Realizat de prof. FLORESCU NICOLAE

ALGEBRACLASA a VI-a

Semestrul I si II

.

NUMERE NATURALE

.

DIVIZOR, MULTIPLUDaca un numar natural poate fi scris ca un produs de doi factori, de exemplu: a = mn atunci putem spune urmatoarele:

m sau n = este divizorul numarului a si ca a se divide cu m sau cu n.

Scriem nasauma si citim: a se divide cu m.

Exemplu de multimea divizorilor unui numar natural:D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Asadar, Daca un numar il inmultim cu orice numar natural, se obtine un

multiplu al acestuia.Exemplu de multimea multiplilor unui numar natural:M4 = {0; 4; 8; 12; 16; … ; 4n; …}

412 sau 124 adica 4 il divide pe 12.

Din relatia a = mn, putem spune ca: m (sau n) este divizorul lui asi a este multiplul lui m sau al lui n.

.

CRITERIILE DE DIVIZIBILITATECriteriul de divizibilitate cu 2. Un numar natural se divide cu 2 daca ultima cifra este din multimea {0; 2; 4; 6; 8}.

Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar natural se divide cu 3 daca suma cifrelor din care este format numarul, se divide cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 4. Un numar natural se divide cu 4 daca numarul format din ultimele doua cifre se divide cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 5. Un numar natural se divide cu 5 daca ultima cifra este din multimea {0; 5}.

Criteriul de divizibilitate cu9. Un numar natural se divide cu 9 daca suma cifrelor din care este format numarul se divide cu 9.

Criteriul de divizibilitate cu 10. un numar natural se divide cu 10 daca ultima cifra este 0.

.

EXERCIŢII PE BAZA CRITERIILOR DE DIVIZIBILITATE

Sa se gaseasca numarele de forma

Sa se gaseasca numarele de forma

Sa se gaseasca numarele de forma

Sa se gaseasca numarele de forma

Sa se gaseasca numarele de forma

.253 aRezolvare: 530, 532, 534, 536, 538.

.353 aRezolvare: 5+3+1=9. 531, 534, 537.

Rezolvare: 352, 356, pentru ca 52 se divide cu 4; la fel si 56.

Rezolvare: 720, 725.

.435 x

.572 x

.954 xRezolvare: 405, 495, pentru ca 4+0+5=9 si 4+9+5=18 si se divid cu 9.

.

PROPRIETĂŢILE DIVIZIBILITĂŢIIDaca numerele a si b se divid cu m, atunci si a+b se divide cu m.

Daca numerele a si b se divid cu m, atunci si a–b se divide cu m.

Daca numerele a si b se divid cu m, atunci si ab se divide cu m.

Daca numarul a se divide cu m si cu n, numerele m si n fiind prime intre ele, atunci a se divide cu mn.

Daca numarul a se divide cu b si b se divide cu c, atunci si a se divide cu c.

4441628416428 si

4121628416428 si

44481628416428 si

1236)34(36336436 si

8648161664 si

.

DESCOMPUNEREA IN FACTORI DE PUTERI DE NUMERE PRIMEPentru a descompune in factori de puteri de numere prime un

numar natural se imparte numarul dat, succesiv, la numere prime.

Exemplu: 720 2360 2180 290 245 315 3

5 51

Asadar 720 = 24325

Daca un numar se termina cu mai multe zerouri, impartirea se face la inceput prin 2k5k, k=numarul de zerouri.

1200 2252

12 26 2

3 3 1

Asadar 1200 = 24352

Pentru ca 100=425=2252.

.

CEL MAI MARE DIVIZOR COMUNPentru a afla c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere naturale se parcurg urmatoarele etape:

1. Se descompun in factori de puteri de numere prime, numerele date.

2. Se iau factorii numai comuni cu puterea cea mai mica si se inmultesc intre ei.

60 = 2235 90 = 2325

c.m.m.d.c. =235=30

Cel mai mare divizor comun se mai poate scrie si astfel:

(60;90) = 30

.

CEL MAI MIC MULTIPLU COMUNPentru a afla c.m.m.m.c. a doua sau mai multe numere naturale se parcurg urmatoarele etape:

1. Se descompun in factori de puteri de numere prime, numerele date.

2. Se iau factorii comuni si necomuni(o singura data) cu puterea cea mai mare si se inmultesc intre ei.

60 = 2235 90 = 2325

c.m.m.m.c.

=22325=180

Cel mai mic multiplu comun se mai poate scrie si astfel:

[60;90] = 180.

NUMERE PRIME SI COMPUSENumar prim este numarul care are doar doi divizori: pe 1 si pe el insusi.

Numar compus este numarul care are cel putin trei divizori.

Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,…

Exemple de numere compuse: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…

NUMERE PRIME INTRE ELEDoua numere sunt prime intre ele daca c.m.m.d.c = 1.

Exemple de perechi de numere prime intre ele: (12;35); (8; 9).

.

PROBLEME TIPICE DE DIVIZIBILITATE

Sa se gaseasca cel mai mic numar natural nenul care impartit la 15, 18 sau 24 da de fiecare data rest 10.

Rezolvare:O problema in care apare o impartire si un rest, se va rezolva cu ajutorul teoremei impartirii cu rest: d = ic + r, r < i.

d = 15c1 + 10 d = 18c2 + 10 d = 24c3 + 10

d – 10 = 15c1

d –10 = 18c2

d –10 = 24c3

d – 10 = c.m.m.m.c. [15; 18; 24] = 360.

d = 360 + 10 = 370.

.

PROBLEME TIPICE DE DIVIZIBILITATENumerele 3456, 5435 si 8593 impartite prin acelasi numar dau respectiv resturile 6, 7, 14. Sa se afle impartitorul.

Rezolvare:Aplicand teorema impartirii cu rest vom avea:

148593

75435

63456

3

2

1

ci

ci

ci Vom trece restul din membrul dept in membrul stang, si efectuand scaderea vom avea:

3

2

1

8579

5428

3450

ci

ci

ci

Descompunem in factori de puteri de numere prime numerele 2450, 5428, 8579 si aflam c.m.m.d.c. al acestora.

373238579

592325428

2353234502

2

c.m.m.d.c.= 23 si este impartitorul cautat.

.

PROBLEME TIPICE DE DIVIZIBILITATESa se gaseasca cel mai mic numar natural nenul care impartit la 45, 48 sau 54 da rest 10, 13 si respectiv 19.Rezolvare:Aplicand teorema impartirii cu rest vom avea:

1954

1348

1045

3

2

1

cd

cd

cd Observam ca diferenta dintre impartitor si rest este aceeasi la fiecare propozitie, aceasta fiind 35; adaugam pe 35 in ambii membri si obtinem:

545435

484835

454535

3

2

1

cd

cd

cd

Descompunem in factori de puteri de numere prime numerele 45, 48 si 54 si aflam c.m.m.m.c. al acestora.

3

4

2

3254

3248

5345

c.m.m.m.c.= 24335 = 2160.

d = 2160–35 = 2125 (numarul cautat).

NUMERE RAŢIONALE

.

TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA:

Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei:

EXEMPLE:

)3(1,215

32);3(,3

3

11;4,1

5

7

TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA:

EXEMPLE:

3

7

9

21

9

223)3(,2

3(

5

9

10

188,1

2(

15

32

90

192

90

21213)3(1,2

6(

110

467

990

4203

990

424245)45(2,4

9(

.

FORME DE SCRIERE A NUMERELOR RAŢIONALE POZITIVE

TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE

Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor.

EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5}Transform numerele date in fractii ordinare:

2

35,1;

9

20)2(,2;

10

333,3;

5

112,2;

3

10)3(,3;

2

35,1

Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90):

90

135

2

3;

90

200

9

20;

90

297

10

33;

90

198

5

11;

90

300

3

10;

90

135

2

3

Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa:

0 1,5-1,5 3,3 3,(3)-2,2-2,(2)

.Se poate aborda si o alta strategie.

REPREZENTAREA PRIN DESEN A NUMERELOR RATIONALE POZITIVE

5,02

1

25,04

1

6

1

3

1

.

ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE

Adunarea/scaderea fractiilor ordinare:-Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie.EXEMPLU:

12

17

12

6815

2

1

3

2

4

5 )6)4)3

Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite:

-Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform algoritmului cunoscut; -Virgula se pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe verticala.

2,15+ 49,30 51,45

EXEMPLU:

.

PROPRIETATILE ADUNARII

IN MULTIMEA Q•Adunarea este asociativa:

•Adunarea este comutativa:

•Elementul neutru al adunarii este 0:

•Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat:

(a + b) + c = a + (b + c)

a + b = b + a

a + 0 = 0 + a = a

a + (–a) = (–a) + a = 0

.

INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE

Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor.

45

14

95

72

9

7

5

2

Proprie

tatile in

multirii

Este comutativa Este asociativa

Elementul neutru este 1

Este distributiva fata de adunare/scadere

a b = b aa (b c) = (a b) c

a 1 = 1 a = a

a (b+c)=a b+a c

.

INMULŢIREA FRACŢIILOR ZECIMALE FINITE

Pentru a inmulti doua fractii zecimale finite, se procedeaza astfel:

1. Se inmultesc cele doua numere, conform algoritmului, fara a tine cont de partile zecimale (ca si cum n-ar exista ,,virgulele”).

25,156,24

10060 5030

15090

2. La rezultatul inmultirii se pune virgula, de la dreapta spre stanga, dupa atatea cifre cate zecimale participa la inmultire – in cazul nostru 4. 1569360,

.

IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALEPentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a

doua fractie inversata.

3

8

171

456

9

38

19

12

38

9:

19

12 57(

TEOREMA IMPARTIRII CU REST:

d = i c + rUnde:d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul

r < i.

IMPĂRŢIREA FRACŢIILOR ZECIMALE FINITE

Pentru a impărţi doua fractii zecimale finite, se procedeaza astfel:

1. Se egalizeaza numarul de zecimale la unul din numere, prin adaugarea de zerouri.

16,1:6,44 = 16,10:6,44

2. Se impart cele doua numere, conform algoritmului, fara a tine cont de partile zecimale (ca si cum n-ar exista ,,virgulele”).

1610 64421288

=3223. Se adauga un 0 la rest si o

virgula , la rezultat si se continua impartirea, analog, pana cand restul va fi zero.

0,5

3220====

Deci catul impartirii celor doua numere este 2,5.

.

PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL

Daca b

aeste un numar rational, atunci

m

mm

b

a

b

a

Reguli de calcul cu puteri:

aman=am+n

am:an=am-n

(am)n=amn

(ab)m=ambm

1275

3

2

3

2

3

2

8715

3

2

3

2:

3

2

4276

3

2

3

2

888

3

2

5

4

3

2

5

4

.

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR

•Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numererationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirilesi impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile siscaderile in ordinea in care sunt scrise.

•In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade.

•Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau osuma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poateelimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnschimbat.

941012941012 .

TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

EXERCIŢIU REZOLVAT

)1(00,0:5,23:2,03,09,0)3(,35,2 2

Transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si le introducem in exercitiu, simplificate.

900

1:

2

53:

5

1

10

3

10

9

3

4

2

52

Efectuam ridicarea la putere, inmultirea si impartirea in parantezele rotunde.

900

1:

4

25

15

1

10

3

30

36

2

5

900

1:

4

25

15

1

10

3

30

36

2

5 )2)3)15

900

1:

4

25

30

29

30

3675

900

1:

4

25

30

11

30

111

900

1:

4

25

900

1221 )225

900

1:

900

56251221 .6846900

900

6846

.

ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0•Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale.

•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.

EXEMPLU:5

42

5

3

xxxRezolvati ecuatia:

12542

5

3)12

)3)6)4

xxx

6033064 xxx

3060364 xxx

907 x

Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile:

Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori:

Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:

Efectuam operatiile de adunare/scadere:

Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei:

)7(:907 x

In final, aflam radacina ecuatiei:

7

90x

.

RAPOARTE ŞI PROPORŢII

.

RAPOARTE ŞI PROPORŢIIRaportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie b

aa si b se

numesc termenii raportului.

Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.

Rezolvare:4

3

16

12 4(

b

asau 75,0

16

12

b

a

PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat:

d

c

b

a este o proportie, cu extremii a

si d si mezii b si c.

PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR:

d

c

b

a daca si numai daca

ad=bc

extremcelalalt

mezilorprodusulextremun

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:

EXEMPLU

Aflati x din: 3

5

9

x

.153

45

3

59

x

..TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

DERIVAREA PROPORŢIILORDerivarea unei proportii cu aceiasi termeni

a) Schimband extremii intre ei

b) Schimband mezii intre ei

c) Inversand rapoartele

2

8

3

12

12

3

8

2

8

12

2

3

12

8

3

2

12

8

3

2

12

8

3

2

Derivarea unei proportii cu alti termeni-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:

-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:

-se aduna/scad la numaratori numitorii:

-se aduna/scad la numitori numaratorii:

-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:

d

c

b

a

d

kc

b

ka

d

c

b

a

d

c

kb

ka

d

dc

b

ba

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

cd

c

ab

a

db

ca

d

c

b

a

.

ŞIRUL DE RAPOARTE EGALEDaca avem:

p

c

n

b

m

a1.

2.

5.

4.

3.

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

atunci:

atunci:

atunci:

atunci:

atunci:

pnm

cba

p

c

n

b

m

a

ptnsmr

ctbsar

p

c

n

b

m

a tsr

)))

tpsnrm

tcsbra

p

c

n

b

m

a tsr

:::

:::(((

kkk

kkkkkk

pnm

cba

p

c

n

b

m

a

.;;; pkcnkbmkakp

c

n

b

m

a

.

Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !

DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE

Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:

1. 2.Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si:

Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si:

p

d

n

c

m

b

l

a

p

d

n

c

m

b

l

a1111

EXEMPLU:

Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: .3

4

2

1;3 si

RE

ZO

LV

AR

E: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date,

atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:

.3637

12111

1237111

43

12

31

43

12

31

cbacba

Atunci: ;12363

1a ;7236

1

2b .2736

4

3c

.

REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI DIRECT PROPORTIONALE

Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de directa proportionalitate.

A B

4

6

10

2

3 5

25

10

3

6

2

4 x

y

O4 6 10

2

35

.

Reprezentarea grafica a dependentei direct proportionale

REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI INVERS PROPORTIONALE

Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de inversa proportionalitate.

A B

2

3

5

6

4

2,4

124,254362

x

y

O 2 3 5

6

4

2,4

.

P R O C E N T ERapoartele de forma 100

p se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.

EXEMPLE:

4

1

100

25%25

5

2

100

40%40

20(

4

5

100

125%125

25(

Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:

1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 33100

330055

100

6055%60 din

2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?

;18%30 adin ;18100

30a .60

30

1800

30

10018

30(

a

3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:

Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ;1664100

p

.2564

1600

64

10016

64(

p

.

O PROBLEMA CU PROCENTEPretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua

oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?

REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:

Putem folosi formula:100

babap

unde a si b sunt valorile procentuale.

Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.

.51015100

)25(402540

p Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.

2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).

Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.

.60105

6300

105

10063;63

100

105 105(

leixx

3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:

Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140%

.84100

840060

100

14060%140 leidin

.

CALCULUL PROBABILITĂŢILOR

posibilecazuridenumarul

favorabilecazuridenumarulateaprobabilit

APLICATII / EXEMPLE:

1. Aruncam un zar. Care este probabilitatea ca numarul de puncte de pe fata de sus a

zarului sa fie un numar prim?

Rezolvare: numerele prime pana la 6 sunt: 2, 3 si 5. Deci sunt 3 cazuri favorabile din 6.

%6060,05

3

posibilecazurinr

favorabilecazurinrP

2. Fie multimea A={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Se aleg la intamplare doua elemente. Care este probabilitatea ca suma celor doua numere sa fie un numar prim?

Rezolvare: Variantele favorabile sunt: 1+2; 1+4; 1+6; 2+3; 2+5; 3+4; 5+6. Total=7.

Variantele posibile sunt: 1+2, 1+3, …,2+3, 2+4,…,5+6. In total sunt 15 cazuri posibile.

)%6(,46)6(4,015

7

posibilecazurinr

favorabilecazurinrP

.

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

APLICATIE PRACTICA Elevii unei clase, in numar de 20, in urma unui test la matematica au obtinut urmatoarele note: nota 4 – 1elev; nota 5 – 2elevi; nota 6 – 4elevi; nota 7 – 5elevi; nota 8 – 3elevi; nota 9– 3elevi; nota 10 – 2elevi.

Sa se reprezinte aceste date intr-un tabel, grafic si diagrama.

NotaNota 44 55 66 77 88 99 1010

Nr. eleviNr. elevi 11 22 44 55 33 33 22

4 5 6 7 8 9 10 nota

1

2

3

4

5

nr

elev

i

5%10%

20%

25%

15%

15%

10%

4

5

6

7

8

9

10

.

MEDIA ARITMETICĂ

MEDIA PONDERATĂ

Media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor.

Daca avem: a1, a2, a3, …., an, atunci:

n

aaaam n

a

...321

Exemplu: aflati media aritmetica a

numerelor: 3; 14; 20; 23.

.154

60

4

2320143

am

Daca se dau numerele a1, a2, a3, …,an iar

fiecare numar are respectiv ponderea p1, p2, p3, ….,pn atunci media

aritmetica ponderata va fi:

n

nnp ppp

papapam

...

...

21

2211

Exemplu: aflati media ponderata a numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile 20, 12 si 8.

.1,940

364

81220

8151212205

pm

.

NUMERE INTREGI

.

MULŢIMEA NUMERELOR INTREGIMultimea numerelor intregi: Z = {…, -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; …}

Multimea Z* = Z – {0}. – multimea numerelor nenule.

Reprezentarea pe axa a numerelor intregi:

Fie multimea A = 3; 0; -4; 2; -2; 5; -1}Reprezentarea pe axa a elementelor multimii A:

O(originea axei)

-1-2-4 2 3 5 0

OPERATII CU NUMERE INTREGI

Adunarea sau scaderea:Inmultirea sau

impartirea: Ridicarea la putere:

+a+b=+(a+b); +a-b=+(a-b) daca a>b; +a-b=-(b-a) daca b>a; -a-b –(a+b)

(+)(+)=(+); (+)(-)=(-); (-)(+)=(-); (-)(-)=(+)

(-a)numar par=+anumar par;

(-a)numar impar= –anumar impar.

.

Modulul sau valoarea absoluta:

+a = +a –a = +a

DIVIZIBILITATEA IN ZNumarul intreg a este divizibil cu numarul intreg b, daca exista un numar intreg c, astfel incat a = bc

Multimea divizorilor intregi ai lui 6 este: {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

Multimea multiplilor intregi ai lui 3 este:

{…-9; -6; -3; 0; 3; 6; 9; …;3n;….}

APLICATIE:

12

3)(

xxEFie:

Aflati numerele intregi x astfel incat si E(x) sa fie numar intreg.

Rezolvare:

Punem conditia ca 2x+1D3={1; 3}Rezolvam ecuatiile:

2x +1 = -1 x = -1

2x +1 = 1 x = 0

2x +1 = 3 x = 12x +1 = -3 x = -2

.

REPREZENTAREA UNUI PUNCT CU COORDONATE INTREGI

x

y

O

Axa ordonatelor

Axa absciselor

III

III

IV

I, II, III, IV – cele patru cadrane

+ + + + +

+ +

+ +

+

– – – – – –––––

Un punct de coordonate date, P(xP,yP) are abscisa = xp si ordonata = yP.

x

y

O 2

3A(2;3)

Exemplu: A(2;3)

Exemplu: B(–2;2)

-2

2B(-2;2)

.Exemplu: C(1;–3)

1

-3 C(1;-3)

ADUNAREA SI SCADEREA NUMERELOR INTREGI

Pentru a efectua operatiile de adunare sau scadere a numerelor intregi, este

indicat ca prima data sa se elimine parantezele (daca exista) numerelor intregi.Daca in fata parantezei este semnul minus, la eliminarea parantezei, semnul numerelor intregi se schimba; atunci cand in fata parantezei este semnul plus la eliminarea parantezei, semnele numerelor nu se schimba.

77;88;55 151025831275831275

Atunci cand avem un sir de operatii de adunare si scadere, este indicat ca prima data sa adunam numerele negative si apoi pe cele pozitive. Urmariti exercitiul de mai sus (sublinierele):

Daca avem doua numere intregi de acelasi semn, se aduna valorile lor si se da semnul lor comun.

Daca avem doua numere intregi de semne diferite, se face diferenta lor si se da semnul numarului cu valoare mai mare.

.

PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA Q

•Adunarea este asociativa:

•Adunarea este comutativa:

•Elementul neutru al adunarii este 0:

•Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat:

(a + b) + c = a + (b + c)

a + b = b + a

a + 0 = 0 + a = a

a + (–a) = (–a) + a = 0

.

INMULTIREA SI IMPARTIREA NUMERELOR INTREGI

factorfactor factorfactor produs/catprodus/cat

++ ++ ++

++ -- --

-- ++ --

-- -- ++

Inmultirea/impartirea semnelor: Exemple:

(+5)(+3) = 15

(-8)(+5) = -40

(-9)(-4) = 36(+64):(+8) = 8

(-50):(+10) = -5(+44):(-4) = -11 (-15):(-5) = 3

.

PUTEREA UNUI NUMAR INTREG

imparnumarkdacaa

parnumarkdacaaa

k

kk

,

,

naturalnumarkoricepentruaa kk ,

Exemple:

(+4)3 = 43 = 64

(-2)4 = 24 = 16(-2)5 = -25 = -32

Operatii cu puteri:

kkk

nmnm

nmnm

nmnm

baba

aa

aaa

aaa

:

.

ECUAŢII IN Z INECUAŢII IN ZPropozitia cu o variabila de forma ax + b = c se numeste ecuatie cu o necunoscuta.

Propozitia cu o variabila de forma ax + b < c (sau >, , ) se numeste inecuatie cu o necunoscuta.

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero.

Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero.

ATENTIE! Cand impartim/inmultim inecuatia cu un numar negativ, sensul inegalitatii se schimba!EXEMPLU: EXEMPLU:

2x + 9 = 5x + 30

2x – 5x = 30 - 9

-3x = 21 :(-3)

x = -7.

5x – 8 > 7x + 45x – 7x >4 + 8-2x > 12 : (-2)

x < -6

.

Sfarsit

VREAU SĂ MĂ MAI UIT INCĂ ODATĂ!