eliminacao de gauss
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ELIMINACAO DE GAUSSTRANSCRIPT
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Sistemas de Equaes Lineares Mtodos Diretos e Iterativos
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Sistemas de Equaes Lineares
Um sistema de equaes lineares definido como um conjunto m de equaes que contm n incgnitas, geralmente escrito na forma:
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Sistemas de Equaes LinearesEste sistema de equaes pode ser escrito em forma matricial como:A.x=BOnde A uma matriz de ordem m x n, contendo os coeficientes das equaes.
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Sistemas de Equaes Linearesx uma matriz n x 1, contendo as incgnitas. Esta matriz escrita como:
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Sistemas de Equaes LinearesFinalmente, B tambm uma matriz m x 1, e contm os termos independentes das equaes.
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Sistemas de Equaes LinearesO sistema de equaes pode ser escrito como:
Ou ento, em sua forma de matriz estendida:
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Sistemas de Equaes LinearesJ a matriz
uma soluo para o sistema de equaes se, para cada xi=xi, tivermos uma identidade numrica para o sistema A.x=B.
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Sistemas de Equaes LinearesUm sistema de equaes algbricas lineares dito homogneo, se a matriz B do sistema nula, isto , os bj=0.
Um sistema de equaes algbricas lineares dito compatvel, quando apresenta uma soluo, e dito incompatvel, quando no apresenta soluo.(Estudaremos os sistemas de equaes compatveis, que podero se homogneos ou no.)
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Sistemas de Equaes LinearesUm sistema de equaes dito triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja:
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Um sistema de equaes algbricas lineares dito triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos, ou seja:
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O Mtodo de GaussO mtodo de Gauss ( ou mtodo da eliminao Gaussiana) consiste em transformar o sistema linear, em um nmero finito de etapas, em outro equivalente, de mesma soluo.
A ideia transformar o sistema linear no formato triangular superior.
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Transformaes elementares:
Troca a linha i pela linha j; Substituir a linha i pela mesma linha multiplicada por uma constante no-nula;Substituir a linha i pela soma dela com outra linha j.Obs.: i) permitido fazer vrias operaes elementares de uma nica vez, bem como subtrair linhas ou dividir uma linha por uma constante. ii) recomendvel, que o primeiro coeficiente no-nulo de cada linha seja igual a 1.
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Vejamos atravs de um exemplo como o mtodo de Gauss aplicado:Exemplo: Dado o sistema de equaes abaixo, determine a sua soluo atravs do mtodo de Gauss.
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Problemas deste mtodo:Se houver algum elemento nulo na diagonal principal, no ser possvel encontrar a resposta (para isso, pode-se trocar as linhas de forma a corrigir este problema).
Valores de piv muito prximos de 0 propagam erros de arredondamento muito facilmente, podendo at mesmo invalidar os resultados alcanados. O ideal que os multiplicadores das linhas sejam todos menores que 1.
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Exerccio: Determine a soluo dos sistemas a seguir:i)ii)iii)
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