aula dezessete calculo um 2015aluno
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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
DEZESSETE
Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:Amarás o teu irmão como a ti mesmo.
Gálatas, 5-14
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
O primeiro passo para solucionar um problema de
maximização ou minimização é escrever
precisamente qual a função que deverá ser
analisada.
Quando a função é de mais de uma variável,
devemos procurar expressar uma das variáveis
em função da outra.
Com a função bem definida, devemos identificar
um intervalo apropriado e então proceder a rotina
matemática aplicando definições e teoremas.
EXEMPLO
EXEMPLO
Quando tossimos, o
raio diminui, afetando
a velocidade do ar na
traqueia.
EXEMPLO
a) Calcular o raio r em que é maior a velocidade
do ar.
b) Calcular o valor de r com o qual teremos o
maior fluxo possível.
SOLUÇÃO (a)
SOLUÇÃO (a)
SOLUÇÃO (a)
SOLUÇÃO (a)
SOLUÇÃO (b)
SOLUÇÃO (b)
SOLUÇÃO (b)
SOLUÇÃO (b)
EXERCÍCIO 1
Uma rede de água potável ligará uma central de
abastecimento situada na margem de um rio de
500 metros de largura a um conjunto
habitacional situado na outra margem do rio,
2.000 metros abaixo da central. O custo da obra
através do rio é de R$ 640,00 por metro,
enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual é a
forma mais econômica de se instalar a rede de
água potável.
SOLUÇÃO
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
EXERCÍCIO 2
Um galpão deve ser construído tendo uma área
retangular de 12.100 m2. A prefeitura exige que
exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m
atrás e 12 m em cada lado. Encontre as
dimensões do lote que tenha a área mínima na
qual possa ser construído este galpão.
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
EXERCÍCIO 3
Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve
ser construída de forma que o seu volume seja
2.500 m3. O material da base vai custar R$
1.200,00 por m2 e o material dos lados R$
980,00 por m2. Encontre as dimensões da caixa
de modo que o custo do material seja mínimo.
SOLUÇÃO
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
EXERCÍCIO 4
Supor que o custo total C(q) de produção de q
toneladas de um produto, em milhares de reais,
é dado por
Supondo que a empresa possa vender tudo o
produz, determinar o lucro máximo que pode
ser obtido, se cada tonelada do produto é
vendida a um preço de 21 milhares de reais.
qqqqC 398,103,0 23
SOLUÇÃO
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
EXERCÍCIO 5A receita total e o custo
total com a produção e
a comercialização de
um produto são dados
pelas curvas R e C da
Figura. Determinar o
nível de produção que
maximiza o lucro.
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
É interessante observar que a análise gráfica
nos permite estimar qual o intervalo em que
pode variar o nível de produção para que a
empresa tenha lucro.
Se a produção deve ocorrer em lotes de 50
unidades, esse intervalo é de q = 100 até q = 350
unidades.
Também é interessante observar que no nível de
produção correspondente ao lucro máximo as
curvas R e C tem tangentes paralelas.
PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
Isso equivale a dizer que R’ = C’, isto é, a receita
marginal é igual ao custo marginal.
Como L’ = R´- C’, temos L’ = 0 nesse ponto, ou
seja, q = 250 é o ponto crítico de L.
Assim, esse exercício ilustra como as análises
gráficas e analíticas conduzem ao mesmo
resultado.
Em geral, a utilização de uma ou de outra
depende das informações disponíveis.
FIM
DA AULA
DEZESSETE