analiza si algebra clasa a xi - a

8/8/2019 Analiza Si Algebra Clasa a XI - A

1/86

MATRICI I DETERMINANI

MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pusproblema rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute x, y, de forma

=+

=+''' cybxa

cb ya x.

Acestui sistem i-am asociat un teblou ptratic, care conine coeficieniinecunoscutelor (n prima linie sunt coeficienii lui x, y din prima ecuaie, iar in a doua

linie figureaz coeficienii luix,y din ecuaia a doua):

''

ba

ba.

Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele doucoloane ale matricei figureaz coeficienii luix (pe prima coloan a, 'a ) i respectivcoeficienii luiy (pe a doua coloan b, 'b ).

Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip nm ) untablou cu m linii i n coloane


2/86

m nmm

n

n

aaa

aaa

aaa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

ale crui elemente ija sunt numere complexe.

Uneori aceast matrice se noteaz i ( jiaA = unde mi ,1= i nj ,1= . Pentru

elementul ija , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indicpe ce coloan este situat.Mulimea matricilor de tip nm cu elemente numere reale se noteaz prin

( )Rnm, . Aceleai semnificaii au i mulimile ( )Znm, , ( )Qnm, , ( )Cnm, .

Cazuri particulare1) O matrice de tipul n1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i areforma

( )naaaA ...21= .2) O matrice de tipul 1m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i areforma

=

ma

a

a

B. . .

2

1

.

3) O matrice de tip nm se numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Senoteaz cu O


3/86

=

0. . .00

. . .. . .. . .. . .

0. . .00

0. . .00

O .

4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numeteptratic.

=

n nnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

.

Sistemul de elemente ( )nnaaa ...2211 reprezint diagonala principal amatriciiA, iar suma acestor elemente nnaaa ... 2211 +++ se numete urma matricii

A notat Tr(A) =

=n

i

iia1

. Sistemul de elemente ( )1121 ... nnn aaa reprezint

diagonala secundar a matriciiA.Mulimea acestor matrici se noteaz ( )Cn . Printre aceste matrici una este foarte

important aceasta fiind


4/86

=

1. . .00

. . .. . .. . .. . .

0. . .10

0. . .01

nI

i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1,iar n rest sunt egale cu 0).

1.2. Operaii cu matrici

1.2.1.Egalitatea a dou matrici

Definiie. Fie ( jiaA = , ( jibB = ( )Cnm, . Spunem c matricile A, B suntegale i scriemA = B dac jia = jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea dematrici

=

++

x

x

yx

yxx

290

12

20

1.

R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:


5/86

=

=

=+

=+

.292

00

1

21

xyx

xyx

x

Rezolvnd acest sistem gsim soluiax = 1,y = -3.

1.2.2.Adunarea matricilor

Definiie. Fie ( jiaA = , ( jibB = , ( jicC = ( )Cnm, . Matricea C se numetesuma matricilorA,B dac: jic = jia + jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

Observaii1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr delinii i acelai numr de coloane, deciA,B ( )Cnm, .2) Explicit adunarea matricilorA,B nseamn:

m nmm

n

n

aaa

aaa

aaa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

+

m nmm

n

n

bbb

bbb

bbb

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

=

+++

++++++

m nm nmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

2211

222 22 22 12 1

111 21 21 11 1

.

Exemplu: S se calculezeA + B pentru:


6/86

1.

=

=511350,

103211 BA ;

2.

.01

10

,11

11

=

=BA

R. 1. Avem


7/86

611

141

511013

3-251-01

511 0

350

103

211

BA 2. Avem


8/86

10

21

0111

1101.

01

10

11

11BA

.

Proprieti ale adunrii matricilor

1A (Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:

( ) ( )CBACBA ++=++ , ( )A,B, C ( )Cnm, .2

A (Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:ABBA +=+ , ( )A,B ( )Cnm, .

3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element

neutru, adic nmO , ( )Cnm, astfel nct A + nmO , = A, ( )A( )Cnm, .

4A (Elemente opuse). Orice matrice A ( )Cnm, are un opus, notat A ,

astfel nct( ) nmOAA ,=+ .

1.2.3.nmulirea cu scalari a matricilor


9/86

Definiie.Fie C i A = )jia ( )Cnm, . Se numete produsul dintrescalarul C i matricea A, matricea notat A ( )Cnm, definit prin A =

)jia .

Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci A =

m nmm

n

n

aaa

aaa

aaa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

.

Exemplu Fie

=

1320

532

1

A . Atunci 6A =

640

31 83.

Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari

1S ( ) ( )AA = , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;

2S ( ) BABA +=+ , ( ) C, ( ) A,B ( )Cnm, ;

3S ( ) AAA +=+ , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;

4S AA =1 ,1 C, ( ) A ( )Cnm, ;

1.2.4. nmulirea matricilor

Definiie. Fie A = ( )ika ( )Rnm, , B = )jib ( )Rpn, . Produsul dintrematricile A i B ( n aceasta ordine), notat AB este matricea C = )jkc ( )Rpm, definit prin


10/86

=

=n

i

jiikjk bac1

, ( ) mk ,1= , ( ) nj ,1= .

Observaii

1) ProdusulAB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dacA ( )Rnm, ,B ( )Rpn, , adic numrul de coloane ale luiA este egal cu numrul de linii ale luiB, cnd se obine o matrice C = AB ( )Rpm, .2) Dac matricile sunt ptraticeA, B ( )Rn atunci are sens ntotdeauna att AB ct iBA, iar, n general,AB BA adic nmulirea matricilornu este comutativ.

Proprieti ale nmulirii matricilor

1I (Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic

( ) ( )BCACAB = , ( )A ( )Cnm, , ( )B ( )Cpn, , ( )C( )Csp, .

2I (Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea

matricilor este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic( ) ( ) ,, CBCABACBCACCBA +=++=+ ( )A, B, Cmatrici

pentru care au sens operaiile de adunare i nmulire.3I Dac nI ( )Cn este matricea unitate, atunci

,AAIAI nn == ( )A ( )Cn .Se spune c nI este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricilor.

1.2.5.Puterile unei matrici

Definiie. Fie A ( )Cn . Atunci AA =1 , AAA =2 , AAA = 23 , ,AAA nn = 1 , ( ) n *N . (Convenim 2

0IA = ).

TEOREMA Cayley Hamilton. Orice matrice A ( )Cn i verificpolinomul caracteristic ( ) 0det = IA .

Pentru n = 2.

= dcba

A ba

dc

ba

A ==

d e t


11/86

dc

ba

dc

baIA10

01

.

) =++==

= 000

0d e t 2 bdaa db cdadc

ba

IA

( ) 02 =++ bcadda polinom caracteristic

Generalizat.( ) ( ) 0detTr 1 =+ nnn IAAAA

1. DETERMINANI

2.1. Definiia determinantului de ordin n 4


12/86

FieA= )jia ( )Cn o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numrnotat det(A) numit determinantul matricii A.

Definiie. Dac A= ( )11a ( )Cn este o matrice ptratic de ordinul nti,atunci

det(A) = 11a .

Definiie. Determinantul matricii

=

22 1

11 1

aa

aaA este numrul

( ) 21122211det aaaaA =

22 1

11 1

aa

aa=

i se numete determinant de ordin 2. Termenii 2211aa , 2112aa se numesc termenii

dezvoltrii determinantului de ordin 2.Definiie. Determinantul matricii

=

3 33 23 1

2 32 22 1

1 31 21 1

aaa

aaa

aaa

A este numrul

322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++=i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termeniidezvoltrii determinantului.

Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:


13/86

Regula lui SarrusFie determinantul de ordin 3, .3,1, == jijiad Pentru a calcula un astfel de

determinant se utilizeaz tabelul de mai jos.

(am scris sub determinantprimele dou linii)

Se face produsul elementelor de pe diagonale.Produsul elementelor de pe o diagonal descendent estecu semnul plus. Avem trei astfel de produse:

312312322113332211 ,, aaaaaaaaa .Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent estecu semnul minus. Avem trei astfel de produse:

322311332112312213 ,, aaaaaaaaa .

Suma celor ase produse d valoareadeterminantului dde ordin 3. Acest procedeu de calcul se numete regula lui Sarrus.

Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu

semnul plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal,

iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au olatur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonalasecundar, se obin termenii cu minus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.

Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul

013

120

103

=d

R.Regula lui Sarrus.

[ ] ( ) 9036000000)1(1)3(123)1(03110023 =++++=++++=d

2 32 22 1

1 31 21 1

3 33 23 1

2 32 22 1

1 31 21 1

aaaaaa

aaa

aaa

aaa


14/86

Regula triunghiului

[ ] ( ) 9036000000)1(1)3(1231103)1(0023 =++++=++++=d

Recurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)

Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus,iar ceilali cu semnul minus.Are loc urmtoarea proprietate:

33

221

31

3 33 1

2 32 11 2

21

3 33 2

2 32 21 1

11 )1()1(

)1()d e

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA , (1)


15/86


16/86

Definiie. Determinantul matricii A= )jia de ordin n este suma produselorelementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic

( ) ( ) nnn

DaDaDaDaA 111

131312121111 1...det++++= .

Observaii

1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele,liniile i coloanele determinantului

n nnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. .. . .. . .. . .

. . .

. . .

)d e t (

21

22 22 1

11 21 1

= .

2) Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordin ndup elementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jospentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care sfie comode att din punct de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Acesteproprieti le prezint n paragraful urmtor.4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie( )nDDD 11211 ,...,, se obine pentru )det(A o sum de produse de elemente din

determinant, fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite.5) Determinantul este o funcie ( ) CCn :det .

Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:

00111110

0021

2101

=d .

R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dupelementele liniei nti. Avem:


17/86

(

011

110

021

2

011

110

021

1

001

110

001

0

001

111

002

1d=

= 12100 =+ ,unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate ladeterminanii de ordin 3.

2.3. Proprietile determinanilor

.1

P Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse,

adic dacA ( )Cn , atunci ( ) ( )AAt

detdet = .


18/86

Demonstraie. Fie

= dcba

A i

= dbca

A

t

.

Atunci ( ) bcadA =det , iar ( ) bcadAt =det . Prin urmare ( ) ( )AA tdetdet = .

.2

P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,atunci determinantul matricii este nul.

Demonstraie. Avem 00000 == cddc

i 00000 == bddb .

.3

P Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre eleobinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.

Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea

dc

ba

ba

dc

= .

Avem evident ( )bcadadbc = .

.4

P Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantulsu este nul.


19/86

Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:

0 == bababa

ba.

.5

P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulitecu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cudeterminantul matricii iniiale.

Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.

dc

babacbda

dc

ba

=== .

.6

P Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici suntproporionale, atunci determinantul este nul.

Demonstraie. Verificm pentru linii.


20/86

0

=== aaba

ba

ba

ba

.

.7P

Dac linia i a unei matriciA este suma a doi vectori, atunci determinantul eieste egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii caA,cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori.


21/86

nn

ii

n

n nn

i ni

n

n nn

i ni nii

n

aa

bb

aa

aa

aa

aa

aa

baba

aa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .. . .. . .

. . .

. ..

. . .. . .. . .. . .

. . .. . .. . .

. . .

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .. . .. . .

. . .

1

1

11 1

1

1

11 1

1

11

11 1

+=++

.

Demonstraie. Am de artat c:


22/86

dc

ba

dc

ba

dc

bbaa

''''

+=++

.

ntr-adevr membrul stng este egal cu ( ) ( ) cbbcdaadbbcdaa '''' +=++ .Membrul drept este cbdabcad '' + i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane.

.8

P Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar decelelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

.9

P Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii(coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca imatriceaA.

Demonstraie. Voi aduna la linia nti 1L linia a doua nmulit cu .Vom nota acest fapt prin 21 LL + . Avem:


23/86

111111

11

1111

11

0

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

bbaa

67 PP.

.10

P

( ) 1det

=nI

.11

P ( ) ( ),detdet AA n = A ( )Cn .

.12

P Dac A= )jia este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci( ) nnaaaA ...det 2211= . (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de

pe diagonala principal).


24/86

.13

P Dac A, B ( )Cn , atunci ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet = (Determinantulprodusului a dou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).

n particular ( ) ( )( ) ,detdet nn AA = n *N .

Teorem. Determinantul unei matrici A ( )Cn este egal cu suma produselordintre elementele unei linii iL ( )ni ,1= i complemenii lor algebrici, adic

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) inni

ini

i

ii

i

ii

i

i DaDaDaDaA++++ +++= 1...111det 3

3

32

2

21

1

1 .

(Formula lui ( )Adet d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).

Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricarelinie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct maiuor) mai multe zerouri.

Observaie: innd seama de proprietatea 1P teorema precedent are loc i

pentru coloane sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) njjn

njj

j

jj

j

jj

j

j DaDaDaDaA++++ +++= 1...111det 3

3

32

2

21

1

1 .

2.4. Calculul inversei unei matrici

Definiie. Fie A ( )Cn . Matricea A se numete inversabil dac existmatriceaB ( )Cn cu proprietatea c nIABBA == , nI fiind matricea unitate.

Matricea B din definiie se numete inversa matricii A i se noteaz 1= AB .Deci

nIAAAA == 11

.

Teorem. Matricea A ( )Cn este inversabil dac i numai dac( ) .0det A O astfel de matrice se numete nesingular.

Construcia lui 1A presupune urmtorii pai:

Pasul 1. (Construcia transpusei)


25/86

Dac

=

n nnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

,

atunci construim transpusa luiA

=

n nnn

n

n

t

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 21 2

11 21 1

.

Pasul 2. (Construcia adjunctei)

Matricea

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

+++

+++

+++

n n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

DDD

DDD

DDD

A

1. . .11

. . .. . .. . .. . .

1. . .11

1. . .11

2

2

1

1

2

2

2 2

22

2 1

12

1

1

1 2

21

1 1

11

*

obinut din At , inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numeteadjuncta matriciiA.

Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:


26/86

,

. . .000

. . .. . .. . .. . .. . .

0. . .00

0. . .00

**

==

d

d

d

AAAA iar de aici.11 ** nIA

dAAA

d ==

Ultimele egaliti aratc

2.5. Ecuaii matriciale

Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de formaCAX = , CXA = , CAXB = , undeA,B, Csunt matrici cunoscute, iarXeste matricea

de aflat. Astfel de ecuaii se numesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrici ptratice

inversabile.

Pentru rezolvarea ecuaiei CAX = nmulim la stnga egalitatea cu 1A i

avem: ( ) ( ) CAXCAIXCAXAACAAXA 111111 ==== .Deci soluia ecuaiei date este CAX 1= .

Pentru determinarea soluiei ecuaiei CXA = vom nmuli la dreapta cu 1A ianalog vom gsi 1=CAX , soluia ecuaiei matriciale.

Pentru gsirea soluiei ecuaiei CAXB = nmulim egalitatea la stanga cu 1A ila dreapta cu 1B i obinem 11 = CBAX .

( )*1

det

1A

AA =


27/86


28/86

APLICAII

1. Manual

pg. 67 S se determine numerele realex, y,z astfel nct s aib loc egalitatea dematrici, n cazurile

1)

=

+

01 9

11

067

321 xy

yx

yx

=

===+=+

=+

===

=

00

22 01 05 71 82 87 71 963

1 1471 967

3

1 14

1 1431 132

11

yyyyyy

yx

y

xyxxyyx

13

1 18

2d a r

3

1 14

=

=

=

=

xx

y

yx


29/86

2)

+=

+ yyy

xyxyxx

4583

2732

==

=

=+

==+=+=

yxyx

yx

yyx

yyyyyx

242

57

83

13332232

21d a r

2=

=

=x

y

yx

3)

+

=

+

63

11

3

13 2x

xy

xy


30/86

+==

=

=

=+=+++=+

xyxy

xxxxxxxy

66

33

11

05413613222

( ) ( ) ( ) ( ) 5015055055054 122 ==+=+=+= xxxxxxxxxxx

12

= xI. dac 5=x , atunci 11=yII. dac 1=x , atunci 5=y

4)

=

+ z

x

z xy xy z

x y

4

05

3

0

( )

( )

( )

yxy

yxzyxzz yz x

xyyxyx

x yxy

yxxyzxyy xy z

zyxx zx y

443

3033

43

43

044

00

055

22

2

+=+

+==+=

+=

+

++=

+

+=+=+

==++=

pg. 71 1. S se calculeze BA+ n cazurile:


31/86

1)

= 4031

A,

= 3542

B.

=+

++ ++=+ 15

13)3(4)5(04321 BABA

2)

+

=ii

iiiA

10

31,

++

=iii

iiB

1

1231


32/86

+=+

++++ +++++=+ 001322

)(110132)31(1

iiiBA

iiiiiiiiiiBA

2. Se consider matricile

=

11 21 02

5214

222

m

m

A ,

=

0651

3604

11mn

B ,

=

165

210

1141

p

mC .

S se determine m, n,p astfel nct CBA =+ .

==

=+

===+

==+

112

62

2424

312

pp

mm

mmmm

nn

.

Deci

=

=

=

1

2

3

p

m

n


33/86

pg. 75 1. Se consider matricile )(, 3,2 CBA .

=i

iA

320

11,

+= 11

01

ii

iB .

S se calculeze: iBA 23 , BiA 2+ .


34/86

2782

31

2222

022

960

333

11

01

2

320

11

323

ii

i

ii

i

i

i

ii

i

i

i

i

i BA


35/86

1242

1

2222

022

320

1

11

01

2

320

11

2

ii

ii

ii

i

i

ii

ii

i

i

i

iBi A

pg. 87 1. Calculai produsele de matrici BA , unde

a)

=

103

112A i

=

01

12

13

B

=

++++++++

=310

39

003109

012126AB


36/86

b)

=

3

1

2

A i ( )321=B

=

963

321

642

AB

c)

=02

1

i

iA i

=

10

3iiB

( )

=

++++

=62

2

1032002

11301 ii

iiii

iiiiAB

d)

=

725

643124

A i

=5

42

B

=

33

52

5

AB

e)

=

535

615

943

A i

=

354

798

465

B

=263229

17272213911

AB

2. S se calculeze ( )Af , dac:

= 1211

A ; 22 75)( IXXXf +=


37/86

14

21

12

11

12

112AAA


38/86

0736

70

07

51

55

14

21

10

017

12

115

14

21)(Af


39/86

3. Fie

= 1011

A. S se calculeze nA , *Nn .

10

21

10

11

10

112AAA


40/86

10

31

10

11

10

2123AAA

=10

1

nA

n

Inducie matematic )1()( + kPkP


41/86

+

=+

10

111

n

A

n

10

11

10

11

10

11 nnAAAnn

(A)

Deci = 10

1n

An .


42/86

pg. 120 1. Calculai determinanii de ordinul doi:

1) 5232)1(3132

11

=+==

2) 13231)2()1(

23

11===

3) ( 0331)3(3333

13=+==

2. Calculai determinanii de ordinul trei:

1)

[ ]

36)1(5124)1()2()2(5641)1(3)1(2

354

116

212

=++++=

70

]18108[6046

=

=+=


43/86

2) [ =++++=

65043203)5()5(45030632640335

502

88

2464

]0240[100036

===

=+++=

3) [ =++++=

321321)3()2()1()3(33)2(221)1(1

132

213

321

42

636

]666[2781

===

=++=

3. Calculai determinanii urmtori:


44/86

1)

000

111

111

111

111

111

111

dcbadcba

cba

cba

ddd

cba

cba

cba

dcdbda


45/86

2)

0001

1

aaa

ccc

bbb

acc

cbb

baa

aaa

ccc

bbb

acc

cbb

baa

acaac

cbccb

babba

4. S se rezolve ecuaiile:


46/86

1) 0

1

1

1

=

xxxx

xx


47/86

0

1

11

10

1)1(

1)1(

1

1)1(1 312111

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xxxxxxxx =+ 10)()(1 222 =+=++ 01320 2323322 xxxxxx

=+==+ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 xxxxxxxxxx

10)1(0)12)(1( 12 === xxxxx


48/86

2

1

1981012

3

2

2

=

==+==

x

xxx

Deci

1,

2

1x .

5. S se rezolve ecuaiile:

1) 0

011

101

110

110

=

x

x

x

x


49/86

0

11

01

10

)1(

011

11

10

)1(1

01

101

11

)1(1

01

10

110

)1(041312111

x

x

x

xx

x

x

x

x

x


50/86

011

01

10

011

11

10

01

101

11

0

x

x

x

xx

x

x

x

[ ] [ +++++++++ 001111(1111100)1101101()1111100(0 xxxxxxxx[ ] =++++ 0)010111()111100( xxxxxxx

=+++ 0)1()21()1( 32 xxxxxx

=++ 0121 242 xxxxxx=+=+ 042042 2424 xxxxx

042

00)42(

3

1

3

=+

==+

xx

xxxx

6. Fie )(, 3 RBA pentru care0)det()det()det()det( ==+== BABABA . S se arate c 0)det( =+yBxA ,

Ryx ,)( .

0),()det( 442

3

2

2

3

1 =+++==+ yxyyxxyxPyBxA

Pentrux = 0 iy = 100)det()1,0( 4 === BP

Pentrux = 1 iy = 000)det()0,1( 1 === AP

Pentrux = 1 iy = 100)det()1,1( 32 =+=+= BAP

Pentrux = 1 iy 1=


51/86

00)det()1,1( 32 === BAP032 ==

Deci 0)det( =+yBxA

2. Bacalaureat

pg. 94 1. S se determine matriceaXdin ecuaia

03

39

63

62

47

31

2

32

21

32

3X


52/86

32

2132

03

3963

14

8162

3X

+

=

32

21

32

1 21

1 15

1 21

3X


53/86

=13

96

13

3X

=51

32

51

X

2. a) Gsii matriceaX )(2 R astfel nct

13

21

33

12

10

21

Xb) S se determine m R astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil

i apoi rezolvai-l:

=+

=

=+

myx

yx

yx

3

12

1


54/86

a)

13

21

33

12

10

21X


55/86

33

12

13

21

10

21

33

12

13

21

10

21XX


56/86

40

13

22

2

40

13

1202

120140

13

10

21

tzz

yxx

tztz

yxyx

yxX

X


57/86

==+

==+=+

==

=

442

51612

002

3

ttz

yyyx

zz

x

Deci

=40

53X .

b)

=+

=

=+

myx

yx

yx

3

12

1

yxyx ==+ 11

3

22312112 ==== yyyyyx

31

3211 === xyx

3

5

3

21

3

2

3

133 =+==+=+ mmmmyx

3. a) Fie matriceaA )(2 R ;

= 10

1 aA , 0a . S se calculeze 2A i 3A

i apoi s se determine nA , *Nn n funcie de n.b) S se afle ,,,, vuyx numere reale astfel nct


58/86

11

01

10

11

vu

yx


59/86

a)

10

21

0111010

11011

10

1

10

12 a

a

aaaaa

AAA


60/86

10

31

0111010

1210211

10

1

10

2123 a

a

aaaaaAAA

= 10

1

nAn

Inducie matematic )1()( + kPkP


61/86

+

=+

10

)1(11

an

A

n

10

)1(1

0111010

11011

10

1

10

11 an

a

nanan a

AAA

nn (A)

Deci

=

10

1 naAn .


62/86

b)

1

1

10

01

11

01

11

01

10

11

v

u

yvy

xux

vu

vyux

vu

yx


63/86

Deci

=

1110

vuyx .

4. a) S se determine ,,,, vuyx astfel nct:

28

13

213

1

uv

xy

vu

yx

b) S se detrmine matriceaA astfel nct:


64/86

.

424

251

111

117

316

5142A


65/86

a)

28

13

123

1

28

13

213

1

uv

xy

vu

yx

uv

xy

vu

yx


66/86

=+=+

==+=+

=

++

212

813

1

33)(

28

13

1231

vu

vu

xy

yxyx

uvvu

xyyx

12

342

133

13

xy

yxy

yyyx

xyyx


67/86

=

=

==+

=

=+

=+ 0

3

273)93(2

93

212

813

u

v

vvv

vu

vu

vu

b)

424

251

111

117

316

514

2A


68/86

316

514

121

148

2316

514

121

148

2 AA


69/86

=

=155932

2 21 01 081642 AA .

pg. 147 1. S se rezolve ecuaia:

0

=

xaaa

axaa

aaxa

aaax


70/86

=

=+

= 0

000

000

000

000

0

000

000

000

000

0

ax

ax

axax

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

ax

ax

axax

xaaa

axaa

aaxaaaax


71/86

[ axaxaxaxaxax

ax

ax====

+4,3,2,1

4311

0)(00)()(000

00

00

)1()(

2. Dac 321 ,, xxx sunt rdcinile ecuaiei 01722 23 =++ xxx s se

calculeze determinantul

213

132

321

xxx

xxx

xxx

d= .

= =++

=++

=++ 1 72

2

01 722

321

323121

321

23

xxx

xxxxxx

xxx

xxx

)(3

3

3

3

2

3

1321

213

132

321

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

++=


72/86

=++

++++=++

++++=++

+=++

=++

=++

5 122)22(2)(2)(

5 1)(2)(2

)(01 722

01 722

01 722

3

3

3

2

3

1

323121

2

321

2

3

2

2

2

1

321

2

3

2

2

2

1

3

3

3

2

3

1

3

2

3

3

3

2

2

2

3

2

1

2

1

3

1

xxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

553

3

3

2

3

1 =++ xxx

455)17(3)(33

3

3

2

3

1321 =+=++= dxxxxxxd

Siruri marginiteDefinitii: 1.Spunem ca sirul ( Xn)n este margin sup(majorat)( ) b R a.i

Xn b, () n.

2.Spunem ca sirul ( Xn)n este margin inf (minorat )( ) a R a.i

a Xn, () n .

3.Spunem ca sirul (Xn)n este marginiteste si majorat si minorat

( ) a,b R a.i a Xn b () n.

Prop. Sirul (Xn) n este marginit ( ) MR a.i Xn M, ( ) n!Obs. (Xn) M -M Xn M.

Siruri monotone

Definitie: Spunem ca sirul Xn este:

a) strict crescatorXn < Xn+1


73/86

(Rn): -1,-2,-3-n, strict descrescator

!Obs. Un sir crescator este marginit inf de primul termen XoUn sir care este crescator sau descrescator (respectiv strict) senumeste monoton (respective strict monoton)

Pentru a stabili monotonia unui sir se face diferenta a doi termeni a Ztermeni oarecare consecutivi si aceasta se compara cu 0.Daca termenii sirului este pozitiva se face raportul a doi termeniconsecutivi oarecare si se compara cu unu


74/86


75/86

www.eReferate.ro -Cea mai buna inspiratie

SIRURI FUNDAMENTALE

( SIRURI COUCHY )

Definitia 1:

Definitia 2:

Definitia 3:

Observtie!Cele trei definitii date sunt echivalente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,incatastfel,0

dacaCouchy)sir(saulfundamentaestesiruncaSpunem

NmnaaNN

a

mn

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .si,incatastfel,0


+ NpNnaaNN

a

npn

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,incatastfel,0


NnaaNN

a

Nn

n

Definitia32Definitia1Defintia
http://www.ereferate.ro/http://www.ereferate.ro/


76/86

Criteriul lui Couchy:Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Couchy.

Problem propuse spre rezolvare:

I. Utilizand criteriul lui Couchy sa se arate ca urmatoarele siruri sunt convergente:Rezolvare:

( ) ( ) convergentestelfundamentasir nn aa

25

121)

++

=n

nan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + NpNnaaNN npn si,incatastfel,0

caDemonstram

( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

( )( )25525

25525

25910102491010

25525

2551212225

25

12

25

12

22

+++=

=+++

++++=

=+++

++++++=

=++

++++=+

pnn

p

pnn

pnnpnpnnpn

pnn

pnnpnn

n

n

pn

pnaa npn

( )( )


78/86

LIMITA FUNCTIEI LOGARITMICE

LIMITA FUNCTIEI LOGARITMICE

LIMITA FUNCTIEI


79/86

TRIGONOMETRICE DIRECTE

Daca punctual de acumulare este finit adica aR atunci

Deci limita functiei sinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a

Daca a= atunci f nu are limita

Daca punctual de acumulare este finit adica, aR atunci

Deci limita functiei cosinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a

Daca a apartine domeniului de definitie atunci :

Se poate lua :

Deci limita functie tangenta intr-un punct de acumulare din domeniulde definitie se obtine inlocuind pe x cu a

Deci limita functiei cotangenta intr-un punct de acumulare din domeniul dedef se obtine inlocuind pe x cu a

LIMITELE FUNCTIILORTRIGONOMETRICE INVERSE


80/86

Se demonstreaza ca daca a [-1,1] atunci

OBSERVATIE :Pentru toate functiile elementare , limita functiei in orice punct almultimii de definitie a , se obtine inlocuind pe x cu a .

OPERATII CU LIMITE DE FUNCTII

LIMITE REMARCABILE


81/86

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

LIMITA FUNCTIEITRIGONOMETRICE DIRECTE


82/86

Daca punctual de acumulare este finit adica aR atunci

Deci limita functiei sinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a

Daca a= atunci f nu are limita

Daca punctual de acumulare este finit adica, aR atunci

Deci limita functiei cosinus intr-un punct de acumulare finit aR seobtine inlocuind pe x cu a

Daca a apartine domeniului de definitie atunci :

Se poate lua :

Deci limita functie tangenta intr-un punct de acumulare din domeniulde definitie se obtine inlocuind pe x cu a

Deci limita functiei cotangenta intr-un punct de acumulare din domeniul dedef se obtine inlocuind pe x cu a

LIMITELE FUNCTIILORTRIGONOMETRICE INVERSE


83/86

Se demonstreaza ca daca a [-1,1] atunci

OBSERVATIE :Pentru toate functiile elementare , limita functiei in orice punct almultimii de definitie a , se obtine inlocuind pe x cu a .

OPERATII CU LIMITE DE FUNCTII

LIMITE REMARCABILE

1.


84/86

2.

3.

9.

10.

11.

12.

13.


85/86

CUPRINS

1.Matrici........pag3*despre matrici*operatii cu matrici*propietatii*teorema lui Hamilton

2.Determinanti..........................................pag7*definitii*regula triunghiului*calculul inversei unei matrici*ecuatii matriciale

3.Sisteme de ecuatiiliniare.........................pag 14*metoda reducerii*metoda substitutiei*formulele lui CRAMER*metoda lui GAUSS


86/86

4.Chestiuni elementare despresiruri ...........pag13*siruri de numere reale*operatii cu limite si siruri

5.Limite defunctii........................................pag17*limita functiei logaritmice*limita functiei trig directe*operatii cu limite*limite remarcabile*limita functiei trig inverse

analiza si algebra clasa a xi - a

Documents