ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน¸•้นปี55/system...

บทท 3

ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

กระแสไฟฟาในวงจรไฟฟาแสดงในรป 3.1 เปนไปตามกฏของ Kirchhoff กลาวคอ Junction Rule กระแสไฟฟาทไหลเขา junction นนตองเทากบกระแสไฟฟาทไหลออกจาก junction นน และ Loop Rule ผลบวกของการเปลยนแปลงของศกยไฟฟารอบวงจรมคาเปนศนย

รปท 3.1: วงจรไฟฟา

ถาเราเคลอนทตามทศทางของกระแสไฟฟาการเปลยนแปลงของศกยไฟฟาครอมตวตานทานมคาเทากบ iRแตถาเคลอนทสวนทางกระแสไฟฟาการเปลยนแปลงของศกยไฟฟาครอมตวตานทานคาเทากบ +iR ดงนนระะบบสมการสำหรบวงจรไฟฟาในรป 3.1 กำหนดโดยi1 i2 i3 = 0i1R1 + i2R2 = Ei2R2 i3R3 = 0

การหาคากระแสไฟฟาขางตนจะตองใชความรเกยวกบการแกระบบสมการเชงเสน ซงเราจะกลาวถงกระบวนการหาผลเฉลยโดยวธเชงตวเลขในบทน ปญหาเกยวกบระบบสมการเชงเสนพบไดในงานทางดานวทยาศาสตร วศวกรรมศาสตรหรอแมแตในปญหาทางดานเศรษฐกจ ระบบสมการเชงเสน m สมการและตวแปร n ตว คอระบบสมการ ซงอย

1

2 บทท 3. ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

ในรป a11x1 + a12x2 + : : :+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + : : :+ a2nxn = b2: : : : : :am1x1 + am2x2 + : : :+ amnxn = bm (3.0.1)

สมประสทธ (coefficient) aij เมอ i = 1; : : : ;m และ j = 1; : : : ; n และจำนวนจรง bi เมอ i = 1; : : : ;m เปนจำนวนทกำหนดให ในทนเราตองการแกระบบสมการเชงเสน (3.0.1) เพอหาคาของ xj เมอ j = 1; : : : ; n โดยอาศยสมบตของเมทรกซ (matrix) และเวคเตอร (vector)

เมทรกซ หมายถง แถวลำดบของจำนวนซงจดใหอยในรปของแถวและหลก สมประสทธในสมการ (3.0.1)สามารถจดใหอยในรปของเมทรกซ A ดงนA = 26664 a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn 37775 (3.0.2)

เราอาจเขยนเมทรกซ A ในรปแบบยอดงน A = (aij) (3.0.3)

โดยอาจละมตหรอขนาด m n ของเมทรกซ A ไวเมอไมมความจำเปนหรออาจเหนไดชดเจนจากเนอหาโดยรอบเราเรยกเมทรกซ A ทมจำนวนแถวเทากบจำนวนหลกวาเมทรกซจตรส (square matrix) เราเรยกเมทรกซทมเพยง1 หลกวา เวคเตอรหลก (column vector) และเรยกเมทรกซทมเพยง 1 แถววา เวคเตอรแถว (row vector) เราอาจเรยกเวคเตอรหลกและเวคเตอรแถวเพยงสนๆวา เวคเตอร จำนวนทางดานขวาและตวไมทราบคาของระบบสมการ(3.0.1) อาจเขยนในรปของเวคเตอร b และ x ไดดงนb = 266664 b1b2

...bm 377775 ; x = 266664 x1x2...xm 377775 (3.0.4)

โดยอาศยหลกการเทากนและการคณของเมทรกซ เราสามารถเขยนแทนระบบสมการเชงเสน (3.0.1) ไดดงนAx = b (3.0.5)

ในสวนตอจากนไปเราจะพจารณาเฉพาะกรณทระบบสมการมเมทรกซสมประสทธ A เปนเมทรกซจตรสและมตวผกผน กฎทใชในการตดสนการมตวผกผนของเมทรกซจตรสคอ ดเทอรมแนนต (determinant) เรารวาเมทรกซจตรส A มตวผกผนกตอเมอ det(A) 6= 0 ถา det(A) 6= 0 เราสามารถเขยนผลเฉลยของระบบสมการ Ax = bในเทอมของดเทอรมแนนตไดโดยใชกฎของเครเมอร (Cramer0s rule) แตในทางปฏบตการคำนวณหาดเทอรมแนนตของเมทรกซยากเทากบการแกระบบสมการ ดวยเหตน เราจงหลดเลยงการใชดเทอรมแนนตในการหาผลเฉลยของระบบสมการ แตเราจะอาศยกระบวนการทางตวเลขทจะกลาวถงในลำดบถดไป

3.1. การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยการอลมเนท 3

3.1 การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยการอลมเนทกำหนดให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n n และ b เปนเวคเตอรขนาด n 1 พจารณาระบบสมการAx = b (3.1.6)

เมอเมทรกซสมประสทธA เปนเมทรกซสามเหลยมบนทมสมาชกบนเสนทแยงมมไมเปนศนย ผลเฉลยของ (3.1.6)อาจหาไดโดยวธการแทนคากลบ (back-substitution) สงเกตวาระบบสมการ (3.1.6) ในกรณท A เปนเมทรกซสามเหลยมบนอาจเขยนไดในรปa11x1 + a12x2 + . . . + a1;n1xn1 + a1nxn = b1a22x2 + . . . + a2;n1xn1 + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . .an1;n1xn1 + an1;nxn = bn1annxn = bn (3.1.7)

สญลกษณ an1;n1 หมายถงสมาชกแถวท n 1 และหลกท n 1 เครองหมายจลภาคกนตวหอยไวในกรณท

อาจทำใหเกดความสบสนเทานน จากสมการสดทายเรารวา ann 6= 0 เพราะฉะนน xn = bnannแทนคาของ xn ในสมการรองสดทายทำใหเหลอตวไมทราบคาเพยงตวเดยวคอ xn1เนองจาก an1;n1 6= 0 เราจะไดวา xn1 = bn1 an1;nxnan1;n1โดยอาศยแนวคดทำนองเดยวกนน เราสามารถเขยนสตรการหาคา xk เมอรคา xk+1; xk+2; : : : ; xn ไดดงนxk = 1akk 24bk nXj=k+1 akjxj35 (3.1.8)

วธการแทนคากลบ ให A แทนเมทรกซสามเหลยมบนขนาด n n ทมสมาชกบนเสนทแยงมมไมเปนศนยและ b แทนเวคเตอรขนาด n 1

ตวแปร xn; xn1; : : : ; x1 ของระบบสมการ Ax = b คำนวณไดจากFor k = n; n 1; : : : ; 1 doxk := bk nPj=k+1 akjxjakk

สำหรบกรณ k = n ผลรวมnPj=n+1 akjxj มคาเปนศนย


Agorithm : Back Substitution Methodกระบวนการแทนคากลบสำหรบเมทรกซสามเหลยมบน A เมอสมาชกในแนวทแยงมมหลกไมเปนศนยสำหรบแกสมการ Ax = b

1. กำหนด n แทนขนาดของเมทรกซสามเหลยมบน A

2. กำหนด Next2do=1

3. คำนวณผลเฉลย x(n)=b(n)/A(n,n)

4. กำหนด i=n-1

5. ในขณะท i>0 และ Next2do6= 0 ใหทำขนตอน 5.1-5.3

5.1 ถา A(i,i)=0 กำหนด Next2do=0 มฉะนนใหทำขนตอน 5.2-5.35.2 คำนวณผลเฉลย x(i)=(b(i)-sum(A(i,i+1:n)x(i+1:n)))/A(i,i)5.3 ลดคาของตวนบ i=i-1

6. ถา Next2do=0 ใหแสดงขอความ No unique solution exist มฉะนนแสดงผลเฉลย x

จากกระบวนการแทนคากลบแสดงใหเหนวาระบบสมการ Ax = b มผลเฉลยสำหรบเวคเตอร b เพยงหนงชดในกรณทสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมของเมทรกซ A ไมเปนศนยหรออาจกลาวไดวาเมทรกซ A มตวผกผน

ทฤษฎบท 3.1.1. เมทรกซสามเหลยมบนมตวผกผนกตอเมอสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมไมเปนศนย

สมมตวาเมทรกซสมประสทธ A ของระบบสมการ Ax = b ไมเปนเมทรกซสามเหลยมบน ผลเฉลยของระบบสมการ Ax = b สามารถหาไดโดยอาศยวธการกำจดตวแปรแบบเกาส (Gauss elimination) หลกการกำจดตวแปรแบบเกาส คอ การแปลงระบบสมการใหสมมล (equivalent) กบระบบสมการเดมและมเมทรกซสมประสทธเปนเมทรกซสามเหลยมบน จากนนจงแกระบบสมการโดยการแทนคากลบดงทไดกลาวมาแลว

บทนยาม 3.1.1. การดำเนนการเบองตนบนแถว(หลก) บนเมทรกซ A (elementary row (column) operationon A) คอการดำเนนงานอยางใดอยางหนงตอไปน

1. การสลบทระหวางแถว(หลก) ท i กบแถว(หลก) ท j ของเมทรกซ A2. การคณแถว(หลก) ท i ของเมทรกซ A ดวยจำนวนจรง k โดยท k 6= 03. การคณแถว(หลก) ท i ของเมทรกซ A ดวยจำนวนจรง k แลวนำไปบวกกบแถว(หลก) ท j ของเมทรกซAเรากลาววาระบบสมการ Ax = b สมมลกบระบบสมการ ~Ax = ~b ถาผลเฉลยใดๆของระบบสมการหนงเปน

ผลเฉลยของอกสมการ

หลกของการกำจดตวแปรอาศยการดำเนนการใน ทบ.3.1.1 กลาวคอถา Ax = b เปนระบบสมการทม akk 6=0 แลวเราสามารถกำจดตวไมรคา xk จากสมการ i k โดยการบวกผลคณของ (aij=akk) กบสมการ k ดวย


สมการ i ระบบสมการทไดสมมลกบระบบสมการเดม

ถากำหนดให Ax = b เปนระบบสมการทมเมทรกซสมประสทธขนาด n การกำจดตวแปรแบบเกาสเปนการสรางลำดบของระบบสมการ A(k)x = b(k) สำหรบ k = 0; : : : ; n 1 เมอ A(0)x = b(0) แทนระบบสมการแรกเรม เราสามารถแปลงระบบสมการอนดบท k 1 ใหอยในรปแบบดงนa(k1)11 x1 + a(k1)12 x2 + + a(k1)1;k1xk1 + a(k1)1k xk + + a(k1)1n xn = b(k1)1a(k1)22 x2 + + a(k1)2;k1xk1 + a(k1)2k xk + + a(k1)2n xn = b(k1)2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a(k1)k1;k1xk1 + a(k1)k1;kxk + + a(k1)k1;nxn = b(k1)k1a(k1)k;k xk + + a(k1)k;n xn = b(k1)k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a(k1)n;k xk + + a(k1)n;n xn = b(k1)n

ถาเราแปลงระบบสมการดวยการกำจดตวแปรแบบเกาสจำนวน n 1 ครง นนคอ k = n 1 เราจะไดระบบสมการ A(n1)x = b(n1) ทมเมทรกซสมประสทธเปนเมทรกซสามเหลยมบน จากนนเราจงสามารถหาผลเฉลยไดโดยการแทนคากลบ

Algorithm : Gaussian Eliminationขนตอนการกำจดแบบเกาสแปลง Ax=b ใหเมทรกซสมประสทธเปนเมทรกซสามเหลยมบน

1. กำหนด n แทนขนาดของเมทรกซ A

2. แตงเตมเมทรกซ A ดวย b โดยการกำหนด A(:,n+1)=b


4. กำหนด i=1

5. ในขณะท i<n และ Next2do6=0 ใหทำขนตอน 5.1-5.4

5.1 ถา A(i,i)=0 กำหนด Next2do=0 มฉะนนใหทำขนตอน 5.2-5.45.2 สำหรบ j=i+1,. . . ,n คำนวณตวคณ m=A(j,i)/A(i,i)

5.3 คำนวณ A(j,:) = A(j,:)-mA(i,:)

5.4 เพมคาของตวนบ i=i+1

6. แสดงผลเมทรกซสามเหลยมบน A

ในการกำจดตวแปรแบบเกาสเราใชสมการท k ในการกำจดตวไมทราบคา xk จากสมการท k + 1; : : : ; n การกระทำดงกลาวนจะกระทำไดเฉพาะกรณทสมประสทธ a(k1)kk ของตวไมรคา xk ในสมการท k มคาไมเทากบศนยเทานน ใหผอานศกษาการแกปญหาเมอเกดกรณ a(k1)kk = 0 สมมตระบบสมการดงนx2 + x3 = 1 (a)x1 +x3 = 1 (b)x1 + x2 = 1 (c)


ในขนแรกเราจะเลอกสมการทใชเพอกำจดตวแปรจากสมการอน สมการทเลอกนเราเรยกวาสมการหลก (piv-otal equation) ในทน เราเลอกสมการ (b) เปนสมการหลก จากนนเราสลบสมการเพอใหสมการ (b) อยในตำแหนงบนสด นนคอเราดำเนนการสลบสมการ (b) และ (a) ดงนx1 +x3 = 1 (a)x2 + x3 = 1 (b)x1 + x2 = 1 (c)

สงเกตวาหลงจากสลบสมการแลวสมประสทธของ x1 มคาไมเทากบศนย จากนนเราสามารถนำสมการ (a) อนใหมหลงทำการสลบแลว เพอกำจดตวไมทราบคา x1 ในสมการ (c) ระบบสมการใหมคอ A(1)x = b(1) เขยนไดดงน x1 +x3 = 1 (a)x2 + x3 = 1 (b)x2 x3 = 0 (c)

นบจากขนตอนนไปปญหาเกยวกบสมประสทธตวแรกของสมการหลกเปนศนยไมเกดขนอก ระบบสมการสดทายเขยนไดดงน x1 +x3 = 1 (a)x2 + x3 = 1 (b)2x3 = 1 (c)

ผลเฉลยของระบบสมการขางตนสามารถคำนวณไดโดยการแทนยอนกลบ ในทนเราได x3 = x2 = x1 = 12บทนยาม 3.1.2. เราเรยกสมาชก akk ของเมทรกซ A ทใชการกำจดสมาชก ajk; j = k + 1; : : : ; n วาสมาชกหลก (pivotal element) เรยกแถวท k วาแถวหลก (pivotal row) และเรยกสมการท k วาสมการหลก (pivotalequation)

เนองจากเครองคำนวณหรอคอมพวเตอรจำกดตวเลขในการคำนวณ คาคลาดเคลอนเลกนอยอาจเพมขนในแตละขนของการคำนวณ ขอใหผอานเปรยบเทยบวธการคำนวณเพอหลกเลยงปญหาน จากตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.1.1. จงใชการกำจดตวแปรแบบเกาสคำนวณผลเฉลยของระบบสมการ1:133x1 + 5:281x2 = 6:414 (3.1.9)24:14x1 1:210x2 = 22:93 (3.1.10)

เปรยบเทยบผลเฉลยทไดกบผลเฉลย x1 = x2 = 1วธทำ บวกผลคณของ (24:14=1:133) = 21:31 กบสมการ (3.1.9) ดวยสมการ (3.1.10) เราจะไดa(1)22 = 1:210 21:31(5:281) = 113:7a(1)23 = 22:93 21:31(6:414) = 113:8

(3.1.11)

เขยนในรประบบสมการเชงเสนเราจะได1:133x1 + 5:281x2 = 6:414 (3.1.12)113:7x2 = 113:8 (3.1.13)


โดยการแทนคากลบเราจะได x2 = 113:8=(113:7) = 1:001และ x1 = (6:414 5:281(1:001))=1:133 = 0:9956

คาคลาดเคลอนทเกดในการหาผลเฉลยขางตนเกดขนเมอ akk มคานอยมากเมอเทยบกบสมาชก aij สำหรบk i; j n ในตวอยางตอไปเราจะลดความคลาดเคลอนในขนตอนนโดยการสลบแถวกอนการดำเนนการอนๆ

ตวอยาง 3.1.2. จงใชการกำจดตวแปรแบบเกาสคำนวณผลเฉลยของระบบสมการ24:14x1 1:210x2 = 22:93 (3.1.14)1:133x1 + 5:281x2 = 6:414 (3.1.15)

วธทำ บวกผลคณของ (1:133=24:14) = 0:04693 กบสมการ (3.1.14) ดวยสมการ (3.1.15) เราจะไดa(2)22 = 5:281 0:04693(1:210) = 5:338a(2)23 = 6:414 0:04693(22:93) = 5:338(3.1.16)

เขยนในรประบบสมการเชงเสนเราจะได24:14x1 1:210x2 = 22:93 (3.1.17)5:338x2 = 5:338 (3.1.18)

โดยการแทนคากลบเราจะได x2 = 5:338=5:338 = 1:000และ x1 = (22:93 + 1:210(1:000))=24:14 = 1:000Algorithm : Gaussian Elimination with pivotal element

ขนตอนการกำจดแบบเกาสแปลง Ax=b ใหเมทรกซสมประสทธเปนเมทรกซสามเหลยมบน


2. แตงเตมเมทรกซ A ดวย b โดยการกำหนด A(:,n+1)=b



5. ในขณะท i<n และ Next2do6=0 ใหทำขนตอน 5.1-5.4

5.1 สำหรบ j=i+1,. . . ,n ถา A(i,i)<A(j,i) หรอ A(i,i)=0ใหสลบทระหวางแถวท i กบแถวท j

5.2 สำหรบ j=i+1,. . . ,n คำนวณตวคณ m=A(j,i)/A(i,i)5.3 คำนวณ A(j,:) = A(j,:)-mA(i,:)5.4 เพมคาของตวนบ i=i+1

6. แสดงผลเมทรกซสามเหลยมบน A


แบบฝกหด 3.1.

สำหรบโจทยขอ 1-2 จงแสดงวาระบบสมการเชงเสน Ax = B ทอยทางซายมอสมมลกบระบบสมการUX = Y ทางขวามอเมอ U เปนเมทรกซสามเหลยมบน

1.

4x1 + 8x2 + 4x3 + 0x4 = 8 4x1 + 8x2 + 4x3 + 0x4 = 8x1 + 5x2 + 4x3 3x4 = 4 3x2 + 3x3 3x4 = 6x1 + 4x2 + 7x3 + 2x4 = 10 4x3 + 4x4 = 12x1 + 3x2 + 0x3 2x4 = 4 x4 = 22.

2x1 + 4x2 4x3 + 0x4 = 12 2x1 + 4x2 4x3 + 0x4 = 12x1 + 5x2 5x3 3x4 = 18 3x2 3x3 3x4 = 122x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 8 4x3 + 2x4 = 0x1 + 4x2 2x3 + 2x4 = 8 3x4 = 6ระบบสมการสำหรบโจทยขอ 3-5 มผลเฉลยเพยงหนงเดยว จงใชการกำจดตวแปรแบบเกาสคำนวณผลเฉลยของระบบสมการทกำหนดให

3. 0:001x1 + 65:140x2 = 65:1502:950x1 5:130x2 = 24:3704. x1 2x2 6x3 = 172x1 6x2 16x3 = 46x1 + 2x2 x3 = 55. x2 + 2x3 + 6x4 = 212x1 x2 + x3 + 5x4 = 12x1 x2 x3 4x4 = 93x1 2x2 6x4 = 4

สำหรบโจทยขอ 6-7 จงใชการกำจดตวแปรแบบเกาสคำนวณผลเฉลยของระบบสมการ ถาสามารถทำได

6. x1 x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 84x1 2x2 + 10x3 = 107. x1 + 3x2 + 6x3 2x4 = 72x1 5x2 10x3 + 3x4 = 1x1 + 2x2 + 4x3 = 0x2 + 2x3 3x4 = 108. จงแกระบบสมการ AX = B เมอA = 26666664 1.0 0.5 0.3333 0.25 0.2

0.5 0.3333 0.25 0.2 0.166670.3333 0.25 0.2 0.16667 0.142860.25 0.2 0.16667 0.14286 0.1250.2 0.16667 0.14286 0.125 0.11111

37777775 ; B = 26666664 10000

37777775


9. จงหาคาของ x1; x2; x3; x4 ททำใหสมการเคม x1C2H6 + x2O2 ! x3CO2 + x4H2O สมดล

10. จงใชหลกเดยวกบโจทยขอ 10 สรางสมดลสมการเคมตอไปน

10.1 Na+H2O!NaOH+H210.2 KClO3 !KCl+O210.3 Fe3O4+C! Fe+CO10.4 C5H8+O2 ! CO2 + H2O10.5 Cu+HNO3 ! Cu(NO3)2+H2O+NO10.6 Ca3(PO4)2+H3PO4 ! Ca(H2PO4)2

11. จงใชการกำจดแบบเกาสแกระบบสมการหาคาของกระแสไฟ ในวงจรไฟฟาดงแสดงอยทางซายในรป 3.25i1 + 5i2 = 16i3 i4 i5 = 02i4 3i5 = 0i1 i2 i3 = 05i2 7i3 2i4 = 0ABC

D

E F G

i1

2Ω

5Ω

3Ω

3Ω

2Ω

4Ω

2Ω

1Ω

i 2

i1

i 3

i 4

i 3

i 5

i 5

16

vo

lts

รปท 3.2: วงจรไฟฟาสำหรบโจทยขอ 11 (ทางซาย) และขอ 12 (ทางขวา)

12. จงใชการกำจดแบบเกาสแกระบบสมการหาคาของกระแสไฟ i1; i2; i3 ในวงจรไฟฟาดงแสดงอยทางขวาในรป 3.2 โดยทกระแสไฟสอดคลองระบบสมการตอไปนi1 + i2 i3 = 04i1 + i3 = 84i2 + i3 = 16


3.3 การแยกตวประกอบเชงสามเหลยมในบทนเราจะทำการแยกเมทรกซ A ออกเปนเมทรกซเชงสามเหลยมลาง L ทมสมาชกบนเสนทแยงมมหลกเปน1 และเมทรกซเชงสามเหลยมบน U ทมสมาชกบนเสนทแยงมมหลกไมเปนศนย ในทนเราจะเขยนสญลกษณและเสนอแนวคดตางๆในรปของเมทรกซขนาด 4 4 แนวคดเดยวกนนสามารถขยายเพอใชกบเมทรกซขนาด N Nบทนยาม 3.3.1. นอนซงกลารเมทรกซ A มตวประกอบเชงสามเหลยม (triangular factorization) ถาเมทรกซA สามารถเขยนใหอยในรปผลคณระหวางเมทรกซสามเหลยมลาง L ทมสมาชกบนเสนทแยงมมหลกเปน 1 และเมทรกซเชงสามเหลยมบน U

ในรปของเมทรกซขนาด 4 4 เราอาจแยกตวประกอบของนอนซงกลารเมทรกซ ไดดงน26664 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44 37775 = 26664 1 0 0 0m21 1 0 0m31 m32 1 0m41 m42 m43 1 3777526664 u11 u12 u13 u140 u22 u23 u240 0 u33 u340 0 0 u44 37775สมาชกบนเสนทแยงมมหลกของเมทรกซเชงสามเหลยมบนU มคาไมเปนศนยเพราะA เปนนอนซงกลารเมทรกซ

สมมตวาเมทรกซสมประสทธของระบบสมการ Ax = b มตวประกอบเชงสามเหลยม A = LU ดงนนเราสามารถเขยนระบบสมการใหมไดดงน LUx = b (3.3.1)

หรออาจแยกเปนสองระบบสมการไดดงน Ly = b (3.3.2)

และ Ux = y (3.3.3)

เพราะฉะนนการหาผลเฉลยของระบบสมการ (3.3.1) ในลำดบแรกเราจะหาผลเฉลยของระบบสมการ (3.3.2) หรอy1 = b1m21y1 + y2 = b2m31y1 +m32y2 + y3 = b3m41y1 +m42y2 +m43y3 + y4 = b4จากนนแทนคา y ในสมการ (3.3.3) แลวหาผลเฉลยของระบบสมการ (3.3.3) หรอu11x1 + u12x2 + u13x3 + u14x4 = y1u22x2 + u23x3 + u24x4 = y2u33x3 + u34x4 = y3u44x4 = y4ตวอยาง 3.3.1. จงหาผลเฉลยของระบบสมการx1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 212x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 523x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 794x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82

3.3. การแยกตวประกอบเชงสามเหลยม 11

วธทำ ตวประกอบเชงสามเหลยมของนอนซงกลารเมทรกซA = 26664 1 2 4 12 8 6 43 10 8 84 12 10 6 37775 คอ LU = 26664 1 0 0 02 1 0 03 1 1 04 1 2 1 3777526664 1 2 4 10 4 2 20 0 2 30 0 0 6 37775เราจะหาผลเฉลยของระบบสมการ y1 = 21 (a)2y1 + y2 = 52 (b)3y1 + y2 + y3 = 79 (c)4y1 + y2 + 2y3 + y4 = 82 (d)

โดยการแทนคา (forward-substitution method) ดงน เรารคา y1 = 21 จากสมการ (a) แทนคา y1 ในสมการ(b) จากนนหาคา y2 เราจะไดวา y2 = 52 2(21) = 10 ขณะนเรารคา y1; y2 เราสามารถแทนคา y1; y2 ในสมการ (c) จากนนหาคา y3 เราจะได y3 = 79 3(21) 10 = 6 ในทำนองเดยวกนนเราจะหาคา y4 ไดโดยy4 = 82 4(21) 10 2(6) = 24 นำคา y = [21 10 6 24T จากผลขางตนแทนในระบบสมการUx = y เราจะได x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21 (e)4x2 2x3 + 2x4 = 10 (f)2x3 + 3x4 = 6 (g)6x4 = 24 (h)

ในการหาผลเฉลยของระบบสมการนเราจะใชวธการแทนคากลบ (back-substitution) จากสมการ (h) เรารคาx4 = 24=(6) = 4 แทนคา x4 ในสมการ (g) คำนวณคา x3 = 12 (6 3(4)) = 3 แทนคา x4; x3ในสมการ (f) คำนวณคา x2 = 14 (10 2(4) + 2(3)) = 2 แทนคา x4; x3; x2 ในสมการ (e) คำนวณคาx1 = 21 4 4(3) 2(2) = 1 เพราะฉะนนผลเฉลยทตองการคอ [1 2 3 4T

จากตวอยางขางตนเรามไดแสดงการหาตวประกอบเชงสามเหลยมของนอนซงกลารเมทรกซ ในทนเราจะพจารณาการหาตวประกอบเชงสามเหลยมโดยศกษาจากตวอยางตอไปน หากในการกำจดแบบเกาสไมมการดำเนนการสลบแถว เราจะกำหนดใหตวคณ mij เปนสมาชกของเมทรกซสามเหลยมลาง Lตวอยาง 3.3.2. จงใชการกำจดแบบเกาสแยกตวประกอบของเมทรกซA = 264 4 3 12 4 51 2 6 375เราจะสรางเมทรกซเชงสามเหลยมลางจากเมทรกซเอกลกษณดวยการคณเมทรกซเอกลกษณทางซายของเมทรกซA ดงน A = 264 1 0 00 1 00 0 1 375264 4 3 12 4 51 2 6 375


ดำเนนการแบบแถวเพอกำจดสมาชกในหลกทหนงทอยดานลางของสมาชก a11 = 4 ใหนำตวคณ m21 =0:5 และ m31 = 0:25 ซงใชในการกำจดสมาชกในแถวท 2 และแถวท 3 ใสในเมทรกซเอกลกษณในตำแหนง(2; 1) และ (3; 1) ตามลำดบ ในขนนเราจะไดA = 264 1 0 00:5 1 00:25 0 1 375264 4 3 10 2:5 4:50 1:25 6:25 375ในทำนองเดยวกนเรากำจดสมาชกในหลกทสองทอยดานลางของสมาชก a22 = 2:5 ตวคณทใชในการกำจด

สมาชกแถวท 3 คอ m32 = 0:5 ใหนำตวคณนใสในเมทรกซเอกลกษณในตำแหนง (3; 2) เราจะไดA = 264 1 0 00:5 1 00:25 0:5 1 375264 4 3 10 2:5 4:50 0 8:5 375ขอใหผอานสงเกตวาการกำหนดสญลกษณสมาชกของเมทรกซเชงสามเหลยมลางดวย m แทนทจะกำหนด

ดวย l มความสมพนธกบตวคณดงทไดแสดงขางตน

ทฤษฎบท 3.3.1. ถาการสลบแถวไมจำเปนสำหรบการกำจดแบบเกาส แลวเมทรกซสมประสทธ A จะสามารถแยกออกเปนผลคณของเมทรกซเชงสามเหลยมลาง L และเมทรกซเชงสามเหลยมบน U เมอU = 266664 u11 u12 u1N0 u22 u2N

... . . . . . . ...0 uNN 377775 และ L = 266664 1 0 0m21 1 0... . . . . . . ...mN1 mN;N1 1 377775

Algorithm : LU Factorizationการแยกเมทรกซ A ออกเปนเมทรกซเชงสามเหลยมลาง L และเมทรกซเชงสามเหลยมบน U



3 กำหนดเมทรกซเชงสามเหลยมลาง L เปนเมทรกซเอกลกษณ

4 กำหนดเมทรกซเชงสามเหลยมบน U เปนเมทรกซศนย

5. ในขณะท i<n ใหทำขนตอน 5.1-5.4

5.1 สำหรบ j=i+1,. . . ,n คำนวณตวคณ m=A(j,i)/A(i,i)

กำหนดสมาชกของเมทรกซเชงสามเหลยมลาง L(j,i)=m5.2 คำนวณ A(j,:) = A(j,:)-mA(i,:)

5.3 เพมคาของตวนบ i=i+1

5.4 สำหรบ i=1,. . . ,n กำหนดเมทรกซเชงสามเหลยมบน U(i,i:n)=A(i,i:n)

3.3. การแยกตวประกอบเชงสามเหลยม 13

ในตวอยางขางตนกำหนดใหไมมการดำเนนการสลบแถว แตหากมความจำเปนทจะตองสลบแถวเราจะตองใชแนวคดของการสลบลำดบ (permutation)ใหผอานสงเกตเมทรกซ P และผลคณ PAPA = 26664 0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1 3777526664 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44 37775 = 26664 a21 a22 a23 a24a11 a12 a13 a14a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44 37775 (3.3.4)

ผลคณ PA เปนเมทรกซทเกดจากการสลบระหวางแถวท 1 และแถวท 2 สวนเมทรกซ P เปนเมทรกซเอกลกษณทเกดจากการสลบระหวางแถวท 1 และแถวท 2 เชนกน

บทนยาม 3.3.2. เมทรกซสลบลำดบ P ขนาด N N หมายถงเมทรกซทม 1 เพยงตวเดยวบนแตละแถวและแตละหลก สมาชกตวอนๆมคาเปน 0

อกนยหนง เมทรกซสลบลำดบ P เปนเมทรกซทเกดจากการสลบแถวของเมทรกซเอกลกษณ

ทฤษฎบท 3.3.2. กำหนดให P เปนเมทรกซสลบลำดบทเกดจากการสลบแถวของเมทรกซเอกลกษณ ผลคณPA เปนเมทรกซทเกดจากการสลบแถวของเมทรกซ A ในลำดบเดยวกบเมทรกซ Pทฤษฎบท 3.3.3. ถา P เปนเมทรกซสลบลำดบแลว P เปนนอนซงกลารเมทรกซและ P1 = PTทฤษฎบท 3.3.4. ถา A เปนนอนซงกลารเมทรกซแลวมเมทรกซสลบลำดบ P ททำให PA มตวประกอบเชงสามเหลยม PA = LU (3.3.5)

แบบฝกหด 3.2.

1. จงแยกตวประกอบเชงสามเหลยมของเมตรกซทกำหนดใหตอไปน

1.1

264 -5 2 -11 0 33 1 6

375 1.2

264 1 0 33 1 6-5 2 -1

3752. จงแกระบบสมการเชงเสน AX = B โดยหลกของการแยกตวประกอบเชงสามเหลยม

เมอ A = 264 2 4 -61 5 31 3 2

375 และ BT = [4 10 53. ให A = " a b d # ถา a 6= 0 จงแยกตวประกอบเชงสามเหลยมของเมตรกซ A


4. ให A = " 0 11 0 # จงแสดงวา A ไมมตวประกอบเชงสามเหลยม

โจทยขอ 5-9 จงแกระบบสมการโดยการแยกตวประกอบเชงสามเหลยม

5. x1 + 2x2 x3 = 22x1 x2 + 3x3 = 3x1 x2 4x3 = 76. 2x1 + x2 = 96x1 + 4x2 x3 = 252x1 + 4x3 = 207. 3x1 x2 + x3 = 103x1 + 2x2 + x3 = 89x1 + 5x2 3x3 = 248. 4x1 + x2 2x3 = 34x1 + 2x2 + 3x3 = 18x1 7x2 7x3 = 29. 2x1 + x3 x4 = 66x1 + 3x2 + 2x3 x4 = 154x1 + 3x2 2x3 + 3x4 = 32x1 6x2 + 2x3 14x4 = 12

10. สำหรบ A เมทรกซสมมาตรใดๆเราจะสามารถเขยนไดในรปA = UTU เมอU เปนเมทรกซเชงสามเหลยมบน จงแสดงวาuii =vuutaii i1Xk=1 u2ki และ uij = aij i1Pk=1 ukiukjuii ; j = i+ 1; : : : ; n

11. จงเขยนคำสงดวยโปรแกรม Matlab สำหรบการแยกเมทรกซในขอ 10.

12. สำหรบ A เมทรกซสมมาตรใดๆเราจะสามารถเขยนไดในรป A = LLT เมอ L เปนเมทรกซเชงสามเหลยมลาง จงเขยนคำสงดวยโปรแกรม Matlab สำหรบการแยกเมทรกซ A = LLT

3.4. การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธการทำซำ 15

3.4 การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธการทำซำสำหรบหวขอตอไปน เราจะศกษาระเบยบวธท ใชแกระบบสมการเชงเสนดวยกระบวนการทำซำ ซงเรมจากการสรางสมการทำซำ คาดเดาคาของผลเฉลยหรอการกำหนดคาเรมตน แลวทำการคำนวนซำจนกระทงผลลพธลเขาสผลลพธทยอมรบได กอนอนขอใหผศกษาพจารณากระบวนการทำซำสำหรบสมการอยางงายดงตอไปน

พจารณาสมการ 3x+ 1 = 0 (3.4.1)

เราสรางสมการทำซำจาก (3.4.1) ดงน 2x = x 1; x = x+ 12 (3.4.2)

ให x(k) แทนคาของ x ทเกดจากการทำซำครงท k ดงนนสมการของการทำซำของ (3.4.2) คอx(k+1) = 12x(k) 12 (3.4.3)

กำหนดคาเรมตน x(0) เปนจำนวนจรงใดๆ เราจะไดx(1) = 21 21x(0)x(2) = 21 21x(1) = 21 + 22 + 22x(0)x(3) = 21 21x(2) = 21 + 22 23 23x(0)สงเกตวาลำดบลเขาผลบวกของอนกรมเลขาคณตทมสดสวนเลขคณตเทากบ r = 12 ดงนx(k) = 1=21 (1=2) = 13 = x; k !1 (3.4.4)

กอนทเราจะเขาสกระบวนการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน จะขอแนะนำนอรมของเวกเตอรและเมทรกซซงจำเปนสำหรบการคำนวณคาคลาดเคลอนและเงอนไขการวนลป

บทนยาม 3.4.1. นอรมของเวกเตอรบนปรภมเวกเตอร คอ ฟงกชนทสงจาก Rn ไปยง R ซงสอดคลองคณสมบตตอไปน

1. kxk > 0 ถา x 6= 02. kxk = jjkxk3. kx+ yk kxk+ kyk

สำหรบเวกเตอร x;y 2 Rn และจำนวนจรง ใดๆ

ตวอยางนอรมของเวกเตอรไดแก kxk1 = nXi=1 jxij;kxk2 = nXi=1 x2i!1=2 ;kxk1 = max1in jxij


บทนยาม 3.4.2. นอรมของเมทรกซบนเซตของเมทรกซขนาด nn คอฟงกชนของจำนวนจรง แทนดวย k k ทนยามบนเซตของเมทรกซขนาด n n สำหรบเมทรกซ A, B และจำนวนจรง ใดๆ แลว

1. kAk > 0, A 6= 02. kAk = jjkAk3. kA+Bk kAk+ kBkสำหรบเมทรกซจตรสขนาด n n ตวอยางนอรมของเมตรกไดแกkAk1 = maxj nXi=1 jaij j! ;kAk2 = maxkxk2=1 kAxk2;kAk1 = maxi 0 nXj=1 jaij j1A

3.4.1 วธการทำซำแบบจาโคบ (Jacobi iteration)

วธการทำซำแบบจาโคบสำหรบระบบสมการเชงเสน264 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 375264 x1x2x3 375 = 264 b1b2b3 375เรมดวยการเขยนแตละสมการยอยใหมใหอยในรปแบบทสามารถคำนวณ x1 ไดโดยตรงจากสมการท 1 คำนวณx2 ไดโดยตรงจากสมการท 2 และทำเชนนเรอยไป ดงนx1 = b1 a12x2 a13x3a11 (3.4.5)x2 = b2 a21x1 a23x3a22 (3.4.6)x3 = b3 a31x1 a32x2a33 (3.4.7)

ให x(k)1 ; x(k)2 และ x(k)3 แทนจำนวน x1; x2 และ x3 ทไดจากการคำนวณครงท k ดงนนสมการการทำซำสำหรบ(3.4.5)-(3.4.7) คอ x(k+1)1 = b1 a12x(k)2 a13x(k)3a11 (3.4.8)x(k+1)2 = b2 a21x(k)1 a23x(k)3a22 (3.4.9)x(k+1)3 = b3 a31x(k)1 a32x(k)2a33 (3.4.10)

จากนนจงเรมทำการคำนวณโดยเรมจากการเดาคาเรมตน x(0)1 ; x(0)2 และ x(0)3 และแทนคาเหลานในสมการ (3.4.8)-(3.4.10) แลวทำเชนนเรอยไปจนผลลพธของ x(k)1 ; x(k)2 และ x(k)3 ลเขาสผลลพธทมความคลาดเคลอนทยอมรบ


ได (tolerance) กำหนด " แทนคาคลาดเคลอนทยอมรบได เราสามารถหยดกระบวนการทำซำโดยสมการ (3.4.8)-(3.4.10) เมอ kx(k+1) x(k)k < " (3.4.11)

หรอ kx(k+1) x(k)kkx(k+1)k < " (3.4.12)

ตวอยาง 3.4.1. จงใชระเบยบวธการทำซำแบบจาโคบเพอแกสมการตอไปน264 5 1 12 8 11 1 4 375264 x1x2x3 375 = 264 10113 375 (3.4.13)

โดยทความคลาดเคลอนไมเกน " = 0:5 106 ใน l1 และคาเรมตนเทากบ x(0) = [0 0 0Tวธทำ สมการการทำซำสำหรบระบบสมการทกำหนดคอx(k+1)1 = 10 + x(k)2 x(k)35x(k+1)2 = 11 2x(k)1 + x(k)38x(k+1)3 = 3+ x(k)1 x(k)24k x(k)1 x(k)2 x(k)3

0 0.000000 0.000000 0.0000001 2.000000 1.375000 0.7500002 2.125000 0.968750 0.9062503 2.0125000 0.957031 1.0390634 1.983594 1.001758 1.0138685 1.997578 1.005835 0.9954596 2.002075 1.000038 0.997936...

......

...15 2.000000 0.999999 1.00000016 2.000000 1.000000 1.000000

ตารางท 3.1:


เนองจากคาเรมตน x(0)1 = x(0)2 = x(0)3 = 0 ดงนนคา x(1)1 ; x(1)2 ; x(1)3 คอx(1)1 = 10 + x(0)2 x(0)35 = 10 + 0 05 = 2x(1)2 = 11 2x(0)1 + x(0)38 = 11 0 + 08 = 1:375x(1)3 = 3 + x(0)1 x(0)24 = 3 + 0 04 = 0:75สำหรบคา x(k)1 ; x(k)2 ; x(k)3 เมอ k = 0; 1; : : : ; 16 แสดงดงตาราง 3.1จากตาราง 3.1 เราจะไดวาลำดบลเขาหลงจาก k = 16ตวอยาง 3.4.2. จงแกสมการเชงเสนตอไปนดวยระเบยบวธจาโคบ2x1 + 8x2 x3 = 115x1 x2 + x3 = 10x1 + x2 + 4x3 = 3

(3.4.14)

กำหนดคาเรมตนเทากบ x(0) = [0 0 0Tวธทำ สมการการทำซำสำหรบระบบสมการทกำหนดคอx(k+1)1 = 11 8x(k)2 + x(k)35x(k+1)2 = 10 + 5x(k)1 + x(k)3x(k+1)3 = 3 + x(k)1 x(k)24

ผลทไดจากการคำนวนแสดงดงตารางตอไปน จากตาราง 3.2 จำนวนทไดจากกการคำนวณลออก สงเกตวาk x(k)1 x(k)2 x(k)30 0.000000 0.000000 0.0000001 5.500000 -10.0000 0.7500002 45.87500 18.25000 4.6250003 -65.1875 224.0000 7.6562504 -886.672 -328.281 -71.54695 1282.852 -4514.91 -138.848


ระบบสมการในโจทยทกำนดเปนระบบสมการเดยวกบตวอยางขางตนเพยงแตสลบสมการท 1 และ 2 เทานน ปจจยใดบางทมผลตอการลเขาสำหรบการคำนวณดวยวธจาโคบ


Algorithm : Jacobi iterationคำนวณผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b ดวยวธทำซำแบบจาโคบ

1. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol

2. กำหนดตวนบ k

3. กำหนดคานอรม ReErr

4. กำหนดเวกเตอรคาเรมตน x

5. กำหนดขนาดของเมทรกซ A = n6. กำหนดจำนวณรอบคำนวณสงสด Max

7. ในขณะท k<Max หรอ ReErr<tol ใหทำขนตอน 7.1-7.4

7.1 สำหรบ i=1,. . . ,n คำนวณคาของtempx(i)=b(i)/A(i,i) -

Pi1j=1 A(i,j)x(j)/A(i,i)-Pnj=i+1 A(i,j)x(j)/A(i,i)7.2 คำนวณ ReErr=kx-tempxk7.3 กำหนด x=tempx7.4 เพมคา k=k+1

8. แสดงผล

3.4.2 วธการทำซำแบบเกาส-ไซเดล

จากวธจาโคบเราคำนวณคาของ x(k+1)2 จากคา x(k)1 แมวาในขณะนนไดหาคา x(k+1)1 แลวกตามในความเปนจรงการหาคาของ x(k+1)1 ; x(k+1)2 ; : : : ; x(k+1)n นใชคาประมาณ x(k)1 ; x(k)2 ; : : : ; x(k)n ทกตว วธจาโคบจงมชอเรยกวาวธการแทนคาพรอมกน (Simultaneous Displacement) แตวธเกาส-ไซเดลถกปรบปรงขนเพอใหการคำนวณลเขาหาคำตอบเรวขน หลกของวธเกาสไซเดลอยทการนำคา x(k+1)1 ทเกดจากการคำนวณครงท k + 1 จากสมการท1 ไปใชในการคำนวณคาของ x(k+1)2 จากสมการท 2 จากนนนำคา x(k+1)1 ; x(k+1)2 ทไดไปใชในการคำนวณคาx(k+1)3 จากสมการท 3 และดำเนนกระบวนการเชนนเรอยไป

ตวอยาง 3.4.3. จงใชวธการทำซำแบบเกาส-ไซเดล หาผลเฉลยของระบบสมการในตวอยางท 3.4.1

วธทำ โดยหลกการขางตนเราสามารถเขยนสมการการทำซำสำหรบระบบสมการ 3.4.13 ไดดงนx(k+1)1 = 10 + x(k)2 x(k)35x(k+1)2 = 11 2x(k+1)1 + x(k)38x(k+1)3 = 3 + x(k+1)1 x(k+1)24สงเกตวาเรานำคาของ x(k+1)1 ไปใชในการคำนวณคา x(k+1)2 และเรานำคา x(k+1)1 ; x(k+1)2 ทรคาจากการคำนวณ

20 บทท 3. ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนk x(k)1 x(k)2 x(k)30 0.000000 0.000000 0.0000001 2.000000 0.875000 1.0312502 1.968750 1.011719 0.9892583 2.004492 0.997534 1.0017404 1.999159 1.000428 0.9996835 2.000149 0.999923 1.0000576 1.999973 1.000014 0.999990...

......

...9 2.000000 0.999999 1.00000010 2.000000 1.000000 1.000000


รอบท k + 1 ไปใชในการคำนวณคา x(k+1)3 ใหคาเรมตน x(0)1 = x(0)2 = x(0)3 = 0 จากสมการการทำซำจะไดx(1)1 = 10 + x(0)2 x(0)35 = 10 + 0 05 = 2x(1)2 = 11 2x(1)1 + x(0)38 = 11 4 + 08 = 0:875x(1)3 = 3+ x(1)1 x(1)24 = 3 + 2 0:8754 = 1:03125สำหรบคา x(k)1 ; x(k)2 ; x(k)3 เมอ k = 0; 1; : : : ; 10 แสดงดงตาราง 3.3สงเกตวาการทำซำแบบเกาส-ไซเดลลเขาและจำนวนรอบของการคำนวณนอยกวาวธจาโคบ

ตวอยาง 3.4.4. จงใชวธการทำซำแบบเกาส-ไซเดล หาผลเฉลยของระบบสมการในตวอยางท 3.4.2

วธทำ ผลลพธทไดจากการคำนวณวธเกาส-ไซเดลแสดงในตาราง 3.4k x(k)1 x(k)2 x(k)30 0.000000 0.000000 0.0000001 5.500000 17.50000 -2.250002 -65.6250 -340.375 69.437503 1401.719 7068.031 -1415.834 -28974.5 -146298.5 29331.75


สงเกตวาลำดบของสมการทใชในการกำหนดสมการการทำซำมผลโดยตรงตอการลเขาของวธจาโคบและเกาส-ไซเดล หรอกลาวอกนยหนงวาการลเขาของวธจาโคบและเกาส-ไซเดลขนอยกบคณสมบตของเมทรกซสมประสทธของระบบสมการ


บทนยาม 3.4.3. ให A เปนเมทรกซขนาด n n เราเรยกเมทรกซ A วา strictly diagonally dominantถาคาสมบรณของสมาชกในตำแหนงแนวเสนทแยงมมหลกมคามากกวาผลบวกของคาสมบรณของแตละสมาชกทเหลอบนแถวเดยวกน

ตวอยาง 3.4.5. ระบบสมการใดตอไปนมเมทรกซสมประสทธเปน strictly diagonally dominant

(a) 3x1 x2 = 42x1 + 5x2 = 2(b) 4x1 + 2x2 x3 = 1x1 + 2x3 = 43x1 5x2 + x3 = 3

วธทำ (a) เมทรกซสมประสทธ A = " 3 -12 5

#เปน strictly diagonally dominant เพราะ j3j > j 1j และ j5j > j2j(b) เมทรกซสมประสทธ A = 264 4 2 -1

1 0 23 -5 1

375ไมเปน strictly diagonally dominant เพราะสมาชกในแถวท 2 และ 3 ไมสอดคลองเงอนไข ja22j > ja21j+ja23jและ ja33j > ja31j+ ja32jทฤษฎบท 3.4.1. ถาเมทรกซสมประสทธ A ของระบบสมการเชงเสน Ax = b เปน strictly diagonally dom-inant แลว สำหรบคาเรมตนใดๆ วธจาโคบและเกาส-ไซเดลลเขาสผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

ทฤษฎบท 3.4.2. กำหนดให x(0) 2 R ลำดบ fx(k)g1k=0 ของการทำซำx(k+1) = Ax(k) + ; k 0; 6= 0 (3.4.15)

ลเขาสผลเฉลยเพยงหนงเดยวของระบบสมการ x = Ax+ ถา kAk < 1 และคาคลาดเคลอนประมาณไดโดยkx x(k)k kAkkkx(0) xk; (3.4.16)

และ kx x(k)k kAkk1 kAkkx(1) x(0)k; (3.4.17)


สำหรบวธการทำซำแบบจาโคบถาเรานยามนอรมของเมทรกซ A ดงนkAk = max1in nXj=1;j 6=i aijaii เงอนไข kAk < 1 สอดคลองกบ nXj=1;j 6=i jaij j < jaiijนนคอ เมทรกซ A เปน strictly diagonally dominant

เราทราบวาวธจาโคบและเกาส-ไซเดลสำหรบระบบสมการทม เมทรกซสมประสทธ เปน strictly diagonallydominant ใหผลลพธท ลเขาสผลเฉลยเพยงหนงเดยว ดงนนการสลบแถวเพองสรางเมทรกซสมประสทธ A ทมคณสมบตดงกลาวจงเปนกระบวนการททำใหเราแนใจไดวาวธจาโคบและเกาส-ไซเดลใหผลลพธทลเขา

ตวอยาง 3.4.6. จงสลบแถวของระบบสมการเชงเสนx1 5x2 = 47x1 x2 = 6เพอสรางเมทรกซสมประสทธเปน strictly diagonally dominant จากนนคำนวนหาผลเฉลยดวยวธเกาส-ไซเดลโดยใหคาเรมตนอยทจดกำเหนด

วธทำ ถาเราสลบแถว 1 และ 2 เราจะไดระบบสมการเชงเสน7x1 x2 = 6 (3.4.18)x1 5x2 = 4 (3.4.19)(3.4.20)

เมทรกซสมประสทธ A = " 7 -11 -5

#เปน strictly diagonally dominant เพราะ j7j > j 1j และ j 5j > j1j สมการการทำซำของระบบสมการ(3.4.18)-(3.4.19) สำหรบวธเกาส-ไซเดลคอx(k)1 = 67 + 17x(k)2 (3.4.21)x(k)2 = 45 + 15x(k+1)1 (3.4.22)

(3.4.23)

กำหนดให x(0)1 = x(0)2 = 0 ผลทไดจากการคำนวนแสดงในตาราง 3.5จากตาราง 3.5 เราจะไดวาผลลพธลเขาส x1 = 1 และ x2 = 1

ผศกษาควรระวงวาคณสมบต strictly diagonally dominant ไมใชเงอนไขจะเปนตอการลเขาของวธจาโคบและเกาส-ไซเดล ยกตวอยางเชน เมทรกซสมประสทธของระบบสมการ4x1 + 5x2 = 1x1 + 2x2 = 3

3.4. การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธการทำซำ 23k 0 1 2 3 4 5x(k)1 0.0000 0.8571 0.9959 0.9999 1.000 1.000x(k)2 0.0000 0.9714 0.9992 1.000 1.000 1.000


ไมเปน strictly diagonally dominant แตผลลพธจากวธจาโคบและเกาส-ไซเดลลเขาสผลเฉลย x1 = 1 และx2 = 1 โดยทคาเรมตนเทากบ x1 = x2 = 0Algorithm : Gauss-Seidel

คำนวณผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b ดวยวธทำซำแบบเกาส-ไซเดล

1. กำหนดขนาดของเมทรกซ A = n2. สำหรบ j=1,. . . ,n ใหคำนวน total(j,j)=sum(A(j,:))-A(j,j)

2.1 กำหนดตวนบ count=12.2 ในขณะท count<n ใหทำขนตอนท 2.3-2.42.3 สำหรบ j=count,. . . ,n-1 ถา total(j,j)>A(j,j)

ใหสลบ total(j,j) กบ total(j+1,j+1) และ A(j,:) กบ A(j+1,:)2.4 เพมตวนบ count=count+1

3. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol

4. กำหนดตวนบ k=1

5. กำหนดคานอรม ReErr

6. กำหนดเวกเตอรคาเรมตน x

7. กำหนดจำนวณรอบคำนวณสงสด Max

8. ในขณะท k<Max หรอ ReErr<tol ใหทำขนตอน 8.1-8.4

8.1 สำหรบ i=1,. . . ,n คำนวณคาของtempx(i)=b(i)/A(i,i) -

Pi1j=1 A(i,j) tempx(j)/A(i,i)-Pnj=i+1 A(i,j) x(j)/A(i,i)8.2 คำนวณ ReErr=kx-tempxk8.3 กำหนด x=tempx8.4 เพมคา k=k+1

9. แสดงผล


แบบฝกหด 3.3.สำหรบขอ 1-4 จงใชวธจาโคบหาผลลพธของระบบสมการเชงเสนทกำหนดให เมอคาเรมตนอยทจดกำเนด1. 3x1 x2 = 2x1 + 4x2 = 53. 2x1 x2 = 2x1 3x2 + x3 = 2x1 + x2 3x3 = 6 2. 4x1 + 2x2 = 63x1 5x2 = 1

4. 4x1 + x2 + x3 = 7x1 7x2 + 2x3 = 23x1 + 4x3 = 115. จงใชวธเกาส-ไซเดลหาผลลพธของระบบสมการในขอ 1.6. จงใชวธเกาส-ไซเดลหาผลลพธของระบบสมการในขอ 2.7. จงใชวธเกาส-ไซเดลหาผลลพธของระบบสมการในขอ 3.8. จงใชวธเกาส-ไซเดลหาผลลพธของระบบสมการในขอ 4.

สำหรบขอ 9.-12. จงแสดงวาวธเกาส-ไซเดลลออก โดยกำหนดใหคาเรมตนอยทจดกำเนด9. x1 2x2 = 12x1 + x2 = 311. 2x1 3x2 = 7x1 + 3x2 10x3 = 93x1 + x3 = 13 10. x1 + 4x2 = 13x1 2x2 = 2

12. x1 + 3x2 x3 = 53x1 x2 = 5x2 + 2x3 = 1สำหรบขอ 13.-16. เมทรกซใดตอไปนเปน strictly diagonally dominant

13."

2 13 5

#15.

264 12 6 02 -3 20 6 13

375 14."

-1 -20 1

#16.

264 7 5 -11 -4 10 2 -3

37517. จงสลบแถวของระบบสมการในขอ 9.-12. เพอสรางระบบสมการทมเมทรกซสมประสทธเปน strictly diago-nally dominant จากนนจงหาผลเฉลยดวยวธเกาส-ไซเดล18. สำหรบขอ 18.-19. จงพจารณาวาเมทรกซสมประสทธของระบบสมการใดไมเปน strictly diagonally domi-nant และจงแสดงวาผลลพธทไดจากวธจาโคบและเกาส-ไซเดลลเขา เมอคาเรมตนอยทจดกำเนด18: 4x1 + 5x2 = 1x1 + 2x2 = 3 19: 4x1 + 2x2 2x3 = 0x1 3x2 x3 = 73x1 x2 + 4x3 = 5

20. จงเขยนคำสงใน MATHLAB เพอคำนวณผลเฉลยดวยวธจาโคบและเกาส-ไซเดล4x1 + x2 - x3 = 3x1 + 6x2 - 2x3 + x4 - x5 = -6x2 + 5x3 - x5 + x6 = -52x2 + 5x4 - x5 - x7 - x8 = 0- x3 - x4 + 6x5 - x6 - x8 = 12- x3 - x5 + 5x6 = -12

- x4 + 4x7 - x8 = -2- x4 - x5 - x7 + 5x8 = 2

ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน¸•้นปี55/system...

Documents