Áramlastan könyv

8/8/2019 Áramlastan könyv

http://slidepdf.com/reader/full/aramlastan-koenyv 1/195

%8'$3(67,06=$.,(*<(7(0

ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK

LAJOS TAMÁS

A Z Á R A M L Á S T A N A L A P J A I

(/$'È6,-(*<=(7

B U D A P E S T

1 9 9 2



2

B E V E Z E T É S

(] D MHJ\]HW HJ\ NpWHV NLPHQHWHO NtVpUOHWQHN LV WHNLQWKHW VLNHUO-e mintegy kétszáz

oldalon úgy összefoglalni az emberi tudás egy nagy szegmensének, az áramlástannak a

OpQ\HJHV UpV]HLW KRJ\ D] ROYDVy HOHJHQG VHJtWVpJHW NDSMRQ DQQDN PHJpUWpVpEHQ

elsajátításában és ami a legfontosabb, megszeretésében és a mérnöki alkotómunkában való

eredményes felhasználásában.

0LQWPLQGHQLVPHUHWN|]OpVDMHJ\]HWtUiVLVD]ÄHOKDOOJDWiVPYpV]HWH´D]WQHKp]XJ\DQLV

meghatározni, hogy mi az, amit nem szükséges leírni, megtanítani és megtanulni. Az

érdekes és fontos ismeretek nagy mennyisége és a terjedelmi korlátok közötti ellentmondást

neKp] IHOROGDQL QHKH]HQ NHUOKHW HO D Yi]ODWRVViJ )LJ\HOHPEH YpYH D]RQEDQ KRJ\ H

jegy]HW D] HODGiVRNNDO D WDQWHUPL pV ODERUDWyULXPL J\DNRUODWRNNDO HJ\WW VHJtWL D

felkészülést, és bízva az olvasó |QiOOyPXQNiMiEDQD V]HU] YiOODOWD D NHYpVEp UpV]OHWHV

kifejtés kockázatát.

$]iUDPOiVWDQ RO\DQ LVPHUHWHNNHO IRJODONR]LN DPHO\HNQHPFVDN DPV]DNLDONRWiVRND

PpUQ|NL IHODGDWRN QDJ\ UpV]pEHQ MiWV]DQDN G|QW V]HUHSHW GH KR]]iVHJtWHQHN DKKR] LV

hogy mHJpUWVN D] pO pV pOHWWHOHQ WHUPpV]HW V]iPRV MHOHQVpJpW $ UHSOpVEHQ D

hajózásban, az energetikában, a közúti közlekedésben, a szállításban, a vízépítésben, a

környezetvédelemben, a vegyiparban, az épületgépészetben és az emberi tevékenység

számos más területén fontos szerepe van a közegek áramlásával kapcsolatos ismereteknek.Ugyanakkor a meteorológia, az orvostudomány, a biológia, a hidrológia, az oceanográfia

PYHOpVH VHP NpS]HlKHW HO D] iUDPOiVWDQ DONDOPD]iVD QpONO ,JHQ VRN WHUPpV]HWL

jelenség,DPHO\VLGNyWDPHJUDJDGMDD]HPEHUNpS]HOHWpWD OiQJRNORERJiVD D IRO\yN

YL]pQHN iUDPOiVD D WHQJHU KXOOiP]iVD D IHOKN MiWpND D V]pO VXVRJiVD PLQG-mind a

közegek áramlásával vannak kapcsolatban, mutatva a lehetséges változatok végtelen

számát, az áramlási jelenségek bonyolultságát.

Az áramlástant sokan azért is tartják figyelemreméltó tantárgynak, mert igen szépen és

érdemben kapcsolja össze a fizikai jelenségek leírását a matematikai ismeretek alkalmazá-

sával és a gyakorlati mérnöki feladatok megoldásával. Ilymódon ez a tantárgy

hozzájárulKDW HJ\ RO\DQ PpUQ|NL KDELWXV NLDODNXOiViKR] DPHO\ D J\DNRUODWL PV]DNL

feladatok igéQ\HVHOPpOHWLDSSDUiWXVELUWRNiEDQW|UWpQ PHJROGiViWUpV]HVtWLHOQ\EHQDKRO

az elmélet és a gyakorlat szerves kapcsolata valósul meg.

Megköszönve Kristóf Gergely doktorandusz kolléga lelkes munkáját az ábrák

elkészítésé EHQpVD]DQ\DJV]HUNHV]WpVpEHQDV]HU]NLWDUWiVWpVWUHOPHWNpUYHHUHGPpQ\W

és örömet kívánva az olvasó jóindulatába ajánlja a jegyzetet.

Budapest, 1994 tavasz Lajos Tamás



1. Az áramlástan tárgya, a folyadékok

sajátosságai

1.1. A folyadékok és a szilárd anyagok összehasonlítása

Az áramlástan nyugvó és mozgó folyadékok egyes sajátosságaival ill. e sajátosságok

J\DNRUODWL PV]DNL DONDOPD]iViYDO IRJODONR]LN 1\XJYy IRO\DGpNWHUHNEHQ iOWDlában a

nyomásmegoszlás meghatározása a feladat, míg áramló közegekben a nyomásmegoszlás

mellett legtöbbször a folyadék sebességének eloszlására vagyunk kíváncsiak.

$ÄIRO\DGpNRN´HWDQWiUJ\EDQHJ\DUiQWMHOHQWLNDFVHSSIRO\yVpVDOpJQHP KDOPD]-

állapotú közegeket,tJ\OHJW|EEV]|UDOHYHJYHOpVDYt]]HOPLQWDPV]DNLJ\DNRUODWEDQlegJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyIRO\DGpNRNNDOIRJODONR]XQN

0L NO|QE|]WHWL PHJ D IRO\DGpNRNDW D V]LOiUG WHVWHNWO" 9pJH]]QN HO HJ\ JRQGRODWL

kisérletet. Az 1.1. ábrán bal oldalon két síklap közé helyezett, lapos szilárd testet

1.1. ábra

látunk, amelyet alul és felül a lapokhoz ragasztunk. Jobb oldalon a két párhuzamos lap

között folyadékréteg (pl. olaj) van. A szilárd test és a folyadékréteg lappal párhuzamos

keresztmetszete A. AzDOVyODSU|J]tWHWWDIHOV|QPDJiYDOSiUKX]DPRVDQHOPR]GtWKDWy

Hassunk F HU YHO D IHOV ODSUD $]W WDSDV]WDOMXN KRJ\ D V]LOiUG DQ\DJEDQ NHOHWNH]

τ = F A csúsztatófeszültség hatására a szilárd anyag deformálódik. A deformációra

MHOOHP] γ szög egy határig arányos a τ csúsztatófeszültséggel (Hooke-W|UYpQ\-HOHQWV

deformáció általában csak az anyag szerkezetének tönkremenetelével valósítható meg.

A folyadékrétegetN|]UHIRJyODSRNN|]ODIHOVUHFHU YHOKDWYDDIHOVODSXVHEHVVpJ

mozgásba jön, a IRO\DGpNLGEHQIRO\DPDWRVDQGHIRUPiOyGLN +DNO|QE|]QDJ\ViJ~F

HU WIHMWQNNLYDJ\NO|QE|]ANHUHV]WPHWV]HWV]LOiUGWHVWHNNHOYDJ\IRO\Ddékrétegekkel

kísérletezünk, azt tapasztaljuk, hogy amíg a szilárd testnél a γ deformáció, a folyadéknál

a deformáció sebessége, a dγ /dt arányos egyenesen a τ csúsztatófeszültséggel.



4

A kísérlet során azt tapasztalnánk, hogy D V]LOiUG IDOODO pULQWNH] I olyadék sebessége

közvetlenül a falnál megegyezik a fal sebességével. Ezt az általánosan alkalmazott

tapasztalatot a tapadás törvényének szoktuk nevezni.

5DM]ROMXN IHO iEUD D NpWSiUKX]DPRVVtNRW|VV]HN|WD]RNUDPHU

OHJHVH HJ\HQHV

mentén a sebesVpJPHJRV]OiVW D]D] D]RQ VHEHVVpJYHNWRURN YpJSRQWMDLW |VV]HN|W

görbét, amelyek talppontjai az e egyenesen vannak! A tapadás törvénye következtében

D]iOOyODSKR]OHJN|]HOHEEOpYIRO\DGpNUpV]HNVHEHVVpJH Y [ = PtJDIHOVODSN|]vetlen

közelében a sebességHJ\HQODODSXVHEHVVpJpYHO0LO\HQDVHEHVVpJPHJRV]OiVDNpWODS

között?

1.2. ábra

(NpUGpVPHJYiODV]ROiViKR]HOV]|UKDWiUR]]XNPHJDγ és a v x közötti kapcsolatot!

Megjegyzés: A differenciálhányados szokásos matematikai értelmezése egy

differenciálható y=y(x) függvény egy rögzített pontjában, ha ∆ y a ∆ x növekményhez tartozó

függvényérték megváltozás:

OLP ∆

∆

∆[

\

[

G\

G[\ WJ

→= = =

α ,

ha α DU|J]tWHWWSRQWEDQD]pULQW KDMOiVV]|JHDSR]LWtY[WHQJHO\W OPpUYH$d y

d xitt egy

szimbolikus jelöléseDKDWiUpUWpNQHNpVQHPDV]iPOiOypVQHYH] KiQ\DGRVD

(OV VRUEDQ D P V]DNL WXGRPiQ\RN WHUOHWpQ V]RNiVRV Dd y

d xkifejezés egy másik

értelmezése:

OLP ∆

∆

∆[

\

[\ WJ

G\

G[→= = =

α ,

DPLDOiWV]DWWDOHOOHQWpWEHQHOYLOHJNO|QE|]LND]HO ] IHOtUiVWyO(V]HULQWDKDWiUpUWpNiOWDO

U|J]tWHWWpULQW LUiQ\WDQJHQVNpWNLFVLQ\GH összetartozó dx és dy érték hányadosával is ki-

IHMH]KHW $NLFVLQ\MHO] D]WMHOHQWLKRJ\H]HQpUWpNHNDJ|UEHRO\DQNLFVLV]DNDV]iQDNYe-

WOHWHLDPHO\HOHJHQG HQMyO közelíti az y=y(x) függvényt a rögzített pont környezetében.



5

Így értelmeztük a dy és dx differenciálokat, melyeknek hányadosa, szorzata stb. is értelme-

zett.

A jelen jegyzetben ez utóbbi értelemben kezeljük a differenciálokat, illetve

differenciálhányadosokat.

Az 1.2. ábrán az y helyen látható egy dy vastagságú folyadékréteg. A csak az y-WyOIJJ

Y [ sebességkomponens y irányú változását a GY G\[ differenciálhányados jellemzi.

*RQGRODWEDQ IHVVNPHJD]iUDPOiVEDQD]0 MHOG\KRVV]~ViJ~V]DNDV]WpVYL]VJiOMXN

PHJ KRJ\ GW LG DOatt milyen dγ V]|JJHO IRUGXO HO $] 0 V]DNDV] IHOV UpV]H

Y GY G\ G\[ [+ 1 6 , alsó része Y [ VHEHVVpJJHOPR]RJ$V]DNDV]IHOVUpV]HGWLGWDUWDP

alatt GY G\ G\ GW[1 6 ⋅ -vel távolabbra jut, mint az alsó rész (ld. 1.2. ábra$GWLGWDUWDPUD

jutó elfordulást, dγ -t a fenti szorzat dy-nal való osztásával kapjuk meg. $]HJ\VpJQ\LLGUH

jutó szögelfordulás, azaz a deformációsebesség a dt-vel való osztás után adódik:

G

GW

GY

G\

[γ =

$PLQWD]WD]HO]JRQGRODWNtVpUOHWEHQPHJiOODStWRWWXNDGγ /dt deformációsebesség és a τ

csúsztatófeszültség között egyenes arányosság van. Ezért az (1.1)-et figyelembe véve

felírható Newton viszkozitási törvénye:

τ µ µγ

[\

[GY

G\

G

GW= =

(A τLQGH[HLN|]OD]HOVD τ-t tartalmazó sík normálisának irányát, a második a τ irányát

jelenti. τyx WHKiW D] \ QRUPiOLV~ VtNRQ pEUHG [ LUiQ\~ IHV]OWVpJHW MHO|OL $ V~UOyGiVRV

közegek tárgyalásánál látni fogjuk, hogy általános esetben a τxy kifejezésében más

sebességkomponens hely szerinti deriváltja is szerepel. Megjegyezzük továbbá, hogy a

súrlódásos közegek deformációjánál a csúsztatófeszültségek mellett húzófeszültségek is

keletkezhetnek, amelyekkel a 9. fejezetben foglalkozunk.)

Az (1.2)-ben µ egy, a folyadék tulajdonságaitól IJJ pUWpN DUiQ\RVViJL WpQ\H] D

dinamikai viszkozitás, amelynek mértékegységét a µHJ\HQOHWEOW|UWpQNLIHMH]pVH

után az alábbi módon határozzuk meg:

µ τ=

!

"

$# = =

G\

GY

NJ P

V P

P

P V

NJ

P V[

Definiáljuk a kinematikai viszkozitást, mint a dinamikai viszkozitás és a ρ [kg/m3]

VUVpJKiQ\DGRViW:

νµ

ρ= P V

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)



6

Az (1.2) ismeretében már megválaszolhatjuk a sebességmegoszlás alakjára vonatkozó kér-

dést. Esetünkben a τ csúsztatófeszültség az e egyenes mentén, azaz a két lap között állandó,

így (1.2)- EODGyGyDQGYx /dy is állandó, azaz a sebességmegoszlás lineáris.

Ha megvizsgáljuk az (1.2) kifejezést, további következtetéseket vonhatunk le: ha a defor-mációsebesség zérushoz tart, akkor a csúsztatófeszültség is elWQLN (]W ~J\ V]RNWXN

mondani, hogy – a szilárd anyagokkal ellentétben – a folyadékok nyugvásbeli súrlódása

zérus. (Ezért lehet – persze csak igen lassan – eltolni kézzel a parttól egy több tonnás

hajót.)

Másrészt, ha a τ csúsztatyIHV]OWVpJ ]pUXVWyO NO|QE|]LN D] |VV]HIJJpVEO

GY G\[ ≠ következik, azaz nyugvó folyadékban nem tartható fenn tartósan

Q\tUyIHV]OWVpJ D Q\tUyIHV]OWVpJ KDWiViUD D IRO\DGpN LGEHQ IRO\DPDWRVDQ

deformálódik. Ez az egyik fontos sajátosság, amely a folyadékokat a szilárd anyagoktól

megkülönbözteti. További különbség, hogy szemben a szilárd anyagokkal a folyadékok

WHWV]OHJHVPprWpNEHQGHIRUPiOKDWyNEHOVV]HUNH]HWNPHJYiOWR]iVDQpONO

Itt jegyezzük meg, hogy a folyadékok és a szilárd anyagok közötti éles különbségtétel sok

DQ\DJ HVHWpQ QHP N|QQ\ IHODGDW 9DQQDN RO\DQ N|]HJHN XJ\DQLV DPHO\HN HJ\DUiQW

UHQGHONH]QHN D IRO\DGpNRN pV D V]LOiUG DQ\DJRN MHOOHP]LYHO 9DQQDN WRYiEEi RO\DQ

folyadékok is, amelyeknél a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között az (1.2)-WO

HOWpU NDSFVolat áll fenn. Ezeket nem-newtoni közegeknek nevezzük, és sajátosságaikat

NpV EEDI ejezetben tárgyaljuk.

1.2 A folyadékok néhány tulajdonsága

Az 1.3. ábránOiWKDWyGXJDWW\~YDOOH]iUWKHQJHUEHQJ ]YDQDPHO\QHN9 m3 térfogatát és

m [kg] tömegét ismerjük, így ezek hányadosaként számolható a v m kg3 fajtérfogat,

HEEO SHGLJ D ρ=1/v kg m3 VU VpJ $ GXJDWW\~ PR]JDWiViYDO D J] WpUIRJDWiW

változtatjuk, miközben mérjük p [Pa] nyomását. A T >.@ KPpUVpNOHWHW HJ\ KFVHUpO

VHJtWVpJpYHOKEHYH]HWpVVHOYDJ\HOYRQiVVDOiOODQGypUWpNHQWDUWMXN

.O|QE|] 7=áll. mellett mozgassuk a dugattyút balfelé és mérjük a v fajtérfogat

függvényében a p nyomást, majd a mérési eredményeket ábrázoljuk az 1.3. ábrán látható

diagramban.

$GRWWiOODQGyKPpUVpNOHWPHOOHWWFV|NNHQWYHDJ ]WpUIRJDWiWDQ\RPiVNH]GHWEHQQ|YHk-

V]LNPDMGiOODQGyYiYiOLN(NNRUDKHQJHUEHQIRO\DGpNFVHSSHNMHOHQQHNPHJD]D]DJ]

|VV]HQ\RPiV PpUWpNpWO IJJUpV]e kondenzálódik. Tovább csökkentve a térfogatot az



7

ösV]HVJ]NRQGHQ]iOyGLNpVFVDNFVHSSIRO\yVIi]LVOHV]DKHQJHUEHQDPHO\NLVWpUIRJD t-

csökkenésre nagy nyomás növekedéssel reagál, azaz a görbék igen meredekek lesznek.

1.3. ábra

$NO|QE|]7=áll. mellett kapott görbék két helyen törnek. E töréspontok összekötésével

a diagram bal és jobb oldalán egy-HJ\KDWiUROyJ|UEpWNDSXQNDPHO\HN D GLDJUDP IHOV

részén egy u.n. kritikus pontban találkoznak. A görbék között a közeg mind cseppfolyós

PLQG SHGLJ OpJQHP D]RNWyO EDOUD FVDN FVHSSIRO\yV MREEUD SHGLJ FVDN OpJQHP

halmazállapotban van.

Van egy olyan 7NULW Ji]KPpUVpNOHWDPHO\QpODOpJQHP-FVHSSIRO\yViWDODNXOiVUHMWHWWK

felszabadulása nélkül megy végbe a S NULW nyomáson és Y NULW fajtérfogaton, és amelynél

PDJDVDEEKPpUVpNOHWHQQHPOHKHWD]DGRWWJi]WFVHSSIRO\yVtWDQL9t]UH 7NU = 647 K, S NU

= ⋅ Pa.)

Az 1.3. ábra MREE ROGDOiQ HOKHO\H]NHG KDWiUROyJ|UEpQ pV D &6/ MHO WHUOHWHQ D J]

telítettD]D]DJ]DWpUIRJDWYiOWR]isára halmazállapot változással reagál. A jobb oldali

KDWiUROyJ|UEpWO MREEUD DQQDN N|]HOpEHQ OpY SRQWRNNDO MHOOHP]HWW iOODSRWRNQiO

túlheví WHWWJ]UOPtJDKDWiUROyJ|UEpWOWiYROSO 7 7NULW>> esetén gázról beszélünk.

$OHYHJW DONRWy 2 és 1 esetén a 7NULW rendre>.@pV>.@WHKiWDPV]DNL

DONDOPD]iVRNQiO V]RNiVRV KPpUVpNOHWHNQpO 7 7NULW> > .ËJ\DOHYHJJi]QDNWHNLQWKHW

amelyre jó közelítéssel érvényes az ideális gázra vonatkozó gáztörvény:

SY = S

57ρ

= ,

ahol 5 5 0X=

az adott gáz gázállandója, ami az univerzális gázállandó (Ru = 8314.3 J/kg/K) és aPROW|PHJ0NJNPROKiQ\DGRVD/HYHJUH0>NJNPRO@WHKiW5-NJ.$]

(1.5)

(1.6)



8

1.3. ábrán látható, hogy a CS+L-lel jelölt területen (ahol a gáz telített állapotban van) a

7 iOO= görbék vízszintesek, azaz egyDGRWW7KPpUVpNOHWKH]DGRWWWHOtWHWWJ]Q\RPiVSg

tartozik. Rajzoljuk fel a a vízre vonatkozó 7 S J− u.n. tenziógörbét: 1.4. ábra!

1.4. ábra

$ GLDJUDPEyO OiWKDWy KRJ\ NLV KPpUVpNOHWHQ LV OpWUHM|KHW J]Ii]LV D]D] D IRO\DGpNIRUUiVEDM|KHWKDHOHJHQGHn kicsiny a nyomás. A nyomás csökkenését okozhatja pl. az

iUDPOiVL VHEHVVpJ PHJQ|YHNHGpVH (OIRUGXOKDW WHKiW KRJ\ D] iUDPOy IRO\DGpNEDQ D

nyomás a telí WHWW J]Q\RPiVLJ FV|NNHQ H]pUW J]EXERUpNRN NHOHWNH]QHN $PLNRU H

buborékok nagyobb nyomású helyre kerOQHN D J] NRQGHQ]iOyGLN D EXERUpNRN

összeroppannak és a közelük EHQ OpY V]LOiUG DQ\DJ IHOOHWpQ SO V]LYDWW\~ ODSiWMiQ

MHOHQWVURQFVROiVWRNR]QDN$Jz EXERUpNRNNpS]GpVpWpV|VV]HURSSDQiViWkavitációnak,

a roncsolást kavitációs eróziónak nevezzük.

$FVHSSIRO\yVpVOpJQHP KDOPD]iOODSRW~N|]HJHNN|]|WWLOHJIRQWRVDEENO|QEVpJHN

EHPXWDWiVDpUGHNpEHQUDM]ROMXNI|ODPROHNXOiNN|]|WWKDWyHU WDN|]|WWNOpYGWiYROViJ

függvényében: 1.5. ábra.

A diagramból látható, hogy a molekulák között

DGWiYROViJWyOIJJHQYRQ]iVpVWDV]tWiVHJy-

aránt felléphet. A G „semleges” távolság,

DPLNRUD]HU ]pUXVHJ\V]HU PROHNXOiNQiOi l-

talában − ⋅ − [m], ami kb. a molekulák

átmér MpYHO HJ\HQO A cseppfolyós halmazál-

lapotú közegek molekulái egymáshoz viszony-

lag közel vannak: G G≈ . A távolság csökkené-

se eseWpQ PHUHGHNHQ Q|YHNHG WDV]tWiV PHg-

magyarázza, hogy miért növekszik olyan rohamosan a nyomás, ha csökkentjük a cseppfo-

lyós halmazállapotú közegek térfogatát. (vö.: 1.3. ábra)

A molekulák távolításakor kHOHWNH]YRQ]yHU QDJ\REEWiYROViJHVHWpQURKDPRVDQ

G−

-QHODUiQ\RVDQFV|NNHQ0LXWiQDJi]RNVU VpJHNEQDJ\ViJUHQGGHONLVHEEPLQWDfolyadékoké, a molekulák közötti átlagos távolság gázoknál a cseppfolyós közegeknél ér-

1.5. ábra.



9

vényes ≅ G távolságnak kb. tízszerese. Ezért – szemben a cseppfolyós halmazállapotú kö-

zegekkel – a gázoknál a molekulák közötti vonzó-YDJ\WDV]tWyHUD]WN|]pVHNWOHl-

tekintve elhanyagolható.

$ OpJQHP pV FVHSSIRO\yV N|]HJHN YLV]NR]LWiViQDN HUHGHWpW YL]VJiOYD MHOHQWVkülönbséget tapDV]WDOXQN7XGMXNKRJ\DN|]HJHNEHOV HQHUJLiMDDPLWDKPpUVpNOHWWHO

jellemzünk) a közeget alkotó molekulák rendezetlen mozgásával függ össze. A OpJQHP

közeg molekuláiD]WN|]pVHNWOHOWHNLQWYHHJ\PiVWyOIJJHWOHQOPR]RJKDWQDND G -hoz

képest jelentVWiYROViJRWV]DEDG~WKRVV]DWPHJWpYHNpWWN|]pVN|]|WW$]iUDPOyJi]RN

tehát viszonylag nagy sebességgel, rendezetlenül mozgó molekulákból álló halmazok,

amelyek a rendezetlen molekula-sebességhez képest általában egy-két nagyságrenddel

lassabban mozognak az áramlás irányában. Amit mi a gáz sebességének tekintünk (pl. Y [ a

(1.2) összefüggésben), az a gyorsan mozgó molekulák sebességének vektoriális átlaga.

Tételezzük fel, hogy a Y [ változik az y mentén, azaz az egymás mellett haladó gázrétegek

sebessége NO|QE|] $ UHQGH]HWOHQ KPR]JiV N|YHWNH]WpEHQ D QDJ\REE VHEHVVpJ

UpWHJEO D NLVHEE VHEHVVpJ EH iWMXWy PROHNXOiN J\RUVtWMiN D] H UpWHJEHQ KDODGy

PROHNXOiNDWPtJDNLVHEEVHEHVVpJHNDQDJ\REEVHEHVVpJUpWHJEHMXWYDODVVtWMiND]WA

NO|QE|] VHEHsséJ UpWHJHN N|]|WW D Ji]PROHNXOiN UHQGH]HWOHQ PR]JiVD

N|YHWNH]WpEHQOpWUHM|YPolekuláris impulzuscsere a gázok viszkozitásának forrása.

+DQDJi]KPpUVpNOHWHD]D]QDPROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVHEHVVpJHQDNO|QE|] UpWHJHN N|]|WW iWOpS PRlekulák száma, ezért Q D YLV]NR]LWiV. Ha adott

KPpUVpNOHW PHOOHWW D nyomás növekszik, nem várható a viszkozitás változása, ami a

követke]NpSSHQ PDJ\DUi]KDWy $ Q\RPiV D] HJ\VpJQ\L IHOOHWHQ LUiQ\W YiOWR]WDWy

PROHNXOiNiOWDODIHOOHWHQNLIHMWHWWHU DPLDGRWWKPpUVpNOHWD]D]DJi]PROHNXOiNDGRWW

rendezetlen se EHVVpJH HVHWpQ D WpUIRJDWHJ\VpJEHQ OpY PROHNXOiN V]iPiWyO D]D] D

VU VpJWOIJJ1aJ\REEQ\RPiVHVHWpQDJi]QDJ\REEVU VpJHN|YHWNH]WpEHQDUiQ\RVDQ

W|EEPROHNXODOpSiWXJ\DQD]HOWpU VHEHVVpJUpWHJEHGHDQDJ\REEPROHNXOD-VU VpJ

miatt rövidebb az ütközések között megtett út (a szabad úthossz), ezért kisebb mélységben

KDWROQDNEHD]HOWpU VHEHVVpJUpWHJEHD]D]NLVHEEDPROHNXOiNN|]|WWLLPSXO]XVFVHUH

A cseppfolyós halmazállapotú közegek PROHNXOiL XJ\DQFVDN YpJH]QHN KPR]JiVW

amelynek úthossza a molekulák közötti lényegesen kisebb távolság következtében sokkal

csekélyebb, mint a gázoknál. A molekulák közötti kisebb távolság következtében a mole-

NXOiNN|]|WWLHUQHNMHOHQWVV]HUHSHYDQ a viszkozitás kialakulásában. Ezt indokolja

az a körülmény, hogy – ellentétben a gázokkal – DKPpUVpNOHWQ|YHNHGWpYHODFVHSSI o-

lyós közegek viszkozitása csökken 1|YHNY KPpUVpNOHW XJ\DQLV LQWHQ]tYHEE

KPR]JiVWDPROHN ulák közötti távolság növekedését éVDN|]|WWNKDWyYRQ]yHU FV|NN e-



10

nését eredményezi. Cseppfolyós közegek – mint láttuk – igen kevéssé összenyomhatók,

tehát a nyomásnak ezeknél sincs gyakorlati befolyása a viszkozitásra.

)RJODOMXN|VV]HDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP KDOPD]iOODSRW~N|]HJHNNHONDpcsolatos megálla-

pításokat!

cseppfolyós OpJQHP

Molekulák közötti távolág kicsi≈/ nagy≈10/

0ROHNXOiNN|]|WWLHU V]HUHSH nagy⇒szabad felszínt kicsi⇒kitölti a

képez rendelkezésre

álló teret

Nyomás növekedés hatása kicsi⇒1000 bar 5% nagy ⇒ T=áll. esetén

a térfogatra térf. csökkenést v az 1/p-vel

okoz arányos (1.5)

A viszkozitás forrása molekulák közötti PROHNXOiNKPR]JiVD

YRQ]yHU miatti impulzuscsere

A viszkozitás

DKPpUVpNOHWQ|YHNHGWpYHO csökken Q

a nyomástól nem függ nem függ

1.3. Az ideális folyadék

$IHQWLJRQGRODWPHQHWEOOiWKDWyKRJ\MHOHQWVNO|QEVpJYDQDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP

közegek felépítése, szerkezete között. Mégis, ha az áramlástani feladatok megoldása szem-

pontjából tekintjük e közegeket, igen sok egyezést tapasztalunk. Így például az (1.2) össze-

függéssel leírt Newton viszkozitásiW|UYpQ\DOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyFVHSSIRO\yVpVOpg-

QHPKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNUHHJ\DUiQWpUYpQ\HV

(]pUWYROWOHKHWVpJDIRO\DGpNJ\ MWIRJDORPEHYH]HWpVpUHYDODPLQWDNO|QE|] KDOPDz-

állapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüggések meghatározására.

$YDOyViJRVFVHSSIRO\yVpVOpJQHPKDOPD]iOODSRW~IRO\DGpNRNPRGHOOH]pVpUHEHYH]Ht-

ték az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb sajátosságait a valóságos folyadé-

kokkal összehasonlítva adtuk meg.



11

Valóságos folyadék Ideális folyadék

PROHNXOiULVV]HUNH]HW homogén (kontinuum)

súrlódásos (µ ≠ 0) súrlódásmentes (µ = 0)

összenyomható (ρ ≠ áll.) összenyomhatatlan (ρ = áll.)

$ N|YHWNH] IHMH]HWHNEHQ W|EE D] LGHiOLV IRO\DGpNRNUD pUYpQ\HV |VV]HIJJpVW IRJXQN

meghatározni, amelyek meghatározott esetekben jól használhatók valóságos folyadékok

áramláViQDNOHtUiViUDPV]DNLIHODGDWRNPegoldására. Ahhoz kell szilárd tudás és intuició,

KRJ\D]HJ\V]HU VtWIHOWHYpVHNDONDOPD]iViQDNOHKHWVpJpWKHO\HVHQKDWiUR]]XNPHJpVD]

elhanyagolások, közelítések hatását jól meg tudjuk becsülni. Becsléseink, feltevéseink he-

lyességét a kísérletek, a gyDNRUODWLWDSDV]WDODWRNPXWDWMiNPHJ.pV EEDV~UOyGiVPHQWHs-

ség és az összenyomhatatlanság feltételeit már nem kötjük ki és ezáltal egyre bonyolultabb,

de a valóságos közeg áramlását egyre tökéletesebben leíró megoldásokra jutunk.

Felmerül a kérdés, hogy PLpUW YDQ V]NVpJ LO\HQ ÄW|EEOpSFVV´PHJROGiVUD HOKDQ\Dgo-

lásokra és ezek hatásának becslésére. Azért, mert jelenlegi áramlástani ismereteink, a ren-

delkezésUHiOOyPDWHPDWLNDLHV]N|]WiUpVV]iPtWiVLNDSDFLWiViOWDOiEDQQHPHOHJHQGKRJ\

a természetben YDJ\DPV]DNLJ\DNRUODWEDQHOIRUGXOyiUDPOiVWDQLSUREOpPiNDWV]iPtWiVVDO

„pontoVDQ´PHJROGMXNËJ\SOPpJPLQGLJWiYROYDJ\XQNDWWyODOHKHWVpJWOKRJ\HJ\

személyauWyUDKDWyiUDPOiVLHUHGHW HU WV]iPtWiVVDODPV]DNLJ\DNRUODWV]HPSRQWMiEyO

szükséges – mondjuk ±2%-os relatív hibahatáron belül – kiszámoljuk.



2. Fizikai mennyiségek és leírásuk

2.1. Skalárterekkel leírható mennyiségek

6UVpJ

$ YDOyViJRV N|]HJ VU VpJH ρε

Y9

P

9NJ P=

⇒OLP

∆

∆

∆

, ahol ∆m a ∆9 WpUIRJDWEDQ OpY

közeg tömege, ε pedig egy, a vizsgált folyadéktér méreteihez képest kicsi, de a folyadék-

molekulák közötti távolsághoz képest nagy méret. (Ha ε a molekula-távolság nagyságrend-

MpEHHVPpUHWOHQQHDNNRUDVU VpJMHOHQWVHQLQJDGR]QDDWWyOIJJHQKRJ\pSSHQKiQ\

molekula tartózkodik a ∆V térfogatban.)

Az ideális folyadékot homogénnek tekintjük és ρVU VpJpWDPRGHOOH]HWWYDOyViJRVN|]HJ

ρvVU VpJpYHOYHVV]NHJ\HQOQHNDPLiOWDOiEDQD]rKHO\YHNWRUpVDWLGIJJYpQ\HA

VUVpJHW iOWDOiQRVDQ D ρ ρ U W skalártér, azaz a ρ ρ [ \ ] W négyváltozós

függvény írja le.

Nyomás

Vegyünk fel nyugvó folyadékban egy felületelemet ill. az azt jelOHP]∆A felületelem vek-

tortDPHO\PHU OHJHVDIHOOHWHOHPUHDEV]RO~WpUWpNHDUiQ\RVDIHOOHWHOHPQDJ\ViJiYDOpV

zárt felület esetén kifelé mutat). A ∆A felületelemre ∆FHU KDW

Nyugvó valóságos (súrlódásos) folyadékban az

(1.2) összefüggés értelmében nem tartható fenn

csúsztatófeszültség, ezért ∆F-QHN PHU OHges-

nek kell lennie a felületre. (Ugyanez érvényes

ideális közegben is, függetlenül attól, hogy

nyugszik-e vagy áramlik.)

$] HJ\VpJQ\L IHOOHWUH KDWy DUUD PHU OHJHV

HU W Q\RPiVQDN >1P2] ill. [Pa]) nevezzük,

DPLDNNRUSR]LWtYKDD]HU DIHOOHWEHEHIHOp

mutat. (Súrlódásos közegek áramlása esetén a folyadék deformáció következtében is kelet-

kezikIHOOHWUHPHU OHJHVHU ,O\HQNRUDQ\RPiVDIRO\DGpNWpUEHQNHOHWNH] I IHV]OWVpJHN

átlagának ellentettje, ld. 9. fejezet.)

9DOyViJRV N|]HJHNQpO D Q\RPiVD KPR]JiVW YpJ] PROHNXOiNpVD IHOOHW N|]|WWL N|l-

csönhatás következményeként jön létre.

2.1. ábra



13

Az 2.1. ábrán látható, a nyugvó folyadékban gondolatban elhatárolt, háromszög alakú kis

KDViEIHOOHWpQKDWyHU NHJ\HQV~O\EDQYDQQDNDPLNRUDKDViERWHJ\SRQWUD]VXJRUtWMXN

$KDViEUDKDWyWpUHU VVpJ/ SODV~O\HU /XJ\DQLVDIHOOHWLHU NK|]NpSHVWHOWQLNPLXWiQ

D]DMHOOHP]PpUHWN|EpYHOPtJDIHOOHWLHU DQQDNQpJ\]HWpYHODUiQ\RVDQFV|NNHQ(]W

D]HJ\HQV~O\WHJ\]iUyGyYHNWRUKiURPV]|JIHMH]LNLDPHO\QHNROGDODLPHU OHJHVHNDKDViE

odalaira, következésképpKDVRQOyDKDViEKiURPV]|JDODN~NHUHV]WPHWV]HWpKH](EEON ö-

vetkezik, hogy [∆Fi] rendre arányos ∆Ai -vel, azaz a nyomás értéke egy pontban a felület

irányításától független, skaláris mennyiség.

A nyomás áltaOiEDQDKHO\pVD]LGIJJYpQ\HWHKiWDSSr,t) skalártérrel azaz a p

=p(x,y,z,t) négyváltozós függvénnyel írható le.

Hasonlóan skalártérrel írható le a T=T(r,t) KPpUVpNOHW megoszlás is.

A skalártereket szintfelületekkel (szintvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill. sík)

azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai változó értéke azonos. (Pl. az izobárok az

állandó nyomású pontokat.)

A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget haszná-

lunk, amelynek x, y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x, y és z irányú változásá-

nak rohamosságával arányosak:

JUDG S S S[

L S\

M S]

N SU

DKRO[

L\

M]

N

= ∇ = + + =

∇ = + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

A gradiens vektor

– a skalártér legrohamosabb változásának irányával párhuzamos,

– a skalártér növekedésének irányába mutat,

– hossza arányos a változás rohamosságával,

–PHU OHJHVDV]LQWIHOOHWUHV]LQWYRQDOUD

+DDWpUNpWN|]HOOpY$pV%SRQWMiWD∆s vektor köti össze, amelynek talppontja az A

pontban van, a p skalártér ∆p változását a B és A pont között lineáris közelítésben a

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ S S S JUDG S VS

[[

S

\\

S

]]% $= − ≅ = + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂

skalárszorzat adja meg.

(2.1)



14

2.2. Vektorterekkel leírható mennyiségek

Sebességtér

A sebesség vektor viOWDOiEDQDKHO\pVD]LGIJJYpQ\HH]pUWHJ\YHNWRU -vektor függ-vénnyel (vektortérrel) írható le:

Y Y L Y M Y N Y U W[ \ ]= + + = 1 6 .

A vektortér meghatározható a vx , vy és vz vektorkomponens leírásával, azaz három

skalártérrel is:

Y Y [ \ ] W Y Y [ \ ] W Y Y [ \ ] W[ [ \ \ ] ]= = = .

Tekintsük a 2.2. ábrát, ahol az r vektorhoz tartozó v vektort ábrá-

zoltuk. Hogyan változik a sebesség, ha ∆r-rel elmozdulunk? Ha-

tározzuk meg tehát a sebességvektortér ∆r-hez tartozó ∆v meg-

változását!

A feladat megoldására felhasználhatjuk a skalártér jellemzésére

tanult módszert, azaz képezhetjük az egyes vektorkomponensek,

mint skalárterek gradiensét, és ezek segítségével számolhatjuk a

v sebességvektor komponenseinek változását a ∆r elmozdulásvektor mentén:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆Y JUDG Y U Y

[[

Y

\\

Y

]][ [

[ [ [≅ = + +∂

∂

∂

∂

∂

∂.

Hasonlóképpen felírva a Y \ és Y ] megváltozását, látjuk, hogy a ∆v sebesség változás vek-

tor az alábbi módon írható fel:

∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆

∆

∆

Y

Y

[ [

Y

\ \

Y

] ]Y

[[

Y

\\

Y

]]

Y

[[

Y

\\

Y

]]

Y

[

Y

\

Y

]Y

[

Y

\

Y

]

Y

[

Y

\

Y

]

[

\

]

[ [ [

\ \ \

] ] ]

[ [ [

\ \ \

] ] ]

≅

+ +

+ +

+ +

!

"

$

#######

=

!

"

$

#######

!

"

$

###

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∆ ∆v D r≅ .

A sebességtér hely szerinti változását tehát a D deriválttenzorral jellemezhetjük,

amely – mivel három sebességkomponens változhat három koordináta irányban – kilencmennyiséget tartalmaz.

2.2. ábra

(2.2)

(2.3)



15

A sebességteret két további mennyiséggel is jellemezhetjük. (Ezeket a deriválttenzor in-

variánsainak is szokták nevezni, hiszen koordináta-transzformáció esetén a D valamennyi

tagjának értéke változhat, de ezek egyes kombinációinak értéke nem.)

Az egyik ilyen (skalár) invariáns a vektortér divergenciája, GLYY Y

[

Y

\

Y

]

[ \ ]= + +∂∂

∂∂

∂∂

,

DPHO\QHNDN|YHWNH]IL]LNDLLQWHUSUHWiFLyWOHKHWDGQLDGLY v egy skalár mennyiség, amely-

nek értéke az áramlási tér adott pontjában megmutatja, hogy HJ\VpJQ\L LG DODWW

egységnyi térfogatból mennyivel több folyadéktérfogat lép ki, mint be.

Mértékegysége: GLY Y P V P V= = .

Tekintsük a 2.3. ábrán látható térben rögzített, zárt felületet, amelyen közeg áramlik át.

9L]VJiOMXNPHJKRJ\PiVRGSHUFHQNpQWPHQQ\LYHOW|EEN|]HJiUDPOLNNLDIHOOHWE OPLQW

be. A dA felületelem vektorral jellemzett felületen másodpercenként

GT Y G $ Y G $ P V= = FRV α

térfogatáram áramlik át. Ha v és dA közötti szög

α < 90°, akkor dq > 0, azaz a két vektor skaláris szorza-

ta kiáramlás esetén ad pozitív értéket. Ha kiszámol-

juk a Y G $$I integrált a teljes zárt felületre, akkor a ka-

pott q [m3 /s] mennyiség megmutatja, hogy másodper-

cenként mennyivel több folyadéktérfogat lépett ki az

$IHOOHWEOPLQWEH

Tekintsünk most egy dV térfogatelemet az A felület által határolt V térfogatban. A divv fi-

zikai interpretációjából adódóan d q d ivv d V= D]HOHPLWpUIRJDWEyOLGHJ\VpJEHQW|UWéQ

többletkiáramlás értékét adja meg. Képezve az egész térfogatra vonatkozó GLY YG9

9

I integ-

rált, ismét a másodpercenkénti többletkiramlás adódik. Ha az azonos mennyiségeket kifeje-

]LQWHJUiORNDWHJ\PiVVDOHJ\HQOYpWHVV]N

Y G $ GLY Y G9

$ 9

I I =

a v sebességtérre alkalmazott Gauss-Osztrogradszkij tételt kapjuk.

A derivált tenzor másik (vektor) invariánsa a rotv rotáció vektor, amelyet az alábbi de-

termináns formális kifejtésével képezhetjük:

2.3 ábra

(2.4)



16

URW Y Y

L M N

[ \ ]

Y Y Y

Y

\

Y

]

Y

]

Y

[Y

[

Y

\

[ \ ]

] \

[ ]

\ [

= ∇ × = =

−

−

−

!

"

$

######

#

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

.

A rotv vektor szoros kapcsolatban van az áramlási tér fontos sajátosságával, a folyadékré-

szek forgási szögsebességével, Ω-val:

rotv = 2 Ω .

9HJ\QNIHOHJ\HJ\V]HUHVHQ|VV]HIJJ$IHOOHWHWDPHO\HWD*]iUWJ|UEHYHV]N|UO*

irányítása pozitív az A felület felöl nézve.) A rotv vektortér A felület mentén vett integrálja

és a vVHEHVVpJWpU$IHOOHWHWN|UOYHY*J|UEHPHQWLLQWHJUiOMDDΓ cirkuláció közötti

kapcsolatot a

Γ = =I I Y G V URW Y G $

* $

Stokes-tétel teremti meg.

A vektorterek, így a sebességtér leírásához – mint láttuk – általában három négyváltozós

IJJYpQ\UHYDQV]NVpJ/pQ\HJHVHJ\V]HU VtWpVWMHOHQWHQHKDDYHNWRUWpUOH írásához egy QpJ\YiOWR]yVIJJYpQ\VNDOiUWpULVHOpJOHQQH$JUDGLHQVPYHOHWVHJtWVpJpYHOEiUPHO\ϕ

GLIIHUHQFLiOKDWyVNDOiUWpUEOHOiOOtWKDWyD Y JUDG= ϕ vektortér. Létezik-e valamennyi vek-

tortér esetén olyan ϕ VNDOiUWpUDPLWSRWHQFLiOQDNQHYH]QNDPHO\E OD]DGRWWYHNWRr-

tér a gradvPYHOHWWHOOHtUKDWy" Sajnos nem. Tudjuk, hogy csak a vektorterek egy része, a

potenciálos vektorterek rendelkeznek ezzel a sajátossággal.

Matematikai tanulmányaink során megismertNKRJ\HJ\V]HUHVHQ|VV]HIJJWDUWRPiQy-

ban megadott vektortérre – esetünkben v sebességtérre – az alábbi három állítás ekvivalens:

– létezik potenciálfüggvény

– a cirkuláció bármely zárt G görbére Γ = =I Y*

G V

– a vektortér örvénymentes azaz rot v = 0 (ld. (2.7) Stokes-tétel).

(O]HNEODGyGyDQSRWHQFLiORVVHEHVVpJWpUHVHWpQDIRO\DGpNUpV]HNQHPIRURJQDN

(UWHUHN

Hasonlóképpen, vektorterek írják le a g HUWHUHNHW DPHO\HN YHNWRUDL D WpUHUVVpJ-

YHNWRURND]HJ\VpJQ\LW|PHJUHKDWyHUQDJ\ViJiWLUiQ\iWpVLUiQ\tWiViWPXWDW ják. A

(2.5)

(2.6)

(2.7)



17

WpUHU VVpJPpUWpNHJ\VpJH D IHQWLHNDODSMiQ J 1 NJ P V= = . Kérdés hogy a Föld ne-

Kp]VpJL HU WHUH DPHO\QHNDEV]RO~W pUWpNHV]pOHVVpJLN|UQN|Q NE1NJ D]D]NJ

W|PHJUH1V~O\HU KDWSRWHQFLiORV-e? Határozzuk meg a J G V

*

I vonalintegrált tetsz

leges zárt G görbe mentén. Az integrál egy zárt görbe mentén mozgó egységnyi tömegen a

nehézVpJLHU WpUiOWDONLIHMWHWWPXQNDQDJ\ViJiWKDWiUR]]DPHJDPLQ\LOYiQYDOyDQ]pUXV

7HKiWD)|OGQHKp]VpJLHU WHUHPLQWW|EEPiVHU WpUSRWHQFLiORV

Jelöljük U [m/s]-val az HUWpUSRWHQFLiOMiWpViOODSRGMXQNPHJKRJ\DEEDQD]LUiQy-

EDQQ|YHNHGMpNDPHO\LN LUiQ\EDQ D]HUWpUHOOHQpEHQPXQNiWNHOO YpJH]QL KDHJ\

tömeget elmozdítunkSOD)|OG|QI|OIHOp(PHJiOODSRGiVEyODWpUHU VVpJ-vektor g és

az U potenciál között a

g gr a dU= −

kapcsolat következik.

$)|OGQHKp]VpJLHUWHUH felfelé mutató z koordináta mellett J = − J N J alakban írható,

ahol J J =9.81 N/kg. $QHKp]VpJLHUWpUU g potenciáljaDPLHJ\VpJQ\LW|PHJWHVWKHOy-

]HWLHQHUJLiMiYDOHJ\HQOHEEHQD]HVHWEHQ

8 J ] NRQVWJ J= +

DODNEDQtUKDWy+DD]IJJOHJHVNRRUGLQiWDOHIHOpPXWDWDNLIHMH]pVMREEROGDOiQD]HO jel

megváltozik.)

$WRYiEELNpWJ\DNUDQHOIRUGXOySRWHQFLiORVHU WpUUHOa tehetetlenségi és centrifugális

HUWpUUHOFVDNDNNRUNHOOV]iPROQLKDHJ\HQHVmentén gyorsuló vagy forgó koordiná-

WDUHQGV]HUEO YL]VJiOMXND MHOHQVpJHW (Nem az számít tehát, hogy a vizsgált folyadék

gyorsul vagy forog-HKDQHPDNRRUGLQiWDUHQGV]HUiOODSRWDDPHO\EODMHOHQVpJHWYL]VJil-

juk.)

Az x koordináta irányban a a i= gyorsulással mozgó koordinátarendszerben hat egy

avval ellentétes irányú és azonos nagyságú J D LW = − WHKHWHWOHQVpJLHUWpU(QQHNDSo-

WHQFLiOMiWDN|YHWNH]|VV]HIJJpVVHOV]iPtWKDWMXN

8 D [ NRQVWW = +

(2.8)

(2.9)

(2.10)



18

Egy ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben a cenWULIXJiOLVHUWpUWpUHUVVpJ

vektora sugár irányú vektor: J U F = ω . E vektortér potenciálját az

8U

NRVWF

= − +

ω

összefüggés írja le.

(2.11)



3. Kinematika és a folytonosság tétele

3.1. A folyadék mozgás leírása

A kinematika a folyadékok mozgásával foglalkozik figyelmen kívül hagyva a folyadékra

KDWyHU NHW

A szilárd testek mozgását úgy írjuk le, hogy a test egy vagy több pontjának helyét adjuk

PHJD]LGIJJYpQ\pEHQA folyadékoknál analóg módon járhatunk el. Az egyes folya-

dékrészeket a t=0 pillanathoz tartozó helyzetükkel „jelöljük meg” (amelyet az V

helyYHNWRUKDWiUR]PHJpVDWLGIJJYpQ\pEHQPHJDGMXNDIRO\DGpNUpV]HNKHO\pW

U U V W= 4 9 .

A folyadékrész sebességét és gyorsulását az r LGV]HULQWLHOVpVPiVRGLNGLIIHUHQFLiOKá-

nyadosa adja meg rögzített V mellett:

YU

WD

U

W= =

∂

∂

∂

∂

.

Ezt a módszert Lagrange leírási módnak nevezzük. E módszer nehézkesnek mutatkozott,

ezért ritkán használják.

A továbbiakban a legelterjedtebb Euler-féle leírási módot alkalmazzuk, amely a fo-

lyadékrészek sebességét adja meg a hely (r)pVD]LGWIJJYpQ\pEHQ

Y Y U W1 6 .

$]iUDPOiVRNMHOHQWVUpV]pQpO– mint látni fogjuk – a sebességvektortér nem függ az idWO

VWDFLRQiULXViUDPOiVRN(J\HEHNPHOOHWWWHKiWD]pUWLVHJ\V]HU EEH]DOHtUiVLPyGPLQWD]

HO]PHUWVWDFLRQiULXViUDPOiVRNQiO ellentétben a Lagrange leírási móddal, a független

YiOWR]yNV]iPDDWHOWQpVpYHOHJJ\HOFV|NNHQ

3.2. Néhány meghatározás

$N|YHWNH]NEHQQpKiQ\J\DNUDQDONDOPD]RWWiUDPOiVWDQLIRJDOPDWKDWiUR]XQNPHJ

$IRO\DGpNUpV]SiO\iMDHJ\NLV]HPHOWSRQWV]HUIRO\DGpNUpV]HJ\PiVWN|YHWSLOODQD-

WRNEDQHOIRJODOWKHO\HLW|VV]HN|WJ|UEH

(3.1)

(3.2)



20

Az áramvonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességvektor minden

pontjában érint: Y GV× = , ahol dsD]iUDPYRQDOHOHPLKRVV]~ViJ~GDUDEMiWMHOOHP]

vektor. (Az áramvonal egy adott pillanatban a sebességvektorok burkológörbéje.)

A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pil-ODQDWEDQ|VV]HN|WJ|UEH,O\HQQ\RPYRQDOSODMiUPYHNV]pOFVDWRUQDNLVpUOHWHLQpOOpt-

rehozott füstcsík, vagy egy kémény EONLOpSIVW]iV]OyKDSRQWV]HU QHNWHNLQWMNDN é-

PpQ\NL|POQ\tOiViW

$]iUDPIHOOHWHW HJ\ NLMHO|OW YRQDOUD LOOHV]NHG iUDPYRQDODNDONRWMiN DPHO\HNHW D

sebességvektorok érintik. Ezért az áramfelületen nincsen átáramlás. Bármely áramlás-

ba helyezett felület, amelyen nincs átáramlás (pl. egy szilárd testé), áramfelület. Az áram-

FVVSHFLiOLViUDPIHOOHWDPHO\QpOD]iUDPYRQDODNHJ\]iUWJ|UEpUHLOOHV]NHGQHN (ld.

3.7. ábra)

3.3. Stacionárius és instacionárius áramlások

Az áramlások igen fontos sajátossága LGIJJpVND]D]KRJ\MHOOHP]LNVHEHVVpJQ\o-

PiVVU VpJIJJHQHN -HD]LGWO

6WDFLRQiULXVLGiOOyiUDPOiVEDQDMHOOHP]N Y S 7 QHPIJJHQHND]LGWO, így

a sebességteret a

Y Y U1 6

alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér egyes pontjaiban adott

koordináta-UHQGV]HUEOQp]YHLGEHQQHPYiOWR]QDN

,QVWDFLRQiULXViUDPOiVRNQiODVHEHVVpJWpUD]LGWOLVIJJ

Y Y U W1 6

(J\HV iUDPOiVRNDWWyO IJJHQ OHKHWQHNVWDFLRQiULXVDNYDJ\ LQVWDFLRQiULXVDNKRJ\

milyen koordináta-UHQGV]HUEO YL]VJiOMXND]okat. Így pl. egy tavon egyenletes sebes-

ségJHO KDODGy FVyQDN N|UOL iUDPOiV D] DEV]RO~W UHQGV]HUEO SO D SDUWUyO Qp]YH

instacionárius, hiszen a korábban nyugvó folyadékrészek a csónak közeledtére mozgásba

jönnek. Ha viszont az áramlást a csónakhoz rögzített koordináta-UHQGV]HUEO YL]VJiOMXN

akkor e mozgó koordináta-rendszer egyes pontjaiban a (csónakhoz képesti) relatív sebesség

LG EHQQHPYiltozik, azaz az áramlás stacionárius. Az instacionárius áramlás egyes ese-

tekben stacionáULXVViWHKHWDNRRUGLQiWa-rendszer helyes megválasztásával.



21

3.1. ábra

A 3.1. ábraHJ\JOLFHULQQHOW|OW|WWFV EHQVOO\HGJ|PEN|UOLiUDPOiVWPXWDWEHDPHO\HW

DIRO\DGpNEDQOHEHJHJ\NHVNHQ\IpQ\ViYYDOROGDOUyOPHJYLOiJtWRWWPDJQp]LXPUHV]HOpN

tesz láthatóvá. A bal oldali kpSHQ D KRVV]DEEH[SR]tFLyV LG

YHOP

N|G

IpQ\NpSH]

JpSHJ\WWPR]RJDJ|PEEHODMREEROGDOLNpSHQiOO$]iUDPOiVUDMHOOHP] NpV EEWiUJ\DOW

Reynolds-V]iPNLFVLD]D]DN|]HJPR]JiViWI NpQWDV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU NEHIRO\á-

VROMiN$J|PEWOMREEUDOitható fekete sáv a gömb árnyéka.)

Az expozíció alatt elmozduló szemcsék alkotta vonalak iránya és hossza az áramlási sebes-

ség irányát és nagyságát mutatja. Látható, hogy a koordináta-rendszer megválasztásától –

D]D]DWWyOKRJ\DIpQ\NpSH]JpSiOO-e vagy mozog –MHOHQWVHQIJJD]iUDPNpSpVD]

áramlás jellege is. Együttmozgó koordináta-rendszer esetén (bal oldali kép) az áramlás sta-

FLRQiULXVKLV]HQHJ\NpV EELLG SRQWEDQNpV]OWNpSXJ\DQLO\HQOHQQH$]iOOyNRRUGLQiWD -UHQGV]HUEOQp]YHD]iUDPOiVLQVWDFLRQiULXVDNpV EENpV]OWNpSHQDJ|PEpVDN|UO|WWH

OpYiUDPNpSOHMMHEEOiWV]yGQD

9DQQDNRO\DQiUDPOiVRNDPHO\HNQpODWpUNO|QE|]SRQWMDLEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\

LG EHQ iOODQGyN|]pSpUWpNN|UO LQJDGR]LN (]HNHWkvázistacionárius áramlásoknak ne-

vezzük.

Belátható, hogy stacionárius áramlás esetén az áramvonal, a pálya és a nyomvonal

egybeesik.(]D]HJ\EHHVpVDGOHKHWVpJHWDUUDKRJ\VWDFLRQiULXVHVHWEHQaz áramlás lát-hatóvá tételével végzett vizsgálatoknál az áramlásba bevezetett füstcsíkkal – ami egy



22

nyomvonal –YDJ\D]iUDPOyYt]IHOV]tQpQ~V]ySDUDIDGDUDEUyOKRVV]~H[SR]tFLyVLG YHO

készített képpel – ami a pályát mutatja –DEHQQQNHWOHJLQNiEEpUGHNOáramvonalakról

kapjunk felvilágosítást.

3.2. ábra

A 3.2. ábrán egy vízáramlásba helyezett szárnyprofil körüli áramlást tesznek láthatóvá a

V]iUQ\ HOWWL SRQWRNEDQ D] iUDPOiVED YH]HWHWW IHVWpNFVtNRN DPHO\HN D] HO]HN DODSMiQ

nyomvonalak. Tekintettel azonban arra, hogy az áramlás stacionárius, a nyomvonalak egy-

beesnek az áramvonalakkal és a pályával is.

Lehetnek olyan instacionárius áramlások, ahol az áramvonal, a pálya és a nyomvonal egy EHHVLNKDDVHEHVVpJYHNWRURNLUiQ\DLG EHQQHPYiOWR]LNSOHJ\HQHVFV EHQJ\RUVXOy

áramlás esetén), de e vonalak instacionárius áramlásban általában különE|]HN .

3.4. A potenciálos örvény

Eddigiekben megszerzett tudásunkat alkalmazzuk egy speciális áramlási formára, amelynek

MHOOHP]LiOODQGyVU VpJ|VV]HQ\RPKDWDWODQN|]HJVWDFLRQiULXVVtNiUDPOiVNRQFHQW-

rikus kör alakú áramvonalak (3.3. ábra).

Síkáramlásnak nevezzük azokat az áramláso-

kat, amelyeknél van olyan sík, amelyre mer-

leges sebességkomponens értéke zérus, és

amely síkkal párhuzamos valamennyi síkban

az áramkép azonos. Legyen ez a sík az (x, y)

sík. Ez esetben akkor beszélhetünk síkáram-

lásról, ha

3.3. ábra



23

Y pVY

]

Y

]]

[ \= = =

∂

∂

∂

∂

Mivel koncentrikus körök az áramvonalak (ill. koncentrikus hengerek az azok által alkotott

iUDPIHOOHWHND]D]DN|]|WWNOpY iUDPOiVLNHUHV]WPHWV]HWDNHUOHWPHQWpQiOODQGypV

ρ = iOODIRO\WRQRVViJNpV EEWiUJ\DOW) összefügJpVpEODGyGLNKRJ\DGRWWUVXJDU~

körön az áramlási sebesség abszolút értéke v v állandó= = . Tehát a sebesség abszolút ér-

téke csak a sugár (r) függvénye és nem függ a ϑNHUOHWLV]|JWOY Y U = .

9HJ\QNI|OHJ\UVXJiURQOpYHOHPLGUYDstagsággal és dϑ (3.3. ábra) középponti szög-

gel jellemzett dA elemi felületet, amelyre írjuk fel a Stokes-tételt (2.7)! A cirkuláció számí-

tásáQiODIHOOHWHOHPHWN|UOYHY*J|UEpW~J\MiUMXNN|UOKRJ\DWHUOHWDEDONH]QNIHOp

essen (pozitív körüljárási irány):

Y G V Y G V Y G V Y G V Y G V

*

I I I I I = + + +

= =

.

$EDOROGDOPiVRGLNpVQHJ\HGLNLQWHJUiOMD]pUXVpUWpN KLV]HQv⊥ds$]HOVLQWHJUiOHVe-

tén v és ds vektor α=0°-t zár be, a harmadik integrálnál pedig 180°-ot. Ezért az alábbi írha-

tó:

Y G V U GU G Y U GU U G Y U

*

I = + + −1 6 1 6 1 6ϑ ϑ .

Figyelembe véve, hogy Y U GU Y U GY

GU GU + = +1 6 1 6 EHKHO\HWWHVtWpVpVDPYHOHWHNHOYpJ]pVH

után a

Y G V U GGY

GU GU GU G Y U GU G

GY

GU GU

*

= + +I ≈

ϑ ϑ ϑ1 6

|VV]HIJJpVWNDSMXNDPHO\QHNMREEROGDOLKDUPDGLNWDJMDKDUPDGUHQGHQNLFVLQ\, ezért a

PiVLNNHWWWDJPHOOHWWHOKDQ\DJROKDWy

A Stokes-WpWHOMREEROGDOiQV]HUHSOLQWHJUiOHVHWQNEHQtJ\tUKDWy

URW Y G $ URW Y U G GU ]

G$

=I 1 6 ϑ .

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)



24

Itt jegyezzük meg, hogy ha a (2.5) determinánst a síkáramlásra tett (3.3) kikötések mellett

fejtjük ki, az adódik, hogy síkáramlásban a rotv vektornak csak az áramlás síkjára me-

UOHJHV]LUiQ\~NRPSRQHQVHNO|QE|]KHW]pUXVWyO

URW Y Y[

Y\]

\ [1 6 = −∂∂

∂∂ .

(Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha meggondoljuk, hogy egy síkáramlásban milyen tengely

körül foroghatnak a folyadékrészek.)

A (3.5) és (3.6|VV]HIJJpVHNHWHJ\HQOYpWpYHpV r d dr⋅ ⋅ϑ -rel elosztva minkét oldalt adó-

dik:

URWY

GY

GU

Y

U ]1 6 = + .

A (3.8) összefüggés természetesen csak a levezetés elején felsorolt feltételek fennállása ese-

tén érvényes.

A (3.8) összefüggés alapján már meghatározható, hogy milyen Y Y U = sebességmegosz-

lás esetén örvénymentes URWY = az áramlás. Ez esetben ugyanis létezik sebességi po-

tenciál. Ezt az áramlást potenciálos örvénynek nevezzük.

7HJ\N HJ\HQOYp D |VV]HIJJpV MREE ROGDOiW ]pUXVVDO pV ROGMXNPHJ D GLIIHUHQ-

ciálegyenletet!

GY

Y

GU

U Y U .RQVW= − ⇒ = − + ⇒OQ OQ OQ Y

.

U =

.

$IHQWLNHUHWH]HWW|VV]HIJJpVQHNPHJIHOHOVHEHVVpJPHJRV]OiVRNHVHWpQD]iUDPOiV|UYp-

nyessége a tengely kivételével mindenütt zérus, ami a (2.6) összefüggés miatt azt is jelenti,

hogy a folyadékrészek a potenciálos örvény tengelyének kivételével nem forognak. (Ha ki-

HQJHGMNDYL]HWDNiGEyODNpV EEWiUJ\DODQGy&RULROLV-HU WpUN|YHWNH]WpEHQDOHIRO\yN ö-UOHJ\|UYpQ\DODNXONL+DHJ\NLVGDUDESDStUWD]|UYpQ\ÄWHQJHO\pW O´WiYRODEED]iUDm-

ló víz felszínére dobunk, láthatjuk, hogy miközben a lefolyót megkerüli a papírdarab, nem,

vagy csak kissé fordul el tengelye körül. Ez az áramlás tehát hasonló az imént meghatáro-

zott potenciálos örvényhez.)

(3.7)

(3.8)

(3.9)



25

Vegyünk fel a középpont körül egy r sugarú kört és számítsuk ki rajta a (2.7) összefüggés-

ben definiált Γ cirkulációt, azaz a sebesség vonalintegrálját! Mivel a B kör (ld.3.3. ábra)

áramvonal, rajta Y GV :

Γ = = = = ≠I Y G V U Y U . U

.

%

π π π .

Ha a zárt görbe tartalmazza a középpontot, akkor Γ = π . , egyébként Γ = .

Milyen lehet a potenciálos örvény ϕ [m2 /s] sebességi potenciálja? Miután Y JUDG= ϕ , a

ϕ = iOO . szinWIHOOHWHNQHNDPHO\UHDNRQFHQWULNXVN|UDODN~iUDPYRQDODNDWpULQW VHEHs-

VpJYHNWRURNPHU OHJHVHNVXJiULUiQ\~D][\VtNUDPHU OHJHVVtNRNQDNNHOOOHQQLN/e-

gyen ϕ ϑ= . . Számítsuk ki a sebességi potenciál gradiensét!

Y JUDG]

HU

HU

H.

U H] U = = + + =ϕ

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂ϑ ϑ ϑ

tehát visszakaptuk a potenciálos örvény sebességmegoszlását.

Merev test-V]HUHQIRUJyIRO\DGpNesetén az áramvonalak ugyancsak koncentrikus körök,

a sebességmegoszlást pedig a v r= ⋅ω összefüggés írja le. A (3.8) összefüggést alkalmazva

URWY]

1 6 = ω adódik, ami (ld. (2.6) összefüggés) várakozásainknak PHJIHOHOHQ

szolgáltatja a folyadékrészek forgási szögsebességét: Ω = ω .

3.5. Kis folyadékrész mozgása

A 3.4. ábrán láthatók a példaképpen felvett

Y \L= vektortérrel leírható áramlás áramvona-

lai és a sebességmegoszlás. Hogyan mozog a fo-

lyadékban gondoODWEDQ HOKDWiUROW HOHPL PpUHW

folyadékhasáb? Ehhez nyilvánvalóan tudnunkkell, hogy a hasáb csúcsai hogyan mozdulnak el a

középponthoz képest, azaz ha ismerjük Y U 1 6-et,

hogyan határozzuk meg Y U G U +1 6 értékét. Erre a

2.2. fejezetben látható módon a ' derivált tenzor

használható (ld. 2.2. ábra és (2.3) összefüggés):

Y U G U Y U ' G U + ≅ +1 6 1 6 .

(3.10)

(3.11)

3.4. ábra

(3.12)



26

Írjuk fel ' derivált tenzor mátrixát az x,y,z koordináta -rendszerben:

'

Y

[

Y

\

Y

]

Y

[

Y

\

Y

]

Y

[

Y

\

Y

]

[ [ [

\ \ \

] ] ]

=

!

"

$

##

#####

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

.

Végezzük el az alábbi átalakítást!

' ' ' ' '= + + −

4 9 4 9 ,

ahol 'DWUDQV]SRQiOWPiWUL[iEDQI iWOyUDWNU|]|WWGHULYiOWWHQ]or.

ËUMXNIHODMREEROGDOHOVV]LPPHWULNXVWDJMiWpVMHO|MN$ 6-sel:

A D D

v

x

v

y

v

x

v

z

v

xv

x

v

y

v

y

v

z

v

yv

x

v

z

v

y

v

z

v

z

S

x x y x z

y x y y z

z x z y z

= + =

+ +

+ +

+ +

!

"

$

#######

1

2

1

2

2

2

2

*4 9

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

.

A (3.14) összefüggés jobb oldalának második tagját jelöljük $Ω

-val.

A D D

v

y

v

x

v

z

v

xv

x

v

y

v

z

v

yv

x

v

z

v

y

v

z

x y x z

y x y z

z x z y

Ω= − =

− −

− −

− −

!

"

$

#######

1

2

1

2

0

0

0

*4 9

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

.

Látható, hogy a (3.16) tenzor mátrixának elemei a rotv vektor komponensei (ld. (2.5) össze-

függés):

$

URW Y URW Y

URW Y URW Y

URW Y URW Y

] \

] [

\ [

Ω=

−

−

−

!

"

$

####

1 6 1 61 6 1 61 6 1 6

.

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)



27

Ha elvégezzük az $ G U Ω

PYHOHWHW

$ G U URW Y G U Ω

= ×

vektorszorzat adódik. Tekintettel arra, hogy a sebességtér örvényessége és a folyadékrészek

forgási szögsebessége Ω között szoros kapcsolat van (ld. (2.6) összefüggés), a (3.17) ösz-

szefüggés az alábbi módon írható fel:

$ G U G U Ω

Ω= ×.

Alkalmazzuk a (3.15), (3.16) tenzorokat a 3.4. ábrán látható áramlásra (ami síkáramlás, így

DIHOWpWHOHNN|YHWNH]WpEHQDGHULYiOWWHQ]RUQDNFVDNQpJ\]pUXVWyONO|QE|] HOHPH

lehet):

' $ pV $6

=!

"$#

=!

"$#

=−

!

"$#

Ω.

3.5. ábra

Alkalmazzuk az $6

és az $ΩWHQ]RURNDWDQpJ\]HWNHUHV]WPHWV]HWIRO\DGpNKDViEWHQJe-

lyét a P1, P2, P3 és P4pOHNNHO|VV]HN|WHOHPL G U G[ L G\ M1 6

= + G U G[ L G\ M1 6

= − + stb.

vektorokra (ld. 3.5. ábra). Eredményül a G Y62 7

, G Y Ω2 7

elemi sebesség megvál-

tozás vektorokat kapjuk, amelyek megmutatják, hogy a hasáb éleinek sebessége mennyire

WpUHODWHQJHO\pQHNVHEHVVpJpWO3OD31MHOpOpVDKDViEN|]pSSRQWMiQDNVHEHVVpJHN ö-

zött az $6

és $Ω

tenzorok alkalmazásával az alábbi különbségek adódnak:

G Y G[G\

G\

G[62 7

=

!"$#!

"$# =

!

"$#

G Y G[G\

G\

G[Ω2 7

=

−!

"$#!

"$# =

−!

"$#

.

(3.17)

(3.18)



28

A sebesség megváltozás vektorokat ábrázolva látjuk (3.5. ábra), hogy a G Y V2 7 vektorok ha-

tására a hasáb alakja megváltozik, eltorzul, ugyanakkor a G Y Ω2 7 vektorok a hasábot forgat-

ják.

$]HO]HNEHQPHJKDWiUR]RWW|VV]HIJJpVHNHWIHOKDV]QiOYDtUKDWy

Y U G U Y U $ G U $ G U 6

+ = + +1 6 1 6Ω

A (3.19) összefüggés a 3.5. ábraDODSMiQD]N|YHWNH]NpSSLQWHUSUHWiOKDWy

az áramlási térben a folyadékrész

− középpontjának pillanatnyi sebességvektorával párhuzamosan elmozdul (transz-

láció): Y U

− alakját és méretét változtatja (szögdeformáció és tágulás): $ G U 6

− merev test-V]HUHQHOIRUGXOURWiFLy$ G U Ω

A folyadékrész mozgásában játszott szerepe miatt $6

tenzort alakváltozási sebesség

tenzornak, $Ω

-t pedig örvénytenzornak nevezzük.

Ha a ' derivált tenzor szimmetrikus, akkor $ ' 'Ω

= − =

4 9 , azaz URWY = (a folya-

dékrészek nem forognak). Ebben az esetben létezik a v sebességtér ϕ potenciálja (ld. 2.2.

fejezet), amellyel Y JUDG= ϕ +DD]iUDPOyN|]HJVU VpJHρiOODQGyDNpV EELHNEHQWir-

gyalt folytonosság tételének (3.25) összefüggése értelmében GLYY = (azaz a derivált

WHQ]RUI iWOyMiEDQOpYHOHPHN|VV]HJH]pUXV(]HVHWEHQ

GLY JUDGϕ ϕ= =∆ , azaz

∂ ϕ

∂

∂ ϕ

∂

∂ ϕ

∂

[ \ ]+ + =

/DSODFHGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWtUMDOHDVHEHVVpJLSRWHQFLiOW$V]iPRVMHOHQVpJK YH]HWpV

szivárgás stb.) leírására használt egyenletet a peremfeltételek ismeretében megoldva meg-

határozható a ϕ sebességi potenciál, abból pedig a sebességtér.

(3.19)

(3.20)



29

3.6. A folytonosság (kontinuitás) tétele

Lehet-HWHWV]OHJHVDIRO\DGpNUpV]HNPR]JiVD"0HJYDOyVtWKDWy -e a természetben bármilyen

Y Y U W= 1 6 sebességtér? Nyilvánvalóan nem: a folyadékrészek mozgásának eleget kell ten-

nie az anyagmegmaradás törvényének, amelyet az áramlástanban a folytonosság vagy kon-

tinuitás tételének nevezünk. E tétel azt a fontos tapasztalatot fejezi ki, hogy tömeg nem

keletNH]KHWpVQHPWQKHWHO

Tekintsük a 3.6. ábrán látható, az áramló közegben lé-

YDWpUEHQU|J]tWHWW]iUWA felületet, amelyen a közeg

átáramlik. Írjuk fel, hogy másodpercenként mennyivel

több tömeg áramlik ki a felületen, mint be (ld. 2.2. fe-

jezet divergenciával foglalkozó része):

T Y G $ NJ VP

$

= I ρ .

Nyilvánvaló, hogy a tömeg többletkiáramlás csak a térIRJDWEDQOpYW|PHJURYiViUDD]D]D

VU VpJFV|NNHQpVHPHOOHWWPHKHWYpJEH$]A felület által határolt VWpUIRJDWEDQOpYWö-

meg másodpercenkénti változását a

∂ρ

∂W

G9 NJ V

9

I

integrál adja meg.

Miután a dA felületi normális kifelé mutat, a (3.21) integrál pozitív értéke esetén – fogy a

tömeg a V térfogatban – a (3.22) integrálnak negatívnak kell lenni, tehát a (3.21) és (3.22)

integrál összege zérus. A (3.21) integrált a Gauss-Osztrogradszkij-tétel (2.4) alkalmazásá-

val alakítsuk át térfogati integrállá és a fentiek figyelembevételével tegyükHJ\HQOYpD

(3.22) integrál ellentettjével:

− = =I I ∂ρ

∂ρ

WG9 Y G $

9 $

GLY Y G9

9

ρ1 6I .

A (3.23) egyenlet keretezett része a folytonossági tétel integrál alakja.A bal oldalra hozva

a jobb oldali második integrált és figyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük

el az integrálást, írható:

∂ρ

∂

ρ

W

GLY Y G9

9

+

!

"

$#=

I 1 6 .

3.6. ábra (3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)



30

$IHQWLLQWHJUiOFVDNDNNRUOHKHW]pUXVWHWV]OHJHV9LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\HVHWpQKDD]

integrandusz zérus. Ilymódon megkaptuk a folytonosság tételét differenciális alakban:

∂ρ

∂ρ

WGLY Y+ =1 6

.

Alkalmazzuk a folytonosság tételét a 3.7. áb-

ránOiWKDWyiUDPFVUH/HJ\HQD]iUDPOiVVWa-

cionáULXV &pOV]HU HQ D IRO\WRQRVViJ WpWHOH

(3.23) összefüggésben megadott integrál alak-

ját használjuk. Miután feltevésünk szerint

∂ρ ∂ / t = 0, a (3.23) összefüggés bal oldala zé-

rus, ezért:

ρ Y G $

$

I =

,

ahol az A az áUDPFVSDOiVWMiEyO$p) valamint $ és $ be-pVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEO

iOO 0LXWiQ D] iUDPFV SDOiVWMD iUDPIHOOHW DPelyen nincs átáramlás (v ⊥ dA), ezért a

(3.26) összefüggés az alábbi módon írható:

ρ ρY G $ Y G $

$ $

I I + = .

Tekintettel arra, hogy Y G$ Y G $= FRV α , ahol α a két vektor által bezárt szög, (3.27)

összefüggéssel adódik:

ρ α ρ αY G $ Y G $

$ $

I I + =FRV FRV

Tételezzük fel, hogy a be-pVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEHQDVHEHVVpJPHU OHJHVD]$1 és A 2

felületre, azaz cosα a belépésnél –1, a kilépésnél 1, továbbá azt, hogy az $ keresztmet-V]HWEHQDVU VpJiOODQGyρ, ugyanígy az A 2 keresztmetszetben ρ . Ilyen feltételek mel-

lett a (3.28) összefüggés a

ρ ρ Y $ Y $=

alakra hozható, ahol Y és Y az átlagsebesség az $ és $ keresztmetszetben. A (3.29)

összefüggés azt fejezi ki, hogy stacionárius áramlás esetén a T NJ VP tömegáram az

áramFVEiUPHO\NHUHV]WPHtszetében azonos. Látható, hogy e gyakran használt összefüggés

használatához milyen sok feltételnek kell teljesülnie.

(3.25)

3.7. ábra

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)



31

ÈUDPFV|YHWDONRWQDNDPV]DNLJ\DNRUODWEDQDONDOPD]RWWFV|YHNKLV]HQEHOV IHOOHWN|Q

QLQFVHQIRO\DGpNiWOpSpV+DHJ\N|UNHUHV]WPHWV]HWFVNHUHV]WPHWV]HWpEHQD]iWODJVe-

besség Y pVDFViWPpU MH'-U O' -UHYiOWR]LND|VV]HIJJpVEODGyGyDQDv2

átlagsebesség a

Y Y'

'

=ρ

ρ

összefüggéssel számolható ki.

Ha a sebesség a keresztmetszetben válto-

zik, akkor a térfogatáramot (és abból a v

átlagsebességet) a sebességmegoszlás

NHUHV]WPHWV]HWHQ W|UWpQ LQWHJUiOiViYDOlehet meghatározni. Tekintsük a 3.8. áb-

rátDKROHJ\'iWPpU M, kör keresztmetV]HWFVOiWKDWyDPHO\EHQDVHEHVVpgmegoszlást

egy n-ed fokú forgási paraboloid írja le (a vmax és a v(r) különbsége az r sugár n-edik hat-

ványával arányos):

Y U Y U 5 Q1 6 1 6= −PD[ .

Hogyan lehetne kiszámítani a v átlagsebességet? Írható:

YT

'P VY=

π

,

ahol q m sv3 / DWpUIRJDWiUDPDFVNHUHV]WPHWV]HWHQHJ\VpJQ\LLGDODWWiWiUDPOyIRO\a-

déktérfogat). A térfogatáramot a 3.8. ábránOiWKDWyN|UNHUHV]WPHWV]HWFVHVHWpQD]DOiEEL

módon írhatjuk fel:

T U Y U 5 GU YQ

5

= −I

π PD[ 1 6 .

Az integrálást elvégezve

T 5 YQ

QY =

+

π PD[

adódik, azaz a

YQ

QY=

+ PD[ .

(3.34)

Másodfokú paraboloid (n = 2) esetén az átlagsebesség a maximális sebesség fele.

3.8. ábra

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)



32

-HOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtYPHJYiOWR]iVD

A folytonosság kifejezésének második tagja a szorzat deriválási szabályai szerint fel-

bontható:

∂ρ

∂ρ ρ ρ

WY JUDG GLY Y+ + =1 6

ÉrtelPH]]N D |VV]HIJJpV HOV NpW WDJMiW

Tekintsük a 3.9. ábrát, ahol egy dV térfogatú elemi

folyadékrész látható. A folyadékrész v áramlási sebesség-

gel mozog. Jellemezze a P pontban az áramlási sebességet

a vYHNWRUDVU VpJKHO\V]HULQWLYiOWR]iViW pedig a 2.1.

IHMH]HWQHNPHJIHOHOHQDJUDGρ vektor.

Legyen instacionárius az áramlás, tehát ∂ρ ∂ / t ≠ 0. Vizsgál MXNPHJKRJ\GWLGHOWHOWpYHO

PHQQ\LWYiOWR]LND]HO~V]yHOHPLIRO\DGpNUpV]VU VpJH

A dρVU VpJYiOWR]iVNpWRNUDYH]HWKHWYLVV]D

a/ PLYHO D VU VpJ D] LGWO IJJ ∂ρ ∂ W ≠ D VU VpJ D 3 SRQWEDQ GW LG DODWW

GW

GWOρ∂ρ

∂= értékkel változik;

b/ D]HOHPLIRO\DGpNUpV]D]iUDPOyN|]HJJHOHJ\WWGWLGDODWWds v dt= utat tesz meg és

HJ\RO\DQ3¶KHO\UHMXWDKRODVU VpJ G JUDG GV JUDG Y GWN ρ ρ ρ= = értékkel tér el a P

SRQWEDQOpYWOOGIHMH]HW

$]DDODWWLVU VpJYiOWR]iVUDDNNRULVVRUNHUOQHKDDN|]HJQHPiUDPODQDD]D]DG9Wp r-

fogat a helyén maradna. Ezért a G Oρ -HW D VU VpJ lokális megváltozásának nevezzük,

amelynek csak akkor van szerepe, KD D VU VpJ LG EHQ YiOWR]LN D]D] KD D] iUDPOiV

instacionárius).

$EDODWWLVU VpJYiOWR]iVRNDD]HOHPLWpUIRJDWHOPR]GXOiVDHOiUDPOiVDHJ\RO\DQKHO\UH

DKRODVU VpJHOWpU H]pUWDG N ρ -WDVU VpJkonvektív megváltozásának nevezzük.

A folyadékrészVU VpJpQHNGWLGWDUWDPDODWWLWHOMHVPHJYiOWR]iVDWHKiW

G G GW

GW Y J UDG G WO N ρ ρ ρ∂ρ

∂ρ= + = +

(3.35)

3.9.ábra

(3.36)



33

DPLEO

G

GW WY JUDG

ρ ∂ρ

∂ρ= +

$HJ\HQOHWEDOROGDOiQDNHOVNpWWDJMDWHKiWDG GWρ -WDIRO\DGpNUpV]VU VpJpQHN

LGV]HULQWLWHOMHVPHJYiOWR]iViWIHMH]LNL

$IL]LNDLMHOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtv megváltozása az áramlástan fontos gondolata, ami

W|EEV]|UHOIRJNHUOQLDWRYiEELDNEDQ

(3.37)



4. Euler-egyenlet, Bernoulli-egyenlet,

örvénytételek

4.1. A folyadékrészek gyorsulása

$ IRO\DGpNUpV]HNPR]JiViW D] D]RNUDKDWy HU NNHO |VV]HIJJpVEHQ D NLQHWLND tárgyalja.

MiXWiQ1HZWRQ,,D[LyPiMDV]HULQWDIRO\DGpNUpV]HNUHKDWyHU NNHOJ\RUVXOiVXNYDQNDp-

csolatban, e fejezetben a folyadékrészek gyorsulásának leírásával foglalkozunk.

$IRO\DGpNUpV]J\RUVXOiViWNLIHMH] |VV]HIJJpVWIHOtUKDWMXNDIHMH]HWEHQ tanult felbon-

WiVIHOKDV]QiOiViYDOOG|VV]HIJJpV(J\VNDOiUWpUUHOOHtUKDWyMHOOHP]RWWDVU

ség, itt az áramlási sebesség Y Y[ \ vagy Y ] NRPSRQHQVH HJ\VpJQ\L LGUH YRQDWNR]y

megváltozását a lokális és a konvektív megváltozás összegeként az alábbi módon írhatjuk

fel:

GY

GW

Y

WY JUDG Y[ [

[= +∂

∂ .

$|VV]HIJJpVDIRO\DGpNUpV][LUiQ\~VHEHVVpJNRPSRQHQVpQHNHJ\VpJQ\LLG UH

jutó megváltozását, azaz x irányú gyorsulását fejezi ki. Az összefüggés jobb oldalának

HOVWDJMDDlokális gyorsulás, a második a konvektív gyorsulás.

Hasonló összefüggés írható fel vy és vz sebességkomponensekre is. Elvégezve a (4.1) össze-

függés jobb oldalán a két vektor skalár szorzását, a folyadékrészek gyorsulásának x,y és z

komponensét az alábbi módon írhatjuk fel:

GY

GW

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]

[ [[

[\

[]

[= + + +∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

GY

GW

Y

W Y

Y

[ Y

Y

\ Y

Y

]

\ \

[

\

\

\

]

\

= + + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

GY

GW

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]

] ][

]\

]]

]= + + +∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Felismerjük, hogy a gyorsulásvektor (4.2) összefüggésben megadott alakja a

d v

dt

v

tDv= +

∂

∂

kifejezéssel ekvivalens.

(4.1)

(4.2)

(4.3)



35

Határozzuk meg a dv/dt folyadékrész gyorsulást egy más meggondolással is. A v

sebességvektortér az r KHO\ pV W LG IJJYpQ\H WHOMHV GLIIHUHQFLiOMiW WHKiW D

d vv

tdt

v

rd r= +

∂

∂

∂

∂összefüggés adja meg. Vonatkoztassuk a folyadékrész sebességének

PHJYiOWR]iViWHJ\VpJQ\LLGUHD]D]RVV]XNHODNLIHMH]pVWGW-vel:

d v

dt

v

t

v

r

d r

dt= +

∂

∂

∂

∂ .

A (4.4) kifejezés jobb oldalának második tagja fejezi ki a folyadékrész sebességének

NRQYHNWtYHOiUDPOiVPLDWWLPHJYiOWR]iViW$]HWDJEDQV]HUHSOGrGWWpQ\H]v sebesség-

JHOHJ\HQOPHUWD]WD]XWDWNHOOKRJ\PHJDGMDDPHO\HWDIRO\DGpNUpV]HJ\VpJQ\LLG DODWW

tesz meg (mivel a dv/dt is az elúszó folyadéNUpV]VHEHVVpJpQHNLGV]HULQWLPHJYiOWR]iViW

fejezi ki). Miután ∂ ∂v r D / = , e meggondolás is a (4.3) összefüggésre vezetett.

$ IRO\DGpNUpV] J\RUVXOiVD WHKiWNpWUpV]EO iOOD∂

∂

v

tlokális gyorsulásból és a 'Y

konvektív gyorsulásból.

A lokális gyorsulás akkor különbö]KHW]pUXVWyOKDDVHEHVVpJWpUDWLGWOLVIJJDz-

az az áramlás instacionárius. A konvektív gyorsulás nincs kapcsolatban az áramlás id

függésével, értéke stacionárius és instacionárius áramlás esetén egyaránt lehet zérustól elté-

U Konvektív gyorsulás akkor létezik, ha a folyadéktér sebességének nagysága és/vagyiránya a folyadékrész mozgásának irányában (azaz az áramlás irányában) változik.

Hogyan lehetne a konvektív gyorsulást másként kifejezni? Bontsuk fel a ' deriválttenzort

az alábbi módon:

' ' ' '= + − 4 9 ,

tehát a konvektív gyorsulás:

D ' Y ' Y ' ' YNRQY = = + −

4 9 .

7HNLQWVNDNLIHMH]pVMREEROGDOiQDNHOVWDJMiW

' Y

Y

[

Y

[

Y

[Y

\

Y

\

Y

\

Y

]

Y

]

Y

]

Y

Y

Y

YY

[Y

Y

[Y

Y

[

YY

\Y

Y

\Y

Y

\

YY

]Y

Y

]Y

Y

]

[ \ ]

[ \ ]

[ \ ]

[

\

]

[[

\

\

]]

[[

\

\

]]

[[

\

\

]]

=

!

"

$

#######

!

"

$###

=

+ +

+ +

+ +

!

"

$

#######

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(4.4)

(4.5)

(4.6)



36

=

+ +

+ +

+ +

!

"

$

##########

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

[

Y Y Y

\

Y Y Y

]

Y Y Y

JUDGY

[ \ ]

[ \ ]

[ \ ]

.

A ' ' G U −4 9 NLIHMH]pVU O NRUiEEDQ PHJiOODStWRWWXN OG pV |VV]HIJJpVe-

ket), hogy az URW Y G U × -UHOHJ\HQO+DVRQOyDQ

' ' Y URW Y Y Y URW Y− = × = − ×4 9

(A 4.7 összefüggés jobb oldalán a félreértések elkerülése végett cseréltük meg a vektorok

VRUUHQGMpWPHJYiOWR]WDWYDDV]RU]DWHO MHOpW

Végül eredményként azt kapjuk, hogy a folyadékrész gyorsulása:

G Y

GW

Y

WJUDG

YY URW Y= + − ×

∂

∂

.

4.2. Az Euler-egyenlet

$PLQW D]W D] HO] IHMH]HWEHQ PHJiOODStWRWWXN D IRO\DGpNUpV]HN PR]JiViQDN OHtUiViQiO

Newton II. axiómája alkalmazható, DPHO\ D IRO\DGpNUpV]HNUH KDWy HU pV PR]JiV-

mennyiVpJN LG V]HULQWLPHJYiOWR]iVDN|]|WW WHUHPWNDSFVRODWRW+DQ\DJROMXNHO D

közeg súrlódásának hatásait, tekintsük a közeget súrlódásmentesnek!

A folyadékrészekre általábDQNpWIDMWDHUKDWDW|PHJUHKDWyWpUHUSODV~O\HUpV

DIRO\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyIHOOHWLHU +DDN|]HJV~UOyGiVPHQWHVDIHOOHWLHU QHN

nincsen felülettel párhuzamos komponense (a csúsztatófeszültség zérus), csak a felületre

meU OHJHVQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU KDW

Tekintsük a 4.1. ábrát! Az ábrán a JUDG S nyomásgradiens

YHNWRUWWQWHWWNIHOpVHJ\G$DODSWHUOHW GV magassá-

gú hengert, amelynek tengelye párhuzamos a gradp vek-

torral. Vizsgáljuk meg, hogy milyen nagyságú, nyomásból

szármD]yHU KDWDKHQJHUUH0LXWiQDKHQJHUIHGODSMiQD

nyomás p+dp, az alaplapon p, a hengerre ható, nyomásból

(4.7)

(4.8)

4.1. ábra



37

származó G ) S HU WD

G ) G$ GSG V

G V S = −

vektor fejezi ki, amely ellentétes irányítású a ds vektorral.

Tekintve, hogy GS JUDGSGV= valamint JUDGS és GVPHJHJ\H]LUiQ\~pVLUiQ\ítású, tehát

GS JUDG S G V= , a (4.9) összefüggés a ρ VU VpJJHOYDOyV]RU]iVpVRV]WiV XWiQD]DOiEEL

módon írható:

G ) JUDGS G V G$G V

G V S = −

ρρ

.

Miután ρ d s dA dm= , az elemi folyadékrész tömege és esetünkben a JUDGSGV

GVJUDGS= ,

a (4.10) összefüggés mindkét oldalának dm-PHOW|UWpQRV]WiVa után az egységnyi tömegre

KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUW kapjuk:

G )

GPJUDGS

S= −

ρ .

$IRO\DGpNUpV]HJ\VpJQ\LW|PHJpUHKDWyHUWD]HUWpU J WpUHUVVpJYHNWRUiYDOIHMHz-

hetjük ki:

G )

GPJ

J=

.

Newton II. axiómája értelmében adott (esetünkben egységnyi) tömegre ható HU NNHOHJ\e-

zik meg a tömeg és a dv/dt gyorsulás szorzata:

d v

dt g gradp= −

1

ρ .

A (4.13) összefüggést Euler-egyenletnek nevezzük, amely a valóságos közegben általában

IHOOpSsúrlódás elhanyagolása esetén érvényes.

Az Euler-egyenlet tehát egy mozgásegyenlet, amely a súrlódás elhanyagolása esetén

|VV]HIJJpVWWHUHPWDIRO\DGpNUpV]J\RUVXOiVDpVDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU NN|]|WW

A (4.8) összefüggés figyelembevételével kifejtve a (4.13) összefüggés bal oldalát az Euler-

egyenlet gyakran alkalmazott vektoriális alakját kapjuk:

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)



38

∂

∂ ρ

Y

WJUDG

YY URW Y J JUDGS+ − × = −

.

+DDVU VpJDQ\RPiVIJJYpQ\Hρ ρ= S , a (4.14) egyenlet jobb oldalának utolsó tagja

az alábbi módon írható:

− = − I

ρ ρ SJUDG S JUDG

GS

S S

S

1 6 1 6 .

$OiQFV]DEiO\V]HULQWHOMiUYDXJ\DQLVDYiOWR]yIHOV KDWiU~LQWHJUiOWNHOOHOV]|UDIHOV

határ szerint differenciálni – ami az 1/ ρ primitív függvényt eredményezi.Ezt kell szorozni a

válWR]yIHOVKDWiUKHO\V]HULQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRViYDO JUDGS-vel.)

A (4.2) összefüggés figyelembevételével felírható az Euler egyenlet x,y és z irányú kompo-

nens egyenlet formájában:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

[

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

\

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

]

[[

[\

[]

[[

\

[

\

\

\

]

\

\

][

]\

]]

]]

+ + + = −

+ + + = −

+ + + = −

$|VV]HIJJpVEOMyOOiWKDWyD]DGRWWNRRUGLQiWDLUiQ\~VHEHVVpJNRPSRQHQVLGV]e-ULQWLPHJYiOWR]iVD D] DGRWW LUiQ\~J\RUVXOiV pVD] DGRWWNRRUGLQiWDLUiQ\~HU NN|]|WWL

kapcsolat.

Határozzuk meg az Euler-egyenletet más módon! Tekintsük a

4.2. ábrát, ahol egy gondolatban elhatárolt (mondjuk kékre

festett), a folyadékkal együtt úszó V térfogatú folyadékrész

látható. A folyadékrész A felülete u.n. folyékony felület, hi-

szen a folyadékkal együtt mozog, rajta nincs átáramlás. A V

térfogat alakját és nagyságát is változtathatja (hiszen a közegVU VpJHRGpEE~V]iVN|]EHQYiOWR]KDWGHD WpUIRJDWEDQOpY

0 W|PHJ QHP YiOWR]LN ËUMXN IHO D WpUIRJDWEDQ OpY tömeg

PR]JiVPHQQ\LVpJpQHN HJ\VpJQ\L LGUH MXWy PHJYiOWR]áViW DPL HJ\HQO D IRO\DGpk-

rpV]UHKDWyHUN|VV]HJpYHO

(]HND]HU N

− DW|PHJUHKDWyHU WpUEOV]iUPD]yHU

− DIHOOHWHQKDWyHU DPHO\DV~UOyGiVPHQWHVVpJPLDWWDIHOOHWUHPHU OHJHVQ\RPiVEyO

V]iUPD]yHU UHNRU látozódik.

(4.14)

(4.15)

(4.16)

4.2. ábra



39

G

GWY G9 J G9 S G $

9 9 $

ρ ρI I I = −.

$MREEROGDOHOVWDJMDDWpUHU EOV]iUPD]yW|PHJUHKDWyHU WDPiVRGLNWDJDIHOOHWHQ

KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU WIHMH]LNL(]XWyEELHO MHOHD]pUWQHJDWtYPHUWDG A felület-HOHPYHNWRUNLIHOpPXWDWtJ\QHJDWtYHO MHOHVHWpQDGyGLNDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU

$ODNtWVXNiWD|VV]HIJJpVEDOROGDOiQOpY WDJRW9HJ\NILJ\HOHPEHKRJ\D]L n-

tegUiOiVpVGLIIHUHQFLiOiVVRUUHQGMHIHOFVHUpOKHW(]LWWD]WMHOHQWLKRJ\XJ\DQD]WD]HUH d-

ményt kapjuk, ha az egész folyadékrész mR]JiVPHQQ\LVpJpQHNLG EHQLYiOWR]iViWYL]VJil-

juk, mint abban az esetben, ha az egyes elemi folyadékrészek mozgásmennyiségének meg-

változását összegezzük. Figyelembe kell továbbá venni azt is, hogy amíg a V integrálási

WDUWRPiQ\LOODG9HOHPLWpUIRJDWDVU VpJYiOWR]iVDPLDWWLG EHQYiOWR]KDWDGGLJD]0

folyadéktömeg ill. annak GP G9= ρ W|PHJHOHPHLG EHQQHPYiOWR]LN)HQWLHNILJ\HOHPEH

YpWHOpYHOD]DOiEELiWDODNtWiVRNYpJH]KHWNHO

G

GWY G9

G

GWY G9

G Y

GWG9 Y

G

GWG9

9 9 9 9

I I I I = = +

=

ρ ρ ρ ρ1 6 1 6 1 6

.

$IHQWLiWDODNtWiVD]WMHOHQWLKRJ\D]LG EHQYiOWR]yWpUIRJDWEDQOpYW|PHJPR]JiVPHny-

nyiVpJpQHNYiOWR]iViWLG EHQYiOWR]DWODQHOHPLW|PHJHNpVJ\RUVXOiVXNV]RU]DWDNpQWKDWá-

roz]XNPHJD]D]DMREEROGDOHOVLQWHJUiOMiEDQOpY Gv/dt a folyadékrész gyorsulása,

DPHO\HWD]HO]IHMH]HWEHQWiUJ\DOWXQNOGpV|VV zefüggések).

Térjünk vissza a (4.17) összefüggéshez, amely jobb oldalának második tagját szeretnénk

térIRJDWLLQWHJUiOOiDODNtWDQL9HJ\QNIHOHJ\WHWV] OHJHVb=konstans vektorteret és szoroz-

zuk meg e vektortérrel a p nyomást. Ezzel az integrandusz vektortérré válik, amelyre al-

kalmazható a Gauss-Osztrogradszkij-tétel:

E S G $ GLY E S G9 S GLY E E JUDGS G9

$ 99

I I I = = +1 6 1 6.

Tekintettel arra, hogy E iOO= = GLY E pV E D]LQWHJUiOMHOHOpNLYLKHW

E S G $ E JUDG S G9

$ 9

I I =.

Tekintettel arra, hogy bWHWV]OHJHVLUiQ\~YHNWRUDNpWLQWHJUiOHJ\HQOHJ\PiVVDO

Fentiek figyelembevételével írható:

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)



40

G Y

GWG9 J G9 JUDGS G9

9 9 9

ρ ρI I I = −.

Valamennyi tagot bal oldalra hozva és figyelembe véve, hogy az integrálási tartomány

megHJ\H]LNH]pUWN|]|VLQWHJUiOMHODOiYLKHWN

ρ ρG Y

GWJ JUDG S G 9

9

− +

=I

.

$]LQWHJUiOpUWpNHWHWV]OHJHV9-nél zérus, ami csak akkor lehet, ha az integandusz zérus.

Átrendezés és az egyenlet ρ-val való osztása után a (4.13) összefüggés adódik:

d v

dtg gradp= −

1

ρ.

4.3. Euler-egyenlet természetes koordinátarendszerben

Legyen az áramlás stacionárius, a súrlódást

hanyagoljuk el és vegyünk fel egy áramvo-

nalhoz rögzített, „természetes” koordináta-

rendszert (ld. 4.3. ábra(GHUpNV]|JNRRr-

dináta-rendszer az áramvonal P pontjára il-

leszkedik, és az e pULQW LUiQ\~ NRRUGLQiWD-

tengelye érinti az áramvonalat. Az n normális

irányú koordináta-tengely a P pontot az áram-

YRQDO*J|UEOHWLN|]pSSRQWMiYDO|VV]HN|WHJ\HQHVEHHVLN$ b binormális koordináta az e

és n koordinátákkal jobbsodrású rendszert alkot. Vegyük fel a 4.3. ábrán látható, db, dn és

de élhosszakkal jellemzett elemi folyadékhasábot és írjuk fel az arra ható eLUiQ\~HU N

egyensúlyát! Miután a súrlódást elhanyagoltXNDKDViEUDD]HU WpUpVDQ\RPiVEyOV]iUP a-

]yHU KDW

G) S GE GQ SS

HGH GE GQ GE GQ GH JH H= − +

!

"$# +

∂

∂ρ

,

ahol geDWpUHU VVpJHLUiQ\~YHWOHWH

(]D]HU D dm db dn de= ρ W|PHJIRO\DGpNUpV]WJ\RUVtWMD7HNLQWHWWHODUUDKRJ\NLN|Wé-

sünk szerint az áramlás stacionárius, csak konvektív gyorsulás létezik. A (4.2) összefüggés

HOVVRUpVWDJMiQDN|VV]HJHDGMDD][LUiQ\~NRQYHNWtYJ\RUVXOiVW(VHWQNEHQD] e

koordináta-tengely irányú gyorsulást keressük, figyelembe véve, hogy Y YQ E= = . Ezesetben:

(4.22)

4.3. ábra

(4.23)



41

D YY

HNRQY =

∂

∂.

A fentiek alapján a (4.23) figyelembe vételével írható:

ρ∂

∂

∂

∂ρGEGQGH Y

Y

H

S

HGH GE GQ GE GQ GH J H= − +

.

$]HOHPLW|PHJJHOYDOyHJ\V]HU VtWpVXWiQDGyGLNa természetes koordinátarendszerben

felírt Euler-HJ\HQOHWpULQWLUiQ\~NRPSRQHQVHJ\HQOHWH

YY

H

S

HJ H

∂

∂ ρ

∂

∂= − +

Tekintsük most a normális irányú egyensúlyt! Ahhoz, hogy a dm tömeg v sebességgel

mozogjon az R görbületi sugarú áramvonalon, a görbületi középpont felé mutató GPY

5

QDJ\ViJ~FHQWULSHWiOLVHU QHNNHOODW|PHJUHKDWQLD(]D]HU LVPpWDQ\RPiVEyOV]iU -

PD]yDIRO\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyHU pVDW|PHJUHKDWyWpUHU VVpJ|VV]HJpYHOHJ\HQO

− = − +

!

"$# +ρ

∂

∂ρGHGEGQ

Y

5 S GE GH S

S

QGQ GE GH GH GE GQ J Q

$]HJ\HVWDJRNHO MHOpWD]QNRRUGLQiWDpVD]HU NLUiQ\tWiViQDNILJ\HOHPEHYpWHOpYHOKDW á-

UR]WXN PHJ (J\V]HU VtWpV XWiQ DGyGLN D természetes koordinátarendszerben felírt

Euler-egyenlet normális irányú komponens egyenlete:

− = − +Y

5

S

QJ Q

ρ

∂

∂

A binormális irányú komponens egyenlet – mivel ebben az irányban nincsen gyorsulás –

DQ\RPiVEyOpVDWpUHU VVpJEOV]iUPD]yHU NHJ\HQV~O\iWIHMH]LNL

= − +ρ

∂

∂

S

EJ E

Az Euler-HJ\HQOHWNO|QE|]NLIHMH]pVHLWYL]VJiOYDHJ\QDJ\RQHJ\V]HU IL]LNDLLQWHUSUHWá-

ció adódik. Súrlódásmentesség feltételezése mellett a folyadékrészekre a nyomásból és a

WpUHU VVpJEOV]iUPD]yHU KDW+DHNpWIDMWDHU NLHJ\HQOtWLHJ\PiVWDN|]HJQHPJ\RUVXO

YDJ\iOOYDJ\HJ\HQHVYRQDO~HJ\HQOHWHVVHEHVVpJPR]JiVWYpJH])RUGtWYDLVLJD]KDD

közeg áll, a nyRPiVEyOV]iUPD]yHU HJ\HQV~O\EDQYDQD]HU WpUEOV]iUPD]yHU YHO

+DDNpWHU QHPHJ\HQOtWLNLHJ\PiVWDNNRUDN|]HJJ\RUVXO$]HU WpUDWpUHU VVpJYHk-

WRUUDOPHJHJ\H]LUiQ\~pVLUiQ\tWiV~J\RUVXOiVWHUHGPpQ\H]$Q\RPiVYiOWR]iVDHVHWpQD

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.28)



42

folyadékréV]HNDFV|NNHQQ\RPiVLUiQ\iEDQDQ\RPiVJUDGLHQVVHOSiUKX]DPRVDQGHHl-

lentétes irányítással) gyorsulnak.

$WpUHU VVpJKDWiVDVRNHVHWEHQILJ\HOPHQNtYOKDJ\KDWyLOOHOKDQ\DJROKDWy,O\HQHVHWEHQ

D]iUDPNpSU

ODQ\RPiVPHJRV]OiVUDLOODQ\RPiVPHJRV]Oisról az áramképre következtet-KHWQN,J\SODIRO\DGpNUpV]HNFV|NNHQQ\RPiVLUiQ\iEDQJ\RUVXOQDNSOKDNO|QE|]

Q\RPiV~WHUHNHW|VV]HQ\LWXQNDQDJ\REEQ\RPiV~WpUE ODNLVHEEQ\RPiV~WpUEHiUDPOLND

N|]HJ(J\iUDPOiV LUiQ\iEDQ V]NO FV EHQ NRQI~zorban), amelyben a folytonosság

PLDWWJ\RUVXODN|]HJD]iUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQDQ\RPiVÈUDPOiVLUiQ\iEDQEYO

FVQpOGLII~]RUQiOODVVXOD]iUDPOiVpVHQQHNPHJIHOHO HQQ|YHNHGQ\RPiVWDSDV]WDOKa-

tó. (A mozgó folyadéknak le kell lassulnia és a ODVVtWyHU W–V~UOyGiVpVWpUHU KLiQ\iEDQ–

csak a nyomás áramlás irányú növekedése okozhatja.)

Az eddigi példákban a közeg sebességének nagysága változott a nyomásmegoszlás hatásá-ra. Vannak esetek, amikor a nyomás változása nem a sebesség nagyságát, hanem irányát

változtatja meg. Igen jól használható összefüggés a természetes koordináta-rendszerben

felírt Euler-egyenlet normális irányú komponens egyenlete (ld. (4.27) összefüggés).

Szorozzuk meg a (4.27) egyenlet mindkét oldalát (–1)-el és tekintsünk el a téreU VVpJKDWá-

ViWyO(]HVHWEHQD]N|YHWNH]|VV]HIJJpVWNDSMXN

Y

5

S

Q

=

ρ

∂

∂

D]DOiEELN|YHWNH]WHWpVHNHWYRQKDWMXNOHD]|VV]HIJJpVEO

a/ ha az áramvonalak párhuzamos egye-

nesek (R=∞ DNNRU D]RNUD PHUOHJHVHQ

nem változik a nyomás;

b/ ha az áramvonalak görbültek, akkor

D]RNUD PHUOHJHVHQ D Q\RPiV YiOWR]LN D

J|UEOHWLN|]pSSRQWWyONLIHOpKDODGYDQ (A

Q\RPiVEyOV]iUPD]yFHQWULSHWiOLVHU NpQyszeríti körpályára a folyadékrészeket.)

A 4.4. ábrán látható személyautó karosszériáján kialakuló nyomásmegoszlás jellegét a fenti

meggondolásokkal meg lehet határozni: az áramvonalak görbületi középpontjából kifelé

mutató nyilak a nyomás növekedését mutatják. A + és − jelek a zavartalan áramláshoz tar-

tozó nyomáshoz NpSHVWLW~OQ\RPiVWLOOGHSUHVV]LyWNOVK|]NpSHVWNLVHEEQ\RPiVWMHOö-

lik. Látható, hogy a homlokfal alatti spoiler csökkenti a nyomást, ezáltal csökken a felhaj-

WyHU $PRWRUKi]WHWpVDV]pOYpGWDOiONR]iViQiOD]iUDPYRQDODNJ|UEOHWpEOOiWKDWyDQ

túlnyoPiVYDQH]pUWLWWYH]HWLNEHDV]HOO]OHYHJW

4.4. ábra



43

4.4. A Bernoulli-egyenlet

Az Euler-egyenlet (ld. (4.13), (4.14), (4.16) összefüggéseket) egy differenciálegyenlet,

DPHO\NDSFVRODWRWWHUHPWDIRO\DGpNJ\RUVXOiVpVDIRO\DGpNUDKDWyHU NN|]|WW– a folyadék

V~UOyGiViQDNHOKDQ\DJROiViYDO$PV]DNLIHODGDWRNPHJROGiViQiOiOODQGyVU VpJIHOWpWe-

lezése mellett általában a vx, vy, vz és p a meghatározandó ismeretlenek. E négy ismeretlen

meghatározásához szükséges 4 egyenletet az Euler-egyenlet három komponens egyenlete

OG|VV]HIJJpVpVDIRO\WRQRVViJWpWHOHV]ROJiOWDWMD0V]DNLIHODGDWRNPHg-

oldhatók a fenti differenciálegyenletek megoldásával adott peremfeltételek mellett.

Az Euler-egyenlet megoldásának egy igen hatékony módja a (4.14) alakban felírt egyenlet

tagjainak az áramlási tér két (pl. 1-gyel és 2-YHOMHO|OWSRQWMiW|VV]HN|WYRQDOPHQWLKHO\

szerinti) integrálása:

∂

∂ ρ

Y

WG V JUDG

YG V Y URW Y G V J G V JUDGS G V

, ,, ,,, ,9 9

I I I I I + − × = − .

Vizsgáljuk meg, hogy a legáltalánosabb alakban felírt Bernoulli-egyenlet milyen feltételek

teljesülése eVHWpQKR]KDWyHJ\V]HU EEDODNUD

a/ Miután (ld. (2.1) összefüggés)

JUDG I G V I I

I = − ,

D,,MHOLQWHJUiOPLQGHQWRYiEELIHOWpWHOQpONODY Y

−alakra hozható.

b/ (]DYRQ]yiWDODNtWiVD,9MHOLQWHJUiORQLVHOYpJH]KHWKDD J HUWpUSRWHQFLiORV

(ld. 2.2. fejezet, 2.8 összefüggés). A J JUDG8= − helyettesítéssel és az integrálás el-

végzésével a (4.29) Bernoulli-HJ\HQOHW,9MHOWDJMD-(U2- U1) alakú lesz.

c/ $]HJ\HQOHW,MHOWDJMD]pUXVKD ∂

∂vt

= 0, azaz ha az áramlás stacionárius.

d/ $,,,MHOWDJV]iPtWiVDiOWDOiEDQQHKp]VpJHW okozna, ezért törekszünk zérussá tételére.

(WDJ]pUXVpUWpN KD

− a v sebesség zérus,

− a rotv=0, azaz az áramlás potenciálos,

− a ds a v és rotv vektor által kifeszített síkba esik

− a ds v, azaz áramvonalon integrálunk,

− a ds rotv, azaz örvényvonalon (ld.4.5.fejezet) integrálunk,

(4.29)

(4.30)



44

− v rotv, u.n. Beltrami áramlás.

e/ Az V tagban ρ = iOO. esetén a S ρ gradiensét kell vonal mentén integrálni, ami a

−− S S

ρ

eredményre vezet. Ha ρ ρ= S , akkor a (4.15) összefüggés felhasználásá-

val az V integrál aGS

S S

S

ρ1 6

I alakra hozható.

Ha a Bernoulli-HJ\HQOHWHWKDV]QiOMXNDN|YHWNH]NpUGpVHNHWFpOV]HU IHOWHQQLpVDYiOa-

V]RNDODSMiQDOHKHWVpJHVHJ\V]HU VtWpVHNHWYpJUHKDMWDQL

− Stacionárius-e az áramlás? Ha nem, van e olyan (pl. együtt mozgó) koordináta-

UHQGV]HUDPHO\EOVWDFLRQiULXVViWHKHW"

−Potenciálos-e az áramlás? Ha nem, lehet-e áramvonalon integrálni?

− Potenciálos-HD]HU WpU"

− Állandó-HDVU VpJ" Ha nem, csak a nyomástól függ-e?

$PV]DNLJ\DNRUODWEDQOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyHVHWHNEHQ az áramlás stacionárius, le-

KHWiUDPYRQDORQLQWHJUiOQLD]HUWpUD)|OGQHKp]VpJLHUWHUHDPLSRWHQFLiORVDV

UVpJSHGLJiOODQGy Ilyen esetben a Bernoulli-egyenlet az alábbi, jól ismert alakban írható

fel:

Y S 8 Y S 8

+ + = + +

ρ ρ

DKRO8D)|OGQHKp]VpJLHU WHUpQHNSRWHQFLiOMDDPLIHOIHOpPXWDWy]NRRUGLQiWDHVHWpQD]

8 J ]J= összefüggéssel írható le.

A (4.31) összefüggés azt fejezi ki, hogy a fenti feltételek fennállása esetén a

v p U2 2 + +ρ4 9 Bernoulli-összeg egy áramvonal mentén állandó. (Potenciálos áramlás

esetén a Bernoulli-összeg az egész áramlási térben – és nemcsak áramvonal mentén – ál-

landó.)

4.5. Örvénytételek

(EEHQDIHMH]HWEHQWDOiQW~OHOPpOHWLQHNWQ|VV]HIJJpVHNHWIRJXQNPHJKDWározni, ame-

O\HNQHND]RQEDQHOPpOHWLMHOHQWVpJNPHOOHWWIRQWRVJ\DNRUODWLV]HUHSNLVYDQ$]DOiEE i-

akban tárgyalt |UYpQ\WpWHOHNDV~UOyGiVPHQWHVVpJIHOWpWHOH]pVpYHOYH]HWKHWNOH.

(4.31)



45

Tekintsük a 4.5. ábrátDKROHJ\*MHO]iUWIRO\é-

kony vonalat tüntettünk fel. (A folyékony vonal a

közeggel együtt úszik el.) Kérdés, hogyan változik a

Γ = I Y G V

*

FLUNXOiFLy pUWpNH D] LG IJJYpQ\pEHQ

azaz

G

GW

G

GWY G V

*

Γ = =I "

+DQHPtUMXND]HOOHQNH] MpWDN|UOMiUiVLLUiQ\PLQGLJSR]LWtY9L]VJiOMXNPHJY GV LG

szerinti megváltozását! A szorzat deriválási szabályait alkalmazva:

G

GW

Y G VG Y

GW

G V YG

GW

G V1 6 1 6= +

.

A (4.32) összefüggés azt fejezi ki, hogy a Y GV V]RU]DW LG V]HULQWL PHJYiOWR]iVD D

sebességWpUpVDIRO\pNRQ\YRQDOHOHPLGV]HULQWLPHJYiOWR]iViUDYH]HWKHWYLVV]D

A 4.5. ábra alapján írható:

G

GWG V

GWY G Y GW Y GW G Y ' G V1 6 1 6= + − = =

.

A ds folypNRQ\YRQDOHOHPPHJYiOWR]iViWYpJSRQWMDLQDNNO|QE|]VHEHVVpJHRNR]]D(]Wa sebességkülönbséget a (2.3) összefüggés alapján a derivált tenzor segítségével határozzuk

PHJ+RJ\DQOHKHWQHDEHKHO\HWWHVtWpVXWiQDMREEROGDOiQPHJMHOHQ Y ' G V szorza-

tot PiVNpQWNLIHMH]QL"$]HJ\V]HU VpJNHGYppUWV]RUtWNR]]XQNVtNiUDPOiVUD

Y ' G VY

Y

Y

[G[

Y

\G\

Y

[G[

Y

\G\

[

\

7[ [

\ \=

!

"$#

+

+

!

"

$

####

=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

= + + + =YY

[G[ Y

Y

\G\ Y

Y

[G[ Y

Y

\G\[

[[

[\

\

\

\∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

+

+

!

"

$

######

!

"$# =

∂

∂

∂

∂

[

Y Y

\

Y Y

G[G\

JUDGY

G V

[ \

[ \

.

4.5. ábra

(4.32)

(4.33)



46

Mivel a súrlódásmentesség feltételezésével éltünk, a G Y G W folyadék gyorsulást az Euler-

egyenlet alapján fejezhetjük ki. A (4.32) összefüggésbe helyettesítve a (4.13) és (4.33) ösz-

szefüggéseket, írható:

GGW

Y GV J JUDGS JUDG Y G V

* *I I = − +! "

$##

ρ .

Ha a J HU WpUSRWHQFLiORVpVKDDVU VpJiOODQGyDNNRUDSρ, a v2 /2 és a -U gradienseit

kell zárt G görbe mentén integrálni. Figyelembe véve a (4.30) összefüggést, valamint azt,

hogy zárt göUEHHVHWpQD]LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\IHOV pVDOVyKDWiUDHJ\EHHVLND|sz-

V]HIJJpV MREE ROGDOiUD ]pUXV pUWpN DGyGLN +DD VU VpJ FVDN D Q\RPiV IJJYpQ\H D

(4.15) alapján ugyanez az eredmény adódik.).

A Thomson (Lord Kelvin) tétel értelmében – ha a]HUWpUSRWHQFLiORVpVDV~UOyGi s-

PHQWHVN|]HJVUVpJHiOODQGyYDJ\FVDNDQ\RPiVIJJYpQ\H– a sebességtér zárt fo-

O\pNRQ\YRQDOPHQWLYRQDOLQWHJUiOMDDFLUNXOiFLyD]LG IJJYpQ\pEHQQHPYiOWozik:

G

GWY G V

*

I =

Tekintettel arra, hogy a cirkuláció és a sebességtér örvényessége között a Stokes-tétel (2.7)

értelmében szoros kapcsolat van, a Thomson-tétel alapján megállapítható, hogy súrlódás-

mentes közegben a fenti feltételek fennállása esetén örvényesség nem keletkezhet. Másként

megfogalmazva: súrlódásmentes közeJQ\XJYyWpUEOYDJ\SRWHQFLiORViUDPOiVEyOHUHG

áramlása potenciálos. Valóságos közeg esetén a folyadéksúrlódás következtében pl. szilárd

IDOPHOOHWWNHOHWNH]LN|UYpQ\HVVpJgUYpQ\HVVpJHWKR]KDWOpWUHD]LVKDD]HU WpUQHPSo-

tenciálos, például a Coriolis-HU WpUQHNV]HUHSHYDQWRUQiGyNFLNORQRNNLDODNXOiViEDQ

Definiáljuk az örvényvonalat az alábbi mó-

don: az örvényvonalat minden pontjában

érinti a rotv vektor, azaz ha G V az örvényvo-nal eleme, akkor URW Y G V× = . Definiáljuk

továbbá az örvényfelületet, amely örvény-

vonalakból áll, és amelyet a rotv vektorok

érintenek: URWYG$ = , ld. 4.6. ábra. Ve-

gyünk fel egy, az áramló folyadékkal együtt mozgó A folyékony örvényfelületet (4.6. ábra)

és azon jelöljünk ki egy G folyékony vonalat. Tekintettel arra, hogy az örvényvektorok

érintik a felületet, azoknak a G által határolt felületre vett felületi integrálja zérus. Ekkor vi-

szont a (2.7) összefüggéssel megadott Stokes-tétel értelmében a folyékony felületen felvett

G zárt folyékony vonalon a sebesség vonalintegrálja, a cirkuláció zérus. Ha fennállnak a

Thomson-WpWHO OHYH]HWpVpQpO WHWWNLN|WpVHN V~UOyGiVPHQWHV iOODQGyVUVpJ N|]HJ

(4.34)

(4.35)

A

4.6. ábra



47

SRWHQFLiORVHUWpU, akkor a Thomson-tétel (4.35) értelmében a cirkuláció a G görbe men-

tén zérus értéN LVPDUDG.|YHWNH]pVNpSSHQ egy folyékony örvényfelület mindig meg-

tartja örvényfelület jellegét.

Belátható, hogy két folyékony örvényfelület örvényvonal mentén metszi egymást, amely azHO]HN V]HULQW PHJWDUWMD |UYpQ\YRQDO MHOOHJpW $ PHWV]pVYRQDORQ OpY IRO\DGpNUpV]HN

mindkét folyékony felület részei, ezért mindig a metszésvonal részei maradnak. A metszés-

YRQDOWHKiWPLQGLJXJ\DQD]RNEyODIRO\DGpNUpV]HNE OiOO

A Helmholz I tétele szerint egy örvényvonal, amely két örvényfelület metszésvonala,

PLQGLJXJ\DQD]RNEyODIRO\DGpNUpV]HNEOiOO

Tekintsük a 4.7. ábrát, ahol egy IRO\pNRQ\|UYpQ\FV (csövet

DONRWy|UYpQ\IHOOHWOiWKDWy$]|UYpQ\FV

SDOiVWMiQYHJ\Nfel az S zárt folyékony vonalat, amely S1,S26¶pV6´UpV]HNEO

áll. Miután a zárt vonal az örvényfelületen van, a sebesség vo-

nalintegrálja e vonal mentén a Stokes-tétel értelmében zérus.

Írjuk fel a cirkulációt az S mentén, figyelembe véve, hogy a

sebesség vonalintegrálja S'’n és S'”n éppen kiejti egymást:

Y G V Y G V Y G V

6 6 6

I I I = + =

.

4.7. ábra

(4.36)



48

A körüljárási irányokat az A1 és A2 keresztmetszetekhez képest adtuk meg (azaz a (4.36)

jobb oldalán a második integrál körüljárási iránya negatív). Azonos (pozitív) körüljárási

irány esetén az S2J|UEpUHYRQDWNR]yLQWHJUiOWSR]LWtYHO MHOOHODPiVLNROGDOUDYLKHWMNiW

Y G V Y G V6 6

I I = ,

azaz a Stokes-tétel értelmében:

URW Y G $ URW Y G $

$ $

I I =.

Fentiek alapján megfogalmazható +HOPKRO],,WpWHOH$]|UYpQ\FVKRVV]DPHQWpQEir-

mely metszetében U RWYG$

$

I pUWpNHiOODQGypVLGEHQVHPYiOWozik.

4.8. ábra

Következmény: D]|UYpQ\FVQHPIHMH]GKHWEHD]iUDPOyN|]HJEHQ9DJ\]iUWJ\UW

alkot, vagy az áramlási tér határáig ér. (Különben $ ⇒ URW Y ⇒ ∞ következne a tétel-

EO+HOPKROW],,W|UYpQ\HpUWHOPpEHQ]iUWJ\U DIVWNDULNDDPHO\+HOPKROW],. törvé-

Q\H pUWHOPpEHQ ÄHJU]L D EHQQH OpY IVW|W D]D] LG EHQ XJ\DQD]RNEyO D IRO\DGpNU é-

szek EOiOOOG4.8. ábra).

Az örvénytételeknél alkalmaztuk az Euler-egyenletet, tehát e tételek valóságos közegeknél

addig és olyan mértékben érvényesek, ameddig és amilyen mértékben az Euler-egyenlet.

Látni fogjuk a súrlódásos áramlások tárgyalásánál, hogy valóságos közeg áramlása esetén

számos esetben jó közelítés a súrlódás hatásának elhanyagolása. Ezért az örvénytételek sok

(4.37)



49

esetben jó közelítésként, más esetekben a tendenciák meghatározására eredményesen hasz-

nálhatók.

$ UHSOJpS V]iUQ\DNUD IHOKDMWyHU KDW

ami annak a következménye, hogy a szárny

alatt a nyomás nagyobb, mint felette. Ez a

nyomáskülönbség akkor jöhet létre, ha a

szárny fölött az áramlási sebbesség na-

gyobb mint alatta, azaz a szárny körül fel-

vett zárt görbén a sebesség vonalintegrálja, a Γ FLUNXOiFLy]pUXVWyOHOWpU $IHMezetben

mutat MXNEHKRJ\HJ\V]iUQ\UDKDWyIHOKDMWyHU HJ\HQHVHQDUiQ\RVDV]iUQ\N örüli cirkulá-

cióval. A szárny (pl. egy repüOJpSV]iUQ\WHKiWRO\DQiUDPNpSHWKR]OpWUHPDJDN|Ul,

mintha egy örvény lenne. Vegyük körül a nyugvó szárnyat a 4.9. ábrán látható módon egy

]iUWJ|UEpYHODPLQDFLUNXOiFLyQ\XJYyOHYHJpViOOyV]iUQ\HVHWpQ]pUXVpVD7KRPVRQ-tétel (4.35 összefüggés) értelmében zérusnak kell maradnia, hiszen a szárnytól távol felvett

G görbe környezetében az áramlási sebességek kicsinyek, így a Thomson-tétel érvényessé-

gét "„lrontó"”súrlódás hatása elhanyagolható. Ha mozgásba jön a szárny (elindul a repül

gép), körülötte Γ cirkuláció alakul ki, ami csak akkor lehetséges, ha egy azonos nagyságú,

de ellentétes irányban forgó u.n. indulási örvény keletkezik a szárny mögött (ld. 4.9. ábra).

Hasonlóan belátható, hogy a szárny megállításakor is egy örvény, a megállási örvény válik

le a szárnyról.

A Helmholtz II tétel értelmébenYLV]RQWH]HNQHPIHMH]GKHWEHD]iUDPOiVLWpUEHQ0LO\HQ

mechanizmus eredményeként adódik a zárt örvény hurok?

4.10. ábra

Tekintsük a 4.10. ábrát, ahol egy áramlási térbe helyezett szárny látható felülnézetben. Lát-

ható, hogy a szárny mindkét végén folyamatosan úszik le egy-egy ellentétesen forgó ör-

vény, amelyek körüli cirkuláció, megegyezik a szárny körüli cirkulációval. Ezek az örvé-

4.9. ábra



50

nyek kötik össze a szárnyat, ill. annak megállása után a megállási örvényt) az indulási ör-

vénnyel, a Helmholtz II törvény értelmében zárt örvényhurkot alkotva. A szárnyvégi örvé-

nyek keletkezését mutatja a 4.11. ábra is amely Ma=1.1 Mach-V]iPPDOOGNpV EEMHl-

OHP]HWWiUDPOiVEDKHO\H]HWWUHSOJpSPRGHOON|UONLDODNXOyiUDPOiVWOiWXQN$V]iUQ\Yé-

JHNHQNHOHWNH]|rYpQ\HNHWDPHO\HNEHQDQ\RPiVpVtJ\DVU VpJLVNLVHEEDN|UQ\H] e-

WLQpODV]iUQ\YpJKH]FVDWODNR]yDUHSOJpSKRVsztengelyével párhuzamos sötétebb vona-

lak mutatják. (A kép többi részét a gázdinamika fejezet tárgyalásánál értelmezzük.)

4.11. ábra

$ V]iUQ\YpJU O OH~V]y |UYpQ\HN NHOHWNH]pVpW HOHPL iUDPOiVWDQL PHJIRQWROiV DODSMiQ LV

megérthetjük: a szárnyon úgy keletke]LN IHOKDMWyHU KRJ\DOXODQ\RPiVQDJ\REEPLQW

IHOO(Q\RPiVNO|QEVpJKDWiViUDDV]iUQ\YpJHLWPHJNHUO iUDPOiVDODNXONLDPHO\D

szárny körüli áramlással összeadódva két örvényt alkot.



5. Alkalmazások: hidrosztatika, úszás

5.1. Hidrosztatika

E fejezetben azokat az eseteket vizsgáljuk, amelyeknél létezik olyan koordináta-rendszer,

DPHO\EOQp]YHDIRO\DGpNQHPJ\RUVXOD]D]DpUWHOPpEHQDWpUHU VVpJEOpVDQ\o-

PiVEyOV]iUPD]yHU NLHJ\HQOtWLHJ\PiVW1HPJ\RUVXODN|]HJKDD]DGRWWNRRUGLQita-

rendszerben áll, vagy egyenesvonalú, egyenletes mozgást végez. Ez utóbbi esetben viszont

egy együttmozgó koordináta-rendszerrel „megállíthatjuk” a közeget. Ezért azon feladato-

kat, amelyeknél a folyadék gyorsulása G Y GW = hidrosztatikai feladatoknak nevezzük.

Tekintsük az Euler-egyenlet (4.13) összefüggésben megadott alakját:

G Y

GWJ JUDGS= −

ρ .

Miután a folyadékrészek sebessége zérus, hidrosztatikai feladatoknál az Euler-egyenlet

valóságos (súrlódásos) közegben is elhanyagolás nélkül alkalmazható. Nyugalomban

léY QHZWRQL N|]HJEHQ XJ\DQLV QHP OpSQHN IHO FV~V]WDWyIHV]OWVpJHN OG IHMH]HW

(1.2) összefüggés):

Az (5.1) egyenlet bal oldalára zérust írva, átrendezve és ρ-val átszorozva megkapjuk a hid-rosztatika alapegyenletét:

JUDGS J= ρ

A hidrosztatika alapegyenlete alapján megállapítható, hogy

– a nyomás leggyorsabb változásának (növekedésének) iránya és irányítása megegyezik az

HU WpUWpUHU VVpJYHNWRUiQDNLUiQ\iYDOpVLUiQ\tWiViYDO

–DQ\RPiVYiOWR]iViQDNPpUWpNHDWpUHU VVpJDEV]RO~WpUWpNpYHOpVDN|]HJVU VpJpYHO

arányos.

+DD]HU WpUSRWHQFLiORVD]D]J JUDG8= − , az (5.2) egyenlet átalakítható:

JUDG S JUDG 8= −ρ,

D]D] D] D]RQRV Q\RPiVVDO MHOOHPH]KHW S iOO= felületek (izobárok) és az 8 iOO=

ekvipotenciális felületek egybeesnek.

A hidrosztatikai feladatok megoldásánál az (5.2) vagy (5.3) differenciálegyenletet kell in-

WHJUiOQL(]WPiUD]HO]IHMH]HWEHQPHJWHWWNDPLNRUD](XOHU -egyenlet vonal menti

(5.1)

(5.2)

(5.3)



52

integrálásával megkaptuk a Bernoulli-egyenletet. A hidrosztatikai feladatok megoldásánál

tehát a Bernoulli-egyenlet tárgyalásániOPHJKDWiUR]RWWHJ\HQOHWHNHWFpOV]HU KDV]nálni az-

]DOD]HJ\V]HU VtWpVVHOKRJ\DVHEHVVpJHWLOOJ\RUVXOiVWWDUWDOPD]yWDJRN]pUXVpUWpN ek.

ËJ\SOKDD]HU

WpUSRWHQFLiORVKLGURV]WDWLNiEDQFVDNLO\HQHNNHOIRJXQNWDOiONR]QLpVDN|]HJVU VpJHiOODndó, akkor a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggésben megadott legál-

talánosabb alakjából a (4.31) alakot kapjuk, természetesen a sebesség tagok nélkül:

S8

S8

ρ ρ+ = +

Tekintsük az 5.1. ábrátDKROD)|OGQHKp]VpJLHU WHUpEHQ OpYWDUWiO\OiWKDWyDPHO\EHQ

ρ = NJ P VU VpJYt]YDQ+DWiUR]]XNPHJDQ\RPiVYiOWR]iViWDWDUWiO\EDQ

(J\LNPHJROGiVL OHKHWVpJNpQW LQGXOMXQN NLD

KLGURV]WDWLND DODSHJ\HQOHWpEO Legyen z

lefelé mutató koordináta. Ebben a koordináta-

rendszerben J J N = , ahol g N kg= 9 81. . Az

(5.2) egyenletet kifejtve:

∂

∂

∂

∂

∂

∂ρ

S

[L

S

\ M

S

]N J N + + =

adódik.

$]|VV]HIJJpVEO OiWMXNKRJ\DQ\RPiVDYiUDNR]iVQDNPHJIHOHOHQFVDNDIJJOHJHV

koordináta mentén változik. Ezért írható: GS G] J = ρ . A differenciálegyenlet megoldása

után a

S J ] .RQVW= +ρ

összefüggést kapjuk, azaz a nyomás lefeléOLQHiULVDQQ A Konst. integrálási állandót úgy

határozzuk meg, hogy a folyadéktér egy olyan pontjára írjuk fel az (5.6) összefüggést, ahol

ismert a nyomás. Ilyen pont a felszín, ahol írható: ha ] = , akkor S S= . Behelyettesítve

.RQVW S = adódik, tehát

S S J ]= + ρ.

Ha a tartály alján keressük a nyomást, ] += -t kell az (5.7) egyenletbe helyettesíteni.

Másik megoldásként alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlet (5.4) alakját. (esetünkben az er

WpUSRWHQFLiORVDN|]HJVU VpJHiOODQGy$%HUQRXOOL-egyenlet alkalmazásánál igen fontos

(5.4)

5.1. ábra (5.5)

(5.6)

(5.7)



53

és HVHWHQNpQWWDOiOpNRQ\ViJRWLJpQ\OIHODGDWDNpWSRQWIHOYpWHOHDPHO\N|]|WWLYRQDORQD]

egyenlet az Euler-egyenletet „integrálja”. Általában jól használható az a módszer, amely

szerint az egyik pontot ott vegyük fel, ahol mindent ismerünk, a másikat pedig ott,

DKRONHUHVQNYDODPLWpVDOHJW|EEMHOOHP]WLVPHUMN

Legyen tehát az egyik pont (ahol mindent ismerünk) a felszínen felvett 1 pont, a másik a

tartály alján z=+KHO\HQOpYSRQWDKRODQ\RPiVWNHUHVVN/HIHOpPXWDWy]NRordináta

HVHWpQD)|OGQHKp]VpJLHU WpUSRWHQFLiOMDOGIHMH]HW8 J]= − alakú. Az (5.4) egyen-

OHWHJ\HVWpQ\H]LWV]iPEDYpYH

S S ] S ] + = = = = " .

Behelyettesítés és átrendezés után: S S J + − = ρ adódik.

Ha a 2 pontot nem a tartály alján, hanem valamely z változó mélységben vesszük föl, az

(5.7) összefüggésre jutunk.

Hogyan kell eljárnunk, ha a tartály felfelé gyorsul a gyorsulással? Abszolút (a Földhöz

U|J]tWHWWUHQGV]HUEOYL]VJiOYDDMHOHQVpJHWD]VHPPLNpSSHQQHPWDUWR]LNDKLGURV]WDWLND

N|UpEHDIRO\DGpNPR]RJVWJ\RUVXOYDPRzog, tehát az áramlás instacionárius. Szerencsé-

re találunk egy olyan koordináta-UHQGV]HUWDPHO\EOQp]YHDN|]HJiOOH]DWDUWiOO\DOIHOI e-

lé együtt gyorsuló koordináta-rendszer. Ha a koordináta-rendszer gyorsul, akkor abban

WRYiEELHUWpUMHOHQLNPHJ (ldIHMH]HW(VHWQNEHQH]D]HU WpUDWHKHWHWOHQVpJLHU

tér, amelynek potenciálja a (2.10) összefüggés alapján 8 D ]W = − , hiszen felfelé gyorsuló

koordináta-rendszerben felfelé kell munkát végezni, ha elmozdítunk egy tömeget, azaz fel-

IHOpFV|NNHQ]-k irányában) kell növekednie az 8 W -nak.

$ WDUWiO\ DOMiQ OpY Q\RPiVW XJ\DQ~J\ NHOO V]iPROQL PLQW D] HO EE GH

8 8 8 J D ]J W= + = − + $ |VV]HIJJpVWNHOOKDV]QiOQLD]HU WpUSRWHQFLiOMiUD(UHGPpQ\O

a S S J D + − = +ρ $ kifejezést kapjuk, tehát a tartály felfelé gyorsulása a folyadékra ható

V~O\HU WPLQtegy megnövelte.

$IHOIHOpJ\RUVXOyWDUWiO\IHOV]tQpU OD]WWpWHOH]WNIHOKRJ\QHPYiOWR]LNDJ\RUVXOiVKDWá-

ViUDÒJ\pUH]]ND]RQEDQKRJ\SOJ\RUVXOyWHKHUDXWyQOpYWDUWiO\EDQOpYFVHSSIRO\yV

közeg felszíne nem marad „vízszintes”. Milyen kapcsolat vDQDWpUHUVVpJpVDIHOV]tQ

között?



54

Vegyük a hidrosztatika (5.2) alapegyenletének rotációját. Miután URW JUDG $ = , a bal ol-

dal zérus lesz. Ezért írható – figyelembe véve a szorzat deriválási szabályait:

URW J URWJ JUDG Jρ ρ ρ" ' = + × = .

0LXWiQDKLGURV]WDWLNDLSpOGiLQNEDQHOIRUGXOyHU WHUHNSRWenciálosak, URWJ = (EEON ö-

vetkezik, hogy JUDG Jρ × = D]D]DVU VpJ OHJURKDPRVDEEYiOWR]iViQDN LUiQ\D SiU hu-

]DPRVDWpUHU VVpJYHNWRUUDO$N|]HJVU VpJHDIHOV]tQUHPHU OHJHVHQYiOWR]LNDOHJUR-

hamosabban, WHKiWNpWNO|QE|] VUVpJN|]HJHWHOYiODV]WyKDWiUROyIHOület (felszín)

minGHQSRQWMiEDQPHUOHJHVD]HUWpUHUHGWpUHUVVpJYHNWRUiUD Ez azt is jelenti,

hogy a felszín egybeesik valamely ekvipotenciális felülettel. (Ez utóbbi megállapítás

közvetlenül belátható, ha meggondoljuk, hogy az 8 iOO= IHOOHWHNLVPHU OHgesek J -re.)

0HJiOODStWRWWXNKRJ\YiOWR]yV U VpJHVHWpQDVU VpJ OHJJ\RUVDEEYiOWR]iViQDN LUiQ\D

SiUKX]DPRVDWpUHU VVpJYHNWRUUDO.pUGpVKRJ\HYHNWRULUiQ\iEDQHOPR]GXOYDFV|NNHQ

YDJ\QDVU VpJ%L]RQ\tWKDWyKRJ\PLQGNpWHVHWOHKHWVpJHVGHcsaNDWpUHUVVpJLUá-

Q\iEDQQ|YHNYVUVpJHVHWpQVWDELODUpWHJ]GpV.

Térjünk vissza a felszín helyzetéhez. Az 5.2. áb-

rán egy jobbra gyorsuló kocsit és egy hengeres

HGpQQ\HOHJ\WWPHUHYWHVWV]HU HQIRUJyIRO\a-

dékot látunk. Milyen alakú a felszín és hol he-

lyezkedik el? Ha ugyanis e kérdésekre választ

tudunk adni, fel tudjuk írni a Bernoulli-

egyenletet a felszín egy pontja és a folyadéktér

HJ\PiVLNDNHUHVHWWMHOOHP]WWDUWDOPD]ySRQWMD

között. Gyorsuló kocsi esetén együtt gyorsuló

koordináta-rendszert veszünk fel, ezért a tehetetOHQVpJLHU WpUUHOJ D LW = − ) is kell számol-

QLD)|OGQHKp]VpJLHU WHUHJ J N J = − PHOOHWW$]DONDOPD]RWWHO MHOHND]5.2. ábrán fel-

vett koordináta-rendszerhez igazodnak.)

$]HUHGHU WpUSRWHQFLiOMDDNpWHU WpUSRWHQFLiOMiQDN|VVzege. A folyadék felszíne vala-

mely ekvipotenciális felülettel esik egybe. E felületek egyenletét az 8 J] D [ iOO= + +

összefügJpVEONDSKDWMXN

]D

J[ . = − +

$J\RUVXOyNRFVLEDQOpY IRO\DGpNIHOV]tQH WHKiWVtNDPHO\D −D J LUiQ\WpQ\H] EO N ö-

YHWNH]HQPHU OHJHVD J HUHG HU WpU vektorra. Azt, hogy az ekvipotenciális felületsereg

melyik elemével esik egybe a felszín, a folyadékmennyiség állandósága dönti el. Köny-

5.2. ábra

(5.8)



55

nyen beOiWKDWyKRJ\iOODQGyV]pOHVVpJNRFVLHVHWpQDKRVV]IHOpEHQOpY"tengely" körül

"billen el" a felszín, ha nem vág be a kocsi aljába. (Ezért érdemes a koordináta-rendszer

origóját itt felvenni.)

A forgó edénybenOpYPHUHYWHVWV]HU HQIRUJyIRO\DGpNRWD]HJ\WWIRUJyUHQGV]HUE O

célV]HU YL]VJiOQL DPLNRU D )|OG QHKp]VpJL HU WHUpKH] D FHQWULIXJiOLV HU WpU MiUXO $ 2.2.fejezetben foglaltak alapján felírható az ekvipotenciális felületek egyenlete:

8 J]U

iOO D]D] ]U

J. = − = = − +

ω ω

.

/iWKDWyKRJ\D]HNYLSRWHQFLiOLVIHOOHWHNpVD]HJ\LNNHOHJ\EHHVIHOV]tQLVPiVRGIRN~

forgási paraboloidok.

Ebben az esetben is a folyadék térfogatának állandósága szabja meg, hogy az

ekvipotenciális felületsereg melyik eleme a felszín, azaz, hogy egy adott koordináta-

rendszerben mennyi a K értéke. A 3.6. fejezetben meghatároztuk egy n-ed fokú forgási

SDUDERORLGDODWWOpYWpUIRJatot. Ha n=2, ez a térfogat a befoglaló henger térfogatának a fele

(ld. 5.2. ábra(EEON|YHWNH]LNKRJ\DIRUJyHGpQ\EHQDIHOV]tQHUHGHWLIRUJiVHOWWLIHl-

színhez képesti legnagyobb lesüllyedése és felemelkedése egymással megegyezik:

∆P 5 J= ω $ .

+DHOHJHQGWDSDV]WDODWRWV]HU]QNKLGURV]WDWLkai feladatok megoldásában, a nyomásokat

HJ\HJ\V]HU PHJIRQWROiVVDOLVV]iPROKDWMXN7XGMXNKRJ\D]HU WpUHNYLSRWHQFLiOLVIHOOe-

WHLHJ\EHHVQHND]iOODQGyQ\RPiV~IHOOHWHNNHOOG+DD]HUHG HU WpUW|EEHU WpU

|VV]HJHNpQW DGyGLN D] HJ\HV HU WHrek "s„ját" ”kvipotenciális felületükön nem okoznak

Q\RPiVQ|YHNHGpVW+DWHKiWD]HJ\LNHU WpU -|VV]HWHYHNYLSRWHQFLiOLVIHOOHWpQPR]GXOXQN

el, a máVLNHU WpU|VV]HWHYRNR]KDWQ\RPiVQ|YHNHGpVW

Az ekvipotenciális felületek megtalálása általában nem okoz nehézséget: a Föld nehészségi

HU WHUHHVHWpQYtV]LQWHVDWHKHWHWOHQVpJLHU WpUHVHWpQDWpUHU VVpJYHNWRUUDPHU OHJHVVí-

NRNFHQWULIXJiOLVHU WpUHVHWpQDIRUJiVWHQJHOO\HOPHJHJ\H] WHQJHO\KHQJHUHN+DD)|OG

QHKp]VpJLHU WHUpYHOYDJ\DWehetetlenségi HU WpUWpUHU VVpJYHNWRUiYDOPHJHJ\H]LUiQ\EDQés irányítással ∆ ∆V LOO VJ D távolságot mozdulunk el állandó ρVU VpJN|]HJEHQ

∆ ∆ ∆ ∆ S J V LOO S D VJ J D D= =ρ ρ

nyomásnövekedés adódik (ellentétes irányban nyomáscsökkenés). Ha ω szögsebességgel

forgó koordinátarendszerben, ρVU VpJN|]HJEHQU 1 sugárról egy nagyobb r2 sugárra me-

gyünk át, a nyomás ∆ S U U F = −ρ ω

" ' érWpNNHOQDFHQWULIXJiOLVHU WpUKDWiViUD

Felhasználva a fentieket az 5.2. ábránOpYHVHWHNEHQKDWiUR]]XNPHJD%pV$SRQWEDQ lé-

YQ\RPiVNO|QEVpJpW

(5.9)



56

− a gyorsuló kocsinál: S S J V D V% $ J D− = +ρ ρ∆ ∆

− a forgó edénynél: S S J V 5 % $ J− = +ρ ρ ω∆ .

Az eddigiekben vizsgált esetekben a ρ = iOO feltételezéssel éltünk, ami cseppfolyós hal-mazállapotú közegeknél a valóságnak iJHQMyOPHJIHOHO$Ji]RNVU VpJHD]RQEDQDQ\o-

PiVQDJ\REEYiOWR]iVDHVHWpQMHOHQW VHQYiOWR]KDW$]Ji]W|UYpQ\pUWHOPpEHQDρs

U VpJ7iOOHVHWEHQDQ\RPiVVDODUiQ\RV0LDWHHQGDNNRUKDDVU VpJQ\RPiVYiOWo-

zása miatti változása nem hanyagolható el pl. meghaladja a 10%-ot?

+DDVU VpJDQ\RPiVIJJYpQ\HDNNRUKDV]QiOKDWyD%HUQRXOOL-egyenlet általános alakja

(4.29) a bal oldal zérus értéke mellett figyelembe véve a (4.15) átalakítást. Potenciálos er

tér feltételezésével:

8 8GS

S S

S

− + =1 $ $ρ .

Általánosságban (pl. ha a ρ nem a p-WOIJJKa-

QHP SO PpJ D KPpUVpNOHWWO pV D QHGves-

ségtartalomtól is), a hidrosztatika (5.2) alapegyenle-

téhez (azaz az Euler-HJ\HQOHWKH] FpOV]HU YLVV]D-

nyúlni. /HJ\HQ D IHODGDW D] DWPRV]IpUiEDQ OpYQ\RPiVPHJRV]OiV PHJKDWiUR]iVD iOODQGy OHYHJ-

KPpUVpNOHW7 iOO= ) mellett. Vegyünk fel egy fel-

felé mutató z koordinátát (ld. 5.3. ábra). E koordináta-UHQGV]HUEHQD)|OGQHKp]VpJLHU WHUH

J J N = − vektortérrel írható le.

Alkalmazzuk a hidrosztatika (5.2) alapegyenletét:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ρ S

[

LS

\

MS

]

N J N + + = − $ .

Ismét látjuk, hogy a nyomás csak a z koordináta függvénye, ezért írható:

GS

G] S J= −ρ $ ,

ahol az (1.5) gáztörvény értelmében ρ SS

57 $ = .

(5.10)

5.3. ábra



57

Behelyettesítés és a differenciálegyenlet szétválasztása után az alábbi integrálás elvégzé-

sével határozhatjuk meg a keresett S S ]= függvénykapcsolatot:

GS

S

J G]

5 7

S

S

J ]

5 7

]

S

S

= − ⇒ = − ⇒

1 1 OQ

S S H

J

5 7]

=−

Az 5.3. ábrába felvittük az (5.11) nyomásváltozást, amelynek a kezdeti ( ] = -hoz tartozó)

pULQW MHPHJHJ\H]LND]iOODQGyVU VpJIHOWpWHOH]pVpYHODGyGyQ\RPiVYiOWR]iVHJ\HQHVé-

vel.

0HJMHJ\H]]NKRJ\DYDOyViJEDQDKPpUVpNOHWIHOIHOpKDODGYDiOWDOiEDQFV|NNHQ

5.2. Testek úszásaAz Euler-egyenlet levezetésénél láttuk (ld. 4.2. fejezet), hogy ha egy ∆V térfogatú testet

egy JUDGS nyomásgradienssel jellemzett térbe helyezünk, akkor arra ∆ ∆) JUDG≅ − S 9

HU KDW$KLGURV]WDWLNDDODSW|UYpQ\pWEHKHO\HWWHVtWYH∆ ∆) J 9= −ρ adódik, azaz a ρ

sU VpJN|]HJEHPHUtWHWt ∆9WpUIRJDW~WHVWUHKDWyHU LUiQ\tWiVDHOOHQWpWHVD]HU WpUYHNWRU

irányításával, nagysága pedig megegyezik a ∆9WpUIRJDW~IRO\DGpNUDKDWyHU WpUEOV]iU -

mazó erYHO$)|OGQHKp]VpJLHU WHUpEHQÄIHOKDMWyHU U O´EHV]pOKHWQNDPHO\QDJ\ViJD

megegye]LNDÄNLV]RUtWRWWIRO\DGpNV~O\iYDO 8J\DQLO\HQÄIHOKDMWyHU ´PR]JDWMDJ\RUVXOy

autóbuV]RQDKLGURJpQQHOW|OW|WWOpJJ|PE|WHOUHDYH]HWIONHIHOp

+DHJ\9WpUIRJDW~WHVWHWD)|OGQHKp]VpJLHU WHUpEHQρ VU VpJFVHSSIRO\yVYDJ\Opg-

QHPIRO\DGpNEDPHUtWQNDUUD) J 9I = ρ IHOKDMWyHU KDWDPLWWiPDV]WyHU QHNLVQHYHz-

QHN $ WiPDV]WyHU iWPHJ\ D N|EWDUWDORPN|]pSSRQWRQ DPLD KRPRJpQ W|PHJHORV]OiV

esetén megegyezik a súlyponttal.

(J\WHVWDNNRU~V]LNKDiWODJRVVU VpJH

megegyezik a cseppfolyós közeg ρVU sé-gével, vagy kisebb annál. Utóbbi esetben

csak addig merül a vízbe a test, amíg a

EHPHUOUpV]iOWDONLV]RUtWRWWIRO\DGpNVú-

lya megegyezik a test súlyával. A súlyHU

pVDIHOKDMWyHU HJ\HQV~O\DPHOOHWWD]~V]y

test stabilitásának YDQ MHOHQWVpJH DPLW

az úszó test az elfordulással szemben mu-

tat.

(5.11)

5.4. ábra



58

Nyilvánvaló a test stabilitása, ha SV~O\SRQWMDDN|]HJEHPHUOUpV]K térfogatközéppontja

alatt van (ld. 5.4. ábra). Ekkor elfordulás esetén egy, az elfordulást csökNHQWM nyomaték

keletkezik.

$WHVWDODNMiWyOIJJ

HOIRUGXOiVLV]|JLJVWDELOLVOHKHWDQQDNDWHVWQHNSOKDMyQDND]HJ\H n-súlya is, amelynél az S súlypont a kiszorított térfogat K középpontja felett van. (Ezt kezdeti

VWDELOLWiVQDNQHYH]]NPHUWDYLV]RQ\RNWyOIJJ pUWpNQpOQDJ\REENLWpUpV HVHWpQDKDMy

felborul.) Tekintsük az 5.5. ábrát!

Az ábrán látható hajótest szimmetria-VtNMDDIJJOHJHVKH]

képest szöggel tért ki. Az ábrán láthatók az S súlyponton és

a KWpUIRJDWLN|]pSSRQWRQiWPHQ GV~O\HU pV)I felhajtó-

HU DKDMyNLWpUpVHHOWWLKHO\]HWUHYRQDWNR]WDWYD$NLWpUpV

KDWiViUD D V~O\SRQW pV D V~O\HU YDODPLQW D IHOKDMWyHU

nagysága nem változott megGHDIHOKDMWyHU WiPDGiVYRQa-

la eltolódott. A kitérés hatására ugyanis a hajótest AMHOpN

DODN~UpV]HNLNHUOWDYt]EODBMHOYLV]RQWEHOemerült.

$]HUHGHWLNLWpUpVHOWWLKHO\]HWKH]NpSHVWWHKiWHJ\HU SiUNHOHWNH]HWW(]HOWROWDDIHOKD j-

WyHU Wamelynek támadásvonala az M metacentrumban metszi a szimmetriasíkot. Ha az S

súlypont az M metacentrum alatt van, akkor a hajó egyensúlyi helyzete stabil, hiszen

NLWpUpVHVHWpQHJ\D]]DOHOOHQWpWHVYLVV]DWpUtWQ\RPDWpNNHOHWN ezik.

5.5. ábra



6. Alkalmazások: súrlódásmentes áramlások

elemzése, számítása

Ebben a fejezetben példaként néhány feladatot oldunk meg, felhasználva az eddig tanulta-

kat. Az áramló közeg súrlódásmentes és összenyomhatatlan.

6.1. Áramlás konfúzorban

Tekintsük a 6.1. ábrát, ahol egy konfúzor lát-

ható, amelyben víz áramlik. Mekkora a

nyomásgradiens a tengely A pontjában, W W=

SLOODQDWEDQ KD D EHOpS VHEHVVpJ

Y Y W = +4 9 függvény szerint változik?

Miért változik a nyomás a konfúzorban? Az

iUDPOy IRO\DGpNUpV]HNJ\RUVXOQDN DPLFVDN HU KDWiViUDPHKHW YpJEH 7HNLQWHWWHO DUUD

KRJ\ D V~UOyGiV QHP MiWV]LN V]HUHSHW pV D V~O\HU D] iUDPOiVUDPHU OHJHV WHKiW FVDN D

nyomás hely szerinti változása gyorsíthatja a közegrészeket.

A gyorsulás és a nyomásgradiens között az Euler-egyenlet teremt kapcsolatot (4.13),

DPHO\EONLIHMH]YHDQ\RPiVJUDGLHQVW

JUDGSG Y

GW= −ρ

|VV]HIJJpVDGyGLN$WpUHU VVpJQHNQLQFVen vízszintes irányú komponense, ezért nem be-

folyásolja a nyomás változását.) A G Y GW folyadékrész gyorsulása a (4.3) összefüggés sze-

ULQWORNiOLVpVNRQYHNWtYUpV]EOiOO

G Y

GW

Y

W' Y= +

∂

∂.

A fenti összefüggés kifejtése komponensegyenletekben a (4.2) kifejezésben látható. Miután

a konfúzor tengelyében Y Y\ ]= = és ∂ ∂ ∂ ∂Y [ Y [\ ] = = DNLIHMH]pVEOPHJil-

lapítható, hogy

G Y

GW

Y

WY

Y

[L

$

[

$

[$[

$

= +

∂

∂

∂

∂ .

6.1. ábra

(6.1)

(6.2)



60

A vx VHEHVVpJNRPSRQHQVKHO\ pV LG V]HULQWL YiOWR]iViQDN V]iPtWiViQiO IHOKDV]QiOMXND

folytonosság tételének (3.29) alakját, ami a ρ VU VpJillandósága miatt (ami víz esetén

igen jó közelítés) a

Y ' Y [ ' [

= 1 6 1 6

összefüggésbe megy át.

$WHQJHO\EHQOpYYxVHEHVVpJHWHJ\HQOQHNYHVV]NDY átlagsebességgel. Ezért valamely

x koordinátához tartozó vx sebesség a

' [ '' '

/[ = -

-

|VV]HIJJpVVHONLIHMH]KHWNRQI~]RUiWPpU LVPHUHWpEHQDpVDODSMiQIHOtUKDWy

YY W '

'' '

/[

[ =

+

-

-

.

$NLIHMH]pVWHOV]|UWPiVRGV]RU[V]HULQWGLIIHUHQFLiOYD[KHO\pEHPLQGNpWNLIHMH]p s-

nél xA-t, t helyébe t1-t helyettesítve majd az így kapott értékeket a (6.2) összefüggésbe beír-

va meJNDSMXNDNHUHVHWWJ\RUVXOiVW(EEODQ\RPiVJUDGLHQVD|VV]HIJJpVEHYDOyK e-

lyettesítéssel adódik.

6.2. Nyomás változás forgó edényben

Tekintsük a 6.2. ábrát, ahol egy henger alakú, vízzel töltött,

w V szögsebességgel forgó edény látható.$]HGpQ\IHOVODp-

MiQDIRUJiVWHQJHO\EHQOpYQ\tOiVN|WL|VV]HDPHUHYWHVWNpQWIRr-

gó folyadékot a környezettel. Határozzuk meg az ASRQWEDQOpY

Q\RPiVpVDNOVS0 nyomás különbségét.

+iURPNO|QE|]PyGV]HUWDONDOPD]XQNDIHODGDWPHJROGiViUD

a/ együttforgó koordináta-rendszerrel „megállítjuk” a folyadékot, majd alkalmazzuk a

hidrosztatika módszereit;

b/ az álló koordináta-rendszerben áramló közegre felírjuk a Bernoulli-egyenletet;

c/ az álló koordináta-rendszerben áramló közegre alkalmazzuk a természetes koordiná-

ta-rendszerben felírt Euler-egyenletet.

(6.3)

(6.4)

(6.5)

6.2. ábra



61

a/ A folyadék együttforgó koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOYDiOOXJ\DQDNNRU– mivel a ko-

ordináta-rendszer forog –ILJ\HOHPEHNHOOYHQQLDFHQWULIXJiOLVHU WHUHW$O pontból az A

SRQWED D )|OG QHKp]VpJL HU WHUpQHNHNYLSRWHQFLiOLV IHOOHWpQ KDODGKDWXQN H]pU t az nem

okoz nyomásnövekedést. Alkalmazva a O és A pont között az (5.4) összefüggést és figye-

OHPEHYpYHDFHQWULIXJiOLVHU WpUSRWHQFLiOMiQDNNLIHMH]pVpWDQ\RPiVNO|QEVpJUHD

S S$ − = − − = − − −

=ρ ρω

8 85

$

1 6 ρ

ω5

összefüggés adódik, ahol ρDYt]VU VpJH

b/ Írjuk fel az abszolút rendszerben a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggéssel megadott

legáltalánosabb alakját!

∂

∂ ρ

v

tds grad

vd s v rot v ds g d s gradp d s

I II III IV V

A A A A A

0

2

0 0 0 02

1I I I I I + − × = −

.

(VHWQNEHQD]DEV]RO~WVHEHVVpJWpUVWDFLRQiULXVH]pUWD],LQWHJUiO]pUXVpUWpN $,,LQWHg-

rál Y Y$

−4 9 alakra hozható. (ld. 4.4 fejezet$,,,LQWHJUiOWQHPWHKHWMNHJ\HQOYp]é-

russal (4.4. fejezet), hiszen az áramlásban a URW Y nem zérus, és – mivel az áramvonalak

koncentrikus körök – nem lehet O-ból áramvonalon A-ba jutni. A IV tagnál figyelembe

kell venni, hogy –PLYHOD]iOOyUHQGV]HUEO vizsgáljuk a jelenséget – csak a Föld nehézségi

HU WHUHMiWV]KDWV]HUHSHW J D]RQEDQPHU OHJHVGV-re, ezért a IV integrál esetünkben zérus

értéN 7HNLQWHWWHO DUUD KRJ\ D N|]HJ |VV]HQ\RPKDWDWODQ D]9 LQWHJUiO − − S S$ 1 6 ρ

alakra hozható.

Ezek figyelembevételével:

S S Y URW Y G VY Y

$

$

$− = × −−

I

ρ ρ

.

Abszolút rendszerben az áramlás koncentrikus kör alakú áramvonalakkal jellemzett sík-

áramlás, ahol a sebesség csak a sugár függvénye: Y U = ω . Ebben az esetben a URW Y-nek

csak forgástengellyel komponense van, amelyet a (3.8) összefüggéssel lehet meghatároz-

ni: URW Y GY GU Y U ]

1 6 = + (EEOHVHWQNEHQ URW Y]

1 6 = w adódik. Keressük az egymás-

UDPHU OHJHV Y , URW Y és GV vektorok vegyes szorzatát. Tekintettel arra, hogy e három vek-

tor jobbsodrású rendszert alkot és GV GU = DNLIHMH]pVEHQV]HUHSOLQWHJUiOHJ\V]HU

en átalakítható. Figyelembe véve továbbá, hogy Y 5 pV Y$ = =w , a (6.8) összefüggés

a (6.6)-WDOPHJHJ\H]DODNUDKR]KDWy

(6.7)

(6.8)



62

S S$ − = ρ ω ω ρω

ρ ω ρω

U GU 5

5 5

5

1 6

I − = − = ρω5

.

F /pQ\HJHVHQ HJ\V]HU EE PHJROGiV LV YDQD] DEV]RO~W UHQGV]HUEHQ ËUMXN IHO D](XOHU -

egyenlet normális irányú komponens egyenletét természetes koordináta-rendszerben (ld.4.3. fejezet, (4.27) összefüggés)

Y

5

S

QJ

JQ

= −

ρ

∂

∂ .

Az 5 J iUDPYRQDOJ|UEOHWLVXJDUDHVHWQNEHQHJ\HQODN|UDODN~iUDPYRQDOUVXJDUiYDO

a dn normális irányú elemi elmozdulás esetünkben dr-UHOHJ\HQOPHUWD]iUDPYRQDODN

koncentrikus körök). A J Q esetünkben zérus értéN )HQWL PHJJRQGROiVRNNDO iWtUYD

szétváODV]WYDPDMGLQWHJUiOYDDGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWHWDN|YHWNH]DGyGLN

GSY

U GU U GU

5

S

S 5

= = ⇒I I I ρ ρ ω

S S5

$ − =

ρ

ω

.

6.3. Kiömlés tartálybólTekintsük a 6.3. ábrát, ahol egy tartály látható, amelyben víz van. (A vízfelszínt tekinsük

végtelen nagynak, azaz hanyagoljuk el a süllyedését.) A tartály hengeres falának alsó ré-

V]pEOHJ\/KRVV]~ViJ~iOODQGyNHUHV]WPHWV]HWFVQ\~OLNNLDPHO\QHNYpJpQHJ\FVDS

van, amelyet „hirtelen” (rövid – elvileg zérus –LGWDUWDPDODWWNLOHKHWQ\LWQL1\LOYiQY aló,

hogy a folyadék nem a nyitás pillanatában éri el a stacionárius kiáramlási sebességet, ha-

QHPFVDNEL]RQ\RVLGP~OYD+RJ\DQOHKHWQHDMHOHQVpJHWOHtUQL"

Írjuk fel a Bernoulli-egyenlet (4.29) összefüggésben megadott legáltalánosabb alakját:

∂

∂ ρ

v

tds grad

vds v rot v d s g ds gradp ds

I II III IV V1

2 2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1I I I I I + − × = −

.

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)



63

6.3 ábra

Vizsgáljuk meg a 4.4.fejezetben leírtak alapján, hogy hogyan lehetne a (6.12) összefüggést

HJ\V]HU VtWHQL

Az I integrál nyilvánvalóan nem zérus, hisz éppen a folyadék gyorsulását kívánjuk megha-

tározni, és nincs is olyan koordináta-rendszer, amHO\EOQp]YHD]iUDPOiVVWDFLRQiULXVViW e-

heW

A II integrálon hajtsuk végre a szokásos átalakítást, amelynek eredményeként

Y Y

−4 9 adódik.

A III integrálYL]VJiODWDHOWWG|QWVNHOKRJ\KRJ\DQYHVV]NIHOD]pVSRQWRNDWDP e-

lyek között az integrálást véJUHKDMWMXN$] HJ\LN SRQW OHKHWVpJ V]HULQW RWW OHJ\HQDKROPLQGHQWWXGXQNOHJFpOV]HU EEDIHOV]tQHQ$PiVLNSRQWRWRWWYHVV]NIHODKROD]LVPHUHt-

len fi]LNDLPHQQ\LVpJHWNHUHVVNpVOHKHWOHJPLQpOW|EEYiOWR]ypUWpNpWLVPHUMNH]DSRQW

célV]HU HQDFVYpJHDNL|POpVKHO\HDKRODKHO\pVDQ\RPiVLVPHUWpVDVHEHVVpJHWpV

gyorVXOiVWNHUHVVN$]pVSRQWIHOYHKHW ~J\KRJ\HJ\iUDPYRQDORQOHJ\HQH]pUWD

III integrál]pUXVpUWpN 9DOyViJEDQD]¶pVSRQWRNN|]|WWiUDPYRQDORQLQWHJUiOXQN ’

és 1 között pedig –DPLQWD]WNpV EEOiWMXN- Y ≅

Figyelembe véve, hogy az abszolút (Földhöz rögzített) koordináta-UHQGV]HUEOYL]VJiOMXND

MHOHQVpJHWtJ\FVDND)|OGQHKp]VpJLHU WHUpYHONHOOV]iPROQXQNDPLSRWHQFLiORV(]pUWD

IV integrál a − −8 8 1 6 alakra hozható.

7HNLQWHWWHODUUDKRJ\D]iUDPOyN|]HJYt]DPHO\QHNVU VpJHiOODQGyD]V integrál a

− − S S 1 6 ρ összefüggésbe alakítható át.



64

A fentiek figyelembe vételével (6.12) az alábbi alakra hozható:

∂ ∂ ρ vt

d s v p U+ + + !

" $ # # = I

2

1

2

1

2

20

.

A (6.13) összefüggést szándékosan írtuk fel ebben a szokatlan alakban, mert így világosan

OiWV]LN KRJ\ D] ÄLQVWDFLRQiULXV WDJRW D] LQWHJUiO IHOV KDWiUiKR] WDUWR]y %HUQRXOOL-

összeghez kell hozzáadni. Esetünkben 8 J]= , mert a z koordináta felfelé mutat és tudjuk,

hogy a potenciálnak abban az irányban kell növekednie, amerre munkát végzünk, ha egy

testet elmozdítunk.

+DWiUR]]XNPHJD]HJ\HVWDJRNpUWpNpWDFV YpJpQOpYFVDSNLQ\LWiVDXWiQAz 1-es pont-

EDQpVDWDUWiO\EDQDVHEHVVpJ]pUXVQDNWHNLQWKHWDNL|POpVN|UQ\H]HWpWOHOWHNLQWYH

meUWDWDUWiO\IHOV]tQHNHUHV]WPHWV]HWHRO\DQQDJ\DFVNHUHV]WPHWV]HWpKH]NpSHVWKRJ\a folyadékfelszín süllyedési sebessége elhanyagolható. Ugyanitt S S = , ] += , ha a

] = szintet a 2-es pont magasságában vesszük fel (ld. 6.3. ábra). A 2-es pontban ] = és

a keresett sebesség Y Y W = 1 60HNNRUDDQ\RPiVDNL|PONHUHV]WPHWV]HWWHQJHO\é-

ben? Erre a kérdésre a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet ismereté-

EHQDGKDWXQNYiODV]W0LXWiQHJ\FV EONL|POIRO\DGpNVXJiUEDQIHOOU OQp]YHD]iUDm-

vonalak párhuzamos egyenesek, a (4.27) egyenlet bal oldalának nevez MpEHQV]HUHSO 5

áramvonal görbületi sugara ∞H]pUWDQ\RPiVYt]V]LQWHVHQD]iUDPYRQDODNUDPHU OHJHVHQ

nem változik. Így a NL|PO NHUHV]WPHWV]HWEHQ D Q\RPiVD NOV Q\RPiVVDO HJ\HQO: S S = . (OlGDOUyOQp]YHDVXJiUDV~O\HU pVQHPDQ\RPiVNO|QEVpJKDWiViUDKDMOLNOH

A gyorsulás vonalintegrálját az alábbi megfontolások alapján fejezzük ki. Ha a tartály ele-

JHQGHQQDJ\DNNRUEHQQHDVHEHVVpJHOKDQ\DJROKDWyGHDNNRUDJ\RUV ulás is jó közelítés-

sel zérus. Ezért az integrálási útvonalat két részre osztjuk: 1-1’ és 1’- 2 szakaszra:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

WG V

Y

WG V

Y

WG V

I I I = +

.

$MREEROGDOHOVWDJMDPHUWDYpJWHOHQQDJ\QDNWHNLQWHWWWDUWiO\EDQDN|]HJJ\RUVXOiViW

elhanyagolhatjuk. A jobb oldal második tagjának meghatározásához tegyünk néhány meg-

állapítást. A ∂ ∂Y W gyorsulásvektor, amelynek abszolút értékét a-val jelöljük, párhuzamos

a GV YHNWRUUDODFVWHQJHO\pEHQOpYLQWHJUiOiVL~WYRQDORQ+DDJ\RUVXOiVQDNOHQQHFV

WHQJHO\UHPHU OHJHVNRPSRQHQVHDNNRUFVWHQJHO\UHPHU OHJHVVHEHVVpJNRPSRQHQVÄN e-

OHWNH]QH´DPLV]LPPHWULDRNRNEyOQHPOHKHWVpJHV7pWHOH]]NIHOKRJ\HOUHQHPLVPHr-

jük a folyadékgyorsulás irányítását. Ilyen esetben felveszünk egy pozitívnak feltételezett

LUiQ\tWiVWpVD]HUHGPpQ\HO MHOHPXWDWMa meg a gyorsulás tényleges irányítását. Vegyük fel SR]LWtYQDNDFVNL|PONHUHV]WPHWV]HWHLUiQ\iEDPXWDWyJ\RUVXOiVW7HNLQWYHKRJ\D

(6.13)

(6.14)



65

∂ ∂Y W és a GV vektor iránya és irányítása megegyezik, az integrandusz az (a ds) alakban ír-

ható, ahol GV GV= .

Hogyan változik aFVKRVV]DPHQWpQDJ\RUVXOiV"+Dρ=iOODNRQWLQXLWiVEyON|YHWNH] HQ

DFVEiUPHO\NHUHV]WPHWV]HWpEHQHJ\DGRWWSLOODQDWEDQD]RQRVQDNNHOOOHQQLHDWpUIRJD t-áramnak: Y $ Y $ = (EEON|YHWNH]LNKRJ\

D $ D $ =,

ugyanis belátható, hogy a keresztmetszet-viszonnyal fordítottan arányos sebességviszony

csak hasonlóan fordítottan arányos lokális gyorsulás-YLV]RQ\HVHWpQM|KHWOpWUH(EEON ö-

YHWNH]LNKRJ\iOODQGyVU VpJN|]HJORNiOLVJ\RUVXOiVDiOODQGyNHUHV]WPHWV]HWFV EHQ

QHPYiOWR]LNDFVKRVV]PHQWpQ(]pUWD|VV]HIJJpVD]DOiEELDNV]HULQWDODNtWKDWy

át:

∂

∂

Y

WG V D GV D /= =I I

.

Helyettesítsük (6.16) összefüggést (6.13)-ba, figyelembe véve, hogy v csak t függvénye:

GY

GW/

Y S SJ ++ + = +

ρ ρ .

Stacionárius esetben GY

GW= felírva a Bernoulli-egyeQOHWHWpVSRQWN|]|WWHJ\V]HU Ví-

tés után adódik:

YJ +VW

=

,

ahol vstDVWDFLRQiULXViUDPOiVKR]WDUWR]yVHEHVVpJDFV EHQ

A (6.18) összefüggést (6.17)-be helyettesítve és a differenciál-egyenletet szétválasztva kap-

juk:

GY

Y Y

GW

/VW

−= .

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)



66

Átalakítás után integrálhatunk:

dv

v

v

v

v

Ldtst

st

stt

vvst

1

220 0

−

=I I .

Integrálás után az DUWKY

Y

W Y

/VW

VW=

összefüggés adódik. Bevezetve a τ = /

Y VW

jelölést, ahol τ

D]D]LGWDUWDPDPLDODWWDFVKRVV]NpWV]HUHVHYstVHEHVVpJJHOPHJWHKHW

Fenti jelöléssel:

Y

YWK

W

VW

=τ

.

A (6.20) függvénykapcsolatot a 6.4. ábra mutatja be. Lát-

ható, hogy a kiáramlás sebessége a stacionárius sebessé-

get aszimptotikusan közelíti.

A 6.3. ábránIHOWQWHWWNDFVWHQJHO\pEHQpVDWDUWiO\EDQ

DQ\RPiVPHJRV]OiViWDFVDSNLQ\LWiVDHOWWLpVXWiQLSLl-

lanatokban. A csap nyitiVDHOWW W < 1 6 a nyomás mindenütt S J+ + ρ . A csap nyitásának

pillanatában W = 1 6 a teljes ρJ+Q\RPiVNO|QEVpJDFV EHQOpYIRO\DGpNRVzlop gyorsítá-

ViUDÄIRUGtWyGLN´$KRJ\WHOLND]LG W > 1 6, a ρgH nyomáskülönbség egyre nagyobb része

V]NVpJHVDWDUWiO\EDQOpYIRO\DGpNYVHEHVVpJUHW|UWpQIHOJ\RUVtWásához és egyre keve-

sebb jut a folyadékoszlop gyorsításáUD(OYLOHJYpJWHOHQLGHOWHltével a kiömlési sebesség

eléri a Y J+VW = értéket.

7HUPpV]HWHVHQDYDOyViJEDQDFV EHQIHOOpSV~UOódás következtében a nyomás stacionárius

iOODSRWEDQVHPOHV]iOODQGyDFVKRVV]DPHQWpQ

6.4. A statikus-, a dinamikus, és az össznyomás

Ha ρiOODQGyVU VpJS∞ nyomású közeg v∞ sebesség-

gel áramlik és az áramló közegbe egy szilárd testet helye-

zünk el (6.5. ábra), a testen találunk egy olyan pontot – a

torlópontot – ahol az áramlási sebesség zérus, azaz a

torlópontba tartó áramvonalon a folyadékrészek teljesen

OHIpNH]GQek. Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az 1 és a t (torló)pont közé. (Az 1 pontban a

zavartalan v∞VHEHVVpJXUDONRGMpNDPLDWHVW]DYDUyKDWiVDN|YHWNH]WpEHQDWHVWHOWWHOYi-

(6.19)

(6.20)

6.4. ábra

t

ρ

6.5. ábra



67

OHJFVDNYpJWHOHQWiYROViJEDQLJD]*\DNRUODWLODJHOHJHQGDWHVWHOWWDWHVWiUDPOiVUDPe-

U OHJHVPpU etének kb. öt-tízszerese távolságba elhelyezni az 1 pontot ahhoz, hogy a test

HOUHKatása elhanyagolható legyen.)

$]iUDPOiVVWDFLRQiULXViUDPYRQDORQLQWHJUiOXQND)|OGQHKp]VpJLHU

WHUpEHQYDJ\XQNde J PHU Oeges az integrálási útvonalra, ρ=áll., ezért a (4.31) alakú Bernoulli-egyenletet

alkalmazzuk ρ-val való átszorzás után, azaz nyomás mértékegységben:

S Y S SW |∞ ∞+ = =

ρ

.

Látható, hogy a torlópont EDQOpYSQ\RPiVQDJ\REEPLQWD]DYDUWDODQiUDPOiVEDQXUD l-

kodó p∞ statikus nyomás. A torlóponti nyomást össznyomásnak nevezzük és pö -vel

jelöljük. Az össznyomás és a statikus nyomás különbsége:

S YG =∞

ρ

,

amit dinamikus nyomásnak nevezünk.

Össznyomásnak (pö) megállított közeg nyomását nevezzük. Látható, hogy az

össznyomás a potenciált tartalmazó taggal (ρU) különbözik a (4.31) összefüggés kapcsán

definiált Bernoulli-összeg ρ-szorosától. Ha tehát a közeg súrlódásmentes, az áramlás

stacionáriXVD]HUWpUKDWiViWyOHOWHNLQWQNpVDVUVpJiOODQGyDNNRUD%HUQRXOOL -

egyenlet azt fejezi ki, hogy

− potenciálos áramlásban az össznyomás állandó, vagy

− örvényes áramlásban az össznyomás egy áramvonal mentén állandó. (Az

össznyomás örvényes áramlásban áramvonalról áramvonalra változik. Példaként te-

kintsük az 1.2. ábrán látható áramlást, ahol a párhuzamos egyenes áramvonalakra me-

U Oegesen a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet értelmében nem

változik a nyomás (ld. (4.27) összefüggés). Miután azonban a sebesség minden áram-

vonalon más, a (6.21) összefüggéssel definiált össznyomás változik az áramvonalakra

PHU OHJHVLUiQ\EDQ

A közeg megálOtWiVDNRU PHJILJ\HOKHW Q\RPiVQ|YHNHGpV UHiOLV PROHNXOiULV V]HUNH]HW

N|]HJHNEHQD]DOiEELPyGRQPDJ\DUi]KDWy$PROHNXOiNPLQWD]HOVIHMH]HWEHQHPOttet-

WN UHQGH]HWOHQ KPR]JiVW pV HUUH V]XSHUSRQiOyGy iOWDOiEDQ VRNNDO ODVVDEE UHQGH]HWW

mozgást végeznek, amit a közeg sebességének nevezünk. Ha feltesszük, hogy a közeg és a

környezeWHN|]|WWQLQFVHQK

FVHUHDNNRUDODVVXOyiUDPOiVEDQOpY

PROHNXOiNUHQGH]HWWVHEHVVpJNFV|NNHQpVHUpYpQQ|YHOLNUHQGH]HWOHQVHEHVVpJNHWD]D]Q DN|]HJKPpU -

(6.21)

(6.22)



68

séklete pVD]HJ\VpJQ\LIHOOHWUHKDWyDPROHNXOiNWN|]pVpEOV]iUPD]yHU D]D]DQ\o-

más.

6.5. Radiális ventilátor, Euler-turbinaegyenlet

Tekintsük a 6.6. ábrát, ahol egy radiális ventilátor vázlata látható.

6.6. ábra

A súrlódásmentesnek tekintett közeg az (szMHO V]tYyFVRQNRQ MXW EH D JpSEH HJ\ iOOy

konfúzor (k) vezeti a forgó járókerékhez ( j), amely az (m) motor (t) tengelyére van rögzít-

ve. A közeg radiális irányba fordul és áthalad a járókerék (l) lapátjai között. A motor M

[Nm] nyomatékot fejt ki az ω [1/s] szögsebességgel forgó járókerékre. E nyomaték hatására

a járókeréken áthaladó közeg forgás irányában eltérül. Bejut a (csMHOFVLJDKi]EDPDMGD

(ny) nyomócsonkon keresztül hagyja el a gépet.

A ventilátorok feladata a szállított közeg össznyomásának növelése$]HO]HNV]HULQWD]

össznyomásnövekedés a

∆ S S S S Y S Y| Q\| V]|

Q\ V]

= − = +

− +

ρ ρ

|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWy

A ventilátor hasznos teljesítményét (ami súrlódásmentes esetben a bevezetett teljesítmény-

Q\HOHJ\HQOD

3 T SY |= ∆

összefüggés fejezi ki, ahol qv[m3 /s] a ventilátor által szállított térfogatáram.

A fogalmak meghatározása után vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehetne az össznyomásnö-vekedést a Bernoulli-egyenlet alkalmazásával kiszámolni! Írjuk fel az egyenletet a lapátrács

(6.23)

(6.24)



69

HOWWL1 és az utáni 2 pont között. Abszolút rendszerben a lapátok mozgása következtében az

áramlás instacionárius, ezért a relatív (együttforgó) rendszerben – ahol az áramlás stacioná-

rius – alkalmazzuk a Bernoulli-egyenletet.

6.7. ábra

Tekintsük a 6.7. ábrát, ahol a lapátok eOWWLpVP|J|WWLSRQWEDQIHOUDM]ROWXNDv ab-

szolút, w relatív és u szállító (kerületi) sebesség vektorokat. Írjuk fel a relatív rendszerben a(4.29) összefüggésben megadott Bernoulli-egyenletet:

∂

∂ ρ

w

tds

w ww rot w ds g d s gradp d s

I II III IV V1

222

12

1

2

1

2

1

2

2

1I I I I +−

− × = − .

Az I integrál zérus, miután a w relatív sebességtér stacionárius. A III integrál is zérus, mert

1 és 2 pontok lehetnek azonos relatív áramvonalon. Hamarosan látni fogjuk, hogy ha nem

iUDPYRQDORQLQWHJUiOXQNGHDYHQWLOiWRUQ\XJYyN|]HJE OV]tYD,,,WDJNLHVLN$]9LQWHg-

rált ρ=áll. következtében − − S S ρ alakra hozhatjuk.

A IV integrál kifejtése némi megfontolást igényel. Miután a koordináta-rendszerünk forog,

DFHQWULIXJiOLVHU WpUUHONHOOV]iPROQXQN(]OpQ\HJHVHQPHJKDODGMDD)|OGQHKp]VpJLHU We-

rét, ezért ez utóbbit elhanyagoljuk. Tudjuk továbbá, hogy ha forgó rendszerben egy tömeg

elmozdul, arra a Coriolis-HU WpUKDWDPHO\D

J Z&RU

= × ω

|VV]HIJJpVVHO tUKDWy IHO )LJ\HOHPEH YpYH KRJ\ D FHQWULIXJiOLV HU WpU SRWHQFLiORV

J JUDG8F F= − továbbá 8

U F = −

ω, a IV integrál az alábbi alakra hozható:

J G VU U

Z G V

I I = −

+ ×

ω ωω

,

ahol ω a koordináta-rendszer forgási szögsebessége, ami megegyezik a járókerék szögse-

EHVVpJpYHO$|VV]HIJJpVEOOiWKDWyKRJ\D&RULROLV -HU WpUYRQDOPHQWLLQWHJUiOMD

zérus, ha áramvonalon integrálunk: Z GV.

(6.25)

(6.26)

(6.27)



70

Tételezzük föl, hogy nem áramvonalon integrálunk. Ebben az esetben a (6.26) összefüggés

,,, LQWHJUiOMD QHP ]pUXV pUWpN 7pWHOH]]N I|O WRYiEEi KRJ\ D] DEV]RO~W VHEHVVpJWpU

örYpQ\PHQWHViUDPOiVEyOSOQ\XJYyWpUE OHUHGWHKiWD7KRPVRQ-tétel (4.35) értelmében

az abszolút sebességtér örvénymentes is marad. Miután az abszolút, relatív és szállító

sebességekre fennáll: Y Z X= + , URWY = esetén írható: URW Z URW X= − . Az X

szállítósebesVpJDVXJiUUDPHU OHJHVpVDEV]RO~WpUWpNH X U = ω alakban írható fel, ezért

rotu a (3.8) összefüggés alapján ω -YDOHJ\HQO

Mindezt beírva a III integrálba

− × = − × − = ×I I I Z URW Z G V Z G V Z G V

ω ω1 6

adódik, azaz a Coriolis-HU WpUYRQDOPHQWLLQWHJUiOMiYDOPHJHJ\H]DODNUDMXWXQNDPLNLHMWL

azt.

A fentieket összefoglalva:

− ha a relatív sebesség forgó koordináta-rendszerben nem zérus, akkor a centrifugális

ertér mellett a Coriolis-HU WpULVILJ\HOHPEHYHHQG

− ha áramvonalon integrálunk akkor a Coriolis-HU WpUYRQDOLQWHJUiOMD]pUXV

− ha nem tudunk áramvonalon integrálni, de az abszolút áramlás örvénymentes áramlási

WpUEO HUHG DNNRU D &RULROLV-HU WHUHW WDUWDOPD]y WDJ D %HUQRXOOL-egyenlet III

integráljával együtt kiesik.

Most térjünk vissza az eredeti feladathoz, és írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az 1 és 2 pont

között!

Z S U Z S U

+ − = + −

ρ

ω

ρ

ω

Miután Z Y X Z Y X X Y= − ⇒ = + −

Fenti átalakítást figyelembe véve (6.28) összefüggés felírható mint:

Y XY X

U Y XY X

U S S

+ − − − − + + +

−=

ω ω

ρ (6.29)

(6.28)



71

Mivel X U = ω DIHQWLHJ\HQOHWHJ\V]HU VtWKHWPDMGD]|VV]Q\RPiVQ|YHNHGpVD]DOiEEL

PyGRQIHMH]KHWNL

∆ S S S S Y S Y

Y X Y X

| | |= − = +

− +

=

= −

ρ ρ

ρ2 7

Tekintettel arra, hogy Y X Y XX = , ahol Y D YX vektor kerületi sebesség irányú vetü-

lete. Ezzel az Euler-turbinaegyenlet ventilátorokra, szivattyúkra is érvényes alakja:

∆ S Y X Y X| LG X X= −ρ

Az Euler-WXUELQDHJ\HQOHWQHPFVDNUDGLiOLVGHD[LiOLViW|POpV iUDPOiVWHFKQLNDLJpSHNUHLV

érvényes.

Tekintettel arra, hogy a súrlódásmentességet feltételeztük, a létesített össznyomás-növe-

kedést –KRJ\PHJNO|QE|]WHVVNDV~UOyGiVRVHVHWWO– ideális össznyomás-növekedésnek

szoktuk nevezni és ∆ S | LG -sal jelöljük.

+D D YHQWLOiWRU Q\XJYy WpUEO V]tY D 7KRPVRQ-tétel értelmében Y X = , tehát írható:

∆ S Y X| LG X= ρ . Látható, hogy az áramlástani gépek a közeg perdületének (a kerület irá-

Q\~VHEHVVpJ|VV]HWHYpVD VXJiUV]RU]DWDPHJYiOWR]WDWiViYDOYHQWLOiWRUV]LYDWW\~HVHWpQ

növelésével, turbina esetén csökkentésével) adnak át energiát az áramló közegnek, vagy

nyernek energiát abból.

(6.30)



7. A felületi feszültség

$]IHMH]HWEHQPHJLVPHUWND IRO\DGpNPROHNXOiNN|]|WWDN|]WNOpYWiYROViJIJJ-

YpQ\pEHQIHOOpSWDV]tWy-YDJ\YRQ]yHU W&VHSSIRO\yVKDOPD]iOODSRW~N|]HJHNQpODPROH-

kuláNN|]HOYDQQDNHJ\PiVKR]H]pUWDYRQ]yHU LWWDJi]RNNDOHOOHQWpWEHQV]HUHSHWMiW-

V]LN$PtJDIRO\DGpNEHOVHMpEHQOpYPROHNXOiNUDPLQGHQROGDOUyOKDWQDNDV]RPV]pGRV

moleNXOiNDGGLJDKDWiUROyIHOOHWHQOpYPROHNXOiNQiODV]RPV]pGPROHNXOiNKDWiVDN i-

egyensúlyozatlan. Ezért a cseppfolyós halmazállapotú közegek felülete rugalmas hártya-

ként viVHONHGLNDNLHJ\HQV~O\R]DWODQPROHNXOiULVHU NDOHKHWOHJNLVHEEUHÄDNDU ják” ösz-

V]HK~]QL D IHOOHWHW (]pUW WDUWMD PHJ D Yt] IHOV]tQH SO D EH]VtUR]RWW WW H]pU t szalad-

gálhatnak rovarok a víz felszínén.

Tekintsük a 7.1. ábrát ahol egy huzalból készült keretet látunk, amelynekegyik oldala elmozdítható. Mártsuk pl. szappanos vízbe a keretet! A kialaku-

OyKiUW\DNpWROGDOiQNHOHWNH]IHOOHWLIHV]OWVpJ csökkenteni akarja a hártya

QDJ\ViJiW$]HOPR]GXOy/KRVV]~ViJ~KiUW\iWROGDOW)HU WDUWMDHJ\HQV~Oy-

ban, azaz írható: ) / &= , ahol C [N/m] az egységnyi hosszra jutó, felüle-

WLIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUDPLWDIHOOHWLIHV]OWVpJiOODQGyMiQDNQ evezünk. Ez az

iOODQGyDIRO\DGpNpVDKDWiUIHOOHWHQD]]DOpULQWNH] V]LOiUGWHVWYDJ\N|]HJWXODMGRQViJD i-

WyOIJJ/HYHJYHOpULQWNH]Yt]HVHWpQ& 1 P= > @.

Tekintsük egy folyadékfelszín 7.2. ábrán látható elemét. A

felszín P pontjában a görbületet két, egymásra PHU OHJHV

metszetben megadott R1 és R2 görbületi sugarakkal hatá-

rozhatjuk meg. A felszínelem GV 5 G = α és

GV 5 G = α hosszúságú oldalain felületi feszültség ébred,

DPHO\EOV]iUPD]yHU NQHNOG7.2. ábra) van az elemi mé-

UHW IHOV]tQUH PHU OHJHV NRPSRQHQVH 0LXWiQ D IHOV]tn

HJ\HQV~O\EDQYDQH]WD]HU WDKiUW\DNpWROGDOiQOpYQ\R-

PiVNO|QEVpJpEOV]iUPD]yHU HJ\HQV~O\R]]DNL

S S GV GV & GV G & GV G − = +α α .

$]HOHPLV]|JHNHWDPHJIHOHOGVpV5pUWpNHNNHONLIHMH]YHEHKHO\HWWHVtWpVpVHJ\V]HU Vítés

után adódik:

∆ S S S &5 5

= − = +

7.1. ábra

7.2. ábra

(7.1)

(7.2)



73

Ha a felület hártya, akkor a (7.2) összefüggés jobb oldalán egy kettes szorzó jelenik meg,

hiszen két felületen lép fel a felületi feszültség. Ha a felület gömb alakú 5 5 5 = = .

Ezért gömb alakú folyadékcsepp belsejében a nyomás ∆ S & 5 = ill. buborékban

∆ S & 5 = összefüggéssel számolható.

Háromféle folyadék (pl. leves, zstUFVHSSpVOHYHJpULQWNH]pVpWPu-

tatja a 7.3. ábra$NO|QE|]IRO\DGpNRNDWHOYiODV]WyIHOOHWHNHQI e-

OOHWL IHV]OWVpJHN pEUHGQHN DPHO\QHN iOODQGyL D] pULQWNH] IRO\D-

dékok sajátosságaitól függenek. Vegyünk fel a három folyadék talál-

kozási vonalában egy D] iEUiUD PHU OHJHV GV KRVV]~ViJ~ YRQDO-

HOHPHWDPHO\Q\XJDORPEDQYDQWHKiWDUHiKDWyHU NHJ\HQV~O\EDQ

vannak (a vektorháromszög záródik). Ha pl. & & & > + , akkor nem állhat fenn

egyensúly, az 1 folyadék a 2 és 3 folyadék határolófelületén szétterjed (mint pl. az ásvány-olaj a víz felszínén).

Ha a szilárd fal és két folyadék esetét vizsgáljuk, akkor a

7.4. ábrán látható viszonyokat tapasztaljuk. Ekkor víz-

szintes irányban az egyensúly feltétele:

& GV & GV & GV = + FRVα .

A C13IJJOHJHVNRPSRQHQVpWDV]LOiUGIDOpVDIRO\DGpNN|]|WWIHOOpSIJJOHJHVHU

egyensúlyozza ki.

+DDIRO\DGpNOHYHJD]D]HJ\V]LOiUGIHOOHWHQOpYFVHSSHVHWpWYL]VJiOMXND& he-

O\pEHDIRO\DGpNpVDV]LOiUGDQ\DJN|]|WWIHOOpS DIHOOHWLIHV]OWVpJKH]KDVRQOyDQKDWy

adhézió lép.

Fejezzük ki cosα –WDHJ\HQOHWEOFRV α = −& & & .

Ha & &

> ⇒ < °α , azaz a csepp alakja hasonló lesz a 7.4. ábrán láthatóhoz (pl víz-

FVHSS HJ\ ID ODSRQ (OOHQNH] HVHWEHQ α > ° (pl. a higanycsepp a padlón). Ha

& & & > + , a folyadék szétterjed a felületen: pl. a petróleum „kimászik” az üveg-

EOKDQHP]iUMXNEHJRQGRVDQ

7.3. ábra

7.4. ábra(7.3)



74

Vékony csövekben (kapillárisokban) a felületi feszült-

ség a folyadékoszlop felemelkedését vagy lesüllye-

dését okozhatja. Tekintsük a 7.5. ábrát$]MHO I o-

lyadékba mártott 2 jelUVXJDU~FV EHQOpYIRO\Ddék

felszínét tekintsük egy R sugarú gömbsüvegnek. A p0 NOV Q\RPiV pV D]A SRQWEDQ OpYQ\RPiVD

összefüggés értelmében:

S S & 5 & U $ − = = FRV α .

Az A SRQWEDQ DNNRU OHKHW D NOV Q\RPiVQiO NLVHEE Q\RPiV KD D IRO\DGpNRV]ORS

S S J P$ − = ρ |VV]HIJJpVEl számolható m magasságra felemelkedik. A kapilláris

felemelkedés a

P&

J U =

ραFRV

|VV]HIJJpVEO V]iPROKDWy hYHJ Yt] OHYHJ NRPELQiFLy HVHWpQ α < ° ezért fel-

emelkedést (P > WDSDV]WDOXQNYHJKLJDQ\OHYHJHVHWpQα > ° , ezért a higanyszál a

felületi feszültség hatására lesüllyed ( P > ). Ez a felemelkedés ill. lesüllyedés pl. a folya-

dékoszlop kitérésen alapuló nyomásmérésnél okozhat hibát. Itt is megjegyezzük, hogy a

C23DIHOOHWLIHV]OWVpJKH]KDVRQOyVDMiWRVViJRNNDOEtUyDGKp]LyVHU

7.5. ábra

(7.4)



8. Az impulzustétel és alkalmazása

8.1. Az impulzustétel

(EEHQDIHMH]HWEHQDIHMH]HWKH]KDVRQOyDQDIRO\DGpNPR]JiVpVDIRO\DGpNUDKDWyHU N

közötti kapcsolatot vizsgáljuk, kikötve a súrlódásmentességet. Ellentétben a 4. fejezettel,

ahol differenciálegyenlet adódott, itt a mozgásegyenlet integrál alakját határozzuk meg. Is-

mét Newton II axiómájából indulunk ki, amely szerint a tömeg mozgásmennyiségének

LGV]HULQWLYiOWR]iVDHJ\HQODW|PHJUHKDWyHUNNHO(J\IRO\DGpNUpV]UHNpWIDMWDHU

hatKDWDW|PHJUHKDWyWpUHUVVpJpVDIHOOHWHQKDWyHU Ez utóbbinak súrlódásmentes

HVHWEHQFVDNIHOOHWUHPHU OHJHVNRPSRQHQVHYDQDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU ËUMXNIHOLs-

PpWDPR]JiVPHQQ\LVpJLG

EHQLYiOWR]iVpVDIRO\DGpNUpV]UHKDWyHU

NNDSFVRODWiWNLIHMH]

egyenletet:

G

GWY G9 J G9 S G $

9 W 9 W $ W

ρ ρ= −I I I

,

ahol V(t) a folyadék gondolatban elkülönített, az A(t)

felülettel határolt részének térfogata (ld. 8.1. ábra).

8J\DQHEEO D] HJ\HQOHWEO LQGXOWXQN NL D] (XOHU -

egyenlet levezetésénél, ld. (4.17) összefüggés.) A fo-lyadékrész ∆WLGDODWWRGpbbúszik, és az A(t+∆t) felü-

lettel jellemzett helyre kerül, miközben mozgás-

menQ\LVpJH HJ\UpV]W D VHEHVVpJWpU LGIJJpVH PLDWW

változhat meg (instacionárius áramlás esetén, ld. 4.1. fejezet), másrészt azért, mert a folya-

dékrész odébbúV]YDRO\DQKHO\UHNHUODKRODVHEHVVpJHOWpU )HMH]]NNLD|VV]e-

függés bal oldalát a 8.1. ábra figyelembevételével!

G

GW Y G9 W Y G9 Y G99 W

W W W

9 W W

W

9 Wρ ρ ρ

OLP

I I I = −

!

"

$##→ ++

∆ ∆∆

∆

1 6 1 6

$MREEROGDOL]iUyMHOD]HOPR]GXOWIRO\DGpNUpV]pVDNLLQGXOyKHO\]HWEHQOpYIRO\DGpNUpV]

mozgásmennyiségének különbségét tartalmazza. Vonjuk le és adjuk hozzá a zárójelben lé-

YWDJRNKR]D]WDPR]JiVPHQQ\LVpJHWDPHOO\HOD]$W ∆t) felülettel határolt térrészben lé-

YIRO\DGpNW|PHJWSLOODQDWEDQUHQGHONH]LN

(8.1)

8.1. ábra

(8.2)



76

d

dtv dV

tv dV v dV

v dV v dV

V tt t t

V t tt

V t t

t

V t t

t

V t

ρ ρ ρ

ρ ρ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

limI I I

I I

= −

!

+

+ −"

$

##

→ ++ +

+

∆ ∆∆ ∆

∆

∆0

1 1 6 1 6

1 6 1 6

$MREEROGDOLNLIHMH]pVHOVNpWLQtegráljának integrálási tartománya megegyezik, ezért írha-

tó:

OLP OLP

∆ ∆

∆ ∆∆

∆∆ ∆

∆W W W

9 W W

W

9 W WW

W

9 W WW

Y G9 Y G9W W

Y G9 W→ +

+ +→

+

I I I −

!

"

$##

=

ρ ρ

∂

∂ρ1 6 1 6 .

∆t-YHOYDOyHJ\V]HU VtWpVXWiQNpSH]YHD∆W → határátmenetet a

OLP

∆ ∆

∆ ∆∆W W W

9 W W

W

9 W W 9W

Y G9 Y G9W

Y G9→ +

+ +

I I I −!

"$##

=

ρ ρ

∂

∂ρ1 6 1 6

összefüggést kapjuk, amely megengedi, hogy a ρ Y vektortérnek szakadása legyen a V tér-

fogaton belül.

$|VV]HIJJpVMREEROGDOiQOpY KDUPDGLNpVQHJ\HGLNLQWHJUiONO|QEVpJpQHNV]i -

PtWiVDPHJJRQGROiVWLJpQ\HOKLV]HQD]LQWHJUiOiVLWDUWRPiQ\NO|QE|] 6]HUHQFVpVN ö-

UOPpQ\KRJ\XJ\DQDKKR]DWLG SRQWKR]WDUWR]yPHQQ\LVpJHNHWWDUWDOPD]QDND]LQWHJU á-

lok. A két integrál különbsége úgy adódik, hogy a 8.1. ábránMHOOHOMHO|OWWpUUpV]EHQOpY

mozgásPHQQ\LVpJEOOHNHOOYRQQLD–MHOOHOMHO|OWEHQOpYWKLV]HQDN|]|VUpV]NLHMWLHJy-

mást.

Vegyünk fel a G$ felületelem vektorral jellemzett felületelemet, amely ∆WLGDODWWDY se-

besség irányában Y W∆ távolságot mozdul el (és az A(t+∆t) felület részévé válik). Az el-

mozduló elemi felület a 8.1. ábrán vonalkázott Y W G $∆ térfogatelemet határoz meg, amely-

EHQOpYHOHPLW|PHJ mozgásmennyisége: Y Y W G $ρ ∆ . Ha Y és G$ tompaszöget zárnak

be ( – jellel jelölt térrészben), akkor a mozgásmennyiség a skalárszorzat sajátosságai követ-

kezté EHQQHJDWtYOHV](]WD]LJHQNHGYH]N|UOPpQ\WNLKDV]QiOYDtUKDWy

OLP OLP

∆

∆∆∆ ∆

∆W W

9 W W

W

9 WW

$ $W

Y G9 Y G9W

Y Y W G $ Y Y G $→

+→I I I I −

!

"

$##

= =

ρ ρ ρ ρ1 6 1 6 1 6

A jobb oldal utolsó integráljá EDQ HJ\ ]iUyMHO MHOHQWPHJ DPHOO\HO HJ\pUWHOPYp WHWWN

hogy a mozgásmennyiség-megváltozás vektor a sebesség vektorral párhuzamos.

(8.3)

(8.4)

(8.5)



77

A (8.1), (8.3), (8.4) és (8.5) összefüggéseket figyelembe véve felírható az impulzustétel:

∂

∂ρ ρ ρ

WY G9 Y Y G $ J G9 S G $

9 $ 9 $

1 6 1 6I I I I + = −.

Az impulzustétel egy PR]JiVHJ\HQOHW DPHO\ D IRO\DGpNUD KDWy HUN pV D IRO\DGpN

mozgásállapota között teremt kapcsolatot. Amíg az Euler-egyenlet differenciálegyenlet

az im SXO]XVWpWHOLQWHJUiORNDWWDUWDOPD]DPHO\HNNLV]iPtWiVDXWiQHU YHNWRURNDGyGQDN$]

impulzustétel alkalmazásánál egy, a koordinátarendszerünkhöz képest rögzített, zárt A felü-

letet, D]HOOHQU]IHOOHWHW kell felvenni (amely a V térfogatot körülveszi), és ki kell szá-

PROQLD]LQWHJUiORNDW$]LPSXO]XVWpWHOLJHQQDJ\HO Q\HKRJ\MREEiUDIHOOHWLLQWHJUiORNDW

tartalmaz. A két térfogati integrál közül a bal oldali – amelynek számítása általában megle-

KHWVHQERQ\ROXOW–]pUXVpUWpN KDD]iUDPOiVVWDFLRQiULXV(]pUWD]LPSXO]XVWpWHOWiOWDOá-

EDQVWDFLRQiULXVYDJ\NYi]LVWDFLRQiULXVLG EHQiOODQGyLG EHOLiWODJN|Ul ingadozó) áram-

OiVUDIRJMXNDONDOPD]QL$MREEROGDOLWpUIRJDWLLQWHJUiOD]HOOHQU]IHOOHWEHQOpYIRO\a-

GpNUDKDWyWpUHU WSOV~O\HU WIHMH]LNLDPHO\QHNV]iPtWiVDiOWDOiEDQYLV]RQ\ODJHJ\V]e-

U

Helyezzünk egy szilárd testet áramló közegbe (ld. 8.2. ábra)!

9HJ\NIHOD]HOOHQU]IHOOHWHW~J\KRJ\D]$bÄEHOV´

felülettel rekesszük ki a szilárd testet a V térfogatból, ami

így az Ak és Ab közötti térfogat. Legyen az áramlás stacioná-

rius. Írjuk fel az impulzustételt!

∂

∂ρ ρ ρ

ρ

WY G9 Y Y G $ Y Y G $

J G9 S G $ S G $

9 $ $

9 $ $

N E

N E

1 6 1 6 1 6I I I I I I

+ + =

= − −

$]HOVLQWegrál zérus, mert az áramlás megállapodásunk szerint stacionárius. A harmadik

LQWHJUiOXJ\DQFVDN]pUXVKLV]HQDV]LOiUGWHVWIHOOHWpQpVtJ\D]HOOHQ U]IHOOHWHQNHUHVz-

tül nincsen átáramlás ( Y G$⊥ $MREEROGDOLXWROVyLQWHJUiODEHOVIHOOHWHQDIRO\DGpkra

KDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU W|VV]HJ]L%HOiWKDWyKRJ\D]LQWHJUiOiVHUHGPpQ\HNpQWDG ó-

GyHU PHJHJ\H]QDJ\ViJ~pVLUiQ\~GHHOOHQWpWHVLUiQ\tWiV~PLQWDIRO\DGpNUyODV]LOiUG

WHVWUHKDWyHU DPLW5 vektorral jelölünk. Ha tehát stacionárius áramlás esetén a felvett el-

OHQU]IHOOHWEHQV]LOiUGWHVWYDQDNNRUD|VV]HIJJpVD]DOiEELDODNEDQtUKDWyIHO

Y Y G $ J G9 S G $ 5

$ 9 $

ρ ρI I I = − −1 6 .

Azért szerepel az 5 az impulzustétel fenti alakjában, mert a mérnöki gyakorlatban legtöbb-

V]|UDV]LOiUGWHVWHNUHKDWyHU NUHYDJ\XQNkíváncsiak. Az 5 YHNWRUHOWWLQHJDWtYHO MHOUH

(8.6)

8.2. ábra(8.7)

(8.8)



78

D]pUWYDQV]NVpJPHUWD]LPSXO]XVWpWHOEHQDV]LOiUGWHVWU ODIRO\DGpNUDKDWyHU WNHOOV]e-

repeltetni. (Az 5 alkalmazására természetesen csak akkor kerül sor, ha a szilárd test az el-

OHQU]IHOOHWHQEHOOYDQpVQHPUHNHV]WMNNLD]HOOHQU]IHOOHWHJ\HOHPpYHO+DYa-

OyViJRVV~UOyGiVRVN|]HJHNUHDONDOPD]]XND]LPSXO]XVWpWHOWpVD]HOOHQ U]IHOOHWHQDI o-

O\DGpNUDKDWyV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU NHWPHJWXGMXNKDWiUR]QLDNNRUH]HNHUHG MpW– 6

vektort – az impulzustétel (8.6) vagy (8.8) összefüggéssel megadott kifejezésének jobb ol-

dalához kell adnunk.

Végül felírható az impulzustétel legáltalánosabb alakja, amelynek jobb oldalán az el-

OHQU] IHOOHWEHQ OpY IRO\DGpNUD KDWy HUNHW |VV]HJH]]N pV HJ\HQOYp tesszük

ugyanezen folyadék mozgásmennyiségének az egyenlet bal oldalán kifejezett egység-

Q\LLGUHHVPHJYiOWR]iViYDO

∂

∂ρ ρ ρ

WY G9 Y Y G $ J G9 S G $ 5 6

9 $ 9 $

1 6 1 6I I I I + = − − +

8.2. Az impulzusnyomatéki tétel

$IHMH]HWEHQHJ\]iUW$IHOOHWEHQOpYIRO\DGpNUDtUWXNIHOD]HU NpVDPR]JiVPHQQ\i-

ség-megYiOWR]iVHJ\HQV~O\iW+DVRQOyPyGRQIHOtUKDWyH]HQHU NDWpUDGRWW3SRQWMiUDYo-

natkozó nyomatéka valamint a mozgásmennyiség-megváltozás-vektorok nyomatékának

HJ\HQOVpJpWNLIHMH]impulzusnyomatéki tétel:

∂

∂ρ ρ ρ

WU Y G9 U Y Y G $ U J G9 U S G $ 0 0

9 $ 9 $

V× + × = × − × − +I I I I 1 6 1 6

ahol U a tér kijelölt P pontjából a dV térfogatelemhez ill. G$ vektor talppontjához húzott

vektor, 0 DIRO\DGpNUyOD]HOOHQU]IHOOHWEHQOpYV]LOiUGWHVWUHiWDGyGyQ\RPDWpN0V

SHGLJD]HOOHQU]IHOOHWHQKDWyV~UOyGyHU NQ\RPDWpND

8.3. Az impulzustétel néhány alkalmazása

Mozgó sík lap

Tekintsük a 8.3. ábrát, amelyen egy sík lap látható, amely

áll, vagy u sebességgel jobbra mozog. A sík lap egy víz-

VXJDUDWWpUtWHODPHO\QHNWHQJHO\HPHU OHJHVDODSUD]a-

vartalan sebessége v, keresztmetszete pedig A0LO\HQHU

hat az álló és a mozgó lapra?

(8.9)

(8.10)

u

8.3. ábra



79

$IHODGDWPHJROGiVDD]LPSXO]XVWpWHOQpONOQHPOHQQHN|QQ\NLNHOOHQHV]iPROQLD]Hl-

WpUO Yt]VXJiU iUDPNpSpWPDMG DQQDN LVPHUHWpEHQ D VtN ODS IHOOHWpQ NHOHWNH] pV D]

iUDPYRQDODNJ|UEOHWHDODSMiQU|JW|QIHOLVPHUKHWW~OQ\RPiVWD]D]DN|rnyezetinél na-

J\REEQ\RPiVW(QQHNLQWHJUiOMDDGQiDNHUHVHWWHU W$]LPSXO]XVWpWHOOHOD]iUDPOiVUpVz-

OHWHLQHNLVPHUHWHQpONOSXV]WiQDIL]LNDLPHQQ\LVpJHNHOOHQ U]IHOOHWHQW|UWpQYL]VJiOa-tával megválaszolható a kérdés.

(OV]|U is vegyük fel az ellHQU]IHOOHWHW(QQpONpWWDQiFVRWFpOV]HU PHJIRJDGQL

− KDV]LOiUGWHVWUHKDWyHU WNHUHVQNDWHVWHWYHJ\NEHOHD]HOOHQU]IHOOHWEHpV

− DKROiUDPOiVYDQRWWD]HOOHQU]IHOOHWOHJ\HQPHU OHJHVD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHYDJ\

legyen azzal párhuzamos.

Esetünkben a fentiek szerint eljárva a 8.3. ábránOiWKDWyHOOHQU]IHOOHWDGyGLN

Másodszor írjuk fel az impulzustételt (8.9.összefüggés) és állapítsuk meg, hogy mely

tagjait kell az adott feladat megoldásánál figyelembe venni!

∂

∂ρ ρ ρ

tv dV v v dA g dV p dA R S

I II III IV V VIV A V A

1 6 1 6I I I I + = − − +

Az I integrál zérus, ha az áramlás stacionárius. Ha a lap áll, ez a feltétel fennáll, hiszen aYt]VXJiULUiQ\DVHEHVVpJHLG EHQQHPYiOWR]LN+DYLV]RQWPR]RJDODSD]iUDPOiVD]iOOy

rendszerben instDFLRQiULXVViYiOLNDWpUHJ\DGRWWSRQWMiEDQDPR]JyODSKHO\]HWpW OIJJD

sebesség. Ha viszont a koordináta-UHQGV]HUQNHWpVD]HOOHQ U]IHOOHWHWDPR]JyODSKR]

rögzítjük, akkor az áramlás stacionáriussá válik, azaz az I integrál értéke ebben az esetben

LV]pUXVViWHKHW

$,,LQWHJUiOQHPOHKHWHOHYH]pUXVKLV]HQIRO\DGpNOpSiWD]HOOHQ U]IHOOHWHQ

$,,,LQWHJUiOpUWpNHHVHWQNEHQ]pUXVPHUWDYt]VXJiUUyODIJJ OHJHVODSUDKDWyHU WDYtz-VXJiUV~O\DQHPEHIRO\iVROMD$Yt]UHKDWyV~O\HU PLDWt változik a körben sugárirányban

leOpSYt]VHEHVVpJHH]WD]RQEDQHOKDQ\DJROMXN(]pUWtUWXQNDOXOUDpVI|OOUH G, -t.

$,9LQWHJUiOD]HOOHQU]IHOOHWHQKDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU WIHMH]LNL$PLQWH]WN o-

rábban láttuk, a nyomás a párhuzamos, egyenes áUDPYRQDODNUDPHU OHJHVHQQHPYiOWR]LN

D]D]HJ\IRO\DGpNVXJiUEDQiOODQGypVPHJHJ\H]LNDNOVQ\RPiVVDO(PLDWWD8.3. ábrán

OiWKDWyHOOHQU] IHOOHWHQD Q\RPiVPLQGHQWW D]RQRV WHKiWD IHOOHWHQKDWyQ\omásból

V]iUPD]yHU NHUHG MH]pUXV

Az V tag neP]pUXVKLV]HQYDQV]LOiUGWHVWD]HOOHQU]IHOOHWHQEHOO

(8.11)



80

A VI tag zérus, hiszen a súrlódást elhanyagoltuk. (Ez esetben ez az elhanyagolás nem okoz

hibát.)

$]HO]PHJJRQGROiVRNNDODHJ\HQOHWMHOHQWVHQHJ\V]HU V|G|WW

Y Y G $ 5

$

ρI = −1 6 .

Harmadszor, határozzuk meg az integrálok (esetünkben egy integrál) értékeit álló lap ese-

WpQ$]HJ\V]HU VpJNHGYppUWDWHOMHV]iUW$HOOHQU]IHOOHWUHYRQDWNR]yLQWHJUiOWW|EEI e-

lületrészen számolt integrál összegeként határozzuk meg. A (8.12) összefüggés bal oldalán

OpYLQWHJUiOLQWHJUDQGXV]D]pUXVDKROQLQFVIRO\DGpNiWOpSpVDIHOOHWHQYDJ\D]pUWPHUW

Y = , vagy mert Y G$⊥ ), ezért esetünkben csak azokon a felületrészeken kell integrálni,

DKRON|]HJOpSiWD]HOOHQU]IHOOHWHQD]$1

és A2

keresztmetszeten. E keresztmetszetek-

ben a sebesség állandó: Y ill. Y pVPLYHOD]HOOHQU]IHOOHWHWD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPe-

U OHJHVHQYHWWNIHO Y G$ (OV]|UWHNLQWVND]$1 keresztmetszetet, ahol a közeg belép a

felületbe. Miután a sebesség és a felületelem-vektor irányítása ellentétes ρ Y G $ < . Zé-

rusnál kisebb számmal szorozva a vYHNWRUWHJ\D]]DOPHJHJ\H]LUiQ\~GHHOOHQWpWHVLU á-

Q\tWiV~YHNWRUWNDSXQN0LXWiQD]LQWHJUDQGXV]EDQV]HUHSO VU VpJpVVHEHVVpJD]$1 felü-

let mentén állandó, írható:

, Y Y G $ Y $ Y Y

$

= = −

I ρ ρ1 6 4 9 ,

ahol , a mozgásmennyiség-megváltozás (impulzusáram) vektor.

Határozzuk meg az , pUWpNpW D KHQJHUSDOiVW DODN~ NLOpSNHUHV]WPHWV]HW Gϑ középponti

szöghöz tartozó dA2 IHOOHWHOHPpQ $] HOOHQU] IHOOHWEO YDOy NLOpSpVQpO Y G $ > ,

H]pUWDEDOROGDOiQOpYLQWHJUiOLQWHgrandusza a Y YHNWRUUDOPHJHJ\H]LUiQ\~pV

irányítású vektor:

G , Y G$Y

Y

= ρ

Arra az érdekes eredményre jutottunk, hogy az , mozgásmennyiség-vektorok (amelyekkel

a (8.11) összefüggés II integráljának egyes felület szakaszokra vonatkozó értékeit jelöltük)

− PLQGLJSiUKX]DPRVDNDVHEHVVpJYHNWRUUDOWHKiWKDD]HOOHQU]IHOOHWHWDVHEHVVpJUH

PHU OHJHVHQYHWWNIHODNNRUD]HOOHQU]IHOOHWUHPHU OHJHVHN

− NLIHOHPXWDWQDNDIHOOHWEOpV

(8.12)



81

− DEV]RO~W pUWpNN D NHUHV]WPHWV]HW PHQWpQ iOODQGy VHEHVVpJ pV VU VpJ HVHWpQ

, Y $= ρ .

Az , pV G , vektorokat ábrázoltuk a 8.3. ábrában.

Negyedszer vegyünk fel egy koordináta-rendszert és koordináta irányonként írjuk fel az

HU N HJ\HQV~O\iW 6]LPPHWULD RNRNEyO PHJ D]pUW LV PHUW D ODSRQ FVDN DUUD PHU OHJHV

Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU KDWFVDN[WHQJHO\LUiQ\~HU YHOV]iPROKDWXQNH]pUWHEEHQD]

HVHWEHQFVDND][LUiQ\~HJ\HQV~O\WtUMXNIHO)LJ\HOHPEHYpYHKRJ\DYHNWRUPHJHJ\H]

vagy ellentétes irányítású az x tengely pozitív irányításával, az egyes vektorok (esetünkben

az , YHNWRURN DEV]RO~W pUWpNHLW YDJ\ SR]LWtYYDJ\ QHJDWtY HO MHOOHONHOOEHtUQLD

HJ\HQOHWPHJIHOHOROGDOiUD

x irányú egyensúly:

− = − − = − = −, 5 D]D] Y $ 5 5 [ [

ρ

D]D]D]iOOyODSUDKDWyHU D]5 Y $= ρ

NpSOHWEO számolható.

(Fenti összefüggésekben a vektorjel nélküli mennyiségek az abszolút értéket jelentik.)

+RJ\DQKDWiUR]]XNPHJDODSUDKDWyHU WDNNRUKDDODS X sebességgel x irányban mozog?

A mozgó laphoz rögzített koordináta-UHQGV]HUpVHOOHQ

U]

IHOOHWHVetén ugyanígy kell el- járni, mint álló lapnál, csak a Y sebesség helyett a Z Y X = − relatív sebességgel kell

számolni:

5 Y X $= −ρ

1 6 .

(Ha a lap a sugárral szemben mozogna, a relatív sebesség Y X + lenne.)

9DQQDNKDVRQOyIHODGDWRNDKRODNLOpS IRO\DGpNVXJiUUDOLVV]iPROQLNHOO Hogyan hatá-

rozható meg v1 és A1 ismeretében v2 és A2 ? Írjuk fel a Bernoulli-HJ\HQOHWiOODQGyVU VpJkö]HJVWDFLRQiULXViUDPOiViUDYRQDWNR]yiUDPYRQDORQW|UWpQLQWHJUiOiVHVHWpQpUYpQ\HV

(4.31) alakját az 1 és 2 keresztmetszet között, elhanyagolva a f RO\DGpNUDKDWyV~O\HU W

Y S Y S

+ = +

ρ ρ

0LXWiQDYt]VXJiUEDQDQ\RPiVDNOVQ\RPiVVDOHJ\HQOIHQQiOO S S = , tehát Y Y = .

A folytonosság tételét figyelembe véve pedig $ $ = . Ugyanez vonatkozik mozgó lapra

is de itt a relatív sebességekre.



82

A Borda-féle kifolyónyílás

A 8.4.a. ábrán egy tartály látható, amelyben víz van. A tartályon egy speciális u.n. Borda-

IpOHNLIRO\yQ\tOiVWNpSH]QNNLDPHO\DNL|PO NHUHV]WPHWV]HWSHUHPpKH]U|J]tWHWWDWDr-

WiO\EDEHQ\~OyFV

GDUDE+DQLQFVLO\HQFV

DNNRUDNL|PO

Q\tOiVN|]HOpEHQIRNR]DWRVDQfelgyorVXODN|]HJpVDWDUWiO\IDOiQDNL|POQ\tOiVN|]HOpEHQFV|NNHQD S S− túlnyomás

(ld. 8.4.b. ábra MMHOQ\RPiVPHJRV]OiV$%RUGD-IpOHNL|POQ\tOiVDONDOPD]iVDHVHWpQD

NL|POQ\tOiVN|]HOpEHQDWDUWiO\IDOiQDQ\RPiVPHJHJ\H]LND]DGRWWPDJDVViJEDQD tar-

tály faláQDNPiVSRQWMDLQOpYQ\RPiVVDOOGNMHOQ\RPiVPHJRV]OiV

p-p0

8.4. ábra

Alkalmazva a Bernoulli-egyenlet (4.31) alakját az adódik, hogy a víz a H magasságkülönb-

ség hatására

Y J +=

VHEHVVpJJHOiUDPOLNNLDWDUWiO\EyO$NL|POYt]VXJiUDWDSasztalatok szerint nem tölti ki

teljesen az A [m2@NL|PONHUHV]WPHWV]HWHW+DWiUR]]XNPHJ D Yt]VXJiU |VV]HK~]yGiViUD

MHOOHP]

α = $ $6

ú.n. NRQWUDNFLyVWpQ\H] értékét a Borda-kifolyónyílás esetén, ahol AS a vízsugár kereszt-

metszete a kiömlés helyén.

Alkalmazzuk az impulzustételt! Vegyük föl a 8.4.a. ábránOiWKDWyHOOHQU]IHOOHWHWDPLWD8.4.c. ábránNO|QNLUDM]ROWXQN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\D]HOOHQ U]IHOOHWFpOV]HU IHOYé-

tele – hasonlóan a Bernoulli-egyenlet integrálási határainak célirányos kijelöléséhez – a fel-

DGDWRNVLNHUHVPHJROGiViWMHOHQWVHQEHIRO\iVROyLQWXLFLyWpVQpPLJ\DNRUODWRWLJpQ\OWe-

vékenység.) Alkalmazzuk az impulzustétel (8.9) összefüggéssel megadott alakját:

∂

∂ρ ρ ρ

tv dV v v dA g dV p dA R S

I II III IV V VIV A V A

1 6 1 6I I I I + = − − + .

(8.13)

(8.14)



83

Az I integrál értéke esetünkben zérus, mert elhanyagolva a víz felszínének süllyedését az

iUDPOiVVWDFLRQiULXV$,,,WDJJDOQHPNHOOIRJODONR]QLPHUWHOUHOiWKDWyKRJ\Yt]V]LQWHV

LUiQ\EDQtUMXNIHOD]HJ\HQV~O\LHJ\HQOHWHWH]pUWDIJJ OHJHVV~O\HU DEEDQQHPMiWV]LN

szerepet.

(OWpU HQD]HO] DONDOPD]iVWyO a IV tag nem hagyható el, mert a nyomásból származó

HUHGHU YiUKDWyDQQHP]pUXV$]HOOHQU]IHOOHWHQEHOOQLQFVV]LOiUGWHVWLOODV~UOyGiVW

elKDQ\DJROWXNDYDOyViJEDQVHPMiWV]LNMHOHQWVV]HUHSHWH]pUWD]9pV9,WDJ]pUXV

A nyomásból származyHU NHWNLIHMH],9LQWHJUiOWKDVRQOyPyGRQV]iPROMXNPLQWD] ,

vektorokat: a teljes AHOOHQU]IHOOHWUHKDWyQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU WD]A felület egyes

részein kiszámolt 3 Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU YHNWRURN|VV]HJHNpQWtUMXNIHO$ 3 vektorok

– miután − SG$ integrálása révén adódtak, és a G$ NLIHOHPXWDWDIHOOHWEO– befelé mu-

WDWQDNDIHOOHWEHpVDIHOOHWUHPLQGLJPHU OHJHVHN$8.4.c. ábránDNL|POpVKHO\pQOpY

HOOHQU]IHOOHWUpV]UHpVD]D]]DOÄV]HPEHQ´OpY XJ\DQFVDNA nagyságú felületrészre vo-

natkozó nyomás integrálokat (3 pV 3 YHNWRURNDWWQWHWWNFVDNIHOPHUWD]HOOHQ U]IHOü-

OHWW|EELUpV]pQOpYQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU NNLHJ\HQOtWLNHJ\PiVW(J\KHO\HQDNL|m-

OpVQpOOpSiWDYt]D]HOOHQ U]IHOOHWHQH]pUWHJ\PR]JiVPHQQ\LVpJ-megváltozás-vektort

( , ) vetWQNIHODPLD]HO]HNV]HULQWNLIHOpPXWDWD]HOOHQU]IHOOHWEOpVSiUKX]DPRV

az áramlási sebességgel.

Vegyük fel a jobbra mutató x tengelyt, majd az egyes vektorok x-hez képesti irányítását fi-gyelembe véve írjuk fel az impulzustételt: , 3 3= − . Az I helyébe ρ Y $ V

-t, P helyébe

S $ W − 3¶ KHO\pEH SHGLJ D IHOV]tQ DODWW +PpO\VpJEHQ OpY Q\RPiVW ILJ\HOHPEHYpYH

S J + $ + ρ1 6 helyettesítve ρ ρY $ S J + $ S $V

= + −1 6 HJ\HQOHWDGyGLN(J\V]HU Ví-

tés és a (8.13) összefüggés behelyettesítése után ρ ρJ + $ J + $V = DGyGLN DPLEOD

NRQWUDNFLyV WpQ\H] α = =$ $V , azaz a vízsugár keresztmetszete fele a Borda-féle

NLIRO\yNHUHV]WPHWV]HWQHN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DNRQWUDNFLyVWpQ\H]SOHJ\pOHVV]pO

nyílás esetén a α ≅ 0LQpOMREEDQOHNHUHNtWMNDNL|POQ\tOiVWDQQiOMREEDQPHJN|]e-

lítjük az α = értéket.



84

A Pelton-turbina

Tekintsük a 8.5. ábrát, ahol egy Pelton-turbina váz-

lata látható. Az A1NHUHV]WPHWV]HWY1VHEHVVpJYt]-

sugár az u kerületi sebességgel forgó kanalakon vál-tozWDW LUiQ\W $ NDQDODN NLOpS pULQW MH D UDGLiOLV

irányhoz képest zárjon be ϑ szöget. Vizsgáljuk meg,

hogy melyik koordináta-rendszerben stacionárius az

áramlás. Az álló koordináta-rendszerben nem, hiszen

a la SiWRN KHO\]HWpWO IJJHQ YiOWR]LN D] iUDPOiVL

WpU$]HJ\WWIRUJyUHQGV]HUEOQp]YHXJ\DQFVDNLQVWDFLRQiULXVKD lehet ezt fokozni, „még

instacionáriusabb”) az áramlás. Ezért térjünk vissza az abszolút (álló) koordináta-

rendszerbe, ahol a lapátváltás periodikussága következtében az áramlás kvázistacionárius,

D]D]D]iUDPOiVLVHEHVVpJHNpVD]HU NN|]pSpUWpNHNN|UOLQJDGR]QDN$NHUOHWLHU N ö-

]pSpUWpNHN|]HOtWHQDKKR]DKHO\]HWKH]WDUWR]LNDPLNRUDYt]VXJDUDWHOWpUtWODSiWRWDIRr-

JiVWHQJHOO\HO|VV]HN|WHJ\HQHVpSSHQPHU OHJHVDYt]VXJiUUDOG8.5. ábra).

+DWiUR]]XNPHJDWXUELQiUDKDWyNHUOHWLHU WpVDPD[LPiOis teljesítményhez tartozó u ke-

rületi sebességet!

9HJ\QNI|OHJ\HOOHQU]IHOOHWHW6]LOiUGWHVWUHKDWyHU WNHUHVQNH]pUWD]HJpV]NHU e-

ket körülvesszük a felülettel, ahol pedig víz lép át a felületen, ott a sebesség irányára mer

legesen vesszük fel a]HOOHQU]IHOOHWHW7HNLQWVND|VV]HIJJpVW$],LQWHJUiO] é-

rus, mert az áramlást stacionáriusnak tekintjük, a III ugyancsak, mert a víz súlya nem ját-

V]LNV]HUHSHWDNHUOHWLHU EHQD,9LQWHJUiOLV]pUXVKLV]HQD]HOOHQ U]IHOOHWHQDYt]Vu-

JDUDNEDQLVDQ\RPiViOODQGyPHJHJ\H]LNDNOVQ\RPiVVDOD,9WDJ]pUXVPHUWD]Hl-

OHQU]IHOületen a súrlódás nem játszik szerepet.

Ezek szerint csak az , vektorokat kell felrajzolni (ld. 8.5. ábra) és keressük a turbinára ha-

tó 5 HU NHUOHWLLUiQ\ú komponensét. Írjuk föl az x (kerületi) irányban az impulzustételt:

− + = −, , 5 X X , ahol u indexszel jelöltük a kerületi irányt., Y $ , Y $X

= =ρ ρ β FRV , ahol β D Y és a kerületi irány által bezárt szög. Miu-

tán a folytonosság tételé EOρ ρY $ Y $ = írható:

5 Y $ Y YX X= −ρ 1 6,

ahol Y YX = FRVβ DNLOpSVHEHVVpJNHUOHWLUiQyú komponense.

$|VV]HIJJpVD]DOiEELN|YHWNH]WHWpVUHYH]HWKDDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU pVD

V~O\HU ]pUXVDNNRUDV]LOiUGWHVWUHKDWyHU HJ\HQODN|]HJW|PHJiUDPiQDNρ Y $ ) és a

NHUHVHWWHU YHOSiUKX]DPRVVHEHVVpJNRPSRQHQVPHJYiOWR]iViQDN Y Y X −1 6 szorzatával.

8.5. ábra

(8.15)



85

A v2u értékét a 8.5. ábránOiWKDWyDNLOpSYt]VXJiUUDYRQDWNR]yVHEHVVpJLKiURPV]|JEO

határozhatjuk meg. A Z UHODWtYVHEHVVpJKH]DPHO\QHNLUiQ\DSiUKX]DPRVDODSiWNLOpS

pULQW MpYHOKR]]iDGYDD]X kerületi (szállító) sebességet megkapjuk a Y NLOpSDEV]RO~W

sebességet. Ennek kerületi irányú komponense Y X ZX = − VLQϑ . Felírva gondolatban az

együttforgó rendV]HUEHQDODSiWHOWWpVP|J|WWOpYSRQWRNN|]pD%HUQRXOOL-egyenletet az

LQVWDFLRQiULXVWDJDV~O\HU pVDFHQWULIXJiOLVHU WpUHOKDQ\DJROiVDPHOOHWt Z Z = adó-

dik, miután a nyomás mindenütt állandó. Belátható, hogy a beOpS UHODWtY VHEHVVpJ

Z Y X = − .

Mindezeket behelyettesítve a (8.15) összefüggésbe rendezés után adódik:

5 Y $ Y XX = − +ρ 1 61 6VLQϑ

$NHUOHWLHU PD[LPXPiWβ = ° -nál éri el. Vizsgáljuk meg, hogy milyen kerületi sebes-

ségnél maximális a Pelton turbina teljesítménye, amelyet az alábbi összefüggéssel fejezhe-

tünk ki (ϑ = ° esetén):

3 Y $ Y X X= − ρ 1 6. . (8.17)

.HUHVVNDWHOMHVtWPpQ\V]pOVpUWpNpWXIJJYpQ\pEHQD]D]NpSH]]N ∂ ∂3 X -t és tegyük

HJ\HQOYp]pUXVVDO

∂

∂ρ

3

XY $ Y X X= − − = 1 6 , amLEO X Y= adódik a maximális teljesítményhez

tartozó kerületi sebességre. Ezt az eredményt visszahelyettesítve (8.17) összefüggésbe

3 Y $ YPD[ = ρ

kifejezést kapjuk, azaz ebben az optimális esetben a Pelton-turbina a víz teljes mozgási

energiáját hasznosítja.

A s]iUQ\UiFVUDKDWyHU

A 8.6. ábránHJ\IJJOHJHVLUiQ\EDQIHOIHOppVOHIHOp

egymástól t osztás távolságra végtelen sokszor ismét-

OGV]iUQ\DNEyOiOOyV]iUQ\UiFVOiWKDWyDPHO\DUiFVUD

PHU OHJHV[WHQJHOO\HOα szöget bezáró Y hozzááram-

lási sebességet eltéríti: a Y sebesség α szöget zár be

D] [ WHQJHOO\HO $ IRO\WRQRVViJ WpWHOpEO N|YHWNH]LN

hogy Y Y[ [ = = Y [ . Határozzuk meg a szárnyrács egy

(8.16)

(8.18)

8.6. ábra



86

HOHPpQHNODSUDPHU OHJHVHQP hosszúságú szakaszáUDKDWyiUDPOiVLHU W,VPpWHOWHQD]

impulzustételt hívjuk segítséJOHPHJOHKHWVHQERQ\ROXOWNpUGpVPHJYiODV]ROiViKR]

9HJ\QNIHOHJ\HOOHQU]IHOOHWHWDPHO\DNpUGpVHVV]iUQ\DWN|UOYHV]L(OOHQWpWHVHQD]

HGGLJLHNNHODIHOOHWHWQHD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPHU

OHJHVHQYHJ\NIHOKDQHPD]\NRR r-dinátával párhuzamosaQLOONpWHJ\PiVWyOWRV]WiVQ\LUDOpYiUDPYRQDOPHQWpQ$WRVz-

WiVDV]iUQ\DNWiYROViJiYDOHJ\HQO$]HOOHQU]IHOOHWODSUDPHU OHJHVPpUHWHP.

Ismét a (8.11) összefüggésben megadott impulzustételt alkalmazzuk stacionárius, súrló-

dásmentes áramláVUD pV ILJ\HOHPEH YpYH KRJ\ D V~O\HU QHN QLQFVHQ V]HUHSH H]pUW D]

HJ\HQOHW,,,,pV9,WDJMDNLHVLN5DM]ROMXNIHODVHEHVVpJJHOSiUKX]DPRVpVD]HOOHQ U]I e-

OOHWEONLI elé mutató , pVDIHOOHWUHPHU OHJHVDEEDEHIHOpPXWDWy3 vektorokat. Az

áramvonaOODOHJ\EHHVIHOOHWHNHWHJ\RV]WiVWiYROViJEDQYHWWNIHOH]pUWDUDMWXNNLDODNXOy

nyomásmegRV]OiVWHOMHVHQPHJHJ\H]LNËJ\D]H]HNHQNHOHWNH]Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU N

kiejtik egymást. E felületeken nincsen folyadék átlépés, ezért ezeken , = .

Írjuk fel x és y irányban az impulzustételt!

− + = − − − + = −, , 3 3 5 pV , , 5 [ [ [ \ \ \

Miután , Y W Y[ = ρ (tömegáram × sebesség) és , Y W Y[ = ρ valamint

3 S W pV 3 S W = = , 5 UH pV 5 UD[ \− − az alábbi összefüggések adódnak:

5 S S W Y W Y Y[ [= − + − 1 6 1 6ρ α αFRV FRV

5 Y W Y Y\ [ \ \= −ρ 3 8.

$|VV]HIJJpVPiVRGLNWDJMiEDQOpY ]iUyMHODIRO\WRQRVViJWpWHOHN|YHWNH]WpEHQ] é-

UXVD]HOVWDJMiWD%HUQRXlli-egyenlet felhasználásával határozzuk meg a Y Y[ [ = figye-

lembe vételével:

S S Y Y Y Y\ \

− = − = −

ρ ρ4 9 4 9 .

Fentiek alapján a (8.19) összefüggés átalakítható:

5 Y Y W Y Y[ \ \ \ \= − +ρ

3 8 3 8

A 8.20 és 8.21 kifejezésekben szerepel a Γ = −Y Y W\ \ 3 8 kifejezés, ami az áramlási se-

EHVVpJHOOHQU]IHOOHWUHLOOHV]NHG*]iUWJ|U be mentén vett vonalintegrálja, a cirkuláció.$]iUDPYRQDODNUDLOOHV]NHGNpWYRQDOV]DNDV]RQDVHEHVVpJYRQDOLQWHJUiOMDpSSHQNLHMWL

(8.19)

(8.20)

(8.21)



87

HJ\PiVW,WWDKDJ\RPiQ\RNQDNPHJIHOHOHQDV]RNiVRVVDOHOOHQWpWHVHQYHWWNI|ODSR]i-

tívnak tekintett körüljárási irányt. Írjuk fel az 5 vektor két komponensét!

5 Y Y

5 Y[

\ \

\ [= −+

=ρ ρΓ Γ

,

5 5 5 YY Y

[ \ [

\ \= + = +

+

ρ Γ

.

Az 8.6 ábra és a (8.22) összefüggések alapján belátható, hogy a szárnyra ható 5 HU PHU

leges a Y ∞ zavartalan áramlási sebesség vektorra ( Y ∞ lenne a sebesség, ha a szárnyrács

nem lenne az áramlásban). Felismerve, hogy a gyökjel alatti mennyiség a 8.6. ábrán Y ∞-nel

jelölt „átlagos” sebesség abszolút értéke, írható:

5 Y 1 P= ∞ρ Γ ,

azaz DV]iUQ\UiFVHJ\V]iUQ\iQDNODSUDPHU OHJHVPKRVV]~ViJ~V]DNDV]iUDKDWyHU

DVUVpJD]ÄiWODJVHEHVVpJ´pVDV]iUQ\N|UOLF irkuláció szorzataként adódik.

„Hígítsuk” minden határon túl a szárnyrácsot, azaz W → ∞ , miközben Y Y\ \ − → úgy,

hogy Γ = − =W Y Y iOO\ \ 3 8 , azaz a szárnyrácsból egy egyedülálló szárny lesz, ami termé-

szetesen nem képes eltéríteni az egész áramló közeget, azaz Y Y Y → → ∞ . Egyedülálló

szárny esetpQWHKiWDV]iUQ\UDKDWyHUPHUOHJHVD]DYDUWDODQDV]iUQ\WyOWiYROpr-

YpQ\HViUDPOiVLVHEHVVpJUH$V]iUQ\PKRVV]~V]DNDV]iUDKDWyHUWD]

5 Y= ∞ρ Γ

|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWMXN.XWWD-Zsukovszkij-tétel).

Itt jegyezzük meg, hogy a szárny körül csak akkor alakul ki cirkuláció, ha az áramló közeg

súrlódásos. Mindazonáltal az általunk is használt tárgyalásmód, amely a súrlódást csak a

cirkuláció kialakulásáig veszi figyelembe, egyébként pedig súrlódásmentes közeg feltétele-

zésével vizsgálja az áramlást, a gyakorlatban is jól hasznosítható eredményekre vezetett. A

szárnyrácsok vizsgálatának az áramlástechnikai gépek tervezésénél van gyakorlati jelent

sége, hiszen pl. egy radiális ventilátor járókerekében (ld. 6.6. ábra) bármely irányban is já-

UXQNN|UODODSiWRNYpJWHOHQVRNV]RULVPpWOGQHN(J\LO\HQ~QN|UUiFVQDNDOHNpSH zé-

sével juthatunk a 8.6. ábrán látható egyenes rácshoz.

(8.22)

(8.23)

(8.24)



9. A súrlódásos közegek és mozgásegyenletük

Az 1. fejezetben bevezettük az ideális közeg fogalmát. Az ideális közeg a valóságossal el-

lentétben homogén, súrlódásmentes és összenyomhatatlan. Ebben és néhány további feje-

zetben feladjuk a súrlódásmentesség kritériumát: olyan áramlásokkal foglalkozunk, ame-

lyekben a súrlódásos közeg deformációjának hatására csúsztatófeszültségek és húzó-

feszültségek is ébrednek.

9.1. A nemnewtoni közegek

Az 1. fejezetben már foglalkoztunkDIRO\DGpNEDQNHOHWNH]FV~V]WDWyIHV]OWVpJpVDIRO\ a-

dék deformáció kapcsolatával, és megállapítottuk, hogy a csúsztatófeszültség a

deformációsebességgel arányos:

τ µ µγ

\[[GY

G\

G

GW= =

Megállapítottuk továbbá, hogy az aláhúzott Newton-féle viszkozitási törvény a folyadékok

nagy részére, az u.n. newtoni folyadékokra vonatkozik. Newtoni folyadékok a mérnöki

J\DNRUODWEDQOHJW|EEV]|UHOIRUGXOyN|]HJHNDYt]DOHYHJDJi]RNSzámos olyan fo-

lyadék van azonban, amelyeknél a csúsztatófeszültség nem egyenesen arányos a

deformációsebességgel. Ezeket a folyadékokat nemnewtoni folyadékoknak nevezzük.

A nemnewtoni közegekkel a reológia foglalkozik.

Tekintsük a 9.1. ábrát$GLDJUDPRQDNO|QE|]N|]e-

gek reológiai görbéi láthatóak, amelyek a folyadékban

NHOHWNH]τ csúsztatófeszültség és a dγ /dt-vel jellemzett

deformációsebesség kapcsolatát mutatják meg. Az 1 je-

OJ|UEHHJ\QHZWRQLN|zegre vonatkozik, a 2MHOSe-

dig egy plasztikus folyadékra, amelynél egy meghatá-rozott τ K határ-csúsztató feszültség elérése után kezd a

közeg folyamatosan deformálódni:

τ τ µγ

= + ∞K

G

GW

ahol µ ∞ DN|]HJVDMiWRVViJDLWyOIJJiOODQGy$SODV]WLNXVIRO\DGpNRNUDiOWDOiEDQYDODP i-

O\HQWpUKiOyVV]HUNH]HWDMHOOHP] DPHO\QHN τ K KDWiViUD EHN|YHWNH]|VV]HRPOiVDXWiQ

kezd áramlani a közeg. Plasztikus közeg pl. az olajfesték és a fogpép.

9.1. ábra



89

A 3 és 4MHOJ|UEpND]~Qhatványfüggvény közegekre vonatkoznak, amelyeknél a csúsz-

tatófeszültség és a deformációsebesség közötti kapcsolatot egy hatványfüggvény írja le:

τ γ = N G GWQ

1 6 .

n < 1 esetén a 3MHOUHROyJLDLJ|U be a plasztikus közegekéhez hasonlít, ezért ez egy ún.

pszeudoplasztikus közegre vonatkozik. Ezek a közegek általában hosszú láncú mole-

NXOiNDWWDUWDOPD]QDN(PROHNXOiNÄHOUHQGH]GpVpLJ´DGHIRUPiFLyVHEHVVpJDGRWWQ|YHNH-

déséhez nagy csúsztatófeszültség-viOWR]iVWDUWR]LNNpV EENLVHEE

Az n > 1KDWYiQ\NLWHYYHOUHQGHONH]4MHO~QdilatálóN|]HJHNNLVVHEHVVpJGHIRU má-

FLyMiKR]YLV]RQ\ODJNLVFV~V]WDWyIHV]OWVpJWDUWR]LNQ|YHNYGHIRUPiFLyVHEHVVpJURKDPo-

VDQQ|YHNYFV~V]WDWyIHV]OWVpJHWLJpQ\HO,O\HQN|zeg pl. az ásványi porokat tartalmazó

zagy.

Az 5MHOJ|UEHtixotrop közegre vonatkozik. A tixotrop közegek fontos tulajdonsága, hogy

UHRORJLDL J|UEpLN DODNXOiVD IJJ D N|]HJ PHJHO] GHIRUPiFLyMiWyO ,O\HQ N|]HJ SO D

nyersolaj.

9.2. A mozgásegyenlet

Az áUDPOyN|]HJJRQGRODWEDQHOKDWiUROWUpV]pUHNpWIpOHHU DW|PHJUHKDWyWpUHUsség

pVDIHOOHWHQKDWyDV]RPV]pGRVIRO\DGpNUpV]HNUOiWDGyGyHUKDW(]HNQHND]HUN -

QHND]HUHG MHYiOWR]WDWMDPHJD]iUDPOyN|]HJPR]JiVPHQQ\LVpJpWD]D]J\RUVtWMDD

gondolatban elhatárolt folyadékrésztËUMXNIHOH]WDJRQGRODWRWHJ\VpJQ\LW|PHJIRO\a-

dékrészre:

dv

d tg F= +

A g D]HU WpU WpUHU VVpJ YHNWRUD D]D]D]HJ\VpJQ\L

W|PHJUHKDWyHU D]F SHGLJD]HJ\VpJQ\LW|PHJI o-

O\DGpNUpV]IHOOHWpQKDWyHU NHUHG MH(A 4.2. fejezet-

ben láttuk, hogy a súrlódás elhanyagolása esetén

) JUDGS= −

ρ.) A súrlódásos közegekben a gondo-

latban elhatárolt folyadékrész felületén az arra me-

UOHJHVQ\RPiVEyOV]iUPD]yHUQNtYODIHOOHWUH

PHUOHJHV D IRO\DGpN GHIRUPiFLyMiYDO |VV]HIJJ K~]yIHV]OWVpJEO pV D IHOOHWWHO

párhuzamos, csúszWDWyIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHUNLVpEUHGQHN A 9.2. ábrán egy elemi

pOKRVV]~ViJ~ NRFNiQ PXWDWMXN EH D] [ LUiQ\~ HU NHW HOLGp] IHV]OWVpJeket. A τ 3D

(9.1)

9.2. ábra



90

csúsztatófeszültségek és a σ 3D (az eddig tárgyalt nyomást is tartalmazó) húzó-

feszültVpJHNDWpUEHQYiOWR]QDN(]DYiOWR]iVRNR]]DDIHOOHWHQKDWyHUNEOV]irma-

]yD]HOHPLIRO\DGpNUpV]WJ\RUVtWyHUHGHUW

ËUMXNIHODNLVNRFNiUDKDWy[LUiQ\~HUHGHU WPDMGRVV]XNHODNLVNRFND ρ G[G\G] tö-megével, hogy az egységnyi tömegre ható F HU [NRPSRQHQVpWNDSMXN

)G[G\G]

[ G[ [ G\ G] \ G\ \ G[ G]

] G] ] G[ G\

[ [ [ \[ \[

][ ][

= + − + + −

+ + −

ρσ σ τ τ

τ τ

1 6 1 6 1 6 1 6J

1 6 1 6 C(9.2)

$]LQGH[HNN|]|WWD]HOVDQQDNDVtNQDNDQRUPiOLViWMHO]LDPHO\HQD]DGRWWIHV]OWVpJ

ébUHGDPiVRGLNSHGLJDIHV]OWVpJLUiQ\iW+DHNHWWHJ\EHHVLNDNNRUFVDNHJ\LQGH[HW

használtunk.)

Tekintettel arra, hogy pl. σ σ∂σ

∂x x

xx dx xx

dx+ = +1 6 1 6 , a (9.2) összefüggés átalakítás után

az alábbi alakra hozható:

)[ \ ]

[[ \[ ][= + +

ρ

∂σ

∂

∂τ

∂

∂τ

∂ .

Jelöljük Φ -vel a feszültségtenzort, amelynek mátrixa:

Φ =

!

"

$

###

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

[ \[ ][

[\ \ ]\

[] \] ]

.

pV|VV]HYHWpVpEOOiWKDWyKRJ\D] HJ\VpJQ\LW|PHJIRO\DGpNUDKDWy F HU D

feszültségtenzorból az

) = ∇

ρΦ

|VV]HIJJpVVHOIHMH]KHWNLDKRO∇ = + +∂

∂

∂

∂

∂

∂[L

\ M

]N a szokásos nabla (vektor) differen-

ciáloperátor.

$IRO\DGpNUDKDWyHUNpVDPR]JiViOODSRWN|]|WW|VV]HIJJpVWWHUHPW (9.1) mozgás-

egyenlet tehát így írható:

G Y

GWJ= + ∇

ρΦ

(9.3)

(9.4)

(9.5)

(9.6)



91

Figyelembe véve a folyadékrész gyorsulás tárgyalásánál tanultakat (4.2), a mozgásegyenlet

x irányú komponens egyenlete az alábbi módon írható fel:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂σ

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

Y

W

YY

[

YY

\

YY

]

J

[ \ ]

[[

[\

[]

[[

[ \[ ][+ + + = + + +

.

A (9.6) ill. (9.7) mozgásegyenleteket nem tudjuk használni mindaddig, amíg a feszültség-

iOODSRWUyOQLQFVLQIRUPiFLyQN$]HO]HNEHQPiUPHJLVPHUWNDIRO\DGpNRND]RQVDMiWRV-

ságát, hogy a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között kapcsolat van. Így tehát le

lehet vezetni a feszültségállapotot a mozgásállapotból és a (9.6) és (9.7) összefüggés jobb

oldalára a σ és τ helyett a sebességkomponenseket tartalmazó kifejezéseket lehet írni. Ezál-

WDOD]HJ\HQOHWHNEHQOpYLVPHUHWOHQHNV]iPDUDGLNiOLVDQFV|NNHQWKHW

Szorítkozzunk newtoni közegekre, amelyeknél a csúsztatófeszültség a tapasztalatokszerint arányos a G GWγ deformációsebességgel. A kis folyadékrész mozgásának elemzé-

sénél (3.5. fejezet) megismertük, hogy a folyadékrész mozgását párhuzamos eltolódásra,

forgásra, tágulásra és alakváltozásra lehet felbontani. Ezek közül az utolsó, az alakváltozás

van kapcsolatban a feszültségállapottal.

Tekintsük a 9.3. ábrát, ahol egy, az áramló közegben gon-

GRODWEDQHOKDWiUROWHOHPLPpUHWKDViEOiWKDWy9L]Vgáljuk

meg, hogy a γ V]|JLGV]HULQWLYiOWR]iVDKRJ\DQIJJD

KDViEGHIRUPiFLyMiQDNVHEHVVpJpWOD]D]DODSVtNMiEDHV

sebességkomponensek hely szerinti változásától. A dx

hosV]~ViJ~ROGDOGWLGDODWWGα szöget fordul el, mert a

YpJSRQWMDLQDN\LUiQ\~VHEHVVpJHNO|QE|]GWLGDODWWD

végpontok által megtett út különbsége:∂

∂

Y

[G[GW

\. Az dα elfordulási szöget úgy kapjuk,

hogy ezt elosztjuk dx-szel. Tekintettel arra, hogy G G Gγ α β= + írható:

G G G Y[

GW Y\

GW\ [γ α β ∂∂

∂∂

= + = +.

$]HJ\VpJQ\LLGUHMXWyV]|JHOIRUGXOiVWD]D]DGHIRUPiFLyVHEHVVpJHWDGLQDPLNDLYLV]ko-

]LWiVVDO PHJV]RUR]YD D GHIRUPiFLyW HOLGp] τ [\ pV D] H]]HOPHJHJ\H] τ \[ csúsztató-

feszültségeket kapjuk:

τ µ∂

∂

∂

∂τ[\

\ [\[

Y

[

Y

\= +

=.

+DVRQOyDQNLIHMH]KHWDW|EELFV~V]WDWyIHV]OWVpJNRPSRQHQVLV

(9.7)

9.3. ábra

(9.8)

(9.9)



92

$ IHOOHWUH PHUOHJHV σ IHV]OWVpJNRPSRQHQVHN NpW UpV]EO WHYGQHN |VV]H D PiU

PHJLVPHUWQ\RPiVEyOpVD]DODNYiOWR]iVEyODGyGyK~]yIHV]OWVpJE O A nyomást a tér P

pontjában úgy tekint MNPLQWHJ\3N|]pSSRQW~UVXJDU~J|PEIHOOHWpQDIHOOHWUHPHU -

leges feszültségek átlagát r → 0 esetén:− = + + S [ \ ]

σ σ σ3 8 . A σ húzófeszültségek a

Q\RPiVWQHJDWtYHO MHOOHOIRJMiNWDUWDOPD]QLKLV]HQD]DNNRUSR]LWtYKDDIHOOHWEHEHIHOp

PXWDWy HU W HUHGPpQ\H] Az alakviOWR]iV HUHGPpQ\HNpQW OpWUHM|Y FV~V]WDWyIHV]OW-

VpJHNN|YHWNH]WpEHQIHOOHWUHPHUOHJHVσ húzófeszültségek is keletkeznek, azaz pl. a

IRO\DGpNEDQ NHOHWNH] σ húzófeszültség x irányú komponensére írható: σ σx xp= − + ' A

deforPiFLyN|YHWNH]WpEHQNHOHWNH]IHV]OWVpJHNmeghatározása érdekében tekintsük a

9.4.a. ábrátDKROHJ\KDViERWOiWKDWXQN$ODSUDPHU OHJHVHQ

9.4.a. ábra 9.4.b. ábra

egységnyi hosszúságú, négyzet alapú hasáb ∆D ⋅ IHOOHW ROGDOain ható τ csúsztató-

feszültségeket az átlóval kijelölt sík mentén ható σ húzófeszültség tartja egyensúlyban. A

lapra meU OHJHVHQ HJ\VpJQ\L KRVV]~ViJ~ KDViEUD KDWy HU N HJ\HQV~O\iW IHOtUYD

∆ ∆D Dτ σ= DPLEOσ τ µ γ = = GGW adódik.

A 9.4.b. ábrán látható a hasáb deformálódása, amely az x irányú sebességkomponens x irá-

Q\~YiOWR]iViUDYH]HWKHWYLVV]D$]iWOyPHJQ\~OiVDGWLGDODWW 33 . Ennek fele a Gγ

szögelfordulást meghatározó, az x tengellyel 4 5° -ot bezáró 33 szakasz x irányú vetülete.

A 33 szakasz hossza tehát:∂

∂

Y

[D GW[ ∆ DPLEOD

G Y

[GW[γ ∂

∂= . Fentiek figyelembevéte-

lével írható:

σ µγ

µ∂

∂1 2x

xd

dt

v

x' = = . Hasonlóan σ µ

∂

∂σ µ

∂

∂1 12 2y

yz

zv

yés

v

z' '= = .

$NLIHMH]pVHN|VV]HIJJpVWWHUHPWHQHNHJ\DGRWWNRRUGLQiWiUDPHU OHJHVVtNRQpEU e-

GD]DODNYiOWR]iVPLDWWNHOHWNH]K~]yIHV]OWVpJHNpVDVtNUDPHU OHJHVVHEHsségkompo-

nensek adott koordináta irányú megváltozása között.

Ha viszont ρ ≠ iOO esetén mindhárom koordináta irányban egyformán „tágul” a közeg,

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

\

Y

]

[ \ ]

= = , akkor a folyadékrész növekszik, de nincsen alakváltozás (

G

GW

γ

= ).

(9.10)



93

Miután

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

\

Y

]GLY Y[ \ ]+ + =

valamennyi irányban azonos WHP ÄWiJXOiV´ HVHWpQ SO∂

∂

Y

[GLY Y[ =

. A húzófeszült-

VpJHNNHOHWNH]pVpWHUHGPpQ\H]GHIRUPiFLyWWHKiWQHPD∂

∂

Y

[

[ , hanem a∂

∂

Y

[GLY Y[ −

ki-

fejezés értéke jellemzi. Ezért a deformáció miatti húzófeszültségre írható,

σ µ∂

∂[

[Y

[GLYY = −

, azaz a σ [ D]DOiEELPyGRQIHMH]KHWNL

σ µ∂

∂µ[

[ SY

[GLYY= − + −

.

A (9.9) és (9.12) összefüggések figyelembevételével az alábbi módon írható fel a sebesség-

komponensek deriváltjaival a feszültségtenzor mátrixa:

Φ =

− + − +

+

+

− + − +

+

+

− + −

!

"

$

####

####

SY

[GLYY

Y

[

Y

\

Y

]

Y

[

Y

[

Y

\

SY

\

GLYYY

]

Y

\Y

]

Y

[

Y

]

Y

\ S

Y

]GLYY

[ \ [ [ ]

\ [ \ \ ]

[ ] \ ] ]

µ∂

∂µ µ

∂

∂

∂

∂µ

∂

∂

∂

∂

µ∂

∂

∂

∂

µ∂

∂

µ µ∂

∂

∂

∂

µ∂

∂

∂

∂µ

∂

∂

∂

∂µ

∂

∂µ

(9.13)

Látható, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus mátrixa a D deriválttenzor (3.28) és transz-

ponáltja segítségével az alábbi módon írható fel:

Φ = − −

+ S GLY Y ( $

6

µ µ

,

ahol E az egységtenzor, $ ' '6

= +

4 9 az alakváltozási sebesség tenzor (ld. (3.15) ösz-

szefüggés). A (9.14) kifejezés szépen mutatja a feszültségek és a deformációsebesség lineá-

ris kapcsolatát, amely a newtoni folyadékok sajátossága. A (9.14) összefüggéshez hasonló

V]HUNH]HWGHERQ\ROXOWDEENLIHMH]pVHNHWOHKHWIHOtUQLDNO|QE|] QHPQHZWRQLIRO\DGpNRN

esetén a deformációsebesség és a feszültségállapot között.

Most már képezhetjük a Φ ∇ -t és fel tudjuk írni a mozgásegyenlet (9.6) kifejezését az

egyes koordináták irányában. Az x irányú komponens egyenlet:

(9.11)

(9.12)

(9.14)



94

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂µ

∂

∂µ

∂

∂µ

∂

∂

∂

∂

∂

∂µ

∂

∂

∂

∂

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

[ [

Y

[GLYY

\

Y

[

Y

\ ]

Y

]

Y

[

[[

[\

[]

[[

[

\ [ [ ]

+ + + = − + −!

"$#

+%&'

+ +

!

"$##

+ +

!

"$#()K*K

Hasonlóképpen felírva a mozgásegyenlet legáltalánosabb alakját y és z koordináta irány-ban, 3 egyenletet kapunk, amelyekben hat ismeretlen: Y Y Y S[ \ ] ρ µ szerepel. Negye-

dik egyenletként felírható a folytonosság tétele a (3.25) összefüggés alakjában. A ρ és µ

meghaWiUR]iViKR]V]NVpJHVHJ\KHWHGLNLVPHUHWOHQD7K PpUVpNOHWEHYH]HWpVHgW|GLN

egyenletünk a sU VpJDQ\RPiVpVDKPpUVpNOHWNDSFVRODWiWIHMH]LNLSOJi]HVHWpQD]

Ji]W|UYpQ\DKDWRGLNHJ\HQOHWSHGLJNDSFVRODWRWWHUHPWDYLV]NR]LWiVpVDK Pprséklet

N|]|WW$KLiQ\]yKHWHGLNHJ\HQOHWD]HQHUJLDHJ\HQOHWDPHO\DEHOV HQHUJLDKPpUVpk-

let), a mozgási energia valamint a közeg által és a közegen végzett munka között teremt

kapcsolatot. Elvileg tehát rendelkezésre áll az ismeretlenek számával megeJ\H] V]iP~egyenletet tartalmazó legáltalánosabb egyenletrendszer, amelynek analitikus megoldása

azonban csak korláto]RWWV]iP~HJ\V]HU HVHWHNEHQ LVPHUWQXPHULNXVPHJROGiVD SHGLJ

LJHQVRNHVHWEHQPpJQHPOHKHWVpJHV(]pUWHJ\V]HU VtWIHOWHYpVHNHWWHV]ünk.

9.3. A Navier-Stokes-féle egyenlet

Tételezzük fel, hogy µ = iOO és ρ = iOO azaz az áramló közeg dinamikai viszkozitása és

VUVpJHiOODQGy Figyelembe véve, hogy ρ = iOO esetén a folytonosság (3.25) tétele ér-

telmében divv = 0 , e feltételezéssel a (9.15) összefüggés jobb oldaOiQOpYNDSFVRV]iU ó-

MHOEHQOpYNLIHMH]pVD]DOiEELDODNUDKR]KDWy

µ

ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ν∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

\

Y

[ \

Y

]

Y

] [

Y

[

Y

\

Y

]

[

Y

[

Y

\

Y

]

[ [ \ [ ] [ [ [

[ \ ]

+ + + +

= + +

+

+ + +

Miután az egyenlet jobb oldalán álló második tag a divv x szerinti deriváltja, amely

divv = 0 következtében zérus, IHOtUKDWyD]iOODQGyVUVpJpVYLV]NR]LWiVHVHWpQpUY é-

nyes mozgásegyenlet a Navier-Stokes-féle egyenlet, amelyet Navier 1827-ben, majd

Stokes 1845-ben vezetett le:

(9.15)

(9.16)



95

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

[

Y

[

Y

\

Y

]

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

\

Y

[

Y

\

Y

]

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

]

[[

[\

[]

[[

[ [ [

\

[

\

\

\

]

\

\

\ \ \

][

]\

]]

]]

+ + + = − + + +

+ + + = − + + +

+ + + = − +

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

\

Y

]

] ] ]+ +

A négy ismeretlen ( Y Y Y[ \ ] és p) meghatározásához szükséges negyedik egyenlet a foly-

tonosság egyenlete, amely ρ = iOO esetén a

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

\

Y

]

[ \ ]+ + =

alakban írható fel.

Vektoriális írásmódban a Navier-Stokes-féle egyenlet:

G Y

GW

Y

WJUDG

YY URW Y J JUDGS Y= + − × = − +

∂

∂ ρ ν

∆

Látható, hogy a Navier-Stokes-egyenlet a jobb oldal utolsó tagjával a ν ∆ Y taggal külön-

bözik a súrlódásmentes esetre levezetett Euler-HJ\HQOHWWOOG|VV]HIJJpV$V~ r-

OyGiVKDWiViWNLIHMH]WDJEDQV]HUHSO ∆ v felbontható: ∆v g ra dd iv v r o tr o tv= − . Miután

divv = 0 írható:

G Y

GWJ JUDG S URW URW Y= − −

ρ ν

.

A (9.20) egyenlet jól mutatja az áramlás örvényessége és a súrlódás közötti kapcsolatot. Po-

tenciálos áramlás rotv = 01 6VWiOODQGy|UYpQ\HVVpJiUDPOiVHVHWpQDV~UOyGiVQDNQLQFV

szerepe, a Navier-Stokes-egyenlet az Euler-egyenletbe megy át.

(9.17)

(9.18)

(9.19)

(9.20)



96

9.4. Alkalmazások

Couette-áramlás

Tekintsük a 9.5. ábránOiWKDWy$MHOVHEHVVpJPHJRV]Ois-sal jellemzett ún. Couette-áramlást, amely hasonlít a szi-

lárd fal mellett a valóságban kialakuló áramlásra. Legyen

ρ = iOO , és µ = iOO , az áramlás pedig legyen stacionárius

síkáramlás (ld. 3.4.fejezet). Ennél az áramlásnál

Y Y \ Y[ [ \= =1 6 . Következéskép∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

[

[ \= = .

Mivel divv = 0 , a (9.13) feszültségtenzor az alábbi alakban írható fel:

Φ =!

"$#

=

−

−

!

"

$

####

σ τ

τ σ

µ∂

∂

µ∂

∂

[ \[

\[ \

[

[

SY

\

Y

\ S

,

azaz a tananyag legelején tárgyalt, Newton-féle viszkozitási törvény adódott a τ [\ -re.

Határozzuk meg a Φ ∇-t!

Φ ∇ =

+

+

!

"

$

####

=

− +

−

!

"

$

#####

∂σ∂

∂τ∂

∂τ

∂

∂σ

∂

∂∂

µ ∂∂

µ∂

∂ ∂

∂

∂

[ \[

[\ \

[

[

[ \

[ \

S[

Y\

Y

[ \

S

\

.

7HNLQWVQNHOD)|OGQHKp]VpJLHU WHUpWOpVtUMXNIHODPR]JiVHJ\HQOHW[pV\LUiQ\~

komponens egyenletét!

GY

GW

S

[

Y

\

GY

GW

S

\

Y

[ \

[ [

\ [

= − +

= − +

ρ

∂

∂ ν

∂

∂

ρ

∂

∂ ν

∂

∂ ∂

Miután a folyadékrészek gyorsulása és a sebesség x irány mentén képzett deriváltjainak ér-

WpNH]pUXVDPiVRGLNHJ\HQOHWEO∂

∂

S

\= eredményre jutunk, azaz a párhuzamos egyenes

iUDPYRQDODNUDPHU OHJHVHQ QHPYiOWR]LN D Q\RPiV OG PpJ(XOHU -egyenlet természetes

koordináta-UHQGV]HUEHQ$IHOVHJ\HQOHWEOSHGLJD∂

∂µ

∂

∂

S

[

Y

\

[=

eredmény adódik.

9.5. ábra

(9.21)



97

Ha a sebességmegoszlás lineáris (ld. 9.5. ábra%MHOJ|UEHDNNRUDz áramlásban elképzelt

KDViEDODN~NLVIRO\DGpNUpV]IHOVpVDOVyODSMiQD1HZWRQYLV]NR]LWiVLW|UYpQ\pUWHl-

mében ugyanakkora, de ellentétes irányítású csúsztatófeszültség alakul ki, amely kiegyen-

súlyozza egymást. Ezért az áramlás fenntartásához nincs szükség nyomáskülönbségre.

UgyanH]DGyGLND]HUHGPpQ\ONDSRWWPR]JiVHJ\HQOHWEOLVPLYHO Y [ y szerinti második

deriváltja lineáris sebességmegoszlás esetén zérus és a folyadékrészek nem gyorsulnak.

+DDVHEHVVpJPHJRV]OiVD]$MHO J|UEpQHNIHOHOPHJDkkor a második derivált negatív,

D]D][LUiQ\EDQFV|NNHQQ\RPiVHVHWpQWDUWKDWyIHQQD]iUDPOiV(EEHQD]HVHWEHQXJ\D n-

LVDNLVKDViEIHOVODSMiQNLVHEEτ keletkezik, mint az alsón, ezért a csúsztatófeszültségek

HUHG MH -x irányítiV~HU OHV]DPLWDQ\RPiVNO|QEVpJEOV]iUPD]yHU QHNNHOOHOOHQVú-

lyoznia.

/DPLQiULVUpWHJHViUDPOiVFVEHQ

Tekintsük a 9.6. ábrátDPHO\HJ\N|UNHUHV]WPHWV]HWHJ\HQHVFV EHQOpYNLDODNXOWKHn-

gerszimmetrikus áramlást mutat be. (Azt az áramlást nevezzük kialakult áramlásnak,

amely EHQDVHEHVVpJPHJRV]OiVDFVKRVV]DPHQWpQQHPYiOWR]LN Y U = ,∂

∂

1 6]

= .)

9.6. ábra

9HJ\QNIHOHJ\DFVWHQJHO\pYHONRQFHQWULNXVUVXJDU~G]KRVV]~ViJ~KHQJHUWpVtUMXN

IHOD]HUUHKDWyHU NHJ\HQV~O\iW7HNLQWHWWHODUUDK ogy e folyadékhenger nem gyorsul, a rá

haWy HU NQHN NL NHOO HJ\HQV~O\R]QLRN HJ\PiVW $ KHQJHUUH D] DODS- pV IHGODSMiQ OpY

nyomáVRN NO|QEVpJpEO V]iUPD]y HU pV D SDOiVWRQ NHOHWNH] FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO

V]iUPD]y HU

KDW 9HJ\N IHO D ] NRRUGLQiWD WHQJelyt és pozitív irányításánakfigyelembevéWHOpYHOtUMXNIHOD]HU NHJ\HQV~O\iW

U S U S GS U G] π π π τ− + + =1 6.

Behelyettesítés és egyszerüsítés után τ G] U GS= DGyGLNDPLEOD1HZWRQ-féle viszkozitá-

si törvényt felhasználva:

τ µ= =

U

GS

G]

GY

GU

]

(9.22)

(9.23)



99

ill. a nyomásveszteséget kifejezve:

∆ SY O

5 =

µ

.

$ FV~V]WDWyIHV]OWVpJ D |VV]HIJJpVEO D IDOQiO τ IDO S 5

O= − ∆

értéket vesz fel.

8J\DQH] DGyGLN KD HJ\HQOYp WHVV]N D] iUDPOiVW DNDGiO\R]y FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO

származó 5 O IDOπ τ HU pVD]iUDPOiVWIHQQWDUWyQ\RPiVEyOV]iUPD]y 5 S π ∆ HU |sz-

szegét zérussal (mivel nem gyorsul a közeg) és kifejezzük a τ IDO értékét.

(9.28)



10. Lamináris és turbulens áramlások,

határrétegek

Ebben a fejezetben a valóságos (súrlódásos) közegek sajátosságaival foglalkozunk. Az itt

tanult, többnyire kvalitatív ismeretek segítségünkre lesznek abban, hogy gyakorlati áram-

lástani jelenségeket értelmezni tudjunk, közelebb kerülve ezáltal megoldásukhoz.

10.1. A Reynolds-féle kísérlet, lamináris és turbulens

áramlások

$P~OWV]i]DGKDUPDGLNKDUPDGiEDQYpJH]WHDODSYHWNtVpUOHWHLW5H\QROGV$10.1. ábrán

OiWKDWyWDUWiO\EyOV]DEiO\R]KDWyPHQQ\LVpJYt]iUDPOLNNL$]YHJEONpV]OW

10.1. ábra

NLIRO\yFVWHQJHO\pEHHJ\PiVLNYpNRQ\DEEFV|Y|QNHUHV]WOPHJIHVWHWWIRO\Ddék (pl. kék

WLQWDYH]HWKHWEH+DDIRO\DGpNVHEHVVpJHNLFVLDIHVWHWWIRO\DGpNV]iOYpJLJK~]yGLNDFV

WHQJHO\pEHQMyOPHJNO|QE|]WHWKHWHQD]iWOiWV]yYt]WOOGIHOVNpS(EEHQD]HVH tben

lamináris (= réteges) áramlásról beszélhetünk, amelyben az egymás mellett áramló fo-

lyadékrétegek anyaga csak a molekuláris diffúzióval keveredik egymással. A sebesség-

YHNWRUDFVEiUPHO\SRQWMiQLGEHQQHPYiOWR]LND]iUDPOiVVWDFLRQiULXVKDDN i-

ömOIRO\DGpNPHQQ\LVpJLGEHQQHPYiOWR]LN

Növelve a folyadék VHEHVVpJpWDIHVWHWWIRO\DGpNV]iOLGQNpQWLPHJ]DYDUiViWWDSDV]WDOKDt-

MXN OG N|]pSV NpS DPL D VHEHVVpJ Q|YHNHGpVpYHO HJ\UH J\DNRULEE OHV] PtJQHP D]

áramlás teljes egészére kiterjed és állandósul ez a megzavart áramlási állapot (ld. alsó kép).

Még nagyREEVHEHVVpJQpODFV EHQiUDPOyN|]HJHJ\HQOHWHVYLOiJRVNpNV]tQ WHKiWDIHs-

WpNWHOMHVHQHONHYHUHGLNDFV EHQiUDPOyN|]HJJHO(]DWDSDV]WDODWD]WEL]RQ\tWMDKRJ\D]

áramlásEDQ LGOHJHVHQ MHOHQWV FVWHQJHO\UH PHUOHJHV VHEHVVpJNRPSRQHQV LV YDQ,

ameO\ D IHVWpNV]HPFVpNHW D WHOMHV FVNHUHV]WPHWV]HWEHQHONHYHUL +D D NL|PO IRO\DGpN -

mennyiség idben nem is változik, az áramlási tér pontjaiban a sebesség iránya és nagysága

LG EHQHJ\N|]pSpUWpNN|UOLQJDGR]LN az áramlás kvázistacionárius. Megvizsgálva az

áramlás struktúráját megállapíthatjuk, hogy abban kisebb nagyobb örvények keletkeznek,

HJ\PiVVDOKHO\HWFVHUpOQHN|VV]HROYDGQDNHONHYHUHGQHNHOW QQHN . Az áramlási tér egy

adott pont MiEDQDVHEHVVpJYHNWRULQJDGR]iVDD]HJ\PiVXWiQiWKDODGyNO|QE|] PpUHWpV



101

intenzitású örvényekkel magyarázható. Ezt az örvényekre szétbomló, igen bonyolult

áramlást turbulens áramlásnak nevezzük.

5H\QROGVNLGHUtWHWWHKRJ\DFViUDPOiVODPLQiULVEyOWXUEXOHQVEHYDOyiWDODNXOiVDQHPFVX -

SiQ D Y iWODJVHEHVVpJWOKDQHPa Y G ρµ

GLPHQ]LyWODQFVRSRUWpUWpNpWO LVIJJDPHO\HW

Reynolds-V]iPQDNQHYH]QNpVDPHOO\HONpV EEEHKDWyDQIRJODONR]XQN

5H =Y G ρ

µ .

+DDFVLOOH]iOWDOD]iUDPOiVUH]JpVHNQHN]DYDUiVQDNYDQNLWpYHDNNRUDlamináris-tur-

bulens átalakulás 5H ≅ körül megy vpJEH +D NHOOHQ ]DYDUPHQWHVVp WHVV]N D]

áramlást, ennél lényegesen nagyobb Reynolds-szám értékek mellett is lamináris maradhat

D]iUDPOiVGHLO\HQHVHWEHQPiUHJ\NLV]DYDUiVUDLVUREEDQiVV]HU HQYpJEHPHJ\D]iWDOa-

kulás (átcsapás).

$] LG EHOL iWODJpUWpN ekre vonatkozóan stacionárius turbulens áramlásban a Y sebesség-

vektor úgy írható fel, mint az LGEHOLiWODJVHEHVVpJ

Y7

Y GW

7

= I

és a sebességingadozás Y összege:

Y Y Y= + .

$7>V@iWODJROiVLLGWDUWDPKDODGMDPHJOpQ\HJHVHQD]WD]LGWDUWDPRWDPLDODWWHJ\ örvény

a tér egy pontján áthalad.)

$V]WRFKDV]WLNXVDQYiOWR]yLQJDGR]yVHEHVVpJLG EHOLiWODJiUDtUKDWy

Y7

Y GW7

= =I

A turbulens áramlásban a nyomás is ingadozik: S S S= + .

A turbulencia mértékének jellemzésére a turbulenciafokot használjuk, amely a sebesség-

ingadozások iWODJRVPpUWpNpWYLV]RQ\tWMDD]LG EHQLiWODJVHEHVVpJKH]

(10.1)

(10.2)

(10.3)



102

7XY

Y

Y Y Y

Y

[ \ ]= =

+ + 1 6

$]LGEHQLiWODJRNUDYRQDWNR]yPR]JiVHJ\HQOHW

$]HO]IHMH]HWEHQOHYH]HWHWWPR]JiVHJ\HQOHWLOOD]iOODQGyVU VpJpVYLV]NR]LWiV

esetén érvényes (9.17) ill. (9.19) Navier-Stokes-egyenlet helyesen írja le a newtoni közegek

áramlását – függetlenül attól, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens. A turbulens áram-

OiVRNLJHQERQ\ROXOWVWUXNW~UiMDLGIJJpVHNpUGpVHVVpWHV]LKRJ\WDOiOXQN -e olyan mód-

szereket, amelyekkel ezek az áramlások teljes bonyolultságukban számíthatók lennének.

(]pUW5H\QROGVOHYH]HWWHD]LG EHQLiWODJRNUDYRQDWNR]yPR]JiVHJ\HQOHWHW

9pJH]]NHOPLLVXJ\DQH]WDIHODGDWRW/HJ\HQDVU VpJρ=áll. Írjuk fel a Navier-Stokes-

egyenlet x irányú komponens egyenletét (ld. (9.17) összefüggés) úgy, hogy a bal oldalhoz

adjunk hozzá Y GLY Y[ = -t:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

YW

Y Y[

Y Y\

Y Y]

Y Y[

Y\

Y]

JS

[

Y

[

Y

\

Y

]

[[

[\

[]

[[

[ \ ]

[[ [ [

+ + + + + + =

= − + + +

$EDOROGDORQHOYpJH]YHDPYHOHWHWD]DOiEELNLIHMH]pVWNDSMXN

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

W

Y

[

Y Y

\

Y Y

]J

S

[

Y

[

Y

\

Y

]

[ [ [ \ [ ]

[[ [ [+ + + = − + + +

4 9 3 8 1 6

Helyettesítsük be a (10.3) alapján felírható Y Y Y[ [ [= + stb. kifejezéseket a (10.6) egyen-

OHWEH pV H]W N|YHWHQNpSH]]N D HJ\HQOHW PLQGNpW ROGDOiQDN LG EHOL iWODJiW DPL PHg-

egye]LND]HJ\HVWDJRNLG EHOLiWODJiQDN|VV]HJpYHOLOONO|QEVpJpYHO$]LG EHOLiWODJRW

D|VV]HIJJpVQHNPHJIHOHOHQGHILQLiOMXNpVD]HGGLJLHNQHNPHJIHOHOHQIHOOYRQis-

VDOMHO|OMN$]HJ\V]HU VpJNHGYppUWFVDND]HJ\HVWLSLNXVWDJRNUDPXWDWMXNEHD]HOMárást:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

W

Y

W

Y

W

Y

W

[ [ [ [= + =

,

(10.4)

(10.5)

(10.6)



103

PLYHODN|]pSVNLIHMH]pVPiVRGLNWDJMD]pUXV$]LG EHOLiWODJROiVXJ\DQLVLG V]HULQWLLn-

tegrálást jelent (ld. (10.2) összefüggés), az integrálás és a differenciálás sorrendje pedig fel-

FVHUpOKHW(]pUW

∂∂

∂∂

YW

YW

[ [ = = .

A∂

∂

v

tx pUWpNH ]pUXV KD D] LG EHOL iWODJVHEHVVpJ KRVV]DEE LGWDUWDPRW ILJ\HOHPEHYpYH

LG EHQiOODQGy$]LG EHOLiWODJVHEHVVpJYiOWR]KDWSOKDWXUEXOHQViUDPOiVHVHWpQDFV Yé-

JpQOpYFVDSRWIRNR]DWRVDQNLQ\LWMXN(]HVHWEHQDIHQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRVpUWpNH]pUX s-

tól elWpU

Írható továbbá:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

x

v

x

v v

x

v

xx x x x x1 6 4 9 1 6 4 92 2 2

2= + +' '

,

DKRODIHQWLHNDODSMiQDMREEROGDOPiVRGLNWDJMDXJ\DQFVDN]pUXVpUWpN +DVRQOyDQtUKDWy

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y Y

\

Y Y

\

Y Y

\

Y Y

\

Y Y

\

[ \ [ \ [ \ [ \ [ \3 8 3 8 3 8 3 8 3 8= + + +

,

ahol a jobb oldal második és hDUPDGLNWDJMD]pUXVKLV]HQLWWHJ\LG EHQiOODQGyiWODJVHbes-

ségkomponenssel – konstanssal – szorozva szerepelnek az ingadozó sebességkomponensek

LG EHOLiWODJDL

∂

∂

∂

∂

∂

∂

S

[

S

[

S

[= +

,

ahol a jobb oldal második tagja zérus.

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

[

Y

[

Y

[

[ [ [= +

,

ahol a jobb oldal második tagja ismét zérus.



104

A fentiek alapján a (10.6) összefüggés az alábbi alakban írható:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

t

v

x

v v

y

v v

zg

p

x

v

x

v

y

v

z

v

x

v v

y

v v

z

x x x y x zx

x x x

x x y x z

+ + + = − + + +

−

− − −

2 2

2

2

2

2

2

2

14 9 3 8 1 6

4 9 3 8 1 6' ' ' ' '.

A bal oldal második, harmadik és negyedik tagjában elvégezve a deriválást, megkapjuk a

Y GLYY[ = tagot, amit elhagyunk. Ha tehát egy turbulens, kvázistacionárius áramlásra

írjuk fel a Navier-Stokes-egyenlHWHWD]LGEHOLVHEHVVpJ- és nyomásátlagokra egy tel-

jesen hasonló egyenletet kapunk, csak az egyenlet jobb oldalán a sebességingadozások

KDWiViWNLIHMH]D]LQJDGR]yVHEHVVpJHNQpJ\]HWHLQHNLOOV]RU]DWiQDNLGEHOLiWODJDLW

tartalmazó tagok jelennek meg.

Vizsgáljuk meg az impulzustétel segítségével ezeknek a tagoknak

a jelentését! Tekintsük a 10.2. ábrátDKROHJ\WHWV]OHJHV$HOOHn-

U]IHOOHWd A vektorral jellemzett felületeleme látható. A vektor

talppontjában ebben a pillanatban a sebességingadozás v' , amely

normáOLVpVpULQWLUiQ\~NRPSRQHQVHNUHY pV YQ W ) bontható fel.

LeJ\HQD]LG EHOLiWODJVHEHVVpJ Y stacionárius. Felírva az impul]XVWpWHOWD]HO]PHJIRQ-

tolások alapján beláthatóan az alábbi kifejezés adódik:

Y Y G $ S G $ J G9 Y Y G $

$ $ 9 $

ρ ρ ρI I I I = − + − .

A jobb oldal utolsó tagja fejezi ki a sebességingadozás hatását. Figyelembe véve, hogy

Y Y YQ W = + és a Y G $W = ill. Y G $ Y G$ Y G$Q Q Q = = , írható:

− = − −I I I v v dA v v dA v v dAA

n n

At n

A

' ' ' ' ' 'ρ ρ ρ .

$MREEROGDOLHOVLQWHJUiODIHOOHWUHPHU OHJHVHU YHNWRUWHUHGPpQ\H]H]pUWD|sz-

szefüggés az alábbiak szerint írható fel:

v v dA p v dA g dV v v dAA

n

A V

t nA

ρ ρ ρ ρI I I I = − +

!

"$# + −' ' '2 4 9

A kvázistacionárLXViUDPOiVUDIHOtUWLPSXO]XVWpWHOWHKiWiWPHQWHJ\LGEHOLiWODJRNUD

YRQDWNR]yNLIHMH]pVEHDPHO\EHQPHJMHOHQWDVHEHVVpJLQJDGR]iVRNKDWiViWNLIHMH] NpW

tag. (]HNHWDWDJRNDWDPHO\HNHWD]HOOHQU]IHOOHWHQNHOOLQWHJUiOQXQNlátszólagos nyo-

másnövekedés és látszólagos csúsztatófeszültség tagoknak nevezzük. A

(10.7)

10.2. ábra

(10.8)

(10.9)



105

S YQl

= ρ 3 8

DOiWV]yODJRVDVHEHVVpJLQJDGR]iVRNN|YHWNH]WpEHQOpWUHM|Y Q\RPiVQ|YHNHGpVD

τ ρl = − Y YW Q 4 9

pedig a látszólagos csúsztatófeszültség. (A kifejezésekben az "„"”index jelzi, hogy látszó-

lagos IHV]OWVpJHNU OYDQV]y$]HGGLJLHNDODSMiQIHOLVPHUMNDHJ\HQOHWMREEROG a-

lán a látszólagos húzófeszültség és a látszólagos csúsztatófeszültségek x komponensének

hely szerinti deriváltjait:

−

− − = + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂ σ

∂

∂ τ

∂

∂ τ

∂

Y

[

Y Y

\

Y Y

] [ \ ]

[ [ \ [ ][ \[ ][

4 9 4 9l l l .

Ha hasonlóképpen átalakítjuk a másik két komponensegyenletet, akkor rájövünk, hogy a

jobboldal egyenletenként három utolsó tagja egy Φl

látszólagos feszültségtenzor és a ∇

V]RU]DWDD]D]DNYi]LVWDFLRQiULXViUDPOiVUDD]LG EHOLiWODJRNNDOIHOtUWPR]JiVHJ\HQOHWOG

(9.6) összefüggés) így írható:

G Y

GWJ= + ∇ + ∇

ρ ρΦ Φ

l

ahol

Φl

l l l

l l l

l l l

=

−

− −

− −

−

− − −

!

"

$

######

=

!

"

$

###

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

[ [ \ [ ]

[ \ \ \ ]

[ ] \ ] ]

[ \[ ][

[\ \ ]\

[] \] ]

4 9 4 9

4 9 4 9

4 9 4 9

.

A (10.10) és (10.11) összefüggéssel megadott feszültségeket és a Φl

látszólagos feszült-

ségtenzor elemeit Reynolds-feszültségeknek nevezzük. A Reynolds-feszültségek beveze-

tése igen hasznos volt a turbulencia hatásának megértése és a turbulens áramlások köze OtW

számítása szempontjából egyaránt. Az instacionárius Navier-Stokes-egyenlet ugyanis he-

lyesen írja le a legbonyolultabb turbulens áramlásokat is.6]iPtWiVXNHJ\HOUHD]RQEDQ

reménytelen teljes komplexitásukban, ezért megelégszünk a sebesség és a nyomás LGEHOL

átlagainak meghatározásával. Ez úgy történik, hogy felírjuk D]LGEHOLiWODJRNUDYRQDt-

kozó Navier-Stokes-egyenletet és kiegészítjük azt a sebességingadozások hatását kife-

MH]WDJRNNDO, amelyek a látszólagos (az instacionárius turbulens áramlásban valóságban

QHPOpWH]Q\RPiVQ|YHNHGpVLOOK~]yIHV]OWVpJ -növekedés) és a látszólagos csúsztatófe-

szültség komponensek (a Reynolds-feszültségek) hely szerinti deriváltjai. A turbulens in-

(10.10)

(10.11)

(10.12)

(10.13)



106

gadozásokból adódó látszólagos feszültségek a folyadékrész átlagsebességgel számolt

deformációjából adódó feszültségeknél általában egy-két nagyságrenddel nagyobbak,

ezért fontos lenne viszonylag pontos számításuk. A Reynolds-feszültségek bevezetése a

turbulens áramlások számításával kapcsolatos problémákat nem oldotta meg teljesen, mert

még ma sem ismeretes olyan univerzális összefüggés, amely általánosságban leírná azegyes Reynolds-feszültségeket, azaz megoldhatóvá tenné a turbulens áramlásokat leíró

egyenletUHQGV]HUW6]iPRVPRGHOOOpWH]LNDPHO\HNNHON|]HOtWV]iPtWiVRNYpJH]KHWN-e-

lenleg az áramlástani kutatások egyik legfontosabb területe ezeknek a feszültségeknek a

PHJKDWiUR]iVDOHtUiVD(]pUWLVYiOWDNLJHQIRQWRVViD]RNDPpUpVLPyGV]HUHNSODKGU ót

méréstechnika), amelyekkel a turbulens ingadozások meghatározhatók.

10.3. Határrétegek, keveredési úthossz, univerzális faltörvény

$PpUQ|NLIHODGDWRNERQ\ROXOWDEEiYiOiVDSODUHSOpVIHMOGpVHV]NVpJHVVpWHWWHRO\DQ

számítási eljárások kidolgozásiW DPHO\HNNHO ERQ\ROXOW WXUEXOHQV iUDPOiVRN MHOOHP]L My

közelítéssel meghatározhatók. A teljes áramlási tér leírása pl. egy szárny körül

megoldhatatODQ QHKp]VpJHW MHOHQWHWW D V]iPtWyJpSHN PHJMHOHQpVH HOWW 3UDQGWO QpPHW

áramlástan professzor évszázadunkHOVpYHLEHQD]DOiEELPHJIRQWROiVWWHWWHKDHJ\V]LOiUG

testet teszünk az áramlásba, falán a sebesség (a tapadás törvénye értelmében) zérus, a

sebesség a fal közelében, attól távolodva rohamosan növekszik. Ebben a rétegben a

súrlódásnak nagy szerepe van $ V]LOiUG WHVWWO WiYRO SHGLJ D V~UOyGiV HOKDQ\DJROKDWy

Tehát ha a súrlódás hatása szempontjából vizsgáljuk a teret, az két részre osztható

(ld.10.3. ábra):− egy fal melletti viszonylag vékony rétegre, az ún.

határrétegre, ahol a sebesség a fal közvetlen köze-

OpEHQpUYpQ\HV]pUXVpUWpNUODIDOWyOWiYRODEEpUYp -

Q\HVVHEHVVpJUHQpVDKRODV~UOyGiVQDNG|QW V]e-

repe van,

− a faltól távolabbi áramlási térre, ahol a súrló-

dás hatása elhanyagolható (azaz jó közelítéssel érvé-

nyes az Euler-egyenlet).

Hasonlóképpen osztanánk fel a teret két részre az áramló közegbe helyezett felmelegített

VtNODSN|UOLKPpUVpNOHWHORV]OiVV]HPSRQWMiEyOLV$PHOHJVtNODSWiYRODEELVIHOPHOHgíti

D]iUDPOyN|]HJHWH]D]RQEDQHOKDQ\DJROKDWyDODSN|]HOpEHQEHN|YHWNH]IHOPHOHJHGps-

KH]NpSHVW(]pUWD]iUDPOiVLWHUHWDODSN|]HOpEHQOpYQDJ\REEKPpUVpNOHWWHOpVKPpr-

VpNOHWJUDGLHQVVHOMHOOHPH]KHW~QKPpUVpNOHWLKDWiUUpWHJUHpVD]D]RQNtYli térre oszthat-

MXNDKRODKPpUVpNOHWHWiOODQGyQDNWHNLQWMN,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DK

PpUVpNOHWLKa-

WiUUpWHJEHQOHMiWV]yGyKiWDGiVLIRO\DPDWRNpVD]iUDPOiVLKDWiUUpWHJEHQOpY LPSXl-

10.3. ábra



107

zuscsere DIDOKR]N|]HOHEEOpYDIDOKDWiViUDOHODVVXOWIRO\DGpNU észek fékezik a távolabbi

gyorsabb folyadékrészeket) gyakorlatilag ugyanannak a mechanizmusnak az eredmé-

nye: a molekuláris méretekben a molekulák ütközése, turbulens áramlások esetén

ezen kívül az örvények egymásrahatása, keveredése okozza a fenti jelenségeket.

A határréteg és azon kívüli áramlás felosztását indokolhatjuk a Navier-Stokes-egyenlet

(9.20) alakban felírt változata alapján. Belátható, hogy a fal közelében az áramlás örvé-

nyessége (URWY QHP |VV]HWpYHV]WHQG D WXUEXOHQFLiYDO QDJ\ pV D KHO\ IJJYpQ\pEHQ

J\RUVDQYiOWR]LN WHKiWD V~UOyGiV KDWiViW NLIHMH] ν URW URW Y értéke viszonylag nagy. Ha

IHOWHVV]NKRJ\DWHVWN|UOLiUDPOiVQ\XJYyWpUE OYDJ\|UYpQ\PHQWHViUDPOiVEyOV]ir-

mazik (pl. repüOJpp-V]iUQ\HVHWpQDNNRUD]iUDPOiVEiUPHO\KDWiUUpWHJHQNtYOHV SRQt-

jában a ν URW URW Y értéke zérus.

$KDWiUUpWHJMHOOHP]LWD1DYLHU -Stokes-egyenlet segítségével számolhatjuk, ahol az alábbi

feltételezésekkel szoktunk élni (ld.10.3. ábra):

− a határrétegáramlás síkáramlás (Y]

] = = ∂

∂

1 6),

− Y Y\ [<< ,

−

∂

∂

∂

∂

1 6 1 6x y<< ,

− az áramlás stacionárius,

− DWpUHU KDWiViWILJ\HOPHQNtYOKDJ\MXk.

Lamináris áramlás esetén a határréteg sajátosságai a Navier-Stokes-egyenlet (9.17) alak-

jából származtatott síkáramlásra vonatkozó alábbi egyenletrendszer (pl. numerikus) megol-

dásával határozható meg:

YY

[Y

Y

\

S

[

Y

[

Y

\

YY

[Y

Y

\

S

\

Y

[

Y

\

S

\

[[

\[ [ [

[

\

\

\ \ \

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+ = − + +

≅

+

≅

= − +

≅

+

≅ ≅

⇒ ≅

A (10.14) összefüggés több tagjánál ≅ -val jelöltük, hogy azokat a feltevéseinknek megfe-

OHOHQDW|EELWDJKR]NpSHVWHOKDQ\DJROWXN$PiVRGLNHJ\HQOHWEOD]DGyGRWWKRJ\a ha-

tárrétegen belül a nyomás az adott x metszetben a határrétegen kívüli nyomással egye-

(10.14)



108

zik meg jó közelítéssel. A határrétegen kívül viszont a súrlódás elhanyagolható, ezért az

Euler-HJ\HQOHWEODGyGyDQtUKDWy

− =

ρ

∂

∂

S

[9

G9

G[ ,

ahol V [m/s] a határrétegen kívüli áramlási sebesség.

%HKHO\HWWHVtWYHD|VV]HIJJpVWDIHOVHJ\HQOHWpEHPHJNDSMXND]~Qha-

tárréteg-egyenletet DPHO\ D] iOODQGy VU VpJ HVHWpQ pUYpQ\HV NRQtinuitás egyenlettel

HJ\WWDONRWMDD]WDNpWHJ\HQOHWEOiOOySDUFLiOLVGLIIHUHQFLiOHJ\HQOHW-rendszert, amely a pe-

remfeltételek ismeretében (pl. numerikusan) megoldható:

Y

Y

[ Y

Y

\ 9

G9

G[

Y

\

Y

[

Y

\

[[

\[ [

[ \

∂

∂

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+ = +

+ =

Turbulens határrétegek számítására elvileg rendelkezésre áll az instacionárius tagot tar-

talmazó Navier-Stokes egyenlet. Ezt azonban – mint említettük – még nem tudjuk megol-

daQLDERQ\ROXOWLQVWDFLRQiULXViUDPNpSUH(]pUWD]LG EHOLiWODJRNUDIHOtUW1DYLHU -Stokes-

HJ\HQOHWHWDONDOPD]]XND]HJ\HQOHWMREEROGDOiQPHJMHOHQ DVHEHsségingadozások hatását

NLIHMH] OiWV]yODJRV FV~V]WDWyIHV]OWVpJHN ILJ\HOHPEHYpWHOpYHO $ WXUEXOHQV KDWiUUpWHJHN

számítására szolgáló egyenletet a már megismert elhanyagolások (ld. 10.14) alkalmazásával

kapjuk oly módon, hogy a lamináris határrétegekre kapott (10.16) egyenlet jobb oldalát a

+

ρ

∂τ

∂

\[

\

l

WDJJDOEYtWMN(EEHQD]HJ\HQOHWEHQpVDWXUEXOHQViUDPOiVRNWRYiEELWiUJ\DOiVDVRUiQD

IHOOYRQiVQpONOLVHEHVVpJHNLG EHOLiWODJVHEHVVpJHNHWMHOHQWHQHN$WXUEXOHQVLQJDGR]á-

VRNKDWiViWILJ\HOHPEHYHY τ\[l

látszólagos csúsztatófeszültség számítására többféle mo-

dell létezik. Ezek közül az igen szemléletes, klasszikus Prandtl-féle keveredési úthossz mo-

dellt fogjuk megismerni.

Prandtl a gázok µ viszkozitását okozó molekuláris impulzus-

csere analógiáját (ld. 1.fejezet) alkalmazta a turbulens határ-

rétegekre, ahol nem molekulák, hanem kisebb-nagyobb mé-

UHWIRO\DGpNUpV]HN|UYpQ\HNPR]RJQDNDNO|QE|]VHEHs-

VpJIRO\DGpNUpWHJHNN|]|WW(]HQIRO\DGpNUpV]HNiOWDORN o-

zott impulzuscsere a látszólagos viszkozitás okozója. Tekint-

(10.15)

(10.16)

10.4. ábra



109

sük a 10.4. ábrát, ahol egy turbulens határréteg Y \[ 1 6 sebességmegoszlása látható. Bejelöl-

tük a határréteg δ vastagságát is, amelynél a Y[ megegyezik a határrétegen kívüli V sebes-

VpJJHOLOOHOtUWPpUWpNEHQSO-ra megközelíti azt). Berajzoltunk egy kis „folyadék-

FVRPDJRW´SOHJ\|UYpQ\WDPHO\DI iUDPOiVLLUiQ\UDPHU OHJHVHQ l [m] ún. keveredési

úthosszat képes megtenni v’y ingadozási sebességgel (ld. (10.3)).

A látszólagos csúsztatófeszültségre vonatkozóan írható (ld. (10.11) és (10.13) össze-

függések):

τ ρ\[ [ \Y Yl

= −

Amikor a „folyadékcsomag” l WiYROViJEDQHOPR]GXOHJ\DVDMiWMiWyOHOWpU VHEHVVpJU é-

tegbe kerül, ahol Y [ sebességingadozást okoz. Az ingadozás abszolút értéke függ a sebes-

VpJSURILOPHUHGHNVpJpWOpVDNHYHUHGpVL~WKRVV]WyO

YY

\[

[ ≅ l∂

∂ .

.RQWLQXLWiVLPHJIRQWROiVRNDODSMiQN|]HOtWHQtUKDWy

Y Y\ [ ≅.

Tekintsük a 10.4. ábrát. MegálODStWKDWMXNKRJ\\LUiQ\EDQQ|YHNY Y[

sebességek esetén

Y Y[ \ < , mert ha Y \ > , azaz a „folyadékcsomag” felfelé mozdul el, akkor Y [ < , miu-

tán sebessége kisebb a helyi sebességnél. Hasonlóan ha Y \ < , akkor Y [ > . Ennek alap-

ján írható:

τ τ ρ∂

∂

∂

∂µ

∂

∂= = =\[

[ [W

[Y

\

Y

\

Y

\l

l

.

A (10.19) összefüggés akkor is helyesen fejezi ki a τHO MHOpWKDQHPPRQRWRQQ|YHNYD

sebességmegoszlás. A µ W D]HO]HNEHQPHJLVPHUWÄDQ\DJMHOOHP] YLV]NR]LWiV´DQDOyJLá-

jára bevezetett „turbulens viszkozitás”, DPHO\HOVVRUEDQQHPDN|]HJIL]LNDLVDMiWRVVi -

gaLWyOKDQHPD]iUDPOiVMHOOHP]LWOIJJ

µ ρ∂

∂W

[Y

\= l

.

A látszólagos csúsztatófeszültség (10.19) kifejezése alkalmazható a turbulens határrétegek

számításánál.

$ONDOPD]]XN3UDQGWOQpKiQ\N|]HOtWI|OWHYpVpW

(10.17)

(10.18)

(10.19)

(10.20)



110

− A fal közvetlen közelében a fal jelenléte miatt a keveredési úthossz zérus, távolabb a

fal hatása egyre kevésbé érvényesül, ezért l Q

− /HJ\HQDNHYHUHGpVL~WKRVV]HOVN|]HOtWpVEHQOLQHiULVIJJYpQ\HD]\QDN l ≅ κ \ .

− $IDON|]HOpEHQOpYUpWHJEHQDFV~V]WDWyIHV]OWVpJMHOHQWVHQQHPYiOWR]KDW7pWHOHz-

]NIHO N|]HOtWHQKRJ\ τ τ\1 6 ≅ D]D]D FV~V]WDWyIHV]OWVpJ N|]HOtWHQiOODQGy pV

HJ\HQOτ 3D ODO− DIDORQpEUHG~Qfali csúsztatófeszültséggel.

− A határréteg falhoz közeli részén∂

∂

Y

\

[ > .

A fenti feltevésekkel (10.19) átalakítható:

τ ρ κ ∂

∂

τ

ρκ

∂

∂

=

⇒ =\Y

\\

Y

\

[ [ .

Bevezetve az XP

V

=!

"$#

τ

ρ

ún. súrlódási sebesség fogalmát és szétválasztva a fenti dif-

ferenciálegyenletet írható:

GY

X

G\

\

[

=

κ DPLEOLQWHJUiOiVXWiQDGyGLN

Y

X

\ .RQVW[

OQ = +

κ

Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát:

Y

X

\ X X.RQVW[

OQ OQ = − +

κ ν κ ν

A határréteg egy adott metszetében X állandó, ezért a fenti egyenlet két utólsó tagja egy K

konstansba fogható össze:

Y

X

\ X. [

OQ= +

κ ν .

A (10.21) összefüggést univerzális (logaritmikus) faltörvénynek nevezzük, amely állan-

dóira κ = és . = adódott aNtVpUOHWHNEO(]D]HJ\V]HU pVQ\LOYiQYDOyDQGXUYDN ö-

]HOtWpVHNNHOOHYH]HWHWW|VV]HIJJpVPHJOHS HQSRQWRVDQtUMDOHDWXUEXOHQVKDWiUUpWHJHNIDl-

hoz közeli rétegében a sebességmegoszlást.

Turbulens határrétegeknél a fal jelenléte megakadályozza a közvetOHQN|]HOpEHQ OpY U é-

WHJEHQD]|UYpQ\HNNHOHWNH]pVpWIDOUDPHU OHJHVLUiQ\~PR]JiViW0LYHOHUpWHJEHQDYLV z-

koziWiVGRPLQiODIDON|]YHWOHQN|]HOpEHQOpY UpWHJHWviszkózus (vagy gyakran lamináris)

(10.21)



111

alaprétegnek nevezzük. E rétegben Newton viszkozitási törvénye (1.2) értelmében

τ τ µ∂

∂= =

Y

\

[ , azaz µ ρ ν= figyelembe vételével: XY

\

[ = ν

∂

∂adódik. A differenciál-

egyenletet szétválasztva:GY

X

XG\[

=

ν

összefüggést kapjuk.

Integrálás után adódik:Y

X\

X&[

= + ν

. Ha \ Y [= = , ezért & = .

Mindezekkel a fal melletti viszkózus alaprétegben a sebességmegoszlást a

Y

X

\ X[

= ν

összefüggés írja le. Tekintsük a 10.5. ábrát, ahol a dimen-

ziótlan faltávolság\ X

νfüggvényében vittük fel a

Y

X

[

dimenziótlan sebességet.

A fél-logaritmikus diagramban a kis faltávolságoknál ér-

vényes, a (10.22) összefüggéssel leírt lineáris sebesség-

megoszlás egy görbét ad, amely\ X

ν≅ és 30 között átmegy a (10.21) logaritmikus fal-

törvényt leíró egyenesbe. \ X

ν> értékeknél a sebességmegoszlás eltér az egyeQHVWO

Látható tehát, hogy a viszkózus alapréteg vastagsága\ X

ν≅ alapján számolható, az

univerzális faltörvény érvényességi tartománya pedig ≤ ≤\ X

ν. A határUpWHJNOV

UpV]HLQ|UYpQ\HVVHEHVVpJPHJRV]OiVOHtUiViUDNO|QE|] HPSLULNXVYDJ\IpOHPSLULNXV|sz-

szefüggések szolgálnak.

10.5. ábra

(10.22)



112

10.6. ábra

A 10.6. ábraNO|QE|] \\ X+ =

νpUWpNHNQpOPXWDWMDD]iUDPOiVMHOOHP]LW$EDO oldali

képen (y + =DYLV]Ny]XVDODSUpWHJUHMHOOHP]iUDPNpSDN|]pSVQ y + =101) kiala-

kult turbulens áramlás látható. A jobb oldali kép ( y + =407) a logaritmikus faltörvény érvé-

nyességi határán kívüli rendezett áramlást mutatja, amelyet csak helyenként zavar meg a

turbulens zónából származó nagy örvény.

Annak érdekében, hogy érzékeljük a határréteg méreteit, a sebességnövekedés rohamos-

ságát, számítsuk ki egy ' PP= iWPpU MKHQJHUHVFV EHQDIDOPHOOHWWNLDODNXOyYLVz-

kózus alapréteg vastagságát és az univerzális faltörvény érvényességi tartományát. (A szá-PtWiVVRUiQIHONHOOKDV]QiOQLQpKiQ\IRJDOPDWpV|VV]HIJJpVWDPHO\HWFVDNNpV EEWir-

J\DO D MHJ\]HW (]HNHWPHJNO|QE|]WHWpVO ]iUyMHOEH WHVV]N$ FV EHQ OHYHJ iUDPOLN

ρ =

NJ

P, ν = ⋅ −

P

V, átlagsebessége legyen Y

P

V= . (A Reynolds-szám értéke

5H = =Y '

ν, a λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]pλ = (J\HQOYpWpYHHJ\/KRVV]~Vágú

HJ\HQHVFV EHQNHOHWNH]D|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWy∆ S nyomásveszteség és a

FVNHUHV]WPHWV]HWV]RU]DWiWD τ IDOLFV~V]WDWyIHV]OWVpJpVD]/KRVV]~ViJ~FVIDOIHOOHWé-

nek szorzatával kiszámítható a fali csúsztatófeszültség értéke: τρ λ

= =

Y3D .

Ezekkel a súrlódási sebesség értékére X P V = adódik. A viszkózus alapréteg vas-

tagságára\ X

ν= értékhez PP-t kapunk. A viszkózus alapréteg határán a sebesség a

|VV]HIJJpVEOV]iPROYDPV Az univerzális faltörvény (10.21) összefüggése

\ PP= − intervallumban érvényes. Ezen intervallum szélén, a faltól 6.3 mm távol-

ságban a sebesség 13.7 m/s.



113

A fenti számításból néhány érdekes következtetés vonható le:

− A fali csúsztatófeszültség viszonylag kicsiny3DDFV EHQOpYiWODJVHEHVVpJJHO

számolt ρY

dinamikus nyomás 0,0044 szerese

− A viszkózus alapréteg igen vékonyYDVWDJViJDDFVVXJDUiQDN-a, de e rétegben

az áramlási sebesség igen meredeken növekszik, a vékony réteg határán eléri az átlag-

sebesség csaknem felét.

− $]XQLYHU]iOLVIDOW|UYpQ\pUYpQ\HVVpJHDFVNHUHV]WPHWV]HWYLV]RQ\ODJNLVUpV]pUHD

sugár 12%-ára) terjed ki, de az érvényességi tartomány határán a sebesség csaknem

PHJHJ\H]LND]iWODJVHEHVVpJJHOD]D]DIDOpVDFVWHQJHO\N|]|WWLVHEHVVpJQ|YHNHGpV

MHOHQWVUpV]HDYLV]Ny]XVDODSUpWHJEHQpVLWWMiWV]yGLNOH

Tekintsük a 10.7. ábrát, ahol a sugár függvényében jelleg-

re helyesen vittük fel lamináris és turbulens áramlás ese-

WpQDKHQJHUHVFV EHQNLDODNXOyVHEHVVpJPHJRV]OiVRNDWpV

a csúsztatófeszültség megoszlását. Lamináris esetre, ami-

kor a sebességmegoszlás másodfokú forgás-paraboloid a

9.6. ábrában már bemutattuk ezeket a megoszlásokat. A

csúsztatófeszültség sugármenti változásának jellege füg-

getlen attól, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens. Tételezzük fel, hogy a τ 0 fali csúsz-

tatófeV]OWVpJ pUWpNH D] iEUi]ROW ODPLQiULV pV WXUEXOHQV FViUDPOiV HVHWpQ XJ\Dnakkora.

HRJ\DQPDJ\DUi]KDWyDVHEHVVpJPHJRV]OiVRNDODNMiQDNNO|QE|]VpJH"$WHQJHO\LUiQ\~

sebesség sugár menti változásának rohamossága és a csúsztatófeszültség közötti kapcsolatot

lamináris esetben (és a viszkózus alapréteg esetén) a (9.23) összefüggés adja meg:

τ µ∂

∂=

Y

U

[ , turbulens áramlásra pedig a (10.19) értelmében a τ µ∂

∂= W

[Y

U kifejezés, ahol µ W

a turbulens viszkozitás (ld.(10.20) összefüggés).

A fal mellett a lamináris áramlásban ill. a turbulens áramlás viszkózus alaprétegében nagy

rohamosViJJDOQDVHEHVVpJDIDOWyOWivolodva, hiszen csak így jöhet létre az (1.2) össze-

függés alapján viszonylag kis viszkozitás mellett nagy csúsztatófeszültség. A faltól beljebb

haODGYDD VHEHVVpJPHJRV]OiVRN MHOOHJH WHOMHVHQHOWpU OHV]/DPLQiULVHVHWEHQWRYiEEUDLV

viszonylag rohamosDQQDVHEHVVpJDIDOWyOWiYRORGYDÄFV~FVRV´DVHEHVVpJPHJRV]OiV

Turbulens esetben viszont a sebességmegoszlás „ellaposodik”, azaz azonos τ csúsztató-

feszültséghez a sebességprofil sokkal kisebb meredeksége tartozik. Ez azt mutatja, hogy a

µ W turbulens viszkozitás sokkal (ténylegesen egy-két nagyságrenddel) nagyobb, mint az

anyagUDMHOOHP] µ GLQDPLNDLYLV]NR]LWiV$WXUEXOHQViUDPOiV IDOWyOWiYRODEEOpY

10.7. ábra



114

részein az áramlás olyan sajátosságokat mutat, mintha egy lényegesen nagyobb (és a

hely függvényében változó) viszkozitású közeg áramolna.

$KDWiUUpWHJHNiUDPOiVLUiQ\~YiOWR]iViUDLOODFViUDPOiVNLDODNXOiViUDYRQDWNR]yDQQé-

hány megjegyzést teszünk:

− Ha az áramlásba egy szilárd testet helyezünk, akkor annak áramlással szembefordított

felületén torlópont alakul ki. A torlóponttól kiindulóan lamináris határréteg kelet-

kezik – függetlenül attól, hogy a test körüli áramlás lamináris vagy turbulens. A torló-

ponttól távolodva a lamináris határréteg egy átmeneti zóna mögött általában turbu-

lenssé válik. Amint láttuk, a turbulens határréteg „alján” viszkózus alapréteg van. A

turbulens határréteg kialakulásának távolsága az áramlási se EHVVpJWODN|]HJYLV]N o-

]LWiViWyODNOViUDPOiVWXUEXOHQFLDIRNiWyODIHOOHWpUGHVVpJpWOVWEIJJ$ODPLQá-

ris-WXUEXOHQV iWDODNXOiVW HOLGp]KHWMND] iUDPOiV PHJ]DYDUiViYDO SO D IHOOHWHQ D]

áramOiVUDPHU OHJHVHQHOKHO\H]HWWKX]DOODOWXUEXOHQFLDJenerátorral).

− A határrétegben áramló közeg mennyisége az áramlás irányában folyamatosan

QKLV]HQHJ\UHW|EEN|]HJUHKDWDYLV]NR]LWiVUpYpQDV]LOiUGIDOIpNH] KDWiVDA ha-

WiUUpWHJ YDVWDJViJD LVQ – HUVHQJ\RUVXOyiUamlások kivételével – az áramlás

irányában.

− /HNHUHNtWHWWEH|POQ\tOiVRQNHUHV]WOHJ\FV EHEHiUDPOyN|]HJpVDFVIDON|Ocsön-

KDWiVDN|YHWNH]WpEHQDFVEHOVHMpEHQDIDORQKDWiUUpWHJDODNXONL$KDWiUUpWHJD]HO

]HNEHQ bemutatott módon vastagszik és meghatározott feltételek fennállása esetén

WXUEXOHQVVpYiOLN0LN|]EHQDKDWiUUpWHJV]pOHDFVKRVV]DQ|YHNHGWpYHODIDODNLU á-

Q\iEyON|UEHQN|]HOtW D FV WHQJHO\H IHOpDSRWHQFLiORVQDNWHNLQWKHWEHOViUDPOiV

(amelyet a s~UOyGiVKDWiVDD]D]DKDWiUUpWHJPpJQHPpUWHOVHEHVVpJHDFV KRVV]D

mentén állanGyDQ Q $ EH|POpVWO WiYRORGYD XJ\DQLVHJ\UH QDJ\REED FVNHUHV]W-

metszet azon része, ahol az áramlási sebesség a súrlódás következtében lecsökkent,

ugyanakkor a folytonoVViJ WpWHOHPLDWW D]iWODJVHEHVVpJ QHP YiOWR]KDWD FV KRVV]D

mentén. Tovább távoORGYDDEH|POpVWODKDWiUUpWHJHOpULDFV

WHQJHO\pWpVDFV

EHQ

adott távolságon belül kialakul az a lamináris vagy turbulens áramkép, amely az egye-

nes és állandó keresztmetV]HW FV KRVV]D PHQWpQ WRYiEEPiU QHP YiOWR]LN (]W D]

áramképet kialakult lamináULV YDJ\ WXUEXOHQV FViUDPOiVQDN nevezzük és azt a

FVKRVV]DW DPHO\UH V]NVpJ YDQ D NLDODNXOW FViUDPOiV OpWUHM|WWpKH] kezdeti cs

hossznak (O PN QHYH]]NDPHO\QHNGFViWPpU K|]YLV]RQ\tWRWWKRVV]D



115

− lamináris áramlás esetén:O

G

N = 5H ,

− turbulens áramlás esetén:O

G

N = 5H .

A Re (Reynolds szám) definícióját a (10.1) összefüggésben adtuk meg.



11. A határrétegek sajátosságai, hatásuk

$]HO]IHMH]HWEHQGHILQLiOWXNDKDWiUUpWHJHWa szilárd fal melletti áramlásban a súrló-

GiVKDWiViUDOpWUHM|YUpWHJDPHO\EHQDVHEHVVpJDIDOPHOOHWWpUYpQ\HV]pUXVUyODIDl-

WyOWiYRO pUYpQ\HV ~Q KDWiUUpWHJHQNtYOLVHEHVVpJUHQ$KDWiUUpWHJEHQD V~rló-

dásnak nagy szerepe van, azon kívül a súrlódás hatása általában elhanyagolható. Eb-

ben a fejezetben a határrétegek legfontosabb hatásait tárgyaljuk.

11.1. A határréteg „kiszorít”

$IDOPHOOHWWNLDODNXOyUpWHJEHQOHIpNH]GLNDN|]HJH]il-

tal a fal közelében adott térfogatáram kisebb átlagsebes-

séggel vastagabb sávban áramlik át. A határréteg létrejötte

tehát a határrétegen kívüli áramlást mintegy „kiszorítja”,

olyan hatást gyakorol rá, mintha a test „kövérebb” lenne.

A 11.1. ábrán egy határréteg sebességmegoszlása látható.

A határréteg vastagsága δ. Jelöljük δ -gyel az ún. kiszorí-

tási vastagságot, amelynek értéke megmutatja a zavartalan áramlás határréteg miatti „el-

mozdításának” mértékét. A δ értékét abból a megfontolásból kiindulva határozzuk meg,

hogy a fal és a határréteg széle között a határréteg EHQiWiUDPOyWpUIRJDWiUDPRWHJ\HQOYp

tesszük azzal a térfogatárammal, amely a határrétegen kívüli V sebességgel a ( δ δ− ) vas-

tagságú rétegen áramlana át. Tehát δ-gyel vékonyabb rétegben áramlana át ugyanannyi

súrlódásmentes közeg.

δ δ δ

δ δ

− = ⇒ = −I I

1 6 1 69 Y G\ 9 9 Y G\[ [ ,

DPLEODNLV]RUtWiVLYDVWDJViJ

δ

δ

= −

I Y

9G\[

.

Csak a nagyságrend érzékeltetésére: egy személygépkocsi hátsó részén a határréteg vastag-

sága néhányszor tíz mm, a kiszorítási vastagság pedig ennek kereken tizede, néhány mm.

$KDWiUUpWHJEHQKpVDQ\DJiWDGiVMiWV]yGLNOH

$PV]DNLIHODGDWRNMHOHQWVUpV]pQpOD]iUDPOyN|]HJJHOpULQWNH]V]LOiUGWHVWpVDN|]HJ

N|]|WWQHPFVDNV~UOyGyHU OpSIHOGHDV]LOiUGIHOOHWpVDN|]HJN|]|WWKLOODQ\DJ is

11.1. ábra

(11.1)



117

átadódhatJRQGROMXQNDKFVHUpONUHpVDV]iUtWiVIRO\DPDWiUD$]LPSXO]XV-DK- és az

anyagátadás mechanizmusa igen hasonló, különösen turbulens határrétegekben a viszkózus

DODSUpWHJHQ NtYODKRO D] LG EHOLiWODJVHEHVVpJUHPHU OHJHVHQ HOPR]GXOy„folyadékcso-

PDJRN´|UYpQ\HNIHOHOVHNPLQGKiURPPHQQ\LVpJHJ\WWOH]DMOyWUDQV]SRUWMipUW Egy

„folyaGpNFVRPDJ´HJ\LNUpWHJEOHJ\HOWpU VHEHVVpJKPpUVpNOHWpVNRQFHQWUiFLyM~U é-tegbe elmozdulva e rétegben impulzus-K- és koncentráció-változást okoz. Ezért a határré-

WHJDKPpUVpNOHWLpVDNRQFHQWUiFLy-határréteg vastagsága turbulens esetben nem sokkal

különbözik egymástól. Láttuk azonban, hogy a turbulens impulzustranszportra („veze-

WpVUH´MHOOHP]µ W örvényviszkozitás egy-két nagyságrenddel nagyobb a µ-nél, ugyan-

tJ\DWXUEXOHQVKYH]HWpVLOOGLII~]LyLVHJ\-két nagyságrenddel intenzívebb a moleku-

OiULVIRO\DPDWRNiOWDOHOLGp]HWWKYH]HWpVQpOpVGLII~]LyQiO, amelyek a lamináris határré-

tegben dominálnak.

11.3. A határrétegben csúsztatófeszültségek keletkeznek

Tekintettel arra, hogy a határrétegben változik a legrohamosabban a sebesség, itt a leg-

nagyobb a deformációsebesség, ezért itt kell a legnagyobb csúsztatófeszültségekkel számol-

nunk. A csúsztatófeszültségek nagyságrendjéreMHOOHP]D τ fali csúsztatófeszültség, ame-

lyet a F I helyi V~UOyGiVLWpQ\H]YHO szoktunk jellemezni:

F9

I =

τ

ρ

,

azaz a helyi fali csúsztatófeszültséget a határrétegen

kívüli sebességgel számított dinamikus nyomáshoz

viszonyítjuk. A 11.2. ábrán egy síklap esetén látható

F I a Reynolds-szám függvényében, amelynél az L

jellem]PpUHWDYL]VJiOWKHO\pVD VtNODSiUDPOiVVDO

szembeIRUGtWRWW~QEHOpSpOHN|]|WWLWiYROViJ$ORJ-

log diagramon látható a lamináris és a turbulens határrétegre vonatkozó két egyenes, azaz a

F I -Re kapcsolatot hatványfüggvények írják le. A legfontosabb tanulság, ami a diagramból

levonható az, hogy a fali csúsztatófeszültségek igen kicsik, F I a néhány ezred, azaz a τ

D GLQDPLNXV Q\RPiV QpKiQ\ H]UHOpNH $ KHQJHUHV FVUH YRQDWNR]y számításunknál

τ = 3D értéket kaptunk, amelyhez F I ≅ tartozik.) A csúsztatófeszültségek kis

pUWpNHLEO DUUD D WpYHVN|YHWNH]Wetésre juthatunk, hogy a súrlódás kis szerepet játszik pl.

HJ\DXWyUDKDWyHU V]HPSRQWMiEyOKLV]HQD]iWODJRVτ -lal megszorozva az autó teljes fe-

lüOHWpWWpQ\OHJFVDNQpKiQ\1HU WNDSXQN0pJMREEDQPHJHU V|GLNEHQQQNH]DJRQGR-

11.2. ábra

(11.2)



118

lat, ha a szokásos F I értékeket összehasonlítjuk pl. egy, az áramlásba helyezett test felüle-

WpQNHOHWNH]Q\RPiVUDMHOOHP]F S Q\RPiVWpQ\H] jellem]pUWpNHLYHO

F S S

9 S =

−

ρ

$Q\RPiVWpQ\H]PD[LPiOLVpUWpNpWF S PD[ = ) a torlópontban veszi fel, legkisebb értéke

szokásos körülmények között F S PLQ = − körüli. A F S értékek tehát szokásosan 2-3 nagy-

ságrenddel haladják meg a F I értékeket, azaz ugyanilyen arányban nagyobbak a nyo-

másból sziUPD]yHUNDFV~V]WDWyIHV]OWVpJHNEOV]iUPD]yHUNQpO0pJLVDFV~V]WD-

tóIHV]OWVpJHNQHNG|QWMHOHQWVpJNYDQPHUWD]H]HNEOV]iUPD]yNLVHUNDKDWiU-

réteg leválását okozzák OGN|YHWNH]DOIHMH]HWpVH]iOWDODODSYHWHQPHJYiOWR]WDtják

az áramkéSHWDWHVWHQNHOHWNH]Q\RPiVPHJRV]OiVWpVtJ\DWHVWUHKDWyHUW. A súrló-

GiVDODSYHWKDWiVDWHKiWiOWDOiEDQHJ\ERQ\ROXOWPHFKDQL]PXVRQD]iUDPNpSpVH]iOWDOD

nyomásmegoszlás megváltozásán keresztül, és nem közvetlenül érvényesül, pl. egy áram-

lásbaKHO\H]HWWWHVWUHKDWyHU WHNLQWHWpEHQ

11.3. ábra

A 11.3. ábraSOHJ\iUDPOiVVDOSiUKX]DPRVWHQJHO\KHQJHUP|J|WWLOHYiOiVLEXERUpNRWpV

Q\RPRWPXWDWEH$OHYiOiVLEXERUpNEDQDQ\RPiVN|]HOtWOHJiOODQGypVN|]HOPHJHJ\ezik

azzal a nyomással, amit egyDOHYiOiVLEXERUpNRWNLW|OWDKHQJHUKH]FVDWODNR]yWHVWIHO-

színén mérnénk.

(11.3)



119

11.4. A határréteg leválik

A 11.4. ábrán egy klasszikus kísérlet eredményét vázoljuk. A bal oldalon egy síkáram-

OiVEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJUHPHU OHJHVHQHOKHO\H]HWWODSKDW ására kialakuló ún. torlópont-

áramlást látunk. Ha a torlópontbaYH]HWHJ\HQHViUDPYRQDODNiOWDONLMHO|OWVtNEDHJ\Yé-

kony szilárd lapot helyezünk a falhoz, az áramkép váratlan drámai változását figyelhetjük

meg: ld. jobb oldali ábra. Mi okozhatta a szilárd falon a visszaáramlás kialakulását?

11.4. ábra

A fal fölötti áramkép részletei a 11.5.a. ábrán láthatók:

11.5. ábra

$WRUOySRQWiUDPOiVI MHOOHJ]HWHVVpJHKRJ\DN|]HJnyomásnövekedéssel szemben áram-

lik és a nyomástér hatására lassul. A falhoz közel lpY IRO\DGpNUpV]HNHW QHPFVDN D



120

nyomásnövekedés, hanem a falsúrlódás is lassítja. Ezért áramlás irányban rohamosan

lasVXOQDNDJ\RUVDQYDVWDJRGyKDWiUUpWHJEHQOpYIRO\DGpNUpV]HN+DD]ÄHJpV]VpJHV´Nl-

ViUDPOiVQHPNpSHVLPSXO]XVFVHUHUpYpQPR]JiVEDQWDUWani a határrétegben áramló folya-

dékrészeket, akkor azok megállnak és a nyomáskülönbség hatására a fal mellett vissza-

áramló folyadékrészek a határrétegben áramló közeget elválasztják a faltól és az áramlásitér belsejébe terelik: a határréteg leválik. (ld. 11.5.a. ábra)

A határréteg leválásnak tehát két szükséges feltétele van:

− fal közelsége,

− iUDPOiVLUiQ\iEDQQ|YHNYQ\RPiV

A 11.5.b./ és c./ábra a határrétegben láthatóvá tett áramlást mutatja be két esetben. A b./

áramkép áramlás irányában FV|NNHQQ\RPiVKR] tartozik, azaz az áramlás gyorsul. Ebben

az esetben a határréteg vékony marad (esetleg vékonyodik, és a turbulens határréteg lami-

nárissá válhat.) A c./ esetben áramlás irányában QDQ\RPiV, amelyhez a határréteg vasta-

godása, majd leválása tartozik. A képen jól látható, hogy a határréteg láthatóvá tett közeg-

részei „leválnak” a falról, és az áramlási tér belseje felé áramlanak.

Tekintsük a 11.6. ábrát, ahol egy síkáramlásba helyezett

henger körüli áramképet vázoltuk: az ábra alsó felén a súr-

lódásmentes áramlás esetén érvényes áramképet, felül pe-dig a határréteg leválás folyamatát. Súrlódásmentes közeg

eseWpQ QHP KDW HU D KHQJHUUH, a sebesség- és

nyomásmegRV]OiVDIJJOHJHVWHQJHO\UHV]LPPHWULNXV$]

áramvonaODN J|UEOHWpEO OG D WHUPpV]HWHV NRRUGLQiWD-vonaODNJ|UEOHWpEOOGDWHUPpV]HWHVNRRUGLQiWD-rendszerben felírt Euler-egyenlet (4.27)

normális irányú komponens egyenlete) is látható, hogy a közeg a henger áramlással szem-

EHQp]KRPORNIDOiQFV|NNHQQ\RPiVLU ányában gyorsulva áramlik. Itt tehát akkor sincs

leválási veszély, ha az áramló közeg súrlódásos. A henger hátsó részén azonban a fal mel-

OHWWL N|]HJUpV]HN Q|YHNY Q\RPiV LUiQ\iEDQ iUDPRlnak és súrlódásos közeg esetén a

11.5.a./ábrán is látható módon határréteg leválás következik be. A leválás miatt módosul az

áramkép és könnyen beláthatóan a lassuló áramlás kezdete és így a leválás helye is az óra-

mutató járásával ellentétesen mozdul el a henger felületén. Egyensúlyi állapot alakul ki,

ahol a leválás helye kb. ° -NDODIJJOHJHVitPpU ÄHOWW´iOODQGyVXO(]D]iUDPNpS–

DPLQWD]WNpV EEOiWQLIRJMXN–DUUDD]HVHWUHYRQDWNR]LNDPLNRUDKHQJHUKRPORNIDOiQOpY

határréteg lamináris.) A henger körüli áramképet mutatja be a 11.7. ábra bal oldali része. A

képen a henger két oldalán felváltva, periodikusan leúszó örvények (Kármán-féle örvény-

sor) egyikének keletkezése látható. E jelenséggel a 14. fejezetben foglalkozunk részletesen.

Az ábra jobb oldaOiQOiWKDWyDKHQJHUIHOOHWpQOpYQ\RPiVYiOWR]iVDDN|]pSSRQWLV zög

11.6. ábra



121

függvényében: az A görbe a súrlódásmentes esetre, a B görbe pedig az általunk tárgyalt

iUDPNpSKH]WDUWR]LN$&J|UEHWiUJ\DOiViUDNpV EEYLVV]DWpUQN

11.7. ábra

$Q\RPiVNHUOHWPHQWLYiOWR]iViWYL]VJiOYDQpKiQ\PHJiOODStWiVWHKHW

− V~UOyGiVPHQWHVN|]HJiUDPOiVDHVHWpQDKHQJHUPHJI~YiVLLUiQ\UDPHU OHJHViWPpU -

jének végpontjában a sebesség Y ∞ H]pUW D Q\RPiVWpQ\H] pUWpNH D %HUQRXOOL-

HJ\HQOHWEOOiWKDWyDQ–3

− ahol az áramlás gyorsul, ott a valóságos, súrlódásos közeg áramképe általában

csak kissé tér el az ideálisétól DPL D Q\RPiVPHJRV]OiVRN QDJ\PpUWpN KDVRQOy-ságából látható;

− D KDWiUUpWHJ OHYiOiVD D V~UOyGiVPHQWHV iUDPOiVKR] NpSHVW DODSYHWHQ megvál-

toztatta az áramképet, ami a henger hátsó részére vonatkozó nyomásmegoszlások kü-

O|QE|]VpJpEOOiWV]LN

− a leválás hatására kialakuló térben, amelyet leválási buboréknak is nevezünk, a

Q\RPiVLGEHOLiWODJDN|]HOtWleg állandó.

− a nyomásmegoszlás a leválás következtében nagy mértékben aszimmetrikussá vált,

H]pUWDKHQJHUUHiUDPOiVLHUHGHWHU KDW



122

-HOOHP] SpOGDNpQW YL]VJiOMXN PHJ D] iUDPOiVW HJ\

diffúzorban, amely egy, az áramlás irányában nö-

vekY NHUHV]WPHWV]HW FVGDUDE (ld. 11.8. ábra) Le-

J\HQDN|]HJVU VpJHiOODQGy6~UOyGiVPHQWHVHVHWben

DGLDJUDPRQOiWKDWyIRO\WRQRVYRQDOQDNPHJIHOHOOHn-QHDN|]HJODVVXOiViYDO|VV]HIJJQ\RPiVnövekedés.

A Bernoulli-egyenlet alkalmazásával:

S S Y YLGHiOLV

− = −1 6 4 9ρ

Valóságban a diffúzor fala közelében a nyomásnövekedéssel szemben áramló folya-

dékrészek a súrlódás következtében még rohamosabban lassulnak mint a faltól távoliak, a

határréteg gyorsan vastagodik, esetleg leválás következik be. Emiatt a NL|PONHUHV]Wmet-

szetben nem egyenletes a sebességmegoszlás (amit a (11.4) összefüggés felírásánál feltet-

tünk), a fal közelében vagy visszaáramlás (ld. 11.9. ábra), vagy jobb esetben is kiterjedt, ki-

VHEEVHEHVVpJJHOMHOOHPH]KHW]yQDYDQ$GLII~]RUN|]pSVUpV]pQSHGLJDGLII~]RUN e-

resztmetszet viszonyából számolható Y átlagsebességnél nagyobb a nyomás szempontjá-

ból mértékadó sebesség, azaz a S SYDOy −1 6 valóságos nyomásnövekedés nem éri el a súr-

OyGiVPHQWHViUDPOiVHVHWpQV]iPtWRWWDW$GLII~]RUPN ödését az ηGLII diffúzor hatásfokkal

szoktuk jellemezni:

ηGLII YDOy

LG

S S

S S=

−

−

1 61 6 .

11.9. ábra

11.8. ábra

(11.4)

(11.5)



123

$ KDWiUUpWHJ KDVRQOy OHYiOiVD RNR] MHOHQWV iUDPNpS YiOWR]iVW SO HJ\ QDJ\ iOOiVV]|J

V]iUQ\IHOVUpV]pQHJ\V]HPpO\DXWyKiWVyUpV]pQHJ\tYHOWFV-könyökben stb.

A határréteg lHYiOiVDVRNHVHWEHQNHGYH]WOHQ+RJ\DQOHKHWQHDOHYiOiVWPHJDNDGiO\R]QL"

− $]HJ\LNOHKHWVpJ– inkább csak kuriózumként – a fal mozgatása együtt az áramlás-

sal.

− Gyakorlati szempontból fontos módszer a nyomásnövekedés rohamosságának (ezál-

tal a határrétegben áramló közeg lassításának) csökkentése (pl. a diffúzor kúpszö-

JpQHNYDJ\DV]iUQ\iOOiVV]|JpQHNFV|NNHQWpVHDFVtYJ|UEOHWLVXJDUiQDNQ|YHOpVH

a karosszéria éleinek lekerekítése, a hátsó rész fokozatos „összehúzása” stb.)

− 7RYiEELOHKHWVpJa falhoz közel áramló közegrészek sebességének növelése:

• a lelassult közegrészek eltávolításával: határréteg-elszívás,

• a közegrészek gyorsításávalQDJ\VHEHVVpJVtNOHYHJVXJiUbefúvása a fal mel-

lett,

• a határrétegen belüli impulzuscsere növelésével: a lamináris határréteg turbu-

lenssé tételével ill. a turbulencia növelésével.

Itt térünk vissza a 11.6. ábránOiWKDWyiUDPNpSKH]LOO&MHOJ|UEpKH]+DDKHQJHUKRPORk-felületén lamináris határréteg alakul ki, viszonylag kis nyomásnövekedés már a határréteg

leválását eredményezi. Ha a Reynolds-szám növelésével, vagy az áramlás megzavarásával

tur EXOHQVVpWHVV]NDKDWiUUpWHJHWD]DEEDQYpJEHPHQnagyságrendekkel nagyobb tur-

buOHQVLPSXO]XVFVHUHHOHJHQGHQHUJLiWV]iOOtWDKDWiUUpWHJDOVyUpV]pEHDKKR]KRJ\D

haWiUUpWHJEHQ OpY IRO\DGpNUpV]HNWRYiEE OHV]QHN NpSHVHN nyomásnövekedés ellené-

ben áramolni(]WNU|]GLND11.6. ábránpVD&MHOJ|UEpEOOiWKDWyKRJ\DOHYiOiVOé-

nyegesen hátrább következik be, emiatt a leválási buborék sokkal kisebb, és a henger hátsó

UpV]pQDOHYiOiVLEXERUpNEDQOpYQ\RPiVVRNNDOQDJ\Rbb, mint lamináris határréteg ese-

tén. A haWiUUpWHJEHQEHN|YHWNH]ODPLQiULV-WXUEXOHQViWDODNXOiV DKHQJHUUH KDWyHU KDr-

madára csökkenését eredményezi.



124

A 11.10. ábra egy ívelt felületen kialakuló, láthatóvá tett lamináris és turbulens határréteget

mutat be. Amíg a lamLQiULVKDWiUUpWHJIHOVNpSDOHJPDJDVDEESRQWXWiQU|JW|QOHYiOLN

addig a turbulens határréteg jó darabig képes nyomásgradienssel szemben áramolni, és csak

azután válik le.

11.10. ábra

11.5. A határréteg szekunder áramlást okoz

Ha fel akarjuk keverni a cukrot a teában, akkor a kanál mozgatásával egy

N|UN|U|ViUDPOiVWKR]XQNOpWUHDSRKiUEDQ0LKR]]DIHODWHDIHOVUpWH-

geihez a cukrot, ha az általunk létrehozott áramlásban körpályán mo-

zognak a folyadékrészek? Vizsgáljuk meg a nyomás változását a sugár

mentén. Alkalmazzuk a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-

egyenOHW QRUPiOLV LUiQ\~NRPSRQHQVHJ\HQOHWpW DPHO\ D WpUHU

elhanyagolása esetén a;

#

5

3

=ρ

∂

∂ DODNEDQ tUKDWy IHO $ SRKiUEDQ OpY iUDPOiVEDQ D]

áramYRQDODNN|]HOtWHQN|UDODN~DN UiMXNPHU OHJHVHQ VXJiULUiQ\EDQD Q\RPiVD IHQWL

összeIJJpVEOOiWKDWyDQQ(]pUWPagasabb a folyadékfelszín a pohár szélén, mint közé-

pen.) A nyomásmegoszlást a pohárban forgó, és a pohár alja által le nem fékezett folyadék

sebességmegoszlása határozza meg. A pohár alsó részéhez közel azonban egy határréteg

DODNXONLDPHO\EHQD VHEHVVpJHN NLVHEEHNPLQW DPDJDVDEEDQ OpY IRO\Ddékrészeké. A

lassabban forgó folyadékrészek kisebb nyomáskülönbséget hoznak létre, mint ami a pohár-ban kialakul, azaz a pohár alján a határrétegben egy spirálishoz hasonló, befelé irányuló

áramlás indul meg (ami a tealaveleket tapasztalataink szerint középre, a cukrot pedig a tea

felV UpWHJHLEHYLV]L OG11.11. ábra). A pohár alja közelében a tengely irányában befelé

áramló közeg pótlására a fal mellett lefelé áramlás, középen pedig felfelé áramlás indul

meg, amely hozzáadódik a körköU|V ÄI áramláshoz” (ld. 11.11. ábra). Ezt a domináns

áramlásra szuperponáló áramlást szekunder áramlásnak nevezzük. A határréteg léte az

ismertetett példához hasonló okokból szekunder áramOiVWRNR]SOFVtYEHQYDJ\IRO\yka-

nyarban. Ez utóbbi esetben a homorú partról a domború felé irányuló szekunder áramlás

hordja át a földet a homorú partról a szemköztire aminek következménye a folyókanyarok

öblösödése.

11.11. ábra



12. Az áramlások hasonlósága

A 9. és 10. fejezetben foglalkoztunk a Navier-Stokes-egyenlettel és megállapítottuk, hogy

az – különösen turbulens áramlás esetén – igen nehéz, általában lehetetlen megoldani.

UgyanDNNRU D PV]DN i feladatok megkövetelik, hogy meghatározott kérdésekre választ

ad MXQN $ GLIIHUHQFLiOHJ\HQOHWHN PHJROGiVD PHOOHWW D PV]DNL IHODGDWRN PHJROGiViQDN

fontos eszköze a kísérlet, amelyet technikai és költségkimélési okokból is gyakran az

eredeti berendezés kismintáján hajtunk végre. Így pl. ha meg kell határozni egy hajó

PRWRUMiQDNHOtUWVHEHVVpJHOpUpVpKH]V]NVpJHVWHOMHVtWPpQ\pWYDJ\DNRUUHNWV]LOiUGViJL

méreWH]pVKH] LVPHUQL NHOO HJ\ V]HUNH]HWUH YDJ\ pSOHWUH KDWy V]pOHU W FVDN

kismintakísérletek jöhetnek szóba.

(J\ NLVPLQWDNtVpUOHWQHN FVDN DNNRU YDQ pUWHOPH KD HUHGPpQ\H PHJIHOHO EL]WRQViJJDOátYLKHWIHOKDV]QiOKDWyDQDJ\NLYLWHOQpO(]DIHOWpWHODNNRUYDOyVXOPHJKDD kisminta és

a nagy kivitel körüli áramlás hasonló. Vizsáljuk meg az áramlások hasonlóságának

feltételeit összenyomhatatlan közegek esetén.

A 12.1. ábrán egy hajó és kismintája látható. Az

iUDPOiVUDMHOOHP]VHEHVVpJpVPpUHWOHKHWSOD]a-

vartalan sebesség v0 és v0m ill. a hajó és a modell

hossza l 0 és l 0m $ MHOOHP]PpU et és sebesség

KiQ\DGRVD HJ\ MHOOHP] LGW HUHGPpQ\H]

tv

ill tvm

m

m0

0

00

0

0

= =l l

. . Írják le a sebesség-meg-

oszlást és a nyomásmegoszlást a nagy kivitelben az alábbi függvények, amelyekben mind a

IJJHWOHQPLQGDIJJYiOWR]yNGLPHQ]Lytlanok:

v

vf

x y z t

tés

p

vF

x y z t

t0 0 0 0 0 02

0 0 0 0

=

=

l l l l l l

, , , , , ,ρ .

A kisminta körüli áramlás akNRUKDVRQOy DQDJ\ NLYLWHOpKH] KDPHJHJ\H]IJJYé-

nyek írják le a sebesség és nyomásmegoszlást WHUPpV]HWHVHQ D NLVPLQWiUD MHOOHP]

v és t melm m m0 0 0, ,l − dimenziótlanított formában. Mi ennek a feltétele? Mikor azo-

nos a dimenziótlan sebességet és nyomást leíró függvény a nagy kivitelnél és a kismin-

tánál? Nyilván akkor, ha ugyanaz a dimenziótlan differenciálegyenlet-rendszer írja le és

ugyanazok a kezdeti- és peremfeltételek a dimenziótlan hely-pVLGNRRUGLQiWiNEDQ

Írjuk fel a Navier-Stokes-egyenlet x irányú komponens egyenletét a (9.17) összefüggés

alapján!

12.1. ábra

(12.1)



126

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂ ν

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Y

WY

Y

[Y

Y

\Y

Y

]J

S

[

Y

[

Y

\

Y

]

[[

[\

[]

[[

[ [ [+ + + = − + + +

6]RUR]]XNEHDHJ\HQOHWPLQGNpWROGDOiQOpY WDJRNDWl0

02v

tel− , azaz dimenziótlanít-

suk a Navier-Stokes-egyenlet x komponens egyenletét:

∂

∂

∂

∂

∂ρ

∂

ν∂

∂

v

v

tv

v

v

v

v

x

g

v

p p

v

x v

v

v

x

x

x

x

x

x

0

0 0

0

0

0

0

02

0

02

0

0 0

2

0

0

2

+

+ = −

−

+

+

l l

l

l

l

l /

.... .... .

$KDVRQOyV]HUNH]HWWDJRNEyOFVDNHJ\QHN -egynek mutattuk be a dimenziótlanítását.) A

nyomást egy S állandó vonatkoztatási nyomáshoz viszonyítottuk, amellyel a hely szerinti

differenciálhányados nem változott. Hasonlóképpen fel lehet írni a dimenziótlanított

Navier-Stokes-egyenlet y és z komponens egyenletét, valamint a kontinuitás dimenziótlaní-

tott formáját, figyelembe véve, hogy a Navier-Stokes-egyenlet alkalmazásakor már eldön-

töttük, hogy ρ = iOO feltételezéssel élünk. Ez esetben a folytonosság egyenlete GLYY =

alakot ölti, ami dimenziótlanítva:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

v

x

v

v

y

v

v

z

x y z

0

0

0

0

0

0

0

+

+

=

l l l

.

A három Navier-Stokes komponens egyenlet és a folytonosság egyenlete egy parciális

differenciálegyenlet-rendszert alkot, amelyet adott kezdeti- és peremfeltételekhez egy

megoldást ad a négy ismeretlenre (a három sebességkomponens és a nyomás dimenzi-

ótlan alakjára).

Két áramlás hasonló, ha

a/ azonos dimenziótlan differenciálegyenlet írja le mindkét áramlást, ami azt jelenti,

KRJ\ D |VV]HIJJpVEHQ pV D WRYiEEL NpW NRPSRQHQV HJ\HQOHWEHQ V]HUHSO

álODQGyQDN pV HJ\WWKDWyQDN D]RQRV pUWpN QHN NHOO OHQQLH D NpW iUDPOiVUD

vonatkozóan. A nagy kivitel és a modell esetén ez azt jelenti, hogy

g

v

g

v

x xm m

m

l l0

02

0

02

=

, és

(12.2)

(12.3)

(12.4)

(12.5)



127

ν ν

v vm

m m0 0 0 0l l

=;

b/ és ha azonosak a kezdeti és peremfeltételek. Ezt a feltételt általában a modell és a

nagy kivitel geometriai hasonlóságával, az áramlási tér peremén hasonló viszo-nyok biztosításával pV D] LQVWDFLRQiULXV KDWiVRN PHJIHOHO PRGHOOH]pVpYHO OG N é-

Vbb) valósíthatjuk meg.

$pV|VV]HIJJpVEHQV]HUHSONLIHMH]pVHNKHO\HWWDKDJ\RPiQ\RNQDNPHJIHOe-

OHQD]RNUHFLSURNiWLOODQQDNJ\|NpWKDV]QiOMXNDPHO\HNQHNQHYHL

Froude-szám: Frv

g= 0

0l

Reynolds-szám: Re =v0 0l

ν

A két áramlást leíró dimenziótlan differenciálegyenlet rendszer tehát a Reynolds-szám

és a Froude-szám azonossága esetén egyezik meg. A Froude- és Reynolds-számot más,

hasonlóan dimenziótlan mennyiségekkel együtt hasonlósági számoknak is szoktuk nevez-

ni.

A Froude-szám és a Reynolds-sziPD]RQRVViJiQDNHJ\LGHM EL]WRVtWiVDiOWDOiEDQ QHKp]

YDJ\OHKHWHWOHQIHODGDW/HJ\HQDPRGHOONtVpUOHWWiUJ\DHJ\DXWyOpSWpN PRGHOOMH0Lu-

WiQDV]pOFVDWRUQiEDQiUDPOyOHYHJ ν viszkozitása megegyezik az autót körüláramló leve-

JYLV]NR]LWiViYDOD5H\QROGV-V]iPD]RQRVViJDIHOWpWHOEO

Re Remm

m

m

m

v

v= ⇒ = =0

0

0

0

0

0

l

l

l

l

ν

νadódik. A Fr Frm = IHOWpWHOEOSHGLJ

v

vm m0

0

0

0

=l

l

, miután g gm = .

Látható, hogy a Re azonosságát a sebesség négyszeresére növelésével, a Fr azonosságát pe-

dig felére csökkentésével lehet megvalósítani. Vizsgáljuk meg, hogy ebben az esetben

szükség van-HPLQGNpWIHOWpWHOHJ\LGHMEHWDUWiViUD"

+DD]iUDPOiVLWHUHWNLW|OWLD]iUDPOyN|]HJPLQWD]HO EELSpOGiQNQiOD]DOiEELPHJIRn-

toOiVRN WHKHWN ÈOOy N|]HJ HVHWpQD1DYLHU -Stokes-HJ\HQOHWEO OG |VV]HIJJpV

01

= −g gradpáρ

aODN~NLIHMH]pVPDUDG+DH]WOHYRQMXND]HUHGHWLHJ\HQOHWE OD1DYLHU -

Stokes-HJ\HQOHWRO\DQYiOWR]DWiWNDSMXNDPHO\QHPWDUWDOPD]]DDWpUHU VVpJHWXJ\DQDNNRU

DWpUHU VVpJRNR]WDpá nyomásmegoszláshoz képesti különbségek szerepelnek benne:

(12.6)

(12.7)

(12.8)



128

dv

dtgrad p p vá= − − +

1

ρ ν1 6 ∆

.

A (12.9) alakú Navier-Stokes-HJ\HQOHWWHO YpJUHKDMWYD D] HO]HNEHQ EHPXWDWRWW

dimenziótlanítást a Froude-szám (ill. négyzetének reciproka) nem jelenik meg az egyenlet-

rendszerben, tehát ha az áramló közeg kitölti a teret, a Froude-szám azonos értéken

tartása nem feltétele a hasonlóságnak.

Hajómodellek vizsgálatánál viszont, ahol a hullámkeltés mértéke (a hullámellenállás)

LJHQMHOHQWVPpUWpNEHQEHIRO\iVROMDDKDMyWHVWUHKDWyHUWD)URXGH-szám azonos ér-

téken tartása igen fontos követelmény. Belátható ugyanis, hogy a hullámok keletkezésé-

QpODDV~O\HU QHNG|QWV]HUHSHYDQ

Ha a peremfeltételek instacionáriusak, akkor gondoskodni

NHOODUUyOKRJ\H]HNVDMiWLGOpSWpNNEHQ D]RQRVDQ Yil-

tozzanak. Legyen pl. a feladat egy, az áramlásba helyezett,

vízszintes tengely körül periodikusan oda-vissza mozga-

tott lapra (ld. 12.2. ábraKDWyHU PHJKDWiUR]iVDPRGHOl-

kísérletekkel. Legyen a modell léptéke 1:3. Miután a teret

kitölti az áramló közeg, az áramlások hasonlóságának egyik feltétele a Reynolds-szám azo-

nosViJD(EEOD]HO]HNDODSMiQD]DGyGLNKRJ\DPRGHOOPHJI~YiVLVebességének há-

romszor akkorának kell lennie, mint a nagy kivitel megfúvási sebessége. Milyen legyen a

modell lap mozgatásának periódusideje, ha az eredetinél ez W S volt? Nyilvánvalóan akkor

járunk el helyesen, ha

t

t

t

tazaz

t v t vpm

m

p pm m

m

p

0 0

0

0

0

0

= =l l

.

Figyelembe véve, hogy tf p =1

, ahol f s

1!

"$#DIUHNYHQFLDEHYH]HWKHWD

Strouhal-szám: Str f v

= l0

0

,

amelynek azonos értéke szükséges az azonos kezdeti- és peremfeltételek biztosításához.

(12.9)

12.2. ábra

(12.10)



129

9DQQDN HVHWHN DPLNRU D] iUDPOiV SHUHPpQNHOO PHJIHOHO nyomásértéket, mint perem-

feltételt biztosítani. Ez esetben az

Euler-szám: Eup p

v=

− 0

0

2ρ

D]RQRVViJDNDSV]HUHSHWËJ\SONLVKXOOiPRNHVHWpQDIHOOHWLIHV]OWVpJMHOHQWVV]HUHSHW

MiWV]LNDKXOOiPRNDODNXOiViEDQ8J\DQH]DKHO\]HWSODFVHSSHNNpS]GpVpQpO a porlasz-

tásnál.) Ilyen esetben a (12.11) kifejezés számlálójába a nyomáskülönbség helyébe a (7.2)

összefüggés alapján a ∆pC

R

C~ ~

l0

kerül, ahol &1

P

!

"$#

a felületi feszültség állandója, R a

felszín görbületi sugara, amely nyilvánvalóan arányos az lMHOOHP]KRVV]DO,O\Pódon az

Euler-számból egy új hasonlósági számot kapunk:

Weber-szám: WeC

v=

ρ l0 02

A Weber-szám azonos értéke különösen fontos azon modellkísérleteknél, amelyekben a

felüOHWLIHV]OWVpJQHNIRQWRVV]HUHSHYDQSOFVHSSNpS]GpVYL]VJiODWiQiO

Itt jegyezzük meg, KRJ\ D YL]VJiOW MHOHQVpJWO IJJHQ D] (XOHU -szám és a Strouhal-szám

kiIHMH]pVHIJJLOOIJJHWOHQYiOWR]yNpQWLVV]HUHSHOKHWDGLPHQ]LyWODQ1DYLHU -Stokes-

egyenletünkben. Így pl. az Euler-szám azonossága egy autó és modellje felületének adott helyénnem követelmény, hanem következmény, a két áramlás hasonlóságának következménye.

$] iUDPOiVED KHO\H]HWW KHQJHUU O DPHO\ N|UOL iUDPOiVVDO D] HO] IHMH]HWEHQ PiU

foglalkozWXQNSHULRGLNXVDQYiOQDNOHLQWHQ]tY|UYpQ\HNKDDKRPORNIDORQNHOHWNH] KD-

tárréteg lamináris (11.7. ábra B görbe). (Ennek az ún. Kármán-féle örvénysornak a le-

írásával nagy érdemeket szerzett Kármán Tódor, egyetemünk volt hallgatója és rövid ideig

oktatója, majd díszdoktora, aki századunk egyik legismertebb áramlástan kutatója.) A kis-

mintánál és a nagy kivitelnél a hasonlósági feltételek betartása esetén az örvényleválás

frekvenciájával számolt Strouhal-V]iPD]RQRVDPLD]HO]HNV]HULQWDNpWiUDPOiVKDVRQ-lóságából következik.

$KDVRQOyViJLV]iPRNPHJKDWiUR]KDWyNHJ\VpJQ\LW|PHJ IRO\DGpNUpV]UHKDWyHUN

hányadosaiként is: 1 kg tömegre ható

WHKHWHWOHQVpJLHU: Fv

T ~ 02

0l

(hiszen az áramkép egyes pontjaiban a sebesség a v0-lal arányos, az áramvonal görbületisugara pedig az l0 -lal.)

(12.11)

(12.12)



130

V~O\HU: ) J* a

Q\RPiVEyOV]iUPD]yHU: Fp p p p

P ~−

=−0 0

2

03

0

0

1 6 1 6l

l lρ ρ

(felírtuk a jelOHP]IHOOHWV]RU]DWiWDQ\RPiVNO|QEVpJJHOpVRV]WRWWXNDMHOOHP]PpUHt-

hez tartozó tömeggel, hogy a folyadék 1 kg- MiUDYRQDWNR]yHU WNDSMXN

V~UOyGiVEyOV]iUPD]yHU: Fv v

S ~ ρ νρ

ν0

0

02

03

0

02

l

l

l l

=

(a Newton-féle viszkozitási törvényt (1.2) használtuk fel a csúsztatófeszültséggel arányos

PHQQ\LVpJ NLIHMH]pVpUH DPLW D MHOOHP] IHOOHWWHOV]RUR]WXQNPDMG D MHOOHP] PpUHWKH]

tartozó tömeggel osztottunk)

IHOOHWLIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHU: FC C

F ~l

l

l l0

02

03

02ρ ρ

=

LWWKDVRQOyDQMiUWXQNHOPLQWDQ\RPiVEyOV]iUPD]yHU HVHWpQGHDQ\RPiVNO|QEVpJK e-

lypEHDIHOOHWLIHV]OWVpJRNR]WDQ\RPiVNO|QEVpJNLIHMH]pVpYHO|VV]KDQJEDQOpYNLIHMe-

zést tettünk).

.pSH]]ND]HJ\VpJQ\LW|PHJUHKDWyHU NKiQ\DGRVDLW

Re ~ ~ /

/

tehetetlenségi erõ

súrlódásból származó erõ

F

F

v

v

vT

S

= =02

0

0 02

0 0l

l

l

ν ν

Frtehetetlenségi erõ

súlyerõ

F

F

v

g

v

gT

G

~ /

= = =02

0 0

0

l

l

Eunyomásból származó erõ


F

F

p p

v

p p

vP

T

~ ~ / /

/ =

−=

−0 0

0

2

0

0

0

2

1 6 ρ

ρ

l

l

Wefelületi fesz bõl származó erõ


F

F

C

v

C

vF

T

~.

~ / /

/

−= =

l

l l

02

02

0 02

0

ρ

ρ

$KDVRQOyViJLV]iPRNHU NKiQ\DGRVDNpQWW|UWpQHOiOOtWiVDLJen szemléletesen mutatja az

áramlást befolyásoló egyes hatások viszonyát. Így pl. ha a Reynolds-szám értéke nagy,

akkor ez a (12.13) alapján azt jelenti, hogyDV~UOyGyHUNKDWiVDYLV]RQ\ODJNLFVLDWHKe-

WHWOHQVpJL HUNK|] NpSHVW (Ez természetes, hiszen a dimenziótlan Navier-Stokes-

HJ\HQOHWEHQDV~UOyGiVWNLIHMH]XWROVyWDJHJ\WWKDWyMDD5HUHFLSURNDOG(]pUWminél nagyobb a Re értéke, annál kisebb számmal szorozzuk ezt a tagot.) Ezzel mindjárt

(12.13)

(12.14)

(12.15)

(12.16)



131

értheWYpYiOLND]DWDSDV]WDODWKRJ\D5HQ|YHNHG ésével turbulenssé válik az áramlás. A

V~UOyGyHU N XJ\DQLV FVLOODStWMiN D UHQGH]HWOHQPR]JiVRNDW FV|NNHQWLND URKDPRVWpUEHOL

sebességváltozásokat, így a súrlódás viszonylagos hatásának csökkenése a turbulencia ke-

letkezéséhez vezet. Ha viszont kicsi a Reynolds-szám értéke (pl. egy kis porszem süllyed a

OHYHJ EHQYDJ\QDJ\YLV]NR]LWiV~N|]HJiUDPOLNHJ\FV EHQDNNRUDV~UOyGiVGRPLQDQF i-ájával, lamináris áramlással számolhatunk.



13. Hidraulika

Ebben a fejezetben a csövekben, csatornákban áramló közeJHNiUDPOiViQDNMHOOHP]LWWiU -

gyaljuk. A mérnöki gyakorlat szempontjából talán ez a fejezet a legfontosabb része a jegy-

zetnek. A hidraulika az emberi tudás egyik igen régóta alkalmazott és fejlesztett területe, hi-

szen az öntözésnél, a folyók szabályozásánál, a vízvezetékek építésénél sok nehézséget kel-

lett megoldani eleinknek, akik ennek folytán nagyon sok gyakorlati ismeretet halmoztak

IHO8J\DQDNNRUD]iUDPOiVWDQDODSW|UYpQ\HLQHNOHYH]HWpVHD]iUDPOiVWDQDODSYHWL|VV]H-

függéseinek kutatása évszázadokon keresztül a hidraulika gyakorlatától elszigetelve folyt.

Csak a XIX. évszázadban találkozott össze az elméleti áramlástan és a gyakorlatra orientált

hidraulika.

13.1. A súrlódási veszteség

Tekintsük a 13.1. ábrát, ahol egy vízszintes, egyenes, állandó kerHV]WPHWV]HWFVOiWKDWy

l

13.1. ábra

$ FV EHQ iOODQGy VU VpJ N|]HJ iUDPOLN $] iUDPOiV OHJ\HQ VWDFLRQiULXV D] LGfüggvényében nem változik a térfogatáram). Ha felírjuk a Bernoulli-egyenlet erre az esetre

alkalmazható (4.31) alakját a ρ VU VpJJHOYpJLJV]RUR]YDD]D]Q\RPiVGLPHQ]LyEDQD]

egy áramvonalon egymástól l WiYROViJUDOpYpVSRQWN|]|WWD]DGyGLNKRJ\ S S = ,

D]D] D Q\RPiV D FV KRVV]D PHQWpQ D %HUQRXOOL-egyenlet alkalmazásával a

súrlódásmentességet feltételezve) nem változik. Valóságos közeg áramlása esetén

azonban S S < , azaz az 1 és 2 pontban nem azonos a Bernoulli-összeg:

ρ ρ ρ ρ

v

p U

v

p U12

1 122

2 22 2+ + > + + .

(A Y és Y D F V DGRWW NHUHV]WPHWV]HWpEHQ pUYpQ\HV iWODJVHEHVVpJ DPL D J\DNRUODW

szempontjából elfogadható közelítés.) A Bernoulli-összeg tehát a súrlódás következtében

az áramlás irányában csökken. $QQDN pUGHNpEHQ KRJ\ D HJ\HQOWOHQVpJEO

egyenlet legyen, D] iUDPOiV LUiQ\iEDQ WiYRODEE OpY SRQWUD YRQDWNR]y %HUQRXOOL-

összeget meg kell növelni a két pont közötti Bernoulli-összeg csökkenéssel, amit ∆ S -

vel jelölünk és súrlódási veszteségnek nevezünk:

ρ ρ ρ ρv

p Uv

p U p12

1 122

2 22 2+ + = + + + ∆ '

(13.2)

(13.1)



133

A (13.2) összefüggést veszteséges Bernoulli-egyenletnek nevezzük.

$N|YHWNH]NEHQD ∆p' veszteség meghatározásának módjával foglalkozunk. Ebben igen

fontos szerepe voOWpVYDQDNtVpUOHWH]pVQHN(]pUWDN|YHWNH]DOIHMH]HWDQHPFVDNiUDP-

lásWDQL NtVpUOHWL PXQNiW QDJ\PpUWpNEHQ PHJN|QQ\tW GLPHQ]LyDQDOt]LVW YDJ\Buckingham-féle Π elméletet) ismerteti.

13.2. A dimenzióanalízis

Legyen a feladatunk a 13.1. ábrán láthatóFV EHQEHN|YHWNH]∆ S súrlódási veszteség álta-

lános kísérletiYL]VJiODWD(OV]|UPHJNHOOKDWiUR]QLD]RNDWDIL]iNDLMHOOHP]NHWDPHO\HN

befolyásolhatják a ∆p Pa' pUWpNpWFVKRVV]l m , viszkozitás, µ kg m s / / , az áramló

N|]HJVU VpJHρ kg m / 3 FViWPpU d m , átlagos áramlási sebesség, v m s / . Felté-

WHOH]]NKRJ\DFVEHOVIDODVLPDH]pUWD]pUGHVVpJJHOQHPIRglalkozunk (ld. KéV EE

A feladat tehát a

∆p f d v' , , , ,= l µ ρ1 6

függvénykapcsolat meghatározása mérésekkel.(]SO~J\YpJH]KHWHOKRJ\D]|WIg-

getlen változó közül négynek rögzített értékénél az ötödiket változtatjuk és mérjük a változ-

WDWiVKDWiViWDYHV]WHVpJUH(]WN|YHW

HQDQpJ\YiOWR]yN|]OYDODPHO\LNpUWpNpWPHJYil-toztatjuk és ismét végigmérjük az ötödik változásának hatását a ∆ S -re. Belátható, hogy va-

lamennyi változó koPELQiFLyNLPpUpVHLJHQKRV]~LGHLJWDUWDQD(]pUWNHGYH]KRJ\YDQ

HJ\RO\DQPyGV]HUDGLPHQ]LyDQDOt]LVDPLYHODYiOWR]yNV]iPiWMHOHQW VHQFV|NNHQWKHt-

jük.

Az általunk vizsgált feladatoknál a mértékrendszerünk három alap fizikai mennyiségét

alkalmazzuk: D W|PHJHW >NJ@ D KRVV]DW >P@ pV D] LGW >V@ Kiindulásként feltesszük,

KRJ\YDODPHQQ\L4PHFKDQLNDLPHQQ\LVpJGLPHQ]LyV]HPSRQWMiEyOHOiOOtWKDWyD]DODSI i-

zikai mennyiségek hatványainak szorzataként: Q kg m s= α β γ . Adott n > 3 fizikai meny-

nyiség: Q Q Qn1 2, , ......, . (Mint pl. a mi fenti n = 6 fizikai mennyiségünk.) Keressük mé-

réssel a F Q Q Qn1 2 0, , ......,1 6 = ismeretlen függvényt.

(13.3)



134

$4IL]LNDLPHQQ\LVpJHNPpUWpNHJ\VpJHLDIHQWLHNV]HULQWHOiOOtWKDWyND]DOiEELPyGRQ

Q kg m s

Q kg m s

Q kg m s

a a a

a a a

a a an n n

1

2

1

11 21 31

12 22 32

1 2 3

=

=

=.........

Az a i j, NLWHYNHWLVPHUMNKLV]HQLVPHUWHNDMHOHQVpJEHQV]HUHSHWMiWV]yIL]LNDLPHQQ\LVé-

gek. Létezik-e

Π = Q Q Qk knk n

1 21 2 ....

DODN~DIL]LNDLPHQQ\LVpJHNKDWYiQ\DLQDNV]RU]DWDNpQWHOiOOtWKDWyGLPHQ]LyWODQNLIHMH]pV

és ha igen, hány egymástól független van? Írjuk fel a (13.5) összefüggés dimenzió egyenle-tét figyelembe véve (13.4) kifejezéseket:

Π = =kg m s kg m s kg m s kg m sa a a k a a a k a a a kn n n

n0 0 0 11 21 311

12 22 322

1 2 34 9 4 9 4 9... .

$HJ\HQOHWDODSMiQKiURPHJ\QOHWEOiOOyHJ\HQOHWUHQGV]HUKDWiUR]KDWyPHJ

a k a k a k

a k a k a ka k a k a k

n n

n n

n n

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

31 1 32 2 3

0

00

+ + + =

+ + + =

+ + + =

.....

.....

.....

A k k k n1 2, , ..... , QGDUDELVPHUHWOHQUHHJ\HJ\HQOHWEO iOOy OLQHiULV HJ\HQOHWUHQGV]HUW

kaptunk. Képezzük az ismert D L M NLWHYNEODGLPHQ]LyPiWUL[RW

a a a

a a a

a a a

n

n

n

11 12 1

21 22 2

31 32 3

...

....

....

!

"

$

###

A dimenziómátrix rangja r, ha létezik r-HGUHQG ]pUXVWyO NO|QE|] DOGHWHUPLQiQVD GH

nem létezik r+1-HG UHQG QHP QXOOD pUWpN DOGHWHUPLQiQVD ÈOWDOiEDQ U D] DODS IL]LNDL

PHQQ\LVpJHNV]iPiYDOHJ\HQOHVHWQNEHQU+DDGLPHQ]LyPiWUL[UDQJMDUD]HJ\Hn-

letrendszernek n-r független megoldása van (ennyi összetartozó k k k n1 2, ,.... pUWpNHNEOil-

ló csoport létezik), azaz n-r dimenziótlan ΠFVRSRUWNpSH]KHW(]D]WMHOHQWLKRJ\a kísér-

letileg vizsgálandó változók száma általában az alap fizikai mennyiségek számával,

HVHWQNEHQKiURPPDOFV|NNHQWKHW

(13.4)

(13.5)

(13.6)

(13.7)

(13.8)



136

Most vegyünk fel ismét k1, k2, k3 értékeket:

1 0 00 1 0 2− ⇒ =Π ' / l d

A harmadik felvételre adódik:

0 10 1 1 1 13− − − ⇒ = =Π ' / / Reµ ρd v1 6

A dimenziótlan csoportokat kombinálhatjuk, szorozhatjuk konstanssal, vehetjük a recip-

URNXNDWVWE(]pUWFpOV]HU DΠ -k helyett az azokból képezett alábbi csoportok bevezetése:

Π∆

Π Π12

2 3

2

= = = =p

vd és

v d', / Re

ρ νl .

A kísérletek során tehát nem a (13.3) függvénykapcsolatot kell meghatározni, hanem a

F Π Π Π1 2 3

0, ,

1 6= függvényt (azaz nem kell olyan változatokat vizsgálni, amelyek ugyan-

azon Π értékeket adnak).

$FVV~UOyGiVLYHV]WHVpJ

Végezzünk el kísérleteket a 13.1. ábrán látható csövön an-

QDNpUGHNpEHQKRJ\DFV EHQNHOHWNH]YHV]WHVpJNO|Q-

E|] WpQ\H]NWO OG |VV]HIJJpV való függését,

azaz a Π Π Π1 2 3

= f ,

1 6függvényt megismerhessük. A kí-

sérletek eredménye a 13.2. ábrán látható, ahol a Π2 =l

d

függYpQ\pEHQYLWWNIHONO|QE|]iOODQGyΠ3 = Re érté-

keknél a Π∆

=S

Y

ρPpUWpUWpNHLW$KRJ\DQYiUKDWyYROWDYHV]WHVpJDFV KRVV]l d függ-

YpQ\pEHQOLQHiULVDQQ

Ezért írható:

∆p

v d

'Re

ρλ

22

= 1 6 l,

ahol a λ a 13.2. ábránOiWKDWyHJ\HQHVHNLUiQ\WpQ\H] MHDPLD5H\QROGV-szám függvénye.

λ − t FVV~UOyGiVLWpQ\H]QHN nevezzük.

l

13.2. ábra



138

Eredményül a 13.3. ábrán látható görbéket kapjuk. Látható, hogy lamináris áramlás ese-

WpQD]pUGHVVpJQHNQLQFVHQKDWiVDDFVV~UOyGiVLWpQ\H]UH7XUEXOHQViUDPOiV5H!

HVHWpQYLV]RQWD]pUGHVVpJKDWiVDMHOHQW V: ak

dáll= .J|UEpNQ|YHNY5HHVHWpQ

egy adott Reh határ Reynolds-szám értékig azonos görbén futnak, Re Re> h esetén elvál-QDNHJ|UEpWOpVYt]V]LQWHVEHPHQQHNiW(EEHQD5H\QROGV-szám tartományban λ tehát

csak ak

dIJJYpQ\H$]WDJ|UEpWDPHO\EODNO|QE|]pUGHVVpJFV|YHNKH]WDUWR]yJ|r-

bék kiágaznak, az

12 0 8

λλ

turbturb= −lg Re .4 9

összefüggés írja le. Egy adott, Re Re<h

Reynolds-szám esetén (amikor a λ értékét a

|VV]HIJJpVVHOOHtUWJ|UEpQWDOiOMXNPHJWHKiWKLiEDFV|NNHQWMNDFVIDOiQDNpr-

dességét, a λ értéke változatlan marad. (J\FVDGRWW5H\QROGV-számon hidraulikailag

VLPDKDFV|NNHQWYHD]pUGHVVpJHWDFV VXUOyGiVLWpQ\H]pUWpNHQHPYiOWR]LNA hidra-

uOLNDLODJVLPDFV|YHNFVV~UOyGiVLWpQ\H] MpWD5H\QROGV-szám ismeretében a (13.12) ösz-

szeIJJpVEOYDJ\D]H]WD4000 105≤ ≤Re tartománybDQMyON|]HOtW Blasius-képlettel:

λ turb =0 3164

.

Re

határozzuk meg.

13.3 ábra

$FVIDOpUGHVVpJHO]HNEHQOHtUWKDWiViWD]DOiEELPyGRQPDJ\DUi]KDWMXNPHJ/iWWXN

hogy a lamináris áramlásban az érdességnek nem volt befolyása a λ értékére. Korábban

megállapítottuk, hogy a turbulens határrétegek alján egy viszkózus alapréteg van (ld.

10.3.fejezet), amelynek yv vastagsága fordítottan arányos az u* fali csúsztatófeszültséggel,

hiszeny uv

*

ν= 10 érvényes a réteg vastagságára, azaz

yu

v = 10ν*

. (13.14)

(13.12)

(13.13)



139

Másrészt egy l KRVV]~ViJ~FV EHQiUDPOyIRO\DGpNUDIHOtUKDWyDQ\RPiVNO|QEVpJE OV]ir-

PD]yHU pVDτ0 IDOLFV~V]WDWyIHV]OWVpJEOV]iUPD]yHU HJ\HQV~O\D

∆pd

v

d

dd'

22

2

0

4 2 4

π ρλ

πτ π= =

ll

DPLEO

τρ λ

02

2 4= v

.

Figyelembe véve (13.14) összefüggést és hogy u* =τ

ρ0 , a viszkózus alapréteg vastagsá-

gára átalakítások után adódik:

y

dv =

20 2

λ Re .

λ helyébe a Blasius-NpSOHWHWtUYDDFViWPpU K|]YLV]RQ\tWRWWYLV]Ny]XVDODSUpWHJYDVWDg-

ságra kapjuk:

y

d

Konstv =.

Re / 7 8 .

A viszkózus alapréteg vastagsága a Reynolds-szám növekedésével csökken, tehát egy

adott határ Reynolds-szám (Reh I|O|WWDFVIDOpUGHVVpJpQHNPpUHWHPHJKDODGMDD]

yv -WD]D]D]pUGHVVpJFV~FVRNÄNLOyJQDN´DYLV]Ny]XVDODSUpWHJEOpVHNNRUDFVIDO

érdessége befolyásolja a λ értékét. Ha Re Re< h D]D]DFVKLGUDXOLNDLODJVLPDDNNRU

az érdesség cV|NNHQWpVpQHND]HO]HNEOEHOiWKDWyRNRNPLDWWQLQFVEHIRO\iVDD λ értéké-

re.

Nem homokszemcsékkel érdesített csövek, pl. acélcsövek esetén az érdesség mérete válto-

zó, tehát a Reynolds-szám növekedésével fokozatosan egyre több érdességcsúcs kerül ki a

viV]Ny]XVDODSUpWHJEO(]pUWD]pUGHVVpJD5H\QROGV-szám növekedésével fokozatosan nö-

YHNYPpUWpNEHQEHIRO\iVROMDDFVV~UOyGiVLWpQ\H]pUWpNpW0LXWiQD]pUGHVVpJPpUWpNH

V]pOHVKDWiURNN|]|WWQHPIJJDFV iWPpU WOFVDNDFVJ\iUWiVWHFKQROyJLiMiWyOD relatív

pUGHVVpJMHOOHP]pVpUHDFViWPpUWKDV]QiOKDWMXN : minél nagyobb d, adott érdességnél

annál kisebb a relatív érdesség. Egy adott technológiával készült acélcsövekre vonatkozó

λ − Re görbéket kétszer logaritmikus diagramban a 13.4. ábra mutatja.

(13.15)

(13.16)

(13.17)

(13.18)



140

1HP N|U NHUHV]WPHWV]HW FV|YHN YHV]WHségé-

QHN V]iPtWiViUD D] HJ\HQpUWpN iWPpUW Ye-

zetjük be:

d AKe = 4

ahol A A m2 D FVNHUHV]WPHWV]HW QDJ\ViJD

K m az ún. nedvesített kerület, azaz a ke-

resztmetszet kerülete azon szakaszának hossza, ahol az áramló közeg az álló fallal

érintkezik.+DD]iUDPOiVNLW|OWLDFVNHUHV]WPHWV]etet, akkor K a teljes kerület, az árokban

IRO\yYt]HVHWpQSHGLJDWpQ\OHJHVHQÄQHGYHVtWHWW´NHUOHW$FVV~UOyGiVLYHV]WHVpJHWQHP

kör keresztmetV]HW FV|YHNHVHWpQLV D |VVzefüggéssel számoljuk azzal a különb-

séggel, hogy a d csiWPpUKHO\pEHDGH HJ\HQpUWpN iWPpUN erül:

∆p vd e

' Re=ρ

λ2

2 l 1 6, ahol

Re =v de

ν

(Fenti összefüggésekben v m s / DYDOyViJRVFVNHUHV]WPHWV]HWWHOV]iPROWiWODJVHEHVVpJ

A Reynolds-szám ismeretében a λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]WD5HpUWpNpWOIJJHQD

vagy (13.13) összefüggéssel vagy λ − Re diagram használatával határozhatjuk meg.

+DDFVWpJODODSNHUHV]WPHWV]HWpVD]ROGDOYLV]RQ\UDIHQQiOOa

b< 0 5. , akkor a λ számí-

tásához a Reynolds-szám értékét a Re = Φv de

νösszefüggéssel számolt Reynolds számmal

határozzuk meg a szokott módon, ahol Φ ≅ + −

2

3

11

242

a

b

a

b.

$IHMH]HW YpJpQ GHILQLiOWXND NLDODNXOW FViUDPOiVW pVD]W D] l NH]GHWLFVKRVV]DW

DPHO\PHQWpQDFV EHW|UWpQEH|POpVWN|YHWHQDNLDODNXOWiUDPOiVOpWUHM|Q$NLDODNXOW

FViUDPOiV OpWUHM|WWpKez a tapasztalat szerint nagyobb nyomásesésre van szükség, mintamennyi az adott Reynolds-számnál az adott lk egyenes csövön kialakult áramlás esetén

keletkezik. Ezt a többlet veszteséget ∆p be' beömlési veszteségnek nevezzük és a

∆p vbe be' =ρ

ζ2

2

összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol ζbe a EH|POpVL YHV]WHVpJWpQ\H] DPHO\QHN

számértéke megmutatja, hogy az átlagsebességgel számolt dinamikus nyomás hány-

szorosa a beömlési veszteség.$ODPLQiULVFViUDPOiVHVHWpQζbe ≅ 1 2. , turbulens esetben

a beömlési veszteség lényegesen kisebb (ζbe ≅ 0 05. ), ezért azt általában elhanyagolják.

13.4. ábra

(13.19)

(13.20)

(13.21)



141

A ζYHV]WHVpJWpQ\H]WLJHQJ\DNUDQDONDOPD]]XN+DHJ\DGRWWJHRPHWULiM~pUGHVVpJ FV

LGRP YHV]WHVpJpQHN IJJpVpW YL]VJiOMXN D] D]W EHIRO\iVROy WpQ\H]NWO DNNRU D

∆p F v d' , , ,= ρ µ1 6 függvénykapcsolatot kívánjuk felderíteni. Ha a 13.2. fejezetben bemuta-

tott dimenzióanalízist erre az esetre alkalmazzuk, ahol 5 dimenziós változó van, 5 3 2− =

GLPHQ]LyWODQFVRSRUWRWiOOtWKDWXQNHO

Π∆

Π12

2

2

= = = =p

vés

v d'Re

ρζ

ν .

$]DGRWWFVLGRPYHV]WHVpJpWWHKiWDζ ζ= Re1 6 összefüggés megadásával lehet jellemezni,

D]D]DGRWWFVLGRPYHV]WHVpJWpQ\H] MHFVDND5H\QROGV-szám függvénye, de a szokott Re

WDUWRPiQ\EDQUHQGV]HULQWiOODQGyQDNWHNLQWKHW

&VLGRPRNiUDPOiVLYHV]WHVpJH

$]HO]IHMH]HWEHQD]HJ\HQHVFVV~UOyGiVLYHV]WHVpJpWWHNLQWHWWNiWHEEHQpedig a kü-

O|QE|]FVLGRPRNpW

Borda-Carnot átmenet

Tekintsük a 13.5. ábrát, ahol egy hirtelen ke-

resztmetszet növekedéssel jellemzett ún.Borda-Carnot átmenetet mutatunk be. A

berajzolt áramvonalak a valóságos áramlás-

hoz közelálló áramképet mutatják be. Alkal-

mazzuk az impulzustételt annak érdekében,

hogy a Borda-Carnot átmenet veszteségét, az ún. Borda-Carnot veszteséget: ∆p BC' meg-

határozzuk. Legyen az áramlás stacionáULXVD]iUDPOyN|]HJVU VpJHSHGLJiOODndó. Raj-

]ROMXNIHOD]HOOHQU]IHlületet, valamint a P és I YHNWRURNDW$]HOOHQU]I elületen ható,

V~UOyGiVEyO V]iUPD]y HU NHW HOKDQ\DJROMXN $ IHMH]HWEHQ WDQXOWDN DODSMiQ tUKDWy− + = −I I P P1 2 1 2 , azaz

− + = − +ρ ρv A v A p A p A12

1 22

2 2 2 1 2 .

(A jobb oldal utolsó tagja felírásánál azt a kísérleti tapasztalatot használtuk fel, hogy a

teQJHO\UHPHU OHJHVN|UJ\U DODN~IHOOHWHQDQ\RPiVMyN|]HOtWpVVHOiOODQGypVPHJHJ\ e-

zik az A1 keresztmetszetben uralkodó nyomással.)

Tekintettel arra, hogy a kontinuitás következtében ρ ρv A v A1 1 2 2= , behelyettesítés és azegyenlet mindkét oldala A2 -vel való osztása után adódik:

(13.22)

13.5. ábra



142

p p v v vBC2 1 2 1 2− = −1 6 1 6ρ

.

Ha az áramlás súrlódásmentes volna, akkor a Bernoulli-egyenlet alkalmazásával számol-

hatnánk az „ideális” nyomáskülönbséget:

p p v vid2 1 1

222

2− = −1 6 4 9ρ

.

Az „ideális” és a valóságoshoz közelálló, (13.23) összefüggéssel megadott nyomás-

különbség különbsége a súrlódás következtében létrejöv~Q Borda-Carnot veszteség:

∆p p p p p v v v v vBC id BC' = − − − = − − −2 1 2 1 1

222

2 1 221 6 1 6 4 9 1 6ρ

ρ ,

DPLEOHJ\V]HU VtWpVHNpViWDODNtWiVRNXWiQDGyGLN

∆p v vBC' = −ρ

2 1 221 6

A Borda-Carnot veszteség az egyik legfontosabb veszteségforrás, amelynek hatását

V]iPRVPiVFVLGRPEDQLVIHOIRJMXNIHGH]QL

Kilépési veszteség

A Borda-&DUQRWYHV]WHVpJHJ\LNJ\DNUDQHOIRUGXOyVSH-

ciális esete a kilépési veszteség, amely akkor keletkezik,

KDDN|]HJHJ\FVEOQDJ\WpUEHSOHJ\WDUWiO\EDiUDm-

lik (ld. 13.6. ábra). Alkalmazzuk a Borda-Carnot veszteség

(13.24) kifejezését, figyelembe véve, hogy v2 0= , azaz a tar-

WiO\EDQ OpY VHEHVVpJD N|]HJ V~UOyGiV PLDWWL OHIpNH]GpVH

következtében zérus:

∆p ki' = −ρ

201

2v1 6 =

ρ

2 12v.

(13.23)

(13.24)

13.6. ábra

(13.25)



143

Szelepek, tolózárak, csappantyúk

A szelepek, tolózárak, csappantyúk (ld. 13.7. áb-

ra) vesztesége is nagyrészt a Borda-Carnot veszte-

VpJUHYH]HWKHW

YLVV]DH]HNHOPR]GXOyHOHPHLOe-V]NtWLND]iUDPOiVLNHUHV]WPHWV]HWHWH]iOWDOKLUWe-

OHQ NHUHV]WPHWV]HWQ|YHNHGpVM|Q OpWUH D OHV]NOW

keresztmetszet után. A szelepek, tolózárak áramlási

veszteségét is ζsz veszteségténye]YHO jellemez-

zük, amely a ∆p sz' YHV]WHVpJpVYDODPHO\MHOOHP]

sebességgel számolt dinamikus nyomás hányadosa.

A 13.7. ábraMHO|OpVHLWDONDOPD]YDHPHOMNNLD|VV]HIJJpVEODY2 -t,

∆p vv

vazaz

A

Asz sz' ,≅ −

≅ −

ρζ

21 12

2 1

2

22

1

2

.

Egy szelep (pl. a vízcsap) forgatása esetén a szelep és a szeleptányér közötti rést (azaz az

A1 keresztmetszetet) változtatjuk, ezáltal változik a ζsz YHV]WHVpJWpQ\H]pUWpNHLV3OD

csap zárása esetén A1HJpV]HQD]pUXVLJFV|NNHQPLN|]EHQDYHV]WHVpJWpQ\H] PLQGHQKa-

WiURQW~OQ$]HJ\UHQDJ\REEYHV]WHVpJWpQ\H]PLDWWDYt]YH]HWpNUHQGV]HUEHQOpYQ\o-

más hatására egyre kisebb v2 sebességgel áramlik ki a víz, azaz (teljes zárásig zérusra)

csökken a térfogatáram.

Hirtelen keresztmetszet-csökkenés

Tekintsük a 13.8. ábrát, ahol egy hirtelen keresztmet-

szet-csökkenés látható. A vázolt áramvonalaknak görbü-

lete alapján meghatározható a fal mellett a nyomás válto-

zása (az ábrán a nyilak a nyomás fal menti növekedése

irányába mutatnak). A bal oldali nyíl által jellemzett

nyomásnövekedés oka, hogy a közeg a „sarok” felé áram-

lik, aholWRUOySRQWDODNXONLDPHO\EHQDQ\RPiVQDJ\REEPLQWDWRUOySRQWHOWWLWpUEHQ$

KLUWHOHQNHUHV]WPHWV]HWFV|NNHQpVKHO\pQDWHQJHO\UHPHU OHJHVN|UJ\U DODN~IDOpVDN i-

sebb átméU MFVWDOiONR]iViQiODÄVDURN´N örül az áramlás felgyorsul, a nyomás lecsök-

NHQ$VDURNXWiQiUDPOiVLUiQ\iEDQKDODGYDDVHEHVVpJFV|NNHQWHKiWDQ\RPiVQ$

11.4.fejezetben láttuk, hogy az áramlás iráQ\iEDQ Q|YHNHG Q\RPiV HVHWpQ OHYiOKDW D]

áramlás.

Általánosságban megállapítható, hogy az áramlást határoló szilárd felület hirtelen

irányváltozásainál („sarkok” közelében) fal melletti, áramlás irányú nyomásnöve-

kedéssel és így határréteg leválás esélyével számolhatunk. Ha a sarok „homorú” (ld.

13.7. ábra

(13.26)

13.8. ábra



144

13.8. ábra$DNNRUD]LUiQ\YiOWR]iVHOWWKDÄGRPERU~´OG13.8. ábra B) az irányváltozás

után jöhetnek létre a határréteg leválás feltételei.

Az adott esetben két helyen következik be határréteg leválás: az A-val és a B-vel jelölt he-

O\HQ$]XWyEELOHYiOiVN|YHWNH]WpEHQDNLVHEEiWPpU

M

FV

HOHMpQD]ÄHJpV]VpJHV´ áram-lási kerHV]WPHWV]HW OHV]NO PDMG XWiQD %RUGD-Carnot átmenethez hasonló sebes-

ségkiHJ\HQOtWGpVPHJ\YpJEH, ami – mint láttuk –MHOHQWVYHV]WHVpJJHOMiU$NHUHV]W -

PHWV]HWOHV]NOpVHLOOD]H]WMHOOHP]α =A

A

'1

1

NRQWUDNFLyVWpQ\H]pUWpNHDNHUHV]Wmet-

szetviszony (A

A1

0

) függvénye, ami a tapasztalatok szerint α ≅ +

0 6 0 4 1

0

2

. .A

A, azaz minél

nagyobb a keresztmetszetek hányadosa, annál jobban összehúzódik az áramlás. A hir-

WHOHQNHUHV]WPHWV]HWFV|NNHQpVYHV]WHVpJpQHNW~OQ\RPyUpV]pWDNLVHEEiWPpU M FV EHQ

beN|YHWNH]%RUGD-Carnot veszteség teszi ki, tehát írható (ld.(13.24) összefüggés):

∆p v v vhk' '= − = −

ρ ρ

α2 2

111 1

212

2

1 6.

(Általánosságban megállapítható, hogy gyorsuló áramlások vesztesége általában ki-

csiny. A lassuló áramlásoknál lehet nagyobb veszteségekkel számolni. Lassuló áram-

lások az áramlási keresztmetszet növekedése, vagy az áramlási irány változása követ-

keztében jöhetnek létre.)

$ |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ D KLUWHOHQ NHUHV]WPHWV]HW FV|NNHQpV YHV]WHség-

WpQ\H] MHDNLVHEENHUHV]WPHWV]HWFV EHQOpYiWODJVHEHVVpJJHOV]iPROWGLQDPLNXVQ\R-

másra vonatkoztatva):

ζα

hk = −

11

2

.

,O\HQYHV]WHVpJNHOHWNH]LNSOHJ\WDUWiO\EyOHJ\FV EHW|UWpQEHiUDPOiVQiOKDDWDUWiO\I a-

ODpVFVN|]|WWLiWPHQHWQLQFVHQOHNHUHNtWYH$IHMH]HWEHQWiUJ\DOW%RUGD-féle kifolyó-

nyílás esetén pl. α = 0 5. , tehát e veszteséget jellemzζhk = 1+DDFVQHPQ\~OLNEHD

tarWiO\EDD]DIHQWLNLIHMH]pVpEOA

A1

0

0≅ -hoz α ≅ 0 6. NRQWUDNFLyVWpQ\H]WDUWR]LNDPLYHO

ζhk = 0 44. .

Diffúzor

$] iUDPOiV LUiQ\iEDQ EYO FVWROGDWRNDW QHYH]]N GLII~]RURNQDN V]HPEHQ D NRQI~-

zorokkal, amelyek keresztmetszete az áramlás irányában csökken). A diffúzorokban áram-

OiVLUiQ\iEDQFV|NNHQDVHEHVVpJQDQ\RPiV$IHMH]HWEHQOiWWXNKRJ\LO\HQHVHt-

(13.27)



145

ben a fal mellett kialakuló határréteg rohamosan vastagszik, ill. leválhat. Tekintsük a 11.8.

ábrát, ahol egy diffúzor és alatta a diffúzor tengelye menti nyomásmegoszlás látható súrló-

dásmentes („ideális”) és valóságos esetben. A (11.5) összefüggéssel definiált ηG

diffúzorhatásfok ismeretében valamint (11.4) összefüggés figyelembevételével a diffúzor

súrlódási vesztesége ∆p diff ' meghatározható. A veszteség ugyanis az „ideális” és valósá-

gos nyomásnövekedés különbsége:

∆p diff ' = − − −p p p pid val2 1 2 11 6 1 6 = − −1

2 12

22η

ρd v v1 6 4 9

,WWMHJ\H]]NPHJKRJ\DGLII~]RUYHV]WHVpJHMHOHQWVPpUWpNEHQIJJDGLII~]RUEDEHOpS

VHEHVVpJPHJRV]OiVMHOOHP]LWO+DDIDON|]HOpEHQOpYiUDPOiVLVHEHVVpJHNPiUDEHOp -

pésnél viszonylag kicsik („csúcsos” a sebességprofil), a határréteg hamar levál LNpVDNLOpS

NHUHV]WPHWV]HWMHOHQWVUpV]pQOHV]YLVV]DiUDPOiV(]D]WMHOHQWLKRJ\DGLII~]RUVRNNDON e-vésbé lassítja le az áramlást, mint az a geometriai viszonyokból adódna. Ezért a valóságos

nyomásnövekedés sokkal kisebb, mint a keresztmetszetviszony alapján számolt érték, azaz

ηd kicsi és a (13.28) összefüggéssel számolt diffúzor súrlódási veszteség nagy.

$GLII~]RUEyONLOpSN|]HJVHEHVVpJPHJRV]OiVDDIHQWLHNEON|YHWNH]HQiOWDOiEDQHJ\Hn-

OWOHQ+DDGLII~]RUNLOpSNHUHV]WPHWV]HWHHJ\FV EHQIROytaWyGLNHEEHQD]HJ\HQOWOHQ

iUDPOiVLVHEHVVpJNLHJ\HQOtWGLN(]DVHEHVVpJNLHJ\HQOtWGpVKDVRQOyD%RUGD-Carnot át-

menetben (13.5. ábraWDSDV]WDOKDWyMHOHQVpJKH]DQ\RPiViUDPOiVLUiQ\iEDQQ GHNHYps-

EpPLQWD]DVHEHVVpJFV|NNHQpVpEOYHV]WHVpJPHQWHVHVHWEHQDGyGQDD]D]MHOHQWVYHV]We-

ség keletkezik. Mégis ez a nyomásnövekedés növeli a diffúzor hatásfokát.

&VtYHNN|Q\|N|N

A csövekben áramló közegek irányYiOWR]iVDLQiODFVtYHNEHQN|Q\|kök EHQMHOHQWVV~r-

lódási veszteségek keletkezhetnek, amelyeket ugyancsak ζ veszteVpJWpQ\H]YHO MHOOHm-

zünk. A veszteségek okai között a fali

csúsztatófeszültség általában alárendelt

szerepet játV]LN 1DJ\REE MHOHQWVpJH

van a 13.9. ábrán vázolt és a

11.5.fejezetben tárgyalt szekunder

áramlás keletkezésének, hiszen a több-

let mozgási energia létrehozásához

többlet nyomáskülönbségre van szük-

VpJpVD]tJ\NHOHWNH]PR]JiVLHQHr-

gia nem hasznosul: legnagyobb része a

súrlódás követNH]WpEHQ KYp DODNXO

Nagy veszteséget okozhat a határréteg

(13.28)

13.9 ábra



146

leválás következtében létrejöYN eUHV]WPHWV]HWV]NOpVPLDWWL%RUGD-Carnot veszteség. Az

HO] PHggondolások alapján a 13.9. ábrán felrajzoltuk a fal mellé a nyomásnövekedést

mutató nyilakat, és berajzoltuk a határréteg leYiOiVDIRO\WiQOpWUHM|Y~Qleválási buboré-

kokat és az azok által okozott keUHV]WPHWV]HWV]NOpVHNHW/iWKató, hogy az irányváltás

XWiQLOHYiOiVRNR]KDWMHOHQWVYHVzWHVpJHW$FVtYHNN|Q\|N|NYHV]WHVpJpWNpWIpOHNpSSHQszokták csökkenteni: az átmenetek lekerekítésével ill. az R/d relatív görbület (ld. 13.9. ábra)

Q|YHOpVpYHO YDJ\ WHUHOODSiWRN Dlkalmazásával, amelyekkel naJ\REE UHODWtY J|UEOHW

rész-íveket ill. rész-könyököket hozunk létre.

$ IHQWLHNEHQ iWWHNLQWHWW IRQWRVDEE FVLGRPRNRQ NtYO W|EEPiV LWW QHP WiUJ\DOW YHV]-

teségforrás vaQSO]VDOXNFVHOiJD]iVRNDPHO\HN YHV]WHVpJWpQ\H]LW V]DNN|Q\YHNEO

katalóJXVRNEyOJ\iUWPiQ\LVPHUWHWNEOOHKHWNLYHQQL

Itt jegyezzük meg, hogy a ζYHV]WHVpJWpQ\H]NpVDλFVV~UOyGiVLWpQ\H]V]iPolt vagy

kaWDOyJXVEyOV]DNLURGDORPEyONLYHWWpUWpNHLDYDOyViJRVDONDOPD]iVRNQiOFVDNN|]HOtWHQ

helyesek, hiszen a képletek ill. mért értékek nem veszik figyelembe a súrlódási veszteség-

források egymásrahatását. Belátható, hogy a (13.11) vagy (13.13) összefüggéssel számolt

értékWOHOWpUDQQDNDFVQHNDλFVV~UOyGiVLWpQ\H] MHDPHO\HOWWHJ\KLUWHOHQNHUHV]t-

metszet növekedés (Borda-Carnot átmenet) van, hiszen a λ – legalábbis a kezdeti szakaszon

– függ a FV EHYDOyEHiUDPOiVMHOOHP]LWO8J\DQFVDNQHPN|]|PE|VHJ\FVtYζ veszte-

ségtényez jének értéNHV]HPSRQWMiEyOKRJ\HOWWHHJ\HQHVFVYDJ\HJ\PiVLNFVtYYDQ

(]XWyEELHVHWEHQSOD]LVMHOHQWVHQEHIRO\iVROKDWMDDPiVRGLNFVtYζ veszteségtényez jének értékét, hogy a a két ív U vagy S alakot ír le.

$FVLGRPRNHJ\PiVUDKDWiVDiOWDOiEDQHO UHQHPV]iPROKDWyH]pUWSOFVYH]HWpNHNPpUH-

tezésénél a számítással ill. táblázatok alkalmazásával kapott eredményeket csak közelítés-

QHNWHNLQWKHWMN(]HQW~OPHQHQFVDNV]DEYiQ\RVFViWPpU WYiODV]WKDWXQND]D]iOWDOá-

EDQ HONHOO WpUQQND V]iPtWRWW pUWpNWO$GRWW iWiUDPOy WpUIRJDW HVHWpQ SHGLJ D iUDPOiVL

YHV]WHVpJDFViWPpU N|]HOKDWYiQ\iYDODUiQ\RVWHKiWDWWyOLJHQHU VHQIJJ(]pUWD

WHUYH]pVQpOHJ\UpV]WpVV]HU WDUWDOpNRWSODV]iPtWRWWQiOYDODPLYHOQDJ\REEWHOMHVtWPpQ\

YHQWLOiWRUW pV EHiOOtWiVL V]DEiO\R]iVL OHKHWVpJHW NHOO EHpStWHQQN D UHQGV]HUEH KRJ\ D

számítás pontatlansága miatt szükségessé váló korrekciót a rendszer felépítése után végre

tudjuk hajtani. Vigyázni kell ugyanakkor arra, hogy ez az utólagos beállítás, szabályozás ne

okozzon fölösleges energiaveszteséget. Hibás megoldás például, ha egy óvatosságból na-

gyon túlméretezett ventilátor légszállítását egy csappantyú, (azaz egy többlet súrlódási

veszteség forrás) beiktatásával csökkentjük a kívánt értékre. Ilymódon ugyanis a csappan-

W\~QNHOHWNH]DUHQGV]HUIXQNFLyMDWHNLQWHWpEHQI|O|VOHJHVYHV]WHVpJQ|YHOLDYHQWLOiWRU

hajtásához szükséges energia költségét.



147

gVV]HQ\RPKDWyN|]HJiUDPOiVDFVEHQ

$] HGGLJLHNEHQ IHOWpWHOH]WN KRJ\ D FVYH]HWpNEHQ iUDPOy N|]HJ VU VpJH iOODQGy (z

FVHSSIRO\yVN|]HJHNHVHWpQDV]yEDM|KHWQ\RPiVRNHVHWpQpVDNDYLWiFLyWNL]iUYDJi]RN

esetén pedig az abszolút nyomás 10%-át meg nem haladó nyomásváltozások esetén igen jó

N|]HOtWpV*i]RNKRVV]~FV|YHNEHQW|UWpQiUDPOiVDHVHWpQD]RQEDQHOIRUGXOKDW hogy a

YHV]WHVpJN|YHWNH]WpEHQDQ\RPiVD]DEV]RO~WQ\RPiVKR]NpSHVWMHOHQW VHQFV|NNHQH]]HO

HJ\WWFV|NNHQDVU VpJQDVHEHVVpJ7LSLNXVSpOGiLHQQHND]HVHWQHNDVUtWHWWOHYHJ

YH]HWpNUHQGV]HUHN+RJ\DQNHOOHEEHQD]HVHWEHQV]iPROQLDFVV~UOydási veszteséget?

Tekintsük a 13.10. ábrát, ahol egy L m hosszúságú, D m iWPpU M FVYH]HWpN HJ\

13.10. ábra

szakasza látható. Hanyagoljuk el a súrlódási veszteséghez képest a gáz felgyorsításához

V]NVpJHV Q\RPiVNO|QEVpJHW $ FV G[ KRVV]~ViJ~ V]DNDV]iQ D FVV~UOyGiVL YHV]WHVpJ

miatti nyomásváltozás (nyomáscsökkenés):

− =dp vdx

D

ρλ

2

2

.

$EDOROGDORQDQHJDWtYHO MHOUHD]pUWYDQV]NVpJPHUWDQ\RPiVD][WHQJHO\PHQWpQ

csökken.) Fejezzük ki az átlagsebességet:

vq

Am=

ρ ,

ahol qkg

sm

!

"

$

# D FV EHQ iUDPOy Ji] W|PHJiUDPD AD

=2

4

π D FV NHUHV]WPHWV]HWH $

(13.30) kifejezést (13.29)-be helyettesítve és a gáztörvény ρ =p

R Talakját a ρ kifejezésére

IHOKDV]QiOYDHJ\V]HU VtWpVXWiQDGyGLN

− =dpq R T

p A Ddxm

2

22

λ,

ami szétválasztás és integrálás után a

(13.29)

(13.30)

(13.31)



148

− =I I p dpq R T

A Ddx

p

pm

L

1

2 2

20

2

λ

alakra hozható. A jobb ROGDOLLQWHJUDQGXV]WpQ\H]LU OD7KPpUVpNOHWpVDλFVV~UOyGiVL

WpQ\H]NLYpWHOpYHOEHOiWKDWyKRJ\DFVKRVV]DD][PHQWpQQHPYiOWR]LN$FVIDORQ

NHUHV]WOW|UWpQKiWDGiVPLDWWD]iUDPOyJi]7KPpUVpNOHWHDWDSDV]WDODWV]HULQWDFV

hossz mentéQMyN|]HOtWpVVHOiOODQGy$FV V~UOyGiVLWpQ\H]λ DFVIDOUHODWtYpUGHVVpJpV

a Reynolds-V]iPIJJYpQ\H(O EELDFVKRVV]PHQWpQiOODQGy$5H\QROGV-szám kifeje-

zése a (13.30) felhasználásával átalakítható:

Re = = =v D q D

A

q D

Am m

ν ρ ν µ.

Tekintettel arra, hogy a dinamLNDL YLV]NR]LWiV FVDN D KPpUVpNOHW IJJYpQ\H OG

1.2.fejezet) és T áll≅ . D FVKRVV] PHQWpQ Re .≅ áll és λ ≅ áll. eredményre jutunk. A

(13.31) összefüggés az integrálás után és ρ12 -tel szorozva és osztva:

A gáztörvényt valamint (13.30) összefüggést figyelembe véve írható:

p p p v LD

1

2

2

2

1 1 122 2− = ρ λ

,

DKRODMREEROGDORQIHOLVPHUMND]|VV]HQ\RPKDWDWODQN|]HJHVHWpUHDFVHOHMpQOpYiOOa-

potra vonatkozó ∆p ink' kifejezést, amellyel írható:

p pp p ink

12

22

12

−= ∆ '

+DLVPHUMNDFVHOHMpQD]SRQWEDQDYLV]RQ\RNDWDFVYpJpQDSRQWEDQDQ\RPiVD

(13.33) összefüggéssel kiszámítható.

ÈUDPOiVQ\tOWIHOV]tQFVDWRUQiNEDQ

A 13.11. ábrán egy csatorna látható, amelyben víz fo-

lyik egyenletes sebeséggel (kialakult áramlás), azaz a

FVDWRUQDHVpVHPLDWWDYt]UHKDWyV~O\HU FVDWRUQDLU á-

nyú komponensével éppen egyensúlyt tart a folyadék

iUDPOiViW IpNH] V~UOyGiV /HJ\HQ D] l csatorna-hosszra jutó, a ∆p' iUDPOiVLYHV]WHVpJQHNPHJIHOHOYt]V]LQWPagasságkülönbség ∆h' , ami

p p q R T L

A Dm1

222 2

212

122 2

−=

λ ρ

ρ.

(13.32)

(13.33)

(13.34)

13.11. ábra



149

D]HO]HNV]erint éppen a súrlódási veszteséget fedezi. A nem kör keresztmetV]HWFV|vek

áramlási veszteségére felírt (13.20) összefüggés mindkét oldalát ρg-vel osztva írható:

∆hv

g de

' =2

2

lλ

,

ahol dA

Ke =4

HJ\HQpUWpN iWPpU OG|VV]HIJJpV(VHWQNEHQ$D]iUDPOiVLN e-

UHV]WPHWV]HW.SHGLJD]iUDPOyYt]PHGHUUHOpULQWNH]NHUOHWHOG13.11. ábra). Vezessük

be az ih

=∆ '

l

esést és helyettesítsük be a (13.35) összefüggésbe, majd fejezzük ki az átlag-

sebességet:

v

g d

i C d i ahol C

gee= = =

2 2

λ λ, .

A (13.36) összefüggést Chézy-képletnek szoktuk nevezni. λ = 0 02 0 03. ~ . közötti értékkel

C ≅ 25.

13.7. Alkalmazási példák

A veszteségek számításának bemutatására két feladat megoldását vázoljuk.

Házi vízellátó rendszer szivattyújának kiválasztása

A 13.12. ábrán HJ\N~WOiWKDWyDPHO\EHHJ\V]LYDWW\~KR]FVDWODNR]yFVQ\~OLNEH

13.12. ábra

$V]LYDWW\~XWiQHJ\N|Q\|N|NEOV]HOHSEOpVHJ\HQHVFVV]DNDV]RNEyOiOOyYH]HWpNN ö-

vetkezik, amely egy diffúzoron keresztül csatlakozik a tartályhoz. A tartályban víz van, fe-

lette pedig a p0 NOVQ\RPiVQiOQDJ\REELVPHUW túlnyomás: S W $V]LYDWW\~HOWWLFV

szakasz elején egy lábszelep van, amely megakadályozza, hogy a szivattyú leállása után a

YH]HWpNEODN~WEDYLVV]DIRO\MpNDYt]

(13.35)

(13.36)



151

∆p vdsz

'∑ = +

ρζ λ

22

11

1l

.

ρ ρ ρ ρv

p Uv

p U pny

ny ny ny

222

2 22 2+ + = + + + Σ∆ '

ahol

∆p vd d d d

v v v

ny k sz k k

d D D

'

.

=∑ + + + + + + +

+

+ − − +

ρλ ζ ζ λ ζ λ ζ λ

ηρ ρ

2

12 2

2 22

33

44

55

2 2 2

l l l l

1 6 4 9

A (13.42) összefüggés jobb oldalának utolsó tagja a tartály EDYDOyEHiUDPOiVQiONHOHWNH]

kilépési veszteség.

A (13.39) összefüggés jobb oldalán és a (13.41) összefüggés bal oldalán a szívó és a nyo-

móoldali össznyomást ismerjük fel. Figyelembe kell venni, hogy ; ; = = ,

U U g z zny sz ny sz− = −3 8, U U g h h2 1 2 1− = −1 6, p p1 0= , p p t2 = és miután a Reynolds-

V]iPYDODPHQQ\L FVszakaszban megegyezik, a λ λ λ1 2= = =. .. . . A (13.41) összefüggés

bal oldalából vonjuk ki a (13.39) összefüggés jobb oldalát! Átrendezés után kapjuk:

∆

Σ

p p p p p g h h g z z

v d v v v

ö nyö szö t ny sz

l sz k i d D D

= − = − + − − − +

+ + + + + − − +

0 2 1

2 2 2 22 3 1 2 2

ρ ρ

ρ ζ ζ ζ λ η ρ ρ

1 6 3 8

1 6 4 9l

.

ANRQWLQXLWiVW|UYpQ\pEO v d v DD2 2= . A λ FVV~UOyGiVLWpQ\H]W a Reynolds-szám

Re =v d

νNLV]iPtWiVDXWiQDQQDNpUWpNpWOIJJHn a (13.11) vagy a (13.13) összefüggéssel

KDWiUR]KDWMXNPHJKDDFVKLGUDXOLNDLODJVLPD+DQHPDNNRUWiEOi]DWRWYDJ\GLDJUDPRW

használunk a λ meghatározására.

$ pV |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\a szivattyú szállítómagassága a tar-

tályban OpYQ\RPiVpVDNOVQ\RPiVNO|QEVpJpQHNYDODPLQWDPDJDVViJNO|Qb-VpJQHNDOHJ\]pVpUHIRUGtWyGLNpVIHGH]LD]|VV]HViUDPOiVLYHV]WHVpJHWA hálózati tel-

jesítményigény a PP

hálh

sz m

=η η

|VV]HIJJpVEOV]iPROKDWyDKROD]ηsz és ηm a szivattyú

és az azt hajtó motor hatásfoka.

ÈUDPOiVWDUWiO\RNDW|VV]HN|WFVEHQ

$]HO]IHODGDWQiODFViWPpU MHpVDFV EHQiUDPOyWpUIRJDWiUDPDGRWWYROWtJ\D]iUDP -

OiVLVHEHVVpJDFV EHQLVPHUWYROW(]]HODVHEHVVpJJHOV]iPROKDWWXND5H\QROGV -számot,aminek ismerete szükséges vROWDFVV~UOyGiVLWpQ\H]PHJKDWiUR]iViKR]0LDWHHQGKD

(13.40)

(13.41)

(13.42)

(13.43)



152

az áramlási sebesség az ismeretlen? A 13.13. ábrán két tartály látható,

l

13.13. ábra

amelyeket egy ismert d iWPpU M és l hosszúságú FVN|W|VV]H$FV EHQWROy]iUYDQ

amelynek ismerjük a ζ t vHV]WHVpJWpQ\H] MpW. Mekkora az egyik tartályból a másikba

áramló qm

sv

3!

"$# térfogatáram KD HOKDQ\DJROMXN D WDUWiO\RNEDQ OpY Yt]IHOV]tQ VOO\H-

dését ill. emelkedését. Írjuk fel a (13.2) veszteséges Bernoulli-egyenletet a tartályokIHOV]tQpQOpYpVSRQWN|]|WW!

ρ ρ ρ ρv

p Uv

p U p12

1 122

2 22 2+ + = + + + Σ∆ '

.

Miután p p és p pt1 2 0= = , U g z= és z2 0= , z H1 = , v v1 2 0= = és a

Σ∆p vdsz be t' = + + +

ρζ ζ λ

212 l

, ahol ζ -0

a belépési veszteség. Mindezeket figyelembe

véve kapjuk:

p p g H vdt be t− + = + + +

0

2

21ρ

ρζ ζ λ

lDPLEONLIHMH]KHWDYVHEHVVpJ

vp p g H

d

t

be t

=− +

+ + +

2

1

0

ρ

ρ

ζ ζ λ1 6 l .

A (13.45) összefüggésben a λ NLYpWHOpYHO PLQGHQ LVPHUW $ FVV~UOyGiVL WpQ\H]

számításához viszont ismernünk kell a Reynolds-számot, ahhoz pedig a sebességet. Látjuk,hogy a feladat iterációval oldható meg (QQHN PHJN|QQ\tWpVH pUGHNpEHQ FpOV]HU D]

ismert mennyiségeket behelyettesíteni, kiszámolni és a (13.45) összefüggést az alábbi

alakban felírni:

vA

B C=

+ λ .

$PHJROGiVHOVOpSpVHNpQWYHJ\NIHO λ ' .= 0 02 értéket. ( A ’-k száma az iterációs lépések

VRUV]iPiWMHO]L7HWV]OHJHVHQIHOYHKHWQNPiVλ ' − t is, a számítás igen gyorsan konvergál.

λ ' − t behelyettesítve (13.46) összefüggésbe megkapjuk v t' − , ezzel kiszámolható

(13.44)

(13.45)

(13.46)



153

Re''

=v d

νértéke. Ha Re' < 2300, akkor a (13.11) összefüggéssel kiszámolhatjuk λ ' ' − t . Ha

Re' ≥ 2300DNNRUDFVIDOpUGHVVpJpQHNIJJYpQ\pEHQWiEOi]DWEyOYDJ\GLDJUDPEyOYHsz-

szük ki a λ ' ' pUWpNpW YDJ\ KLGUDXOLNDLODJVLPDFV HVHWpQ D |VV]HIJJpVEOV]i-

mítjuk ki. A λ ' ' LVPHUHWpEHQHOOU ONH]GMNDIHQWLV]iPtWiVWPLQGDGGLJDPtJNpWHJ\PiV

utáni iterációs lépésben kapott λ érték közötti különbség nem halad meg egy általunk fel-

vett értéket. Az iteráció eredményeként kapott v sebesség ismeretében a q vd

v =2

4

π

összefüggéssel számoljuk ki az egyik tartályból a másikba áramló térfogatáramot.



155

(ld. (8.8) összefüggés): − + = − −I I P P Rx1 2 1 2 D] HO]HN DODSMiQ Rx = 0 adódik.

Eredményként azt kaptuk, hogyV~UOyGiVPHQWHVN|]HJEHQHOKHO\H]HWWWHVWUHQHPKDWHU

9DOyViJRViUDPOiVHVHWpQDWHVWN|]HOpEHQOpYiUDPvonalak mentén a Bernoulli-összeg a

súrlódás következtében csökken, ezért a test mögött egy áramlási nyom keletkezik,amelyben a sebesség (és elvileg a nyomás is) eltér a zavartalantól (ld. 14.1. ábra $MHOJ|r-

be). A WHVWUHKDWyHUUH tehát nemcsak a testIHOOHWpQNHOHWNH]Q\RPiV- és csúsztatófe-

szültség megoszlásból, hanem DWHVWP|J|WWLQ\RPMHOOHP]LEOLVOHKHWN|YHWNH]WHWQL

+DDQ\RPEDQMHOHQWVDÄVHEHVVpJKLiQ\´YDJ\KDDWHVWP|J|WWD]DYDUWDODQVHEHVVpJJHO

SiUKX]DPRVWHQJHO\|UYpQ\HNNHOHWNH]QHk, amelyekben a statikus nyomás lecsökken, ak-

NRUYiUKDWyDQQDJ\OHV]DWHVWUHKDWyKR]]iiUDPOiVVDOSiUKX]DPRVHU ,O\HQ|UYpQ\HNYi-

]HV ~WRQ KDODGy DXWyN P|J|WW ILJ\HOKHWN PHJ +D D WHVW P|J|WW D Q\RPEDQ D

sebességvekWRURN LUiQ\D HOWpU D WHVW HOWWL iU amlási iránytól, akkor a hozzááramlási

sebességre merOHJHVWHVWUHKDWyHU NRPSRQHQVVHONHOOV]iPROQXQN

$KHQJHUUHKDWyiUDPOiVLHU

Egy l m hosszúságú, d m iWPpU MN|UKHQJHUUHKDWyD]DYDUWDODQKR]]iiUDPOiVLVHEHs-

séggel, Y∞ -nel párhuzamos F Ne ellenálliVHU pVD]D]WEHIRO\iVROyPHQQ\LVpJHNNDSFV o-

latát az f F v de , , , , ,∞ =ρ µ l1 6 0 függvénykapcsolat határozza meg.

Alkalmazva a dimenzióanalízist (ld. 13.2.fejezet) 6-3=3 független dimenziótlan csoport ha-

tározható meg:

Π

= cF

v de

e=

∞

ρ

22

l

HOOHQiOOiVWpQ\H]

Π

= Re = ∞v d

νReynolds-szám,

Π3 =l

drelatív hossz.

6]RUtWNR]]XQNHOV]|UDN|UKHQJHUN|UOLsíkáramlásraDKRODKHQJHUWHQJHO\pUHPHU OHJHV

valamennyi síkban azonos az áramkép. (Ilyen áramkép Π3 = = ∞l

d-hez tartozik) Ezeket a

szakirodalomban „kétdimenziós” (2D) áramlásnak nevezik, megkülönböztetve azokat a

térbeli (3D) áramlásoktól. Ebben az esetben a Π Π1 2= f 1 6 azaz a c f e = Re1 6 függvény

meghatározása a feladatunk. Ábrázoljuk e kísérlet útján meghatározott függvénykapcsolatot

kétszer logaritmikus diagramban (ld. 14.2. ábra).

(14.1)

(14.2)

(14.3)



160

korláWR]RWWUpV]pQILJ\HOKHWPHJpVD WHVWP|J|WWNLDODNXOyiUDPOiVLQ\RPLVYLV]RQ\ODJ

kis keUHV]WPHWV]HW7RPSDWHVWHNDKi]DNDWRUQ\RND]DXWyNPtJiUDPYRQDODVWHVWHNSO

a re SOJpSHNpVDKDMyNYt]EHPHUOUpV]HL

Jellegzetes áramvonalas test a 14.5. ábrán látható szárny

LV DPHO\QHN QDJ\ MHOHQWVpJH YDQ D UHSOpVEHQ pV D]

áramlástechnikai gépekben is. Az impulzustétel tárgyalá-

sánál már levezettük a Kutta-Zsukovszkij tételt (ld.

8.3.fejezet, (8.24) összefüggés), amely szerint súrlódás-

mentes közeg esetén a szárny egységnyi hosszúságú sza-

NDV]iUDKDWyHU D] R vN

m=

!

"$#

∞ρ Γ összefüggéssel számolható, ahol vm

s∞

!

"$#

a szárnytól

távoli zavartalan áramlási sebesség, Γ m

s

2

!

"

$# pedig a szárny körüli cirkuláció. A leveze-

WpVEOD]LVDGyGRWWKRJ\DV]iUQ\UDKDWy R HU PHU OHJHVDv∞ sebesség vektorra. Való-

sáJRVV~UOyGiVRVN|]HJEHQDV]iUQ\UDKDWyHU NpWNRmponensre bontható: a zavartalan

(megfúvási) sebességUHPHUOHJHV F Ne IHOKDMWyHUUH (ami megfelel a súrlódásmentes

esetre levezetett RN

m!

"$#

és az l m szárny-hossz szorzatának) és a v∞ -nel párhuzamos

F Ne elOHQiOOiVHUUH$|VV]HIJJpVVHODQDOyJPyGRQEHYH]HWKHWDV]iUQ\UDYo-

natkozó IHOKDMWyHUWpQ\H]pVHOOHQiOOiVWpQ\H]:

cF

v Af

f =

∞

ρ

22

cF

v Ae

e=

∞

ρ

22

Amíg az eddig tiUJ\DOWWRPSDWHVWHNQpOD]HU WpQ\H]NLIHMH]pVpQHNQHYH] MpEHQOpYMHl-

OHP]IHOOHWDWHVW]DYDUWDODQiUDPOiVUDPHU OHJHVOHJQDJ\REENHUHV]WPHWV]HWHYROWDGGLJ

DV]iUQ\DNQiOH]DMHOOHP]IHOOHWD]DODSWHUOHWDV]iUQ\h m húrhosszának és a szárny

l m hosszának a szorzata: A h= l

'HILQLiOKDWyWRYiEEiD]iUDPOiVLHU NQHNDV]iUQ\HJ\DGRWWSOD3 -vel jelölt) pontjára vett

nyomatéka: M N m , valamint a .

Q\RPDWpNLWpQ\H]. (P az ábrán az orrpont):

cM

v A hM =

∞

ρ

2

2

14.5. ábra

(14.5)

(14.6)

(14.7)



162

$V]iUQ\DNMHOOHP]DGDWDDsiklószámDPHO\DIHOKDMWyHU WpQ\H]pVD]HOOHQiOOiVWpQ\H]

hányadosa:c

cf

e

(J\YLWRUOi]yUHSOJpSVLNOyV]iPDPHJDGMDKRJ\KiQ\PpWHUWWHV]PHJ

a gép vízszintesen siklásban, miközben 1 métert süllyed.) A siklószám általában 10 és 50

N|]pHVLN$V]iUQ\DNDWH]DWXODMGRQViJXNWHV]LLJHQpUWpNHVVpDGRWWHOOHQiOOiVHU ÄiUiQ”DQQDNVRNV]RURViWNLWHYIHOKDMWyHU NHOHWNH]LNUDMWXN

+DViEUDKDWyiUDPOiVLHU

Tekintsük a 14.7. ábrát, ahol egy t m élhosszúságú négyzet alapú,

l m hosszúságú hasáb látható, amelyet hossztengelyével párhuzamos

áramlásba helyezünk. A hDViEUDKDWy HOOHQiOOiVHU DKRPORNIDORQ

pVDKiWIDORQNHOHWNH]Q\RPiVPHJRV]OiVEyOpVD]ROGDOIDODNRQN e-

letNH]FV~V]WDWyIHV]OWVpJEOWHYGLN|VV]H

c c ct

ce pf pb f = − + 4l

'.

$]|VV]HIJJpVMREEROGDOiQV]HUHSOHOVNpWWDJKDVRQOyPHJIRQWROiVRNDODSMiQDGyGRWW

mint a |VV]HIJJpV D] XWROVy WDJ SHGLJ D] ROGDOIDODNRQ NHOHWNH]

csúsztatófeszültséJHNEOV]iUPD]yWHQJHO\LUiQ\~HU WIHMH]LNLOG|VV]HIJJpV$

KDViE N|UO WpUEHOL ' iUDPOiV DODNXO NL DPHO\QHN HJ\LN MHOOHP] MH D KRPORNIDO pOHV

kerületén (a EHOpSpOHQNHOHWNH]KDWiUUpWHJOHYiOiVpVD]HQQHNN|YHWNH]WpEHQDEHOpSpO

mögötti oldalfalszakasz mellett kialakuló leválási buborék.

9L]VJiOMXN PHJ KRJ\ KRJ\DQ IJJ D KDViE HOOHQiOOiVWpQ\H] MH D] l hosszúságtól! A

mérések szerint l t = 0 (négyzet alakú síklap) és l t = 5 esetén a ce értéke rendre 1.1 és

0.8. Látjuk, hogy a hasáb hosszának növekedése esetén a c e MHOHQWVHQFV|NNHQSHGLJD

(14.8) összeIJJpV V]HULQW Q|YHNY KRVV] HVHWpQ D] ROGDOIDOL FV~V]WDWyIHV]OWVpJEO

V]iUPD]yHU HJ\UHQDJ\REE8J\DQDNNRUEHOiW ható, hogy a hasáb hosszának növelése nembefolyásolhatja lényegesen a cpf átlagos homlokfali túlnyomás értéket. A ce csökkenését

tehát a hátfali nyomás növekedése okozhatja.

A hasáb hátfala leválási buborékban van, amelynek két tulajdonságát emeljük ki:

− a leválási buborékban a sebességek viszonylag kicsinyek, a v ∞ 20%-át általában nem

haladják meg, ezért DQ\RPiVDOHYiOiVLEXERUpNEDQQHPYiOWR]LNMHOHQW VHQ;

l

14.7. ábra

(14.8)



163

− D OHYiOiVL EXERUpNEDQ OpY N|]HO iOODQGy Q\RPiVW D KDWiUUpWHJ-OHYiOiV KHO\pQ OpY

nyomás határozza meg. Jól használható tapasztalat:

minél nagyobb a v∞ ésDOHYiOiVKHO\HN|]HOpEHQOpY

határrétegen kivüli áramlási sebesség-vektor között be-

zárt szög, (β ϕ= 2 ld. 14.8. ábra) annál kisebb a nyo-

más a leválási buborékban, tehát annál nagyobb az

HOOHQiOOiVWpQ\H]

Ezekkel az ismeretekkel megmagyarázható a ce csökkenése. Ha a hasáb rövid, akkor

hátfaODDEEDQDOHYiOiVLEXERUpNEDQYDQDPLDEHOpSpOHNP|J|WWNHOHWNH]LN0LXWiQLWWD

leválás helyéhez közeli, határrétegen kívüli sebesség jó közelítéssel 90°-os szöget zár be a

v∞ -nel, a leválási buborékban viszonylag nagy depresszió van. Emiatt a (14.8) kifejezésben

léY cpb viszonylag nagy negatív érték, a c e SHGLJQDJ\+DDKDViEKRVV]iWHOHJHQGHQ

megnövel MNDEHOpSpOQpONHOHWNH]OHYiOiVLEXERUpND]ROGDOIDORQEHIHMH]GLNa levált

határréteg visszafekszik pV D KiWIDODW N|UOYHY ~Q NLOpSpOHQ NHOHWNH]LN D KiWIDO

mögötti leválási buborékot létrehozó határréteg-leválás. Itt azonban a határrétegen kívüli

sebesség és a v∞ kö]|WW EH]iUW V]|J D] HO]QpO MyYDO NLVHEE β ≈ °0 , tehát a nyomás

nagyobb, mintD]HO]HVHWEHQ7RYiEEQ|YHOKHWDKiWIDOLQ\RPiVD]D]FV|NNHQWKHWce )

a β szög további csökkentésével, azaz a hasáb hátsó részének „összehúzásával”.

$KDViEUDKDWyHOOHQiOOiVHUMHOHQW

VUpV]pWWHV]LNLDKRPORNIDORQNHOHWNH]

W~OQ\R-

másból származó HU. A nyomás a Bernoulli egyenlet értelmében az áramlási sebesség

Q|YHOpVpYHO FV|NNHQWKHW(]DKRPORNIDODW N|UOYHY pOHN 14.9. ábrán látható lekere-

kítésével pUKHW HO $ KRPORNIDO N|]pSV UpV]pQ NHOHWNH] W~OQ\RPiVEyO V]iUPD]y

ellenálOiVHU WWHOMHV egészében is képes ellensúlyozni a homlokfal kerületén, a lekerekítés

helyén keOHWNH]GHSUHVV]Ly$]iUDPOiVKLGURJpQEXERUpNRNNDOW|UWpQ OiWKDWyYiWpWHOpYHO

NDSRWW iUDPNpSHQ D]ROGDOIDOPHOOHWW NHOHWNH] OHYiOiVL EXERUpNPXWDWMD KRJ\ HEEHQD]

esetben DKRPORNIDOUDKDWyHU QHP]pUXV

14.9. ábra

$] HO]HNEHQ WiUJ\DOW l t = 5 KRVV]~ViJ~ KDViE HOOHQiOOiVWpQ\H] MpW NE QHJ\HGpUH

c = 0.2e pUWpNUH OHKHW FV|NNHQWHQL D KRPORNIDOEHOpSpOHLQHNPHJIHOHO PpUWpN OHNHUH-

kítésével.

β

14.8. ábra



165

Írjuk fel a ρI VU VpJN|]HJEHQVOO\HGρ S VU VpJSRUV]HPFVpUHKDWyHU NHJ\HQVú-

lyát:

dg d wp

p f p s

3

6

3π

ρ ρ π µ− =! & ,

DPLEOD süllyedési sebesség:

wd g

sp p f

=−2

18

ρ ρ

µ

! &.

+DDN|]HJOHYHJDNNRUρf elhanyagolható ρp mellett. Pl. Egy d mp = 5µ iWPpU MFe-

PHQWV]HPFVHVOO\HGpVLVHEHVVpJHOHYHJ EHQPPVDRep értéke pedig 7 10 4. − .

(14.11)



167

A (15.1) kifejezés bal oldalán a gondolatban elhatárolt, V térfogatú gázrész mozgási és bel-

VHQHUJLiMiQDNLGV]HULQWLGLIIHUHQFLiOKiQ\DGRVDD]D]HJ\PiVRGSHUFUHMXWyPHJYiOWR]á-

VDYDQDPHO\HJ\HQODQ\RPiViOWDOD]$IHOOHWHQPiVRGSHUFHQNpQWYpJ]HWWPXQNiYDO

(−p dA D]HOHPLIHOOHWUHKDWyHU HQQHN v sebességgel való szorzata a teljesítményt ad-

ja.) A (15.1) összefüggés bal oldalára vonatkozóan írható:

d

dt

vc T dV

t

vc T dV

vc T dVv

Vt

v

V t t

v

V t

2

0

2 2

2

1

2 2+

= +

− +

!

"

$##I I I →

+

ρ ρ ρlim∆

∆∆ 1 6 1 6

$MREEROGDOiQOpYV]|JOHWHV]iUyMHOEHQD15.1. ábrán + és – jellel jelölt térfogatok-

EDQOpYJáztömeg energiájának különbsége van, (hiszen – miután stacionárius áramlást té-

telezünk fel – a közös rész energiája kiesik), amit az impulzustétel levezetésénél (ld.8.1.fejezet) alkalmazott módszer felhasználásával az alábbi módon írhatunk fel:

d

dt

vc T dV

vc T v dAv

V

v

A

2 2

2 2+

= +

I I ρ ρ .

A (15.1) összefüggés jobb oldalán ρ-val szorozva és osztva:

vc T v dA

pv dA

vA A

2

2+

= −

I I ρ

ρρ .

Bal oldalra rendezve az integrálokat és kihasználva, hogy az integrálási tartomány meg-

egyezik:

vc T

pv dA

vc T v dAv

A

p

A

2 2

2 20+ +

= +

=I I ρρ ρ

.

A (15.3) kifejezés felírásakor figyelembe vettük, hogy

c Tp

h c Tv p+ = =ρ ,

ahol h [J/kg] az entalpia és cp [J/kg/K] az iOODQGyQ\RPiVRQYHWWIDMK.

(15.2)

(15.3)

(15.4)



168

Alkalmazzuk a Gauss-Osztrogradszkij-tételt a (15.3) kifejezés felületi integráljára:

YF 7 Y G $ GLY

YF 7 Y G9

JUDG Y F 7 Y Y F 7 GLY Y G9

S

$

S

9

S S

9

+

= +

!

"

$##

=

= + + +

!

"$##

=

I I

I

ρ ρ

ρ ρ1 6

A folytonosság (3.6) összefüggése értelmében div vt

ρ∂ρ

∂1 6 = − és miután az áramlás stacio-

nárius∂ρ

∂t= 0. Ennek figyelembe vételével a (15.5) összefüggés:

gradv

c T v dVp

V

2

20+

=I ρ

alakra hozható.

$] LQWHJUiO WHWV]OHJHV 9 WpUIRJDW HVHWpQ DNNRU ]pUXV KD D] LQWHJUDQGXV] ]pUXV $]

integrandusz akkor zérus, hav

c Tp

2

2+

az egész térben állandó, vagy ha változik, a

gradv

c Tp

2

2+

PHU OHJHV D Y sebességvektorra, azaz av

c Tp

2

2+

egy áramvonal

mentén állandó.

$]HQHUJLDHJ\HQOHWV~UOyGiVPHQWHVKV]LJHWHOWN|]HJVWDFLRQiULXViUDPOiVDHVHWpQD]W

fejezi ki, hogy a gáz kinetikai energiájának és az entalpiájának összege az áramvonal

mentén állandó:

vc T állp

2

2+ = .

Osszuk végig a (15.7) egyenletet cp -vel:

Tv

cT áll

pö+ = =

2

2.

ahol T (vagy Tst ) [K] a VWDWLNXVKPpUVpNOHW, Tv

cKd

p

=2

2[ ] a GLQDPLNXVKPpUVpNOHWD

NHWW|VV]HJHSHGLJDT Kö [ ]|VV]KPpUVpNOHW

Az energiaegyenlet (15.8) alakja tehát úgy is megfogalmazható, hogy súrlódásmentes, h

szigetelt közeg stacionárius áramlása esetén áramvonDORQD]|VV]KPpUVpNOHWiOODQGy.

(15.5)

(15.6)

(15.7)

(15.8)



169

Alkalmazzuk az energiaegyenletet egy tartálybólNLiUDPOyOHYHJVXJiUUDOG15.2. ábra).

$WDUWiO\EDQDKPpUVpNOHWT0 DOHYHJVHEHVVpJH]pUXV

+HO\H]]QN HO D OHYHJVXJiUEDQ HJ\ ~Q torlySRQWKPpUW,

DPHOO\HODPHJiOOtWRWWOHYHJKPpUVpNOHWHD7 . W > @ torlópont-KPpUVpNOHWPpUKHWËUMXNIHOD]HQHUJLDHJ\HQOHWDODNMiW

DWDUWiO\EDQOpYpVDWRUOySRQWKPpU EHQOpYWSRQWN|]|WWD

0 és a t pont egy áramvonalon van):

7Y

F7

Y

F SW

W

S

+ = + .

Miután Y Y W = = , adódik, hogy 7 7W = , azaz a WRUOySRQWKPpUDWDUWiO\KPpUVpNOe-

tet méri.+DSODWRUOySRQWKPpU WOHYHJPVVHEHVVpJiUDPOiViEDKHO\H]]ND]D]

iUDPOyOHYHJVWDWLNXVKPpUVpNOHWpQpO. -QHOQDJ\REEKPpUVpNOHWHWPpUKLV]HQDOe-

YHJ F - NJ . S = állandó nyRPiVRQ YHWW IDMK MpYHO V]iPROYD 7G = .

(LeveJHVHWpQDGLQDPLNXVKPpUVpNOHW7 YG = $ kifejezéssel számítható.)

15.2. A Bernoulli-egyenlet összenyomható gázokra

Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet (4.29) alakját áramvonal mentén, súrlódásmentes és h

szigetelt közeg staFLRQiULXViUDPOiViUDDWpUHUVVpJKDWiViQDNHOKDQ\DJROiViYDO0Lu-

WiQ V~UOyGiVPHQWHV pV KV]LJHWHOW D N|]HJ D EHQQH OHMiWV]yGy IRO\DPDWRN L]HQW-

ropikusak. ,]HQWURSLNXViOODSRWYiOWR]iVHVHWpQDVU VpJpVQ\RPiVNDSFVRODWiUDIHQnáll:

SiOO

S

ρ ρκ κ

= =

ahol κ =F

F

S

Y

azaz aVU VpJFVDNDQ\RPiVIJJYpQ\HNpQWLVNLIHMH]KHW (]WLVILJ\HOHPEH

véve (ld. 4.4.fejezet) a Bernoulli-egyenlet:

v v dp

pp

p22

12

21

2−

= − 1 ρ $

alakban írható fel.

15.2. ábra

(15.9)

(15.10)

(15.11)



170

Kifejezve ρ − W D |VV]HIJJpVEO pV EHKHO\HWWHVtWYH D |VV]HIJJpV MREE

oldalába

Y Y S GS

S

S S

S S S

S

S

S

S

S

−= − = −

−

=

=−

−

!

"

$

###

−

− −I

κ

κ

κ κ

κ

κ

κ κ

κ

ρ

κ

κ ρ

κ

κ ρ

A (15.12) összefüggés rendezése után eljutottunk a végeredményhez:

Y YS S

S

= +

−−

!

"

$

##

#

−

κ

κ ρ

κ

κ

Legyen adva egy áramvonalon az 1 és a 2 pont. Tételezzük fel, hogy az áramlás stacioná-

ULXVV~UOyGiVPHQWHVpVQLQFVK YH]HWpV/HJ\HQLVPHUWD]SRQWEDQD sebesség, a p1

nyomás és a T1 KPpUVpNOHW+RJ\DQKDWiUR]]XNPHJD]iUDPOyN|]HJMHOOHP]LWDSRQt-

ban, ahol ismerjük a p2 Q\RPiVW"$V~UOyGiVPHQWHVVpJpVDKV]LJHWHOWVpJIHOWpWHOpEODGó-

dik, hogy az áramló gázban az 1 és 2 pont között lejátszódó állapotváltozás izentrop, azaz a

Q\RPiV pV D VU VpJ NDSFVolatára a (15.10) összefüggés, a sebességekre a Bernoulli-

egyenlet alapján kapott (15.13) összefüggés érvényes. Ezért ez utóbbi kifejezésben p1

1ρ he-

lyett a gáztörvény alapján 57-HWtUYDDSRQWEDQOpYVHEHVVpJUHtUKDWy

v v RTp

p2 12

12

1

1

2

11= +

−−

!

"

$

###

−

κ

κ

κ

κ

$]SRQWEDQpUYpQ\HVVU VpJHWDJi]W|UYpQ\EOV]iPtWKDWMXN

ρ11

1

=p

R T.

A gáztörvény és az izentropikus állapotváltozást leíró (15.10) kifejezés felhasználásával

meghatározható a KPpUVpNOHWYLV]RQ\:

p

p

p T R

R T p2

1

2

1

2 1

2 1

= = ⇒ρ

ρ

κ

κ

κ κ κ

κ κ κ

T

T

p

p2

1

2

1

1

=

−κ

κ

(15.12)

(15.13)

(15.14)

(15.15)



171

A nyomásviszonyból a VUVpJYLV]RQ\DNLIHMH]pVDODSMiQNLIHMH]KHW

ρ

ρ

κ 2

1

2

1

1

=

p

p .

$pVNLIHMH]pVHNEODVUVpJYLV]RQ\pVDKPpUVpNOHWYLV]RQ\NDSFVROa-

ta határozható meg:

ρ

ρ

κ 2

1

2

1

1

1=

−T

T .

Helyettesítsük be a (15.13) összefüggésbe ismét az RT1 kifejezést és a (15.15) összefüg-

gést! Eredményül kapjuk:

v v R TT

T22

12

12

1

2

11= +

−−

!

"$#

κ

κ .

Miután2

12

κ

κ κ

Rc a

c

cpp

v−= = felhasználásával, T1-gyel való beszorzás után a

v v c T Tp22

12

1 22= + −1 6

NLIHMH]pVDGyGLNDPLEOiWDODNtWiVXWiQD]HQHUJLDHJ\HQOHWOHYH]HWpVpQpONDSRWW|sz-

szeIJJpVVHOPHJHJ\H]NLIHMH]pVQ\HUKHW

c Tv

c Tv

p p112

222

2 2+ = +

Ha a gáz tartályból áramlik ki izentrópikusan, akkor a (15.14|VV]HIJJpVEOY1=0 fi-

gyelembe vételével a kiáramlási sebességre a

v R Tp

pte

t

=−

−

!

"

$

###

−

2

11

1κ

κ

κ κ

ún. izentrópikus kiömlési képletet kapjuk, ahol a ’t’ index a tartályra utal, az pe pedig az

u.n.HOOHQQ\RPiVDWDUWiO\EyONLiUDPOyJi]VXJiUEDQOpYQ\RPiV.

(15.16)

(15.17)

(15.18)

(15.19)

(15.20)



172

15.3. A hang terjedési sebessége

A

A e

A e

15.3. ábra

A 15.3. ábrán egy csövet látunk, amelynek a bal oldali végére egy gumihártyát (membránt)

HU VtWQN$FV EHQYDOyViJRV|VV]HQ\RPKDWyJi]SOOHYHJ YDQ+DHKiUW\iUDUiWQN

DNNRUDKiUW\DHOPR]GXOiViQDNHOV GWLGWDUWDPDDODWWD]DKKR]OHJN|]HOHEEOpYOHYHJU é-

V]HNGYVHEHVVpJPR]JiVEDM|QQHNDOHYHJQ\RPiVDVU VpJHHOHPLPpUWpNEHQPHJQ

Belátható, hogy a gázállapot és -VHEHVVpJQHPHJ\V]HUUHYiOWR]LNPHJD]HJpV]FV EHQKa-

QHPHJ\DGRWW[NRRUGLQiWiQiOOpY NHUHV]WPHWV]HWEHQDNNRUYiOWR]QDNPHJHMHOOHP] NKD

a jobbra a m s / terjedési sebességgel mozgó hullám az adott keresztmetszetet eléri (ld.

15.3. ábra). AKDQJHOHPLQHNWHNLQWKHWQ\RPiVKXOOiPRNVRUR]DWD ezért a tárgyalt hul-

lám terjedési sebessége a hang terjedési sebességével egyezik meg, amit a-val a m s= / 2 7

jelölünk.

Határozzuk meg az impulzustétel segítségével, hogy milyen sebességgel halad a nyomás-

hullám. Vegyük fel az A e HOOHQU]IHOOHWHWD]iEUiQOiWKDWyPyGRQ$NNRUWHNLQWKHWD]

áramlás stacionáriusnak, ha az elleQU]IHOOHWMREEUDPR]RJDKXOOiP a m s / sebességé-

YHOPHJHJ\H]VHEHVVpJJHO(]HVHWEHQD]HOOHQU]IHOOHWEHMREEROGDORQ a m s / sebes-

séggel lép be a ρVU VpJN|]HJpVEDOROGDORQD ρ ρ+ d VU VpJJi]D-dv sebességgel

lép ki, hiszen a hulláPGYVHEHVVpJiUDPOiVWKR]OpWUH$ 15.3. ábrán felvitt I és P vekto-

rok egyensúlyát felírva adódik: I I P P1 2 2 1− = − , azaz

ρ ρ ρa A d a dv A p dp A pA2 2− + − = + −1 61 6 1 6 ,

DPLEODNLMHO|OWPYHOHWHNHOYpJ]pVHpVHJ\V]HU VtWpVHNYDODPLQWDPiVRG- és harmadren-

den kicsiny tagok elhagyása után a

2 2a dv a d dpρ ρ− = (15.21)



173

összefüggést kapjuk. Írjuk fel a folytonosság tételét: a dv d a− + =1 61 6ρ ρ ρ DPLEO

ρ ρdv a d= (]WEHKHO\HWWHVtWYHDNLIHMH]pVEDOROGDOLHOVWDJMiEDD] a d dp2 ρ =

ösV]HIJJpVUHMXWXQNDPLEOa hullám terjedési sebessége, a hangsebesség:

adp

d=

ρ

A (15.22) összefüggés teljesen általánosan írja le az elemi hullám terjedési sebességét egy

álló, összenyomható közegben, amire vonatkozóan eddig semmilyen kikötést nem tettünk.

*i]EDQ D] HOHPL KXOOiPRN WHUMHGpVHNRU EHN|YHWNH] iOODSRWYiOWR]iV My N|]HOtWpVVHO

izentropikus. Miután ez esetben a (15.10) alapján

S

S GS

G

S

= =

−

ρ ρ ρ ρ κ ρκ

κ

κ

κ

, amibe behelyettesítve a (15.10) összefüggést

és a gáztörvényt,

dp

dρ= a R T= κ

kifejezés adódik a hang terjedési sebességére.

)LJ\HOHPUHPpOWyKRJ\DKXOOiPWHUMHGpVLVHEHVVpJHHJ\DGRWWJi]EDQFVDNDKPpUVpNOHt-WOIJJ7HNLQWHWWHODUUDKRJ\YDOyViJRVJi]RNUHQGH]HWOHQKPR]JiVWYpJ]PROHNXOiL

ÄWRYiEEtWMiNDMHOHW´LO\HQMHOOHKHWD]KRJ\DFVYpJpQOpYKiUW\DPR]JiVDHUHGPpQ\e-

NpQWDJi]PROHNXOiNRQYpJ]HWWPXQNDUpYpQPHJNHOOQQLHD]RNÄUHQGH]HWW´YpVUHQGe-

zetlen sebességének (D]D]KPpUVpNOHWpQHNpVQ\RPiViQDN(PHJIRQWROiVpUWKHW YpWHV]L

KRJ\PLpUWDFVDNDJi]KPpUVpNOHWpWOD]D]DJi]PROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVe-

bességéWOIJJDKDQJWHUMHGpVLVHEHVVpJH

15.4. Áramlások hasonlósága összenyomható közegek eseténA 12. fejezetben foglalkoztunk az áramlások hasonlóságával és megállapítottuk, hogy két

áramlás hasonló, ha az azokat leíró dimenziótlan differenciálegyenletek azonosak, és a

SHUHPIHOWpWHOHNLVPHJHJ\H]QHNDGLPHQ]LyWODQKHO\pVLG NRRUGLQiWiNEDQ A 12. fe-

jezetben az összenyomhatatlan közegek áramlására határoztuk meg a hasonlóság feltételeit,

hiszen a Navier-Stokes-egyenlet ρ = áll. esetén érvényes. Ebben a fejezetben összenyomha-

tó gázok áramlására vonatkozóan határozzuk meg a hasonlóság további feltételeit.

A (12.2) összefüggés jobb oldalának második tagját a differenciálegyenletet a 12. fejezet- EHQOHtUWDNWyOHOWpU HQGLPHQ]LyWODQtWMXN–ILJ\HOHPEHYpYHKRJ\DVU VpJLVYiOWR]LN

(15.22)

(15.23)



174

− =

1 10

02

0

0

0

0

0 02ρ

∂

∂ ρ

ρ

∂

∂ρ

p

x

l

v

pp

xl

p

v .

A differenciálegyenlet azonosságának feltétele tehát az

Eup

v= 0

0 02ρ

Euler-szám azonossága a kismintánál és a nagy kivitelnél.

A (15.6) összefüggés alapján a

vgrad v c Tp2

20+

=

alakban is felírható az energiaegyenlet. Ha kifejtjük a (15.26) összefüggést, a

vx

vc T v

y

vc T v

z

vc Tx p y p z p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2 2 2

2 2 20+

+ +

+ +

=

adódik az energiaegyenletre. Dimenziótlanítsuk a (15.27) összefüggéstl0

0

3

v

-nel végig-

szorozva az egyenletet:

v

v x

v

v

v

v

v

v

c T

v

T

Tx x y z p

0

0

0

2

0

2

0

20

02

0

1

20

∂

∂l

+

+

!

"

$## +

%&K

'K

()K

*K+ =....

A dimenziótlan energiaegyenlet akkor azonos a kismintánál és a nagy kivitelnél, ha a

c Tv

azonosp 0

02

= .

(15.24)

(15.25)

(15.26)

(15.27)

(15.28)

(15.29)



175

A (15.25) kifejezés átalakítható:

p

v

R T

v

R T

v

a

vazonos0

0 02

0

02

0

02

0

0

21

ρ

κ

κ κ = = =

=.

Ha a (15.25) és (15.29) kifejezések értékei azonosak a nagy kivitelnél és a kismintánál, ak-

kor hányadosuk értéke is:

p

v

v

c T

RT

c T

c c

cazonos

p p

p v

p

0

0 02

02

0

0

0

11 1

ρ κ

κ

κ = =

−= − =

−=

.

A (15.30) és (15.31) feltétel akkor teljesül, ha

κ = azonos és a Mach szám Ma = = azonos.

v

a0

0

Az áramlások hasonlóságának feltételeként a 12. fejezetben felsoroltak mellett a κ és a

Mach-szám azonosságát is biztosítani kell.

15.5. Gázok kiömlése tartályból, a Laval-FV

A (15.20) kifejezés stacionárius, izentrópikus áramlás esetén kapcsolatot teremt a tartályból

W|UWpQNLiUDPOiVYVHEHVVpJHDWDUWiO\EDQOpYJi]7tKPpUVpNOHWHpVSt nyomása, vala-mint a kiáramlás helyén a gázVXJiUEDQOpYSQ\RPiVN|]|WW

v R Tp

ptt

=−

−

!

"

$

###

−

2

11

1

κ

κ

κ

κ .

Ábrázoljuk adott pt tartálynyomás esetén a v kiáramlási sebesség függvényében a p ellen-

nyomást!

15.4. ábra

(15.30)

(15.31)

(15.32)



176

A p-v görbe a 15.4. ábrán látható. A maximális kiáramlási sebesség (vmax ) p = 0-hoz tar-

tozik:

v R Ttmax =

−

2

1

κ

κ

Vizsgáljuk meg a p-v görbe pULQWLW! A természetes koordináta-rendszerben az áramvonal

pULQW MHLUiQ\iEDQIHOtUW(XOHU -HJ\HQOHWEONLIHMH]KHW

dp

dvv= −ρ

.

A 15.4. ábrán látható görbének v = 0-nál és v = vmax -nál van Yt]V]LQWHVpULQW MH (utóbbi

helyen p = 0, ezért ρ = 0). Közben a

GS

GY -nek minimumának kell lennie. Keressük a -

dp

dv

maximumát a v függvényében! Differenciáljuk a (15.34) kifejezés jobb oldalát v szerint, és

WHJ\NHJ\HQOYp]pUXVVDOd v

dvv

d

dv

ρ ρρ

1 6= + = 0. A láncszabály alkalmazásával:

vd

dp

dp

dv

ρρ+ = 0DPLEODEHKHO\HWWHVtWpVpYHOpVρ kiemelése után a

ρ

ρ

ρ1 1 02 2

2−

!

"

$# = −

!

"

$# =

v

dp d

v

a /

kifejezés adódik, miután a (15.22) kifejezés alapján felismertük, hogy a zárójel második

WDJMiQDNQHYH] MpEHQD]DKDQJVHEHVVpJQpJ\]HWHV]HUHSHO$dp

dv-nek tehát v = a, azaz

M a = 1HVHWpQYDQV]pOVpUWpNHD]D]DKROD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\HQO D]DGRWWKHO\HQ

OpYJi]KPpUVpNOHWKH]WDUWR]yKHO\LKDQJVHEHVVpJJHO

Vizsgáljuk meg, hogy milyen A csatornakeresztmetszet felel meg az adott áramlási vi-

szonyoknak? Az áramlás stacionárius, ezért a kontinuitás összefüggése a (15.34) figyelem-bevételével az alábbi módon írható fel:

q v Adp

dvA állm = = − =ρ .

$KROWHKiWYt]V]LQWHVD]pULQWDJ|UEH v = 0 és p = 0 értékekhez tartozó helyein), a ke-

resztmetszet A → ∞ . Az A keresztmetszetnek ott van minimuma, ahol a −dp

dv-nek ma-

ximuma van, azaz a p-v görbe inflexiós pontjánál, ahol a v sebesség a helyi hang-

sebesVpJJHOHJ\HQO Egy adott q kg sm / tömegáramhoz felrajzolható az A csatornake-

resztmetszet változása a p függvényében (ld. 15.4. ábra). Az adott áramlási sebesség, nyo-

(15.33)

(15.34)

(15.35)



177

PiVpVVU VpJYiOWR]iVEyOHJ\ DFV|NNHQQ\RPiVRNLUiQ\iEDQHOV]|UV]NOPDMG

EYONHUHV]WPHWV]HWFVWROGDWDGyGLN

9L]VJiOMXNPHJD]iUDPOiVMHOOHP]LWDV]NO- EYOFVV]DNDV]PHQWpQ,VPpWDWHUPé-

szetes koordináta-UHQGV]HUEHQ D] iUDPYRQDO pULQW

MH LUiQ\iEDQ IHOtUW (XOHU -HJ\HQOHWE

O(4.25) indulunk ki:

vv

e

p

e

p

ea

e

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ρ

∂ρ

∂ ρ

∂ρ

∂= − = − = −

1 1 1 2

.

Miután a kontinuitásból ρ v A áll= . , d v Aρ1 6 = 0 , azaz d v A dv A v dAρ ρ ρ+ + = 0DPLEO

d dv

v

dA

A

ρ

ρ+ + = 0

adódik.

$|VV]HIJJpVEO vdv ad

= − 2 ρ

ρ. A

dρ

ρ-WNLIHMH]YHNLIHMH]pVEOpVEHKe-

lyettesítve kapjuk

v dv ad

adv

v

dA

A= − = +

2 2ρ

ρ .

ÈWDODNtWiVXWiQD|VV]HIJJpVEONDSMXN

v

a

dv

v

dv

v

dA

A

2

2= + ,

DPLEO

Madv

v

dA

A2 1− =4 9

.

A|VV]HIJJpVEOD]DOiEELN|YHWNH]WHWpVHNYRQKDWyNOH

α / HaMa < 1, akkor dv / v > 0 -hoz azaz gyorsuló áramláshoz dA / A < 0 , azaz

iUDPOiV LUiQ\iEDQ FV|NNHQ NHUHV]WPHWV]HW NRQI~]RU ODVVXOy iUDPOiVKR]

(dv / v < 0 SHGLJQ|YHNYNHUHV]WPHWV]HWGLII~]RU , dA / A > 0 ) tartozik. Ebben

az esetben a nyomás és a sebesség kapcsolatát a 15.4. ábrán látható p-v görbe inflexiós

SRQWWyOEDOUDHVUpV]HtUMDOH

β / HaM a > 1DNNRUQ|YHNYVHEHVVpJKH]Q|YHNYNHUHV]WPHWV]HWGLII~]RUWDUWR]LN

Ez az állapotMHOOHP]LDJ|UEHLQIOH[LyVSRQWWyOMREEUDHVV]DNDV]iW

(15.36)

(15.37)

(15.38)

(15.39)



179

v p pt e= −2

ρ1 6

Tovább csökkentve a peHOOHQQ\RPiVWDJi]VU VpJHRO\DQPpUWpNEHQYiOWR]LNDNL|POpV

során, hogy a ρ = áll. feltevés már nagy hibát okoz. Ekkor a (15.20) összefüggéssel szá-molható a kiömlési sebesség.$]|VV]HIJJpVEOOiWKDWó, hogy a pe ellennyomás csökken-

tésével növelhetjük a kiáramlási sebességet. Amikor a p / pe t csökkenve eléri a 0.53 értéket

(κ =1.4 HVHWpQD]HO]PHJJRQGROiVDLQNpUWHOPpEHQD kiáramlási sebesség eléri a helyi

hangsebességet:

Y D 5 7 = = κ ,

DKRODOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQOpY KPpUVpNOHW D |VV]HIJJpVpUWHOPpEHQ

7 7W = . Tovább csökkentve a pe ellennyomást azt tapasztaljuk, hogy a kiömlési

sebesség nem növekszik tovább, a kilépési keresztmetszetben a gázsebesség és a gáz ál-

ODSRWMHOOHP]LYiOWR]DWODQRN$OHJPHJOHSEEMHOHQVpJD]KRJ\D S DOHJV]NHEEN i-

OpSNHUHV]WPHWV]HWEHQOpYQ\RPiVQHPHJ\H]LNPHJD pe ellennyomással, nagyobb

annál, a (15.42) összefüggés értelmében S S W . Mi lehet ennek a jelenségnek az

oka? A tartályból kiáramló közeg a p t és a pe nyomások különbsége hatására gyorsul. Ha

FV|NNHQWMND]HOOHQQ\RPiVWDWDUWiO\RQNtYOU OHJ\KXOOiPLQGXODNL|POQ\tOiVRQN e-

resztül a tartályba, megváltoztatva a nyomásmegoszlást a kiömlés környezetében. A meg-változott nyomásmegoszlás hatására a közeg nagyobb méUWpNEHQJ\RUVXOD]D]DNLOpSVe-

EHVVpJ Q +D HOpUMN D KHO\L KDQJVHEHVVpJJHO PHJHJ\H] VHEHVVpJHW D OHJV]NHEE N e-

resztmetszetben, az ellennyomás további csökkenésével kapcsolatos „információ”,

amely egy nyomáshullám alakjában éppen hangsebességgel terjed, nem képes átjutni

a legszkebb keresztmetszeten. Az ellennyomás változása tehát nem tudja módosítani

a nyomásPHJRV]OiVWDWDUWiO\pVD NL|POpVOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWHN|]|WW A gáz

HEEHQD]HVHWEHQQHPWXGDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWLJÄOHH[SDQGiOQL´DWDUWiO\EDQOpY

Q\RPiVUyODNOVHOOHQQ\RPiVUD$]WDSe /pt nyomásviszonyt, amelynél a kiömlési se-

EHVVpJDOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQHOpULDKHO\LKDQJVHEHVVpJHW kritikus nyomásvi-

szonynak nevezzük. Ennek értéke κ =1.4 esetén a (15.42) értelmében (p / p ) = 0.53e t kr .

Öss]HIRJODOyDQ PHJiOODStWKDWMXN KRJ\ HJ\V]HU NL|POQ\tOiV HVHWpQ KD

p / p (p / p )e t e t krit≥ D Ji] Q\RPiVD D NLOpS NHUHV]WPHWV]HWEHQ PHJHJ\H]LN D] HOOHn-

nyomással: S S H = , a kiömlési sebességet a (15.20) összefüggéssel számolhatjuk. Ha a

nyomásviszony éppen megegyezik a kritikus nyomásviszonnyal, akkor a gáz sebessége a

legszkebb keresztmetszetben eléri a helyi hangsebességet, ezért a (15.45) összefüggés is

használható a Y meghatározására (ami természetesen ugyanazt az eredményt adja, mint a

(15.44)

(15.45)



180

(15.20) összefüggés). S S S S H W H W NULW≥ HVHWpQDNLOpSNHUHV]WPHWV]HWEHQOpY VU

VpJpVKPpUVpNOHWDpV|VV]HIJJpVHNILJ\HOHPEHYpWHOpYHOV]iPROKDWy

7

7

S

S

S

SW

H

W W

H

W

=

=

−κ

κ κ ρ

ρ

.

Ha S S S S H W H W NULW≤ , DNL|POpVLOHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWEHQD]iUDPOiVLVHEHs-

ség megegyezik a helyi hangsebességgel, ami a (15.45) összefüggéssel számolható. (Ter-

mészetesen továbbra is érvényes a (15.20) kiömlési képlet, de a peKHO\pEHDNL|PO N e-

UHV]WPHWV]HWEHQYDOyViJEDQOpYQ\RPiVW κ =1.4 esetén 0.53 p t -t kell helyettesíteni.) A

Ji]iOODSRWMHOOHP]LDpV|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWyN

$ PV]DNL DONDOPD]iVRN V]HPSRQWMiEyO NHGYH-

]WOHQKRJ\DJi]WQHPWXGMXND]HOOHQnyomásnak

PHJIHOHOpVD|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWy

sebességre felgyorsítani. Ezért a 15.4. ábrával

kapcsolatos meggondolások alapján a 15.5. ábrán

látható V]NOFVWROGDWRWHJ\EYOFVYHOHJé-

szítjük ki, amivel a 15.6. ábrán látható Laval-

csövet kapjuk. Az ábrán a Laval-FVDWDUWiO\WHJ\

másik tartállyal köti össze, amelyben az ellennyo-

más a kiáramló gáz mennyiségének változtatásával

változtatható. A Laval-FV DODWWL GLDJUDPEDQ IHl-

WQWHWWNDQ\RPiVYiOWR]iViWDFVWHQJHO\pEHQ

Írjuk fel az adott $ és A ki OHJV]NHEEpVNLOpSNHUHV]WPHWV]HWUHD kontinuitás törvé-

nyét!

T Y $ Y $P NL NL NL= =ρ ρ

$OHJV]NHEENHUHV]WPHWV]HWUHYRQDWNR]yPHQQ\LVpJHNHWDpV15.47) ösz-

V]HIJJpV IHOKDV]QiOiViYDO IHMH]KHWMN NL$ NLOpS NHUHV]WPHWV]HWUH YRQDWNR]y PHQQ\L-

ségeket pedig annak a feltételezésével, hogy a közeg a pe ellennyomásra leexpandál a tar-

tály és az A ki keresztmetszet között. Ebben az esetben a (15.15) és a (15.20) összefüggések

használhatók:

ρ κ ρκ

κ

κ

κ

κ

W W NL WH

WW

H

W

5 7 $ $ S

S5 7

S

S=

−

−

!

"

$

###

−

(15.46)

15.6. ábra

(15.47)

(15.48)



183

soló „nyomásjelek” Mach-szög alatt terjednek és változásokat eredményeznek a se-

besség nagyságában és irányában, valaPLQWDJi]iOODSRWMHOOHP]LEHQ

Tekintsük a 15.9.a. ábrát, ahol a egy szilárd fal hirtelen irányváltozása (pl. a 15.6. ábra

15.9. ábra

NL|PONHUHV]WPHWV]HW N|UOL UpV]H OiWKDWy /HJ\HQ D IDO PHOOHWWL iUDPOiV VHEHVVpJH Qa-

gyobb, mint a hangsebesség, M a > 1, a nyomás itt legyen p1 .

Az a/ esetben a sarok mögött a nyomás legyen kisebb: S S (]D]HVHWDNNRUiOOHO

Laval-FVHVHWpQKDD S S S$ H %≤ < , ld.15.6. ábra$VDURNKR]N|]HOtWIRO\DGpNUpV]HN

FVDNDNNRUÄYHV]QHNWXGRPiVW DVDURNMHOHQOpWpU OKDD]iEUiQEHUDM]ROWDIDOODOSiUKX]a-

mos áramvonalakkal α1 Mach-szöget bezáró ferde szíváshullámot elérik. A szíváshullá-

mon áthaladva D KXOOiPUDPHUOHJHV Q\RPiVFV|NNHQpV D KDWiViUD D N|]HJUpV]HN D

hulOiPVtNMiUDPHUOHJHVLUiQ\EDQJ\RUVXOQDN 0LYHOQD0DFV|NNHQD0DFK-szög,

és így az α értéke (α α < ). További szíváshullámok indulnak a sarokról, amelyek hatásá-

ra az áramló közeg iránya tovább változik. (A valóságban elemi szíváshullámok indulnak asarokról, és hatásukra folyamatosan változik a sebesség iránya és nagysága. Az ábrán látha-

tó véJHVLUiQ\YiOWR]iVWRNR]yKXOOiPRNHOHPLKXOOiPRN|VV]HJ]pVHNpQWNpS]HOKHW NHO

A b/ esetben legyen p p2 1> , azaz a sarok mögött nagyobb a nyomás, mint az áramló közeg

nyomása, ami a 15.6. ábrán a S S S% &< < HVHWQHNIHOHOPHJ$VDURNIHOpN|]HOtWN|]Hg-

részek egy α1 Mach-V]|JDODWWWHUMHGD15.9. ábrán A-val jelölt nyomásnövekedési hul-

OiPRQ iUDPODQDNNHUHV]WO DPHO\ VDMiWPDJiUDPHUOHJHVHQ ODVVtWMD D N|]HJHW D]

áramlás iránya felfelé térül el, a Ma értéke a hullám után kisebb, az αQ/HKHW-e a sa-

rokról induló további olyan hullámot rajzolni, amely áramvonallal bezárt szöge nagyobb,

PLQWDKXOOiPHOWWL0DFK-szög, azaz α α > ? Az ábrán láthatóan ilyen hullámot csak az

$MHOKXOOiPWyOEDOUDWXGXQNUDM]ROQL%MHOKXOOiPDPi természetesen a valóságban nem

jöhet létUH$Q\RPiVQ|YHNHGpVLKXOOiPRNPLQWHJ\Ä|VV]HVU V|GQHN´HJ\ igen vékony

lökéshullámot alkotnak (ld. 15.9.b. ábra&MHOKXOOiPDPHO\HQNHUHV]WODMHOOHP]N

VHEHVVpJLUiQ\QDJ\ViJQ\RPiVVWEXJUiVV]HU Yiltozása következik be. Ez az „ösz-

V]HVU V|GpV D]DOiEELPyGRQLVEHOiWKDWy$15.9. ábrán látható, abszolút rendszerben ál-

ló hullámok az áramló közeghez képest hangsebességgel mozognak az áramlással szemben.

$KDQJVHEHVVpJV]tYiVKXOOiPHVHWpQDQ|YHNYVHEHVVpJiUDPOiVLUiQ\iEDQFV|NNHQPi-

YHODQ\RPiVpVDKPpUVpNOHWLVFV|NNHQ(]pUWDV]tYiVKXOOiPRNOHJ\H]V]HU HQV]pWWe-



16. Akusztikai alapismeretek

$]DNXV]WLNDHJ\LNQDJ\IHMH]HWHDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP KDOPD]iOODSRW~N|zegekben ke-

OHWNH] KDODGypVHOKDOyKDQJKXOOiPRN OHtUiViYDO IRJODONR]LN (] UpV]EHQ D]iUDPOiVWDQ

alapegyenleteinek felhasználásával lehetséges, ami mutatja az áramlástan és az akusztika

közötti szoros kapcsolatot.

16.1. A hullámegyenlet

Ebben a fejezetbeQDQ\XJYyN|]HJEHQWHUMHGKDQJQpKiQ\VDMiWRVViJiYDOIRJODONR]XQN

+DQJQDN D YLYN|]HJ VDMiWRVViJDLQDN HOHPL LQJDGR]iViW QHYH]]N DPHO\ KXOOiP

alakjában terjed. A hang esetén a tér pontjaiban a részecske sebesség v m s / , a nyomás

p Pa pVDVU VpJρ kg m / 3 változik azLGIJJYpQ\pEHQ$KDOOiVNV]|EQHNPHJIHOHO

HIIHNWtYQ\RPiVGHILQtFLyMiWOGNpV EE 2 10 5. − Pa , 20 Pa pedig már fájdalmat okoz,

tehát a nyomásingadozások a 105 Pa atmoszférikus nyomáshoz képest jó közelítéssel

elemiQHNWHNLQWKHWN

$]HO]IHMH]HWEHQOiWWXNKRJ\D hang terjedési sebességére írható:

adp

d= ρ ,

amely gázok esetén izentropikus állapotváltozást feltételezve az

a R T= κ

kifejezéssel határozható meg. Szilárd testekben a nyomás (negatív húzófeszültség) válto-

zása és a dl l relatív megnyúlás között az E [Pa] rugalmassági modulusz teremt kapcsola-

WRW)LJ\HOHPEHYpYHDPHJQ\~OiVpVDVU VpJYiOWR]iVDN|]|WWLNDSFVRODWRWHJ\GLPHQ]LyV

eset feltételezésével írható:

dp Ed

Ed

= − =l

l

ρρ ,

DPLEODKDQJWHUMHGpVLVHEHVVpJHDV]LOiUGWHVWEHQ

adp

d

E= =

ρ ρ .

(16.1)

(16.2)

(16.3)

(16.4)



187

A (16.6) és (16.7) összefüggések bal oldalának második tagjai a többi taghoz képest elha-

nyagolhatóan kicsik a v részecskesebesség kis értéke miatt. A ρ’-vel szorzott tagok ugyan-

csak elhanyagolhatóak a ρ0-YDOV]RU]RWWDNPHOOHWW$|VV]HIJJpVE OtJ\NDSRWWNLI e-

jezésben a∂ρ

∂

∂ρ

∂

∂

∂

∂

∂t p

p

t a

p

t= =

1

2

iWDODNtWiVWHOYpJH]YHPDMGDNLIHMH]pVPLQGNpWROGDOiWLG

szerint differenciálva kapjuk:

10

2

2

2 0

2

a

p

t

v

t x

∂

∂ρ

∂∂ ∂

+ = .

(Az a KDQJVHEHVVpJ LG V]HULQWL GLIIHUHQFLiOKiQ\DGRViW HOKDQ\DJROWXN 'LIIHUHQFLiOMXk a

IHQWLPHJJRQGROiVRNDODSMiQHJ\V]HU VtWHWW|VV]HIJJpVPLQGNpWROGDOiW[V]HULQW

ρ ∂∂ ∂

∂∂

0

2 2

2 0vx t

px

+ = .

0LQGNpW|VV]HIJJpVEONLIHMH]YHD]D]RQRVDODN~WDJRWpVHJ\HQOYpWpYHPHJNDSMXND]

egydimenziós akusztikai hullámegyenletet:

12

2

2

2

2a

p

t

p

x

∂

∂

∂

∂=

A hullámegyenlet általános megoldása a

p x t f x a t g x a t p,1 6 1 6 1 6= − + + + 0

függvény, ahol p0D]LG EHQ pV WpUEHQiOODQGyHJ\HQV~O\L VWDWLNXV Q\RPiV $ NtQiONR]y

V]iPRVOHKHWVpJN|]OYiODVV]XNPRVWDWHUPpV]HWEHQJ\DNUDQHO IRUGXOyKDUPRQLNXVKX l-

lámot leíró függvényt:

0px2

tT

2cospp +

λπ

±π

=,

ahol T s perióGXVLG, λ m hullámhossz. Bevezetve az f T s

= !

"$#

1 1 frekvencia,

km

= !

"$#

2 1πλ

hullámszám, ω π= !

"$#

21

f s

körfrekvencia jelöléseket írható:

( ) 0pxktcospp +±ω=.

(16.8)

(16.9)

(16.10)



188

Vizsgáljuk meg, hogy milyen tulajdonságai vannak ennek

a függvénynek: Tekintsük az ω t k x− esetet. Ábrázolja

t = 0 pillanatban a nyomáshullámot a 16.2. ábra. A ma-

ximális nyomás az x = 0 helyen van, miután t = 0 -hoz és

x = 0-hoz a cosinus függvény zérus argumentuma tartozik.

Annak érdekében, hogy t t= 1 pillanatban ugyanazt a

nyomást kapjuk, a függvény argumentumának ugyanakkorának kell lennie: ω t k x1 1 0− = ,

DPLEO

x

t k

f a1

1 2

2

2= = = =

ω ω λπ

π λπ ,

mivel f a m sλ = / hangsebesség $ |VV]HIJJpVEO OiWKDWy KRJ\ a hullám a

hang a terjedési sebességével (ld. (15.23) összefüggés) PHJHJ\H] VHEHVVpJJHO KDODG

jobbra (ld. 16.2. ábra). Ugyanezzel a sebességgel balra haladó hullámot kapunk, ha az

ω t k x+ argumentum esetét vizsgáljuk.

16.2. Hangteljesítmény, intenzitás

3HULRGLNXVJHUMHV]WpVHVHWpQDYLY N|]HJSHULRGLNXVPR]JiViEDQpVHJ\PiVWN|YHWNRPp-

ressziók és expanziók formájában jelentkezik a hang, amely terjedése során energiát szállít.

Ha p Pa nyomás ellenében V m3 térfogatnyit „kiszorítunk” p V J munkát végzünk.

(]pUWV]DEDGWpUEHQWHUMHGVtNKXOOiPHVHWpQDhangteljesítményre írható:

P t A v t p t1 6 1 6 1 6=.

A (16.5) összefüggést figyelembe véve írható: p v a= ρ DPLEO

vp

a=

ρ

(16.13) kifejezést (16.12)-be helyettesítve kapjuk:

P t Ap

a1 6 =

2

ρDPLEOD]átlagos teljesítmény: P A

p

a=

2

ρ.

16.2. ábra

(16.11)

(16.12)

(16.13)

(16.14)



189

A (16.10) kifejezéssel leírt harmonikus hullám négyzetét 0-tól T-ig integrálva és T-vel el-

RV]WYD NpSH]KHWMN D Q\RPiV QpJ\]HWpQHN LG EHOL iWODJiW2

pp

22 = . Az effektív hang-

nyomás tehát

2

ppeff = . Ezzel az effektív hangteljesítmény:

Pp

aAeff =

2

ρ

A mérések során a p eff 2 -et határozzuk meg.

Az 1 2m keresztmetszetre jutó hangteljesítményt intenzitásnak nevezzük:

I pa

eff = 2

ρ

16.3. Szintek

A hangteljesítmény igen széles skálán mozog: a csendes beszédé 10 9− W, egy nagy telje-

sítPpQ\UDNpWipSHGLJ107W is lehet. Milyen skálát használjunk, hogy ezt az igen széles

tartományt átfoghassuk? Használjuk ki az emberi érzékelés azon sajátosságát, hogy az

érzékelt változás mértéke (∆é) az inger változás (∆i) és az inger (i) hányadosával ará-nyos: ∆ ∆é i i~ / 0 DPLEOD]pU]pNHOpVpVD]LQJHUNDSFVRODWiUDDGyGLN é i i~ ln / 01 6 . Az

átfogott skála szélessége és az érzékelésünk sajátosságai indokolják, hogy az akusztikában

alkalmazott fizikai mennyiségek jellemzésére az alábbi szinteket alkalmazunk:

Hangteljesítményszint: LP

PdBW = 10

0

lg ,

Intenzitásszint: LI

I

dBI = 100

lg ,

Hangnyomásszint: Lp

pdB=

10

0

2

lg ,

ahol a dB (decibel) a szintek mértékegysége. (Itt jegyezzük meg, hogy a fentieken kívül

PiVWHOMHVtWPpQ\WNLIHMH]PHQQ\LVpJHNQpOLVKDV]Qáljuk a dB mértékegységet.)

(16.15)

(16.16)

(16.17)

(16.18)

(16.19)



190

A p0 vonatkozási nyomásnak a hallásküszöböt választották: p Pa052 10= ⋅ − .

ρ akg

s m1 6

0 2400= és A m0

21= vonatkozási értéket választva a (16.15) és (16.16) össze-

függés alapján I

p

a

W

m0

02

0

12

210= =−

ρ1 6 ill. P W0

12

10=−

.

+RJ\DQV]iPtWMXNNLNpWHJ\HQOL W KDQJWHOMHVtWPpQ\KDQJIRUUiVL Weredõ eUHGKDQJWHl-

jesítményét?

LP

P

P

PL dBWeredõ W= = + = +10

210 10 2 3

0 0

lg lg lg .

+D NpW NO|QE|] L P P és L P PW W1 1 0 2 2 010 10= =lg / lg / KDQJWHOMHVtWPpQ\ KDQJ-

IRUUiVHVHWpQNHUHVVND]HUHGLWe hangteljesítményt, akkor az alábbi módon járunk el:

LP P

PWe

L L L L Lw w w w w

=+

= +

!

"

$##

= +

!

"

$

##

−

10 10 10 10 10 10 1 101 2

0

10 10 10 101 2 1 2 1

lg lg lg

$NLMHO|OWPYHOHWHWHOYpJH]YHHUHGPpQ\ONDSMXN

L L LWe W W= +1 ∆

, ahol

∆LW L Lw w= +

−

10 11

101 2

10

lg

.

A 16.3. ábrán látható nomogram meg-

könnyíti a ∆LW számítását: megmu-

tatja, hogy a hangteljesítmény-szintek

közötti különbség (L LW W1 2− ) függ-

vényében mennyivel kell a nagyobbik

(LW1) hangteljesítmény-szintet megnö-

YHOQL KRJ\ D] HUHGW PHJNDSMXN Látható, hogy L L dBW W1 2 10− ≥ különbség esetén már el lehet hanyagolni a kisebb telje-

VtWPpQ\KDQJIRUUiVSODKiWWpU]DMKR]]iMiUXOiViWD]HUHGKDQgteljesítményszinthez.

16.4. A zaj spektrális jellemzése

$ KDQJWpUDGRWW SRQWMiEDQ D KDQJQ\RPiV LG EHOL OHIXWiViQDN LVPHUHWpEHQHOiOOtWKDWy D]

igen informatív hangszínkép (hangspektrum), amely megmutatja, hogy milyen frekven-

FLiM~pVDPSOLW~GyM~KDUPRQLNXV|VV]HWHYNEOiOOtWKDWyHOD]HUHGHWLQ\RPiV-LGIJg-YpQ\ ËJ\ SO D WLV]WD ]HQHL KDQJ VSHNWUXPD GE KDUPRQLNXV |VV]HWHYW WDUWDOPD] OG

(16.20)



191

16.4.a. ábra). A gyakorlatban a hang jellemzésére pl. oktávsávos spektrumot használunk.

(Egy oktáv az f Hza alsó és f Hz f f a= 2 IHOVIUHNYHQFLDN|]|WWLIUHNYHQFLiNDWIRJMD

át.) A középfrekvencia: f f f f k a f a= = 2 .

16.4. ábra

A 16.4.b. ábra egy mérés eredményét mutatja, ahol az egyes oktávsávokban mért hangtelje-

VtWPpQ\V]LQWHNHWD]DGRWWN|]pSIUHNYHQFLiNKR]YLWWNIHO$]HPEHULpU]pNHOpVHOWpU HQU e-

aJiODNO|QE|]IUHNYHQFLiM~KDQJRNUDDPpO\KDQJRNUDSO+]YLV]RQ\ODJpU]pNHt-

OHQPtJN|]HOtWOHJ+]-nél a legérzékenyebb. Az emberi érzékelés „torzítását” speci-

iOLVV]U YHOOHKHWILJ\HOHPEHYHQQLD]tJ\DGyGypUWpNHNHWG%$ -val jelöljük.

16.5. Irányítottság

Egy nagy térben elhelyezett, 3KDQJWHOMHVtWPpQ\ SRQWV]HU KDQJIRUUiVW IHOWpWHOH]YH,

amely minden irányban egyformán bocsájt ki hanghullámokat, az r sugarú gömb felületén

érvényes intenzitásra írható:

IP

r

p

agg= =

4 2

2

π ρ .

+DSRQWV]HU KDQJIRUUiVXQNDWYiOWR]DWODQKDQJWHOMHVtWPpQ\PHOOHWWDKDWiURODWODQV]DEDG

WpUEOYDODPLO\HQKDWiUROWWpUEHKHO\H]]NDWpUHJ\DGRWWSRQWMiEDQD]LQtenzitás megvál-

tozását a 'LUiQ\tWiVLWpQ\H]YHOfejezhetjük ki:

DI

I

p

a

p

a

p

a

r

Pg g= = =

2

2

2 24ρ

ρ

ρπ

.

Ha egy minden irányban egyforma intenzitású hanghullámokat kibocsájtó hangforrást nagy

térben helyezünk el, D = 1 érték adódik. Ha a hangforrást egy síkra tesszük, ami a hangot

visszaveri, D = 2 -t kapunk. Ha két sík metszésvonalába tesszük, akkor D = 4 , ha pedig be-

tesszük a sarokba, akkor csak a tér egy-nyolcadába bocsájtja ki a hangteljesítményt, ekkor

D = 8.

9L]VJiOMXNPHJKRJ\DGRWWWHOMHVtWPpQ\V]LQWKDQJIRUUiVPLO\HQKDQJQ\RPiVV]LQWKDQg-

teret hoz létre, azaz mekkora lesz adott helyen a hangnyomásszint. Legyen a tér kiválasztott

(16.21)

(16.22)



192

SRQWMiEDQD]LUiQ\tWiVLWpQ\H]LVPHUW'pUWpN $pV|VV]HIJJpVHNIHl-

használásával írható:

I D I DP

r

p

a

g= = =

4

2

2

π ρ.

A vonatkozási intenzitás az alábbi módon írhDWyIHOD]HO]HNDODSMiQ

Ip

a

P

rahol r m0

02

0

0

02 0 1= = =

ρ1 6, .

Fejezzük ki az I I / 0 hányadost a (16.23) és (16.24) segítségével:

I

I DP

r

r

P

p

a

a

p02 0

2

0

2

0024= =π ρ

ρ1 6

(16.25)- EOIHMH]]NNLDKDQJWHOMHVtWPpQ\HNYLV]RQ\iW

P

P

p

p

a

a

r

r D0

2

02

02

02

4 1=

ρ

ρπ1 6

Vegyük a (16.26) összefüggés mindkét oldalának tízszeres logaritmusát:

LP

P

p

p

a

a

r

rDW = =

+ + +

−10 10 10 10 4 10 10

0 0

20

0

2

lg lg lg lg lg lgρρ

π1 6

DPLEOILJ\HOHPEHYpYHKRJ\ ( )ρ ρa a0 ≅ DNLMHO|OWPYHOHWHNXWiQNDSMXN

L L r DW = + − +20 10 11lg lg.

Ha tehát a hangforrástól r m távolságban L dB hangnyomásszintet mérünk és ismerjük a

'LUiQ\tWiVLWpQ\H]pUWpNpWD|VV]HIJJpVVHOV]iPROKDWyDKDQJIRUUiVKDQJWHOM e-

sítményszintje.

(16.23)

(16.24)

(16.25)

(16.26)

(16.27)



Ajánlott irodalom

9iORJDWiVDPDJ\DUQ\HOYHQKR]]iIpUKHWV]DNLURGDORPEyO

1. Dr. Gruber József, Dr. Blahó Miklós:

Folyadékok mechanikája; Tankönyvkiadó Budapest, 1973.

2. L.D.Landau, E.M.Lifsic:

Elméleti fizika VI. Hidrodinamika; Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.

3. )L]LNDLNp]LN|Q\YPV]DNLDNQDN,N|WHW+LGURPHFKDQLND

I V]HUNHV]W'U$QWDOO-iQRVIHMH]HWV]HU]N'U&]LEHUH7LERU'U6]DEy-iQRV

Mszaki könyvkiadó, Budapest, 1980.

4. Dr. Szentmártony Tibor, Dr. Kurutz Imre:

$PV]DNLDNXV]WLNDDODSMDL--970 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.

5. Willi Bohl:

0V]DNLiUDPOiVWDQ0V]DNLN|Q\YNLDGy%XGDSHVW

6. Dr. Szentmártony Tibor:

Folyadékok mechanikája I.; J4 -920 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.

7. Dr. Litvai Elemér:

Alkalmazott áramlástan (A vegyipari gépészek részére); J4 -730 kézirat, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1986.

8. Dr. Litvai Elemér, Dr. Bencze Ferenc:

Áramlástan II.; J4 -906 kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.

9. Dr. Bobok Elemér:

ÈUDPOiVWDQEiQ\DPpUQ|N|NQHN0V]DNL.|Q\YNLDGy%XGDSHVW

10. 0V]DNLK- és áramlástan I-1., I-2., II. kötetek, J7 -724, J7 -724-a, J7 -725, az

Aero- és Termotechnika Tanszék Munkaközössége; kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest,

1988.

$MiQORWWLGHJHQQ\HOYV]DNLURGDORP

11. Klaus Oswatitch:Gasdynamik; Springer -Verlag, 1952.



195

12. Ludwig Prandtl:

Führer durch die Strömungslehre; Friedr.Vieweg & Sohn Braunschweig 1965.

13. E. Truckenbrodt:

Strömungsmechanik; Springer -Verlag, 1968.

14. Dr. Jürgen Zierep:

Grundzüge der Strömungslehre; G.Braun Kalsruhe.

15. Dr. Jürgen Zierep:

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregel der Strömungslehre; G.Braun Kalsruhe, 1972.

16. Robert W.Fox, Alan T.McDonald:

Introduction to Fluid Mechanics; John Wiley & Sons, 1978.

17. Dr.Werner Albring:

Element arvorgänge fluider Wirbelbewegungen; Akademie -Verlag Berlin, 1981.

18. A.P.Dowling, J.E.Ffowcs Williams:

Sound and Sources of Sound; Ellis Horwood Limited, 1983.

19. Victor L. Streeter, E.Benjamin Wylei:

Fluid Mechanics; McGraw -Hill Book Company, 1985.

20. Philip M.Gerhart, Richard J.Gross:

Fundamentals of Fluid Mechanics; Addison -Wesley Publishing Company, 1985.

21. Rolf H.Sabersky, Allan J.Acosta, Edward G.Hauptmann:

Fluid Flow; Macmillan Publishing Company, 1989.

22. M.B.Abot, D.R.Basco:

Computational Fluid Dynamics An Introduction for Engineers; Longman Scientific &

Technical, 1989.

23. Werner Albring:

Angewandte Strömungslehre; Akademie -Verlag Berlin, 1990.

24. W.J.Duncan, A.S.Thom, A.D.Young:

Mechanics of Fluid; Edward Arnold, 1990.

25. Merle C.Poter, David C.Wigger:

Mechanics of Fluid; Prentice -Hall Internacional, Inc., 1991.



26. John D.Anderson, Jr.:

Fundamentals of Aerodynamics; McGraw -Hill, Inc.1991.

27. Dr. Jürgen Zierep: Theoretische Gasdynamik; G.Braun Kalsruhe, 1991.

28. Charles Hirsch:

Numerical Computation of Internal and External Flows; Volume 1, 2, John Wiley & Sons,

1991.

29. C.A.J.Fletcher:

Computational Techniques for Fluid Dynamics; Volume 1, 2, Springer -Verlag, 1991.

Áramlastan könyv

Documents