ผลเฉลยของสมการไมเชิงเสน¸•้นปี55... ·...

บทท 2

ผลเฉลยของสมการไมเชงเสน

ในบทนเราพจารณาการหาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0 (2.0.1)

โดยวธเชงตวเลข เมอ f เปนฟงกชนไมเชงเสน (nonlinear function) และ x เปนตวไมทราบคา ตวอยางของสมการไมเชงเสนไดแก os �x3 � x+ 1� = 0exp�x� tan�1(x2)exp(x3) �� x = 0เราเรยกจำนวนจรง xy ทสอดคลอง (2.0.1) วารากของ f วธเชงตวเลขสำหรบการหาผลเฉลยของ (2.0.1) มลกษณะรวมกนคอตางกเปนวธทำซำ กลาวคอ เราจะตองกำหนดคาเรมตน x0 จากนนจงสรางลำดบ fxkg ดวยกระบวนการตางๆ และเราคาดวาลำดบทสรางขนนนจะลเขาส xy สงสำคญสำหรบการหาผลเฉลยดวยวธเชงตวเลขคอ คาเรมตนททำใหลำดบลเขาและอตราการลเขาสคาจรง

2.1 การหาผลเฉลยดวยวธทำซำการหารากของสมการ (2.0.1) ทำไดโดยการจดสมการ (2.0.1) ใหอยในรปx = g(x) (2.1.2)

แลวคำนวณหาคาของ x ทสอดคลองสมการ (2.1.2) แทนสมการ (2.0.1) โดยการสรางลำดบ fxkg ทม x0 เปนคาเรมตน (initial value) คาเรมตนเปนจำนวนทจะตองกำหนดกอนการคำนวณและมผลตอการลเขาสรากจรง xyของลำดบ fxkg

1

2 บทท 2. ผลเฉลยของสมการไมเชงเสน

ลำดบ fxkg คำนวณจากสตร xk+1 = g(xk) (2.1.3)หากลำดบ fxkg ลเขาสคา x� เรากลาววา x� เปนคาประมาณของรากจรง xy และเรยกคา x� วา จดตรง

(fixed point) เราเรยกกระบวนการดงทกลาวนวา วธทำซำ (iterative method) ถาลำดบทเกดจากวธทำซำลเขา เรากลาววาวธทำซำเปนวธลเขา ในทำนองเดยวกนวธทำซำทลออกหมายถงวธททำใหลำดบลออก เราเรยกฟงกชน gในสมการ (2.1.2) วาฟงกชนของการทำซำ (iteration function)

รปท 2.1: การตความเชงกราฟของการลเขาสจดตรง

ขอใหผอานศกษาวธการคำนวณจากตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.1.1. กำหนด x0 = 1 และ xk+1 = 1:001xk จงพจารณาวาลำดบ fxkg เปนลำดบลเขาหรอไม

วธทำ ลำดบ fxkg5k=1 คำนวณไดดงนx1 = 1:001x0 = 1:001� 1:0000 = 1:0010x2 = 1:001x1 = 1:001� 1:0010 = 1:0020x3 = 1:001x2 = 1:001� 1:0020 = 1:0030x4 = 1:001x3 = 1:001� 1:0030 = 1:0040x5 = 1:001x4 = 1:001� 1:0040 = 1:0050หากคำนวณคา x100 เราจะได x100 = 1:1040 เราพบวาลำดบ fxkg ไมลเขาสคาคงทคาใดคาหนง ดงนนลำดบfxkg เปนลำดบลออก

Matlabคำสงสำหรบคำนวณคาของ xk>> x(1)=1;>> for i=2:100x(i)=1.001*x(i-1);end

2.1. การหาผลเฉลยดวยวธทำซำ 3

0 20 40 60 80 1001

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

k

x k

รปท 2.2: ลำดบ fxkg100k=1 ในตวอยาง 2.1.1

บทนยาม 2.1.1. จดตรง (fixed point) ของฟงกชน g คอ จำนวนจรง x� ทสอดคลองสมการg(x�) = x�ทฤษฎบท 2.1.1. กำหนดให g เปนฟงกชนตอเนองและลำดบ fxkg1k=0 ไดจากวธทำซำ ถา limk!1 xk = x�แลว x� เปนจดตรงของฟงกชน g

พสจน เนองจาก ถา limk!1 xk = x� แลว limk!1 xk+1 = x� และ g เปนฟงกชนตอเนอง จะไดวาg (x�) = g� limk!1 xk� = limk!1 g (xk) = limk!1 xk+1 = x�นนคอ x� เปนจดตรงของ gตวอยาง 2.1.2. จงพจารณาการลเขาของการทำซำ xk+1 = exp (�xk) เมอ x0 = 0:5 ลำดบ fxkg10k=1 คำนวณไดดงน x1 = exp (�0:5) = 0:6065x2 = exp (�0:6065) = 0:5452x3 = exp (�0:5452) = 0:5797x4 = exp (�0:5797) = 0:5601x5 = exp (�0:5601) = 0:5712x6 = exp (�0:5712) = 0:5649x7 = exp (�0:5649) = 0:5684x8 = exp (�0:5684) = 0:5664x9 = exp (�0:5664) = 0:5676x10 = exp (�0:5676) = 0:5669สงเกตวาลำดบ fxkg ลเขาส 0:5670 ดงนนจดตรงของฟงกชน y = exp (�x) เทากบ 0:5670 โดยประมาณ


ทฤษฎบทตอไปนกลาวถงเงอนไขของการมจดตรงและการลเขาของลำดบทเกดจากวธทำซำ

ทฤษฎบท 2.1.2. กำหนดให g 2 C[a; b℄(i) ถาเรนจของ y = g(x) สอดคลองเงอนไข y 2 C[a; b℄ สำหรบจำนวน x 2 [a; b℄ แลว g มจดตรงภายใน

ชวง [a; b℄(ii) สมมตวา g0(x) มคาบนชวง (a; b) และมจำนวนจรงบวก K ทสอดคลองเงอนไข jg0(x)j � K < 1

สำหรบทก x 2 (a; b) แลว g มจดตรงเพยงหนงจดภายในชวง [a; b℄ตวอยาง 2.1.3. จงแสดงวาฟงกชน g(x) = os(x) มจดตรงเพยงหนงจดภายในชวง [0; 1℄วธทำ เนองจาก g 2 C[0; 1℄ และ g(x) = os(x) เปนฟงกชนลดภายในชวง [0; 1℄ ดงนน เรนจของฟงกชนเปนสบเซตของ [0; 1℄ โดยทบ. 2.1.2(ii) จะไดวา g มจดตรงอยภายในชวง [0; 1℄ สำหรบคา x 2 (0; 1) เราจะไดวา jg0(x)j < 0:8415 < 1 แสดงวาคา K ทกำหนดในทบ. 2.1.2(ii) มคานอยกวา 1 โดยทบ. 2.1.2(ii) จะไดวาg มจดตรงเพยงจดเดยว

เราสามารถพจารณาไดวาลำดบทเกดจากวธทำซำทกลาวขางตนลเขาหรอลออกโดยอาศยทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 2.1.3. สมมตวา (1) ฟงกชน g และอนพนธอนดบหนงของ g ตอเนองบนชวง [a; b℄ (2) K เปนจำนวนจรงบวก (3) x0 2 (a; b) และ (4) g 2 [a; b℄ สำหรบทก x 2 [a; b℄

(i) ถา jg0(x)j � K < 1 สำหรบทก x 2 [a; b℄ แลววธทำซำ xk+1 = g(xk) ลเขาสจดตรง x� 2 [a; b℄เพยงหนงจด

(ii) ถา jg0(x)j > 1 สำหรบทก x 2 [a; b℄ แลววธทำซำ xk+1 = g(xk) ลออกแบบเฉพาะท (local diver-gence)

เราเรยกคา x� ในทบ. 2.1.3(i) วา จดตรงแบบดงดด (attractive fixed point) และเรยกคา x ทไมเปนจดตรงแบบดงดดวา จดผลกออก (repelling point)

บทแทรก 2.1.1. สมมตวา g สอดคลองเงอนไขในทฤษฎบท 2.1.3(i) คาคลาดเคลอน (error) ประมาณไดจากjx� � xk j � Kkjx� � x0j; k � 1 (2.1.4)

และ jx� � xkj � Kk1�K jx1 � x0j; k � 1 (2.1.5)

สงเกตวาในการหาจดตรง x� ของฟงกชนการทำซำ g กคอการหาจดตดระหวางเสนโคง y = g(x) และเสนตรง y = x การลเขาสจดตดของลำดบทเกดจากการทำซำมอยสองชนด คอ แบบโมโนโทน (monotone) และแบบสลบ (oscillating) ขอใหผอานศกษาลกษณะการดำเนนไปของลำดบทงแบบลเขาและลออกจากรป 2.3


รปท 2.3: ลกษณะการลเขาและการลออก

ตวอยาง 2.1.4. พจารณาวธทำซำ xk+1 = g(xk) โดยท g(x) = 1 + x � x2=4 ในทนจดตรงมสองคาไดแกx� = �2 และ x� = 2 เราแบงการพจารณาออกเปนสองสวนดงนx� �2:0000 2:0000x0 �2:0100 3:0000x1 �2:0200 1:7500x2 �2:0402 1:9844x3 �2:0807 1:9999x4 �2:1630 2:0000...

......x10 �49:5782 2:0000limk!1 xk = �1 limk!1xk = 2

ทงนเนองจาก jg0(x)j > 32 ในชวง [�3;�1℄ โดยทบ.2.1.3 ลำดบ fxkg เปนลำดบลออก ในทำนองเดยวกนลำดบ fxkg ลเขาสจดตรง x� = 2 เพราะ jg0(x)j < 12 ในชวง [1; 3℄


สงเกตวาในทบ.2.1.3 อนพนธ g0(x�) 6= 1 การลเขาของลำดบในกรณท g0(x�) = 1 ขนอยกบการเลอกคาเรมตน x0 ขอใหสงเกตจากตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.1.5. พจารณาวธทำซำ xk+1 = g(xk) โดยท g(x) = 2(x � 1)1=2 เมอ x � 1 ในทนจดตรงมเพยงหนงคาไดแก x� = 2 และอนพนธทจดตรงคอ g0(2) = 1 เราแบงการพจารณาออกเปนสองสวนดงนx0 1:5000 2:5000x1 1:4142 2:4495x2 1:2872 2:4079x3 1:0718 2:3731x4 0:5359 2:3436

... � ...x10 � 2:2317� limk!1 xk = 2เมอคาเรมตนเทากบ x0 = 1:5 เราพบวา x5 ไมอยภายในโดเมนของ g(x) ดงนน ลำดบ fxkg1k=5 หาคาไมได

ในทางตรงกนขามเมอคาเรมตนเทากบ x0 = 2:5 ลำดบ fxkg ลเขาสจดตรง x� = 2 อยางชาๆ หากเราคำนวณคาท 1000 เราจะได x1000 = 2:0040Algorithm : Fixed-point Method

ขนตอนวธการหาผลเฉลยของ x = g(x) เมอกำหนด x0 เปนคาเรมตน

1. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol เปนเงอนไขสำหรบหยดการคำนวณ

2. กำหนดจำนวนครงการทำซำ Max เปนเงอนไขสำหรบหยดการคำนวณ

3. กำหนดคาเรมตน x(1)= x04. กำหนดตวนบเรมตน k=1

5. กำหนดคาคลาดเคลอนเรมตน Err เปนเงอนไขสำหรบการวนลป

6. ในขณะท Err�tol และ k�Max ใหทำขนตอน 6.1-6.3

6.1 คำนวณ x(k+1)=g(x(k))

6.2 คำนวณคาคลาดเคลอน Err = |x(k+1)-x(k)|

6.3 เพมขนาดของตวนบ k=k+1

7. ผลเฉลยของสมการ คอ x(k-1)


แบบฝกหด 2.1.

1. กำหนดฟงกชนของการทำซำ g(x) = x2 � 3x+ 3(a) จงแสดงวา x = 1 และ x = 3 เปนจดตรงของ g(b) ให x0 = 0:9 จงคำนวณคาของ x1; x2 และ x3(c) ให x0 = 3:1 จงคำนวณคาของ x1; x2 และ x3

2. จงแสดงวาฟงกชนทกำหนดใหตอไปนมจดตรงเพยงหนงจดภายในชวง [a; b℄(a) g(x) = 1� x2; x 2 [0; 1℄(b) g(x) = 13 (x + 1); x 2 [0; 2℄(c) g(x) = os(2x); x 2 [0; 1℄

3. ให g(x) = 0:4 + x� 0:1x2(a) ถา x0 = 1:9 จงหาลำดบ x1; x2; x3; x4; x5 ลำดบนลเขาสจดตรง x = 2 หรอไม เพราะเหตใด(b) ถา x0 = �1:9 จงหาลำดบ x1; x2; x3; x4; x5 ลำดบนลเขาสจดตรง x = �2 หรอไม เพราะเหตใด

4. ให g(x) = x3 � 24(a) จงแสดงวา x = 3 สอดคลองความสมพนธ x = g(x)(b) จงหาคาของ g0(x) และ g0(3)(c) ให x0 = 3:1 จงหาลำดบ x1; x2; x3; x4; x5 ลำดบนลเขาส x = 3 หรอไม เพราะเหตใด

5. จงแสดงวาลำดบ xn = 12xn�1 + 1xn�1 ; n � 1ลเขาส

p2 ถา x0 > p26. จากขอ 5 จงแสดงวาถา 0 < x0 < p2 แลว x1 > p2 (คำแนะนำ : 0 < (x0 �p2)2 เมอ x0 6= p2)7. จงแสดงวาถา A เปนจำนวนจรงบวกแลวลำดบxn = 12xn�1 + A2xn�1 ; n � 1

ลเขาสpA เมอ x0 > 0

8. สมการสมดลมวลสำหรบนำเสยหรอสารเคมในทะเลสาบแหงหนงกำหนดโดยV d dt = W �Q � kVp เมอ เปนความเขมขนของสารเคม หนวยเปน g/m3 V;Q;W; k เปนคาพารามเตอร ถาจดสมดลของความเขมขน สอดคลองสมการ W �Q � kVp = 0 จงหาฟงกชนของการทำซำและคำนวณหาคาของความเขมขนของสารเคมเมอกำหนด 0 = 2:0 g/m3, V = 106 m3, Q = 105 m3=year, W = 106 g/yearและ k = 0:2 m0:5=g0:5=year


2.2 การหาผลเฉลยดวยวธแบงชวงในการหาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0 โดยวธการแบงชวง (bisection method) เรมดวยการกำหนดชวงเรมตน[a; b℄ โดยท f(a)f(b) < 0 นนคอ f(a) และ f(b) มเครองหมายตรงกนขาม เนองจากฟงกชนตอเนอง y =f(x) ไมมชองวางหรอจดทฟงกชนหาคาไมได นนหมายความวากราฟจะตองตดแกน X ทตำแหนงใดตำแหนงหนงภายในชวง [a; b℄

a bc a bc

(b,f(b))

(a,f(a))

(r,0)

(a,f(a))

(b,f(b))

(r,0)

(a) (b)

รปท 2.4: แนวคดในการหาผลเฉลยของสมการโดยการแบงชวง

จากรป 2.4 จดตดแกน X ของกราฟคอ (r; 0) และ x = เปนจดแบงครงชวงเรมตน [a; b℄ เราจะเลอกชวงถดไปโดยอาศยหลกดงน

• ถา f(a) และ f( ) มเครองหมายตรงกนขาม ผลเฉลยของ f(x) = 0 อยภายในชวง [a; ℄• ถา f(b) และ f( ) มเครองหมายตรงกนขาม ผลเฉลยของ f(x) = 0 อยภายในชวง [ ; b℄• ถา f( ) = 0 ผลเฉลยของ f(x) = 0 คอ x = โดยอาศยหลกการนจดปลายชวงจะขยบเขาและชวงถดไปจะมขนาดเลกลง จนกระทงผลเฉลยท เราตองการ

บรรจอยภายในชวงเลกๆ เนอหาตอจากนเราจะกำหนดสญลกษณสำหรบชวงยอยและจดกงกลางใหม เพอความสะดวกในการเขยนคำสงดวยโปรแกรมคอมพวเตอรดงน

ให [a1; b1℄ แทนชวงเรมตนและ 1 = a1 + b12 แทนจดแบงครงชวง [a1; b1℄[a2; b2℄ แทนชวงทสองซงบรรจ r และ 2 = a2 + b22 แทนจดแบงครงชวง [a2; b2℄สำหรบชวงท n กำหนดให [an; bn℄ แทนชวงท n ซงบรรจ r และ n แทนจดแบงครงชวง [an; bn℄

สงเกตวาลำดบของจดปลายชวงทางซายมคาเพมขน ในขณะทลำดบของจดปลายชวงทางดานขวามคาลดลง นนคอ a1 � a2 � � � � � an � � � � � r � � � � � bn � � � � � b2 � b1 (2.2.1)

นอกจากนถา f (an+1) f (bn+1) < 0 และ n = an + bn2 แลว [an+1; bn+1℄ = [an; n℄ หรอ [an+1; bn+1℄ =[ n; bn℄ สำหรบทก n

2.2. การหาผลเฉลยดวยวธแบงชวง 9

รปท 2.5:

ทฤษฎบท 2.2.1. กำหนดให f 2 C[a; b℄ สมมตวามจำนวน r 2 [a; b℄ ททำให f (r) = 0 ถา f(a) และ f(b)มเครองหมายตรงกนขามและ f ng1n=1 เปนลำดบของจดแบงครงชวงทเกดจากวธการแบงครงชวง แลวjr � nj < b� a2n�1 ; n = 1; 2; : : : (2.2.2)

และลำดบ f ng1n=1 ลเขาสผลเฉลยจรง x = rตวอยาง 2.2.1. จงหาผลเฉลยของสมการ f(x) = x sin(x) � 1 ทอยบนชวง [0; 2℄ โดยทคาของฟงกชน sin(x)มหนวยเปนเรเดยน

วธทำ กำหนด a0 = 0 และ b0 = 2 เนองจากคาของฟงกชนทชวงเรมตนคอ f(a0) = f(0) = �1:0000 และf(b0) = f(2) = 0:8186 ดงนนผลเฉลยของสมการ f(x) = 0 อยภายในชวง [0; 2℄ พจารณาคาของฟงกชนทจดแบงครงชวง 0 = 1 เราจะได f( 0) = f(1) = �0:1585 เนองจาก f( 0) และ f(b0) มเครองหมายตรงกนขามดงนนผลเฉลยของสมการอยภายในชวง [ 0; b0℄ = [1; 2℄

กำหนด [a1; b1℄ = [1; 2℄ คาของฟงกชนทจดแบงครงชวง 1 = 1:5 คอ f( 1) = 0:4962 เนองจาก f(a1)และ f( 1) มเครองหมายตรงกนขาม ดงนนผลเฉลยของสมการอยภายในชวง [a1; 1℄ = [1:0; 1:5℄ ชวงในอนดบถดไปแสดงในตาราง 2.1 ดงน n an n bn f( n)0 0 1:0000 2:0000 �0:15851 1:0000 1:5000 2:0000 0:49622 1:0000 1:2500 1:5000 0:18623 1:0000 1:1250 1:2500 0:01514 1:0000 1:0625 1:1250 �0:0718

......

......

...16 1:1141 1:1142 1:1142 0:0000ตารางท 2.1:

จากตาราง 2.1 เราสรปวาลำดบ f ng ลเขาส r = 1:1142


Algorithm : Bisection Methodขนตอนวธการหาผลเฉลยของ f(x) = 0 ในชวง [�; �℄ ดวยวธแบงชวง

1. กำหนดจดปลายชวงทางซาย a(1)= � และจดปลายชวงทางขวา b(1)= �2. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol เปนเงอนไขสำหรบหยดการคำนวณ

3. คำนวณจดกงกลางเรมตน c(1) = (a(1)+b(1))/2

4. กำหนดตวนบเรมตน k=1

5. กำหนดคา Diff เรมตนเปนเงอนไขสำหรบการวนลป

6. ในขณะท Diff�tol ใหทำขนตอน 6.1-6.5

6.1 ถา f(c(k)) = 0 แลวใหกำหนด Diff = 0 มฉะนนแลวใหทำขนตอน 6.2-6.5

6.2 ถา f(a(k))f(c(k))<0 แลวใหกำหนด a(k+1)=a(k), b(k+1)=c(k) และ Diff = b(k+1)-a(k+1) มฉะนนแลวใหทำขนตอน 6.3

6.3 กำหนด a(k+1)=c(k), b(k+1)=b(k) และ Diff = b(k+1)-a(k+1)


6.5 ปรบปรงจดกงกลาง c(k) = (a(k)+b(k))/2

7. ผลเฉลยของ f(x) = 0 กำหนดโดย c(k)


1. จงใชวธแบงชวงหาคาของ x3 ของฟงกชน f(x) = px� osx ภายในชวง [0; 1℄2. จงใชวธแบงชวงหาผลเฉลยของปญหาตอไปน

(a) x� 2�x = 0; 0 � x � 1(b) ex � x2 + 3x� 2 = 0; 0 � x � 1(c) x2 � 4x+ 4� lnx = 0; 1 � x � 2(d) x+ 1� 2 sin�x = 0; 0 � x � 0:5

3. จงหาคาประมาณของp3 โดยใชหลกการแบงชวง

4. ให fxng เปนลำดบทกำหนดโดย xn =Pnk=1(1=k) จงแสดงวา fxng ลออก

5. ให [a0; b0℄; [a1; b1℄ : : : แทนชวงทเกดจากวธแบงชวง

(a) จงแสดงวา a0 � a1 � a2 � � � � และ b0 � b1 � b2 � � � �(b) จงแสดงวา bn � an = 2�n(b0 � a0)(c) จงแสดงวา anbn + an�1bn�1 = an�1bn + anbn�1 สำหรบทกๆจำนวนเตม n

2.2. การหาผลเฉลยดวยวธแบงชวง 11

6. จงแสดงวา j n � n+1j = 2�n�2(b0 � a0)7. จานลกษณะแบนเรยบมมวล m รอนในอากาศดวยความเรว V ให FD เปนแรงถวงกำหนดโดยFD = 0:3V 2500 + (lnV )3 � 0:02V

จงคำนวณหาความเรวเมอแรงถวงเทากบแรงโนมถวง FD = mg ดวยวธแบงชวงถา m = 1 kg, g = 9:8m/g2 และความเรวอยในชวง 0 ถง 200 m/s

8. ความเขมขนทจดอมตวของออกซเจนในนำสะอาดกำหนดโดยlnO = �139:34411+ 1:575701� 105Ta � 6:642308� 107T 2a + 1:243800� 1010T 3a � 8:621949� 1011T 4aเมอ O แทนความเขมขนทจดอมตวของออกซเจนในนำสะอาด ณ 1 atm (mg/L) และ Ta แทนอณหภม(K) ถา T แทนอณหภมในหนวยองศาเซลเซยส (ÆC) แลว Ta = T + 273:15 จากความสมพนธขางตนความเขมขนลดลงเมออณหภมเพมขนและเราสามารถคำนวณหาความเขมขนของออกซเจนในชวง 14:621mg/L ท 0ÆC ถง 6:949 mg/L ท 35ÆC ถาแกสมการหาอณหภมดวยวธแบงชวงจงหาจำนวณรอบทคำนวณเมอกำหนดเงอนไขการสนสดการคำนวณโดย jT (k)�T (k�1)j < 0:05ÆC กำหนดความเขมขนทจดอมตวของออกซเจนเปน 14 mg/L

9. นำในคลองชลประทานไหลตามคลองดวยอตราเรว Q = 20 m3=s ความลกของคลอง y ทจดวกฤตสอดคลองสมการ 0 = 1� Q2gA3Bเมอ g = 9:81 m/s2, A แทนพนทภาคตดขวางของคลองชลประทาน (m2) และ B แทนความกวางของคลอง (m) ถาความสมพนธของพนทภาคตดขวางและความกวางของคลองเขยนไดในเทอมของความลกดงนA = 3y + y22 และ B = 3 + yจงคำนวณหาความลก y ดวยวธแบงชวงเมอความลกของคลองคาดวาจะอยภายในชวง 0:5 m และ 2:5 m


2.3 การหาผลเฉลยดวยวธเรกกลาฟอลไซการหาผลเฉลยของสมการไมเชงเสนดวยวธฟอลสโพซชน (method of false position) หรอ เรกกลาฟอลไซ(regula falsi ) เปนการหาจดตดแกน X ของเสนตด (secant line) ทเชอมจด (a; f(a)) และ (b; f(b))

รปท 2.6: แนวคดในการหาผลเฉลยของ y = f(x) โดยใชจดตดของเสนตด Lตำแหนงตดแกน X ของเสนตด L แทนดวย ( ; 0) คำนวณไดโดยอาศยความชนของเสนตด L ทเชอมจด(a; f(a)) และ (b; f(b)) m = f(b)� f(a)b� a (2.3.1)

และความชนของเสนตด L ทเชอมจด ( ; 0) และ (b; f(b))m = 0� f(b) � b (2.3.2)

จากสมการ (2.3.1) และ (2.3.2) เราแกสมการหาจดตดแกน X จะได = b� f(b)(b� a)f(b)� f(a) (2.3.3)

ในทำนองเดยวกบวธการแบงครงชวง เรามหลกในการพจารณาชวงถดไปดงน

• ถา f(a) และ f( ) มเครองหมายตรงกนขามแลว ผลเฉลยของ f(x) = 0 อยภายในชวง [a; ℄• ถา f( ) และ f(b) มเครองหมายตรงกนขามแลว ผลเฉลยของ f(x) = 0 อยภายในชวง [ ; b℄• ถา f( ) = 0 แลวผลเฉลยอยท x =

ในลำดบถดไปเราจะกำหนดสญลกษณใหกบชวงและจดตดแกนในทำนองเดยวกบวธแบงครงชวงขางตน จากกระบวนการกำหนดชวงและสตรการหาจดตดแกน เราสามารถสรางลำดบของชวง f[an; bn℄g โดยทแตละชวงมผลเฉลยจรง rและคาประมาณของ r คำนวณไดจากสตร n = bn � f(bn)(bn � an)f(bn)� f(an) (2.3.4)

2.3. การหาผลเฉลยดวยวธเรกกลาฟอลไซ 13

แมวาชวงยอยทไดจากกระบวนการแบงชวงเชนนจะมขนาดลดลง แตอาจเปนไปไดวาขนาดของชวงยอยอาจจะไมลดลงจนเปนศนย ในกรณของกราฟทมลกษณะเวาดงรป 2.7 จดปลายดานหนงอยคงทและจดปลายอกดานหนงกลายเปนผลเฉลยโดยวธเรกกลาฟอลไซ

รปท 2.7:

ตวอยาง 2.3.1. จงหาผลเฉลยของสมการ x sin(x) � 1 = 0 บนชวง [0; 2℄ ดวยวธเรกกลาฟอลไซ โดยทคาของฟงกชน sin(x) มหนวยเปนเรเดยน

วธทำ กำหนด a0 = 0, b0 = 2 และ f(x) = x sin(x) � 1 เราจะได f(a0) = f(0) = �1:0000 และf(b0) = f(2) = 0:8186 ดงนนผลเฉลยของสมการอยภายในชวง [0; 2℄ โดย (2.3.4) จะได 0 = 2� 0:8186(2� 0)0:8186� (�1) = 1:0997 ; f( 0) = �0:0200 (2.3.5)

ฟงกชน f(x) เปลยนเครองหมายในชวง [ 0; b0℄ = [1:0997; 2℄ ดงนนเรากำหนดให a1 = 0 และ b1 = b0 ชวงในลำดบถดไปแสดงในตารางดงนn an n bn f( n)0 0 1:0998 2:0000 �0:02001 1:0998 1:1212 2:0000 0:00982 1:0998 1:1142 1:1212 0:0000


Algorithm : Method of False Positionขนตอนวธการหาผลเฉลยของ f(x) = 0 ในชวง [�; �℄ ดวยวธเรกกลาฟอลไซ

1. กำหนดจดปลายชวงทางซาย a(1)= � และจดปลายชวงทางขวา b(1)= �2. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol เปนเงอนไขสำหรบหยดการคำนวณ

3. คำนวณจดตดแกน X ของเสนตด c(1) = b(1)-(f(b(1))(b(1)-a(1)))/(f(b(1))-f(a(1)))



6. ในขณะท Diff�tol ใหทำขนตอน 6.1-6.5

6.1 ถา f(c(k)) = 0 แลวใหกำหนด Diff = 0 มฉะนนแลวใหทำขนตอน 6.2-6.5

6.2 ถา f(a(k))f(c(k))<0 แลวใหกำหนด a(k+1)=a(k), b(k+1)=c(k) และ Diff = b(k+1)-a(k+1) มฉะนนแลวใหทำขนตอน 6.3

6.3 กำหนด a(k+1)=c(k), b(k+1)=b(k) และ Diff = b(k+1)-a(k+1)


6.5 ปรบปรงจดตดแกน X ของเสนตด c(k) = b(k)-(f(b(k))(b(k)-a(k)))/(f(b(k))-f(a(k)))

7. ผลเฉลยของ f(x) = 0 กำหนดโดย c(k)


1. จงใชชวง [a0; b0℄ ทกำหนดใหและเรกกลาฟอลไซคำนวณคาของ 0; 1; 2; 3(a) exp(x)� 2� x = 0; [a0; b0℄ = [�2:4;�1:6℄(b) os(x) + 1� x = 0; [a0; b0℄ = [0:8; 1:6℄(c) ln(x) � 5 + x = 0; [a0; b0℄ = [3:2; 4:0℄

2. จงแสดงวา (2.3.4) สมมลกบ n = anf(bn)� bnf(an)f(bn)� f(an))3. จงบรรยายความแตกตางระหวางการหาผลเฉลยดวยวธแบงชวงและเรกกลาฟอลไซ

4. จงเปรยบเทยบผลการคำนวณหาผลเฉลยของสมการดวยวธแบงชวงและเรกกลาฟอลไซสำหรบสมการตอไปน

(a) x2 � 4x+ 4ln(x) = 0; x 2 [1; 2℄(b) x+ 1� 2 sin(�x) = 0; x 2 [1=2; 1℄(c) 230x4 + 18x3 + 9x2 � 221x� 9 = 0; x 2 [�1; 0℄

2.3. การหาผลเฉลยดวยวธเรกกลาฟอลไซ 15

5. ให f(x) = 33x+1 � 7� 52x(a) จงใช Maple หาผลเฉลยของ f(b) จงหาผลเฉลยของ f โดยใชหลกการของเรกกลาฟอลไซ

(c) จงคำนวนหาผลเฉลยของ f(x) = 0 โดยวธวเคราะห

6. เมอนำ H2O ไดรบความรอนมากเพยงพอ องคประกอบของนำจะถกแยกออกไดแก ออกซเจน O2 และไฮโดรเจน H2 ถาเศษสวนโมล x ของนำเขยนไดในรปK = x1� xr pt2 + xเมอ K เปนคาคงท ณ จดสมดลและ pt แทนความดน จงใชวธเรกกลาฟอลไซหาคาเศษสวนโมลเมอกำหนดpt = 3 atm และ K = 0:05

7. ในการคำนวณทางเทอรโมไดนามกสสมการทแสดงความสมพนธระหวางความดน p (kPa) อณหภม T (K)และปรมาตร v (m3=kg) เรยกวา Equation of state ตวอยางของ Equation of state ทรจกกนแพรหลายคอ Redlich-Kwong equation of state ซงกำหนดโดยp = RTv � b � av(v + b)pTคาพารามเตอร a และ b เขยนไดในรปa = 0:42748R2T 2:5 p และ b = 0:08664RT p เมอ p = 4600 kPa และ T = 191 K ถาตองการหาแกสมเทนทบรรจอยในถงขนาด 3 m3 ทอณหภม�40Æ C และความดน 65; 000 kPa จงใชวธเรกกลาฟอลไซหาคา v จากนนความนวณหามวลของมเทน

8. ให V แทนปรมาตรของของเหลวในแทงทรงกระบอกรศม r และยาว L ถาทรงกระบอกวางในแนวนอนความสมพนธระหวางความลก h, V , r และ L กำหนดโดยV = �r2 os�1�r � hr �� (r � h)p2rh� h2�Lจงหาคา h เมอ r = 2 m, L = 5 m3 และ V = 8 m3 ดวยวธเรกกลาฟอลไซ


2.4 การหาผลเฉลยดวยวธของนวตน-ราฟสนวธของนวตน-ราฟสน (Newton-Raphson method) เปนวธการหาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0 แบบเดยวกบวธทำซำทรจกกนโดยทวไป การลเขาสผลเฉลยจรงของวธของนวตนรวดเรวกวาวธการแบงครงชวงและวธเรกกลาฟอลไซซงกขนอยกบคาเรมตนวามความใกลเคยงกบผลเฉลยจรงมากเพยงใด ในทนเราจะเรยกวธของนวตน-ราฟสนสนๆเปนวธของนวตน สมมตวาคาเรมตน x0 อยใกลผลเฉลยจรง x� เพราะฉะนนจด (x0; f(x0)) อยบนกราฟใกลกบ (x�; f(x�)) ดงรป 2.8

รปท 2.8: แนวคดในการหาผลเฉลยของ y = f(x) ดวยวธของนวตน-ราฟสน

กำหนดให x1 แทนจดตดระหวางแกน X และเสนสมผส (tangent line) กราฟ y = f(x) ทจด (x0; f(x0))จากรปเราพบวา x1 เขาใกล x� มากกวา x0 คาของ x1 คำนวณไดโดยอาศยความชนของเสนสมผส L ทผานจด(x1; 0) และ (x0; f(x0)) นนคอ m = 0� f(x0)x1 � x0 (2.4.1)

และความชนของเสนสมผสทจด (x0; f(x0)) m = f 0(x0) (2.4.2)

จากสมการ (2.4.1) และ (2.4.2) เราจะได x1 = x0 � f(x0)f 0(x0) (2.4.3)

เราสามารถทำซำกระบวนการเชนนเรอยไปจนกระทงลำดบ fxkg ลเขาสผลเฉลยจรง x�ทฤษฎบท 2.4.1. กำหนดให f 2 C2[a; b℄ สมมตวามคา x� 2 [a; b℄ โดยท f(x�) = 0 ถา f 0(x�) 6= 0 แลวมคา Æ > 0 ททำใหลำดบ fxkg1k=0 โดยทxk = g(xk�1) = xk�1 � f(xk�1)f 0(xk�1) ; k = 1; 2; : : : (2.4.4)

ลเขาส x� เมอ x0 2 [x� � Æ; x� + Æ℄เราเรยกฟงกชน g ซงกำหนดโดย g(x) = x� f(x)f 0(x) (2.4.5)

2.4. การหาผลเฉลยดวยวธของนวตน-ราฟสน 17

วาฟงกชนของการทำซำของนวตน-ราฟสนสงเกตวา g(x�) = x� เพราะวา f(x�) = 0 แสดงวาการหาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0 ดวยวธของนวตนมความหมายเดยวกนกบการหาจดตรงของฟงกชน g(x) นนเอง

บทแทรก 2.4.1. สมมต A > 0 เปนจำนวนจรงบวกและ x0 > 0 เปนคาเรมตนโดยประมาณของpA ถาลำดบfxkg1k=0 กำหนดโดย xk = 12 �xk�1 + Axk�1� ; k = 1; 2; : : : (2.4.6)

แลวลำดบ fxkg1k=0 ลเขาสpA

ตวอยาง 2.4.1. จงใช (2.4.6) คำนวณคาของp11

วธทำ เราเลอกจดเรมตนท x0 = 3 จาก (2.4.6) เราจะไดx1 = 12 �3 + 113 � = 3:3333x2 = 12 �3:3333+ 113:3333� = 3:3167x3 = 12 �3:3167+ 113:3167� = 3:3166x4 = 12 �3:3166+ 113:3166� = 3:3166สำหรบคา k � 3 เราจะได xk � 3:3166

ขอควรระวงสำหรบการหาผลเฉลยดวยวธของนวตนคอกรณท f 0(xk�1) = 0 ในสมการ (2.4.4) หากเกดกรณนขนเราอาจใช xk�1 เปนคาประมาณของ x� เพราะ f(xk�1) คอนขางใกลศนย

บทนยาม 2.4.1. สมมตวา f(x) และอนพนธ f 0(x); : : : ; f (M)(x) หาคาไดและตอเนองบนชวงรอบจด x = x�เรากลาววา f(x) = 0 มรากอนดบ M ทจด x = x� กตอเมอf(x�) = 0; f 0(x�) = 0; : : : ; f (M�1)(x�) = 0; f (M)(x�) 6= 0 (2.4.7)

เราเรยกรากอนดบ 1 วารากสามญ (simple root) และถา M > 1 เราเรยกรากอนดบ M วารากพหคณ (multipleroot) และเรยกรากอนดบ 2 วารากค (double root)

ทฤษฎบทประกอบ 2.4.1. ถาสมการ f(x) = 0 มรากอนดบ M ทจด x = x� แลวจะมฟงกชนตอเนอง h(x)ททำให f(x) = (x� x�)Mh(x); h(x�) 6= 0 (2.4.8)

ตวอยาง 2.4.2. จงพจารณาวา f(x) = x3 � 3x2 + 4 มรากชนดใดบาง

วธทำ พจารณาอนพนธ f 0(x) = 3x2 � 6x และ f 00(x) = 6x� 6 ทจด x� = �1; 2 เราจะไดวา f(�1) = 0และ f 0(�1) = 9 โดยบทนยาม 2.4.1 x� = �1 เปนรากสามญ สำหรบจด x� = 2 เราจะได f(2) = 0; f 0(2) =0 และ f 00(2) = 6 แสดงวา x� = 2 เปนรากค


บทนยาม 2.4.2. สมมตวาลำดบ fxkg1k=0 ลเขาส x� กำหนดให Ek = x� � xk; k � 0 ถามคาคงท A 6= 0และ R > 0 ทสอดคลอง limk!1 jEk+1jjEkjR = A (2.4.9)

แลวเรากลาววาลำดบ fxkg1k=0 ลเขาส x� ดวยอนดบ R เราเรยก R วาอนดบของการลเขา (order of conver-gence) ถา R = 1 เรากลาววาลำดบ fxkg1k=0 ลเขาแบบเชงเสน (linear) ถา R = 2 เรากลาววาลำดบ fxkg1k=0ลเขาแบบกำลงสอง (quadratic)

ถา R มคามากแลวลำดบ fxkg1k=0 ลเขาอยางรวดเรวและเราอาจประมาณ jEk+1j ดวย AjEkjR เมอ k มคามาก ในกรณท R = 2 และ jEkj � 10�2 เราจะไดวา jEk+1j � A� 10�4ตวอยาง 2.4.3. กำหนด f(x) = x3� 3x2+4 จงคำนวณคาประมาณของผลเฉลย x� = �1 ของ f ดวยวธของนวตนเมอ x0 = �2วธทำ ฟงกชนของการทำซำของนวตน-ราฟสน กำหนดโดยg(x) = 2x3 � 3x2 � 43x2 � 6xโดยสตร (2.4.4) เราคำนวณคาของ fxkg ไดดงแสดงในตาราง 2.2k xk jEk j = j � 1� xkj jEk+1jjEkj1:9

0 -2.0000 1.0000 0.33331 -1.3333 0.3333 0.44762 -1.0555 0.0555 0.46203 -1.0019 0.0019 0.00004 -1.0000 0.0000 -

ตารางท 2.2:

จากตาราง 2.2 อนดบการลเขา R = 1:9 สมมตวา fxkg ลเขาผลเฉลยจรงแบบกำลงสอง R = 2 ในทบ.2.4.2จำนวนจรง A หาไดจากสตร (2.4.10) A � jf 00(�1)j2jf 0(�1)j = 23สงเกตวา jE3j � AjE2j2 = 230:05552 = 0:0021ทฤษฎบท 2.4.2. สมมตวาลำดบ fxkg1k=0 ทเกดจากวธของนวตนลเขาสราก x� ของสมการ f(x) = 0 ถา x�เปนรากสามญ แลวลำดบลเขาแบบกำลงสองและjEk+1j � jf 00(x�)j2jf 0(x�)j jEkj2 (2.4.10)

เมอ k มคามาก ถา x� เปนรากพหคณอนดบ M แลวลำดบลเขาแบบเชงเสนและjEk+1j � M � 1M jEkj (2.4.11)

เมอ k มคามาก

2.4. การหาผลเฉลยดวยวธของนวตน-ราฟสน 19

Algorithm : Newton-Raphson Methodขนตอนวธการหาผลเฉลยของ f(x) = 0 ดวยวธของนวตน-ราฟสน เมอกำหนด x0 เปนคาเรมตน

1. กำหนดคาเรมตน x(1)x02. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol เปนเงอนไขสำหรบหยดการคำนวณ



5. กำหนดจำนวนลปสงสด Max

6. ในขณะท Diff�tol และ k<Max ใหทำขนตอน 6.1-6.5

6.1 คำนวณอนพนธ Df = f’(x(k))

6.2 ถา Df = 0 แลวใหกำหนด Diff = 0 และแสดงขอความ Division by zero occurs มฉะนนแลวใหทำขนตอน 6.3-6.5

6.3 คำนวณ x(k+1) = x(k)-f(x(k))/Df

6.4 คำนวณ Diff = abs(x(k+1)-x(k))


7. ผลเฉลยของ f(x) = 0 กำหนดโดย x(k-1)


1. จงใชวธของนวตนหาผลเฉลยของสมการตอไปน

(a) ex + 2�x + 2 os(x) � 6 = 0; x 2 [1; 2℄(b) ln(x � 1) + os(x� 1) = 0; x 2 [1:3; 2℄(c) 2x os(2x)� (x� 2)2 = 0; x 2 [2; 3℄(d) ex � 3x2 = 0; x 2 [3; 5℄(e) sin(x) � e�x; x 2 [6; 7℄

2. จงแสดงวาลำดบทเกดจากการหาผลเฉลยของสมการ x2 = R เขยนไดในรปxn+1 = 12 �xn + Rxn� (2.4.12)

3. จงแสดงวาถาลำดบ fxng กำหนดโดย (2.4.12) แลวx2n+1 �R = �x2n �R2xn �2


4. ฟงกชนในแตละขอตอไปนมผลเฉลยเปน R1=3 เมอ R เปนจำนวนจรงบวกใดๆ จงหาสตรสำหรบการหาผลเฉลยโดยวธของนวตน และจงหาเงอนไขของ x0 ททำใหลำดบลเขา

(a) a(x) = x3 �R(b) b(x) = 1=x3 � 1=R(c) (x) = x�R=x2(d) d(x) = 1=x� x2=R(e) e(x) = 1� x3=R

5. จงพจารณาวาเราสามารถหาผลเฉลยของสมการ x2 � 14x + 50 = 0 โดยวธของนวตนไดหรอไมเพราะเหตใด

6. จงพจารณาวาเราสามารถหาผลเฉลยของสมการpx� 3 = 0 โดยวธของนวตนเมอ x0 = 4 ไดหรอไม

เพราะเหตใด

7. กระแสไฟฟาสลบ I ในวงจรไฟฟาเขยนไดในรป I = 9 exp (�t) sin(2�t) เมอเวลา t มหนวยเปนวนาทจงใชวธของนวตนหาคา t ททำให I = 3:5

8. จากวงจรไฟฟาในรป 2.9(a) ประกอบดวยตวตานทาน ตวนำไฟฟาและตวเกบประจ โดยกฎของ Kiechhoffเราสามารถเขยนความสมพนธของความตานทานตอไฟฟากระแสสลบ Z () และความถ ! ดงน1Z =s 1R2 +�!C � 1!L�2จงใชวธของนวตนหาคา ! เมอ Z = 100 , R = 225 , C = 0:6� 10�6 F และ L = 0:5 H~ R L C θ

v

X

Y

(a) (b)

รปท 2.9:

9. การเคลอนทแบบโพรเจกไทลของลกบอลกำหนดดวยพกด (x; y) ดงแสดงในรป 2.9(b) ความสมพนธระหวางพกด x และ y กำหนดโดย y = x tan(�)� 9:81x22v2 os2(�)จงหาขนาดของ � ถา v = 30 m/s และ x = 90 m, y = 1 m โดยวธของนวตน

2.5. การหาผลเฉลยดวยวธเสนตด 21

2.5 การหาผลเฉลยดวยวธเสนตดในการหาผลเฉลยของสมการไมเชงเสนดวยวธของนวตนเราจำเปนตองคำนวณทงคาของฟงกชน f(xk�1) และอนพนธ f 0(xk�1) ตอหนงรอบของการคำนวณ ในสวนนเราจะศกษาวธทลเขาสผลเฉลยจรงทเรวเทยบเทาวธของนวตนแตอาศยเพยง f(x) เทานน วธการทจะกลาวในรายละเอยดตอไปนเรยกวา วธเสนตด (secant method) ซงลเขาสรากสามญดวยอนดบ R � 1:618033989 โดยอาจเทยบความเรวไดเทากบวธของนวตนทมอนดบ 2

กำหนดให (x0; f(x0)) และ (x1; f(x1)) เปนจดเรมตนสองจดทอยใกลกบ (x�; 0) คาประมาณในลำดบถดไปแทนดวย x2 คำนวณไดโดยอาศยจดตดบนแกน X ของเสนตรงทลากผานจดเรมตนทงสองดงรป 2.9

รปท 2.10: แนวคดในการหาผลเฉลยของ f(x) = 0 ดวยวธเสนตด

จากรปเสนประ L ทลากผาน (x0; f(x0)), (x1; f(x1)) และ (x2; 0) มความชนm = f(x1)� f(x0)x1 � x0 และ m = 0� f(x1)x2 � x1 (2.5.1)

แกสมการ (2.5.1) หาคาของ x2 เราจะไดx2 = g(x1; x0) = x1 � f(x1)(x1 � x0)f(x1)� f(x0) (2.5.2)

หากทำซำโดยใชแนวคดเดยวกนนเราสามารถเขยนสตรในการหาคาประมาณลำดบท k ไดดงนxk+1 = g(xk ; xk�1) = xk � f(xk)(xk � xk�1)f(xk)� f(xk�1) (2.5.3)

เมอ x0 และ x1 เปนคาเรมตน ซงตองกำหนดไวกอนการคำนวณ

ตวอยาง 2.5.1. กำหนด f(x) = x3 � 3x2 +4 จงคำนวณคาประมาณผลเฉลยจรง x� = �1 ของ f ดวยวธเสนตด เมอ x0 = �2 และ x1 = 0วธทำ โดย (2.5.3) เราหาคาประมาณผลเฉลยจรงไดจากxk+1 = g(xk ; xk�1) = xk � �x3k � 3x2k + 4� (xk � xk�1)x3k � 3x2k � x3k�1 + 3x2k�1ผลการคำนวณโดยกำหนด x0 = �2 และ x1 = 0 แสดงดงตาราง 2.3

22 บทท 2. ผลเฉลยของสมการไมเชงเสนk xk xk+1 � xk Ek = x� � xk jEk+1jjEkj1:6181 �2:0000 2:0000 1:0000 1:00002 0:0000 0:4000 1:0000 0:60003 �0:4000 2:5412 0:6000 4:43634 �2:9412 2:3685 1:9412 0:14615 �0:5727 0:1334 0:4273 1:16336 �0:7061 0:4247 0:2939 0:94867 �1:1308 0:1586 0:1308 0:74718 �0:9722 0:0255 0:0278 0:75739 �0:9977 0:0023 0:0023 -10 �1:0000 0:0000 0:0000 -

ตารางท 2.3:

การพสจนอนดบการลเขา R � 1:618 สำหรบวธเสนตดสามารถอานไดในหนงสอการวเคราะหเชงตวเลขระดบสงในทนจะขอกลาวถงความสมพนธของคาคลาดเคลอนสำหรบรากสามญดงนjEk+1j = jEkj1:618 �� f 00(x�)2f 0(x�) ��0:618ในตวอยาง 2.5.1 คาคลาดเคลอนท k = 8 ประมาณไดโดย jx� � x8j � 0:13081:618 � 122�9�0:618 = 0:0290Algorithm : Secant Method

ขนตอนวธการหาผลเฉลยของ f(x) = 0 ดวยวธวธเสนตดเมอกำหนด x0 และ x1 เปนคาเรมตน

1. กำหนดคาเรมตน x(1)= x0 และ x(2)= x12. กำหนดคาคลาดเคลอนทยอมรบได tol เปนเงอนไขสำหรบหยดการคำนวณ



5. กำหนดจำนวนลปสงสด Max

6. ในขณะท Diff�tol และ k<Max ใหทำขนตอน 6.1-6.5

6.1 คำนวณ Df = f(x(k))-f(x(k-1))6.2 ถา Df = 0 แลวใหกำหนด Diff = 0 และแสดงขอความ Division by zero occurs มฉะนนแลวให

ทำขนตอน 6.3-6.56.3 คำนวณ x(k+1) = x(k)-f(x(k))(x(k)-x(k-1))/Df6.4 คำนวณ Diff = abs(x(k+1)-x(k))6.5 เพมขนาดของตวนบ k=k+1

7. ผลเฉลยของ f(x) = 0 กำหนดโดย x(k-1)

2.5. การหาผลเฉลยดวยวธเสนตด 23


1. จงใชวธเสนตดและสตร (2.5.3) หาคาของ x2 และ x3(a) f(x) = x2 � 2x� 1 เมอ x0 = 2:6 และ x1 = 2:5(b) f(x) = x3 � x� 3 เมอ x0 = 1:7 และ x1 = 1:67(c) f(x) = x3 � x+ 2 เมอ x0 = �1:5 และ x1 = �1:52

2. จงแสดงวาสตร (2.5.3) เขยนไดในรปxn+1 = xn�1f(xn)� xnf(xn�1)f(xn)� f(xn�1)จงอธบายวาเหตใดสตรนจงเหมาะสมแกการโปรแกรมคำสงมากกวา สตร (2.5.3)

3. จงใชวธของนวตนแบบเรงหาราก x� อนดบ M(a) f(x) = (x � 2)5 เมอ x� = 2;M = 5 และ x0 = 1(b) f(x) = sin(x3) เมอ x� = 0;M = 3 และ x0 = 1(c) f(x) = (x � 1)ln(x) เมอ x� = 1;M = 2 และ x0 = 2

4. จงเขยนคำสงดวย matlab เพอเปรยบเทยบผลการคำนวณหาผลเฉลยดวยวธของนวตนและวธเสนตดสำหรบฟงกชนตอไปน

(a) x3 � 3x+ 1 เมอ x0 = 2(b) x3 � 2 sinx เมอ x0 = 1=2

5. ถงเกบนำทรงกลมบรรจนำปรมาตร V (ft3) และความลกเทากบ h (ft) ถาถงเกบนำมรศม R (ft) ดงรป2.11 จะเขยนความสมพนธระหวางปรมาตร ความลกและรศมไดดงนV = �h2 �R� h3�ถาถงเกบนำมรศม 10 ft จงหาความลกของนำในถงเมอมนำอย 1000 ft3 ดวยวธเสนตดและวธของนวตน

R

V h

รปท 2.11:

6. เมอใหยาผปวย ความเขมขนของยาในกระแสเลอดกำหนดโดยสมการ = Kte�at เมอ K เปนคาพารามเตอรทขนอยกบการใหยา a ขนอยกบอตราการการดดซมยา ถา K = 2 และ a = 0:25 จงหาวาเวลา t ทความเขมขนยาในกระแสเลอดสงสด ดวยวธเสนตดและวธของนวตน

ผลเฉลยของสมการไมเชิงเสน¸•้นปี55... ·...

Documents