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3.° BIMESTRE - 2016
As mascotes Vinicius e Tom estão torcendo para que você ganhe medalha de ouro na luta contra o
Aedes aegypti! Agora ele não transmite só a Dengue, mas Zika e
Chikungunya também.
Rio2
016.
com
Beha
nce.
com
De
ngue
.gob
.br Elimine os focos do
Aedes aegypti.
EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO CLAYTON BOTAS NOGUEIRA MARCELO FERREIRA MARTINS SALVADOR ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA JULIA LYS DE LISBOA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIGRÁFICA IMPRESSÃO
Contatos CED: [email protected] - [email protected] Telefones: 2976-2301 / 2976-2302
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 3
1. Indique a quantidade de diagonais de cada um dos polígonos:
a) Pentágono b) Octógono
2. Para contornar com fita adesiva uma cartolina, em forma de quadrilátero (representada na figura abaixo), quatro crianças mediram cada um dos lados. Os valores estão representados abaixo, porém com diferentes unidades de medida. De quantos centímetros de fita adesiva, no mínimo, eles irão precisar?
3. Calcule a área dos polígonos:
4. As figuras, apresentadas a seguir, estão representadas em uma malha quadriculada na qual cada quadradinho tem área de 1 𝑐𝑚2 . Encontre a área de cada uma delas:
150 mm
30 cm
30 cm
2 dm
12 𝑚
12 𝑚 3,3 cm
2,5 cm
32 𝑐𝑚
24 𝑐𝑚
10 𝑐𝑚
2 𝑚
3 𝑚
4 𝑚
6 𝑚
d = 𝑛−3 𝑛2
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 4
Multirio
Monômios semelhantes são os
que possuem a mesma parte literal!
a) 𝑎 − 𝑏
7. Reduza os termos semelhantes dos polinômios:
5. Sejam 𝑎 = −3 , 𝑏 = 2 e 𝑐 = 12
. Encontre o valor das expressões algébricas:
b) 𝑏 + 𝑐
c) b ⋅ 𝑐 + 𝑎
d) 𝑐 + 𝑎
6. Pensei em um número, que somado a 17, é igual ao seu triplo subtraído de 1. Qual é esse número?
a) 𝑥2 + 3𝑥 − 5 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 2
b) 3𝑚 − 2𝑛 − 4𝑚 + 2𝑚 − 2𝑛
c) 4𝑦2 + 3𝑦 − 3𝑦 − 7 + 4𝑦2 − 7 − 2𝑦2 + 5
Determine o polinômio que representa
a) o perímetro do quadrado: _________________________
b) o perímetro do retângulo: _________________________
c) o área do quadrado: _______________________
d) o área do retângulo: _______________________
4x
3y
4x
4x
8. Observe os polígonos:
9. Efetue as operações com polinômios:
a) 2𝑥 ⋅ (2𝑥 − 7)
b) 3𝑦 − 4 ⋅ (2𝑦 − 5)
c) 𝑧 − 5 ⋅ (4 − 2𝑧)
Continuad) 2𝑥 − 3 ⋅ (𝑥 + 5)
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 5
f) 1 − 2𝑦 ⋅ (𝑦2 + 5𝑦 − 3)
Multirio
Você percebeu que aplicamos a propriedade distributiva em cada um dos termos
nos parênteses?
e) (3𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥2 − 𝑥 + 2)
10. Faça como no exemplo e efetue as divisões com monômios:
a) 14𝑥3: 7𝑥
b) 12𝑦7: 3y4
c) 140𝑧10: 14𝑧2
d) 35𝑤4: 7𝑤
Para achar o quociente, entre dois monômios, devemos dividir os coeficientes e subtrair os expoentes de mesma base na parte literal.
Exemplo: 14: 7 = 2 𝑥3: 𝑥 = 𝑥2
Assim, 14𝑥3: 7𝑥 = 2𝑥2
11. Efetue as divisões entre polinômios e monômios:
Multirio
Para dividir um polinômio por um monômio, dividimos cada um de
seus termos. Observe:
a) (14𝑥3 − 35𝑥): 7𝑥
b) (12𝑦7 + 3𝑦5): 3y
c) 40𝑎4 − 16𝑎2 : (−4𝑎2)
d) 3c3 − 2c2 + 4c : 𝑐
Exemplo: 14𝑥3:7𝑥 = 2𝑥2 −35𝑥:7𝑥 = −5 Logo, temos que
14𝑥3 − 35𝑥 : 7𝑥 = 2𝑥2 − 5
e) (40𝑤5 − 120𝑤4 + 80𝑤3): 20𝑤2
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 6 PÁGINA 6
CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS
Você sabe a diferença entre circunferência e círculo? Vamos ver dois exemplos para descobrirmos a diferença:
Que diferença você observa entre o anel e a moeda?
______________________________________________________________________________________________________________
A circunferência é o contorno de uma forma circular.
Enquanto que o círculo representa a área delimitada por esta, isto é, possui uma superfície (um preenchimento) no seu interior. Veja:
Assim, o anel pode representar a ideia de ________________
e a moeda pode representar a ideia de _________________.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_rings.JPG
A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de um ponto chamado centro da circunferência. Esta distância é chamada de raio da circunferência.
círculo
circunferência
centro
raios
centro
Uma corda é um segmento que liga dois pontos da circunferência.
Um diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência.
cordas
centro
diâmetros
centro centro
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:10_centavos.jpg
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 7 PÁGINA 7
CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS
Precisamos lembrar que um diâmetro sempre mede o dobro de um raio. De fato, podemos dividir um diâmetro em dois raios. Observe:
diâmetro
raio
raio Multirio
O comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio!
Todo diâmetro é uma corda da circunferência. Na verdade, o diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência e possui o maior comprimento possível naquela circunferência.
cordas diâmetro
1. Observe as figuras. Em seguida, indique quais delas podem representar a ideia de círculo ou de circunferência:
http
s://c
omm
ons.
wik
imed
ia.o
rg/w
iki/F
ile:M
oeda
_de_
25_c
enta
vos_
da_p
rimei
ra_g
era%
C3%
A7%
C3%
A3o
_(fre
nte)
.png
https://comm
ons.wikim
edia.org/wiki/File:E
nge_-_Kirche_2011-08-03_16-32-16_S
hiftN2.jpg
https://comm
ons.wikim
edia.org/wiki/File:C
hain_basketball_hoop.jpg
_____________________
_______________________________________________________________
_____________________
_____________________
_____________________
https://comm
ons.wikim
edia.org/wiki/File:A
rtillery-spoked_wheel.jpg
http
://si
lves
tre.e
ng.b
r/ast
rono
mia
/edu
caca
o/ro
sas/
met
odo/
Vidro da janela
http
s://c
omm
ons.
wik
imed
ia.o
rg/w
iki/F
ile:S
treet
_iro
n_w
ork_
cloc
k.jp
g
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 8 PÁGINA 8
2. Complete, indicando o nome dos segmentos na circunferência:
________________
________________ ________________
________________
________________
3. Utilizando uma régua, desenhe um raio, um diâmetro e uma corda na circunferência abaixo:
Agora, vamos estudar quais são as posições relativas entre um ponto e uma circunferência que estão em um mesmo plano.
Um ponto pode estar em diferentes posições em relação a uma circunferência: externo, interno ou pertencente a ela. Observe:
POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
raio
Um ponto é externo à circunferência quando a distância entre este ponto e o centro da circunferência é maior que o raio.
raio
raio
Dizemos que um ponto é pertencente à circunferência quando a distância entre este ponto e o centro é igual ao raio.
Um ponto é interno à circunferência quando a distância entre este ponto e o centro da circunferência é menor que o raio.
Centro
Centro
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 9
Secante
PÁGINA 9
Já uma reta pode ser exterior, tangente ou secante em relação a uma circunferência no mesmo plano.
Uma reta é exterior quando não encontra a circunferência em
nenhum ponto. Dizemos que uma reta é tangente quando ela possui apenas
um ponto de interseção com a circunferência. Uma reta é considerada secante quando ela cruza a
circunferência em dois pontos diferentes.
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Exterior
Tangente
1. Indique a posição dos pontos em relação à circunferência com centro O:
2. Indique a posição das retas r, s e t em relação à circunferência
3. Nesta circunferência, desenhe um ponto interno e uma reta secante.
A - ____________ B - ____________ C - ____________
r - ____________ s - ____________ t - ____________
t
s
r
e
t
s
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 10 PÁGINA 10
Podemos, ainda, estudar as diferentes posições entre duas circunferências que estão no mesmo plano.
Primeiro, vamos observar duas circunferências secantes, isto é, que possuem apenas dois pontos distintos em comum.
As circunferências tangentes são aquelas que possuem
apenas um ponto em comum. Podem ser tangentes exteriores ou interiores. Vejamos:
POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Duas circunferências que não possuem pontos em comum,
podem ser classificadas como externas ou internas.
Tangentes interiores Tangentes exteriores
Externas
Internas não concêntricas Internas concêntricas
Internas
Quando são internas, podem ser concêntricas, (isto é, ter o mesmo centro) ou não concêntricas.
Secantes
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PÁGINA 11 PÁGINA 11
1. Nessa figura, podemos ver o símbolo dos Jogos Olímpicos.
Indique a posição relativa entre os aros:
Azul e amarelo: ________________________
Preto e vermelho: ________________________
3. Indique a posição relativa das circunferências:
https://commons.wikimedia.org
http
s://c
omm
ons.
wik
imed
ia.o
rg
https://comm
ons.wikim
edia.org
2. Nas figuras abaixo, podemos observar círculos em diferentes objetos. Indique, em cada caso, a posição relativa desses círculos:
____________________
_____________________
Laranja e verde: ________________________
Preto e marrom: ________________________
Azul e rosa: ________________________
Rosa e laranja: ________________________
4. Na figura a seguir, as duas circunferências são tangentes no ponto C, o raio da circunferência de centro B é de 3 centímetros e o da circunferência de centro D é igual a 2 centímetros. Encontre a distância entre o ponto A e o ponto D.
A B C
D
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 12
Arcos de circunferência são partes da circunferência divididas
por dois de seus pontos. Observe os pontos A e B na circunferência
de centro O:
Podemos dividir em dois arcos diferentes: um maior e
outro menor.
A
B
115°
PÁGINA 12
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULO CENTRAL
⌒ ⌒
A
B
O
Para diferenciar estes dois arcos, usaremos um outro ponto P que
pertence ao arco maior. Assim, vamos representar o arco menor como
AB e o arco maior como APB.
Se ligamos os pontos A e B, ao centro da circunferência, os raios
formam dois ângulos correspondentes a cada um dos arcos da
circunferência. Chamamos este ângulo de ângulo central. Leia o
exemplo:
AB APB
A
B
O
P
⌒ ⌒
O ângulo central de 245° é
correspondente ao arco APB.
O ângulo central de _____ é
correspondente ao arco AB.
A
B
P
245° ⌒
⌒
A
B
O
Arco maior
A
B
O
Arco menor
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PÁGINA 13 PÁGINA 13
Arcos, com diferentes comprimentos, podem ter o mesmo
ângulo correspondente. Veja:
O ângulo central de 80°
é correspondente aos
arcos AB e CD. Esse
ângulo é chamado de
medida angular dos
arcos.
⌒ ⌒
Dois pontos em uma circunferência sempre formam dois arcos
cujas medidas angulares somam sempre 360°, que é a medida
angular de uma circunferência completa.
⌒ Se a medida angular do
arco EF é 60°, a medida
angular do arco EPF é
300°, pois
60° + 300° = 360°
⌒
E
P
F
60°
1. Nesta figura, encontre a medida angular do arco ACB,
sabendo que a medida angular do arco AB é 170°.
2. Foi realizada uma pesquisa com os alunos de uma escola
sobre o que eles gostavam de fazer nas horas vagas: praticar
esportes, jogar videogame, ir a praia ou ler livros. O resultado
foi exposto em um gráfico de pizza. Leia:
A
B
C
Vídeo Game
Livro
Praia
𝟏𝟏𝟏𝟏
Esporte
Cada aluno escolheu apenas uma atividade.
Responda:
a) Quais as medidas angulares dos
outros setores do gráfico?
________________________________
________________________________
b) Se foram entrevistados 60 alunos,
quantos escolheram “Esportes”
como resposta?
________________________________
________________________________
A
B
C
D
80°
⌒
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PÁGINA 14
E
F
A
B
P O
A
B
P O
PÁGINA 14
ÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
O ângulo 𝐀𝑷�𝑩 é um
ângulo inscrito na
circunferência.
Multirio
Lembre-se: semirreta é uma parte da reta. Ela é infinita apenas em
uma direção!
Podemos dizer ainda que o ângulo 𝐀𝐏�𝐁 é o
ângulo inscrito correspondente ao arco AB. ⌒
Todos os ângulos inscritos em um mesmo arco são chamados
de congruentes, isto é, possuem a mesma medida.
E
P
F 32°
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Com base no arco EF, apresentado nas
circunferências acima, escolha o ponto
P, no arco tracejado, trace as
semirretas e meça o ângulo formado
por elas, utilizando um transferidor.
E
P
F
32°
E
P F
32°
E
P
F 32°
Ângulo inscrito é aquele em que o vértice é um ponto qualquer da circunferência, sendo seus lados semirretas secantes a ela.
⌒
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 15 PÁGINA 15
Em uma mesma circunferência, ou arco de circunferência,
podemos desenhar o ângulo central e o ângulo inscrito.
Observe a circunferência de centro O, apresentada abaixo.
Vamos desenhar os ângulos central e inscrito correspondentes ao
arco AB.
RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO CENTRAL E O ÂNGULO INSCRITO
⌒ A
B P
O
Traçando os raios 𝐎𝐀 e 𝐎𝐁,
podemos desenhar o ângulo
central 𝐀𝐎�𝐁 correspondente ao
arco AB. ⌒
Em seguida, desenhando as
semirretas 𝐏𝐀 e 𝐏𝐁, encontramos
o ângulo inscrito 𝐀𝐏�𝐁 que
corresponde ao arco AB. ⌒
Assim, aprenderemos uma propriedade muito importante que
será usada em nossas próximas atividades:
A medida do ângulo central, em um arco de
circunferência, é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito
no mesmo arco.
𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏 ⋅ 𝐀𝐏�𝐁
Leia este exemplo:
Se o ângulo inscrito mede 50°, qual
é a medida do ângulo central?
𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏 ⋅ 𝐀𝐏�𝐁 𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏 ⋅ 𝟓𝟏𝟏 𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏𝟏𝟏°
A
B P
O
A
B P
O 𝐀𝐎�𝐁 =?
𝟓𝟏°
A
B P
O . P
x
x x x
y y
y y
2y
A
B P
O
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 16
Nesta figura, o ângulo central é igual a 𝟏𝟏𝟏° . Será que
podemos encontrar o ângulo inscrito 𝐀𝐏�𝐁?
A
B
P O ?
110°
Multirio
O ângulo central é o dobro do
ângulo inscrito.
𝐀𝑷�𝐁 =𝐀𝑶�𝐁𝟏
𝐀𝑷�𝐁 =𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐀𝑷�𝐁 = 𝟓𝟓𝟏
2. Em cada um dos casos, apresentados abaixo, encontre os
ângulos representados pelas incógnitas:
1. Com base na circunferência, apresentada abaixo, classifique
os ângulos como inscrito e central:
𝐹𝑂�𝐺:_______________
𝐹𝐻�𝐺:_______________
F
O
G
H
42° 𝑥
164°
𝑦
36°
𝒃
74°
𝑎
Continua
Multirio
Então, o ângulo inscrito é a metade
do central.
3.° BIMESTRE - 2016
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4. De acordo com a figura, representada abaixo, complete as
sentenças com um dos termos que estão entre parênteses:
a) O segmento 𝑂𝑂 é chamado de __________________ (raio / diâmetro / corda) da circunferência.
b) Podemos dizer que a posição relativa do ponto B à circunferência é ___________________ (externo / interno / pertencente).
c) A posição relativa da reta r à circunferência é ___________________ (secante / tangente / exterior)
d) Podemos dizer que a posição relativa do ponto A à circunferência é ___________________ (externo / interno / pertencente ).
O A
B
r
5. Complete com o ângulo correspondente ao arco CD. ⌒
245°
C
D
P
𝑧
170°
50°
𝑐
3. Escreva as equações envolvendo os ângulos inscrito e
central e, em seguida, encontre o valor das incógnitas:
𝑥 + 15°
3𝑥 − 20°
Exemplo: 2 ⋅ 𝑥 + 15 = 3𝑥 − 20
2𝑥 + 5°
3𝑥 + 50°
𝑥 + 25°
𝑥
3.° BIMESTRE - 2016
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ÁREAS E PERÍMETROS
1- Para um trabalho de Matemática, duas alunas elaboraram um jogo de tabuleiro. Para jogar, elas precisaram construir um retângulo quadriculado em que cada “casa” deveria ser um quadrado de 3 centímetros de lado. Elas montaram o tabuleiro, alternando casas vermelhas e azuis:
3 𝑐𝑚
3 𝑐𝑚
a) Quantos quadradinhos as meninas usaram para fazer o tabuleiro?
_______________________________________________________ b) Qual a área total do tabuleiro? _______________________________________________________ c) Se elas desejarem contornar o tabuleiro com um barbante, de
quantos centímetros de barbante irão precisar? _______________________________________________________ d) Chamamos o cálculo do contorno de uma figura de ____________
_______________________________________________________.
Enquanto conversavam sobre as regras de seu jogo de tabuleiro, as meninas acharam que o jogo ficaria mais interessante se o tabuleiro fosse menor. Então, dividiram o tabuleiro em duas partes:
e) Qual a área de cada um dos novos tabuleiros? _______________________________________________________ f) Para fazer o contorno dos dois tabuleiros, elas vão precisar de
quantos centímetros de barbante? _______________________________________________________
Multirio
Dividimos o tabuleiro em dois tabuleiros iguais!
g) Se elas tivessem dividido o tabuleiro novamente ao meio, qual seria a área de cada um dos 4 tabuleiros? ____________________________ ____________________________ ____________________________
h) E qual seria o perímetro de cada um desses quatro tabuleiros? ________________________________________________________ ________________________________________________________
i) Sendo assim, o total do perímetro desses quatro tabuleiros é _________________________________________________________
j) Que conclusões podemos tirar do ato de cortar a figura ao meio? _______________________________________________________ _______________________________________________________
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 19
2. Encontre o perímetro das figuras, sabendo que elas estão desenhadas na malha quadriculada em que cada quadradinho tem lado igual a 2 cm:
4. Escreva a expressão algébrica que representa a área dos retângulos abaixo:
3. Encontre a área de cada uma das figuras:
Multirio
Se você tiver dúvidas, consulte o caderno do segundo bimestre!
5 m
4 m
3,5 𝑚
2 𝑚
35 𝑚
38 𝑚
45 𝑚
28 𝑚
22 𝑚
𝑥
2𝑥
7𝑦
4𝑦
3𝑧
3𝑧
3.° BIMESTRE - 2016
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Depois de algumas operações com polinômios, vamos
estudar alguns produtos que aparecem com maior frequência
em cálculos algébricos. E, porque aparecem constantemente,
denominamos Produtos Notáveis.
Produto – resultado da operação de multiplicação.
Notável – importante, conhecido, “famoso”.
Vamos ler a seguinte situação:
Sr. Sergio tinha um terreno quadrado de 40 m de lado.
Ele resolveu ampliar seu terreno de forma que ele fique
com dois de seus lados aumentado em 10 metros.
40 m
40 m
Como calcular a parte acrescida do terreno? Vejamos:
A parte ampliada, mostrada em amarelo, pode ser dividida da
seguinte maneira:
Calculando a área de cada parte que separamos, podemos achar a nova área do terreno:
40 + 10 = 50 m
40 + 10 = 50 m
40 m 40 m
40 m
40 m 10 m
10 m
10 m
10 m
40 m
40 m
10 m 10 m
10 m 40 m 10 m
PRODUTOS NOTÁVEIS
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
40 m
Área do quadrado azul: _______
Área de cada retângulo amarelo: _______
Área do quadrado amarelo: _______
Área total da figura: ______________________________________
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 21
Mas você poderia me perguntar:
Para achar a nova área não seria mais fácil fazer 40 + 10 2
ou melhor 502?
Sim. Porém, quando as medidas das figuras são
representadas por variáveis, nem sempre sabemos calcular a
soma destas medidas. Veja:
a a
a
a b
b b
b
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃𝟏
Não é necessário fazer o cálculo de cada área
separadamente. Vamos utilizar os nossos conhecimentos
algébricos?
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Se chamarmos a de primeiro termo e b de segundo termo,
a expressão do quadrado da soma de dois termos ficará:
𝒂 + 𝒃 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃2
1.º termo
2.º termo quadrado do 1.º termo quadrado do
2.º termo
dobro do produto do 1.º termo pelo 2.º termo
a
a
b b
b a b a
𝒂 + 𝒃 𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝟏.𝒂𝒃 + 𝒃𝟏
Multirio
Não sei quanto é 𝑎 + 𝑏!
Multirio
Mas posso calcular cada uma das áreas!
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 22
AGORA,É COM VOCÊ!!!
𝐚 + 𝐛 𝟏 ≠ 𝐚𝟏 + 𝐛𝟏
Observe o resultado se substituirmos a = 3 e b = 4:
3 + 4 2 32 + 42
1) Desenvolva os produtos notáveis do quadrado da soma:
a) 𝑥 + 4 2 = ___________________________________
b) 𝑦 + 7 2 = ___________________________________
c) 3 + 2𝑥 2 = __________________________________
d) 𝑝 + 5 2 =___________________________________
e) 𝑥 + 2𝑦 2 =___________________________________
f) 3𝑏 + 𝑐 2 =___________________________________
g) 4𝑡 + 1 2 =___________________________________
h) 𝑥 + 0,2 2 =___________________________________
i) (m + 12)2=___________________________________
j) 3𝑥2 + 𝑥 2 =___________________________________
k) 𝑦2 + 4𝑦 2 =___________________________________ l) 𝑥3 + 𝑥2 2 =_____________________________
2) Encontre a área dos quadrados: a) b) 3) Dado um quadrado, cujo lado, em cm, é expresso por 3b + 2c, determine: a) o polinômio que representa seu perímetro: ________________
b) o polinômio que representa sua área: ____________________
c) a área, se b for 4 cm e c for 5 cm: _____________________
p + 2
2x + y
7 2 𝟒𝟒
9 + 16 𝟏𝟓 ≠
OBMEP – NÍVEL 2
Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x² + 6xy + y² ? (A) 64. (B) 109. (C) 120. (D) 124. (E) 154.
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 23
40 m
40 m
Também poderíamos resolver, algebricamente, o quadrado da
diferença de dois termos 𝒂 − 𝒃 2:
Se denominarmos o lado do quadrado original (40 m) de a
e a metragem retirada de cada lado do quadrado (10 m)
de b, teremos:
Portanto, a regra do quadrado da diferença de dois termos é
𝒂 − 𝒃 2 = 𝒂2 − 2𝒂𝒃 + 𝒃2
Retornando ao exemplo do terreno do Sr. Sergio...
Seu terreno inicial era um quadrado de 40 m de lado. Ele resolveu
vender a parte amarela representada na figura a seguir:
Então, para calcular a área do terreno, após a venda, teremos que
subtrair as áreas dos dois retângulos e do quadrado amarelos:
A nova área do terreno, após a venda, será de
1600 – 300 – 300 – 100 = 900 𝒎𝟏.
40 m 10 m 10 m 10 m
30 m 10 m 40 m 30 m
𝒂 − 𝑏 2 = 𝒂 − 𝑏 ⋅ 𝒂 − 𝑏
= 𝒂2 − 𝒂𝑏 − 𝑏𝒂 + 𝑏2 = 𝒂2 − 𝟏𝒂𝑏 + 𝑏2
10 m
10 m
40 m
40 m
30 m
1.º termo
2.º termo quadrado do 1.º termo
quadrado do 2.º termo
dobro do produto do 1.º termo pelo
2.º termo
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
30 m= (40-10) m
30 m= (40-10) m
Ou ainda, podemos calcular a área da figura vermelha:
40 − 10 2 = 40 − 10 ⋅ 40 − 10
= 1600 − 400 − 400 + 100 = 900
Lembre-se: ab = ba
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 24
𝒂 + 𝒃 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃2
𝒂 − 𝒃 2 = 𝒂2 − 2𝒂𝒃 + 𝒃2
1) Calcule os quadrados:
a) 𝑦 − 2 2 = ____________________________________
b) 𝑚− 5 2 = ____________________________________
c) 2 − 𝑥 2 = ____________________________________
d) 4𝑚 − 3 2 = ____________________________________
e) 2𝑡 − 5 2 = ____________________________________
f) (𝑥 − 7)2= ____________________________________
g) 𝑦 − 0,3 2 = ____________________________________
h) 3𝑚 − 2𝑛 2 = ____________________________________
i) 𝑎 − 32
2= ____________________________________
j) 2𝑦2 − 𝑦 2 = ____________________________________
k) 𝑥4 − 1 2 = ____________________________________
l) 2𝑓 − 5 2 = ____________________________________
AGORA,É COM VOCÊ!!!
2) O lado do tampo de uma mesa quadrada é expresso por 2x – 4. Determine o polinômio que represente a área deste tampo. 3) Observe, atentamente, o sinal e desenvolva os produtos notáveis abaixo:
a) 𝑚− 3 2 = ____________________________________
b) 2𝑥 − 7 2 = ____________________________________
c) 8 + 𝑦 2 = ____________________________________
d) 3𝑡 − 4 2 = ____________________________________
e) 2𝑎 + 9𝑏 2 = ____________________________________
f) (𝑦2 − 3)2= ____________________________________
g) 4𝑐2 + 𝑐 2 = ____________________________________
h) 𝑚3 + 3𝑚2 2 = ____________________________________
https://ww
w.m
oveldomeujeito.com
.br/index.php/mesa-
quadrada-floratta-1-40x1-40m-tam
po-29mm
-e-pes-quadrados-111m
m.htm
l
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 25
4) Complete os retângulos para que as sentenças sejam
verdadeiras:
a) 𝑥 + 4 2 = + 8𝑥 +
b) − 5 2 = 𝑦2 - 10 y +
c) 𝑚 + 2 = + 6𝑚 + 9
d) − 2 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4
e) 𝑝 + 2 = + 12𝑝 + 36
5) Aplicando o cálculo dos produtos notáveis, desenvolva as
expressões, apresentadas abaixo, lembrando-se de reduzir os
termos semelhantes:
a) 𝑥 + 3 2 + 𝑥 + 5 2 =
b) 2𝑧 + 1 2 + 𝑧 − 2 2 =
c) 𝑚 + 3 2 + 2 . 𝑚− 4 2 =
De um quadrado de lado 𝒂, retiramos um outro quadrado de lado 𝒃. Veja:
Teremos, assim, a seguinte figura:
Assim, as duas áreas acima são equivalentes. Então, podemos
concluir que: 𝑎 + 𝒃 𝑎 − 𝒃 = 𝑎2 − 𝒃2
Multirio
Primeiro, resolva as potências!
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
𝑎
𝑎 𝑏
𝑏
𝑏
𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑎 𝑎 - 𝑏
𝑎
𝑎 − 𝑏
𝑎 𝑎 − 𝑏
𝑎
─
Para calcular sua área, dividimos a
figura em dois retângulos como a figura
a seguir e deslocamos o retângulo azul
para formar um único retângulo:
𝑎 − 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 - 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎+𝑏
𝑏
𝑎 + 𝒃 𝑎 − 𝒃 𝑎2 − 𝒃2
3.° BIMESTRE - 2016
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Resolvendo, algebricamente, o produto (a + b).(a – b), temos:
𝑎 + 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2
= 𝑎2 − 𝑏2
Se chamarmos a de primeiro termo e b de segundo termo, a
expressão do produto da soma pela diferença, entre dois termos, ficará:
(a + b) . (a – b) = 𝒂2 − 𝒃2
1.º termo 2.º termo
Quadrado do 1.º termo
Quadrado do 2.º termo
Como sabemos que 2 . 3 = 3 . 2 , pela propriedade comutativa da
multiplicação, então (a + b). (a – b) é igual a (a – b) . (a + b).
Calcule os valores dos produtos notáveis 𝑥 + 3 ⋅ (𝑥 – 3) e
𝑥 – 3 ⋅ (𝑥 + 3).
𝒂 + 𝒃 . 𝒂 − 𝒃 𝑜𝑜 𝒂 − 𝒃 . 𝒂 + 𝒃 = 𝑎2 − 𝑏2
1) Calcule os seguintes produtos:
a) (x + 5) . (x – 5) = __________________________
b) (t + 7) . (t – 7) = __________________________
c) (11 – y) . (11 + y) = __________________________
d) (2x + 4) . (2x – 4) = __________________________
e) (p + 0,6) . (p – 0,6) = __________________________
f) (m + 17) . (m – 17) = __________________________
g) (5c – 4b) . (5c + 4b) = __________________________
h) (𝑚2 + 9) . (𝑚2 – 9) = __________________________
i) (x + 38) . (x – 3
8) = __________________________
j) (2𝑤2 + 3) . (2𝑤2 – 3) = __________________________
k) (𝑦3 + 𝑦2) . (𝑦3 - 𝑦2) = __________________________
l) (23 + b) . (23 – b) = __________________________
Podemos aproveitar esta regra do produto da soma pela
diferença de dois termos, e facilitarmos alguns cálculos. Vejamos:
41. 39 = (40 + 1). (40 – 1) = 402 − 12 = 1 600 – 1 = 1 599 27 . 23 = (25 + 2) . (25 – 2) = 252 − 22 = 625 – 4 = 621
Ambos possuem resultado igual a 𝒙𝟏 − 𝟒
AGORA,É COM VOCÊ!!!
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PÁGINA 27
2) Observando as dimensões dadas, determine a área de cada
retângulo e de cada quadrado abaixo:
3) Aplicando a regra do produto da soma pela diferença de dois
termos, calcule:
a) 31. 29 ________ b) 42 . 38 ________
c) 101 . 99 ________ d) 73 . 67 ________
4) Alice, ao resolver o produto (2x – 3) . (2x – 3), achou, como
resposta, 4𝑥2- 9. Você acha que ela acertou ou errou? ________
Por quê?
_____________________________________________________
10 − 𝑥
10 + 𝑥
𝑦 + 1
𝑦 + 1
15 − 𝑎
15 − 𝑎
4 + 𝑏
4 − 𝑏
1) Calcule os produtos:
a) 2𝑥 + 5 2 = __________________________
b) 3 − 4𝑦 2 = __________________________
c) (7p – 11) . (7p + 11) =__________________________
d) 4𝑡 − 9 2 =__________________________
e) 3𝑥 − 0,2 (3𝑥 + 0,2) =__________________________
f) (4𝑚2 + 1)2 =__________________________
g) 2. 𝑥 + 6 2 =__________________________
2) Simplifique as expressões: a) 2𝑥 + 1 2 + 𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 2
b) 𝑦 − 3 2 + 𝑦 − 1 . 𝑦 + 1
a + b 2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)(a – b) =𝑎2 − 𝑏2
a − b 2 = a2 − 2ab + b2
Multirio
Nas próximas atividades, utilizaremos os produtos notáveis que já vimos!
AGORA,É COM VOCÊ!!!
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PÁGINA 28
5) Um terreno quadrado tem, em um de seus cantos, uma casa construída. Sabendo que a casa tem o formato quadrado com lado igual a 12 metros, escreva uma expressão que corresponda à área total do terreno. Vamos utilizar a incógnita x para representar os comprimentos do terreno em que não está a casa. Veja na figura:
x 12m
12m
x
6) O Professor Pedro pediu para seus alunos desenvolverem o
produto notável 2𝑎3 − 𝑏2 2 . Natan encontrou 2 𝑎6 − 4𝑎3𝑏2 + 𝑏4
e Pedro achou 4 𝑎3 − 4𝑎3𝑏2 + 𝑏4 . Qual deles estava com a
resposta correta?
7) Leia o polinômio 𝑚𝑛 − 1 2 + 2mn – (1 + mn) (1 – mn). Agora,
desenvolva. Depois, reduza os termos semelhantes:
3) Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira: I. x− 2 2 ( ) x2 + x
II. (2x + 1) . (2x − 1) ( ) 4x2 + 4x + 1
III. 2x− 1 2 ( ) 4x2 − 1
IV. (2x + 1) . (2x + 1) ( ) x2 − 2x + 1
V. (x + 1) . (x − 1) ( ) 4 x2 − 4x + 1
VI. x − 1 2 ( ) x2 − 4x + 4
VII. x x + 1 ( ) x2 − 1
4) Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes: a) 𝑝 − 4 2 + (3𝑝 + 1) . (3𝑝 + 1)
b) (2y – 4) (2y + 4) – 4 𝑦 − 2 2 + 32
3.° BIMESTRE - 2016
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Escrever uma expressão algébrica em forma de produtos de
dois ou mais polinômios é o mesmo que fatorar um número.
Vamos estudar alguns casos?
Tomamos o exemplo 𝑥𝑦 + 2𝑥.
Observe que a variável 𝒙 é um fator dos dois termos: 𝑥𝑦 e 2𝑥.
Para transformar esta expressão em forma de produto, basta
dividir cada termo da expressão pelo fator comum (neste caso, 𝑥). Em
seguida, colocamos o fator comum em evidência, seguido da resposta
da divisão, entre parênteses.
Assim, colocando o fator comum em evidência... Veja:
Outros exemplos:
a) 4x + 6y + 8z =
Fator comum, entre todos os termos, é 2.
Dividindo a expressão algébrica pelo fator comum, acharemos
2x + 3y + 4z.
Colocando o fator comum 2 em evidência, obteremos a forma
fatorada da expressão: 2.(2x + 3y + 4z)
Multirio
Para encontrar o fator comum entre as variáveis, devemos utilizar a letra com
o menor expoente.
Multirio
Para descobrirmos o fator comum entre os coeficientes de cada termo, devemos achar o
maior divisor comum entre eles.
I - FATOR COMUM
FATORAÇÃO
Multirio
Vocês lembram o que significa fatorar um número?
18 2 9 3 3 3 1 18 = 2 . 32
Multirio
E na ÁLGEBRA? O que significa fatorar uma expressão algébrica?
Fatorar o número 18 é escrevê-lo em forma de produto de
números primos.
𝑥𝑦 + 2𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑦 + 2)
𝒙𝒙:𝒙 = 𝒙
𝟏𝒙:𝒙 = 𝟏
b) 𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟒𝒙+ 𝟑𝟏 =
Fator comum é o maior divisor comum 8.
Ao dividir cada termo pelo fator comum, teremos
𝟏𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟒.
A forma fatorada será: 8. (𝟏𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟒)
c) 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑
fator comum é = 𝒙𝟑
A divisão de cada termo, pelo fator comum, resulta em: 𝟑𝒙𝟏 − 𝟏𝒙 + 𝟓
Fatorando a expressão: 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝒙𝟑(𝟑𝒙𝟏 − 𝟏𝒙 + 𝟓)
3.° BIMESTRE - 2016
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1) Fatore, colocando o fator comum em evidência:
a) 3x + 3y + 3z = ______________
b) ab + ac + ad = ______________
c) 8m – 4n + 16p = _____________
d) 𝑧2 + 3𝑧 = _____________
e) 3𝑥4 + 6 𝑥3 = ____________
f) - 5y – 10z = _____________
Podemos utilizar a Geometria para mostrar o caso de fator comum ou evidência:
𝑥 𝑥
𝑦 7
𝒙𝒙 7𝑥 Soma das duas áreas:
𝑥𝑦 + 7𝑥
Se juntarmos as duas áreas, teremos:
𝑥
𝑦 + 7
Área da nova figura: 𝑥(𝑦 + 7)
Fatorando: 𝒙𝑦 + 7𝒙 = 𝒙(𝑦 + 7)
g) 2b2 + 6ab = ______________
h) 45a2b − 9ab2 = ______________
i) 15x2y − 25xy2= ______________
j) 𝑎𝑥𝑦 + 𝑎𝑥𝑦2 − 3𝑎𝑥𝑦3 = ______________
2) Sabendo que ab = 5 e x + y = 7, qual é o valor numérico da
expressão algébrica abx + aby?
3) Reduza os termos semelhantes. Em seguida, fatore o resultado: a) xy + 5y + 3xy – y = __________________________
b) 8 (b – 2) – 5b + 10 =__________________________
c) 𝑚2𝑛 + 8𝑚𝑛2+ 6𝑚𝑛2 + 6 𝑚2𝑛 = __________________________
d) 2. 𝑎3 + 2𝑎2 - 7𝑎2 + 4(𝑎3 + 𝑎2) = _______________________
AGORA,É COM VOCÊ!!!
3.° BIMESTRE - 2016
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Para realizar a fatoração por agrupamento, usaremos a fatoração por fator comum em evidência duas vezes.
Vejamos os exemplos:
a) 𝟒𝑥 + 𝟒𝑦 + 𝒂𝑥 + 𝒂𝑦
Podemos observar que 4 é o fator comum entre os dois primeiros
termos e a entre os dois últimos:
𝟒𝑥 + 𝟒𝑦 + 𝒂𝑥 + 𝒂𝑦
Utilizamos, em cada grupo, a regra do fator comum:
𝟒 𝑥 + 𝑦 + 𝒂(𝑥 + 𝑦)
Observamos que (𝑥 + 𝑦) passa a ser um fator comum dos novos
termos. Assim, para finalizar, devemos colocá-lo em evidência:
𝑥 + 𝑦 𝟒 + 𝒂
A forma fatorada 𝟒 𝑥 + 𝑦 + 𝒂(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) 𝟒 + 𝒂
b) Agora, fatore, por agrupamento, a expressão:
3𝑏 + 6𝑐 + 𝑏𝑦 + 2𝑐𝑦
Identificando os fatores comuns, temos que o fator comum entre
3𝑏 e 6𝑐 é _____ e dos termos 𝑏𝑦 e 2𝑐𝑦 é ______.
Utilizando a regra do fator comum, em cada termo, temos:
3𝑏 + 6𝑐 + 𝑏𝑦 + 2𝑐𝑦
___⋅(_________) + ___⋅ (_________) Finalmente, fatore o termo entre parênteses e encontre a forma
fatorada da expressão:
(________) ⋅ (_________)
c) Se a+b=5 e x+y=6, qual será o valor numérico da expressão:
𝒂𝒙 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒃𝒙?
Para fatorar este polinômio, podemos agrupar de dois em dois:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) =
Colocando o fator (x + y) em evidência, teremos:
= (x + y) . (a + b)
= 6 . 5 = 30
O valor numérico de ax + ay + bx + by com os valores fornecidos
será 30.
II - AGRUPAMENTO
𝟒 𝒂
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 32
1) Fatore os polinômios a seguir:
a) am + an + bm + bn
b) zxy + zm + 3xy + 3m
c) 30p – 10py + 9p – 3py
d) 12m – 4n + 3mp – np
e) 4pq + 20q + px + 5x
f) 2𝑥2 - 6xy + xy - 3𝑦2
g) 5xy + 3x + 35y + 21
h) mn – m + n – 1
i) 𝑥3 + 𝑥2 + 2x + 2
j) 2ax + 2bx + ay + by + az + bz
2) Leia, atentamente, o polinômio ay + az + by + bz.
a) Escreva a forma fatorada deste polinômio:
b) Calcule o valor numérico deste polinômio, de modo que
a + b = 7 e y + z = 8.
3) Sabendo que x + z = 4 e a + c = - 4 , determine o valor numérico do polinômio ax + cx + az + cz: 4) Fatore os polinômios:
a) 15𝑥3 + 20𝑥2 + 25x
b) 2xy + 9x + 6y + 27
c) 3p + 12 + p + 4
d) 𝑥3𝑦 + 2𝑥2y + 3xy
e) ab + 5a - 2b - 10
Muitas vezes, a quantidade de termos nos alerta sobre qual a regra de fatoração que devemos escolher para fatorar os polinômios.
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 33
Já estudamos, nos produtos notáveis, que o produto da
soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1.º
termo menos o quadrado do 2.º termo:
Portanto, usando o pensamento inverso, a diferença entre
dois quadrados é o produto da soma pela diferença dos
elementos que estão ao quadrado. Leia os exemplos:
a) 𝑚2 − 25 =
Como 25 = 52, os elementos que estão ao quadrado são
𝑚 e 5. Assim, a expressão fica:
𝑚2 − 52 = (𝑚 + 5) . (𝑚 – 5)
Podemos então, concluir que, neste caso, a fatoração é a
operação inversa do desenvolvimento do produto notável.
:
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 Calcule o valor numérico da expressão xy - 2x + 2y - 4 para x = 38 e y = 42.
5) Observe a figura:
Os lados do retângulo maior (formado pelos quatro retângulos)
são _______ e _______ . Sua área pode ser representada por
__________________. Porém, temos outra maneira de calcular esta área. Observe:
a) Calcule a área dos quadriláteros:
Vermelho: __________ Azul: ___________
Preto: _____________ Verde: __________ b) A área do maior retângulo é formada pela soma de todas as áreas anteriores. Logo, será ____________________________. c) A forma fatorada deste polinômio será: ____________________________________________________.
a 5
b
2
III - DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 34
1) Fatore os polinômios:
a) 25 − 𝑏2 = __________________________
b) 9𝑚2 − 𝑝2 =__________________________
c) 36𝑎2 − 49𝑏2 =__________________________
d) 𝑥4 − 16𝑦2=__________________________
e) 𝑚2 − 1 = __________________________
f) 𝑝2 − 144 = __________________________
g) 𝑥2
100 − 𝑦
2
81 =__________________________
h) 𝑎2
9 − 𝑏
4
400 = __________________________
i) 100 − 𝑎2𝑏2 𝑐2 =__________________________
j) 𝑚4 − 16 = __________________________
2) Observe como a Professora Cláudia achou o resultado:
Você percebeu que a Professora utilizou a diferença de
quadrados para resolver? Faça como ela e calcule o valor das
seguintes diferenças:
a) 592 − 112 = ___________________
b) 302 − 252 = ___________________
c) 802 − 202 = ___________________
d) 1012 − 1002 = ___________________
3) A partir do que já estudamos, fatore os polinômios:
a) 𝑦2 − 49𝑧2 = ___________________
b) xz – 2x + 5z – 10 = ___________________
c) 𝑥3 + 6𝑥2 = ___________________
d) 𝑝3 − 4𝑝2 = ___________________
e) xy + by + ax + ab = ___________________
𝟒𝟏𝟏 − 𝟑𝟏𝟏 = 𝟒𝟏 + 𝟑𝟏 . 𝟒𝟏 − 𝟑𝟏 = 70 . 10 = 700
b) 9𝑥2 - 1
Sabemos que 9𝑥2 = 𝟑𝒙 2 e 1 = 𝟏2. Essa expressão pode ser
escrita como 𝟑𝒙 2 − 𝟏2. Logo,
9𝑥2 - 1 = 𝟑𝒙 2 − 𝟏2 = (3x + 1) . (3x – 1)
c) 𝑚2
49 − 𝑛
4
81
Sabemos que 𝑚2
49= 2 e 𝑛
4
81 = 2 . Então, podemos
escrever a expressão da seguinte maneira:
𝑚2
49 − 𝑛
4
81 = 2 - 2 = ( + ) . ( − )
𝑚7
𝑛2
9
𝑚7
𝑛2
9 𝑚7
𝑛2
9 𝑚7
𝑛2
9
AGORA,É COM VOCÊ!!!
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 35
Da mesma maneira que associamos a diferença entre dois
quadrados ao produto notável da soma pela diferença de dois termos,
também temos os seguintes produtos notáveis:
Estes trinômios, que resultam do quadrado da soma ou da
diferença de dois termos, são denominamos trinômio quadrado
perfeito.
Como fatorar, então, um trinômio quadrado perfeito? Observe
o exemplo:
𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟓
Observe, inicialmente, que os dois termos das extremidades são
quadrados perfeitos:
𝑥2= 𝑥 ⋅ 𝑥 e 25 = 5 ⋅ 5 = 52
Além disto, o termo central (10𝑥) é o dobro do produto das
bases das potências anteriores: 𝑥 e 5:
𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟓
𝒎𝟏 − 𝟓𝒎 + 𝟒
Temos 𝑚2 e 9 que são quadrados perfeitos: 𝒎𝟏 é o quadrado
de 𝒎 e 𝟒 é o quadrado de 𝟑.
Porém, o termo central (−5m) não é igual ao dobro das raízes
quadradas 𝒎 e 𝟑:
Portanto, esse trinômio não é um quadrado perfeito.
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝒂𝟏 + 𝟏𝒂𝒃 + 𝒃𝟏 = 𝑎 + 𝑏 2 𝒂𝟏 − 𝟏𝒂𝒃 + 𝒃𝟏 = 𝑎 − 𝑏 2
ou ou
IV - TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Multirio
Nem todo trinômio é quadrado perfeito! Veja!
𝒙 𝟓
𝟏 ⋅ 𝒙 ⋅ 𝟓 = 𝟏𝟏𝒙
Lembrando que 𝒙 é a raiz quadrada de 𝒙𝟏, assim como 𝟓 é a
raiz quadrada de 𝟏𝟓. Então, a forma fatorada da expressão é:
𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙+ 𝟏𝟓 = 𝒙 + 𝟓 𝟏
𝟏 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝟑 = 𝟏𝒎 ≠ −𝟓𝒎
Agora, desenvolva os dois produtos notáveis e diga o que
pode notar em relação aos trinômios formados:
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
𝒎 + 𝟑 𝟏 𝒎− 𝟑 𝟏
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 36
Observe, atentamente, o sinal do termo
que não é quadrado perfeito, pois ele sinalizará se é um quadrado
da soma ou da diferença entre dois termos:
𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 + 3 2
𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 2
1) Quais dos trinômios, apresentados abaixo, são quadrados perfeitos?
a) 𝑥2 + 4𝑥 + 4 _______________
b) 𝑚2 + 2𝑚 + 36 _______________
c) 𝑦2 + 8𝑦 + 16 _______________
d) 𝑝2 − 𝑝 + 2 _______________
e) 𝑧2 + 9𝑧 + 81 _______________
f) 𝑡2 − 20𝑡 + 100 _______________
2) Escreva na forma fatorada:
a) 𝑥2 + 2𝑥 + 1 __________________________
b) 𝑏2 − 8𝑏 + 16 __________________________
c) 𝑚2 + 12𝑚 + 36 __________________________
d) 𝑥2 − 14𝑥 + 49 __________________________
e) 𝑥2 + 16𝑥 + 64 __________________________
f) 𝑦2 − 20𝑦 + 100 __________________________
g) 4𝑤2 − 12𝑤 + 9 __________________________
h) 𝑡2 + 22𝑡 + 121 __________________________
i) 9𝑐2 − 6𝑐 + 1 __________________________
j) 𝑟2 + 24𝑟 + 144 __________________________
k) 36𝑐2 − 12𝑐 + 1 __________________________
l) 25𝑐2−80𝑐 + 64 __________________________
3) Agora, que já sabemos fatorar, complete os retângulos:
a) −10𝑥 + 25 = 𝑥 − 2
b) 4𝑦2 - 4y + = 2𝑦 − 2
c) − 64 = 3x + . ( 3x − )
d) − + 49 = 𝑚− 2
e) 𝑝 + 2 = + + 36
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 37
4) Um quadrado possui sua área expressa pelo trinômio
𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 36𝑦2
Determine:
a) a medida do lado deste quadrado.
b) o polinômio que representa seu perímetro.
5) Se o valor numérico de m + n = 15 e o de m – n = 3, determine
o valor de
a) 𝑚 + 𝑛 2 _________ c) 3m + 3n ___________
b) 𝑚− 𝑛 2 _________ d) 𝑚2 − 𝑛2 ___________
6) (FGV – adaptado) Seja N o resultado da operação 362 − 352.
Determine a soma dos algarismos de N:
7) Fatore as expressões algébricas:
a) 𝑥2 + 26𝑥 + 169 ____________________________________
b) 9𝑚2 − 49𝑛2 ____________________________________
c) 12a – 4y + 3an – ny ______________________________
d) 𝑥2𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1 __________________________________
e) 𝑥2
4+ 2𝑥 + 4 ____________________________________
f) 𝑚4 − 1 ________________________________________
g) 0,25𝑥2 − 4𝑦2 ____________________________________
h) ab + 3a - 7b – 21 _________________________________
i) 𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑦3 +𝑥3 𝑦3 _____________________________
j) ax + bx + ay + by + 2az + 2bz _______________________
𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 36𝑦2
3.° BIMESTRE - 2016
PÁGINA 38
Desigualdade é uma relação de ordem entre dois números.
Utilizamos alguns símbolos para representar esta relação:
Leia os exemplos. Depois, complete com > ou < :
> Maior que < Menor que
Observe a seguinte situação:
Um triângulo isósceles possui uma base com 6 cm. Qual será a medida de seus outros lados, sabendo que seu perímetro é maior que 20 cm?
Representando o lado congruente (isto é, de mesma medida) por x, a expressão que expressa o perímetro será 2x + 6 > 20.
20 > 14 −7_____ − 2 39___−24
15 < 33 23 ___0 −15___9
6 cm
𝑥 𝑥
Antes de resolver as inequações, vamos observar importantes
propriedades das desigualdades.
Somar ou subtrair um mesmo número de ambos os membros
da inequação, não altera a inequação.
15 > 10
15 + 𝟑 > 10 + 𝟑 18 > 13
2𝑥 − 2 > 7 2𝑥 − 2 + 𝟏 > 7 + 𝟏
2𝑥 > 9
𝑦 + 5 < 3 𝑦 + 5 − 𝟓 < 3 − 𝟓
𝑦 < −2
Multiplicar ou dividir ambos os membros por um número
positivo não altera a inequação.
3 < 5 3 ⋅ 𝟏 < 5 ⋅ 𝟏
6 < 10 5𝑥 > 30
5𝑥:𝟓 > 30:𝟓 𝑥 > 6
−𝑥 < 12 −𝑥 ⋅ 𝟒 < 12 ⋅ 𝟒 −4𝑥 < 48
DESIGUALDADES (INEQUAÇÕES)
Multirio
Inequação é uma desigualdade entre
expressões algébricas.
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Multiplicar ou dividir ambos os membros de uma inequação por
um número negativo, como −1 , faz com que ela se torne
oposta.
−2 < 1 −2 ⋅ −𝟏 > 1 ⋅ (−𝟏)
+4 > −2
8 > 3
8 ⋅ −𝟏 < 3 ⋅ (−𝟏) −8 < −3
−4𝑥 > 12 −4𝑥: −𝟒 < 12: (−𝟒)
𝑥 < − 3
−𝑥 < −7 −𝑥 ⋅ −𝟏 > −7 ⋅ (−𝟏)
𝑥 > 7
O sinal da inequação se inverte pois, multiplicar por −1, por
exemplo, é obter o número oposto.
Observe o exemplo:
1 < 2
1 < 2
1 ⋅ −𝟏 > 2 ⋅ −𝟏
−1 > −2
a) Somando 14 anos ao dobro da idade de Henrique, temos um número menor que 70. Então, qual é a idade de Henrique?
Representando por x a idade de Henrique, a inequação que expressa este problema será 2x + 14 < 70.
2𝑥 + 14 − 𝟏𝟒 < 70 – 𝟏𝟒
2𝑥 < 56
2𝑥 ∶ 𝟏 < 56 ∶ 𝟏
𝑥 < 28 Podemos concluir que a idade de Henrique é um número natural menor que 28. b) Léa pensou em um número. Em seguida, somou o dobro deste
número com 12 e verificou que o resultado era maior que a soma do triplo deste número com 8. Em qual número Léa pensou?
Usando 𝒙 para representar o número que Léa pensou, temos:
𝟏𝒙 + 𝟏𝟏 > 𝟑𝒙 + 𝟖
Multirio
Para resolver as inequações, isto é, achar uma condição para a incógnita, vamos desenvolvê-las
da mesma forma que desenvolvemos as equações. Observe o exemplo!
Multirio
Resolva a inequação e lembre-se de multiplicar por −1, se necessário!
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Resposta: ___________________________________________
Também podemos interpretar como inequações situações com balanças desequilibradas.
1) Inicialmente, vamos obter as expressões para cada um dos pratos da balança:
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 2 = 3𝑥 + 2 𝑥 + 8 O lado esquerdo mais alto na balança indica que este lado
é mais leve, tem massa menor que o lado direito. Resolva a inequação e encontre uma condição para 𝑥:
2) Encontre a inequação para cada uma das balanças e resolva cada uma delas: a)
𝒙
7 kg
3kg
10 kg 𝒙 𝒙
12 kg 𝒙
b)
2 kg
8 kg
𝒙 𝒙 𝒙
𝒙
𝟑𝒙 + 𝟏 < 𝒙 + 𝟖
𝒙 < 𝟑
3) Alice vai contornar um terreno retangular cuja largura é 𝑥 e o comprimento é 2𝑥 + 1. Ela possui 38 metros de corda. Porém, essa medida não foi suficiente para contornar todo o terreno. O que podemos dizer sobre a largura 𝑥?
4) Leia os números em destaque:
−5, −2, 0, 3, 8
Quais desses números podem ser solução da seguinte inequação?
𝟏𝒙 − 𝟑 < 𝟓𝒙 + 𝟓
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5) A soma dos ângulos da figura abaixo forma um ângulo agudo,
ou seja, menor que 90º. Determine os possíveis valores para x: 6) Sabendo que as soluções estão no conjunto dos números
racionais, resolva as seguintes inequações:
a) 12x – 7 < 3x + 2
b) 3y – 5 – 5y + 7 > - 14
c) 5m – 9 + 2m ≥ 8 – 3m + 13
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MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Leia, na tabela abaixo, as notas de Paulo, no 2.º bimestre, em Matemática, no ano de 2016:
Sabendo que cada avaliação tinha, por valor máximo, 10 e
observando os valores de cada nota de Paulo, podemos calcular a média de suas notas. 1) Leia a tabela e responda:
a) Qual foi a nota mais alta de Paulo? _____________ b) E a nota mais baixa?_____________ c) Nas aulas de Matemática, Paulo participou de quantas
avaliações?_______ Para calcular a média de Paulo, vamos somar todos os
valores e dividir pela quantidade de avaliações. Observe:
5,6 + 8,6 + 7,9 + 6,34
=28,4
4= 7,1
Assim, dizemos que a média das notas de Pedro foi 7,1.
Notas de Paulo Avaliação Teste Trabalhos Seminário Prova Nota 5,6 8,6 7,9 6,3
A MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES é a soma de todos os valores, dividida
pela quantidade de valores.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Salto_ornamental_-_UnB.jpg
2) Leia, atentamente. Em seguida, responda ao que se pede:
Em uma competição de saltos ornamentais, os atletas recebem notas de 0 a 10 de sete juízes.
Para a nota final, são descartadas a maior e a menor nota de cada atleta. Em seguida, é calculada a média aritmética simples das outras notas.
Abaixo, temos as sete notas dadas a um atleta por um salto efetuado:
a) Qual foi a nota mais baixa e a nota mais alta desse atleta?
____________________________________________________
b) Eliminando estas duas notas, quais as notas que foram aproveitadas? ____________________________________________________
c) Qual a nota final, isto é, a média aritmética das cinco notas restantes? ____________________________________________________
5,5 7,5 6,5 6,0
7,0 8,0 7,5
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Para fazer um trabalho de Matemática, Marcela pesquisou o preço de um mesmo livro em diferentes lojas. A menina anotou os valores que encontrou e construiu este gráfico:
4) Durante um campeonato de futebol, uma jogadora anotou a quantidade de gols que fez em cada partida. O resultado, ela organizou na tabela apresentada abaixo:
25,90
33,00
25,30
29,90 30,00
27,90
25,00
26,00
27,00
28,00
29,00
30,00
31,00
32,00
33,00
Loja A Loja B Loja C Loja D Loja E Loja F
3) Agora, responda às perguntas de acordo com a tabela: a) Ao calcular a média entre os valores, que valor você encontrou?
____________________________________________________ b) O que podemos dizer sobre este número?
________________________________________________________________________________________________________
c) Quando trabalhamos com dinheiro, usamos duas casas decimais para representar os centavos. Assim, como podemos escrever o preço médio do livro que Marcela pesquisou? ____________________________________________________
Faça uma pesquisa do preço de um mesmo produto em diferentes lojas ou supermercados. Anote os valores e encontre a média.
Peça ajuda a seu Professor para fazer um gráfico com os dados pesquisados por você.
Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4 Jogo 5
3 2 0 1 4
5) Uma empresa que trabalha com vendas organizou o lucro que obteve em cada mês, por um ano, na lista ao lado. Observe os valores e responda às perguntas abaixo:
Janeiro R$ 1.200,00 Fevereiro R$ 1.350,00 Março R$ 980,00 Abril R$ 540,00 Maio R$ 670,00 Junho R$ 830,00 Julho R$ 1.150,00 Agosto R$ 1.400,00 Setembro R$ 870,00 Outubro R$ 935,00 Novembro R$ 1.240,00 Dezembro R$ 1.490,00
a) Qual foi a média mensal de lucro dessa empresa no primeiro semestre?
__________________________________________________
b) Qual foi a média mensal de
lucro da empresa em todo o ano?
__________________________________________________
Esse espaço é seu!
a) Encontre a média de gols dessa jogadora.
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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
1) Um professor construiu, com os alunos, um gráfico para contabilizar o número de faltas dos alunos a cada mês. O resultado pode ser visto nesse gráfico:
De acordo com o gráfico, responda às perguntas: a) Em que mês a turma teve o maior número de faltas? E o menor?
____________________________________________________
b) Entre quais meses as faltas dos alunos tiveram a maior queda? ____________________________________________________
c) Qual foi a média mensal de faltas nesse período? ____________________________________________________
32
25
13 10
Março Abril Maio Junho
Esse espaço é seu!
2) O pictográfico, apresentado abaixo, foi construído para representar os empréstimos de livros em uma biblioteca escolar durante um semestre.
http
s://o
penc
lipar
t.org
/det
ail/1
6961
4/op
en-b
ook
a) Qual o tema dos livros pesquisados foi o mais solicitado por empréstimo, na biblioteca, neste período?
____________________________________________________
b) Qual foi o tema menos solicitado? ____________________________________________________
c) Você pode dizer quantos livros com o tema Fantasia foram emprestados neste período? ____________________________________________________
d) Neste semestre, quantos livros, ao todo, foram solicitados para empréstimo na biblioteca? ____________________________________________________
Fantasia
Aventura
Suspense
Poesia
10 livros
Romance
NÚ
MER
O D
E FA
LTA
S
MÊS
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3) Este gráfico representa a quantidade de dias úteis em cada um dos meses:
Março
Abril
Maio
Junho
DIAS ÚTEIS
18 19 20 21 22 23 17
Qual das tabelas abaixo pode ser relacionada ao gráfico?
Mês Março Abril Maio Junho Dias úteis 20 22 21 19
Mês Março Abril Maio Junho Dias úteis 20 19 20 20
Mês Março Abril Maio Junho Dias úteis 22 19 20 21
Mês Março Abril Maio Junho Dias úteis 22 21 21 19
QUESTÃO 1 Nessas igualdades, qual a expressão que completa, corretamente, o desenvolvimento?
2972 = 300 − 3 2 = ___________________ (A) 3002 − 2 ⋅ 300 ⋅ 3 + 32
(B) 3002 + 2 ⋅ 300 ⋅ 3 + 32
(C) 3002 − 32
(D) 3002 + 32
QUESTÃO 2 Ao ir a uma pizzaria, Mario foi informado que o tamanho da pizza era 30 cm, como podemos ver no segmento 𝑂𝐴 na figura abaixo: Considerando o contorno da pizza, semelhante a uma circunferência, podemos dizer que o segmento 𝑂𝐴 é (A) uma mediana.
(B) uma bissetriz.
(C)um diâmetro.
(D)um raio.
(A) (B) (C)
(D)
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QUESTÃO 4
Utilize os produtos notáveis para encontrar uma forma mais simples para a seguinte expressão:
3 ⋅ (𝑎 + 2)(𝑎 − 2) (A) 3𝑎2 + 12𝑎 + 12
(B) 3𝑎2 − 12𝑎 + 12
(C) 3𝑎2 + 12
(D) 3𝑎2 − 12
QUESTÃO 3 Na tabela apresentada abaixo, estão anotadas as quantidades de pontos que um jogador de basquete marcou em cinco jogos na temporada. Assim, podemos afirmar que a média de pontos deste jogador é (A) 89.
(B) 75.
(C) 65.
(D) 60.
Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4 Jogo 5
Pontos 65 40 57 74 89
QUESTÃO 5 Maria achou, em um livro, o esquema, apresentado abaixo, que explica que fatorar a diferença de dois quadrados e resolver o produto da diferença pela soma são operações inversas. Porém, Maria sujou uma parte da folha e não pôde ver o resultado da fatoração: Qual das alternativas deve ser o resultado da fatoração? (A) 2𝑥 + 3 2𝑥 − 3
(B) 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3
(C) 2𝑥 + 3 2
(D) 2𝑥 − 3 2
QUESTÃO 6 Resolva a inequação, apresentada abaixo, e encontre uma condição para 𝑥:
𝑥 + 13 > 3𝑥 − 3 (A) 𝑥 > 8
(B) 𝑥 < 8
(C) 𝑥 > 5
(D) 𝑥 < 5
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QUESTÃO 7 Qual das alternativas demonstra o desenvolvimento correto para o cálculo de 1012?
(A) 1002 + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 12
(B) 1002 − 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 12
(C) 1002 + 12
(D) 1002 − 12
QUESTÃO 8 Abaixo, estão numeradas imagens de circunferências e retas. Qual das imagens mostra uma reta tangente à circunferência? (A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
I II
III IV
QUESTÃO 9 Durante a aula de Matemática, João construiu um gráfico de colunas para representar suas notas nos três primeiros bimestres, como podemos ver abaixo: Qual é a média aproximada das notas de João nestes três bimestres? (A) 6,1.
(B) 7,3.
(C) 7,5.
(D) 9,1.
5,4
7,5
9,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.º Bimestre 2.º Bimestre 3.º Bimestre
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