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APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL

Los costos en una empresa

Cuando queremos saber cuánto vale fabricar nuestro producto o vender nuestro

servicio, debemos averiguar cuánto gastamos en todos los materiales, mano de

obra y demás recursos utilizados para ello. A cada recurso utilizado en el proceso

de producción y ventas va asociado un costo.

“Costo es el valor en dinero de todo lo que se usa para producir y vender un

bien o un servicio”.

Así por ejemplo tenemos el costo de las materias primas, el costo de la mano de

obra, los gastos generales, entre otros.

Importancia de los costos

El buen cálculo de los costos es indispensable para la buena marcha de la

empresa. Conocer cuáles son los costos totales en que incurre la empresa nos

sirve, entre otras cosas, para:

– Saber cuál es el precio que debemos vender lo producido.

– Saber cuántos productos se deben vender para no perder.

Clasificación de los costos

Debido a que en las empresas los volúmenes de producción no son constantes,

por lo general, los costos se clasifican en dos categorías: Costos fijos y Costos

variables.

Costos variables

Son aquellos que cambian cuando varía el nivel de producción. A mayores

niveles de producción, mayores serán los costos variables. La mano de

obra y los gastos en materia prima son dos ejemplos de este tipo de costos.

Los costos variables dependen de la cantidad de artículos producidos. Para

calcularlos debemos multiplicar el costo unitario de producción por la

cantidad de artículos producidos.

Costos fijos

Son aquellos que no cambian ante los cambios del volumen de producción.

Si el pago del alquiler y el sueldo del personal administrativo permanecen

constantes, ellos son considerados como parte de este tipo de costos.

El costo total es la suma de los costos variables y los costos fijos.

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Función Costo total lineal

Aunque no toda función de costo total es lineal, estas suelen presentarse en las

operaciones de las pequeñas empresas.

Supóngase que una empresa tiene costos fijos por CF soles y le cuesta k soles

producir cada artículo que ella fabrica (costo unitario de producción). Si

representamos con C el costo total y con q el número de unidades producidas

del artículo, decimos que C es función lineal de q y está dada por:

( ) CFqkqC +=

Costo total = (Costo unitario de producción)(Número unidades producidas) + Costos Fijos

Ejemplo 1

Un pequeño empresario textil sabe que le cuesta 10 soles confeccionar cada polo

y además debe asumir costos fijos mensuales de 1800 soles. Si q representa la

cantidad de polos producidos por el pequeño empresario mensualmente,

a. Exprese el costo total C como una función lineal de q .

b. Calcule el costo total de confeccionar 30 polos. c. Calcule e interprete ( )50C .

d. Grafique la función ( )qC .

Resolución

Del enunciado tenemos: “le cuesta 10 soles confeccionar cada polo”

⇒ costo unitario de producción = 10 soles

⇒ 10=k

Del enunciado tenemos: “debe asumir costos fijos mensuales de 1800 soles”

⇒ 1800=CF

Parte a.

Si C representa el costo total (en soles), este es función lineal de la cantidad q de

polos producidos y está dada por:

( ) CFqkqC +=

( ) 180010 += qqC Respuesta

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Parte b.

El costo de confeccionar 30 polos se puede calcular evaluando la función Costo

total ( ) 180010 += qqC , para 30=q , es decir:

( ) ( ) 1800301030 +=C

( ) 180030030 +=C

( ) 210030 =C Respuesta

Luego, el costo de confeccionar 30 polos es de 2100 soles.

Parte c.

Nos piden ( )50C : ( ) ( ) 1800501050 +=C

( ) 180050050 +=C

( ) 230050 =C

Interpretación: “El costo de confeccionar 50 polos es de 2300 soles”.

Parte d.

Sabemos que la gráfica de una función lineal es una línea recta. En el caso de la

función ( ) 180010 += qqC su gráfica presenta pendiente positiva ( 10=a ), por lo

que se trata de una recta oblicua en subida. Además ella intercepta al eje vertical

en 1800 ( 1800=b ). Por otro lado, dado que q representa la cantidad de polos

producidos y esta variable no puede ser negativa, tomaremos solo aquella porción

de la recta ubicada en el primer cuadrante, tal como se muestra a continuación:

C

q

1800

0

C(q) = 10q+1800

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Función Ingreso lineal

Los ingresos de una empresa son obtenidos por la venta de sus artículos (o la

prestación de un servicio). Se calculan multiplicando el precio unitario de venta

de cada artículo por la cantidad de artículos vendidos.

Supóngase que una empresa vende a p soles cada uno de los artículos que ella

fabrica (precio unitario de venta). Si representamos con I el ingreso y con q el

número de unidades vendidas del artículo, decimos que I es función lineal de q

y está dada por:

( ) qpqI =

Ingreso = (Precio unitario de venta)(Número unidades vendidas)

Ejemplo 2

Un fabricante de muebles vende mesas de comedor por 70 dólares cada una. Si q

representa la cantidad de mesas vendidas por el fabricante,

a. Exprese el Ingreso del fabricante I como una función lineal de q .

b. Calcule el Ingreso obtenido por la venta de 40 mesas. c. Calcule e interprete ( )64I .

d. Grafique la función ( )qI .

Resolución

Del enunciado tenemos: “vende mesas de comedor por 70 dólares cada una”

⇒ precio unitario de venta = 70 dólares

⇒ 70=p

Parte a.

Si I representa el ingreso (en dólares), este es función lineal de la cantidad q de

mesas vendidas y está dada por:

( ) qpqI =

( ) qqI 70= Respuesta

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Parte b.

El ingreso obtenido por la venta de 40 mesas se puede calcular evaluando la

función Ingreso ( ) qqI 70= , para 40=q , es decir:

( ) ( )407040 =I

( ) 280040 =I Respuesta

Luego, el Ingreso obtenido por la venta de 40 mesas es de 2800 soles.

Parte c.

Nos piden ( )64I : ( ) ( )647064 =I

( ) 448064 =I

Interpretación: “El Ingreso obtenido por la venta de 64 mesas es de 4480 soles”.

Parte d.

La gráfica de la función lineal ( ) qqI 70= presenta pendiente positiva ( 70=a ), por

lo que se trata de una recta oblicua en subida. Además ella intercepta al eje

vertical en el origen ( 0=b ). Por otro lado, dado que q representa la cantidad de

mesas vendidas y esta variable no puede ser negativa, tomaremos solo aquella

porción de la recta ubicada en el primer cuadrante, tal como se muestra a

continuación:

I

q0

I(q) = 70q

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Función Utilidad lineal

La utilidad obtenida por una empresa debida a la producción y venta de un

determinado artículo se calcula restando el Costos Totales del Ingreso.

Sean I el Ingreso, C el Costo total y q el número de unidades producidas y

vendidas de un determinado artículo, tal que ( )qI y ( )qC son funciones lineales

de q , entonces U es función lineal de q y está dada por:

( ) ( ) ( )qCqIqU −=

Utilidad = Ingreso – Costo total

Ejemplo 3

Una compañía que fabrica dispositivos electrónicos introduce un nuevo producto

en el mercado. Durante el primer año los costos fijos de la nueva corrida de

producción son de $14000 y el costo de producir cada unidad es de $2.5. Se

determina que durante el primer año el precio unitario de venta será de $6.5, si

se producen y venden q unidades durante el primer año:

a. Exprese el Costo total de la compañía C como una función lineal de q .

b. Exprese el Ingreso de la compañía I como una función lineal de q .

c. Exprese la Utilidad de la compañía U como una función lineal de q .

d. Grafique la función ( )qU .

Resolución

Parte a.

Del enunciado:

“el costo de producir cada unidad es de $2.5”

⇒ costo unitario de producción = 2.5 dólares

⇒ 52.k =

“los costos fijos de la nueva corrida de producción son de $14000”

⇒ 14000=CF

Luego, la función costo total está dada por: ( ) 1400052 += q.qC

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Parte b.

Del enunciado:

“el precio unitario de venta será de $6.5”

⇒ precio unitario de venta = 6.5 dólares

⇒ 56.p =

Luego, la función Ingreso está dada por: ( ) q.qI 56=

Parte c.

Conocidas las funciones Costo total e Ingreso podemos encontrar la función

Utilidad según:

( ) ( ) ( )qCqIqU −=

( ) ( )140005256 +−= q.q.qU

( ) 140005256 −−= q.q.qU

( ) 140004 −= qqU

Parte d.

La gráfica de la función ( ) 140004 −= qqU presenta pendiente positiva ( 4=a ), por

lo que se trata de una recta oblicua en subida; intercepta al eje vertical en -14000

( 14000−=b ) y dado que q representa es una variable positiva, la gráfica de ( )qU

es aquella porción de recta ubicada en el primer y cuarto cuadrante, tal como se

muestra a continuación:

U

q

-14000

0

U(q) = 4q-14000

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Análisis del equilibrio

Tomando como referencia las funciones Ingreso ( ) q.qI 56= y Costo total

( ) 1400052 += q.qC obtenidas en el ejemplo 3, hemos construido la siguiente

tabla:

q ( ) q.qI 56= ( ) 1400052 += q.qC ( ) ( ) ( )qCqIqU −=

2000 13000 19000 6000− 3500 22750 22750 0 4800 31200 26000 5200

Observamos que:

Para el nivel 2000=q el Ingreso de la empresa es $13000 y el costo total es

$19000 . Esto muestra que la venta de 2000 unidades genera un Ingreso

menor que el Costo total de producirlos, por lo que la Utilidad es negativa

(pérdida).

Para el nivel 4800=q el Ingreso de la empresa es $31200 y el costo total

es $26000 . Esto muestra que la venta de 4800 unidades genera un Ingreso

mayor que el Costo total de producirlos, por lo que la Utilidad es positiva

(ganancia).

Para el nivel 3500=q el Ingreso de la empresa es $22750 y el costo total

es $22750 . Esto muestra que la venta de 3500 unidades genera un Ingreso

igual que el Costo total de producirlos, por lo que la Utilidad es nula y por

tanto no hay ganancia ni pérdida.

El nivel de producción en el que la empresa no tiene ganancias ni pérdidas es el

nivel de equilibrio. En este nivel el Ingreso es igual al Costo total por lo que se

puede encontrar resolviendo la ecuación: ( ) ( )qCqI =

Así tenemos en este caso: ( ) ( )qCqI =

140005256 += q.q.

140005256 =− q.q.

140004 =q

4

14000=q

Luego 3500=eq

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Gráficamente el nivel de equilibrio 3500=eq es el valor de q que corresponde al

punto de corte (punto de intersección) de las gráficas del Ingreso ( )qI y Costo

total ( )qC .

Para aquellos valores positivos de q menores que 3500=eq el Ingreso será

menor que el Costo total y por tanto la empresa tendrá perdidas.

Para aquellos valores de q mayores que 3500=eq el Ingreso será mayor

que el Costo total y por tanto la empresa tendrá ganancias.

Ejercicios propuestos

Pregunta 1

Los costos fijos mensuales de la empresa ABC ascienden a s/12336 y se sabe que

les cuesta s/26 producir cada artículo. Si q representa la cantidad de artículos

producidos por la empresa mensualmente,

a. Exprese el costo total C como una función lineal de q .

b. Calcule el costo total de producir 1000 artículos. c. Calcule e interprete ( )1800C .

d. Grafique la función ( )qC .

Pregunta 2

Si la empresa ABC vende a un precio de s/34 cada artículo y q representa la

cantidad de artículos vendidos por la empresa mensualmente,

a. Exprese el Ingreso I como una función lineal de q .

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b. Calcule el Ingreso obtenido por la venta de 1000 artículos. c. Calcule e interprete ( )1800I .

d. Grafique la función ( )qI .

Pregunta 3

Tomando como referencia la información de las preguntas 1 y 2, responda

Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:

a. Para el nivel 1000=q la empresa ABC obtiene ganancias ______

b. Para el nivel 1800=q la empresa ABC obtiene ganancias ______

c. El nivel de equilibrio es 1542=q ______

d. Para 1700=q el Ingreso es menor que el Costo total ______

e. Cuando 1542>q la utilidad de la empresa es positiva ______

Pregunta 4

Un micro empresario tiene unos costos fijos de s/ 2700, le cuesta s/6

confeccionar cada artículo y los vende a s/ 15 cada uno. Si q representa la

cantidad de artículos producidos y vendidos por el empresario. Exprese:

a. El Costo total C como una función lineal de q .

b. El Ingreso I como una función lineal de q .

c. La Utilidad U como una función lineal de q .

Pregunta 5

Un artesano puede vender sus productos a $3.5 cada uno. Se sabe que le cuesta

$1.5 producir cada artículo y mantiene unos costos fijos de $400. Calcule:

a. El Costo total de producir 300 artículos.

b. El Ingreso obtenido por la venta de 300 artículos.

c. Si se producen y venden 300 artículos, ¿cuál es la Utilidad?

d. El nivel de equilibrio.

Pregunta 6

En un taller de carpintería se ofrecen reposteros (estándar) para cocina a un

precio de s/1800 la unidad. Se sabe que los costos fijos mensuales del taller son

de s/6300 y que el costo de producción de cada repostero es de s/. 750. Si x

representa la cantidad de reposteros producidos y vendidos por la compañía

durante un mes:

a. Exprese el Costo total C como función de x .

b. Exprese el Ingreso I como función de x .

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c. Grafique, en un mismo sistema bidimensional, las funciones Costo

total e Ingreso total.

d. Encuentre e interprete el punto de corte de dichas gráficas.

Pregunta 7

Un pequeño empresario textil ofrece polos estampados de temporada a un precio

de 35 soles cada uno. Sabe que le cuesta 10 soles producir cada polo y que

además debe asumir costos fijos de 1800 soles. Si x representa la cantidad de

polos producidos y vendidos por el pequeño empresario durante una temporada

encuentre el nivel de equilibrio del empresario.

Pregunta 8

Un fabricante encuentra que la ecuación 40q008.0C += permite expresar su

Costo total de producción (C), en miles de soles, como una función de la cantidad

de artículos producidos (q).

a) Calcule e interprete el valor de C cuando 5000q =

b) ¿Cuál es el costo total de producir 12000 unidades del artículo?

c) Calcule e interprete el valor de C cuando 0q =

Pregunta 9

La Utilidad (U) de un fabricante, expresada en dólares, es función del número de

artículos producidos y vendidos (q) y viene dada por la función ( ) 600005 −= qqU ;

a. ¿Cuál es la Utilidad del fabricante si produce y vende 18000

artículos?

b. ¿Cuál es la Utilidad del fabricante si produce y vende 11000

artículos?

c. ¿Cómo interpreta el valor de U cuándo 12000q = ?

Pregunta 10

La siguiente figura muestra la gráfica del costo total (C) contra el número de

hornos con tostador (x) producidos por un fabricante de pequeños aparatos

domésticos:

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a. Completar la siguiente tabla:

x 0 200 600

C 6000

b. ¿Cuál es el costo fijo del fabricante?

c. ¿Cuál sería el costo total de fabricar 700 hornos?

Pregunta 11

La siguiente figura muestra la gráfica del Ingreso (I) contra el número de artículos

(q) vendidos por una empresa que comercializa autopartes.

a. ¿Cuál es el ingreso de la empresa obtenido al vender 300 artículos?

b. Cuando 500q = , ¿cuál es el valor de I?

3000

4200

200

6000

5000 600

6600

C (en dólares)

x (en unidades)

2800

4200

200

7000

5000 300

I (en miles de soles)

q (en unidades)

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c. ¿Cuál es la pendiente de la recta de Ingreso?

d. Escriba la ecuación que exprese el Ingreso como una función de la

cantidad de artículos vendidos por la empresa.

Pregunta 12

La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones Costo total C(q) e Ingreso

I(q) obtenidas por un fabricante a partir de la producción y venta de “q” unidades

de un determinado artículo:

a) Determine el costo total, el ingreso y la utilidad debido a la

producción y venta de 20 artículos.

b) Determine la utilidad debido a la producción y venta de 80 artículos.

c) ¿Cuántos artículos se deben producir y vender para no ganar ni

perder?

d) ¿Cuál es el costo fijo del fabricante?

e) ¿Cuál es el costo unitario de producción?

f) ¿Cuál es el precio de venta de cada artículo?

500

Costo total

P

Ingreso

20

60

40

76

100

124

160

80