ap-10-eliminacao-de-gauss-jordan

AAPP--1100 –– EElliimmiinnaaççããoo ddee GGaauussss--JJoorrddaann

INSTITUTO MAUÁ DE TECNOLOGIA

MAUÁ

EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr

AP–10 – ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN

Até o momento, a discussão dos sistemas lineares A x b restringiu-se à matrizes A

quadradas de ordem n. A partir de agora, será tratado o caso geral em que a matriz A é retangular,

com m linhas e n colunas.

Este problema será abordado com o uso da Eliminação de Gauss-Jordan. O objetivo deste

método é a geração de um sistema linear Rx d equivalente a Ax b (e também a Ux c ,

proveniente da eliminação gaussiana) de modo que R seja uma matriz escalonada reduzida por

linhas.

O uso da matriz R não é restrito ao estudo de sistemas lineares. Mais adiante, a inspeção de

uma matriz escalonada reduzida por linhas R – oriunda de uma determinada matriz A – será

responsável pela geração de bases para os espaços vetoriais fundamentais associados à matriz A.

1. Matrizes Escalonadas Reduzidas por Linhas

Definição: Uma matriz M (mxn) está na forma escalonada por linhas (ref – row echelon form) se:

i) Toda linha não-nula de M está acima de todas as linhas nulas (se estas existirem); e

ii) O coeficiente líder (primeiro elemento não nulo de uma linha não nula), denominado pivô,

está sempre à direita do coeficiente líder da linha imediatamente acima.

Exemplo 01: Sejam as matrizes 1

0 8 9

0 5 4

0 0

3

2

0 0

M

e 2

3

1

5

1 2 3 2

0 0 5 0

0 0 0 5

0 0 0 60

M

.

A matriz M1 não está na forma escalonada por linhas. De fato, embora os elementos 1,12 3m

e 1,21 2m sejam pivôs, sua localização não satisfaz a condição ii. Deve-se notar, porém, que a

condição i é satisfeita. No entanto, a matriz 3 12 1M P M está na forma escalonada por linhas

(verifique).

M2 está na forma escalonada por linhas, uma vez que a localização dos pivôs 2,11 3m ,

2,23 1m , 2,34 5m e 2,45 6m satisfaz a condição ii. Deve-se notar que a condição i não se aplica a

matriz M2, uma vez que não existem linhas nulas.



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Exemplo 02: A matriz 4

0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

M

está na forma escalonada por linhas.

Os elementos denotados por ‘’ são os pivôs de M4, enquanto os elementos ‘*’ podem assumir

qualquer valor real. É importante notar o padrão “em escada” que se estabelece em matrizes que

estão na forma escalonada por linhas.

Definição: As colunas que contém os pivôs de uma matriz M na forma escalonada por linhas são

denominadas colunas líderes ou colunas pivô. As demais colunas de M são as colunas livres1.

Exemplo 03: A matriz M4 do Exemplo 02 possui a seguinte configuração com respeito às colunas pivô

e livres:

4

0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

M

Definição: Uma matriz R (mxn) está na forma escalonada reduzida por linhas (rref – reduced row

echelon form) se:

i) Todo pivô de R é unitário; e

ii) Os pivôs são os únicos elementos não nulos de cada coluna líder (ou coluna pivô).

1 A razão para a escolha dos termos ‘líderes’ e ‘livres’ se tornará evidente quando da aplicação do método de

eliminação de Gauss-Jordan.

Colunas pivô: 1, 2, 5 e 6

Colunas livres: 3, 4, 7 e 8



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Exemplo 04: Sejam as matrizes 5

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

1

0

1

1

0

M

e 6

5 0 9 7 0

0 0 4 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1

1

1M

.

Ambas as matrizes estão na forma escalonada reduzida por linhas. As colunas 2, 3 e 4 de M5

são colunas pivô e a coluna 1 é uma coluna livre. Já com relação à matriz M6, as colunas pivô são as

colunas 1, 3 e 6, enquanto as colunas livres são as colunas 2, 4 e 5.

2. Como escrever a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz A?

Qualquer matriz A mxn pode ser escrita na forma escalonada reduzida por linhas após um

número finito de operações elementares realizadas sobre suas linhas.

O conjunto de operações elementares (sobre linhas) permitido é composto por:

ijL , em que linha i (linha i – linha j). O multiplicador deve ser calculado de

forma que o elemento alvo da operação elementar seja anulado após a sua aplicação.

iL , em que linha i linha i.

ijP , em que ocorre a permutação entre as linhas i e j.

Observação importante: A operação ijL é idêntica à operação ijE empregada na fatoração

PA LU . Surge então uma questão? Por que modificar a notação? A razão é simples: quando a

operação ijE [que representa linha i (linha i – linha j)] é realizada em uma matriz A

quadrada, o elemento situado na posição ,i j será anulado. Em outras palavras, existe uma

correspondência direta entre os índices de linha (linha i e linha j) presentes em ijE e a posição

(linha i, coluna j) do elemento a ser anulado no processo de eliminação gaussiana aplicado à

matrizes quadradas.

No entanto, esta correspondência – que se mostrou extremamente útil até o momento – não é

aplicável no caso geral em que A é uma matriz retangular. Assim, para o caso geral de matrizes

mxn, utiliza-se a notação ijL . A matriz a seguir ilustra esta situação:

3 3 2

32 2

2

10 0 0 2 2 0 0 0 2

4 0

0 0 0 12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0l l l

A L L

É importante notar que a aplicação da operação 32 2L tem por objetivo anular o elemento

3,4 da matriz A. Um estudante descuidado poderia pensar que a operação indicada para tal fim

seria na verdade 34 2E . Mas isso não faria sentido, uma vez que A possui apenas três linhas!



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Definição: rrefR A indica que a matriz R é a forma escalonada reduzida por linhas de A, obtida

após um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.

Exemplo 05: A forma escalonada reduzida por linhas de

1 3 1 1

2 6 3 1

1 3 2 2

X

é obtida a partir de:

21

32 12

31

1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 0 42

6 3 1 0 0 1 3 1 0 0 1 3 1 0 0 3 rref1

3 2 2 0 0 3 0 0 0 0 0

1

2

1

1

1 1 0 0 0

LX L L R X

L

.

3. O Método de Eliminação de Gauss-Jordan

O Método de Gauss-Jordan apoia-se no fato de que os sistemas lineares A x b e R x d ,

com rrefR A , são equivalentes (ou seja, partilham do mesmo conjunto solução). De fato, mostra-

se que a aplicação das operações elementares sobre as linhas de |A b que resultam na matriz

|R d , mantém inalterado o conjunto solução de A x b .

A vantagem do Método de Gauss-Jordan é a eliminação do processo de retrossubstituição

necessário à eliminação gaussiana.

Exemplo 06: A aplicação do Método de Gauss-Jordan na solução do sistema linear

2 2 6 4

2 7 6

2 6 7 1

x y z

x y z

x y z

segue a sequência de passos2 mostrada abaixo:

21

1 2

31

2 6 4 1 3 22

1

1 3 221

| 2 1 7 6 2 1 7 6 0

1

1 2 122

2 6 7 1 2 6 7 1 1

1

0 4 3

LA b L L

L

12 13

3

32 23

1 3 2 0 4 4 0 4 4 0 0 01 41

0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 |4 15

0 4 1 3 0 0

1

5 0 0

1 1 1

1 1 1 1

1 11 0 0 15

L LL R d

L L

.

Assim, a solução única do sistema é 0 1 1T T

x x y z .

2 Trata-se de uma dentre as infinitas sequências possíveis.



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Exemplo 07: Sejam

0 4 3

1 7 5

1 8 6

1 15 11

A

, 1

3

4

5

0

b

, 2

0

0

1

0

b

e 3

0

0

0

0

b

.

A aplicação do Método de Gauss-Jordan à solução simultânea dos sistemas 1 1Ax b , 2 2Ax b

e 3 3Ax b resulta em:

21

1 2 3 14

31

0 4 3 3 0 0 15 11 0 0 0 15 11 0 0 0

1 7 5 4 0 0 1 7 5 4 0 0 0 8 6 4 0 01| | |

1 8 6 5 1 0 1 8 6 5 1 0 0 7 5 5 1 01

1 15 11 0 0 0 0 4 3 3 0 0 0 4 3 3 0 0

1 1

LA b b b P

L

32

2 3

42

15 11 0 0 0 15 11 0 0 0

0 3 4 1 2 0 0 0 3 4 1 2 0 0714

0 7 5 5 1 0 0 0 3 2 1 048

0 4 3 3

1

0 0 0 0 0 5 0 0

1 1

1 1

4

LL L

L

13

12

23

15 11 0 0 0 0 1 4 15 2 0 0 1

0 3 4 1 2 0 0 0 3 4 1 2 0 0 415

0 0 6 4 0 0 0 6 4 0 3

0 0 0

1

5 0 0 0 0 0 5 0 0

1

1 1

1

4

1

L

L

L

1 2 3

0 0 9 1 0

0 0 4 3 0| | |

0 0 6 4 0

0 0

1

5 0

1

1

0 0

R d d d

.

O resultado anterior mostra que:

O sistema 1 1Ax b é inconsistente, pois 0 0 0 5x y z é impossível (0 5 !!);

Os sistemas 2 2Ax b e 3 3Ax b são consistentes e determinados. Deve-se notar que a

última equação (desnecessária) é do tipo 0 0 0 0x y z e as demais equações dos sistemas

admitem as soluções únicas 2 1 3 4T

x e 3 0 0 0T

x (3 equações, 3 pivôs, 3

incógnitas).

Exemplo 08: Sejam

2 2 3

1 0 1

3 4 7

A

, 1

1

5

3

b

e 2

0

0

0

b

.

A aplicação do Método de Gauss-Jordan à solução simultânea dos sistemas 1 1Ax b e

2 2Ax b resulta em:



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21

1 2 12 2

31

2 2 3 1 0 0 1 5 0 0 1 5 02 1

| | 1 0 1 5 0 2 2 3 1 0 0 5 9 03 2

3 4 7 3 0 3 4 7 3 0 0 4 10 18 0

1

2

1L

A b b P LL

31 1 2

1 10 1 5 0 0 1 5 0

0 5 2 9 2 0 4 0 5 2 9 2 0 | |

0 4 10 18 0 0 0 0 0 0

1 1L R d d

.

O resultado anterior mostra que:

Os sistemas 1 1Ax b e 2 2Ax b são consistentes e indeterminados. Deve-se notar que a

última equação (desnecessária) é do tipo 0 0 0 0x y z e as demais equações dos sistemas

admitem infinitas soluções (2 equações, 2 pivôs, 3 incógnitas).

As colunas 1 e 2 de R são colunas pivô (ou colunas líderes). Então, as variáveis (incógnitas) x

e y são denominadas variáveis líderes.

A coluna 3 de R é uma coluna livre. Logo, a variável z é denominada variável livre.

As componentes x e y (variáveis líderes) dos infinitos vetores solução dos sistemas 1 1Ax b e

2 2Ax b são combinações lineares da variável livre z. Para que isto se torne evidente, reescrevem-se

os sistemas 1 1Rx d e 2 2Rx d , equivalentes a 1 1Ax b e 2 2Ax b :

Sistema 1 1Rx d Sistema 2 2Rx d

5 5

5 9 9 5

2 2 2 2

x z x z

y z y z

1

9 55 , , |

2 2S z z z z

9 55, ,1 1, ,1 |

2 2z z

9

5, ,1 2,5,2 |2

0

5 50

2 2

x z x z

y z y z

2

5, , |2

S z z z z

51, ,1 |

2z z

2,5,2 |



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A inspeção da matriz aumentada |R d permite avaliar a natureza do sistema linear

Ax b . Em outras palavras, as colunas líderes, livres e as (possíveis) linhas nulas de R revelam se o

sistema é consistente (determinado ou indeterminado) ou inconsistente.

Resumindo:

Caso o número de linhas nulas de R seja diferente do número de linhas nulas de |R d , o

sistema Ax b será inconsistente.

Caso contrário (número de linhas nulas de R número de linhas nulas de |R d ), Ax b

será consistente:

determinado: número de pivôs número de incógnitas.

indeterminado: número de pivôs < número de incógnitas.

Exemplo 09: O sistema linear 1 2 6

TAx A x x x b exibe, após a aplicação do Método de

Gauss-Jordan, a matriz aumentada |R d a seguir:

1 0 0

0 0 0 1 0|

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

R d

.

Ax b será inconsistente quando 0 . Caso contrário, Ax b admite infinitas soluções. As

variáveis livres serão x2, x3 e x6. As variáveis líderes x1, x4 e x5 são combinações lineares de x2, x3 e x6.

Exercícios propostos:

E1. Resolver os sistemas lineares utilizando o Método de Gauss-Jordan:

a)

3 6

3 2 8 7

4 5 3 17

x y z

x y z

x y z

b)

3 2 0

3 3 0

2 0

x y z t

x y z t

y z t

c)

0

2 3 0

4 2 0

x y z

x y z

x y z

d)

1

2

2 3

x y z

x y z

x y z

E2. Dado o sistema linear 2 5

4 2

x y

x y t

:

a) Determine um valor de t para o qual o sistema tem uma única solução;

b) Determine um valor de t para o qual o sistema não possui solução.



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E3. Uma fábrica de plásticos produz dois tipos de plásticos: o normal e o especial. Cada tonelada de

plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B; cada tonelada de

plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A

está disponível 8 horas por dia e a máquina B 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de

plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas?

E4. Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do

alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos.

Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de

carboidratos. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2

unidades de carboidratos. Se a refeição precisa conter exatamente 25 unidades de proteínas, 24

unidades de gordura e 21 unidades de carboidratos, quantos gramas de cada tipo de alimento devem

ser utilizados?

E5. Faça o balanceamento da reação química:

1 4 2 2 3 2 4 2x CH x O x CO x H O

[ metano ] + [ oxigênio ] [ dióxido de carbono ] + [ água ]

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