bab vbab v - · pdf filemetode gauss jordanmetode gauss jordan • metode gauss jordan...

22
BAB V BAB V Sistem Persamaan Linier FTI-UY

Upload: vudiep

Post on 07-Feb-2018

368 views

Category:

Documents


19 download

TRANSCRIPT

Page 1: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

BAB VBAB V

Sistem Persamaan Linier

FTI-UY

Page 2: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

• Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banyak masalah matematika terapan adalah menyelesaikan suatu sistem persamaan linear .

• Representasi Sistem Persamaan LinearSistem n persamaan linear dengan n variabel dapat dinyatakan sebagai berikut:berikut:

• Dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n

i b l

FTI-UY

variabel.

Page 3: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS

SPL BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai

l i ( k i l ) t t i d l b t kpenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.

FTI-UY

Page 4: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

• Contoh :Selesaikan SPL berikut

3x – 2y = 72x + y = 14

• Penyelesaian permasalah di atas :• Penyelesaian permasalah di atas :– Substitusi– Eliminasi– Grafik– Determinan

FTI-UY

Page 5: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

TIGA OPERASI STANDAR PENYELESAIAN SPLPENYELESAIAN SPL

1. Mengalikan suatu persamaan Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi duapersamaan sebarang

dengan konstanta tak nol.

Menukar posisi dua baris sebarangpersamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatupersamaan ke persamaan

sebarang.

Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris

lainnya. lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

FTI-UY

gg p p

Page 6: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

CONTOH

DIKETAHUI

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i) dengan (-2) kemu-

kalikan baris (i)dengan (-2), laludengan ( 2), kemu

dian tambahkan kepers (ii).

g ( ),tambahkan kebaris (ii).

kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).pers (iii).

kalikan pers (ii) kalikan baris (ii)

FTI-UY

p ( )dengan (1/2). dengan (1/2).

Page 7: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu

kalikan brs (ii) dengan (-3), g ( ),

tambahkan ke pers(iii).

g ( ),lalu tambahkan ke brs (iii).

kalikan pers (iii)dengan (-2).

kalikan brs (iii) dengan (-2).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu

kalikan brs (ii) dengan (-1) lalu

FTI-UY

tambahkan ke pers (i).

dengan ( 1), lalu tambahkan ke brs (i).

Page 8: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu

b hk k

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu

tambahkan ke pers (i).

g ( ),tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg

kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg

(7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)

(7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)

i l h d k i ikDiperoleh x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.

FTI-UY

g

Page 9: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Eliminasi gaussEliminasi gaussgg

P d l i d i d i i Prosedur penyelesaian dari metoda ini adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga sedemikian sehingga g g ggsalah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan tak diketahui dan setiap persamaan tak diketahui, dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru

FTI-UY

Page 10: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Metode Gauss JordanMetode Gauss JordanMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan• Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah

pengembangan dari eliminasi gauss • Matriks di rubah menjadi segitiga bawah• Matriks di rubah menjadi segitiga bawah

dan atas (matriks identitas)V i b l bi l dib• Variabel persamaan bisa langsung dibaca

FTI-UY

Page 11: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan berikut ini:

3 x - 0.1 y – 0.2 z = 7.850.1 x + 7 y – 0.3 z = -19.30 3 0 2 10 71 40.3 x – 0.2 y + 10 z = 71.4

Dalam bentuk bentuk matriks :

8570 2-0 1-3 x 8570 2-0 13 x

−=

4.713.19

85.7

10 0.2- 0.30.3- 7 0.10.2- 0.1- 3

zyx

−=

615.70562.19

85.7

10.02 2.19- 00.293- 7.003 00.2- 0.1 3

zyx

FTI-UY

Page 12: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

5621985.7

0 2937 00300.2- 0.1 3 x

−=

084.70562.19

10.012 0 00.293- 7.003 0

zy

−=

7932261667.2

0 4188-100.06667- 0.0333- 1

yx

=

7

7932.21 0 0

0.4188 1 0zy

−=

7932,25236,2

0,4188- 1 00,0668- 0 1

yx

71 0 0 z

FTI-UY

Page 13: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

−=

793223

0 4188-100 0 1

yx

=

7

7932,21 0 00,4188 1 0

zy

3001 x

−=

5,23

0 1 00 0 1

yx

71 0 0 z

FTI-UY

Page 14: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Metode Gauss SeidelMetode Gauss SeidelMetode Gauss SeidelMetode Gauss Seidel• Metode ini menerapkan terkaan-terkaan awalMetode ini menerapkan terkaan terkaan awal

dan kemudian diiterasi untuk memperoleh taksiran-taksiran yang diperhalus dari penyelesaiannya

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan berikut ini:p3 x - 0.1 y – 0.2 z = 7.850.1 x + 7 y - 0.3 z = -19.30.3 x – 0.2 y + 10 z = 71.4

FTI-UY

Page 15: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

prosedur :

Nilai yang belum diketahui dianggap nolHasil dari perhitungan digunakan untuk perhitunganselanjutnyaselanjutnya.

It i tIterasi pertamaDengan menganggap bahwa y dan z adalah nol, maka x dapat dihitung:g

8572010857 ++ zy

FTI-UY

61667,2385,7

32,01,085,7

==++

=zyx

Page 16: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Nilai y ini dengan anggapan nilai z adalah nol dan x Nilai y ini dengan anggapan nilai z adalah nol dan x adalah hasil yang barus saja dididapat kemudianadalah hasil yang barus saja dididapat kemudianadalah hasil yang barus saja dididapat, kemudian adalah hasil yang barus saja dididapat, kemudian disubtitusikan ke persamaan berikut :disubtitusikan ke persamaan berikut :

7945,27

)61667,2(1,03,197

3,01,03,19−=

−−=

+−−=

zxy

Nilai y dan nilai x , disubtitusikan untuk mencari nilai z

10)7945,2(2,0)61667,2(3,04,71

102,03,04,71 +−

=+−

=yxz

FTI-UY

0056,7=z

Page 17: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Iterasi keIterasi ke--22

3)0056,7(2,0)7945,2(1,085,7

32,01,085,7 +−+

=++

=zyx

99056,2 =

)0056,7(3,0)99056,2(1,03,193,01,03,19 +−−+−− zx

49962,2 7

)()(7

−=

==y

10)49962,2(2,0)99056,2(3,04,71

102,03,04,71 −+−

=+−

=yxz

FTI-UY

00029,71010

=z

Page 18: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Iterasi keIterasi ke--33

3)0029,7(2,0)49963,2(1,085,7

32,01,085,7 +−+

=++

=zyx

00032,3 =

)0029,7(3,0)00032,3(1,03,193,01,03,19 +−−+−− zx

49999,2 7

)0029,7(3,0)00032,3(1,03,197

3,01,03,19

−=

+=

+=

zxy

10)49999,2(2,0)00032,3(3,04,71

102,03,04,71 −+−

=+−

=yxz

FTI-UY99999,6

1010=z

Page 19: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Iterasi keIterasi ke--44

3)99999,6(2,0)499999,2(1,085,7

32,01,085,7 +−+

=++

=zyx

3 =

)99999,6(3,0)3(1,03,193,01,03,19 +−−+−− zx

5,2 7

)99999,6(3,0)3(1,03,197

3,01,03,19

−=

+=

+=

zxy

10)5,2(2,0)3(3,04,71

102,03,04,71 −+−

=+−

=yxz

FTI-UY7

1010=z

Page 20: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

FTI-UY

Page 21: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

Subtitusi Mundur dan Subtitusi Maju

Pandang SPL dengan matriks koefisisen berupa matriks segitiga atas berikut :

a11x1 + a12x2+ ... + a1nxn = b1a22x2+... + a2nxn = b2

⋅ ⋅... ⋅ ⋅annxn = bn

• Algoritma Subtitusi Mundurb /xn = bn / ann

Untuk k = n – 1, ... 1n

ab ∑kk

kjxkjk

k a

abx

j∑

+=

−= 1

FTI-UY

Page 22: BAB VBAB V -   · PDF fileMetode Gauss JordanMetode Gauss Jordan • Metode Gauss jordan adalahMetode Gauss jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss

• Jika kita menyelesaikannya secara maju, algoritma yang berhubungan disebut subtitusi majuSPL nya berbentuk

a1nxn = b1

a2n 1xn 1 + a2nxn = b22n-1 n-1 2n n 2⋅ ⋅

an1x1 + an2x2+ ... + annxn = bn

• Algoritma Subtitusi Majuxn = b1 / a11

Untuk k = 2 3 nUntuk k 2, 3, ... nk

jxkjk

k

abx

j∑−

=

−=

1

1

kka

FTI-UY