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Anexo de actividades de refuerzo para el programa 2017 de Geometría

y Trigonometría

Enfoque por competenciasBachillerato Tecnológico

Jesús Manuel Hernández

Geometría y Trigonometría

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Presentación

El propósito de la Educación Media Superior es formar ciudadanos libres, participativos, responsables e informados, que ejerzan sus derechos y que participen activamente en la vida social.

Para contribuir al desarrollo del perfil de egreso del estudiante de bachillerato, Montenegro Editores ha creado una serie de auxiliares didácticos orientados al fortalecimiento de las competencias genéricas y disciplinares, así como al logro de los aprendizajes esperados en cada asignatura.

Esta obra contiene una edición anotada del libro del alumno, en la que se señalan sugerencias de respuestas para cada una de las actividades que se plantean. Además, se presenta una dosificación semanal del programa con actividades didácticas sugeridas.

Deseamos que este material te sea de gran utilidad y que tengas mucho éxito en este inicio de semestre.

Los editores

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Tabla de correspondencia

Correspondencia del libro de Geometría y trigonometría con el nuevo programa 2017

BLOQUE CONOCIMIENTOS APRENDIZAJES ESPERADOS

Páginas del Libro del Maestro (LM)

Páginas del material complementario

(MC)

PRIM

ER P

ARCI

AL

I

Sistemas angulares como medición: ¿por qué existen varias formas de

medir ángulos?

• Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas.

13-14, 18-22 (LM)6-7 (MC)

Conceptos básicos de: recta, segmento, semirecta, línea curva.

• Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva.

25-26 (LM)7-9 (MC)

II

¿Por qué los triángulos son estructuras rígidas usadas en las

construcciones?• Identifica, clasifica y caracteriza a

las figuras geométricas.33 (LM)10 (MC)

¿Por qué la configuración y la reconfiguración espacial de figuras sirve para tratar con

situaciones contextuales de la Geometría?

• Interpreta las propiedades de las figuras geométricas.

61-65 (LM)11 (MC)

SEGU

NDO

O P

ARCI

AL

III

Patrones y fórmulas volúmenes de figuras geométricas.

¿Las formas de medir volúmenes en mi comunidad? ¿Tienen el

mismo volumen?

• Significa las fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas con el uso de materiales concretos y digitales.

82-84 (LM)

Criterios de congruencia de triángulos y polígonos:

¿Qué tipo de configuraciones figurales se precisan para tratar con polígonos, sus propiedades

y estructuras, relaciones y transformaciones?

• Caracteriza y clasifica a las configuraciones espaciales triangulares según sus disposiciones y sus relaciones.

36-42 (LM)

Teorema de Tales. ¿Calculando la altura al medir la sombra?

• Interpreta visual y numéricamente al Teorema de Tales en diversos contextos y situaciones cotidianas.

44 (LM)

TERC

ER P

ARCI

AL

IV

Construir un triángulo semejante a uno dado.

• Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante distintos medios.

47 (LM)

Medir la altura de un árbol a partir de su sombra.

• Interpreta visual y numéricamente al Teorema de Tales en diversos contextos y situaciones cotidianas.

44 (LM)

Una introducción de las razones de magnitudes a las funciones

reales.

• Analiza al círculo trigonométrico y describen a las funciones angulares, realiza mediciones y comparaciones de relaciones espaciales.

111-149 (LM)

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EN CONTEXTO

Anexo de Actividades de refuerzo para el programa 2017 de Temas Selectos de Geometría y Trigonometría

La finalidad de la trigonometría es fijar una conexión entre los lados y los ángulos del triángulo, etimológicamente proviene de los términos griegos τριγωνο, trigonum, triángulo; y μετρον, metron, medida.

Se basa en el estudio, análisis y aplicación de las denominadas Razones trigonométricas: seno, coseno, tangente y cotangente, cuya importancia radica en el impacto que genera su precisión aplicada a situaciones reales contextuales que incluye el establecimiento de sistemas de navegación, definir las trayectorias estelares en la astronomía, así como medir distancia entre puntos específicos.

Por otra parte, se complementa perfectamente con el estudio del espacio y las figuras que se forman a partir de puntos, líneas, planos y volúmenes, respondiendo al nombre de Geometría.

PRODUCTO FINAL

El producto final con el que tendrás la oportunidad de poner en práctica tus competencias es la elaboración de una estructura trigonométrica rígida y flexible, demostrando las aplicaciones del triángulo.

Con la elaboración de la estructura establecerás de manera argumentativa una presentación para sustentar la relación de los ángulos, lados y puntos de apoyo del triángulo. Para ello, te sugerimos plantear conceptos, imágenes y procesos que apoyen la idea central.

Este producto se trabajará a lo largo del bloque, te proponemos las preguntas del recuadro de la derecha con el propósito de guiar la investigación y el desarrollo del mismo.

• ¿Qué? Estructura trigonométrica rígida y flexible.• ¿Cómo? Mediante canutillos hechos de papel reciclado, pasta de canutillo,

espaguetis o popotes y pegamento, formando estructuras triangulares con puntos de apoyo, acompañadas de una presentación con la demostración del funcionamiento de cada estructura y razones argumentadas de la situación que se observa.

• ¿Para qué? Para conocer las aplicaciones de la trigonometría en la vida

cotidiana, y cómo éstas dan soporte a cientos de estructuras de las que hacemos uso.

• ¿Con quién lo vas a compartir? Con el grupo, para intercambiar ideas, conceptos, implicaciones

y aplicaciones, además de exponer su opinión a los compañeros ofreciéndoles la oportunidad de conocer otro punto de vista referente al mismo proyecto, con la finalidad de enriquecer los contenidos.

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Anexo de actividades

PARA INICIAR

1. Lee el siguiente texto y contesta las preguntas.

Estación central de Lisboa de Santiago Calatrava

Santiago Calatrava dio a conocer su trabajo en 1983 con el proyecto de construcción de puentes sobre el Guadalquivir, durante la Expo de Sevilla en 1992. Seis años más tarde, su trabajo también estaría presente en la Expo de Lisboa.

Edificó una estructura de techos elevados con altura hasta los 8 metros, con volados en arcos con puntos de apoyo de figuras geométricas.

Se observan dos conceptos distintos, uno de espacios abiertos con cristales y gran iluminación, y otra de espacios cerrados con laberintos y arcos gruesos con base de columnas anchas.

Mantiene una íntima relación con los puntos de apoyo y sus soportes rígidos y flexibles, característicos de los triángulos.

a) ¿Qué figuras geométricas se observan en la estación central oriente de Lisboa?

b) ¿Cuál es la razón por la que Calatrava basa sus modelos arquitectónicos en esas figuras?

c) ¿Por qué el triángulo es considerado un figura que proporciona rigidez y flexibilidad?

d) ¿Cómo se mantienen estables las estructuras sin pilares que sostienen a otra estructura?

2. Comenta tus respuestas con tus compañeros y en grupo compartan ejemplos de estructuras similares en su entorno o ciudad, con apoyo de su maestro.

Fig. 1 La estación de oriente de Lisboa de Santiago Calatrava.

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Competencia genérica Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Competencia disciplinar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

1.1 Sistemas angulares como medición: ¿por qué existen varias formas de medir ángulos?Para reflexionar sobre los métodos angulares es preciso recordar el concepto de ángulo, el cual es la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice.

Por su gran variedad es necesario hacer una clasificación de acuerdo con rangos de abertura de 0° a 90°, de 90° a 180° y de 180° a 360°; algunos ángulos definidos por un solo valor, como el recto, el llano y el completo.

De acuerdo a su clasificación y exactitud, existen diversos métodos para medir los ángulos, los más comunes son el sexagesimal y el circular; el primero tiene como unidad principal el grado (°) y como subunidades el minuto (‘) y el segundo (“), mientras que el otro sistema tiene como unidad el radián.

Estas unidades de medida determinan la precisión de los ángulos obtenidos, por lo que definir su concepto es requisito indispensable para orientar el sistema que se va a aplicar según las necesidades o los recursos disponibles.

El radián es el ángulo obtenido cuando el radio se enrolla sobre el círculo, su medida se determina por el radio de un círculo enrollado en su circunferencia; es decir, en grados mide aproximadamente 57, 2958°, por lo que por cada circunferencia existen 2 π r y la cantidad de radianes se determina por 2π r/r, esto al simplificarlo da como resultado 2π radianes (aproximadamente 6.28 radianes).

Los grados son una medida usada para cada una de las 360 partes iguales en las que se puede dividir una circunferencia, incluye dos propiedades: minutos y segundos, por lo que proporciona mayor precisión; sus ángulos regularmente son agudos, rectos y obtusos.

GlosarioVértice.Es el punto que define la unión entre dos segmentos produciendo un ángulo.

SISTEMAS ANGULARESSISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA CIRCULAR

Surgió cuando los babilonios partieron un círculo en 360 partes iguales; por tanto, una vuelta tiene 360º.

1º = 60’60’ = 60’

90 8070

6050

40

30

20

10

350

340

330

320

310300

290280260

250240

230

220

210

200

190

170

160

150

140

130

120110

100

360 0180

270

ab y bc son la misma distancia, a lo que se denomina radián.

1º = 0.0175 rad

r = abab = bcα = 1 radiánα = ab/bc

a b

c

α

En el siguiente enlace encon-trarás un video que te mos-trará una forma eficiente de convertir radianes a grados.

https://goo.gl/8AbDQo

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PARA INICIAR

¿Qué unidad es mejor para medir ángulos y bajo qué criterios?

Grado Radián

Los grados se usan para problemas matemáticos prácticos, se utiliza en la arquitectura y en el arte.

Si lo que se busca es exactitud en las medidas, lo más recomendable es usar los grados, ya que esta unidad es exacta y permite realizar mediciones pequeñas por medio de subunidades como los minutos y los segundos.

El radián se utiliza en problemas trigonométricos complejos y en física se utiliza como medida estándar del SI para ángulos llanos. Sin embargo, aún no se utiliza en muchos países por no representar un valor entero.

Si lo que se desea es resolver problemas trigonométricos complejos o determinar la medida de ángulos llanos en el área de la física, se recomienda usar radianes.

Competencia genérica Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Competencia disciplinar Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

1. En parejas, con base en la información anterior, resuelvan los siguientes ejercicios.

¿A cuántos radianes equivalen 35º?

¿A cuántos grados equivalen π4

radianes?

2. Compartan los resultados obtenidos al grupo y coméntenlos con la guía de su maestro.

Sistema sexagecimal Sistema circular

90º π2

180º π360º 2 π

DesempeñoTrabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza las conversiones de medidas.

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1.2 Desarrollo de puntos y rectasPara distinguir los conceptos básicos de la recta, es necesario definirla y con ello establecer los conceptos que la componen.

¿Qué es el punto?El punto (•) es uno de los componentes fundamentales de la geometría, ya que con él determinamos las rectas y los planos; se le puede considerar como la intersección de dos líneas, esto porque proporciona información de la posición y no posee dimensión.

¿Qué es una recta?Una recta ( ) es la continuidad ininterrumpida de puntos en una misma dirección, es decir, posee una sola dimensión (longitud). Dos puntos determinan si una recta es infinita (que no tiene principio ni fin).

CLASIFICACIÓN DE LAS RECTAS

Tipo de recta Definición Ejemplo

Recta

La recta se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección.

Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.

SemirrectaEs una línea recta que tiene origen pero

no fin. Tiene sólo un sentido. No se puede medir.

SegmentoUn segmento es una línea recta que tiene

principio y fin; se puede medir, ya que está determinada por dos puntos.

Poligonal

Se le llama recta poligonal a la que está formada por varias porciones de rectas

unidas en continuación de otras, pero no están alineadas. La línea poligonal puede

ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo

se une con el último).

Curva

Está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta

(los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) o curva mixta

(formada por líneas rectas y curvas unidas).

Abierta Cerrada

CerradaAbierta Mixta

GlosarioIntersección.Encuentro entre dos líneas que se cortan de la misma forma.

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POSICIONES DE LAS RECTAS

Ejemplo Posición Definición

Rectas paralelasSon paralelas si no tienen ningún

punto en común.

Rectas secantesSon secantes cuando comparten un

punto en común.

Rectas perpendicularesSon perpendiculares cuando al

contarse forman 4 ángulos rectos.

• Circunferencia: curva regular cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de otro llamado centro.

• Elipse: curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.

• Espiral: curva regular abierta que gira sobre sí misma.• Parábola: curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia

siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

1.3 Los tipos de línea curva

DesempeñoDistingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva.

Posición de las rectas en el espacio:

• Horizontal• Vertical• Inclinada

PARA CONTINUAR

Competencia genérica Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.


1. Relaciona las rectas con la definición correcta con base en la información anterior.

Es aquella que no tiene ni principio ni fin determinado.

Es un componente fundamental que divide una recta en dos semirrectas.

Determina una parte de la recta que puede medirse.

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2. Compara tus respuestas con las de otros compañeros. El maestro se encargará de retroalimentar los resultados.

PARA TERMINAR


Competencia disciplinar Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

1. Elabora una tabla con al menos dos aplicaciones con sus ejemplos de los sistemas de medición angular, en tu contexto.

2. En equipos, realicen un análisis y fundamenten su respuesta con relación al sistema que consideran más apropiado para el estudio de la trigonometría.

3. Compartan sus respuestas con el resto del grupo y con ayuda del maestro lleguen a una conclusión.



1.4 Figuras geométricasUna figura geométrica es un grupo de puntos no vacío, es decir, son áreas determinadas por líneas o superficies en un plano o un espacio; pueden ser planas dentro de un plano de dos dimensiones, o sólidas de dos o tres dimensiones y poseen volumen.Las figuras geométricas planas y sólidas a su vez poseen una clasificación, como se observa en el libro Geometría y Trigonometría en las páginas 62-68.

1.5 ¿Por qué los triángulos son estructuras rígidas usadas en las construcciones?El triángulo es un polígono sencillo, de gran importancia, ya que desde su simplicidad tiene mucha utilidad en el desarrollo de las cuestiones geométricas.

Por otro lado, el triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una fuerza, entendiendo ésta como todo aquello que puede deformar o alterar un cuerpo en reposo o movimiento, sobre uno cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres rectas, de inmediato las dos rectas que parten de dicho vértice quedan sujetas a dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sujeta a un esfuerzo de tracción.

La geometría es un medio para desarrollar, esti-mular y ejercitar la percepción espacial, ya que la configuración espacial se incorpora como una representación observable, actuando como estí-mulo para los sentidos en el proceso de reconfi-guración interna, es decir, incorporando nuevas estructuras de los objetos no observables.

El dominio de los sistemas de medición angulares te permitirá adentrarte en el mundo de la trigonometría sin conflictos, teniendo en cuenta los conceptos básicos de la geometría, como el punto y la recta, así como la clasificación y posición de las mismas.

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ACTIVIDAD INTEGRADORA


Competencia disciplinar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

A través de las distintas actividades realizadas en el transcurso del bloque, tuviste la oportunidad de conocer y analizar las ventajas de las estructuras rígidas y a la vez flexibles, siendo éstas utilizadas en la mayoría de las estructuras de edificios, puentes, entre otros puntos centrales. Ahora es momento de armar tu estructura rígida y flexible.

1. Elige el diseño de una estructura a base o puente, recuerda que el diseño debe soportar una gran can-tidad de peso que determinará las aplicaciones triangulares.

2. Para que te apoyes en ideas y modelos de ejemplo, puedes consultar los siguientes enlaces:

https://youtu.be/lzMfQuqM2Vo

https://youtu.be/6RHJGze1CMg

https://youtu.be/zeotzXtFmPU

https://youtu.be/y1z66EC4n4o

3. Al finalizar elabora una presentación de la estructura fundamentando la relación de los ángulos, lados y puntos de apoyo del triángulo como parte de la estructura y cómo funcionan dentro de ella.

Si bien el triángulo es una figura geométrica, también se le considera una estructura, ya que es un conjunto de elementos que soportan los efectos de las fuerzas, manteniendo la forma y evitando que se rompa o deforme; de cierta manera crea un esfuerzo de tensión interna al ser sometido a dichas fuerzas externas.

Para el funcionamiento de la estructuras se deben considerar 4 condiciones.1. Rigidez. Que no se deforme; y en caso de que suceda, debe ser dentro de límites establecidos,

esto se obtiene al hacer triangulaciones. 2. Estabilidad. Que tenga las propiedades necesarias para que no se derriben.3. Resistencia. Con la cual los componentes de la estructura tengan la capacidad de soportar

el esfuerzo al que es sometida.4. Ligereza. Posibilidad de ahorrar el material, de tal manera que tendrá menos fuerza que

resistir.

GlosarioTriangulaciones.En las estructuras, hace re-ferencia a agregar rectas en las figuras geométricas para formar triángulos propor-cionando su rigidez.

Diseño no resistente Diseño resistente triangulado

PRODUCTO FINAL

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4. Realiza frente al grupo la presentación de la estructura, exponiéndola a pesos determinados (para una base pueden utilizar su propio peso, y para puentes, pesas de distinto peso) para comprobar su resis-tencia. Juntos, hagan una retroalimentación con ayuda del maestro con la intención de enriquecer su trabajo.

5. Escribe en tu cuaderno una conclusión general acerca del peso soportado por las estructuras.

6. Esta actividad se evalúa con una guía de observación como la siguiente.

CRITERIOS

AspectoExcelente

4Muy bien

3Regular

2En proceso

1Total

Materiales de construcción

Se utilizaron los materiales requeridos y

fueron usados creativamente.

Se utilizaron los materiales

requeridos con poca creatividad

en su uso.

Se utilizaron los materiales

requeridos.

No se utilizaron los materiales

requeridos.

Conocimiento teórico

Las explicaciones de todos los

miembros del equipo indican un

entendimiento claro y exacto de

la construcción de la estructura.

Las explicaciones de todos los

miembros del equipo indican un

entendimiento relativamente

claro de la construcción de la

estructura.

Las explicaciones de algunos de

los miembros del equipo indican un

entendimiento relativamente

claro de la construcción de la

estructura.

Las explicaciones de todos los miembros del equipo

indican poco entendimiento

del tema.

Calidad en la construcción

Buen cuidado en la construcción de

la estructura de tal manera que es limpia, atractiva e

innovadora.

Construcción cuidadosa pero

uno o dos detalles podrían haber sido refinados para lograr el

objetivo.

Buena construcción

pero tres o cuatro detalles podrían

haber sido refinados para

lograr el objetivo.

Construcción descuidada,

muchos detalles requieren

refinamiento y limpieza.

Funcionamiento

La estructura funciona

correctamente, se mantiene estable

y firme.

La estructura funciona bien, se mantiene estable

y firme por un tiempo.

La estructura funciona bien

pero se deteriora fácilmente.

La estructura no funciona, tiene problemas de

diseño, material y cuidado de construcción.

Soporte125 veces su peso.

85 veces su peso. 45 veces su peso.Su peso o menor

a su peso.

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EVALUACIÓN SUMATIVA

1. Resuelve los siguientes ejercicios.

a) Convierte la medida 60º a radianes. Escribe la respuesta en términos de π.

b) Convierte la medida 3π4

a grados.

2. Relaciona las columnas según la equivalencia.

a) 225° 5π3

b) 4π3

rad 450°

c) −315° 5π4

d) 5π2

rad −144°

e) 300° − 7π4

f) − 4π5

rad 240°

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