calculo numerico de metodo secante
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SERIES TRIGONOMÉTRICAS DE MACLAURIN
AÑO DE LA INTEGRACIÓN NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
(CREADO POR LEY 25265)
E.A.P. MATEMÁTICA- COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA
TEMA:
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
CATEDRÁTICA : Lic. YALLI HUAMÁN, Edgar
ALUMNOS : JANAMPA MENDOZA, Rosalino
PAITAN SOTO, Elías D.
CICLO : IX
HUANCAVELICA - PERÙ
2012
Página 1
Con mucho cariño para docente del curso que se sacrifica día a día para darnos una enseñanza digna.
ÍNDICE
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INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS
Método de secante…………………………………………………………………………….6
Demostración de la formula del método de la secante…………………………...……….7
Ejercicios del método de la secante…………………………………………………………8
Aplicación en excel ……………………………………………………………………………9
Aplicación en matlab…………………………………………………………………………11
Ventajas del método de la secante…………………………………………………………13
Desventajas del método de la secante…………………………………………………….13
Conclusiones……………………………………………………………………………….…14
Bibliografía……………………………………………………………………………….……15
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INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo mostraremos que es el método de la secante, cuáles son sus funciones,
aplicaciones en algunas disciplinas, fórmula del método de la secante, detallando para su
comprensión con algunos ejemplos para aprender.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función
en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la
recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este
método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y
evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
El método de la secante es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los
cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la
ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para
conocer si es la raíz que se busca.
Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante a la de Newton-
Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal
diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la
función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código
para encontrar raíces por medio de este método.
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OBJETIVOS:
El objetivo del trabajo monográfico es el estudio del método de la secante (como trabaja),
las diferencias con los otros métodos, demostrar sus ventajas con respecto a los otros
métodos y como se usa para resolver diversos problemas de la vida real.
Uno de los objetivos de este método es eliminar el primera de la derivada de la función, ya
que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es
muy compleja.
MÉTODO DE SECANTE
Un problema potencial en la implementación del método de Newton – Raphson es el de la evaluación de la derivada. Mientras el método de secante es la eliminación de derivadas.
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Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función
en el punto de estudio,. En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de
investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de
una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias
finitas del método de Newton-Raphson.
La formula general del método de la secante:
DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DEL MÉTODO DE LA SECANTE
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EJERCICOS DE MÉTODO DE LA SECANTE
Ejemplo N°1: Calcular la raíz de f (x) = e− x – x . Comience con los valores iniciales de X_1= 0 y X0 = 1; con una tolerancia 10−4
solución:
Primera iteración:
X_1 = 0 f (X_1) = e−0 – 0 f (X_1) = 1
Xo = 1 f(Xo) = e−1 – 1 f(Xo) = - 0.63212
X1 = 1 - −0.63212(0−1)1−(−0.63212)
X1 = 0.61270
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Segunda iteración:
Xo = 1 f (Xo) = - 0.63212
X1 = 0.61270 f (X1) = - 0.07081
X2 = 0.61270 - −0.07081(1−0.61270)−0.63212−(−0.07081)
X2 = 0.56384
Tercera iteración:
X1= 0.61270 f(X1) = - 0.07081
X2 = 0.56384 f( X2) = 0.00518
X3 = 0.56384 - 0.00518(0.61270−0.56384)−0.07081−0.00518
X3 = 0.56 717
Cuarta iteración:
X2= 0.56384 f(X2) = 0.00518
X3 = 0.56 717 f( X3) = - 0.1388
X4 = 0.56 717 - −0.1388(0.56384−0.56717)
0.00518−(−0.1388)
X4 = 0.5671431
APLICACIÓN EN EXCEL
n°iter. X0 X1 f(X0) f(X1) xr Es T
1 0 1 1-
0.63212056 0.61269984
2 1 0.61269984-
0.63212056-
0.07081395 0.56383839 0.04886145 todavía
3 0.61269984 0.56383839-
0.07081395 0.00518235 0.56717036 0.00333197 todavía
4 0.56383839 0.56717036 0.00518235-4.2419E-
05 0.56714331 2.7052E-05 ya esta
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Ejemplo N°2: Calcular la raíz de f (x) = e− x – log x . Comience con los valores iniciales de X0= 1 y X1 = 2 ;con una tolerancia es 1
solución:
Primera iteración:
X0 = 1 f (X0) = e−1 –log 1 f (X0) = 0.3678794
X1= 2 f(X1) = e−2 –log 2 f(X1) = -0.1656947
X1 = 1 - −0.1656947 (1−2)
0.3678794−(−0.1656947)
X1° = 1.3974105
Segunda iteración
X1 = 2 f (X1) = - 0.1656947
X1° = 1.3974105 f (X1°) = 0.1019123
X2 = 1.3974105- 0.1019123(2−1.3974105)−0.1656947−(0.1019123)
X2° = 1.2854761
Tercera iteración:
X1°= 1.3974105 f(X1°) = 0.1019123
X2° = 1.2854761 f( X2°) = 0.1674549
X3° = 1.2854761 - 0.1674549(1.3974105−1.2854761)
0.1019123−(0.1674549)
X3° = 1.3165830
Cuarta iteración:
X2°= 1.2854761 f(X2°) = 0.1674549
X3° = 1.3165830 f( X3°) = 0.1486014
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X4° = 1.3165830- 0.1486014(1.2854761−1.3165830)
0.1674549−(0.1486014)
X4° = 1.3079103
APLICACIÓN EN MATLAB
f='exp(-x)-log(x)';f=inline(f);x0=1;x1=2;xra=0;xr=0;xra=0;tol=1;i=1;error_aprox=1;error=0;
f1=f(x1);f2=x0-x1;f3=f(x0);f4=f(x1);
xr=x1-(f1 * f2 / ( f3 - f4 ));
fprintf('It. X0 X1 Xr Error aprox \n');fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,x0,x1,xr,error);
while error_aprox >= 0.01,xra=xr;% x1=x0;x0=xr;%
f1=f(x1);f2=x0-x1;f3=f(x0);f4=f(x1);
xr=x1-(f1 * f2 / ( f3 - f4 ));
% error = abs((xr - xra) / xr);error_aprox = error;
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fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,x0,x1,xr,error_aprox);i=i+1;end
RESULTADO:
It. X0 X1 Xr Error aprox
1 1.0000000 2.0000000 1.3974105 0.0000000
1 1.3974105 2.0000000 1.2854761 0.0870762
2 1.2854761 2.0000000 1.3165830 0.0236270
3 1.3165830 2.0000000 1.3079103 0.0066310
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VENTAJAS:
Gracias a este método se pude eliminar el problema de calcular la derivada de la función,
ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, y cuya derivada
es muy compleja.
En este método no se requiere de la primera derivada.
Este método casi nunca falla ya que solo requiere de dos puntos al principio, y después el
mismo método se va retroalimentando, es decir, se va acomodando hasta que encuentra la
raíz.
El método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación
casi con la misma rapidez que el método de Newton Raphson.
DESVENTAJA:
El método de la secante al ser un proceso iterativo, corre el mismo riesgo que el método de
Newton Raphsonde no converger a la raíz, mientras que el método de la regla de falsa
posición va a la segura.
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CONCLUSIONES
El método de la secante se basa en el método de newton, donde no se requiere calcular la
derivada.
Resulta más sencillo calcular las raíces con el método de la secante que con el método de
newton debido que con la secante se parte de dos puntos y no solo uno como el método de
newton.
Se puede realizar el algoritmo en MATLAB y también se puede programar en EXCEL para
encontrar las raíces por medio del método de la secante.
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