apunte rivera, microeconomía 1

ENMIC305, Microeconomıa IApunte de Curso, V.4∗

Jorge Rivera†

March 10, 2015

∗Se agradece muy especialmente el trabajo de Marco Rojas en la confeccion de este apunte.†Departamento de Economıa, Universidad de Chile, email : [email protected]

1

Departamento de Economıa. FEN Universidad de Chile

Contents

I Teorıa del Consumidor 4

1 El modelo del consumidor 41.1 Preferencias y funcion de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Eleccion del consumidor: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Eleccion del consumidor: maximizacion de la satisfaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Analisis de sensibilidad del problema del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Problema dual: demanda Hicksiana y funcion de gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Funciones de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Efectos sustitucion e ingreso, ecuacion de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Aplicaciones y complementos 402.1 Demanda agregada y equilibrio (parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 El excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Modelo de consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 Modelo de Ocio - Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Decisiones Bajo Incertidumbre 543.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Aproximacion de los individuos hacia el riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II Teorıa de la Firma 66

4 Conceptos Basicos 664.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Sobre la funcion de produccion y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Corto y largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Maximizacion de Beneficios 875.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Maximizacion del beneficio de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Maximizacion del beneficio y rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 Costos 966.1 Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2 Costos medios y marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3 Costos de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Analisis de sensibilidad de los costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4.1 Costos y eficiencia productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.2 Costos y rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.3 Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4.4 Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.5 Geometrıa de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2


7 Oferta bajo competencia perfecta 1177.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2 Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2.1 La demanda de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2 Oferta de la firma y la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.3 ¿Como se determina el precio de mercado?: analisis de equilibrio parcial . . . . . . . . . 126

III Modelo de asignacion: equilibrio general 130

8 Modelo de equilibrio en economıa de intercambio 1308.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2 Modelo de intermcambio de 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.3 La demanda en un modelo de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.4 El equilibrio en la economıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.5 La caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.6 Optimalidad y teoremas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9 Complementos: fallas de mercado 1439.1 Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2 Bienes publicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

IV Apendice: Repaso Matematico 151

10 La derivada y conceptos relacionados 15110.1 Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.2 El estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.3 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.4 Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11 Funciones Importantes 16311.1 Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.2 Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.3 CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.4 Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.5 Leontiev o de Proporciones Fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3


Part I

Teorıa del Consumidor

1 El modelo del consumidor

1.1 Preferencias y funcion de utilidad

El objetivo de lo que sigue es plantear, y estudiar, un modelo sencillo de consumidores (personas,empresas, inversionistas, etc.). El enfoque que adoptamos es tradicional en microeconomıa, y partedel supuesto que los agentes economicos bajo estudio son racionales, con objetivos hedonistasque son satisfechos a traves del consumo de bienes (y/o servicios). Cuando hablamos de objetivoshedonistas, estamos suponiendo que el consumo de bienes se realiza con el objetivo de lograr bienestar(placer, satisfaccion, etc.), y la racionalidad se refiere a que la eleccion de los mismos es hecha de lamejor forma posible, en un sentido que precisaremos, pero que, anticipando, corresponde a utilizar dela mejor manera los recursos que dicho agente dispone con el fin de cumplir sus objetivos. Es entoncesla combinacion entre lo que se puede y lo que se quiere lo que en definitiva define el acercamiento delos individuos al consumo.

En todo lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, supondremos que solo hay dos bienes deconsumo1, digamos, los bienes 1 y 2, cuyas cantidades genericas seran denotadas por x1 y x2, lasque sin perdida de generalidad supondremos positivas (es decir, que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0).

Definicion 1.1 Una canasta de consumo para un individuo es un par ordenado de la forma

X = (x1, x2) ∈ R2+,

que indica x1 ∈ R+ cantidad del bien uno y x2 ∈ R+ cantidad del bien dos.

Con el fin de definir preferencias sobre las canastas de consumo, debemos tener presente que noexiste un orden natural entre vectores, que de maneja objetiva (universal) nos diga cual es mejor entredos de ellos2. Por ejemplo, asumiendo que los bienes 1 y 2 son deseables por los individuos (cuestion queobviamente debemos asumir), ciertamente la canasta (2, 3) sera universalmente preferida a la canasta(1, 2), pues tiene mas de ambos bienes. Sin embargo, si el individuo debe decidir entre la canasta (2, 3)y la canasta (3, 2), la respuesta dependera de cada persona, no habiendo por tanto un criterio que, apriori, nos permita anticipar tal eleccion.

Para lo que sigue, asumiremos que efectivamente cada individuo dispone de un criterio que lepermite hacer la eleccion entre dos canastas. Este criterio simplemente nos dira lo que el prefierecuando se presentan dos opciones a escoger. Formalmente, dicho criterio corresponde a lo que eneconomıa se denomina relacion de preferencias. Ası, dadas dos canastas de consumoX = (x1, x2) ∈ R

2+

y X ′ = (x′1, x′2) ∈ R

2+, supondremos que el individuo siempre puede manifestar su opcion por una u

otra: si el agente prefiere X a X ′, se denotara

X ′ � X,

en cambio, si prefiere X ′ a X se denotara

X � X ′.

Si ocurre que X � X ′ y X ′ � X , diremos que el individuo es indiferente entre X y X ′, y se denotara

X ′ ∼ X.

1Cosa que en estricto rigor no es una restriccion importante, pues este se puede extender directamente para considerarmas bienes.

2Cuestion que se tiene para numeros reales.

4


Finalmente, si ocurre que X ′ � X pero no se tiene que X � X ′ (es decir, prefiere X a X ′ pero noprefiere X ′ a X), diremos que el individuo prefiere estrictamente X a X ′, y se denotara

X ′ ≺ X.

Como un individuo elige entre dos opciones es seguramente una cuestion relacionada con la sicologıa,la sociologıa, o con la genetica, etc., aspectos sobre los cuales difıcilmente la economıa tiene algo quedecir. De hecho, este punto puede ser muy relevante para efectos normativos, e incluso morales: noexiste claridad de como se forman las preferencias, como tampoco se puede afirmar ex ante que unassean mejores que otras (“sobre gustos no hay nada escrito. . .”).

Para nuestros efectos, se asume como dado el “mecanismo interno” por medio del cual cada individuorealiza sus elecciones. Obviamente haremos algunos supuestos (razonables) sobre dicho mecanismo, conel fin de construir un modelo simple que nos permita, por ejemplo, estudiar como las decisiones delos agentes se ven alteradas cuando se enfrentan a restricciones para escoger sus consumos deseables,restricciones que a su vez se pueden modificar en funcion de parametros exogenos, tales como precios,ingreso, impuestos, etc.

Ejemplo 1.1 Supongamos que la preferencia de un individuo, denotada �, es dada segun el siguientecriterio: la canasta X = (x1, x2) es preferida a la canasta X ′ = (x′1, x

′2) (es decir, X

′ � X)si y solo si

α · x′1 + β · x′2 ≤ α · x1 + β · x2,con α, β ∈ R++ conocidos. De esta manera, estamos considerando que el individuo tiene una relacionde preferencias, a traves de la cual manifiesta sus opciones de consumo, de forma tal que al tener quedecidir entre X y X ′, optara por aquel vector (canasta) que arroje mayor valor del promedio ponderadoya expuesto. Por ejemplo, si α = 1 y β = 2, entonces la canasta X = (2, 4) es preferida a la canastaX ′ = (4, 2), pues la primera arroja un valor 1 · 1 + 2 · 4 = 9, mientras que la segunda nos da valor 8.Notemos que si los ponderadores cambian, entonces no necesariamente X continuara siendo preferidoa X ′. Es facil ver que, de acuerdo a la definicion de la preferencia, se tiene que

X ′ ≺ X ⇔ α · x′1 + β · x′2 < α · x1 + β · x2,

X ′ ∼ X ⇔ α · x′1 + β · x′2 = α · x1 + β · x2.

Ejemplo 1.2 La preferencia lexicografica

Diremos que una canasta X = (x1, x2) ∈ R2+ es preferida lexicograficamente a una canasta

X ′ = (x′1, x′2) ∈ R

2+ si, (i) o bien x1 > x2, o bien, (ii) cuando x1 = x′1, se tiene que x2 > x′2. En tal

caso notaremos

X ′ �Lex X.

Esta preferencia se corresponde con el orden de las palabras en el diccionario: se entiende que unapalabra es mejor que otra cuando esta “mas arriba” en el diccionario.

Definicion 1.2 Funcion de utilidad

Dados X = (x1, x2) ∈ R2+ y X ′ = (x′1, x

′2) ∈ R

2+, supongamos que existe una funcion u : R2

+ → R

tal que la preferencia � del individuo cumple con la siguiente propiedad:

X ′ � X ⇔ u(X ′) ≤ u(X),

es decir, que la canasta X es preferida a la canasta X ′ si al evaluar la funcion u(·) en el correspondientevector se obtiene un valor mayor o igual segun el caso. En tal caso decimos que la preferencia � esrepresentada por la funcion de utilidad u(·).

5


Ejemplo 1.3 Del Ejemplo 1.1, donde se tiene que

u(X) = u(x1, x2) = αx1 + βx2

es una funcion de utlilidad asociado a la preferencia del individuo.

Ejemplo 1.4 Funciones de utilidad “usuales”En microeconomıa hay diversas opciones para considerar funciones u(·). Las mas usuales para

representar preferencias son:

(a) Cobb-Douglas: u(x1, x2) = xα1 · xβ2 , con α, β ≥ 0.

(b) CES: u(x1, x2) = (xr1 + µ · xr2)1/r, con µ, r ≥ 0.

(c) Lineal: u(x1, x2) = αx1 + βx2, con α, β ≥ 0.

(d) Leontiev: u(x1, x2) = min{αx1, βx2}, con α, β ≥ 0.

Nota. 1.1 ¿Que significa que la preferencia de un individuo es dada por una funcion de utilidad Cobb-Douglas, cuyos parametros son α = 1/3 y β = 1/2? Significa que enfrentado a la eleccion entre doscanastas, digamos X = (x1, x2) ∈ R

2+ y X ′ = (x′1, x

′2) ∈ R

2+, esta persona escogera aquella canasta que

entrega mayor valor una vez que el correspondiente vector es evaluado segun la funcion correspondiente.Es decir, escogera X por sobre X ′ si u(X) > u(X ′), o bien escogera X ′ sobre X si u(X ′) > u(X), y

sera indiferente entre ambos si u(X) = u(X ′), donde u(X) = u(x1, x2) = x1/31 x

1/22 (Cobb-Douglas).

Ejemplo 1.5 Una aplicacion: seleccion de personalSupongamos que una firma debe decidir contratar a una persona entre diversos postulantes. A cada

uno ellos se les toma un test de conocimientos sobre el trabajo que deberıan realizar y, ademas, selos califica segu una entrevista sicologica. El puntaje de la prueba de conocimientos va de 1 a 100(lo mejor es 100), misma escala para el test sicologico. Supongamos que hay N postulantes, indexadospor i = 1, . . . , N y que cada uno de ellos obtiene puntajes Ci, Si ∈ [1, 100] en cada una de las pruebas,respectivamente. ¿A quien contrata? Obviamente las personas NO son bienes de consumo; aun ası,podemos entender el problema de la firma como escoger entre canastas (Ci, Si) ∈ R

2+, i = 1, . . . , N,

segun su conveniencia. “En la vida”, ocurre normalmente que NO existe un individuo que domine atodos los demas en todos los aspectos que se estan evaluando; si ese fuera el caso, la eleccion es obvia. Elproblema es entonces disponer de un ranking que nos permita ordenar a los postulantes segun algunpuntaje, y dado esto realizar la eleccion. En este caso, ese ranking es propio de cada firma, pues ella(sus gerentes o tomadores de decisiones) deberan decidir que aspecto privilegiar y como privilegiarlo.En este caso, el ranking en comento se puede entender como la preferencia de la firma respecto delos postulantes; obviamente hay muchas formas proceder. Por ejemplo, una firma podrıa considerarun criterio basado en el siguiente modelo: el postulante i ∈ {1, . . . , N} es mejor que el postulantei′ ∈ {1, . . . , N} si 3Ci + 4Si > 3Ci′ + 4Si′ . En tal caso, entendemos que la preferencia de la firma(puntaje) por las canastas (C, S) es 3C + 2S.

Generalizando lo anterior, podemos asumir que existe una funcion U : R2+ → R+ tal que el puntaje

de cada postulante, con el cual se define el ranking, es dado por

u(C, S) ∈ R,

donde C, S es el puntaje en conocimientos y test sicologico respectivamente. Si este metodo es aceptado,entonces se escogera a aquel individuo que obtiene la mayor cantidad de puntos segun la regla yaexpuesta.

Nota. 1.2 Un par de comentarios sobre el ejemplo anterior:

6


(i) el criterio para asignar puntajes a los postulantes define un orden entre ellos, del mejor al peor.Si en vez de utilizar un criterio basado en la funcion u : R2

+ → R+ ya expuesta, se hubieseconsiderado otro, por ejemplo, basado en el cuadrado de dicha funcion, entonces el orden quefue inducido por la funcion u(·) original no se ve alterado por el nuevo metodo. En efecto,supongamos que una vez ordenados los postulantes segun los puntajes definidos por la funcionoriginal, en orden decreciente las posiciones resultantes son i1, i2, . . . , iN (es decir, el primerlugar para el Sr. i1, el segundo para el Sr. i2, etc.); por definicion esto significa que

u(Ci1 , Si1) > u(Ci2 , Si2) > u(Ci3 , Si3) > . . . u(CiN , SiN ). (1)

Ahora bien, al aplicar cuadrado a las desigualdades en (1), el orden de individuos que allıse tenıa NO se ve alterado, pues obviamente se cumple que

[u(Ci1 , Si1)]2> [u(Ci2 , Si2)]

2> [u(Ci3 , Si3)]

2> . . . > [u(CiN , SiN )]

2.

Mas general, dada

ψ : R → R

estrictamente creciente, entonces el orden que se induce de utilizar la funcion u es el mismoque induce la funcion

U : R2+ → R | U(C, S) = ψ ◦ u(C, S) = ψ(u(C, S)).

La funcion U es la composicion de ψ con u.

(ii) De lo anterior, con el fin de escoger canastas (bienes de consumo, seleccion de personal, etc.),basado en un metodo que emplea una funcion U como antes, en rigor resulta que NO es relevanteel puntaje que se obtiene de aplicar dicha funcion, sino mas bien el ranking (orden) que dichopuntaje induce. Por esta razon se dira que las preferencias son ordinales y NO cardinales.

En terminos formales, lo expuesto en el punto (i) de la Nota 1.2 se resume en la siguiente proposicion.

Proposicion 1.1 Si u : R2+ → R es una funcion de utilidad que representa a la relacion de preferencias

�, entonces para cualquier funcion ψ : R → R estrictamente creciente, se tiene que

U = ψ ◦ u | U(X) = ψ(u(X))

tambien es una funcion de utilidad que representa a la misma preferencia.

La Proposicion 1.1 nos dice que, de existir, las funciones de utilidad de un individuo sonunicas salvo transformaciones crecientes. Como consecuencia directa de esta proposicion podemosasumir, sin perdida de generalidad, que las funciones de utilidad toman valores positivos, puesen caso contrario es cuestion de sumar una constante suficientemente grande que garantice la positividad(o elevar al cuadrado), cuestion que no altera el orden entre las canastas que induce la utilidad original.

Una pregunta relevante que surge de lo expuesto es si toda preferencia puede ser representada poruna funcion de utilidad. Desafortunadamente (mas bien, afortunadamente) la respuesta es no. Paraque efectivamente una preferencia � pueda ser representada por una funcion de utilidad, debe cumplircon algunas condiciones que, a priori, no toda preferencia ha de satisfacer. Por ejemplo, se puededemostrar que la preferencia lexicografica definida en Ejemplo 1.2 no puede se representada poruna funcion de utilidad.

El resultado que sigue se presenta sin demostracion (requiere conocimientos de matematicas queescapan al nivel del curso), y nos entrega condiciones necesarias para que una preferencia pueda serrepresentada por una funcion de utilidad.

7


Teorema 1.1 Dadas las canastas de consumo X = (x1, x2), X′ = (x′1, x

′2) y X

′′ = (x′′1 , x′′2 ) ∈ R

2+ , si

la relacion de preferencias � cumple con las siguientes condiciones:

a.- Completitud: o bien X � X ′, o bien X ′ � X;

b.- Reflexividad: se cumple que X � X;

c.- Transtividad: si X � X ′ y X ′ � X ′′ entonces X � X ′′;

d.- Monotonicidad estricta: dado h ∈ R2+, h 6= (0, 0), entonces X ≺ X + h;

e.- Continuidad: si X ≺ X ′, existe ǫ > 0 tal que si ‖X ′ −X‖ ≤ ǫ entonces X ≺ X;

existe entonces una funcion de utilidad continua que la representa, es decir, u : R2+ → R tal que

X � X ′ ⇔ u(X) ≤ u(X ′).

Diversos comentarios sobre el importante resultado anterior:

(i) La completitud asume que el consumidor siempre puede decidir que prefiere antedos alternativas que se presentan. Este supuesto inhibe que el agente tenga dudassobre su eleccion. La reflexividad es un supuesto relativamente natural de asumir,simplemente nos dice que algo es preferido (no estrictamente) a sı mismo.

(ii) La transitividad es un supuesto que puede resultar complejo de varificar en lapractica: pensar en situaciones de eleccion de tres bienes, donde cada uno indicapreferencias de a pares, ¿por que se deberıa mantener cierta consistencia en dichasmanifestaciones de a pares? Ciertamente este supuesto juega un papel muy impor-tante en el modelo micro.

(iii) La monotonıa estricta es otro supuesto fuerte. En terminos simples, correspondea decir que mas es mejor, en el sentido que si aumentamos la cantidad de consumode al menos uno de los bienes de las canastas, entonces necesariamente la satisfaccionque se obtiene es mas grande. Asume entonces que no existe saturacion en el consumo(es decir, que siempre sera deseable consumir mas), cosa que parece difıcil de sosteneren general (¿o no?).

(iv) La continuidad es un supuesto tecnico, y bastante general. Afirma que si una canastaX es preferida estrıctamente a otra X ′, entonces canastas suficientemente cercanas encantidad a X tambien seran preferidas estrictamente a la canasta X ′.

(v) Si la preferencia � es representada por la funcion de utilidad u, entonces es directoconcluir que:

(a) X ≺ X ′ ⇔ u(X) < u(X ′).

(b) X ∼ X ′ ⇔ u(X) = u(X ′)

Como se desprende del Teorema 1.1 , no todas las preferencias pueden ser representadas por fun-ciones de utilidad. Por simplicidad, por la posibilidad de realizar diversos analisis economicos y calculosexplıcitos, porque el problema del consumidor se puede plantear como un problema de optimizacionestandar, porque podemos disponer de soluciones analıticas para conceptos economicos importantes,porque podemos llevar a cabo analisis de sensibilidad de las soluciones, etc., en todo lo que siguetrabajaremos con preferencias que se pueden representan por funciones de utilidad. Dehecho, cuando se plantee el problema del consumidos, pasar de relaciones de preferencia a funciones deutilidad implica pasar de un problema de decision (optimizacion) vectorial a un problema escalar, cosaque efectivamente simplifica la vida enormemente (y que de paso, sabemos resolver bien bajo circun-stancias relativamente usuales en economıa). El sacrificio de tal simplificacion esta en la generalidadque se pierde en el modelamiento de la economıa, pues se trata de casos particulares de preferenciasde los agentes.

8


Proposicion 1.2 Si la preferencia � cumple las condiciones del Teorema 1.1, entonces cualquierfuncion de utilidad que la representa es estrictamente creciente por componentes.

Esto quiere decir que dada una funcion de utilidad u que viene de lo anterior, se tiene que si x1 < x′1y x2 < x′2,

u(x1, x2) < u(x′1, x2), u(x1, x2) < u(x1, x′2),

(funcion de utilidad creciente por componentes). Obviamente se tiene que u(x1, x2) < u(x′1, x′2). Ahora

bien, si la funcion de utilidad (f.d.u) es diferenciable, lo anterior implica que

∂u(x1, x2)

∂x1> 0,

∂u(x1, x2)

∂x2> 0. (2)

El supuesto de monotonıa estricta (2) sera asumido en todo lo que sigue. La demostracion de laProposicion 1.2 es directa de las definiciones, y se deja como ejercicio.

Algunas definiciones que seran utiles en todo lo que sigue.

Definicion 1.3 Utilidad marginalDada una funcion de utilidad, u(·)y dada la canasta (x1, x2), la utilidad marginal del bien 1

corresponde al incremento en satisfaccion dado un aumento marginal (en una unidad) en el consumodel bien 1; analogo para la utilidad marginal del bien 2. La utilidad marginal del bien i = 1, 2 serepresentara por UMgi(x1, x2), i = 1, 3.

De la definicion anterior,

UMg1(x1, x2) = u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2), UMg2(x1, x2) = u(x1, x2 + 1)− u(x1, x2). (3)

Ahora bien, si la f.d.u es derivable, sabemos que,

∂u(x1, x2)

∂x1≡ lim

h→0

u(x1 + h, x2)− u(x1, x2)

h.

Si h = 1, la expresion resultante es solo una aproximacion de la derivada, es decir,

∂u(x1, x2)

∂x1≃ u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2)

1= u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2) = UMg1(x1, x2).

En consecuencia, la utilidad marginal puede ser aproximada por la derivada parcial correspondi-ente de la funcion de utilidad. En todo lo que sigue, supondremos que mas que una aproximacion setrata de una igualdad, de modo que, en forma alternativa, entenderemos la utilidad marginal comola derivada parcial de la f.d.u en el punto en cuestion. Ası, de ahora en adelante,

UMgi(x1, x2) ≡∂u(x1, x2)

∂xi.

Definicion 1.4 Curva de indiferenciaDado un nivel de satisfaccion α ≥ 0 prefijado, la curva de indiferencia al nivel α se define

como el conjunto de canastas (x1, x2) ∈ R2+ para las cuales se cumple que

u(x1, x2) = α.

De la Definicion 1.4, dado el nivel de utilidad α, de la relacion u(x1, x2) = α, existe entonces unafuncion implıcita entre x1 y x2, digamos, x2 = x2(x1), tal que

u(x1, x2(x1)) = α.

El grafico de dicha funcion en el sistema coordenado x1−x2 corresponde a la curva de indiferenciaal nivel α. La siguiente Figura 1 ilustra el concepto:

9


Figure 1: Curva de Indiferencia (1)

x∗2

x∗1

u(x1, x2) = a

Que el punto (x∗1, x

∗2) este en la curva de indiferencia de la figura significa que u(x∗

1, x∗2) = α.

Consideremos ahora dos niveles de utilidad a < b. Si u(x∗1, x∗2) = a claramente u(x∗1, x

∗2) 6= b. Por

otro lado, dado que u(x∗1, x∗2) = a, entonces existira un valor δ > 0 para el cual u(x∗1 + δ, x∗2) = b, pues

la f.d.u. es creciente. Analogamente, existira un valor ǫ > 0 para el cual u(x∗1, x∗2 + ǫ) = b. Luego, la

curva de indiferencia al nivel b necesariamente esta arriba de la curva de indiferencia al nivel a. Deesta manera, se concluye que las curvas de indiferencia a distinto nivel no se cortan y, ademas,en la medida que aumentamos el nivel de satisfaccion, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha,

Supongamos ahora que u(x1, x2) = a. Si x1 aumenta, digamos a x1 + δ, con δ > 0, sea entonces x∗2el nuevo valor para el cual u(x1+δ, x

∗2) = a. Puesto que u(·) es estrictamente creciente, necesariamente

x∗2 debe ser menor que x2 pues, si fuera mayor o igual, entonces u(x1+ δ, x∗2) serıa mayor que a. Luego,

las curvas de indiferencia necesariamente son decrecientes en el sistema coordenado x1 − x2,esto para cualquier funcion de utilidad estrictamente creciente. La Figura 2 ilustra lo expuesto.

Figure 2: Curva de Indiferencia (2)

ab

c

a < b < c

Mientras mayor es el nivel de utilidad, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha; las curvas de

indiferencia a distintos niveles de utilidad no se cortan; las curvas de indiferencia son decrecientes.

Finalmente, notemos que dada una curva de indiferencia al nivel α y dado un punto (x∗1, x∗2) sobre

la curva y otro (x1, x2) bajo la curva, entonces se tiene que

u(x∗1, x∗2) > α, u(x1, x2) < α.

Ejemplo 1.6 Dada la funcion de utilidad u1(x1, x2) = xa1 · xb2, con a, b > 0, la curva de indiferenciaal nivel u0 corresponde a las canastas (x1, x2) tales que xa1 · xb2 = u0, de lo cual se tiene que

x2(x1) =u

1b0

xab1

,

10


que es precisamente la “funcion implicita” que hemos mencionado. Por otro lado, las utilidadesmarginales son

UMg1(x1, x2) = axa−11 · xb2, UMg1(x1, x2) = bxa1 · xb−1

2 .

Note que la derivada de UMg1 c.r. a x1 es

∂UMg1∂x1

= a · (a− 1) · xa−21 · xb2,

que es negativa si a < 1, es decir, la utilidad marginal UMg1 es decreciente en el primer bien siemprey cuando a < 1. Analogo con UMg2 decreciente si b < 1. Luego, si la funcion de utilidad es concava,ambas utilidades marginales son decrecientes.

Dado un punto (x1, x2) en una curva de indiferencia al nivel α, calculemos la pendiente a latangente al grafo de la misma por el punto en cuestion. Obviamente esta pendiente corresponde ala derivada de la funcion implıcita x2(x1) ya definida, en el punto (x1, x2) de la misma. Procedamos,en primer lugar, segun un argumento informal basado en la Figura 3.

Figure 3: Pendiente de una Curva de Indiferencia

x2

x2 − b

x1 x1 + a

En la figura, supongamos que tenemos dos puntos cercanos (x1, x2), (x1 + a, x2 − b) en la curvade indiferencia. Una aproximacion de la pendiente a la tangente al grafo de la curva en (x1, x2) esentonces

m =(x2 − b)− x2(x1 + a)− x1

= − b

a.

Por otro lado, del hecho que u(x1 + a, x2 − b) = u(x1, x2) = α, haciendo la aproximacion por laderivada se tiene que3:

u(x1 + a, x2 − b)− u(x1, x2) = 0 = a · ∂u(x1, x2)∂x1

− b · ∂u(x1, x2)∂x2

,

y luego,

3En rigor, la siguiente relacion es solo una aproximacion, que asumimos como igualdad. Recuerde ademas que

f(x1 + δ, x2) − f(x1, x2) ∼ δ∂f(x1,x2)

∂x1y que f(x1, x2 − ǫ) − f(x1, x2) ∼ ǫ

∂f(x1,x2)∂x2

. Si se mueven ambas componentes,

se tiene la aproximacion indicada.

11


m = − b

a≈ −

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2).

Formalmente es como sigue. Puesto que u(x1, x2) = α, existe una relacion implıcita entre x1 y x2(ver Ejemplo 1.1). Luego, x2 es una funcion de x1, digamos x2(x1). Ası, u(x1, x2(x1)) = α. Derivandoesta expresion c.r. a x1 se tiene que

∂u(x1, x2(x1))

∂x1=

∂α

∂x1= 0,

ya que α no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena

∂u(x1, x2)

∂x1+∂u(x1, x2)

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1= 0,

de lo cual se desprende que

∂x2(x1)

∂x1= −

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2),

que es analogo a lo ya mostrado. En consecuencia, la pendiente de la tangente a la curva de indiferenciaen un punto cualquiera de ella es menos el cuociente de las respectivas utilidades marginales.Tal pendiente es un concepto importante en economıa.

Definicion 1.5 Relacion marginal de sustitucionDada una funcion de utilidad, u(·), y dado un nivel de satifaccion α, se define la relacion marginal

de sustitucion en el punto (x1, x2) de la curva de indiferencia respectiva, como la pendiente de latangente a dicha curva en el punto indicado. Se denotara RMS1,2(x1, x2) y de esta manera

RMS1,2(x1, x2) = −∂u(x1,x2)

∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2).

La siguiente Figura 4 ilustra el concepto:

Figure 4: Relacion Marginal de Sustitucion

x2

x1

m = RMS1,2

12


¿Como se interpreta la RMS1,2? En primer lugar, supongamos que estamos en una canasta(x1, x2) tal que u(x1, x2) = α y que decidimos aumentar en una unidad la cantidad del bien 1, pasandode x1 a x1 + 1 (aumento marginal). En tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento enel bien de consumo 1 implicara aumentos de satisfaccion; es decir, u(x1 + 1, x2) > α. De esta manera,(x1 +1, x2) no esta en la curva de indiferencia al nivel α. Para seguir en la curva de indiferencia(es decir, mantener el nivel de satisfaccion constante a pesar del aumento marginal del consumo en elbien uno), necesariamente la cantidad del bien 2 debe disminuir. Esta “disminucion” es precisamentela RMS1,2(x1, x2).

De todo lo anterior, es directo que:

a.- Si la funcion de utilidad es creciente por componentes, entonces la RMS1,2 es siempre negativa4.

b.- La RMS2,15 es simplemente

RMS2,1 =1

RMS1,2(x1, x2).

Ejemplo 1.7 Dada la funcion de utilidad u1(x1, x2) = xa1 · xb2, es directo que

RMS1,2(x1, x2) = −ax2bx1

.

Supongamos que la funcion de utilidad es estrictamente concava. En tal caso, sabemos (verApendice matematico) que la relacion funcional x2(x1) que define la curva de indiferencia es con-vexa, implicando que su derivada es creciente. Pero en este caso, la derivada de la curva de indiferenciaes la relacion marginal de sustitucion, y ya que esta es siempre negativa, el hecho que sea crecientesignifica que cada vez es “menos negativa” en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. Estoimplica que la cantidad en que disminuye el consumo del bien 2 ante un aumento unitario (marginal) deconsumo del bien 1 es decreciente en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. ¿Son las funcionesde utilidad concavas las unicas que tienen curvas de indiferencia convexa? La respuesta es NO, puesexiste una categorıa mas amplia de funciones que tienen la misma propiedad. Estas funciones son lasllamadas cuasiconcavas. De hecho, existen diversas formas de definir que se entiende por una funcioncuasiconcava. Por ejemplo, se dice que una funcion u : R2

+ → R es cuasiconcava, si para cualquierX = (x1, x2), X

′ = (x′1, x′2) ∈ R

2+ y para cualquier λ ∈ [0, 1] se tiene que

u(λX + (1− λ)X ′) ≥ min{u(X), u(X ′)}.Para nuestros objetivos, lo que es relevante de las funciones cuasiconcavas es que:

(i) toda funcion concava es cuasiconcava; la recıproca no es cierta, es decir, que existen fun-ciones cuasiconcavas que no son concavas.

(ii) se puede demostrar que una caracterizacion de la cuasiconcavidad (y por lo tanto, se puedeentender como una forma alternativa de definirla) es que las curvas de indiferencia sonconvexas:

una funcion es cuasiconcava si y solo si sus curvas de indiferencia son convexas.

¿Que es entonces lo relevante de las utilidades cuasiconcavas? Simplemente que la curva de indifer-encia es convexa. Sobre este hecho se vuelve mas adelante, donde se justificara la importancia de laconvexidad de las curvas de indiferencia en el modelo que estamos desarrollando.

4Esto del argumento de sustitubilidad anterior, pero tambien directamente de la definicion, ya que los productosmarginales son positivos (funcion creciente ⇒ derivada positiva) y la RMS es el negativo del cuociente de los productosmarginales.

5Que obviamente corresponde a la cantidad en que se debe modificar el consumo del bien 1 ante un cambio unitariodel bien 2 con el fin de mantener utilidad constante.

13


1.2 Eleccion del consumidor: conceptos generales

En lo que sigue, vamos a modelar el problema de eleccion de bienes de consumo (o servicios) porparte del agente, considerando que este se desenvuelve en un contexto economico donde los bienestienen cierto precio y que nuestro agente tiene una cierta cantidad de recursos6 que puede gastar enel consumo. Para los efectos de eleccion, asumiremos que el consumo de los bienes tiene un costo y quede las posibles canastas que puede elegir, solo puede acceder a aquellas que con sus recursospuede pagar. Si los precios de los bienes son p1 y p2 y los recursos del consumidor son R (ingreso,renta, recursos, etc.), el agente puede entonces escoger entre todas aquellas canastas (x1, x2) ∈ R

2+

tales que

p1x1 + p2x2 ≤ R,

lo que motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.6 Conjunto de restriccion presupuestariaDados los precios de los bienes p1, p2, el conjunto de las canastas factibles que un individuo con

riqueza es R podrıa consumir se denota por

B(p1, p2, R) = {(x1, x2) ∈ R2+ | p1x1 + p2x2 ≤ R},

y se llama conjunto de restriccion presupuestaria del consumidor (o simplemente “conjunto pre-supuestario”).

La Figura 5 representa un conjunto de restriccion presupuestaria cualquiera.

Figure 5: Restriccion Presupuestaria

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

x2

R/p2

R/p1 x1

B(p1, p2, R)

En la figura anterior, la recta frontera superior del conjunto presupuestario se llamada recta pre-supuestaria, y queda definida por la por ecuacion

p1x1 + p2x2 = R ⇔ x2 =R

p2− p1p2x1.

Notemos que la interseccion de la recta presupuestaria con los ejes se da en los puntos

Eje x1 :

(R

p1, 0

), Eje x2 :

(0,R

p2

)

6Digamos, dinero, sueldo, ingresos, rentas, riqueza, etc.

14


Ejemplo 1.8 ¿Que quiere decir (x1, x2) ∈ B(23, 12, 130)? Significa que si los precios del bien uno ydos son p1 = 23 y p2 = 12 respectivamente, y que si la renta (ingreso, riqueza, etc.) del individuo esR = 130, entonces para este Sr. es factible comprar una canasta conformada por x1 del bien uno y x2del bien dos.

¿Como se “interpreta” la recta presupuestaria? Como se ha expuesto, a los precios p1, p2 y al ingresoR, una canasta (x1, x2) ∈ R

2+ esta en la correspondiente recta presupuestaria si p1x1 + p2x2 = R. Por

lo tanto, si el individuo decide comprar esta canasta, se gasta todos los recursos que tiene. Ası, parauna canasta (x′1, x

′2) ∈ R

2+ que no esta en la recta presupuestaria, o bien

(a) la canasta (x′1, x′2) ∈ R

2+ es demasiado cara para el nivel de recursos que dispone el sujeto, de

modo que no puede comprarla; en tal caso, es una canasta no factible, y obviamente se cumpleque

p1x′1 + p2x

′2 > R,

(b) o bien que al comprar la canasta (x′1, x′2) ∈ R

2+ de todas formas le sobran recursos, pues con el

ingreso que tiene, paga demas dicho consumo; en este caso, luego de comprar le sigue sobrandoriqueza; el remanente de riqueza es

R− p1x′1 + p2x

′2 > 0.

Cambios en los parametros precio y riqueza tienen incidencia en la forma del conjunto presupues-tario, cuestion que a su vez tiene una clara lectura desde el punto de vista de la economıa. A priori,si la riqueza aumenta, se deberıa tener una situacion mas favorable para el individuo en cuanto a susopciones de elegir, pues en tal caso, ademas de lo que ya podıa comprar, tiene ahora nuevas opciones decanastas que antes no tenıa. Por otro lado, que uno de los precios aumente (todo lo demas constante)es una situacion desfavorable para el agente, pues en tal caso no necesariamente podra comprar lasmismas canastas que antes del alza. Formalmente, si los precios se mantienen constantes y la riquezadel consumidor sube de R a R′, entonces el conjunto factible al nuevo ingreso crece hacia arriba y haciala derecha respecto del original, de forma tal que contiene al original: si R′ > R entonces

B(p1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R′). (4)

De hecho, ya que los precios se mantienen constantes, la recta presupuestaria del conjuntoB(p1, p2, R′)

es paralela a aquella del conjunto B(p1, p2, R). Lo expuesto se ilustra en la Figura 6,

Figure 6: Restriccion Presupuestaria y aumento en la riqueza

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R′/p2

R/p2

R/p1R′/p1 x1

15


En forma analoga, si la riqueza disminuye entonces la correspondiente frontera se desplaza paralelahacia el origen, lo que resulta en un conjunto factible “mas pequeno que el original”.

Por otro lado, si el precio p1 aumenta a p′1 (el bien 1 se hace mas caro), manteniendo constante p2y R, el conjunto factible se modifica como se muestra en la Figura 7. En este caso, cambia la pendientede la recta presupuestaria, de forma tal que el nuevo conjunto esta contenido en el original: si p′1 > p1entonces

B(p′1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R). (5)

Figure 7: Conjunto Presupuestario y Aumento de Precio

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R/p2

R/p′1 R/p1x1

p′1 > p1

Si el precio disminuye, entonces la recta presupuestaria pivotea hacia la derecha, de modo que elnuevo cojunto contiene al original. Lo ya expuesto aplica para cambios en el precio del bien dos, todolo demas constante.

Ejemplo 1.9 Subsidios, impuestos, herencias, etc.Los subsidios, impuestos, herencias, etc., los podemos entender como parametros exogenos que

modifican ya sea los precios o la riqueza del individuo. Por ejemplo, si inicialmente una persona tieneuna riqueza R > 0 y los precios de los bienes de consumo son p1, p2, que el sujeto reciba una herenciaH > 0 implica que su nuevo riqueza es R +H, lo que ciertamente tiene implicancias en las opcionestiene para elegir las canastas (en este caso, mas opciones). Por el contrario, si se aplica un impuestoal ingreso, digamos T > 0, entonces el nuevo escenario que enfrenta es con riqueza R− T ; en tal casolas opciones de consumo son dadas por

B(p1, p2, R− T ).

Si deseamos “desincentivar” el consumo de, por ejemplo, el bien uno, se podrıa hacer (i) aumen-tando exogenamente el precio del mismo, o bien (ii) poniendo un impuesto al gasto que se haga endicho bien. Por ejemplo, si se obliga un aumento del precio p1 en δ > 0, la nueva recta presupuestariaes

(p1 + δ)x1 + p2x2 = R,

mientras que si grabamos el gasto en el bien uno, digamos, con una tasa de impuesto τ ∈ [0, 1],entonces la nueva recta es

(1 + τ)p1x1 + p2x2 = R.

16


1.3 Eleccion del consumidor: maximizacion de la satisfaccion

Lo anterior describe con algun detalle el conjunto factible donde el consumidor puede hacer la eleccionde canastas de consumo. Obviamente dicho conjunto permite muchas opciones para escoger canastas.El problema es determinar cual de aquellos puntos factibles es el mas razonable (deseable, conveniente,etc.) para nuestro personaje. Para el efecto puede haber muchos criterios sobre que es lo mas razonable,criterio que una vez adoptado define la eleccion del individuo. Por ejemplo, nuestro personaje podrıaelegir dentro de aquellas (i) canastas de bienes que tienen un porcentaje pre-fijado entre uno y otro bien;(ii) entre aquellas que contienen necesariamente una cantidad x∗1 del bien 1 dada a priori; (iii) entreaquellas que satisfacen una desigualdad de la forma x1 ≥ ξ1, x2 ≥ ξ2, donde ξ1, ξ2 son dados a priori,etc. Lo anterior no es absurdo como forma de escoger. Por ejemplo, que las elecciones de canastassean condicionales a que existan consumos mınimos en alguno de los bienes (o ambos) puede aparecernaturalmente bajo requisitos de salubridad, pues dicho consumo mınimo garantiza, por ejemplo, unacantidad adecuada de nutrientes.

En resumen, no hay una unica forma de establecer criterios de eleccion de canastas deconsumo para los individuos: hay muchas opciones y no necesariamente algun criterio es mejorque otro, si es que tiene sentido hablar normativamente en estas materias. Sin embargo, hay un criterioampliamente utilizado en economıa que, nuevamente, parte de la base del supuesto hedonista que yahemos indicado (el individuo consume porque le gusta, le hace bien, logra satisfaccion, etc.). El criterioconsidera que las elecciones de los individuos son hechas con el fin de maximizar la utilidad resultantedel misma, teniendo en cuesta las restricciones presupuestarias que enfrenta. De esta manera, se hacecompatible lo que se quiere con lo que se puede, siendo esta la idea de racionalidad economicadetras de todo el modelo que estamos desarrollando7.

Definicion 1.7 Problema del consumidor: maximizacion de utilidad sujeto a restriccionpresupuestaria.

Dados los precios de los bienes p1 y p2 y dada la renta del individuo R, el problema del consumidorconsiste en encontrar aquella canasta factible que maximiza su utilidad, lo que se traduce en resolverel siguiente problema de optimizacion:

{max u(x1, x2)

s.a (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R)⇔

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 ≤ R

Supongamos que la solucion del problema del consumidor es x∗1, x∗2 y que

p1x∗1 + p2x

∗2 < R (6)

Dos cuestiones. Primero, por definicion se tiene que para todo (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R), u(x1, x2) ≤u(x∗1, x

∗2). Segundo, puesto que se cumple la condicion (6), entonces para δ > 0 suficientemente pequeno

se tiene que8

p1(x∗1 + δ) + p2x

∗2 = R.

De lo anterior, (x∗1 + δ, x∗2) ∈ B(p1, p2, R). Pero ademas, ya que la funcion de utilidad es estrictamentecreciente,

u(x∗1 + δ, x∗2) > u(x∗1, x∗2),

lo que contradice el hecho que (x∗1, x∗2) maximiza la utilidad en el conjunto factible. Todo el problema

viene de suponer que p1x∗1 + p2x

∗2 < R, pues a partir de este hecho hemos podido encontrar otro punto

que nos entrega mas satisfaccion. En concreto, se tiene la siguiente proposicion.

7En algun sentido el criterio de racionalidad anterior sigue siendo “muy amplio”: muchas de las actividades que unorealiza en la vida se pueden ver como resultado de un proceso de maximizacion; todo es cuestion de “escoger” la correctafuncion de utilidad para justificar tal eleccion. A pesar de esto, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto quelos consumidores son agentes cuyo objetivo es el indicado.

8Basta con δ =R−p1x

∗

1−p2x∗

2p1

> 0.

17


Proposicion 1.3 Dada una funcion de utilidad estrictamente creciente en cada componente, si (x∗1, x∗2)

es la solucion del problema de maximizacion de utilidad sujeto a restriccion presupuestaria, necesari-amente se debe cumplir que,

p1x∗1 + p2x

∗2 = R.

Ası, bajo el supuesto que la f.d.u es estrictamente creciente por componentes, el problema delconsumidor se puede replantear equivalentemente de la siguiente manera (se da por descontadoque las variables son mayores o iguales a cero):

Formulacion equivalente del problema del consumidor

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R(7)

El problema de optimizacion (7) es uno con restriccion de igualdad, y no de desigualdad como eraoriginalmente, lo que nos permite ocupar Lagrangeanos para resolverlo.

Definicion 1.8 Demanda Marshaliana y utilidad indirectaLa solucion del problema del consumidor (7) se denotara por

xi(p1, p2, R), i = 1, 2

y se llamara demanda Marshaliana del consumidor por el bien 1 y 2 respectivamente. El maximovalor de la funcion de utilidad dada la restriccion presupuestaria se denomina utilidad indirectadel individuo y se denota por v(p1, p2, R), es decir,

v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)).

Para determinar las demandas, y con ello la funcion de utilidad indirecta, se procede, en primerlugar, definiendo el Lagrangeano del problema del consumidor (7):

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ · [R − p1x1 − p2x2].

Con ello, las condiciones necesarias de optimalidad son las siguientes:

a.- ∂L(x1,x2,λ)∂x1

= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x1

− λp1 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x1

= λp1.

b.- ∂L(x1,x2,λ)∂x2

= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x2

− λp2 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x2

= λp2.

c.- ∂L(x1,x2,λ)∂λ = 0 ⇔ p1x1 + p2x2 = R.

De las condiciones a.− y b.− se tiene entonces que (cuociente),

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

=λp1λp2

=p1p2

⇔ RMS1,2(x1, x2) = −p1p2.

Resumiendo, la demanda se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones

Ec. 1 : RMS1,2(x1, x2) = −p1p2,

Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R.

En todo lo que sigue, trabajaremos bajo el supuesto que efectivamente las condicionesnecesarias de primer orden nos permiten resolver el problema, sin requerir condiciones adi-cionales (o de segundo orden) para determinar las demandas. Un caso particular muy importantepara el cual se cumple tal supuesto anterior ocurre cuando las curvas de indiferencia son estrictamente

18


convexas, cuestion que se tiene cuando la f.d.u es estrictamente conicava (y mas general, estrictamentecuasiconcava). Esto justifica el empleo de tales funciones en la practica.

Interpretemos geometricamente las condiciones de optimalidad del problema del consumidor. Paraello, dada la restriccion presupuestaria y dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R), sea v =v(p1, p2, R) (utilidad indirecta). Entonces la curva de indiferencia al nivel v anterior es tangentea la recta presupuestaria. En efecto, es claro que la curva de indiferencia debe cortar a la rectapresupuestaria, ya que de lo contrario cualquier punto de ella no serıa factible. En segundo lugar, si lacurva de indiferencia corta a la recta presupuestaria en mas de un punto, entonces habra otra curva deindiferencia de mayor nivel de utilidad que tambien cortara a la recta presupuestaria, lo cual contradicela definicion demanda pues no se estarıa maximizando en xi(p1, p2, R). La unica alternativa que quedaes la de tangencia como se muestra en la Figura 8,

Figure 8: Maximizacion de Utilidad

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2

x2(p1, p2, R)

x1(p1, p2, R) R/p1

v

Note que, de la condicion de tangencia se debe cumplir que la pendiente de la recta presupuestaria(− p1

p2

)debe ser igual a la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia en la demanda. Pero

dicha pendiente es simplemente la relacion marginal de sustitucion y, por lo tanto, se tiene que

RMS1,2(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)) = −p1p2,

cuestion que ya sabıamos.

Nota. 1.3 Otra interpretacion de las condiciones de optimalidadDenotemos por x∗1 = x1(p1, p2, R) y x∗2 = x2(p1, p2, R). Como estamos en el optimo, cualquier

modificacion en dichas cantidades de consumo deberıa hacer disminuir el nivel de satisfaccion delindividuo (las demandas maximizan utilidad, luego cualquier otra factible debe otorgar menos utilidad).De esta manera, si fuera que el consumo del bien 1 aumenta en una unidad, entonces la utilidad

crecerıa∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

, pero, dado que existe una restriccion presupuestaria, el aumento anterior deberıaser compensado por una disminucion en el consumo del bien 2. Digamos que tal disminucion es δ.Luego, en primer lugar, se debe cumplir que,

p1(x∗1 + 1) + p2(x

∗2 − δ) = R

de lo cual se tiene que δ = p1/p2. Ahora bien, en el punto factible (x∗1 + 1, x∗2 − δ) la utilidad delindividuo es menor que en la demanda. Luego, el cambio neto en utilidad producto de las modificaciones

19


anteriores sera9,

∂u(x∗1, x∗2)

∂x1− p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2.

el cual necesariamente debe ser negativo, ya que si fuera positivo habrıamos encontrado otro punto conmayor utilidad. De anterior se tiene entonces que,

∂u(x∗1, x∗2)

∂x1− p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2≤ 0 ⇔

∂u(x∗

1 ,x∗

2)∂x1

∂u(x∗

1 ,x∗

2)

∂x2

≤ p1p2

⇔ RMS1,2(x∗1, x

∗2) ≤ −p1

p2. (8)

Si ahora disminuimos el consumo del bien 1 en una unidad, la utilidad cae en∂u(x∗

1 ,x∗

2)∂x1

. Paramantener la restriccion presupuestaria, el bien 2 deberıa aumentar en (p1/p2) y con todo esto el cambio

(positivo) en utilidad serıa, p1

p2· ∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

. De esta manera, el cambio neto en utilidad serıa:

−∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1+p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2,

el cual debe ser positivo. Luego, se debe cumplir que,

−∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1+p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2≤ 0 ⇔

∂u(x∗

1 ,x∗

2)∂x1

∂u(x∗

1 ,x∗

2)∂x2

≥ p1p2

⇔ RMS1,2(x∗1, x

∗2) ≥ −p1

p2. (9)

Mirando (8) y (9), se concluye que en el optimo se debe cumplir que, RMS1,2(x∗1, x

∗2) = − p1

p2,

condicion que ya tenıamos.

Si la funcion de utilidad es “concava sin lados rectos” (es decir, estrictamente concava), sabemosque las correspondientes curvas de indiferencia seran estrictamente convexas. En tal caso, al desplazarla recta presupuestaria con el fin de intersectarlas con la curva de indiferencia, la tangencia se dara enun unico punto, el cual, como ya sabemos, corresponde la demanda. De esta manera, podemos concluirque para cualquier p1, p2 > 0 y para cada ingreso R > 0, xi(p1, p2, R), i = 1, 2, esta unıvocamentedefinida y se puede determinar a partir de las condiciones necesarias de optimalidad del problema.Esta es la justificacion fundamental para considerar funciones de utilidad concavas (mas general,cuasiconcavas) en el analisis.

La siguiente figura ilustra curvas de indiferencia convexas y no convexas y las demandas que setienen en ambos casos. Note que en el segundo caso hay mas de una posibilidad para la demanda.

Figure 9: Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Demanda Unica Demanda Multiple

Curva de Indiferencia No ConvexaCurva de Indiferencia Convexa

9Recordemos que f(x1 + δ, x2 + ǫ)− f(x1, x2) ∼ δ ∂f(x1,x2)∂x1

+ ǫ ∂f(x1,x2)∂x2

.

20


Ejemplo 1.10 Dada la funcion de utilidad u(x1, x2) = xa1 ·xb2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Para el caso, el Lagrangeanoes

L = xa1 · xb2 + λ[R− p1x1 − p2x2].

De las condiciones de optimalidad, se tiene que,

a.- axa−11 xb2 − λp1 = 0

b.- bxa1xb−12 − λp2 = 0

c.- p1x1 + p2x2 = R.

Luego, de a.− y b.− se tiene que ax2

bx1= p1

p2, es decir, x2 = bp1x1

ap2. De esta manera, lo anterior en

c.− implica que,

x1(p1, p2, R) =aR

p1(a+ b), x2(p1, p2, R) =

bR

p2(a+ b)

y ası,

v(p1, p2, R) =

(aR

p1(a+ b)

)a

·(

bR

p2(a+ b)

)b

.

Ejemplo 1.11 Demanda con funcion de utilidad linealDada la funcion de utilidad u(x1, x2) = a · x1 + b · x2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,

determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Si seguimos el enfoqueutilizando las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, el Lagrangeano del problema es

L = a · x1 + b · x2 + λ · [R− p1x1 − p2x2] = [a− λp1]x1 + [b− λp2]x2 + λR,

de modo que derivando c.r. a x1 y x2 se tendrıa que

∂L

∂x1= a− λp1,

∂L

∂x2= b− λp2.

Ası, en el optimo se “deberıa cumplir” que

a

b=p1p2,

relacion que obviamente es absurda pues, a priori, los parametros son arbitrarios10. Ası, resolver elproblema empleando el calculo es inconducente. Veamos directamente. De la restriccion presupuestaria,se tiene que

x2 =R

p2− p1p2

· x1,

que incorporandola en la funcion objetivo nos lleva a que el problema del consumidor se puede re-escribirequivalentemente como

maxx1

{a · x1 + b ·

(R

p2− p1p2

· x1)}

⇔ maxx1

{x1 ·

(a− p1 · b

p2

)+b ·Rp2

}.

La constante de la derecha no altera la solucion del problema, siendo equivalente a

maxx1

{x1 ·

(a− p1 · b

p2

)}. (10)

Para resolver (10), se deben considerar tres casos posibles:

10Incluso de tener sentido, dicha condicion no nos permitirıa obtener las demandas.

21


(i) que a− p1·bp2

> 0 (es decir, ap1> b

p2),

(ii) que a− p1·bp2

< 0 es decir, ap1< b

p2),

(iii) a− p1·bp2

= 0 (es decir, ap1

= bp2),

Para el caso (i), el maximo valor de la funcion objetivo se obtiene cuando x1 = Rp1

y por ende11

x2 = 0. Ası, la utilidad indirecta es

v(p,R) =a · rp1

.

Para el caso (ii), la demanda es x1 = 0 y x2 = Rp2, en cuyo caso la utilidad indirecta es v(p,R) = b·R

p2.

Finalmente, para el tercer caso, respetando la restriccion presupuestaria, x1 puede tomar cualquiervalor, como ası x2: toda la recta presupuestaria es solucion del problema. Por lo tanto, tomando

x1 = Rp1, x2 = 0, la utilidad indirecta es v(p,R) = a·R

p1

(= b·R

p2

).

Todo lo anterior puede resultar mas claro si lo vemos desde un punto de vista grafico. La Figura 10es ilustrativa.

Figure 10: Maximizacion de Utilidad de Funcion Lineal

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

R/p2

R/p1

(1) : a′x1 + b′x2 = R

(2) : ax1 + bx2

Para encontrar las demandas, debemos tener en cuenta la las pendientes de la recta presupuestariay de las curvas de indiferencia, ambas constantes. En primer lugar, del grafico es claro que la soluciondel problema es esquina, en el sentido que las demandas son, o solo con bien 1 o solo con bien 2 (salvoel caso (iii) anterior). Para curvas de indiferencia como las punteadas, la demanda sera x2 = R/p2 yx1 = 0 (caso (ii)); para el otro tipo de curva de indiferencia de la figura, la demanda sera x1 = R/p1y x2 = 0 (caso (i)). La demanda depende, en definitiva, de las pendientes relativas de la rectapresupuestaria y las curvas de indiferencia. El unico caso en que puede haber multiples soluciones escuando las pendientes de ambas rectas coinciden (caso (iii)): la solucion es entonces cualquier puntode la recta presupuestaria.

Ejemplo 1.12 Maximizacion de beneficio con funciones de utilidad cuasi-linealesUna funcion de utilidad u : R2

+ → R se dice cuasi-lineal cuando se puede expresar de la forma

u(x1, x2) = αx1 + φ(x2),

con φ : R+ → R una funcion creciente. Para u como antes, condicional a los precios y renta, elproblema de consumidor es

maxx1,x2

αx1 + φ(x2) s.a. p1x1 + p2x2 = R.

11Recordar que p1 · x1 + p2 · x2 = R.

22


De la restriccion, despejando x1 en funcion de x2 y reemplazando en la funcion objetivo, el problemaanterior se convierte en

maxx2

α ·(R

p1− p2x2

p1

)+ φ(x2).

De las condiciones de optimalidad del problema anterior, la demanda por bien dos debe cumplir que

φ′(x2) = α · p2p1,

condicion que nos permite encontrarla de manera directa, resolviendo ası el problema.

Supongamos ahora que la preferencia de un agente es representada por dos funciones de utilidad,digamos u1 y u2. En tal caso, sabemos que existe una funcion estrictamente creciente φ tal que12

u1(x1, x2) = φ(u2(x1, x2)). (11)

A los precios p1, p2 y riqueza R, para determinar las demandas empleando la f.d.u u1, se deberesolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Ec. 1

∂u1(x1,x2)∂x1

∂u1(x1,x2)∂x2

=p1p2.

Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R

Notemos que la Ecuacion 2 no depende de las preferencias. Por otro lado, de (11), se tiene que(aplicar regla de la cadena)

∂u1(x1, x2)

∂x1=∂φ(u2(x1, x2))

∂x1= φ′(u2(x1, x2)) ·

∂u2(x1, x2)

∂x1.

Analogamente,

∂u1(x1, x2)

∂x2=∂φ(u2(x1, x2))

∂x2= φ′(u2(x1, x2)) ·

∂u2(x1, x2)

∂x2,

y en consecuencia,

∂u1(x1,x2)∂x1

∂u1(x1,x2)∂x2

=φ′(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)

∂x1

φ′(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)∂x2

=

∂u2(x1,x2)∂x1

∂u2(x1,x2)∂x2

.

Luego, el sistema de ecuaciones para determinar la demanda es el mismo si empleamos u1 o u2,es decir, la demanda que se calcula con u1 es coincidente con aquella que se obtendrıade emplear u2. Obviamente la utilidad indirecta depende la funcion de utilidad que seconsidere.

Ejemplo 1.13 Recordemos que el problema del consumidor es

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R.

Sea ahora f : R → R una funcion creciente estricta cualquiera. Como el objetivo es maximizaru(x1, x2) sujeto a la restriccion presupuestaria, claramente la solucion no cambiara si el prob-lema es maximizar f(u(x1, x2)) sujeto a la misma restriccion presupuestaria. De esta manera, conuna adecuada eleccion de f , se podrıa simplificar la determinacion de la demanda. Para fijar ideas,supongamos que deseamos encontrar las demandas asociadas a la funcion de utilidad CES

12Recordemos que las funciones de utilidad son unicas salvo transformaciones crecientes.

23


u(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ .

En este caso, maximizar la utilidad anterior sujeta a restriccion presupuestaria es equivalente a maxi-mizar

uρ(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

con la misma restriccion. En este caso, f(x) = xρ. Mas aun, como la constante c0 no interviene en elresultado de la maximizacion, al maximizar

[c1xρ1 + c2x

ρ2]

se obtiene un resultado equivalente. Obviamente las transformaciones se justifican siempre y cuandoel nuevo problema sea mas sencillo de resolver que el original. Note, finalmente, que esta eleccionpermite encontrar las demandas; sin embargo, para evaluar la utilidad indirecta se debe volver ala funcion de utilidad original.

1.4 Analisis de sensibilidad del problema del consumidor

En lo que sigue, vamos a estudiar los efectos sobre la demanda, y la utilidad indirecta, que implicanvariaciones en los precios y la riqueza. Esto es lo que tradicionalmente se conoce como analisis desensibilidad del problema del consumidor.

En primer lugar, sabemos que si uno de los precios sube (ceteris paribus), entonces el nuevoconjunto de restriccion presupuestario es mas pequeno que el original (ver (5)), por lo cual la nuevademanda sera necesariamente tal que la utilidad indirecta obtenida es menor o igual (en general,menor estricta) que en la original: esto es simplemente porque el nuevo set de posibilidades tienemenos opciones donde escoger que el original. Luego la solucion resulta menos favorable que antes delcambio en precio. Por lo tanto, hemos probado que13,

∂v(p1, p2, R)

∂p1< 0 ,

∂v(p1, p2, R)

∂p2< 0. (12)

Por otro lado, si el ingreso aumenta (ceteris paribus), entonces el nuevo conjunto de restriccionpresupuestario es mas grande que el original (ver relacion (4)). Luego, siguiendo el razonamientoanterior, se concluye que la utilidad indirecta necesariamente debe aumentar, pues en este nuevoescenario tenemos mas opciones para escoger que en la situacion original. En consecuencia, hemosprobado que

∂v(p1, p2, R)

∂R> 0. (13)

Con lo anterior solo hemos concluido sobre el efecto en la utilidad indirecta segun cambios en losprecios y la riqueza. La pregunta obvia es, ¿que sucede con las demandas en funcion de variaciones en losparametros? La respuesta es algo mas compleja que lo expuesto, y se pueden dar multiples situacionesque pasaremos a detallar. En primer lugar, supongamos que p1 aumenta, digamos a p′1. Sabemosque este cambio puede afectar ambas demandas, pues ambas puedes depender del precio p1. Comoya sabemos, en este escenario la utilidad indirecta disminuye, por lo que necesariamente al menosuna de las demandas debe disminuir debido al cambio de precios (si ambas demandas aumentasen,entonces no podrıa ocurrir que la utilidad indirecta disminuya). A priori, no necesariamente las dosdemandas han de caer. Esto motiva la siguiente definicion. Lo usual es que cuando el precio de unbien aumente, la correspondiente demanda disminuya. Lo contrario motiva la siguiente definicion.

13En forma analoga podemos deducir que si el precio disminuye, entonces el conjunto de restriccion presupuetarioes “mas grande” que el original, por lo cual la utilidad indirecta aumenta. De todo esto, si el precio sube la utilidadindirecta cae, si el precio cae, la utilidad indirecta aumenta; es decir, la derivada respectiva es negativa como se indica.

24


Definicion 1.9 Diremos que un bien i = 1, 2 es Giffen si un aumento del precio propio pi implica unaumento en la demanda respectiva.

En otras palabras, el bien i = 1, 2 es de Giffen si,

∂xi(p1, p2, R)

∂pi> 0.

Es claro que si el bien 1 es de Giffen, entonces necesariamente se debe cumplir que,

∂x2(p1, p2, R)

∂p1< 0

pues de lo contrario, ante un aumento en el precio p1 ambos bienes aumentarıan la demanda, lo cualcontradice el hecho que la utilidad indirecta disminuya antes alzas de precio.

La Figura 11 ilustra la definicion de un bien Giffen.

Figure 11: Bien Giffen

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2

b′′

b′

b

a′′ a′ a R/p1 R/p′1 R/p′′1

Notemos que, si el precio p1 disminuye (p1 > p′1 > p′′

1 ), la demanda respectiva del bien 1 tambien

disminuye (a > a′ > a′′

), por lo cual, el bien 1 es de Giffen, es decir,

∂x1(p1, p2, R)

∂p1> 0.

Notemos finalmente que disminuciones en el precio p1 implican disminuciones en la demanda delbien dos:

p1 > p′1 > p

′′

1 ⇒ b < b′< b

′′

.

Si dibujamos la demanda de un bien de Giffen en funcion del precio respectivo, se tiene que lapendiente de la curva es positiva, lo que obviamente es contrario a las situaciones usuales de demandade bienes. La Figura 12 ilustra la curva de demanda de un bien Giffen y de uno no Giffen.

25


Figure 12: Bien Giffen y No Giffen

x

x1

p1 p1No Giffen

x1

Giffen

Dados por los precios p1, p2 y la renta R, supongamos que el precio del bien uno aumenta a p′1 > p1.En tal caso, el cambio de demanda del bien i = 1, 2 es

xi(p′1, p2, R)− xi(p1, p2, R),

que en terminos porcentuales, corresponde a

xi(p′1, p2, R)− xi(p1, p2, R)

xi(p1, p2, R).

El cambio porcentual en el precio es

p′1 − p1p1

.

La elasticidad precio de la demanda es simplemente el cuociente de los cambios porcentualesanteriores: ası, la elasticidad “precio del bien uno” de la “demanda por el bien i = 1, 2” es

ǫp1,xi =

xi(p′

1,p2,R)−xi(p1,p2,R)xi(p1,p2,R)

p′

1−p1

p1

.

Ordenando los terminos, lo anterior corrresponde a

ǫp1,xi =xi(p

′1, p2, R)− xi(p1, p2, R)

p′1 − p1· xi(p1, p2, R)

p1,

que cuando p′1 ∼ p1 se puede aproximar por

ǫp1,xi =xi(p

′1, p2, R)− xi(p1, p2, R)

p′1 − p1· xi(p1, p2, R)

p1∼ ∂xi(p1, p2, R)

∂p1· xi(p1, p2, R)

p1.

Es segun la aproximacion de la derecha que usualmente se define la elasticidad precio de lademanda. Si en valor absoluto se tiene que la elasticidad precio de la demanda es mayor que uno,se dice que el bien es elastico a ese precio; caso contratio, si en valor absoluto la elasticidad preciodel bien es menor que uno, se dice que es inelastico a dicho precio: un bien elastico responde“fuertemente” a cambios en los precios, mientras que un bien inelastico es poco sensible atales modificaciones.

Consideremos ahora variaciones en la riqueza y su efecto en la demanda. En primer lugar, yasabemos que si el ingreso aumenta, la utilidad indirecta tambien lo hace. El problema, como antes, es

26


determinar que sucede con las demandas. En primer lugar, por lo antes indicado, si el ingreso aumentanecesariamente al menos una de las demandas debe aumentar, pues si ambas disminuyen no podrıa serque la utilidad indirecta aumentase. El asunto es que no necesariamente ambas demandas aumentanante alzas de ingreso. Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.10 Diremos que un bien i = 1, 2 normal si aumentos en la riqueza implica aumentosen su demanda. En caso contrario diremos que el bien es inferior.

De esta manera, el bien i = 1, 2 es normal si,

∂xi(p1, p2, R)

∂R> 0,

y es inferior si,

∂xi(p1, p2, R)

∂R< 0.

La Figura 13 ilustra las definiciones anteriores.

Figure 13: Bien Normal y Bien Inferior

x2

Ambos bienes normales x1 1: Normal; 2: Inferior x1

x2

A priori, podemos dibujar una curva que represente solo las demandas de los bienes ante cambiosen el ingreso, la que recibe el nombre de Curva de Engel. Note que si ambos bienes son normales, lascurvas de Engel son crecientes. Por el contrario, si uno de los bienes es inferior, la curva es decreciente.

¿Como interpretar la curva de Engel? Recuerde que, por definicion, la curva de Engel nos entregalas demandas en diversos escenarios de ingreso (riqueza). Condicional a los precios, un punto cualquierade ella corresponde a la demanda de bienes que se tendrıa para el valor correspondiente de riqueza,esto condicional a los precios de los bienes.

Dada la curva de Engel, suponiendo que ambos bienes son normales, es perfectamente posible queen la medida que el ingreso aumenta la demanda de uno de ellos crezca mas rapido que la demandadel otro. Esto se puede interpretar diciendo que ante aumentos de ingreso, el individuo compra masde uno en relacion al otro (aumento del consumo de manera mas que proporcional). En tal caso, sipor ejemplo la demanda del bien uno crece mas rapido que la del dos, entonces la curva de Engel seramas plana, es decir, con pendiente de tangente (derivada) menor que uno; por el contrario, si fueraque ante aumentos del ingreso la demanda del bien dos crece mas rapido que la demanda del bien uno,entonces la curva de Engel sera mas empinada, es decir, con pendiente de tangente mayor que uno entodo punto. Graficamente lo indicado es como sigue.

27


Figure 14: Bien de Lujo y Bien Necesario (1)

x2

x1

(2)

(1)

En la Figura 14, en la curva (1), la demanda del bien uno crece mas rapido que aquella del bien

dos cuando aumenta el ingreso; lo contrario en la curva (2).

Lo anterior motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.11 Para bienes normales, si en la medida que el ingreso aumenta se tiene que la demandade uno de ellos crece mas que proporcionalmente que la demanda del otro, diremos que dicho bien esun bien de lujo, mientras que el otro se denomina bien necesario.

Ejemplo 1.14 Dada la f.d.u. u(x1, x2) = xα1 · xβ2 , sabemos que

x1(p1, p2, R) =αR

p1(α+ β), x2(p1, p2, R) =

βR

p2(α+ β).

En este caso, ambos bienes no son de Giffen pues si el respectivo precio aumenta, la demandadisminuye:

∂x1(p1, p2, R)

∂p1= − αR

p21(α+ β)< 0;

∂x2(p1, p2, R)

∂p2= − βR

p22(α+ β)< 0.

Por otro lado, ambos bienes son normales pues aumentos del ingreso implican aumentos de lademanda:

∂x1(p1, p2, R)

∂R=

α

p21(α+ β)> 0;

∂x2(p1, p2, R)

∂R=

β

p22(α + β)> 0.

Para dibujar las curvas de Engel, notemos que

x1(p1, p2, R)

x2(p1, p2, R)=

αRp1(α+β)

βRp2(α+β)

=α

β.

Luego, x1(p1, p2, R) =αβ ·x2(p1, p2, R), que es una recta en el plano x1 −x2. La pendiente de dicha

recta es αβ , que graficamente se ve en la Figura 15 es la siguiente:

28


x2

x1

(2)

(1)

Figure 15: Bien de Lujo y Bien Necesario

En la Figura 15, para el caso (1) se tiene que α > β mientras que en el caso (2) se tiene que α < β.De esta manera, el bien uno sera de lujo y el dos necesario si α > β y contrario si α < β.

Finalmente mostramos un resultado de sensibilidad que combina los conceptos que hemos intro-ducido previamente, y que sera de utilidad mas adelante. Se conoce como identidad de Roy, yestablece un vınculo entre la demanda Marshaliana y variaciones de la utilidad indirecta.

Proposicion 1.4 La funcion de utilidad indirecta y las funciones de demanda Marshaliana verificanla siguiente relacion:

∂v(p1,p2,R)∂pi

∂v(p1,p2,R)∂R

= −xi(p1, p2, R) i = 1, 2.

Demostracion. En primer lugar, dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R) y dada la funcionde utilidad indirecta v(p1, p2, R), sabemos que p1x1(p1, p2, R) + p2x2(p1, p2, R) = R. Luego, derivandodirectamente con respecto a R se tiene que,

p1 ·∂x1(p1, p2, R)

∂R+ p2 ·

∂x2(p1, p2, R)

∂R= 1

mientras que al hacerlo c.r. a p1 se tiene que,

p1 ·∂x1(p1, p2, R)

∂p1+ x1(p1, p2, R) + p2 ·

∂x2(p1, p2, R)

∂p1= 0

de lo cual se tiene que, −x1(p1, p2, R) = p1 · ∂x1(p1,p2,R)∂p1

+ p2 · ∂x2(p1,p2,R)∂p1

.

Por otro lado, puesto que v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)), derivando directamente c.r.a p1 y R se tiene que,

[∂v∂p1

]

[∂v∂R

] =

∂u∂x1

· ∂x1

∂p1+ ∂u

∂x2· ∂x2

∂p1

∂u∂x1

· ∂x1

∂R + ∂u∂x2

· ∂x2

∂R

=

∂u∂x1∂u∂x2

· ∂x1

∂p1+ ∂x2

∂p1

∂u∂x1∂u∂x2

· ∂x1

∂R + ∂x2

∂R

.

Pero, por condicion de optimalidad,∂u∂x1∂u∂x2

= p1

p2y luego, reemplazando en lo anterior, se tiene que

[∂v∂p1

]

[∂v∂R

] =

p1

p2· ∂x1

∂p1+ ∂x2

∂p1

p1

p2· ∂x1

∂R + ∂x2

∂R

=p1 · ∂x1

∂p1+ p2

∂x2

∂p1

p1 · ∂x1

∂R + p2∂x2

∂R

.

29


Finalmente, de lo indicado inicialmente, haciendo los reemplazos correspondientes, se obtiene lo indi-cado. �

1.5 Problema dual: demanda Hicksiana y funcion de gasto

En lo que sigue, vamos a definir una serie de conceptos complementarios que seran de utilidad parael estudio del comportamiento de los agentes. Estableceremos, ademas, algunas relaciones entre losmismos.

Basicamente, las relaciones que pretendemos establecer se determinan a partir del problema dualdel consumidor, a saber, condicional a cierto nivel de utilidad, determinar la cantidad de mınima derecursos (ingreso, dinero, etc.) que se necesita para lograr tal nivel de satisfaccion.

Para fijar ideas, dado cierto nivel de satisfaccion u0 ∈ R, las canastas que permiten alcanzar talnivel de satisfaccion definen, como ya sabemos, la isocuanta a dicho valor, es decir, todos los paresordenados (x1, x2) ∈ R

2+ tales que u(x1, x2) = u0. La pregunta que nos motiva es: si estuviesemos

obligados a escoger un punto de la isocuanta, ¿cual elegirıamos? Puesto que cada uno de ellos entregael mismo nivel de satisfaccion, la respuesta directa es que escogerıamos el “mas barato”. ¿Porque? Simplemente porque en caso contrario estarıamos pagando de mas para obtener el mismo nivelde satisfaccion.

A los precios p1, p2, el costo de un punto (x′1, x′2) de la isocuanta al nivel u0 = u(x′1, x

′2) es

R′ = p1x′1 + p2x

′2.

Si dispusiesemos de R′ pesos, ¿comprarıamos la canasta (x′1, x′2)? La respuesta es no necesaria-

mente. De hecho, lo que comprarıamos es la demanda a los precios p1, p2 y la renta R′, es decir,

xi(p1, p2, R′), i = 1, 2,

que no necesariamente es coincidente con x′1, x′2, respectivamente. De hecho, con la riqueza R′ es

perfectamente posible que el nivel de satisfaccion que podrıamos lograr sea incluso mayor que u0anterior.

Definicion 1.12 Dado un nivel de utilidad u0 prefijado y dados los precios p1, p2, definimos lafuncion de gasto como el mınimo ingreso necesario para garantizar el nivel de utilidad indicado.Dicha funcion se denotara por e(p1, p2, u0).

De lo expuesto, para encontrar la funcion de gasto se debe resolver el problema de optimizacion

{minx1,x2

p1x1 + p2x2

s.a u(x1, x2) = u0(14)

cuya solucion se denotara por

hi(p1, p2, u0), i = 1, 2.

Dichos funciones reciben el nombre de demanda Hicksiana por el bien en cuestion14. Se tieneentones que

e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0).El Lagrangeano del problema (14) es

L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − u(x1, x2)],

de modo que las condiciones de optimalidad son:

14Note que las demandas Hicksianas dependen de los precios y de un nivel de utilidad prefijado, esto a diferenciade la demanda Marshaliana, que depende de precios y de la riqueza.

30


(a) ∂L∂x1

= 0 ⇔ p1 − λ∂u(x1,x2)∂x1

= 0.

(b) ∂L∂x2

= 0 ⇔ p2 − λ∂u(x1,x2)∂x2

= 0.

(c) ∂L∂λ = 0 ⇔ u(x1, x2) = u0.

Combinando (a) con (b) para eliminar el multiplicador λ, se tiene finalmente que el sistema ecua-ciones que nos permiten encontrar las demandas Hicksianas es

(i)

Ec. 1 :

∂u(h1,h2)∂x1

∂u(h1,h2)∂x2

=p1p2

⇔ RMS1,2(h1, h2) = −p1p2,

(ii)Ec. 2 : u(h1, h2) = u0.

La primera ecuacion es identica para las demandas Marshalianas y Hicksianas; la segunda condiciones completamente distinta: para las demandas Marshalianas es la restriccion presupuestaria, para lademanda Hicksiana es pertenecer a la curva de indiferencia al nivel de utilidad prefijado.

Ejemplo 1.15 Dada la funcion de utilidad CB u(x1, x2) = xα1 · xβ2 , determinemos las funciones dedemanda Hicksiana y la funcion de gasto. Dado u0, el Lagrangeano es

L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − xα1 · xβ2 ].Derivando c.r. a x1, x2 se tiene que,

p1 − λαxα−11 · xβ2 = 0; p2 − λβxα1 · xβ−1

2 = 0 ⇔ p1p2

=αx2βx1

⇒ x2 =βp1αp2

· x1.

Luego, reemplazando esta ultima relacion en la utilidad se tiene que,

xα1 · xβ2 = u0 ⇔ xα1 ·(βp1αp2

· x1)β

= u0

de lo cual se tiene finalmente que,

h1(p1, p2, u0) = u(1/(α+β))0

(αp2βp1

)β/(α+β)

.

Con esto, se tiene que,

h2(p1, p2, u0) = u(1/(α+β))0

(βp1αp2

)α/(α+β)

y ası,

e(p1, p2, u0) = p1 · u(1/(α+β))0

(αp2βp1

)β/(α+β)

+ p2 · u(1/(α+β))0

(βp1αp2

)α/(α+β)

Fijemos los precios, p1, p2 y veamos algunas relaciones entre las soluciones del problema “primal”(demanda Marshaliana) y el “dual” (demanda Hicksiana). En primer lugar, si el individuo tiene ingresoR, sabemos que comprara xi(p1, p2, R), i = 1, 2, obteniendo un nivel de satisfaccion v(p1, p2, R). Alreves ahora, para obtener satisfaccion v(p1, p2, R), ¿cuanto dinero debe gastar? ¿Que hara con esedinero? A la primera pregunta, la respuesta es R: si gasta mas dinero, digamos R′ > R, entoncesobtiene nivel de stisfaccion v(p1, p2, R

′); como la utilidad indirecta es creciente en el ingreso, en estecaso se tiene que v(p1, p2, R

′) > v(p1, p2, R); si gastase R′′ < R, siguiendo el mismo argumento,la satisfaccion que obtendra es v(p1, p2, R

′′), que es menor que v(p1, p2, R). Luego, la unica opcion

31


es gastar R. Para responder la segunda pregunta (¿que hara?), dado que gastara R para obtenersatisfaccion v(p1, p2, R), por el lado del problema “primal”, sabemos que comprara

xi(p1, p2, R), i = 1, 2;

por otro lado, segun el problema “dual”, sabemos que comprara hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2, queobviamente debe ser coincidente con la anterior. Ası, hemos probado que:

xi(p1, p2, R) = hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2

R = e(p1, p2, v(p1, p2, R)).

Proposicion 1.5

(a) La funcion de gasto es homogenea de grado uno en los precios, es decir,

e(tp1, tp2, u0) = t · e(p1, p2, u0), ∀t > 0.

(b) Para cada i = 1, 2

∂e(p1, p2, u0)

∂pi= hi(p1, p2, u0).

Demostracion.

(a) Por definicion, e(tp1, tp2, u0) viene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{min (tp1)x1 + (tp2)x2

s.a u(x1, x2) = u0

problema es equivalente a resolver

{t ·min p1x1 + p2x2

s.a u(x1, x2) = u0,

pues t es positivo. Luego, el gasto que se tiene con los precios tp1 y tp2 es igual al gasto que setiene con los precios p1 y p2, pero multiplicado por t, que es lo indicado.

(b) Derivando directamente la funcion de gasto c.r. a p1 y recordando que e(p1, p2, u0) = p1h1(p1, p2, u0)+p2h2(p1, p2, u0)

15, tenemos que:

∂e

∂p1= p1

∂h1∂p1

+ h1 + p2 ·∂h2∂p1

= h1 +

[p1∂h1∂p1

+ p2 ·∂h2∂p1

]

Ahora bien, sabemos que u(h1, h2) = u0 y luego, derivando c.r a p1 (aplicar regla de la cadena)se tiene que16,

∂u

∂x1· ∂h1∂p1

+∂u

∂x2· ∂h2∂p1

= 0. (15)

Ahora bien, de las condiciones de optimalidad, sabemos que,

15En la medida de lo posible, omitiremos las variables de cada funcion para evitar notacion excesiva.16Recuerde que u0 es constante, luego su derivada c.r a p1 es cero.

32


(∂u∂x1

)

(∂u∂x2

) =p1p2

y luego,

∂u

∂x1=p1p2

· ∂u∂x2

de lo cual, reemplzando en (15), se tiene que,

p1p2

· ∂u∂x2

· ∂h1∂p1

+∂u

∂x2· ∂h2∂p1

= 0 ⇔ p1p2

· ∂h1∂p1

+∂h2∂p1

= 0 ⇔ p1 ·∂h1∂p1

+ p2 ·∂h2∂p1

= 0.

Reemplazando esta ultima relacion en la derivada del gasto, se obtiene lo indicado pues el terminode la derecha vale cero. Analogo con la derivada respecto de p2. �

Nota. 1.4 Otra forma de ver la parte (b) de la Proposicion 1.5 es como sigue: puesto que la funcionde gasto es homogenea de grado uno en los precios, aplica entonces la identidad de Euler en dichasvariables, es decir

e(p1, p2, u0) = p1 ·∂e(p1, p2, u0)

∂p1+ p2 ·

∂e(p1, p2, u0)

∂p2. (16)

Por otro lado, por definicion se tiene que

e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0) (17)

Identificando terminos en (16) y (17) se obtiene directamente el resultado.

Finalmente, el problema de gasto tiene una interpretacion geometrica analoga a la que tenıamos conla demanda Marshaliana. En este ultimo, al estar fija la recta presupuestaria, la demanda Marshalianase obtiene “desplazando” curvas de indiferencia hasta lograr tangencia con dicha recta. Para determinarla demanda Hicksiana, y por ende la funcion de gasto, es la curva de indiferencia la que esta fija.Dado esto, se desplaza paralelamente una recta de la forma

p1h1 + p2h2 = e

hasta lograr la tangencia con dicha curva, “desplazamiento” que se tiene incrementando el valor de e.El valor del parametro con el cual se logra la tangencia con la curva de indiferencia define el valor lafuncion de gasto, y el punto donde se intersectan recta y curva es la demanda Hicksiana.

1.6 Funciones de compensacion

Consideremos el siguiente contexto general: hay dos instancias a analizar, una inicial, donde losprecios son P = (p1, p2) y el ingreso es R, y otra final con precios P ∗ = (p∗1, p

∗2) y la renta R∗. El

bienestar del individuo es

Inicial : v(P,R), Final : v(P ∗, R∗).

Evidentemente los niveles de satisfaccion en uno y otro escenario pueden ser distintos; si porejemplo, el ingreso se mantiene constante (R = R∗) y al menos uno de los precios aumenta, entoncessabemos que v(P ;R) > v(P ∗, R∗).

Si uno de los precios aumenta, para mantener constante el nivel de satisfaccion entre ambos esce-narios, una posibilidad es que el ingreso en el escenario final suba para compensar tal alza. Se tieneentonces lo siguiente:

33


(a) a los precios iniciales, se necesita R para obtener un nivel de satisfaccion v(P,R), y se necesitae(P, v(P ∗, R∗)) para obtener un nivel de satisfaccion v(P ∗, R∗); por lo tanto

e(P, v(P ∗, R∗))−R ∈ R (18)

representa, en riqueza evaluada a los precios iniciales, P , la diferencia de satisfacciondel individuo entre la situaciones final e inicial. Es por tanto una medida del cambio ensatisfaccion debido del cambio de precios e ingreso. Si la diferencia anterior es nega-tiva (positiva), significa que el nuevo escenario (precios P ∗ e ingreso R∗) es mas desfavorable(favorable) para el individuo que aquel donde los precios son P y su ingreso es R.

(b) A los precios finales, se necesita R∗ para obtener un nivel de satisfaccion v(P ∗, R∗) y se necesitae(P ∗, v(P,R)) para obtener un nivel de satisfaccion v(P,R). Por lo tanto

R∗ − e(P ∗, v(P,R)) (19)

representa, en riqueza a los precios finales, P ∗, la diferencia de la satisfaccion del indi-viduo entre la situaciones final e inicial. Nuevamente, si la diferencia (19) es negativa (positiva),significa que el escenario con precios P ∗ e ingreso R∗ es mas desfavorable (favorable) para elindividuo que un mundo donde los precios son P y su ingreso es R.

Tanto (18) como (19) representan medidas monetarias de los cambios en satisfaccion dadoscambios en los parametros que determinan la demanda de los individuos. Note que con (18) y (19) seasta comparando el mismo cambio en nivel de satifaccion, solo que expresado en distintas basesde precio. La medida (18) esta construida sobre la base de cuantificar las riquezas en terminos de losprecios iniciales, y se llama variacion equivalente, V E,

V E = e(P, v(P ∗, R∗))−R (20)

Por otro lado, la medida (19) esta construida sobre la base de cuantificar la riqueza (ingresos, renta,etc.) en terminos de los precios finales, y se llama variacion compensatoria, V C, es decir,

V C = R∗ − e(P ∗, v(P,R)) (21)

Ambas medidas tienen el mismo signo, pues corresponden a diferencias en dinero para expresarel mismo cambio en satisfaccion. A priori, ambas medidas pueden diferir en sus cuantıas, pues,como se ha indicado, estan expresadas en distintas base de precios.

Ejemplo 1.16 Bonos y subsidios

¿Cual deberıa ser el “bono de navidad” que se ha pagar a un trabajador? Resp. No hay una re-spuesta categorica, pues depende de muchos factores que no controlamos a priori: poder de negociaciondel sindicato, historia del bono en la empresa, del desempeno de la empresa en el periodo, etc. Sinembargo, sin pretender decir cual “deberıa ser” el valor del bono, podemos aproximarnos al problemade la siguiente manera: inicialmente el individuo enfrenta precios P = (p1, p2) ∈ R

2++ y tiene renta

R > 0. En tal caso, su nivel de satifaccion es v(P,R) > 0. Ahora bien, dado que se trata del “navidad”,es bien sabido que los precios de los bienes de consumo suben sustancialmente (¿por que?), digamos,de P a P ∗ = (p∗1, p

∗2). De no mediar cambios en el ingreso, el nivel de satifaccion del individuo caera,

siendo ahora v(P ∗, R); la caıda en el bienestar esta dada por

v(P ∗, R)− v(P,R) < 0. (22)

A partir del alza de precios, una primera medida de compensacion razonable serıa preguntarse sobrecuanto dinero extra habrıa que darle al individuo para que a los nuevos precios (P ∗) su nivel desatisfaccion sea el mismo que tenıa previo al alza. Si denotamos por V1 dicha cantidad, se debe entoncescumplir que

34


v(P ∗, R+ V1)− v(P,R) = 0.

Por lo tanto, buscamos V1 tal que si el individuo tiene ingresos V1 + R, a los precios P ∗ su nivelde satisfaccion es v(P,R); luego, por definicion, V1 +R es la funcion de gasto a los precios P ∗ connivel de satisfaccion v(P,R), es decir, se cumple que

R+ V1 = e(P ∗, v(P,R)) ⇒ V1 = e(P ∗, v(P,R)) −R. (23)

Es decir, V1 es menos la variacion compensatoria, donde la situacion inicial es con precios Py renta R y a final es con precios P ∗ y renta R.

Interpretemos el resultado anterior: ya que los precios en la economıa efectivamente seran P ∗,para analizar los cambios en satisfaccion, expresaremos todo en dichos precios. En tal caso, la felici-dad inicial cuesta e(P ∗, v(P,R)) y la felicidad final cuesta R (= e(P ∗, v(P ∗, R)). Ası, en terminosmonetarios, el cambio en felicidad es

Felicidad Final− Felicidad Inicial = R − e(P ∗, v(P,R)) < 0.

Luego, para compensar, desde un punto de vista monetario, la caıda en la felicidad debido al alzade los precios, la cantidad de dinero a entregar debe ser tal que

Felicidad Final− Felicidad Inicial+Dinero a entregar = 0,

es decir, Dinero a entregar = e(P ∗, v(P,R))−R > 0, que es precisamente lo que tenıamos. En estecaso, el dinero a entregar es simplemente el negativo de la variacion compensatoria.

En enfoque complementario para entender el efecto en bienestar debido al alza de precios, es comosigue: no habiendo cambios en el ingreso, en el escenario final la satifaccion es v(P ∗, R), que es menorque la inicial. A los precios P esta felicidad final es ciertamente mas barata que la actual, puesv(P,R) > v(P ∗, R). ¿Cuanto cuesta la felicidad final a los precios P? Simplemente e(P, v(P ∗, R)),que evidentemente es menor que R. Expresado en terminos monetarios, que el precio suba corresponde,en este caso, a una perdida de felicidad dada por

FINAL− INICIAL = e(P, v(P ∗, R))−R < 0.

Esta es la medida de variacion equivalente que hemos definido. Ahora bien, dado que se producirael alza en el precio, ¿cuanto dinero le deberıa quitar inicialmente al individuo para que a los preciosantiguos (P = (p1, p2)) su nivel de bienestar sea el mismo que tendra dada el alza de precios? En otraspalabras, ¿cuanto dinero le debo quitar para que no sienta el efecto precio posterior? Nos preguntamosentonces por una cantidad V2 (que sera negativa) tal que v(P ∗, R) = v(P,R + V2). En este caso, esdirecto que

R+ V2 = e(P, v(P ∗, R)) ⇒ V2 = e(P, v(P ∗, R))−R < 0, (24)

que es el resultado que ya tenıamos.

La esencia de todo lo anterior esta en interpretar correctamente la funcion de gasto. La idea esque condicional a cierto nivel de satifaccion, digamos u0, a los precios P = (p1, p2), la funcion degasto e(P, u0) es una medida de la dispocision a pagar que el individuo tiene por lograr tal nivel desatifaccion. De esta manera, cambios en la disposicion a pagar debido a cambios en los precios (porejemplo), se puede entender como cambios en los niveles de satifaccion que sufre el agente. El puntoes con respecto a que base de precios se mide tal efecto: si son los precios finales, entonces estamoshablando de variacion compensatoria; si es a precios iniciales, es variacion equivalente.

Para ilustrar geometricamente lo expuesto, supongamos que inicialmente los precios son p1, p2y que la renta es R, con lo cual queda definida la recta presupuestaria (1) y la demanda (2) (verFigura 16), ademas de un nivel de satisfaccion inicial u0. Si ahora el precio del bien uno aumenta(digamos, a q1 > p1 con q2 = p2), si el ingreso no cambia, la nueva recta presupuestaria es (3), la nueva

35


demanda es (4) y el nivel de utilidad es u1. Para compensar este aumento de precio, modificaremos elingreso, digamos en (5), de tal forma que la nueva recta presupuestaria (6) sea tangente a la curva deindiferencia inicial, siendo el punto de tangencia (7), no necesariamente igual a (2).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

u1: Nivel Nuevo

u0: Nivel Original

Figure 16: Funcion de Compensacion

Ejemplo 1.17 Considere un individuo cuya preferencia por dos bienes esta dada por

U(x1, x2) = xβ1 + x2, (25)

con β ∈]0, 1[ conocido. En lo que sigue, suponga que, inicialmente, el precio del bien uno es p1 = py aquel del bien dos es p2 = 1. La renta del individuo es R > 0.

(a) Dados los precios y la renta indicada, determine las demandas Marshallianas y la utilidadindirecta de un agente cuya preferencia esta dada por (25). ¿Para que nivel de renta se tiene quela demanda por el bien dos es estrictamente positiva? En lo que sigue, y cuando corresponda,asuma que la renta del individuo es mayor que dicha cantidad.

Respuesta. De las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, denotando P =(p, 1) ∈ R

2, es directo que

x1(P,R) =

(p

β

) 1β−1

, x2(P,R) = R − p ·(p

β

) 1β−1

,

lo cual implica que

v(P,R) = (x1(P,R))β+ x2(P,R) =

((p

β

) 1β−1

)β

+

(R− p ·

(p

β

) 1β−1

),

es decir,

v(P,R) =

(1

β

) ββ−1

· pβ

β−1 +R− p ·(1

β

) 1β−1

· p 1β−1 = β

β1−β · p

ββ−1 +R− β

11−β · p

ββ−1 ,

lo que finalmente nos lleva a

v(P,R) = R + γ · pβ

β−1 , (26)

36


con

γ = ββ

1−β − β1

1−β = ββ

1−β · [1− β] > 0.

Finalmente, notemos que la demanda del bien dos es positiva si R− p ·(

pβ

) 1β−1

> 0, lo que

se tiene cuando R > p ·(

pβ

) 1β−1

. Note que la demanda del bien uno no depende de la renta.

(b) Dado un nivel de utilidad U0, a los precios ya indicados, determine las demandas Hicksianas yla correspondiente funcion de gasto.

Respuesta. En este caso, el problema es

minh1,h2

p · h1 + h2 s.a. hβ1 + h2 = U0,

a partir del cual se tiene que, suponiendo solucion interior,

h1(P,U0) =

(p

β

) 1β−1

, h2(P,U0) = U0 −(p

β

) ββ−1

,

con lo cual se tiene que (ver definicion de γ > 0 en la parte anterior)

e(P,U0) = p ·(p

β

) 1β−1

+ U0 −(p

β

) ββ−1

= U0 − γ · pβ

β−1 (27)

Note que lo anterior tambien se puede contestar invirtiendo la funcion de utilidad indirecta de laparte (a) para obtener la funcion de gasto, y luego usar el Lema de Sheppard para encontrar las de-mandas Hicksiansa).

Considere ahora un escenario final donde solo el precio del bien uno se modifica, siendo ahorap′ > p. El nuevo sistema de precios se denotara P ′ = (p′, 1) ∈ R

2.

(c) Comparando los escenarios final e inicial ya definidos, determine las variaciones compensatoria(VC) y equivalente (VE). Muestre que, en este caso, ambos valores son iguales.

Respuesta. Para determinar la variacion compensatoria, a los precios P y la renta R se obtieneutilidad v(P,R), mientras que a los precios P ′ y la renta R se obtiene una utilidad v(P ′, R).Entonces, a los precios P se necesita R de renta para lograr el nivel de satisfaccion v(P,R) yse necesita una renta dada por (ver (27))

e(P, v(P ′, R)) = v(P ′, R)− γ · pβ

β−1 =[R+ γ · (p′)

ββ−1

]− γ · p

ββ−1

para lograr el nivel de utilidad v(P ′, R). Por lo tanto, la variacion equivalente es

V E = e(P, V (P ′, R))−R =[R+ γ · (p′)

ββ−1

]− γ · p

ββ−1 −R = γ ·

[(p′)

ββ−1 − p

ββ−1

]< 0.

Por otro lado, a los precios P ′ se necesita renta R para obtener utilidad v(P ′, R) y se necesitarenta

e(P ′, v(P,R)) =[R + γ · (p)

ββ−1

]− γ · (p′)

ββ−1

para que a precios P ′ se obtenga utilidad v(P,R). La variacion compensatoria, V C, es entonces

V C = R− e(P ′, v(P,R)) = γ ·[(p′)

ββ−1 − p

ββ−1

],

que coincide con la V E.

37


1.7 Efectos sustitucion e ingreso, ecuacion de Slutzky

Supongamos que inicialmente los precios son p1, p2 y que la renta de nuestro agente es R. Entonces,producto de un cambio en los precios (digamos, cambio de p1 a p′1, con p

′1 > p1) ocurren dos fenomenos

que nos permitiran explicar el cambio en la demanda. En primer lugar, el cambio de precios implicaque el consumidor es ahora mas pobre (pues puede acceder a menos canastas que las originales) y, ensegundo lugar, se modifica la sustitubilidad de bienes debido a que la razon de precios ha sido alterada.El problema es entonces determinar la magnitud de estos efectos, y explicar el cambio de la demandaen funcion de ellos. Ası podremos identificar de mejor manera cual de los efectos es mas relevante paraexplicar el cambio en la demanda, y con ello obtener informacion adicional sobre las preferencias delos individuos.

Para fijar ideas, realicemos en primer lugar un analisis grafico de la situacion planteada. LaFigura 17 nos ilustra al respecto:

Figure 17: Ecuacion de Slutzky

R/p2

R′/p2

R/p′1R′/p1 R/p1

v1

v0

a

b

c

︸︷︷︸(2)

︸︷︷︸(1)

Con los precios p1, p2 y la renta R, el nivel de utilidad es v0 = v(p1, p2, R) y la demanda dada por

el punto a de la figura. Dado el cambio de precio, el nuevo nivel de utilidad es v1 = v(p′1, p2, R) y

la respectiva demanda es c. Ahora bien, para los precios originales, el nivel de renta requerido para

obtener utilidad v1 serıa e1 = e(p1, p2, v1), que corresponde a R′ de la figura, con lo cual queda

definida una nueva recta presupuestaria, paralela a la original, pero por debajo de esta. Dada esta

recta presupuestaria, la demanda serıa b. Con esto, el efecto ingreso quedara definido como el

cambio en la demanda de pasar de a a b. Para el caso del bien 1, corresponde a (1) de la figura.

Por otro lado, dado que los precios han sido alterados, y dado que la demanda final resultante esta

en c, se tiene entonces que el efecto sustitucion corresponde simplemente al cambio entre b y c

de la figura, que para el caso del bien 1 esta dado por (2).

Estimemos los efectos identificados en lo anterior.

(a) Efecto ingreso.

Aprovechando la Figura 17, para el efecto ingreso, EI, se tiene que

EI = xa1 − xb1 = x1(p1, p2, R′)− x1(p1, p2, R) ≃

∂x1(p1, p2, R)

∂R· (R′ −R).

Sabemos ademas que v(p1, p2, R′) = v(p′1, p2, R), es decir, v(p1, p2, R

′) − v(p′1, p2, R) = 0. Aprox-imemos esta ultima expresion por las derivadas parciales:

38


v(p1, p2, R′)− v(p′1, p2, R) ≃

∂v(p′1, p2, R)

∂R· (R′ −R) +

∂v(p′1, p2, R)

∂p1· (p1 − p′1) = 0.

Luego, de la identidad de Roy (ver Proposicion 1.4), se tiene que

(R′ −R) ≃∂v(p′

1,p2,R)∂p1

∂v(p′

1,p2,R)∂R

· (p′1 − p1) = −x1(p′1, p1, R) · (p′1 − p1).

En consecuencia,

EI ≃ −∂x1(p1, p2, R)∂R

· x1(p′1, p1, R) · (p′1 − p1).

Finalmente, si p′1 es similar a p1, entonces podemos aproximar x1(p′1, p1, R) por x1(p1, p1, R), por

lo cual

EI ≃ −∂x1(p1, p2, R)∂R

· x1(p1, p1, R) · (p′1 − p1).

(b) Efecto sustitucion.

Para estimar el efecto sustitucion, ES, notemos que

x1(p1, p2, R′) = h1(p1, p2, v(p1, p2, R

′)); x1(p′1, p2, R) = h1(p

′1, p2, v(p1, p2, R

′))

y luego el efecto sustitucion es:

ES = x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R

′) = h1(p′1, p2, v(p1, p2, R

′))− h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

que, aproximando por derivadas, implica que

ES ≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

∂p1· (p′1 − p1).

En consecuencia, hemos obtenido la siguiente aproximacion que mide el cambio en la demandaproducto de un cambio en el precio:

x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R) ≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) · (p′1 − p1)

+∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R

′))

∂p1· (p′1 − p1),

de lo cual se tiene que,

x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R)

p′1 − p1≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) +

∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

∂p1.

Aproximando el lado izquierdo por la respectiva derivada y aproximando R′ por R se tiene finalmenteque,

∂x1(p1, p2, R)

∂p1≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R),

relacion que es conocida como Ecuacion de Slutsky.

Teorema 1.2 Para cada i, j = 1, 2:

∂xj(p1, p2, R)

∂pi=∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi− ∂xj(p1, p2, R)

∂R· xi(p1, p2, R).

39


Demostracion. En primer lugar, sabemos que

hj(p1, p2, v(p1, p2, R)) = xj(p1, p2, R).

Luego, derivando la expresion anterior c.r. a pi y recordando que e(p1, p2, v(p1, p2, R)) = R se tieneque:

∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi=∂xj(p1, p2, R)

∂pi+∂xj(p1, p2, R)

∂R· ∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi.

Pero, de la Proposicion (1.5) sabemos que,

∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi= hi(p1, p2, v(p1, p2, R)) ≡ xi(p1, p2, R).

Reemplazando y ordenando los terminos, se concluye la prueba. �

Suponiendo i = j = 1 en Teorema 1.2, queda

∂x1(p1, p2, R)

∂p1=∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R). (28)

Dado entonces un precio inicial p1 y final p′1, ceteris paribus, el cambio en la demanda del bien unoes

∆x1 = x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R).

Segun (28), suponiendo que p1 ≃ p′1 de modo que ∆p1 ≃ 0, se tiene la siguiente aproximacion:

∆x1∆p1

≃ ∂x1(p1, p2, R)

∂p1⇒ ∆x1

∆p1≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R),

lo cual implica que

∆x1 ≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1·∆p1 −

∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R) ·∆p1.

De esta manera, el cambio en la demanda del bien uno debido a un cambio en el precio propio sepuede explicar como la suma de dos efectos:

EI = −∂xi(p1, p2, R)∂R

· xi(p1, p2, R) ·∆p1, ES =∂hi(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi·∆p1.

Si el precio aumenta, (∆p1 > 0), se tiene entonces que

a.- a priori, no es claro cual es el signo de cada uno de los efectos indicados: los efectos sustitucione ingreso pueden ser negativos, positivos o de signos opuestos.

b.- Note que si el bien es normal (demanda crece con el ingreso), entonces necesariamente el efecto in-greso es negativo, pues la derivada respectiva es positiva. El efecto sustitucion no necesariamentetiene signo positivo (o negativo).

c.- Si el bien i es inferior (demanda cae con el ingreso), para que sea Giffen (demanda aumentacuando el precio sube), una “condicion suficiente” es que el efecto sustitucion sea positivo (demodo que la suma de los efectos sea positiva).

40


2 Aplicaciones y complementos

2.1 Demanda agregada y equilibrio (parcial)

Supongamos que en la economıa hay n ∈ N individuos, cada uno de los cuales tiene una funcion deutilidad uk(x1, x2), k = 1, 2, ..., n. Dados los precios p1, p2 de los bienes y dadas las rentas Rk de cadaagente, denotemos las respectivas demandas por el bien i = 1, 2 como,

xki (p1, p2, Rk), i = 1, 2, k = 1, . . . , n.

En tal caso, la demanda agregada (o demanda de mercado) del bien i = 1, 2 se define como,

Xi(p1, p2, Rk) =

n∑

k=1

xki (p1, p2, Rk).

Suponiendo entonces que el precio del bien 2 esta fijo, hemos definido una funcion que asignaa cada precio p1 la cantidad que se demandarıa del respectivo bien. Se tiene entonces lo siguiente:

a.- Si para cada individuo ocurre que el bien 1 no es Giffen, entonces la demanda agregada tienependiente negativa en el precio propio, teniendo genericamente la siguiente forma.

Figure 18: Demanda Agregada

p1

x1

X1(p1)

b.- Supongamos ahora que esta definida una curva de oferta17 por el bien 1, la que, por definicion,nos entrega la cantidad del mismo que se producirıa en funcion del precio p1. Representemos estacurva por O1(p1) y supongamos que a mayor precio, mayor es la oferta, es decir, supongamosque el grafo de la curva de oferta es creciente en el precio (al contrario de la demanda). Unafigura representativa es como sigue:

17Esta curva proviene en rigor de las decisiones de las firmas para producir el bien en funcion de los precios del mismo.En lo que sigue, asumiremos que esta curva es conocida. Un detalle sobre el tema se vera en el proximo curso demicroeconomıa.

41


Figure 19: Oferta Agregada

p1

x1

O1(p1)

Dadas la curvas de oferta y demanda, diremos que p∗1 es el precio de equilibrio competitivodel del bien 1 si18:

X1(p∗1) = O1(p

∗1).

En otras palabras, el precio de equilibrio del mercado del bien 1 (de existir) es aquel para elcual las curvas de oferta y demanda de mercado del bien 1 se igualan. Dado este precio deequilibrio, quedan obviamente definidas cantidades de demanda de equilibrio X1(p

∗1), las que

a su vez permiten determinar las demandas individuales de cada agente de la economıa. Lasdemandas de cada individuo en el equilibrio corresponden simplemente a

xk(p∗1, p2, Rk), k = 1, ..., n.

c.- La funcion exceso de demanda del mercado del bien 1 se define como

Z1(p1) = X1(p1)−O1(p1).

Notemos entonces que,

c.1. En el precio de equilibrio p∗1, Z1(p∗1) = 0.

c.2. Si para un precio p1 se tiene que Z1(p1) > 0, entonces X1(p1) − O1(p1) > 0, es decir,X1(p1) > O1(p1): la demanda es mayor que la oferta, por lo cual se dice que al precio p1hay exceso de demanda en el mercado. Si para p1 se tiene que Z1(p1) < 0, entoncesX1(p1)−O1(p1) < 0, es decir, X1(p1) < O1(p1): la demanda es menor que la oferta, por locual se dice que en el precio p1 hay un exceso de oferta en el mercado.

Graficamente la situacion anterior queda como sigue:

18En rigor, como estamos suponiendo que el precio del bien 2 esta fijo, el analisis que sigue corresponde a uno deequilibrio parcial, pues solo estamos mirando lo que sucede en el mercado del bien 1 e ignoramos el mercado del bien 2.

42


Figure 20: Demanda y Oferta Agregada

p1

c

b

a

DCOA DA OC x1

X1(p1)

O1(p1)

De la figura, el precio de equilibrio es p∗1 = b. Si p1 = a hay exceso de demanda (DA > 0A); siel precio es p1 = c hay exceso de oferta (OC > DC). Solo en p1 = b ambas se igualan19.

2.2 El excedente del consumidor

En lo que sigue, trabajaremos en el mercado de un unico bien y supongamos que para un ciertoindividuo su curva de demanda es X(p). Sea entonces p1 tal que X(p1) = 1 y sea p2 tal que X(p2) = 2.Bajo el supuesto general y usual que la demanda es decreciente, entonces claramente p1 > p2.

Supongamos ahora que por alguna razon, el precio de equilibrio es p∗ = p2, entonces nuestropersonaje comprarıa dos unidades del bien, paganfo p2 por cada una de ellas (tanto por la primera comopor la segunda unidad). Por otro lado, si fuera que el precio de equilibrio hubiese sido p∗ = p1, nuestroagente solo habıa comprado una unidad del bien. Por lo tanto, debido a que el precio de equilibrio esp∗ = p2, ocurren dos cosas obvias. En primer lugar, nuestro personaje compra mas unidades que si elprecio fuera mayor y, en segundo lugar, por la primera unidad paga p2 y por la segunda unidad tambienpaga p2. Sin pronunciarnos sobre si comprar mas es mejor o no, hay claramente una situacion favorablea nuestro personaje cuando el precio es p2 y no p1: por una unidad que antes estaba dispuestoa pagar p1 > p2 ahora solo paga p2. Luego, podemos imaginar que si el precio de equilibrio es p2,nuestro individuo obtiene un beneficio no pecuniario20 de (p1 − p2) · 1: beneficio de pagar p2 por unaunidad que antes estaba dispuesto a pagar p1. Graficamente la situacion es como sigue:

19Se insiste que el analisis anterior es solo de equilibrio parcial pues hemos ignorado lo que sucede en el mercado delbien 2.

20No es pecuniario simplemente porque no ve aumentado su ingreso producto de la transaccion.

43


Figure 21: Excedente del Consumidor (1)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxp1

p2

y1 y2

X(p)

Beneficio

Supongamos ahora una situacion mas general, donde el precio de equilibrio es p∗ cualquiera. Por loindicado anteriormente, dada la cantidad de equilibrio q∗ = X(p∗), nuestro personaje paga el mismoprecio por cada unidad comprada al precio p∗, habiendo estado dispuesto a pagar mas que eso porcada unidad q < q∗. Suponiendo que los bienes son discretos (es decir, se venden de uno en uno), elbeneficio neto resultante queda representado en la Figura 22:


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p1

p2

p3

pk

p∗

q1 q2 q3 k q∗

X(p)

Beneficio

Es decir:

Beneficio = (p1 − p∗) · 1 + (p2 − p∗) · 1 + ...+ (pk − p∗) · 1 + . . .+ (pq∗−1 − p∗) · 1.

Mas aun, si consideramos que existe perfecta divisibilidad de los bienes, entonces este beneficio nopecuniario corresponde simplemente al area marcada en la Figura 23:

44




xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxp∗

q∗ = X(p∗)

X(p)

Definicion 2.1 El excedente de los consumidores (EC) en un precio de mercado p∗ se se definecomo el area indicada en la figura anterior, es decir,

EC(p∗) =

∞∫

p∗

X(p) dp.

Precisamente, a traves de este concepto recuperamos la idea intuitiva de beneficio que habıamosdesarrollado.

Respecto del concepto, notemos lo siguiente:

a.- El Excedente del Consumidor depende obviamente del precio donde se evalua y de la funcion dedemanda considerada. De esta manera, podemos hablar de excedente del consumidor total (si setrata de demanda agregada) o de excedente individual (si se trata de demanda individual). Laforma de calcular es la misma.

b.- El EC no es un beneficio pecuniario. Se debe entender como una medida de bienestar.

c.- El EC proviene de las diferencias entre lo cobrado por los bienes y la dispocision a pagar quetienen los individuos.

d.- Si las firmas pudieran discriminar a los consumidores, cobrando por ejemplo precios diferenciadospor individuo o grupo de ellos, entonces el EC disminuirıa en relacion a un cobro uniforme.

Si las demandas son usuales (decrecientes en el precio), entonces un aumento del precio de mercado(digamos, de p∗ a p) implica una reduccion del excedente del consumidor, tal como como se muestraen la Figura 24:

45


Figure 24: Excedente del Consumidor y Perdida de Eficiencia

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p

p∗

q q∗

X(p)BA

De hecho, notemos que,

∆EC = A+B

donde,

a.- La cantidad A representa la perdida social debido al hecho que los bienes que antes se comprabana precio p∗ se transan ahora a un precio mas alto p.

b.- La cantidad B representa la perdida social debido a la reduccion en el consumo: antes se comprabaq∗ y ahora solo q < q∗.

Ejemplo 2.1 Suponga que la firma “El hilo de oro” fabrica pantuflas y calcetines y suponga ademasque la demanda por pantuflas que tiene un individuo es xpant(p) = 4 − p mientras que su demandapor calcetines es xcalc(p) = 6 − p

2 . El precio inicial de las pantuflas cobrado por El hilo de oro esppant = 2 mientras que el de los calcetines es pcalc = 4. Suponga que por razones de fuerza mayor lafirma ha debido aumentar el precio de las pantuflas a 3. Como el cliente es fiel, para compensarlo poreste aumento de precio la firma ha decidido bajar el precio de los calcetines. ¿Cuanto cree Ud. queha de cobrar por los calcetines para que nuestro personaje no se sienta perjudicado por el alza en laspantuflas? Analice utilizando variaciones de excedente del consumidor.

Respuesta. A partir del enunciado, cuando los precios son ppant = 2 y pcalc = 4, el excedenteneto respectivo es ENCpant = 1/2 · 2 · 2 = 2 (area del triangulo 1 de la figura). Para los calcetines,ENCcalc = 1/2 · 2 · 4 = 4 (area del triangulo 2 de la figura). Por lo tanto, el excedente neto total es 6.Cuando el precio de las pantuflas sube a 3, el nuevo excedente neto es ENCpant = 1/2 · 1 · 1 = 1/2 yel problema es encontrar el precio de los calcetines de modo que la suma de los nuevos excedentes sea6. Supongamos que el precio buscado de los calcetines es p. Entonces, la demanda correspondiente esx = 2 · (6− p) (esto viene de resolver la ecuacion x = 6− p

2). Por lo tanto, el excedentes neto buscado

es ENCcalc = 1/2 · (6− p) · 2(6− p) = (6 − p)2(ver triangulo 3 de la figura). Por lo tanto la condicion

es 1/2 + (6− p)2 = 6, es decir, p = 6−√5.5 = 3.6547.

46


46 6

p_

24

2

4-p 6 - p/2 6-p/2

4 x_

(1) (2) (3)

Ejemplo 2.2 Veamos que,

∂EC(p∗)

∂p= X(p∗).

En primer lugar, notemos que dado un aumento en el precio de p∗ a p, el cambio (disminucion)del excedente esta dado por:

∆EC =

p∫

p∗

X(p)dp.

Por lo tanto, utilizando el Teorema del Valor medio para integrales, existe un precio p ∈ [p∗, p]tal que:

∆EC = (p− p∗) ·X(p)

de lo cual se obtiene que,

∆EC

(p− p∗)= X(p).

De esta manera, tomando lımite cuando p→ p∗ (lo cual implica que p→ p∗) se concluye que,

∂EC(p∗)

∂p= X(p∗),

es decir, la variacion marginal del excedente del consumidor ante cambios en el preciocorresponde simplemente la demanda en el punto inicial, que es lo indicado.

2.3 Modelo de consumo intertemporal

La idea del modelo de consumo intertemporal es que el individuo puede mover recursos en el tiempo conel fin de, por ejemplo, obtener mejores “trayectorias” segun sus objetivos individuales. Una trayectoriade consumo es simplemente el valor del mismo en el tiempo.

Basicamente, hay dos formas de traspasar recursos en el tiempo: (i) una es utilizando mercadosfinancieros, segun lo cual se pueden (a) mover recursos del presente al futuro (ahorro) o (b) delfuturo al presente (deuda); otra forma de proceder es segun (ii) inversiones en sectores productivos,donde parte de los recursos actuales no se consumen en el periodo en cuestion sino que se dejen paraque, a traves de un proceso productivo que se efectua en un periodo posterior, rindan beneficios queson aprovechados en dicho periodo.

Si existe la posibilidad de ahorrar o endeudarse, se dice que hay un mercado financiero; si existela posibilidad de invertir en un proceso productivo, se dice que existe la posibilidad de inversion enun sector productivo. Obviamente, se pueden dar ambas formas de traspasar recursos, o bien solo unade ellas (o bien ninguna).

47


Por simplicidad, en lo que sigue supondremos que hay dos perıodos de tiempo a considerar, a saber,el presente (t = 0) y el futuro (t = 1) (un modelo con mas periodos de tiempo no necesariamenterepresenta una modelacion mas general de lo que aquı se exponga). En este modelo se asume que elindividuo decide traspasar recursos en el tiempo solo con el fin de modificar sus consumos en cadainstante, obviamente tratando de maximizar su funcion de utilidad que depende de la trayectoria(presente - futuro) de sus consumos.

Denotemos el consumo presente por C0 y el consumo futuro por C1 y supongamos ademas queel individuo posee ingresos en cada instante, dados por Y0 e Y1 respectivamente. Estos ingresospueden provenir de su trabajo, de lo que renta(n) su(s) empresa(s), etc. El ingreso disponible encada perıodo lo destina al consumo. En el periodo cero, el ingreso disponible es el neto que tienedespues de ahorrar (o endeudarse) y de invertir en algun proceso productivo. Si denotamospor S el nivel de ahorro (deuda), y por I el nivel de inversion, entonces en el periodo cero su ingresodisponible esta dado por

Y0 − S − I.

El ahorro (deuda) anterior implica un retorno (pago) en el perıodo siguiente dado por,

S · (1 + r),

donde r > 0 es una tasa de interes que fija el mercado financiero21. De hecho, la tasa de interes essolo un precio de un activo en distintos momentos. Note que si decide por S > 0, entonces el individuoahorro en el perıodo cero para luego recibir el pago en el periodo uno; caso contrario, si optimamentese tiene que S < 0, el individuo se endeudo en el periodo cero, para luego pagar la deuda en el perıodouno (aumentado ası el consumo presente, pero sacrificando el consumo futuro).

Por otro lado, si el individuo decide invertir I ≥ 0 en el presente, entonces en el futuro tendrarecursos iguales a f(I), donde f(·) es una funcion de produccion de la inversion. Con todo loanterior, dado S e I, el ingreso neto en el periodo uno (futuro) es

Y1 + (1 + r) · S + f(I).

Si el precio del consumo en perıodo cero (uno) es p0 (p1), entonces la restriccion presupuestaria queenfrenta en cada perıodo es

p0 · C0 = Y0 − S − I, p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I).

Con todo lo anterior, el problema del individuo consiste en maximizar una funcion de utilidad quedepende de la trayectoria de consumo, sujeto a las restricciones ya mencionadas. Si denotamos porU(C0, C1) dicha funcion de utilidad, el problema es entonces

maxS,I

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − S − I (29)

p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I)

Notemos que las variables de optimizacion son S e I, pues la eleccion optima de estas determina latrayectoria de consumo.

Como casos particulares del problema (29) se tiene aquel donde (i) no existen posibilidades deinversion pero sı mercados financieros, aquel donde (ii) no hay mercados financieros pero sı posibilidadesde inversion y aquel (iii) donde no hay ni posibilidades de inversion ni mercados financieros. El caso(i) corresponde a,

21En este modelo estamos asumiendo que la tasa de interes por deuda es igual a la tasa de interes por ahorro, cosa queno necesariamente es cierto en la practica.

48


maxS

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − S, (30)

p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S

mientras que el caso (ii) al problema,

maxI

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − I (31)

p1 · C1 = Y1 + f(I)

Finalmente, en el caso (iii), la solucion es directa, pues al no haber manera de traspasar recursosen el tiempo, la solucion optima por el lado del consumo satisface que

pt · Ct = Yt ⇒ C∗t =

Ytpt, t = 0, 1.

Considerando la version mas general del modelo, (29), se tiene que,

C0 =Y0 − S − I

p0, C1 =

Y1 + (1 + r) · S + f(I)

p1.

Luego, reemplazando lo anterior en la funcion de utilidad, el problema (29) se puede re-escribircomo (problema de optimizacion irrestricto)

maxS,I

U

(Y0 − S − I

p0,Y1 + (1 + r) · S + f(I)

p1

),

Derivando c.r. a cada variable e igualando a cero se tiene que

∂U

∂S= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+∂U

∂C1· 1 + r

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= 1 + r.

∂U

∂I= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+∂U

∂C1· f

′(I)

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= f ′(I).

Por lo tanto, de las condiciones anteriores, se tiene que para I∗ optimo se satisface que,

f ′(I∗) = 1 + r,

es decir, que el nivel optimo de inversion depende solo de la tasa de interes y de la funcion de produccion,no dependiendo de la funcion de utilidad del individuo. Este resultado es conocido como elTeorema de Separacion de Fisher-Hirshleifer, y es valido si existen mercados financieros.De lo contrario, las inversiones podrıan depender de las preferencias individuales. En efecto, si soloexisten posibilidades de inversion, el problema del individuo es (31), que re-escrito corresponde a

maxS,I

U

(Y0 − I

p0,Y1 + f(I)

p1

).

Las condiciones de optimalidad implican que

∂U

∂I= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+∂U

∂C1· f

′(I)

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= f ′(I),

por lo cual la inversion optima depende de las preferencias individuales.

49


Nota. 2.1 En presencia de mercados financieros, el proyecto de invertir consiste en uno donde ent = 0 el flujo es −I, mientras que en el periodo uno el flujo es f(I). Luego, el VAN de este proyectoes,

V AN(I) = −I + f(I)

1 + r.

Se utiliza la tasa de interes r como factor de descuento ya que este es el precio del capital en elperiodo correspondiente. Luego, al maximizar el V AN(I) c.r. a I se tiene que:

∂V AN(I)

∂I= 0 ⇔ −1 +

f ′(I)

1 + r= 0 ⇔ f ′(I) = 1 + r.

Por lo tanto, la condicion obtenida es simplemente una que refleja la maximizacion del V AN delproyecto de inversion.

Respecto de la funcion de utilidad, existen diversas formas de modelar las preferencias de unindividuo. La mas utilizada consiste en suponer que dicha funcion es separable en el tiempo,de forma tal que hay funciones u0 y u1 tales que,

U(C0, C1) = u0(C0) + u1(C1).

Como caso particular de lo anterior, frecuentemente se asume una forma particular para las fun-ciones u0 y u1, de forma tal que

u1(C) = β · u0(C),es decir, que el individuo valora el futuro de la misma forma que valora el presente, salvo por unaconstante β ≥ 0 que se denomina tasa de descuento intertemporal del agente. En lo que sigue,asumiremos que,

U(C0, C1) = u(C0) + β · u(C1)

donde 0 < β < 1 es la tasa de descuento ya mencionada, mientras que u(·) es una funcion de utilidadinstantanea de este individuo22.

El parametro β ∈ (0, 1) representa el nivel de impaciencia del individuo respecto del consumo:mientras mas cercano a uno, mayor es su valoracion del futuro respecto del presente, es decir, es maspaciente; caso contrario, es mas impaciente cuando β es cercano a cero. Por ultimo, notar que β notiene, a priori, nada que ver con r (tasa de interes): β es una tasa de descuento intertemporal quemide impaciencia, siendo por tanto un atributo personal, en cambio r es un precio, que fija valor delos activos dispuestos en distintos instantes del tiempo.

Ejemplo 2.3 Asumamos queU(C0, C1) = ln(C0) + β · ln(C1),

que p0 = p1 = 1, que los ingresos son Y0, Y1 (dados) y que la tasa de interes r > 0. Suponiendo queel individuo tiene solo posibilidades de ahorro-deuda, determinemos el nivel optimo de esta. En estecaso, el problema del individuo es,

maxS

ln(Y0 − S) + β · ln(Y1 + (1 + r) · S).

De las condiciones de optimalidad se tiene que,

−1

Y0 − S+

β · (1 + r)

Y1 + (1 + r)S= 0 ⇒ S∗ =

β · (1 + r) · Y0 − Y1(1 + r) · (1 + β)

.

Por lo tanto, ahorra siempre y cuando S∗ ≥ 0, es decir, cuando,

22Usualmente se asume que u(C) = Cα, con α > 0, o bien u(C) = ln(C), pues, entre otros, con dichas funciones sesimplifican los calculos, pudiendo normalmente encontrar soluciones explıcitas de la demanda.

50


β · (1 + r) · Y0 − Y1 > 0.

Caso contrario, el individuo se endeuda. Notemos ademas que si β aumenta (es decir, es “masimpaciente”), entonces el efecto sobre S∗ se obtiene de la derivada

∂S∗

∂β=

(1 + r)Y0 + Y1

(1 + r) · (1 + β)2> 0.

Por lo tanto, un aumento en β implica un aumento en S∗, lo que parece completamente razonablepues, al valorar mas el futuro, el nivel de ahorro aumenta (caso en que S∗ sea positivo) o bien el nivelde deuda disminuye (caso en S∗ sea negativo).

Veamos como cambia lo anterior si adicionalmente existen posibilidades de inversion, que son dadaspor la funcion

f(I) =√I.

En este caso, el nivel optimo de la inversion es tal que,

f ′(I) = 1 + r ⇒ 1

2√I= 1 + r ⇒ I =

1

4(1 + r)2.

Por lo tanto, el nuevo escenario es como el anterior, salvo que ahora el ingreso Y0 del problemaanterior es Y0 = Y0−I = Y0− 1

4(1+r)2, mientras aquel para el periodo uno es Y1 = Y1+f(I) = Y1+

12(1+r) .

Por lo tanto, el nivel optimo de ahorro (o deuda) es,

S =β · (1 + r) · Y0 − Y1(1 + r) · (1 + β)

=β · (1 + r) ·

(Y0 − 1

4(1+r)2

)−(Y1 +

12(1+r)

)

(1 + r) · (1 + β)= S∗ − β + 2

4(1 + r)2(1 + β).

En principio, ya que el nuevo valor de ahorro (o deuda) es menor que aquel que se tenıa en el

problema sin posibilidades de inversion (S < S∗), entonces el individuo consumirıa mas en periodopresente que en el futuro. Sin embargo, este analisis no es completo, ya que para analizar el efecto ensu totalidad, se debe restar el valor de la inversion y ver ası, en definitiva, si el ingreso neto del periodocero es mayor ahora que antes. Se deja propuesto seguir con el problema. �

Ejemplo 2.4 Supongamos que un individuo representativo consume en dos perıodos, el 1 y el 2. Sidenotamos por c1 y c2 los montos de consumo respectivo, la utilidad que obtiene nuestro agente esu(c1, c2) = c21 + β · c22, donde β es un parametro conocido. Supongamos ademas que inicialmente dichoindividuo dispone de una riqueza I0, la cual debe distribuir para el consumo actual o ahorrar paraconsumo futuro. Si por ejemplo en el primer perıodo decide gastar I pesos, el consumo correspondientees c1 = αI, donde α es un factor de proporcionalidad conocido, identico para ambos perıodos. El dineroahorrado se reajusta para el proximo perıodo a una tasa de interes de i%. En este caso, para plantearel problema de maximizacion de utilidad del consumidor, las variables de decision son el consumoactual y el consumo futuro (c1 y c2). Dado esto, sea I el gasto del individuo en el primer perıodo,entonces c1 = α I. El ahorro es entonces (I0 − I) y por lo tanto el consumo en el segundo perıodoes c2 = α(I0 − I)(1 + i), es decir, c2 = α · I0(1 + i) − α · I(1 + i). Como c1 = αI se tiene que(1 + i)c1 + c2 = α · I0(1 + i). Luego el problema del individuo es,

maxc1,c2

c21 + βc22

s.a (1 + i)c1 + c2 = αI0(1 + i).

Imponiendo las condiciones de optimalidad se tiene que,2c1β2c2

= 1+i1 , es decir, c1 = β(1+ i)c2. Reemplazando en la restriccion presupuestaria, β(1 + i)

2c2 +

c2 = αI0(1 + i). Luego, c2 = αI0(1+i)

(1+β(1+i)2). Por lo tanto, c1 = βαI0(1+i)2

(1+β(1+i)2).

51


Ejemplo 2.5 La empresa forestal Buenas PerasINC tiene una plantacion de 100 hectareas de PinoRadiata, donde por cada hectarea hay 400 arboles. Inicialmente (Perıodo 1) cada arbol entrega M1

kilogramos de madera mientras que en el perıodo siguiente (Perıodo 2) la cantidad de madera queentrega cada arbol es M2 > M1 (es mayor porque cada planta esta mas madura). Supongamos que elprecio de la madera es constante entre los dos perıodos e igual a p > 0. Denotemos por q1 la cantidadde arboles que la empresa decide cortar en el primer perıodo y supongamos que la utilidad de la empresadepende del ingreso que obtiene por la venta de la madera. Sean I1 e I2 los ingresos en los perıodos 1y 2 respectivamente y sea U(I1, I2) la funcion de utilidad de Buenas PerasINC .

a.- A partir de las definiciones anteriores, muestre que,

M2 · I1 +M1 · I2 = 40.000 ·M1 ·M2 · p

Con esto, plantee el problema de maximizacion de utilidad de la firma.

Respuesta. Sea q1 la cantidad de arboles que corta en el perıodo 1. Por lo tanto el ingresoobtenido en dicho perıodo es I1 = q1 · M1 · p (∗). Para el perıodo 2 solo puede cortar q2 =(40.000−q1) arboles, por lo cual su ingreso es I2 = (40.000−q1)·M2 ·p. Despejando q1 en funcionde I1 de (∗) y reemplazando en la relacion anterior se tiene que I2 = (40.000 − I1

M1p) ·M2 · p.

Ordenando los terminos llegamos a la expresion solicitada. De esta manera el problema de BuenasPerasINC es,

{max U(I1, I2)

s.a M2 · I1 +M1 · I2 = 40.000 ·M1 ·M2 · p.

b.- Suponiendo que la funcion de utilidad de Buenas PerasINC es

U(I1, I2) = Iα1 · Iα2 ,

muestre que la cantidad de arboles que la empresa corta en el primer perıodo es igual a aquellaque corta en el segundo perıodo.

Respuesta. Las condiciones de optimalidad del problema son,

• αα · Iα−1

1 Iα2

Iα1 Iα−1

2

= I2I1

= M2

M1,

• M2 · I1 +M1 · I2 = 40000 ·M1 ·M2 · p.Resolviendo el sistema queda I1 = 40000·M1·p

2 . Como I1 = q1 ·M1 · p se tiene que q1 = 40.0002 que

es lo solicitado.

2.4 Modelo de Ocio - Consumo

Este modelo es util para describir, entre otros, la oferta laboral de un individuo. En el modelo deocio-consumo, se presume que las preferencias de un individuo dependen de dos factores, a saber, elConsumo (C) y el Ocio (θ). El consumo representa, en terminos genericos, aquellos bienes que nosentregan satisfaccion y que deben ser comprados en el mercado. El ocio es un variable que se mideen tiempo, y que representa aquella fraccion del tiempo total disponible que se dedica a actividades nolaborales que entregan satisfaccion per se. Por esta razon, dada una cantidad total de tiempo constanteque dispone el individuo, el ocio rivaliza con el tiempo que se dedica al trabajo, que a su vez permitegenerar ingresos que son utilizados para comprar el consumo. En definitiva, el ocio rivaliza con elconsumo.

Si un individuo dispone de T horas diarias (digamos, 24 horas), si t ≥ 0 es el tiempo que dedica altrabajo, entonces el ocio remanente que dispone es θ = T − t ≥ 0. Con el tiempo dedicado al trabajo,puede obtener un ingreso igual a,

52


t · w,siendo w > 0 el salario por hora que recibe. El ingreso anterior debe ser igual al valor del consumo alque finalmente decide acceder. De esta manera, si p > 0 es el precio del consumo, se debe cumplir que

p · C = t · w.

Con todo lo anterior, el problema de ocio - consumo es

maxC,θ

U(C, θ)

s.a p · C = t · w, (32)

θ + t = T,

0 ≤ θ ≤ T , 0 ≤ t ≤ T

siendo U(C, θ) la funcion de utilidad del individuo que depende del consumo y el ocio.

Del problema (32), se tiene que t = T − θ. Luego, reemplazando en la primera restriccion, p · C =w · [T − θ] ⇔ p · C + w · θ = w · T , con lo cual, el problema (32) se puede reescribir como,

max{C,θ}

U(C, θ)

s.a p · C + w · θ = w · T, (33)

0 ≤ θ ≤ T

que tiene la forma de uno de consumo estandar, donde los dos bienes son x1 = C y x2 = θ, losprecios p1 = p, p2 = w, y el ingreso (que ahora depende de uno de los precios) igual a I = w · T . Delas condiciones de optimalidad del problema (33) se tiene que

∂U(C,θ)∂C

∂U(C,θ)∂θ

=p

w,

que junto con la restriccion presupuestaria permiten encontrar el consumo optimo, C∗(p, w), y elcorrespondiente ocio optimo, θ∗(p, w). Con este ultimo se puede obtener el tiempo dedicado altrabajo, que corresponde a la oferta laboral del individuo:

t∗(p, w) = T − θ∗(p, w).

El modelo anterior se puede extender para considerar, por ejemplo, la existencia de lo que eneconomıa se denomina ingreso no laboral, que son recursos que obtiene el individuo independien-temente de si trabaja o no. Si denotamos este ingreso no laboral por Y NL ≥ 0, entonces dado t untiempo dedicado al trabajo, el ingreso total que dispone para el consumo es

w · t+ Y NL,

con lo cual, la nueva restriccion presupuestaria es p ·C = w ·t+Y NL. Haciendo el reemplazo, t = T−θ,se tiene que

p · C = w · T − w · θ + Y NL ⇔ p · C + w · θ = w · T + Y NL,

con lo que el problema del individuo es ahora

maxC,θ

U(C, θ)

s.a p · C + w · θ = w · T + Y NL,0 ≤ θ ≤ T.

(34)

Obviamente si Y NL = 0, entonces el problema (34) es equivalente al problema (33).

53


Ejemplo 2.6 Supongamos que U(C, θ) = Cα · θβ, p = p, w = w, T = T y que Y NL > 0. Resolviendoel correspondiente problema (34) con los datos previos, la solucion es (verificar)

C∗ =α · (w · T + Y NL)

p · (α+ β), θ∗ =

β · (w · T + Y NL)

w · (α+ β).

Luego,

t∗ = T − θ∗ =α · T · w − β · Y NL

w · (α + β).

Notemos ahora que,

∂t∗

∂w=

β · Y NL(α + β) · w2

> 0,

con lo cual, un aumento en el salario implica una mayor oferta laboral. Por lo demas, se tiene que,

limw→+∞

t∗(w) =α

α+ β· T,

es decir, que si el salario aumenta, la oferta de trabajo nunca sobrepasara la fraccion α/(α + β) deltiempo total disponible. Finalmente, si Y NL = 0, entonces,

t∗ =α

α+ β· T,

es decir, trabajarıa la cota maxima que tenıa en el escenario anterior.

Del ejemplo anterior, notemos que si Y NL > 0, entonces existe un salario positivo para el cual laoferta de trabajo es cero. En efecto, al imponer la condicion t∗ = 0, y despejar el respectivo salario setiene que,

wR =β · Y NLα · T > 0.

Este salario se llama salario de reserva y corresponde a aquel precio (salario) por el trabajo para elcual el individuo esta indiferente entre trabajar (oferta positiva) y no trabajar. Obviamente a cualquiersalario menor que wR el individuo no trabajara; a cualquier valor w > wR la oferta de trabajo serapositiva.

Ejemplo 2.7 Asumiendo los parametros como en el ejemplo anterior, calculemos el salario de reserva

si U(C, θ) = [Cr + µθr]1/r

, con r > 0. Para ello, necesitamos calcular la oferta de trabajo en funcionde w y luego buscar aquel valor de salario para el cual dicha oferta es cero. En este caso, la condicionde optimalidad implica que

[Cr + µθr]1/r−1 · r · Cr−1

[Cr + µθr]1/r−1 · µ · r · θr−1

=p

w⇔ C

θ=[µ · pw

]1/(r−1)

⇔ C = θ ·[µ · pw

]1/(r−1)

.

Luego, reemplazando lo anterior en la restriccion presupuestaria, p · C + w · θ = w · T + Y NL, setiene que,

p · θ ·[µ · pw

]1/(r−1)

+ w · θ = w · T + Y NL,

con lo cual,

θ∗ =w · T + Y NL

p ·[µ·pw

]1/(r−1)+ w

⇒ t∗ = T − θ∗ =p ·[µ·pw

]1/(r−1) · T − Y NL

p ·[µ·pw

]1/(r−1)+ w

.

54


Por lo tanto, el salario de reserva es wR tal que p ·[µ·pw

]1/(r−1) · T − Y NL = 0, es decir,

wR = µ · pr ·[

T

Y NL

]r−1

.

Note que wR es creciente en Y NL si r < 1. Ademas, si p aumenta, entonces wR tambien lo hace.

3 Decisiones Bajo Incertidumbre

3.1 Introduccion

En lo que sigue vamos a estudiar un modelo simple de comportamieto de individuos enfrentadosa situaciones de incertidumbre. La diferencia escencial entre este nuevo esquema y lo que hemosestudiado hasta el momento, es que en el caso usual la utilidad solo depende del bien de consumo en sımismo, el cual es perfectamente conocido en terminos de su calidad, propiedades, etc., de modo que exante podemos saber cual sera el nivel de satisfaccion que nos depararıa su consumo. Ası, las accionesde los agentes se traducen en decidir sobre la combinacion de bienes, dados su precios, que depararala maxima utilidad. El problema es que ahora que la calidad o caracterısticas de los bienes no sonconocidas previo a la toma de decisiones. Esto se tiene, por ejemplo, cuando no hay un perfectoconocimiento de las caracterısticas de los bienes o de la cantidad en que ellos estaran disponibles almomento de realizar el consumo, ambas situaciones muy frecuentes en la realidad.

A modo de ejemplo, cuando compramos un determinado producto en el comercio, no sabemosexactamente que es lo que recibiremos a cambio del pago que hacemos. Idealmente podemos teneruna imagen de una manzana y pensar que ese es el objeto por el cual realizamos la transaccion. Sinembargo, al momento de consumir, podemos encontrarnos con un producto de mala u optima calidad,lo que obviamente modifica nuestro placer del consumo. Por lo tanto, estamos enfrentados a unasituacion riesgosa donde el pago el bien en cuestion es mas bien un pago por una posibilidad que elbien tenga tal o cual caracterıstica. En otras palabras, pagamos por loterıas de bienes y no por unaespecificacion concreta, perfectamente conocida a priori23. En este caso simple, podemos pensar quecon cierta probabilidad 0 < p < 1 la manzana comprada es de optima calidad y que, por lo tanto,con probabilidad (1 − p) es de inferior calidad. Imaginemos que el placer por las buenas manzanas semide con un numero, digamos, mb, mientras que por las manzanas malas este valor es mm

24. Por lotanto, de todo lo anterior, con probabilidad p nuestra ganancia serıa mb y con (1− p) serıa mm, lo quepodemos resumir en el siguiente cuadro:

Probabilidad Valorp mb

(1− p) mm

Otro ejemplo es la compra de un seguro de accidentes de transito. A priori, no tenemos ninguncontrol del futuro y no sabemos que nos deparara el destino. Si tomamos o no el seguro, a posteriorisus consecuencias sobre nuestro nivel de ingreso pueden ser muy importantes, y por ende sobre nuestronivel de bienestar. Si denotamos por I el ingreso actual, por M el valor del seguro comprado, por Ael costo de un accidente y por S el valor que nos cubre el seguro, dada una probabilidad p de tener elaccidente, entonces el ingreso disponible final sera I−A−M+S mientras que con probabilidad (1−p)sera de I −M . El siguiente cuadro resumen la situacion:

Probabilidad Valorp I −A−M + S

(1− p) I −M

23Aun cuando no son sinonimos, en lo que sigue utilizaremos indistintamente los conceptos riesgo e incertidumbre.24En lo que sigue este numero correspondera a un valor monetario de la manzana, que podemos imaginar como una

disposicion a pagar por la misma. Ası, habiendo comprado la manzana obtenemos una ganancia mb o mm segun sea elcaso.

55


En todo lo que sigue, para simplificar el analisis supondremos que

Las caracterısticas de calidad de los bienes son traspasadas a un unico numero que llamare-mos valor del bien, de modo que las decisiones de los agentes son hechas sobre la base dela valoracion monetaria que tal o cual calidad asociada a ellos.

En otras palabras, en el modelo que sigue supondremos que los bienes son representados (dig-amos, resumidos, traducidos, etc) por medio de un unico numero que podemos entender como un valormonetario del mismo, el cual que participa en las utilidades de los individuos. Mientras mayor es elvalor, mayor es la utilidad obtenida.

Este esquema general, aun cuando es un supuesto simplificatorio muy util, de todas formas nospermite estudiar gran cantidad de situaciones: por ejemplo problemas de consumo de bienes usualescon incertidumbre, decisiones de inversion, de aseguramiento, de impuestos, etc. El mınimo comunes que ex ante una persona no tiene toda la informacion para saber cual sera la calidad del bien deconsumo que tendra, cual sera el retorno de la inversion, si sufrira o no un accidente de transito, sisera o no encontrado en fraude tributario, etc. Ası, a pesar que se presentan multiples alternativas, elresultado final del proceso es incierto y en cada uno de los posibles estados de la naturaleza el beneficioque obtiene el agente puede ser completamente distinto.

3.2 El modelo

Para modelar los fenomenos como los ya mencionados, necesitamos introducir un concepto mas ampliode bien que hemos utilizado hasta el momento. Imaginemos entonces que con una probablidad 0 < p < 1el bien (o resultado del proceso) se resumen en un valor (ingreso, ganancia, calidad, etc.) representadapor x1 y que con probabilidad (1− p) este valor resultante es x2. Por ejemplo, en un supermercado setiene que con probabilidad 0.7 las manzanas compradas son de buena calidad, de modo que su valor es$100 la unidad, mientras que con probabilidad 0.3 son de mala calidad, siendo el valor de estas iguala $70. Tenemos por lo tanto una situacion resumida en la siguiente tabla:

Probabilidad Valorp = 0.7 $100

(1− p) = 0.3 $70

El concepto ampliado de bien que resume lo anterior es aquel de loterıa, que queda descrita por latabla anterior.

Definicion 3.1 Una loterıa es una coleccion

{p, 1− p, x1, x2}

que resume el hecho que con probabilidad p el bien en cuestion tiene un valor x1 y con probabilidad(1− p) es x2.

Definicion 3.2 Dada la loterıa,

Probabilidad Valorp x1

(1− p) x2

el valor medio de la misma se define como,

x = p · x1 + (1− p) · x2. (35)

En otras palabras, el valor medio de una loterıa es un promedio ponderado por la probabilidadesde los valores posibles que tiene la loterıa25. Formalmente corresponde al valor esperado de unavariable aleatoria que con probabilidad p toma el valor x1 y con probabilidad (1 − p) el valor x2. Porlo tanto, es lo que en promedio el individuo obtedrıa de comprar el bien en cuestion.

25El valor medio ponderado es simplemente una combinacion convexa de los valores extremos x1 y x2.

56


Nota. 3.1 La idea de loterıa anterior se puede extender para considerar situaciones donde los posiblesvalores de esta son xi, i = 1, . . . , N , cada uno de ellos con probabilidad de ocurrencia pi, i = 1, . . . , N ,

de modo que pi ≥ 0 yN∑i=1

pi = 1. En tal caso, el valor medio (esperado) de la loterıa es

x =

N∑

i=1

pixi ∈ R.

Para el caso ya descrito, N = 2, p1 = p y p2 = (1− p).

Nota. 3.2 Un bien usual x1 (cantidad del bien; valor del bien, etc.) se pueden entender como loterıas“extrema” de la forma

{1, 0, x1, x2}que con probabilidad 1 tiene un valor x1 y con probabilidad 0 toma el valor x2.

El problema es ahora modelar las elecciones sobre las loterıas, para lo cual se debe definir unafuncion de utilidad sobre las mismas. Para ello, necesitamos disponer de un concepto de funcionde utilidad ampliado, que dependa de las probabilidades y de los bienes. Se insiste que la loterıa,tal como han sido definidas, no son un bien tangible: es un ideal que representa determinada situacionde incertidumbre en las calidades (y/o cantidades) de los bienes; los individuos no consumen loterıas,sino bienes de consumo usuales.

Para diferenciar la funcion de utilidad que depende de las loterıas y la usual, denotemos por u(·)la f.d.u estandar y por U(·) aquella que depende de las loterıas: en otras palabras, U(·) se evaluaen probabilidades y “dinero” (p, (1− p), x1, x1) , mientras que u(·) solo se evalua solo endinero (x1, x2) (bienes usuales):

U(p, (1− p), x1, x2), u(x1), u(x2).

Ejemplo 3.1 Dada la loterıa,

Probabilidad Valorp x1

(1− p) x2

algunos ejemplos de funciones U(·) pueden ser:

a.- U(p, (1− p), x1, x2) = px31 − p(1− p)x1x2 + p2 ln(x22 + 1).

b.- U(p, (1− p), x1, x2) = pxα1 + (1− p)xα2 .

c.- U(p, (1− p), x1, x2) = p2x1 +x32

1−p2 .

Nota. 3.3 PREGUNTA IMPORTANTE: ¿Que relacion existe entre U(·) y u(·)? A priori,ninguna. La funcion u(·) nos entrega informacion sobre las elecciones de bienes. En cambio, U(·)no solo entrega informacion sobre el consumo en sı mismo, sino que ademas nos entrega antecedentessobre al forma en que cada individuo enfrenta las situaciones de incertidumbre, lo que a priori notiene nada que ver con si prefiere la leche con chocolate a los kiwis. La forma en que cada individuose aproxima al riesgo es una caracterıstica propia del mismo y podrıa tener que ver con su edad, sugenero, su condicion socioeconomica, si tiene o no hijos, su nivel de educacion, etc.

A pesar de lo anterior, hay un caso particular muy importante bajo el cual se establece unaestrecha relacion entre una y otra funcion de utilidad. Este caso se tiene en la siguiente definicion.

57


Definicion 3.3 Dada la loterıa {p, 1 − p, x1, x2}, diremos que la funcion de utilidad U(·) verifica lapropiedad de utilidad esperada si se cumple que,

U(p, (1− p), x1, x2) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2).En tal caso, se dice que u(·) es la funcion de utilidad de Von Newman - Morgenstein (VNM)

del individuo, y notaremos U ∼ u.

La propiedad de la utilidad esperada es un supuesto simplificatorio de mucha importancia, tantopara la teorıa, como en la practica (cosa que podremos apreciar en diversos ejemplos). Obviamenteno todas las funciones de utilidad U(·) satisfacen la propiedad. A modo de ejemplo, las siguientesfunciones de utilidad no la cumplen.

(a) U(p, (1− p), x1, x2) = p2x21 + x1 + (1− p) · px32.

(b) U(p, (1− p), x1, x2) = px1 + (1− p)x22.

(c) U(p, (1− p), x1, x2) = p(1− p)x1

En el caso (a) no se puede identificar una funcion de utilidad u(·) y la expresion no es lineal en lasprobabilidades; en el caso (b) no hay una funcion u(·) unica: para p corresponderıa a u(x) = x, perosegun (1 − p) serıa u(x) = x2. En el caso (c) no aparece x2 y luego no depende de u(x2) para algunu(·). Ademas en este caso no hay linealidad en las probabilidades.

Lss siguientes funciones U(·) cumplen la propiedad de utilidad esperada.

(i) U(p, (1− p), x1, x2) = px21 + (1− p) · x22.

(ii) U(p, (1− p), x1, x2) = px1 + (1− p)x2.

(iii) U(p, (1− p), x1, x2) = pxα1 + (1− p)xα2 .

Para simplificar el analisis que sigue, supondremos que la funcion de utilidad U de cadaindividuo siempre verifica la hipotesis de utilidad esperada.

3.3 Ejemplos de aplicacion

Tal vez la mayor dificultad para el tipo problemas que estudiaremos es la identificacion de la loterıaque representa el fenomeno en analisis. Una vez hecho, el modelo es relativamente simple de resolver,ya que se deriva la funcion objetivo (o el Lagrangeano) respecto de la variable de decision, y se resuelveel sistema o la ecuacion resultante. Los siguientes ejemplos ilustran la tecnica requerida.

Ejemplo 3.2 Seguro de AutoSupongamos que un cierto individuo compra un auto que cuesta $A. Dicha persona esta propensa

a que durante el ano sufra un accidente cuyo costo es $D (valor de los danos). Dado esto, ha decididotomar un seguro. Si el monto por el cual se asegura es de $S el debe pagar el r% en prima (es decir,$r · S). La probabilidad que el individuo sufra el accidente es p > 0 y por lo tanto, la probabilidad deno sufrir el accidente es (1− p). Luego, con probabilidad p el beneficio que tiene es

x1 = A−D − r · S + S,

es decir, el valor del auto, menos los danos, menos el costo de la prima mas el monto que cubre elseguro. Si por el contrario, si no sufre el accidente, su patrimonio al final del dıa sera

x2 = A− r · S.El problema es decidir por cuanto tomara el seguro. Para ello, supongamos que su funcion de utilidadverifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα, α > 0. Entonces, condicional a lasprobabilidades, el problema del individuo es determinar S de modo que se maximice

58


maxS

[p · u(x1) + (1 − p) · u(x2)] = maxS

p · (A−D − r · S + S)α+ (1− p) · (A− r · S)α.

Derivando c.r. a S (variable de decision, pues el individuo decide por cuanto tomar el seguro), setiene que,

p · α · (1− r)(A −D − r · S + S)α−1

+ (1− p) · α · (−r) · (A− r · S)α−1= 0

de lo cual se tiene que,

(A−D + (1− r) · S

A− r · S

)α−1

=(1− p)r

p(1− r)

de donde es posible obtener explıcitamente el valor de S optimo.

Ejemplo 3.3 Decisiones de inversion.Supongamos que disponemos de una cierta cantidad de dinero d y que se nos presenta la opcion de

invertir en acciones o en pagares del Banco Central (PBC). El PBC depara como beneficio una tasade interes segura (porcentaje) r1 > 0, mientras que las acciones, que son mas riesgosas, en la mejorsituacion entregan una tasa de interes r2 > 0, con r2 > r1, pero que en un mala racha del sistema latasa es r3, con r3 < r1. La probabilidad de que las acciones tengan un alto retorno es p > 0, mientrasque la probabilidad de que este sea bajo es (1 − p). El problema consiste en decidir cuanto invertiren acciones y cuanto en un activo seguro (PBC). Si el dinero inicial es d, denotemos por da lo quedestinamos a las acciones (y por lo tanto, d−da es la cantidad de dinero que ponemos en PBC). Luego,segun la definiciones anteriores, con probabilidad p el individuo obtiene la siguiente cantidad de dinero:

(d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2),

es decir, reajusta al r1 de la cantidad de dinero puesta en PBC y a una tasa r2 el dinero puesto enacciones. Analogamente, con probabilidad (1 − p) el dinero obtenido es,

(d− da) · (1 + r1) + da · (1 − r3),

es decir, la ganancia segura menos la perdida en la bolsa (ganancia con tasa menor). Todo lo anteriores solo un balance economico producto de las decisiones del individuo ante el riesgo. Si suponemos quesu funcion de utilidad verifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα, α > 0, entonces elproblema del individuo es determinar da de modo que se maximice,

maxda

p · u((d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2)) + (1− p) · u((d− da) · (1 + r1) + da · (1− r3))

⇔ maxda

p · ((d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2))α + (1− p) · ((d − da) · (1 + r1) + da · (1 − r3))

α.

Ordenando los terminos se tiene que el problema es,

maxda

p · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α + (1 − p) · (d · (1 + r1)− da · (r3 + r2))

α.

Derivando con respecto a da (variable de decision, pues el individuo decide cuanto invertir), setiene que,

p · α · (r2 − r1) · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α−1−

(1− p) · α · (r3 + r2) · (d · (1 + r1)− da · (r3 + r2))α−1

= 0

es decir,

(d · (1 + r1) + da · (r2 − r1)

d · (1 + r1)− da · (r3 + r2)

)α−1

=(1 − p) · (r3 + r2)

p · (r2 − r1)

a partir de lo cual se puede obtener una expresion para da en funcion de los datos del problema.

59


Ejemplo 3.4 PlantacionesSupongamos que un individuo posee una plantacion de pinos de H hectareas, cada una de las cuales

tiene A arboles. El tipo debe decidir si cortar este ano (Primer Perıodo) o el proximo ano (SegundoPerıodo). Si corta hoy dıa, la cantidad de madera que obtiene de cada arbol es M1 Kg, mientras quesi corta el proximo perıodo existe incertidumbre de cual sera la cantidad de madera que contenga cadaarbol. En efecto, si el ano resulta bueno en cuanto a lluvia, la cantidad de madera de cada arbol seraM2 Kg, con M2 > M1, pero si el ano es seco, la cantidad de madera de cada arbol sera M3 < M1. Laprobabilidad de que el ano sea bueno es p, mientras que (1 − p) es la probabilidad de que el ano seaseco. Bajo estas condiciones, denotemos por q la cantidad de arboles que el individuo decide cortardurante el primer perıodo (que sera la variable para optimizar). Luego, con probabilidad p el ano eslluvioso y por lo tanto la cantidad de madera que obtiene es

q ·M1 + (A ·H − q) ·M2,

mientras que con probabilidad (1 − p) la cantidad de madera que obtiene es,

q ·M1 + (A ·H − q) ·M3.

Si la funcion de utilidad VNM es u(x) = ln(x), el problema de la persona es

maxq

p · ln(q ·M1 + (A ·H − q) ·M2) + (1 − p) · ln(q ·M1 + (A ·H − q) ·M3).

3.4 Aproximacion de los individuos hacia el riesgo

Lo que ahora nos ocupara es modelar, de manera sencilla, la manera en los los individuos se aproximanal riesgo, que subyace en el hecho que con alguna probabilidad, lo que compra (u obtiene) puede ser,por ejemplo, insatisfactorio (en resumen, enfrentar una situacion donde, a priori, no hay certeza decalidad, o cantidad, del bien que recibira).

Dada la loterıa {p, 1 − p, x1, x2}, supongamos que x1 < x2, de modo que con probabilidad p setiene el escenario desfavorable, y con probabilidad (1 − p) un escenario desfavorable. Recordemosademas que el valor medio de la loterıa (promedio, media, esperanza, valor esperado, etc.) es

x = p · x1 + (1− p) · x2 ∈ R.

Graficamente el valor medio de la loterıa es un punto del intervalo real cuyos extremos son x1 y x2:mientras p es mas cercano a cero, el valor medio x es mas cercano a x2, mientras mas cercano a unoes p, el valor medio se acerco a x1.

Figure 25: Valor Esperado del Ingreso

x1

px1 + (1 − p)x2

x2

Condicional a las probabilidades, el valor medio x se entiende como el pago que, en promedio,se obtiene de la loterıa. En la practica, y para los analisis que siguen, se puede entender como unpago seguro que resume el valor de la loterıa en comento.

Para definir la actitud de un individuo frente al riesgo, procederemos comparando, en terminosde beneficio, la situacion con riesgo (jugar la loterıa) versus la situacion segura (ganar x). Bajo elsupuesto que U ∼ u, la situacion riesgosa entrega satisfaccion

p · u(x1) + (1− p) · u(x2),

60


mientras que para la situacion segura esu(x).

Con lo anterior, hay tres posibilidades:

Caso A. que u(x) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2) (es decir, que u(x) = U(p, (1− p), x1, x2))

Caso B. que u(x) < p · u(x1) + (1− p) · u(x2) (es decir, que u(x) < U(p, (1− p), x1, x2))

Caso C. que u(x) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2) (es decir, que u(x) > U(p, (1− p), x1, x2)).

En el Caso A, el individuo es indiferente entre una situacion riesgosa y una situacion segura; en elCaso B, el individuo prefiere la situacion riesgosa a la situacion segura, pues la utilidad que leentrega la loterıa (U(p, (1− p), x1, x2)) es mayor que aquella que entrega el pago seguro (que es u(x));en el Caso C, el individuo prefiere la situacion segura a la situacion riesgosa.

Ejemplo 3.5 Supongamos que jugamos dinero al “cara y sello”: si sale cara gano 100 y si sale sellopierdo 100. La cantidad de dinero que jugarıa es 100. Por lo tanto, con probabilidad 1/2 obtengo 200(gano 100 mas los 100 que tenıa) y con probabilidad 1/2 quedo con nada (pierdo los 100 que tenıa). Eneste caso, x1 = 0, x2 = 200 y p = 1−p = 1/2. En promedio, al jugar ganarıa x = 1/2·200+1/2·0 = 100.En el Caso A el individuo estarıa indiferente entre jugar o no jugar, en el Caso B. el individuo prefierejugar mientras que en el Caso C el sujeto no jugarıa el juego.

Definicion 3.1 Suponiendo que U ∼ u, diremos que el individuo es neutro al riesgo si para cualquierloterıa {p, 1− p, x1, x2} se tiene que

u(x) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2),que es propenso al riesgo si

u(x) < p · u(x1) + (1− p) · u(x2),y que es averso al riesgo si

u(x) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

Claramente la neutralidad, propension o aversion al riesgo depende de como es la funcionde utilidad VNM del individuo. Para los casos A - C anteriores, veamos geometricamente como semanifiesta la propiedad en cuestion (se presenta un grafico de la utilidad VNM, u(·), para diversosvalores de ingreso).

Caso A. Aquı u(x) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2). En laFigura 26, el punto B = u(x). Notemos que, por el hecho de que la utilidad es lineal, el puntoC coincide ademas con p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Por lo tanto, la situacion de neutralidad alriesgo se refleja cuando la utilidad VNM es lineal.

61


Figure 26: Utilidad VNM Lineal

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

x1 x x2

C

B

A

Caso B. En este caso, u(x) < p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2).En la Figura 27, el punto B = u(x) y sea D = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Para encontrar el puntoD, basta con prolongar la lınea punteada que pasa por B hasta cortar la recta que une A con C26. Por condicion B < D y la figura de la utilidad se ve como sigue,

Figure 27: Utilidad VNM Convexa

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xx

xxxxxx

xxxxxxxxx

x1 x x2

C

BA

D

Por lo tanto, la situacion de propension al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM, u(·), esconvexa.

Caso C. En este caso, u(x) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2).En la Figura 28, el punto B = u(x) y sea D = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Para encontrar el puntoD, basta intersectar la lınea punteada que pasa por B con la recta que une A con C (analogo alcaso anterior). Como por condicion B > D, la figura de la utilidad se ve como sigue:

26Es importante que pueda justificarlo. Queda como ejercicio para el lector.

62


Figure 28: Utilidad VNM Concava

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

x1 x x2

CB

A

D

Por lo tanto, la situacion de aversion al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM, u(·), esconcava.

De lo expuesto, queda entonces establecido que:

(a) neutralidad al riesgo corresponde a utilidades VNM lineales,

(b) aversion al riesgo corresponde a utilidades VNM concavas,

(c) propension al riesgo corresponde a utilidades VNM convexas,

Nota. 3.4 Recordemos que una funcion u(·) es concava si u′′

< 0: segunda derivada es negativa; yes convexa si u

′′

> 0: segunda derivada positiva.

Ejemplo 3.6 Suponga que la funcion de utilidad VNM es u(x) = xα, con α > 0. Entonces el sujetoes neutro al riesgo si α = 1, averso si α < 1 (u(x) concava) y propenso si α > 1 (u(x) convexa).

El concepto de neutralidad, aversion o propension al riesgo en Definicion (3.1) es un conceptoglobal, en el sentido que la condicion se exige sobre todas las loterıas. ¿Que ocurre si en determinadorango de ingresos el individuo es, por ejemplo, averso al riesgo, y en otros es propenso? En tal caso, elsujeto no se puede calificar en alguno de los tipos indicados. Mas bien se trata de una situacionmixta que no tendrıa cabida dentro del marco global que hemos definido previamente. Para hacernoscargo de estos comportamientos heterogeneos, se deberıa definir un concepto local de cercanıa al riesgo.Dado cierto nivel de ingreso (valor, etc.), ¿que medida nos puede indicar que “tan propenso” es al riesgoen el entorno a dicho valor? A priori se podrıa esperar, razonablemente, que si la funcion de utilidadde un sujeto es “mas convexa” que la de otro, entonces dicho individuo deberıa ser mas arriesgadoque el segundo. Por otro lado, condicional a que el sujeto es propenso al riesgo (global), su cercanıacon el riesgo seguramente dependera de la cantidad de dinero que esta en juego: seguramente se esmas arriesgado con montos chicos que con montos grandes. Para aproximar una medida de aversion opropension al riesgo se introduce la Medida de aversion absoluta al riesgo de Arrow - Pratt.

Definicion 3.4 Dada la funcion de utilidad VNM, u(·), y dado un cierto ingreso x∗, se define lamedida de aversion absoluta al riesgo de Arrow - Pratt en el nivel de ingreso x∗ como,

R(x∗) = −u′′

(x∗)

u′(x∗).

63


Este indicador da cuenta de que tan concava (o tan convexa) es la funcion de utilidad VNM.Relacionandolo con los conceptos anteriores se tiene que:

A.- Si R(x) < 0, entonces en el entornos del nivel de ingreso x el individuo es propenso al riesgo(f.d.u. convexa)27.

B.- Si R(x) > 0, entonces en el entornos del nivel de ingreso x el individuo es averso al riesgo (f.d.u.concava).

C.- Si R(x) = 0, entonces para el nivel de ingreso x el individuo es neutro al riesgo.

Ejemplo 3.7 Si u(x) = xα, entonces

R(x) = −u′′(x)

u′(x)= −α(α− 1)xα−2

αxα−1=

1− α

x

Notemos que para cualquier x se tiene que el signo de R(x) lo determina el signo de 1−α. Si α > 1,entonces R(x) < 0 para cualquier x, cuestion que se condice con el hecho que el individuo es propensoal riesgo; si α < 1 implica que R(x) > 0 para cualquier x, siendo ası averso al riesgo. Notemos queesto es consistente con lo desarrollado en el Ejemplo (3.6).

Notemos que la medida R(x) puede depender del nivel de ingreso del sujeto. Con el fin de corregireventualmente esta dependencia, se define la medida de aversion relativa al riesgo de Arrow -Pratt.

Definicion 3.2 Dado x y u una utilidad VNM, la Medida de Aversion Relativa al Riesgo deArrow - Pratt, que se denota r(x), se define como

r(x) = x · R(x).

Ejemplo 3.8 Si u(x) = xα, entonces

r(x) = x · R(x) = −x · u′′(x)

u′(x)= 1− α.

¿Por que se consideran ambas medidas de aversion al riesgo? Imaginemos dos individuos:el Sr.1 es rico, y tiene mucho dinero (digamos, $1.000.000); el Sr. 2 es mas pobre, tiene $10.000. Aambos se ofrece un juego donde se arriesga perder la apuesta o ganar el doble de lo apostado. Laprobabilidad esta fija y no es relevante para lo que sigue. La apuesta para jugar es $1.000. A priori,sin saber nada de sus preferencias, podemos especular que el Sr.1 estara mas dispuesto a jugar el juegoque el Sr.2, basicamente porque arriesga solo el 1% de sus ingresos, mientras que el Sr.2 el 10% de lossuyos. ¿Significa lo indicado que el Sr.1 es mas propenso al riesgo que el Sr.2? En terminos absolutos,seguramente si; sin embargo, en terminos relativos puede que no lo sea.

Ejemplo 3.9 Supongamos que la funcion de utilidad VNM de un individuo es de la forma u(x) =a + b · ln(x + c). Determine R(x) y r(x) e interpretemos su significado. Para ello, la derivada de

u(·) es u′(x) = bx+c y la segunda derivada es u

′′

(x) = −b(x+c)2

. Por lo tanto, R(x) = −u′′(x)u′(x) = 1

x+c ,

y luego r(x) = xx+c . Como R(x) > 0, el individuo siempre es averso al riesgo. Por otro lado, que

R′(x) = −1(x+c)2

< 0, significa que, en la medida que x aumenta, R(x) disminuye, por lo tanto, cuando

el individuo es mas rico (aumenta el ingreso x), se tiene que R(x) disminuye, es decir, cada vez esmenos averso al riesgo.

27Recuerde que la utilidad VNM siempre crece con el ingreso, de modo que la primera derivada es positiva. De esta

manera, si R(x) < 0 significa que −u′′

(x)

u′(x)

< 0, es decir, u′′

(x)

u′(x)

> 0; como u′(x) > 0 siempre, entonces u′′(x) > 0, es

decir, u es convexa, de modo que el individuo es propenso al riesgo.

64


Ejemplo 3.10 Si la funcion de utilidad VNM de un individuo es u(x) = e−ax, con a > 0, se tiene que

u′(x) = −a · e−ax y u′′(x) = a2 · e−ax. Por lo tanto, R(x) = −u′′(x)u′(x) = a2·e−ax

−a·e−ax = −a. Luego, si a > 0

el individuo es averso al riesgo, mientras que a < 0 implica que el individuo es propenso al riesgo.

Medidas adicionales que nos permiten aproximar la aversion - propension al riesgo de un individuo,que en definitiva son medidas de la concavidad o convexidad de la utilidad VNM, son el equivalentecierto y la prima por riesgo. Vamos por parte. Ya sabemos que, en general, u(x) = u(p · x1 + (1−p) · x2) no tiene por que ser igual a p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). De hecho, para el caso de un individuoaverso (propenso) al riesgo sabemos que:

u(x) > (<) p · u(x1) + (1− p) · u(x2).Ası, ¿cuanto “dinero” habrıa que dar a un individuo para que la utilidad correspondiente sea equivalentea la que obtendrıa de jugar el juego? Es decir, ¿que nivel de ingresos lo deja indiferente entre jugar yno jugar el juego? Evidentemente la respuesta es M tal que

u(M) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). (36)

Notemos que, a priori, a cantidad M que cumple con (36) puede depender de x1, x2 y de p. Estevalor recibe el nombre de equivalente cierto de la loterıa. Al respecto:

(a) si el individuo es neutro al riesgo, entonces M = px1 + (1− p)x2.

(b) si el individuo es averso al riesgo, entonces M < px1 + (1− p)x2.

(c) si el individuo es propenso al riesgo, entonces M > px1 + (1− p)x2.

Justifiquemos (b) (las otras son similares). Si el individuo es averso al riesgo, entonces

u(px1 + (1− p)x2) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2).Luego, como buscamos M tal que u(M) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2), se tiene entonces que u(px1 +

(1− p)x2) > u(M); como u(·) es creciente, concluimos que

M < px1 + (1− p)x2.

Finalmente, se define la prima por riesgo asociada a la loterıa {p, 1−p, x1, x2} como la diferenciaentre el valor esperado de esta y el equivalente cierto, es decir,

ρ = x−M.

De esta manera, ya que M = x− ρ, por definicion se cumple que

u(M) = u(x− ρ) = pu(x1) + (1− p)u(x2).

La cantidad ρ anterior depende obviamente de la utilidad del individuo y del nivel de ingreso enque estamos parados (por lo tanto, es mas correcto escribir ρ(x) para expresar la prima por riesgo).Intuitivamente, para un individuo que es mas averso al riesgo que otro, la prima por riesgo ha de sermayor.

Notemos que,

a.- Si el individuo es propenso al riesgo, la prima por riesgo ha de ser negativa (recuerde que en ladefinicion, el ρ va con signo menos en la utilidad).

b.- Si el individuo es averso al riesgo, la prima por riesgo es positiva (le debo “quitar dinero” parahacerlo indiferente entre la situacion segura y la riesgosa).

c.- Por ultimo, si el individuo es neutro al riesgo, su prima por riesgo es cero.

65


La Figura 29 ilustra la prima por riesgo cierto para un individuo que es averso al riesgo.

Figure 29: Equivalente Cierto

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

x1 x x2(x− r)

66


Part II

Teorıa de la Firma

4 Conceptos Basicos

4.1 Introduccion

Para los objetivos del curso, es fundamental definir lo que entenderemos por proceso productivo, ya quesera el concepto central que utilizaremos para analizar el comportamiento de las firmas dentro de laeconomıa.

Definicion 4.1 Se entendera por proceso productivo cualquier instancia destinada a transformarciertos bienes en otros diferentes de los originales.

Cuando se habla de bienes diferentes no solo se hace referencia a cuestiones que muestren uncambio evidente en las cualidades fısicas o quımicas de los originales a los finales. Por el hecho que losbienes tienen asociadas caracterısticas espaciales y temporales que los pueden diferenciar, un procesoproductivo puede tambien corresponder a ponerlos en distintos lugares y/o en distintos instantes detiempo.

Dado un proceso productivo, existen dos tipos de bienes que lo conforman: aquellos que serantransformados y aquellos que resultan de la transformacion. Los primeros seran llamados materiasprimas, inputs o factores del proceso productivo, mientras que los segundos seran el producto,output o bien final. Por ejemplo, para la produccion de jugo de naranja, algunos de los factorespodrıan ser las naranjas, agua, edulcorante, colorante, mano de obra, etc; mientras que el productofinal de esta etapa es el “jugo de naranja”. Siguiendo con este ejemplo, el mismo jugo de naranjapodrıa perfectamente ser un factor para otro proceso productivo, por ejemplo, una pastelerıa que loocupe para fabricar galletas de naranja.

En el modelo economico, las unidades basicas que llevan a cabo los procesos productivos son lasfirmas o empresas. Estas son las unidades mınimas que desempenan tal labor, mientras que unaagrupacion de ellas que producen un bien identico se denominara industria del bien encuestion.

Dados ciertos factores de produccion, es necesario destacar que una firma puede elaborar si-multaneamente varios productos. En este caso general hablaremos de una firma multiproducto; cuandola firma produce solo un bien se dira que es monoproducto. En este curso estudiaremos firmas mono-productoras. La justificacion viene del hecho que, una firma multiproducto puede ser entendida, bajociertos supuestos generales, como varias firmas monoproductoras trabajando en conjunto.

Como veremos pronto, cada firma esta caracterizada por lo que llamaremos su tecnologıa de pro-duccion. Con esta simplemente se resumen las opciones que tiene para “combinar los factores” conel fin de elaborar su producto final. En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente, asumire-mos que para una determinada firma, dicha tecnologıa esta dada. Este es un supuesto fuerte, porcuanto omite del analisis todos aquellos aspectos relativos a innovacion tecnologica e “investigacion ydesarrollo” (I + D), materias que para muchas firmas son de gran importancia en sus quehaceres28.

Con el fin de caracterizar el comportamiento de una firma, dos son los problemas centrales queestudiaremos, los que a posteriori resultan estar estrechamente relacionados. En primer lugar vamos aconsiderar el problema de maximizacion de beneficios para luego analizar el problema de minimizacionde costos. Con esto, puesta la firma en un contexto de mercado, podremos estudiar su oferta de productoy demanda de factores, para lo cual consideraremos, en primer lugar, una economıa competitiva, dondecada firma en particular no tiene injerencia en el precio de los bienes que ofrece. Posteriormenterelajaremos el supuesto, permitiendo que las firmas puedan tener injerencia en los precios de venta delos productos.

28Una forma de justificar este supuesto es partir de la base que el analisis que nos interesa se efectua en un horizontede tiempo lo suficientemente breve, de modo que la firma no puede realizar innovaciones en sus procesos, manteniendode esta manera su tecnologıa constante.

67


4.2 La firma y sus objetivos

Comencemos con una pregunta: ¿cual es el fundamento para que existan las firmas? La respuestapasa, en primer lugar, por comprender que en cada accion que se ejecuta dentro de un proceso produc-tivo, existen costos provenientes de, por ejemplo, el pago por insumos, salarios, impuestos, patentes,transporte de productos, etc. La razon para que el proceso sea llevado a cabo en alguna escala (queda origen a las firmas no individuales) viene del hecho que este tipo de organizacion puede reducir loscostos de produccion debido a que, por un lado, existe un efecto de escala en la produccion dada unaconcentracion adecuada de factores y, por otro lado, por el hecho que algunos de los costos mencionadosno dependen de la cantidad de producto que se elabore (costos fijos), lo que motiva la organizacion delproceso pues, de esta manera, resulta mas eficiente desde el punto de vista de los beneficios obtenidos.Obviamente, la organizacion de una firma no individual tiene sentido siempre y cuando el esfuerzocooperativo de un grupo resulte en una situacion mas beneficiosa que aquella obtenida de la sumade los esfuerzos individuales. La diferencia de ingresos entre ambas situaciones, claro esta, debe serpor lo menos ser igual al costo de organizar, supervisar, medir y hacer cumplir los contratos con losempleados, menos los costos de transaccion asociados con la alternativa de subcontratacion.

Tacito en la mencion sobre la necesidad de supervision, esta el hecho que el empresario es elsupervisor final del proceso, ya que recibe el beneficio (ingresos menos pago de insumos) del procesoy, por ende, percibe un impacto inmediato en su pecunio personal del desempeno de la empresa. Deesta manera, tras la idea del empresario como supervisor final y eficiente, se encuentra el supuesto demaximizacion de beneficio neto como objetivo de la firma, lo que en el fondo define su comportamientodentro de la economıa. Una justificacion adicional para esto se encuentra en la necesidad de obtenerfinanciamiento con el fin de crecer, o entregar dividendos. En este sentido, la busqueda de ganancias porparte de los inversionistas, o el interes de no afrontar perdidas significativas, obligarıa a las empresasa tener capacidad de generar altos retornos.

4.3 Sobre la funcion de produccion y conceptos relacionados

Con la finalidad de modelar el problema que nos interesa, supondremos que firma es monoproductoray que ocupa solo dos factores de produccion29. Denotaremos genericamente por x1 cantidad del factor1 y por x2 aquella del factor 2 que utiliza la firma para producir su producto30, la que genericamentesera denotada por y.

Es claro que para realizar un determinado proceso productivo, para cada firma, en determinadomomento, solo existen algunas formas viables de combinar los factores para obtener el producto. Estasformas viables estan definidas por una serie de condicionantes, que a modo de ejemplo, pueden serlas caracterısticas fısicas y/o quımicas de los factores y productos, restricciones sobre la manera enque se pueden mezclar los factores, caracterısticas del equipo de trabajo (tecnicos, profesionales), delos equipos o maquinas disponibles en el momento, etc. Precisamente estas condicionantes son lasque implıcitamente definen la tecnologıa de produccion de una firma, pues ellas determinan, en ultimainstancia, las cantidades de producto que se pueden obtener a partir de los insumos empleados.

Definicion 4.2 La tecnologıa de una firma esta definida por la manera en que la misma puedecombinar los factores con el fin de elaborar el producto.

En terminos practicos, la tecnologıa refleja la cantidad de producto que la firma puede obtener dadaslas cantidades de factores que emplea.

Un supuesto fundamental que haremos en este curso, salvo que se diga expresamente lo contrario,es que la tecnologıa de una firma es constante, en el sentido que decisiones sobre innovacion tecnologica,u otros relacionados, no seran aspectos a considerar en el analisis.

Supondremos que la nuestra firma produce utilizando solo dos factores, cuyas cantidades genericas son x1 y x2 para el factor uno y dos respectivamente. Dado esto, los productos factibles de serelaborados empleando los factores x1 y x2 se definen como

29El analisis que sigue es perfectamente aplicable si en el proceso productivo existen mas de dos factores.30Para fijar ideas, el factor 1 puede ser trabajo, mientras que el factor 2 corresponder a capital.

68


P(x1, x2) = {y | y se puede elaborar con x1, x2}

A priori, es claro que el conjunto anterior debe tener una cota superior, es decir, existe una cantidadde producto maxima que es posible elaborar a partir de la cantidad indicada de factores. Obviamenteesta cantidad maxima dependera de las caracterısticas de cada firma. Sin embargo, para una firmadeterminada, este nivel de producto es unico, completamente determinado por la cantidad de factoresque utiliza (y obviamente por las caracterısticas de la firma).

Definicion 4.3 La funcion de produccion de la firma se define como aquella que asocia a losfactores dados la cantidad maxima de producto que se puede elaborar a partir de los mismos.

Si denotamos por f(·) la funcion de produccion de la firma, entonces, segun la definicion, f(x1, x2)representa la mayor cantidad de producto que la firma puede elaborar a partir de los inputs dados. Deesta manera, si fuera dado cualquier otro nivel de produccion y0 ∈ P(x1, x2), entonces

y0 ≤ f(x1, x2).

En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.

Ejemplo 4.1 Supongamos que el proceso productivo considera solo un factor. La Figura 30 un casogenerico.

Figure 30: Funcion de Produccion

Producto

d

b

a c Factor

f

De lo anterior, si la cantidad de factor es a, entonces la cota de produccion es b, mientras que, si lacantidad es c, la cota es d. Luego, si la funcion de produccion es f(·), se tiene que f(a) = b y f(c) = d.Notemos ademas que dado a, cualquier cantidad de producto y ≤ b es factible de ser producida con estacantidad de factor. Por el contrario, con a cantidad de factor, la cantidad de producto d es infactiblede ser elaborada, ya que supera la cota de maximo output posible.

En todo lo que sigue, cuando hablemos de produccion de la firmas, nos referiremos a la cota maximaque puede producir dada la cantidad de factores, es decir, a los valores de la funcion de produccion(f.d.p) de la firma en el nivel de factores. Finalmente, abusando del lenguaje y considerando todo loanterior, hablaremos indistintamente de funcion de produccion o tecnologıa de la firma.

Nota. 4.1 Que la funcion de produccion representa la tecnologıa de produccion de la firma es unaforma muy simplificada de modelar a las firmas, de manera analoga a suponer que la funcion deutilidad podıa resumir (modelar) el comportamiento de los individuos.

69


Supongamos dadas las cantidades de factores x1 y x2, y sea f(·) la funcion de produccion. Notemos,en primer lugar, que si aumentamos la cantidad del factor 1 en δ > 0, entonces, en el peor caso,la firma producira lo mismo que hacıa previo al cambio, ya que puede desechar factores manteniendolos niveles originales de produccion. Esto es igualmente valido con aumentos en el factor 2. De estamanera, necesariamente la funcion de produccion debe ser creciente en los factores. Estaes una propiedad fundamental de toda funcion de produccion.

Proposicion 4.1 Las funciones de produccion son crecientes en cada una de sus componentes (fac-tores).

Lo anterior se traduce en para una funcion de produccion f(·) derivable, se debe cumplir que

• ∂f(x1,x2)∂x1

≥ 0

• ∂f(x1,x2)∂x2

≥ 0

Finalmente, para un proceso productivo (dos factores) es obvio que

f(0, 0) = 0: De la nada, nada sale.

Las propiedades recien expuestas son las restricciones fundamentales para que una funcion cualquierasea una funcion de produccion; de violarse alguna de ellas, la funcion en cuestion no podra ser unafuncion de produccion.

Nota. 4.2 Normalmente se asumira que las funciones de produccion son estrictamente crecientespor componentes, es decir, que aumentos en alguno de los factores implican aumentos estrictos en elnivel de producto que se obtiene. En tal caso, las derivadas de la f.d.p con respecto de los factores sonestrictamente positivas.

Ejemplo 4.2 En la Figura 31 se ilustran seis grafos de ciertasfunciones. De ellas, solo (c), (d) y (f)pueden representar funciones de produccion.

Figure 31: Funciones de Produccion

a b c

d e f

70


De la definicion de derivada,

∂f(x1, x2)

∂x1= lim

h→0

f(x1 + h, x2)− f(x1, x2)

h,

para h suficientemente pequeno se tiene que

∂f(x1, x2)

∂x1≃ f(x1 + h, x2)− f(x1, x2)

h,

a partir de lo cual,

f(x1 + h, x2)− f(x1, x2) ≃ h · ∂f(x1, x2)∂x1

.

De esta manera, cuando h = 1 se concluye que

f(x1 + 1, x2)− f(x1, x2) ≃∂f(x1, x2)

∂x1. (37)

El lado izquierdo de lo anterior es el incremento en produccion (funcion creciente) que se obtienede aumentar el factor uno es una unidad.

Definicion 4.4 El producto marginal del factor i = 1, 231 evaluado en (x1, x2), corresponde alincremento en la cantidad producida del bien final (output), debido al cambio en una unidad delinsumo en cuestion (cambio marginal). Para el factor i = 1, 2, se denotara por PMgxi(x1, x2).

De manera analoga a lo expuesto para el concepto de utilidad marginal, teniendo en cuenta (37)se concluye que el producto marginal puede ser aproximado por la derivada parcial de la funcion deproduccion c.r. a la variable correspondiente. Abusando del lenguaje, y de las aproximaciones, elproducto marginal lo evaluaremos como la derivada parcial c.r. al factor respectivo. Ası, elproducto marginal c.r. al factor i = 1, 2, evaluada en el punto (x1, x2), corresponde a

PMgxi(x1, x2) =∂f(x1, x2)

∂xi≥ 0, i = 1, 2.

Ya que f.d.u es creciente, el producto marginal de cada factor siempre ha de ser positivo; sila f.d.u. es estrictamente creciente, el producto marginal de cada factor ha de ser estrictamentepositivo. Esto ultimo sera asumido normalmente en todo lo que sigue.

Definicion 4.5 Se entendera por productividad media de un factor al producto total divido porla cantidad utilizada del factor productivo en cuestion. Dados x1, x2, la productividad media del factori = 1, 2 se denotara por

PMexi(x1, x2) =f(x1, x2)

xi.

Ejemplo 4.3 La Figura 32 ilustra ambos conceptos:

31Tambien llamada productividad marginal del factor.

71


Figure 32: Producto Medio y Marginal

Producto

f(a)

a b

(1)

x1

(2)

La productividad marginal (producto marginal) en a es igual a la pendiente de la recta tangente

a la curva (recta (1)), mientras que la productividad media es f(a)a . Note ademas que PMgx1(a) >

PMgx1(b), mientras que PMx1(a) < PMex1(b) (¿por que?)

Ciertamente una funcion de produccion puede tener diversos comportamientos respecto de susproductividades marginales y medias: se puede dar el caso que tenga productividad marginal crecienteen ambos factores, otras que tengan productividades marginales decrecientes, otra donde haya productomarginal creciente en un factor, y decreciente en el otro. La Figura 33 ilustra lo expuesto.

Figure 33: Comportamientos funciones de produccion segun productividad marginal

(1) (2) (3)

La funcion de produccion (1) tiene productividad marginal y media creciente, la (2) decrecientes,

mientras que pata la (3) son constantes.

Finalmente, podemos imaginar tecnologıas donde, por ejemplo, para ciertos niveles de factor setienen productividades marginales (o medias) crecientes, mientras que para otros niveles, son decre-cientes. La Figura 34 ilustra lo expuesto.

72


Figure 34: Distintos Comportamientos en una Funcion de Produccion

y

x1 x2 x

y = f(x)

Cuando el factor esta entre 0 y x1, el producto marginal y medio es creciente; cuando esta entre

x1 y x2, el producto marginal y el medio es decreciente. Finalmente, para x > x2, el producto

marginal es cero y el medio decreciente.

Nota. 4.3 Funciones de produccion concavas y convexasRecordemos que una funcion f : R2 → R es concava si para todo x1, x

′1 ∈ R

2 y para todo λ ∈ [0, 1]se cumple que,

f(λx1 + (1 − λ)x′1) ≥ λf(x1) + (1− λ)f(x′1). (38)

La expresion λx1 + (1 − λ)x′1 se denomina combinacion convexa de x1 y x′1, y es un vector en elsegmento de recta cuyos extremos son x1 y x′1. Cuando λ = 0 o 1, la combinacion convexa correspondea uno de los valores extremos del intervalo. Notemos que (38) es siempre una igualdad cuando λ = 0o λ = 1. Si la desigualdad (38) es estricta cuando λ ∈]0, 1[, se dice que la funcion es estrictamenteconcava. Geometricamente una funcion concava es como lo muestra la Figura 35

Figure 35: Funcion Concava

B

C

x1 A x′1

f

En la figura, A = λx1 + (1 − λ)x′1 representa una combinacion convexa cualquiera entre x1 y x′1,mientras que B = f(λx1+(1−λ)x′1). Finalmente, C = λf(x1)+(1−λ)f(x′1) (probarlo como ejercicio).Para cualquier punto entre x1 y x′1 se cumple que B esta por encima de C, que es la definicion de

73


concavidad. En consecuencia, geometricamente la concavidad se tiene cuando la recta une puntos deuna curva que esta siempre por debajo de la curva (B mas grande que C).

Desde un punto de vista analıtico, cuando la funcion f es de una variable, la concavidad correspondea que la primera derivada es decreciente y, por lo tanto, que la segunda derivada es negativa. Si lafuncion es de varias variables, la condicion “segunda derivada negativa” se traduce en que la matrizde segundas derivadas parciales (matriz Hessiana) es semi-definida negativa. Una matriz essemi-definida negativa cuando sus valores propios son menores o iguales a cero. En particular, estoimplica (no es equivalente) a que las segundas derivadas parciales

∂2f(x1, x2)

∂x21,∂2f(x1, x2)

∂x22, (39)

son negativas. Por lo tanto, si la funcion de produccion es concava, de (39) se concluye que losproductos marginales de cada factor son decrecientes. Sin embargo, esta condicion no essuficiente para garantizar la concavidad de la f.d.p.

Como sabemos, la funcion f : R2 → R es convexa si −f (la negativa de f) es concava. La

geometrıa de las funciones convexas es “opuesta” a aquella de las concavas: el grafo esta por debajode la recta. Desde el punto de vista del analisis, la matriz Hessiana de una funcion convexa es semi-definida positiva, cuestion que en terminos de productividades implica que el producto marginal decada factor es creciente.

Finalmente, se debe distinguir entre funciones concavas (convexas) y estrictamente concavas(estrictamente convexas): geometricamente, la diferencia esta en que la recta que hemos mostradoesta estrictamente por debajo (encima) de la curva, salvo obviamente los extremos donde te tocan.En terminos de los Hessianos, los valores propios de las estrictamente concavas son estrictamentenegativos, y estrictamente positivos para las estrictamente convexas. Informalmente, las estrictamenteconcavas y estrictamente convexas no tienen lados rectos.

Ejemplo 4.4 Consideremos la funcion f : R2+ → R+ tal que

f(x1, x2) = xα1 · xβ2 ,con α, β > 0. Las derivadas parciales de f en (x1, x2) (productos marginales de cada factor) son

∂f(x1, x2)

∂x1= αxα−1

1 xβ2 ,∂f(x1, x2)

∂x2= βxα1 x

β−12 ,

mientras que las segundas derivadas parciales (elementos de la matriz Hessiana) son

∂2f(x1, x2)

∂x21= α · (α− 1) · xα−2

1 xβ2 ,∂2f(x1, x2)

∂x22= β · (β − 1) · xα1 xβ−2

2 ,

∂2f(x1, x2)

∂x1∂x2=∂2f(x1, x2)

∂x2∂x1= α · β · xα−1

1 xβ−12 .

Una caracterizacion de la negatividad estricta de una matriz Hessiana de 2× 2 es que (i) lasuma de los elementos de la diagonal de la matriz (traza), sea negativo y (ii) que el determinantesea positivo32. Por lo tanto, si f es estrictamente concava, se tiene que

α · (α− 1) · xα−21 xβ2 + β · (β − 1) · xα1xβ−2

2 < 0, (40)

y que

α · (α− 1) · xα−21 xβ2 · β · (β − 1) · xα1xβ−2

2 − [α · β · xα−11 xβ−1

2 ]2 > 0. (41)

32Para cualquier matriz, se puede probar que la suma de los valores es igual a la traza de la matriz, y que su productoes igual al determinante de la misma.

74


Considerando que x1, x2 > 0 y que α, β > 0, la inecuacion (40) es valida cuando α < 1 y β < 1.Por otro lado, reordenando los terminos en (41), se tiene que

x2α−21 x2β−2

2 · [α · (α− 1) · β · (β − 1)− α2 · β2] > 0,

de lo cual

(α− 1) · (β − 1)− α · β = αβ − α− β + 1− αβ = (1− α− β) > 0,

que finalmente implica α + β < 1. En resumen, hemos probado que la funcion f tal que f(x1, x2) =

xα1 · xβ2 es estrictamente concava si α, β > 0 y α+ β < 1 .

Siguiendo con la idea de construir indicadores para medir impactos sobre la produccion debido acambios en los factores, otro concepto importante a considerar es la elasticidad producto de un factor.

Definicion 4.6 La elasticidad producto del factor i=1,2 se define como la variacion porcentualen el producto dada un cambio porcentual en la cantidad del factor respectivo.

En otras palabras, dado un cambio marginal en el factor i = 1, la elasticidad producto del factorcorresponde a

ǫy,x1 =

f(x1+1,x2)−f(x1,x2)f(x1,x2)

x1+1−x1

x1

=f(x1 + 1, x2)− f(x1, x2)

1· x1f(x1, x2)

.

Finalmente, aproximando las diferencias por derivadas, la expresion para la elasticidad en comentoes

ǫy,xi =∂f(x1, x2)

∂xi· xif(x1, x2)

.

Note que la elasticidad debe ser positiva ya que el producto marginal siempre es positivo.

Definicion 4.7 Diremos que el producto es inelastico al factor i = 1, 2 si ǫy,xi < 1. Diremos que elproducto es elastico al factor i = 1, 2, si ǫy,xi > 1.

Nota. 4.4 En estricto rigor, los conceptos elastico e inelastico se definen con el valor absoluto de laelasticidad. En este caso no es necesario, pues la elasticidad factor del producto es siempre positiva.

Proposicion 4.2 Dados lod factores x1, x2 y la funcion de produccion f(·), se tiene que:

a.-

ǫy,xi =PMgxi(x1, x2)

PMexi(x1, x2).

b.- La productividad media del factor i = 1, 2 alcanza su maximo valor cuando es igual a la produc-tividad marginal del factor i = 1, 2.

c.- Si PMex1(x1, x2) < PMgx1(x1, x2) entonces PMex1(x1, x2) es creciente. Si PMex1(x1, x2) >PMgx1(x1, x2) entonces PMex1(x1, x2) es decreciente.

Demostracion.

a.- Directo evaluando la expresion de la derecha y comparando.

75


b.- Supongamos i = 1 y derivemos PMex1(x1, x2) c.r. a x1:

∂PMex1(x1, x2)

∂x1=∂[f(x1,x2)

x1

]

∂x1=x1 · ∂f(x1,x2)

∂x1− f(x1, x2)

x21.

La condicion de maximizacion se tiene cuando la derivada anterior es cero. Para ello se requiereque el numerador de la expresion sea cero, es decir,

x1 ·∂f(x1, x2)

∂x1− f(x1, x2) = 0,

de lo cual se tiene que ∂f(x1,x2)∂x1

= f(x1,x2)x1

, correspondiente a lo mencionado.

c.- Del calculo de la derivada anterior, como la productividad media es creciente si su derivada es

positiva, se tiene que x1 · ∂f(x1,x2)∂x1

−f(x1, x2) > 0, es decir, ∂f(x1,x2)∂x1

> f(x1,x2)x1

que es lo indicado.Analogo con la otra parte, considerando que la funcion es decreciente si la derivada es negativa.

Un concepto muy importante para analizar las propiedades de la firma es aquel de isocuanta deproduccion, que pasamos a definir y analizar33.

Definicion 4.8 La isocuanta de produccion al nivel de producto y0 se define como el conjunto delas combinaciones de factores que permiten obtener exactamente dicha cantidad de producto. Dada lafuncion de produccion f(·) y dado el nivel de producto y0, la isocuanta a dicho nivel la notaremos porIy0 , es decir,

Iy0 = {(x1, x2) | f(x1, x2) = y0} ⊆ R2. (42)

La interpretacion de las isocuantas es similar a aquella de las curvas de indiferencia en la teorıadel consumidor. La Figura 36 ilustra el concepto.

Figure 36: Isocuanta de Produccion

x2

x1

f(x1, x2) = y

Proposicion 4.3 Suponiendo que la funcion de produccion f(·) es estrictamente creciente en cadacomponente, se tiene que:

33Concepto analogo al de curva de indiferencia en la teorıa del consumidor.

76


(a) En el plano x1 − x2 las isocuantas de produccion son curvas decrecientes.

(b) Isocuantas de produccion de distintos niveles de producto nunca se cortan. Es mas, si y1 < y2entonces la isouanta de produccion Iy1 “esta por debajo” de la isocuanta Iy2 .

(c) La pendiente de la tangente a la curva Iy1 en el punto (x1, x2) ∈ Iy1 es

m = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

< 0.

(d) Si la funcion de produccion es estrictamente concava, entonces la isocuanta de produccion es unacurva estrictamente convexa en el plano x1 − x2

34.

Demostracion.

a.- Dado y, si f(x1, x2) = y entonces al aumentar x1, digamos a x1 + δ, necesariamente x2 debedisminuir ya que de mantenerse (o aumentar), entonces la produccion tambien deberıa aumentarpues la f.d.p es estrictamente creciente. Luego, para mantenerse en la curva, un aumento de x1debe implicar una disminucion de x2, es decir, la curva es decreciente. La Figura 37 ilustra estaidea:

Figure 37: Isocuanta son curvas decrecientes

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Iy

Si x1 aumenta en a, entonces x2 debe bajar en b.

b.- Si las curvas se cortasen, entonces existirıan niveles de factores (x∗1, x∗2) tales que f(x

∗1, x

∗2) = y1

(esta en la primera isocuanta) y ademas f(x∗1, x∗2) = y2 (esta en la segunda isocuanta), lo que no

puede ser ya que y1 6= y2. Por otro lado, si y1 < y2 y (x1, x2) ∈ Iy1 , mientras que (x1, x∗2) ∈ Iy2 ,

entonces, dado que la funcion de produccion es creciente, se tiene que x2 < x∗2, por lo cual, elpunto (x1, x

∗2) esta por encima del punto (x1, x2), es decir, la isocuanta Iy2 esta por arriba de

Iy1 . La Figura 38 ilustra la proposicion:

34En rigor, la clase mas amplia de funciones de produccion que tienen isocuanta son las funciones cuasi - concavas,de las cuales las concavas son un caso particular.

77


Figure 38: Isocuantas no se cortan

x∗2

x2

x1

Iy1

Iy2

c.- Veamos en primer lugar un argumento informal. Supongamos que tenemos dos puntos cercanos(x1, x2), (x1 + a, x2 − b) ∈ Iy como ilustra la Figura 39:

Figure 39: Pendiente de Isocuantas

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Iy

En tal caso, la pendiente de la isocuanta en (x1, x2) es aproximadamente:

m =(x2 − b)− x2(x1 + a)− x1

= − b

a.

Por otro lado, del hecho que f(x1 + a, x2 − b) = f(x1, x2) = y, haciendo la aproximacion por laderivada se tiene que

f(x1 + a, x2 − b)− f(x1, x2) = 0 ≈ a · ∂f(x1, x2)∂x1

+ b · ∂f(x1, x2)∂x2

,

78


y luego,

m = − b

a≈ −

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

.

El argumento formal es como sigue. Ya que f(x1, x2) = y, existe entonces una relacion implıcitaentre x1 y x2 (cuyo grafico es, de hecho, la isocuanta de produccion), relacion que notaremoscomo x2(x1). Ası, por definicion de la relacion implıcita,

f(x1, x2(x1)) = y.

Derivando lo anterior c.r. a x1, aplicando la regla de la cadena y considerando que y no dependede x1, se tiene que:

∂f(x1, x2)

∂x1+∂f(x1, x2)

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1= 0,

con lo cual,

∂x2(x1)

∂x1= −

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

que es analogo a lo ya mostrado.

d.- Si tomamos dos puntos de la isocuanta y evaluamos la funcion de produccion en una combinacionconvexa de estos, por definicion dicho valor es mayor o igual que la combinacion convexa de losvalores de la funcion en dicho punto. Pero en cada uno de ellos la funcion vale el nivel de productoconsiderado y luego dicha combinacion es igual al nivel de producto. En consecuencia, la rectaesta por encima de la curva y, por lo tanto, es convexa. �

A partir de lo anterior, dada una isocuanta de produccion Iy, el espacio queda dividido en tresregiones, a saber, aquellos puntos que estan en la curva, aquellos que estan por sobre la curva y,finalmente, aquellos que estan por debajo de la curva:

a.- Los puntos en la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) = y.

b.- Los puntos sobre la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) > y.

c.- Los puntos bajo la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) < y.

La Figura 40 ilustra lo anterior.

79


Figure 40: Arriba, bajo y sobre una Isocuanta

x2

x1

f(x) < y

f(x) = y

f(x) > y

Iy

Volviendo sobre la proposicion anterior, se demostro que la pendiente de la isocuanta de produccionen el punto (x1, x2) es

m = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

que obviamente es la derivada la funcion implıcita x2(x1) que la define. Este cantidad esimportante en el analisis de la funcion de produccion.

Definicion 4.9 Dado un nivel de produccion y0 > 0, la relacion tecnica de sustitucion del factor1 por el factor 2, evaluada en (x1, x2) ∈ Iy0 , se define como

RTS1,2(x1, x2) = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −PMgx1(x1, x2)

PMgx2(x1, x2).

¿Como se interpreta la RTS1,2(x1, x2)? Supongamos que f(x1, x2) = y0, y que decidimosaumentar en una unidad la cantidad del factor 1, pasando de x1 a x1 + 1 (aumento marginal). Ental caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento en el factor 1 implica aumento de producto,es decir, f(x1 + 1, x2) > y0, de modo que (x1 + 1, x2) no esta en la isocuanta al nivel y0. Paraseguir en la curva (es decir, mantener producto constante a pesar del aumento marginal del factoruno), necesariamente la cantidad del factor 2 debe disminuir. Esta “disminucion” es precisamentela RTS1,2(x1, x2), siendo por tanto indicativa de la sustitubilidad de factores.

Dada la isocuanta al nivel y0, consideremos dos puntos cualesquiera (x1, x2), (x′1, x

′2) en ella, tal que

x1 < x′1. ¿Que relacion hay entre RTS12(x′1, x

′2) y RTS12(x1, x2)? A priori, ninguna. Sin embargo,

se pueden dar dos casos extremos:

(a) que RTS12(x1, x2) < RTS12(x′1, x

′2): la RTS12 es creciente,

(b) que RTS12(x1, x2) > RTS12(x′1, x

′2): la RTS12 es decreciente.

Puesto que RTS es negativa, que sea creciente implica que en modulo es decreciente (ıdemcon decreciente y en modulo creciente). Ası, que la RTS se decreciente, (caso (b)), en la medida queel factor uno aumenta, va sustituyendo cada vez menos cantidad del factor dos: en algun sentido, cadaunidad adicional de factor uno es menos productiva que la anterior. La Figura 41 ilustra estos losextremos mencionados.

80


Figure 41: Relacion Tecnica de Sustitucion (1)

x2

x∗1 x∗∗1 x1

Iy

En la figura, entre el origen y x∗1 la RTS es creciente (cada vez es menos negativa), mientras que

entre x∗1 y x∗∗

1 es decreciente (cada vez mas negativa). En valor absoluto, las conclusiones son las

contrarias: hasta x∗1 la |RTS| es decreciente, mientras que entre x∗

1 y x∗∗1 es creciente.

Puesto que la RST es la derivada de la isocuanta de produccion, el hecho que sea cre-ciente implica que tal curva es convexa (analogamente, si la RTS es decreciente, la isocuantade produccion es concava). ¿Que es “mas natural” en economıa: isocuantas convexas o isocuantasconcavas? Isocuantas convexas. ¿Por que? Si la isocuanta es convexa, la funcion de producciones concava (mas general, “cuasi-concava”), cuestion que, como veremos, es una condicion suficientepara que el problema de maximizacion de beneficios de la firma se pueda resolver, y con ello definirla oferta de la misma. Otro argumento es que si la isocuanta es concava, en la medida que el factoruno aumenta, sustituye cada vez mas cantidad de factor dos, entendiendose por tanto como “cada vezmas productivo”. De esta manera, el producto marginal de dicho factor deberıa ser creciente, lo cual,normalmente, no es lo que se observa en la practica.

En general, el tipo de tecnologıa que vamos a considerar tendra RTS decreciente en modulo(es decir, creciente si consideramos el signo), teniendo por tanto isocuantas convexas.

Veamos finalmente un concepto que nos dara cuenta de la curvatura de la isocuanta de produccion.Para ello, fijemos el nivel de produccion y0 y consideremos la isocuanta a dicho nivel:

Iy0 : (x1, x2) | f(x1, x2) = y0,

la que supondremos convexa. Dados w1 y w2 precios de los factores, y dada un parametro c > 0, unarecta de la forma

w1x1 + w2x2 = c,

tiene pendiente −w1/w2 y cuando c aumenta, se desplaza hacia arriba - la derecha. Para cierto valorde c, dicha recta sera tangente con isocuanta Iy0 . En funcion de los precios, el punto donde donde setiene la tangencia sera denotado por

(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) ∈ Iy0 .

La Figura 42 ilustra lo indicado.

81


Figure 42: Elasticidad de Sustitucion (1)

m = −(w1/w2)

f(x1, x2) = y0

(x∗1, x∗2)

La condicion de tangencia implica que

RTS12(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) = −w1

w2. (43)

Por otro lado, el hecho que el punto esta en la isocuanta Iy0 ,

f(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) = y0. (44)

De las ecuaciones (43) y (44) se puede obtener el punto de tangencia en funcion de los precios.Supongamos ahora que los precios se modifican, digamos a w′

1, w′2. El nuevo punto de tangencia se

determina a partir de las ecuaciones anteriores y se denotara por

(x1(w′1, w

′2), x2(w

′1, w

′2)) ∈ Iy0 .

La siguiente figura ilustra el efecto de cambio en precios sobre punto de tangencia.

Figure 43: Elasticidad de Sustitucion (2)

(x′1, x′2)

f(x1, x2) = y0

(x∗1, x∗2)

La pregunta es, ¿que tanto cambia el punto de tangencia cuando cambian los precios?Obviamente la respuesta depende de la forma que tenga la isocuanta: mientras “mas aplanada” sea la

82


curva, seguramente el cambio en los precios lleva a que el nuevo punto de tangencia este alejado deloriginal. Para medir este efecto, el cambio en precio relativo es

(w′

1

w′2

− w1

w2

)

el cual induce un cambio en el uso relativo de factores dado por

(x1(w

′1, w

′2)

x2(w′1, w

′2)

− x1(w1, w2)

x2(w1, w2)

).

Luego, una medida del cambio en el uso relativo de los insumos debido al cambio en el preciorelativo es

(x1(w

′

1,w′

2)x2(w′

1,w′

2)− x1(w1,w2)

x2(w1,w2)

)

(w′

1

w′

2− w1

w2

)

que aproximado por derivadas corresponde a

∂(

x1(w1,w2)x2(w1,w2)

)

∂(

w1

w2

) .

Convirtiendo lo anterior en una elasticidad, queda definida la elasticidad de sustitucion, quedenotaremos por σ:

σ =∂(

x1(w1,w2)x2(w1,w2)

)

∂(

w1

w2

) ·w1

w2

x1(w1,w2)x2(w1,w2)

.

Ejemplo 4.5 Calculemos la elasticidad de sustitucion para la Cobb-Douglas f(x1, x2) = xα1xβ2 . En este

caso, dados los precios w1, w2, y dado un nivel de produccion y0, el punto de tangencia correspondientecumple con

αxα−11 xβ2

βxα1 xβ−12

=α · x2β · x1

=w1

w2⇒ x1

x2=α

β

(w1

w2

)−1

.

Por lo tanto,

∂(

x1

x2

)

∂(

w1

w2

) = −αβ

(w1

w2

)−2

.

Por otro lado,

x1x2

=α

β

w2

w1⇒

w1

w2

x1

x2

=

w1

w2

αβ

w2

w1

=β

α

(w1

w2

)2

lo que finalmente implica que,

σ = −αβ

(w1

w2

)−2

· βα

(w1

w2

)2

= −1.

En resumen, la elasticidad de sustitucion en una Cobb-Duoglas es siempre igual, a menos uno.¿Como se interpreta este resultado? Un aumento porcentual en la razon de precios hacer disminuir,en uno porciento, la razon de factores donde se verifica la tangencia con la isocuanta.

83


Ejemplo 4.6 Calculemos la elasticidad de sustitucion para una CES de la forma

f(x1, x2) = [xρ1 + xρ2]1/ρ

.

En este caso, dados los precios w1, w2, se tiene que

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2⇔ (1/ρ) [xρ1 + xρ2]

1/ρ−1ρxρ−1

1

(1/ρ) [xρ1 + xρ2]1/ρ−1

ρxρ−12

=xρ−11

xρ−12

=

(x1x2

)1/(ρ−1)

=w1

w2

con lo cual,

x1x2

=

(w1

w2

) 1ρ−1

⇒ ∂(x1/x2)

∂(w1/w2)=

1

ρ− 1

(w1

w2

) 1ρ−1−1

.

Completando el calculo se tiene que

σ =1

ρ− 1

(w1

w2

) 2−ρρ−1

·(w1

w2

)(w1

w2

)− 1ρ−1

=1

ρ− 1.

De esta manera, la elasticidad de sustitucion resulta ser constante. Esto se interpreta diciendo queun aumento porcentual en la razon de precios implica que la razon de insumos en el punto tangentemencionado, se modifica en 1

ρ−1%.

Nota. 4.5 Mientras mayor es la elasticidad de sustitucion, significa que cambios en la pendiente derectas tangentes tienen mayor efecto sobre el punto donde se verifica la tangencia, siendo por lo tantoindicativa de la curvatura de la misma. Por ejemplo, con una f.d.p Leontiev, se puede mostrar que laelasticidad de sustiricion es cero, y que con una lineal es +∞ (Ejercicio).

4.4 Rendimientos a escala

Cuando estudiamos la productividad marginal y/o la productividad media, modificamos solo un factorde produccion, a partir de lo cual tratamos de ver el efecto sobre el resultado del proceso. Un poco masde generalidad en el analisis se tiene cuando movemos simultaneamente todos los factores involucrados ymiramos el efecto sobre la produccion. Sin embargo, analizar los efectos en produccion cambiando todoslos factores independiente no tiene mucho sentido, pues la informacion que de ello se puede obtener esmuy vaga. Lo que sı puede resultar interesante es modificar todos los factores en la misma proporcion,y ver como esto altera el resultado del proceso. De esta manera, supongamos que y = f(x1, x2), y queduplicamos la cantidad de factores en el proceso. En tal caso, las tres opciones que se tienen son lassiguientes:

a.- La produccion crece exactamente el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) = 2 · f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) > 2 · f(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) < 2 · f(x1, x2).

Con mas generalidad, supongamos que en vez de duplicar la cantidad de factores, multiplicamospor una cantidad t > 1 todos los factores intervinientes. En tal caso, las tres posibilidades son:

84


a.- La produccion crece proporcionalmente (linealmente) con el aumento de los factores, es decir,

f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que proporcionalmente (mas que linealmente) que el aumento defactores, es decir,

f(tx1, tx2) > t · f(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que proporcionalmente (menos que linealmente) que el aumentode factores, es decir,

f(tx1, tx2) < t · f(x1, x2).

Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 4.10 Diremos que la funcion de produccion o tecnologıa presenta rendimientos con-stantes a escala si se cumple el caso [a.−] dado antes; diremos que la funcion de producciontiene rendimientos crecientes a escala si se verifica el caso [b.−]; finalmente, se dira que tienerendimientos decrecientes a escala en el caso [c.−] ya expuesto35

Ejemplo 4.7 Supongamos que f(x1, x2) = xα1 · xβ2 . En este caso, dado t > 1, se tiene que,

f(tx1, tx2) = (tx1)α · (tx2)β = tα+β · f(x1, x2).

Dependiendo de los valores de α y β se tienen los distintos tipos de rendimientos a escala:

a.- si (α+ β) > 1 entonces t(α+β) > t cuando t > 1 y, por lo tanto,

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos a escala crecientes en la produccion.

b.- Si (α + β) < 1 entonces tα+β < t y luego,

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos decrecientes a escala en la produccion.

c.- Si (α + β) = 1 entonces t(α+β) = t cuando t > 136 y, por lo tanto,

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos a escala constantes en la produccion.

Proposicion 4.4 Si la funcion de produccion es estrictamente convexa entonces presenta rendimien-tos crecientes a escala. Por otro lado, si la funcion de produccion es estrictamente concavaentonces presenta rendimientos decrecientes a escala.

35En lo que sigue, y como es frecuente encontrar en la literatura, indistintamente se habla de retornos o de rendimientosa escala..

36De hecho, para todo t > 0.

85


Demostracion. Para simplificar, supongamos que el proceso productivo tiene solo un factor. Si lafuncion de produccion es estrictamente convexa, dados x1 y x∗1 y dado λ ∈]0, 1[, se cumple que

f(λ · x1 + (1 − λ)x∗1) < λ · f(x1) + (1− λ)f(x∗1),

Considerando x∗1 = 0 y del hecho que f(0) = 0, se concluye,

f(λ · x1) < λ · f(x1). (45)

Dados t > 1 y x1, en primer lugar notemos que

f(x1) = f(1

t· tx1).

Como t > 1, λ = 1/t < 1; luego, al aplicar (45) se concluye que

f(x1) = f

(1

t· tx1

)<

1

t· f(tx1).

Reordenando terminos, se concluye que

f(tx1) > t · f(x1),

es decir, f presenta rendimientos crecientes a escala. Si la funcion de produccion estrictamente concava,la prueba es similar y queda como ejercicio. �

Una funcion de produccion, ¿debe presentar alguno de los tres tipos de rendimientos a escala?No necesariamente. Podemos tener funciones de produccion que en algun rango de factores tenganrendimientos crecientes a escala, en otros decrecientes y en otros constantes. Dada la asociacion deretornos con convexidad - concavidad, lo indicado nos dice que una funcion de produccion no tiene apriori por que ser concava o convexa.

Un concepto que nos ayudara a dar cuenta de la escala en la produccion a nivel local, es decir,dependiendo del nivel de factores donde se evalua, es como sigue.

Definicion 4.11 Dada una funcion de produccion f(·) y dados los factores x1, x2, la elasticidad deescala de la produccion en el punto (x1, x2) se define como:

ǫesc(x1, x2) =

[df(tx1, tx2)

dt· t

f(x1, x2)

]∣∣∣∣t=1

.

Es decir, se calcula la “elasticidad” indicada en funcion de t, y se evalua el resultado en t = 1.Obviamente este resultado puede depender del punto donde se evalua.

Ejemplo 4.8 Supongamos dada la funcion de produccion f(x1, x2) = xα1 · xβ2 . Entonces se tiene que:

ǫesc(x1, x2) =

[df(tx1, tx2)

dt· t

f(x1, x2)

]∣∣∣∣t=1

=

[d((tx1)

α(tx2)

β)

dt· t

xα1 · xβ2

]∣∣∣∣∣t=1

.

Por lo tanto,

ǫesc(x1, x2) =

[dtα+β

dt· t · x

α1 · xβ2

xα1 · xβ2

]∣∣∣∣∣t=1

=[(α+ β) · tα+β−1 · t

]∣∣t=1

= α+ β.

En este caso, la elasticidad de escala no depende del punto donde se evaua. Sin embargo, si la f.d.p es

f(x1, x2) = x21 + x2,

es facil ver (Ejercicio) que la elasticidad de escala si depende del punto donde se evalua.

86


¿Como interpretar el valor de la elasticidad de escala? Se tiene lo siguiente:

a.- Cuando ǫesc(x1, x2) < 1, entonces localmente37 la funcion de produccion tiene rendimientosdecrecientes a escala.

b.- Cuando ǫesc(x1, x2) > 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimientoscrecientes a escala.

c.- Cuando ǫesc(x1, x2) = 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimientosconstantes a escala.

La Figura 44 ilustra el caso de una f.d.p que localmente presentan diversos tipos de rendimientos aescala.

Figure 44: Elasticidad de Escala

a b

Entre 0 y a, la tecnologıa tiene rendimientos crecientes de escala; entre a y b son decrecientes y

para x1 > b son constantes. Globalmente, la tecnologıa no presenta algun tipo de rendimiento de

escala. Obviamente para cualquier nivel de factor entre 0 y a, la elasticidad de escala es mayor

que uno; es menor que uno entre a y b y es uno para nivel de factor mayor que b.

Notemos que si para todo punto se cumple una propiedad local similar respecto del rendimiento aescala, es posible inferir una consecuencia desde el punto de vista global.

Proposicion 4.5

a.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) < c, con c < 1 constante independiente del puntoconsiderado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes a escala (global).

b.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) > c, con c > 1 constante independiente del puntoconsiderado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos crecientes a escala (global).

c.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) = 1, entonces la funcion de produccion tienerendimientos constantes a escala.

Demostracion. Propuesto. �

37Es decir, en torno a (x1, x2).

87


4.5 Corto y largo plazo.

Para efectos de nuestro analisis, se entendera que existe una situacion de corto plazo en la produccioncuando existen restricciones al uso de los factores. Particularmente, cuando alguno de los factores deesta fijado a priori, de modo que no puede ser modificado a eleccion por la firma (es decir, es unparametro, o dato, para la firma). A diferencia de esto, en una situacion de largo plazo se asume quetodos los factores son variables, y que pueden ser escogidos libremente por la firma.

Dependiendo del contexto, hablaremos entonces de tecnologıas de corto plazo o de tecnologıade largo plazo para hacer referencia al hecho que el procedo productivo se desenvuelve en una u otrasituacion. Por ejemplo, si el proceso productivo consta de dos factores, en una situacion de corto plazodonde uno de ellos (digamos, el 2) esta fijo en cantidad, las elecciones de la firma son solo sobre elfactor uno. Por lo tanto, la tecnologıa de corto plazo es completamente distinta que la de largo plazo,pues para la ultima, la funcion de produccion depende de dos variables38.

Las propiedades de la tecnologıa de corto plazo puede ser completamente distintas que la de largoplazo. se pueden dar situaciones en que, por ejemplo, la tecnologıa de largo plazo tenga rendimientoscrecientes a escala, pero que la de corto plazo presente rendimientos decrecientes a escala.

Ejemplo 4.9 Supongamos que en el largo plazo la tecnologıa de una firma es

f(x1, x2) = x121 · x32.

Es claro que dicha tecnologıa tiene rendimientos crecientes a escala en el largo plazo. Sin embargo,en cualquier situacion donde de corto plazo donde el factor 2 queda fijo, digamos, en x2, la tecnologıade corto plazo resultante es

fcp(x1) = x121 · x32,

que presenta rendimientos decrecientes a escala. Note que en este caso x32 es una constante parael proceso productivo.

Nota. 4.6 Si el corto plazo se modela asumiendo que uno de los factores es fijo, entonces obviamentepuede haber una infinidad de tecnologıas de corto plazo que se derivan de la misma tecnologıa de largoplazo: si f : R2

+ → R es la tecnologıa de largo plazo, dado x2 ∈ R, las tecnologıas de corto plazo que seobtiene de f es

fx2 : R+ → R | fx2(x1) = f(x1, x2).

5 Maximizacion de Beneficios

5.1 Generalidades

Una vez hecha la caracterizacion de la tecnologıa, es necesario explicar de que manera la firma eligela cantidad de producto que elabora (y por ende, la cantidad de insumos que emplea). Siguiendo unargumento de racionalidad e incentivos, supondremos que el objetivo de cada firma es maximizarel beneficio a partir de sus decisiones de produccion. Tal como se ha mencionado, este objetivo puedeprovenir de incentivos a crecer o desarrollarse como empresa, o directamente del interes pecuniario quetienen los duenos de la misma para los fines que personalmente estimen convenientes.

Para la definicion (cuantificacion) de los beneficios, necesariamente se deben introducir los preciosde los factores y del producto que se elabora, precios que resumen las apreciaciones y valoracionesque tenemos, y que los otros tienen, del bien o factor en cuestion. En primera instancia, el precio seasumira como un dato exogeno para la firma: no existe control sobre el mismo, de modo que es unparametro para las decisiones de cada firma en particular. Ası, sobre la base de esta idea, toda vez que

38En efecto, si en el largo plazo la funcion de produccion es f(·, ·), que depende de las variables: x1 y x2, en el cortoplazo esta es f(·, x2), es decir, una funcion que depende de solo una variable (x1)

88


se desee cuantificar beneficios, necesariamente debemos pasar por la valoracion del ingreso y el costo apartir del set de precios dado.

Los beneficios economicos de una firma son entendidos como la diferencia entre los ingresosy todos los pagos por factores asociados al proceso. Es relevante notar que deben ser todos los pagosdel proceso. A modo de ejemplo, si Ud. tiene su propia empresa, su trabajo es parte de los insumos y,por lo tanto, debe ser incluıdo en los costos a partir de su valoracion de mercado, es decir, del costoalternativo que proviene de vender su tiempo a otra firma. Justamente este hecho es el que obliga, alhablar de beneficios economicos, a valorar todos los insumos y productos a su coste de oportunidad.Siguiendo con esta idea, lo mismo es aplicable a la tierra, alquileres, etc., es decir, a todos los factoresutilizados en el proceso productivo39.

Suponiendo que el proceso productivo consta de dos factores y solo un producto, designemos elprecio unitario de mercado del output como p y de cada factor por w1 y w2 respectivamente. Dadoesto, si la firma utiliza x1 unidades del factor 1 y x2 del factor 2, entonces el ingreso obtenido sera

I = p · f(x1, x2),

mientras que el costo asociado es

C(x1, x2) = w1x1 + w2x2.

Con esto, el beneficio condicional a los precios y factores empleados es

π(x1, x2) = I(x1, x2)− C(x1, x2) = p · f(x1, x2)− (w1x1 + w2x2).

Definicion 5.1 El problema de maximizacion de beneficio de una firma es, dados los precios de pro-ducto e insumos, escoger aquella combinacion de factores que resuelve el problema

maxx1,x2

π(x1, x2) = maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2}. (46)

Definicion 5.2 Dados los precios w1, w2 y p de factores y producto, respectivamente, la solucion delproblema (46) se denota por

x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2),

y se denomina demanda Marshalliana de factores de la firma40. La funcion,

y(p, w1, w2) = f(x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2))

sera la funcion de oferta, mientras que

π(p, w1, w2) = p · y(p, w1, w2)− w1x1(p, w1, w2)− w2x2(p, w1, w2)

es la funcion de beneficio de la firma.

De esta manera, condicional a los precios, la firma decide optimamente sobre la cantidad defactores que ocuparıa, con lo cual queda determinado el nivel producto que ofrecerıa, y con elloel maximo beneficio que podrıa obtener.

Nota. 5.1 El problema de maximizacion de beneficio (46) es uno de optimizacion sin restricciones,lo que corresponde a decir que no hay restricciones a la eleccion de los factores. Cuando la firmaenfrenta restricciones (corto plazo), el problema (46) deja de ser irrestricto: las condiciones de cortoplazo pasan a ser restricciones para el problema. Esto se discute mas adelante.

39La idea de costos expuesta puede diferir de aquella utilizada en terminos contables, pues en ese caso el valor historico(el costo cuando se llevo a cabo la venta) y no el economico (cuanto valdrıa hoy en el mercado) es el utilizado. Enresumen, la valoracion de mercado de los insumos se hara a traves de los precios de mercado de los mismos. A modode ejemplo, si el factor de produccion 1 corresponde a trabajo, su valoracion unitaria correspondera al salario de mercadopor el tipo de trabajador considerado. Esto mismo sigue siendo valido para los productos de la firma.

40En forma abreviada, las notaremos x1(p,w) y x2(p,w).

89


Bajo supuestos de regularidad de la funcion de produccion41, el problema (46) se puede resolver apartir de las condiciones de optimalidad de primer orden, que en este caso, por tratarse de un problemairrestricto, vienen de igualar a cero cada una de las derivadas de la funcion objetivo c.r. a los factores:

∂π(x1,x2)∂x1

= 0 ⇔ p · PMgx1(x1, x2) = w1

∂π(x1,x2)∂x2

= 0 ⇔ p · PMgx2(x1, x2) = w2,

(47)

es decir, el valor del producto marginal de cada factor debe ser igual a su precio42.

Visto de otra manera, puesto que

π(x1, x2) = I(x1, x2)− C(x1, x2),

al derivar c.r. a xi, i = 1, 2, e igualar a cero, se tiene que,

∂I(x1, x2)

∂xi=∂C(x1, x2)

∂xi,

es decir, en el optimo se debe cumplir que el ingreso marginal de cada factor es igual al costomarginal del mismo, costo marginal que en este caso corresponde al precio del factor.

Ilustremos la condicion de optimalidad con un ejemplo: ¿hasta cuando debe una firma contratarun trabajador adicional? A partir de las condiciones de optimalidad (47), debe hacerlo hasta que elingreso marginal por su labor en la organizacion sea igual al costo (marginal) de su inclusion, es decir,hasta que el beneficio extra que aporta su contratacion sea igual al costo extra que dicha contrataciontrae asociado, que en este caso corresponde al precio (salario) del mismo. De lo contrario, si el beneficiode contratar un trabajador adicional sigue siendo positivo, entonces la firma tiene incentivos a seguircontratando y, por el contrario, si el beneficio extra es negativo, la firma no debio haber hecho lacontratacion, pues incurre en perdidas, con lo cual tiene incentivo a despedir y no contratar mas manode obra. Expresado lo anterior en terminos matematicos, si p · PMgx1(x1, x2) > w1, entonces la firmaobtiene ganancia con el uso de una unidad adicional de factor 1, ya que su costo unitario es menorque el valor del producto extra que obtiene. De esta manera, tiene incentivo a aumentar la cantidadde factor a utilizar en el proceso productivo. Por otro lado, si p · PMgx1(x1, x2) < w1, entonces lafirma puede obtener mas beneficio si disminuye la cantidad de factor 1 en una unidad, ya que ya quesu costo unitario (w1) es mayor que el valor del producto extra que obtiene de mantenerlo. Luego, enel optimo necesariamente se debe cumplir que p · PMgx1(x1, x2) = w1, no habiendo ası incentivos amodificar (subir o bajar) el uso de los mismos.

Geometricamente la interpretacion de la condicion de optimalidad es analoga a aquella de maxi-mizacion de utilidad para el caso de consumidores. En este caso, la recta presupuestaria es reemplazadapor la denominada recta de isobeneficio.

Definicion 5.3 Dada una cantidad π > 043, definimos la recta de isobeneficio como el conjunto depuntos x1, x2 e y (insumos y producto) tales que al ser valorados por la firma, dan como beneficio elvalor π. Es decir, x1, x2 e y tales que:

π = p · y − w1x1 − w2x2.

Ordenando terminos, la recta de isobeneficio tiene la forma:

y =π

p+w1

px1 +

w2

px2,

41Por ejemplo, que la funcion de produccion tenga rendimientos decrecientes de escala, que como caso particular setiene cuando es concava. Se veran detalles mas adelante

42Esto viene directamente de la derivacion del beneficio: ∂π(x1,x2)∂x1

= 0 ↔ p · ∂f(x1,x2)∂x1

−w1 = 0 ↔ p ·PMgx1(x1, x2) =

w1. Analogo con el factor 2.43Para el caso es un parametro.

90


donde, como tenıamos, el valor de π representa el parametro de beneficio considerado.Si hay solo un factor de produccion, la recta de isobeneficio es

y =π

p+w1

px1.

En tal caso, dibujemos (Figura 45) la funcion de produccion junto con rectas de isobeneficio paradistintos parametros de beneficio.

Figure 45: Isobeneficio

y

b1

y∗

b2

b3x∗1 x1

f

(3)

(2)(3)

En la figura, para la recta (1) no existe plan de produccion que nos pueda dar el beneficio b1. Enel caso de la recta (3), existen puntos factibles de ser elaborados que pueden entregar un beneficiomayor que b3 (cualquiera que este en la curva por sobre la recta). Por ultimo, la recta (2) estadefinida por el nivel maximo de beneficio que puede alcanzar la firma: en el punto x∗

1 la firmamaximiza beneficio y el valor de este beneficio maximo es b2. Notemos que en el optimo, la rectade isobeneficio es tangente a la funcion de produccion. Ası, en x∗

1 la pendiente de la recta y lapendiente de la curva en el punto deben ser iguales, es decir:

w1

p=

∂f(x∗1)

∂x1= Pmgx1(x

∗1) ⇔ p · PMgx1(x

∗1) = w1,

cuestion que ya tenıamos.

Siguiendo con la interpretacion de las condiciones de optimalidad, del hecho que p · ∂f(x1,x2)∂xi

=wi, i = 1, 2, dividiendo se obtiene

p · ∂f(x1,x2)∂x1

p · ∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2,

es decir,

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2⇔ RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2.

De esta manera, en el optimo, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el coeficiente delos precios de insumos (precios relativos). La interpretacion de este resultado es: supongamos que por

91


alguna razon hemos escogido el nivel de producto y∗, de modo que el ingreso esta fijo en I∗ = p · y∗.Para maximizar el beneficio, claramente debemos buscar en la isocuanta respectiva aquella combinacionde factores que tenga el menor costo, pues en tal caso el margen (beneficio) es el mayor posible. Paraello, definamos las rectas de isocosto al nivel c, como el conjunto de puntos x1, x2 tales que,

w1x1 + w2x2 = c.

Graficamente la situacion es como sigue:

Figure 46: Maximizacion de Beneficios

x2

x∗2

x∗1 x1

y∗

(1)(2)(3)

En la Figura 46 se han dibujado tres rectas de isocosto, digamos con parametros c3 < c2 < c1

para cada recta (1), (2) y (3) respectivamente. Los puntos de la recta (3) no permiten elaborar y∗

pues estan por debajo de la isocuanta al nivel y∗. Los puntos de interseccion de la recta (1) con

la isocuanta permiten elaborar exactamente y∗, pero tienen un costo muy elevado de modo que

no maximizan beneficio. El punto de interseccion (tangencia) entre la recta de isocosto (2) y la

isocuanta es compatible con la produccion de y∗ y es, ademas, aquel de menor costo, de modo que

resuelve el problema de maximizacion de beneficio.

De la tangencia entre la recta de isocosto y la isocuanta al nivel de la oferta, se tiene la igualdadde las pendientes:

−w1

w2= RTS1,2(x

∗1, x

∗2),

que es la condicion que ya se tenıa.

Nota. 5.2 Otra interpretacion de la condicion de optimalidad es como sigue. Supongamos dado unpunto x∗1, x

∗2 que no maximiza beneficio, de modo que |RTS|1,2(x∗1, x∗2) 6= w1

w2. En tal caso, dado que el

beneficio es:

π(x∗1, x∗2) = p · f(x∗1, x∗2)− w1x

∗1 − w2x

∗2,

si aumentamos x∗1 es una unidad, para mantener producto constante (y luego, ingreso constante),debemos bajar x∗2 en RTS1,2(x

∗1, x

∗2). Con estas modificaciones, por el lado del primer factor, el costo

sube en w1 y, por el lado del segundo factor, baja en |RTS1,2| ·w2. Luego, el cambio en el costo (y porende en el beneficio, ya que el ingreso no cambia) es,

∆C = w1 − |RTS|1,2 · w2.

Como |RTS|1,2 6= w1

w2, existen dos posibilidades: o bien |RTS|1,2 > w1

w2o bien |RTS|1,2 < w1

w2.

Para el primer caso, ∆C < 0 (bajan los costos), razon por la cual la firma puede incrementar sus

92


beneficios cambiando el uso de factores al aumentar x∗1 es una unidad y bajando el uso del factor 2 en|RTS|1,2(x∗1, x∗2). En el segundo caso, la firma tambien puede incrementar su beneficio disminuyendoel uso del factor 1 en una unidad y aumentando el uso del factor 2 en |RTS|1,2(x∗1, x∗2)44. Luego, apartir del hecho que la relacion tecnica de sustitucion es distinta del cuociente de precios, la firma puedeobtener mas beneficio modificando el plan de produccion que tenıa, de modo que el punto en cuestionno puede ser optimo.

La siguiente proposicion relaciona los conceptos anteriores.

Proposicion 5.1 Lema de Hotelling.A partir de las definiciones anteriores, se tiene que

a.-∂π(p, w1, w2)

∂p= y(p, w1, w2).

b.-∂π(p, w1, w2)

∂wi= xi(p, w1, w2), i = 1, 2.

Demostracion.

a.- Derivemos directamente la funcion de beneficios c.r a p:

∂π(p, w)

∂p=∂[p · f(x1(p, w), x2(p, w))]

∂p− w1 ·

∂x1(p, w)

∂p− w2 ·

∂x2(p, w)

∂p.

Pero como, ∂[p·y(p,w)]∂p = p · ∂f(x1(p,w),x2(p,w))

∂p + y(p, w). Aplicando regla de la cadena, y simplifi-cando la notacion, se tiene que,

p · ∂f(x1(p, w), x2(p, w))∂p

= p · ∂f∂x1

· ∂x1(p, w)∂p

+ p · ∂f∂x2

· ∂x2(p, w)∂p

.

Por otro lado, de la condicion de optimalidad, sabemos que p · ∂f∂xi

= wi, i = 1, 2. Luego,reemplazando en la expresion original, se concluye que:

∂π(p, w)

∂p=

[w1 ·

∂x1(p, w)

∂p+ w2 ·

∂x2(p, w)

∂p+ y(p, w)

]− w1 ·

∂x1(p, w)

∂p− w2 ·

∂x2(p, w)

∂p.

Simplificando terminos, se tiene lo indicado.

b.- Derivando directamente c.r. a w1 (analogo c.r. a w2), y simplificando la notacion, se tiene que:

∂π(p, w)

∂w1= p ·

[∂f

∂x1

]· ∂x1∂w1

+ p ·[∂f

∂x2

]· ∂x2∂w1

− w1∂x1∂w1

− w2∂x2∂w1

+ x1.

De las condiciones de optimalidad, se tiene que p ·[

∂f∂xi

]= wi, i = 1, 2. Luego, reemplazando

esto en la expresion anterior se obtiene el resultado. �

44Recuerde que −|RTS| representa la disminucion en el uso del factor 2 cuando el factor 1 aumenta en una unidad. Enforma equivalente, |RTS| nos da el valor de aumento en el uso del factor 2 cuando el factor 1 disminuye en una unidad.

93


En lo que sigue haremos un estudio de estatica comparativa de las funciones de oferta y demanda,ante variaciones de los precios de los factores y el precio del producto. Supongamos que inicialmentelos precios son (p, w1, w2), y que estos son modificados en una etapa siguiente, siendo los nuevosprecios (p∗, w∗

1 , w∗2). Con el primer set de precios, la oferta y demanda de factores sera y, x1, x2

mientras que con el segundo estas seran y∗, x∗1, x∗2. Definamos ademas los cambios como ∆y = y∗− y,

∆xi = x∗i − xi, ∆wi = w∗i − wi, con i = 1, 2. De la definicion de maximo beneficio, se tiene que:

py − w1x1 − w2x2 ≥ py∗ − w1x∗1 − w2x

∗2

es decir,

p(y − y∗)− w1(x1 − x∗1)− w2(x2 − x∗2) ≥ 0.

En forma analoga,

p∗y∗ − w∗1x

∗1 − w∗

2x∗2 ≥ p∗y − w∗

1x1 − w∗2x2

que implica

p∗(y∗ − y)− w∗1(x

∗1 − x1)− w∗

2(x∗2 − x2) ≥ 0.

Sumando ambas inecuaciones, se deduce que,

[p∗(y∗ − y)− w∗1(x

∗1 − x1)− w∗

2(x∗2 − x2)] + [p(y − y∗)− w1(x1 − x∗1)− w2(x2 − x∗2)] ≥ 0.

Finalmente, ordenando terminos, se concluye,

(y∗ − y)(p∗ − p)− (x∗1 − x1)(w∗1 − w1)− (x∗2 − x2)(w

∗2 − w2) ≥ 0,

es decir:

∆y ·∆p−∆x1 ·∆w1 −∆x2 ·∆w2 ≥ 0.

A partir de esta relacion fundamental se puede concluir lo siguiente:

a.- Si ∆w1 = ∆w2 = 0 (no hay cambios en los precios de los factores) y ∆p > 0 (sube el precio delproducto), entonces necesariamente ∆y ≥ 0 (sube la oferta de la firma).

b.- Si ∆w2 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 2 y en el producto), si ∆w1 > 0 (subeel precio del factor 1), entonces necesariamente ∆x1 ≤ 0 (disminuye la demanda del factor 1).

c.- Si ∆w1 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 1 y en el producto), si ∆w2 > 0 (subeel precio del factor 2), entonces necesariamente ∆x2 ≤ 0 (disminuye la demanda del factor 2).

5.2 Maximizacion del beneficio de corto plazo

Recordemos que a diferencia del largo plazo, en el corto plazo existen restricciones al uso de losfactores, que como caso particular se modela asumiendo que alguno de ellos esta fijo. Por simplicidad,supongamos que en el corto plazo esta fijada la cantidad del factor 2, en x2. En tal caso, la funcionde produccion de corto plazo es fcp(x1) = f(x1, x2), la que ahora depende de solo un factor, habiendopor tanto solo una variable de decision por parte de la firma45. De esta manera, dado x2 = x2, elbeneficio condicional de corto plazo es entonces:

πcp(x1) = π(x1, x2) = p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2,

45Esto en el caso que el proceso productivo tenga solo dos factores. Si los factores fuesen n y esta fijo uno de ellos porrazones de corto plazo, entonces las variables de decision de la firma serıan (n− 1).

94


y luego el problema de maximizacion de beneficios de corto plazo es

maxx1

πcp(x1) = maxx1

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2}. (48)

Las condiciones de optimalidad son analogas a las anteriores, solo que ahora dicha condicion aplicasolo a la variable x1. Luego, la condicion de optimalidad es

p · ∂f(x1, x2)∂x1

= w1.

Con esto queda definida una funcion de demanda de corto plazo por el factor 1, funcion quedenotaremos x1(p, w, x2)

46. La demanda de corto plazo del factor dos es x2. Podemos definir tambienla funcion de oferta de corto plazo y la funcion de beneficio de corto plazo, como

ycp(p, w, x2) = p · f(x1(p, w, x2), x2),

πcp(p, w, x2) = p · f(x1(p, w, x2), x2)− w1x1(p, w, x2)− w2x2.

Sobre la base de lo expuesto, es directo que (ejercicio):

a.- Para todo x2,πcp(p, w, x2) ≤ π(p, w).

b.- Si x2 = x2(p, w), entonces,

πcp(p, w, x2) = π(p, w).

Nota. 5.3 El problema de maximizacion de beneficio de corto plazo corresponde se puede ver comoaquel de largo plazo, pero donde se agrega la restriccion que define al corto plazo, es decir, el problema(48) corresponde a

maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2} s.a. x2 = x2.

Esta idea aplica a cualquier otro tipo de problema de maximizacion de beneficio de corto plazo. Porejemplo, supongamos que la restriccion de corto plazo es que el empleo de factores debe obedecer unaregla de proporciones: “por cada unidad de factor uno, se debe emplear α unidades de factor dos”. Ental caso, el problema de maximizacion de beneficio de corto plazo es

maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2} s.a. x2 = α · x1.

El problema anterior es equivalente a

maxx1

{p · f(x1, α · x1)− w1 · x1 − w2 · α · x1},

que obviamente depende de una variable.

46Hacemos explıcita la dependencia de la demanda de corto plazo del factor 1 en la cantidad del factor fijo x2.

95


5.3 Maximizacion del beneficio y rendimientos a escala

Supongamos que la funcion de produccion presenta algun tipo de rendimiento a escala. Si fuesecreciente, entonces al duplicar la cantidad de factores el ingreso que se obtiene crece mas del doblepues p · f(2x1, 2x2) > 2p · f(x1, x2), mientras que los costos crecen linealmente con el factor de losinsumos (solo se duplican). De esta manera, al maximizar beneficio en presencia de rendimientoscrecientes a escala, la firma tiene incentivo a ocupar la mayor cantidad de insumo posible, pues elingreso crece mas rapido que los costo. Luego, en este caso, el problema no es acotado y la solucion(demanda) tiende a infinito.

Por otro lado, si la funcion de produccion tiene rendimientos constantes de escala, entonces unincremento proporcional de los factores implica un aumento en la misma proporcion tanto del ingresocomo de los costos. De hecho, en este caso, por la relacion de Euler se tiene que

f(x1, x2) = PMgx1(x1, x2) · x1 + PMgx2(x1, x2) · x2,

y luego,

π(p, w) = p · [PMgx1x1(p, w) + PMgx2x2(p, w)] − w1x1(p, w) − w2x2(p, w),

es decir,

π(p, w) = x1(p, w) · [PMgx1(x1, x2)− w1] + x2(p, w) · [PMgx2(x1, x2)− w2]

Luego, si se cumple la condicion de optimalidad precio del factor = valor de producto marginal,necesariamente se tendrıa que π(p, w) = 0, cuestion que es independiente de la demanda por factores.Sin embargo, si el valor del producto marginal es mayor que el precio del factor (cuestion que puedeocurrir, por ejemplo, si la f.d.p es lineal y el producto marginal constante en tal caso, es mayor que elprecio), entonces el incentivo de la firma es ocupar la mayor cantidad posible de factores, no habiendopor tanto solucion al problema (no acotada). Por otro lado, bajo el supuesto simplificatorio que elproducto marginal es constante (f.d.p lineal), si el valor del producto marginal es menor que el preciodel factor, entonces necesariamente la demanda por factores es cero, pues el uso positivo de ellosimplicarıa perdidas para la firma. De esta manera, habiendo demanda positiva por factores, cuandola firma tiene rendimientos constantes de escala, necesariamente el maximo beneficio escero.

Finalmente, si la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes de escala, al aumentar lacantidad de factores, los costos crecen en proporcion a dicho aumento, mientras que el ingreso lo hacea una tasa menor. Este es el caso donde podemos aspirar a tener una solucuon interior del problema,quedando por tanto definida una demanda y oferta en funcion de los precios.

Ciertamente puede haber casos donde la f.d.p no necesariamente tenga rendimientos decrecientes aescala y el problema de maximizacion de beneficios tenga solucion interior. Por ejemplo, imaginemosuna f.d.p con un factor, donde para pequenos niveles del mismo la funcion es convexa, pero que luego decierto nivel es concava. En tal caso, la f.d.p no presenta retornos a escala decrecientes, pero dependiendode los precios, la demanda por factores perfectamente podrıa estar en la parte donde la curva es concava.Obviamente en dicho lugar, la f.d.p presenta, localmente, retornos a escala decrecientes.

Ejemplo 5.1 Supongamos el caso con un factor y que la f.d.p es f(x) = xα. El precio del producto esp y aquel del factor w. El problema de maximizacion de beneficio es

maxx

p · xα − w · x. (49)

Para encontrar la oferta y la demanda, la primera tentacion es derivar y resolver la ecuacionα · p · xα−1 − w = 0, que nos darıa como resultado (demanda)

x(p, w) =

(w

α · p

) 1α−1

. (50)

96


Sin embargo, todo lo anterior (procedimiento y resultado) tiene sentido si el parametro α esmenor que uno. Para ver esto, consideremos, en primer lugar, α = 1. En este caso, obviamente nose puede evaluar la expresion (50) (se indefine el exponente). De hecho, cuando α = 1, el problemade maximizacion de beneficio (49) es

maxx

p · x− w · x ⇔ maxx

(p− w) · x.

Si p > w (de modo que (p− w) > 0), entonces a la firma “le conviene” que x tienda a infinito, nohabiendo por tanto solucion al problema (no acotada). Por otro lado, si p < w, de modo que (p−w) < 0,la solucion del problema es x = 0, pues cualquier otro valor arroja beneficios negativos. Por ultimo, sip = w, entonces cualquier valor de x es solucion del problema: la solucion esta indeterminada.De todas maneras, en tal caso, cualquiera sea la solucion, el maximo beneficio que logra es cero, yademas es el unico caso donde la demanda por factor puede ser distinta de cero (y por endela oferta).

Si α > 1 (retornos crecientes), notemos que si x aumenta, entonces el ingreso p · xα crece masrapido que el costo de emplear el factor, w · x. Luego, a la firma conviene aumentar x, llevando a quela “solucion del problema” sea no acotada. Ası, en este caso nuevamente no hay solucion al problema(49). De hecho, la “solucion” (50) caracteriza a un mınimo y NO a un maximo del problema (49).

En resumen, para el ejemplo en comento, los unicos casos donde podemos aspirar a que hayasolucion positiva para el problema de maximizacion de beneficio es cuando la f.d.p presenta rendimientosdecrecientes a escala (α < 1), o bien cuando hay rendimientos constantes (α = 1), pero bajo ciertascondiciones sobre los precios y parametros de la f.d.p.

6 Costos

6.1 Definiciones y propiedades basicas

Suponga que a Ud. le piden fabricar pan amasado, para lo cual (simplificando) solo utiliza harina(x1) y manteca (x2). El precio del kilo de harina es w1 y aquel del kilo de manteca es w2; el preciodel kilo de pan es p. El pedido es pagado por adelantado, y le encargan y0 kilos de pan. Por lo tanto,Ud. recibio p · y0 pesos por el trato. La pregunta que nos convoca es, ¿ como fabricara el pan paracumplir con el compromiso? Bajo los supuestos que hemos asumido para el comportamiento delas firmas, la respuesta es que Ud. fabricara el pan de manera tal que depare el maximo posible deganancia, es decir, que maximice el beneficio condicional al hecho que debe entregar y0 kilos de pan.Las opciones para fabricar los y0 kilos de pan estan definidas por la isocuanta de produccion a dichonivel: (x1, x2) tales que f(x1, x2) = y0, siendo f su funcion de produccion. Obviamente no todas lascombinaciones de factores que permiten cubrir el requerimiento cuestan lo mismo. Luego, su problemaes buscar aquella que sea la mas barata posible, pues de esa manera el margen de ganancia que obtienees el mayor. Es decir, Ud. debe buscar aquella combinacion de factores en la isocuanta al nivel y0de modo que el valor de la misma sea mınimo. Formalmente, debe resolver el siguiente problema deoptimizacion:

{min w1 · x1 + w2 · x2s.a f(x1, x2) = y0.

(51)

El problema (51) se llama problema de costos y su solucion se denota por

x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2),

que se llama demanda restringida de factores. Con la demanda restringida, el costo en que se incurrees dado por la siguiente expresion, que se denomina funcion de costos:

C(w1, w2, y0) := w1 · x1(p, w1, w2) + w2 · x2(p, w1, w2).

97


Nota. 6.1 De manera natural, el problema de costos se puede extender para considerar mas de dosfactores, digamos, n ∈ N: si w1, . . . , wn son los precios de los inputs en la economıa, cuyas cantidadesson x1, ..., xn, dado y0 un nivel de produccion fijado a priori, si la funcion de produccion es f : Rn → R,entonces el mınimo costo al cual se pueden producir las y0 unidades del output viene de resolver elproblema de optimizacion

{min {w1 · x1 + ...+ wn · xn}s.a f(x1, ..., xn) = y0.

(52)

cuya solucion sera es denotada como xi(w1, ..., wn, y), i = 1, . . . , n, (que en forma resumida sera escritacomo xi(w, y)). Esta es que recibe demanda restringida de factores dado el nivel de producto y0y los precios de factores wi, i = 1, ..., n. La funcion de costos es C(w1, ..., wn, y0) (que en formaresumida se denotara como C(w, y0)), de modo que

C(w1, ..., wn, y0) =

n∑

i=1

wi · xi(w, y0).

Nota. 6.2 Hay una evidente analogıa entre el problema de costos y el problema de gasto que sedefinio para los consumidores. La demanda Hicksiana del problema de gasto se corresponde con lademanda restringida del problema de costos, y la funcion de gasto con la funcion de costos.

Para el caso general con n factores, el Lagrangeano del problema de costos (52) es

L(x1, ..., xn, λ) = w1 · x1 + ...+ wn · xn + λ · (f(x1, ..., xn)− y0).

Por lo tanto, la solucion resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

∂L(x1,x2,...,xn,λ)∂xi

= wi + λ∂f(x1,x2,...xn)∂xi

= 0, i = 1, ..., n,

∂L(x1,x2,...,xn,λ)∂λ = f(x1, x2, ..., xn)− y0 = 0.

Este sistema es de n+ 1 ecuaciones, con n+ 1 incognitas. En lo que sigue, para fijar ideas e ilustrar,supongamos que n = 2. En tal caso, las condiciones anteriores son:

∂L(x1,x2,λ)∂x1

= w1 + λ∂f(x1,x2)∂x1

= 0,

∂L(x1,x2,λ)∂x2

= w2 + λ∂f(x1,x2)∂x2

= 0,

∂L(x1,x2,λ)∂λ = f(x1, x2)− y0 = 0.

Al despejar λ de las dos primeras ecuaciones e igualar los resultados, se tiene que:

−w1

∂f(x1,x2)∂x1

=−w2

∂f(x1,x2)∂x2

,

es decir,∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2.

Pero,

RTS1,2(x1, x2) = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

y en consecuencia, en el optimo se verifica que:

98


RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2,

es decir, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el cuociente de los precios delos factores. Esta condicion y la de produccion definen el sistema que usualmente se resuelve paraencontrar las demandas y luego el costo:

a.- RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2,

b.- f(x1, x2) = y0.

Ejemplo 6.1 Considere la funcion de produccion f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0 (dos inputs).Dado un cierto nivel produccion y y precios de los factores w1 y w2 respectivamente, el problema deminimizacion de costos corresponde a:

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = A · xα1 · xβ2 = y.

En este caso, el problema se resuelve utilizando la tecnica de mulitplicadores de Lagrange. Paraello, se define el Lagrangeano del problema y se calculan las derivadas parciales respecto de cada unade las variables y multiplicadores (las xi-es y los λ’s, respectivamente). Ası, en este caso particular, elLagrangeano del problema es:

L(x1, x2, λ) = w1 · x1 + w2 · x2 + λ(A · xα1 · xβ2 − y),

luego, las condiciones necesarias de optimalidad son:

{∂L(x,λ)

∂xi= 0, i = 1, ..., n

∂L(x,λ)∂λ = 0.

En nuestro problema n = 2, de modo que, reemplazando los valores de la funcion, se tiene:

∂L(x,λ)∂x1

= w1 + λAαxα−11 xβ2 = 0,

∂L(x,λ)∂x2

= w2 + λAβxα1 xβ−12 = 0,

∂L(x,λ)∂λ = xα1 · xβ2 − y = 0.

Resolviendo el sistema anterior, se obtiene como resultado:

x1(w, y) =

(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

· y 1α+β ,

x2(w, y) =

(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

· y 1α+β ,

de lo cual se deduce que la funcion de costos corresponde a:

C(w, y) = w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

· y 1α+β + w2 ·

(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

· y 1α+β ,

es decir,

C(w, y) = γ · y 1α+β ,

donde,

γ := w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

+ w2 ·(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

.

99


Ejemplo 6.2 Supongamos los precios p, w1 y w2 y que la f.d.p es

f(x1, x2) = a · x1 + b · x2,con a, b > 0. En tal caso, el problema de costos (nivel de producto es y0) es

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a a · x1 + b · x2 = y0.

Si aplicamos directamente las condiciones de optimalidad al problema anterior, la demanda re-stringida deberıa cumplir con las siguientes ecuaciones

RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2⇔ a

b=w1

w2,

a · x1 + b · x2 = y0.

En este caso, como los productos marginales son constantes, la “primera ecuacion” no depende delos factores, cuestion que, a priori, harıa que la solucion quede indeterminada. Sin embargo, analizandocon mas detalle, en primer lugar indicar que la “primera ecuacion” es en realidad es absurda, puestanto los precios como los productos marginales no tienen porque obedecer a alguna condicion previa.Por otro lado, de la restriccion de produccion se tiene que

x2 =y0b

− a

b· x1,

que incorporandola en la funcion objetivo, nos lleva a que el problema se puede re-escribir equivalente-mente como

minx1

{w1 · x1 + w2 ·

(y0b

− a

b· x1)}

⇔ minx1

{x1 ·

(w1 −

a · w2

b

)+w2 · y0b

}.

Evidentemente la constante del problema de la derecha no altera la solucion del mismo, por lo queel problema de costos corresponde finalmente a

minx1

{x1 ·

(w1 −

a · w2

b

)}. (53)

Para resolver este ultimo problema, debemos considerar tres casos:

(i) que w1 − a·w2

b > 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 > 0, es decir, w1

a > w2

b ),

(ii) que w1 − a·w2

b < 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 < 0, es decir, w1

a < w2

b ),

(iii) que w1 − a·w2

b = 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 = 0, es decir, w1

a = w2

b ).

Para el caso (i), el mınimo valor de la funcion objetivo del problema (53) se obtiene cuando x1 = 0y por ende x2 = y0

b47. Ası, las demandas restringidas son las indicadas y el costo es

C(w, y0) =w2

b· y0.

Por otro lado, para el caso (ii), la demanda es x1 = y0

a y x2 = 0, en cuyo caso el costo es

C(w, y0) =w1

a· y0.

Finalmente, para el tercer caso, respetando la restriccion de produccion, x1 puede tomar cualquiervalor, como ası x2. Por lo tanto, tomando x1 = y0

a , x2 = 0, el costo es

C(w, y0) =w1

a· y0

(=w2

b· y0).

47Recordar que a · x1 + b · x2 = y0; luego, cuando x1 = 0 se obtiene x2 = y0b.

100


En resumen, (i) cuando w1

a > w2

b el costo es C(w, y0) =w2

b · y0, (ii) cuando w1

a < w2

b el costo esC(w, y0) =

w1

a · y0 y (iii) cuando w1

a = w2

b el costo es C(w, y0) =w2

b · y0 = w1

a · y0, todo lo cual quedaresumido en la siguiente expresion:

C(w, y0) =Min{w1

a,w2

b

}· y0,

donde Min{s, t} es el mınimo de ambos. Ası, para el caso de funciones de produccion lineal, (a)las condiciones de optimalidad a partir de derivadas no nos permiten encontrar la solucion delproblema (de hecho, nos lleva a condiciones absurdas) y, por otro lado, (b) queda claro que en general(casos (i) y (ii)) las demandas que se obtienen en este caso son “esquinas”, en el sentido que se utilizatodo lo posible de alguno de los insumos y nada del otro.

Ejemplo 6.3 Evaluada en w, y, supongamos que la f.d.p de una firma es f(x1, x2) y que la funcion decostos correspondiente, evaluada en w, y, es Cf (w, y). Una segunda firma tiene una tecnologıa basadaen la anterior, denotada g(·), que cumple con la siguiente condicion

g(x1, x2) = (φ ◦ f)(x1, x2) = φ(f(x1, x2)),

con φ : R → R una funcion dada. Supongamos que φ es invertible, y denotemos su inversa por φ−1.¿Cual es la funcion de costos de la segunda firma? Para responder, se debe resolver el problema

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a g(x1, x2) = y0

⇔{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a φ(f(x1, x2)) = y0,

que a su vez es equivalente a

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = φ−1(y0).

Por lo tanto, la funcion de costos de la segunda firma es

Cg(w, y0) = Cf (w, φ−1(y0)).

Para la interpretacion geometrica del problema de costos, necesitamos introducir un nuevo con-cepto: curvas de isocosto. Estas curvas (en realidad lıneas rectas) estan formadas por todas aquellascombinaciones de inputs que reportan el mismo valor de canastas de factores. Ası, dado un nivel degasto c > 0 (un parametro), la curva (lınea) de isocosto corresponde al conjunto L(C) definido por lascombinaciones de factores (x1, x2) tales que

w1 · x1 + w2 · x2 = c.

La Figura 47 ilustra el concepto.

101


Figure 47: Isocosto

L(C1) L(C2)L(C3)

C1 < C2 < C3

Isocosto:m = −(w1/w2)

Con dos factores, la isocosto es una lınea recta con pendiente −w1

w2y coeficiente de posicion c

w2.

En el optimo, la isocosto se desplaza hasta ser tangente a la isocuanta en el nivel de producto, y. Estedesplazamiento se logra con el parametro

c = C(w, y),

y el punto de tangencia entre ambas define la demanda condicionada. Todo lo expuesto se resume enla siguiente relacion (ver (42))

L(C(w, y)) ∩ Iy = {(x1(w, y), x2(w, y))}.La Figura 48 ilustra lo indicado.

Figure 48: Grafico de las Condiciones de Optimalidad

x2(w, y)

x1(w, y)

Isocosto

Isocuanta nivel y

Optimo

6.2 Costos medios y marginales

Conceptos auxiliares obtenidos a partir de la funcion de costo, que son relevantes en diversas aplica-ciones en economıa, son dados en la siguiente definicion.

Definicion 6.1 A partir de una funcion de costos C(w, y), las funciones de costo medio y costomarginal, que notaremos CMe(w, y) y CMg(w, y) respectivamente, se definen como:

102


CMe(w, y) :=C(w, y)

y,

CMg(w, y) :=∂C(w, y)

∂y.

La funcion de costo medio es solo una medida indicativa de costo por unidad de producto: es un valorpromedio que no necesariamente da cuenta de una situacion puntual, como si lo hace el costo marginal,pues corresponde al costo adicional en que se incurre para producir una unidad extra de producto apartir del nivel ya indicado:

CMg(w, y) =∂C(w, y)

∂y≈ C(w, y + 1)− C(w, y).

Del hecho que la funcion de costos es creciente en el nivel de producto48, obviamente el costomarginal siempre es positivo.

La siguiente Figura 49 ilustra de los conceptos anteriores.

Figure 49: Costo Medio y Costo Marginal

C(y)

y

A

CMg

C

CMe

El costo marginal en y es igual a la pendiente de la tangente a la curva de costos en el punto A,

mientras que el costo medio corresponde a la pendiente de la recta que parte del origen y termina

en A.

Ejemplo 6.4 Del Ejemplo 6.1, se tiene que

CMe(w, y) =C(w, y)

y=γ · y 1

α+β

y= γ · y

1−α−βα+β ,

mientras que,

CMg(w, y) =∂C(w, y)

∂y=∂γ · y 1

α+β

∂y= γ · 1

α+ β· y

1−α−βα+β .

Note que CMg(w, y) > CMe(w, y) siempre y cuando 1α+β > 1, es decir, α+ β < 1.

48Caso contrario, de resultar mas barato fabricar y1 que y0, con y1 > y0, entonces los y0 los harıamos como hacemoslos y1 y botamos el resto de la produccion.

103


A partir de las definiciones anteriores, una propiedad basica que relaciona los conceptos ya intro-ducidos es la siguiente49.

Proposicion 6.1 Dados precios w = (w1, . . . , wn) y un nivel de producto y0, se tiene que

C(w, y0) = y0 · CMe(w, y0).

C(w, y0) =

y0∫

0

CMg(w, y)dy + C(w, 0)50.

6.3 Costos de corto plazo

Como sabemos, el corto plazo se caracteriza por la existencia de restricciones al uso de los factores,que de manera simple se modela asumiendo que algunos de ellos son fijos en cantidad; en el largoplazo todos los factores son variables, es decir, se pueden escoger sin restricciones. Por lo mismo, laoptimizacion de corto plazo que lleva a los costos deberıa entregar una solucion sub-optima respecto deaquella donde los factores se escogen en libertad. Esto se traduce en que necesariamente los costos decorto plazo son necesariamente mayores o iguales que los costos de largo plazo. Por otro lado, puestoque el corto plazo puede ser caracterizado de michas maneras (depende de cual sea la restriccion quese asume), puede entonces haber muchas opciones para las curvas de tales costos, no ası para aquellade largo plazo.

En lo que sigue modelaremos el corto plazo asumiendo que algunos factores estan fijosm los quecon una barra. De esta manera, supongamos dada una firma en cuyo proceso productivo hay n ∈ N

inputs, de los cuales los primeros k < n son factores variables mientras que los factores fijos van de(k + 1) a n. En este caso, dado un nivel de produccion y, el problema de mimizacion de costosde corto plazo corresponde a

{min {w1 · x1 + . . .+ wk · xk + wk+1 · xk+1 + . . .+ .wn · xn}s.a f(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn) = y.

En el problema de corto plazo anterior, las unicas variables de decision de la firma son x1 hasta xk.El resto (xk+1 hasta xn) estan fijas.

Supongamos entonces que resolvemos el problema anterior, y encontramos las soluciones xi(w, y, x),i = 1, ..., k. Se hace presente que la solucion encontrada depende, ademas de los precios de los factoresy la cantidad que se produce, de los factores fijos, que hemos notado por simplicidad como x haciendoreferencia a xk+1, ..., xn. La funcion de costos de corto plazo corresponde a

Ccp(w, y) =

k∑

i=1

wi · xi(w, y) +n∑

i=k+1

wi · xi.

La primera del termino de la derecha da cuenta de los costos variables de la firma, mientras quela segunda de los costos fijos. En lo que sigue, notaremos los costos variables como CV (·) mientrasque los costos fijos por CF (·), es decir:

CV (w, y, x) =k∑

i=1

wi · xi(w, y), CF (w, x) =n∑

i=k+1

wi · xi.

De esta manera, se tiene que

Ccp(w, y, x) = CV (w, y, x) + CF (w, x)

49 La demostracion de esta queda como ejercicio.50Usualmente C(w, 0) = 0. Sin embargo, tal como veremos mas adelante, esta cantidad corresponde a lo que llamaremos

costo fijo, el cual en situaciones de corto plazo no necesariamente (mas bien, usualmente) es distinto de cero.

104


donde se hace explıcita la dependencia de los costos de aquellos factores que estan fijos. Note que loscostos fijos no dependen del nivel de produccion y.

Por otro lado, ya sea porque no es relevante, o bien que la notacion sea clara, o que el contexto loamerita, usualmente de los costos variables y fijos se omiten los argumentos de precio y factores fijos,dejando explıcita solo la dependencia en la cantidad de producto:

CV (w, y, x) → CV (y), CF (w, x) → CF.

Por ulitmo, indistintamente hablaremos de costo de corto plazo o costo total de corto plazo, solopara enfatizar que este es la suma de las componentes variables y fijas.

Sobre lo recien expuesto, definen los costos marginales y costos medios de corto plazo, deno-tados CMecp(·) y CMgcp(·) respectivamente, como

CMecp(w, y, x) =Ccp(w, y, x)

y,

CMgcp =∂Ccp(w, y, x)

∂y

Puesto que los costos fijos no dependen del nivel de produccion se tiene que ∂CF (w,)x∂y = 0 y luego:

CMgcp =∂CV (w, y, x)

∂y.

Nota. 6.3 Es importante notar que Ccp(w, y, x) es siempre mayor o igual a C(w, y), cualquierasea la condicion que define al corto plazo. Matematicamente es claro, puesto que el problema de costosde corto plazo es un problema de optimizacion donde el conjunto factible esta incluido en aquel decostos de largo plazo (donde no existen restricciones a priori sobre las variables). Economicamente,tambien es claro pues esta afirmacion solo establece que la empresa al tener libertades para escoger losinsumos puede hacerlo de manera mas eficiente (es decir, mas barata) que cuando existen restriccionesque fijan a priori ciertas cantidades que se deben utilizar.

Ejemplo 6.5 Supongamos que f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0 (dos inputs). Del Ejemplo 6.1,dados w1, w2 e y, se tiene que

C(w, y) = γ · y 1α+β ,

con

γ := w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

+ w2 ·(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

.

Supongamos ahora que la restriccion de corto plazo es x2 = x2. En tal caso, para determinar elcosto de corto plazo se debe resolver el problema

{minx1

{w1 · x1 + w2 · x2}s.a Axα1 · xβ2 = y.

(54)

Obviamente el problema (54) se puede ver como uno de “largo plazo” (es decir, optimizando en lasdos variables), pero con la condicion de corto plazo como restriccion del mismo, es decir,

minx1,x2

{w1 · x1 + w2 · x2}s.a Axα1 · x2β = y

x2 = x2.

Para resolver (54), notemos que la unica incognita es x1, pues x2 ya esta dada. Sin embargo, dela restriccion del mismo, es directo que

105


x1(w, y, x) =

(y

A · xβ2

) 1α

,

con lo cual

Ccp(w, y, x) = w1 ·(

y

A · xβ2

) 1α

+ w2 · x2.

Ası,

CV (y) = w1 ·(

y

A · xβ2

) 1α

, CF = w2 · x2.

Note ademas como el costo total de corto plazo, como ası los costos variable y fijo, dependen dela eleccion del factor fijo.

Nota. 6.4 Evidentemente los costos fijos pueden variar si los insumos fijos se modifican. Por lo tanto,puede haber muchos costos de corto plazo, pero solo un unico costo de largo plazo para la firma. Porotro lado, el hecho que los costos fijos sean cero no garantiza que se este en situacion de largo plazo. Porejemplo, si la f.d.p es lineal, digamos f(x1, x2) = a ·x1+ b ·x2, y el factor dos es cero, entonces el costofijo es cero, y el costo total de corto plazo (que coincide con el costo varianle) es Ccp(w, y, x2) = w1 ·y/a.

Ejemplo 6.6 Supongamos que f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0 (dos inputs). Determinemosel costos si la restriccion de corto plazo es que los factores se deben emplear en alguna proporcionprefijada, digamos, x1 = γ · x2, con γ > 0. En tal caso, el problema es

minx1,x2

{w1 · x1 + w2 · x2}s.a Axα1 · x2β = y

x1 = γ · x2.Solo empleando las restricciones del problema es posible encontrar las demandas correspondientes:

A · (γ · x2)α · x2β = y ⇒ x2(w, y, γ) =

(y

A · γ

) 1α+β

⇒ x1(w, y, γ) = γ ·(

y

A · γ

) 1α+β

lo cual implica que

C(w1, w2, y, γ) =γ · w1 + w2

(A · γ)1

α+β

· y 1α+β .

6.4 Analisis de sensibilidad de los costos

6.4.1 Costos y eficiencia productiva

Suponga que hay dos tecnologıas disponibles, f y g, una de ellas (g) mas eficiente que la otra, esto enel sentido que con los mismos factores, se produce mas output utilizando la tecnologıa g que la f . Porsimplicidad, supongamos que para cualquier (x1, x2) ∈ R

2+ se tiene que

f(x1, x2) < g(x1, x2). (55)

Dados precios w1, w2 y un nivel de producto y, denotemos, respectivamente, el costo inducido por f yg como

Cf (w, y), Cg(w, y).

106


De lo expuesto, es directo ver que para cualquier nivel de output y,

Cg(w, y) < Cf (w, y).

En efecto, supongamos que las respectivas demandas restringidas usando la tecnologıa f y g es

xfi (w, y), xgi (w, y), i = 1, 2.

De la condicion (55), se tiene que (pos simplicidad para la notacion, se omiten los argumentos delas funciones de demanda)

f(xf1 , xf2 ) < g(xf1 , x

f2 ) ⇒ y < g(xf1 , x

f2 ).

Por lo tanto, de emplear los factores que se demandan con f , utilizando g se produce mas productoque el requerido. Como g(xg1, x

g2) = y, se concluye que

g(xg1, xg2) < g(xf1 , x

f2 ).

Por otro lado, como el costo es creciente en la cantidad de producto, es directo que

Cg(w, y) ≤ Cg(w, g(xf1 , x

f2 )), (56)

pero, ya que Cg(w, g(xf1 , x

f2 )) es lo mas barato que se puede producir g(xf1 , x

f2 )), se concluye que

Cg(w, g(xf1 , x

f2 )) ≤ w1 · xf1 + w2 · xf2 . (57)

Combinando (56) y (57), y recordando que Cf (w, y) = w1 · xf1 + w2 · xf2 se concluye lo que querıamosdemostrar.

Una manera mas directa para ver lo anterior: si el costo con la tecnologıa mas eficiente es mayorque aquel que se obtiene con la tecnologıa menos eficiente, entonces para el primer caso se puedenocupar los mismos factores que se utilizan en el segundo, y “botar” la produccion restante; con ello, lamenos se igualarıan los costos entre ambas opciones.

Ejemplo 6.7 Supongamos que una firma tiene dos plantas para producir, cada una de ellas con costosC1(w, y) y C2(w, y) respectivamente. Supongamos ademas que para todo y se tiene que

C1(w, y) < C2(w, y),

es decir, que la planta uno es mas eficiente que la planta dos. A la firma le piden fabricar y0 unidadesdel producto. ¿Como las hara? La primera tentacion es afirmar que lo hara solo ocupando la plantauno (m’as eficiente). Esto no necesariamente es cierto. En efecto, supongamos que para producir la y0unidades requeridas, y1 las fabrica con la planta uno y y2 con la planta dos, de modo que y1 + y2 = y0.En tal caso, el costo en que incurre es C1(w, y1) + C2(w, y2). Por lo tanto, su problema es escoger lacombinacion de producciones que le permitan minimizar dicho valor, es decir, resolver el problema

{miny1,y2

C1(w, y1) + C2(w, y2)

s.a y1 + y2 = y0.(58)

La solucion de (58) no necesariamente es y1 = y0, y2 = 0. De hecho, internalizando la restriccionen la funcion objetivo, el problema (58) es equivalente a

miny1

C1(w, y1) + C2(w, y0 − y1).

Derivando lo anterior c.r a y1 y aplicando regla de la cadena, en el optimo se tiene que

CMg1(y1)− CMg2(y0 − y1) = 0 ⇔ CMg1(y1) = CMg2(y2),

es decir, que el optimo se tiene en niveles de produccion donde se igualan los costos marginales deambas plantas.

107


6.4.2 Costos y rendimientos de escala

Cuando la firma tiene rendimientos de escala constantes51, los costos de la firma aumentan en formaproporcional con las cantidades de output requeridas, es decir, C(w, t · y) = t · C(w, y), o, en formaequivalente, C(w, y) = y · C(w, 1). En efecto, hay dos razones para lo anterior. Matematicamente,se desprende de las propiedades del problema de optimizacion que define los costos. Ası, sea t > 0,entonces para calcular C(w, t · y) se debe resolver el problema (ilustramos con dos inputs):

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = t · y.

Ahora bien, f(x1, x2) = t · y es equivalente a f(x1

t ,x2

t

)= y. Si definimos xi =

xi

t , con i = 1, 2, setiene que xi = t · xi y luego el problema anterior se puede reescribir como:

{min {w1 · t · x1 + w2 · t · x2}s.a f(x1, x2) = y,

es decir,

{t ·min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

lo que equivale a decir que C(w, t · y) = t · C(w, y).

Economicamente, se tiene que al aumentar en forma proporcional los factores (digamos por unfactor 2 para ilustrar), la produccion aumenta en la misma proporcion. Luego, si en el proceso inicialtenıamos costos C(w, y), al duplicar los inputs se puede replicar exactamente lo que antes estabahaciendo, luego los costos deben aumentar al doble, es decir, C(w, 2 · y) = 2 ·C(w, y) como ya se habıavisto.

Si ahora hay rendimientos crecientes a escala en la produccion, al duplicar los inputs mas que seduplica la produccion. Luego, para producir el doble de producto se requiere menos del doble de inputsy por lo tanto, los costos de producir el doble son menores que el doble de los costos de producir lacantidad inicial, es decir: C(w, 2 · y) ≤ 2 ·C(w, y). En terminos generales, en este caso se tiene que loscostos verifican la siguiente propiedad:

C(w, t · y) ≤ t · C(w, y), ∀t > 1.

En forma analoga podemos deducir que cuando existen rendimientos decrecientes a escala en laproduccion se tiene que:

C(w, t · y) ≥ t · C(w, y), ∀t > 1.

La siguiente Figura 50 ilustra lo anterior:

51Recordemos que una tecnologıa f tiene rendimientos a escala constantes, crecientes o decrecientes si f(tx) es igual,mayor o menor que t · f(x) respectivamente, con t > 1.

108


Figure 50: Costos y Rendimientos de Escala

C

y

Decrecientes

Constantes

Crecientes

En resumen, si la tecnologıa de produccion tiene rendimientos constantes de escala, los costos sonlineales en el producto; si hay rendimientos crecientes en la produccion, los costos se comportancomo si tuvieran rendimientos decrecientes a escala en el producto. Finalmente, si la f.d.p tienerendimientos decrecientes a escala, los costos son como si tuvieran rendimientos crecientes enel nivel de producto. Ahora bien, como se ha detallado para las f.d.p, el hecho que haya rendimientoscrecientes corresponde a que la funcion es convexa, mientras que retornos decrecientes corresponde asu concavidad. Luego, funciones de produccion convexas tienen asociados costos concavosen el producto, mientras que funciones de produccion concavas tiene asociados costosconvexos.

Ahora bien, si los costos son convexos en las cantidades, entonces sabemos que la derivada re-spectiva es creciente (si son concavos, la derivada es decreciente). Luego, hemos probado finalmenteque si la funcion de produccion presenta retornos decrecientes a escala, entonces los costosmarginales asociados son crecientes, mientras que si la funcion de produccion presenta rendimien-tos de crecientes de escala, los costos marginales son decrecientes. Cuando la f.d.p presenta retornosconstantes a escala, los costos marginales son constantes.

Respecto de los costos medios, es directo probar que si la f.d.p presenta retornos decrecientes aescala, entonces el correspondiente costo medio es creciente (es creciente si la f.d.p tiene retornoscrecientes a escala). Lo indicado es directo de la concavidad - convexidad de los costos segun el caso.

Ejemplo 6.8 Supongamos que f : R2+ → R es homogenea de grado k ∈ N. Dados precios w1, w2 y

nivel de produccion y, el problema de costos es

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y.

Si f(x1, x2) = y, entonces 1y f(x1, x2) = 1. Pero f es homogenea de grado k, es decir f(tx1, tx2) =

tkf(x1, x2). Tomando entonces t = 1y1/k , se tiene que

1

yf(x1, x2) = f

(x1y1/k

,x2y1/k

),

y por lo tanto, el problema de costos asociado a f corresponde a

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f

(x1

y1/k ,x2

y1/k

)= 1.

(59)

Haciendo el cambio de variables

109


zi =xiy1/k

, i = 1, 2,

el problema (60) es equivalente a

{min y1/k · {w1 · z1 + w2 · z2}s.a f (z1, z2) = 1.

(60)

Como la constante y1/k no altera la solucion del problema (sı su valor), para encontrar el costosegun el problema (60) basta con resolver el problema

{min {w1 · z1 + w2 · z2}s.a f (z1, z2) = 1

(61)

y multiplicar el valor de la funcion objetivo por y1/k. Puesto que el valor del problema (61) es C(w, 1),se tiene finalmente que

C(w, y) = y1/k · C(w, 1).Notemos que C(w, 1) no depende de las cantidades, pero si obviamente de los precios.

Ciando f(x1, x2) = Axα1 · xβ2 , con A,α, β > 0, del Ejemplo 6.1, tenemos que

C(w, y) = γ · y 1α+β .

En este caso, k = α+ β y obviamente se cumple lo expuesto.

Ejemplo 6.9 Costos de funciones de produccion homoteticasUna funcion de produccion f : R2 → R es homotetica si es la composicion de una funcion

homogenea de grado uno con una estrictamente creciente, es decir, si existe una funcion g :R

2+ → R homogenea de grado uno y φ : R → R estrictamente creciente tal que

f(x1, x2) = φ(g(x1, x2)).

En este caso, el problema de costos con la f.d.p f es

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

que es equivalente a

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a φ(g(x1, x2)) = y,

.

Como φ es estrictamente creciente, se puede asumir invertible, con inversa denotada por φ−1.Luego, el problema de costos asociado a f corresponde a

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a g(x1, x2) = φ−1(y).

.

Ahora bien, como g es homogenea de grado uno, es decir, presenta retornos constantes a escala,el costo correspondiente es lineal en la cantidad de producto, que en este caso es ψ−1(y). Luego, elcosto asociado a f necesariamente es una expresion lineal es ψ−1(y), con una constante que dependede los precios. En definitiva, el costo asociado a una f.d.p homotetica es de la forma

Cf (w, y) = θ(w) · ψ−1(y),

110


es decir, separable en el producto de dos funciones, una de ellas dependiendo solo de los precios y otradependiendo solo de las cantidades. Siguiendo un argumento similar, este resultado de separabilidad sepuede extender directamente para funciones de produccion que son la composicion de una homogeneade grado k ∈ N y una estrictamente creciente (Ejercicio).

6.4.3 Costos y precios de los factores

Para realizar nuestro analisis, supongamos en primer lugar que todos los precios de los factores aumen-tan en una proporcion fija, digamos t > 0, de modo que los precios finales de los factores es t ·wi parael factor xi. De esta manera, el nuevo costo es C(t · w, y), que se construye a partir de la solucion delproblema:

{min {(t · w1) · x1 + (t · w2) · x2}s.a f(x1, x2) = y,

es decir, {t ·min {·w1 · x1 + ·w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

que es equivalente a t · C(w, y). De esta manera, concluimos que:

C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.

Esta ultima propiedad nos dice que la funcion de costos es homogenea de grado 1 en los precios delos factores52.

Por otro lado, si aumentamos los precios de los factores, no necesariamente en la misma pro-porcion como en el caso anterior, entonces veremos que los costos deben aumentar, es decir, siwi ≤ wi, ∀i = 1, ..., n, entonces C(w, y) ≤ C(w, y). En efecto, sean x(w, y) y x(w, y) las deman-das de factores asociadas a los respectivos precios de factores w = (wi) y w = (wi) respectivamente.

Entonces, C(w, y) =n∑

i=1

wi ·xi(w, y) ≤n∑

i=1

wi ·xi(w, y) (esto por minimizacion de costos); por otro lado,

puesto que wi ≤ wi, se tiene quen∑

i=1

wi · xi(w, y) ≤n∑

i=1

wi · xi(w, y) = C(w, y). En consecuencia, mi-

rando los extremos de las desigualdades anteriores, se tiene que C(w, y) ≤ C(w, y). En otras palabras,los costos deben ser crecientes en los precios de los inputs.

Para seguir con este analisis, en lo que sigue vamos a probar que las funciones de costos sonconcavas en los precios de los factores, es decir, que dados precios w = (wi) y w = (wi), y dadoλ ∈ [0, 1], entonces

C(λ · w + (1− λ) · w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1− λ) · C(w, y).Dados w y w como antes, notemos por wλ = λ ·w + (1− λ) · w, es decir, wλ

i = λ ·wi + (1− λ) · wi.Entonces

C(wλ, y) =∑

i

wλi · xi(wλ, y) =

∑

i

(λ · wi + (1− λ) · wi) · xi(wλ, y).

Luego,

C(wλ, y) = λ ·∑

i

wi · xi(wλ, y) + (1− λ) ·∑

i

wi · xi(wλ, y).

Pero, por definicion de funcion de costos,∑i

wi · xi(wλ, y) ≥ C(w, y), y ademas∑i

wi · xi(wλ, y) ≥C(w, y); en consecuencia, reemplazando estas desigualdades en la expresion anterior, se tiene que,

C(λ · w + (1− λ) · w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1− λ) · C(w, y),52Recordemos que una funcion g : Rn → R es homogenea de grado k > 0 si para todo t > 0 se tiene que g(t·x) = tk ·g(x)

111


que es lo indicado.

Para finalizar este analisis del costo respecto del precio de los factores, veamos ahora las derivadasdel costo respecto de dichos parametros. La propiedad que se deduce es conocida como el Lema deShephard, la cual establece que, bajo supuestos generales, la demanda por factores corresponde alcambio marginal de los costos ante variaciones en el precio del factor respectivo, es decir, dado un nivelde precios de factores w∗ = (w∗

i ), entonces,

xi(w∗, y) =

∂C(w∗, y)

∂wi.

En efecto, dado w∗ ∈ Rn, consideremos la funcion g : Rn → R tal que, g(w) = C(w, y) −∑

i

wi ·

xi(w∗, y). Notar que g(w) ≤ 0, ∀w ∈ R

n53 y que g(w∗) = 0. Luego, g(·) tiene un maximo en

w = w∗ y por lo tanto, utilizando las condiciones de primer orden se deduce que ∂g(w∗,y)∂wi

= 0, es decir,∂C(w∗,y)

∂wi− xi(w

∗, y) = 0, con lo cual se obtiene el resultado.

Veamos otra demostracion del lema de Shephard54. Para ello derivemos directamente la funcion decostos c.r. a wi. De esta manera, dado j ∈ {1, ..., n}, puesto que,

C(w, y) =∑i

wi · xi(w, y) =n∑

i6=j

wi · xi(w, y) + wj · xj(w, y), luego, derivando con respecto a wj se

tiene que,

∂C(w, y)

∂wj= +xj(w, y) + wj ·

∂xj(w, y)

∂wj

n∑

i6=j

wi ·∂xi(w, y)

∂wj,

es decir,

∂C(w, y)

∂wj=∑

i

wi ·∂xi(w, y)

∂wi+ xj(w, y) (62)

Por otro lado, de las condiciones de optimalidad del problema de costos sabemos que para todoi ∈ {1, ..., n} se verifica que:

wi + λ · ∂f(x(w, y))∂xi

= 0 =⇒ ∂f(x(w, y))

∂xi=

−wi

λ(63)

Finalmente, dado que f(x(w, y)) = y se tiene que ∂f(x(w,y))∂wj

= 0, es decir,∑i

∂f(x(w,y))∂xi

· ∂xi(w,y)∂wj

= 0.

En consecuencia, reemplazando el resultado de (63) en lo anterior se obtiene que∑i

−wi

λ · ∂xi(w,y)∂wj

= 0,

es decir,

∑

i

wi ·∂xi(w, y)

∂wj= 0.

Aplicando esto en la ecuacion (62) se concluye ∂C(w,y)wj

= xj(w, y).

53La justificacion de aquella como ejercicio para el lector54Esta es un poco mas tecnica, pero menos rebuscada (astuta) que la anterior. Es util para recordar algo de calculo y

las condiciones de optimalidad

112


Nota. 6.5 Veamos finalmente otra demostracion que es directa. Puesto que la funcion de costos es

homogenea de grado 1 en los precios de los factores55 se tiene que, C(w, y) =∑i

wi · ∂C(w,y)wi

56 y por lo

tanto, ya que C(w, y) =∑i

wi · xi(w, y), se concluye directamente que ∂C(w,y)wi

= xi(w, y).

En resumen, hemos demostrado la siguiente proposicion.

Proposicion 6.1 Con respecto a los precios de los factores, las funciones de costos son homogeneasde grado 1, crecientes y concavas. Ademas se cumple el Lema de Shephard, es decir,

∂C(w, y)

∂wi= xi(w, y), i = 1, 2.

Nota. 6.6 Una consecuencia importante de la Proposicion (6.1) es que no cualquier funcion quedependa de w1, w2 e y (precios y cantidades) corresponde a una funcion de costos. Paraque una relacion entre precios y cantidades sea una funcion de costos, debe ser (i) creciente en el nivelde produccion, y (ii) cumplir lo indicado en la proposicion respecto de los precios (homogeneidad yconcavidad). Por ejemplo, la relacion

θ(w1, w2, y) = w21 · w2 · y2,

no puede ser una funcion de costos, ya que no es homogenea de grado uno en los precios (ni concava).¿Que significa que θ(w1, w2, y) no puede ser una funcion de costos? Que no hay una funcion deproduccion (creciente por componentes y que en cero vale cero) tal que al resolver el problema deminimizacion del costo sujeto a restriccion de produccion, se obtenga θ(w1, w2, y) como el valor delproblema.

Nota. 6.7 Del Lema de Shephard, es directo es que el costo es creciente con los precios, puessu respectiva derivada es positiva (es igual a la demanda). Por otro lado, del mismo Lema, conocidoslos costos en funcion de los precios, resolviendo el sistema de ecuaciones para eliminar los precios delmismo, se puede obtener la funcion de produccion que induce al costo en cuestion. Esto esmuy relevante pues, en definitiva, disponer de los costos como funcion de los precios es equivalente aconocer la funcion de produccion de la firma.

Ejemplo 6.10 Suponga que todos los factores son variables y que el costo medio de una firma esCMe(w, y) = wα

1 · wβ2 , con α, β > 0. Dado esto, la idea es encontrar la demanda Marshaliana

de los factores. Para ello, notemos, en primer lugar, que la funcion de costos es

C(w, y) = y · wα1 · wβ

2 .

Como es homogenea de grado 1 en los precios, se debe cumplir que

C(λ · w, y) = λC(w, y) ⇔ tα+β · y · wα1 · wβ

2 = t · y · wα1 · wβ

2 .

Luego, α+ β = 1 y por lo tanto β = 1− α. De esta manera, la funcion de costos debe ser de la forma

C(w, y) = y · wα1 · w1−α

2 .

Para responder a la pregunta, encontremos la f.d.p que define al costo anterior y, dado esto, re-solver el problema de maximizacion de beneficio para determinar las funciones de demanda. Para

55Es decir, C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.56Recordemos que si f : Rn → R es homogenea de grado 1 entonces

f(x) =∑

i

xi ·∂f(x)

∂xi

.

113


encontrar la f.d.p, por Shephard sabemos que ∂C(w,y)∂wi

= xi(w, y), i = 1, 2. Ası, el sistema de ecuacionesque resulta es

∂C(w, y)

∂w1= y · α · wα−1

1 w1−α2 = x1(w, y). (64)

∂C(w, y)

∂w2= y · (1− α) · wα

1w−α2 = x2(w, y).

Del cuociente entre las derivadas anteriores, queda

α

1− α· w2

w1=x1(w, y)

x2(w, y).

La idea es despejar “y” en funcion de (x1(w, y), x2(w, y)). De lo anterior obtenemos w2 en funcionde w1

w2 =1− α

α· x1x2

· w1,

reemplazando esto en (64) queda,

y · α · wα−11 ·

(x1x2

)1−α

·(1− α

α

)1−α

· w1−α1 = x1,

es decir,

y =1

α·(

α

1− α

)α

· xα1 · x1−α2 ,

que es la funcion de produccion buscada. Con esta f.d.p podemos encontrar las demandas solicitadasal resolver el problema

maxx1,x2

p

(· 1α·(

α

1− α

)α

· xα1 · x1−α2

)− w1x1 − w2x2.

6.4.4 Costos y cantidades de producto.

En primer lugar, ya sabemos que los costos deben ser crecientes en las cantidades de producto: producirmas cuesta mas, pues de lo contrario serıamos ineficientes. Esto se resumen, se tiene directamente lasiguiente proposicion.

Proposicion 6.2 La funcion de costos es creciente en el nivel de producto, y por lo tanto,

∂C(w, y)

∂y≥ 0.

(costo marginal positivo.)

Veamos ahora la relacion que existe entre los costos medios y marginales ante variaciones en elproducto. Para esto, aplicando la regla de cuociente, evaluemos la derivada del costo medio c.r. a lacantidad:

∂CMe(w, y)

∂y=∂(

C(w,y)y

)

∂y=CMg(w, y) · y − C(w, y)

y2.

De esto se deduce que,

∂CMe(w, y)

∂y> 0 ⇔ CMg(w, y) · y − C(w, y) > 0,

114


es decir, cuando CMg(w, y) > CMe(w, y). Ası, los costos medios son crecientes en el productotoda vez que los costos marginales son mayores que los costos medios57. En forma analoga,los costos medios son decrecientes en el producto toda vez que los costos marginales sonmenores que los costos medios.

De hecho, en el nivel de produccion que lleva al mınimo costo medio, digamos y∗, se tiene que loscostos marginales son iguales a los costos medios, es decir, CMe(w, y∗) = CMg(w, y∗).

La Figura 51 ilustra lo anterior:

Figure 51: Costo Medio Mınimo

y∗: punto de CMe mınimo

CMe

CMg

6.5 Geometrıa de costos

El analisis grafico en que estamos empenados consiste en estudiar las curvas de costos en funcion delos niveles de produccion, con el fin posterior de estudiar la oferta de la firma en competencia perfecta.

En primera instancia, debemos recordar que, dados los precios de los factores, el costo de largoplazo siempre esta por debajo de los costos de corto plazo, cualquiera sea este. Esto vienedirectamente del problema de optimizacion que define la funcion de costo, ya que en el problema decorto plazo la firma tiene menos variables de decision que le permitan mejorar su solucion, por lo cualel conjunto de restricciones es mas pequeno, y por ende su valor es peor58.

Ejemplo 6.11 Supongamos que la funcion de produccion es,

f(x1, x2) = xa1 · x(1−a)2 ,

con a ∈]0, 1[. En este caso, el costo de producir y, dados los precios de factores w1, w2, es

C(w, y) = a−a(1− a)a−1wa1w

1−a2 y,

57Recordemos que una condicion para que una funcion sea creciente en un intervalo es que su primera derivada debeser positiva en el mismo.

58Dado un problema de optimizacion, digamos{

opt f(x)

s.a x ∈ A,

en la medida que el conjunto factible (A en nuestro caso) es mas grande, entonces la solucion es mejor. A modo deejemplo, si opt = min entonces, sea xA la solucion del problema anterior con el conjunto factible A. Si este conjunto esreemplazado por otro, digamos B, de modo que A ⊆ B, entonces f(xB) ≤ f(xA). En caso de considerar opt = max,entonces la conclusion es la contraria.

115


mientras que las demandas de factores son

x1(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)(1−a)

, x2(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)−a

y.

Si fijamos x2 = x2 se tiene que el problema de costos es,

{min {w1 · x1 + w2 · x2}s.a xa1(x2)

(1−a)= y,

de lo cual se tiene que

x1(w1, w2, x2, y) =y

1a

(x2)(1−a)

a

.

De esta manera, el costo de corto plazo es:

Ccp(w, y) =w1

(x2)(1−a)

a

· y 1a + w2x2.

Con esto queda definida una familia de curvas de costos de corto plazo, siendo el parametroque las define el valor de la cantidad fija del factor considerado (x2). Graficamente la situacion escomo sigue:

Figure 52: Costos en el Corto Plazo

CF3

CF2

CF1

(1)

(2)

(3)

CCP

y

En la Figura 52, cada una de las curvas de costos de corto plazo esta definida por cantidadesdistintas de factor fijo: para la curva (1) se tiene un valor x2 = x2,1, para la curva (2) dicho valor serax2 = x2,2, x2,2 > x2,1, etc. Con esto queda ademas definido un valor de costo fijo (CF1, CF2, CF3)que nos da la partida de la curva de costo de corto plazo en cero.

La afirmacion de que el costo de largo plazo esta por debajo de aquellos de corto plazo correspondea afirmar que para cualquiera que sea el nivel de factor fijo que define el costo de cortoplazo, la curva correspondiente esta por encima de aquella de largo plazo.

Sin embargo, note que dado x2, entonces existira algun nivel de produccion, digamos y, tal quepara dicho valor se tiene que la cantidad optima que la firma demandarıa en el largo plazo sera iguala aquella que tiene prefijada en el corto plazo. Es decir, para algun y se cumplira que:

116


x1(w, y) = x1(w, x2, y), x2(w, y) = x2,

de tal forma que en dicho nivel de producto se igualan los costos de largo y corto plazo.

Ejemplo 6.12 Del ejemplo anterior, como x1(w, y) = y(

aw2

(1−a)w1

)(1−a)

, mientras que x2(w, y) =

y(

aw2

(1−a)w1

)−a

, la cantidad de producto y que iguala los costos de largo y corto plazo esta definida por:

Demanda de largo plazo en y = Demanda de corto plazo en y,

es decir,

x2(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)−a

y = x2.

Con esto se obtiene que,

y =x2(

aw2

(1−a)w1

)−a .

Graficamente, la situacion para este problema es como sigue59:

Figure 53: Costos en el Corto y Largo Plazo

C

CF = w2x2

y y

C

CCP

En y se igualan los costos de corto y largo plazo. De hecho, como la curva de costo de largo plazoesta siempre por encima de aquella de corto plazo, en este punto y donde se igualan, ambas curvasdeben ser tangentes. �

El punto de interseccion y del ejemplo anterior obviamente depende de la cantidad de factor fijoque hemos considerado (en el caso anterior, x2). Para otra curva de corto plazo, la interseccion conla curva de largo plazo se dara en otro punto. De esta manera, los costos de largo y corto plazoson tangentes en al menos un punto y la curva de costo de largo plazo esta por debajo detodas ellas. La Figura 54 ilustra lo expuesto.

59Recuerde que el costo de largo plazo es lineal mientras que aquel de corto plazo es una exponencial.

117


Figure 54: Costos de Largo Plazo como la envolvente de Costos de Corto Plazo

C CLP

C4CPC3

CPC2CPC1

CP

y

Lo anterior corresponde a deice que la curva de costos de largo plazo es la envolvente de lascurvas de costos de corto plazo. La misma propiedad se tiene entre costos medios de corto y largoplazo. En efecto, si dado el nivel de produccion y, ya sabemos que C(y) ≤ Ccp(y), luego,

C(y)

y≤ Ccp(y)

y⇔ CMe(y) ≤ CMecp(y).

Por otro lado, como existe un nivel y tal que C(y) = Ccp(y), para ese nivel de produccion se tieneque CMe(y) = CMecp(y). En resumen, los costos medios de largo plazo estan por debajo de los costosmedios de corto plazo y son tangentes en un punto. Graficamente la situacion es como sigue.

Figure 55: Costos Medios de Corto y Largo Plazo

C

y

CMe1CP

CMe2CP

CMe3CP

CMe4CP

CMe5CP

CMeLP

Cada curva de costos medios de corto plazo viene de una curva de costo de corto plazo, la cual,como hemos dicho, depende del nivel de factor fijo.

Nota. 6.8 En la figura anterior hemos supuesto que las curvas de costos medios de corto y largoplazo tienen forma de U , es decir, son convexas con una rama creciente (derecha, altas cantidadesde producto) y otra decreciente (izquierda, bajas cantidades de producto). En rigor este supuesto noes necesario para el analisis que viene: es solo un supuesto simplificatorio que nos ayudara a ilustraralgunas ideas. Este supuesto se puede interpretar diciendo que para niveles bajos de produccion, la

118


firma presenta rendimientos crecientes de escala en la produccion, mientras que para niveles altos deproducto, la firma tiene rendimientos decrecientes a escala (corto y largo plazo).

Para terminar con este analisis grafico, consideremos ahora los costos marginales. Ya sabemos que,tanto en el corto como en el largo plazo, los costos marginales cruzan a los costos medios porsu mınimo. Graficamente es como sigue.

Figure 56: Costos Marginales de Corto y Largo Plazo

C

y

CMg1CP

CMg2CP CMg3CP

CMg4CP

CMg5CPCMgLP

En la Figura 56, los costos marginales de corto plazo se han ilustrado con lıneas punteadas y el

costo marginal de largo plazo con lınea mas gruesa.

A partir de todo lo anterior, note que,

a.- La curva de costos medios de largo plazo no corta necesariamente a la curva de costos medios decorto plazo en su mınimo.

b.- La curva de costos marginales de largo plazo no tiene a priori alguna relacion con aquellas decorto plazo, en el sentido de estar por abajo o por arriba de estas.

7 Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta

7.1 Introduccion

El objetivo de este capıtulo es analizar el comportamiento de una firma en un contexto de mercado,es decir, donde existen interacciones con otras firmas que producen el mismo producto y, en formacomplementaria, con demandantes (consumidores) de los mismos (puede haber ademas otras firmasque producen productos similares, o bien complementos, etc.).

Hasta el momento, solo nos hemos preocupado de analizar el comportamiento de una firma demanera autoreferente, es decir, en funcion de sus propias caracterısticas, resumidas sea por su f.d.po su funcion de costo, obviando eventuales interacciones con otros agentes. Con este enfoque, se hahecho abstraccion que, en general, el desempeno de las mismas es funcional al contexto economicodonde se desenvuelven, donde en particular otras firmas compiten por la demanda de los consumidoresdel producto que elaboran. Este contexto de interdependencia y de relaciones entre diversos agentes(oferentes y demandantes de producto) define lo que llamaremos el mercado del producto.

Por el lado de los consumidores, en lo que sigue asumiremos que todos ellos seran representados(digamos, resumidos) por una curva de demanda dada exogenamente. Esta curva relaciona el preciodel producto con la cantidad del mismo, cantidad que dichos agentes estarıan dispuestos a comprar al

119


precio indicado. Asumiremos que tal curva tiene pendiente negativa, es decir, que mientras mayor esel precio del bien ofrecido, menor es la demanda que se tiene60.

Como actuan las firmas en este nuevo marco es un problema central en economıa. La forma demodelar tal situacion, y su nivel de complejidad y realismo, dependeran de muchos factores. Porun lado, la manera de abordar el enfoque en una situacion de corto o largo plazo es completamentedistinto. Por otro lado, dependiendo del grado de poder de mercado que cada firma tenga, la situacionpuede cambiar radicalmente. Si por ejemplo, hay solo una firma que provee el bien bajo analisis, lademanda que ella enfrenta estarıa simplemente definida por la curva de demanda de mercado del bienen cuestion. Por otro lado, si la firma compite otras firmas, actuando como tomadora de precios,al cobrar mas que el precio de equilibrio de mercado, la demanda que observarıa es cero, situacioncompletamente distinta a la que se hay de tener el poder de fijar los precios. En caso que la firmaactua como tomadora de precios, sus decisiones de produccion dependen, ademas del comportamientode los consumidores y de sus propias caracterısticas, de las decisiones de las otras firmas al respecto.

En definitiva, lo que nos ocupara en esta seccion estudiar algunos mecanismos por medio de loscuales se fijan los precios del producto, que a su vez permite determinar la cantidad de este que sevende, los beneficios de cada firma y sus producciones individuales. Parte de lo relevante de esteanalisis es entender que tal solucion depende de como las firmas se vinculan entre sı, y con la demanda.Al respecto, los modelos mas simples a considerar son cuando (i) las firmas actuan en competenciaperfecta, es decir, son tomadoras de precio y, en el otro extremo, cuando son (ii) monopolio (es decir,oferentes unicos que fijan los precios de venta del producto).

7.2 Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta

Diremos que un mercado es de competencia perfecta, o mercado competitivo, si ningun oferente(firma) ni demandante (consumidor) tiene, individualmente, influencia sobre el precio del bien: losprecios finales de los productos son obtenidos de la interaccion conjunta de todos los agentes economicos(productores y consumidores), sin que exista una influencia singular de alguno de ellos sobre el valorresultante. Es por esto que, tanto las firmas como los consumidores, son llamados agentes precio-aceptantes.

7.2.1 La demanda de mercado

La demanda de marcado por algun bien es la suma de las demandas individuales por el mismo, laque, como sabemos, se determina a partir de la solucion del problema de maximizacion de utilidadsujeta a restriccion presupuestaria. Suponiendo que hay m ∈ N individuos en la economıa, cada unode ellos con funcion de utilidad ui, i = 1, . . . ,m e ingresos Ri, i = 1, . . . ,m, el problema del individuoi = 1, . . . ,m (dos bienes) es

{maxx1,x2

ui(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = Ri,

y la correspondiente demanda Marshaliana por el bien uno y dos es notada como

xi1(p1, p2, Ri), xi2(p1, p2, Ri), i = 1, . . . ,m.

En lo que sigue, supongamos que nos interesa el bien uno y denotemos genericamente su precio porp. El precio del bien dos esta fijo, como ası las rentas de los agentes. En tal caso, ceteris paribus, lademanda de mercado por el bien bajo analisis uno

X(p) =

m∑

i=1

xi1(p, p2, Ri).

60En otras palabras, estamos asumiendo que el bien ofrecido por la firmas no es un bien de Giffen.

120


Bajo el supuesto que el bien uno no es Giffen, la demanda de mercado X(p) tiene pendientenegativa. La Figura 57 ilustra una curva de demanda usual.

Figure 57: Curva de Demanda de Mercado

p

p∗

y∗ y

En la figura anterior, dado un precio del producto, digamos p∗, la demanda de mercado es y∗ =

X(p∗). Como sabemos, esta cantidad de producto es la que estarıan dispuestos a comprar los

consumidores si el precio fuera p∗.

Evidentemente la demanda de mercado por cierto bien depende de muchos factores. Al respecto,en todo lo que sigue supondremos que el precio del bien dos esta fijo, siendo nuestro interes elefecto que el precio propio tiene sobre la demanda. Notar ademas que si el numero de agentes crece,entonces la curva de demanda del bien bajo analisis se desplaza hacia la derecha (movimiento dela curva). Lo mismo ocurre si el bien es normal y se incrementan los ingresos de los individuos (porejemplo, a traves de un subsidio a la renta). En este caso, obviamente impuestos al ingreso desplazanla curva de demanda hacia la izquierda.

7.2.2 Oferta de la firma y la industria

De lo expuesto en la seccion previa, sabemos que una firma puede ser caracterizada sea a traves defuncion de produccion, o bien por medio de su funcion de costo. Si conocemos la funcion de produccion(f), entonces, condicional a los precios, el problema de optimizacion que permite encontrar la ofertaMarshaliana de la firma es

maxx1,x2

{pf(x1, x2)− w1x1 − w2x2}. (65)

La solucion del problema (65) (demanda Marshaliana por factores) se denota como

xi(p, w1, w2), i = 1, 2,

y con ella, la oferta de la firma es

y(p, w1, w2) = f(x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2)).

Sin embargo, al disponer de la funcion de costo puede resultar mas simple determinar la ofertade la firma. En efecto, supongamos que C(·) es la funcion de costo de la firma en comento. Si el preciodel producto es p, entonces si la firma decide producir y unidades de este, el beneficio que obtiene es61

61Puesto que los precios de los factores no seran una variable de interes en el analisis que sigue, seran omitidos comoargumento de la funcion de costos.

121


p · y − C(y).

Por lo tanto, condicional a los precios, la oferta de la firma debe es aquel nivel de produccion quemaximiza el margen anterior, es decir, aquel que resuelve el siguiente problema de optimizacion:

maxy

{p · y − C(y)}. (66)

Aunque parezca obvio, es importante destacar que (65) y (66) son formulaciones equivalentesdel problema de maximizacion de beneficios de la firma; ası, las soluciones que se obtienensegun ambos esquemas son las mismas. Empleando la f.d.p, primero se obtiene la demanda Marshalianay luego la oferta; con el esquema basado en costos, la oferta se obtiene directamente. De ser necesario,la demanda Marshaliana se obtiene aplicando el lema de Shephard.

El esquema basado en costos es mas directo que aquel basado en la f.d.p. Por otro lado, en lapractica, los costos pueden ser aproximados segun registros contables u otros metodos, de modo que,usualmente, es posible disponer de infomacion confiable al respecto. En cambio, la f.d.p puede sercompleja de determinar. Por estas razones, en todo lo que sigue analizaremos el problema de oferta dela firma (y la industria) segun el enfoque de costos.

Dado p, para determinar la oferta debemos derivar la funcion objetivo del problema (66) c.r. alproducto; ası, la condicion necesaria de optimalidad es

∂(p · y − C(y))

∂y= 0 ⇔ p− ∂C(y)

∂y= 0 ⇔ p = CMg(y),

es decir, que en la oferta de la firma, se debe cumplir que el precio es igual al costo marginal.

Nota. 7.1 Mas general, considerando que el ingreso de la firma es I(p, y) = p · y, la condicion deoptimalidad del problema de maximizacion de beneficio corresponde a que, en el optimo, se cumple que

∂I(p, y)

∂y=∂C(y)

∂y,

es decir, la firma ofrece en aquel punto donde el ingreso marginal es igual al costo marginal.Para el caso de una firma precio-aceptante, el ingreso marginal es igual al precio. Sin embargo, estacondicion es mas general, y aplica a otros contextos como se vera mas adelante.

La condicion p = CMg(y) es solo a la condicion necesaria de optimalidad de primer orden para de-terminar la oferta: se requiere una condicion adicional para cerrar el problema. En efecto, supongamosque el precio de mercado es p∗ y que, segun la regla anterior, la firma ofrece y∗ tal que CMg(y∗) = p∗,es decir,

y∗ = CMg−1(p∗) : costo marginal inverso en p∗. (67)

En tal caso, el beneficio que obtendrıa la firma es

π∗ = p∗ · y∗ − C(y∗).

Ahora bien, considerando que CMe(y∗) = C(y∗)y∗

, re-escribiendo el beneficio, se tiene que

π∗ = p∗ · y∗ − y∗CM(y∗) ⇔ π∗ = y∗ · [p∗ − CM(y∗)].

Si todos los factores son variables, claramente el mınimo beneficio que la firma podrıaobtener es cero, pues en el peor caso no produce. Por lo tanto, la oferta sera y∗ > 0 segun (67)siempre y cuando se cumpla que π∗ ≥ 0, es decir, se cumpla que

p∗ − CMe(y∗) ≥ 0.

122


Por lo tanto, la oferta es positiva si el precio de mercado (que la firma no controla!) es mayor que elcosto medio de producir dicho nivel de oferta. Caso contrario, si el precio de mercado es menorque el costo medio de producir el nivel de producto segun la regla (67), entonces la oferta es cero.¿Cual es entonces el umbral de precios de mercado a partir del cual la oferta es positiva? Es el valordel mınimo costo medio de la firma. En efecto, supongamos que el precio de mercado es p∗ y quela firma ofrece y∗ segun la regla (67). En tal caso, como sabemos, se cumple que p∗ − CMe(y∗) ≥ 0.Sea ahora CMemin ∈ R+ el valor mınimo del costo medio62. Entonces, por definicion, para todonivel de producto y se tiene que CMemin ≤ CMe(y), lo cual implica que

p∗ − CMe(y∗) ≥ p∗ − CMemin.

Por lo tanto, tenemos garantıa de que el beneficio es positivo (mayor o igual a cero) siempre ycuando

p∗ − CMemin ≥ 0 ⇔ p∗ ≥ CMemin,

es decir, cuando el precio de mercado es mayor o igual al costo medio mınimo. Todo lo expuesto seresume en la siguiente expresion para la oferta de la firma: dado el precio de mercado p∗, la oferta dela firma en un mercado competitivo, denotada por O(p∗), corresponde a

O(p∗) =

CMg−1(p∗) si p∗ ≥ CMemin

0 si p∗ < CMemin

es decir, la curva de oferta de la firma esta dada por la parte de la curva de costos marginalesque esta por encima de la curva de costos medios; la oferta es cero si el precio de meradoes menor que el mınimo valor del costo medio.

Geometricamente es como sigue.

62Recordemos que el costo medio es mınimo en el nivel de producto donde el costo medio se iguala al costo marginal,es decir, en y donde CMg(y) = CMe(y). Ası,

CMemin = CMe(y).

123


Figure 58: Oferta de la Firma en el Largo Plazo

p∗∗

CMeMIN

y y∗∗

CMeCMg

p∗

En la Figura 58, si el precio de mercado es p∗∗, la oferta de la firma sera y∗∗ tal que CMg(y∗∗) = p∗∗,

es decir, y∗∗ = CMg−1(p∗∗). Por el contrario, si el precio de mercado es p∗ la oferta de la firma

sera cero. Finalmente, si el precio del producto es igual al valor del mınimo costo medio, la firma

esta indecisa en producir cero o la cantidad de producto donde se minimiza el costo medio.

Cuando todos los factores son variables, existen solo dos opciones en cuanto a los posiblesbeneficios de la firma: que sean cero o que sean estrictamente positivos: el precio umbral quesepara ambas situaciones es p = CMemin. La Figura 59 ilustra lo anterior.

124


Figure 59: Oferta de la Firma

Precio Umbral

p

y

Costo Medio Mınimo

CMeCMg

De haber factores fijos, para determinar la oferta de la firma se sigue el procedimiento anterior.Sin embargo, a diferencia del caso con todos los factores variables, si la firma ofrece cero, su beneficioalternativo no es cero, sino que menos el costo fijo, −CF . Luego, dado un precio de mercado p∗,para determinar la oferta de la firma debe considerar que:

(a) el nivel de oferta “candidato” debe cumplir con que el costo marginal (de corto plazo) debe serigual al precio en cuestion (esto igual al caso anterior; condicion necesaria de optimalidad),

(b) si la firma produce cero, el beneficio que obtiene es −CF . Luego, dado p∗, ofrecera positivo(digamos y∗) siempre y cuando el beneficio que obtenga de ello sea mayor o igual a menos elcosto fijo, es decir, se cumpla que

p∗ · y∗ − Ccp(y∗) ≥ −CF.

Puesto que p∗ · y∗−CV (y∗)−CF ≥ −CF ⇔ p∗ · y∗ ≥ CV (y∗), se tiene que la firma ofrece unacantidad positiva de producto siempre y cuando

p∗ ≥ CV (y∗)

y∗⇔ p∗ ≥ CVMe(y∗). (68)

Al igual que cuando los factores variables, de la condicion (68) queda definido un precio umbrala partir del cual la oferta de la firma es positiva, y bajo el cual es cero. Este precio es simplemente elvalor del mınimo costo variable medio, denotado CVMemin. La oferta de la firma en presenciade factores fijos es entonces

Ocp(p∗) =

CMg−1cp (p∗) si p∗ ≥ CVMemin

0 si p∗ < CVMemin

Obviamente la diferencia con el caso donde todos los factores son variables, es que ahora se consid-eran los costos medios variables y antes era solo el costo medio. La Figura 60 ilustra lo anterior:

125


Figure 60: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (1)

p∗

p

p∗∗

y y∗

CVMe

CMeCP

CMgCP

En la Figura, si el precio de mercado es p∗, la oferta de la firma serıa y∗ de tal forma que p∗ =

CMgcp(y∗). Si el precio es p∗∗, la oferta de la firma es cero.

Notemos que aun cuando el precio de mercado es mayor que el precio umbral, CVMemin, habiendofactores fijos es perfectamente posible que la firma obtenga beneficio negativo a partir de su ofertapositiva. Para ello, basta con que el precio de mercado este por debajo del mınimo costo medio,pero sobre el mınimo costo variable medio. La Figura 61 es ilustrativa.

126


Figure 61: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (2)

p∗1

p∗2

p∗3

p∗4

y∗3

CVMe

CMeCP

CMgCP

y∗2 y∗1

En la figura, si el precio de mercado es p∗1, la oferta serıa y∗1 y el beneficio positivo; si el precio es

p∗2, la oferta es y∗2 y el beneficio cero. Si el precio es p∗3, la oferta serıa y∗

3 y el beneficio negativo.

Si el precio es p∗4, la oferta serıa cero (y∗4 = 0) y el beneficio −CF .

Nota. 7.2 Los precios umbral que hemos presentado dependen, obviamente, de cada firma. Es indica-tivo de cuanto esta “puede soportar” caıdas en el precio de mercado, y por tanto, en cierta medida,del nivel de eficiencia de la firma: mientras mas bajo el precio umbral, la firma puede “sobrevivir amayores caıdas de los precios de mercado”.

Nota. 7.3 En todo lo anterior hemos supuesto que los costos marginales son siempre crecientes, conlo cual garantizamos que la interseccion del costo marginal con los costos medios se da en solo unpunto. Sin embargo, si fuera el caso que los costos marginales tuvieran una parte creciente y otradecreciente, el analisis anterior se restringe a considerar solo la rama creciente de los mismos. Enefecto, la condicion de segundo orden de maximizacion de beneficio implica que la segunda derivadadel beneficio debe ser negativa, es decir,

∂2π

∂y2≤ 0 ⇔ ∂2(p∗ · y − C(y))

∂y2≤ 0.

Sin embargo,∂2(p∗ · y − C(y))

∂y2= −∂CMg(y)

∂y.

Luego, la condicion de segundo orden implica que, ∂CMg(y)∂y debe ser positivo, es decir, el costo marginal

creciente. En general, en la mayorıa de los problemas que se tratan usualmente, los costos marginalesson crecientes en el nivel de produccion (por ejemplo, en presencia de retornos decrecientes a escala)

Si en el mercado hay n ∈ N firmas, el procedimiento para calcular la oferta de la industria siguela logica de lo desarrollado anteriormente: se procede con oferta para cada una en forma individual,independientemente de las demas; la oferta de la industria es simplemente la suma de las ofertasindividuales. De esta manera, si para una firma i = 1, ..., n cualquiera, su curva de oferta es Oi(p), laoferta de la industria sera:

127


O(p) =

n∑

i=1

Oi(p).

Ejemplo 7.1 Dada la funcion de produccion

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ2 ,donde 0 < α, β < 1 y a > 0, supongamos que el input 2 esta fijo, x. En tal caso, la funcion de costosse obtiene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{min {w1 · x1 + w2 · x}s.a a · xα1 · xβ = y.

De las restricciones se tiene que

x1(w, y) =

(1

axβ

) 1α

· y 1α ,

y luego la funcion de costos es:

C(w, y) = C = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· y 1α + w2 · x.

Dado esto, se tiene lo siguiente:

(a.) Costos variables: CV = w1 ·(

1axβ

) 1α · y 1

α .

(b.) Costos fijos: CF = w2 · x.

(c.) Costos marginales: CMg = w1 ·(

1axβ

) 1α · 1

α · y 1−αα .

(d.) Costo medio: CMe = Cy = w1 ·

(1

axβ

) 1α · y 1−α

α + w2·xy .

(e.) Costo variable medio : CVMe = w1 ·(

1axβ

) 1α · y 1−α

α .

Para determinar el precio y la cantidad umbral que nos permite definir la curva de oferta, debemosresolver la siguiente ecuacion:

CVMe(y) = CMg(y),

la cual se debe resolver en la parte creciente de la curva de costos marginales. Para determinar dondelos costos marginales son crecientes (respecto del nivel de produccion obviamente) debemos considerarla derivada del mismo y ver donde es positiva. En nuestro problema,

∂CMg

∂y= w1 ·

(1

axβ

) 1α

· 1α· 1− α

α· y 1−α

α −1,

y, puesto que 0 < α < 1, se tiene que ∂CMg∂y es siempre positiva, es decir, los costos marginales son

siempre crecientes. Notar que CMg(y = 0) = 0. Ahora bien, al igualar CVMe y CMg se tiene que,

w1 ·(

1

axβ

) 1α

· y 1−αα = w1 ·

(1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Ası, ordenando los terminos y resolviendo la ecuacion se deduce que y = 0 de lo cual se tiene quep = CMg(y = 0) = 0. De esta manera, la curva de oferta de la firma en el corto plazo se obtiene deresolver la ecuacion:

128


p = CMg(y) ⇔ p = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Despejando y en funcion de p, se tiene que la curva de oferta de corto plazo es:

y(p) =

(α

w1

) α1−α

· (axβ)1α · p α

1−α .

Ejemplo 7.2 Supongamos que hay n ∈ N firmas que tienen la misma funcion de costos, C(y) =y2 + 1.El costo marginal de cada una de ellas es CMg(y) = 2 · y, mientras que el costo medio variablees CVMe = y. Ya que el costo marginal es creciente y siempre mayor que el costo medio variable, setiene que la curva de oferta de cada una de las firmas se deduce de la expresion p = CMg(y), es decir,p = 2 · y, de donde se tiene que la curva de oferta de cada firma es

yi(p) =p

2, i = 1, ..., n.

Por lo tanto, la oferta de la industria es

Y (p) =

n∑

i=1

yi(p) = n · p2.

7.3 ¿Como se determina el precio de mercado?: analisis de equilibrio par-cial

En todo lo anterior hemos supuesto que el precio de mercado es dado exogenamente y con ello ob-tendremos la oferta de las firmas, y la industria, como ası la demanda del bien. Obviamente estas notienen porque ser coincidentes: si el precio es “muy alto”, entonces la industria tendra una oferta alta,pero seguramente la demanda sera baja. A priori, dentro de todas las opciones de precio, podrıa haberalguno donde efectivamente se igualen la oferta de la industria y la demanda del bien en cuestion. Esteprecio es muy importante en economıa y, de existir, recibe el nombre de precio de equilibrio en elmercado considerado.

Es importante insistir que a un precio dado, la oferta de la industria se obtiene de sumar las ofertasde cada una de las firmas al nivel del precio dado, las que suponemos estan maximizando el beneficioa dicho nivel de precios. Por otro lado, la demanda de mercado se obtiene a partir de la maximizacionde utilidad de cada uno de los individuos (compradores) dado dicho nivel de precios, que obviamenteimplica una restriccion en el presupuesto de los mismos. Ası, surge el problema de buscar un preciopara los bienes que sea compatible con los intereses contrapuestos de las firmas y de los consumidores.Por un lado, las firmas buscan maximizar sus beneficios que, como ya sabemos, son crecientes con elprecio del producto, mientras que a los consumidores les conviene (en principio) que los precios seanmenores, por cuanto su nivel de satisfaccion (utilidad indirecta) es decreciente en el precio. Encontrarprecios que hagan “compatibles los deseos” de ambos tipos de agentes es el problema de la teorıa delequilibrio, a su vez parte fundamental de la teorıa economica.

Para determinar el precio de equilibrio, existe una diferencia fundamental si el problema consideradoes de corto o largo plazo. En el corto plazo, ademas de eventualmente haber factores que estan fijos,una condicion adicional importante es que el numero de firmas que participan en el mercado esconstante. En el largo plazo, ademas de no existir factores fijos, la cantidad de firmas que participanen el mercado es variable: el numero de firmas que sobreviven en el largo plazo es unacantidad que se obtiene de las condiciones del mercado, no siendo exogeno como en elcorto plazo. Este es el modelo de equilibrio con libre entrada.

En primer lugar consideremos una situacion de corto plazo y supongamos que la cantidad defirmas es n ∈ N. El analisis que sigue es similar si existen o no factores fijos. Supongamos entoncesque la oferta de cada firma es Oi(p), con i = 1, ..., n y que la demanda de mercado es X(p). En talcaso, la oferta de mercado es,

129


O(p) =

n∑

i=1

Oi(p),

El precio de equilibrio en competencia perfecta se define como aquel que iguala laoferta con la demanda de mercado, es decir, p∗ tal que

X(p∗) = O(p∗). (69)

Resolviendo la ecuacion (69) podemos encontramos el precio de equilibrio y, dado este, la ofertade cada firma, sus beneficios, la cantidad que se demanda del bien, etc.

Ejemplo 7.3 Supongamos que hay N ∈ N firmas, cada una de ellas con costos

Ci(y) =αi

2· y2,

con αi > 0 y tal que α1 < α2 < . . . < αN (la firma uno es la mas eficiente, la N la menos eficiente).La demanda de mercado por el bien que produce la industria es

X(p) = β · p−δ,

con β, δ > 0. Dado p, la oferta de la firma i = 1, . . . , N viene de la condicion p = CMgi(y), es decir,

p = αi · y ⇒ yi(p) =p

αi.

Note que al mismo precio, la firma mas eficiente ofrece mayor cantidad de producto. De lo anterior,la oferta de la industria es

Y (p) =N∑

i=1

p

αi= γ · p,

con

γ =

N∑

i=1

1

αi: constante.

Por lo tanto, el precio de equilibrio cumple que

γ · p = β · p−δ ⇒ p∗ =

(β

γ

) 11+δ

.

Con este, la oferta de cada firma en el equilibrio es

yi(p∗) =

p∗

αi,

y el beneficio en el equilibrio que obtiene la firma i = 1, . . . , N es

π∗i = p∗ · yi(p∗)− Ci(p

∗) = p∗ · p∗

αi− αi

2·(p∗

αi

)2

=p∗2

2 · αi.

Note, por ejemplo, que si β aumenta, entonces el precio de equilibrio tambien aumenta. Noteademas que mientras mas eficiente es la firma (menor α), mayor es su oferta de equilibrio, como asıel beneficio que obtiene. Finalmente, ya que γ crece con N (¿por que?), al aumentar el numero defirmas en el mercado, el precio de equilibrio es menor.

Para el modelo de largo plazo, ademas de asumir (i) que todos los factores son variables, suponemosque (ii) existe libertad de entrada - salida de firmas en el mercado y que (iii) cada una de ellaspuede “copiar” las mejores practicas para producir (caso contrario, habrıa restricciones para producir).Dado esto, se tiene que:

130


a.- en el largo plazo, las firmas no pueden tener beneficio positivo, ya que, si fuera el caso,existira un incentivo para que otra entre al mercado, y con ello haga que los beneficios de las queya estaban sean menores (aumenta la oferta, luego cae el precio de equilibrio). De esta manera,entraran tantas firmas como sea necesario, hasta que el beneficio de cada una de ellas sea nulo,situacion a partir de la cual ya no es atractiva la entrada.

b.- en el largo plazo “sobrevivira” aquella firma (o tipo de firma) mas eficiente en elsentido de sus costos. El hecho que una firma tenga menores costos que otra es ciertamenteuna forma particular de caracterizar la eficiencia. Sin embargo, esta situacion no necesariamentese observa en forma estricta, sino mas bien que algunas firmas pueden ser mas eficientes que otrasen ciertos rangos de producto, pero mas ineficientes en otros. En este contexto no es evidentecomo definir que una firma sea “mas eficiente que otra”. Sin embargo, del hecho que las firmaspueden entrar libremente al mercado, y que esto implica una caıda en el precio de equilibrio, loque en definitiva es relevante para caracterizar la oferta de equilibrio es el umbral de preciohasta el cual la(s) firma(s) pueden soportar tales disminuciones. Como sabemos, la oferta de unafirma es positiva si el precio de mercado es mayor que su costo medio mınimo. Por lo tanto,el parametro que en definitiva caracteriza la eficiencia de una firma en el modelo de largo plazoes el mınimo costo medio.

c.- En el largo plazo, no existe impedimento para que una firma pueda copiar la tecnologıamas eficiente, por lo tanto, podemos asumir que todas ellas son identicas. De esta manera, laempresa modelo sobre la cual se define la estructura productiva de largo plazo es aquella quetiene, dentro de las opciones, el mas bajo de los costos medios mınimos.

De lo anterior, se tiene que

(1) el precio de equilibrio en el largo plazo es el valor del menor de los costos medios mınimosde las firmas que participan en el mercado, el cual es independiente de la demanda. Enefecto, como todas las firmas son identicas, si el precio de equilibrio fuese mayor que CMmin,entonces cada una de las participantes tendrıa beneficio positivo, habiendo por tanto un incentivopara entrar al mercado; por el contrario, si precio de equilibrio es menor que CMmin, entonces laoferta de cada firma es cero, y por ende aquella de la industria: en tal caso, no habrıa equilibrio.Luego, la unica opcion es que el precio de equilibrio se p∗ = CMmin.

Obviamente al l precio de equilibrio p∗ anterior, todas las firmas que participan en el mercadoobtiene beneficio cero.

(2) el numero de firmas en equilibrio depende de la demanda que haya al precio de equilibrio:si el precio de equilibrio es p∗, y la demanda de mercado es X(p), entonces el numero de firmasque hay en el equilibrio, N , cumple con N · y∗ = X(p∗), donde y∗ es el nivel de producto dondese minimiza el costo medio de la firma mas eficiente63.

(3) si la demanda se “desplaza”, la oferta responde modificando el numero de firmas que hay en elmercado. Por lo tanto, al precio de equilibrio p∗ = CMmin, cualquier solicitud de producto escubierta simplemente agregando o eliminando firmas del mercado. De esta manera, al precio p∗,la oferta de la industria es perfectamente elastica, es decir, plana. Esto corresponde adecir que la industria en el largo plazo se comporta como si tuviese retornos constantes a escala(¿por que?).

Ejemplo 7.4 Un analisis de largo plazo.Supongamos que en el mercado hay dos tipos de firmas que producen barquillos. Un tipo de firmas

produce ocupando una tecnologıa que tiene costos C1(y) = y3 − 2y2 + 2y, mientras que el otro tipode firmas produce con costos C2(y) = y3 − y2 + 3y. Suponiendo que la demanda de mercado esX(p) = 15 − p, la idea es determinar el numero de firmas que habra en el mercado en una situacionde largo plazo y encontrar la oferta total de la industria de barquillos.

63Es decir, el nivel de producto donde se igualan el costo marginal y el costo medio de la tecnologıa “mas eficiente”.

131


Para ello, en primer lugar notemos que para todo y, C2(y) > C1(y). En efecto, C2(y) − C1(y) =y3−y2+3y− [y3−2y2+2y] = y2+y > 0. En segundo lugar, sobreviven solo las firmas del primer tipo.En este caso, el costo medio es CM1 = y2 − 2y + 2 y el valor del mınimo costo medio se tiene cuando2y − 2 = 0, es decir, en y = 1. Ası, el valor del mınimo costo medio es CM(y = 1) = 1− 2 + 2 = 1,que sera el precio de equilibrio de largo plazo, p∗ = 1. La oferta de cada firma en ese nivel de precioses y∗ = 1, y la demanda de mercado es X(1) = 15− 1 = 14. Por lo tanto, en el largo plazo debe habern = 14 firmas, pues n · y∗ = X(p∗).

132


Part III

Modelo de asignacion: equilibrio general

8 Modelo de equilibrio en economıa de intercambio

8.1 Introduccion

Desde un punto de vista formal, el estudio del equilibrio general en economıa trata el problema de laexistencia de precios y distribuciones de bienes que cumplan ciertos objetivos fijados a priori respecto delos agentes de la economıa (consumidores y productores). Estos objetivos pueden ser de variada ındoley normalmente vienen de alguna definicion de comportamiento individual de agentes, considerandoademas la existencia de restricciones globales sobre las decisiones de los mismos.

Mas en detalle, la idea es estudiar la existencia y propiedades de ciertas cantidades (precios, con-sumos y producciones) que seran las soluciones de unos problemas de optimizacion que definen elcomportamiento de cada agente de la economıa. El punto central es que, normalmente para los di-versos modelos que existen, estas soluciones deben satisfacer dos tipos de criterios centrales: por unlado, uno de simultaneidad y, por otro lado, uno de balance economico. El criterio de simultaneidad serefiere a que el concepto de equilibrio que normalmente se define lleva implıcitas variables que deben sercomunes a todos los individuos participantes de la economıa (precios), mientras que aquel de balancese refiere a que los equilibrios deben cumplir con ciertas ecuaciones de conservacion64.

El concepto de equilibrio economico mas ampliamente utilizado en la literatura (y mas conocido)es el Walrasiano. En este concepto, por un lado se asumen comportamientos hedonistas de losconsumidores (maximizacion de utilidad) y, para las firmas, se asumen comportamientos dados segunla maximizacion del beneficio economico. La idea es que solo a traves del consumo de bienes losindividuos logran su felicidad, mientras que por el lado de las firmas, es la ganancia que se logra conla transaccion (venta del producto) lo que motiva la produccion. La unica restriccion que se imponeen este modelo es que lo consumido mas lo producido debe ser igual a lo que existe inicialmente en laeconomıa (digamos, recursos naturales o dotaciones de los individuos). La existencia del equilibrio esreferida, por tanto, a la existencia de precios y distribuciones de bienes que sean compatibles con losobjetivos antes indicados. El precio obviamente debe ser comun a cada individuo, y es a traves de esteque existirıa un flujo de bienes que llevarıa a cada uno de los participantes a un estadio superior debienestar.

De esta manera, el rol del precio en economıa es fundamental. Es a traves de el (ellos) que elsistema resume sus valoraciones subjetivas sobre los bienes de consumo, y con ellos es que tambiense transforman las cosas en unidades equivalentes que puedan servir para transar (esta es la riquezade los individuos, que no es otra cosa que la valoracion de los activos de un individuo a los preciosde mercado). Es tan complejo el mecanismo de formacion de los precios que no existe una teorıasatisfactoria para explicarlo: no solo es un problema economico, es ademas un problema sociologicoy/o sicologico de gran complejidad.

No esta demas decir que el concepto de equilibrio ya indicado no es el unico que podemos imaginarrazonablemente. De hecho, el supuesto de hodonismo es, en muchos casos, muy poco realista ya que,para la mayorıa de nosotros, la felicidad de otros es una variable de decision muy importante a la horade sacar las cuentas: es el bienestar de los hijos, y/o seres queridos, lo que muchas veces nos obliga asacrificar nuestro propio consumo. En este caso que se habla de la existencia de externalidades en elconsumo, lo que por cierto tiene efectos en el equilibrio de la economıa.

Para efectos del estudio del equilibrio general en economıa, tres son los problemas centrales queocupan la agenda de investigacion y analisis. En primer lugar, la existencia del concepto de equilibrioque se defina en el contexto economico considerado. En este sentido, para estudiar este problemase verifica un balance natural entre supuestos que se asumen sobre la economıa, y profundidad delos resultados obtenidos. El segundo problema dice relacion con las propiedades de eficiencia

64Nada se crea o se destruye, solo se transforma...

133


asociados al equilibrio. En este sentido, hay dos conceptos basicos que buscan darnos luces sobre latematica del binestar asociado a las distribuciones: la Paretianidad de la asignacion y el conceptode nucleo en la economıa. Intuitivamente, el concepto de Paretianidad trata de modelar la eficienciade las asignaciones en el sentido de evitar el desperdicio de bienes; la idea de nucleo se relaciona conque las asignaciones de equilibrio puedan o no ser robustas ante coaliciones de individuos que puedano no sacar provecho cambiando las distribuciones que se han obtenido. Sobre este ultimo punto no sediscute en el presente documento.

Finalmente, un tercer (e importante) problema viene de estudiar si dadas ciertas distribucioneseficientes de bienes, sera (o no) posible encontrar precios tales que las conviertan en equilibrios dela economıa. En otras palabras, la problematica de descentralizar puntos eficicintes de la economıa(optimos de Pareto). Este es un problema fundamental en economıa.

En lo que sigue, no estudiaremos el modelo de equilibrio general en toda su extension, sino que masbien aquel denominado modelo de intercambio, y mas espeficamente, el modelo de intermcabio con dosagentes y dos bienes. A pesar de su simpleza, veremos que recoge varios de los aspectos relevantes de lateorıa de equilibrio general en cuanto a los problemas que hemos mencionado. Ademas, el tratamientomatematico de estas materias se hara de la manera mas simple posible, evitando generalismos que aestas alturas son inconducentes.

8.2 Modelo de intermcambio de 2× 2

Supongamos que en la economıa hay dos personas, indexadas por i = 1, 2, las que poseen ciertas dota-ciones iniciales de los dos unicos bienes que hay en la economıa. Estas dotaciones seran representadaspor wi = (wi1, wi2) ∈ R

2+, donde i = 1, 2 indexa al individuo. La cantidad total de bienes que hay en

la economıa es, por tanto,

w = (w1, w2) = (w11, w12) + (w21, w22) = (w11 + w21, w12 + w22) ∈ R2+.

Las dotaciones iniciales pueden ser herencias, regalos, etc. En definitiva, conforman todos aquellosbienes (recursos) que definen lo que el individuo posee en la vida.

Si el precio de la economıa fuera p = (p1, p2) ∈ R2+, entonces el individuo i = 1, 2 posee una riqueza

igual al valor de sus dotaciones a los precios indicados, es decir, si denotamos la riqueza del individuoi por ri, se debe cumplir que

ri = p1wi1 + p2wi2, i = 1, 2.

Note que en este modelo la riqueza de cada individuo es endogena al individuo, pues depende de susdotaciones iniciales. Pero ademas, la riqueza es funcion del acuerdo social entre los individuos respectocomo se valoran de los activos que cada uno de ellos posee (el precio).

Supongamos ahora que las preferencias de los individuos son definidas por funciones de utilidadque dependen del consumo de los dos bienes que existen en la economıa. Para el individuo i = 1, 2,supongamos que a partir de un consumo de x1 unidades del bien 1 y x2 unidades del bien 2, su utilidades

ui(x1, x2).

Con esto, dado un precio p = (p1, p2) de los bienes, el consumidor i = 1, 2 puede acceder a solo aque-llos para los cuales la riqueza alcanza. El conjunto de todos los bienes que un determinado invidividuopuede comprar (en rigor, intercambiar) define lo que en economıa se llama conjunto presupuestario delindividuo. Claramente este conjunto depende de los precios de los bienes, y de las dotaciones inicialesdel individuo. Para un agente con dotaciones iniciales wi1, wi2, siendo los precios de los bienes igualesa p = (p1, p2), el conjunto presupuestario corresponde a

B(p, (wi1, wi2)) = {(x1, x2) ∈ R2 | p1x1 + p2x2 ≤ p1wi1 + p2wi2}

134


es decir, todas aquellas canastas de bienes para las cuales alcanza la riqueza. Graficamente el conjuntopresupuestario es como sigue:

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p=(p ,p )1 2

w=(w ,w )i1 i2

(x,y)xxxxxxxxx xx

xxxx

(x*,y*)xxxxxxxxx

Que la canasta (x1, x2) este en el conjunto presupuestario significa que el individuo correspondientelo puede comprar (puede acceder a el). Geometricamente, esto corresponde a que dicho vector deconsumo este en el interior del conjunto presupuestario (como el punto (x, y) en la figura), o inclusoen la frontera del mismo (recta presupuestaria, como en el caso del punto (x∗, y∗) de la figura.

Una cuestion que es importante respecto del conjunto presupuestario, es que las dotaciones inicialessiempre estan en la frontera superior del mismo. Esta frontera superior se llama recta presupuestaria,y esta conformada por todos aquellos puntos que satisfacen la siguiente ecuacion (individuo i):

Recta presupuestaria :{(x1, x2) ∈ R

2 | p1x1 + p2x2 = p1wi1 + p2wi2

}.

De las definiciones anteriores, se tiene la siguiente proposicion que nos ayudara mucho en la vida.

Proposicion 8.1 Dados p = (p1, p2), (wi1, wi2) y λ > 0, se tiene que

B(p, (wi1, wi2)) = B(λp, (wi1, wi2)).

Prueba. La demostracion es muy simple. Supongamos que (x1, x2) ∈ B(p, (wi1, wi2)), entoncesp1x1 + p2x2 = p1wi1 + p2wi2 y luego, multiplicando toda la desigualdad por λ > 0 se tiene que

(λp1)x1 + (λp2)x2 ≤ (λp1)wi1 + (λp2)wi2

es decir, que el individuo puede comprar dicha canasta si los precios fueran λp1 y λp2, con lo cual(x1, x2) ∈ B(λp, (wi1, wi2)). La reciproca es obvia: si

(λp1)x1 + (λp2)x2 ≤ (λp1)wi1 + (λp2)wi2

al simplificar por λ se obtiene lo indicado. �

La consecuencia directa de lo anterior es que los precios se pueden normalizar, no alterando elconjunto presupuestario. De esta manera, sin p’erdida de generalidad, se puede suponer que uno de losprecios de la economıa es uno (digamos, p1 = 1), y el otro es arbitrario. Al bien que se asigna preciouno se denomina numerario. En otras parablas, sismpre podemos suponer que un mercado con dosbienes, uno de ellos (en lo que sigue, el primer bien) tiene precio uno. Otra consecuencia relevante delo anterior es que, finalmente, lo que importa para efectos de determinar las opciones de los individuosson los precios relativos entre los bienes, mas que el precio absoluto de cada uno de ellos.

135


8.3 La demanda en un modelo de intercambio

Supongamos que el precio de mercado es (1, p) ∈ R2 (precio del bien uno es uno, precio del bien dos

es p). Dadas las dotaciones iniciales wi1, wi2 del individuo i = 1, 2, el problema del consumidorse define como aquel problema de optimizacion donde se maximiza la funcion de utilidad sujeta a larestriccion presupuestaria dada por el conjunto presupuestario, es decir,

Pi :

{max ui(x1, x2)

s.a x1 + px2 ≤ wi1 + pwi2.

La solucion del problema del consumidor i = 1, 2 se denomina demanda por el bien respectivo.Denotemos entonces la demanda por el bien uno del individuo i como xi1(p, wi), y aquella para elbien dos como xi2(p, wi). Bajo suopuestos adecuados sobre la funcion de utilidad, la demanda siempreha de estar en la recta presupuestaria de cada consumidor.

Proposicion 8.2 Sean xi1(p, wi) y xi2(p, wi) las demanda por bienes uno y dos del individuo i = 1, 2.Si la funcion de utilidad es creciente por componentes (“mas es mejor”), entonces se cumple que lademanda esta en la recta presupuestaria del individuo, es decir,

xi1(p, wi) + pxi2(p, wi) = wi1 + pwi2.

Prueba. Si la demanda fuera interior, es decir, si se cumple que

xi1(p, wi) + pxi2(p, wi) < wi1 + pwi2,

podemos entonces encontrar otro punto en el conjunto presupuestario que entrega mas satisfaccion queella, lo que obviamente es contradictorio con la definicion de demanda (por definicion, ella es la quemaximiza utilidad dentro de los puntos de dicho conjunto). La siguiente figura nos ilustra cual podrıaser uno de estos puntos.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(1,p )

(x*,y*)

xxxxxxxxx

xxxxxx

(x(p,w),y(p,w))

Si la demanda es interior (como en la figura), entonces el punto (x∗1, x∗2) que se obtiene de prolongar

la demanda segun una recta de 45◦ hasta tocar la recta presupuestaria, es tal que x1(p, wi) < x∗ yademas x2(p, wi) < y∗, con lo cual, dado que la utilidad es creciente por componentes, se tendrıa que

ui(x1(p, wi), x2(p, wi)) < ui(x∗1, x

∗2),

lo que obviamente contradice la definicion de demanda. �

Una consecuencia importante de la Proposicion anterior es que bajo el supuesto indicado, la de-manda se obtiene de resolver un problema mas simple que el original, a saber,

136


{max ui(x1, x2)

s.a x1 + px2 = wi1 + pwi2.

Con esto, en el modelo de 2 × 2 ocurre que la demanda por el bien dos proviene de maximizar lasiguiente funcion

ui(wi1 + pwi2 − px2, x2).

Derivando (regla de la cadena), la condicion de optimalidad es entonces

∂ui∂x1

· ∂[wi1 + pwi2 − px2]

∂x2+∂ui∂x2

= 0 ⇔ ∂ui∂x1

· (−p) + ∂ui∂x2

= 0

es decir,

∂ui

∂x1

∂ui

∂x2

=1

p.

Goemetricmente esta condicion corresponde a que, en la demanda, la curva de indiferencia corre-spondiente es tangente a la recta presupuestaria. Esto se ilustra en la siguiente figura.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(1,p )

xxxxxxxxx

(x(p,w),y(p,w))

Notemos que la demanda depende tanto de las dotaciones iniciales de los individuos como delprecio de los bienes. Si el precio se modifica, entonces la demanda puede cambiar, ya que la rectapresupuestaria modifica la pendiente. Si las dotaciones iniciales se modifican la demanda tambienpuede cambiar, ya que la recta presupuestaria se traslada paralelamente.

8.4 El equilibrio en la economıa

Dado un precio de los bienes (1, p) ∈ R2, y dadas las dotaciones iniciales de los individuos, entonces

cada uno de ellos manisfestara sus intenciones de compra de bienes, que obviamente quedan reflejadasen la respectiva demanda. El cocepto de equilibrio que vamos a definir es uno donde, por un lado,los agentes no tienen injerencia individual en el precio final de los bienes y, por otro lado, el precioque se determine debe ser compatible con la dotacion de recursos que existen en la economıa. Queel precio no pueda ser fijado por ningun agente en particular corresponde a lo que en economıa sedenomina situacion competitiva, de competencia perfecta, modelo competitivo, etc. Que la demandaen el equilibrio sea compatible con la cantidad total de recursos existentes es la llamada condicion deWalras del equilibrio. De todo lo anterior, en lo que sigue vamos a estudiar el equilibrio de Walras enun mercado de intercambio competitivo.

137


Definicion 8.1 Diremos que un precio65 (1, p∗) es de equilibrio para la economıa de intercambio silas demandas de ambos individuos por ambos bienes de consumo son compatibles con la cantidad totalde recursos que existen en la econmıa, es decir, si se cumple que:

x11(p∗, w1) + x21(p

∗, w2) = w11 + w21,

x12(p∗, w1) + x22(p

∗, w2) = w12 + w22.

Un problema central de la economıa es precisamente determinar bajo que condiciones sobre losparametros que definen el sistema economico (funciones de utilidad, dotaciones iniciales) existe unequilibrio economico. El problema es tanto mas complejo cuando mas bienes y mas agantes hay en elmodelo, como ası cuando se introducen firmas en la estructura. Este problema de existencia ha sidoampliamente estudiado en la literatura economica, siendo K. J. Arrow y G. Debreu algunos de susgrandes precursores.

Ejemplo 8.1 Supongamos que las funciones de utilidad de los individuos son funciones de las forma

u1(x1, x2) = xα1 · x1−α2 ,

u2(x1, x2) = xβ1 · x1−β2 ,

y que las dotaciones respectivas son w1 = (w11, w12), w2 = (w21, w22) ∈ R2. Entonces, dado un precio

P ≡ (1, p), el problema del individuo 1 es

{max xα1 · x1−α

2

s.a x1 + px2 = w11 + pw12,

a partir de lo cual, imponiendo las condiciones de optimalidad, se obtiene que

x11(p, w1) =α[w11 + pw12]

1, x12(p, w1) =

(1 − α)[w11 + pw12]

p.

En forma analoga, para el individuo 2 las demandas son

x21(p, w2) =β[w21 + pw22]

1, x22(p, w2) =

(1 − β)[w21 + pw22]

p.

Por lo tanto, P ∗ = (1, p∗) sera precio de equilibrio si

α[w11 + p∗w12]

1+β[w21 + p∗w22]

1= w11 + w21

(1− α)[w11 + p∗w12]

p∗+

(1− β)[w21 + p∗w22]

p∗= w12 + w22.

Aquı aparece un problema, ya que en definitiva hay dos ecuaciones y solo una incognita (p∗). Sinembargo, la siguiente proposicion nos resuelve el aparente dilema.

Proposicion 8.3 Bajo el supuesto “mas es mejor”, en un modelo de 2 × 2 (en rigor, en cualquiermodelo de intercambio), ocurre que si el mercado por el bien 1 esta en equilibrio a cierto precio, entoncesaquel del bien dos necesariamente tambien lo estara a ese precio.

65En realidad, por lo ya visto serıa necesario hablar solo del precio del bien dos, p.

138


Prueba. Si el mercado del bien uno esta en equilibrio al precio P ∗ = (1, p∗), es decir,

x11(p∗, w1) + x21(p

∗, w2) = w11 + w21

sean entonces x∗12 y x∗22 las demanda por bien dos de los individuos al mismo precio. Puesto que lademanda esta en la frontera de los conjuntos presupuestarios (mas es mejor), ocurre que

x11(p∗, w1) + p∗x∗12 = w11 + p∗w12, x21(p

∗, w1) + p∗x∗22 = w21 + p∗w22,

y, por lo tanto, al sumar ambas igualdades, se tiene que

x11(p∗, w1) + x21(p

∗, w1) + p∗ · [x∗12 + x∗22] = w11 + w21 + p∗ · [w12 + w22].

Puesto que el mercado esta equilibrado para el bien uno, se tiene que

x11(p∗, w1) + x21(p

∗, w1) = w11 + w21

con lo cual

p∗ · [x∗12 + x∗22] = p∗ · [w12 + w22] ⇒ x∗12 + x∗22 = w12 + w22,

es decir, el mercado del bien dos tambien esta equilibrado. �

De lo anterior, para el caso 2 × 2 basta entonces con encontrar el precio de equilibrio solo en elmercado del bien uno, ya que ese precio equilibrara el mercado del bien dos. Volviendo al ejemploanterior, de la primera ecuacion

α[w11 + pw12]

1+β[w21 + pw22]

1= w11 + w21

sigue que el precio de equilibrio es

p∗ =(1− α)w11 + (1− β)w21

αw12 + βw22.

Es facil ver que este precio resuelve la ecuacion para el bien dos (ejercicio).

Ejemplo 8.2 Usando el precio de equilibrio del ejemplo anterior, se determinan entonces las demandas(asignaciones) de equilibrio, que para el individuo uno son dadas por x11(p

∗) y x12(p∗) (se reemplaza

p∗ en la expresion de la demanda). Obviamente x21(p∗) = ω11+ω21−x∗11 y x22(p

∗) = ω12+ω22−x∗12.Ası mismo, es posible obtener el ingreso en el equilibrio que para cada individuo es dado por

I∗1 = ω11 + p∗ω12, I∗2 = ω21 + p∗ω22.

Note finalmente que el ingreso de equilibrio depende tanto del precio de equilibrio,como de las dotaciones iniciales. Queda propuesto completar el problema anterior determinandoexplıcitamente el ingreso de equilibrio para cada individuo.

Nota 8.1 Notemos que las asignaciones de equilibrio corresponden a una reasignacion de los recur-sos en la economıa. Condicional al precio de equilibrio, en esta asignacion se tiene que cada individuoesta maximizando la utilidad, por lo que usualmente entregara mas satisfaccion que el consumo de losrecursos iniciales que posee. Esta es la asignacion de intermcambio entre los agentes.

139


8.5 La caja de Edgeworth

Una forma muy util para ilustrar el equilibrio de intercambio con dos bienes y dos agentes es usandola caja de Edgeworth. Supongamos que del bien j = 1, 2 las dotaciones iniciales son wij , coni = 1, 2 denotando al consumidor. Sea entonces wj = w1j + w2j la cantidad total de bien j = 1, 2, enla economıa. Dado esto, un punto de dotaciones inciales cualquiera se puede ilustrar en la siguientefigura.

| |

| |

_

_

_

_

(1)

(2)

w11

w12

w

21w

22

| |

_

_

w

w

2

1

En ella, los origenes para los individuos 1 y 2 son representados por (1) y (2) respectivamente. Elsentido de los ejes (crecimiento) es indicado por la flechas en la figura. De acuerdo a la definicionanterior, de existir equilibrio (asignacion) en la economıa, necesariamente el consumo optimo debe seralguno de los puntos de la caja anterior, pues cualquier punto factible es un punto de la misma.

En la figura que sigue, dada una dotacion inicial wi = (wi1, wi2), i = 1, 2, y dado un precioP ≡ (1, p), se ilustra el conjunto de restriccion presupuestario para ambos individuos. Note que dichosconjuntos no necesariamente han de estar contenidos en la caja de Edgeworth (caso individuo 1).

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

| |

| |

_

_

_

_

(1)

(2)

w11

w12

w

21w

22

p

p

Por otro lado, dado un punto de consumo cualquiera, digamos (xi1, xi2), i = 1, 2, en la siguientefigura se ilustra el conjunto de los preferidos.

140


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(1)

(2)

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

x11

x12

x21

x22

A B

C

Note que, eventualmente, existen puntos que son comunes a los preferidos para ambos individuos(conjunto B en la figura). Finalmente, con el fin de ilustrar un equilibrio de Walras, en primer lugarrecordemos que la demanda de un individuo es el elemento maximal de la preferencia sobre el con-junto presupuestario, que corresponde a aquellos del conjunto presupuestario que intersectados con lospreferidos estrıctamente resulta en conjunto vacıo (es decir, en el conjunto presupuestario no hay nadamejor que la demanda). Por lo tanto, si suponemos que la preferencia es continua, de modo que lospreferidos son la clausura de los preferidos estrictos, se tiene que dichos puntos corresponden a aquellosdonde se verifica la tangencia entre los preferidos y el conjunto presupuestario. La siguiente figurailustra para el individuo 1 la demanda dado un precio p ≡ (1, p) ∈ R

2.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

| |

_

_(1)

d11

d12

p

xxxxxxxxx

w1

Por lo tanto, un precio P ∗ ≡ (1, p∗), y una alocacion (x∗i1, x∗i2), i = 1, 2, sera de equilibrio si

dichos puntos satisfacen las condiciones de tangencia anterior, y ademas la alocacion esta en la caja deEdgeworth (ya que en tal caso respeta la identidad de Walras). Un equilbrio se ilustra en la siguientefigura.

141


| |

11

| |21w

_

_

w12

_

_

w22

(1)

(2)

_

_

12

| |w11

_

_

22

| |21

x*

x*

x*

x*p*

Indif 1Indif 2

Note que:

a.- La tangencia de los preferidos con la recta presupuestaria debe darse en el mismo puntode la caja de Edgeworth para ambos individuos (tal como se ilustra en la figura), pues estogarantiza la identidad de Walras.

b- Para un precio dado, digamos p∗ del bien dos, puede no haber equilibrio ya que la tangencia severifica en “puntos distintos”. La siguiente figura ilustra lo anterior.

| |21w

_

_

w12

_

_

w22

(1)

(2)

| |w11

p*

Indif 1Indif 2

8.6 Optimalidad y teoremas de bienestar

La asignacion de equilibrio es una dentro de muchas que se puedan establecer en la economıa. Porejemplo, en el modelo de intermcabio uno podrıa pensar en asignaciones que son equitativas en el sentidoque a todos los individuos “les toca por igual” en la reparticion de bienes; otras que son inequitativas,donde, por ejemplo, solo a uno de los individuos se le entregan todos los bienes, y nada para el otro,etc.

¿Que es lo que define si una asignacion de bienes es “buena” o “mala‘’? Seguramente la “bondad”o no de una asignacion es, en algun sentido, una cuestion exogena a la economıa, pues proviene de unacuerdo entre todos nosotros para definir la calidad (bondad, equidad, calidad) de la asignacion. Alrespecto, no existe un acuerso universal y objetivo que nos permita decir si una distribucion esbuena o mala: la “calidad” de una asignacion es subjetivo, y muchas veces obedece a razones polıticas,sociales, de derecho, etc., todo en un amplio sentido de la palabra. Para ilustrar la complejidad delproblema de asignacion de recursos, consideremos una situacion donde Uds. deben decidir entregarbienes a personas que los necesitan. ¿Como se hace la signacion sin tener que provocar maletar en

142


algunos, o injusticias en otros? ¿Que significa la equidad o la justicia en la asignaciıon? No es clarocomo abordar el asunto.

Tal vez el unico criterio ampliamente aceptado por la profesion con el fin de calificar una asig-nacion de bienes sea aquel de optimalidad de Pareto, que en definitiva da cuenta de la efecienciaeconomica en la asignacion de los recursos.

Definicion 8.2 Una asignacion de bienes factibles se dice optimo de Pareto si para mejorar a algunode los individuos necesariamente se debe empeorar a otro de la comunidad.

Que la asignacion de bienes sea factible corresponde a decir que la suma de sus componentes coincidecon la cantidad total de bienes de la economıa. Que una asignacion sea optimo de Pareto significa quelos recursos fueron distribuidos de tal forma que nada sobra en la economıa, y/o que no se desperdicianrecursos, y/o que cada uno esta conforme con lo que recibio, sin haber entonces incentivos para queentre los agentes haya una posterior reasignacion de recursos. Por ejemplo, si repartimos todo demanera equitativa, no necesariamente obtenemos una asignacion Pareto, pues esa reparticion no inhibeque luego de una transaccion individual, los individuos puedan llegar a un nuevo acuerdo privado, queimplica una nueva asignacion de recursos, que los deja mejor respecto de la reparticion original.

Mas formalmente, si hay m individuos en la economıa (imaginar m = 2) y si cada uno de ellos tienedotaciones iniciales dadas por wi ∈ R

n (hay n bienes en el mercado, imaginar n = 2) y funciones deutilidad ui : R

n → R, entonces una asignacion de bienes x∗i ∈ Rn, i = 1, 2, · · · ,m, es un optimo de

Pareto si ella es factible, es decir

m∑

i=1

x∗i =m∑

i=1

wi

y si no existe otra asignacion factible, digamos x′i, i = 1, 2, · · · ,m, tal que para todo i = 1, 2, · · · ,mse cumple que ui(x

∗i ) ≤ ui(x

′i) y que para algun i0 ∈ {1, 2, · · · ,m} se cumpla que ui0(x

∗i0 ) < ui0(x

′i0 ):

no se puede mejorar estrictamente a un individuo (el i0) sin tener que empeorar a alguno de los otros,es decir, no puede ser que i0 mejore y que los otros se mantengan igual o mejor en nivel de satisfaccion.

La relacion entre la asignacion de equilibrio competitivo y la Paretianidad conforma lo que eneconomıa se conoce como los Teoremas de Bienestar. Estos son resultados fundamentales eneconomıa.El Primer Teorema de Bienestar plantea que toda asign acion que es un equilibrio com-petitivo es una asignacion Pareto optimal. En otras palabras, la sociedad, al ponerse de acuerdo en losprecios del intermcabio con el fin de maximizar utilidad, esta, finalmente, asignanado eficientementelos recursos. Esta es la famosa mano invisible...

La proposicion recıproca de lo anterior es conocida como el Segundo Teorema de bienestar, y suenunciado es algo mas complejo. Para fijar ideas, supongamos que un “dictador”’ asigna los recursostotales de la economıa. Supongamos que este dictador sabe de algo de economıa, y los asigna de maneraeficiente, en el sentido de Pareto, de tal forma que todos los individuos tocan algo en la reparticion.Alguien entonces podrıa argumentar que esta asignacion esta fuera de mercado, y que obedece solo alcriterio de este dictador, que es arbitraria, etc. Sin embargo, si fuera el caso que el dictador decideargumentar para defender su asignacion, nada mejor para el si pudiese demostrar que efectivamentela asignacion que ha realizado podrıa ser considerada como una asignacion de mercado, donde losprecios son tales que el intercambio competitivo que se produce a los precios indicados (que desconoce)es precisamente la asignacion que impuso. Si el dictador supiese de economıa estarıa seguro que loindicado ocurre, pues el Segundo Teorema de Bienstar afirma que toda asignacion Pareto optima, dondetodos los individuos reciben algo de bienes, es compatible con algun precio de mercado en el sentidoque, a ese precio, se darıa que la asignacion Pareto es exactamente la asignacion de equilibrio que setendrıa. Esto es lo que en economıa se conoce como descentralizacion del Pareto, y constituye unode los resultados mas importantes de la economıa.

Para un modelo de intercambio de 2× 2 es posible identificar los optimos de Pareto de la economıa.En la caja de Edgeworth, el conjunto de los optimos de Pareto conforman lo que se denomina curvade contrato. Esto es relativamente simple, y la idea es como sigue. Dadas las funciones de utilidad

143


u1 y u2, podemos concebir entonces una funcion de utilidad de la sociedad simplemente como lasuma ponderada de las funciones de utilidad de los individuos, es decir, una de la forma

u1 + λu2

con λ > 0 alguna constante (que en principio podrıa ser uno; como veremos, el resultado que seobtiene no depende de la eleccion de esta constante). Dado eso, consideremos el siguiente problema deoptimizacion:

max u1(x11, x12) + λu2(x21, x22)

s.a x11 + x21 = ω11 + ω21

x12 + x22 = ω12 + ω22.

Supongamos que resolvemos el problema anterior, siendo las soluciones x∗11, x∗12, x∗21 y x∗22. En

primer lugar, estas asignaciones de consumo son factibles, ya que cumplen con la restriccion delproblema

x∗11 + x∗21 = ω11 + ω21, x∗12 + x∗22 = ω12 + ω22.

En segundo lugar, veamos que esta asignacion anterior es un optimo de Pareto. En efecto, siexistiese otra asignacion factible, digamos x′11, x

′12, x

′21, x

′22, tal que mejora estrictamente a un individuo

(digamos al uno) manteniendo al otro igual o mejor de lo que estaba originalmente (al tipo dos), esdecir, u1(x

′11, x

′12) > u1(x

∗11, x

∗12) (mejora estrictamente al uno) y u2(x

′21, x

′22) > u2(x

∗21, x

∗22) (mejora

o mantiene igual al tipo dos), entonces se tendrıa que

u1(x′11, x

′12) + λu2(x

′21, x

′22) > u1(x

∗11, x

∗12) + λu2(x

∗21, x

∗22)

lo que es una contradiccion con el hecho que x∗11, x∗12, x

∗21 y x∗22 maximizaba la funcion u1 + λu2 en el

conjunto de las asignaciones factibles.

Proposicion 8.4 Dada una economıa de dos por dos, siendo las funciones de utilidad u1 y u2 y siendolas dotaciones iniciales ωij , i, j = 1, 2, se tiene que los optimos de Pareto de la economıa provienen deresolver el problema de optimizacion

max u1(x11, x12) + λu2(x21, x22)

s.a x11 + x21 = ω11 + ω21

x12 + x22 = ω12 + ω22,

donde λ > 0 es un parametro arbitrario (que podemos suponer igual a uno).

Desarrollemos entonces las condiciones de optimalidad del problema. Para ello, notemos que aldefinir ω1 = ω11 + ω21 y ω2 = ω12 + ω22: dotaciones totales de bienes uno y dos, y haciendo elreemplazo x21 = ω1 − x11 y x22 = ω2 − x12, el problema de optimizacion anterior corresponde a

maxx11,x12

u1(x11, x12) + λu2(ω1 − x11, ω2 − x12).

Ası, derivando c.r a las variables, se tiene que

∂u1(x11, x12)

∂x11+ λ

∂u2(ω1 − x11, ω2 − x12)

∂x11= 0 ⇔

∂u1(x11, x12)

∂x11+ λ

∂u2(ω1 − x11, ω2 − x12)

∂x21· (−1) = 0

lo que corresponde a decir que (deshacer el reemplazo)

∂u1(x11, x12)

∂x11= λ

∂u2(x21, x22)

∂x21.

144


Analogamente para la segunda variable, se tiene

∂u1(x11, x12)

∂x12= λ

∂u2(x21, x22)

∂x22,

por lo que, finalmente, en el optimo de Pareto ocurre

∇x11,x12u1(x∗11, x

∗12) = λ∇x21,x22u2(x

∗21, x

∗22),

es decir, los gradientes de las funciones de utilidad son proporcionales (es decir, linealmentedependientes!), lo que es equivalente a decir que las curvas de indiferencia son tangentes enlos optimos de Pareto. Precisamente esta propiedad es la que caracteriza la curva de contrato:son todos aquellos puntos de la caja de Edgewoth donde las curvas de indiferencia sontangentes. La siguiente figura ilustra lo anterior

Indif1

Indif2

Pareto

Curva deContrato

A

B

| |

_

_

w1

w2

_

_

Ejemplo 8.3 Curva de contrato

Supongamos que las funciones de utilidad de dos individuos son u1(x, y) = xy y u2(x, y) = x2y.Las dotaciones iniciales seran ω1 = (32 ,

12 ) y ω2 = (32 ,

32 ). Luego, las dotacion total es ω = (3, 2).

Para encontrar el (los) optimos de pareto, debemos encontrar todos aquellos puntos de la caja deEdgeworth donde el gradiente de las utilidades es l.d. Para efectos del caculo, note que las variablesdeben ser expresadas en el mismo sistema coordenado. Ası, si (x, y) denota una canasta para elindividuo 1 entonces, (3 − x, 2 − y) denota aquella correspondiente para el individuo 2. Luego, unoptimo de Pareto ha de satisfacer la siguiente condicion:

∇ui(x, y) = λ∇u2(3− x, 2 − y)

es decir66,

(y, x) = −λ(2(3− x)(2 − y), (3− x)2)

de lo cual se tiene que

y

x=

2(2− y)

3− x

es decir,

y =4x

x+ 3, 0 ≤ x ≤ 3.

66Calcular las derivadas parciales de u1 y u2 c.r a sus variables y evaluar en el punto indicado anteriormnente, es decir,(x, y) para 1 y (3 − x, 2− y) para 2.

145


Luego, por ejemplo, x∗1 = (2, 4·22+3 ) = (2, 85 ) y x∗2 = (3 − 2, 2 − 8

5 ) = (1, 25 ) es un optimo de Paretopara la economıa. Note que, respecto del sistema coordenado del primer individuo, la curva de contratoes

y =4x

x+ 3, 0 ≤ x ≤ 3.

Ejercicio 8.1 1. Determine la curva de contrato cuando las funciones de utilidad son u1(x, y) =xαy1−α y u2(x, y) = xβy1−β , esto asumiendo que las dotaciones iniciales son ω1 = (1, a) ∈ R

2 yω2 = (b, 1) ∈ R

2.

2. Muestre formalmente que todo equilibrio de Walras en una economa de 2 × 2 es un optimo dePareto (Primer Teorema de Bienestar).

3. Determine, si existe, el precio de equilibrio y las asignaciones de equilibrio de una economıa dondeu1(x, y) = [xa+µya]1/a y u2(x, y) = [xb+ρyb]1/b, siendo las dotaciones iniciales ω1 = (0, R) ∈∈ R

2

y ω2 = (R, 0) ∈ R2.

4. Consideremos una economıa de 2× 2 y asumamos que los individuos tienen la misma funcion deutilidad u(x1, x2) = xα1 · x1−α

2 , con α ∈]0, 1[. Asumamos ademas que las dotaciones iniciales sonω1 = (1, 1) ∈ R

2 y ω2 = (40, 40) ∈ R2. Determine entonces el precio de equilibrio y muestre que

la razon de ingresos en el equilibrio es 1 : 40. Suponga ahora que un planificador central deciderecolectar la mitad de todos los recursos de la ecnomıa y devolverlos de acuerdo a un porcentajeprefijado. Sea r ∈ [0, 1] la fraccion (porcentaje) de los recursos que se devuelven al individuo uno(por lo tanto el individuo dos recibe (1− r) del total recolectado). Determine el nuevo precio deequilibrio y muestre entonces que la razon de ingresos en el nuevo equilibrio es dado por

IR(r) =I2(r)

I1(r)=

81− 41r

1 + 41r.

9 Complementos: fallas de mercado

Todo el modelo que hemos estudiado hasta el momento descanza en dos supuestos fundamentales. Elprimero es que ninguno de los agantes de la economıa tiene injerencia individual en los precios, y elsegundo que en las decisiones de consumo de los individuos, y de produccion de las firmas, los agantesdeciden sobre las base de funciones objetivo que solo dependen de los bienes por ellos consumidos y deprecios, valores estos que resumen para cada agante los resultados de las decisiones de todos los otrosparticipantes de la economıa.

En ningun caso en el modelo que hemos desarrollado se han considerado hechos relevantes quecomunmente se observan en la realidad y que en alguna medida dan cuenta de situaciones donde,precisamente, las decisiones de cada individuod pueden ser efectadas por las decisiones o acciones delos demas. La unica interaccion que se considera en el modelo usual radica en la igualdad entre ofertay demanda que finalmente debe ser verificada para vaciar el mercado. Como dice Malinvaud, el modelode produccion y consumo, con el que hemos razonado hasta ahora, ofrece una caracterıstica importantea la que debemos prestar atencion: las interdependencias que reconoce entre los agantes se reducen almınimo mas estricto.

Tratar de incorporar con toda generalidad las posibles inter-relaciones entre los agantes de laeconomıa es, en realidad, un trabajo esteril. Lo anterior se debe basicamente a la alta compleji-dad que se alcanza en una estructura economica tan general. El punto no es pensar en estos “supermodelos” que permitan incorporar toda la complejidad de la economıa en un unico modelo, sino masbien considerar algunos tipos de interrelaciones que puedan ser tratadas de manera satisfactoria, yque ademas tengan algun interes en la practica. Precisamente el analisis de los bienes publicos y lapresencia de externalidades en el mercado son dos de las interrelaciones mas relevantes que usualmentese consideran en economıa.

146


9.1 Externalidades

Existe una externalidad en la economıa toda vez que el bienestar de un consumidor o los planesde produccion de una firma son afectados directamente por las acciones de los otros agantes de laeconomıa, de tal forma que la decision sobre tales acciones no depende de un mecanismo de precios.La idea es entonces considerar la existencia de ciertas acciones (y sus consecuencias), que ejecutadas pordeterminados individuos pueden tener efectos en los otros, y de tal forma que las decisiones sobre lasmismas no surgen como resultado de las transacciones entre los individuos, no interviendo ası preciospara determinar los valores finales resultantes.

Ejemplo 9.1 Cuando uno escucha musica, obviamente pago por el disco, por la electricidad, porel reproductor, etc. Si la musica que Ud. escucha es desagradable para otro individuo, Ud. nonecesariamente “internaliza” tales perjuicios en su funcion de utilidad de tal forma que su accion(escuchar musica desagradable o muy fuerte) no tiene un costo para Ud., pero si representa un perjuiciopara el otro personaje. En tal caso, como Ud. no “debe pagar” por escuchar la musica como deseepero ocurre que la utilidad del otro depende de esa decision, estamos entonces en presencia de unaexternalidad en la economıa. En este caso, como la musica que Ud. escucha (o el volumen de lamisma) es “desagradable” para el otro (digamos, es un “mal” y no un “bien”) hablamos de externalidadnegativa. Por el contratrio, si su vecino disfrurta de sus gustos musicales, estamos entonces en presenciade una externalidad positiva. Note que en este ultimo caso no hemos planteado la posibilidad que suvecino le page para que Ud. ponga su musiquita. Tampoco hemos planteado la posibilidad que si sumusica es muy mala, Ud. deba pagar por escuchar, de modo que compense monetariamente su malgusto...

Para modelar la externalidades en la economıa, consideremos un primer caso simple dos individuosy dos bienes. Supongamos entonces que un individuo i = 1, 2 posee una funcion de utilidad ui quedepende del vector de consumo xi = (xi1, xi2) ∈ R

2 y de un nuevo factor e ∈ R. Supongamos ademasque uno de los individuos decide optimamente la cantidad de e (el tipo uno) y que el otro solo recibelas consecuencias, sin tener injerencia en la cuantıa de la misma (el tipo dos). Que el efecto sobreel individuo dos sea “positivo” o “negativo” no es relevante por el momento. Ası, dadas dotacionesiniciales ωi = (ωi1, ωi2) ∈ R

2 de bienes de consumo, al precio de mercado p = (p1, p2) ∈ R2 tenemos

que el problema del consumidor uno es

{maxxi,e

u1(xi, e)

s.a p · xi = p · ωi.

Note que en este problema no hemos supuesto que la cantidad demandada de e aletera la riqueza deltipo. Precisamente esto esta en la naturaleza de la externalidad. Ası, si denotamos por e∗ la cantidadoptima de externalidad del tipo uno, la demanda por bienes sera entonces x1(e

∗). Dada la utilidadindirecta

v∗1 = u1(x∗1, e

∗),

se tiene entonces que

[∂v∗1∂e

]

e=e∗= 0 ⇔

[∂u1∂x11

∂x∗11∂e

+∂u1∂x12

∂x∗12∂e

]

e=e∗= 0

por lo que en el optimo se cumple que

∂u1

∂x11

∂u1

∂x12

= −∂x∗

12

∂e∂x∗

11

∂e

. (70)

Para el tipo dos, su problema de maximizacion de beneficio es

147


{maxx2

u2(x2, e∗)

s.a p · x2 = p · ω2.

De las condiciones de optimalidad sigue que

∂u2

∂x21

∂u2

∂x22

=p1p2. (71)

Por lo tanto, de las ecuaiones (70) y (71) se tiene que, en general,

∂u1

∂x11

∂u1

∂x12

6=∂u2

∂x21

∂u2

∂x22

,

es decir, que la decision optima de externalidad por parte del individuo uno implica una asignacion derecursos que no necesariamente es Pareto eficiente.

A partir de lo anterior, surge entonces la pregunta sobre cual es entonces la cantidad optima dee que deberıa ocupar el individuo uno. La respuesta no es obvia y depende de como se comparenla utilidades de los individuos. En efecto, uno podrıa ir al extremo y considerar que el ruido en laeconomıa no es deseable. Dado esto, el optimo serıa e∗ = 0, y en tal caso el tipo dos estarıa muyfeliz, pero, y esto es lo relevante, el tipo uno estarıa muy descontento. Gana entonces la sociedad? Noes claro. En el ejemplo anterior, ganarıa si la sociedad valora muy poco la preferencia del individuouno y mucho la del dos. Para responder entonces a la pregunta uno deberıa disponer de una forma decomputar algo ası como una “utilidad social” y la decision optima de e∗ es aquella que maximiza estautilidad. Por lo tanto, la respuesta finalmente depende de como se defina la utilidad social...

Con el fin de ser proactivos, supongamos, por simplicidad, que la “utilidad social” es simplementela suma de las utilidades de los individuos. En tal caso, la cantidad optima de e debe ser aquella quemaximice la utilidad anterior sujeto obviamente a la restriccion de factibilidad de los consumos (queno depende de la escogencia de e). Ası, el problema que nos ocupa es

maxx11,x12,x21,x22,e

u1(x11, x12, e) + u2(x21, x32, e)

s.a x11 + x21 = ω1

x12 + x22 = ω2.

Ademas de la condicion de tangencia de las curvas de indiferencia, la solucion de este problemaimplica que

∂u1∂e

+∂u2∂e

= 0.

En otras palabras, la cantidad optima de externalidad que demanda el individuo uno debe ser tal quela suma de las utilidades marginales c.r a la externalidad sumen cero. Es decir, que el beneficio extraque obtiene el individuo uno por consumir una unidad mas de e sea igual a des-utilidad que obtiene elindividuo dos por lo mismo. Si denotamos por e∗∗ el valor de la externalidad que resuelve el “problemasocial” anterior, es claro que en general

e∗ 6= e∗∗.

Lo anterior implica entonces un problema relevante: si el individuo uno “no internaliza” el problemaque le puede causar al individuo dos producto de su gusto por e, ocurre su demanda por externalidadno tiene por que ser compatible con lo que serıa deseable socialmente. La preguna que surge entonceses como “obligar” al individuo uno para que su demanda por externalidad sea e∗∗ y no e∗. Llamemose∗ la solucion privada y e∗∗ la solucion social. Por lo tanto, el tema es como hacer compatible lasolucion social con la privada. Una primera aproximacion para lograr esta compatibilidad parte de laidea de “obligar” al individuo uno a “internalizar el costo” de su externalidad, ya sea vıa el pago de

148


“impuesto” o imponiendo cotas a la demanda. Esta solucion interventora es precisamente la solucionque Pigou propone en su famoso trabajo67. Ası, supongamos que q denota un precio a la externalidad,de tal forma que el problema del consumidor uno es ahora

{max

x11,x12,eu1(x11, x12, e)

s.a p1x11 + p2x12 + te · e = p · ω1.

En el problema anterior hemos internalizado la demanda de e. Este problema tiene una solucion,digamos, x1(p, q) y e(p, q). Claramente si q = 0, entonces e(p, 0) = e∗. Por otro lado, asuminiendo quees posible, podemos imaginar la existencia de un valor q∗∗ tal que

e(p, q∗∗) = e∗∗,

es decir, al imponer precios adecuados (impuestos) podrıamos obligar a que la demanda privada coincidacon la demanda social.

Un enfoque distinto del anterior serıa definir un mecanismo de mercado para lograr el mismoobjetivo. En el caso “pigoviano” la idea es hacer inervenir un tercer agente (el Estado) que fijaimpuestos (precios) segun lo anterior. Sin embargo, si uno define ciertos derechos de los individuosrespecto de la externalidad y permite que estos derechos sean transados en el mercado, ocurre entoncesque bajo ciertas condiciones precisamente esta transaccion de mercado llevara a la misma solucionanterior. Para fijar ideas, supongamos que algun Estado garantiza que el individuo dos deberıa estarlibre de la externalidad e y que, bajo esta premisa, si el individuo uno de todas formas desea usarexternalidad, debe entonces compensar al individuo dos por los efectos que esta pueda provocar. Ental caso, el individuo dos ofrece vender parte de su derecho, permitiendo al tipo uno ocupar ciertacantidad de e, pagando por lo mismo. Si denotamos por q el precio de la externalidad (que sera unavariable endogena, es decir, por determinar al interior del equilibrio), el problema del consumidor unoes

{max u1(x1, e)

s.a p · x1 = p · ω1 − qe,

mientras que aquel del individuo dos es

{max u2(x2, e)

s.a p · x2 = p · ω2 + qe.

En el modelo anterior, el individuo dos tiene el “derecho” a un ambiente libre de la externalidade. Si el individuo uno decide demandar una cierta cantidad e, debe entonces dado un precio q porunidad, debe pagarle al individuo una cantidad qe, la que obviamente se resta de su riqueza. De loanterior entonces, dados los precios, en situacion de optimalidad ocurre que si el individuo uno decideincrementar en una unidad el consumo de externalidad, su utilidad marginal sera ∂u1

∂e , y el costo de estoes −q. Ahora, si el individuo dos decide vender una unidad de externalidad, su des-utilidad marginales ∂u1

∂e , pero recibe una ganancia q. Luego, en situacion optimal se debe cumplir que

∂u1∂e

− q = 0,∂u2∂e

+ q = 0 ⇒ ∂u1∂e

+∂u2∂e

= 0. (72)

Por el lado de los bienes, en el optimo obviamente se debe cumplir la igualdad de tasas marginales desustitucion. Con esto, las condiciones de optimalidad que se obtiene en este problema son las mismasque tenıamos para el problema social antes detallado. Por lo tanto, la solucion de este problemadebe coincidir con dicho optimo social. La gran conclusion es entonces que: definiendo derechossobre la externalidad (es decir, introduciendo un mercado para la misma) y dejando que los individuosintercambien libremente, la demanda optima de externalidad es aquella que se tendrıa como solucionoptima social. En otras palabras, este modelo simple nos muestra que una alternativa a la intervencion

67Ver en http://www.econlib.org/library/NPDBooks/Pigou/pgEW.html

149


a la Pigou es precisamente dejar en claro los derechos de propiedad de los individuos respecto de laexternalidad y dejar que un mecanismo de mercado asigne los recursos. Este resultado, en formasimple, es precisamente el Teorema de Coase68: ante presencia de determinadas externalidades(efectos externos) siempre sera posible la consecucion de una externalidad optima, compatible con elmaximo bienestar social. Esto se lograra a traves de la negociacion entre las partes, bajo el supuestoque (i) que los derechos de propiedad de las distintas partes esten bien asignados, (ii) que no existancostos de transaccion y (iii) que no existan efectos renta.

Nota 9.1 La transaccion de derechos puede tener costos tan elevados que absorban completamente losbeneficios derivados del intercambio. Para fijar ideas, supongamos que una planta quımica muy eficientese instala en la ribera de rıo, de tal manera que para producir necesariamente debe contaminar. Si rıoabajo esta instalada una planta lechera que ocupa agua del rıo, que ex-ante la instalacion de la plantaquımica ocupaba el agua pura para producir, obviamente con la instalacion no podra producir. Si laplanta lechera tiene el derecho a agua pura, entonces la planta quımica se instalara toda vez que lleguea un acuerdo privado con la planta lechera respecto de cuanto pueda contaminar. Si efectivamentecontamina, debera entonces compensar a la planta lechera por un monto que acuerden. Ası, Coasefunciona... Supongamos ahora que no hay planta lechera, de tal forma que ahora los perjudicados sonbanistas del rıo, wuienes genericamente tiene derecho a tener un ambiente libre de contaminacion parasu diversiıon. Para hacer su operacioon, la plan tiene entonces que ponerse de acuerdo con dichaspersonas. Como podra identificar a todos y cada uno de banistas y ponerse de acuerdo con cada unode ellos respecto del monto de la indemnizacion? Siempre apareceran nuevos individuos afirmandoque tenıan la intencion de ir banarse al rıo y que por tanto quieren una indemnizacion. Por otro lado,podrıa aparecer alguno que se aproveche de la situacion de tal manera que estando consciente que puedeimpedir por sı solo que la planta quımica entre en funcionamiento, pedira para sı una indemnizacionexcesiva. En este caso, los costos de transaccion podrıan ser muy altos y con ello no necesariamenteuna solucion de mercado es las que nos llevara al optimo social.

Nota 9.2 Otro efecto que puede ocurrir con el tema de los mercados de derechos, es que producto delas transacciones algunos individuos pueden cambiar la renta y con ello su demanda por ciertos bienes.Si la compensacion es alta, entonces determinados individuos que antes no valoraban la calidad delmedio ambiente pueden ahora, por efecto renta, valorarlo mas de lo que lo hacıan originalmente. Estopuede traer problemas que dificulten la negociacion ya que, por ejemplo, ex post el contrato puedenalegar que no estan de acuerdo con el precio, que se “oponen a la externalidad”, etc. Este efecto rentaes despreciado en el Teorema de Coase.

Nota 9.3 Algunas criticas que ha recibido el enfoque de Coase se deben a Samuelson, quien dice quecon el teorema de Coase usualmente la riqueza no sera maxima aun con costos de transaccion nulos.Lo anterior ya que siempre habra en la negociacion un monopolio bilateral que lleve a un resultadoindeterminado, por miedo a empeorar una situacion de status quo existentre. Coase dice que estaargumentacion es erronea porque si ya habıa contrato, las condiciones del mismo se cumplen, y si nohay contrato no hay condicion que poner en peligro. Dice Coase que Samuelson plantea esto porquequiza considera una situacion en que no existe contrato ni intercambio, al no ponerse de acuerdo laspartes, y ello afecta a las ganancias. En ese caso, es posible que no se maximice la riqueza, pero diceCoase que esas situaciones seran mınimas. Sin embargo Coase no argumenta por que eso es ası, por loque cabe poner en tela de juicio la postura de ambos. Otra crıtica a Coase es que, realmente, existenefectos renta que varıan la asignacion de recursos. Pero lo que hace Coase es suponer un efecto totalde ingreso es cero tras la negociacion, por lo que no deberıa haber una modificacion en la asignacion derecursos que invalide el teorema. En referencia a la asignacion de derechos, Coase afirma que si existencostos de transaccion nulos, aunque cambie la situacion legal la asignacion de recursos no varıa. Encambio dicen sus crıticos que ante una modificacion de las leyes varıa la distribucion de la riqueza, locual da lugar a variaciones de la demanda y consecuentes cambios en la asignacion de recursos. Coaseniega esto, porque se ha explicado ya que la distribucion de riqueza no varıa ante cambios de leyes..

68Para mas detalles y ejemplos, ver R. H. Coase (1994): “La empresa, el mercado y la ley”. Alianza Editorial. Madrid,1994.

150


9.2 Bienes publicos

Cuando (i) una manzana es consumida por un determinado individuo, se acabo la manzana y nadienunca mas podra consumir dicha manzana. Cuando alguien ocupa (ii) una “balza publica” para cruzarun rıo, en el momento de ocuparla prohibe el uso de la misma por cualquier otra persona (balza chica),pero una vez que la ha desocupado cualquier otro individuo puede hacer uso de la misma. Analogocon (iii) una balza por la cual hay que pagar algun peaje: el uso de ella en determinado momentoprohibe el uso de la misma por parte de cualquier otro individuo, pero una vez desocupada, cualquieraque pague el peaje puede hacer uso. Por otro lado, (iv) la senal publica de TV es gratis para todos, anadie le esta prohibido su consumo y ademas cuando alguien disfruta la TV nada implica respecto dela calidad de la senal que otros pueden recibir. Finalmente, (v) en general a nadie le esta prohibidopescar deportivamente en un lago, pero cuando lo hace ocurre que la cantidad de peces disponiblespara el resto de los individuos claramente se ve modificada. Salvo el ejemplo (i), todos los otros dancuenta de lo que en economıa se denominan bienes publicos.

Un bien privado es bien tal que su consumo puede ser hecho por una unica persona de maneraque una vez consumido no puede ser aprovechado por otro individuo y que ademas dicho consumo noimplica externalidades hacia los demas. Por otro lado, un bien publico es simplemente un bien quepuede ser consumido por mas de un individuo, aunque no necesariamente en forma simultanea.

Los bienes publicos pueden a su vez ser clasificados segun sean rivales o excluyentes. Un bienpuublico se dice no rival si el consumo del mismo no reduce la cantidad disponible para otros indi-viduos. Tal es el caso de la senal de TV del ejemplo (iv) anterior. Los peces del lago segun el ejemplo(v) son bienes publicos rivales: son bienes p ublicos por que los peces pueden ser consuimidos porcualquiera, son rivales ya que la cantidad de peces disponibles para el resto dependen de la cantidadde peces que uno de los pescadores haya pescado.

Un bien publico se dice no excluyente si ningun individuo puede ser excluido de su consumo.Ejemplos de no exclusion son la balsa publica (ejemplo (ii), la senal de TV (iv), y los peces del lagosegun el ejemplo (v). Un bien publico excluyente es la balza privada del ejemplo (iii) anterior: es unbien publico (puede ser consumido por varios individuos) pero es escluyente ya que se debe pagar porel uso.

Note que la naturaleza del bien publico nada tiene que ver con sea el sector publico que lo provea.La idea de publico viene de la posibilidad que mas de un agente haga uso y goce del mismo.

Ejemplo 9.2 El bien publico “plaza” es no rival ni excluyente. El bien publico “carretera concesion-ada” es un bien no rival pero excluyente: no es rival ya que el consumo de la cerretera no implicaque la carretera se acabe para el resto; es excluyente ya que para usarla se debe pagar. Sobre estemismo ejemplo, la “carretera libre” es un bien publico no excluyente, que cuando tiene poca demanda(trafico) puede ser considerado no rival. Sin embargo, ante una alta solicitud se convierte en un binepublico rival o, como se plantea por algunos, parcialmente rival. De hecho, en economıa se habla dela congestion como un fenomeno de rivalidad parcial. Finalmente, note que un bien publico rival perono excluyente son los peces de un lago segun el ejemplo (v): es rival ya que el consumo por parte dealgunos obviamente incide en la cantidad disponible para los otros; no es excluyente ya que dificılmentepodrıamos prohibir la pesca deportiva en determinado lago.

Usando los conceptos anteriores, los bienes privados son simplemente aquellos que son rivalni excluyentes: el consumo de un bien privado prohibe el consumo del mismo por parte de otroindividuo (rivalidad) y, por otro lado, su consumo no es ‘libre” ya que se debe pagar por el mismo(excludabilidad).

Por lo anterior, el bien publico es entonces aquel que no es privado, es decir, un bien talque: (a) o no es ni rival ni excluyente, (b) o es rival pero no excluyente, (c)o es excluyente pero norival. Ejemplo de (a) es la plaza, la balza publica anterior, la senal de TV abierta, etc.; ejemplo de(b) son los peces de un lago que son usados para pesca deportiva; ejemplo de (c) es la “balza privada”anterior: no es rival ya que el uso de la balza por alguien no prohibe el uso de la misma por otro, es

151


excluyente ya que se debe pagar por el uso, de tal forma que no todos pueden acceder a la misma. Elsiguiente cuadro resume la nomenclatura que existe al respecto:

Rival No RivalNo Excluyente Bien Publico Puro “Recursos Comunes”Excluyente Bien de club Bien privado

En todo lo que sigue, trabajaremos con bienes publicos puros y consideremos un modelosimple donde en la economıa hay solo dos benes: uno privado y uno publico que elabora una firma apartir de bien privado. Asumimos que hay m consumidores que consumen los bienes privado y publico.Las dotaciones iniciales de bien privado del consumidor i ∈ I = {1, 2, . . . ,m} son ωi ∈ R+ y la funcionde utilidad del tipo es ui. El bien publico puro se asume deseable por todos los individuos. Por lotanto, si y ∈ R+ denota la cantidad de bien publico disponible, entonces de la no rivalidad y la noexclusion del mismo, la cantidad que consume cada individuo es precismente y. Dado esto, si xi ∈ R+

denota el consumo privado, la utilidad del tipo i ∈ I es simplemente ui(xi, y).

Finalmente, denotemos por f la funcion de produccion que elabora bien publico a partir de bienprivado. Ası, dada una cantidad xGi de bien privado aportado por cada individuo para efectos de laproduccion de bien publico, resulta entonces que la cantidad disponible del mismo en el mercado es

y = f

(∑

i∈I

xGi

).

Con esto, dadas las contribuciones del resto de los individuos, asumiendo que el bien privadotiene precio unitario (numerario), el problema del consumidor i ∈ I es entonces

maxxi,xG

i

ui(xi, y)

s.a xi + xGi = ωi

y = f

(xGi +

∑j∈I\{i}

xGj

),

es decir, dado lo que los otros estan haciendo en materia de bien publico, el problema es escogerla cantidad de bien publico y privado conducente a maximizar la funcion de utilidad anterior. Seaδ−i =

∑j∈I\{i}

xGj . Dado esto, el problema del individuo i ∈ I se puede re-escribir como

maxxGi

ui(ωi − xGi , f

(xGi + δ−i

))

La imponer las condiciones de optimalidad sigue que

−∂ui∂xi

+∂ui∂y

∂f

∂xGi= 0,

es decir,

∂ui

∂xi

∂ui

∂y

=∂f

∂xGi,

es decir, que la relacion marginal de sustitucion entre bien publico y privado es igual al productomarginal que se tiene con el aporte individual de bien privado para la provision de bien publico. Estaultima se puede entender a su vez como la relacion marginal de transformacion entre bien publico ybien privado.

Obviamente que lo anterior es condicionar al aporte que han hecho los otros individuos. Esto noaltera el analisis que sigue. Lo relevante es que, desde el punto de vista privado, en el optimo se cumplela igualdad anterior. Veamos ahora si la forma de provisionar bien publico a partir de las decisiones

152


privadas como la anterior es eficiente. Recordemos que para hablar de eficiencia necesitamos definiruna funcion de utilidad social. Sean entonces una funcion de utilidad social de la forma

U =∑

i∈I

αiui.

Dado esto, el problema social para determinar la provision optima de bien publico es

maxxi, z

U(x1, x2, . . . , xm, y)

s.a∑i∈I

xi + z =∑i∈I

ωi

y = f(z).

Para imponer las condiciones de optimalidad, al reemplazar la segunda restriccion en la funcionobjetivo, resulta que el Lagrangeano del problema es

L =∑

i∈I

αiui(xi, f(z)) + λ

[∑

i∈I

xi + z =∑

i∈I

ωi

]

por lo que las condiciones de optimalidad son

αi∂ui∂xi

+ λ = 0

∑

i∈I

αi∂ui∂y

∂f

∂z+ λ = 0.

De la primera ecuacion,

αi = − λ∂ui

∂xi

⇒∑

i∈I

− λ∂ui

∂xi

∂ui∂y

∂f

∂z+ λ = 0 ⇔

∑

i∈I

∂ui

∂y

∂ui

∂xi

=1∂f∂z

.

Como la reciproca de la relacion marginal de sustitucion entre a y b es la relacion marginal entreb y a, lo anterior nos dice que, desde el punto de vista social, la condicion que se debe satisfacer enel optimo es que la suma de las relaciones marginales de sustitucion entre bien publico ybien privado es igual a la relacion marginal de transformacion entre bien publico y bienprivado (las recıprocas de las relaciones marginales de sustitucion entre bien privado y bien publico!).Claramente esta ultima condicion no tiene nada que ver con la “condicion privada” que ya habiamosobtenido.

Una forma de “intuir” el porque la diferencia entre las condiciones sociales y privada segun loanterior viene del hecho que, desde el punto de vista privado, a cada individuo le conviene que seasu vecino quien haga el sacrificio en bienes privados para financiar un bien publico, el cual, ex post,puede utilizar sin problemas. Esto es, ni mas ni menos, que el denominado problema del “free rider”en economıa.

153


Part IV

Apendice: Repaso Matematico

10 La derivada y conceptos relacionados

10.1 Conceptos Basicos

Dada una funcion f : Rn → R, recordemos que la derivada parcial c.r a la variable xj , evaluada enx∗ = (x∗1, x

∗2, ..., x

∗n), se define como:

∂f(x∗)

∂xj= lim

hj→0

f(x∗1, x∗2, ..., x

∗j + hj , x

∗j+1, ..., x

∗n)− f(x∗1, x

∗2, ..., x

∗n)

hj,

es decir, la derivada de la funcion c.r a la variable indicada, asumiendo que todo el resto es constante.

En forma analoga, la segunda derivada parcial c.r a las variables xi, xj (que denotaremos ∂2f(x∗)∂xi∂xj

)

se define como la derivada parcial c.r a xi de la derivada parcial c.r. a xj , es decir:

∂2f(x∗)

∂xi∂xj=∂[∂f(x∗)∂xj

]

∂xi.

En lo que sigue, asumiremos que las dobles derivadas parciales cruzadas son iguales69. En otraspalabras, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el siguiente supuesto:

∂2f(x∗)

∂xi∂xj=∂2f(x∗)

∂xj∂xi, ∀ i, j.

Dadas las dobles derivadas parciales, para una funcion, de varias variables, f : Rn → R, la segundaderivada es una matriz de n×n, llamadamatriz Hessiana, cuyos elementos constituyentes son dichasdobles derivadas parciales. De esta manera, la matriz Hessiana corresponde a:

H(f, x∗) =

∂2f(x∗)∂x1∂x1

∂2f(x∗)∂x1∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂x1∂xn

∂2f(x∗)∂x2∂x1

∂2f(x∗)∂x2∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂x2∂xn

......

. . ....

∂2f(x∗)∂xn∂x1

∂2f(x∗)∂xn∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂xn∂xn

Para el caso de una funcion f : R → R (es decir, de una variable), los conceptos son similares alos anteriores, pero ahora considerando que solo tenemos una unica fuente de variacion (una variable).

Ası, la derivada en x∗, que sera denotada, indistintatemte, como f ′(x∗) o df(x∗)dx o Df(x∗), y sera

definida como:

f ′(x∗) = limh→0

f(x∗ + h)− f(x∗)

h.

De manera natural se define la segunda derivada de una funcion de una variable como la derivadade la derivada. Ası tendremos que70:

69En rigor, para ello basta que las funciones sean dos veces diferenciables y que las derivadas parciales sean continuas,vistas como funcion. En lo que sigue asumiremos tales condiciones, que aunque algo tecnicas, se verifican en la mayorıade los casos de nuestro interes.

70Para definir la derivada de orden n de una funcion de una variable, se procede en forma recursiva: definida la derivadade orden (n− 1), la derivada de orden n en un punto es simplemente la derivada de la derivada de orden (n− 1) en dichopunto. Es decir:

f(n)(x∗) =df(n−1)(x∗)

dx= lim

h→0

f(n−1)(x∗ + h)− f(n−1)(x∗)

h.

Para una funcion de varias variables f : Rn → R, definir una derivada de orden mayor a 2 es complejo. Note que endicho caso, la primera derivada es un vector y la segunda una matriz. Siguiendo con esa logica, la tercera derivada seraun cubo, la cuarta un hipercubo, etc. Muy complejo en notacion y difıcil de interpretar.

154


f ′′(x∗) = limh→0

f ′(x∗ + h)− f ′(x∗)

h.

Geometricamente, la primera derivada se puede interpretar como la pendiente de la recta tangenteal grafico de la funcion en el punto (x∗, f(x∗)) tal como se ilustra en la siguiente Figura 62:

Figure 62: Interpretacion de la derivada como pendiente de la tangente en el punto

f(x∗)

x∗

m = f ′(x∗)

f

Puesto que la pendiente de la recta es m = f ′(x∗) y pasa por el punto (x∗, f(x∗)), la ecuacion dela misma es,

y = f(x∗) + f ′(x∗) · (x − x∗).

Para una funcion de varias variables, la interpretacion geometrica de la derivada parcial correspondea la pendiente de las rectas tangentes segun la direccion de los ejes, tomadas en el plano tangente a lasuperficie que define la funcion. La siguiente figura es ilustrativa de lo indicado:

Figure 63: Derivadas parciales: pendientes de plano tangente para funcion de dos variables

x1

(1)

(x1, x2)

x2 (2)

d2

d1z = f(x1, x2)

155


Algunas reglas basicas de derivacion se resumen en la siguiente proposicion:

Proposicion 10.1 Dadas las funciones f1, f2 : Rn → R, y h1, h2 : R → R y dado α ∈ R se tieneentonces lo siguiente:

a.- ∂[f1+αf2](x)∂xi

= ∂f1(x)∂xi

+ α∂f2(x)∂xi

; [h1 + αh2]′(x) = h′1(x) + αh′2(x): regla de la suma y la

ponderacion.

b.- ∂[f1·f2](x)∂xi

= ∂f1(x)∂xi

· f2(x1, x2) + f1(x1, x2) · ∂f2(x)∂xi

; [h1(x) · h2(x)]′ = h′1(x) · h2(x) + h1(x) · h′2(x):regla del producto.

c.-[h1(x)h2(x)

]′=

h2(x)·h′

1(x)−h1(x)·h′

2(x)

h22(x)

: regla del cuociente (analogo con derivadas parciales).

Tal vez la regla de derivacion mas importantes (y probablemente la mas dıficil de comprender) esla llamada regla de la cadena. Para ilustrar supongamos que un cierto fenomeno economico estamodelado por una funcion f que depende de las variables x1, x2 y x3, las que a su vez dependen delas variables p1 y p2: digamos, xi = xi(p1, p2), i = 1, 2, 3. Sabemos que una pequena variacion en x1implica un cambio en la funcion, el cual puede ser estimado por la derivada parcial correspondiente.En efecto, si inicialmente los valores son x1, x2 y x3 dados, el valor de la funcion es f(x1, x2, x3). Sihay un cambio en δ ∈ R en la variable x1, el cambio en la funcion sera,

∆f = f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3),

y por lo tanto el cambio porcentual sera,

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3)

δ.

Cuando δ es pequeno, este cambio porcentual es aproximadamente la derivada. Ası, tenemos lasiguiente aproximacion:

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3)

δ≃ ∂f(x1, x2)

∂x1.

Luego,

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3) ≃ δ · ∂f(x1, x2)∂x1

.

Notemos en consecuencia que cuando δ = 1 se tiene que,

f(x1 + 1, x2, x3)− f(x1, x2, x3) ≃∂f(x1, x2)

∂x1

lo que justifica el uso de la derivada para medir lo que en economıa denominamos el cambio marginal:como cambia el valor de la funcion cuando una de sus variables aumenta en una unidad.

De todo lo anterior, ademas de la interpretacion de marginalidad, lo relevante es que un cambioen una de las variables xi se puede estimar solo por la derivada parcial correspondiente. Sin embargo,dada la dependencia de las variables en p1, p2, la pregunta que surge ahora es sobre el efecto en lafuncion que tiene un cambio en alguna de estas variables. Vamos por partes. Si p1 cambia en δ,entonces por un lado se veran afectadas las tres variables x1, x2, x2. El efecto en estas se puede estimarpor las derivadas parciales:

∂xi(p1, p2)

∂p1≡ ∂xi∂p1

, i = 1, 2, 3.

Pero, por otro lado, un cambio en las variables xi implica cambios en la funcion, que pueden serestimados por,

156


∂f(x1, x2, x3)

∂xi, i = 1, 2, 3.

Lo que la regla de la cadena establece es que el cambio en la funcion, dado un cambio en p1, essimplemente la suma ponderada de todos los cambios anteriores:

∂f(x1, x2, x3)

∂p1=∂f(x1, x2, x3)

∂x1· ∂x1∂p1

+∂f(x1, x2, x3)

∂x2· ∂x2∂p1

+∂f(x1, x2, x3)

∂x3· ∂x3∂p1

:

Es decir, un cambio en la funcion, dado cambio en p1, es igual a suma de cambios en la funcion, dadoslos cambios en las variables xi (las derivadas parciales ∂f

∂xi) por el cambio en las variables xi, dados

los cambios en p1 (las derivadas parciales ∂xi

∂p1).

Esta es una regla de derivacion muy importante. El siguiente ejemplo ilustra una aplicacion.

Ejemplo 10.1 Dada una funcion de dos variables f(x1, x2), consideremos todos los puntos x1, x2 talesque f(x1, x2) = α, con α constante. En este caso, esta definida una relacion implıcita entre x1 y x2,que se puede obtener de despejar x2 en funcion de x1 de la igualdad anterior. Denotemos dicha relacioncomo x2 = x2(x1). Luego, la expresion funcional se puede reescribir como:

f(x1, x2(x1)) = α.

Derivemos lo anterior con respecto a x1. Ası, aplicando la regla de la cadena, se tiene que:

∂f(x1, x2(x1))

∂x1=∂f(x1, x2(x1))

∂x1· ∂x1∂x1

+∂f(x1, x2(x1))

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1=

∂α

∂x1= 0

pues α no depende de x1. Considerando que ∂x1

∂x1= 1 y despejando de lo anterior, se tiene que

∂x2(x1)

∂x1= −

[∂f(x1,x2(x1))

∂x1

∂f(x1,x2(x1))∂x2

].

Ejercicio 10.1 Suponga que f(x1, x2) = xa1 · xb2.

a.- Despeje x2 en funcion de x1 a partir de la igualdad f(x1, x2) = α. Derive la expresion resultanteen funcion de x1.

b.- Aplique lo visto en el ejemplo para calcular la derivada y compruebe que coincide con lo anterior.

10.2 El estudio del crecimiento

Una aplicacion importante de las derivadas se relaciona con el estudio de crecimiento (o decrecimiento)de las funciones. Recordemos que una funcion f : R → R es creciente si y solo si,

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y),

es decir, si aumenta la variable, la funcion o bien aumenta o se mantiene, nunca disminuye. Si fueraque aumentos estrictos en la variables implican aumentos estrictos en la funcion, se dice que esta esestrictamente creciente:

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) < f(y).

La Figura 64 ilustra la diferencia entre una funcion creciente y una estrictamente creciente:

157


Figure 64: Funciones Crecientes y Estrictamente Crecientes

Creciente Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente

(1)(2)

(3)

(4)

A partir de lo anterior, se tiene la siguiente caracterizacion de una funcion creciente (diferenciable)en terminos de las derivadas:

Proposicion 10.2 Una funcion f : R → R es creciente si y solo si f ′(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. Mas aun, lafuncion es estrictamente creciente si y solo si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ R.

Que la derivada sea positiva, significa que un cambio positivo en x (es decir, un aumento) implicaun cambio positivo en la funcion (derivada positiva); luego, la funcion crece cuando x crece. Por elcontrario, un cambio negativo en x (es decir, una disminucion) implica un cambio negativo en la funcion(para que el cuociente que define la derivada sea positivo), luego la funcion disminuye si x lo hace, esdecir, lo que equivale a decir que la funcion es creciente.

Para el caso de una funcion de varias variables, que una derivada parcial sea positiva significa que,mantiendo constante el resto de las variables, la funcion es creciente c.r a aquella con respecto a la cualse realiza la derivacion.

Finalmente, en forma simetrica al resultado anterior se tiene una caracterizacion de las funcionesdecrecientes:

Una funcion f : R → R es decreciente, si y solo si, su derivada es negativa en todos los puntos de sudominio.

Ahora bien, de la figura anterior notemos que aun cuando las funciones (2) y (3) son crecientes, enel primer caso la derivada es creciente, mientras que para la funcion (3) su derivada es decreciente. Losgraficos respectivos son los siguientes71:

71Para determinar si la derivada es creciente o decreciente utilizando solo el grafo de la funcion, basta ver como cambiala pendiente de la tangente a la curva. Imaginar que se esta esquiando en la curva y ver si el esquı se inclina haciaarriba (creciente) o hacia abajo (decreciente) en la medida que se avanza sobre el eje x. Si el esquı se inclina haciaarriba significa que la derivada es creciente, ya que la pendiente es creciente; por lo tanto es el caso de una funcion cuyaderivada es creciente. No confundir esto con que a su vez la funcion sea creciente o no: una funcion puede tener derivadadecreciente pero ella ser creciente. Un ejemplo de esto es f(x) = ln(x), x > 0: la funcion es creciente (el logaritmo loes), pero su derivada es f ′(x) = 1/x, que es decreciente.

158


Figure 65: Funciones estrictamente crecientes y sus derivadas correspondientes.

Funcion

(2)

(3)

Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente

(3)

(2)

Derivada

Este no es el caso, por ejemplo, de la funcion (4), ya que su deriva es creciente en un rango ydecreciente en otro. Las funciones que tienen, ya sea, derivada creciente o derivada decreciente entodo el rango de su dominio son fundamentales en economıa. Son las llamadas funciones convexas(derivada creciente) o concavas (derivada decreciente). La definicion es un poco mas general que lacaracterizacion anterior72.

10.3 Convexidad

En lo que sigue dedicaremos tiempo a estudiar el concepto convexidad (o concavidad) de funciones,que es fundamental en economıa.

Definicion 10.1 Dados x, y ∈ Rn, f : Rn → R y dado λ ∈ [0, 1] cualquiera, se tiene entonces la

siguiente definicion:

a.- Combinacion convexa de puntos. Una combinacion convexa de los puntos x e y es cualquiervalor de la forma λx+ (1− λ)y ∈ R

n.

b.- Diremos que f es una funcion convexa si

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).

72El concepto aplica, por ejemplo, a funciones de varias variables, a valores reales.

159


c.- Diremos que f es una funcion concava si

f(λx+ (1− λ)y) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(y).

El conjunto de todas combinaciones convexas de dos puntos x e y corresponde al segmento de lınearecta que une ambos puntos. De esta manera, un punto cualquiera de la combinacion convexa de otrosdos se puede entender como un valor promedio ponderado de los mismos, donde los extremos de estospromedios son simplemente x e y. Note que si λ = 1/2 es el promedio simple; si λ = 0 corresponde ay mientras que si λ = 1 corresponde a x.

De esta manera, utilizando el concepto anterior, la funcion f(·) es convexa si evaluada en el promedioponderado de dos puntos (f(λx+(1−λ)y)), el resultado obtenido es menor que el promedio ponderadode los valores de la funcion (λf(x) + (1 − λ)f(y)). Para el caso de las concavas la situacion es lacontraria: la funcion en la combinacion convexa es mayor que la combinacion convexa de los valoresde la funcion.

La Figura 66 ilustra el concepto de concavidad y convexidad utilizando la definicion anterior:

Figure 66: Concavidad y convexidad

e

d

c

b

x a y

En la figura, a = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1] (promedio ponderado de x e y); b = f(a) (valor de lafuncion en el promedio), c = f(x), e = f(y), d = λc+ (1− λ)e (promedio ponderado de los valores dela funcion); como hay convexidad, se tiene que d ≥ b como se muestra en la figura.

Graficamente las funciones convexas pueden ser como aquella de la figura anterior. Sin embargo,la forma puede variar un poco, tal como se muestra en la Figura 67 que ilustra cuatro graficos defunciones convexas:

Figure 67: Funciones convexas

160


Una forma sencilla de caracterizar la convexidad de funciones es a traves de sus derivadas. Yasabemos que para funciones de una variable, la convexidad (concavidad) se tiene cuando la primeraderivada es creciente (decreciente). Pero, una funcion es creciente (decreciente) si y solo si su derivadaes positiva (negativa). Por lo tanto, una funcion sera convexa (concava) si y solo si su derivada segunda(derivada de la derivada) es positiva (negativa). Esto se resume en la siguiente proposicion fundamental.

Proposicion 10.3 Una funcion dos veces diferenciable f : R → R es convexa (concava) si y solo sif ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) ≤ 0) para todo x en el dominio.

Para el caso de una funcion de varias variables, la caracterizacion en terminos de la segundasderivadas parciales es algo mas compleja de enunciar. De hecho, el resultado que se tiene es el siguiente:una funcion f : Rn → R es convexa, si y solo si, su matriz Hessiana es semi-definida positiva en todoel dominio. Esta condicion tecnica se tiene cuando, por ejemplo, los valores propios de dicha matrizson mayores o iguales a cero. Un caso particular importante (dos variables) es el siguiente.

Proposicion 10.4 Dada una funcion f : R2 → R, se tiene que es convexa si y solo si

∂2f(x1, x2)

∂x21+∂2f(x1, x2)

∂x22≥ 0

y ademas

∂2f(x1, x2)

∂x21· ∂

2f(x1, x2)

∂x22−[∂2f(x1, x2)

∂x1∂x2

]2≥ 0.

Para el caso de las concavas, las condiciones son que la primera suma sea negativa y que la segundadiferencia sea positiva.

Definicion 10.2 Dada una funcion f : Rn → R diremos que:

a.- La funcion es homogenea de grado k ∈ N, k 6= 1, si cumple que para todo t > 1

f(t · x) = tk · f(x).

b.- La funcion es homogenea de grado 1 si cumple que para todo t > 0

f(t · x) = t · f(x).

c.- La funcion es separable si existen n funciones fi : R → R tales que:

f(x1, x2, ..., xn) = f1(x1) + f2(x2) + ...+ fn(xn).

Ejemplo 10.2 Sean α y β dos reales positivos. Dadas las siguientes funciones

i. f1(x1, x2) = xα1 + βxγ2 , α 6= γ

ii. f2(x1, x2) = xα1 + βxα2

iii. f3(x1, x2) = xα1 · xβ2iv. f4(x1, x2) = xα1 · x1−α

2

v. f5(x1, x2) = xα1 + x1−α2

se tiene que: f1 es separable; f2 es separable y homogenea de grado α; f3 no es separable pero eshomogenea de grado α+ β; f4 es homogenea de grado 1; f5 es solo separable.

161


10.4 Optimizacion

Para terminar con esta introduccion matematica, vamos a establecer las condiciones de optimalidad deun problema de optimizacion. En primer lugar, consideremos el caso simple de una funcion f : R → R,la que deseamos optimizar sin restricciones. Para ello, previamente necesitamos algunas definicionesbasicas.

Definicion 10.3 Dada f : R → R, diremos que un punto x∗ es:

a.- un maximo local de la funcion si existe un intervalo (x∗ − δ, x∗ + δ) tal que f(x∗) ≥ f(x), ∀x ∈(x∗ − δ, x∗ + δ).

b.- un maximo global de la funcion si f(x∗) ≥ f(x), para todo x ∈ R.

c.- un mınimo local de la funcion si existe un intervalo (x∗ − δ, x∗ + δ) tal que f(x∗) ≤ f(x), ∀x ∈(x∗ − δ, x∗ + δ).

d.- un mınimo global de la funcion si f(x∗) ≤ f(x), para todo x ∈ R.

La diferencia entre local y global esta simplemente en que para el concepto local se exige la condicionsolo en un entorno del punto, mientras que para el concepto global se pide para todo el dominio de lafuncion.

La Figura 68 ilustra los conceptos anteriores:

Figure 68: Mınimos y Maximos Locales y Globales (1)

a b c d e f g

En la figura, los puntos a, c, e, g son maximos locales, y los puntos b, d, f son mınimos locales.De ellos, g es maximo global y b es mınimo global.

Para determinar que puntos son maximos o mınimos locales o globales de una funcion dada, seprocede de la siguiente forma:

a.- Se encuentran todos los puntos que satisfacen la relacion

f ′(x) = 0.

Esta es la llamada condicion de optimalidad de primer orden o condicion necesaria deoptimalidad. Supongamos que los puntos candidatos son x1, ..., xk.

b.- Se evalua la segunda derivada en los puntos candidatos anteriores. Si ella es negativa en xi setiene que dicho punto es un maximo local de la funcion; si la segunda derivada es positiva enxj se tiene que es un mınimo local de la funcion73.

73En lo que sigue no vamos a considerar el caso en que la segunda derivada es nula en el punto candidato. En rigor,existe una regla mas general que pueden revisar en cualquier libro de calculo.

162


c.- Para saber cual de ellos es el optimo global, se evalua la funcion para decidir.

Geometricamente la situacion es como sigue:

Figure 69: Mınimos y Maximos Locales y Globales (2)

a b c d e f g

f ′ = 0; f ′′ > 0

f ′ = 0; f ′′ < 0

Una cuestion importante: notemos que si la funcion objetivo es convexa, entonces se tiene quef ′′(x) > 0 para todo x. Por lo tanto, cualquiera que sea el punto canditato que verifica la condicionde primer orden, necesariamente sera un punto de mınimo local: la funcion convexa no puede tenermaximos locales pues nunca sera satisfecha la condicion de segundo orden. Mas aun, se puede mostrarque una funcion convexa tiene un unico mınimo global, el cual, como sabemos, se encuentra a partirde las condiciones de primer orden. Analogo con las funciones concavas y los maximos. Esta es otrapropiedad muy importante de las funciones concavas y convexas.

Supongamos que ahora nos preocupa el problema de optimizar una funcion de varias variablesf : Rn → R. Para encontrar maximo y mınimos locales, el procedemiento es el mismo que antes, soloque ahora la primera derivada igual a cero se reemplaza por el gradiente igual a cero, es decir, que todaslas derivadas parciales sean nulas (condicion de primer orden), mientras que la condicion de segundoorden corresponde a Hessiano definido positivo (mınimo) o Hessiano definido negativo (maximo).

Sin embargo, si la funcion objetivo es convexa, al igual que en el caso de una variable, no serequiere de condiciones de segundo orden para decidir si el punto candidato es mınimo local o global:las funciones convexas tienen un unico punto que verifica las condiciones de primer orden y ese puntoes mınimo global. Analogo con funciones concavas y maximos globales.

Siguiendo con esta lınea, lo que nos preocupa ahora es resolver un problema de optimizacion (maxi-mizacion o minimizacion), pero considerando que existen restricciones sobre las variables, restriccionesque seran resumidas en un conjunto S ⊆ R

n. Para simplificar el analisis, vamos a suponer que S estadefinido por igualdades de funciones: supongamos dadas m funciones hi : R

n → R, i = 1, ...,m, talesque,

S = {x ∈ Rn | hi(x) = 0, i = 1, ...,m}.

El problema que nos ocupa es entonces:

S = {x ∈ Rn | hi(x) = 0, i = 1, ...,m}.

El problema que nos ocupa es entonces:

{min (max) f(x)

s.a hi(x) = 0, i = 1, ...,m

163


Diremos que un punto que verifica las restricciones del problema (hi(x) = 0, ∀i = 1, ...,m) esun punto factible del mismo. De esta manera, nuestro asunto consiste en encontrar, dentro de lospuntos factibles, aquel que minimice (maximice) la funcion objetivo f . El problema es que no existeregla general que nos permita encontrar directamente los optimos globales de la funcion, ası que soloesperamos disponer de un criterio que nos permita encontrar los optimos locales de la misma, paradespues analizarlos para determinar cual de ellos es global.

Para establecer las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden, vamos a introducir elLagrangeano del problema de optimizacion.

Definicion 10.4 Dado el problema de optimizacion,

{min (max) f(x)

s.a hi(x) = 0, i = 1, ...,m

definamos la funcion,

L : Rn × Rm → R

tal que,

L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x) +m∑

i=1

λi · hi(x).

Esta funcion es el denominado Lagrangeano del problema de optimizacion.

Con lo anterior se tiene que bajo condiciones bastantes generales sobre la funcion, si x∗ es un puntomınimo (maximo) local de f sujeto a las restricciones hi(x) = 0, i = 1, ...,m, entonces existen valoresλ1, λ2, ..., λm ∈ R tales que,

∂f(x∗)

∂xi+

m∑

j=1

λj∂hj(x

∗)

∂xi= 0, i = 1, ..., n,

es decir, el gradiente de la funcion objetivo y los gradientes de las restricciones son linealmentedependientes en el punto en cuestion. Si a esto agregamos las restricciones del problema, se tiene unsistema de n+m ecuaciones con n+m incognitas, el cual en teorıa podemos resolver.

Es importante senalar que cuando la funcion objetivo es convexa, las condiciones anteriores derivanen ecuaciones que permiten el punto de mınimo global de la misma sujeto a las restricciones delproblema; por el contrario, si la funcion objetivo es concava dichas condiciones nos permiten encontrarel punto de maximo global de la misma sujeto a las restricciones.

En general, las condiciones de Lagrange son solo necesarias y en rigor, salvo el caso concavo -convexo, se requiere de condiciones de segundo orden para determinar si el punto candidato es maximoo mınimo local.

En todo lo que sigue, supondremos que el problema de optimizacion planteado estal que con las condiciones de primer orden se encuentra directamente la solucion, sinnecesidad de utilizar condiciones de segundo orden. Como se ha indicado, este es el casode problemas de maximizacion con funciones objetivo concavas y de minimizacion confunciones objetivo convexas.

Ejemplo 10.3 a.- Dadas las funciones f1(x, y) = sen(a · x2 · y), f2(x, y) = [a · xr + b · yr]1r se tiene

que (verificar),

∂f1(x,y)∂x = 2 a x y cos[a x2 y]

164


∂2f1(x,y)∂x2 = 2 a y cos[a x2 y]− 4 a2 x2 y2 sen[a x2 y]

∂f2(x,y)∂x = a x(−1+r) · (axr + byr)

−1+(1/r)

∂2f2(x,y)∂x2 = a2 · (−1 + 1/r)rx−2+2/r(axr + byr)

−2+1/r+ a(−1 + r)x−2+r(axr + byr)

−1+1/r

∂2f2(x,y)∂x∂y = (ab)(−1 + 1/r)rx−1+ry−1+r(axr + byr)

−2+(1/r)

b.- Dada la funcion f(x, y) = bx + x2 + cy − axy + 5y2, recordemos que las condiciones necesariasde optimalidad son:

∂f(x, y)

∂x= 0,

∂f(x, y)

∂y= 0.

En este caso, el punto que satisface el sistema anterior para la funcion dada es el siguiente:

x∗ = 10b+ac−20+a2 e y∗ = ab+2c

−20+a2 .

Finalmente, viendo el ejemplo 1.1.2, si fuera que 20− a2 ≥ 0, entonces el punto encontrado es unmınimo global de la funcion, ya que esta es convexa.

Para terminar con esta introduccion matematica, es necesario hacer la siguiente consideracion muyimportante. Supongamos que estamos interesados en resolver el siguiente problema de optimizacion:

{min f(x)

s.a x ∈ S

es decir, maximizar la funcion sujeto a que la variable vive en S, que es un conjunto de restriccionesdado. A modo de ejemplo, S puede representar restricciones presupuestarias, de capital, tecnologicas,etc. El punto es el siguiente: supongamos que hemos resuelto el problema anterior y hemos encontradouna solucion que denotamos xS . Luego, el valor de la funcion en dicho punto es f(xS), que pordefinicion de maximo satisface que

f(xS) ≥ f(x), ∀ x ∈ S.

¿Que sucede con el valor de la funcion si cambiamos la restriccion por T , de modo que T es masgrande que S ( es decir, S ⊆ T )? En tal caso, si denotamos por xT la nueva solucion, ya que xS ∈ Tnecesariamente se cumple que, f(xT ) ≥ f(xS). En otras palabras, al aumentar el tamano del conjunto,necesariamente el valor de la funcion aumenta: en el peor caso se mantiene igual, nunca empeora. Estaes una cuestion muy importante. Para ilustrar sus consecuencias en la vida cotidiana, imaginemos quepara ir de vacaciones tenemos restricciones de dinero, digamos, solo podemos gastar 100 (lo que definela restriccion). Con esos 100, podemos pasarlo bien haciendo lo que hagamos. Sin embargo, si fueraque ahora tenemos 150 (conjunto de restriccion mas grande, mas posibilidades), es claro que con lanueva restriccion podemos, en particular, hacer exactamente lo mismo que con los 100. Pero ahora seagregan nuevas posibilidades que antes no tenıamos, por lo tanto, en el peor caso lo pasaremos tanbien que cuando tenıamos 100. En consecuencia, en el optimo de pasarlo bien, claramente con 150 lopasaremos mejor que con 100.

Para el caso de minimizar una funcion, la situacion es exactamente la contraria, ya que ahora elmınimo se escoge en un conjunto que es mas grande, lo que entrega mas posibilidades para encontraruno que otorge un valor mas pequeno. A modo de ejemplo, es claro que el individuo de mas bajaestatura del curso es al menos mas alto que el individuo mas bajo de la promocion, que a su vez engeneral es mas alto que el individuo mas bajo de la facultad, que a su vez, en general, sera mas altoque individuo mas bajo de Santiago, etc. Los valores mınimos se hacen cada vez mas pequenos en lamedida que el conjunto de restriccion se hace mas grande; caso contrario con los maximos.

165


11 Funciones Importantes

A continuacion vamos a estudiar algunas funciones que seran muy utiles al momento de estudiar elcomportamiento de los consumidores y de las firmas. Siendo funciones de utilidad en el primer caso, yfunciones de produccion en el segundo.

11.1 Homogeneas

Definicion 11.1 Diremos que una funcion de f es homogenea de grado n si para todo t > 0 secumple que:

f(tx1, tx2) = tnf(x1, x2).

En particular, la funcion de es homogenea de grado 1 (de ahora en adelante, simplemente ho-mogenea) si,

f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).Derivando c.r. a t la funcion homogenea, se cumple que74:

df(tx1, tx2)

dt=∂f(tx1, tx2)

∂x1· x1 +

∂f(tx1, tx2)

∂x2· x2 = f(x1, x2).

Luego, evaluando en t = 1 se obtiene la llamada identidad de Euler para funciones homogeneas:

∂f(x1, x2)

∂x1· x1 +

∂f(x1, x2)

∂x2· x2 = f(x1, x2),

es decir, la funcion es igual a la suma de las derivadas parciales (para cada una de las variables) por lacantidad de estas. A modo de ejemplo, las siguientes funciones son homogeneas del grado indicado:

1.- f(x1, x2) = a · x1 + b · x2: grado 1.

2.- f(x1, x2) = a · x1 · x2: grado 2.

3.- f(x1, x2) = a · xα1 + b · xα2 : grado α.

4.- f(x1, x2) = a · xα1 + b · xβ2 : no es homogenea de algun grado.

5.- f(x1, x2) = a · xα1 · xβ2 : homogenea de grado (α+ β).

11.2 Cobb-Douglas

Definicion 11.2 La funcion Cobb - Douglas se define como:

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ2 ,donde a, α, β son reales positivos. Note que esta funcion de produccion es homogenea de grado (α+β).

Por otro lado,

∂f(x1, x2)

∂x1= aαxα−1

1 · xβ2 ,∂f(x1, x2)

∂x2= aβxα1 · xβ−1

2 .75

Ademas, se tiene que,

74Aplicar la regla de la cadena.75Las cuales corresponderan a las Utilidades Marginales (ver Definicion (1.3) ) y a las Productividades Marginales (ver

Definicion (4.4)), del factor o bien 1 y 2, respectivamente.

166


f(x1, x2)

x1=a · xα1 · xβ2

x1= a · xα−1

1 · xβ2 ,f(x1, x2)

x2= a · xα1 · xβ−1

2 .76

Dado un nivel de satifaccion u0 o producto y, las correspondientes curvas de indiferencia e isocuantasestan definidas por los puntos (x1, x2) tales que,

x2 =u

1β

0

(a · xα1 )1β

, x2 =y

1β

(a · xα1 )1β

.

cuyos graficos son una curva decreciente como se muestra en la Figura (70):

Figure 70: Curvas de Nivel de una funcion Cobb-Douglas

x2

x1 x1

y0y1

y2

x2

u0u1

u2

11.3 CES

Definicion 11.3 La funcion CES (del ingles, Constant Elasticity of Substitution) se define como,

f(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ ,

donde ρ ∈ R, no necesariamente positivo.

Notemos que,

∂f(x1, x2)

∂xi=

1

ρ· [c0 + c1x

ρ1 + c2x

ρ2]

1ρ−1 · ciρxρ−1

i = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2 ]

1ρ−1 · cixρ−1

i , i = 1, 2.

A partir de lo anterior,

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −c1c2

(x1x2

)ρ−1

.

Si c0 = 0, la fiuncion es homogenea de grado 1.

76 En teorıa de la firma esto se le conoce como Productividad Media del factor (ver Definicion (4.5)).

167


11.4 Lineal

Definicion 11.4 La funcion lineal se define como:

f(x1, x2) = αx1 + βx2.

La cual es homogenea de grado uno. Ademas, esta es la funcion asociada a perfectos sustitutos, yasea por el lado del consumo, para el caso de los individuos, como para el lado de la produccion, parael caso de las firmas.

Por otro lado, ∂f(x1,x2)∂x1

= α y ∂f(x1,x2)∂x2

= β, las cuales son constantes a diferencia de los casos

anteriores. Ademas, f(x1,x2)x1

= α+ βx2

x1y f(x1,x2)

x2= β + αx1

x2. Finalmente, las curvas de nivel (curvas

de indiferencia e isocuantas) estan dadas por:

x2 =u0β

− αx1β, x2 =

y

β− αx1

β.

La Figura 71 ilustran lo anterior:

Figure 71: Curvas de Nivel de una funcion Lineal

x2

x1 x1

y0

y1

y2

x2

u0u1

u2

11.5 Leontiev o de Proporciones Fijas

Definicion 11.5 La funcion Leontiev se define como:

f(x1, x2) = min{αx1;βx2},

con α, β > 0. Este tipo de funcion se llama de proporciones fijas, ya que para generar una nivel deutilidad determinado, o producir una determinada unidad de producto se requiere de una proporcionfija de bienes o factores, respectivamente. Esta funcion de produccion es homogenea de grado 1.

Los bienes o factores que participan en una funcion Leontiev se denominan perfectos comple-mentos.

Las derivadas parciales no estan bien definidas en todos los puntos. Sin embargo, cuando tengasentido, cuando cambia la cantidad de uso (ya sea en consumo o produccion), digamos de x1, el nivel

de satisfaccion o de producto, no necesariamente aumenta y luego, en tal caso, ∂f(x1,x2)∂x1

= 0Las curvas de nivel para el caso de una funcion Leontiev, son como las senaladas en la Figura 72

168


Figure 72: Curvas de Nivel de una funcion Leontiev

x2

x1 x1

y0

y1

y2

x2

u0

u1

u2

169

apunte rivera, microeconomía 1

Economy & Finance