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  • APUNTE DE TRINGULO

    CLASIFICACIN

    Los tringulos se clasifican

    a ) segn sus lados en:

    i ) escaleno, si sus tres lados tienen distinta magnitud.

    ii ) issceles, si tiene dos lados congruentes. Al tercer lado se le denomina base.

    iii ) equiltero, si sus tres lados son congruentes.

    Ejemplo:

    Tringulo escaleno Tringulo issceles Tringulo equiltero

    Apunte 1Ejercicios 1

    b ) segn sus ngulos en:

    i ) acutngulo, si sus tres ngulos interiores son agudos.

    ii ) rectngulo, si un ngulo interior es recto. Al lado opuesto a ese ngulo recto se le llama hipotenusa y a los

    otros dos lados catetos.

    iii ) obtusngulo, si un ngulo interior es obtuso.

    Ejemplo:

    Tringulo acutngulo Tringulo rectngulo Tringulo obtusngulo

    Apunte 2Ejercicios 2

    NELSON LILLO TERNJunio 2017

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  • Teorema: en cada tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a 180 .

    Teorema: en cada tringulo, la suma de los ngulos exteriores es igual a 360 .

    Teorema: en cada tringulo, cada ngulo exterior es igual a la suma de los ngulos interiores opuestos a l .

    180360

    a + b + g =d + e + j =j = a + bd = b + ge = a + g

    Ejemplos:

    a + b + g = 180 d + e + j = 360 j = a + b

    Apunte 3Apunte 4Apunte 5

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  • Teorema: en cada tringulo, dos lados son congruentes si y slo si los ngulos opuestos a ellos tambin son

    congruentes.

    a b= a = b

    Apunte 6

    Teorema: en cada tringulo se cumple que la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los

    otros dos lados y mayor que su diferencia absoluta. De manera ms simple, el lado mayor es menor a la suma de

    los otros dos lados.

    Ejemplo:

    BC AB CA6 cm 4 cm 5 cm

    < +< +

    Apunte 7

    SEMEJANZA ( ~ )

    Dos tringulos son semejantes si y slo si, existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que:

    sus ngulos interiores correspondientes son congruentes y

    sus lados homlogos estn en una misma razn.

    Ejemplo: en la figura siguiente se cumple que

    A R B S C T

    AB : RS = BC : ST = CA : TR

    ABC ~ RST

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  • Apunte 8CRITERIOS DE SEMEJANZA

    a ) ngulo - ngulo ( A. A. )

    Dos tringulos son semejantes, si existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que, dos pares de

    ngulos interiores correspondientes son congruentes.

    Ejemplo: en la figura anterior A R B S A B C R S T

    b ) lado - ngulo - lado ( L. A. L. )

    Dos tringulos son semejantes, si existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que, dos pares de

    lados son proporcionales y sus ngulos interiores correspondientes son congruentes.

    Ejemplo: en la figura anterior A B : R S = A C : R T A R A B C R S T

    c ) lado - lado - lado ( L. L. L. )

    Dos tringulos son semejantes, si existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que, sus lados

    correspondientes estn en una misma razn.

    Ejemplo: en la figura anterior A B : R S = B C : S T = A C : R T A B C R S T

    Teorema: si una recta intercepta a dos lados de un tringulo y es paralela al tercero, entonces el nuevo tringulo

    que se forma es semejante al primero.

    L AB ABC DEC|| ~

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  • CONGRUENCIA ( )

    Dos tringulos son congruentes si y slo si, existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que:

    sus ngulos correspondientes son congruentes y

    sus lados homlogos tienen igual medida.

    Ejemplo: en la figura siguiente se cumple que

    A R B S C T

    AB = RS BC = ST CA = TR

    ABC RST

    Apunte 9

    CRITERIOS DE CONGRUENCIA

    a ) ngulo - lado - ngulo ( A. L. A. )

    Dos tringulos son congruentes, si existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que, dos pares de

    ngulos interiores correspondientes son congruentes y los lados respectivos tambin.

    Ejemplo: en la figura anterior A R B S A B = R S A B C R S T

    b ) lado - ngulo - lado ( L. A. L. )

    Dos tringulos son congruentes, si existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que, dos pares de

    lados homlogos son congruentes y los ngulos interiores comprendidos tambin.

    Ejemplo: en la figura anterior A B = R S A C = R T A R A B C R S T

    c ) lado - lado - lado ( L. L. L. )

    Dos tringulos son congruentes, si existe una correspondencia vrtice a vrtice entre ellos tal que, sus lados

    correspondientes son congruentes.

    Ejemplo: en la figura anterior A B = R S B C = S T A C = R T A B C R S T

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  • SIMETRAL

    Definicin

    Una recta es simetral de un tringulo si y slo si, es perpendicular, en su punto medio, a un lado del tringulo.

    En cada tringulo sus tres simetrales se interceptan en un y slo un punto llamado circuncentro ( centro de la

    circunferencia circunscrita al tringulo ).

    Ejemplo: en la figura siguiente S a , S b y S c son las simetrales del ABC y O es el circuncentro.

    El circuncentro se encuentra en

    el interior del tringulo, si y slo si el tringulo es acutngulo.

    la hipotenusa del tringulo, si y slo si el tringulo es rectngulo.

    el exterior del tringulo, si y slo si el tringulo es obtusngulo.

    Apunte 10BISECTRIZ

    Un rayo es bisectriz de un tringulo, si bisecta un ngulo interior o exterior de l.

    Las tres bisectrices de los ngulos interiores de cada tringulo se interceptan en un y slo un punto llamado

    incentro ( centro de la circunferencia inscrita al tringulo ).

    Ejemplo: en la figura siguiente b a , b b y b g son las bisectrices de los ngulos interiores del ABC y O

    es el incentro.

    Apunte 11 NELSON LILLO TERN

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  • Teoremas de Apolonio

    Teorema: En cada tringulo, cada bisectriz de un ngulo interior, divide interiormente al lado opuesto en la razn de

    los otros dos lados.

    Ejemplo: en la figura siguiente b g es bisectriz de ACB . AU : BU = AC : BC

    Apunte 12

    Teorema: en cada tringulo, cada bisectriz de un ngulo exterior, divide exteriormente al lado opuesto en la razn

    de los otros dos lados.

    Ejemplo: en la figura siguiente b j es bisectriz de BCT. AV : BV = AC : BC

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  • TRANSVERSAL DE GRAVEDAD

    Definicin

    Se llama transversal de gravedad de un tringulo, al trazo que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

    las 3 transversales de gravedad de cada tringulo se interceptan en un y slo un punto llamado centro de

    gravedad o baricentro el cual divide a cada una de ellas en la razn 2 : 1.

    las 3 transversales de gravedad de cada tringulo determinan 6 tringulos de igual rea.

    Ejemplo: en la figura siguiente se muestran las transversales de gravedad del ABC y el centro de

    gravedad o baricentro ( G ) . Adems se exponen sus propiedades.

    a b c

    M , N y P son puntos medios