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Aula Teórica 3: Função de Transferência
Conteudo• Definição de Função de Transferência• Função de Transferência de Sistemas Modelados
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Função de Transferência
é o modelo matemático mais usado em controle de sistemas lineares.
Obs: Na vida real nenhum sistema é totalmente linear
Mas Justifica-se a aproximação se:• O sistema opera em uma região onde seu comportamento é
linear• O sistema nao é lineal mas utilizam-se técnicas de linealização
no ponto de operação.
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A Função de Transferência é a relação por quociente entre a saída e a entrada de um sistema, transformadas pelo Laplace e considerando condições iniciais nulas
)(
)()(
sU
sYsG
saída
entrada
Função de Transferência
operador do Laplace
Nota ImportanteTerá que refrescar os conhecimentos de matemática relacionados com a transformada direta e inversa do Laplace
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Suponha
Que pode conhecer as leis físicas que regem as relações entre as variáveis de um sistema
Que quando utiliza esse conhecimento lhe resulta uma equação diferencial como a seguinte
Que os coeficientes a e b são constantes
Se toma transformada do Laplace em ambos os membros da equação e supõe condições iniciais zero como se expõe no conceito de função de transferência
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Reorganizando fica
Então terá
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Propriedades importantes da Função de Transferência
• Só está definida para um sistema linear invariante com o tempo. nunca para sistemas não lineares
• É independente da entrada• Só se expressa em função da variável complexa S.
nunca em função do tempo ou de outra variável independente
Se tomarmos o seguinte: O grau do polinômio do numerador mO grau do polinômio do denominador n
Entao a Função de Transferência diz-se:• Estritamente Própria • Própria• Imprópria Nenhum sistema físico real cumpre com isto
mnmnmn
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Por efeitos de estudos de sistemas analogos apresentar-se-a 2 circuitos:• Circuito RLC-serie• Circuito RLC-Paralelo
Funcao de Transferencia de Sistemas Modelados
Circuito RLC-Serie
Circuitos analógicos Elétricos
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Aplicando a transformada de Laplace teremos:
A funcao de transferencia do sistema sara dada por:
𝐺 (𝑠)=𝑄 (𝑠 )𝑈 (𝑠)
= 1
𝐿𝑆2+𝑅𝑆+ 1𝐶
= 𝐶𝐿𝐶𝑆2+𝑅𝐶𝑆+1
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Bloco analogico de Primeira Ordem
As equações do bloco analógico de primeira ordem são dadas abaixo:
Circuitos analógicos Electrónicos
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Substituindo i, i‘ e i” na primeira dessas equacoes, obtemos:
E aplicando a transformada de Laplace temos:
A função de transferência do sistema sara dada por:
𝐺 (𝑠 )=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠)
=−
1𝑅1𝐶
𝑆+ 1𝑅𝐶
=−
𝑅𝑅1
𝑅𝐶𝑆+1
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Bloco analogico de Segunda Ordem
Considerando o caso anterior, relativo ao bloco de primeira ordem, podemos escrever:
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E aplicando a transformada de Laplace temos:
𝐺 (𝑠)=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠)
=
1𝑅𝑅2𝐶1𝐶2
𝑆2+ 1𝑅1𝐶1
𝑆+ 1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2
A função de transferência do sistema será dada por:
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Exercício
• Obtenha a funcao de transferencia dos seguintes circuitos elétricos