asszim alkmat 2012nimbus.elte.hu/~numelo/doc/2011_2012_mat/asszim_i_print.pdf · wind profiler,...

Alkmat 2012 Március

Meteorológiai Adatasszimiláció I.


Tartalom

• Bevezetés

• Elméleti alapok

• Adatasszimiláció a gyakorlatban


BEVEZETÉS


Bevezetés

• Numerikus elırejelzés: a hidro-termodinamikai egyenletek (HTE) numerikus megoldása

• A HTE megoldása vegyes feladat � parciális differenciál egyenlet kezdeti és peremértékek megadásával

• Adatasszimiláció: a kezdeti feltételek megadása

• Lényeges a pontosság a HTE rendszer megoldásának kezdeti feltételekre való érzékenysége miatt (a légkör kaotikus viselkedése)

Alkmat 2012 Március Alkmat 2012 Március


Verifikációs analízis

Elırejelzés „jó” kezdeti feltételbıl Elırejelzés „rossz” kezdeti feltételbılAlkmat 2012 Március

Bevezetés

Adatasszimiláció: becslés (légkör valós állapota)

Milyen igényeket támasztunk?

• Használjunk fel minden rendelkezésünkre álló információt(megfigyelések, modell, tudás a légkörrıl)• Optimálisan ötvözzük ıket (minimális becslési hiba)• Vegyük figyelembe a felhasznált információk hibáját (ezeket is csak becsülni tudjuk)• A becslés legyen összhangban a HTE-rendszerrel (dinamikai konzisztencia)


ELMÉLETI ALAPOK


Elméleti alapok

Egyszerő eset:

• 0 D: egyetlen térbeli pont• 1 változó: x• xa becslést adunk xt-re (a valós állapotra)• rendelkezésünkre állnak y1 és y2 megfigyelések ε1 és ε2 hibával terhelve

2t2 xy ε+=1t1 xy ε+=

( ) ?yyfxx 21ta === ,ˆ


Elméleti alapok

Feltesszük, hogy:

• a mérések torzítatlanok (nincs szisztematikus hiba)

• a mérési hibák szórásnégyzete ismert

• a mérési hibák korrelálatlanok

( ) ( ) 0EE 21 == εε

( )21

21 E εσ = ( )2

222 E εσ =

( ) 0E 21 =εεAlkmat 2012 Március

Elméleti alapok

Több megközelítés létezik:

1. Legkisebb négyzetek módszere 2. Maximum likelihood módszer

( ) ?yyfx 21a == ,


Elméleti alapok

1. Megközelítés: legkisebb négyzetek módszere

1t1 xy ε+=

2t2 xy ε+=

2211a ykykx +=

?k1 =

?k2 =

Szeretnénk, hogy:

( )( ) minxxE2

ta2a =−=σ• a becslés négyzetes hibája minimális legyen

( ) 0xxE ta =−• a becslés torzítatlan legyen 1kk 21 =+


Elméleti alapok


1kk 21 =+

2211a ykykx +=( ) 2111a yk1ykx −+=

( )12a kminσ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )2

t2t11t1

2

ta12a xxk1xkExxEk −+−++=−= εεσ

( )( )( )2

2111 k1kE εε −+=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

2

2

12111

2

121 Ek1Ek1k2Ek εεεε −+−+=

( ) 22

2

121

21 k1k σσ −+= min � k1 szerinti derivált 0

Feladat:


Elméleti alapok


22

21

22

1kσσ

σ

+=

22

21

21

12 k1kσσ

σ

+=−=

222

21

21

122

21

22

a yyxσσ

σ

σσ

σ

++

+=

∑=+==

p

1i 2i

22

21

2a

1111

σσσσ

A becslés:

A becslés megbízhatósága:

Minden megfigyelés növeli a megbízhatóságot!


Elméleti alapok

2. Megközelítés: Maximum-likelihood módszer

A meteorológiai változók „jól” modellezhetık Normális eloszlású valószínőségi változókként

( ) ( )

−−

∏=

2

2mx

exp2

1xf

σσ

( )2mNx σ,∈

Emlékeztetı:


Elméleti alapok

2. Megközelítés: Maximum-likelihood módszer

Minta: normális eloszlású megfigyelések21 yy ,

( )( )

−−

∏=

21

2

1

1

1

xy

2

1exp

2

1yf

σσ

( )( )

−−

∏=

22

2

2

2

2

xy

2

1exp

2

1yf

σσ

A valós állapot (xt) becslését a megfigyelések várható

értékeként (x) keresem:


Elméleti alapok

2. Maximum-likelihood módszer

( ) ( )

−+

−−

Π→

22

2

2

21

2

1

21x

a

xy

2

1xy

2

1exp

2

1maxx

σσσσ

axBecslés: a minta együttes sőrőségfv-ének szerinti maximuma:x

( ) ( )21x

a yfyfmaxx →


Elméleti alapok

2. Maximum-likelihood módszer

( ) ( )

−+

−→

22

2

2

21

2

1

xa

xy

2

1xy

2

1minx

σσ

Ezt kaptuk a legkisebb négyzetek módszerével is!

222

21

21

122

21

22

a yyxσσ

σ

σσ

σ

++

+=

∑=+==

p

1i 2i

22

21

2a

1111

σσσσ


Elméleti alapok

Összefoglalás: Normális eloszlású hibák esetén a Legkisebb Négyzetek módszere és a Maximum-Likelihood módszer ekvivalensek

Optimális Interpoláció (OI)(lineáris regresszió)

∑==

p

1iiia ykx

?ki =

( ) ( )∑

−=

=

p

1i 2i

iyx

2

1xJ

σ

( ) ?xargminJ =

(Iteratív minimum keresı algoritmusok)

Variációs módszer (VAR)(veszteség függvény)


Elméleti alapok

y2y1 xa

Példa:

y1=5, σ1=1

y2=10, σ2=2

xa=6, σa=0.8


ADATASSZIMILÁCIÓ A GYAKORLATBAN


Adatasszimiláció a gyakorlatban

A Numerikus modellek egy 3D rácsonoldják meg a HTE rendszert. A rácson értelmezett meteorológiai változók együttese az ún. állapotvektor (továbbiakban x)amely a mai modellek esetében n~107

nagyságrendő.

Adatasszimiláció: az állapotvektor megadása a kezdeti idıpillanatban (analízis), úgy, hogy az minél közelebb legyen a valósághoz

Információink: megfigyelések/mérések +background/first guess (háttér) + légkör dinamikájának ismerete



Background/first guess:• a modell által elırejelzett állapotvektor

• térben szabályos rács

• közvetlenül modell változók

• dimenzió: n~107

Megfigyelések:• idıben rendszeres számszerő mérések

• térben szabálytalan rács

• összetett összefüggés (lehet) a mért és a modell változók között

• dimenzió: p~105



Megfigyelések



Felszíni megfigyelések Rádiószondák



Felszíni megfigyelések Rádiószondák



Repülıgépes megfigyelések



Mőholdas megfigyelések







Wind profiler, Radar, GPS, stb…..Alkmat 2012 Március


megfigyelések: az analízis idıpontjában aktuális megfigyelések

tx

fx

y

ax

tx axfx y

valóság: valós állapot az analízis idıpontjában

analízis: az adatasszimiláció eredménye (a kezdeti feltétel)

háttér mezı: az analízis idıpontjára vonatkozó elırejelzés

, és n~107 dimenziós vektorok, p~105 dimenziós vektor

Több dimenziós felírás

A megfigyelési operátor linearizáltja: ( mátrix)

yx a:H

( )xx

H∂

∂=H

nxpH

Megfigyelési operátor: (nem lineáris)

A megfigyelési operátor adjungáltja: ( mátrix)TH TnxpH



Több dimenziós felírás

ata xxε −=

( ) yxε −= to H

ftf xxε −=

analízis hiba:

háttér hiba:

megfigyelési hiba:

n~107

n~107

p~105

( )Tfff E εεP = ( )T

ooo E εεP =( )Taaa E εεP =

hiba kovariancia mátrixok:

analízis háttér megfigyelés

(n x n) (n x n) (p x p)



Több dimenziós felírás: Variációs veszteségfüggvény (Maximum-Likelihood)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xyPxyxxPxxx f HH −−+−−= −− 1o

T

f1

f

T

2

1

2

1J

( )( )

( ) 1

oT

fT

f

ffa

−+=

−+=

PHHPHPK

xyKxx H

Több dimenziós felírás: Optimális Interpoláció (legkisebb négyzetek módszere)

Áll: Az ekvivalencia több dimenzióban is igaz de csak lineáris esetén !H

oJbJ



Variációs veszteségfüggvény

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xyPxyxxPxxx f HH −−+−−= −− 1o

T

f1

f

T

2

1

2

1J

( ) ( ) ( )xHdPxHdxPxx δδδδδ −−+= −− 1o

T1f

T

2

1

2

1J

fxxx −=δ( )fxyd H−=

A background-tól vett eltérésre (inkrementumra) írjuk fel azaz linearizáljuk:

( ) ( ) xHdxHxyxy δδ −=−−=− fHH

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2fff xxx

xxxxx δδδ O

HHHH +

∂

∂+=+=



Variációs veszteségfüggvény gradiense:


T1f

TJ2

xHPHxdPHxxHPddPdxPx δδδδδδ 1o

TT1o

TT1o

T1o

T1f

T −−−−− +−−+=

( )

Axx

yAxxy

dAx

yAxdy

ABAB

T

T

2

T

TTT

=∂

∂→=

=∂

∂→=

=

a1

oT1

oT1

oT

a1

f 22J0 xHPHdPHdPHxP δδ −−−− +−−=∇=

( ) dPHxHPHP 1o

Ta

1o

T1f

−−− −+= δ

( ) ( )( )f1

oT11

oT1

ffa xyPHHPHPxx H−++= −−−−

K=Áll



Áll: ( ) ( ) 1

oT

fT

f1

oT11

oT1

f

−−−−− +=+ PHHPHPPHHPHP

Biz: ( ) ( ) Tf

1o

T1fo

Tf

1o

THPHPHPPHHPPH

−−− +=+T

f1

oTTTT

f1

oT

HHPPHHHHHPPH−− +=+

� 3DVAR és az OI módszerek ekvivalensek de csak lineáris megfigyelési operátor esetén!



Best Linear Unbiased Estimation (BLUE):

( )( )

( )( ) fa

1

oT

fT

f

ffa

PKHIP

PHHPHPK

xyKxx

−=

+=

−+=−

H

Az analízis hiba mindig kisebb a háttér hibánál, azaz a megfigyelések mindig javítanak a háttérmezın!

b

ob

ba 1 σ

σσ

σσ

+−=



kezdeti feltétel

Adatasszimilációs ciklus



Adatasszimilációs ciklus:

:M ( )ka

1kf xx M=+Modell operátor (propagátor):

( )( )( ) 1

oTk

fTk

fk

kf

kkkf

ka

−+=

−+=

PHHPHPK

xyKxx H

( )( )( ) 1

oT1k

fT1k

f1k

1kf

1k1k1kf

1ka

−+++

+++++

+=

−+=

PHHPHPK

xyKxx H



Variációs asszimiláció: a minimum keresés

iteráció ( ) 0J a ≈∇ xδ( )xδJ

( )xδJ∇új xδ teszt ( )xδJ

( )0xJ =∇ δ

( )ixJ δ∇

( )axJ δ∇


T1f

T

2

1

2

1J










oJ xHd δ−HMit vesztünk az inkrementális formulával ( linearizálásával)?

• nem az „eredeti” -t minimalizáljuk ( )• a fenti pont miatt annál nagyobb hibát vétünk minél inkább nem lineáris

a az körülH fx

J(δx)J(x)

Pl. közel lineáris H

afa xxx δ+≈

fx

J(δx)J(x)

Pl. erıssen nem lineáris H

afa xxx δ+≠

fx



Variációs asszimiláció: a minimum keresésAz inkrementális formula javítása: „külsı” iterációk (outer loops)

( )1J xδ( )1fxyd H−=

1fx Outer loop 1

( )2fxyd H−=1a1f2f xxx δ+= Outer loop 2

( )3fxyd H−=2a2f3f xxx δ+= Outer loop 3

( )1J xδ∇1axδ

Inner loop 1

( )2J xδ( )2J xδ∇

2axδInner loop 2

( )3J xδ( )3J xδ∇

3axδInner loop 3

1f1 xxx −=δ

2f2 xxx −=δ

3f3 xxx −=δ

3a2fa xxx δ+= Alkmat 2012 Március


Észrevételek:

� VAR módszer nem követeli meg, hogy a megfigyelési operátor lineáris legyen

� Pl. nem lineáris megfigyelési operátorra: mőholdas sugárzási értékek, radar reflektivitás, GPS

� Az új megfigyelési technikák felhasználása megköveteli a VAR módszer alkalmazását

� VAR módszer „globális” míg az OI „lokális”

asszim alkmat 2012nimbus.elte.hu/~numelo/doc/2011_2012_mat/asszim_i_print.pdf · wind profiler,...

Documents