apuntes formalismo lagrangiano y hamiltoniano

Mecanica Clasica II

Tema 1: Metodos variacionais e principio

de Hamilton

Jose M. Sanchez de SantosDepartamento de Fsica de Partculas

Facultade de FsicaUSC

Notas de clase da materia Mecanica Clasica II do Grao en Fsica da USC

Tema 1: Metodos variacionais e principio de Hamilton Jose M. Sanchez de Santos

Indice

1. Introducion 3

2. Tecnicas do calculo variacional 32.1. Ecuacions de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Segunda forma das ecuacions de Euler . . . . . . . . . 62.2. Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Xeodesicas no plano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2. Problema da braquistocrona: . . . . . . . . . . . . . . 8

3. O principio de Hamilton 93.1. O funcional de accion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Sistemas non conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Potenciais dependentes da velocidade . . . . . . . . . . . . . . 113.4. Exemplo: partcula nun campo electromagnetico: . . . . . . . 11

4. Sistemas con ligaduras. Metodo dos multiplicadores de La-grange 124.1. Sistemas con dous graos de liberdade e unha ligadura . . . . 12

4.1.1. Significado fsico dos multiplicadores: . . . . . . . . . . 144.2. Exemplo: maquina de Atwood: . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3. Caso xeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4. Significado fsico dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . 174.5. Ligaduras holonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6. Exemplo: aro que roda por un plano inclinado. . . . . . . . . 19

5. Propiedades de simetra e leis de conservacion 205.1. Unicidade da lagrangiana. Transformacions gauge. . . . . . . 205.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Formalismo hamiltoniano 246.1. Transformacions de Legendre e funcion hamiltoniana . . . . . 246.2. Ecuacions canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3. Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.3.1. Partcula nun potencial central . . . . . . . . . . . . . 266.3.2. Partcula cargada nun campo electromagnetico . . . . 27

6.4. As ecuacions canonicas e o principio variacional . . . . . . . . 286.5. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Mecanica Clasica II 2 Grao en Fsica USC


1. Introducion

Imos ver como as ecuacions de Lagrange podense deducir dun principiofundamental, o principio de Hamilton, que pode considerarse coma un dosprincipios mais importante da Fsica, non so da Mecanica.

Ata agora introducramos as ecuacions de Lagrange mediante un princi-pio diferencial, o principio de dAlembert ou dos traballos virtuais, a partirda formulacion Newtoniana. Agora imos deducir as mesmas ecuacions dunprincipio integral de xeito que as ecuacions do movemento son aquelas quegaranten que unha certa magnitude (o funcional de accion) ten un extremo.

Principios deste tipo son conecidos en Optica, por exemplo o formuladopor Heron no seculo II cando dixo que os raios de luz que se reflicten nunespello seguen o camino mais curto posible (a lei da reflexion) ou candoFermat, no seculo XVII postula que os raios de luz viaxan dun punto aoutro o longo do camino que fai que o tempo investido sexa o menor posible(leis da reflexion e a refraccion).

Os estudios sobre estes metodos (o calculo variacional) tiveron o seuauxe no seculo XVII cos traballos de Newton, Leibnitz, a familia Bernouillie outros e o problema da braquistrocrona que resolveremos mais adiante.

En Mecanica, o primeiro en enunciar un principio variacional foi Mau-pertuis en 1747 nos termos de que o movemento e tal que a accion faisemnima. Esta accion sera minimizada pola infinita sabedora de Deus.

Arredor de 1760, Euler e Lagrange danlle unha base matematica soli-da a este principio e en 1834 Hamilton formula o seu principio tal comoo imos estudar: de todas as posibles traxectorias no espazo de configura-cions compatibles coas ligaduras que pode seguir un sistema dinamico paraevolucionar dun estado a outro nun tempo determinado, a traxectoria ver-dadeiramente seguida sera aquela que fai estacionaria a integral temporalda diferenza entre as enerxas cinetica e potencial.

t2t1dt(T V ) = 0.

Estudaremos antes que nada algunhas tecnicas matematicas do calculo devariacions.

2. Tecnicas do calculo variacional

2.1. Ecuacions de Euler-Lagrange

Para simplificar, comezaremos formulando o problema nun plano e enun-ciaremolo da seguinte maneira: queremos atopar unha curva y = y(x) (quesuporemos ten propiedades suficientemente boas de continuidade e diferen-ciabilidade) tal que a integral curvilnea dunha certa funcion f(y, dydx , x) sexa



estacionaria ou extremal. E dicir, buscamos a funcion y = y(x) tal que ofuncional

J =

x2x1

dxf [y(x), y(x), x], con y =dy

dx

sexa un extremo (maximo, mnimo ou punto de inflexion). Consideraremoscurvas tales que os seus puntos extremos son fixos:

y(x1) = y1, y(x2) = y2

e expresaremos o problema de xeito que o resolveremos usando as tecnicasdo calculo diferencial ordinario.

Para elo introducimos unha familia de curvas parametrizadas por ,elixindo que a curva correspondente a = 0 sexa a que extremiza a integral.Sexa pois

y(x, ) = y(x) + (x),

onde e unha funcion arbitraria que se anula nos extremos:

(x1) = (x2) = 0

ou sexa, que todas as curvas da familia pasan polos mesmos puntos iniciale final:

y(x1, ) = y(x1, 0) = y1

y(x2, ) = y(x2, 0) = y2,

X

Y

y(x,)

x1

y1

x2

y2

y(x,0)

Figura 1: Traxectorias



e definimos a integral para a familia de curvas:

J() =

x2x1

dxf [y(x, ), y(x, ), x].

Sexan as variacions do valor do funcional con respecto o valor estacionario

J() = J( = 0) +dJ

d( = 0)+ . . . ,

e dicir

J = J() J( = 0) = dJd

( = 0),

onde estamos considerando J como unha funcion ordinaria de . Igualmente:

y(x, ) = y(x, ) y(x, 0) = y

( = 0) = (x)

a condicion de punto estacionario e:

J = 0 oudJ

d( = 0) = 0.

Calculemos esta derivada usando a regra da cadea

dJ

d=

x2x1

dx

[f

y

y

+f

yy

]e fixemonos que no segundo termo y aparece derivada con respecto a x e conrespecto a . Intercambiando a orde das derivadas e integrando por partestemos: x2

x1dxf

yy

=

x2x1

dxf

y

(dy

dx

)=

x2x1

dxf

yd

dx

(y

)=

x2x1

dxd

dx

[f

yy

] x2x1

dxd

dx

(f

y

)y

=

[f

yy

]x2x1

x2x1

dxd

dx

(f

y

)y

.

Como todas as curvas pasan polos puntos (x1, y1), (x2, y2),[y

]x2x1

= (x2)(x1) = 0, daquela x2

x1dxf

yy

=

x2x1

dxd

dx

(f

y

)y

e

dJ

d=

x2x1

dx

[f

y ddx

(f

y

)]y

=

x2x1

dx

[f

y ddx

(f

y

)](x) = 0



e como (x) e arbitraria agas os puntos extremos, para que J = 0 tensenecesariamente que satisfacer

f

y ddx

(f

y

)= 0,

que e a ecuacion diferencial de Euler para a curva y = y(x) que resolve onoso problema.

No caso mais xeral no que o funcional J depende non dunha senon devarias curvas:

J =

x2x1

dxf [yj(x), yj(x), x]

con j = 1, 2, ...n, razoaremos de forma analoga definindo familias de curvasyj(x, ) = yj(x) + j(x), j = 1, ..., n co cal chegamos a condicion:

J =

x2x1

dxnj=1

[f

yj ddx

(f

yj

)]j(x),

a cal, dada a arbitrariedade e independencia das i(x), equivale as n ecua-cions de Euler:

f

yj ddx

(f

yj

)= 0, j = 1, ..., n.

Nalguns casos particulares a funcion f non depende dunha das yi. Neste casoa correspondente ecuacion de Euler ten unha forma especialmente sinxela eunha primeira integracion da mesmas e inmediata:

f

yj= c,

onde c e unha constante independente de x.

2.1.1. Segunda forma das ecuacions de Euler

Calculemos a derivada total da funcion f con respecto a variable indepen-dente x:

df

dt=f

x+j

[f

yjyj +

f

yjyj

]=

f

x+

d

dx

j

[f

yjyj

]+j

[ ddx

(f

yj

)+f

yj

]yj

e, polo tanto:

f

x+

d

dx

j

f

yjyj f

= 0.Mecanica Clasica II 6 Grao en Fsica USC


Esta e a chamada segunda forma das ecuacions de Euler, que e especialmenteconveniente cando f non depende explicitamente da variable independentex, fx = 0 xa que enton:

d

dx

j

f

yjyj f

= 0e a cantidade entre corchetes e unha constante independente de x:

j

f

yjyj f = c.

2.2. Exemplos

2.2.1. Xeodesicas no plano:

Imos resolver o problema de atopar a curva de lonxitude mnima quepasa por dous puntos dun plano, P1, P2.

A metrica eucldea e:ds2 = dx2 + dy2,

que se pode expresar

ds = dx

1 +

(dy

dx

)2,

onde estamos elixindo x como coordenada independente, e dicir, considera-mos curvas y = y(x) que pasan polos puntos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2)de xeito que o funcional lonxitude:

L =

P2P1

ds =

x2x1

dx

1 +

(dy

dx

)2sexa mnimo. Neste caso a lagrangiana non depende de y nin de x: f(x, y, y) =

1 + y2 e as ecuacions de Euler-Lagrange son

d

dx

y1 + y2

= 0,de onde y

1 + y2

= c,onde c e unha constante, e, polo tanto

y =

c2

1 c2= a



que e a ecuacion dunha recta y = ax + b, determinandose as constantescoas condicions de que a recta pase polos puntos extremos: y(x1) = y1,y(x2) = y2.

Esta e a maneira de calcular as xeodesicas sobre unha superficie, andaque a metrica non sera a eucldea no caso mais xeral.

2.2.2. Problema da braquistocrona:

Tratase de atopar a curva tal que, dados dous puntos dun plano vertical,unha partcula que parte do repouso cae baixo a accion da gravidade dopunto mais alto ao mais baixo no menor tempo posible. A solucion a esteproblema que imos ver e debida a Johann Bernouilli en 1696, pero existenoutras alternativas debidas a Newton, Leibnitz, etc.

Sexa x a distancia ao longo dun eixo vertical dirixido cara abaixo. Otempo investido en percorrer un elemento ds ao longo da curva e dt =dsv , onde v e a velocidade. O ingrediente orixinal da solucion de Bernouilli

e utilizar a conservacion da enerxa: mgx = 12mv2 v =

2gx. O funcional

a minimizar e o tempo total de cada:

T =

dt =

ds

v=

x0dx

1 + y2

2gx.

A lagrangiana e agora:

f(y, y, x) =

1 + y2

x

e a ecuacion de Euler-Lagrange, dado que fy = 0:

d

dx

(f

y

)= 0 f

y=

1

2

(1 + y2

x

) 12 2y

x= c ,

de onde y2 = c2x(1 + y2), sendo c unha constante de integracion, e, despe-xando e integrando:

y =dy

dx=

cxx c2x2

y(x) =dx

cxx c2x2

.

Para calcular a integral e escribir a solucion en forma parametrica, facemoso cambio de variable:

x =1

2c2(1 cos ) dx = 1

2c2sin d

e a integral queda, despois dun pequeno calculo:

y(x) =1

2c2

d(1 cos ) = 1

2c2( sin ) + b



onde b e unha segunda constante de integracion. Se, sen perder xeneralidade,fixamos o punto inicial na orixe de coordenadas x = 0 = 0 e y = 0 b = 0, co cal temos a ecuacion da braquistocrona en forma parametrica:

x =1

2c2(1 cos ) = a(1 cos )

y =1

2c2( sin ) = a( sin ),

que e a ecuacion dunha cicloide onde a constante a = 12c2

vira fixada polacondicion de que a curva pase polo punto final (x2, y2).

Por exemplo, se (x2, y2) = (1, 1) a(1 cos 1) = 1 = a(1 sin 1),ecuacion que se pode resolver numericamente para dar 1 = 2,412, a =0,573. O tempo total pode calcularse ao longo da cicloide:

Tcic =

2,4120

df(, , x) =1,826g,

mentres que calculado ao longo dunha recta obtense:

Trec =2g,

e ao longo dun arco de circunferencia:

Tarc =1,854g.

3. O principio de Hamilton

3.1. O funcional de accion.

Consideremos a integral:

S =

t2t1L(qi, qi, t)dt

Se identificamos

x tyi qi

f(yi, yi, x) L(qi, qi, t)

vemos que as ecuacions de Lagrange que conecemos son precisamente asecuacions de Euler-Lagrange deducidas da condicion ou principio variacionalde que S sexa un extremo:

S = 0



Este e o principio de Hamilton para sistemas conservativos: o movemento dosistema entre os tempos t1 e t2 e tal que a integral curvilnea S =

t2t1Ldt,

onde L = T V , e extremal respecto das traxectorias qi = qi(t). S e aaccion no sentido de Hamilton. O principio pode enunciarse tamen dicindoque de todas as traxectorias posibles que pode describir o sistema paraevolucionar entre os tempos t1 e t2, a que en realidade describira e aquela quefai estacionaria ou extremal a accion S (normalmente tratase dun mnimo).

O principio de Hamilton e equivalente as ecuacions de Lagrange e a se-gunda lei de Newton. Podese construr toda a Mecanica dos sistemas conser-vativos tomando como postulado basico o principio de Hamilton. Algunhasdas vantaxes que ten este principio son:

Manexa so magnitudes escalares, polo que e un metodo invariantebaixo cambios de coordenadas.

Permite describir coa linguaxe da mecanica sistemas que non sonmecanicos (teoras de campos, mecanica estatstica, etc.) xa que sebasea en enerxas e non en forzas e posicions.

Xeneralzase ao caso relativista.

3.2. Sistemas non conservativos

O principio de Hamilton podese formular tamen para sistemas non conser-vativos, caso no que se expresara:

S =

t2t1

(T +W )dt = 0,

onde W e o traballo virtual total de todas as forzas:

W =i

Fi ri =j

Qjqj .

Deste principio deducense as ecuacions de Lagrange para sistemas non ne-cesariamente conservativos. Neste caso a integral da variacion da enerxacinetica mais o traballo virtual total realizado debe ser estacionaria. O casoconservativo e un caso particular, xa que enton:

Qj = V

qj W =

j

Qjqj = j

V

qjqj = V,

co cal

S =

t2t1

(T +W )dt =

t2t1

(T V )dt = t2t1

(T V )dt = t2t1Ldt = 0,



recuperando a formulacion anterior do principio de Hamilton. Nun sistemaxeral, non necesariamente conservativo temos:

t2t1Tdt =

t2t1

j

[T

qj ddx

(T

qj

)]qjdt

t2t1Wdt =

t2t1Wdt =

t2t1

j

Qjqjdt

e, sumando:

t2t1

(T +W )dt =

t2t1

j

[T

qj ddx

(T

qj

)+Qj

]qjdt.

Se as coordenadas qj son independentes, isto conduce a que cada un dostermos no sumatorio debe anularse por separado e obtemos as ecuacions deLagrange no caso xeral:

d

dx

(T

qj

) Tqj

= Qj .

3.3. Potenciais dependentes da velocidade

Anda no caso de que as forzas dependan da velocidade, se e posible atoparunha funcion U(q, q, t) tal que

Qj =d

dt

(U

qj

) Uqj

, j = 1, 2, . . . , n

e posible definir unha funcion lagrangiana L = T U de xeito que as ecua-cions do movemento son:

d

dt

(L

qj

) Lqj

= 0.

U chamase potencial dependente da velocidade. Se ademais hai forzas quederiven dun potencial conservativo no sentido ordinario V (q), este pode

inclurse en U , xa que Qj =ddt

(Uqj

) Uqj reducese a

Vqj

para os termos

que non contenen as velocidades.

3.4. Exemplo: partcula nun campo electromagnetico:

O exemplo mais interesante e, desde logo, o da forza electromagnetica sobreunha partcula cargada, a forza de Lorentz:

F = q(E + v B),



que no caso en que non exista campo magnetico B = 0 e conservativa, xaque deriva do potencial escalar electrostatico : F = qE = q. None difcil comprobar que as componentes de F poden ponerse como

Fi =d

dt

(U

xi

) Uxi

,

ondeU = q qA v,

sendo o potencial escalar e A o potencial vector. Os campos electrico emagnetico se expresanse en termos de ditos potenciais como:

E = t

A

B = A.

A lagrangiana dunha partcula cargada nun campo electromagnetico podeescribirse enton como:

L = T U = T q + qA v,

e as ecuacions do movemento tenen a mesma forma que no caso conservativo.U pode depender de t. Se non e ase o sistema de coordenadas e fixo

(ligaduras independentes do tempo), enton L e independente do tempo e acantidade

H =j

qjL

qj L

sera unha constante do movemento. Neste caso dise que as forzas son con-servativas, anda que dependan da velocidade. Se U e linear nas velocidades(como no caso electromagnetico), enton H = T +V , onde V e a enerxa po-tencial ordinaria (a parte independente das velocidades), no noso exemplo:

H = T + V = T + q.

4. Sistemas con ligaduras. Metodo dos multiplica-dores de Lagrange

4.1. Sistemas con dous graos de liberdade e unha ligadura

Comezaremos polo caso sinxelo dun sistema con dous graos de liberdadee coordenadas (x, y) e unha ligadura holonoma f(x, y) = 0. O metodo la-grangiano que conecemos ata o de agora consiste en eliminar unha das coor-denadas utilizando a ecuacion da ligadura, deixando a outra como unicacoordenada independente. Neste proceso, a forza de ligadura non aparece enningun momento.



Suponamos que temos algunha razon para querer conecer esa forza deligadura. O que faremos sera manter as duas variables e incorporar a ligaduradunha maneira distinta.

Consideremos o funcional de accion:

S =

t2t1L(x, x, y, y)dt = 0.

O principio de Hamilton dinos que para unha variacion das traxectorias noespazo de configuracions:

x(t) x(t) + x(t)y(t) y(t) + y(t),

a accion e estacionaria:S = 0.

Enton:

S =

(L

xx+

L

xx+

L

yy +

L

yy

)dt =

=

(L

x ddt

(L

x

))xdt+

(L

y ddt

(L

y

))ydt = 0

para calquera desprazamento x, y compatible coas ligaduras. Se x, yfosen independentes, cada integral tera que anularse por separado e ob-teramos as duas ecuacions do movemento. Pero como temos unha ligaduraf(x, y) = 0, estes desprazamentos xa non son independentes, senon quesatisfan a ecuacion:

f =f

xx+

f

yy = 0

ouaxx+ ayy = 0,

onde ax =fx e ay =

fy . Se multiplicamos a ecuacion anterior por unha fun-

cion en principio arbitraria (t) (multiplicador indeterminado de Lagrange),integramos e sumamos a integral do principio variacional, e evidente queseguimos tendo: (

L

x ddt

(L

x

)+ (t)

f

x

)xdt+

(L

y ddt

(L

y

)+ (t)

f

y

)ydt = 0

Como a funcion (t) e arbitraria, imos elixila de xeito que se satisfaga:

L

x ddt

(L

x

)+ (t)

f

x= 0, x,



co cal a primeira integral anulase. Agora o multiplicador (t) xa non e ar-bitrario; esta determinado pola ecuacion anterior. Volvendo a integral doprincipio variacional, o factor que multiplica a y debe anularse e temos:

L

y ddt

(L

y

)+ (t)

f

y= 0, y.

O resultado final e que temos as ecuacions de Lagrange modificadas:

d

dt

(L

x

) Lx

= (t)f

x= (t)ax

d

dt

(L

y

) Ly

= (t)f

y= (t)ay,

que xunto coa ecuacion de ligadura

f(x, y) = 0

forman un sistema de tres ecuacions nas que as funcions incognita son agorax(t), y(t) e (t). E importante decatarse de que as ecuacions de Lagrangemodificadas son as ecuacions de Lagrange ordinarias que obteramos dunhalagrangiana

L = L+ f,

como e doado comprobar, xa que nin nin f dependen das velocidades. Esteprocedemento e analogo ao de calculo de extremos condicionados na analisematematica ordinaria.

4.1.1. Significado fsico dos multiplicadores:

Antes de pasar ao estudo xeral do metodo, imos xa tratar de entendero significado fsico do multiplicador . Sigamos co caso simplificado de duascoordenadas e unha ligadura holonoma e consideremos a lagrangiana:

L(x, y, x, y) =1

2m1x

2 +1

2m2y

2 U(x, y)

que pode representar duas partculas nunha dimension cunha interaccionmutua dada polo potencial U , e a ligadura holonoma f(x, y) = 0. Seguin-do o procedemento anterior obtemos que a ecuacion do movemento para acoordenada x:

d

dt

(L

x

) Lx

= (t)f

x= (t)ax

e, neste caso:

m1x = U

x+

f

x

que e a ecuacion de Newton para a partcula 1. O primeiro termo do segundomembro da ecuacion e a forza aplicada que actua sobre a partcula Ux =



F(a)x . Dado que dito segundo membro representa a forza total resultante,

o termo do multiplicador ten que ser necesariamente a forza de ligadura,e dicir:

m1x = Fx = F(a)x + F

(lig)x

onde

f

x= F (lig)x

e analogamente para y. Resumindo podemos afirmar que o multiplicador deLagrange representa basicamente a forza de ligadura.

4.2. Exemplo: maquina de Atwood:

Vexamos como exemplo a maquina de Atwood, onde a lagrangiana e:

L(x, y, x, y) =1

2m1x

2 +1

2m2y

2 +m1gx+m2gy

coa ligadura de que a lonxitude total da corda que une ambas masas e cons-tante x+ y = l ou

f(x, y) = x+ y l = 0.

As ecuacions do movemento seran neste caso:

d

dt

(L

x

) Lx

= (t)f

x= (t)ax m1xm1g =

d

dt

(L

y

) Ly

= (t)f

y= (t)ay m2y m2g =

x+ y = 0

Nas ecuacions anteriores vese que representa a tension da corda, que tendireccion contraria ao peso = T . A solucion do sistema de ecuacionsanteriores e a que xa coneciamos:

x = y = m1 m2m1 +m2

= 2 m1m2m1 +m2

g

4.3. Caso xeral

Suponamos que temos un sistema con coordenadas qk, k = 1 . . . n. Paradeducir as ecuacions de Lagrange a partir do principio variacional S = 0, acondicion de sistema holonomo utilizabase so ao final do razoamento, candoas qk considerabanse independentes. Suponamos agora que temos ligadurasadicionais do tipo:

nk=1

alkqk + alt = 0 l = 1, . . . ,m



ounk=1

alkdqk + altdt = 0 l = 1, . . . ,m,

onde os alk = alk(q, t) son coeficientes dependentes das coordenadas e otempo. Este tipo de ligaduras dependen linearmente das velocidades e polotanto non son, en xeral, holonomas, pois non sempre se poden integrar estasm ecuacions para ponelas da forma

fl(q, t) = 0 l = 1, . . . ,m.

Sen embargo, o caso holonomo e un caso particular, pois un conxunto deligaduras holonomas sempre se pode derivar:

flqk

qk +flt

= 0,

que e da forma anterior con

alk =flqk

, alt =flt.

En todo o procedemento variacional, os desprazamentos son virtuais, a tconstante, e polo tanto:

nk=1

alkqk = 0, (t = 0)

co cal, os qk deixan de ser independentes. Para reducir o numero de des-prazamentos virtuais e deixar so aqueles que si poidan considerarse indepen-dentes, utilizaremos os multiplicadores de Lagrange. Se multiplicamos cadaunha das ecuacions anteriores por funcions arbitrarias do tempo l:

l

nk=1

alkqk = 0,

e sumando a todas as ligaduras e integrando sobre o tempo da: t2t1dt

ml=1

l

nk=1

alkqk = 0

Se volvemos a deducion das ecuacions de Lagrange a partir do principio deHamilton, lembremos que

t2t1dtL = 0

t2t1dt

nk=1

[L

qk ddt

(L

qk

)]qk = 0



Sumando estas duas ultimas expresions chegamos a que t2t1dt

nk=1

[L

qk ddt

(L

qk

)+

ml=1

lalk

]qk = 0

A existencia das m ligaduras fai que os qk non sexan independentes, poloque non se pode igualar a 0 cada un dos termos entre corchetes. Conside-remos como independentes os nm primeiros; os m restantes viran dadosen funcion deles polas m ecuacions de ligadura. Sen embargo, os son ar-bitrarios e polo tanto podemos escollelos da maneira que mais nos convena.Fagamolo de xeito que

L

qk ddt

(L

qk

)+

ml=1

lalk = 0, k = nm+ 1, . . . , n

co cal nos queda: t2t1dt

nmk=1

[L

qk ddt

(L

qk

)+

ml=1

lalk

]qk = 0,

expresion onde o primeiro sumatorio chega ata n m e os l xa non sonarbitrarios, pois estan fixados pola ecuacion anterior. Agora si que os qk,con k = 1, . . . , nm xa son independentes e podemos igualar a 0 coeficientea coeficiente:

L

qk ddt

(L

qk

)+

ml=1

lalk = 0, k = 1, . . . , nm.

En conclusion, o metodo levanos a considerar o sistema de ecuacions:

L

qk ddt

(L

qk

)+

ml=1

lalk = 0, k = 1, . . . , n

nk=1

alkqk + alt = 0, l = 1, . . . ,m,

que son n+m ecuacions con n+m incognitas: as n qk e os m l.

4.4. Significado fsico dos multiplicadores de Lagrange

Neste procedemento temos enton mais ecuacions que no ordinario de La-grange, onde as ligaduras se incorporan dende o principio. Insistamos enque agora as ecuacions de ligadura non se utilizan ata o final, co cal temosun sistema mais complexo, pero a cambio tamen obtemos mais informacion:aquela contida nos propios multiplicadores. Vexamos agora cal e o significa-do fsico destes: xa sabemos que se trata basicamente das forzas de ligadura.Se escribimos as ecuacions como

d

dt

(L

qk

) Lqk

=ml=1

lalk



e suponemos que estamos no caso conservativo e L conten o potencial dasforzas aplicadas, podemos reescribir as ecuacions como:

d

dt

(T

qk

) Tqk

= Vqk

+ml=1

lalk = Q(a)k +

ml=1

lalk.

O primeiro termo do segundo membro e a forza xeneralizada aplicada, men-tres que o segundo termo ten que ser a forza xeneralizada de ligadura parater as ecuacions de Lagrange xerais:

d

dt

(T

qk

) Tqk

= Qk = Q(a)k +Q

(lig)k .

Polo tanto:ml=1

lalk = Q(lig)k

e recuperamos o resultado de que conecidos os multiplicadores de Lagrangeconecemos tamen as forzas de ligadura como parte da solucion obtida poreste metodo, que, resumindo, utilizaremos cando:

Non se poida ou non resulte comodo reducir todas as coordenadas aindependentes, eliminando as restantes das ecuacions de ligadura.

As ligaduras sexan non holonomas porque dependen das velocidadesde forma linear.

Interesanos conecer as forzas de ligadura.

4.5. Ligaduras holonomas

Volvamos ao caso en que as ligaduras sexan holonomas:

d

dt

(L

qk

) Lqk

=ml=1

lalk =ml=1

lflqk

=

qk

(ml=1

lfl(q, t)

)

que se pode escribir como:

d

dt

(L

qk

) Lqk

= 0,

sendo

L = L+ml=1

lfl(q, t)

e onde utilizamos que os termos lfl non dependen das velocidades. Defi-nindo:

W = ml=1

lfl(q, t),



enton:L = LW = T (V +W )

e W xoga o papel de potencial das forzas de ligadura.Vemos que neste caso, o metodo e totalmente analogo ao dos multipli-

cadores de Lagrange que utilizabamos no calculo diferencial ordinario paraproblemas de maximos e mnimos condicionados.

4.6. Exemplo: aro que roda por un plano inclinado.

x

r

Figura 2: Aro que roda por un plano inclinado

Consideremos o sistema da figura, onde un aro roda sen esvarar por un planoinclinado. Tomaremos como coordenadas xeneralizadas a distancia medidaao longo do plano, x e o angulo que roda o aro, . A ligadura de rodar senesvarar pode expresarse mediante a condicion de que o punto de contactodo aro co plano ten velocidade instantanea nula. Dita velocidade ten untermo de traslacion e outro de rotacion: vP = vCM + rP e no noso casoescrbese:

0 = x r,

onde r e o radio do aro. Neste caso temos unha soa ligadura a que lleimos asignar un multiplicador de Lagrange . . Podemos escribila tamen daseguinte forma:

dx rd = 0

e os coeficientes que aparecen nas ecuacions do movemento seran ax = 1,a = r. Evidentemente a ligadura pode integrarse para ponela como unhaligadura holonoma que relaciona alxebricamente x e : x = r.

Para escribir a lagrangiana debemos ter en conta que a enerxa cineticado aro se pode poner como suma dun termo de traslacion e outro de rotacion:

T = Ttr + Trot =1

2Mx2 +

1

2I2



onde I = Mr2 e o momento de inercia do aro respecto ao seu centro. Aenerxa potencial respecto a base do plano inclinado e V = Mg(l x) sin,onde l e a lonxitude do plano e a inclinacion do mesmo. A lagrangiana e,enton:

L = T V = 12Mx2 +

1

2Mr22 Mg(l x) sin.

Nesta lagrangiana anda non se incorporou a ligadura e seguen aparecen-do ambas coordenadas e velocidades; isto faremolo so despois de escribir osistema de ecuacions do movemento:

MxMg sin = ax = Mr2 = a = r

x = r.

Este e un sistema de tres ecuacions onde as funcions incognita son x. e .Se tiveramos utilizado o metodo lagrangiano normal, sen multiplicadores,teramos so unha ecuacion correspondente ao unico grao de liberdade quequedara se incorporasemos a ligadura dende o principio.

A solucion do sistema e doada de obter, derivando a ligadura e substi-tundo nas outras duas ecuacions:

x =1

2g sin, = 1

2Mg sin, =

1

2rg sin.

O aro descende polo plano coa metade da aceleracion coa que o fara se esva-rase sen rodar. A forza de ligadura e a forza de rozamento que implementaa rodadura:

Qx = Fx = ax = = 1

2Mg sin,

onde o signo menos indica que a forza vai no sentido oposto ao movemento.

5. Propiedades de simetra e leis de conservacion

5.1. Unicidade da lagrangiana. Transformacions gauge.

Consideremos a lagrangiana dun sistema a que lle engadimos a derivadatemporal total dunha funcion das coordenadas xeneralizadas e o tempo:

L(q, q, t) = L(q, q, t) +dM(q, t)

dt.

Podemos comprobar sen moita dificultade que L e L satisfan as mesmasecuacions do movemento.

d

dt

((L L)

q

) (L

L)q

=



=d

dt

(

q

dM

dt

) q

dM

dt=

=d

dt

q

(M

qq +

M

t

) q

(M

qq +

M

t

)=

=d

dt

M

q q

(M

qq +

M

t

)=

=2M

q2q +

t

M

q q

(M

qq +

M

t

)=

= 0.

Ambas lagrangianas son igualmente validas para describir o movemento dosistema, e dicir, a lagrangiana non e unica. De feito hai un conxunto infinitode lagrangianas equivalentes para un sistema dado. Unha delas e L = T V ,que as veces se chama lagrangiana natural, pero pode haber outras de formadistinta que se diferencian nunha derivada total.

O mesmo resultado se pode deducir do principio de Hamilton, xa que oscorrespondentes funcionais de accion se diferencian nun termo de fronteira:

S S = t2t1dtL

t2t1dtL =

t2t1dt

(dM

dt

)= M(q2, t2)M(q1, t1).

Enton, S S = M2 M1 = 0, dado que as variacions das traxectoriasdeixan fixos os puntos inicial e final.

Por exemplo, as lagrangianas L = 12 x2 12x

2 e L = 12 x2 x2 + xx levan

as mesmas ecuacions do movemento pois se diferencian en xx = 12ddt(x

2):ambas son lagrangianas equivalentes para o oscilador harmonico.

Un exemplo de gran importancia e o da partcula cargada nun campoelectromagnetico. Neste caso, unha transformacion dos potenciais dada por:

A A = A +

= t

non modifica os campos electrico e magnetico e leva a unha transformacionda lagrangiana:

L =1

2r2 q + qv A = L+ q

[

t + v

]= L+

d

dt

que, como vimos de argumentar, non ten efecto ningun sobre as ecuacionsdo movemento. Os potenciais non son unicos e polo tanto non poden serobservables. A lagrangiana tampouco. A transformacion anterior chamaseunha transformacion gauge.

5.2. Teorema de Noether

Repasaremos nesta seccion a propiedade de que unha transformacion desimetra conduce sempre a unha lei de conservacion. Este resultado e o que



se conece como Teorema de Noether e e un principio xeral de toda a Fsica.Unha transformacion de simetra e un cambio nas variables do problemaque deixa invariantes as ecuacions do movemento. No noso caso, pode serporque a lagrangiana permanece invariante (simetra da lagrangiana) ou benporque a lagrangiana vara nunha derivada total que non contribue a accionde Hamilton e tampouco as ecuacions do movemento (simetra da accion).

Para probar o teorema consideremos unha transformacion uniparametri-ca das traxectorias:

qj(t) qj(t, ) = qj(t) + qj(t)

onde ambas traxectorias son reais, e dicir, ambas satisfacen as ecuacions deLagrange. Calculemos a variacion da lagrangiana:

L =j

[L

qjqj +

L

qjqj

]=j

[L

qj ddt

L

qj

]qj +

d

dt

j

L

qjqj

.O primeiro termo anulase porque as traxectorias reais satisfacen as ecua-cions de Lagrange polo que a variacion la lagrangiana e unha derivada totalrespecto do tempo:

L =d

dt

j

L

qjqj

.Se trata dunha simetra da lagrangiana, L = 0, e a cantidade entre corchetesda ecuacion anterior e unha constante do movemento:

I =j

L

qjqj .

De maneira mais xeral, se o que temos e unha simetra da accion, a lagran-giana esta determinada salvo unha derivada total: L = L+ dMdt , e polo tanto

L = L+ dMdt . Para que tenamos unha simetra e suficiente enton que:

L =dM

dt d

dt

j

L

qjqj M

e a cantidade conservada sera, neste caso:

I =j

L

qjqj M

Como exemplo consideremos a transformacion de coordenadas. Sexa un ifixo e

qj qj + ij



ou sexa, trasladase a coordenada qi unha cantidade constante, deixandoas demais sen cambios. Se a lagrangiana e invariante, por exemplo porque acoordenada qi e cclica, enton M = 0 e:

I =j

L

qjqj =

j

pjqj = pi

e a constante do movemento e o momento canonico conxugado pi, como xasabiamos. Se a coordenada qi e unha coordenada cartesiana, a transforma-cion e unha traslacion espacial na direccion desa coordenada e o correspon-dente momento conservado e a proxeccion do momento lineal nesa direccion.Cando qi e un angulo teremos invariancia fronte a rotacions, e o momentoconservado sera a componente do momento angular na direccion do eixo derotacion. Estas leis de conservacion xa foron discutidas anteriormente e parasistemas aillados son consecuencia das simetras xeometricas do espazo (e otempo). Noutros casos non existiran necesariamente coordenadas cclicas, apesares do cal as lagrangianas presentan simetras que non son evidentes ehai que descubrir.

En relacion coa variable temporal, sabemos que cando a lagrangiana nondepende explcitamente do tempo hai unha cantidade que se conserva, xaque:

dL

dt=L

t+j

[L

qjqj +

L

qjqj

]=

L

t+d

dt

j

[L

qjqj

]+j

[ ddt

(L

qj

)+L

qj

]qj

e, polo tanto:L

t+d

dt

j

[L

qjqj L

]= 0,

de tal xeito que cando a lagrangiana non depende explcitamente do tempo,a cantidade entre corchetes e unha constante do movemento.

h =j

L

qjqj L

Isto non e mais que o que anteriormente chamamos segunda forma da ecua-cion de Euler. A funcion h chamase funcion enerxa ou funcion de Jacobi ecoincide co valor da funcion hamiltoniana que imos definir a continuacion,unha vez que fagamos un cambio nas variables dado por unha transforma-cion de Legendre.



6. Formalismo hamiltoniano

6.1. Transformacions de Legendre e funcion hamiltoniana

Definamos o que se conece matematicamente como unha transformacion deLegendre. Sexa unha funcion f = f(x, yj , t), j = 1, . . . n e consideremos asua diferencial:

df =f

tdt+

j

(f

xjdxj +

f

yjdyj

)= wdt+

j

(ujdxj + vjyjdyj) ,

onde uj =fxj

, vj =fyj

, w = ft e (xj , uj), (yj , vj), (t, w) son parellas de

variables conxugadas. O obxecto da transformacion de Legendre e construirunha nova funcion a partir de f na que parte das variables independentes,por exemplo as xj se substituen polas suas conxugadas. Sexa esta novafuncion

g =j

ujxj f

e escribamos a sua diferencial:

dg =j

(ujdxj + xjduj) df =

=j

(ujdxj + xjduj)j

(ujdxj + vjdyj) wdt =

=j

(xjduj + vjdyj) wdt,

de xeito que g = g(uj , yj , t) con

g

uj= xj ,

g

yj= vj ,

g

t= w.

As variables xj e vj son agora funcions das variables independentes uj e yjsegundo as ecuacions anteriores.

A funcion g chamaselle a transformada de Legendre de f .As transformacions de Legendre usanse en Termodinamica para construir

uns potenciais termodinamicos a partir doutros. Por exemplo, a enerxainterna U e unha funcion da entropa e do volume U = U(S, V ), dU =TdSpdV , de xeito que US = T e

UV = p. A entalpa H obtense mediante

unha transformacion de Legendre respecto as variables conxugadas (V, p):H = H(S, p) = U + pV , con HS = T e

Hp = V . Analogamente se poden

definir a enerxa libre de Helmholtz F (T, V ) = U TS e a enerxa libre deGibbs G(T, p) = H TS.

En Mecanica facemos unha transformacion de Legendre para pasar dasvariables qj as suas conxugadas pj , e da funcion Lagrangiana L = L(qj , qj , T )



a funcion hamiltoniana ou hamiltoniana:

H =j

pj qj L,

ondeH = H(qj , pj , t)

e unha funcion das coordenadas e os momentos, que pasan a ser variablesindependentes que xogan un papel equivalente. Hai unha coordenada e unmomento por cada grao de liberdade. O espazo de 2n dimensions expandidopolas qj e pj chamase espazo de fases e xogara un papel importante enMecanica Estatstica, oscilacions non lineares, etc. O movemento dun puntoneste espazo estara determinado polas ecuacions de Hamilton ou ecuacionscanonicas.

A definicion da hamiltoniana e a mesma que a funcion de Jacobi h, pe-ro e importante distinguir de que variables depende cada unha delas. EnH, a transformacion de Legendre fai que toda a dependencia nas velocida-des qj sexa substituda pola dependencia nos momentos pj . Na practica oprocedemento para obter a hamiltoniana e o seguinte: as ecuacions

pj =L

qj

definen os momentos como funcions das velocidades:

pj = pj(qj , qj , t).

Se suponemos que deste sistema de ecuacions se poden despexar as veloci-dades:

qj = qj(qj , pj , t),

a hamiltoniana obtense substitundo esta expresion na definicion:

H(qj , pj , t) =j

pj qj(qj , pj , t) L (qj , qj(qj , pj , t), t)

.

6.2. Ecuacions canonicas

Calculemos a diferencial de H considerando que H = H(qj , pj , t):

dH =j

(H

qjdqj +

H

pjdpj

)H

tdt.

Ademais, partindo da defincion H =j pj qj L temos que:



dH =j

(pjdqj + qjdpj

L

qjdqj

L

qjdqj

) Ltdt =

=j

(qjdpj

L

qjdqj

) Ltdt,

xa que Lqj = pj. Usando as ecuacions de LagrangeLqj

= pj , obtemos que

dH =j

(qjdpj pjdqj)L

tdt,

e comparando:

qj =H

pj, pj =

H

qj,

H

t= L

t.

que son as ecuacions de Hamilton ou ecuacions canonicas. Ademais temosque, usando estas ecuacions en (6.2):

dH =j

(qjdpj pjdqj) +H

tdt

e, dividindo por dt:

dH

dt=j

(qj pj pj qj) +H

t=H

t:

dH

dt=H

t= L

tA funcion hamiltoniana ten a caracterstica especial de que a sua depen-dencia total no tempo e igual a explcita, e por iso cando H non dependeexplicitamente do tempo (e polo tanto L tampouco) e automaticamenteunha constante do movemento. Mais adiante veremos que isto non e casua-lidade e que a hamiltoniana satisfai estas propiedades porque e a funcionque xera a evolucion temporal. Ademais, cando a lagrangiana e cuadraticanas velocidades, a hamiltoniana coincide coa enerxa total do sistema e podecalcularse doadamente expresando esta ultima en funcion das coordenadase os momentos.

6.3. Exemplos

6.3.1. Partcula nun potencial central

Unha partcula que se move nun potencial central que so depende dadistancia a orixe ten unha lagrangiana:

L =1

2m(r2 + r22 + r2 sin2 2) V (r)



en coordenadas esfericas. Os momentos canonicos conxugados son:

pr = mr, p = mr2, p = mr

2 sin2 ,

relacions que se poden inverter para obter as velocidades

r =prm, =

pmr2

, =p

mr2 sin2 .

Sustituindo estas expresions na defincion H =j pj qj L obtemos a ha-

miltoniana da partcula no potencial central:

H(r, , , pr, p, p) =p2r2m

+p2

2mr2+

p22mr2 sin2

+ V (r).

Esta hamiltoniana e unha constante do movemento xa que non dependeexplcitamente de t. Ademais, o seu valor coincide co da enerxa total, xaque L e cuadratica nas velocidades.

En coordenadas esfericas, a simetra baixo rotacions e explcita e se re-flicte no feito de que as coordenadas angulares , son cclicas. Sen embargo,en coordenadas cartesianas:

H(x, y, x, px, py, pz) =p2x2m

+p2y2m

+p2z2m

+ V (x2 + y2 + z2)

e non hai ningunha coordenada cclica, anda que a simetra e, evidentemen-te, a mesma e o momento angular unha constante do movemento.

6.3.2. Partcula cargada nun campo electromagnetico

A lagrangiana e:

L = T U = 12mv2 q + qA v

e o momento:

p = mv + qA v = p qAm

.

Enton,

H = p v L = p v 12m

(p qAm

)2+ q qA v = (p qA)

2

2m+ q.

Neste exemplo vemos que H = T + V , onde V e a parte conservativa dopotencial (a que non depende da velocidade). H conservase xa que nondepende explcitamente do tempo, pero non coincide coa enerxa, que contentamen a parte do potencial dependente da velocidade: H = T + V 6= E =T +U . Isto e debido a que a lagrangiana non e cuadratica na velocidade. Aenerxa total non se conserva.



6.4. As ecuacions canonicas e o principio variacional

As ecuacions canonicas poden obterse tamen, por suposto, dun principio va-riacional. Na obtencion das ecuacions de Lagrange considerabamos traxec-torias no espazo de configuracion n-dimensional. Agora debemos considerara accion coma un funcional no espazo de fases de 2n dimensions e expresalaen funcion da hamiltoniana da seguinte forma:

S =

t2t1dt

j

pj qj H

,onde qj(t) varase coa condicion de contorno qj(t1) = qj(t2) = 0 (none necesario imponer tal condicion explcitamente nos pj , como veremos maisabaixo).

Se facemos as variacions de xeito analogo ao caso lagrangiano:

S =

t2t1dtj

[pjqj + qjpj

H

qjqj

H

pjpj

]= 0.

Integrando por partes o termo en qj e tendo en conta que os termos defronteira se anulan:

S =

t2t1dtj

[pjqj + qjpj

H

qjqj

H

pjpj

]=

=

t2t1dtj

[(pj +

H

qj

)qj +

(qj

H

pj

)pj

]= 0

e se as qj e as pj se consideran independentes, isto conducenos as ecuacionsde Hamilton:

qj =H

pj, pj =

H

qj.

En realidade non sera necesario considerar as pj como independentes, poisos coeficientes de pj son identicamente nulos polas ecuacions da transfor-macion de Legendre, e de feito viran fixados polos qj , pero isto non alterao resultado de que as ecuacions canonicas son consecuencia do mesmo prin-cipio variacional que as Lagrange e polo tanto equivalentes a elas.

6.5. Corchetes de Poisson

Sexa unha funcion calquera F (q, p, t) do espazo de fases. Calculemos asua derivada total respecto do tempo:

dF

dt=F

t+j

[F

qjqj +

F

pjpj

]=F

t+j

[F

qj

H

pj Fpj

H

qj

].



Definimos o corchete de Poisson de duas funcions do espazo de fases F (q, p, t),G(q, p, t) como:

{F,G} =j

[F

qj

G

pj Fpj

G

qj

].

Esta operacion ten como resultado outra funcion do espazo de fases e ten asseguintes propiedades:

Antisimetra:{A,B} = {B,A}

Bilinearidade:

{A+ B,C} = {A,B}+ {B,C}{A, B + C} = {B,C}+ {B,C}

Regra de Leibnitz

{AB,C} = A{B,C}+ {A,C}B{A,BC} = {A,B}C +B{A,C}

Identidade de Jacobi:

{{A,B}, C}+ {{B,C}, A}+ {{C,A}, B} = 0{A, {B,C}}+ {B, {C,A}}+ {C, {A,B}} = 0

Propiedades que fan do corchete de Poisson un produto de Lie. Desta defi-nicion e inmediato obter os corchetes de Poisson fundamentais:

{qi, qj} = {pi, pj} = 0{qi, pj} = ij .

Para unha funcion calquera F (q, p, t) do espazo de fases, a sua derivada totalrespecto do tempo e:

dF

dt=F

t+j

[F

qjqj +

F

pjpj

]=F

t+j

[F

qj

H

pj Fpj

H

qj

],

onde H e a Hamiltoniana e usamos as ecuacions canonicas. Reconecemos nosegundo membro o corchete de Poisson, polo que a derivada de F se podeescribir:

dF

dt=F

t+ {F,H}



e por iso se di que H e a funcion que xenera a evolucion temporal. Porexemplo, para F = qi, F = pi:

qi =j

[qiqj

H

pj qipj

H

qj

]=j

ij H

pj=H

pi

pi =j

[piqj

H

pj pipj

H

qj

]=

j

ij H

qj= H

qi,

que son as ecuacions canonicas. As transformacions no espazo de fases quepreservan os corchetes de Poisson chamanse transformacions canonicas. Daexpresion de arriba deducese que calquera funcion que non dependa do tem-po explcitamente e unha constante do movemento se ten corchete nulo coahamiltoniana:

dF

dt= {F,H}.

O Teorema de Poisson demostra que se duas funcions son constantes domovemento, o seu corchete de Poisson tamen o e. O conxunto de cantidadesconservadas cerra baixo os corchetes a alxebra de simetra do sistema.

Unha das maneiras de transitar da Mecanica Clasica a Mecanica Cuanti-ca e escribir as ecuacions introducindo a constante de Planck, h, promovendoas variables canonicas a operadores e os corchetes de Poisson a conmutado-res. O feito de que o corchete de Poisson dunha coordenada co seu corres-pondente momento conxugado non sexa nulo, {q, p} = 1, traducese en queos correspondentes operadores cuanticos non conmuten e polo tanto non sepoidan diagonalizar simultaneamente. Isto non e mais que o principio deincerteza de Heisenberg.


apuntes formalismo lagrangiano y hamiltoniano

Documents