvazio

.

As constantes elétricas, Kt/Ra e Kb, podem ser determinadascomo um teste dinamométrico do motor CC, o qual forneceriaTbloq e ωvazio para um dado valor de ea(t).

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Exemplo: Considere o sistema abaixo,

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Para o sistema ilustrado anteriormente, obter a função detransferência θL(s)/Ea(s).Inicialmente iremos referir as impedâncias da carga aarmadura do motor, assim,

Jm = Ja + JL

(N1

N2

)2

= 5 + 700(

1700

)2

= 12.

Dm = Da + DL

(N1

N2

)2

= 2 + 800(

110

)2

= 10.

Do gráfico de torque versus velocidade,

Tbloq = 500,

ωvazio = 50,

ea(t) = 100.

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Portanto, as constantes elétricas são:

Kt

Ra=

Tbloq

ea(t)=

500100

= 5.

e

Kb =ea(t)ωvazio

=10050

= 2.

Assim, a função de transferência θm(s)/Ea(s) resulta,

θm(s)Ea(s)

=5/12

s[s + 1

12 (10 + (5)(2))] . (40)

Objetivando-se determinar θL(s)Ea(s)

, usamos a relação N1N2

= 1/10,e encontramos,

θL(s)Ea(s)

=0,0417

s(s + 1,667).

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Para um sistema linear, temos as seguintes propriedades,Aditividade: f (a + b) = f (a) + f (b)Homogeneidade: f (α1a + α2b) = α1f (a) + α2f (b)

Abaixo apresentamos exemplos: (a) linear, (b) não-linear

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Exemplos de Sistemas Não-lineares

Pergunta: Este sistema é linear?

0 2 4 6 8 10−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

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Linearização

x0 é um ponto de equilíbrio.

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Procedimento de linearização

No processo de linearização supõe que o sistema próximo a umponto de um ponto de operação, também denominado de pontode equilíbrio (P.I.). (y(x) = 0).

A idéia é expandir y = f (x) em uma série de Taylor deste ponto,assim teremos:

y = f (x) = f (x) |P.I. +∂f (x)∂x

|P.I. (x − xi) +∂2f (x)∂x22!

|P.I. (x − xi)2 + · · · (41)

sendo P.I. = (xi , yi)

Como x ficará próximo a xi , então (x − xi) será pequeno, equando elevado a 2, 3, 4, . . ., será menor ainda.

Logo a equação (41) torna-se,

y = f (x) = f (x) |P.I. +∂f (x)∂x

|P.I. (x − xi) (42)

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Procedimento de linearizaçãoPodemos escrever a expressão (42) da seguinte maneira,

y = f (x) = f (x)︸︷︷︸

yi

|P.I. +∂f (x)∂x

|P.I.︸︷︷︸

m

(x − xi)︸︷︷︸

∆x

(43)

logo temos,

y = yi + m∆x

y − yi = m∆x

∆y = m ∆x (44)

sendo ∆y = y − yi

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Análise Gráfica do Procedimento de Linearização

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ExercíciosLinearize as seguintes funções abaixo em torno do ponto deoperação xi = 1

y(x) = 5x + 2

y(x) = 3√

x + 1

y(x) = 2x3

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