algebra manual pentru clasa a vi a
TRANSCRIPT
Lei 9,20
I S 8 N 973-30-0044 -2 ·
Mate icl Manual pentru clasa a VI-a
Aritmetica • Algebra
EDITURA DIDACTICA $1 PEDAGOGICA, BUCURE$TI, 1989 r
'
..
MINISTERUL EDUCATIEI ~I INVAJ.AMTNTULUI
Prof. univ. CONSTANTIN P. POPOVIC! Prof. ION C. UGOR Prof. VALENTINA ALEXIANU
Matematicl . .
Aritmetica • Algebra \
Manual pentru clasa a VI-a
I "
EDITURA DIDACTICA ~I PEDAGOGICA BUCURE~TI, ,1989
I
l\ianualul A fosl PlaboraL In 1979 ~i rcvizu it In 1981 . Erli(.ia <H.:Luu lu esl e i11 cOJlcuJ·dan\3 l'U prug1·ama ~eu l cu·a ap1·(ob::tlu de .\ I. L i. c11 Ill'. J~Jl~J / 1 1 98:3.
Con(inulul nnmual ul ui n rosL anal izat ~i "' iz.aL de Comisia de. nH1LemuLil;a a ,\LE.L
La !mbunatatil·ea. manuA.lul ui s.a t il1 ut seama ~i de obse1·va~ iil o p1·ofesoJ•iloJ·: A.llltliL Paulina, Cirleanu J)rtr·e, C:l1·hurmr·u Constantin , Chi ~iu Lucia. Cb inau Yiorcl. Cristn~cu
Gllt'OrgiJ,., Cula Constantin. lliac Ploriu. (;hit:iu Sicnlu~·.
Gllior·~b i o i Joan. Ul'arna EnJ:tllOil. l ouc~c u )l:niann. \ egl'cunu Paulcli111on. l'll..;taJ'll Ju 11: l'udc:uru lu landu, Tiotiu l loan, 'J'uarlcr Gcul'f;t'la.
ISBN 973-30-0044-2
Redactor: · prof. CiUii liu-Petrtl l\licolesco t·C' I-i noJ·edt~cto J·: Bleua Owi~eauu Cope,.La: nudu Gh~o r·:;llhw
Capito In I l
Til~f.'.\PI'l'ULATIR.\ ~lATEIUEl DI~ CLAS.\. A Y-A
1n celr c'~ urn1eazrt, vom recapitula citeva chestiuni stucliatc in cla~a a V·a.
1. DJYT.ZIIHLJTATE
Fie numerele naturale 15 ~i 3. Exista numaru1 natural 5 astfel 7ndt iomultinclrJ-1 Cll ;) srt obt inem pe 15. Spunem crt 3 di(Jide pe J5. fn caw] m1merelot' nrt LUl'lllC' 18 ~i 2, 0xista numarul natund 9 astfel IncH inmul~indu-1 cu 2 sa obtincm pe 18. Spuncm c5. numarul natural 2 di(Jide pe 'J 8. Se mai spun e c5 18 se di(Jide cz~ 2. De asemrnea, se spune ca 18 este cli(Ji::,ibil cu 2. :\ umii1'ul na tnral 2 este un divi::.or al lui 18. Numa1'uJ natn1'aJ 18 esLL' un nwltiplu a] lui 2.
Fie numc1'rle nntw·alc 15 ~ i Li . Nu Px:istii mci un numar natural nstfrl incit 1nmu1\ ind u· l cu 4. sil obtinem pe 15. Spuncm cil f. nu divide pe 15.1
Defh1 itie. Un nu.mar natuml a esle di(Jizib£l cu nn nwnar natural b daca exista rm nwnar natural c astfel fncit a = b · c.
bi a se ciLer:;tc ,b divide pc a"; b +a se cite~Lc ,b nu divide pea". R"cmplc: 31 ·J 5, 2! 18, 4 + 15. 1\nm[trul nntural 5 sc d ividr nnmai r11 1 ~ i Ctl 5. N11m i'irul nalural
7 s'~ diYidc numai cu 1 ~i cu 7. l\ume1'de naturale 5 ~i 7 se numesc numcre prune.
Defiuitic. Se mnni!--$1e rwmiir print orice nwnar natural, di{erit de 1, cw·e are c~. di<-•izori nu mai pe 1 $i pe el tnsu.~i.
Nnmr1.rul natural 1 nu esle num5.t' prim. Crl mw: mare cli(lizor comun (pref'Cill'Lat c. rn.m.d .c.) nl lui 15 ~,
18 e::>tc 3. Yom ocrie ace:n;ta asLfel
('15, 18) = 3. Se ~tie ca cloca scrinm 15=3·5 !';li 18=2·311 , unde 2, 3, · 5
s1nt numere prim e, at.unc~ c.m.~1.~.c. _al lui 15 ~i .1-~ est~ proclu,sul foctorilor primi comun~ hu 15 $~ 1 ~, J~ecare fact.or pnn! fw~d hJ:at o singu.ra dq.ta , la puterea cea maL nuca cu care f~gureaza tn 15 :;~ 18.
3
In cazu 1 numerelor naturale 6 si 35 a vern 6 = 2 · 3, 35 = 5 · 7. ~u~erelc nnLt1rale 6 r;;i 35 nu au f~ctori pl'imi comun:i. Sing.uruJ ]or· dnn w r c~mun este 1. Cel mai mare divizor· comun allui 6 ~i 35 este 1. Vom sene aceasta astfel (6, 35) = 1.
Dcc i, 1n cazul numerelor natul'ale care n-au factori primi comuni, c11m esLe cazul numerelor naturale 6 ~i 35, eel mai mare divizor comun al lor este 1.
Dcilnitie. Doua nwnere natzzrale se num.esc prirne intre ele daca eel mai mare di"izor comun al lor este 1.
tn manualul de matematica pentru clasa a V-a au fost date, fiir 5. demonstratie, urmatoarele tl'oremo:
1. Dad{, un nnnu1r natllral este cliPizibil cu doua nu1nere naturale prime iutre elc, atu,nci el este di(Jizibil cu produsul acestora.
J~xt>Illplu. 12 e::~tc divizibil cu 2 ~i cu 3. Dar 12 este divizibil ~i cu G cure este 2 · 3.
2. Tcorema impartil'li intregi sau toorema impartirii curest: Oricare ar {i numerele 11aturale a $i b, zmde b i= 0, exista doua numere naturale fJ. ·~·i r, nwnile respecti r,1 cit ~i rest, astfel incU
a = bq + r, r <b.
N umerele q §i r, determinate de aceste conditii, sint untce. Daca r· = 0, atunci a se divide cu b, b i= 0. Daca r i= 0, atunci a nu se divide cu b, b i= 0. Exomplu. 181 = 25 · 7 + 6, 6 < 25. Deoarece 6 i= 0, ' rezulta ca
25 nu divjde pe 181. Cel mai mic multiplu c01nun (prescurtat c.m.m.m.c.) al lui 15 ~i
18 esLe eel mai mic numar nat ural, diferit de zero, care este muWplu comun allui 15 ~i 18, adica este 90. Vom scrie aceasta astfel
f15, 1.8] = 90.
Se ~ Lie ca daca scriem 15 = 3 · 5 ~i 18 = 2 · 32 uncle 2, 3, 5 sint nnmcre p t' imc, atunci c.m.m.m.c. allui 15 ~i 18 este produsul factorilor primi comuni $i necomuni lui 15 $i 18, fiecare factor prim .fiincl luat o singura data, la puterea cea mai mare cu care figureaza in 15 sa.u 18.
Numerelc naturale 1. ~i 1 nu au nici factori primi comuni , nici fuctori prirni necomuni. Cel mai inic multipJu comun al lui 1 ~i 1 c:sLc eel mai mic numar natural, diferit de zero, care este multiplu comun al lui 1 ~i 1, adica este 1. Vom scrie aceasta astfel (1, 1] = 1.
EXERCl'.J'Il ~I PROBiiEME
1. Sa se efectueze:
e) 24 + o; b) 121,32 + 12 .+ .12!3 + 1; c) 20 o2o + 4 o66; d) 18 946 + 9 887i e) 19 910 + 8 090~
4
2) , Efectuati: a) 19 500 - 2 400; d ) 12 200 - 998; g) 120 570 - 2 li!10; j) 450 000 -: 19 090; 3) Sa se efectueze :
b) 13 441- 419; c) 14 500 - 11 2(H; c) 11 '1'1 o - 897 ; f ) S~J ono - 7 :·:Go; h) 72 000- 19 900; i) 42 uoo - ;_; 999; k) 21 000- 1 909.
a) 1.71·10; b) 80·100; c) 24 . 1 000 ; d) 20 . 1 00 ; g) 24.. 36; h ) 402. 205; e) 4 800 · 5; f) 72/.t: · 0;
1) 1 001· ·1 OO t ; .i ) 205 ·10800 ; 4) Efectuati: ·
k) ~ . 1 75 ·150.
a) 140 0:35 : 5 ; b) 480 : 10; c) 2~ 000 : 1 00 · d)8201.25: 15; e) 55912: 24 '1 ; f) . 1 G90: ·n; g) 1.44000: 120 ; b) 836 400 : 205; j) 2 0:20 ((J2: 2 004. 5) Efectuati impartirea uumarului 202 ln 13 afllnd cltul ~i resLul.
Faccti proba. · 6) Sa se efectueze:
a) 22 - 4; b) 33 : 27 ; d) 2 · 23
• 24 ; e) 54o : 5ss : g) (24 ) 5 ; h ) (2. 32 • 53 )2.
7) Care sint divizor1i num aruJui G? Dar a1 num5l·nlui 18? 8) Numaru] 5 1 ~;6 este divizibil cu 2? Dm· cu 5? 9) Numarul 47 271 este divizibil cu 2? Dar cu 'lO?
10) Numarul 4 570 este divizibiJ cu 2? Dm· cu 5? Dar cu 10? 11) l'i'umarul 1 !L8:J esle divizibil cu 5? Dar ctJ ;} ? ] 2) Numaru] 9 li /0 r:ls'Le di,;izibil en 5? Dae en 3 !l 13) i\'uma;·uJ 4:.:>C2 l es ~c~ di vizibiJ eu 3 ? Dm· cu 2? 14) Numarul LJ33:::a esLe divizibi l cu ~J'? D ar cu 2? H)) Sa se comp~e tezc tabelul Ul'lTtator. P1·imul dncl estc complctat
ca model.
.1\umii· :..;umii- 'NIIllli'l · ~Uill ~1· Xnm;,. XttOJii- Xnmii.- J\'umii: I Xumii · rul este l'U) OS l O ru]P>. l t: rul e;, le l'ul estc rul e&t.e r ul es le rul esl c 1'11 1 t>::. le N'uma-
!\umi1rul d ivizi- divizi- <li viz.i- divizj. divizi- di,izi- di,·izi· J iy izi- divizi- nil
b il bil b i l bil Lil bi l h i I IJi l hi! csle cu 2? cu 5? cu 10? Cit 9? cu 3? cu 4? cu ·~,.. f'J I'll 18'? l'll -:. ;'! prim?
~,J.
240 Da Da Da Nu Da I Da 1\u i\u l\11 l\u
37 1.62
169 13500
-- · 1715
- - --' . 720
" '\. ~"
191
5
16) a) So se afl e toate numerele de forma 4 uoa divizibile cu 2. b) Sa se af le tm:~te nume1·cle de fo1'ma 1 Lwa divizibile cu 5. c) Sil se afle t oa te num erele de forma 120a d ivizibi]e cu 3. d) Sa se afle toate numcrele de fo1·ma 32 40a clivizibile cu 9. e) Sa sc afle toate n umerele de fo1·ma 5 12a divizibile cu 4. f ) Sa se afle toate nu merele de ru,·ma 4XY divizibile cu '18. g) Sa se a\f]e toate lllllTleJ'rle de fo1·ma x'l y yy divizibilo cu ~JG.
17) Care este eel mai marc div izor com un (c.m.m.d.c.) al numcrelor 4; 8; 10?
18) Care est e c<~l me1 i mic mulLiplu com1m (c.m.m .m.c.) a] nnmerr -lor : 2; 3; 4? D81' al nmn creJor : It ; G; 10? Da1· al num eJ'e]m· : 4; b ; 9?
19) Sa se nfl e c.m.m.d.c. aJ n 111ncn~l ol': a) 40; 32; /2. b ) ·11 ; 20; 400. 20) Su se a fl c c.m.m.m .r . al num eJ'Plor : a) 1~0; 32; 72. b) 2LI O; ~lliO ; ti 800. e) 210 ; ;;sO; 5GO. d) 1:JO; 1 GDO;
2 600. 2 L) Sa se pfeeLr,Pze: t)) 2 + 2 ' ~; b) ~3 + :3 ' (f> - 1) ; I') 2. r2 J_ 2 ' (2 + 2 ' 2)1 j d) .I () · j1 + 2 · [:J + 5 : ( ~ - ;jJ! ; c) :270 : (2 · 2:1 · :263) : f ) ( :_p)::o : 3ao; g) 2 · 802 · 1 0~1 -j- 20ft f>·10 : 102 + 103 -j- 18U:l : J 2Lt0; h ) 99 990 · 1 S8D - !J ~I qr-Jn · 1 Hf\8. 2:!) ~t1 sr. clet crn ,inr. <-I L1d ~ i rP;-; Lu) imp~u· t ir ii lll lDJ~.rul ui 41G l80
la uurll[u·ul :2 01~0 . F<u.: e ~. i 9i ver il'i G<.u·e;:t (pr·oba).
2. OPEltAl'll CU NUJIEltE ILATIU~ ALE ~I CtJ J•'ltAC'.ru ZECL'IIALB
Cu nu mere ra \.ionale sc fac unM\Loarclc opc1·at ii: ., . . '2 ' .-)
A dunarea. I• Je numerele rat.1onule - s1 - . Sun1a aces tor num ere j • 7
Nl~i o noJc est c nnm t'u·ul r·.:.q ional noLaL cu ~ + ~ ~ i care sc oh tillc ') r.
astfcl: Sc aduc frac tiiJc ..::_ si 2 la numiLor comun . Pcntru accasLa :3 • 7
sc caJculoaza c.m.m.m .c. a1 mrmitorilor 3 ~i 7. , anume [3, / ] = 21. ·) r
Apoi fr ·ar, \,ia ;~ sc am pli ficii cu cJ Lld inLre 21 ~ i .J , ia r ft'Ucl ia f sc
] · r· "' · 1 • ' 21 · 7 s •- · r · · 1 1/j · F) · nmp 1 1ea cu f' rlll Jn vr·c ~ ~ . , r: Ou\.111 r·uc· t '' o -·- ~ 1 ~ cellJvulenLe ' '2 1 '( '2 l
· f ··1 2 · s A ·l 't ·1:, IIi + 1 ~) " CS!HlC LIV CU rm:\JI e -- .9 1 - . vem - + - = deci
j 7 '2 1 21 21 ,
2+ 2-~2 . 3 1 21
7 :3 • ] 7 Scriderea. Fie n u}nert~le ra tionale - ~ J -. Numarul rntJOn a -
9 4 9
cslc mai mare uecit rn rm5.ru] rat ional : , dcoarccc 7 · t,.> 9 · 3. Uifnent.a
7 · 1 · 1 :~ - I 1 . l ]nt rc n umrm d l' lJ\ ional - ~~ numiiru ra\ 10na -; es tc numaru r::t ,1ona u y - •
I •) f .. , I . '1 l no L~• t ru - - ~ si r nre se obtine asLfe l. Se aduc J'act ll e - ~ ~ - a
~ ~~ ~ . , H ~
nu rnito1' c.om 11 n. Pent1'11 nccnst.a se calcnJeaza c.m.m.m.c. al nurn it.ol'il ot'
9 ~j t1, am1 me [D, !l] =- JG. Apoj fr ac\:ia ~ se ampljfica cu citu.l in lt'e
JG ~ i 0, iar fr ~, e ~ ia ~ sc am plifica cu cll1Jl lnt.re 3G. ~i 4. Se ob ~jn fra c ~ .l
. . 2x . 21 . . . . . . . 7 . . 3 '2.~ '27 11Ji c - s1 -- pe.hl\·alen Le respcc L1 v cu Jral:inle - ?l - . Avem :-:- - .--: = ' :>,1j ' :)ti 9 4 J(j 0U
28 - 21 ' =--- uc(· J:
:Hi '
7 "I .. ---.!::::1 -e
! . l fi . 7 p l] t mnultirea. F1e nurn ercle ra t wrw o- ~ ~ -:- . . roc usu aces or nume1·e · ' I I ,J '
(j 7 ' b ' fJ l ;~ tif• lurlr3 cs1P nurn ~ I'JJ! l'i..l liuJJ ul nnlo.tL l' ll - . - ~1 care se o. ~ llle asL e ;
' v • Jl J ., .
t-i I ti · I - ' · - = -- . I 1 j 11 · :)
!,'2 f) . 7 S1• spnne c~t - cst e - rl m - ·
:1:'1 I 1 :J
F ie nii Jn et·r.de ra1ionu lr. ~ 9i 3. P rodusu] acesLot· numerc l'ationaJe .~
r~ t,, lllllrt o.\J' iJI r o.t ' io u al uotoa L cu -~ · :J 9i care se ob \i ne at; Lfel ~ · :3-= ) ~ ~
~) ' ) ' 1 :., - 'v = ~ 8
1.') ;., • •) Se ::- lllHJP ca -- r.st,n ·-- ril n ,J,
8 8 r. ' )
lmpar(irea. Fie numerele rayi o n~ le ~ ~i ; . CHul in t te a('.esLe nu -!1 ')
mere rat ionale osto numarul rat.ional oota t. cu -i3 1 ~ ~ 1 care se ub\hl c
7
1nmultiudu-l pc ~ cu inversul lui ~ care este nurnarul ra+ional 3 • 0 3 ~ ' 2
. ~ 2 :l :: Dcc: t -:--=-· -. Avem:
j 3 b 2
5 2 15 s=3 = 1E(
S ~ t ~) t ¥ 1 b . . d o spunc ca 1G es e numaru ce se o tme atunc1 cln se cunoa~te ca
• 2 s dit'l el esLe ..:_ .
3 8 17 3 ' 12 3~7
Numcrclc l'ationale de forma -• ~• se scriu sub forrna 1 , 10 100 1. 000
1 .~; O.~l.:J; 12,357 numite fracJii zecimale finite. Pentru scurtarea exprtmttr ll , sc spune fracJii zecimale 1n loc de fractii zecimale finite. Frnc~ia zecimaHi 1 ,7 se citeF;te ,un intreg ~i 7 zecimi". Fractia zecimala 0.03 sc c itr~Le , 0 1ntregi ~ i 3 sutimi". Fractia zecimali'i 12,357 se citeste , 12 1ntl'egi, 3 zecimi, 5 sutimi 9i 7 miimi". '
Cu frac(ii zecima]e se fac urmatoarele operatii: Adunarea. Fie fractiile zecima]e 45,07 :;;i 120,452. Aceste doua
fractii zecirnale se aduni'i ca doui'i numere naturale, dupa ce nm facut ca virgulele din cele doua fractii zecimale sa se corespunda. Deci:
45,07 + 120,452
165,522
Un numar na tural il aduniiJn cu o f1·actie zecirnala considerind c5 Yit·gula se a flii dupa ultima cifra a scrierii in baza zece a numarului naLul'al considel'a L.
1~ xcmpl u
16,05 + 502
518,05
Si 1n celelalLe operatii care se fac cu .frac~iile zecimale, numerelc nn Ln n1 lr sc comiderEt a fi fractii zecimale ca ln cazul ad unarii fracLiiJot' zec:imalc. ' '
Scrtderca. Fi e f,·art,iile zecimale 603,4.5 ~i 28,07. 0 fractie zecima]a so scade dinLr-o f1 ·aqie zecimalii a~?a cum so scade nn nmnar natural dinlr_-_un n~tm ~'r nn Lmal, dupa ce am faclt t ca virgulele din cele doua frac ~u zc~ c.; Inlale su se corespunda. Deci:
8
603,45-28,07
575,.38
..
Jnmnlfirea. Fie ·rrac.tiile zecimale 17,3 f?i ld ,2. Doua frac1ii zccimale se inmult-esc ca doui'i numere naturale, rezultatul av!nd atllPa r. ifre dnpa virgula cite c.ifre dnpa virgula au impreunn cele tlourt frac~ tii zecimale. Deci:
17,3 X /.J:i,2
346 173
692 712,76
lm.partirea. Fie fract-iile zecimalo 17.13 ~i 1,5. Citlll lmpurtirii f~a~ti(:'.i zecim;;tle 17,t3 prin fractia zer.imala 1,5 se obt.ine astfel:
1 'i'l ,3 15 15 -1-14-2
' -21 15
-63 60 :JQ
30
Tn ambele frar..tii z~cima l e 17,13 ~i 1,5 y·irgldn n fMt mul· at ~t 1a drrnplR pest.e o r.ifrt\, pentru a transforma fl'He (iu /,N· im nli'\ 1 5 1n nllm{trul n~tural 15. A poi cr~ lculele se fac en Ja nunwrr nn 1-urn It-,' pli ·
n1ndu-s~ v1rgulR la rezultat 1ndata ce trehuie sa 1.rLilizCun ~ i circe de dupi'i v1rgula 1n 171,3.
1
Citu1 i_mpart:irii fracti.ei zecimale 17;13 pl'in ft•n.r~ i•1 zeci mnla 1,5 este fractm zecimal5.. H/1-2 care P.ste o fractic zceimnl ~t finilu.
Fie fractiile zecimale 0,266 ~1 1 ;65. A vern;
26.6 165 16 5 -0-, 1-6-t 2-1-
10 10 9 90
•a• 200 165 ----350
330 ~200
165
-35
..
Citul imparyirii frac-yiei zecitn.ale 0,266 prin frar.tia zed mala 1.65 nn e.c:; te o frar..t.ie zecjmala finita, ci est e o fracJie zecimala periodica 0,16(12) cu perioada 12.
10
EX.ERCITfl $1 PR.OBT.F.:\IE
1) Sil se sim plifice frac ~iile:
a) -~ - b ) 12 .. c) 240 J d) 840 ·f) ' 36 ' 1 200 G30 •
2) Sa se efectueze:
a) 1 2 b) 1 3 1 5+5~ 2 + :-+-e•
4 1 1 1 1 1 c) -z+-;;-+2oi d ) -+- + - ~
~ lol 24 120 300 J
1 5 7 1 e) -+-+-+--·
48 72 180 3000
3) S5 se efec tueze :
a) 5 -~t b) 2-..!... )') 1 '1 » • c a - - 'I --- ! cJ ) 8 8 6 2 ' ~ :3'
J I I -----· 4.:'JU 1 :)u;
·[85 1~7 e) 89 993--89 990--.
. 88,'8 4444
4) Sa se efectueze: •
a) 2 .2 b) 8. 2 2 .!..~ . .1 1 :~;) ( ~ )2 ( 1 a c:. 8 J 4 ; c) . . d) 3 -.:- · - · - .· e) - . f) - · ) • d '2 5 I d ~) 2 J J ,J > ;_) i
g) 27 ·( ~ r ~ h) ( ~ r ·8 ; i) 947713 · c~4 ·'i, lr · j) 6 -~6 . : . o) S5. se efcctueze :
a ) ~ ~~ ' :~ L) : : 2; c) 4 : 2
1g d) 12: 1 .!.e e) 2:(i_...!.).
v 0
.., :3 ' 'lU ~ lU 6) Sa se efectueze:
1 '[ ) 1 a) 1G ·, 5 + 5 : 3 i b) 2(1 +3 : ~ ): c) 48 · [~+ ~:\; t - ~)] ·
£. 2/1 8U \ 40 7
3
8) Efeetua ti : a) 8 946,405- 1 976,105; b ) 2 010,5-899,5; r ) !d00,546- 299,54;
d ) 4 200,1 - 299,946; e) 31 000 - 19,891 ; f ) 21 000,7 - 20 999,89; g) q90.28 - 4!10; h ) 9 856,702 - 1 236,702.
9) Efect11a1i : a) 2/15· 10; b)0,2· 100; r-) 0 ,01~- 1.000 ; d) 2.ti·S.8; r)20,07· 0,5 ;
f ) 243,05 . 2; g) 40,8. 20,5: h) 20,04 · 1 005; i ) 2,4. 200; j)/10,8 ·1 200; k ) 1 200 . 0.0001; ]) 2,4.. 200 000,2.
10) Efecl l•a ti: a) 0,3G : 3; b) 2t,,5 : 10; c) 240 : 100; d ) 480 :1 000; 1:') 0,2: 100;
f) 32,4 :18; g) 3 047,5:125; h) 4,7:0,2; i) 2,25 :0,15; j ) 29,643 :0,123; k) 803.604:20,05; 1) 186,113 : '10,5; m ) 1:0,5; n ) 5 :0,01 ; o) 0,2: 0,001; p ) 72,5 : 5; r) 324 810 : 80 ,2; s)' 41 261,8 : 2,06; t ) 201 001,2: 1,003 i u ) 6,1 : 0,001; v) 2,7 : 0,0002; z) 16 746,3 : 8,09.
11) Sa se efectu eze ll t'matoarele impartiri cu doua zecimale exaet.e:
a) 0.5 : 13; b ) 12,56: 0,03; c) 0,23 : 3; d) 6 161,7 : 274. 12) Sa se efectueze ut·mat oarea impart ire cu cl oua zecim::de e~acte z
1 !,1') ')1;4. 0 23 l - ,~..tv . , . l!l) Si'i Sf' r'frrblC?f' : a) 0,99 + 100,5 · '10,02; b) 10 090,14 : 1,007 - 100.2.
H) Sa se efert.nezP: a) 2,2 + 2~ , 02 + 222.002; h) 10 . 2,8 + 100. 0.21,56 + '1 00 . ,'J.,s +
+ 1 000 · 0,2; r) 4 900 : 'lO + 0,5 : 100 + ·280 : 1 000 + !1 : 200 ; d) (::33,02- 0.02) : 0,1 ; r) (.3J,OJ3- 3.03) : 0,001 ; · f) (O ,·J 9 - 0,089) · (0.2 + 20 'l 80,!! : 1,005) ; g) 100 . 1,1 + (0,5 + 0,5 ) : 0,1; h) 1 000 · 41 6.16: 0,201] + 2 · (20,4· 40.6 + 0.11 '1); i ) 1 000 · 11 20,1 - 0,1 · (0 ,2 + 20 1:=!0.2 : 2.00S) ; j) 0,01 + 100· 0,02+ 0,1. (~ .tl - 0,4): 0,01; k) 0,0001 · 10 · 0,005 + 10 · (245- 2,ftG ) + 4 255,05.
1 ~>) Sa se efectueze :
a) (0,5 + _!_ : 2) · 0,25; b) .iO . (0,2 + 1,25 + ! ) . 3 107 J I
c) 8 + 0,08 : (0,002 + - '- ) · d) 2.: [2 + ! - 1 (G) ] . ,'~()() I Ll , 0 '
e) (0,(3) + 2,( 45) + 0,1 (26)] : (_!_ + 2 2 + :!:1
) . · :~ 11 ·J ~!H
Hi) Sa se el'eetuezc : a) 0,205 · '102 + 0,002 · 103 ; .
L) 10'1 • 0,2a + 107 • O,OP + 105 · 0,1G2 ;
3 + 4.5 . (9 820 .!._- 9 8 13 ~) ) c) :l l:i . ~.:)2
li.'l L 1 :l 2 . I ) J - ·l --t -- f- - - I - ) ( 3,71 t>'~ i:Ju. 1 ~uu t:~·j 2
r---- -- -
17) Sa se afle valo8l'ea de adevar a fiecareia dintre urmatoarele propozit-ii:
a) 9 · 107 < 10~; b) 2 020 000 = 104 • 202; c) 107 < 9,999 · 106 ;
d) 9 1 ->-· 108 lUi
18) Se consideru mul~imile :
A = {1, 2, 3, 41 ; B = {1, 2}; C = {6, 7}; D = {6, 8, 9}. I. Sa se afle va]oarea de adevar a urmatoarelor propozitii: a) 1 E A ; b) 2 E C; c) 6 E C; d.) A ~ A ; e) A ~ B; f) C c D; g) A = B. II . Sa se afle : , . a) A U B; b ) A U C; e) A n B; d) C n D; e) B n C; f) C - D ; g) D -C. 19) So consict r.l'il multimile: A = { xI ~r ~- \. 1' < 5 } ; B = { 1' I ~r E l\ *, x ~ 5 } .
Sa se l'eprezinte fiecare dint.re accst e mnltimi enumer1.nd elemen· tele sale.
20) Sa se rezoh-e ecuatiile : a) x + 21 =50; h) ;r - 14 =56; c) 54 - ;r = 20; d) 2x = 60;
e)! x = 20; f) 4 = ~ x; g) x -\· ~ = ~ ; h) 1 ~0 • 4.0 = 20;
i) 2.. '3 = 4. 100 . 21) $tiind ca a este numar rat-ional nenegativ ~i can este nurnar
natural, sa se efer·tueze : a)a + 4a; b)3a:.._2a; c)2a+a+5a+1; d)2'1·22'l;. e)32n: 3ni
f) 2n+l: 2~ .
12
Cap iiolul ll
RAPOAR'l'E SI PROPOR'.J'II •
Fie numerele naturale 6 si 3. Vrem sa stim de d ie ori es le mai ' '
mare numarul 6 decit nuinarul 3. Pentru aceasta facem 1mp5.rt_,irca lui G la 3. Constat.am cf'l num~irul 6 est.e de doua ori mai mnt·c drc1 t,
num5.rnl 3. Sjmnem cii ~ este raportnl dintre numarul G ~ i nnmftrul • )
3. · ttmerele 6 ~i 3 se nnmcsc termenZ:i raportului.
:pntem scrie ~ = 2. Numarul 2 ~e nume~te oaloarf'a rapnrtului ~ -u . .,
u n alt exemplu: raportul dintre numarul 3' ~i numurul s este 3
T ermenii raportului pot fi numere rationale ea 1n exemp1ull.um5.tor. . ~~ ;3
') 1 ~ r:
Raportul clintre numarul ~ ~i numarul - este .:!._. Avero ~ = 5 2 1 'l
- -2 2
8 2 6 D . 6 1 l . ,. I :1 = ...:..._ .- =-. em - este va oarea raportu m amtre numere e - ~1 j 1 5 5 J
'I 6 - . Avem - = 1,2. 2 5
! n general, raport.ul dintre numarul a. ~i numilrnl b, difcrit de
~ a S · ~ a t t l d" zerb, se noteaza cu - . , a ma1 spune ca - es .e rapor u mtre num e-b b
rele a ~i b sau ca ~- este raportul dintre a ~i b.
Nu o data se 1nlocuiP~te 1n cbfer!te exprimari raportulmmu'rflor rn valoarea aeestuja. So spune, de ex;emplu : Raportul chn tre nmnrtrul 6 ~i numarul 3 este 2.
Observatie. Un raport ·are o valoare numai daca termenul de sub linia de fractie este diferit de zew.
13
t l'lntA'flL CO Cl TUB.l DE NUMETtE IUl' lOlU LJI
Daca a, b, c, d sint numere rationale, iar b #- 0, i ~ Ol atunci
a e ad + be (1) 4 t ttd - ba (2) - +-= -- - :::s
h d bfi. • ; ~l'l ...
4 c a a (3) . a e «d
(~) - ·--- - . -=-. b d bd ; d bo
in ulti rnul caz avind r;;i c ::/: 0. Se observa ca cele patru operatii cu citnri de m 1mere rat ionale
sint form a] identice cu ce]e paLru oper ut.ii en numere rali onnle. Simboh1l de inmultire se amite ori de cite ori est e posibil, ca in
cazul produselor ce int ervin in scrieriJe de rnai inainte.
E gali Ln \i le de mai i naint e se stabilt>sc du p5 C\rm u r'meazd :
NoLii m r = !!.._, q = ~, unde r si q sint numere ra t ion ale. b d • '
Con form dt> fini( it>i ril ulni 1n LJ•e numer·e rH\ ionn le UYf'm a= br. c = dq. Dtaici ob ~inem ad = (bd) r , be = (bd)q ~ ~ deci ad + bc = Ud(r + IJ), ad - be = bd(r -- q). Din b ::/: 0, d ::/: 0 rezul L:i bd #- 0. A ~clCi n r ·, confom1 defini l_i Pi c·nulu i rn l-I'l'
ad + /)! · ad - be doua oumcre J'U \ionale, deducem r + q = r - q = . Alll olJ-bd &J
~inu ~ ueci
Di n a= br, e = dq mrri J'ezuiLa ae = bcl(n 7) . Dee i se obyine, r onfnr·m dAfinit iei
cJLul ui ln l1·e doua n u. rueri ra tiona le, o.vind 1o vedt>re lol j d . bd ::/: (J rq = " ~' . • T 1 Od
a c ac A~a d ar - · - = - ·
b d bd
Din a= br, e = dq ob~inem ~ i (arl)q = (hc)r. Daeii ~i c ::/: 0, a,·lnd tn vr•d~> r·~ ci'i b -:f. 0, uvnm be ::/: 0. Confo.rm J efin iti ei d tului intra uou.1 nurnet·e r<t lio na le ' . , I · (ad)q F l . d I I _ w • • • I . o )t.1nem r = be . o os1n 1·egu a, t emonstr·a ta ma1 tnamte, cte 1nmu trl'e a cltu-
. . (arl)q (ad)q ad q ad . ad r1l or· de n u r nt~f't! r·n t. ronale, av·em -- = =- - =- q. fl f!m - q = r.
· be (/Jf·) • 1 be 1 be be
A . ·It " r arl J' l I" . . . I . ~ tuner, N:'zu ·v. --=- COli t1l'Ol l f' rmt rer c1tu 111 tutre doua nunu~r6 ro\in--q be ·
na li', uvlnd 1a v t'J f!r · ~o~ vi c~ tJ 'f 0 (caea· ce re:z11ltl din rJ::.. !.. , e 'I 0). d.
a c art Oeei -:-c;;;a - ·
ll fl. b,;
14
Opera~iile cu citud de .numere - ~·a \jon ale f i:'1cl operat ii cu valori d e rapoarte, le vom m1mi operaft-L cu ropoarte.
Consideraril !!.. . ~ = ac • Daca d = c ~i t inind seama de faptul ca b rl brl
d ::/: 0 rezulta ~ = 1. E galita t ea precedenta devine .!2.. ·1 = .!:.. I d b b
D . a ac d w ...L O ec1 - = - , aca c -r • b be
Sa v erificam faptul
3 a = 4 '
a e ad+ be ca avem b + d = bd
b =2, 3
c = 2, 1
d =-· :2
4
pent ru:
Scriem: ~~ + ~ = ~ + _!__ = ~ . 2. + 2 = 2 + 4 = 6. b d. 2 U,iJ ::l L. I -- --
3 2 Avem, de asemenca,
od +be
4 1 2 2 4 G - --+- -2 -+-
') : l L. :J :3 :J o.) G. = - -2 l I
=
- .- -3 L. 3 3
Am verificat ·ca pr ntru a =~ · b = -~ · c = 2 ·, d =.! avem 3 I 3 l L I
1. a c ad + lu· eo-u lLa Lea - + - .... ---, 11 "' uti
.IU POR'T'UL :\l.\S(JRli ,OR A 1)011\. :\1 \ nnt I ' 1 \. ~ UR.\T E CU ,\ rH:,\ ~ 1 UWI'ATE Ut-: :\LbL ld.
Sri con~ i d f' r·f\ m do11rt ~(·'gm< ·nLi' , unul ilvlnd lungimr. •. t el f• 2 m, 1 ~' '' al duileu. de 5 m. Vurn spuu u ca
2
e:=;t e rnporLul lt 1ngirn ilcll· C't'lOT' clouii Sl'grnf'nlt', ntfl~ltr< tlt' ri1 nref'n~i uni Lat e do m[tsur·a <.; ;u·c 0sLe meLn d. J>PnLru a ptlno ln e \·idcnFt ~ i unitatea de musura, care in cazul J e fa~il este roeL!'ul, raportul de
15
mai sus il vom sr.rie ~i s1.1b forma 2m §i, de ·aceea, vom· admite sa
5m sen em
2m 2 -=-· :) lfL 5
0 egalita te de felul acesta va fi exprimata astfel:
R aportul m(/snrilor -a doua marim i masurate cu aceea.7i unitate de masura este raportul mwzerelor prin care se expriinii. cele doua miisuri.
Cu u)Lttorul mportului m asurilor a doua marimi masurate cu aceeasi 1.mitaLc de m ELSLui'l , se stabiler;;te de cite ori o m asuri'i care se afla l~t numitOI'Ul r_a porLului , se CUprinde ]nLr-O masura aflata' la numiiratorul raportului, in car.ul in care valoa.rea raportului este mai mare decit 1.
Ex<'mpluJ ]. . r ntr-un vas Rt' afla 3 1 de ap a, iar in alt vas se afla 2 1 de ap[L De c1te ori este rnai mare volumul de apa din primnl vas dec1L Yolumul de aptt din al doilca vas?
F - ' l ~ l :J d .l w :~ 1 ~ . acme rapor ... u - a m1 em ca - = -. Dec1 volnmul de apa 2 2 1 2 .
din p:1mu1 Yus este de 1.5 ori mai mare decit volurnul de apa din al dmlea Yas. .
l~xom]>lul 2. Un pom este 1nalt rle 2 m , iar un altul este inalt de 4 m. De cite or1 este 1nal~imea primului porn mai mica decit inalt.imea celui de al doiloa?
Ff\ cJ•ncl r aiJOI'ttll ~ m , co st tw ¥
4 m 2 D · · 1 u • n .. a mn ca - = - . em pr1mu porn 2m 2m 1
este de cloua ori mai mic clecit al doilea. Pu·Lem trage urmatoarea concluzie:
F w ~ l tul 2 m t ¥ ¥ 2 m, 1 w • ~ ac1nc rapor -, cons a tam ca - = -. Vom spune ca m al-4m 4m 2
. l . '1 t1mea pomu u1 inalt de 2 m este fractia 2 din inal~imea pomului
1nalt de 4 m.
Raportul mi'isurilor a doua nu'irimi, masurate cu aceea.~i u.nitate dt masnra, din carP prima estc mai mare decU a dorw, ne aratd de cfte ori prima miisura cste mai mare decit a dozw saz~ de cite ori -a dou.a mdsu.n:i este mai mica decit pr£ma.
EXF.!H'Tfll ~I l'RORLE;\m
1) Lungimea unui dre.ptunghi este de 6 m ~i U\.timea de 2 m. Sa se afle :
a) Cu ci\i rentimetri est e mai m are ·Ju.ngimea derit lat~mr.~? _: b) Care este raportul dintre lung1me ~r lat-ime ?
16
c) De e1t e ori este mai mare lungim8a decit ~~~imea ?· d) (:are · este i·aportul dintre la~ime ~i lungime? e) De clte ori este mai mica latimea dec'it lungimea?
(Faceti 9i un desen.) 2) Lungimea unei hucati de · s1rma este de . 4 em, i~r lungi!ne~
alteia este de 6 dm. Sa se af le raportul d mtre lungtmea pr1me1 huciHi ~i lnngimea cele1 de a doua. . ' ' ?
3) Raportnllungimilor laturilor a doua patrate este -~-. Sa se afle:
a) Haporlul perimetrelor. b ) Haportul ariilor.
4) Raportul dintre Jungimca muchiei unui cub A ~i ]un~imea muchiei unui euh B este egal cu 0,5. Sa se afle raport ul dn:tre volum1~ l cubului A. si volumul cubului B. (Volumul cubulUl este V = l , . unde l · est~ lungimea ~uchiei cubului.)
) S .. i _ a 3 . w b t. w ] l a 5 . t unc ca -- = ~1 ca _ = 'i, sa se ca cu eze - · ' b c c
6) .Se ~tie ca raportul dintre a ?i b este egal cu 3, i?.r rapor~ul dintre a ~i c este egal cu 6. Sa se calculeze raportul dmtr·e c ~1 b.
7) Lungimea unui drcptunghi este de t rei ori mai mare dccit Hqimea. sa . . a) Ca~e e.st e raportlll dintre la~ime ~.i lungime? b) Ce frac~ie din lungime reprezin t[L l~t~imea?
8) Lat.imea unui dreptunghi este 2
din · lungime. 5
Sa se afle: a) Raportul dintrc b) Raportul dintre
lat.irne ~i lungime. lungime si latime.
' '
2. PROPOR'fiE. PR6PRIETA'rEA :Fl.TXD.DIE~T.H~A A T'R OPOHTIEI
Fiind · date cloua st>gmente, unul av!nd lnngimeR. de 10 .em ~~ altul a·dnd lungimea de 6 em, J'aportul intl'e Jungm1ea prunulm Sr.ament si lun(rimea celui de-al do ilea se2'menL est e:
• ~:) ' 1:> ""
10 6
Dar..~ lnngim0a fier.aruia din celc doua segmente eRte masurata ru o umta_t.e dr m as11ra rgala cu 2 em atunri lungimea primului segment e"te ega.la ru 5 · 2 em, iar a relui de-~:l.l doilea. este egala cu
~l1.
3 · 2 em ~i decj raportul intre Jungimea primului segment ~i lungimea celui de-al doilea segment este
-· 3
Cele doua r npoarte sint egale pcntrn en ex prim rt arrL1~i lttrrn, anume r.aportu1 intre 1ungim1Je celor doua segmente daLe. Egalit atea celor doua rapoarte se scrie :
10 5 6=3·
0 ~ s Lfr.l de egalitate o vom nnmi propor(ie. . Definif.ie. Proporjia este o egalitate de dona raponrle. Din propri et atile rapoarteJor , stabilite r11 or.nzia shHliPrii opr
r<1t.iilor C' tl ci t.ttr1 de numt>re ra(1onaJe, opera~oi i pe care lo-am numiL oporap i cu raponrte, am vazut eft :
a ac ac a -=-J - =-b be he b
in care valorile expresiilor b ~ i c slnt rliferi tc rl c zrro.
In primul en?., se sp une eli rapor' Lul ~C.:. a fost ob~inut djn rapor· be
1 a . l 'f' tu - prm amp t teare b
cu c.
1n ca~ul al doilea, se spune cil. rapOI'Lul ~ · a fost obt.inttL din
raportul nc prin simplij'icare cu c. /Jc
Dar a or or a -~- . - = -b br be: "
s1nt pt'oporpi. Duni: Prin amplificaren sou simplifir:nrr>n 11n11i rnpnrt .~i [llll lf't'ra sNn
nulu i d~,tgaLitatc tntre raporluL dut ~·i rapuu.rtc.:le ast(r-L obJinule sc objin propo11n.
l~xcmplu. 1 n loc de :, p11 t r. m R<W io -1 Dc,ci 10 ~
:, f - =-10 2
e:;; t.n o propor·t.ir. Tnnnr11ii celor drmcl. rnponrff carr> coostituic o proporjie se numesc
.trrmrn i i p roporjir£. Orice pr'oporJie are patnt termeni.
Exemple.
~ (5 ___ , 4, ~
slnt prop ort.H . Contraexempln.
9 1 + ~
6 2 !') -=- -; 7 21
T
10 -- = 2 5
•.
1
~
""" 2 + 1a
9
nu este o proportie. Scriindu-1 pe 2 snh forma 2 ob~iuem o proportie 1
10 2
5 1
Vom sptHH' cii nmnar·ii t orul pr' imului raport dintr -o pmpot·1 ie rl'te pr· imtt! lt>t·nJPn al pr'opor' tiei, ia r numitorul ac.ostui rapOt't esle aJ d oi lea ternw u <d pl'opoq it·i.
De asemrnea, Yom SJHrn e ca mtm nratorul celui d e-al doilea raport al nnei propor·(i i cst c al t t·eilea tc·rmen al proportiei, iar n um it ot·ul ueeltti:-~ ~ i J'[tport P!'; t e nl pntr1 llea termen al ]WOportiPi .
P1·irrlllJ ter'mf:'n f:i i al pHtndra lt~r·mpn ai tmei propor~ii ~:<r nt1m 0sc f!Xlr emi, iar nl doilea termon ?i al treilea termen ai unri propcH·ii1 se nurnesc- nw·u .
:Excmplu. ln propo1' ~ia
3 6 - = - · t,~ 8
3 ~i 8 sint PXit'emi1 1ar 4 ~i 6 mE:zi. ill p cupor·~ja
. 3 6 - ... -· - i
' s a vern
3. 8 = ll. 6.
r n gt'OP.I' fll., oh1,inrm Jlf'OJ17'l f. fate.a fu.nd am.e.ntala a pt'np01'(£P.. i: l n oricr~ proportie, produsul e::ctre.m.ilor estr e.ga.l cu. produ sul me:;ilor. Demonst.t·a t i ~~ aeestei proprietat.i este urtitatoarea. Fie o pro-
poq.ie, orieare ur f) a.ceasta:
" it -·-b d
S al il tl « . r: A a. . e a notam cu r v or e rapoa.r _.e or 1 ~1 "'i. -vem --; = r, -;;; = r ..
Din dofinitia cH.uJuj ohtinem a . br, c = rlr. Doci ad = brd, be = = bdr A vind . brcl = bdr a vern ~1
ad = be.
Fiind date doua rapoarte ~ ~i -j , se st.ahile:;;t~ rrl aeest e rap oar:te
form eaza o propor~ie, verificind ca ad = be, deoarece est.e acle-nirat a proprietat ea :
F .. d d t d " t a · c · .f ~ Hn a e oua rapoar .e --;,· f~ - ., aceste rapoa.rte 1orrma::.a o pro-_ . v d.
pm1ie claca ad = be. · '
1n adevar, claca ad = be, avind d :? 0, ~i tin1nd. seama d e dofi-. t · ~ ~ · .. d d be D he r c m yia 1mpartirn , e u cem a == ·-- • ar - ·= b · - . Asadar a. -= b · - ·
d d d ' d
Cum b :F 0, t inind seama de dcfinitia impar+.-irii.· r ezulUi ~ = .::__ . , ~ } ' b r{
E x<'mplu. Sa se cercct ezo dae-a numer ole 2, ·~ , S ~i 10 pot fi ~erm enii unei proport.ii.
. Calculind toate produsele 1n care factorii sint clout\. d]n mJm orelr. 2, L~ , 5 sau 10, unul din fact ori fiind 2, 9i comparind fieeare proclus cu produsul celorlalte doua numer e, obt,inem: 2 · 4 =f. 5 · ~~ 0. deonrece 8 ¥= 50 ; 2 · 5 ¥= 4 · 10, pentru ca 10 :/= 40 ; 2 · 10 = Li · fl . Din ultir:':a egalitate rezulta ca nuruerelo dat.e pot fi t e1·m enii un r: i pro~ portu.
EXERClTll
l) Fie proport-ia : = ~ • $Wnd ca ad = 10, sa se calculeze 10 be. ' .
2•\ "' · ~ 1 b · s~ · 1 1· · b 'J oe ~t1e ca - =- . • a se ca cu ezo a · . a 3 ..
3) F ie proportia !!:. = _:__ . St iind ca a = 6, sa se ralculeze b · c. ' b a ' ·
) F. . a G s~ _ 1 } 5 L a ' d 4 1e proportla - = - ..... a se cmeu ezr. . -r --·
• b d . . b . c .
5) S .. d - 1 b . . • ~ b 2' - . 1· I . . "' c tun ca - = - s1 ca a · = -Ll , sa se ca c.u P.Z•;; • s a c •· · ·
6) Se stie eli 0'2
= _!!___ . Sa se calculeze 1 000 ab. ' a 0,2'±
7) $tiind ca 4 · x = 5y, sa se afle .:!. . y
8) Dindu-se 0,6 · x = 0,02 · y, sa se nfle;t. . - X
9) Se stie· cii ~ · x = ~- · y . . Sa se ralculeze .!. : • ' 7 f> . ?J
10) Se ~tie r.a dar.a inmu1tim ·numarul a en 4 ob\ inem acel::l ~ i rezu l-
t at ca atunci cind inmul1 im n nm arul b cu 0,6. S_5. se calruleze % · ·
:~ d' - 1 t ·al 6 d1' n n LL1''1:-l r tll b, s:-> 11) $tiind ca 4 m num aru a es e eg cu 7 l " ...
se afle raportul d intJ'e a ~i b.
3. AFI ,AR.EA UXUl TER31EX l\'ECC~OSCC'l' 1H rXF.I rHOPOR'fii
P ropriet atea fundamentalf.t a proport.iei ne aratft c5. pentru · a c "' d lJC proportaa b = d aYem ,z = . .
A m mai aditat cu rapoart ele _'!__ ; ..:_· formeaza o proportie dae5. b d
. d 0 . a c acl = be. Adi e-5. dar a ad = be ~l b ~ 0, =/: , atune I b--:- d · · Datorita egalita~ii
acl = be
p11t- em d 0termina ori.ee t~rm~:m. al unei· proportii cnno~rlnrl • ori car~ din eei1alti term0ni a i acele t.a~ l propot'\,n. Aceasta o facr.m m baza definitiei impart,jrii lu i be prm d, daea d f- 0, oh\.inind
sau
br: a = -
d
1n baza defini~iei 1mpartirii lui be
d = br_ , d
prm a, daca a =f: 0, gasi n~l
Daca impar1.im pe ad la b, in cazul c1nd b =/: 0, obtinem: ad
c =- l b
iar dae.a impar·t,im pe ad la c, in cazul ~ind c =t 0, rezulta ,
b = ad . c
' '1 A l t 1' wm pe a prm a = ~::: sau determinam CaJ,un e w care <. e erm na . d
p e d ptin d = 0: pot fi exprimate astfel:
- produsul rnezilor un extrem = -!.-----
celalalt extrem
E 1 r.'' • ~ 6 xemp u. J.' te propot'tJa - """ - . ' 8
Cit est e x?
. A 4. 6 3 vern ·x =-= . 8
or! · Cazurilc in cn. t'C det er·m in 5.m ]H' c pr·m sau li
determin:lm pe b
prm b =ad pot fi exprimate astfel : •
produ~ul .extremilor un ruez =
celalal t, mez
Exempln. Fie propor~ia ~ = 12. Cit este y?
5 . 4 Avem y =-- = 2..
10
EXERCJITrr ~l PHOlll,f:::\lB
]) S t . v a 15 Sv t ~ b 360 e R 1e ca- =- . a se arR ·e en a = . ' 211 b
2) Stiind ca 4 · a = 0,3 · b, sa se a fie !!... . • b
3) Se f:tie ca ~ · a = 3 · b. Sa sc calculcze ::; , 2 b
4) Cu nnmerele 2; 3; 4; 6 putei.i forma o propoq ir? Dar cu Dllmerele 2, 5, 4, 9? Sa se afle x din:
5) ~ = ~ . 6) ~ = _!_ • 7) 2 = ~ . 8) ~ = () . !l) ~ =- 3 . 2 5 ' X 5 ' S 2 ' J :1:
1 10 '
10}~=5; 11) 10 =5; 12) ~=3; 13) 2_=1; 14) 4 = ~~ 4 X X X J 1
15) 6 - 3._ • 16) 2 = ~ ; 17) 5 =,10 ; 18) 4 = 3
; 19) _!_ = - 10' X X .c X
4
20) 2 = ~ ; 21) 8 = ~ ; 22) 4 = : ; \ 23) + = ~ 1
;. 3
24) 2._ = 0•1 · 2o) _:._ = o.:~ · 0,2 0,01 ' ll,lt 0,24 '
1 1 -+-26) 2
J. = - ~ t) ' X
0 25 + _!_ 2 + _!_ - 2_ ' :1 :'1: ::l 6 27) -=- 28)
7 12 . 3
'I 1 -+- : 2
:1" n.,.9) L 2 .... :Ji ·~ i
17· I
t _!_ + ..!. : 3
30) __!_- ~ •• 31) ..!.. - 3 :3
,· 32) 3 • J 2~
6
(2,5 - 1 ~)!]
33) ~ = 3
G 1 : 4,8
5
34) Sa se afle x din:
35)
36)
38)
39)
40)
41)
42)
43}
44)
4u}
x c a b a)-=-; b) -=-•
b d X •
Sa se afle y din:
a) !!:_ = ?I • b) !!:_ = ..!.. h d ' b v
Sa se a fle S din: s
V= -. t
Sa se afle. t din: s
v == -. l
SO. se 1:1fle U din: I = TJ • ft
Sa se nfle R din: I= !!_ , If p
Sa se afle F din: p = -. .s Sa se ::~fle S din: p = F •
,'·)
Raportul dintre pre~ul unui crf:lion ~i pret,ul unui caiet este ega] 1
cu -· 3
a) Pre~ul creionului este mai mare sau mai mic decit prei.ul caie-tului? De cite ori ? ·
b) Daca pre~ul creionului est e de 2lei, sa se afle cit costa caietu.l.
Raportul dintre pret,ul unei caryi ~i pret.ul unui stilou este 1~ • '> Daca stiloul costa 90 lei, sa se afle cit costli cartea.
Raportul a doua numere naturale est e ~ 1 iar eel mai mic dintrs 3
ele este 12. Sa se afle celalalt numar.
Raportul a doua numere naturale este ~ 1 1ar eel mat ma.ra 'b
diutre ele 140. Sa se af.le ceJalalt numar.
23
4. PROPOR'J'II DERI"V ATE
:PROPOR'fri.D"f.JRIVATJJ ,.r.C ACEIA~l Tf.lDfEXI
·Fiind da1.i patru termeni a,· b, c, d a·i une1 propot,-~1 i ~~ = -}; , nstfel
incit a =1= 0, b =1= 0, c # 0, · d =I= 0~ ob~inem tot proportii prin u rmatoarele procedee:
. a c ] . Se schimbi'i mezii fntre e.i. Din proport-m b = d se o )tme pro-
. a b p ortm _,_ = --- •
. c d
Se schimbi£ ea.:tremii lntre ei. Din prop ortia a. _=_!'_ s.: oht-inP. pro~ b . ri
t. cl c
PorIa -=-. ' b a
a c · Se in(Jerseaza rapoartele. Din prop ortia -b = - se oh\me propor-· d
• b d ~Ia - = -·
a c
Cele trei proportii oh~inute din primn BP. numrsc prl'!porf i i r;ler.if.late.
Proport.iile care SE' m:t i vot ob\ l~(\ ('11 cri ratrn tr.n1leni (7. b, c. d ai proportiei !!:.. =·.::.. sf:' cnpf.\ta ni.1mai cu r.ele t.n~ i pror0.dee, ~dnd
- b d ca punct de pleearc propor\~a data.
. · 8 ·1 •3 1 - llr ........ a-t n. a1·ele . Exemplu. Dm pr~port-ta '1) _1
= .j() rrzu ta num ::n m. -
propor~ii care au r.a t..ermf:'ni t.rrmrnii pr oportiP.i date .
2) ~ = ~ prin schimbarea nwzilor intre ei in j)ropot·ti;J 1; 16 10
3) 10 =
16 prin schimb~on'e.::t r.xtrrm_i1or 1nt-re ei 1n proportin 1.; 5 8 . .
4) ~ = 10 prin inyers::trNt r8p001rtelor ptQpor\ir.i '1 ;
8 16
5) 10 5 -= -16 8
prin schiinhm·ea m r;-zilor ]ntre ei in pro-pm·1in 3;
6) ::, 8 -=-10 16
prin schimh3r0.:-:t mP.zilor in tre ei in proportia 1:~: ;
7) 16 10 -=-8 5
prin schifnhr.trea ex-t.re~iilor tntfe ei in pt·o.po~tia 4; . ·= t
.. • . ~: ._".._1-v~
PROPORfiT -DERlYA·rE ~I CU AL'fl TERM.E ... 'U
Sa consideram propor~i'a: 4 6 . 4 • 5 6 d' 20 G A bt' t _:_ .... - • Putem scr1e = - = ~ a 1ca ---:- =: --:- • m o · yinu o 2 3 . 2 • :J J · 1U 3
propor ~j c derivata din prima. Se p oate arata ca din proportia
!!:. = ..£. se po't ohtine urmatoarele proport.,ii derivate: b d . '
(1) af c...£.. (<)) !!:.. _ c.( . (3) af' = cf. (4) .!:. = ..::_ , bf d ' - b - d.l.' •' . b d ' bf' df . I
tmd e f -:f 0, atuw :j cind r se g<~.E:8$t8 la nu rn itoruJ c~l pu~!n aJ_ um.ii rapoJ't. Se . pot ohtine, de asernenea, urmatoareJe propor~u deriVate:
(5) a : f' _ 5._ • (G) .!!_ _ c :/' . (7) a : f _ c : f . (S) ~ = _ e_ b: f' - d' b - d : f'' b - d ' b:f d:f
undP. f ¥ 0. Sa deducem de exemplu ptoportja derivata
aj-' c; --- = - . uf d
(1)
A ~ v d v • a c · • 1· · m vazut ca acu a Yen} p ropor tla b = d, atm.1ci avem ~~ ega I·
tat~a ad = be, iur daclt avem egalitatea ad = be in 0are b # 0, d =I= 0, atunci avem }Jropor+ja _0; ~ !:'. . ·
. . '( h d
Sa 1nmultim ambi) m.:!rnJwi Hi egalituti i 'r.trl · be 011 {, f -:f 0. Avem (ad) ' / = (be)· f' ceea CO se pou.l.e ::!Cl'i e :;;j astfeJ (a· f') · d = (b ·f)· C.
1' •
A vern deci J) I'OJ)Or~-ia ar = .!:__ . Dt:ci din pro1wrtja!!:.. = _:._ am obtinuli I &/ d - y b d •
prOI)Ort;ia af' = .!:. • PrOJ)Ortia af = ..£. este o propor~ie derivata din &/ d ' . b/ d - ~ - a c propOI'tia - = - .
b cl . _Jntr-un .mod ast:rn an~tOl' se poate proceda_ ~i in cazuJ proportiiloi'
(2), (::)). (4 ), (5). (G): (7) ~j (8). . . . Retinem, clcci. urmatoMele: intr-o proporrie, i:limul?ind sau impiir
tuul ambii termoni ai u,nni ral)ort sau, runbii n.umclriitori sau mnbii nwnitori cu o expresie a cilrei '(Jaloare este difenLu de z.ero
2 s·e ob~ine
tot o propor~i e . Alte propol'·~ii derivate din p.ropor~ia
a c -=-b d
se obtin in m odul urmator. Se noteaza cur valoarea com una a rapoar-
telor : §i ; • Deci ; = r, ~ = r. Tinind seama de definitia citului,
obtin~m a = br., c = rlr, iar p1·,n adunar.e mernhru 011 membnJ a acestor doua egalitat i aven1 a + c = (b + d)r. D Hd\ b ...,.- d =F 0, '-' ·1 UI1Cl. a -r c -- r D · d . a c · b + d --'- 0 lt-av eel lll - = - ~] . r rezu a
b , d- . 0 d -
a a. +c -;;=b+rl.
Scazind membru cu membru egalitati le a = br, c = dr, obtinem
a - c = (b - d)r . Dadi b - d =F 0, atunci ~ = r. b - d
Deci din -~1~ = !:_ ~i b - d =F 0 ob~inem: b d
a o. -e ----~
. b b - d
] ., J p• • 8 · 2 '}''' • 1 ~:):erup u. ['le propor-~1a - = -. mmc . 12 :~
seama de fap Lu l er,
1'1 _I .'_) -" (l, 1'') . ., ...t. 0 . ;3 S .l. :2 :3 e.- 'l St' nbt,.ine ~ "' r J ,. ... - 0 r ~1 t··-J = 1. ·) - ---·.:! i - -- ·~ ---- U
... ~ ·- · 12 .l:2 -- J -I:J
:3 11 8,'1 - = -- .
I '1 !l
Hf' ~i n em, dcc"i. urmt-1.t0arele:
Fiind daf(t propor{ia ~ = -;i, din ease deduc w:J,1lt1toarPle pr()portii
d!!rivate a fJ.Lr.. o o -a - = - - 1 --=-- · b b + rl b b -· rl
duci1 n11rnif.,-,rii roJ?rwrtc.lnr prniuH'(i.ilor sint difcriti de zero. ~ fai a ,-em urmiltoarea propl'i t!Lil Le:
Fiincl data proporJia ~ = ~ , din ea se deduc urmatoarele proportU
der ii'u lr.
ll r. --- = - -1
. rc -i-- b c: '7- d'
a r - -=--, a-b c-d
(1 .J... h r. j_ rl --=--i
b d
n. --1. r. - rl --=--· , b d
o -"- b a - b a ...!.. b c -~- d a - b c - - rl ----:..::: ___ , -- = ___ , --=-- I c -j- d c·-d a. - b r--d a + b r: + d
rlotrl numitorii rrrpnartrhir proporriilor -si11f rli{rri{i dn r.crn. U<H'i~ c """' 0, uLunci a. :.= 0 ~j propur~iilc de ru;.ti inaiu~o t:>inL uJe·
" ::tr:-1-t c .
Daca c :f. 0 rleducem, mai intii, !!.. ""' ! .. , din caro ob ~in em c d
!L om ~ - b. De und13 obtine{P d, (. -- d
1'1 11. + h ... ""'·--...,..- . f " r -1-d
• "'·- b ~ --· - · ' ( - d
respectiv, tr. e tr. e tL + b c + d a- 9 . e..:_ d· a+ b = c + d
1 a - b = c · tl J -b- = -d-' -b-""' -d- •
daca numitorii rapour·Lclo 1· accsLor proportii sinL difer·q,i de zero.
D. a a + b a a - b d J . a + b a - II rn - = --d; - = -- : e ucem ~ l -- = -- , d e uncle
c c+ c e-el c+ d c-d
lL:- a + b c + rl a - b c- rl _ . . . rezu a -- = -- , -- = ____,_, daca nurnrLOt'lJ rapoartelor aces
a.-b r· - d a + b r -j- d tor proportii s1nt difcri'Li de zero.
' l~xemplu. F iind daLa propor\.ia 18 = g avem
6 3 113 ~ •18 0 18 + 6 0 + .1
= =--· = 1 18+6 9 +3 18-6 9 - 3 6 :J
~i pt·oportiile
18-G 9 -3 6 =--· 3
18 + 9 18 - 9 18 + 6 0 + 3 18 - G 9 - ::3 --=--1 = --=--6 + 3 (j - 3 18 - (j 9 - 3 18 + (j 9 + 3
Accs"Lc proportii
fiind respeu~iv J8 = 9 18 = 2 21i 12 12 6 27 9 2r.. 12 2'. 12 ) 12 G ' G = :! 7 G = J , 9 = :; , 12 = 0 I
1') ()
2; = l:l- Avem propur(,ii , deourece rap_oartele din membl'ul intii al
acesLoi' propor~ii se oLtin prin amplifi carea cu 2 a rapoartelor din
b ] 1 d ') l ·'· . . . 27 9 mcm ru a 01 ca a auestor propor~u , cu exceptia propor~1e1 - =- ~ 9 3 .
n ndc rapor'~u l din ruf'rnhnd 1nLii se ohtine prin amplificarea cu 3 a raportului din membl'U1 al doilea.
l:' roblerue r·ezol v:ll~o
1) Sumu a doua numero este egala C\1 48, iar raportul lor este 2 . 5
Sa sP. afle nt1mcrele. RezolCJare. Fie x ~ i y cele doua numere. Avem :
i X+ y = 48 .'t 3 - ;::;;:;; - . ?/ 5 .,
$Lim ca .:2. = .:.!... • Aplicam c1Leva din cuno~tin~ele pe care le avem !/ 5
tn l ega'Lul'a cu , pl'opoq. iilc cler iva~e". X+ ·~ -j r)
Scriem -· --11 = ' - · . Dar x + y = 4.8. y 5
• 48 H li8 · :1 JO Dec1 - .,., - , d c unU.c Y = -· -8- = · y 5
Afl am JJ o :v : X . 4.8 - y = 48 - 30 = 18.
Putem afla pe x ~i din: :0"""' ~ · :1 . :10 18
Avem: :r; ~~ - •
Verificare
118 + 30 = 4.8 '18 8 - = - . 30 5
<::. . a X 3 scrie y_ - X = k. P utcm proceda ~ialtfel: ytlm c Y = 5 · Put em 3 5
De airi deduccm x = 3k l?i Y = 5k. Avem : x + y = 3k + 5k, Dar x + Y = 48~
Deci 3k + 5k = 48, 8k = 48, k = G. . , : ,c;
Avem in continuare : . X = 3k; X = 3 · 6 = 18; y = 5k; y = 5. 6 = 30.
3 w • 2x + 5y 2) Se Rt ie ca !£ = - . Sa se calculeze 5
• • y 4 y
Prima m etoda: X , . 3 2
1nmultim si pe ..:.._ s1 pe - cu - • • • 'II ' 4 5
2 X 2 3 5 ' y = 5 '4
2x 3 5y = 10.
Aplicind unele cuno~tin~e relative la proport,ii derivate, putem sene:
28
2.t: + 5y 3 + to n 5y = 10 = 10 .
A doua met oda : Procedind ca la problema 1) avem :
2.r + 01/ ---~
"Jy
A treia m etoda :
·X =3k ' y = 4.k, 2 . :3k ...J. ~l • 4k
5 . 4k.
D . .r. 3 bt' 3y 111 - = - o mem x = - . !J 4 • /1
2Gk
I • A 2.r; + ~) y ?Jy nlocmm m pe x cu -4 5y
~ i obtinem:
3 3y
13
. 2 . .J!. + 5y - · ..L 5y Qx + 5 y = -__,.~~...,.-- _ . 2
1
• • 13:1/ 13 : · 5y 5y 5y ... = 10y = 10 •.
. .· . . . ?
1) Suma a doua numeJ·e cste 100, iar 'raport ul lor : . Sa se afle llU• oJ
rnerele.
' w X 2 s 1 1 2) Se ~t1e ca - = - - . a se ca cu eze : y 7
" a) .r +y ; b) x . ·c)·~ ; d) -2___ ;
y x+· y '· y y - x . ' · ) 3x - L 5y n I • •
0 5!J
3) S(l sc a.fle X din ~ ,r; -1- 2 !) . · X 3 ·
a) --=-; b)-=-· J.: 4 x + 1 4
? )
- .l: e - . 'Jy '·
f) 2x + 3y
3y '
4) Un eJev a depus Ja C.E.C in doua luni de zile sum a de 280 1ei. Rap ortul dint re sumq depl! sa in prima luna ~i suma depusa in a
•)
doua luna este egal cu ~ • Ce suma a depus elevul in fiecare 0
luna ? ':>
5) Lilt imea unui drep tungbi este ~ din Jungimca sa. b
a) Sa so afle raportuJ di ntre lungime ~i lat.irne. b) Sii se afle rapo1'tul d intre perimetr~ ~i latime.
6) Se considera t.r iunghiul ABC (figura 1); D E (A B), E E (AC)& Sa se arute ca daca av!3Iri · A D A .E . .
_ = - , atunc1 avem ::::1 A JJ B LC · ·r
(1) vn = ec . . .-L{J .1£' '
:1 B AC (3) -, - =-;
.. JJJ _·J.l!:
(r.: ) A E , eq . v - -- ~ AD ~ DB ' (r: ) A 8 . :-1 D v ---r- = --;----'- •
AC AE Fig. Il .1
\ 5. ~JR DE R1U'OARTE E GALE .. .
RiJ-1)6f.t~l f e~te ~~~l ~lf rii~.o~~~! -tl d~ca f esM diferjt de zero.
:Deci avem ~top' ' .6~1a .i .a at • F'taca ~&hortul !1. , l': . • H b .. hf .,., : l' .- bf il ainplificam cu
~Q
g, g :;6 0, obtinem proportia ~j. = 1;~ . Scriind cele d oua propOl'·
~ii astfel • af afg -=---· b bf bf'g
sp[mem c~ avem un ~ir de rapoarte egale. ,;, 2 4 8 'd t nxemplu . -""" -r-oo - esto un ~1r e rap oar e
. 3 - (j 12 egale.
Uu alt ~ir de rapoarte egale este urmiltorul
a c a+c a - c -= - =--=--1 b 'd b + d b- d
dadi. numitoeii sint diferiti de zew. Avem ~i
a ·c r a + r. -'- e -=-=-= b d f h+d + /
deoarece dadi. r este Yaloarea com una a rapoartelor .!!:._, !_, . h d
o = bl', c = dr, e = [;, deci a + c + P. = (b +· d + /")r
1': -- aYem l :-; t del.' i '
0 -·· C --!.. ( do o b + d I f .L 0 = r cu con · Jtm ca 1 ...,.. • 0 T rJ -- l
r f" ' d l f t 1 X (1. /Jlf'l C nr. (' fl l" * mm· seama c e ap u· Cu b = mf, • d .= nd • 7 = pJ. ~J d c
nw nc pe mo. -t nc + { It
niu = nd = pj = mb + nd + p/' '
rezulta a c ~ ma. + nc + p('
0
-=-=-= I b d f . mb + nd + pj'
c1.1 (oonditia c:a num!torii sa fie diferi1 i de zero, wr m '-F 0, n .fi 0 ~i p ""' 0.
E 2 4 ~ 2 • 2 .L 1 o ' • _t. 1 · :-)
XCill]) IU. - = - = - = ·- I 3 (j t2 2 • :;+ l • ti 1 1 · 12
jfj ultirnul ra})Qrt. fiind e!lal em ...... 24
A;;;emaniHor, avem a c mq + nc
-:::::3-.:::;:.: -------1 b d mb + nd
e~ conditia ea mnr~itm·ji sa fi e cl.iferiti de zr'ro) 1ar nt I= 0, n .f.. n. ,Avem un astfeJ de ~ir 4e rapoarte egaJe, or-icat'e ar fi num5rnl lot'.
In concJu zie, u.n ~ir de rapoarte egale este un o~1:r de rap oa~ofe ca. semnul egal intre fi ecare pereche dr, rapaarte inCJer.inate astfel ~ncU orcci pereche de rapoorte din §ir sa fonneze 0 proporJie.
50
EXETtcTTTt
I) St1incl ca !!__ = !... = ..:... = .!_ so. se afle a + r ..j- ,.
· b d l 4 ' u + d + l 2) F . (/ . b c d I - + I ...L ...L rl le - = - = - = - = 10. Sa se calculeze t1 + (I ' r , .
e f g h c.,- 1'+; ;- h
3") Daca ~ = 4 9i .r, = Y ::: ..:.. sa se calculeze c a b c '
a) x + y + z a+b + cl 1;2 + y2 + z2
b) a~ + uz + c~J c) 2x + 3y + 4z
2a + 3b + 4c
4d) Se ~tic ca !!._ = 3 !!:.. = .!:.. = ~ 6 , 6 rL l ~I ca a + c + e = 30.
Sa se calcu leze b + d + f. 5rt) S · · - '2a ;j(J 5r .
'l Lund ca "':J = -::- = -; ?' ca a + b + c = 1, sa se afJe a b · 0 ::> 'i 1 ~I C.
T-jllf'l'!lre P<'ntm vrrifiP:lrra in SlJ ~irii unor runo~tiu!o de ba za
1) Numarul 3 240 esLe divizibil cu 2? Dar cu 5 ? Dar cu 10? Dar cu 3? 2) Sa se efcctucze:
a) ,l, . ( :~ + _(to ); b) ( ~ - _!_ ) : ..!_ ~ ,£, ,c, 1 , q 6 1:2 '
d) 28000 -- 890,2c1 ; r) ti 1. G.24 - 120,9· g) 1,44 : 1,2 ; h) 7,5 : 0,25 ; . l
• ·I t J) - : 0,5 - - ·
2 6 3) Sa se aflc x din:
X 10 a) -= - · b) ..::. = 3·
4 5 ' 4 ' 10
c) - = 3· .z; '
c) 3,2 + 32 + 121,002 ;
f) 2,4 . . 25; i) 0' 12 + 102;
l~ I
d) 4 = 2 . . 7 '
. 3 e) 5 = - ·
4) Raportnl d intr·c lit ',i111 C•a · 1 · '2 ; ~~ ungrmca unui drcptunghi osLo _ , iar la~imea este cgaJa cu Gem. Sa sc afle Jungimca. 7
J.Jucrnre pentni prog:ltin'•' olimV,iadrlor ~i a a1tor COlH}llp;:tLri
1) C;~re sint nnm crclc n<.tLmalc nle dt ror p [t Lratc di vid pc 720 ? ;)) Sa sc cnJculcr.c: 5 ro2 : (G1no + 51 on + 5 roo + !)lOo + 5 ,00).
Pro~u sul a p<tL~·u JltJin erc nn Luntlc consecuLive poa Le fi eg41 cu 93 024? Daca raspuusu1 es'Le afirmaLiv, gasip numerele.
p,.oblemele ~i e.xorui\-iilo no ta ~a cu d. ~u un ~rad d~ ~ il'i uulta La mai marf!.
31
4) Fie a = 1 · 2 · 3 ... 99 · 100 + 800. Care este restul impar·~irii lui a la 702?
5) Latimea unui drepLunghi est e e.aala cu 2. din perimetrul b 28
a) Sa se afJe raportu.l dintre semiperimetru ~i lat1me. b) Sa se afle rapot'tul dintre Jat.ime si Junaime. c) Daca lungimea acestu i drcptunghi 'este 5cu 16 m mai
decit Hitimea, sa se afle aria sa. 6) Se stie ca:
a ' 1 a c - = · = c · f = d · e, 2a -!- 3c -!- 4e = .Q~=1. b 4' b d J I I <N
Sfi ~e CD lcuJeze 'Jb + 3d + 4{. 7) Sa se a flo x din:
~ = 0.(3} + 0.(27) + i. (23) • 2 607. m 4,5; 0,09 +2 + _.!.__
1+.! 2
sau.
mare
PROPORTIOXALITATE DIRECTA. PROPORTIO~ALITATE INVERSA· .
6. PROPORTIOXALITATE DlltECT1
Fie urmatorul ~ir de rapoarte egale
125 25 5 I --=-=-· 50 10 2
Rapom'tele din acest ~ir de rapoarte egale au o valoare cornuna, pe care o puLcm exprima prin
5 sau 2 3. Spunem ca s-a stabiJit
2 ' o propOl)ional.itate .directa 1ntre muJtimiJe {5, 25, 125} ~i {2, 10, 50} prm.scrierea ~1rulm de rapoarte egale de mai sus. _
In general: .
. ln!re do~a mulfimi finite de nunzere se stabil~te o proporfionalitatc dLrecta, daca se_poate forma zm ~ir de rapoarte egale, diferite de zero, ~,stfel inc.U multun~a n.umaratorilor rapoartelor sa fie una din mul;in'ti, wr nzultLmea nwmtonlor rapoartelor sa fie cealalta multime.
Notind cu r valoarea comuna a rapoarteJor dintr-un· ~ir de ra-
poarte ega1e, diferite de zero, ~i cu 3:. oricare din rapoartele din acest . b . .
~ir de rapoar te egale, ohtinem .!!... = r sau a = br §i b :# 0. D~ci: b
32
Prin imnultirea elementelor unei multimi finite de nwnere, diferiie de :.ero. cu u.rt' nzmuir dot., diferit de :cro. se ob?ine o mulf,ime astf'el incit intre cele doui't mul{imi S(1 existe o proportionalit.ate directa.
ExempJu. Fie mtdtitn ea { 1, 2, 3: in G<-:re _ fiecare nu min~ ~,xprim~. nn numiit' Je sLic1e de la pte. Deoarec:c o :;tHJa Je Japte co:-;tu u,:.>O lei, atunci :in muJtimea {:3,50. 7 , ~ 0,~0} fiecar-e numat' ex prj~'llft ~o~Lul nnu i numar de st icle J e Jopte. lnLre cele doua mul~1m1 ex1sta v' p t·opor~ionalitate di1'ectu, deoat·ece
:l~>O 7 10.30 --=-=--
1 2 J
este un ~ir de rapoarte egn le, valoarea comun.a a ~1cestor rapoarte fiind 3,50, ceea cc lu lei exprj ma co:;tul unei sL.iclc de Japte.
Fie urmatorul ~ir de produse egalc
8 . 25 = 't . 50 = 2. '100.
Produsele din acesL ~ir rlo pt'oduse egale an o valoare comuna, pe care o putern ex prima p1·in 200. Spun em c.{t s-a stabili t _o pr~portionalitate inCJersa intrc mttl timilc {2 . 4, 8} ~i {23, 50, 100} prm scl'lerea -~iru]ui de produse egale d o mHi sus.
In general:
l ntre doua multt:m i finite de nmnere sc stabile$te o proportionalitatt in(-1ersli, daca se poate f'orma un .yir de produse egale, .di{erite de zero, astfel incit rnul_timea prirnilor {actori ai produselor sa fie ww din mnljimi, iar mul}im,ea celorlal;i factori ai produselor sa fie ccalallli multime.
Notind ~u r valoarea conmnrt a produselor dintr-un ~ir de produse egale, diferitc de zm·o, ~i c11 rtb oricare din produsele din au8st ~ir de prod use egalc ob1 in em ab = r s<.m a = _!:__ deoarece b F 0. Deci :
' ' b ' Prin impil.l'Jirea unui numc'ir dat . dif'erit de -:.era . cu elementele
unei multimi finite de numere, clif'erite de ;:,ero, se ob{ine o nwltime astfel l.ncit intre edt~ doua multirni s£1 c:.i' £ste o proportionalitate 1:nCJersa.
Exemp1u. Fie mu lt.imea { 10, J !L 2U} in cure fiecare numar ex prima la.timea in metri a unu i dreptunghi a c-.[n·ui arie oste de 2 800 m2 •
Atunci in multjmen. {280, 200, 140} fie_el:lre numar exprjm.& lungimen. in metri a dreptunghiul ui uon::;iJerat. lntee cele douKt multirni exist a o propor~ional.itate inveJ'S~t, dooarece
10. 280 = 14. 200 = 20 . 1<~0
este l:J-U t;;ir de produse egale, Yaloarea comuna a acestor produse fiind 2 800, ceea ce in m2 exprima aria un ui dreptunghi.
S ~ Mittema.ticll - a!gebz.il., cl. s \'I-11
8. HEG CL.l DE TltEI SLUPL1
Vom consiclm'n probleme in care inten-in doua mu l ~im i de ciLc doua num ere intl'e c~:we existi'l o p 1·o por~ionalitate dil'ecLa sau o propoPtionalitat e inversa, iar unul din numel'ele unei muJ~imi e::;Le necunoscut.
Proceclcul carf se folose.~te jJentru cletenninarea numarulai neca· noscut dintr-o mul?ime de dou(t nunwre din doua multimi de cite douu numere intre care exi~ta o propo11ionalitate clirecta scm o proporJionaLitate irwersu se nwne:tte regula de trei simph'l.
Exomp1u I 1. 15 m de sLofa cos La 1 200 lei. en cosLJ: 27 m din acce.aRi sto fa?
' Formam, mai intii , multim ea {15, 27} in care numerele exprim a
meL1·i de stofa. Formam , apoi, mul~imea {1 2:30, x} ]n care numercle e~·qJJ'im a snmel~~ in lei pentru 15 m de sto fa, rcspectiv 27 m din <wocu~ i stof[t. In Lre aces te doua. multimi c.x i:stii o propor\.ionaliLate l. t ~ 1 t l 1 230
,r; ' l l 1 c 1rec a c eoareee rap oar e e --. - smt ecra c ya o·11·ca . or co-' 1.) '27 0 ' c
muna fiind co:;LuJ h1 l ei a unui met1·u din sLofa con:;ideraliL Deci
l 230 Rezultii :r - -- · 27 = 82 · 27 = 2 214. Deci 27 m din stofa con-, - 1.) I
siderata cosLf"t 2 2J4 Jei.
Se spune cu l'ezolvarea problemei de mai inainte prin s(jJ'let'ca • . 1 1:.1u j_' • '
propOl'Pt:H -- = - , s-u f~1 cut })1'111 metoda ]Jroportiei 1.) '27 ' .
l11 Joe de a scJ·ie pl'Oportiu iu~j cu tu, se fac.c llrmil-Loet i'Ci..l. sclwnJ u
15 . ............ .. ..... 1 2:JO 27...... ........ . ... . . X
eare se cite$te astfd: Dac5 15 rn s Lufa cos 'La 1 2:30 lei a Lunci 27. m din aceea::;i stof~t d t co::;ta?
Din schema consid c1'a La se poRte scrie ~i P ~'O pOI' \,ia ~~ = 1 :2:m , '2 I .c
c•.arc oste o p1·opol·tie dcri vuLil din prupo1·~ia Ja a(jul u;:;i rezuJLut.
1 :.no . :l .) ~; ~~ su aj ungc
Problenw enuntata ponte fj rezo lvata ~1 p1·m urmiiLorul raLionarnent. Dad'i 15 m stofii costa 1 2:30 lei, atunci 1 m din acee' ..... :,i 1 ·J··o ~, .,
sLofu cosUt 1-,'' lei. HezuJta ca~ 27 111 d1' 11 r
v fiCeea~l SLO il co:;Lil
3··1
27 lei . .r\ccst rn\ionamen1 , cHI'e e-st e 1/l('toda reducerii lu. uuilate,
tiC u~CJZ{.I. ~ li b l'u1'n1 a lll'llltil uan.: i sd w me I
1 ~ . .. . . ... . . ..... ... .. - 1 230 T -' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2J0
I :t '!J .1 . ... ..... . ... . ..... .
I.J I L~O ? 27 . . ..... . ........ . ... - . _7
l j
d PCl 'l: - i 2~:; () · 27 _ t 2 21 !1 . - J.j - . . •
l~ XNHJilul 2. Cn pl0v arc 10 monezi a :3 lei. Cite monezi c:1 G lei pn<rlt~ eapatu in schiml>ul sum ci p<' caJ'e o Hl'd
F ormi'im , mai lnti i. 11ntl \i nwa {:l. 51 l 11 t·tu·p lll l lW'ITl c f'.'q> l'im<1 Y<-~. l i'JI'i le Irluu.ezilor. F onuiim. apoi . m ul tim ca f I(J'. .r] In L'H I'P lll llll f' l'!' l e c·xprima n um.rlJ"u.l monPzil o1· d <; :; IL•i. r~spc('LiY al lliO IIPzi lur de:, lu i. int1·e ace~tc dourt mul\imi cxis1..5 u pl'opoq iollc.tl iL<:d e i1 1\·ersa . dcO<:I
rece procluselo ::J · I 0, G.,c slnL cga lo, \'a loarca lor tUllll lll Ct Jii 11Ll aceca:;; i &U ma do lei. Deci .
3. 1 0 =-- 5.t.
R 1 ~ :1 · 10 G l) . t..:. • r.: l . f ezu ta · :-c = -· - = ·. eu v monez1 a ;) e1 ao 3
tot ati'Lt' ci·L
10 munezi n 3 lei. Se spune ca rez::oh·<ll'eH proL lem ci de m ;:~ i 1naintc, ]Wil t scrierr·a
egalitiitii 3. 10 = 5:r, CHI'C pooLe l'i ('UH~ i dc t·ata ca P l'U\·inc din pl'U-•)
pot·~ia :.~- = ,. , s-a fi\cuL p1·in ml'luda pruporfit'i . . J I U
In Joe de a se1·ie })l'OpUI'(,ia c;unsidcraLa, se face ut·mitL1111 1'Cil sclwn1ii J . . ....... . ............ 10 5 ...................... ~
• care se cite~tc astfel: lJa<"fJ.,o snma de lui es Lu fot·ma t u di11 10 Jnon(' zi 0 :J lei, atunci J.in d Lu mu11ezi u :J lui uste l'on na Lii uuepu~i sum8?
lJin schema de mai lnainte se SCT'ic prop or ( in ~ = ,,; care con-:) I 0
ducc Ju cgaliLuLca. J · 10 =- 5x ~i Cill 'e cxp1·in 1L't eL't iJJ l rc n111lt.imilc {:J, 5} ~i {10, x} cx:ist5. o p1·opoq.iomdi La tc illVU I 'S~ .
IJI·oblemu cuuu taLa poute fi re:wlYaLil f:ii prin l ll'llltiLorul l'<t [i om:.unent . Daca o suma de lei cs Le f ormaLu din 10 mont~z i a J le i, HLunc~ aceea~i suma este forma La din 3 · 10 monezi a 1leu. R ez::uJta ca aceea~ i
~ f ~ d' ~~. IU . l . . ::mrna este Ol'lnHLa JU -- mon cz1 a 5 c1. A ccs L ra ~wnum cn L ca re 5 '
este metoda reducerii la unitate, so a~aza sub forma urrnatoaJ'ej scheme '
3 . ..................... 10 5 . .................... . x
3 ...................... 10 1 ...................... 3. 10
5 ......... . ....... .. .. . 3 . 'lO
5 . 3 . 10
dec1 :1; = -- = · 6. 5 . ~ .
, I ' •,
\ PROBL.E!IIE
1) 50 de creioane costa 1.00 lei. Cit costa 7 creioane de acela:;;i fel? 2) q kg de mere costa 32 lei. Cit costa 7 kg de mere de acela~i fel? 3) 5 kg de zahar costa 70 lei. Cit cosLa 8 kg de zahar? 4) 0 roatu face 100 da rotatii 1n doua minute. Cite ro·tatii face roata
:in t,. minute? ' '
5) Pentru a realiza 50 caiete s-au consumat r~ kg hirtie. Cita hirtie se va consuma pentru a realiza 70 caiete de aceJa~i fel?
6) Din 6 _kg cafea verde se obtin 5 kg cafea prajita. Din cite kilogl'arn~ de cafea verde se ob~in 60 kg cafea prajita?
7) Din 50 kg; gr1u se ohtin 40 kg fa:ina. Din· cite kilogramt) de gJ''iu se ob~in 30 kg de fain5..?
8d) Doua mobile 1n mi~care rectilinie uniforma parcurg aocea~i distan~a. Raportul vitezelor este 0,4. Sa se calculeze raportul intervalelor de t imp in care este parcursa aceasta distant;a.
9) 4 muncitori termina o Jucrare .1n 6 ore. ln c1te ore termina lucra· rea 8 muncitori?
10) 6 m uncitori termina o lucrare i.Jl 8 ore. !n cite ore terrnina lucra· rea 3 muncitori?
• 11) Un mobil se mif}ca unifonn rect.iliniu ~u v iteza de 40 km/h $i
parcurge o anumita distanta in 2 h . ln cit timp va parcurge ace5t mobil aceea~i distan~a, daca viteza sa va fi de 60 km{l1 ?
12) 4 robinete pot umple un rezervo1' in 6 ore. In cit timp pot umple acela~i rezervor 2 robinete? ( Sc presupune ca to ate robineteJe all acela~i debit .)
13) 3 robinete pot umpJe llll bazin 1n 4 ore. 1:n cit tin1p vor putea sa umple acela9i ·bazin 6 robh1ete? (H.obinetele au acela~i debit.)
1!) Trei tractoare pot ara o suprafata agricola 1n 200 ore. In cit timp vor putea ara aceea~i bUpl:afaVi 14 tractoare?
15)
J 6)
] 7)
18)
Pentrn a: Yopsi "1111 c~b s-a folosit 1 kg v~iJsea . . Cite kilogran:e de vopsea vot' fi necesare pentrn a vops1 un cub cu much1a de doua ori mai mare dec]t a primului? "Cn bazin de forme:\. un'ui cnb se umple cu apa, cu ajutorul unei -pompe, in 45 m imrLe .. -in cit timp se ' :a umple, cu ajtttorul_ aceleia?i pompe, 1.111 bazm de forma unm cub care a l'e mu ehm de dou{l ori nuti mare deciL a prirnu]ui? Din 12 kg de sernin( e de bumbac s-an obtinut 2,7 kg de ulei. Din cite l~iJograrne de semin1.c se pot obtine 8,1. kg de ule-i? 0 buc:1 ta de m ctn J uu volumul de 2 cm3 are masa de 5,2 g. Ce volu m arc o -bucet ta, dj n ncela7i metal, en masa de 2G g?
Yom considet'a, ac1tm, probleme in caee inte.t•--;-in ma.i multe mul· t imi dr cite doua nnmm;e, intre un ele din ele exist..ind o propor~ionaiitate directa, ia t' htlre ~=~ltrlc o propor\ionalit.aLe inYcrs[t·.
Exemplu. 0 echip?i de 12 muncitori agrico1i, Iucrind cite 8 om }JC zi , ara u~ o~or i~ 5 ~ile. in cit~ zile va ara ~~:ela9 i og~w o echipa de 15 muncrtor1 agr1cplt, lum·ind Cite 4 ore pe z1? .
Enuntul problemei ll scriem sub forma urmatoare1 schern c
1.2::::: .·.:::8 . .... . .... 5 15 .. ....... . 4 .. .... . . . . X
i\otind cu y numru·ul de r.i!e ln care eehipa de '15 muncitori a.gr'icoli ara acela~i ogor luerlnd cite 8 ore l'e zj, atunci avem Llt'lTI~ltoaroa schema.
~12 . . .. .- ... 8 ..... .. ... ;:, 1~ ........ 8 .... . . . .. . y
A cum 1n~re ~nultimi_Je { 12. 13} ~i { 3, y) e.xista o propor·tiona:Htate inYersa, deoarece ·1'2 · 5 9j l f:>y exprirna ogorul arat. daca urntatea de masura este parteD de ugur [u·uta de U? n~un6Lo1' agJ'iuo] ~nt~·-o zi . De.c i avei·11 o problema care so tezolva p1'm regula de tre1 sunpla.
Cu met od-a r;roportiei ubti1~em 12 = }J_ san 12 _· 5-= :13y. de 1.111-de
12 . :) Y = --- = .{j.
l :J
J j ;)
· $tiind ca o e.chipr1 de '15 mune:itori agricoli ar8 un ogor in 4 zi.le daca lucreaza c ite S ore pe zi. putem 'tfla in cite zile ~tceea$i echipa de n:mncitori agt'.icoii Hl'~l acda9i ogo1' dad. lu0reazil cite Lx ore pe zi, facind utma:toarea . scherna · ·
. 15 .......... 8 . ..... . ... 4 15 ... : ...... ·4. ~ ........ X
Tnf,1·e l1'1Ul\imile f!). t~} :::i .f(~. j~} ex iiiLa a pJ•opol'tionalitatE\ im·rr8~. • dr·oaJ'Cce 8 · 4 ~ i ~.r r');pJ·imJ t ~o1·ul arat, daca uniLnt~H de 111<-1;';1 ,.J ' l? ste p:u·tea d ~ (Jgor uJ·<Jt~l de inln'aga euhip~ uc j_:) mnnl' iLo 1· i agri1·qli jntr-o Ol'~t. Dee i ayem o problema eare se re:t.olYa IJI'i n J't'gu '" de L1·ci . l C d .. J. 8 r: d I X·'' .., s1mp a. u meLo ·a proport1e1 o )1 111em -·(.._ ..:_ , e unc e x = - - = S.
~ ~ . " Deoarece rezolnuea problernei de 11l <l i 'ina.inte s-a f~lCll'L P"in e1 pli-
cal·ea de mai n111Jte ori B J'egul ii de trci :-; in lpl5. :-;c spnne cJ n~ zo ln11'ea ])I'Oblemei de mai inainte s-a fauu L p1·iu c:tjJli uarea rcguJ.ii de L1·ei uumpus{t.
Aceea\)i problem[t se poate rezoln1 p1·in metodf'l reducerii la nnitate faclnd urmaLonl.l nrtio;1am enL: Dao[t ·12 munciLo1· i agrjcoli, lucl'inci cite 8 ore pe zi, ~u·{t un ogo1· in 5 zilo, aLunui ·1 munuitor agri.col, lu1Jri11d cite 8 ore pe zi, a1'ii acelu l?i ogor in 5 · 12 zile. HcznHa ca 1 munci Lo1· agTicol, lucrincl cite oor5. pn zi. ara accla $i og:n1' in 5 · '12 · 8 zile. Rc:wlL{l , 1n conLjlll.Jal'e, ci:'t ·1 muneitcw agJ·ico·l, lu l'T ind ciLe '' or·c pc zi. ut·u ut:l' -
.", · I 'J · x . . . _ . . . . la:;; i ogo1· in -,---- zllc. Oce1 o ceh1p u de 1 . ..1 nluneJLOI'I _agr Jt;olJ , lucrlnu
-1
' . . - . ' j. 12. ~ . . - ' ., . CJLe 4 OI'C pe zt ara acelas1 on·or 111 ztk adt Ga 111 t:> ztlt.: . .-\.ce;,L
) • ::> I, . I:, ) J·n~ionamcnt se a~az~t sub fol'lna lll'matoaJ'ei sc heme
12 .......... 8 ....... ... s 1.-, ... ....... t, . .......... r . . 12 ..... ' ... . 8 ....... .. . !:)
t .......... s .......... r:)· n 1 . . . . . .- . . . . 'I . · . . . . . . . . . 5 · '1 ~ · 8 ' l ~ . 12 . 8 1 .. . ....... ·I .. , •.••••. ,,
.. 1'l ' 1r ~ ,, ... · o
;). ' •• . • • • ' • .1:. 0 ••• • •• , • • - - -
L! . J ~J
:)·12 ·8 . -deci x = = 8. Dec1 b mun citori CJ 1"~'1' i co li lurrind ciLe ~ nJ't l
t,. I.J b ,
pe zi, <n·5 in 8 zi le un ogor pc cure-] ara in 5 z.ile o d.tip~t t.lc 1:2 muu· citori agricoli cure lucreazii d Lc 8 Ot'e pe z. i.
l'IWULE;)l~
1) li mun citori pot t.cJ•m in<"l o lucJ'nJ·e in :2 zile. luCJ'ind Ia ;1cca luct'<'t'n ciLB ~ OI'C pe zi. ln ci'Le zilc VOl' t crminu uuea luci'W'u 2 mutwiLo1·i cure vm· lucra 8 ore pe zj ?
2) P entru a stringe GOO J apa, 4 robinete trebuie sa curga 2 ore. Dar pentru a stringe 1 200 1 apa, 6 robinete cit timp trebuie sa curga? (Presupunem ca robinetele au acela~i d ebit.)
38
:3) Pentru ~l :~n1 n ~upretfn\u Hgri eo l ~ de 400 hu, /.. t.'raelo<·ll''' lwrt'i:lzii JU zile. D:1 1' pt 'JILI'tl n am 800 l1a, Ill 20 zile, ciLL' Lt·acLue:ll\' ~ inL ne('Ci! al'l.'?
~) Din '10 kp: bllmb c.tc s-n \ c>~ut o hucaLa de pin i'.rl lun ~~f\ d t· 'tO m l) i lHtEI de I 111. Ci1.i nwl1'i de pin zJ :-;c• pot ~c~e d in :w kg de bumbac dac.;5 pinz<l ll'! 'blli<' sf1 aib ft 0.;) m li'1 \ ime?
:>) Pcnt r 11 1:1 J 'l'<:di i'.<~ L'tO IIH't l'i plnz;t. 20 tesiHoarr cn1 lu craL !L zilc. fn l'Ilf' zilt· 5 ( t• :-; ;"d t l<t l ' t' YOI' J'ea liw 120 n:1 eL1· i ptuzit?
()) PPntru <I ll 'etJl s lwr· l;t ~.:J L Ill<:ll'fu. pc cl i ~Lan~a cle 20 kn1 s-au pl{tLit 8U lei. Da1' JW ilLI'II :1 l 1 · <~u spo1·La !::) t m arfa pe di::;Lan!,a de 40 km ti t sr· n 1 p l i:'tl.i ·:1 •
'i) 10 c~:1m i oan e pol· 11' : 1 n ~ p nrta o f'antitntq de 1 500 'Lone de mtll'fii in L1 zile i'{tf'ind <"il.u. 8 t n1 nsporLul'i pc zi. 1n c'lLP zilc ccle JO cu nli 08-1 11 e Y OI' trun ;:.;po1·Ln I ;) 000 L de nHtdr1 J'ftclnd Ill fi euarc zi dtc 10 trawsporLul'i ·~
8) U e('l1ip ti l'onn ;tl [l d i11 10 ll1 tltlciltll'i poulf' Lc-rJ_nin:l n · lw.''" '.'c.. 1n 20 ziJc. Dupft t·e er- l1ip~t lucJ't•a.zrt 10 zile. G n _llHH' lLOJ' J siul (J'Illl l_::; , ~ ~ ~ alW parte :-;ft lll cl'czr. Jn l'iL Lll11ll Yor tcnmna lu ~ru.reu JliUHelLOJll care au 1·anw:s?
10. LUI'. ll'_flllE.l. l::\l'l ,:\r." .\ 11 f.\ Pr\Wp llLI\EC'l'l'JIOt'OHTlOSA U.tJ ('U JUi J\l L LTJ.:: .\li.UJ:nr;
Fiinfl fl ;.d e Lrf'l Jl liHtcrr• poziLi, I' 11, /, , c, rlifet·il t.: tl uu<i r\ Lt-> dnui1, ~ i Ull nuruar .v pozi l iY. tiC ('en· tlU i)(! g;h~\'CJ S C~l Ll'ei 11 UJTlC I'O puziLi ve ,(', y , z Hst l'el in cH N =- .~· -' // + ::, i ~:u · in Lre mn l ~i1n iJ c { .r. y , :.J ~ i {a , b. c} ::;£, ~ ~x i :-; Lu o p1'tlJWI'\iunulilaL!" di1·et"Lit. / ',..VQ lll det· i ~ind de l'ii!JOili'LC t'' r··rdU I"'
r
((
If
/J c;
Dar atunci 8Yem ~i ~iru] de ro]Jnar l c rgale .I y _: ,1 1- !/ ..L t. - = - = - = I ·a b c u +fJ ~- c
,\' z . /\' d" ;!' \ ' .11 t•eea cc ne a - = -- - -i - ~ ---- -=----
a ll + b -1 c b a + u + c c;
n.V h.\1 rlt• 11nde x =-- - - , y __;,
II ~ . h I· (' II ·1- II -f ('. in acr• iJ L mod sc face 1n1pa1 · ~irca unui
pMt iunale cu mui nlUlLe nun1 erC'.
r·.V z:....::-- - · {/ I· b I I'
l l um[u· in pt\q,i dirr·1·L pro-
:Bxemplu. 0 canL] tate de 3 300 kg zah 8.r t rebuie sa fie· rcpal' tizatii la trei canLine in par~i direct proport]onale Cll numarul abonatilor fiecarei cantjne. Cite kilograme de zah a.r va primi fiecnl'e cantina, daca prima cantina are 350 abona ~i , a doua 250, iar a treia 500?
39
Sa notam cu x, y, z cantitatile de zah iir ce vor reveni fiedu'ei can: . ,, "O. u· . .c Y ~ J; + 'I _._ .::
t111e. A,-enl x + y + z =-= 0 u ~l .1-o = 9~u = -uu· = ,,_0 2 ~ 0 -
00-
o.J.) - 0 ;) 0;) ' .) - • .)
:~ :300 .. . . ,.,_ .• -= = 0 . Dee1 x = o;:,O · 0 = 1 OoO, y = 250 · 3 :::..::: /50 , .:; =.: ·J IOU
= 500. 3 = t 500. l\Iai p utem proceda r;;i astfel ser]em:
Obtinem in. continuare:
X = ~~.50 · k y = 2f>O · k z = 500. k
X ~ ~ 1 -=-· - = - - = ,;;. 3GU 2~0 500
X + y + Z = 350 · k -1- 2;)0 · k + 500 · k = 1100 k 1100k = 3 300
k=3. Deci x = 350 · 3 = 1 050
y = 250 . 3 = 750 z = 500 . 3 = 1 500.
Daca prirnele doua cantin e au acela9i numar de abona~i, de exen~· plu 300, jar a treia 500, atunc1 cantitatea de 3 300 kg zahar o repa~'tJz~m direct propor~ion_al cu_ 600, care este numarul tot~l~ a~ abonat1l9r din p1;imele d.ou[t cantme, ~I 500. Notind cu x, x , z cant1ta~1le de zah.ar
. ? x -ce vor reveni fj ecarei cantine, avem 2;c + z = 3 300 si ~ = -~-. =
· ' GOO 500
_ 2.c + z = ;3 300 = 3. Deui x = 600 · 3 ::...= 900, z = 500 · 3 =
GOO . .L GUO :1. :1 00 :2 = 1. 500.
La fel se pune problema oricite ar fi nume1'ele in rapvrt cu care un numar. se imparte in parti direct propor~ionale.
11. L'\il'AR'flltE.\. l:Xlil ~lDLiR t\' ll.lli/'f.l T\'YEitS PlWPORflO:.\'.\.LE Cu ~LH }fULTE :\'UMERE
Fiind date trei 1iumere· JWz.itive a, b, c, diferite cloua cite cloua, ~i un num a1' N pozitiv, se cere sa se gaseasca trei_ n~Jmere pozith-~ x, y , =. astfel inclt 1V = x _+ y _+ .:;, .i ;:1r intre rnultmul~ { x, y , .:;} $1 {a, b, c} sa existe o propor~wnahtate mversa. Avem deCl ~1ru~ de produse egale
xa = yb = zc sau $irui de rapoarte egale
X y :! - =-== -· 1 1 1
a b •
Problema se reduee, deti, la in1partirea numrtrulni N 1n parti di.reet propor~ionale eu inversd e numerelor a, b, c.
Exrmpln. 0 ptwg5 rr con~ine 142 hom~oane trrhni r sa fi_~ 'imp~r-1 ita la t.rri. ropii, 1n par1i i.nYrrs pt:orortlOn ~.le c~.1 Y~rsta h.ecarma. Primul r opil Hre :J ani, al dollf:'a ;) am ~J al trr.1lea I am .
SEt no tam ru a:, y 9i ;: part ile ce r evin fiecarui copil. Avf:'.m
D.:w.i ·1
::r = -- . 210 =-= '70, ,, .)
7J = -~- . 2'10 -= 42, :)
z :--:;' ~- . 2 .I 0 = ~10' I
La fel se pune prohlema ori rit.e ar fi nurner r le 1n rapoct en care un numa.r se imparte in p8rti inYers proportionale eu acest r. numere.
1) Suma ::t t.rei nnmere este 180. Ele sint dir0ct propor1ionale ru nu merele 2; 3; !*· Sa se afle nnmet'elf.'.
2) Snma a pRtrn numr.re est.e 22. ~tiind di ele sint direr. t.proport.io5
nale c-u numBrPle 0:~; O,f.1; 0:6; 0,7, si:'t 110 aflP. nurnerrlf:' . ~) Smmt a t r'r.i mJmPrr. r..stP. 1. $t iind r:\ ele stnt direc t propor1ion~l e
2 1 ~ eu 0,1; - · - · , s:1 se afl e numr.rele. ;) ' :~
4) Pntru mlrnPrP nDtnrE~le sint direr,t proportionn1e rn nurnerele .1; 5; 7: 8. Stiind ci:t eel m1.1i mare dintre ele este 120, sa s0 afle nnmerele.
0) \ lecl ia aritmrti r a ::~ trr i nnmrrp est.e egala en 16. Sa se a fle ntlmE'·· r r le r;:~tiind eft r le s tnt. dirert. proportionale ru num0.rt>le 4 ; ~ ; ·'i.
6) S11mR a pntru nn nwrP. estr egala rn 300. Elf:' s1nt. dirert. proport.ioM · n:;tle. ru numr.I·Plr. 2 ; :::: /1-; 6. s.~ se afl8 numerele.
'i) Tl'ei·numerf:' nat.nrnlf:' slnt direct proportionate r.u mm"lerf:'lr 2: /1-;·/ . Sa se afle nnmerrle st.iind e['l diferenta ttint.re eel mai mare si eel . . . ' . . , mni mie est.e eg::tla en 60. ·
S) Sum a .a t.rr i numerr. f'St(' no. St.iind r.a rl r. s1nt i.nY r. rs propMtio· nalC? r 11 num rrp]r. 2: >1: ~. ~ft ~r.· nflr. illlm f:' t'P lP.
9) Sumn a p3t rn m 1mr.r·f:' r~s t P. ~~. $tiind r a elr: s1nt. irlYP.rs propor}io-. ' ·J 1
nale en numerele -;_; ·i - ; 0/t; 0,21 sa J?e af~e numerele. 3
Lucrnre prntru n rificarea insu ~irii nnor . r. tmo~tinte ll r. hazt\
a) !1 h\ de mere costa 40 lei. Cit coRtii 10 k g de mere de aceea~i cal it ;l LP .
b) 8 Jll lll1.(" i[()l' j pnt PX('r'llt a () l ll(' f'fll'(' In 6 h . Tn c it t imp pot cxr cula a c·rNI~ I lt ir l'IHC' ! , ITHin r ilor i :l ' .
c) T 1·r i 11 1:mr r·e sln1 rlir·r r·L prOj101' (i on;:tle cu numerele ·. 2 ,... !. s l 0
; a ; 1. • uma Ol' est<! ~l . Sa ;-;e al'le n umel'ele. ·
1 ~ ~ ,\ l ' L I ( '.\ '!' 11 P I U ( ''I' I (' E : SC.UU L\T ! P I,_\\. DETKB \J L\'.\ B E:\ I)J :->'1'.\.\ 'I'EI Hl \"I'HE
l)()ljc\ lJC.\CTE (\E OGll.APIC.E CU A.J lT tm. l'l; HA il 'l~H .. ,
Sf' A l~ A t . ' ll l J'J,J\ X
1 F i ~· llr<1 2 I'P]ll'c•zin l;:\ plannlt tnri C'H n1PI'P dr lnr: 11 iL plnn r·nn' H I 'P ~1 . , 11 .a
100 · , \, ·rus ln lnsr' e:llnna r ft am conYeniL ca j <.; m din desen 1;;1 r.o t't• :-:;
pun cl rt Lt JOO em din reali lat c.
.
:
~
I L.m
E: (')
:\11 rrn n_rYoir sil l11 i\m nrap?i r11t ePn t imcLrn l rH 1111 t_l nt r• rl : mf, c:;; u r ii . Sr Jlnn ll' J11 ,1 · pr>n l r11 l1111 grmr nr·rt·<' 1111 i I <:tP rl " m{ts 11 l'ft. J n r:.: PJ:lpl~d II Osl r·ll , irr jlOl'li·tJtt (•st(' t'i-l ] ,.,
100 11 111t:rt ~ J . de l11 ng·imr cl (• 1w tt' l'rn c-o rr~
ptmclc' o. tll11 11tL_c:" II<• lll rtp:imt' pe pl;.m . Sr f-l lPg'' <:H·ert 1111 11 <\1 .(' ciP t n ;·\~ 1 11 '<-t <'il t't' fH ' J'o l o sP~t P !11 pract icrt. Ltlltgillw<t tll tC'i .c-nmel'e ::;e' ~Tl 3 -soFtril , de ohicr i. In nw lri . 1n ' exen1plu1 nos-
Fig. 11.2 t r11 ,_ Ia :1 r rn din dr~<>n rot'P;-;pmHir J m 111
zul L~t en rcnltt a LP_. l'i:ic1ncl mit~ llt' iiiot· i pe d c:=; fm l'e
accasla camera are Jungm1ea de !1 m ~ i lap moa de J m.
DE'I'EH.m.\' \ltE \ IJ 1:';'1'..\.\'rE l DIXI'R 1:: I) 0 (1.\ I ' UXC'I'l~ (l E OG RAJ:'I('F. ('U .AH"1'0R (' L .., ll.\W!'ll '
AvPm o l1a d ~t r tt srn t·n _ c·no 1
• Aerrt ~t n tnsN1 mna 6L o 1rnitatr . ) , ( (}(]
cl~ lungime ... Pr har til ro respt tndr In 5 000 000 1mitfl ~:i de nc.e.Ja~i f0 J d~n te r·~ n. Srt prCSttpt~nrn: C'?\ ~n t.T f' dO tl 5 J1 11 11 r:lr din t eren f'St P. 0 d1st. Ft n (n de '100 krn. C..e cl H>tnn(a va cot'eRpl rnclt'· pe hart5. ?
p t l Ll •I I) S(']' I ( . :
,'1 I l(ll l Ill Ill
n r zll llit 1' ; 1 b l(l() km din [f• ]'l' ll I.' IJI ' I ' ~ ])llitrl 2 (' TO sau 20 mm Pf:' barHi.
s~ rezolvam tnmatoar ea pr~_~l0ma :
Dis tan·~a intre dou·a pnncte de p e o h at·ta r. tl sr.ar a 2 00~ OilO est e de
8 mm. Care este distant-a clin tre punctele corespunzat oare din teren ? Rezolvare:
P utem scri r : ~ de 1.md e y = 'l G Q(l() 000 (mm). 2 noo nno !I
1\PzlilLFi rf.\ 1::1 cl istnn t.n cl e. R mm lnt.re cl oua P' ' nct r de· pr l1nrt.ft corespundr n rl.istan yii de '16 km int re cele douf1 puncte corpspunziitoare din Loren.
1) n cl i~t [\ nFi de flO m P.c r rprf'z in ti'l pe un plan prin t1·-un segmrnt de R r.m . Sa se al'lr sr ara ncrst u i plan.
2) Distant a int.re c\0115. ora ~r estc reprezent flt.il. pr 0 J, rn ti'\. cu scara 1 :GOO 000 prin tr-u n scgmrnt de 8 em. S~1 se afl r. d ist anta dintre Ol'R~O (In km).
:1) Pe un pbn in1ormi l ln srnrn 1.:4000 nn lot dr pilmlni rBi r t'Cprezen- . La t printr-un pft L1·at cu .:1ria de JG cm2
• Stt se afl e ru·ia lotului de p~1.mint.
f' RO il LE:.\LE S (TT' LDf'E.~T.\RE
1) P f'nt n r f:1br irnrrn 1111 11i nnm ar de pie~r s - 811 consnmnt .46 kg de metal. ·Pent.t'll a P. C fa.hri ra 1m num ar de clou i='t OJ'i mai mare de pie::;e de acelR~ i Lip ajnng 86 kg de met.al? D::u 02?
~) Prn Lru vopHii'Nl. unPi bn ei:-tti de tahJ;, dr l'ormn rl!'Ppl.llnghinlara ttl lungim0a dr 2 elm, P.-au consu mat :)0 g ctP vopse<l. UL~1 voptiea se va consuma pen Lt'LL Yo psirea unei alte buca ~i c u acet·a~i la~ime cu prima ~i cu lungimea de 4 dm ?
3) Din dm1a ora~r A r:; i B pqrnesc unnl spre eeHil:'llt cloua automob ile. Yiteza celui ce pleaca din A e8te de 2 ori mai mare decit v iteza ccluilnlt. 5tiind ca distanta clintre orn~e cste de '180 km, sft RC afle Ja Cf' d i ~tnn t a de A se 1nt Hnesc Dutom obilcle .
4) Baza 1mui il'iu nghi c::;t e de 6 m ~i baza altn i tr·il1ngh i cste cle 4 m. ~ t i in d ca ariile cel o~ dm1i\ t1·i nnghim·i ::; 'int rg8le. st't se afle rapnr tnl d intrr 1n5J~ im ea pri mului t r it.inghi ~i inal-yimea celu i de-al dnilra t riungl1i.
o'1) DiRtan\:1 cl in l1' r> do11 A lornlit.frti A ~i B cst.c de 120 km. Din fie<' ;1r P l o (' ;\I it 8 t r p 1 I', 11 · i:'t i 1 1 n l' (' la~~ i I i mp 111) 1 d (' ;, l 1 ·r a I L u l d o 11 tl ::.m tomobil1•. CPI Ull '<' p ll'n (' (t d in ; I p<1n·11r·g(' In l1r i or·r o. disL::tnl-ft. pe t· iHf' u ·lid;oll n p;u·c·t lJ·g,• in d u11i1 urr . L 1 L' t' d isL.tn~i:'t de A se inti lnesl' Ull l llmtd.Jilt·l ,, ~
6) 6 muneit.ori pot s8 tr.rmin0 o h~rrarP in 12 :li)~?.. -Dupa 4 zile de lucru echipa de muncitori se mare~te cu 2. In cit ti.mp se va executa toat.a lu era rea?
'i) 8 tractoare ar~ ~ dinlr-nn lot 1n '14 zile. D11pa accra ~e ali"\tm·i
color 8 trnctoare nltr 6 trac lon. r'e r:; i f'S l P arat t.ot lot u l. Cn cit est E' mai mic intcrYalul de t.imp in eare a fost lermina ti\ lucrarea in aceste condi\ii fata de sitna1,ia in care ~ -ar fi Jncrat numai r.u 8 tractoare? Dar daca in loc de G i. rMtoare s-ur fi al[tturat numai 4 traetoare?
8'1) L n munr.itor face intr-1m :mnmit. interval de tjrnp 20 pirse, iHr nn altul far:-e 1n acela~i interval de t.imp 10 pirse. In cit timp poate sf't far.a al doilea muncitor t.oi. a:tit r.a pieso cite fare primul munci· tnr in L'!Q ore ?.
9) 4 munr.itori execut5. un num~u· pa1· d e pipsc in 10 zile. ln cite zile
exeC'lrlrt 2 muncitori ~ din numarnl de piese?
10)· 4 mnncit.ori ex0eut.a nn m1m ar pa r de piese 1n 12 zile. a) in <:Jte zile f:'Xf:'<:nt a 2 munr.itori nn num i\r de piesP d~ douft ori mni mie? b) in cite zi le executa 8 mnnritm'i nn n11mar de pleRe de 2 Ol'i mai mare ? c) ln cite zile executa 2 muncitori un numar de piE'~e de doua ori mai mare ?
\
Capitolul Ill
PROCENTE
S-a con venit sa se foloscase~l pentru -1
- notatia 1 o,.;}. Citim ,, 1 100
]a snta" sau , un pro cent"*. Analog, s-a con venit ca: ')
3°10 inseamna - ·J_ si se citeR,te .. ,3 la suta~" sa11 ° I< 100 ' . ,. . ,,.,
70 / A w 7 ; 0 mseamna
100
p~/0 inseamna ...L (p c:: Q.1- ~i p ~ 0). 1UO
Ana1og: ·
10 1.0~{, inseamna
'100 A vern
10 = ..!. = 0 1 •
100 10 ' '
25 A y 25 1 0 2,.. 25°1
0 inseamna --· 1. em --= -- ,.,. / ( 100 ' 100 4 --. ~· .... ,
40% inseamna - - . 10u 40 A 4.0 2
YE'ID - - =- = 0 4· lOO 5 . ' '·
0 )/ f.'O 50 1 5 ~o inseamna - - . A vern - - = - = 0 5· 1u(J 100 2 ' ,
,.._O f A
' :) : 0 m.seamna 'iS
1000 / A - 100 . 'o 1nseamna - ·- .
I 'itJ(j
,. ') .-: 20/ A ~ I, _ ': ; 0 mseamna - -.
100
73 .3 ~ .... An~m - - =- = 0 10 ·
101) 4 ' '·
A 100 tl vern - - = .J' . 100 'l.
A 7•2 0 0"'2 vern - -. = , 1 .• 100
t c' pror.r.n e .
~ l_? figura 1, a e~te I'E'preze~tat. un dreptungbi format din 200 de pntr::ttf:'le (en latun de aceea~1 lnngim0). Urm tlrit-i en aten~io fignra L a. S-au ha~urat 150 de patratele. Raportul dintre num8.rul pat~ate-
* procent (in limha latina centw; :inseamna suta iar procentz1m ~nsP.amna pent.ru fiuta)
I ] 1 t . - J t t - t - 1 1 15n D L=iO e or 1a~urn e ~l numaru u 11ror pa rate e or este - · . ar - - = 200 2(1(1
=I!_, Dcci cl ara din 200 de J18.11·5trle au fos t ll aRm atP 150 at.rt11ri I flO ' · .
din firrn.J'P grnp de 100 de patt·atele an fo:-;l. h:u;.t rrate 75, dnpit cum ~r YNir pP. fignr·a Lb. Spunrm . .
~./- '/V~ ~/ '/f,...;l%1%~ /10t/:t/. '17 ~ ~ / ~/10- /': > ~ '/.f~~~ / '/
/ ' /. '} / /, '~ '/. '/.~/ t:0 %~1-j. 10-t/ ~ '/f7. 1/; ~/r/. ~ v v:: ·:/': A...:: r~ /' I·'/ 1:/: · ~ 'l v: v t;./, v:-/ v: ~ "y i-"': y I~~ ~ f~ ~' -'.· v r/. /~ v ~ v v: {/; t% ~ 'l r~ v r;,-; t% v/ v v. I:" I/ v t/.: l% ~ l'i. 'l / 1/~ ~ </ v/ v: 1% '/ j%: ;...:: /. V/. ~ 1% ~~ r...::r/. !'i Y/ v 1% v t% ~ ~-; V/ I/: ~ '/~k/ v/ v.;: ~ v: l'l
-t- (·.it Hlll l HI ~Ili'[IJ -'· '- <;~cl i l'~l /;) 11 '
I ()I ) 0
cli11 cc•lr 200 dr p~ttrtq el r. J u::;il -- ')
a _!_:'.... = ~ · Pr•iy iti fin·u J"l 1 a J ()() ;, • 0 < •' •
A spuJw rtt ::tm ha~1 11 'Ht /5° ;, clin ntJm i'md p<'i.tl'il.\elelot· eslt~ HC't' l<t~i lU C I'll Cll a Sp11J1P C'i\ Qn1
] :~ d. ln~ t mt l 7 m numarul pa-
l
trfl tP](')OJ'. Cind ::>punrm .. sff'rla de
1:1g. 111. 1 znhitr ro ntin c '1 5° ~ zahar·'. 1u -~ \Plegem Ca in 100 kg de Rff'C la
se g~!'>esc 15 kg zahar. In 200 kg sfrcJn R<' g-nscsc deci 30 kg znhi\J'. J n fi_guriJe 2, a ,b, sint datr eil.<'va J'~pr<'zen tihi privind procrntel0. In f1 gura ·2, a este I'Pprez<'ntati\ pl'Jn t i'- O d iaoTama citcn]n,·a l'e
p:wt i za J·~a tt>renulu i agri:ol 1nLt·-o eoopernLiva H~·i cola de proclur\ ie. 12.5% elm Lct·en este cuJtiVaL cu orz, 12,5% cu JcO' LJme, 25% C tl porumb ~ i 50% r 11 grin. o
Stt comi.drr5m 9fi g npa in cFtrf' nm dizohTnt 4 g sare. Am ohtinut 1 00 g sol u \ JC de s<He in a pii. "\ Y.r m
rA ni i I n I P<l cl P !>flf·P 4 - =- · =- --. C:rU11ilalPH clt> wlu[iP JOIJ u IIHJ
Spnn <' m: C.nnrrntratia acestei solu~ii de sure in apa este de L~ ;~ . Ce inseEllnn5. acest lucru ?
~. 110 (00
~Orz 90
80
~Porumb . 70
60 50
rill] Legume 40 30
~criu 20 10 ,\
a h Fig. ll L.2
4G
!nseamna ca la 100 g solut.ie avem 4 g sare. Mai putem spnne ca LtW adieu __i__ din 100 g de solut ie, este sare (_i_ din 100 g se afla
Ol '100 . • iUO
astfel: ~.100 g = 4 g)· 101)
Cit5. snre vom ave a in 1 2:JO g de solnti r? Vom calcula 4 ° '0 c1 in 1 250 g:, adica _t._. din 1 250 g.
I '-' i UU 4
Avcm -- · 1 250 g = 50 g. '100
1% din tr-o cantitate inseamna _1.__ din a~ert canti Late. 1n general 'lOU
p % dintr-o cantitate inseamna _E_ djn acea can l itate. . . JOO
Un raport de forma - 1-1
(p E Q +- si p ~ 0) St' numr.~te raport iUU '
proNmtual.
A v t - () / . . - p m vnzu ca p 0 msramnn --· ' • IUO
Sa transform5.m pe ~ in tr-un raport proct'ntual. 200
A . !=) 4,5 D . 0 i - 4 h O f vern .--=--. ec1 -- nseamna ,;:.> · 0 • 200 100 200 '
Sa transformam pe .2 int r-un raport procentnal. 8
A :i p 1 d 3 . 'lOO ') ~ 5 vem: 8 = 100' c e un e p = -8- = c-, ;, ..• _..:!/'
D .. 1 . - ') - r:; 0 / rr t - mscrtmna .,, ,,) , w g
P1·ocenLele 9i calculele ou p"ocentr au o foat·te mrtre insemnttLate prac tica ·ceea ce se va vedea ~ i din cele ce urmeaza:
l. Af.'L.\ltE.\ A P% TH~Tlt· C\ ~DLHt Jl .\ 'r
1'\f'-am orupaL deja putin de areast{t ch est iune mai inainte. Vom mai lna un exemplu. rroblrma. Ln m nnci tor prochwe intr~ o lnna 000 piPse de aceln~i
frL Jn prima saptrun1n ft J'enl izeozft 26~ u din nttmarul de piose. ClLe p i esc a realizaL in p rim a sftp l {tminit ?
' f1 26 () ' l' ()00 . ct . v 26 d. H ezol(J{l f'C. r. Trebule ~[l a am ·,·o ( ll1 ;:J })lPSP. a tea-- 111
000 piese. 1R
A yem: --· 900 piese ==-:- 2011 piese. 100
· •JOU
o"': :
11. Problema se mai poate rf.'zolya r;;i in moclul urmator: Productia rea1izata intr·o luna est.e de 900 piese.
'1 l ' ) t 0
]
0 t ¥ A l ~ d 1 00 ° 0 0
---. ( m proctu r.. ,Ia rea 1za ·H mtr·o una este e . · or1 ma1 m1ca 1~J .
d A 900 • l' ~ t 1 ~ !=JO() 0 emt - pwse, ac wa es ·e ega a cu -- pwse. 100
26 1· l · 1· 4 - A t I - d .... 6 · - - on proc u rtm rea 1za~,a m r-o una este e LJ or1 ma1 mare '100 '
d ecit -·-1- djn product:ia realizata intt·-o luna si est.e deri errala cu 100 • j ~
6 90U . l' - 26 · 900 · d' ¥ 201, · 2 · -- p1ese, ac 1r.a . ptese, a 1r.a .:>± p1ese. 10C 1()0
Putem scrie mai pe s0urt. astfe1: 100 .
- ·-. . · 900 p1E'Sf:' = 000 plP.RP.; 11.10
1 noo . 900 -- • ;;1 plE'Re = -- p1ese; 100 100 ..
' 26 900 . 213 . 00() . '"100 · .. pwse = 10
(1 plel:'e.
HI. Problem a se mai poat.e rezolva folosincl regula de trei simpla . Din 100 piese s-au realizat in prima sapttlmina 26 piese. Din 900 piese, cite piese se vor realiza in prima sapHimina? Scriern ac0st In ern mai pe smut ast.fel :
100 piese . . ...... . . . .. .. . 26 piese ·. 900 piese . . . . . . . . . . . . . . . . x piese
C 1 1- 2G • 900 0 3, . a eu am: x = · = ..... l± (p1ese). 100
· In general, daca ave.m un numar a ~i vrem sa calculam p~~ din el, procedam ast.fel: .
p jJ • (/ :;; =- · a sau ::r = ·- -- ·
1UO . lOU
PROBLE:\1E
1) Sa 8e ealr..nl0ze 20% din su ma de 120 lri. 2) Din 30 de r.levi ai unr.i ela~e, GO% s1nt h l-tie~i. Cite fet e sint in clasa?
CRF.:~TElH ~l SC.\.PERl ('{J AT!T lA .. l.'T.\
· Problemn. lntr;o coop~rativa agricola de product.ie irebuie sa fie arat.(l, conform planuluj: 1nt.r-nn annmit int.erval de tirnJ!. '1200 ha. Daca planul a fost depfu,;it eu 10%, cite hectare au fdst a .'ate? · ·
'
Rezozc,are. Au fost arate :
1 200 ha -L~ · 1 200 ha = '1 200 ha -~ 120 ha ·= 1. 320 ha. • , . I 100
] Pl.ltenl Scrie _'l(\O + J.0_ = 11_(_) . Calcultun no din 1300 ha. Altfe : 100 1vo 1oo 100
A vern:
~- 1. 200 ha = 1320 ha. 100
Am re.zolvat rnai sus o problema 1n cat'O a interveni.t ,:0 rre~tr.re r.u a t'it 1 a su t.5. '' .
Analog, se rezoh-ti o problema, 1n earr. inter vine ,. o sr.5.dNe. cu attt la sut5.: ..
Sa refinem: In lor de a spune ,planula f0-;t depa~it cu 1 0~~·· se m.ai spune ,planul a fo<>t 1ndeplinit cu 110%'·.
()
1. A Yem cle exemp1n: -··- · 500 = 45 · 100
1n !lf:'neral, dara _;:_ < 1, atunci if~(- . dintr-un numar dat el!-te ·- 100 . .I)
nn numar mai mic decit numarul dat.
2. De asemenea~ avem : 100
. 500 = 500. 100
in o-onPr"'' l clana _.!!__ = 1 atun0i _!!_ ·di.ntr-un numfu' dat este ~~ . '" ) , 100 ' 100
un numar egal cu numarul clat.
3. De as0menea, a vern : 110 ~oo - ,..5o -- ·::> -:J . 100
¥ 120 . ( 100 20 ) 1 0() , 1 20 _ 1.20j~ din x inseamna 100 x = 100 + 100 x = 100 x -r i OO x --
~n = :;-; -1- ---· X .
1(11)
In ·!!ent?ral, daea _!!_ > 1 atunci 1P00
dintr-un num?.r da-t este ·-· 100 .
un numar mai mare dec1t numarul dat,.
49
2. AELAREA U~"UI NU:\I!R CtXD CUNOA$TEl\1 P% DIN EL
Problcmi"i. 20°~ din produc1 ia reali zn I a in tr-o ora de o sec (.iP a unei f0bt:ici este dr 400 piese de acela~i fcl. CiLe piese a produs· aceast.a sccilo tnlr-o ora? ' Jte-:olc1are. NoLam cu x nu maru l de p jcse realizaLc, in scc pe, 1n timp clc o ora.
S(jriem: 2() -- · x = 400, de i.Jnclc 1(){)
tj ()() • 1()()
20 =- 2 000 (piese ).
Problema sc mrti poa te r~zo l va ~ i 1n rnod1il 11rmator : D ~ 20 d' d . . . nca -- m pro nc1,1a SPC IIet ef-iLe de 400 }I iese Rtlm r i '100 ) ' din lilt)
procluc(ia scc (ici este de 20 de
picse = 20 piesr.
. . . - 1· ~ I ,,nn OI'l m a1 rn1cu, ac 1ca esLe c e --20
D ~ 'l d. I . . . 1 ;,no 1 nn nca - - In proc ucf 1a sec l1c1 r F: l c c r -- piesc allmci din
JOil , , :2U . I no
produc lin sectiei este de 100 de ori mai mare, adica este 100 . ~no 20
pi c~e = 2 000 piesc.
AcesL lucru se poate scrie mai po scurt as'Lfel:
1~~ • • • . . . . . . • • • • • 400 piose
'1 tj()() .
1 00 • • • • • • .... • • • • :W p ICSC
100 rtiOO . 100
. . • • • . • . • . . . • • 100 · 20
pwsc = 1()(). 4()() .
20 p1ese = 2 000 p1ese.
Mai puLem ~erie ~i asLfcl: 20
100
100
......... . t100: pieso
1 Oil • • . • • • . • • • X
:r - - · 1]00 : - = t,()(J · - =-- 2000 (
1 no ) :2n 1 nn lOO l!lO :2U (pi o~e ).
ln gr•nr1·al , dncrt cnnoFl ~ [· cm cit ;1° ~ ) clinlt'· lln numilt' nccnnosc>Jit
est r r.gn l l'l l !J , aclictt dn 6 1 sLim ('rt - !..!._ · .t = /J lHlLem nfla > ltll) )
1n0. b X=-··
jJ
1) 200 lE'i rrp r·rzinta 2:1° ~ clint~·-o sum5. de bani. Si\ sr a fl,~ arr.astCt S IIJ!1 ~\.
2) i nt r-o IHh~u·[l pione t·e; , ~wrt. dl lj'il r· t• ph~R~'R 40° ;, din !1lllllill'ltl t· npiilor, mai dtmin J 20 de cnpii . Ci\i l'npii erau la inc·epnt iu lahftrft ?
3. AFJ..\.U E.\. lL\.I' Oil'lTTXI PJWCE\'l'L\.L
Jlrohl PIIIU
Douf\ g !'ll]lf' r1c el 0,·i sr.1n.t r:t·ln ·1:1111H!' in ratl l'n! ntc•lil' l'll llli ~ c· nl ar', f':>.:<>rutlncl obi t' r·lt> riP <H·I'I Dl;\ 1 !Pl. D1n J ;40 dr ohlt'dv ~>XI'C'IIlHI!' riP pl'imn gru pft. I r-;s:l ~ int ~I I' t· ;diUtf,, s1qwrioara_. Din :2-'12~) riP_ nh~~r i P ''xrcutat r d1· ;1 do11n {..!' ' '"P ~''· :2 :;2B 1-'in l cle talit a lP SII]WI'IOili'H. (:il Ia :s utn din nurni.'trul obiecLelor eealizate de fiecm·e grnpf'1 sint dl' cahtnte ~upcrioaea?
R e::.ol f'are.
Crupa I Cnzpa 1 I
1 C\!)1 nh iPt·lr I 2 :t28 ohiP1·Ir Scri0m rnport tll: --- -- Scriem rapmtu : -- --
1 7/ti) nbil'< ' l" :2 11L) t1hir<'tt>
CiLim: , din 1 740 obiPct.e excc·H- Citim: , din 2 425 oh ic•cLe rxe!' ll -tale, 1 653 s1nt de caliLnLe ~;upe- tatE' , 2:128 s1nL de caJitate su-. -,, l' ioara''. prl·Ioe~ ,·a .
Pentl'll ca sil put.rm fM· r rnai 11 $01' eompa!'c:q in , vom 11·nnsforma fieC[trc din rapoal'Lele de mai su:; lnt r -un raport procentual.
Grupa I
de 1mdc x = 05. j 1 1);)1 X - - =--, 1 /4() llll l
~r = 9G.
D in JOO.ob ir ctc f'XC'C U1 rrl0 dr primn. gr1rpa, 95 s1nt clf'.~rn l i,tn~f' suprl'ioara (q51
\,) . Di n 100 ob~rclr rxecutaL~ ~~ ~j _?- cloqa f!,HlfHl, ~)(, ~mt dt}
cali tate slll1el'ionl' ~t ( 9G~u) - ln ucea:;La 1mvu1\a gl'upa. a doua a lur.wt mni bine.
Problemn. sP mai poate rezolvn. ~i 1n Ielul urmiiLor:
Crupa I
D in 1/1,0 obirr-tr, 1 W>:J slnt df' t'ali tat,~ s11 p~:' rioar· i\ . Din 100 obiecte dtE· siuL de cal it ate fluperioara?
Grupa 1 I
Din 21125 oh ief' I C', 2:128 sinL d P cet l it:-. t.0 sn per.imu·[L. Din ·100 obieetr>, c:itr s1ut de calitate superi oaru?
Grzlpa 1
PP srnrt, scriem astfr.l: 1 7/tO obiecte .... 1 6:J.3 obiecte d o calitate supe.rioarf't 100 obiecte .... x obieet e de cal itate supedoaru.
100 ·1653 X= = 95
1740
Concluzie:
95~/0 din numarul obiedelor s!nt de caJitato superioara .
Problema se mai poatr rezolva
Grupa I
Ne punem intreharea: Cit la sutrt din numaru1 obier.telor s1nt de calitate superioara? Scriem:
Grz~pa II
Pe 'seurt, scriem astfel : 2 42£> obiecte .... 2 328 ohieet.e de calitate superioara 100 obiecte . . . . x obieete de ca-litate superioara. ·
100. 2 328 X= = 8G.
2 425
Conr..lnzi.e :
96% din num5.ru l ohir.etelor sint de calitate snperioa.ra.
~i in fdul urrn5.tor:
Crnpa II
Ne punem intreharea : Cit la suta din nurnarnl obiect e· Jor _sint de c.alitate supr.rioar5.? Sr..r1em:
J' 1""!.0 1fi"l T 100 . J 1. = J5.J 1~0 . 2 425 = 2 328
de unde x = 95. de unde .x = 86. Adica: 95% din nurnarnl obi- Ad ica: 96~~ din nmnarul obi· e~telor sint de ealitate 1'mperioa- ect~l or s_int de r.alitat e snpr.ri-ra. oara.
~ 1n gener~l , daca vrem sa aflam cit la su ti\. dintr·un nnmar est.e nu· m urul b, scr1em: .
2- . - b ..1 d 100 . b ,, 1_ a - , 1,1e nn. c x =-= •
~lu a
in rezoh·area fi.eeareia din urrn5toarrle prohleme:
u) Aflarea a p ~{. dintr-un numar dnt.. ·
b) AfJmea unui numar dnd cunoa~tem p ~~> din cl. c) Aflarea r aportulni proeentual,
pntem face a pel la formula b = _E_ , a. iUU
1 ntr-adevar:
u) Dacft cunoa~tem pe a ~i·p, putem ~5 -l aflam pe b:
b =.J!_ ·a 100 •
52
b) Daca c.unoa~tem pe p ~i b, putem sa-l aflam pe a : b . '100
4 =--p
c) ·Daca cunoas'Lern pe a ~i b, il putern afla pe p: b ·100 p =---.
a
PUOBLE:UE
1) Cit la. suta din 12 kg reprezintft 6 kg ? 2) Dh1 f100 d e serninte au inr..oltit 320. C1t la 8ut.a din numaru] se
mintelor au .lneoltit?
PB.OCE~TB DIX PR OCE~TE
ProlJlt>ma. Cineva ehPlt uie~te, int.r-o zi, 40~~ dintr-o snma de bani. I A dona z1 eheltuie~te 10~/0 din rit a rh~?ltuit in prima zi. Cit la suta din sumft a r. hr.ltuit a dona zi?
Re:.ol(Jare
1\otam c.u x suma de bani. In pr1rna zi a cheltuit
. · . 1 o t,o 10 . 40 11 A dona z1 a cheltmt --·-- · x = · ::t =- · x. .. . i(l.O ·10() 100 · '100 1(ll)
Deci a dona zi a cheJt.uit 1:~:~10 din su ma de bani.
ALTE TI APOARTP. FOJ,OSI'rf~ f~ PR.I\.C'l'ICl
4()
100 :r.
D. - . .r;Of ( ·• . r; '1 . ) t i . ';' 5 D . ar.a r:.r..rwm ,) 00 c1 t1t .) a mit:' , Rt:>P.as a w~e-amna 1 000
.. 0 asP.·
nwnea, / 0/ 00 1ns0amnu - .' -· Prin.· / 0/ 00 dintr-o rant.itate de mar fa se •11.100
1nt ~;>lr.e-e _}_ din area cant.itate. De ext'mplu : 7°/oo din 2 000 kg marfa , "' 1000 ~
5.nseam.na _}_ din 2 000 kg marfa, ad ica ·l!.t kg marfa. 'l OCJU _ '·
Cind spunem ea o solu tio ore 60fo0 sare 1nseamna ca in de solutie sint 6 kg sare.
Ca.lr.:ulele se fac Ja fel ca la . proeent.e.
TI'rJj(IJJ t1Xl' 1 ALJA,J
1 000 kg
Sa pre5upunem ci'i !~tr-nn a1iaj intra un metal pret-io<:. (aur. argint sau plat ina). Prin titlul ahajului 1n·~elegern raport.ul dintre masa meta· lului pretios continut de aliaj ~i :masa aliaju1ui.
S3
T 1 \fMH lllPIAillllli jll'PI,inR iL 11l [l]iaju lni = Scriem p e scurt T 111
\la!;n nliajului - Ji •
De aici clrducem m = T · ill, inr 1ll = .!!!.. • 1'
Sa Jnilm llrmfttoru l <'X<'D1Jllu. l.' n nlinj con l.ine 812 g aut· ~ i 1 '188 g cupru (nrflmu.). J\fa~a mr.taJuJui pre\ ios e~Le m = 8t2 g. l\ l :1~a alinjul1.1i eslc 1l/ =8'12 9:+ t 188 o· = 2000 a
<J o o· T · 1 1 ]' • } • n Ill K 12 o 4 ()() 0' JL 11 a HIJll m este 1 =- = - = - = 0 40G
Jll 2 000 g I onn " ' ' AccasLa inseamna ca in 1 000 g aJiaj s1nt 40d' g aur. PI·oblcmc rczolvatc
1) T iLh1.l unu i ahaj de aur cu nram5. e~te 0,825. Stjind eft aliajul are ma~a de 400 g, sii se nflc masa rneta]ului p~elios. Re::.olCJare. Stirn c5 m = T · llf. Deci m = 0,825 · 400 g = 330 g.
2) Un aJiaj de. aur ~i cupr11 cintare~tr 20 g ~i are titlul 0,700. CH. :mr Cl lr:tt trcbu1.? sa ~dfmgiim pcnLrn a ob(ine 1111 aliaj cu titlul O,SOO? R e::.olc:are. ]rPbu1e s5. aduugitm x grRme de .allr curat. Ob\ inom ccuat.m: 0,100 · 20 + .x = O,RCJO(x + 20). Obtmem x = 10. Doci trehuie adEmgate 10 grarne aur curaL.'
Problem:\
Se considera rloua nlinje de flll l ' ~ i (nJprn . Umll Arc t iLlul 0 800 si altul are titl~1_l 0,400. Ce ~a:ntita~i. din l'icearc alic.1j Ll'ebuie ame~l.ecaL·o '}Jent.ru a oh~me 1 kg ahaJ cu t1tlul 0,600?
Doh:i'nda.
C.E.C. plr,~,~~~Lo pe~1LI'I.I :111ll~liLr li bi'C' Le df' ('I'Oilnmii 2.:) lt'i rr :111
penLru0
100 le1 clop11~1. ?e mat SpLute ca C.E.C. pJtiLE'l?Le clobilJLla de 2.5 Yo pentru depuner1 efectuate pen tm ac~>:-; 1 tip de l ib rete.
In acest caz daca un e1ev clepune lR C. E. C. snma de 200 lei el vn primi la rotragerea sumei, dupa un an, 20;) lei . Dobinda este i~ acest c:1z do 5 lei. •
PmblenuZ rc:.olwtla
C.E.C. d5. dob1ncl[t de 2.5%. Un olrv clrr1mr snma de 250 Jei. Cc doblnrHi trebnie Rf-t primC'nsca (J irvul dup~t un an?
Rc:.olrare. Calcutun 2,5% Jin 1f>0 le i. Av1·LJJ: '2 5 · 250 = G 25 (Jci). 1VU ~
I'll OllJ.I·:~t fo:
1) D inl.J'·IIn p:t'l rp dr clt•yi, ~:o~;u :-,i11L fpLe. CiL ln. snta din nnmiir11l eJov1Joc smL LCtie{ i?
2) j ntr-o 11 zina hJ(:o t·eazfi .. ·1 200. m n.nrit ori: /0% ~in .~"1~ 81nt ') tiner~ sub 25 ani. Citi munc1tor1 tmen cu v1rsta ma1 m tea de ~5 am lucreaza in uzinft?
3) PC'ntrn rt•nliz8t'P<t 11nri p i1'Rf' Rl~ rnnRnmR~I "'0 l{g df' m:taJ. ~~112; sind mrtodP imtinlaLt· in ltltJnr·i'' :-;-11 l'Pnh zn l. o ~~·ont> 1 ~11r. rlr· - ,, n
din (·<~nlii.<il ·r'n de' nwla l n' t•i·rt nPcl';.;<,ril t'P<-llrzJu·n 11n r~ 1 p1rsr . C1l1• ],i]ooTHmr d1• mrtal Sl' ('I'OtlPillisesc ;1 sLfella 100 de plC'sf' de acrst
" Jp]?
4) Sit ;.;0 cnlr nl t>zP IW\ ;, din :•G ~i :lG 0;, din '18. Si'\ ~r romp~trP l'f'Zlll
ta !Plc. ~,-, ~;e <;<di·Itll·ze p ';,, din u - ~ i a ';u d in p. Sa se <'Olll)Ht i'e rezt tlt<JtPIP.
5) Jn trei zilr s-m 1 lH1PC III'S 2't0 )\m. ln .Jll'ii:IR zi ~ ~ ::t P.nrrrrrs 50~~! din dr11m, in a cloua zi :20 ° ,, d1n rest, wr. In a. tr('IH zJ restu l. CltJ kilomrtl'i fll l l'ost p ~i'C'll l '~i In zi11r1 a tr~'''i a?
G) l·n l11IIIH'i.lol' · ll'' ' hui <l si"t r:,('f, dupit phn, ir1tr·-o l11nii rlr zil~. 2'10 . ')1)0 ("t piesP dP at·(' l<'!:ii ft> l. Planul a fu:-.L deptt~lL cu - l , u· .I e p1ese a
f ~ (' ll t m II ll I' j t 01'111? .
'i) Jn C'lasii sint :21 l'rlt' . c·rrn rr l'<'pt•ezintu /0~~ din t.oti eJevii clasei. Citi eleYi sin t in c· las~t ?
8) ~oo ;, din 1n·ndtH·iin rlc' gri11 ~~ nn!;i enopr•r>;~ti,·c il~~·icolt• elf' pmd.nr~ l ie esLC' dP '12 rago<llll'. CH1·e L'SI.(' [JI'Odu cpa de ~nu a coopc•raLl\·PJ ~l e pt·oclue( iP?
9) Vnloarea tmei m;1 ~ i11i cl tipft (' inci nn i de frmnio n a.r~ . Pf't.f' ~rgr~ l i\..r.tl 60tflo d in Y<LIOH I't"<l [lE' ('HI'I' () H \ ' t'H f'ind era llOll~l. :)tlll1ci C_'FI ITH1~1J:H. 11zata costa 12 000 lei, f-li:t :;e ralc nleze cit a co~taL mH~lna noun.
]0) 2 ~ 0 ' clintr-o c~mtitate de eerealc este de ;) t. SEt se afle cantitatea . )L I()
de cercnle in kg.
11) 2°~ din produe\ia Fu·i i nna~trr cle l~enzinn JH'. anul 1~0~_7 Fl l'nst de 133 840 tone. Care a fost ]JJ'Oducpa de benuna a ~aru noastl'e pe anul t987?
]2) Pentru R se obtine din grin fain.ii. se pierde 20~:o. c~i .n cantit ntea de geiu. Din c it griu putf'm obt111e 200 kg de famn ?
] 3)
] '')
1 i))
La 0 prima sor·tare a legll mrlor. pier·rleril.e Rll f~st de no;) . LR n doua sortare pierdrt·ile Htt fost de 2(; 0 chn cantrtatca clr lPgnnw rezultatft din prima sort :we. D11pa R doua f~01-tare au t:5.ma~ 02.12 ~ legume. Cit e t one rl P l('g ll tnr 8ll fo:-.t 1namte de . pr1mn F;ortfU'f:'?
DinLr-o cnntitatc dP humhr~c· f-IL' oh1in 24 r;~ fibrr. CiL hlll1'd)<W tJ'ebnie s5. ~f' con~;nnlr pPnL1 ·n a se ob\inr. 120 kg film'?
t rn elrv a f5r JJ!, In ah· lienrl ~cnlat· lnte-o zi t, pi r·~p el l' aC'rln~i fc•l, cera c,e l'f'PI'C'ZinL{t. l001 n din llllll '{,l'l il dE' pip;.;p OP l'<ll'l' ll'l.bll lU Sil
le faca. CiLe pic:--e tl'l'bLl ia :;a fa~a?
a.6) Sa se ealculeze eantitat.ea de cafea neprajit a din eare se obt.in 700 g de cafea prajita, ~tiind ca aceasta. cant.it ate de r?afea prajita
. reprczinta 70% din ennt itatea ctr eafea ncprftj it a. 17) CiHt mat erie p rima r~te nrce~nri\ p"nt ru ::t obt.1ne /1 t procl nse dar?a
4.~~ din materia prima se pierctP. h [Weluerare? 18) In ce cant itat e de apa t rebuir dizolvat e 400 g sare pentru a se
obt ine o solutie eu o con centra tie de t.l~,~ ?
19) Din 1 500 muncitori a i unei uzine, 450 s!nt fem P.i. Cit l3 su1 5 reprezinta numarul femeilor din num arn l mnneit orilor ?
20) Din 32 elevi a i unei elase, 8 elevi partir.jp[t la cercu l de> matem atica. Clt la suta din numarul elevilor part.icipa la r? err.nl de m atematica?
21) Din 35 tone de minerru fHUl ob\ i.nut 7 tone r.upru. CH Ia snt.a din minereu 'reprezintc\ rnprul ? ·
22) Cantitat ea de carhune e.xtr<~s 1n 1965 1n t ara n oastra a fost de 12 095 mii tone, iar in anul 1987 de 55 699 mii t one. Cit ln sut.a din cantitatea de carhnne extras in 198/ reprezinta r? rtnt it.at en de carbune extras 1n 1965?
23) 1ntr-o solu~ie de sare in ap_a rare c_h~t.rtre~t e 400 g sint 20 g saro. Sa se ealculeze conce:htratla solntael.
24) Un strungar a reali.zat 1nt:-o zi 60 p i r.~e. norma fiind d r. 50 piesP.. Cu cite procente a depa~1t norma:> .
25) Un tractorist a aYut. dr. arat . conform pl:mului, ''18 ha si a o rn:~ 21,6 ha. Cu eite prot3Cnte a dr.p a~it planu l ;) '
2G) 0 cooperativa agricola de prothH·1i0 are IJ-00 hn pftmint. n.rahil. P e 300 ha a cultiva L gdu , pr. GO ha porum b ;:: i pr. restu.l f:ll'7. .. Cit la suta din 1ntreaga suprnfaFt arabi.la reprezinta:
. a) suprafa~a cultivat a cu gr-lu? b) suprafata cult iYaU\ r u porumb? , c) suprafa1a enltin1tfl r.u on~.?
27) Bet on:u1 se pr~pDr~ ,ctin: o pm t.r l? i':l r.nt. 2 p8rt i .niRip ~ i (:l. pilrti prunch~. E xpr1mnt.1 111 prorPnt r. p(trp lr componPnt r :.-•lr b~l·Qnnl ni .
28) Un t eren are aria de 400 ha l;li nlt.u l are aria de 200 rn2. Cit Ja suta din aria primulni t~:' ren reprrz intr.t aria CC'lni d r. -::11 doiloa?
29) Cu cit la sutrt se va mnr·i !nngirnPa unPi· s1nnr, dar. 5: luf:tm: · a) Dublul lungim ii ei ? b ) l nt l'eitul lun~imi i ei ?
30) 0 sec·t.ie a unei 1ntrf:'pr1nd r l'i t r'P.hu in ~,; prod111;8 . con form pl l?l nll· lpi , 1nt.r-un in terval de t.imp, 2 400 piesr.. Srrt i ::~ ~~ r·t•n l izn t l i'n ::west. interval de timp, 2 880 piese de neela~i fel. Cu r.:it la · ::;ut.5. si-a. depa1;iit planul sectia? · · '
31) !ntr -o uzina se e.xecut i:i 12 000 I)iese de acela9i fel in trei etape. In prima etapa se ex.ectrtrL 20 ° ~ dht nu marul de piese, in a doua et apa 60% d in numarul de piese realizate in pi,ima etapa, iar in a treia etal)a restu 1. a) Cit la suta din p!'oduqie a fost realizata in et apa a doua? b) Cit la suta din peo du ctie a fost realizata in etapa a treia? c) Cite piese au l'u::.t exeuutate in etapa a treja?
32) a) Cu dt la suta. se mar·e~te ar iH unui J)atrat daca marirn latura pat ratulu.i ou '10° ~ d in aceasta? h ) Cu cit la · sut~t se m·c).re$te a1·ia unu.i dreptunghi, daca marim lungimea cu 30~,~ dir1 ea :,i la t,itnea sa cu 20% din ea?
33) Mai mul ti eJevi f:i l -atl l uD ~ angajarnentul sa sadeasc5. L.~:OO de puie·~i. Ei au depa~it angajarnentul uu 25°~ . Ci-J;,i puie1i au sii.cbL?
3-±) Se ~tie eft t10~~ dint e-tm numar· a e~te egal cu 20~·~ din alL numar b. Sa se afle ravortul dinLro a ~i b.
35) Datorit a folosirii unoL' 1ngril~arninte, recolta de griu a crescut cu 30~~ . Cite tone cl e gdn s-f).u stl'1ns dupa 800 ha. dar a p1na la folosirea ingra::;anJ in Lelt)l' se · re0oJtau 1 GOO kg griu la hectar?
3G) Se ~ti e ca 21 ~ ~ din tl' - O e&JJ titatc de lapte este sm in tina, iar 23°/0 dintr-o cant ita·Le de smintina este unt . Sa se afle din cite kilo· grame de lapte se pot obtine 96.6 kg unt.
~fi) La o ma~ina noua un nwneitor face o pjesiJ. in 30 minute 1n Joe de 4.;) minute, uit dura t'ec:tl izaJ'ea unei piese cu ajutorul unei ma~i ni ma:i yechi. Cu oit Ja sut8 e.:>to ma i n are nun. i1rul de piese pe care le face rrn~ncitorullnLL'-un anumit interval de timp, la ma~ii1a n oua, faia de numa1·u I. de piesc pe care le facea muncitorul 1n acela~i interval de tim jJ 18. ma~ina vee he? ~
38) c .E .C. plate~te 4oh lndrt de 2,G~~ peDtru anumite lihrete. Sa se afle oe su.ma a depus 1a C:E.C. o pe~·soana ~tiind ca dupa un an a primit o dobiuda de SO lei .
39) l'n stru ngat' trebuie sa fad1 clupa plan, 1ntr'-o luna, 500 piese. E l a fa out S / ;) pje:;e . Cu olt la su t a a indeplinit planul? Cu cit la suta a dopa~it planul?
40) ·Intr<un depozit era u an.um ita cantitate de marfa .. 1n prima sapUimin~t s-a Yindut M1°·(, din oantitatea de marfa. t n a doua saptan1irul 50° 0 d1n rest. Cit lu suU1. diil t oata marfa din depozit s-a v7nclut in 2 doua s~qJtamiua?
'11) uD autornobil trebui <:~ sa pai'curga u anumita d istantu in 9 h . El a parcurs ·o 1n 7 h JO min. Cu cite procente s-a. mj c9or'at durata? Cu cite pr ocente s-a m 4rit v iteza automobilulu1?
42) Intr-un depoz~t erau _1. 2.00 t one marfa. in prima sap'tamina s-au v!ndut 40~0 dm ca1~t1ta~ea de, n~arfa, in a doua saptamina 50o/0 dm res4 ~1 in a tre1a saptillnina restul.
4-1)
R.) I.H la !"11H't din tont3 n1arf<1 s-a Yindut in a douR ::~apUtruiurt? h ) I)" r in a t rc i a :-; t'i pI lt n d 11 t"t ·.) , . _ _ • _ !') CitP kilo~nmw dt' lll<trl'il ~- HIJ Yindnt 111 f1 rearr R<~ pt.~~llllna? intr-o hiuliotcdt sinl BU!lO t·iu·t.i. Ui 11 t' lf' 80° 11 ~i n l in l11nbt.1 1'0· m;'11 1 ~~. ::u" din r·i1r l.i iP in lim!1i :-; l l'itinr sint in l imh<~ C'ltglczt': Cil l;-1 Sill t\
11
din cele ~ 000 caq i :-- iut in 1imba PuglL'Zi-\: Cite 6u·t J :--i n L in Ji mba e11glezi\? fn Liibclul aliiluJ·aL est.r> i.lustr<I Li'i pl'uduq.ia de o~cl a Fu·ii nuHstre
l11 unii 1938, 19GJ, J 887, ltl rnii Lnn('.
Al tUl HJ:J8 J9G5 19~/
Prod uc: l ia 28LL ;1 !, :w '] 3 885
a) Care a fosL p1·odue\,ia d0 o\cl , in Lune, ::1 1,r,_,·ii IJORstn! 1n :w ttl
l ns7 ·: . . . ··- . _ h) D eci l e ol'i este nwi 111 8l'e pt'odu('\ la n_nuhJ!_l_l.Jo, la~a de cea H '1\Hllui 1908? Dar fa\J de cea n onnlw lf!bo? . . ;:) CJL la :mUi. din produe~ia anu lu i J987 esie prodtH:t ia t'llllllm 1 ~):)8? d) Cu ccu. a
dt 1<1 ::;uL5. csLe ma1 man..: lH'uduc~iu anului 1.987 h1tu de nnului 19()5 i'
Lucrnrn p~ntru ,·crllicarca fusu~irii unor C Jmo~tiul«~ de h;;z~
H) 1ntt··o fabrica in_CUl'e lu ?t'Ct~:la _J 2(~0tLJllJl(;lL~ori,l DU_% ~h:L c,nmnCllOl·i Linel'i. CitJ m1mcrLm·1 Ll[lf.!l' l lu o1·eazu Ill 1nbl'lea .
h) 75'' din f'lcv ii ~nf'i ~co li , ndicii GOO elevi, parti cipa Ja o llJ<Jlli· II . I . I ' I i'f'sLtl l 't' t;porLiYfi . C.it I P I'Yl arr. ~COli fl !
c) CiL Ja ~ulii diu 120 m rl!p l'ezi 11 La J '1 m?
.•
Capi!olul H'
?\U3IERE INTREGI
l. XDlliitE TVI'HE CH. i'HU/T'D!EA DE XC1IEllE i~TREGI Z. ItEl'HEZJ~.X'l'AJtlU PE 0 DRE.Ul'l'..:\.
Jn manualul de matematic5. pcntru clas::t n V-:1, numcrelc 'intrc~l <111 .l'o::;t inLroduse 'in l'c lu l uL·m~tLor . S-a considernt o dreapLil (d): l'ig t tl'il 1. pe care a l'o~L fi x:1L un pnncL 0, lllt miL orif!,inea coonlonaLclor. p,, ;u_: t~ea::; i dn•apLft a Jll<-1i fo~ L fi _· HL tlll puncL 1, diferit de puncLul 0. Pt" rlreapta (d) sensu! de la punctul 0 la puncLul 1 a Jost numit sensul po:.ili(J al clrepLei (d), iar sensu] op,us a fast numiL sensul negati" al
-J -.2 -1
M N t--l 0 1
0 2 J -4
l•'lg. I \!. t
(d).
dt·eptei (d) . lncepincl de la Tlllnctu1 0, cu un segment dat Jv!N, numit wtitale de me/sun{, <Un llJ [tHU t'iJL, a LiL in scmw l poziLi v <-d drcpLei (d), ,<'iL ~i 1n ::>L'nsuJ 11 cgn Li v ;d acdeia~ i drepl.c, ::>L'gl1lenLH u.lo tfu·ot· hmgi111 i sinL egulc c11 lttngi 111ea :-;egniCl l LuiHi AliV, rll' de llou5 ori luugimca ~cgmentului Jl/ N :;; .a.rn.cl. ln di'PpLul at•iginii 0 am ptt::> numn.rul JliJ Luml 0. Am pus :lin che pt.ul cx Lt·c•Hl!Vrtji , dil'<'riL0 de U, n :·wgiueHLului m~t:-~urnL iucepintJ de Ia pun eL1d 0. in ::;eusnl poziLiv nJ dr·cpLei (d), a cawi lunginH~ c::>Le de Lrei ur· i lungiuwu. seguwnLului J!N . 1\m pus -2 in drepLul exLrcmiL~J\ii , dil'Pt·iLe ue 0, a scgmcnLuJui mu::;uraL lnc:cpind de la ·]JuncLu l 0, in scmn tl u cgaLiv al drepLei (cl), a c5.l'ui lungimc csLc cl c douCL ori Jrrnginwa ~cgmenLu lu i JllN.
Fircal'l;ll llllllJ[u· naLurnl rt, di i'L•1·iL <k 0, i - al1l Hsoei<tL, deGi, JW dr·p;Jp· L•t (d), 1111 llUllli"u· nuLnL e tt - u, wi11 Jl llli CI 'C<t s imholuh1i - (lll iut ttl) i11 fit(.a nuJn[lrului nuLtll'a l rt. N unt[u·u] - a a J'o:-;L put; in Jrrp Lul c.- Lrel l1iL~t ~ii, difcJ·iLc de puli CLul 0 , a segm cnLul ui mCtour·aL, 1nccpind <.I.e la punctul 0, in sensul negaLiv al drept ei (d), cure segm<m L SCI tisl'u.ce urma Loarele. Este de aceea~i lungime cu segmentul mas uraL, incepind t oL de la puncLul 0, dar 1n sensul pozitiv al drepLei (d), asLfel incit
69
... ,
' ' in c11·eptul extremita~ii saJe, diferite de punctul 0, sa fi fost pus nu-marnl natural a.
Numerele notate en -a, uncle a. t:•ste un nurniir na tura.l dil'er·it de zero, au fost nnmilt~ nrmwre i.ntrP.gi negatioe. Nu mm·e]c naturale, difP-rjte de zero, au fost numite nr.nnere intrPgi po:,itioe. 1'urr.1and natural 0 n fost numit. _r:;i el numar 1nteeg, fru·[t a fi 1nfi5 n]c i. -pozitiv ~ i nici negativ. Mult.imea numer·eJor intregi cste deci urmiiLoarca multimc
{ ... , -:3, ·--2, -1, 0, 'l, 2, _3, 4, ... }, care a fost notat5. cu Z. Am pus in evidenta ~i faptul ca orice num ~r nnLural este nn numar intreg adjca N k Z, undo N csLr~ mu l\.imea 1mmerelor natm·ale N = {0, 1, 2, 3, !L, ... } . Uneori numer·c le jnLregi pozitive se scriu cu semnul +in fa~a, ca, de exentplu, + 2 in Joe de 2.
Cu ajutorul numerelor inLregi vom gasi solu~ii 1n mull imeH numerclor intregi a le nnor ecuatii, cum este ecuatia x + 7 = 2. care nu an solutii in mul~imea numerelor naturale. Aceasta va Ii posibil dupa definirea opera·~ii lor cu n11mere intregi.
1) Re.prezentat.i pe o dreapU'i pnnet.ele corespunzatoare nnm ereJor : -5; 5 ; -3; 3. (Se va lun ca unita.Lc de masm·a ecntimetruJ).
_ .. ,<? L.
1a 1b
Fig. J\'.2
fn general:
tc
2) (V1'z.i fig. IV. 2). Termome-5o t.rul djo figura 2, rtf-' iodic ~l tem
peratura de -3°C. Ce temper<:ttura indica ·Lermomelrul din l' igura 2, b? Dar eel djn fi~nra 2, c?
RELATl:\ ·nE EGU.lT.-\'l''E t~TllE ~D'lERELE t'i1' REGl
\"om scr1e
.-3 = -3 , pentr't.l a- exprjrna ca numarul in treg --~l este egt1l cu uuni~trt)l inlrt"g - 3.
Doua rmmere Zntreg z: a $i b sint egale dacu !>int nwnere naturale egale :san daca sint notate cu -m, ~·i -n, unde rn - ~i n· slut n·umere naturale egale, diferite de zero.
Egalitatea fntre nmnerele intregi a ~·i b s~ scrie / a =b ..
60
~i se cite~te , a este cg~l ;.u b". N~n~~~·ul intl'eg a se nurne9te primul mentbru sau membrul mtn al egalitatu, iar numarul natural b se nume~te membrul a.l doilea al egalita~ii.
Vorn sCI-ie
-4#7 pentru a expl'ima ca numarul intreg -4 nu este egal cu numarul intreg I sau, altfel spus, ca numarul intreg -4 este di{erit de numarul int reg 7.
Daea doua numere intregi a ~i b nu sint egale, se scrie a.efb
~i sc cite~tc lla nu este egal cu b" sau ,a este diferit de b". EO'alitatea intre numere intregi este o relatie intre nu·mere intrecri 0 . . • 0 ~~ are urmatoarele propr1etat1: 1) Oricare ar fi munarul intreg a, aflem,
a= a. Aceast a este proprietutea de reflexiCJitate a egalitt"iJii intre nume
rele intregi, prjn care se expr_ima faptul ca in ambii membri ai unei Ewali ta" i poate fi rr m-a acelasi numar intretZ. 0 v ~ I U
2) Oricare a.r fi nwnerele intregi a. $i b, dacu a = b atunci b = a. Ace<rsta este prop1·ietatea de simetrie a egalitatii ~ntre numere
intregi. · :~l) Oricare a.r fi numerele Zntregi a, b :;i c, dacu a. = b ~i b = c atunci a,= c. .-\ ceasta e:;te proprietatea _de tranzitiCJitate a egaliti1Jii intre numere
1ntregi. · Deoarece rela~ia di1 egalitate intre numere 1ntregi are proprieta~ile
de refle:ti(.·ita.te, sim,etrie ~i tran::itiCJitate, se spune ca relatia de egalitate. intrc numere intregi cste o rela]ie de echiCJalenta.
2. YALOAftEA ABSOLCT1 A UNUI NU~IAIL t'iTREG (JIODUL)
Orice uumar intreg ueg<;ttiv este notat prin -a, unde a. este un nuii1ar natural diferit de zero. Acest nurni:ir a, diferit de zero, il vom
. numi (Jaloarea absoluta sau modulul numarului intreg negativ -a. T'aloa.rea. absolutlt <'.1 ori0arui numar natural a, care poate fi un nu
JYI ar· intr·eg pozitiv sau 0 ( zet'O ), este numarul na-tu rul a. T"aloa.rea absolutu sau modulul unui numar intreg a il vorn nota
rrm 'rt l. Exemple:
/ 1-21 = 2, 131 = 3, 101 =0.
I
roloarea absohzh1. sau 1nodulul un 111 1111111ar jntreg negat iv a n yum uota ::;i ]H'in - a.
Exemplu. Fie a = - :1 . Atnnci - ( - ?i) --- :), deoHt'e L· c 1-:51 = :). Definil ia ('tdori i absolute ~au a modulu lai unui LIUJll ~Lr Jnt1·eg P''~ate
Ii data, dcci, snb fot'nta
I I _ { o, cladi a eslP un m1mar intrrg poziLiY .- ~1 1 1 zero; a - - a, Jnca a c~ Lc un nnmi:i r· in LJ·cn· nenaLiv_
~ u 0
Valoarca absoluLa I u I a ullui nu1u~u· iuL1·eg u arc urm[ttuaJ·ele pro prit:li'i( i:
:1) I a 1 ~ 0. RX('lllple. I 3 I = 3, clcci I 3 I~ 0 ; I - 2 I = 2, deci I - 21;;;,. o· 2 ) ---a I = I a I . Ext' III pk. 1 - 5 I = 1-5 1. dPoarN·e I -:} I -= 3, 1 5 I = S; I - ( --8) ' =- 1-8 :. deon1·ece I - (- B) : -= 8 ~ i en t' IH I - ( -H) I =~ 8; : - 8 I -=- ~.
EXETLCl'f.ll
1) 58 SP efectuezc : R) I - 4 I + I - 2 I; b) I j I + I - 41 + I o I+ 1 - 2'15 1.
a
- ;)
--- -- 0 - -
I
-- - t} I 100
---:200
48
- --a I -: )
-----
-
:?) Sa :;:.c completeze t abclul alaturat. Pl'imul rind es'Le con1 pleta L ca model.
:1) In celt'• ce uernea~it 1nlocu.i~j sentrllll ;> cu unul clin scmn ele > ; = ; ·<, u:sLfel ind L ~ a. ::;e oLtin ii propu :r, i (i i ad e ,- ~ll '<ltP: '
<I ) 1 n 1 ! o : b) 1 - n 1.? o ; c) 1 o 1 ? o ; d ) 0 ? t - 5 I: p) ~ ' ? I - 8 ; f ) I 5 I ? 5;
) - ' I I '. I ) - :> ' . \ I . ) I g 1 - / I . - ._, I ; l I I I ! I LJ ; ] I -~1 , ? I --7 I
4) S5 ~c nflc YUl O<tl'OH de au r~var u fit"('tll'C' ia din Ul'lll [ tl u ai'P)e jJl'OjtO Z i~jj :
-------- --- !l q
H ) I : j I =-::. I - ::; I : b) I - 2 I > I -- :l I ; c) l-71<1 - 71; d) ILJ: i> i - J I.
:.1. AU C.\ .H tE.\ .\ L i H :u E.I.O It L\'l'U E<i£
Fiind . duf e don5. m1mcr·e 1nlJ'~gi , ~l e <'xemplu 2 $i -3, vom h1-te1ege ]JJ'lll swna num8l'elor in Lr·rg1 2 :;;1 - 0, care se numesc ·termcnii ~nme i , un num ftl' h;t r·eg. no1n't ru :2 1 ( - :-:) . pe ccu·e-1 obtin cm In modnl ~~rain L ln fi A" ltJ'a :·:. In ncen:st 5. f ig tJl'fl , num ~re l c 2 ~ i - 3 :;inL.JlWiO iu e\·i-
den I. a. pc axn n11mrrelor. p1·in sftgc1.i . ca1'e pornesC' din drcptnl numarului 0 ::; i Hit Yil'l'urile ill drep tu l numrn·ultti :l, re~;pc (' Liv ul nnm 5.ru1ui -0. 0 :sftgeaLfL J e c.H.: ela~ i fcl t.:ll ::iCtgeaLa ,care incl ic:Ct n umar ul - J ,
r r~ .J -6 -5 -4 -3 - 2 - } 0 2 3 4 5
lig. 1 \ .:3
R ~cz nt5. incep1ncl din v11'fu] s5gr ~ii cc:i l'e iud ic5 numru·ul 2, are virful in drepLnJ uuma1·1dui lntl'eg - J. Spt tJH \Ll1 c:Ct n l lllt ~u· ul in Lreg - '1 ~ - a uh(ill tl L prin adwwr('(( nnnwn• lo1· i11Lrc6i :2· ~i - :--;, s ~tll di 2 + (-::), cr•t'<' t.:e ~e ui Lc~lc· , doi plu ::; miuu~ Lrei'', c:s Le - 1 ~ i scriem acea::; La usLfel:
2 + ( - :l) = - I.
l11 figura 4 e:; tc arfrla L eum ~c obtin e smnn nmnrrrlor intregi -3 :;; i 2, care ::;e v a su1·ie ::;nh forma ( - :l) + ·:z. :1u 11 , mn i simplu,· ::> ub f u l'l1l a - : : + 2. Din l'i g·u l'i\ 4 I'C:w l LJ !'i"i - :-J _L 2 :-= - '1. IJe cluLa acc<J sLu, o ::;[1geaLfL de aueJ a~ i fcJ cu sr1 gcaLa cul'e indiuf\ uu:tnarul 2, a~ezu. La
k ·61-- .. 1 I I I I I I I bP
- 6 -S -'· - 3 - 2 - I 0 2 J 4 s
F ig. I \ .'t
in C'cpind din Yidu] sagt•( ii CUl'C imlil' fl lHlll) tll'Ul -::, <t l'C Yirful Ill Jrcp· t ul lJUmiirulni - J ..
:::} tiJna a cl oua n tlln ct·c ill tr pgi o ~ i f, se u oLe ~1 :r,i'i r·n a + r,. P l'nln t a a1·CtLa ci:i numi:u·ul 1l1Lreg c e::;Le sutu n JJ U illCl'clor in Lt·egi a ~,; i b, sc scric
a + b =c.
Vom proceda ca mRi Jn aintc la aflar<?a sumei a doua numcrc 1ntrcgi rt ~i b, 01·iuarc <.1 t' l'i acesLe 1\tllll CJ'<' in L t'r' ~; i .
Pt•nlrll a 1111 IH' ITI'l'l' i dr fi <'l'<ll'<' dn l rt 1" <' ik o l' ig tJJ:il de felu l et·loJ' <] p m ai JJl Uili Lf' , <IL llll t: i C'i 1Hl SC' pllll ! ' prolJ i t~ J11 H Hd lll ltu·ii i l doui'i ll Ulllel'l'
iuLI'egi a :;; i {; , von1 l'ot' l l1 ld it uiLe o dc(i11 i[ir· pellLl'll o b l, t l l t:I 'Ca ::;uuwi Jl U·
men~Jor iuLregi a ~j {;, In fiecarc c,az t.: H I'C :se p oa Le pl'ezcn La. CazuJ 1. Numerele 1ntreg1 a ~i b sin L uumere n :-11 ura le.
. Snnta a· don-1. 7/l(,m erP- inlrcgt: a .yi b. cnre si/11 J, ztmf!i'e natnralc, esle 77Wi l<li'Ul l ttlr ug c, c;urc l'slc sUIII rt 11/t.ll terr./or w tlnmle ct .~ £ /J .
Exemplul 1. Avero 2 + 3 = 5. Ob~inerea acestei sume este ilu stJ·ata in figura 5. 0 sageata, de acela:;; i fel cu sagcata cm'e indica nnmarul 3, af?ezata incepind din virful stige-t.ii care indica num[u·ul 2, are virful 1n dreptul m1marului 5, cme este, deci, suma nnme1·elor 2
. '") ~1 0 .
I -2 - 1
F {J 0 2 3
Fig-. l\'.5
I l ~
4 5 5·
Exemplul 2. A vern 4 + 0 = 4. Obt,inerea acestei sume este ilust J•ata in figura 6. Sageata care indica numftrul 0 este redusa la un punct. De aceea, acest punct, a~eza t 1n virfu l sage~ii cat·e indica nu· m iirul 4.. , indica suma numerelor lntt'P.gi 4 ~i 0.
I i l I I • j
I I .... -2 -1 0 2 3 4 s 5
I
F ig. 1 V.6
Exemplul 3. Avem 0 + 4 = 4. Obtinerea acestei sume este Hn s· trata tot in figura 5. Sageata care indica nmnarul 0 este redusa la un punct. De aceea, sagoata care .indica numurul 1~: , a~ezata incep1nd din punctul care indica numarul 0, are virful in punetnl !l, care este deci surna numerelor intregi 0 ~ i /1.
Cuzul 2. 1\umerele intregi a ~j b sint uumere intregi negative. Swna a doua nurnere intregi negatille a ~i b este nwnarul intreg
c = - d, unde d = I a I + I b j. Exemplu. Avem - 2 + ( -3) = -5. 1ntr-ade·d'tr, I 3 1 = 2,
I - 3 I = 3 ~J 2 + 3 = 5. Ohtinerea acest ei sume este ilustrata hl figura 7.
--+ I r I i:1 I .... -a -7 -6 - 5· -4 -3 - 2. · -1 0 1 2 3
Fig. JV.7
Ca.zul 3. Cnul- din numerele intregi a ~i ·b este nunu1r natural, iar celalalt este numar intreg negatiy.
64
•
Suma a rlozu1 nnmere tntregi a ,~i b. rlin care ww7 este rw mar natura[ iar celiilalt este numar i ntreg negutiv cstc · nwm1rul i 11frf'g c care se obtin~ astfel: •
. Da?ii I a1
1 = I b I. a.tun~i r = 0. Daci1 I n I # I b 1, fie d difcren(~
clzntre modu u) m a L mare -~ 1. modnlul mai mic. A CJem r = d dacii 7W
mctrnl Clt modu7u1 mai m.are c.sle· numiir natnral . .Avem r -=- - d daca nurnarul cu. modu)u1 ma i marc eslf' numilr intr f'g neg at if' .
Exemplul 1. ~ie - 5 + 3. A vern I - 5 I = 5 ~i 1 3 1 = 3. ~umarul na~ural 5 este ma1 m Mf' declt num&rul na tural 3. Deoarece 5 - :3 este 2, wr -5. este rimnay 1ntl'eg nega t.iv. e~vem - 3 + :1 = - 2. Obtirle· rca aceste1 sume est e ilustrnLa iu figurA. 8. '
E j ·I I f I I I I I I -7 -6 -5 - 4 -3 -2
_, 0 1 2 J 4
Fig. I\' .8
ExemJ>lul 2. F'i f' - 5 _;_ 5. Avem ,· - :l I = :l. ' 5 : = ,J r:; i 1 - 5 1 = = I 5 I· Deci - 5 + 5 =- 0. Ohtincrea i.t Ct>~tc i :-;unw e::;Lc iJusLrata in figura 9.
_.('
1- ~ .I ' I I I I I I I ·, I I ..
-7 -Q -5 -~ -J -2 - 1 0 l · 2 3 4 5 6
} 'ig. ]\ .9
~xemplnJ 3. Fie - 5 + R AvPm 1 -5 1 = 5, 1 8 1 = 8 f:\i I -!J I< I 8 I· Deoaroce 8 - ~ r Rte :J, inr 8 est e num Ctr naLnra , avem. · - 5 + 8 ' 3 . Ob~inerea aceot ej sume est e ilus tra'La iu figura 10.
- I I~ I f I I I ·r.
I I I I ·r I ... -5 -5 -4 -3 - 2 - I 0 I ] 2 3 4 5 6 7 6 9
1~ 1~ . 1\ . lu
Exemplul 4. Fie 3 + ( - 5). AYcm I :3 1 = 3. I-~ 1 = 5 :;i 131 < < I - 5'=' I· Deo~rccc 5 . --. :~ es_tc 2, ia r -~. esk numru· ~ntrPg negati~· , avem ..... + ( - o ) = - 2. Obt.merea aces·Let :;ume es Lc Jlu :-; LraLtt ln fl-gura 11. ' ·
~ t I I I -6 -5 - 4 - 3 -2 - 1 0 7 2 3
I I _. 4 5
_Fig. 1\' .11
5 - Matem.atlcA - algebrA, ct. a VI· a (35
Exemi1lul 5. Fie 5 + ( -5). AvPm ' 5 I - 5, 1 - 8 : · · 5 ~i 1 5 I = = I - 5 j. OeGi 5 + ( -5) = 0. Ob~inerea i .. u..:cstei :;ttme este ilusLraLil in fi gura 12. .,
- I J• · ~ ~ I I ~I ...
·:::::.5· -5 -4- - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Fig. 1\' . 12
ExempluJ 6. Fie 8 + (- 5) . Avem 18 1 = 8, I - 5 I = 5 ~ i 18 1 > I .L..5 j. Deoarecc 8 - 5 estc 3, i.ar' 8 esLe numar natural , avem 8 + ( - 5) ~ 3. Ob~.inerca a(jcsLci :;ume esLc ilustrata in fi gura 10.
r r· d ~ I I I I I I I I I ...
-6 - 5 - 4 . - J -2 - I 0 2 · J ,4 5 5 7 ll 9 .,._
Fig. 1 \ ·.1:r
In Joe de a flarea sau oh~in.erea unci snme de numere int l'egi vom mai spune c{ecluarea sumei de numct'C intr·egi.
Yom ptlne in evidenVI. urmaLoarcJc dou rt pro pr'i e La~i in care inter- · vin aLlL l'eli.l~ia de egalitate intrc numcrc inLregi cit ~-i opera~ia de adunare a numerelor intregi :
Oricarr> ar fi nwnercle [intregi a, b :;i c, daci'i a = b atunci a+ c = b + c.
Alt.J'cl spn :", daca aclun5m n ccln ~ i mrm iir lntl'rg cu r111mercle in · ITP<'·i (j(ll 'f' siH L f'L' i doi mt>m lJt·i ai tmoi cg·aliLaLi lntre numerc intren·i b ) • . ' 0)
ob~.incm nutnCl'C intregi egalc:
Oricarl) ar {i nwncrele intregi a, b, c :;i d, du..ca a = b .~i · c = d atunci a + c · b + d. I
Altfcl spns, prin a clunarea rn embrn eu membru a dona egalita~i 1nLr'e numet·e intreg~ ob-\,iuem o egalitate intrc numere intl'egi.
BXEHCI'flJ
1) Sa se pfpcfuezo: u) l l -~ ::; b) I + 5; c) G + 0; d) l7 + 0; r.) n + D; f) 0 -+ J, g) - 2 + ( - U); h ) - 4 + ( - 7) ; i) - U + 3; j) 7 + J ; l<) -7 + 7 ; l ) - '14 + 1 L, ; m) - G + 8; n ) - 5 + I ; u) 4 + ( - li); p) 5 + (- /); r ) I + ( - 7); s ) 15 + ( - 15); t) I + ( - !J); u) 10 + ( - 4);Y) ,- 9 + 0;"·) - JG + O;x)O-l-(-15);y)O + ( - !l).
2) Sa se efectueze :
a) 24 + iG: b) - 14 ...L (-8) ; c) 21 ...L 0 ; rl) -21 + O: e) 0 + ( --36) ; f) - 80 + 20; g) - JOO + 100; h) - 16 + 32; i ) 24 + ( -3 J) ; j ) · l9 + ( - I 9) : k) 2 7 + ( - J ::; ) · J) 245 + ( - 62J); m) 1000 + ( - 101 ). '
3) Sa se efectucze: ~) i!J, + 16 ; cl) 2 + (-/18); g) - J8 + 9;
h) - 1ft. + ( - 12); c) - 1:3 + ( - 1:J); h) - JG + IG;
c) 11 + (-3); f) '13 + ( - J:J); i ) - 21 + J ~ .
4) Sa presupunerD cu 'hrLr' -u n an la · da ta cl o J duccmbl'1c nrt:>h3 7 :-:-a inregistraL tcmpe r·e~tut'u de - 1°C. La data de G cl ecembt·i<' orelc 7 tempei'atura era cu 2°C mai mare do cit temper'a Lura lnrco·i::; LI'a La pe data de 1 decembrie Ol'e1o 7. t?
Ce t emperatura s-a imegist1·aL pc data de G decembPie orele 7?
4. CO)ll.!TATIVl'T'A'I'E . ..\.SOCUTIYITATE, ELE)lEl\-T SECTit
Fie doua numcre 1ntrcgi - 5 91 7. Avem - 5 + 7 :::...= 2. 1 \ yrm. ~ i 7 + ( -5) = 2. Dcci
-5 + 7 = 7 + ( -5). ~
0 astfel de pl'OprietA Le est e adev~lrata odcare ar fi pel'echea de 'liumer_e intregi eonsidcratr'. AC'c3sta pr'op1·ieta te a adn.n iiri[ twn1 err lor' in treg1 se n u nw r;; Le comutali~Jitatea odanurii nu mel'clor in Lrcg· i s i se
1 - <.. ' enun .a: Oricare ar (i namercle intn •gi a .~·i u £Wetn
a+ b = b + a. P entru a pune in evidentii o aJta pr opriet at c a adm1 arii numm'e·
]or 1ntregi, obsm'Y5.m UJ'mtt Loarele. Or.ice utrm ar intreg obi inu L e;a s11m ~i n cloua numerc inLrcgi poaLe f i folosit ca term en aJ un ej ~ u1.ne do doua nu rnerc in Lregi.
J~xemjJJu. PuLcm <ldun·a pe - 7 + 2 cu. - 5. Ser·ictn lu acest e<l:l
( - 7 + 2) + ( 5)
F;>i nvc:11 ( - 7 + 2) + ( - 5) - - 5 1 ( -·5) ~ -·lO, rlP~·i ( -7 + 2) + -.!.._• ( -b) =- 10. Obsl't'VU ill , iutrc allell:' , ca I<J d cLCl'll l il Jitl'f'[l llli JliUI'll •
l t1i . inLreg exprim at pl'in sun1n ( - 7 + 2) + ( - 5) nJt l J'olo~ iL Lran ~itrYlLuLea egabt~ttii ilrLrc nunH•re 1nLregi, dcoarece scri erea (--- 7 + 2) + (- 5) =-=-- 5 -1 (- 5) = - 10 esLe o prescnt' Luro a scriurii ( - 7 + 2) + (- 5) =-=- 5 + (- 5), - 5 + (- 5) "-- - 10.
In mod analog, putem scrie o suma de forma
- 7 + [2 + (-5)],
care este un numfu' intreg, ce so obtine astfel
- 7 + [2 + (-5)] = - 7 + (-3) = -10.
Dcci ( -7 + 2) +-( -5) = -~10 ~ i - 7 +. [2 .+ ( -5)] = -1.0 . .. uti·· hzind simetria egalitat ii intre numere intregr, dm --:7 + [2 + ( -::>)] = = - ~10 obtinem -10 = - 7 + [2 + (- 5)]. Apor elm (-7 + 2) + + ( -6) = ~- 10 f;l i -10 = - 7 + [2 + ( -5)], cu ajl(-torul tranzitj. vita1.ii egalit5.~ii intre numere in tregi, obt.inem
(- 7 + 2) + ( -5) = -7 + [2 + (- 5)f,
0 astfel de proprietate este adevarata . ~i pentru alt~ .~rei numere intreO'i oricare ar fi ele. Aceasta p1·opr1etate a adunarn numereJor 1ntre~·i ' se numeste asociati(Jitatea adzmar i i numerelor in·Lregi ~i se b I 0
enunta: o;,icare ar fi numerele intregi a ,b ~ i c avem
(a + b) + r. =:: a + (b + c). Din nceasta cauza, vom conyeni C:<l prin a+ b + c sa int.elegem ori (a + b) -f-c ori a-1- (b +·c). Deci in loc de (-7 +2)+(-5) vom. SCJ'ie-7 + 2 + ( -5) 9i, de asemenea, in loc de -7 + [2 + ( -5)] vom scrie tot - 7 + 2 + (-5).
Observam ca: 5.+ o = 5, o + 5 = 5, o + o = o; -3 + o = -3, 0 + (-3) = -3.
Aceasta proprietate exprima taptul c~ .numa_rul _ intreg 0 _este ele· ment nentru pentru adunaJ'ea numerelor mtreg1, ~l se enunt,a:
Oricare ar f'i numiirul intreg a a(Jem, a+ 0 = 0 +a= a.
Lucrn.re pentt·u verifica.rea. insn~irii unor cuno~tinte de bazii
Srt so efec tueze: 1) 3 +3; 2) -9+(-5); 3) -4+2; 4) 5+.(·-7), 5) -4 + 8; 6) 9 + (-1); 7) 4+( ·-4); 8) -5+5; 9) 6 +0; 10) 0 + 6;
11) 0 + 0; 12) -7 + U; 13) 0 + ( -7).
6. OPUSUL UNUI NUl\fAR iNTitEG. OPUSUL UNEI SUlliE
Sa consideram axa. numerelor, fjgura '14 ~i sa ne fixam atentia asupra numerelor i:n.tregi 4 $i -4. Aceste numere· s~nt egal departate de originea coordonatelor. Se SlJtme ca punvtele carora le corespund
numerele int rPgi -~ ·rE>:'JWd1,- -!~ sint s imrtnrp · f[t( <i elf' nr1g111 ea coor· Jonatelor. De n:;emerHe> <l. se spu 11l' cu - ~1 c;-; l e Of /11 .\ll l lui ft . iur 4 c::;Le opusul l ui - Lt.
·-7 -:-0· -5 ·- 4 -3 -2 -·1 0 2 3 4- 5 6
Definitie. '
Opu::;ul wmi nzzmar intrrg pozit1: ~' a este ll l l l77<~ ··nl iu ln'g neg'lli(J -a. Opnsu? l.llllll: 1/Ull?ltr in tr e;; ll<'g llf i() - a fsle lllll l!LI.!'Ld in lret; po::.it£() a .
. j 'l/ umam/ intrrg 0 arf' tlr opus n u-nu1f'u/ intl' l'f!, 0 . .
Observufie. Opusnl nnui IHllTI~ir intreg a. sc nnLenzi\ prin - a.
Deei daca a = 4. atunci - a = -- LL D<:1ca u- 1r, c.rLun ci -a= = 4. Daca a = 0. uLnnci - a - 0 . in Gnzu l ht nm· a= -Lt, egall · tatea - a = 4 sp mai ~niP - (-'t) = 11. U ec i -(-0) pstr op1tsul nnm5ruJui lnin~g - 4. Tot ;lSLtt'J, d Hd l. a =---= 0, Dl rt ttc i u - 0 se mai ~-;eri e - 0 = 0. D E• c i - Ll esit' op~< !-.td Hltlll [lru lui Jllt reg tJ.
Se c:onsia La c;, ·
4 + ( - 11) -- 0, -4 + 4 = o. 1 n general: \ Swna ditUre WI wwul,r t'ntrf'g .yi oprlsi)l stw f'Sil' ('gali/. en 0, adict't
a t- ( - u) = 0.
Sa determino n1. a cum, upu sul sume i :3 + ( -5) en aj titorul opusjlor termeuil01· :J t>l -5 hi ncestPi f-iume. Sa not c\ m ' .
(( =- :J --r ( - 5). Stim ca .
a + (-a)= 0,
de.ci. adunind. mai ln ! li, pe 11 In amhii 1i1embri ai egt=di tt\tii a= = 3 -r ( -;}) oht-iw: m U ; : .- ( ~) ) , ( a) Hall . rl11 Lori li1 :-. imetri r.i ,.eJatiei Je eg;:llitaLt' itrl t'<' rH tm c•n · inlregi . ~l 1 { -C1) + ( - a) -:- 0. A.dnnind, a poi, pt• - ;), op11su I lui J . Ia ambii memhri ai egalitatii :-: + ( -5) + (- a) =- 0 obtiuem ~:3 + ~~ + ( -~) + (-a ) = -'3 sau ( -5) + ( - a) = - :l , dl'oHl't>cc - :1 + :: -= 0. Adtm1nd. ln Rfil'~it , pe 5. sau - ( - :J). O]J 11 RU I lui :J. la ambii n1cmhri ai egt:diltl\.ii ( -~) -[- (-a) = -:\, ulrtim>tn :> t- ( - 5 ) + (-a) - 5 + ( -:J) sau -a= [ -(·-S)l + ( - ::). deoarerr' 5 + (- 5) _:: U.
Am ajuns Ia conduzia Ctl opusuJ sumei 3 + (- 5) e::.Le sum a (-3) + [-(-5)], cleoaroce [-(-5)] + ( -J) = (--~;) + L- (- 5)]; datoritft comutativi"U.i.\ii aclunarii numerelor int regi.
1n general: . . Dadi a = b + c. atunci - a = - h + ( -r).
Adica , opusul unci sunw estc suma opu~·ilor tcnncnilor sumci.
J~XERC'TTU
Sa se adune : a) 5 cu opusul siiu; b) - 4 cu opusul sau.
fi. SC.\ DEJlE.\. '
!n egalitatf~a
- 5 + 3 = - 2; pr~n c;1re se. d efine~te sum a nnm crrlor· intr·egi - S ~i 3, putem pune in ev1denp oriCarc elm t cnlJC'n i in · l'clul nr· rni:i Lo r·: ·
- 2 - ( - 5) - ;; ; - 2 :J = -5. Spunem .ca 3 esLe diferrnfa intr'e - 2 ~i ~G obtinuta p;·jn scaderea lm -5 dm -2. Pe -2 il nn m im dcsc{cut , iar pe - 5 sciLditor. Analo(l' -5 Aeste diferenta intre Ut'Scc'l-:.utul - 2 ~L scu::iUorul J . 0 1
In gr11 eral: . Duct'i a ~·£ b slnt doua llll1111'l't' intrcgi. rli{cn:nta t'i1tn! a .~· i b, nolatri
pnn a - b, estc accl numar intreg c pentru, cure a = b + c. :)o ::;eric
c = a - b ~i se oite$te ,,c este egal cu a mimn-; b" ..
Utili·zind no~iunea de opus al 111111i nnn• i:i r intre(r, vom ara La cum se ob~in o dil'crrn~.a ·ctinLro doua aumcr·c intregi. o
Aviml. cgulitatea - + ') ) -!:> c) =-:..
sa adun5m in umbii membri ui acesLei eo·aliUit i numarul int re(l' - 3, . l:l • ;:, opusul lui 3. Avem
sau , avinrl 111 -= - 5 + 0 .=
( - o ' I) + ( ' I ) 2 ( o' l ) -·;) T L l - ,) =- ,+ -Q I
Ycdcre cii ( - 3 + :J) -1~ ( - :3) = - 5 + [3 + ( -3)] = 5, avcm
-5 :.._ - 2 + ( -- :l).
Dnr· - L, - :l ,= - 5, eonform clcf ini \,iei sciidcr·ii 11 nu1 numiir inLrcg dinLe-un b.um~tr inLreg, aviud. - 5 + :{ == - 2 Deci
- 2 - :J = -2 + (- :J). Analog,
- 2 - (- 5) = - 2 + 5.
70
Tn general: Oricarr ur {'i numert>[p 1ntrPgi a .~i b. aCJcm
11 - b -= a + (-b) .
:\ dica. di ferf•nt n a..:._ h ht1 1'1? dou a num ere 1ntr·egi a ~i h cste egal5. ( 'll ::nrma a --+- ( - h) dintJ'P ntl lTJ ~u· t d in t t·C'g a ~i opusul -b al ilu maru lui inlreg b. . .
\'om sptmr t·ft ''(t·tfu rlm clifcrenta a- b atuncr cind delel'mmam mrm5rul in1rPg (' a J'P es l e difcJ'en( a intrc numel'ele lnLregi a ~ i b.
Exemplu. Sa se efectu cze di'fercn~a 2 - J. _Avem
2 - ~~ =- 2 -1 ( - .3) = - I ,
rlPoarece. nmn[u·u l 11HLural : ~ , cnrc csLc valoarea ahsoluta a nu rnaru. lni iutr·eg negat iv - :-1, es tc mai marc deci'L numaru] naLul'a l 2 . iar
~:l - 2 = l. Trebu ie i·r:1.inuL <.:: a Oj)IJra{io de 5rat!e1'e in1l'e dona nurnerc intreg'i
Sf! poHtc efec Luu uriva r·c ar fi ;.rcesLe muncre lu Lregi. Avem · -
7 - 0 = 7, -5 - 0 = -5.
Hezult a prol)rietatea care arata urmatoarele: d iferenta intre once 11umar intreg ?i 0 est e accl numfu· inteeg, _adica
Ori~are r11· f'i lltUIIIt l'lll i11treg 11 rt v t' lll:
u - · 0 - a.
A vern
() - 2 = - 2, 0 - ( - 3) = 3.
Hrznlt ft proprictatea c·ar\' at'i\ Li:i m·mi:itoarcle : clirn l'cn ta inire ol'if'r 1111111 ~\l' inL1·eg esLr opusul ac.e lt ri ntrmtu· inlreg. at! i ci-t
Oricarc ar /'i 1/UIII(tf'Ul i11trcg a lf ;Jem
0 - a =-a.
0 Sl '
Yorn pune 1n cYicl cntu urm uloarele doua proprieLat i iJy care int ervin t•cla(ia cl (' cgaliLutc intt·c numere int regi ~i oper·a1.itt de ::;cftuer c jntr·e numere intregi:
Orir.:are w· /i JUllllt'rl'l.e. intreg i a, b ~- i c, dadi a - b atuuci a - r -= h - r.
Altfel ~]HI S, da~~ scrldem H(j(' l cl ~ i numae intl'l~g d in lllllllel'Pl c in tregi , eare slnt C"c i do i n1embri ai · tmei cga.l ita1,i, lnLI'e Jtttrncr· \.! ln Lr·cn·i ob t inem numeJ'(' intr't'gi r ga lc. .
0
Orirare a.r' {i lllfll lCI'dc intrc~:;i a, b, c ·}· i d, dacil a = b ~i c = ~z uLunci a- r· = b - d.
A ltfcl spus, prin sMtJer·ca membru cu membru a dour. egalita ~i 1n trc mmwt'e int regi ob ~inem o egaliLate ln t1·c numerr, 1utregi.
71
EX:EUCITU
1) Sa ~e efectucze : a) I - - 2 ; b ) G - 3 ; e;) - 6 -- ( - 4) ; cl) - 7 - ( -3) : :.. e) - R - ( - 9); f) -7 - (- 10) ; g) - 2 - G; h) --4 - ::>; 1) - tO - ( - 10); j ) - J I - ( - 11 ) ; k ) 7 - ( - 9); l ) 8 - (- 10); n1) - 10 - :"-1; n) - 7 - !l: o) Lt - 8 ; p) 9 - 11; r) 8 - 8 ; s) ·J J - I J ; ~ ) - J 0 - ( - 10) ; t) - ·17 - ( - .I 7) ; t) 7 - 0 ; u } 0 -- 8 ;
· v) 0 - (- l 5).
2) Sa se efectucze : a) 15 -- 2; h ) - lfl - (-G); c)- 20 - (- 28); d) - 17 - 18; e) - 18 - ( - 18 Y; I) 16 - ( - 18 ).; g ) - 18 -- 3; h) 21 - 26; i) 8 - 8.
Fig. l V.l ;)
3) a) -- 24 - (- 24) ; b) 37 - ( - 24) c) - 48 -- ( -- 3G); d) - G4 - ( - 102); e)0 - ( - 75); f)42v - 1 50~.
~I) Dupa cum se vede in fig. IV.15 terrnometrul di11 figut·a 1a indica t emperatu1'a de - 3°C, iaJ' termometru l din figura 1b indica t emperatur'a de 2°C. Temperaturt'l indicata de termometi'Ul reprezentat 1n
' figura 1a cste mai mare sau rnai mica decit temperatura indicatrt de tcrmotnetrul reprezentut in figura 1b? Cu ciLe grade ?
u) La un moment dat se inregistreazil tempm'atura de - 3°C. Duptl. un interval de timp se inrcgistreaza . temReJ·atnra de 1 4°C. Tempera tura a crescut sau a scazut? Cu cit e grade?
6) Sa se completeze urrnatorul tabel. Primul rind est e com· pletaL ca moLlel.
a l-a llal ll.+al ;_a I 2 1-2 2 3 - t
--- - --• )
0 --- - --
0 - - - - - -
-4 - -~ --·,..,o--,j ;) I
72
Lucrm·o pentru Yerificarea insu~h·li unor cunostinte de baza
' '
Sti se efectueze : 1) 5- 2; 2) 2 - 5; 3) 5- (:-t!); 4·) 2 - (- G) ; 5) - 2 - (-l1); 6) - LL - (-3); 7) 5- 5; 8) -5- (- 5); 9)5-(-5); 10) 6 - 0; 11) - 7 - 0; 12) 0~7.
DESFAC'E REA P.\ .R.\STEZELOR
Pr ntru simpli fir.arra srrieri i, 'in loc de ( -3) + 2 sr Rcri~ - .1 + 2. An alog. 1n loc de (- 2) - J se gcriP - 2 - 3. Sumn - v + ( --::1) poat.e l'i sr ris[t· ra di feren1.rt : - S - :·1. Dat orit.a propr iPtat ii dP asociativitat c a adunarii nu mer'clor intreo;i , in loe d e> [:3 + ( - 5)1 + ( - 2) sau in lor. dr. J + [( - !')) + ( ·-2)] ~" Sf'rie 3 + ( -S) + ( - 2) . Amtlog, 'in loc de (3 - 5) + ( - 2) ::;au in Joe de :3 + [- 5 + ( - 2)] so scrie ::: - 5 + (-2).
l' n exemplele de mni ina int,r , in t.r~ par'::~n te zf'lP ·pnsr in· rv iden(,a, pe care, apoi, le-am supri mal . ~P arl ;) o ~'xpres i c fnl'maLft clint r•- un t.ermen sau din t ermcni desprn·t iti pr in ::~i.rnho.lurile + sa n -, iRr in fa1 a parantczei d e deschidere se afla simholul + sau in 1'a1a parant.e· zr.i de dcschid ere m1 sr. aflft nici un simbol.
In acest caz, dt>sfacen~a parante::,e/or consUt in 11 rm{l'tonrelP: Se suprimii parante::,a dA deschidere .~i parante:a. de tnchiclere ce-i
corespunde, expresia aflatii 1ntrP aceste parantrz.c N1m'inlnd nPsthimba.ta. l tl· cazul in core 'in fa(.a. parante.-:.ri de dPsrhirl('f'r se aflr1 simholul -h acPsta se suprima daci£ 'primal simbol a! primului trnnrn a! e1:presiei aflate i'ntre paranteze cste simbolul - . Alt{el, aces! simbol + se pastrcad 'i.
· Exemplul I. Prin desfacerea parantezclo_r drepte. expresia [8 + + ( - 6)] + ( - 2) devine 8 + ( - 6) + ( - 2). In fat a parant.ezei drepte de dAschideJ'e nn sf:' a fl a simbolul +·
ExNnplul 2. P rin desfnePren. parantezclo_r dreptr, expresia 8 + + [ - 6 + ( - 2)] devine 8 -. G + ( - 2). Am sn pr·imat. simbolul + din fa1, a p::m'lnt ezei. drepte de deschidere, deoareee primul simbol al ter menului - G, carr ef' te primul t.ermen al expresiei aflate int.re parantf' zele dreptc, este simholul - .
ExemplnJ 3. Prin dPsfacert~a parant.ezelor rotunde, ~xpres ia 3 + -'- (5 - 2) devine 3 + f) - 2. Am pi"tstrat simholul + dir\ fat-a parant rzr.i rotunde de dr.schidere, rleqarrcc primul ~imbol al' t errnenului :) , care este primul tcr men al expresif!i aflatc int.re paranLezele ro-
·tllnd r. nu est e simbolul - . . Sa consideram, acum , cazul supr·imarii unei pereehi de pnranteze
lntrf:' care se aWt o f.'x presie formata din t.ermeni clespftrt i(i pr in simbolurile + sau - , iar in fnt.a parantezei de deschidere se aWt simholuJ - .
In Joe dP - ( - 9) sc rif'm 0. In Joe de L1 - (6, + 8) scriem 4 - 6-.. , . ' I I (R "') . 8 " A . d - - ,·, , Htr i n oc ( c - c. - ·:> srnem - + .). m t mu L sr.mna e mo-
dul 1n r.are se exprima opnsnl unui nnmi'tr 1ntreg, opusnl snmei a do11 (\ nmnere ]ntrPgi ~ i opnsul diferentei H doua nu mere intregi.
Iil r.xemple l~ de mai inainte, intrc i)aruntczele pnsc 1n evidenta, pe care, apoi. lr-am sup1·imnt.. sr. nfl a o expresie farmata dintr -un t.er meil sau din termeni de::~ par\ i ~ i prin simbolnrile + sau - , iar in fata parantezei de deschidere se afla ~imbolul ~ .
73
in acest caz, desfacaea paranfezP.lor conf:lta in urmatoarell?: · Se sup rima paranteza cle dfschidere .~i pr11·mzte::,a de. inchir~ere
ce-i corespunde, iar in expresia a{latii in~rr' acrste ) Jrtrantr::.P {1:care. smtbol +, ce desparte doi ter!neni, sr• _inloc~ne-~te ~~~ .wmhol~tl - . 1ar {u~c:u·e simbol - . rt' despart P dm ~enne1u, .w; uilocuu).~u· t:u _.~·zmb?lul. +. Sz.mbo/ul - din {ata para_nte:.ez dr• de.~·r·(nd~·re .w: supr111W clara pnm~tl S l/11-
bol al primnlui tennen rt l r·.~presU'l. aflftlf! 111lr1' parrtnles~ cs(e sunbol11l - s1pJriminrlu-se si aast s unbol - . I 11 [of'n/ lor se sene sunholul +, ; 11 'crr ::. 1~{ i n ('(/J'{' simfJolul + rm• rnl dr' simhol de rf/IIIIW/'1.' . A ltf'1'/, simbolnl - din (a( rt prltr!llff:..f' i d P desr-!u'dr'tl' sr' )Utsln·o:.tl.
Ex<.'mplu J I. Prin drs fuc et'P<t po r·an l.w,t,c lnr. clr ·e pt~~~ Pxpt·esin - 2 -- [ - 5 + ( - :m drvi!1c. - 2 1- 5 - ( :\). l ~ r · t.n~t ~l Rm:bol al t.crmen 11 -111i - :), c: ll'(' rsLB pmnul l.r l'ffi Cll ~ ~~ l'X \)I'I'S181 ;~!latl' tnLn·, j)HI'l-"'.l1LP_:"C')t' ·cl t'rp Lr. fiind simbolul -, se s~I p rJ mn <~ers t s llll ~ >ol - . t~preumt e11 simholu l - din fa1,a para11trzc1 rli'PpLr dt' drst hJdPI'C' ~~ 111 lorul lOJ' sc punc simbolul + · ral'P HI~C' t'o l dP simhol ell' adun c-t i'P.
Ex<'mplnl ~. P rin drRI'acPre~• pHt'Hn lczrlor r·otu n ~l c>. <>_:pl'Psin - ( - :1 -:- :1) clt'\' in c 5 + :1 . Primn l Slmbol ;.\1 Lermrnltlttt ~:::> . car·r .. :str rmrn lil tc> 1•rnrn al exprrsici nfl a tr lnt1·r ]l<II'HllirzPIP J'Ot u.nciP, I11J1d Sll:1 -h oln1 -, so sn prim[t HC(' st s imbol - imprr> t ll l~l Cl l ~ ~ ~nboh d .- cltn fat,o. THl t'H nt,czr i rotlt ~1de dr ~losch i rlr]'('. Cr lr ri?ll ~l s1mbol1.11' l - w p,·ima l!' 11 11 SP )n]OC~I IIORC' C' l l Sltnbolul -j . j)f'll[ l' ll l.'ct i.IC C~ t ~ 11nho l 1
n-M <1\'! ' il rol dr ~imbo l dP uclt tl\l\1'<' .. ExPtllll lul :L Pt· in dr~ faeet'rH p<u·unl.!'Z!'li)t' rnlo~t t Jrlr> . rxp t·r·~; i n 2 -
- (:l - ~ ) dP viJh' ~2 - :1 + :) . A m pn stJ·; tl ;-; indw lu) -- din I'H tH pnr n.n t,Pzr•i r-otund e dPO<U'N'(' prin11rl s imbrli nl lf>:·mr nul tti :l, cnrr. est.P
1wimtd l ~' t' I\Wn al cx pl'esiei nflatc· · int1'c pat'i.ll1t!'ze rotuncle , nu 0slr. simbolul
J) Stt sP clesfaca t o:tt c parantPzclr. Sfl.' sP Pfr. ('1u czC' f.'alc u1elP:
a) 4 + (- 2) -1- ( - 4); b) 5 + (- If-) + ( - f)) + 9; e) I + (- 6) -1-
+ (-- 1) +8+ (- 8); d) - R - ( - 6) - ( - 2) ; e) - 5 + ( - 7) - (- 11) __.. ( - L1 ); f) J + ( :2) + ( - It + :1);_g) ~4 + (- 2,.. + 3) -- ( ~ 5 + 7 - D + 1 ) ; h) - 50 + 'I It + ( - t ) ; 1) 40 - ( 6:) - 84.) ; j) - 7 + (- 2'l ) + ( - '15 + 1:l) - ( -:- 'l 0 + 2 - 15); ]<) - 9fl -'17 + Lt2 + ( - 70 + 81 -'I ); 1) 77 - 20ft + (24 5 - 4/5) - (li'J - 2L,2, - 156).
2) Sa sc cles fac5. t oai e p arnntezPlP. Sf1 sP efec luezr. caJeulcle:
u) 17 + ( - 2) - ( - 1, ) ~ h ) 1!1 -. ( - t, ) - 8 - ( - 0) - 211 ; .
c)/ - {2 - L,):d )- - (i - 1:2 _~ ( R) - 11: ~ , , c) 5 - {2- [ I -- ( - 2)1} . O; I') - 1100 [ - ~45 + (19:J ~ 610u),.
74
7. RELA'fllLE: <, ~' r>, ~ l~TRE NC)!EUE I~'l'REGI
Fie. o pereche de numere intregi, de exemplu, -2 ~i 3. Deoarece
·3 = - 2 + 5,,
· io.r· 5 este nn numar· 1ntrrg po1.itiv , se spL.Lne f.'ii .. . 3 PSLI:' mo.i mare de'cit - 2" ~ i sc scrie aceasta as Ll'cl ·
3> - 2.
1 n loc de .i > -2 se mai serie - 2 < 3, ceea. ce se cite ~t.c 11
- 2 este mai mie drc1t J".
l n genera l : I I n numilr 11?treg a ·estP. mai mare d c"t v ' b _ e l WI numa.r llllr".g , ceea ce
se scrie
([ > b,
dact1 existif un num(ir fn tN!g po: iti 1• c astfel incit
({ -: b + c. '
Yom scrir. ~i b < a ~ i Yom cit i acer1sta ,; b eR Lr mr1 1 m ic dec1 t c/' rlo.rtt a > b. Simbnlur·ilr .-> . < se nt.1mesc simholnri dr: ~·negalitate sl I' i etc/.
P e ::rxa nnmrrr lot', cl in do ttit num0re ·1ntregi. cr l mr~i mare se afHl. ln dreapta Cr lui mrti m ic. Jn t.eleo·em }Win c\~Cas La (';-l [J'ecerea pe
• t ~ ) , C ~ ( • ( 1 (. • I , '· ..;C:'
axa num rre1or, de Ja n1 tm ar1 1l mai mic Ja numaru l mai marc se face pnrcvrgln.d ax~ n.nmet'r lot' in scns pozitiY. De rxrmpl11, 5 este inai m~rr cleetL - 2 1;i t fW co nslat.rt pe fi gura 16 ca 5 r s lr Ja clroa pta ]ui - 1.. Analog, pu l.em spnnr eft, pr RXR ll1lmr•J'elor', din dou~1 nllmere inlr·egi, ce~l mai mic SE' :tfli'l la sLinga celu i mni marP. l nlr legem prin acen sta. en trecereR , pr axa nu met e] or de In num~U'lil mni mare la
· m1 marul mai m ic sr face ]:Rrr~ 1 rgind. axa I_lllmerelo,, in sens negativ. ~e exemplu , - 2. este ~a1 mw dec1t 5 ~1 se constata pe figura 16 ca -2 este la stmga lm 5.
-1,. - 3 -2 - 1 0 2 3 s . F ig.· lY.lG
. A vern - 2< 1, -~1 < 1, 0 < 1, dar 1 = 1. Daca notam cu a oricare elm Dltmerele intrrg i - 2. - 11 0. 1, avem a < 1 SRU a = 1. !n loc de n sr rir .. a <·I sa 11 a =-= 1.'· \'urn scrir. a < 1, r.er.R cc se c i te~te , a este mai mit su 11 ,.ou/ ut ·1·· ,-. .
15
Jn ~eneral, fiind date douii nwncrc intregi a ~·z b pentm a indica faptul 'eel. a< b sail a = b scricn~
(( :5= "' erN\ cr 8£> ci t r~to ,.a e!'rlP- mai mit' sau r~n l en b .. RH i l .. a ~~:-;t P eel mt tl L co·a l Cll b'". }ncgali1 ::t tea II ~ b l)() 11lln1P~te inegafitatiJ 1/CSiric[({ in lre ct ~i b. ··
A nalng. fil:nd do t.e doua n.mnfrr· f7!lrPgi a ~·t 1J pentm a i11dir.a faptul ui a > IJ san a = /J sctHlJI
(I > h,
cce::1 ce- ~r c:itP~ LP ..rt rRt f' rna i ll1ftt' l' :;;:tt l Pg<• l cu lJ'' gm 1 . • a es t(' eel pu t in cgnl r11 h'·. lrlf'Q8litalen a> /J sc num<'f?Lr t ot inegalitate nestrir.lti in trr ~ a ~ i /1.
0 propei('l n t0 H vnlorii nhsn ltrl r n tmui numflr• intrr>g . exprim:tU\ c-1 1
a jutorn l inegali l;·t~ii ne..,lrict c in tn-' unrrH~I'C ~ ntn•gi, egte urmatonrea:
I a I ~ rt. ExC'mpiC' . . n I = n. llec·i I l :; I~ l:1 ;! - 21 ~ = 1 1: deci I -21 I>
> ,..-2'1, prin urmare : - :21 :~- :.H . Atllicnfie. A vern
:; ==- 0 _L :l, l - 0 -L 1) 1 t -::- 0 J_ 'I L
Deoarerr 5, 1 , tl sint numrre inlr'egi pozi1 i \'e, a vern
~) --.. n, 1 > o, 11 > o. Am nb tinnL }lrmfiloarrn proprir1nl e : Oricarc ar fi nllndtrlll i'nlNg po:itiv a {1\-'rm
(/ > 0.
n -= ( - 8) _L s, o =- ( - 2) -· 2: o = (- 10) J_ 19.
Deoa.recr 8, 2. 19 sinL numPre 1nti'cg·i pozit iYe. avem
0 > - 8. 0 > - 2, 0 '> - 19.
Am nh~inu1 11rmi\t nnrr::1 prorr i,, tate: Or£core ar t'i numclru l ill l rrg wgali'' a rn•r•m
a ~ n. Drfinil in 1•alnrii , ahsolutr sau a morlulul.ui umn num5.r intrt:>u'
poate fi c.l a l [t, Ll cc i, su1J l'o1'ma: ~:~ Ia I= {
76
a, dari'\ a > O; - u, dac~1 a < 0.
l:i:XERCI'fll
1) Reprezenta~i p e o d reapt5 numerele: - 4 ; 0 ; 4; -:... 2 ; 1. (F olosit.i ca nnitate de masura 1 em.)
~) S(' considera 6 numer £> 1ntregi consecutiYe. Crl mai marf' d in t r e e1c este 3. Care s1nt ccl.ela lte numerc?
3) Se considera 7 numere int regi con secutive. Numai 4 dintre ele sint m a i mici decit zero. Care sint numerele?
4) Inlocuit.i m. cele ce urmeaza semnul ? cu unul din semnele: > ; = ; < astfel in cit sa ob~ine~i pro pozi~ii adevarate: a) 4 ? 0; b) - !.1: ? 0 ; c) - 4 1 4 ; d) - 2 ? ·1 ; e) 0 ? - 200; i') -2007-- 201 ; g) 21 ?-2 121 ; h ) l 10 1? 0 .; i) 1- 1'1 1 ~ 0 ; j) I o I ? o ; Ic) I 9 I ? 9; 1) I ·- 9 1 7 - 9 ; m) l 5 I? I - 5 I·
o) Sa se arat e ca pen t.ru ocico a E Z avem :
! 2 ! + I o I - l - 2 I + I - a I - l a l = o. 6) Sa se e fectu eze:
a) { ·- 1 ;2}n{~· l:-r E Z, Ixl::=::: O}; b) { - 3 ; 4} n { 1· 1 :r ,.... Z. I :r I < 0} .
7) Sa se rP. prezinte fiecare d in tre u rm uto are le m ult imi, P.numer1nd elementele sa](': a ) A = { ;1! I X E ·z, b) B = f x I :r E ~ ' c) C ={xI x E Z, d) ]) = {x l X E Z,
I X I < 4}; ::r < tic , X>- 5,
! X I> 2,
I X. I - X 1. • . - "(,
I x I= -x}; - 5 < X< 5}.
8. 1~:.\H.'L'fiREA
Fiind date d ou r'- nnmrrc 1ntregi, d e exempln, 4 $i 3, vom in ~e iege prin produ.snl nnrnerPlor intregi 4 ~i 3, care se nnmesc {actori i pro dr. sului , nn numar int1·eg, notat c.u 4 X 3 san 4 · 3. Acesta se oht.ine ~inind seama en numcrr le 1nircgi 4 l;' i 3 sint n umere natura le ~ i efect nind produsul lor , a~n cum a fost definit e l in m anualul de matematica pentru rlasa n V -'a. Dec i
\ 4 · 3 = !1: + 4 -f- L.1: = 12.
Spnnem r.a nnmftrlll int r·eg '1 2 s-a ob1,inut prin ;:n nw l(ire.a nnmere lor 1ntregi ~ ~i 3 snu ci\ !~ · .3, C8ea ee se c ite~te , pa.t.ru ori tr~?. i", este 12 si 1:\criem aceast.a a f:< t,fe l '
4. 3 = 12.
Numerek 1n tregi t'iincl pozit ive sau n egative san egale eu zero, vom da c'ite o dr{in i!iP. pcntru ohtinerea produsului n u merelor intre(l'i a ~ i b in fiec;:tre caz ce se poate prezen ta. o
\
77
Cazul 1. Numerele 1ntrC'gi a ~i b s1nt. :numP.I'f.' naturale. Prodnsnl a douli numere lntregi_ a .~i b, care s'int numere naturale,
este nnmlirul 'intreg c) care este produsul nllmerelor natnrale a fl b. Exomple.
·4 . l = 12, ~· . () --= 0, 0 . l = 4.
( 'nzul 2. ~umerele inhP~6 Produ.snl a dona nnm(;rc
~ntreg po;:,itir c = i a I · I b I·
a ~ j lJ ~int nnmet·e intrP.gi negatin~ . intrcgi negat.i()e a Ji b este numcirul
Exemplu .
( - /L) • ( - .':J) -= 12, , 'I , ,.., . · /, , 'I - A2 cleoarrre I - li I = Ll , 1 - . • l = .) ~ 1 t ·) -- t •
Caznl 3. Unnl din 11umrrelo intrPgi a ~ i b est.e numar nat urr.ti, ia r cela.lalL r~ l e numar intreg nrgnliv.
Produsu l a donr7 namPre intrt>r;i a .yi b din carf' unul esl P. nnmc/.r natural, iar cPlalalt este numc'lr intrPg lll'g ati'• este nunu'i,n~l i'ntreg c carP Sf' ob{inf' asi{PI:
Dari't rt =- 0 san b = 0, atunci c -= 0. In caz cont.rGtr r = - I a l · • l b I ·
Exemplul 1. A.vem
4. (- :J) = - 1?, deoarc('e 1 - 1 I = 3 ~ i 4 · J = 12.
J~xemp l. nl 2. Avem
1- 11-[ · .j .::: -- •J2,
df.'OHrf're r - /j_ I = ~ ~ 1 4. :J =-= '1 2. Jhempiul 3. _\.yem
0. ( - 3) = 0~ . . cleonrf'C'P pri mul factor e~te zero.
l~xr mplul 4. Ave m
(- ~) . 0 =-= 0,
deo:.u'r.c·c al1
doilea facto r esLe Zl'l'O.
Trcb uie rrt in u L cfl : 0 ri care C,U' j·i nnm ctr nl Znt reg a a ''r m
a· 0 = 0 · a = '0. SP ohf-\r l'VLl c f\:
I
(-2) 0 ( - 1) = 2, ( - 1)· (- 2) --= 2, /l' ( - 1) =·-li., ( - 1)· 4 ~ -~.
Rezulta proprietat ea care arata c6, produs ul . oricarui numar intre(l' cu - 1 este opu.sul acelui numar 1ntreg, adiCa: b •
78
Oric({re (lr fi numdrul lntreg a af.!em
a· ( - 1) = ( - 1.) · a = - a.
In loc de arlarea snu ob-~, inereR unni proclns de tmmere intregi yom mai spune e{Pcluarca pt'Odllsu]ui. de numcre 1nt regi .
Vom p1me in evicl rnta lwmrttoarelc doua proprictr1(i in care interYin rela~ia de ega lita te intrr numerc 1nt r egi ~i opern1ia de inmul\,ire a nmnerelor 1ntregio . ·
On:care ar f'i numrrP-h• Zntregi a, b -~£ c, dace£ a = lJ al,unri a 0 c = b · c. AltfeJ spus, daca nnmercJo 1ntregi, care slnt cei cloi mPmbri ai
1rnei egalita~i 1ntrc num ere ]ntrrgi, le 1n m ult,im en a ce,Ia~i. n umar intreg, ob~inem nnmerc int rrgi egalo.
Orica.re ar fi nnmercle Zntregi a, b, c $i d, daca a = b ~i c = d atunci a 0 c = b · cl.
Altfel spns, vrin tnmnltirea mrmbrn err nwmbl'll -n rlotra egalita~i intre numere in,tregi, obyinem o egalitate 1ntre numere intregi.
EXERC'ITIT
S;t Re e fectuezP : '1.) t1·5; 2) ( -~)-( -5); !l) - :1 ° ( - 2); 4) 2·{-.i); ~>) 0·0 : 6) (-R)·O; 7) 0· (-5) : 8) 8 ·1 ; ~) 1· 9; 10) (-8) 0 '1; 11) •J . (-/) : 12) (-) . (-1 ); 13) (- 1) · 6; 14) (-~1) · (-1); 15) (-1) · ·O; lG) (-24) · ( - 02).
fl. C03fUTA 'J'll TJ'J'ATP.. AR 0('1 A'J'n 'l1'A 'l'E. ]) I S'1'TITB ( l'J'l YJTA TEA b .HllL'l'IHll FAT.\ VJ~ ADO.\AHE ~~ SC1Jl EllE. ELE.HE.\'1' .\ EL.'l'll l.J
·} ie doua numere lntregi -5 ~i 7. AYPm ( -5) · 7 = -:15 . d coarece I -5 I = 5 ~i 5 · 7 = :)5. A vern ~i 7 · ( -5) = -3S, deoarece I - 5 I = = 5 ~~ 7 · 5 = 35. Deci
(- 5) . 7 = 7. ( -5).
0 ustfel de proprietate E'fl1e aclevar8t{L oricar e ar' fi pPrrrhea elf' numere ZnlrPgi consiclNoi e. AcrnsLu p1{oprietate a inmnl1 irii nn merelor intregi se nume~Le comntatiflitatca 1-nm.u.lf,irii numerelor i,ntregi ~i se cnunt.a:
On:care ar fi nu.mrrele intregi a .~1: b a''l'ln
ao 'b =- boa.
PenLrv a punP in t?viclent.i\ o al ta pr'op r'ioLat.t? a 'inm1rl(irii nnroerelor lnt.regi opserv[tm urm ;tLoarelc. Or'ice numtir lnLrt?g obt-inu1, ca produs a doua numere 'intregi poate fi utilizat ca factor al unui produs de doua numere intregi.
j9
Exempln. Putem inmul!i ( -7) · 2 en -5. Scriem in acest caz [( -7). 2]. ( -5)
~i 1wrm [( - /)·2]·( - 5) = (- 14)·( - 5)=70, deci [(-7) ·2]· · (- 5) = 70. Ohscrvam, inLre altclc>, ('f\ la determinarea numarului
intreg exprimaL de prodwml [( - 7) · 2] · ( -5) am folosit tran ziLivitatea egalitatii jnt re numerr intregi, deoarece scrierea [(-7) · 2] · · ( -5) = ( -14) · ( -5) = /0 este o prescurtare a scrierii [( -7) ·2] · · (-5) =-= ( - 11l)· ( ~~), ( -111.)· ( - G) = 70.
ln mod analog, putrm scrie un produs de forma
( - 7). [2. ( - 5fl,
r.are estc> un numur 1ntreg, rr' se obt,inc astfr l " (-·/). [2 . (-5)] - (-7). (-10) = 10.
Deci [( - 7) · 2] · ( -5) == 70 ~i ( 7) · [2 · ( --5)] = 70. Utilizind simetria egalitr\tii .intre numere 1ntn"gi. din ( - 7) · [2 · (- 5)] = 70 obtinem /0 =-=- ( - /) • [2 ·. ( -::1)]. A poi, din [( -7) · 2] · ( -5) = 70 ~i 70 = = ( - /) · [2 · ( -:J)] ~ ctt ajvlorul tranzitivitatii egalita~ii intre numere· 1ntrt~gi , obtinem
[( -7)·~]·(-G) -(-/)·f2·(-S)].
0 asLI'el de proprielate r~te adcvElJ'UU\ ~ i pentru alte trei nnmere in trcgi, ori cat·P nr l'i Ple. Acea~H1 proprictate a tnmult irii numerelor intecgi se numc~tr. asociat ivitatl'fl lmnulfirii numerelor intregi ~i se emmtit:
01:icare ar fi namerele lntregi, a, b, c af)em
(a· b)· c = a· (b · c).
Din aceastfL eauzfl, vom conveni ca prin a · b · c sa in!elegem ori (a· b)· c ori a · (b · c) . Dec i in lon de H -7 ) · 21 · ( -5) vom scrie ( -7) · 2 · ( -5) ~i . de ascmenea, in loc de ( - 7) · [2 · ( -5)] vom scrie tot. (-I) · 2 · ( - ~) .
P en tru tre i mpncre in Lregi - 2; I; - 11 avPm
( - 2) . l 7 ~- ( - 1 1 )J 7' ( - 2) . (-4.) = 8, ( - :2) ·I-+- (-2) · ( - H) -=- - 14 ...L 22 = 8.
Deducem Ga (- 2) · [7 + ( -11)] = ( - 2) · 7 + (- 2) · (- H).·
0 astfrl de pl'bpriPt atf' p:-; 1 P ndrvlirat5 l3 i pentrn alte t.re1 nume1'e intregi, oricare <tl' f'i r le. At·ra:-;Ltt propl'ietaLe, 1n care il'ftervin atit operat.in de adt tnare a nttm crelor jntregi cJ-L ~i cea de 1nmul~ire a numere.lnr 1n trrgi, ~e numc~t(·) distribilfi(•italt>a innwltirii f'a-!£1 cle adu-7W l'P s i :'C' (' llllll H\ : . . '
Oricarc ar {i 71/lllU'rele intrP~i a. h .~i r nf'r'ln
a· (b + c) = a· b + a · c
80
Este adevarata ~i ,proprietatea care se nurne~te distributiv£tatea · f.nmnltirii fata de scadere, care se enunta:
Orica,re ar fi numerele £ntregi a, b 1i c a(-•em
a· (b - c) = a · b -.a · c.
Intr-adev{u', a, b, c fiind numore intregi, datorita distributh·itatii inmul~irii fa\ti de adunarc avem
a· [(b - c) + c] = a · (b - c) + a · c. Dar (b - c) + c = [b + (·-c)]·+ c = b + [(-c) + c] = b + 0 =b. Dec.i
a· b = a · (b - c) + a· c,
ceea ce, conform dr.fini t.iei scadr:>rii a doua numere intregi, se scr1e
a· (b - c) = a · b - a · c. "J"';\._
Exemplu.
( - 2) . [7 - ( -11 ) ] = ( - 2) . '18 = -36 ~ ( ~2). ; - ( -2). ( -'11) = -14 - 22 = - 36,
deci
(-2). [7- (-11)] = (-2). 7- (- 2). (-11).
Obsr.rYam ca:
5 . i = 5, 1 . 5 == 5, (..:...)) . '1 = (-3), 1 · (-3) = (-3) .
Aceasta proprirtat:e exprima faptu l ca numarul intreg 1 este element neutrn la inmul~irea numerelor intregi ~i se enunV\ :
Oricare ar fi numii.rlll intrcg a ar,;em
a· 1 = 1·· a= a.
EXERCI'fll
Bfeclna~i: a) 6 · (- · ~ 7) · 7 ; b) ( -4) t 8 · 0 ; e) 34 · ( -10) · 1 : d) (-H) · 1 · 0 e) (-11) · (--32)· (--·10); f)(-8) ·( -2) · (-1) · 3· (-'1); g) (-10) · [2 - (2 +If)]; h) (-1.0) · {1 + 2 · [t- (-2) · (-3)]} ; i ) ( -1oo' . {r1 + 102. (1 - toGJl · 2 + 1}.
J.J ucrare J>entru verificarea. insu~drii unor cunostint.e (le baza • 1 ' '
Efectuat i : 1)· 2 ·,.!':>; 2) ( -~ 2) · (-·5); :}) 2 · (-~1); 4) (--4) · 3; 5) 0 ·I; 6) ( .:._7) · 0 ;
7) 0 · (-8); 8) 5 -'l ; !.l) '1·9; 10) 1 · (-5) : 11) - 7·'1 ; 12) 9 · (- ·l );13) (-8)·{--'1); L4) ( ·-'1)·6; 15) 1·(- 1); 16) 0 . (-·- '1); 17) 7. (-5) . (-2) . 0. (-7); 18) 2 + .3. ( - ft).
81
10. ilUPA.RTffiEA
In egalitatea
(- 2)· 7 -- 111,
prin c:ur so defir.e~te TH'Oclusul nnmrrrlot' intrcgi - 2 ~i 7, putpm p-une 1n cvidon~ft oPicarr din fartori Uf;Lfr l
(- 1/i): 7 = _, 2; 'IIi): ( - 2) = 7.' ·.
Spnnom eft - 2 r~te cUnlint.re - 14 ~ i 7 oiY~innt prin ,lmparti1·en lui - 14- b 7. Pc -'I L~ 11 numim dC'i'mpctr(.i~, iar pe 7 'impctr(itor. Ana log, 7 rste ci'tnl lrnpiir~iri i ch•im pr/r( itulni - I !1 Ja 1m,prtr(,itornl - 2. f n cazul 1n caro so giise~tr till nnm[u' inLreg, dat' numai lll1 lll sin~nr, care sft fjp cltul Jmpar1ir ii 1nl.rr dmli't numet'O 1ntrF:lgi, spnnom 6t, , 1mprtrt,ireF\ se poRte e foctuF\ In l,t'C er lr dou il m~ merr 1ntregi.
Nu pntem impart.i 1m nnmrtr lnt.rrg en 0. Jn adevar, ca sa aiba sens ( -2) : 0 trebuie sa existe un numar intreg a astfel 1ncit
a· 0 = - 2,
rrNl. cr m1 ~r ponte, droarrcr u · 0 :- 0 . . \Yn arr srn ~ nici 0 : 0, deoa t•rcr slnL mn i mu ll r numerp inLregi, de exemplu , ~:, - 11, &:-3Ll'el inl'it J. 0 = 0, (-·II). 0 = 0.
in grneral : • Dacr(, a .~i b sZnt done! numPrr- 1ntNgi nsf {PI In cit b =1- 0, c1t771 1ntre
a .~i b, n o/.al prin a : b, este ace{ numilr Zn lreg c, in cawl In rare el e:rist{t, p en lrn care a = b · c .
. · Se scrie
r a : h ::; i se cilc::;Le , c rsLc ega] ctl n lmpul' lit, In b'' . -
Vom Hpune cu cfcctuillo rlLul a : b att1nci rind determiniim numarul intreg care es·Le citul in teo numercle 1n Lregi a ~i b.
Avrm ·
· 1 : 'I - 1, ( - 8) : 'I ~ - 8.
RrZ111Lft propriclaLra rarr at·ntft u rmiHoarrlr: rlLul int.~·e oricc num5l' 1nLr·rg ::; i 1 rs Lo ace l nllllli\ 1' int1·rg, acli ca
Oric(tre ar /i nunulntl inlreg a avem
a: 1 = a. Avrm
2 : ( - I ) .-: - 2, ( ~)) : (-'I ) - !) .
n,,w]Lft p t·opt·irLnLea can' nra li"t tl rmil loHt'rlr: c1tul lnt.re oric(' nnmi'\r 1nLrrg ~i ('--- n est e opusul ,accJui nnm fu' w treg, ad ica
Oricare ar fi nwnaru.t intreg a ct\'t:m
a : ( -1) =-a.
82
Avem 0 : ( -2) = 0.
HPzu]t.~l proprirtaLra oar·r ara t.a ur~ato~r~lE': c1tuJ lntl'e 0 91 orwe num~tr intr~:>g l diferit de zero. estr. Or adtea,
Oricare w: f'i nwniirul intrcg a, diferit de :.era, a._vern
0: a = 0.
' \7om p ttn r in eviden~a l. n·m~ttoa 1·elc l?l'Ol_ll'id. fl ~i ~n <:<li'P., in t_:n:in
r r latia dr egalitate 1ntrf.' numrrr, 1nt.rPgt ~~ opera t.Ia de mtpa r··pre intr~ numerP. lnt.regi. . .
Oricat·r: ar j'1: namaelt~ intrt?.gi a, b .y£ c ast fel l'nc.lt: a =-= b, . c -? 0 .y~ fmpartiri le se pot .Pfectua intrC' a ~·i c pe de o parte .~l mtre b .yz c pe de alti"i parte, atunc1 a : c -= b : c. . . . .
Altfcl 11pus, prin 1mpar~irea cu 1m_ numar .intrcg a an:b t~ o.'' mr:> rn lm ai unci egaliHrt;i inLre numcT'l' lntrcg1: atunct eln~ impar~n·Jll' sr:· p(•t efectua. ob~incm o egalit.at c int.re nnmere lntr€'gJ.
Oricare ar (i 11umerPle tn tregi n_, b, c .~i d astfel_ lncU a = b. c ~ d: c 1= O, d 1= 0 .~i lrnpcrrtirilc se pot e{f'ctua 1:nt.re a -~L c pe de o parlP ->'L intrr• b ,~·i . d /)(' de altO. par~f'., atun cL a : c = b : d. .
.~\ltfel ; puR. prin imp~r1iren ~en:bl'tl .cu ~1w_~hru a dou;j Pg.-tl ltati_ intrp nun:rl'e i~treg1 , at.l tn.C: l· , c1~d _ 1mpar1mle !':\(' pnt e.f~;~rt·tHt, oh~mem o egalltate mtre nn me1 c mt.I cgt.
J) Efed uati:
a) l1: :3: b) (- '10): (- 2}; c) 6: (- 2}; d) (--10): 2: r.) n: :J ; 1') ~.Ut: (-- J2);_ g) ( -~6): (- 18); h ) 2 880: (-2L~); i) U : (---- U) .
LtH'l'Ul'C pt'ntm Y<lrificarea insu~irii unor tuilo~Hnte de l>:.tz {L.
Efertt1ati:
1) 4 : 2; 2) ( - q) : ( - :1); :3) (- 6) : 2; 4) '10_: (-2); 5) 6: j: . fi) ( - 7): '1; 7) 8: (- 1); 8) (- 8) : (- 1); 9) 0 : 8; ltl) 0 : (-0), 11) 4 + 4 : (- 2).
J~XER.OJ'PI REZOLVA'fE
1) Efect.ua~i : 4 -+- 6:(-3)
11 ezolva re. ' 4 + 6 : (- 3) = 4 + (-:- 2) = 2.
83
2) Efectuati:
10 . [- 7 + 3 . (2 + 9 : 3)] RezolPare.
1 0 · [ - 7 + 3 · ( 2 + 9 : 3)] = 10 · (- I + 3 · 5) = 10 · 8 =::: 80 3) Efectuati: · · ·
Rezol(Jetre. 2 · {_:9+2·f-4 + ft·(-2 + 10: .2)]-L 4}. :
2. {-9 t 2. [ -4 +It. (-2 + 1.0 : 2)] + 4} = 2 . . [ - 0 + 2 . ( -!. + 4 · o) + 4] = 2 · ( - 9 + 2 · 8 + 4:) = 2 . 11 = 22. * +
EXEiterrn
Sa se efectueze: a) 48: 3;· b) (-GO): ( - 6); r.) RO: ( --4)· d) (-60) ·10· e) ( -9 400) : ( --100): f) ( - -2 t'JOO) : ( - 10) · . : g)(-10)·[4 + ~·(10 + 10:5)1· ' h) 10 . { - 4 + 5[-2 + 2 . ( 4 + 4' : 2)]} .
11 . }'ACTOR CO.\I t:X
1n ~cmbrul aJ doile~ al egalit(ltii
. ' ( -2) ·-[7 + ( - 11)] = ( - -2) . 7 + ( --2) . ( -- '11),
S2 apare ~tit i~ produsul (-- 2) · 7, cit $i 1n produsu l (- 2). ( - '11) ~~r)1e·m( ~~ --::-2 es te fact~r •. comu n in proclu se Ie (-- 2) . 7 Ri
( - ). 1n membrul mtll al egalitatii '
( - 2) · [7 + (- 11)] = ( - 2). 1 , ( - 2) . ( - H),
d-2
1apare o si~guya dnta innwltit cu snma celorlal11 fartoJ'i • · ,
use or (.- 2) . 1 s1 (-2). ( - lt) S . ~ , . d l pro· L
' . · ' e sp1.ne ca - 2 <:'ste seas In ructor cornu n. a scoaterea m factor comnn -egalitatea J · , . · astfel ' ·, ' tLe mar sw; o BCriem
( - 2). 7 + ( - 2) . ( - 1.1) = ( - 2). [7 + ( -11)].
EXERCfTJI
1) Sa ~ efectueze caleuJele folo:; ind sconterra in factor comun : n) 7; 777 · '1 96 + ·,-7 717 · (- 96) ; · h) 954 . 1 097 + 954. ( - 07); c) .~D 99? · ( - 24) + 99 ~99 · 9G + Q0 900. ( - 72)
2) ~tJind ca ab + ac = 8 ~l cab + c = - 4 sa se calruleze a.
84
12. DIVIZORII UXGI XUlL\R t:XTREG
Fie numerele 1ntrrgi - 21 ~i 7. Exista numarul intreg -3 astfel 1nrit inmul(.indu-1 en 7 sa obtinem pe - 21. Spunem cii, numarulinti'eg 7 dividP numarul intreg -21 ~i ~criem 7 1 - 21. ln cazul numen:lor 1ntregi 15 ~i - 5, exista num[tru1 intreg - 3 astfel indt 1nmultindu-l cu - 5 sa obtiner.1 '15. Spunem ca numarul intreg .-5 divide num~rul !ntreg ·15 ~i· scriem - 5 115. De asPmenea, se spune ca, 15 este di(Jizibil cu - 5. So mai spllne eit, 15 se divide cu - 5.
' . \ tm[1rnl int.reg - 5 Re m1inm;.te di(Ji;::,or al numarnlui 1ntreg 15. Numarul 1ntreg 15· se nnme~te multiplu al numarulu i intreg -~. Definith'. r'n numar int~·cg a este di~'izibil en an nu.inar Zntreg b
dacll. exista u n nu.mcu· zntreg c astf'eL incft a = .b · c.
Se scrie b I a l','i se mai cite!)te , b divide pea" sau ,a se divide cub". :\umaeul intreg --7 nu este divizibil cu numarul 1ntJ'eg - 2, pen
t ru ea nu exiRta nici 1m numar 1ntreg astfel incit 1nmultindu-l cu - 2 sf1 9b\inem - 7. Sctiem - 2 - 7 ~i citim ,-2 nu divide pe - 7".
Divizorii lu i 6 sint: i , - 1, 2 - 2, 3, -3, 6, -6. Divizorii lui -5 sint 1, - '1 1 5, - 5. 01vizorii lui 7 s1nt. 1, -1; 7, -7.
Daca a este numar natural., numarul 2a este un multiplu de a. De asemenea, el este un multiplu de 2. Mai spunem ca numarul 2~ esie cl ivizibil cu ,2 sau m.1marul 2a este divizibil cu a.
Daca. a ~i b sint n umere intregi spunem, de asemenea, ca numarul 2a. + 2b este divizibil cu 2. 1ntr-adevar, putem scrie 2a + 2b = = 2(a + b), iar 2(a + b) este un numar divizibil cu 2.
Un num[tr intreg par este de forma 2k unde k E Z, iar un numiir lntreg impar es tc de forma 2k + 1 sau 2k - 1 (k E Z).
Orice numar intreg este de una diri formele:
k I :~k - 1 1 - 2 - 7 - '1 - Ll
0 - 1
'i 2
3k, 3k + '1, 3k + 2 (k E Z).
~3/;
- 6 - -,., -v
{) ---r,
.)
I ;H, + 1
- 5 - 2 - ---
1 --4
l\'Iai putem spnne ra orice numrtr intreg es te de una din formele: 3k -1, · 3k, 3k + i , uncle k E Z.
Urmarind tabelul alaturat, vedem cum s-au obtinnt numerele 1ntregi mai mari dec1t -8 ~i mai mici dec1t 5.
Numerele -7, -4, -1, 2 sint de forma 3k - 1 (k E Z).
Numerele - 6, -3, 0, 3 s1nt de forma 3k (k E Z). Numerele - 5, - 2, '1, 4 sint de forma 3k + 1 (k E Z)~ ..
85
\
01'ice numar 1ntreg es t.r de 1ma din formele 4k, ~k + 1, 4~· + 2, 4k + 3. Mai p utem spune ca orice numar intreg este de una dm .fo
1•• m ele
41.; - 1, ~k, ~k + 1, 4k + 2.
I. CarP :::;l nL numereJe na LuraJ r de fo1'ma 'J!.: + 1 (/.; E N) n~a1 mici decit 20?
Rezol()are. Faccm un t nbel. l nlocuim pe rind in 3k + 1 pe k eu 0, 1, ~.a.m . d .
k ) 0 1 2 ') I, 5 6 ,)
'Jk + :l I 1 4 7 'I 0 j •' •) 'IG 19
' . Deci numC'rr lr de forma 17.- + 1 (k c ~) mai mici c1 Pc11, ·20 sint : 1, 4, 7, 10, 13, 'l6, tq.
2. Sa sc arate c[t numereJe do forma abba , scrise 1n baza 10, se divid cu 11.
Rezol"'are. Putem scr ie: \
abba = 1 OOOa + 100b + 10b + a = = 1 001a + 11 0b = '1'1(9'1a + 'IO!J).
- I Deci m1moreJe de forma abba scriso in bF~ r.a 10 se d iv id eu '11. 3. Sa se arate ca numerele de forma 2''+2 + 2•'+1 + 211 , nncle n E .S,
sint nu mere divizibile cu 7.
Rezol()are. 2"+2 + 2"+1 + 2" = 211 (22 + 2 + 'I) =- 2'' · 7. Num erele de aceast a forma sinL dec i d ivizibi le cu 7.
EXERCITJI
1) Care s1nt diviwrii numiiru1ni -8 ?' D::~. r ai m1maruJui 8? ·' 2) Care cste eel mai m ic nnmar 1ntreg de pH t r' n cifre divizibil cu ~?
(Num i"\ rul nsLe sc1·is 1n baza 10.)
3) Cnro es te ee l ma i m11 re m rm[1 r· ;latnl'a l clr forma abba (a # b) ? 4) Care esto eel mai mic numar ln Lt'cg de t r'c i cifre djvizibil ci1 18? · u) Sa so nrate cii orice numar de foema Lt n + 2, unde n E N, esLe divizibil cu 2.
6) Sii se ara Lc ca P.rodusul a clou5. numrrr nn Lura)r consrcutivr C' Rle un numu1· pm·.
BG
d 0 , ~ a propozi tif:'1 : 'i) Sft ~ afle Ynloaren E' 8 r.' ar < . ~ : .l ' z + '3n + 't r.~rte prim". Pentru orice numar natura l n numan l . n ~ - . . ') .
8d) , Demonstrat i c.a ~ u .. :-xista patrate perfectr de .form a 5n + ,_, cu . n ~ ~ (D. Pomvr lll):··
H . P r 'l'EHE.\ ('ll .BXPOXE~'l' :\l'}J A H :\ATCRAL A F~rl :\ D f.t.\ H 1.\'l'RBG
. - . , . 2 f lltindu-1 pP. - 2 eu el inf:.u~i oh tinem Fw nu.mar,; l mLt eg ~ .:_.. .')nt·nt-:2 vom scr' ie ( --2Y~. Vom f; j)ll JH~
(- 2 ) . ( -- 2) . l n loc de.( (_. ) ( ) . doua H lu i - 2. \ 'om m a t ('U ( ·2)2 e:;;t e jJ (ltratul f ~. /1 - 4. Haq .{J·I~te~ ea r. _') [a jJ il iNcll u dO!I(I .
!-(]JUilf' eft ( - 2)2 se ob1me ]W in 'l ' IC :~cwea( u2t)2 ""( ?) (' l"C'' t c·p Pl.\ m ai ·• · ? )2 . - 2 o )1.Jnem - · - .:.. ' - .< · lnmult lndu -1 JH' (- _, (j \1 • ( ,-J.) ( 2) · (-c>) ' c' (' >: t }JI'O-, · . - 2)] · ( - 2) snu - -'-' · - - · r\ · noatc ~ene [ ( - 2) ( n )3 .. _1 , ·n num i cu{m/ ]u i - :2 H111 p11terea J '1 · 11 no l'l en ( - .t. ~' 1 ' Ol · · 1 · 'J. d tl S 1 ' ' OJ . , ' ·· . ; .. - ( - ') )a ~e ob t.i'ne prin /'l(hcarca l.t t- .., a trcio n lut - 2_. Vom :;punr tct - , 1 a p 111 t' rr'rt a 1 ,.,. u t.
- r ( 2 )0 c•sto ·1 gj d \ ( - 2-)1 rste. - 2. \ om ~pun r f' <t - • "' ·
1 · ? obti n(~m o alta put f:' r'r. :1 lnt - Q. Fiincl cl tltit o put r rr a 1.1 1 - - , · • · . 0
· _ ·> -, · , ])tttr l'e a 1m - ,_ f: l - · fadncl JW Ocltts l t mt rP <-H'l'cl < • , c 4 ( 2)3.
., r, _ - 2) ' ·( - 2). Tot a~ tle1 (- 2)-:--::-E xemp_1u . . ( - 2) , - ( ( 0)~ · ( -- '>).] · ( - 2) m n (-2)·' :7' ( -- 2)3·
· ·(- 2). Dr c-1 ( - 2)· _ l -- -=- ;~ _ _ . . - 2 ·.(-1). Dt~C t ?) · ( - )) .\ myazu L(·a( - 2) -- ( 2) ( ) . ( - -'-' - ( ~·? )5 = ~ - ~) . ( - 2) . ( -2) · ( - 2) · ( ~~L
~~ I nd<~r l
..J ) • .... t a r,2 - ')I • .... ) Pn tr -o') 1) l A u nu ''l a 111 . -, r~ ' ,., ·· - .. , . . . . F i«> n11 mnrnl 1nt. l'rg ·' · 11 C'l' (' ~ ./ ;, < ( ') '') · r, __ ·,., . ') . 1 P11t Prr.a · J · i r~te :i 3 =-= . :-· . ·-" = .. 1 · , ) • ·- ' - ·- · • ·. ) •· • ,,
rE'a n t r f:' m ~. 1 11 •· .... ~ _ ;p . :} == :3 . :3 . . 1 . :J. \ 'om ~ ! ' line ru ,)0 (•ste n patra a lm .1 esLe ,) - .
1 f: i CU 31 eRt e .i . d Ql Q ' In cazu l nnmar ului .._, l•nt re.2: o, nu se define~,.·te oo, ar = ·'
oz = 0 . 0 = 0 ~ . a .m .d .
1 n o·eneral: b .
Daca a este un numar fntreg $~ n =1= 0 §i ri i= 1, atunci
n tm numar natz~ral ast fel IMd t
an = a. (I . ... . a. --11 faot.ori \
I · . 1 _ a irtr da ce/. a i= 0, cltnn ci ao = 1. .. -' pot. a - , , b " iar numarul natural n ~r. numr.$h3 ~umarul intreg Cf: se nnme~te aza, lu i a" A.::;tfpl a:1 rst.P. put.erea exponent. a" se Clte~te , pnt el'ea a n-~ a . . .. , . . a patra a lui a.
* Dimitrie Pompeiu ('18/:~- 1954) - matemat.ician roman.
87.
14. f.XJTI.'T/f iUEA DE PUTERI CU ACEEA~I D.~\ ?.:1
Avem , ( -3)3
. ( -3)2 = ( - .1) · ( -~n . ( - .1) . ( - .J) . ( - 1) == :.l fur-lc•J·i
= ( -3}' ( -3) ' L=2LJ. -:i)' ( -3) = ( -3Y -;:-;-: ( -J)S·v!. ;> faf'lt>f i
"J n l goner:1 : DC!cii a este un nzmu'ir fn trP-g, i ar m .~i n sl'nt numere 11aturale,
atune~
Deci ~rodusul puterilor cu :1f.(\ (\fl ~i baza ~s1e. o pnt.e.rf\ a arelC' in ~i baze 1ar ex})Onentul ('Ste suma espononfi1or fat:torilor. .. ·
15. PT]TEREA 'G~EI PPTER1
A vern [( - 3)2]3 = ( - 3)2. ( -3)2. ( - 3)2 = ( -::3)2+2 . ( - .'3 )2 =
. = ( -3)2+2+:.' = ( -3)2·9.
1n general : Daca a este un nunu!r l.ntreg, irrr "? .~,: n sZnt nu.mer·e 11atwale, atunr.1:
(a'mr! = aln·11.
Dcci Pu~~rea ~ui nu_m~l; lnt're~ s~ t•idid i la o pntero -p~ sh·intl b~ r.a. pn· tern acelUl numar rntreg ~~ hunu ta t'XfH.ment pro(lusuJ expouen1ilo1••
16. Pl.'Tl:~nEA r~n "PHOJH.'S
Putem scrie
((-2) · 3)2 = [( - 2)· 3] · [ (. - 2) · 3] 7-:: [(-2) · (-2)1 · (.'3 . 3) = -·- ( ') )2 . •):! -- --- .. ) .
Aseman iHor,
[23 • .( -3) · 5]2 = [2a · ( -3) · 5] · [21 • ( - .3) · S] =
= (23 • 23 ) . [( -3) . ( - :_1)]. (5. i)) = 23 '~ . ( -:3)2 • ~2 = 2" . ( -3 )2 . 52.
ln genercd: ·un produs de numer·c. intrr!!'i s~ ridica Ia o pntere ri<liriml iiecare factor la. aeea.'putere §i inmultind pnterile obtinute.
17. 'DIP1RfffiEA DE I,LTERI CL" ACEEA~I B.\Z1
Sa efectu am hnpar~irea ( - 2)5 : ( -2):.! . A imparti pe ( - 2)5 la ( -.2)2 lnseamna a gasi un numa1' int reg astfel ineit daca-1 inmultim cu (- 2)2 sa obtinem ( -2).;. Acest numar intreg este ( -2)3
, deoarece ( - 2)2 · ( - 2)3 = ( +-2)5 • D-m·
( -2)3 = ( -2)3-2,
deci ( - 2),j : ( -2)2 = ( - 2 )5 - 2.
in general : , Daci1 a estc un numr'tr fntreg di f'erit de 0, iar m; §'in sint numere natu-
rale astfel Zncit rn ~ 11, utu.Jtci a"' : an = a1;'-:n.
Deci
titul puterilor cu aC(Iea ~i ba.za, dif{'rita de 0 ( exponontu1 deim})arptului fiind eel putin egal cu exponentul impartitm·ului) , este o putere a aceleia~i haze, iur exponentul este dilerenta intt·e exponcn· tul dcimpart.itului ~ i cxponentul illlJlartitorului.
EXERCITII
S5. se -efectueze: a) 22 + 5 ; b) 23 - ~~ ; . c) ( - 2 )2
-- 7 ; d ) ( --2 )3 + 8 ; e) 22 • 23
- 30 ; f ) 37: 3;; + 1; g) (22)10 : 218; h) 2:3.2100 + (- 2)103; i) 21001 :2999; j) ( - 2)2001 : ( - 2 )1 998; l\ ) [( -2)•1]10 _ [( -2)2J~O; l) (220. 350)20 _ - (24o. j 1U0)10 ; m) 1 : 2o; H) ;) . 4u; o) 5o + VS.
Luerare pcntru vcrificarea insu~irii unor cuno~tinte de baza
J. Sa se efectueze :
1) 32 + I : :Z) 23 - 1: 3) ( -:3)2 - I ; 4) (-2)3 + 5; 5) 103- 999;
6) ( -- 12)2 : l 41t ; 7) 2 · :::\ . :2"0 + (-·2)55 ; 8) ( - 2) · ( -2)20 . (- 2)30 +
+ 251 ; 9) 22o: 22a; JO) ( - 3)25 : (-3)23 ; 11) (23)21 : (+ 2)s3; . 12) (33 )2 : (-3)6 ; 13) 0'1 + P 0 ; 14) 07
• 135; 1;)) 05
• + ( - 1)30 + (- 1)99.
lJ. S{l sc· L'fre tuezc :
l) 4 1 ( -G -:- 2); 2'( --::>- (-l~ + :3); 3) - 6 + (-8 + 4)- (-9 + 2 -5); 4) 5- [2 - (- 4 + 1)] ; 5) 6+ 7 · (- 2) ; 6) 10. [5 + 4: (- 2)]; 7) 10 . {22 + 2. [4- (-4 + 2. 3)] +51;, 8) 11 · [-45 + 23 . (~451 + 240: 10) + (-15)3
] .
1) SiJ st:• calcnJlezr:
a) I 1.. :J: h) 2 + 1: c) ~2 ..L_ (- 3): cl) --- 5 + (- 7); e) 5 ·+ (-7): f) - 5 + 1; g)' - 8 + 9: h) 6 -: G; i) - 7 + 7; j ) - 6 - G: ], ) - 7 -- 7 ; 1) ---:6 - ( - 4 ) :. _ m ) - 5 - ( - 2) : n ) - 7 -- ( - 4) . o) - 8 - ( -20) ; p) - 9 - ( -- 23) · r) 2 + 0 ; · s) 0 - 2: ' t) 5 + 0 ; U) 0 + 5 ; V) 0 - 4. i W) /1 - 0 i X) --:-1 + 7 i y) 1 - 8.
2) Srl se ea]culer.e :
n) ..:- 4. ..1.. ( - G) - ( -- 2) ; b) 7 + ( - 2) - ( --3) + 7 ;. c) n + ( - I)-- (- 7) + ( - ·15); d) 8 - (-8) + (-H)); . e) G ~ ( - G) + ( - 7) + ( __,8) ; I') 8 - 2 + (-5) - ( - 11) + ( - 6) - ( - 6) + ( - 10) - ( - 1)· g) 7 - ( - G + 2) + ( - 8 - 9 + 9) - ( - 8 + 2); ' h) 2 + ( - 5 + 12) - ( - 7 + 1 - · 10 + 25 ).
\
:J) Si\ sc com pletezc U.;helnl
1 I h ;! - a l - 6 ---2-~---=-:;- !i ----- - , ___ , _ _ , ____ , ____ - - -- ---
~ -- 2 I ---;:- ---;·)--,~--- - - ----1--- -_____ ··;- - ~ ~I -- ___ , ___ , __ _ -- 1--- - - - --- ·--1---1- ---1--- 1 (_) I - :2 il·~---· I ···--- -~ ~--~~, ~===:===, -G- - =-Rjl _ _
----o I o l' 1---1
! __ J_, _ __ ,_·i __ , _ __ , __ __ , ____ , __ , _ _ _ 1 I 1 I
-- I 1 - - I ,·--,- - -"
·1) Sa sc scrie mn1aLoarele uuruerc 1n ordine cr esciHoare :
a) - 5 : 2 ~ 0: - /; - 1: 6: h) - 10; 1; - 9; 5; .-3; . 4; 0; <:.) - 8; ~J; - It; 1; - 5 ; 4; 0; - 7.
5) Slt sr• reprer.inte fie.carc· din urmut onrele multimi ;·criind elemen·
90
Le]e ::Jtde in t re a cola de: ·
j ~. f x l .r E 'l , - 1 ~ :r < Lt} ; B = -f ;r j X E Z, - 3 ~ x < 0}; '. C -= { .r j J.' E Z, - 3 ~ X ~ :Jl; ]) = {x j X E Z:, - 2 ~ X < J}.
6) Sa se efectueze: a) 2· 3; b) Lt · 10; c) ( - 2) · ( ~3 ) ; d) ( -4) · ( -5) ; e) (-3) · ( - 2) ; f) 7·( - 2) ; g) 8·( - :l); b) ( - li )· 2; i) ( - 7) · 2; j) L1·0; k) (-4.) · 0; J)( - 5 ) · 0 ; m)( -:~ ) · ( - 1) ; n) ( - 3) ·1 ; o)( - :J) · ( - '7)· · (-10) · ( - 20) ; p) ( - L1) · ( - :J )· ( - 7); r)' 2· ( - :J)· ( - 10) · !1 ·
· ( -10) ; s) ( - 2 + L, - J ) · (7 - 5 .+ 8- 2 - 7).
7) Sa se cornpleteze Labeltll:
a I b I c II ab I I be . I abc I f,l + :l I 2b +f. ac I
2 3 10 - 2 . .., -'10 - ._)
--2 - 4. 0 . - 4 3 0
·I - 1 - '1 - 1 0 _.,
tl) Sa se cfectucze : a) 10: 2 ; b) ~L: 2: e) ( -/1) : ( - 2) ; d) ( - 8) : (-It); c) 8: (-3); I) 6: ( - 3) ; g) (- 8): 2; h) ( -0): 3; i) (-7) : ( - 1) ; j) (-8) : 1; 1<) 0.: (-?) ; l) 0: 4 ; m) 24.: [6- (4 + 4.· 2)].
9) Sa se caJculezc: a) I - 41 + 151 +I 01 ; b) 1 - 41 · I - li I ; c) 1- 71- 181 + 1- 11; d) 1-921- 4· I - 51; e) 5 · I- S I : (- 2 · 1 o).
10) Sa se eJecLuezc: · 11) Sa sc romplet eze tabelul :
a) 22 ; b) ;:p; c) 2\ d) Jl; e) (-2)2 ; f) (-3)z;
g) ( - 2)3 ; h) ( - 0?; i) 102 ; j) ( - 10):t; . k) 103 ; ] ) ( - 10 )a ; m ) 1Q4 ;
n) ( - 10)4 ; o) '10:>; P) ( - 1 o )5 ; ") 22 • ( - 2 rj ; s) 'J24.5 . ( _ 'J )2•13 + ')o. ~ ~ . ~ ~ ' t) ( - 2)55. 2200 + 2255; 11 ) [( - 2 )3]101 : ( - 2):301 ;
v) ( -·1 )·157 + ( _ l )<l 5H 1-+ ( - J)l:l9;
x ) ( - .!)'' + r - i)'d l (k c ~) ; y) ( -205)101 ·: 20so9 ;
z) Q24 : 136 - ( - 8 )2 + ( .-23 )~.
ll
J [~ IG - 18 -20
20 - /10
- 'l5 -'--- GO - 0
()
- 5 - I -7
- 8
I b 11 a : u I a~ I ((~ + b~
2 1-. /1
-~) I= - 10 -, __
- 10 I - -
_/1 - . ..,-,, ----- - - - - -- ::o .
----5 ----.. .., - .. ----
- 5 ----; - -
--- 1 -,-1 --
91
12) Sa se efectue:w: a) 24.5 - ( :-2 t(r0); h) 7 99!1 - ('-q 856): c) 2£) 010 - ( _ q 090); d) - D 881 1 ( -9 903); r•) - 19 903 + ( -2 S96): f) 9 ~~9~)-- 875:ilt; g) 8360 -89000; h) -2 .:S~l0 - (-120 G80); i) 17 806 + (-1106); j) /9. (-1.0); k) 70. ( -100); l) (- /594) . · (- 2) ; m) (-2400)· (-3) : n) (- '13 025)· (-8): o) 24 752· ·( - 8) · 0: p)(-799)·( -· 186); r) (- !108)·( - 20)· (- 20;)); s) ( - 1 008) · ( -2 005) ;_ t) ( -- 'l38) · 300; u) ( -21/) · 1 200; v) (- 20) · (-1300); x) ( - 1 001) · (- 1 001).
13) Sa se efectueze: a) ( - 28) · (-4) · (-25) · (-100); b) (-2tl8) · (- 24) · ( - 3Gn); c) 0: (- 1. 000); d) ( - 1 000): ( - 1); c) ( - 2000): 1; f) ( - tD) : : (- 10) ; g) (-36000): ( - 1.00); h) (- 7B 5~H3): 2: j ( - li20 OO~l): : ( - ~: ): j) ( - 4161.6) : 20ft; k) (- J 007 010) : (-1 OOS):
1) ( - ~l 240 000) : ( -18.0); m) ( - 824 000) : 200 : n) ( - 1 0) · (· 2 _j_ 2 · 3) ; o) (6 + 6: 3) · (-100); p) ( - tl): 2 + (-6)· (- 3) · (-1.0); r ) [ - 200 - ( - 1 800)] : ( - 1.0 )2 ; ·
r-;)[(-2)3 - 10 · (-5)2 + 2 · (- JO + 10 : 2)] · (- '100); t) ( - 2)3 + 10· [(-1)1000 -+ ( - 1)99 + 2·(-2 + 2·3)]; u) ( - 2)101 : 299 - 10· { - 2 - 2· [(-4):i :44 - 2]} .
' H) Sa se a fle valorile de adevar ale urmatoarelor p·ropozip i:
a). (-2)45 < (-3)45; h) (-2)245 > (- 2)loo; c) -21.6 . ( -2)6o .. ( - 3)18. 212 = 72 . 272 . ( -3)to.
15) Se consider a mul~imile: A = { - 2; ·- 3; 0; 1}; B = { - 2; 0} ; C . {-4; - 5; 5} .
Sa se efectneze:
a) AU B; b) AU C; c) A n B ; d) A .n C; e) A - C.
16) Se considera urmatoarea mnJtime de numere: {- J. 0, 1}. Sa se afle toate submult.imile acestei multim i m;tfel indt fiecare d in aceste submulttimi sa a ibn eel pn t·in douil elemente ~i snma nurnerelor din fi.ecare submul11me. fia fie nHti mica dedt 1.
17) Sa se cfectueze :
a) (2 + 2 · 3) · [2 · 22 . 2"-6 + ( -- 2)"n + ( -3)148 : ( -~~)~8 + + ( 3;•):31 - /12].
.b) ( - 107)2 • t210S + 21020 : f. - 9 - (8/90 + '102 · 105):
: ( - 100)]1.
18) Sa se adune cei mai m::u'e numar natural de patru cifre cu ce1 mai mie numar 1ntreg de cinci cifre. ( Nurnerele sint scrise in baza 10.)
92
19) Care este eel mai m ic numar intreg de dnci cifre scris . in baza 10 ~ i rare indepline~tc urmatoarele doua conditii : a) ~u estc mai mic deeit -66 615; h ) l\ u m•e cif1'e care sa se rrpete? A • • •
!:!01) ~umercle a, b, c, d. e. f, g, h s1nt numr.re mtreg1 d1fen~e de zcl'o. Sn ronsidPr5., de asemenea, n umerele :r., ?f, ::; astfel mcit: J' = ab'!.c~d3e5('3gk\ y = bc7dc6 fgh3 ; z = ·a3b3cd8ef3g2 •
Pot fi :JJ . y. : dn acela9i t.imp n e£"ative? 21) Sa se arato ca pentru orice numar natural k avem:
( - 'l )"'+-1 + ( - 1 )'(+~ + ( - t)lt-l-3 + ( ~1)1!+4 = 0. 22) i.n eeJe ce urn1eaza a, b, c, d, .:J; , y sint numere 1ntrcgi. Ptme~i ln
locLll semnuJui de intrebar c ( ~) tmul din semn.f'Je , <", , =", . > " . <1Rtfe] .1nc]t sa obtineti propozit ii acleviirate:
, ~ . ' ' a) DRc[t a < 0, atunci 2a ? 3a; b) Daca a = 0, atunci 2a r 3a; c) Dac·a. a> 0, atunci 2a ? 3a; <.l ) Dae[t b < 0, atune] -2b ? -3b; e) Dadt b = 0, atunci -2!J ? -:ib; .. f) Dnca b > 0, atunci -2b ? -3b; g) Dat;tl c < 0 , aln nci - 2c ? c; h ) .Dacii c = 0, atunci - 2c ? c; i ) Daca c > 0, atunci -2c ? ~; j ) Daca d < 0, atunci 2d2 ? -3d2 .;
1<) Daca d = 0, at unci 2d2 ? -3cl2;
l) Daca cl > 0, atunci 2d2 ? -3d2;
m) Dnca .x < 0, at un ci .1 27 ? x26;
n ) Daci"t x = 0, atnnci x37 ? :x:26 ;
o) D a(;.ti. :r.: > O, £1tunci x 27 ?x~a; p) Daci1 y < 0, atune~ v: ? y3
;
r) Dacft y = 0, atuncJ y" ? y3;
s) Daca 0 < y < 1, at unci y2 ? y3;
t) Dneii y = 1, at unci y2 ? 1l; 11 ) Dac5 y > 1, a tnnci y2 ? y3•
2311) Cm·e n u mar pste nuti mare: .
ti ) 34 ' sau 247 !1 t) 8:l7 :;au 957 ? r) (2~)3 san (;12 )8 ? d) 8· 1020 sau 102 1 ? e) ( - ~)'13 sau (- 2)'15 ? f) 202303 sau 303~02 !) g) 334 sau 251 ? h ) 2uo1 sau ~o1oq i) 3ao3 sau 2404?
Lncrnrr Jwntru Jl.rrgiitirea olimphtdelor ~i a altor concnrsuri
1) :.'\umanll 941 est e piiLrat perfect? 2) Si'l se calculeze: ·
a) - , 200 - 199- '198 -- ... -1 + 0 + 1 + 2 + ... + 200 + 201 + + 202;
b ) 1 + 2 - 3 ~ 4 + 5 + 6 <..- 7 - 8 + 9 + 10- 11 - 12 + + 13 + 14 ... + 301 ·+ 302.
93
3) Sa se calculeze : «) ( __ j) . ( - 1):2 . ( _:_ 1)1l . ( -'-1 )ll • ( -1 )loo6 . ( -1 )1001 ; h) ( lOO - 12)(100 - 22 )(1 00 - 32 ) ... (100 ~ 252 ).
4) Care num ar este rnai mare:
nq'!.o sa l1 9 09910 ?
b) Se con:'\ided:i:
a = 5ft< + ~4 ···+t + S!L2"' . uncle :r E N.
Cat'e este ultima cifloa a ntimaJ;ului a?
6) Smn a m ai m ultor nurnet'e int.rel!i consecu t ive est e egala cu ·y ' ...., - ..... ;).
S umftru l termenilm\ m ai m ar i decJt z;ero este cu l mai mic declt TllllllUJ' U I tet'meniJor mai mici d ectt 7.Pro. Citi termeni are ~mma ·~
'7) Se con~i dc~.ra multimile:
A =-- (.r ' .r E Z, B =- { .r .t E Z, (' = { .1·1 .r E Z, fJ = { .r .r E Z, !~ = {.r X E Z.
'
X < 200. I X I = X} ; . r > - 215. I xi = - 1:}; I :rl < 145}; 100 < 1 ,?:1 < 200} ; x2 < J 9852 } .
Cite Plernenlc at·e fiecare dintt·e accste multimi?
8) Sa se calculoze: (2123 + 1212:1 _ 3s2,) : JH I .
H) :\oLftm en P produsul a cinci numore in tredi consecutive ~1. cu S ::<1 1111\1 lm·. . ,
0
10)
;:1) D;l l'- it P =- 0. cite valot•i distincte '}10ate lua S? Care est e cen mai rnic;J $i _care est.e cea mai mare dintre acestc v,aloei (l h) Dncr1 S -= 0, cite valot·i distinctc poate 1ua P ?
Fi1~ A. o mu l ~jme fot•matii din :30 de numere inL t•ecri consecutive ~ i 13 o mul1:-ia1e formatu din t 1·ei nu'mere intrecri ~onsecutive. Cel m.ai mic numar din mul~im ea B es te cu 3° mai mare decit e:d mai mare numar din mult imea A. :\umai 22 din tre elemente]e mult,imii A U B sint neaative. Col'C ei>t e eel m ai mic numar din mu]~imea A U B? Dar eel m ai mare ;)
lJ) Sft se m·ate ca nurnet•ele do fo t'nHt u(a + i } , cu a E: .X*, ::;inL 2
muncre naLm·<.dc. · · j~ ota. Penhu aprofundarea cuno!;!tinieJor rezolvati ~ i nxerdtiilo ~1
· prob lerne.le de 1a 1 l u 8 pagina 185.
Capitolul V
i\tUIEltE RA'fl ONALE
1. ::\u~IAR RAT.IOXAL N:B<t ATIY. -:llrl/f'TI\IEA DE :r\T!UERE HA'fiOXALE Q. IWPltJ,Z.l!JN'l'.UtEA l'B AXA.
1n manua1ul do mHtem a1.icn prntn1 clasa a V-n, nnmerele rationalR neneo·ative au fosL jnLrodu sc ascm anaLot· modnlui in c<-~rc Cll1 fost inLI'Odt J ~C
0
numerclc inLre~ i . Anumc._ s-a consid crnL o drrap Lu (d), l'i crUJ'a Y : 1 , pc care a J ost fi ' <-~ L 1111 p unc L 0 , lll t miL originm coord on a LPior . P~ acecasi dJ·eapLi'i a m :1 i l'os L J'i xa L un punct l , di f'criL de pun cLul 0. Pe dreapta (d) , seu:ml de lu ptmct ul 0 le-t puncl ul J a fdst numjL sensal po::,iti9 al dreptei (d), i r~ 1 · sen::;ul opus a fosL numit sensul negati9 al dt·eptei (d). Un segment claL JllN, numiL unitale de miisurii, l-am im pfu·vit in trei p[u·~i de accca~i lungimc _obt,in1nd llll segment JJJP,
. cal'c csLe o treimc din scgmcn Lui illN. lnccplnd . de la puncLu!- 0, am masurat , in sensul poziLiv u.l drepLei (d) , un segmenL a carui lungirne este ega] a cu de 5 ori lungimea segmentului 111 P ~i am pus
nuruaru l 1·u~ional ~: ln cx.LrcrniLo.Lea dil'criLa de punctul 0 , a scgmcn-v
- 5 -4- -3 -2 7
-3
M~ 0 I
- J -·o
Fig. V.1
(d] ....., .. ] 5
Lului rJJ asm·;-1t. Tn drrpt.uJ {' XLrr. mit.rt tii , rlil'crite d1• pu11cLul 0, rl . ar.e- . . . J . . - . 1 J(J
J uut~ J ~wgnt cnL , p11 Lew puue ;we <~ ~J uunwr rnt10na , J ar noLa L cu li; ~~~l t; CL impCti· lim ~wg t t lel l Ltd Jl / '" In G pri t'l i de~ ;lCl'l' ctSi lt tngi ml' si m a::;urE'un, incepl~1d de' la ptuw Ltd· 0 , in HClt ~ ul poz;it iv' aJ d~epLci ' (d)·, un sro-ment- a c[u·ui lunginw e::i LC de 10 ol'i lung:inH'a un ci sr~i mi clinlun-
n '-' '-.I '
g1 mea segmenLu]ui ~11 iY.
r-.;umeJ·ele rationale a$ezate pe dreapt.a (d), in sensu1 pozith·, Je-mu numit numere rationale pozitiPc.
Incepind de la punctul 0, am maRurat, $i in sensu} negativ al dreptei (d) , nn segment· a carui Jungime este de 7 ori lungimea seg-
n1entului lli P , care este· o treime din segmentul 11/N, !?i am pus - T 1n dreptul extremitatii, diferite de punctul 0, a segmentului masurat.
Fiecarui numar ra~ional po~tiv r, i-am asociat, deci, pe dreapta (d), 1m numar notat cu -r, priu punerea simbolului - (minus) 1n fat,a numarului ra~ional po,zit iv r. Num[trul - r a fast pus in dreptul extremitat.ii, diferite de punc t11l 0, a segmentului masurat, incep1nd de la. punctul 0 , in sensul negativ al dreptei (d), care segment satisface urmatoarcle : este de aceea~i lungime cu segmentul masurat, 1nccplnd de la punctul 0, dar .In sensul pozitiv al dreptei (d), astfel in.dt 1n dt·eptul extremita~ii sale, diferite de punctul 0 , sa f.i fost pus numarul ra~ional pozitiv r. ·
Numerele notate cu - r, unde r este un numar rational pozitiv, an fost numite numere raiionale neKatioc. Numarul 0 este $i el numf"u· ra~ional; fara a fi insa. nici pozitiv 9i ruci negativ. Orice nnmar rational pozi1iv sau zero este numit numar rational nenegativ.
Mul~imea numerel01· ra~ionale a fos t notata cu Q. Am pus in ev~den~a ~i faptul ca orice numar intreg este un numar ra~ionaJ , adwa Z k Q, unde Z este multimea numere1or intregi Z = { ... , -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, .. . }. Uneori, numerele rationale pozitive se
' 1 + A f' ~ - l 1 + 3 A 1 d 3
SCI'lU cu semnu m a va, ca c e cxemp u - m oc e -- · 4 4
Cn ajutorul numerelor rationale vom gi:isi solutii in multimea nu nw~
relor rationale ale unot' ecua-tii, cum este ecuatia x + ~ = 'I, oare
nu au solutii in multimea numerelor ra~ionale nenegative. Aceasta v~ fi posibil dupa definirea operat,lilor cu numere rationale.
Exercitiu.
96
'
Reprezentati pe o dreapta numerele:
_ _:!._;~ _ 2..; 0· _!_! .!..,~ 2. 3 4 1 4' l 2' 4.l 4 1' 2
Lua~i ca unitate de masura decimetrul.
RELA'fiA DE EGA.LIT.A'l'E t:\"l'R.E ~UJfERE RATIONALE
Vom scr1e 7 14
- -=--3 6
., ,, este Pgal r u num;irul .-,
. l ,,, i\ l . I I . 1" J'fl~. , una --- . i umt·n· e t '<lllon<~ c --. HI - - ::;1n~ <~t.rall', deoar~··c
; I) ) :~ ) (j <J \.c\.o
. 7 1 {f
sin ! q.;<JlP num erde ra ltunale - HI - ~ adml1u \!'dGre C<J7·G = I J > 0
111 gruera1:
Douet JtllllU're rafrono/e rr ~, , b, notate respectw cu. Ill I' S ! S(Jll l'n
fl I (/
"' • 11 .. I L v { • • 1 111 • P - - ~YL - - , suil ega e 1 ar·a racJ t, L c - ~-~ ~ sint echivalellle, n tf n 'I
(/ cL /(.'(j,
ducr7 IIUf =- 11 p. Eg:::dit.~llc<t 1tttro IIIHnrt·Ple rapowtlo a 9i b J:-;8 sr\1'10
a b
~'1 ~f' citP~ I !' . , (1 r.•Jr r;;ol Cll h" Ntwtnrn1 r;:~tion<ll ((, "'' nllntr• <·h~ f'l"l llllrf
1111'1/IUI'll ::;n.u mclllhrul i11tii ;d t'V<llil <l(ii, idl' uumantl ral.to!wi b ::;e uu-w eRtc membrul al doilcu a l · egalil~1Lii. '
Yom scrie ' '
7 _} 8 - -- r -
~ 9 .. I
11eut.ru a. C"X: [lrima c?i numantl ralion<tl - ' nu cstc !'!!n1 ou uum~,rul ' :> <J
• . 1 ~ ll fl ' l 7 ,, ra~Jolli:l - san , ~l 1: Rpu ~, t;U num{\1'\tl ra~.tona -- e::J~u ddt!l'tL Jc ~ 2
numarul rational £. . • $)
DaG;J cloua ntmtcrr rationale (1 ~1 b nu sint egale, se scr1e
u 1- b
~1 t:iC ci~e~ie ,a nu et51.c ega I c 1l b ' t,au , a csie di.ferit de b". EgaliLHLea inlrn JtllrtH't'C r<ttionale e~~c o relajie 1ntre lJtlmcrc r<li .Jo-
nall: ~1 <:II'C lii'I!l[do<trrk JII'OpriPL5~i: · , I
1) Oriwrc ar {i JWIIUtrul raJwual a, cwem
a -· a.
i\cr_asta fJ.~tc. jli'O pl'i<' L; tl,t·a. de rc{lc.1;ivitatc a cgulitcl{h in l.r·e uurnero ra~10nale, pr1n uw·c sc rxpr i rna faptu l ca in ambii IIJenJhri ui unci egulitii1,i pouLe figu1·u accla~i numar ra~ional.
2) Oricare ar fi rwnwrele raJ.ional(~ a .~i b, daca a = b alunci b =- a. .Aucdf>La cste pruprietaLca de simetrie a egalitiUii inLre IlUlllC1'e
ra tionalc. •
1 - Miitemilho.l- ulgcbrll., cL • · VJ•J 97
3) Oricara ar fi nnmerele r.af.ionale a., b ~ i c, · (lacd rL = b -~ i h = c atunci a = c.
Ace as La este v roprietat ea de tranzitivilate a cgalitatd intre nu mere raponale.
Deoal'ece relai,ia U.e egaliLate 1nLro n umero rat.ionale arc proprin'La~ ile de reflexi"itate, simetrie :;; i tranziti9ilate, sc spu ne ca l'e1u~ ia de egal!La Lo intre numere ra~ional e csLc o relafie de echwalellfu.
· 2. ISCL"CZIUNIL.E !r\ C:: Z c Q
i\ l u l~nuea numerelor na LuraJe, nuta ta c.; u ~' es-te unmit oarea rn ul -1 llll\:l ' {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... },
inr mulfimea numerelor in Lre~Z i nc1ra Li ve est e mult.imea y '-' 0 . ,
{ ... , -3, -2, - 1}.
Fadnd .reuniunea mult imii numerelot' 1n tregi negative c u multhnea 111 1 met·elot· naturale se ob1.ine m ultimea numerelot· int regi, no Lata cu Z, care este clec i m·m a.Loarea mul ~imc
{ .. . , -3, -2, - 1, 0, 1; 2, 3, 4, 5, \ ... J .
Orice numar natural este deci numfu· int reg, ceea ce se exprima }>l ' )J)
I I I I ' - I{ -J -2 -/ 2 J It 5 5
Fig. Y..2
Da r nici un numar intreg negativ nu e~ te numar natural, deoareee pe axa numerel01·, figura 2, n umerele na t ur ale, diferite de zero, siuL a~ezate la dreapta numarului n aLural 0 , iar numerele 1ntregi n egaLive s1nt a~ezate la stinga numarulu i n a tut·al 0. Aceast a 1nseamn5. ca nnut imea numerelor naturale est e o subm ult ime strict a a mul~imii numerelor intregi, ceea ce se exprima prin
N c Z.
Ciud Rpunem crt 1m n um a t' n_;:,L uJ'al, d ifm~j t tl e zero , s~ afla, -pr, "x_c.1 nt.lnt r rl'lor. lu rlrca pl a num iirnhu uut ural 0, Ju~e lPgem pem neeas La t" ll ,
JWD Lt·u a ajullge <.l e la 0 la llll nunHi l' natural , ulfcri t de 0, IJHt"{j lJJ"gcm axn n umerelor ju scns pozitiv. Cind spuncm ca un numar inLrf:'g uegativ sc a fl a, pc axa uumerelor, la ::;tingu uuma.rului naLura1 O,
intelegern prin aceas t a ca , pen tru a a jun ge de la () Ja uu riumar intl'eg uegativ , parcurgem axa numerelor in sen ti negaUv.
Orice numar r utioual pozitiv sau egal eu 0 etil e exprima L TJl'liJ .::.._ II
unde a f,i i b siut numero na Lurule, ia l' u es te diferlL de zero. Punind Hemnul - (minus) in fa~a fiecarui num aL' r ational poziLiv, am obt inn t mult;imea numerelor r<J~.ionule negative. Fac1nd l'euniunea mult.im ii numerolor r a tionale nega Live cu mul~imea numerelor ra~ionaJe J.>O:tit ive sau egale cu zero se ob~ine multimea numerelor ra ~ion ale, cure se noteaza prin Q. I
_· In loc do :t am convenit sa soriem a. in acest sens , spunem ca I
odce numar natm·al este un numiir rational poziLiv sau egal cu z.Bl'O.
1n mod analog, in Joe de - !:. • care est e un numar r ationaluegativ, L
unde a es te un nmnar natura l, diferiL de zero , am convenit sa sm·iem - a. In acest sens, spunem ca m·ice numar intreg negativ est e un numar r ational negat iv.
Orice numar intreg este deci numar rat ional, ceea ce se exprima prm .
z ~ Q.
Dar exista numere rationale pozitive care n':-1 sint numere na·turale .
On astfel de numar rational pozitiv es te, de exernplu, ~ . In adevar,
numarul ra~ional ~ poatc f"i considel'a t ca fiind c ltul 1nLre numerele oJ
naturale 7 f? i 3. Duc5. numar ul J'aPunal : es te un numar natural a,
atunci ~1 citul iut re numerele nu turalc 7 ~i 3 este a. Deci putem scric
2 = a sau 7 = 3 ·a. Daca a < 2 aLLm~i 3 · a < 6, iar d aca a = 3 3 atunci- 3 · a = 9 ~j , in sfl.r ~ i t, claca a > 3 atunci 3 · a > 9. Deci propozi~ia cu o variabil~t 7 = J · a es te falsa pen tru orice a E N.
Rezulta ca nu exis t a nici un n umar ;1atural care sa fie egal cu 2. . ~ 3
De usemenea, nu exist a nici un numar intreg n ega.t1v cure sa fie egal
cu 2 , deoarece 2 est e pozitiv. Aceas ta inseamna ca mult.imea nu· J 3 .
m erelor intregi este o submultime s tricta a mul~imii numerelor ra ~jo. nalc, .ceea ce se expr1mil 1)J'in ·
Z c Q.
ln Joe.; de N c Z, Z c Q, ~e :-;erie
N c Z c Q.
S:, ht! eontplrLeze u rmatoru l t ab el. Primul rind este complet a\ l'il lllOd t•l.
-----Apar\ine acesL i Ap••·lino ace>L . \pa1·(me al:e~L Apar~ino ucos~
i'i lllllfll'td numar mul~imii uumar mul ~imii nu.mur mult.imii numar mul t.un ii Ni' IN*? Z? , Q? ,
-2 Nu Nu Da Da .
2 -
() . ' -- --.. .. -;,
- ,-----1 - -· ~ --- -
o,:) --- 0,/ b
J ,2.) -- --
7 I
I -- L. ., .. -~ - -
a. V ALOAREA AHSOLLJ'l'A A U~ UI Ntnl AU RA'J'lO~AL
Orieo numar rAtional negal iv csLe notat pl'in -:-0, m'l cle a esLc 111'!nttntm· r:ll,,ion:Jl pnz1 l iv. i\!'est. nnmttt ' l' <lt. i ona~ poz1i1v a ~] vom numl valortrcrt ubsulutii S<lll modulul nu mru·ulUJ nt\.Juual ncg~:rL l\' -a.
V uloarea absoluta n o.·iearui numar .ru\ional a pozitiv sau egal cu zero e:-;lf' ut.: mttrnJ rationa l a.
' l 'rt fnorn t a/Jsolll fc'i sat t morlll l ll { l J ntt i 11lllll ft r ra\ioll<.ll n ) I vnm nnLa
prin 111 1.
}'; Xl'lllplf•.
1_2_ 11 =-7· ·1 !) ~ ~ . .:r:;' JOI = 0.
;j ;) It I,
1lrr lnrl!'l'f1 al>•'nluta sau lliOri({Jnl. 11Itll i Jtu mru· raponal 11egat iv a 11 \ \) !I I II (I L i I ~· i p . Jl1 - ({.
J~~xcmplu. Fie u = - ~ . A tuuui - ( - ~ ) = ~ , deoarecc 1- ~ ~ =>
... -
100
Ddi nitiA f'a1nrfi n71.c:o1rt.t~ snn a modulnlui u nui numar r:-11.ional !JU<t l e Jt u'ata, deci, sub f Ol'lllU •
I u I -= { u, dadi a el:lte uu nmnar mtion~l poziLiv sau egal <.:u zero; -a, daca a es t c u n numar rat10nal negaLrv.
EXERC.:Il'li
1) Sa se efectueze:
a) 1 ~ 1+1- ~ 1 +· 101 + 1- 31
b) 1 ~ ~ 1+1- ~ 1+1- ~ I · ~) Se conHidera mnnerrJe ra~ i onale a~~ b. ~Liiuu ca a < {; < 0, sa
se compare: lal cu lbl.
4. ADl:\AREA ::\{;liERELOit UA'l'IOXALE. f(HlUTAl'l YITA'J'E. ASOCIA'l'IVI'l'A'l'E. EtE}IEX'l' ·l\'El.J'l'Ru
Sum a a doua nmncrc ra~ i onnl e o vom defmi 1n morl nsrm ~•twlnr modnlui in care am definit sHma a dourt ritlmero intregi. De al Lfp] ~i a~ezarea pe axa numero1ot' a numerelor ra~ionale s-a facut in mod . asemanator a9ezarii , p e aceea9i axa, a numerelor 1nt regi. Pe de alta par.te, rezu ltatul adunarii nu merelor 1ntregi, considerat e drept nnmere l'atwnale, vrem sa nu fie diferi L de rezulta tul adunarii lor ca nurnore int regi. A9a am proced at 9i cind am definit surn a a doua numere 1nt J'egi, rezultatul adun arii a doua numere naturale, considerate ca numere int regi, nefiind diferit de rezultatul adunuri i lor ca numere naturale.
Deci, fiind date doua numere r'ation ale, de exemplu 2 !=i i - _7_ , • I J
' tl . . 1 . J • 7 v om m ,.e ege prm swna numere or ratwna e 2 s1 -- care se nu -• I 3 )
m esc Lem wnii Stllll ei, ltll n ttmfu .r.at.i onal noLat cu 2 _l__ (-2.) pe ' , ,.-, :~ '
ca re-1 obt inem in m odul urata t in figura 3. !n accas ta figura, nnme-
I; n ·I I I I I I .. -4 - 3 -1. 2 3 4
_.z. 1 3 -;r
Fie. V.3
lOt
l'eJ_e 2 ~"i ;_ ~ sin t puse in eviden·~a, pe ax a numerelor, p1·in ~agcti ca1'e pornesc din d1·eptul numarului 0 ~ i au vldurile in drepLul n11 •
marului 2 respectiv al numai·ului - ~. 0 sageata ue acJela~i feJ cu
X ~ • d' ~ ~ } 7 sagea11a care m wa numaru - 3 , a~ezata \incepind din Y1rfu] s5.-
ge~ii care indica numarul 2, are vil'ful in dreptul numarului rat.io-1 J s ~ ~]. 1 1 . . ' na - - . punem ca numaru rat1ona -- s-a obtmut JJl'Ul ad1t·
3 ' 3 '
narea numerelor rationale 2 ~i - }_ sau ca 2 + (-2) ceea ec se ' 3 3 -)
cite~te ,cloi plus minus ~apte pe trei", este- ~ ~I sc..;rJem at;easLa astfel
2+(-~)= ·-~· Pentru a nu ne referi de l'iecare data la cite o figUl'a de felul celel
de ~nai inain tc, at unci cind se pnne rroblema adunarii a doua numerc 1"(.1 \JOnalc a !;ii b, Yom formula dte o definifie penLru obtinerea sumei num erelor rationale a ~i b in fiecare caz c..;e so poatc prezcnta.
Cazul 1. Numerele rationale a si b sint neneg-ativc. ' ' ~
Suma a doud numere rationale a :Ji u, care sint nenegative, esle IIU.mctrnl rational c care se obtine a.,'la tum am ai'(Uat in manualul de lllalematicu 'pentn~ clasa a v:a.
ExmuJile. I 7 ~ - + ~ = - 1 3 3 3
2 + 1 = 3, '1 ')
0 + .:::..=.:::.. .• 3 3
1 3 1 +-=-·
2 :J
fazuJ 2. Tumerele ra~ionale a 9i b oint uegath·e. · uma a douii nunwre rationu.le negati\)e a:;~ b este nwnarul raf,wnol
c = - d, wtd e tt = I a I + I b I • :Exemple.
1 . ( -) 8 -3+_ ~~ =- a• -~4 (-~)= - 1~a 2 3 G l
- 1 + (- ~) = - ~ ' ·- 2 + (-1) = - 3.
In primu1 exemrJlu, valorile ab:solu Le ale 11 umerelor rationale - _!_ 1" ' J
7 ' t . l . ..1 . . 1 . 7 ~1 -3 sm numere e ra~wn<ue pozitlVe '3 ~ I 3 . Suma acestor uu·
1~2
mere rationale pozitive este ~ • dupa cum se vede din _ primul
exomplu de la cazul i de adunarc a numereJor 1·a~ionale. 1\um[u·ul 8 . l . l . I
l·a ' ional neO'ativ-- este sum a numere or ra110na 'e negative --Y o a Y :{
si - !___ . Explicarea celo1·lalte exemple se face in mod asemanator ' ~~
primului exemplu.
Cazul 3. Unul din numcrele rationale a ~i b cste numa1' rational pozitiv sau egal cu zero, iar celalalt este numar I:a·t,ionaJ negatiY.
Swna a doua nwnere rationale a $i b, din care wwl este nwni'tr raJional pozitifJ sau egal cu zero, iar celillalt este nwntlr raJional negatifJ, este numarul rational c care se obtine astf'el :
Dace/, ]al = ibi, atunci c = 0. Daca lal i= ibl , {ie cl diferenta intre rnodulul rnai mare si nwdulul mai 1nic. A oem c = cl clacc'i nwnarul cu modalul mai m.tl/:e e::>l.e numdr rational po-:,iti fJ . A rem c = -d dadt nurniirul cu modulul mai mw·e este 1tw11ar raj.ional negalif•.
Exernple~ 1) . \_ Yem
L + (-~) = o :~ :j '
deoarece I~ I= ~, oJ I .J 1- _!_ J = J. si , .~ I = 1- _!_ 1
1:
:3 :l ' :3 J
2) Avem
deom'ece 18\ = ~-. 1- _!_ j = ~ ~i 8 > '_!-_, avind 3 · 8 > 3 · 1, iar
:) :1 :I :l ;{ :1 ~ I ~ . . - -- = - , ~i j"Jenlru cc-J et.l e un flllllHlr rationed poz1l n. ., 't •1 •t ~J • I t) d
J) A' em ~. ..1 1
--+ -= -- · :·; ::! G
d I S I -~ 1·; I . .i i f, ..._ :.J aYind 5 · 2 > 3 · J, 1ar · eoarece ~ 3
= -:1' :2 = ~ ~ ;: .......- 2 •
5 3 1 , . - ~~ . · 1 t . -- - •=- 91 pentru ca -- e::;te un numar ra!Jona nega lY. :·: :2 ti 3
'J) Analog, I 8 7 --+ - =- · J J :;
i n loe d.e al'lurea ::;au o btiJIOI'Nt uue1 sume de llllllH!I'C 1 ·a~ionaJ e vom mai spune cfeduarea :-;umei de numere ra~ionah'.
lO::i
· I'IWI'Uil;'r .\..'f'J ALE OPHHA'!'l .l:: l li E ADU~Ait.G
1•: "I' 11 1 p lt · J, · de p t·op rir' uq i ;de opcrCJ t i (' i de arlu n~r rP. a uuu1 e t•elor 'in Ll'eg·i I<· pu Lc~m eonsi dera ::-i e;:t exempJe de p1·oprie LC:it i ale operaPei dt' ad tmar«: t1 num erelor rntionalc, nu m en~ l e i 11Lregi fiind ::;i n urnct·c J'n tiomllc. I\e ru Lcm rcfcri la accs Lc c.xem plf', deonreee opern~i a de <~d mwrc cu Uliin erc lnLrcgi sc fo cc la fcl ca. ~ i a.L unci clnu o considcriim
·cu o fncem c u numere rationale. · • I
Com utati(Jitatea adunari~ numerclor ra~ional c sc enunta :
On care ar f~ .numerele rationale a ~i b a(Jem
a+ b = b +a. Asociati(J itatea aclunarii numereJor ra ~ionale se enun~a: Oricare ar fi numercle rationale a, b $i c a('em
(a + b) + c = a + (b + c).
Din nr<'HSLa cnuzft, vom convcni ca prin a+ b + c sa intelegem ·ori
(a +b) + c ori a + (b +c). Astfel in loc de ( - ~ + ~ ) + (- ~ ) . 1 s ( '). d A I d 1 [5 vom scr tc - - -+ - + - - Hl , c a,;emcnea, m oc e -- + - -17
3 2 '2 ' . j 2
~· - vo m sen e tu t - -- + - + - - . ( 1 )] . 1 r) ( 1 ) '2 3 2 2
Obsel'vam ca : 7 7 7 7 !) . !') - + 0 = - i 0 + - = - 1 0 -1- 0 = 0, - - + 0 = - -, 0 + 3 3 3 3 4 4
( fJ) 5 4-. -4 =- 4.
Aceas ta p ropriet a te exprima fap tu l ca nurnarul rational 0 este ele· ment neutru la adunarea numerelor ra~ionale ~J se enunta:
Oricare ar fi 1mmarul rat ional a a(Jem
a+ 0 = 0 +a = a. Vom mr~i pune in cviden Fl. urmatoarele dona propri P.ta~i 1n care
in LPrv in reJntia de cgal i taLe in trc nrr mcrc r ationale ?i opera·~i a de a J. tmare a numerelor r a1.ion ale.
Oricare ar fi nwnerele raj.ionale a, b ~·i c, dace£ a = b atune,; a -+ c = =v + c.
Al~fp} spn s, dac.a ndunam acel a~i num5r ra·~ional cu numerele rn ~ional e care si n ~ cci doi m embri ai unei egalitati intre numer e r at io-naJ r: obtinem nuiTH' I'P r at ionale egale . ·
Ori ·r1rr', nr fi 11umcrele ru]ionale a, b, c .~L cl, daca a = b $i c = d Oll/1/Ci () + C = U -1- d.
.EXE.UCJ'fll
~: ) i · ~ ;~~)) 1
I j.. !. ".1 s.=-, 11•• , . . 1\,·i111 :ll rnli:1 S~1 cnns id rr~un nx n ll llllll'f'P or , 1gu r·n t , ~ •
I 1 · 1 :, ·, ~~ ACl'Sl <: l lll l rl !'l'e si ll I. <'!! :t l <IP-EHm p t' :.l J l Ll llll'l'f' O l' 1' :1 1 llll1;t ( • -:) ~ - -:; · ., . .... ...;
p nrtato de originea roordon n Lelol'. ~r. Rpn ne C'i\ p1~ net r lr l11 d 1 c'p·
Lul c{1rora' se afl :l mJmPr r. lR t'Si ionale ~ re~prct i v - ~ ~In t. simf'lritr~
fatrt de o~i gin ea conrdonatelar; De ust~nwnea, se s pnnc c~i r ste
~ r- • s opusul lui ~ , iar ; r.s le opwml 1m - "'i "
-~I I I I I I p..
I
I -3 -2 0 2 3 4 5 -4
3 2 -~ 7
Fig. \'.4
Definitie. Opusnl unui nnmilr raJional poziti(J a csle nzumln~l rrt· tional negati(J - a.. ~ . . ~ .
1 · z
Opu.ml unui numa.r ratwnal negatt(J -a ~sle nzu~w-tu, · rapona pozitiv a. l'hwu'f! id ra( 1.onn~ Q are~ ca opus numaru,l . ra(.lrn ~rtl ~: .;_
ObsCJ'(lClfic. Op llSUl W '/.U /, 7W71Wf' rnJtpnal a SG noten; a r pl ln ((. r ~ S ,. · ' 1 t -
Deci daca a = ~ ~ , ·a tunci - a = - 2 . Daci:\ a = - 2 · a unci ~) 5 Daca~ a - 0 atu nc1' - a = 0. '~n cazul 1n cnre a = - -.1 ; -a = - · c c - , 1 ~
2
ebcralitatea -a= 5
se mai scric- (-2.) = l. De · ( 5) 2 2 2 Cl - -2 estc o-
pusul numarului rational - ~· . Tot as lifel, daca a = 0, atnnri - a=
= 0, ~e mai sr~·i e ~-0 = 0. Deci -0 este opusul nurnarului 1ntre.g 0 Se constata ca · · ·
~ + (- ~ ) = 0, - ~ + ~ = 0. . '
Tn general: Suma clintre un nwnar rational .~i opnsul salL este egala en 0, aclic:a
a+ (-a) = 0.
.rn exompln , de Jiloclul1n rnrn se obline ovusulunei sum e de 1~umerc r~t10n0 le , se poa Lc. da cu o su mr. de·numer·e intregi, numerelc lnLt'egi· Jlll~d .$1 num ere ratwnale. ,Un astfpl de exe·mplu, s-a dat atunci clnrl s~n vorhtL dcsprr or~lSUllllllll numrt~' intt·eg ~i putem sane refrrim Ia rl, cl eoa:rrr operR tJ.de ~c nrl~mnt•c ~~ ~r}) clrl'f' cu m1merp l~trPgi sc fnc la frJ cmd lc constderam ca le efectnam ru numere rationale.
1 n genpraJ: '
DaciJ a = b + c, atunci -a = - b + ( - r). Ad.ic[t, opusul llllei sume este suma npu~ilor termenilor smnei.
R\:1:: R f'l'fTl
) S- 1 ·I l a n se Rc unr. - cu OJmsu san. 2
b) Sa se adu.ne
!n egalit atea.
') d
4 cu opusul san.
6, SClDEP.EA
1 8 7 --;-+~=~ ·
,J , J ,J
. . l1 8 prm rAre se defme~t e sumA num erPlor rationalo -- s,l _ ,
:1 3 punc l1l t!Vldenta OrlC'1'1 T'e din t PT'ITlPni lJl fr ]u] urmat.or
7 8 1 }_- ( -~) = p. 1 •J ' I rJ . ._ j oJ ;)
·-- - ~ --· :l ::l :1
putem
r.i'\ ; - r Bt.e di{erenfrt 1ntre , j
7 . ·t • -;:;- ~1 - -;· oh~.mu ta prm sciMerer.t ll ,J
Spnnrrn
. . I 1111 -- ·-. ,
, J
Amdog,
tuf.l
~ ~
l . I ·p I ' I . I . I 'lll -:-;- • I' -:-;- 1 numnn u scn;.ut , 1m· nr - - sciizi'itnr. • , . ) r·· '-' ,,
I d'f' 6 7 8 - 3 este 1 erenta mtre desciizutul si scdzatorul -;;- , 3 ~
l n genrral : Dnca a .~i h sfnt doua nrm?Pre raf.ionale, diferen(a lntre a $i b~ notata
prin a - b, este acel numiir raJ£onal c pentrn care a = b + c. Se scrie ·
c = a-b
~i se c1te~te ,c es te egal cu a minus b". ULilizincl no~iunea d e opus al unui numar rational, dif~rent-a intre
dona numere rationale se efectueaza asemanator modulm in care se efectueaza difere'nta i.ntre nnmere intregi. Aceasta se datore~te faptu]ui dt nnmerele i~tregi sin L numere rationale, iar opera~iile de adu· nn.re si scader-e en nnmerc 1nt J'egi se fac ]a fel ca ~i atunci c1nd le c.on· ~ictHim ca lc efec tu am cu numere ra~ionale. Un exempln s-a dn.t ALnnci clnd s-a vorbi t de diferent-n. 1nlire numere 1ntregi.
Jn general: Oricare ar fi nmnerP.l·c rationale a ~i b, a(Jem
a - b = a + ( - b).
Aclica, di{Pren(a a. - b fn lrf'"' dona n.zunere rafionale a ~i b esle eg~lcl. rr~ s11 ma. a + ( - b) chntre numarul ra{lonal a ~n op11s11l _,_b al nnmarnluL rrt (ional b. • . . ~
Vom spune ca efectudm d,.iferen~~ a- b atunCI c1nd. deteemm~m nnmftrul rn t ionAl cnre r RtC' rllfrrrnt.a 1ntre numerele rat10nale a s1 /J.
Exf'mpln . Sa se rfer.Lur.ze cl ifrrenta ;~ - ( - ~ ) · Avem
..!.. _ ( _c) ) = ..!..+ ~ = 17 . " Q 2 ~ 2 6
ln mod ann.log ___ _:_""' ~ t -- = __ , l !1 I ( f1 ) 13 ~ ? 3 2 6
r;
rl rnm·rcP nnmarn l r ::rtion n.l po r.iliv ; , care P"tP yalo:wra nl,Ro l nt :~ n
numarului ration al nc g-al·iv - 5 • r~tr ma1 mare de.c1t numA.rul ra-• . '2.
1 · r) n I iomd - , ~wind !1 · 3 > 2 · 'I , im· --- = ~ • • :: ?. ::~ f)
Trebu ie ret i nn~ 6 i opPraJ ia tlr scrkln e l'ntrP dou c£ rmmere rationale se poatl· efectua ot icmt• or· {i acfstr numere ra{ionalr.
Ayem· 3 . ')
-'-- 0 =-~· '2 . '), .
rlezu]H\. proprietatea ('aJ'P araU\. urmatoarele: rliferen\a intre or·1cf.' ourMtr 1·atioHai '31 0 P.;5 t e ac.e l nurnar· ration al; Hd ica
Orinfl'(' at {i Jlli!Jirilltl m]irmal a (l(lf'JI/
a- 0 =a . .AvPm
Ht:zllll ii proprir•.t.nt.~~ · r:-~r·f' :n·at ii lll'm ii toarr;lr•: cl il'PrPnta thhP 1 11'1 1 n '.t~ rma r· f':l~~uuaJ ~~sLL· (lflll;:ul :\t 't •lt li lllrmi"tT' ra~iuwll, 'adieri
U t llttte at /t nzmuu11/ mfwJitJl tl ll!'f'nl
() - ll . ~ (f .
'{orn f'll!lr. in ov ir~et i[.i"t lll'rn:'t Lu:l r'l\l t\ clot til prop1·ieLfl1.i 1n r:1rr\ )nlf'l'\'l!L t'Pl:t t.w d fl f'gall 1a i P l n ll't~ llttlller't' r:..ttiurwJo .._ j Lllle' r .. ttJ·· ~_{" s" I
' { · • '• · c • ,1 r , l tl• < P,l'l' HI r·p nmnerP ra,.IOnale. · '
Oru·orf' m· {1 ?lllmerPit• r"tiunrrlt• a, h fi r, drJc£1 a = h a tunci (f - - (' - !J _.... ('.
_Ail.fel .:-;pnR,, cladi. ~6t.d Pm :wP.la :;:i numkit· r·n\i,Jrt ~'l l din numer·elt> r•:.rt.rurt;..dP c:l.r'e l·nnt CP.I dot lllPTilbr·i· :ti llll t-•i egalit i'lti 1ntl'f'' num.e1·1• I'H ·
tJOnal~ oht-mPm numer•t- ra\. i o nnl, ~ Pg:tlP. ' Ot~mte nr (i 1/tuJ/PrP/r~ ro]iono lr• a ,· /1, c ~ i rl, rlrlctl. a =- b si r =-- l
a/11 11 t't a - c =..:: b - d. . ' ' · . . A I tfeJ spus, p~·in sciicler':-n mrmbrn r:u mr.mbrn a uourt egaJ i~rtt i 1n trP numer·p m ~wnal~ obtmcm_ o rg;ali ta le jnLt:e numere rat.'ionale.
' F.X.ERf'ITTI
Si'i se efrr:t.nrzr.:
n) :~ - ~ ' h) . ~ - ~ ~ r ) - . ~ - ( - ~ ) ; <1) -+ -(- 3)1 t>) ~) -(-.:!_)·· f) ~~ ( 3) · 2 It G 12 1 - ·12 - - 20 j
~·) __ R _ ( __ 7 ) • b) i _!_ _ 2 .3 ') I ( 6) 1~>0 120 'i 2 ti ' J
2 5 + - 1 7 1
j) 0,1 - ( -0,75); k) i.- ( -0,2). . 5
DESFACEREA PAR.\~'l'EZELOR
. ~nmcrPln lntregi fiind n.nmcre t'R l.ion8lc>,. 1Ftr operFtt.iile de adunare f:\1 scndp.rr cu nnmere lntrrgt f8clnclu -F>r=> in acela!)i f'el eFt si atnnci e1ncl 1~ rot tstderam ca l P- cjfrc l.11illll r·u m t mere ra~iorud 0, ,.~m cons]de1·a ca t~ot. re_ s-; spus ]a. clesfacrr:oa paran LPzelor in legatura cu· m1mrro 1ntt•rg~ raT_?me valab:l atu.ncl c1nd desracerea paranteze]or se face in legaiura en numere ra~wnale. ·
108
2. f'rin clrrd':lrt-·rcn p: rr:t~tt e7elor• r o l tt lldf', "" pl't":t: \
devine _.!_ + ~. S-Ftu SlJ prim~' L p~tl' ~lit te'Lt· l ~" 1·ut11 nd t :~ i 111 ~ ~ .
10"
bolnl -t core desparLe rri doi Lerm Pni - _•_ ~i .r' s . > ul t' xprPsiei af'l ::~ te
inLre parante zP.le rotund e a fo::; t 1nlocni t rn ::;imholtll -L co · l 1 . . · -, · ,,1m ) O ul -, l'are e.<~t e prunu] s1rnhol al t.P.l'mermlui _ __!._ ~ . ·
. . · .) , c ::u e est e prnn 1.d tr. rmPn :J exp~·es te i a fl at e 1ntre parantPzPJe rotnnd e a fo t .,· 1.mprenna cu Simbolul - din fa~a parantezei r·~t. nn~l e desdeStl p~llro ~ t .schH. ere.
Fsxemp111l R. Prin d e~faceren parnntezelor• rot.1lilc1, .. . · . ·r 11:-: r-xpresw -- _
- (1 - ~ .. ) drvin f' - __!._ _ "J t- I co . :l ~ ;{ ·' - ;·,, -au snpPlm At pamntf'zPie rotnnrl e.
S'irnbolul - , earn drRparLe eri doi t rl'mr n] ') r;;i 1 · · · , , •, -;- aJ exp:J•esun aflat" .. 1ntre parantezele r6t tmcl r. :1 foRt 1nlocuit 0 :>. 1 J 1 "' past rat simboluJ - din faia paranh~z f:-i , .ro·tlln.tdl Rldm )Od n lt d· A fos·~ -- · · · e ~ e esc 11 ere.
Deoarece pentr-u num0rele rat.ionDle _ _:2_ ' Ill
. 2 ~ 1 -;; Rre loc egalit ateu
o,)
2 ~ 17 -:;- = - - +--· u ~ '12
17 iar .
12 es·te un nnm ar rational pozitiv, Sf.'
')
spun.p ca, ~ est.e mai mF.tre
1 n 1 " · · t ec - 4· ~1 aceast a se sen e ast.fe.l
-~
110
1 1 1 2 ~ ::\ 2 ' t ~
n nr. r e- >-- ~P m Ai ~c l'i B --,- < ._.':! ; ceea ce SP cr e~te ,,- 1-l I, ta ~&
est·· mal mw rler:it 2 14
:J
!n gP.neral : On numiir rational a este mai mare dedt un numar rational bl r.eea
.. cf sr· sene
dnr.:fl e~r:istii un numrlr rntinnal pozit ir c ast fel fn r?l
a = b + c. Vom ::;erie ~i b < n. ~ i vom r iti nceAsta ,.b 0str ms i mir drrH n"
rl nrtl a > b. S1mholnrilP >, < Rr. numesc sim/Joluri tiP. i nr~rtli fu lr stri rtrl.
Pe nxa numerelor, din dourt numere ru1.ionnlc, cPl rnai m31'1' st.' a fl fi la dreapt.a crlui mni mie. 1n\.elegem , prin aceas ta, cr'. lrrrPrNt, pr nxa numerelor, de la numarnl mai mie la numarul m n.1 marP se
farP parcurgincl axa numrrr.1or 1n srns pozit iv. De exempln, ~ P<;t.P .. •\ 2
m oi mFJ.re drc1t - ·; ~i se ronstata pe figura 4 ra ~ est e la dre.ap la <a 3
ln i ')
"
-4 !
--3 ! _;I I
-2 0
1 -~
I 1 l l ... 1 2 3 '~ !;
2 ,-fig. \ ' .4
Analog, putem spun e ei;i, pe axa nume1'elor, din dourt nn.mer'e rf'1innnl<', eel mai mic so afl rt )a RL1nga _celui rnai mare. l n"telegPm , prin nceaRta, eli trecPrea, pe Rxa numerelort de la numat'nl m ai mm·r Ia Ti umarul mai mic se facr parcurgind axa n t:t merelor 1n ~rn s nrgH l i\'.
D 1 :) . . l ' t 2 . ~ f' !. e rxrmp n , - - eRt e H\31 m tc c ec1 · - s 1 se constata pe 1g u m 1 ~ 3 '
.i 1 t¢ 1 . 2 crl - - est e a s · 1nga m -- ·
It J \
11 1 1 O 1 . 1 1 1 D
Avem - <- ' - - <-t <-, ( ar - .... - · ::wu notatn r u 2 2 2 4 2 '2
. d' 1 . 1 1 l 0 ·I < 'i a onca.re .m numere e ratwna e -- , - -, , -, a vern a - san ~ 2 2 2
11 1
. 1 ! d • j J~ Cl " 1 a = - . n loc e a ser1e ,,a < - sau a = ~ vom scr1e a ~ - • CCN\ L 2 2 .2
ce se cite~te ,a est ·e mai mic sau egal cu 2_ ''. 2
In general, fiind date doui1 nu,mere ra]ionale a §i b, pentru a indica faptul cd a< b sau a= b scriem
a~ b,
ceca co se cite~te ,a este mai mic sau egal cu b" sau .,a este eel mult cgnl cu b". InegaJitatea a~ b se nnme~te inegalitate nestricta intre a ~i b.
An11log, fiind date doua numere rafionale a $~ b, pentru a 1:ndica frtpuL cit a > b sau a = b scriem
a~ b, ceea ce se cito~te ,,a estc mai mnre sau egal cu b1
' sau ,a estP eel puth"' cgnl cu b". Inegalitatea a ~ b se numeste tot inegaliwte nestricta intrP (1, ~i b. '
Ap1ir.~fii.
1. AvPm S ' G1 1 1 2 2 - :- 0 + - J - ,_- 0 + --I -- :- 0 1- -' ' :~ :1 7 7 1 1 I 1
!i 1 2 -- ~ · - , Rint nnmere rntinnnlr pozitive, nvrm 3 7 1 J
'> 1 Q .:___ > 0 - > 0 - - ....... 0. a ' 7 ' .1 1 ...... Am ob(:inu t urmi'ltoEtrea proprioLntr: 01'iNfl'£' ar fi numi1ru.l rajional pnzitil' r1 apem
a > 0. 2. A \'Nn
0 - ( - ~) + ~ i 0 == ( - -2-) + .3 . 0 -= ( - ~ ) + _!_.
:!. :_; ~) ~ J<i/ 1~ ~ UPon r·eee ..:_ , 2
-- I - sint munPre Jtt.Po.naiP pozit ive, avem t~ J 5
8 2 O l o--- o--- >-·-· ...... 3 ' ~ ~ 1 • 1:!
/\111 oLtinut. ur·matoaren. propi·iN.nt.r: UJit·are ar fi IWmitrul tajwnal nr:guliv a nvem
a <"'.._ 0,
l)f'!'iuitin (•alnrii alJsoln!e H<.ll l :.t modalu/ui U.llUl l1Uil1W' rat1ona.l puut.t' fi J C:t. t ci1 dt>e~, sub Jomtu :
112
I . I fa, d aca a ~- 0; a - 1 "' . 0 a, u a l<:t a <.. •
:BXEKOI..'J'D
Sa se afle valoarea de a.devir a fiecare:ia. din.... urmatoarele propozi~ii:
1 1 2 4 a 4 a) 3 <- 6' b) - 3 >- 6~ c) --g>·--v-1 '',
3 3 2 2 1S.. i9 d) - r; <- (;~ e) - ~ > -·"il f) -19>- 20.
.. d . 1 d 1 3 . 5 ~-Fnnd date oua numere rat,ton.a e, e exemp u 4 1,>~ 2, vom J,ll-
. l 1 . I 3 .s . f +elege prm prorlLLSU numere or ratwna e - ~I -'- ~ care se numesc ac-Y · · ' 4 2
. . ] 3 5 3!1 torii produsulm, tm num ar rat.Iona , notat cu - X - sau - .-;;- • care , 4 4 'l £
1 . l 3 .G . se ob~inc tinlnd scama ci:'\ numere e ra110na e --; ~ ~ .) SJ!jlt. nnmere I ~
mponale poziLive, ~] cfectn1nd produ~u l lor , a~n rum .n fn~ l. t>l dPfinit in m nnuaJnl de mrtLrma Lica pontru clasa a V-o. Drr1
~ 5 . 8. 5 15 - ·-= - -= - ·
Spmiem eft m1mar11l r<rtionnl 1: s-a ol1tinut pr'm 1nmult irra nu-
. 1 .'3 • 5 · - 8 5 · 1 " l Lr"'l. p e m Prelor ra+.1ona e - s1 - sau ea. - · -; ceen rc se r1 L~ c ,, "' . \ - 4 • 4 ,, '2.
• , d . I ! .") • ' ~ patru ori cmc1 pe m' , rsLe ~ ~~ Sl'r'lPm aceas~,a
'·'
- · - =:'l - . t, 2 H
Nnmr>rcle rntinnnlP fiin rl pnzi!iv0 f::m nrQ'1. tiv" snn l'D;alr rn 7cro, vnm cla cito o dr,f'illi{ir p Pnt.m obt inrr·ra pvudmmlni nuttlPl'l'l,n· f' a~iun ::lJP a ~i h 1n fi ec{lr f' r::t7. rr. Sf' poi.lte .rrezent n.
Cazul I. Numerele r·RPona le a ~i b stnt pozitiyP snn OT·ica.rr din elo f'flt. e ?.;OI'O.
Prndus11l a do11 i f. mTmPrf' rrt(ionalP. a .~ i b, carP si'11t pn"'. ilh·e san orirarr. din cle cstc zet'o , f'stc mrrnrl.rnf. rational c carr S l ' llbflne a§'a cum am aratnt In manuahd de matemati,./1. pentru clasa a J'-a,
E xemple. 3 h IS -.- ~ -· ' ~ ~
" _-::.. o = 0,
"
Cn.zul 2. Numerele ra~ionale a ~i b sint numere ra~ionaJ e negative. Produrml a dou.a rutmere rationale· negattc,.e a $i b este mlmi'irul ra.-
tional pozitiP c = Ia 1·1 bl. . · Exemplu.
(- :)·( -i) ~ i:i deoarece 1- : I= ~ , 1- ~ [ = ~ ~i ! . ~ - 1~~.
Cazul 3. Unul d,in numerele rationa le a si b este numa1· rational pozitiv sau zero, iar celrtlalt numar' ra~ional r'Iegativ.
Produstl.l tt doua num.€re rationale a $i b din care U'1u.l este numr'ir rational poziti" sm~ zero, iar celalalt e.~tf. nnmi'ir rational negari v este numi:irul rationa.l c cllre se obj.ine pslfel .
Dacii a = 0 san b = 0 , atunci c = 0. ln caz rontrar, c =-I a I· I b I· Ex~mptul 1. A'rern
l?oarP.ce -- -=- Rl - . - =. ~. d I 51 s . 3 fl 15 2 2 . ~ 2 d
:Ex~mplul 2. AYem
( -·~) • ;') = _ 15 I
~ 2 iil
d roarr. ce - - =- s1 - · - = - . I
.1 I ~~ . .1 fl ·[5 4 4 . 4 2 8
Exf'mphiJ 3. A vern
0. ( - ~ )= 0,
deoarece primul factor este zer~ Exemplul 4. Avem
( - ~ ) • 0 = 0, I
dli'oarece al doilE'a factor est e ZPro. frehuie retint1t eft; Orica,r~ ar fi numiirnl raJional a arem
a · 0 a::~ 0- a = 0~ Se observa ca: .
( --1-)· (-~. ) = ~I (-1) · ( -~)=~i 4 4
(- 1) • - ca - -· a a
Li. , , -:-- . ( - 1.) =- -··; ~ 3
Hezulta proprietatra cnre arata cf'l prod11~ul rn - 1 r ste or·ie.firui numar ra~,ional ~i op11.ml ncelui numal' ra1 ional, ad.ioa
Oricare ar fi mzmli.ml rational n nCJPm
a· ( - 1) ::..:: ( - 1)· a == - a.
Tn loc de atlarea san obtincrca unn i produs de numere rationale vom mai spune ·efectu.area produsului de numere ra~ionale.
Vom pune in eviden~~i urmatom'e1e dourt proprietati in care jnter· vin rela~ia de egalitate tntre nnmere rat1onale ~i opfm-lt-ia de 1nrm.Jlt.ire A numerelor rationale .
Oricare a1· fi numere.le rrrjionale a, b ~i r, claca a = h atund n · c ::::a
= b· c. AJtfel spus, da c5.. nnmerPle rn1.ionale , eare sint cei doi membri
ni unei egalittt~i intre numore rat.ioml.le, Je 1nmult.im cu ncela~i numf.il' rat.ional , oh~inem nunwre rn t i ona]e r.galo.
Oricare ar fi nmnPrele m(ionalP a, b, r .~i d, darrl. n ::=; b .r;i r = tl atunci a· c -= b · d.
Astfel ~pn R, pt'in 1nmnlt.:i.r'Pa mrmhrn ru membm n dm.1a Pgnlii.a, i intra numere rationA le, oh1inem o rgal.itaie in1.rP mnnerf6 r::q.ionale.
0. f'O.\JT"''ATITI'fATE. ASOVIATIYITA'I'R. DISTRTne'ffVITtTE. ELK\I'E\"1.' NElTTRO
Exemple de propd etftvi a le operatiei de 'lmnnlt.ire a nume;elor 1ntregi le putem considera ~ i c:a exemple de proprietati ale opera~if·i de inmultire a nnmerelor rati onale, numerele intregi fi1nd $i numete rat.ionale. Ne putem referi la aceste exem.p1e, deoarece operat.ia de inmult.ire c:u nmnere in t,rcgi se face la fr] ca ~i atlmc.i clnd o oonsideNi.m M. o fae:em Ctl f\ltml.'t' e ra~ionalr .
Comu.tati"itatea fnmu l(irii numerelor ration:;tle se enun~a: Oricare ar fi nnmerele rationalP n .~i b fHJPTn
a· b = b · a.
Asociati"itatPa znmzzltirii numore lor m1iona1e se enunta: Oricare ar fi n umft'f}l f' rationale a, b $i c aPem
(tt · b)· c = n · (/; · c).
Din nceasta c:au7,a, vom convcni ca prin a· b · c sa ]n,.elegem ori
(a_· b)· c or] a · -(b · c). Astfe l 1n loc de (( ~ ~ ) · 7 } ( - .;t} vom Aerie
( -:. )·7·(- 1~1 ) ~i , cl cas~menea, 1r1 loc de ( -:) {7· (-~)J vom
sor1e tot ( - ~ ) · 7 · ( - ;-~ ) ·
115
3 Pcntru trei numere rationale - 4 , 2, 5
avem 2
Deducem ca
(- ~ )-(2 +(- ~ )] = ( -~ ) ·2 +(- ~ )·( - ~ ) · 0 astfel de proprietate este adevarata $i pentru alte t rei numer e rationale, oricare ar fi ele. Acensta propri etate; in care interv]n atlt operayia de adunare a numerelor rat,ionnl e cit ~i cea de 1nmultire n numerelor rationale, se nume~te distributi9ita.tea £nmulJiri£ fa.ta de adu,nare si se enunta : ' ,
Oricare ar fi munerele ra.(,1:onale a, b $i c ac-·em
· ·a· (b + c) = a· b +a· c.
E~te n.devi:ir;~l.i'i ~i proprietntea c.:1re Rc m1m r:::te distrib11ti{• itrt tcrt Zmnu,lf.irii faJi't de sciidere care se cmmtfL: '
Oricare ar f i nanwrele rat ionale a, /; ·?i c a9cm a · (b -c) = a · b -a · c.
Intr-adevar, a, b, c fiincl nnm r.ro r:t1 ion::dc, d::ttorita rlistributi ,·i· ta~ii inmultirii fat a de adunare a vcm .
a·[(b - c) + c] = a· (b - c) + a·c. Dar (b - c) + c = b. Deci
a· b = a· (b - r) +a· r,
ceea ce, conform defini~.i ri ~cad rri i n donfL num ere ra~ional e, se Aerie I
a · (b - c) = a · b - a· c.
Exempln.
. ( - ~-)-[2 - ( -~ )l = ( - ~ } : = _2;, (- ! ) . 2 - ( - ~ ) . ( - ~ ) = - ~ -·~ = - 2~ t
d ecl
Observam cFi:
8 p, 1 ·-c::::-:
~ 6
ua
( -~ ) · 1 2 =- - , ? ~I
1 · ( -~ ) =-~·
'
Re7.td 1.:'1 propt·iet ntrn cn rP rxprtmH fnp t.nl rA nnmiit·ld r·:tl.ionnl f'Sft"' element neutrn ln 1nmnltirrn nnm rr0lor rnponr-tiP ~ i 1':111' Sl' cnnn\ ft:
Oric_are ar fi nunu£rul. rafional a a"em ·
a · 1 = 1 · a= a.
Sa se e·fBctu eze:
Prin in versnl nnmiirnlu i rational ; 1n\.e1Pg~m numfn'nl r·rrtion:-'11 .) .
- · ') oJ
Prin inversnl nnmarnlni ra ~.i onat /L in~el egem nnm rt r·n l r·ation :, l ')
Pr\n inversul numal'nlui rnpon8l -;.!... , hltPlf'gf'm numilrnl ra-ta . ' 5 '
t. 1 5 N - l . l 0 . l 1 . wna - - · umaru rat10na · nu arc mver::;, c eonrr.ce - nn Pf\to. 3 • 0
numar ra·~ional , OJ•ice numar ra1.ional avind numit orul clifPri t dr 0 (zer o).
Obser9at ie. l n9erszzl um1-i numiir rajional a, diferit clP zrro se no,teazii prin a- 1•
Deci dacii a = 2. ; atunci a-1 = ~ . Daca a = t1. atunci a-1· =..!.. 5 3 I , ~.
D - 3 t .' - 1 . 5 aca a = - -; a unc1 a = --. 5 3
Se constata ca
~ . ~-= 1 ·, s ·~ = 1 · 4·~ · 1· _!_,q .. 1· 5 3 35 1
L1 '4 '
(- ~ ) (- ~ )= 1; . ( - ~l (- ~ )= 1.
117
In general: -Produsul dintre un nz{mdr rational .~i in oersul san este egal cu 1.
Sa determinam, acum, inversul produsului ~ · ( - ~ ) cu ajntot'Ul
inversilor factorilor ~ ~i -! ai aces tui prod u s. S5. no tum ' ~ 7
£= ~ ·(- ~ ) ~ i fie b inversul lui a, care es te diferit de zero. $tim ca
a· b = 'l. (]ec i 1nmu]i-ind mai int.il, cu b ambii mcmhri ai egali tatii a =-=
, , y ' . • 8 ':3 ( 8) = ~ ·( -- ~ ) ohtinem a· b = ~ ·( - -;7)· ~Rnu1 = ~ · - 7 -b. T inincl Reama de simPtl'ia rela\.ici de rgal ttfttc lnt~,e nnmrre r r~ tl on R_; P,
obt-inem :: . ( - ~ ) . b = 1. . Inmu lt.incl , a poi , rn ~-~ , in vrrRtl'l ln i ~: •
hii me~1bri ai1
eu-alit at,ii ~ ·( --;::: )·1>-= l, ohtinrm ~ · ~l ·( - ~ ) - h --am . . .... .) 1 ••• ) 1
= ::-1 ·1 sau (-! ). b =2. , droarrrr! ·! =-= 1. lnmul~ind , _ln Rfi r-::l L j :~ J ,) '
sit rn - 2_ in\'PI'Std lui -_ £. , :trnbii mrmlwi ~ i rgaliLati.i ( - ~}11 =-=
·~ ·~ob\in:1~ (- ~ ) ( - ~ )·1: = ( - ; J· ~ '"" b =(- ~f; .' dena·
J'8 ('P ( - 2-) • ( - 8- ) -= 'l · . . n ~
~ I ~ ) Am njun~ la r.on el11zin r8 im'f'l'R1ll proclusu lui ~: · ( - ~ PR1 f'
l 1 ~~ ( ' ) ll eoarerr ( -2-). ~=~ - ( -2-) , d atori.t?l conm-r.ro · n"u - · - - ' .c ' .. .. 8 . J ~ ~ ,, •' tat.i,· it atii inmul~irii numerPlOl' rnti on:=t lt ·.
tn g'eneral : . . Jm•ersul unui prodns dr n_mncre. tnf!.r•nalr.' m ciirui (acton· sin!
diferiti de zero1
este produsul Z1HJP1'~1lor factorzlor.
11. tJTP~\.R'flR'E.:l
(- :-~) . ! ~ -~ ; ;, 2 'I ll
] . 1 3 prin care se define~t e prod1t snl mtm Prfl or t'n ~ to n a r - ·f,
. 7 ~~ -:-;- , pn tem
"-
puue 1n evid.enta oricare din factm·i' ill ft=> lul urmat or
( 21) 7 3 ( ..! l) ( 3) 7 - w/ 2 ~ - "b ' 16 : ---;- = i ·
S ll: 3 t A l ~ 21 ' '1 l ' • A ~ • 1 1 punem Cn- - es e c1111 tntre -- iil - o )tmnt prm z.mparf.zrea u 5 11 1 • 2 .
21 l 7 p 2 L il . d • v • • 7 • v • A l - - a-. e - - num1m eunpartzt, 1ar j)e - LmnartLtor. na o0cr,
10 2 10 > 2 '1 ' '
7 t • l • X t' .. d • v • l . 21 I . v • l 3 ~ -- es e c1.tn tmp\.l.r n·n ezmJ'Jartztu zu - - a zm.part~toru - - . 1n 2 .. ' ' 10 ' 5 cazul in care se gase~te un numar rational, dar numai unul singur, care sa fie citul impartirii intre doua numere ra~ionale, spunem cu 1mpartirea se poate efcctua intre cele doua numere rationale
Nu putem impa.r-tj un num5.r rational cu 0. Intr-adevar, ca sa
aiha sens ( - ~ ) 1 0 tr.ebuie s5. exjste tm numar ra-yionnl a nstfel1nc1~
a·O =- l, 5
cBea ce nu se poa Le, dronrcce a· 0 = 0. Nu are Rens nici 0 : 0, d0oarece 1 t . . ] . 1 1 I ;I s n rnm mu t e nnmfwe rrt \lOnfl e, de exemp u, -
2,
5 1 3, nstfe]
1nc1t (- ~) · 0 =- 0 ~ · 0 -= 0 1 · 0 = 0 2 , .-) - ,. .
In . general: · Daca a $i b sfnt r7'rma nnmrrr m tinnale ast{Pl f n r1t h i= 0, r l tu.l 'intre
' b . l (/ l l a ·?~ , no tat prm rt : J sa u -;;·, este ace n umct r rat ion a c, pentm care
a = b · c. Se sm·ie
7 a (' --: (7 : l Rftll C = -·
h
~i se cite~te , c esLe egal en a 1mpi'ir·t,it la b". Utiliz1nd not.iunea de invrrR al unui numar rational , vom arata
cum .se obtine cltu.l int re dona numere rat ionale. Av1nd egalitat Nt ·
(- ~). 2. = ~ 21 • !"l 2 l fl
sa inmult,.im ambii membri aj acestei eo-alita+1 cu numarul rational ~ v 0 ~ , ,
I
inversul lui ~ . Avem
r( - ; ) . ~ l· 2 = ( - ~) . ~- . . J 1./ 7 10 7
[( 'i) 7] 2 ( •.) )( 7 2)' ( '..l ) san, .q_~~ind in vederP c,q, _ - ~ •2- .7 = ~ ~ · 2 '7 = -~ · 1= v .
= - -; avem 5
D"r (-21):!= _!_y conform definHir1 tmpartlrH 0 10 2 5 . .
~ional la 1m numar rational, av]nd (- ~ ) · ~ = - ~~ • Deci
unui numar ra-
( _ 21) I 2_ = ( _ 21). 2 • 10 - 2 10 ?
Analog,
( - 2.1); ( - ~~ ) = ( - 2·1). (- ~-) . JO G ·10 J
Tn genrr:t l: · . Otirare m· {i. 11/l lflr'rt'li' rrt{iorwlt· rt .yi b i 0, dtul i'nlre a $1· h P..~te
egal Ci t produ.sul rli11l•tP rJ · ~ ~: in vN.wl lui h: . _ _ V•1m spune t:>ti r:f'ertu6m d t ul a : b a l.unel c_h1d det.err~nnam numa ·
rul rational care este c·itul intre nllmerPlP rat10nale a f?l b. • • ') ) I.
Exemplu. Sa se efectuezE' eltnl ( - :.;- : -~ . A vern : • .J J
( -~- ): 2.= ( -.:?:- ), l._= -·~. ~J j ;; /1 ).t J
Trrhnio 1'P ~.im d r~ , npemfi(l tlr lmprlr{irP i11trf' dnucl. n11mrr~ rn.t!n·7/rt lr: sr• pn11tr• '' /'N'/II a, nritlfl'l' r11· j'i u tt!,\'l r' llllllll'l'f' tttJion lfl t:, i'n care zmpm·· [itoml este di{crit rlr! Zl'l'o.
Exem1llu.. Sa se rfectueze rttnl ( -2) : :1. A\'em 'I 2
( -2) : 3 = ( -2) . -;- = - -;;· . .1 o)
T r'ebnie re~.im1t ea, operatia .de 1mplirJire 1ntre do~Ht nnmere l1! tregi SP pootf' rfeclua, oricarP. ar fi aceste numere fntregi , i'1i car~ l.m.parfl.torul este diferil d (' zero , rezu.ltatu l tmpt!rJ iri i r iind u n rw mar raj wnal.
A vern 2 : 1 = :) ' ( _ . .:_~ ) : 1 = - ~. It 4 '}. 2
Rezulta proprietatea care a rata nrmaLoal'ele: c1tu1 intre orice numar rational $i 1 este acel num ar, ad ica
Oricare ar fi nwnarul rational a a~·em
a: 1 =a. Avem
1:5=..£, 1: (- 3) =-.!. 4 s 2 ~
Rez;u1ta proprietatea care 8rat3 urm~t~.oarrl e : c]tnl 1.ntre 1~ ~l orwe nurnar ral.ional, difr r1t de zero, es tc mversnl acelm nu mar , adica
On:care' ar {i muniirul ra.f ional a, cli['erit de zero, avem 1 l - 1 1 :a = a- sau -= a .
" 120
Avem 4 4 - - :( - 1) =--- , ~~ :~
11P~ul la propri eLaLe<t c<u'e ar'alrl yt·mat om·elc: c:iLul iotre or1ce uumar ra ~ wual ~1 - 1 esLe opttsnl '<:~celw numar rational , aJicCt ·
Oricare ar f i num arul ra I ional a afJem . ,
a: ( - 1) =- a. A vern
(-1) :~CJ _l,, (-1 ) : ( - !) =~ · ,1 lt 9 8
Rezulta p!'Opri e Latea cal'e arata urmatoarcle: cltul 1ntro - 1 si once n ur!Jal' ratio~1al , diferi t de zet·o, cste opusul inve l'Sului acelu/ numar
· ra1.10nal, adlCa Oricare ar {i numarul rational a, diferit de zero, avem
(- 1):a =-a 1•
A vern
0 : ~ = 0 ; 0 : ( - ~) = 0. I) L
Hezulta propriek1Len C<Jt'C araL:1 t tt'mCtLOa t'(~ l c: c!Lul lnLre 0 fj i u1·iee numar rational , dil'erit de zct·o, e·sLe 0 , adieu
Oricare' ar {i numc'trul mtional a, diferit de zeru, avcm
0: a = 0.
V~m pun~ in evid~nFi urmatoarele doua proprietati in care intervm relat1a de egahta Le hY~re numere rationale ~i opcra~ja de impartire intre numer e ra~ i o:qale.
Or_icare ar fi numerele rationale a, b ~i c; unde c ~ 0, dacd a = b, atu.nc~ a : c = b : c.
1 1 l b . · (l b n oc c e a: c = : c vom scr1e ~l - = - .
I ' C
Alt fel sp us, d <-1~i"i itnpi'~t'( i n t rtJ :t r rl a~i numur m1ionn l, di fe!'it de zero,, numerele r~1,tOntll c c ~ t ·c ~ i11t cei cl oi r:n embri tti 11nci cga1itr1~i intre numere ratLOnnlc, ob~ tncm n nme1'c rat1onale e~·a l e .
Oricm·e ar f i numcrele mt ioJiale a, b, c !]i d, und;; c =P 0 ~~ d =P 0, daca a = b ~i c = d, atanci a : c = b : d.
In loc de a : c = b : d vom sm~e si !!.. = ~ . ' (' d
~_tfel sptlS, p1:in lmp~i.l'~.i t·ea mernhl'n en membrn a doua egnhtati in tre ~um e~·e ra ponal e, i rn 1~i1e~i Lot' ii Iiind cliJ'eri~i de zero, oh~inem o egaht ate mtrc nttm eJ'C ra tt o'oalc.
121
Sa se efectueze:
( •)" ) <l) - ;~ : (- 5);
n·) 0 03 : ( - _J ) · ~ ' lOU '
EXERCI'l'il '
b) (-_!_):.i! s 5 I
') .. J /1
e) --, :3;
2
t•) ( -2) : ( - ~ ) ~ I 7
~3 - --·_) ·_)
f) -----1 I I -+---
:2ftU :~!iO 12U
i) 285,90 : (- ~-0,5 ).
1:3 .. F.HJ1'0R CO)IC.\"
In m embru1 al doilea al cgalitatii
- ~ a pare utit in prod usul (- :~) · 2, <:it ~i in pl'odnsul (- ~) · (- ~ ) : Spunem ca - 2 este f'actor cumun ·in amlJeJe pl'odu::;c.
It
Ir1 mcmbrul intii al e•l'aliUi1i i considerHte - 2 a1Jare o singura 0 ' li
data, iumuJLii Gi l ti llma r:P iorl :-dl i farlu ri ·ai produ::ielor ( -· ~) · 2 ~ i ~ , 1 ,
( -}) · ( - ~ )- Se spnue ca .:__ ;,: P ~ l c scos i11 /rr.rlor co11wn. La ncoa
terea in faclor c omun , egali taLeu. de lnai ::,us u scriom astrel
EXE.R.C:q II
Sa se calculeze:
222 1:::17 222 l a) + 4 444 • t:38 4 !lH . B8 i
3:t::l 240 ::l:l ~i GO 490 3~d b) - ·-+-·- -+-·-·
45U 799 4_;jl) 7~19 /rl9 4:JU
i l22 I
1::1. 1-'"Cl'EH.EA t:\..1 £Xl1U~-K\T XL:\Ult XATtRAL AL u.:\TI ~ L':.Ul.U ltA'fiOi\AL
Fie numaruJ rat ional - ~ . Inmultindu -1 pe - ~ cu cl insu~i ob-o 0
~1nem (- ~ )·(- ~) -· ln Joe de (- ~)·(- ~ ) vom scrie (- ~ Y· Vom spune ca (- ~ r este piitratul lui - ~ sau pttterea a doua a
. 3 v . ~ ( 3 )2 bt. . 'd. l . .1 1u1 - -:- . om rnm spunc ca :-- se o ylhe prm n tcarea u£--::-o 5 ~
la puterea a doua. lnmul~indu-1 pe (- ~ r cu - ~ obtinem (- ~ y, ·(- ~ ) , ceea ce se rna1 poate scrie [(- ~). (- ~ )]. (- ~) sau ( -~) ·(- ~ )·(-f). Acest pl'Odus il vom nota CLI (- ~ r ~i-1 vom ~IUmi cubul lui -
3 sau puterea a treia a lui - ~ • Vom spu-
5 0 .
IJ e ca ( - ~ r se obtine prin ridicarea lui - ·~ la puterea a treia..
Vom spunc ea (- ~ r este 1 t;;i ca - ~ este (- ~ r. Fiind datil o puLere a lni - ; obtinem o alta 1;u-Lere
focind produsul inLre acea p t:ttere a lui - ~ ~I - ~ -. 5 5
a lui
-3 )t. ( ., )a ( '' ) ( · " )4 [( " )a ( " ) l 3 ) ( - ~ '= - ~ . - ~~ . Deci - ~ = ~ : . - ; ·( ~ ;
SdU ., • 1 ( ., ., ( 'J ) ( "1 )
( -- ~ J = - ~ r. - ~ . --~- . Deci
( .1 )' ( ;~ ) ( .':J I ( i ) ( 3 ) . -;, = ;; . -5 )• - 5 . - s . - -
4 l'at:Lori
In cazul numarului ra~iona.l 0, nu se define~te 0°, dar 01 = O, 011 = 0 · 0 = 0 ~.a.m.d.
ln general: Dad/, a eslt' 1111 lllllmtr rational si n un nnrru~r natural astfel fncfl
n -f- 0 ~i n .,._,_ 1, utu11ti ' ' a" ....:= a · a · . . . · a., ----n facl.uri
123
A poi at =a, r'or rlac?l a '" 0, atnn.ci a0 = 1. Numi\.1·ul ra\ional a so uume;;;Le baZ£'i , 1ar ll 1tr!1al'lll fnt.l'eg n se
11 nnH'HLc exponent. 0 11 se ciLe~Le, ,puterea a n-a a luJ a". AsLfel a6 m~tc
putcr~a a ~asea a lui a. ·
II. .l:.\JllL'fllU~A tiE PC'l'Elll CU ACEEA~J n . .\zl
A vern
(- ~ r · ( - ~r =( -~) · ( -~)·( -~!·(-~) · ( -f)·( -f)= ' · 4 facLol'i 2 facLori
~ ( -f)·(-~)·( -f)·( -f)·( -f)·( -f)~ 6 facLori
= ( - ~ r = ( - ~ r, 2
•
!n genera l: Daca a cste un nt(,.ntc'ir rajional, iar m ~i n sZnt 11 urnere naturale.
altwci
Dcci: • 1. v J o ut" e a acele1' asi baze, I)rotlusul l•uterilor cu acoea~I "'a~a , est.e P. "'r , .
hlt• exponentul esto suma exponont!lor factordor.
15. PUTER.EA UNEI PUTER.I
Avem n-~ rr =(- ~ Y·( -~-r ~ = ( - ~ ) ( - ~ )- ( - ~ ) . ( ~ -~ ) . ( - } )- (- ~ ) -
= ( - ~ r = ( ~ r2
' In grnerfl.l : Dare/. a este zm nwnar ra(ional, iar m $i n· sint 1wmere naturale,
atunci' (am)"= am·n.
l24
Deo1: . Puterea unu1 nnmar rational se ridica la o putere pastrind baza puterH acelui numar ~i luind ca exponcnL produsul exponentilor.
IG. a:>UTE.REA U~UI PRODUS
Putern scrie:
Tn general:
((- ~ ) ·4 r c=u _ ~ J·4J-[( _ ~) · 4J~ ~ r ( _ ~ ) . ( _ ~ ) 1. ( 4 . £{) = ( _ ~ r . 4~ ..
. Un produs de '"'""~,,.~ m (.ioualc se ridicii La o putere r£diclnd fiecare factor lu acea jJUtere ·>· i inmulJ i~td puterile ubJinutc.
17. l..liPlit'}'lltEJ.lJE POTEIU CU AC£EA~I BAZ!
Avem
(- ~ r = ( - ~ r = [ ( - ~ ) · ( - ~ J. (- ~ } ( - ~ )J: u-~ ) . (-~ ) J =
' = ( - -} )- ( - +J- (- ~ )-(- ~ } (- ~ )- ( -~ ~ ) =
In general:
-= ( - ~ ) . ( -· } ) = ( - ~ r = ( - ~ r-a. Daca a esle un numar ra]iortal, diferit de 0, iar m ~in sfnt . numere
naturale astfel ~ncit m ~ n, alunci
Deci: CituJ 1mterilor cu aceea~:i haza, 'liferita de 0, este o 1mtere a ace· Ieia~i haze, iar ••x twm•ntul flste difm·enta. intre cxponeutul deimpar· t itului ~i exponenlul lu1 part itorului.
Sa se efectueze:
121S
I:XLRCI.\.11
sa. se efeetueze : 1 1 ') 1 1 ) 1 '1 1 1 1 1) - "& - ' 2 - ~- e 3 1 - - 2- a 4) -----' 2 4 4 2' 6 3 5 2 4. 1 2 ,, It. 7 ( 7 1
5) --- Lb. .::!.... 1 G) 1 - ~ J 7) - - 1 · 8) 1 -- ~ 9) - - 2 · 2 3w4 5 8 ·' 8' 2 1
10) .!. - 10·, 11) - 1 - 100,· 12) ~- 3· 1:3) 1 - 14 10 100 3 ' 15 '
H:) 13·-1· 15) _!__ 3 _!a 16) ~-]__- 5 J 17) ~--.2._--1- , '15 , 20 0 60 f 24 16 00 270 180 450
18) - ~· ( -~· ) ; lU) ~· (-~ ) ; 20) ~· ( - ~ ) ; 21) (- ~ )·( 1:); 22) (- 3). ~ ' 23) ( -2) . ( - ~ ) . ( - ~ ) ; 24) ~ . ( - 2 ~)'
25) (-5}·(-1~)·(- ~ ); 26) 32
. l4 ·( -6); 27) ( -~):(-~)J 98) -- : - ~ 29) -- : -- . 30) -- : ~ ~ (
'1 ) '1 ( 25) ( 5 ) ( 1 ) - t - 15 3 l 36 6 ) 24 -8 >
31) -=~:_2_~ 32) -l.S: -:3 ~ 33) (-! )2 ~ 34) ( -~)z ~ - '19 -7 • 28 -7 ! 3 I 7 I
35) ( ~ ~ r 1 36) ( _ ~ )'\ 37) ( _ ~~ r i 38) ( - ~ r ~ · 39) c~2r 7
1o) (-~-)5 : (L)a ~ 41) ( -2t10) · (~ - - ~ + _!_) ~ 1U !() I ~d LiU ~11 I
• lG ( 1 JJ ;; ) •• ( ::i l I ) ( 11) 4J) 19 · YL-32- 1L:i ~ <li)) 280 -70- -r1 : -5o ~
«) SO·[}o+~-(1~0 - 2:0 - io1o)Ji 4.:>) i - t 1 9
1 ---2
46) 3- 3 47) - 1,,25 + ( -12,5)- 2,5-0,025 + ( -12500); 3+ I.
3
48) ._2,45 + (-45,2); 49) 4,4 + (-t144,4); 50) 199,99- 2100; 51) ( - 2,4). ( -200); 52) ( -4,05) . ( - 1 002); 53) ( -20,05) . ( - 100/L) ; 54) (99,9- '1 00)1~; :)5) ( -2t't0) ; ( - 1 000); u6) ( - tl ,G): (- ~tOO ); n7) ( - li . ~): ( - rLo7); :>8) ( - 1G L102,5) : ( - .'J.,OS); ;JH) O,P + ( - 0,01 ):l;
60) { ~ + ~ . 0,75) : ( _ 6); til) ( 0,5 - ~ J: (- ~~ r j
6:!) 0,3 ~ ;j : (- ~) ; ()3) ( -0,6) ' 1,(6)- ~I 64) 0 1(34) - !E., 1() (j!) 6 I! I 990
0 ,.- + . --- -- : 0 01· G-) l() <) l8 ( 1 1 i )J 31 12 4j 30 ) '
1 1 .
6G) ( ~ + _!__ o,;J ) : (- 2 + 0 2v)· 2 I ( I - ' J '
- ,.J 2 .
G7) {1 - ~~ · [0,5' + 0,(5)]} : (1- 101); 68) l - (r:-0,1}5 ; '1
' 1--L
1- -2
\ 7! 6!)) 0,375: 32:J• (-0,1) I 70) 2 J
1 l 2 ' 1o· . (V- r + o ')- · u· · ) - + - + - ,_;) , - 0 - ,:J 240 540 225
71) ( -90)· { 2 -[~ + - 1
. (1 ~- 2 _!_)]! 0 05} · D 90 178 30 . 45 - '
7~) Sa se efecLucze: [ -10- (1 ,96- 2t1,5) + 4,05. 20,4 + 2 448 ; 1,2] : ( - 0,1)3.
73) Care numi.ir este mai mare : a) . (0 ,1)3 sau (0,1 )5? u) (0,25)60 sau (0,25)7°? c) (-0,1)3 sau (-0,1)5 ? d) (0 ,1}8 sau (0,01)8 ? e) (1 ,'1)" sau (1,1)5 ? f) (-2/15)12 sau ( - 2,tl5)13 ?
44) ~5. se calculeze:
l4.322_43231+Jl,01 -i,OOlJ- j-4323 l ,_4 3221· 4 323 4. 324 4 324 + 4 323
7::>) Sa se calculeze:
a) (- 1~-t~O- 1 ;oo- 10 ~oo ): (- o,i1i1);
b) (5,8 + 246,~4. 576,248) . ( 0,5 _. ~ ).
76) Sa se afle toate valorile pe ca1>e le poa~e lua expresia:
( - 1)2" + ( -1)21!+1 + (--~1t · .!. + ( -1)"+1 (-~), unde k EN*.
2 4.
77<~) So.:-;.~ a fl o v<lloart><t de adevaJ' a fi ecareia din urmii.toarele pro· J10ZI I1n:
a) Oricare nr fi uumcrel e ra~ionah~ n, c rnai muri deciL :lero si - f' ~ oncarc <J r 1 uumaruJ naluru J b, dacii ab = cb atunci a = c· I
h) Or·iGnrP ar fi nnrnerele rationalr, (! , b, c, daca a '1- b ~i b -F c ;d \IJH.'i ({ ., C" , t') Oricarc ar fi DUJll ercle ratiouale a, b, daca a2 = b2 atuuci ({. b.
78') ( >11'1~ r~H I n Y<llo:t rea rle arle, ar il urm5.Loarci propo:titii: Oricare ;1 1' fi numerele rationale a, b, c, tlaca b # 0, c #- 0 ~1
\ ({ (/ . b ·~ -= - · aLunc1 =--=c . b c
Lucr;Jro pentru Yerilicarea insu~il'ii unor cm10~t.In~e de baza
Sft sc dt'CLuczc:
1) ~ - ~ + -~;; ~) ~~ . ( - : (:) ; . ;{) ( - :~J ( -1 *) ~ ·1) C'~ + ,'.!. o ~~~):(~~r ; il) ~m,~ ·f 1D8+ '1,302 ;
li) 2.'1 1 ( " ,'75); 7) 3. 1 - ltPO, I ; H) 10 · ( - 2/l ); ~)100·( -0,7 );
10) !),0l-)· /() :>; 'IJ) (-600/t) . (- 200[)) ; 12) 0,23 + (- 0 ,01 )2; J:n 1G".22 : 0,~0:-> ; H) 2,0!, -1·· 3,04 · 100; 1:>) It -1- 2 · (4,03- 8,1); 16) - 1 ooo · l5 + ( -w,sr~ + :..;,~..J. : 1,s + ( UJA- 1,69) : 10J. .
Lun~u·" prufru Jll'C~ilti rea olimpiatlelur ~j :1. altor cunctirsuri
1) S;i r;h ar·:ll.n ri1 d in 3 nttHt cl'e n:.JLumlc oa l'ccaro se pot gasi dou a a 1:a ror sunra Kit sc clivida cu 2.
2) Sa sc on k n1Pzc: 1
( 1. DR~ · 1 98.1 - 2 - t'J. - n - ... - 3 964 - 3 966) :2
G .l\1. nr. 5/ l 085 ( euun ~· nt odifica t )
3) FiPc·;11·e d nllrt~ w'1mercl9 .r, y, z P::; Le numar rn\ional diferiL de zero, i .1r 11 E:: :N. E,e mai ·~ Lie ca numerele ( -3)6 • x3 · y3 • z•l+l 9i ( -2)n · :~·2 • ?l · z'' ' 3 au acela:;;i. semn. S;l sc nflc Rrm nnl numarului .t.
•1) :-Ji1 RC· cfcctW'ZC :
128
1 1 1 1 1 1' 1 1 a) :.w I· ::u + ~2 + su + 72 +au+ flO+ .j :J2 ~
1 1 1 1 1 1 b) 1o.Ti + 11 . 12 + 12. 13 + 13 . 14 + 14 . 15 + 15 . ib
lndica{ie : Calculat.i a) ~ ~ ; ' ~-6
1 •
'l ;; G
Cc observa~i ? Puteti a plica ccle observate la rezolvarea exerci~iului? 1\e:tolvat i ~i cxercit iilc ~ i problemelc de la 9 la 27 pagina 186.
rfl pi fnlul n UADACINA PATRAT_.\
CHESTTUXl f'REOATITOA R.l~
t:.ond it i; t o ? tl, Hl nnr i ~::H' ii no ntttlt."i r r·~q. i o r 1nl rr lnd r pline~ lt-> nnm:=trttl o ~P nnm0~ 1 .P 17PJUJ{;IIti c• .
·) En.mrlr. 2 P.Hte nnrmir nonegAI.iv, t. .:, Psl.e nnm fl r· rr nnog:Hiv ,
·t N~ I ·P num Fi r nenegAt.iv . 0 ~~~ Lr num l'll' n.en F\g::~t . iv rk.
Prin pntLert lntrnagli o nurnttru.lni rational .r. noUt t ii 1 .r), tntf• IP£!PITl eel mai mare numar· int.T'eg mai mic sau· egal cu :r. A~a rlHr [:rl ., .r < < [xl + 1.
E."lemple.
[3,7J = 3; [ 2 ~ J = 2; c.-3,21 = - 4; [Ol = o.
l7ATRA'I'l1T, UNUJ ffil\IAR NA'fUR.AL
Putem scrie; P = 1; 22 = I~ ; 32 .__ ~ et,e. Numatu] 4 est e patT·atn l numarului 2. Spunem cR 4 A'lt.P pi'l trat
perrect. De asemenea, nurnorele 0, 16, 100, G25 etc. sint plltra te perfecte.
~umerele 8, 15, R7 0t.r .. nn f:.int pfitrat.e perfAct.e. S~1 Px nm in}'i m I·R.heln l u liHnrfll .
n I 0
1 2 ')
" 4 5 6 7 8 9
10 11 99
rt" ()
·t
" 0 '16 2f> 36 40
6ft· ' 81
'100 ·1(-)0
!) 801 t
Din nc:esl, LabPI ~e Vf\d e (;R dHM nnm f\ rnl nRtU · t•::tl [-IJ' f"l o r ifril., piHt'Rt.nl M1i1 an~ o r. ifr·~ Afl u 2. L'.i fl'P. D::wa ~t l l:nilrul nALurHl a.I'P doui"l cifrc, pFII.Pn l;111 f.:Ull fll'n I'·T'rt r1frr Rflll p::~t. r·u CJfl'fJ . D.ndi nnn tflf'ltl nnt.nrl'll 11rr n c1f~'A (n E N*), at.unci pa LraLul sau ~:H'e 2n -1 sau 2n c1rre.
L Jl~ni\ crN \ .r.\TRA1'.\ DL\T'fTl . lJN ·p 1rAH ,\' A'l'( 1lA L PA'I'H.A'J' PE: JH'l~ r'l'
Din l.fl br l111 fl l l-lt.nrn L Rr. VPfl r. f'i:\ l'ftl·t'flt.ul ft l l· mnruhd nflLurAl 2 oRI P nnm arul n :=t 111l'HI L,. An [-I IOQ', 1n acela~ i tabel pntratul f1e carui nurotu• din co·
129
loana intii este numfu:ul natural ce-1 corespunde in coloana ~
dou~. sp ne ca radacina pat rata a nnmarului 4, pe care o. notam J~r:ste
11
acel numar natural pe care ridicindu-lla pa:trat obtin~m. ~~ Acu vt' ~r este 2 Scriem: {4 = 2. Citim: rarlrtcma patrata dm
ces numa · _1- 1 -6 4
. 12- 5· _/'16 - 6· 4 est e 2. Analog, vom scri e v9 3; vi = .i_ v J = ._, v.::> - ' .r-- 7· J6t, = 8· -'81 = 9· ,j100 = 10; v1. = 1; ,;o = 0. . ' If 49 - , :1: , v , ~ 1 . ar na-
D 41' ·t·e Daca un numiir natural k este patratu unu~ .num ,. eJJlll,l • ~d ~ . ~ t ~ . marulu£ natural k. tural x, atunci x se nume$te ra acma patra a a nu .
Putem scrie V32 = 3; v92 = 9.
EXERCl'J'II
Sa se calcu~eze: _ _ _ _ _ ---2
-
a) lf16 + 1/25; b) ,j1 + ,j4 + lfO; c) y2812 + ylt59q_.
2. RADlCJNA PATRATA DT~TR-UN :~rUlUAR RAi:J'IO~.\L NENEGATIV
. ~~
~tim ca ( ~ r = ~ . Spun em ca ~ este ra~acina patrattt a lui 9 ~1
Vt; 2 . v 1 -~ scriem 9 = 3 . Analog, vom scr1e 4 - 2 · . ~ ... ,
$tim c.a 0 52 = 0 25. Spunem ca 0,5 este radacma patrata a lm
0 25 ~i scriem' 1/0,25 '= 0,5. Analog, vom scri.e: 1.:252 = 1,56,~5 .. ;~~n~m c.a 1 25 esteracHi.cinn patrnU\ a lui 1,5625 ~1 scl·lcm V 1 ,~62::> = , . :
' v • z t · u este patrat~Ll unnL Definitie. Daca un nnmar ra(,wna nenega w ~ d ~ . "t ta numa/ raf.ional nenegatic) x, atunci x se munf'.$te ra aana pa ra a lui u.
Sa se calculeze :
a) v ;5; b) V( ~ t; c) v OA9; d) 1/0,64.
3. RADACINA PA'!1RATA CU APROXDU.~.m DATA
BADACINA PlTRATA CU APROXntA'l'TE DE 0 UNITATE PRIN LlPSA DINTR-UN ' . Nmi}Ut RA'flONAr~ NENEGA'fiV
Numarul 7 est.e cuprins 'intre patra~ele ~ d~ua nulrr;e~e3 na~u~a~ ; · 1n.tre patratul lm 2 ~~ patratu m · . u e.
~~ri!~c2~t~e7 ~ ~~~~nem ca 2 cst e radacina patrata cu aproximatie
130
de o unit::~t.e prin lipsfl a lui 7. Nnmaru1 3 est e rHdacina patr~ta C'Q .
aproximatit> de o nnit.fll,p prin Rdao~ a nnmaruh1i 7. DifPrenta 7-22 ,
adica 3, se nume~t.c re~;tul eadacinii piHrate cu aproximatie de o 1mitate p:r-in lipsa a num arului 7. Restul se noteaza cuR. In exe.mplul nQstru R = 3. ' · Analog, putem scrie 32 = 9 < 4.2 • In acest caz, R = 9 - 32 = 0.
Analog, 12;45 este cuprins 1ntre patratele a dona numere naturale consecutive. Putem scr1c : 32 < 12,4.5 < 42 • Nurnarul 3 este radacina p~trata cu ·aproxima1,je de o unitate prin ]ipsa a numarului 12,45, iar /~ este radacina patr::.ta ru Rproxirnatie de o 1mi~atc prin adaos a nurnarnlui 12,45. Rcstul este In acest caz: R = 12,45 - 32 =·3 ,45.
Dea~emenea, putem scrie : 22 < 11 < 32 • Numarul 2 este radacina 2
patrata cu aproximatje. de o unitate prin lipsa a numarului 121
Se vede ca radacina patrata cu aproximatie de o unitate prin lipsa
a numarului 11
, adica 2, este egala cu radacina patrata cu aproxi-2
· matie de o unitate prin lipsa a numarului 5 care este partea intreaga ~ I . 11 a numaru m - ·
2
Definitie. Radacina patratli cu aproximafie de o unitate prin lipsa dintr-un numar raJional nenegatiCJ a este numarul natural x astfel indt:
x2 ~ a < (x + 1 )2 •
x + 1 se nume~te radacina patrata cu aproximatie de o unitate prm adaos a numarului rational nenegativ a. ·
Altfel spus: "
Numim radiicina patrata cu aproxima#e de o unitate prin lipsii a unu,i numar raJional nenegatiCJ a, eel mai mare numar natural x al ciirui piitrat este mai mic sau egal cu a.
Restul este R = a - x2•
Avem: O ~R < 2x + 1.
Jnt.r-adevar, din x2 ~ a < (x + 1)2 deducem: O::;:;; a- x2 < (x + 1)2- :r2 adica 0 ~ a - x
2 < (x + 1)(x +.1) - x2 adica O::;:;; a- x2 < 2x + 1. Dar a - x2 = ll l}i deci O ~ R < 2x + 1.
Radac£na patratii c11, aproximatie de o unitate prin lipsa dintr-un numar raJional nenegatiCJ este egalii cu radacina patrata cu aproximatie de o unitate prin lipsa din partea intreagii a acelui numiir rational nenegatir.
Fie a un numiir rational nenegativ. Notam cu b partea sa intreaga (b poat e fi oi zero). Putem scrie a = b + c, uncle O::::;; c < 1. Daca x est.e radacina patrata cu aproximatie de o unitate prin lipsa a lui b
avem x2 ~b < (x + 1)2 in care b este mai mic decit (x + 1)2 cu un numar mai
131
- d unam e c care este mai mic dectt 1 mare sau egal cu 1. Daca lab a ~ai mtc dec'i-t (:c + 1)2. Avem:
obtinem un
numar b + c care este, de asemPnea, 2
a;2 ~ b + c ~ (x + 1) -r
adicl a:2 ~ a ~ (x + 1)2• • '
A plirrt(,i1> r d ,.. . a tra t.li c~ a.proxima~ie de o .unitate J) Sa 8P cnl r.~ l1PzP. ;rL acma p
prin llpsa a num Rrnhtl 2. avem· _, Solutie. Aceasta este evident 1 pentru ca • ~,
1_2 < 2 < 22• -
• v ~ :"\ ·oxima~ie de o unitate 2) Srt se~ ca1c~u1eze radacliia pat.r!:l~>CI. Cll BTH ' :
prin lipR~ d1n 8,:). xsim un nuroar ·natural x astfel SoluJte. Aceasta tnsea mnu sa gd.
tncit: ( + 1)2 x2 ·< 8 < x •
Evident x = 2.
'R DE 1 'PRIN LIPSl RlDAcrnA PA'l'HA'l'A r .\PUOXDt.A'fl , 1ci DL~'l'R-UN ~mJilR RATLONAL NENl WATlV
• v v , l ]_ Col mai mare numar rational de forma Sa cons1deram nu mm u 3 · . 7 t 15
· · d cit es e -· (£ (x E N) al carui patrat este mat . IDlC e a 10
10 Putem scr1e:
(15)2 7 ('16)2
:.__ <-< - . 10 3 10
• t' d 1 prin lipsa S - 15 estR radacina patrata cu aproximayie e 10 Punem ca - · ,
JO • +' d - 7 N r ·ul 16 este radacina patrata cu aprOXIIDayle e
a numaru}Ul - • Uffiai 10 3
. 7 . _ 15 1 5 Mru.' putem spune 1 ~ 1 · C::.t1m ca - = , · - prin adaos a numaru m 0 · ..,... 10 . . ·
~~ci ca 1,5 estc radaciua patr~ta cu aproxima~ie de 0,1 prm bpsa a
1 . 7 numaru uJ
3 •
, . · d ..:~ prin lipsa, din i>clinitie. Radacina patrata cu. aproxtmaft,e e 10' , X
num.arulrational nenegatiCJ a este num.arul ra#onal de forma 10 (x E N)
astfel £ncU:
(X )2 (X+ 1)2 .:__ ~ a <i -- • 10 10
132
Put.em scrie aceasta dubla inegaHtate astrel : xll .:;; a < (x + f)ll sau 100 . 100
x2 ~ 100a < (X ~ 1 )2 • Aceast a 1nseamna ca X este radacina patrata
yU aproxima"{.Ie de o umtate prm lipsa din 100a. It plz.ca.Jii ·
~·. 1) Sa. se calculeze radac1.na patrata cu aproximatie de 1~ prin lipsa
a numarului 1,712.
Solnt1:e. Tnmul~im numarul 1,712 cu 1.00 ~i obtinem 171,2. Radac1na patrata cu aproximatie de o unitate prin !ipsa a numarului 171,2 este egala cu rad acina patrata en aproxima~ie de o unitate prin lipsa <;~ partii 1ntregi a numarulni 171,2 adieu a lui 171. Aceasta radacina
piitrat.f\ ~st.e 13. Deci racHicina pat rata en aproximatie de 110
prin lipsa
' " 712 13 1. v 1 Q R- l - . ~ - . +' d 1 dm J , este - , ac 1ca . , • .,. ac acma pat rata cu aproxima\'Ie e --- 10 1 10
prin adaos a numarulni 1.712 este 1,4. Sa facem verifjcarea. lntra~evar, avein 1,32 < 1,i12 < 1,42 adic~ 1,69 < 1,712 < 1,96.
2) s~ se calcu.leze ra'dacina patrata cu aproximatie de 1~ prm
1. - d' 10 Ipsa m - · . 7
Solu,f,ie.: Proced.f\m 1n felul nrmator :
!2. 100 ;;:=: 1000 = 142 + !. v 7 7
Radacina patrata cu aprOJdmatie de o unitate prin lipga a lui 142
e~te 11. Deci radacina patrata cu aproximatie de i. din 10 este 1,1. • 10 7 .
In mod asemanator se defino~te radacina patrata cu aproximatie
de -1- prin lipsa dint.r-un numar rat.ionaJ nenegativ.
100
Defini~ie. Rtirlar.in.a, patratd-cu, apr.oxim.atie de 1~0 pn:n lipsi'i din, nu·
marul rational nencgau:v a est.e numdrul rational de forma 2- (x E N) . 100
astfel tnc'it:
Apb:catiP.. ·Sa d jn 0,0006f).
- ..,_ a, , __ _ (
X )2 ~ _.. (X -f- 1)2 100 100 '
Re Cfl JmJ}eze radaeina patrata CU aproximatie d.e 0,01
Solntir.. 11)mu1tincl numarlll 0,00065 Cll 10 000 obt.inem nurral'u1 6,5. CaJculam radacina pat'ra t.a Cll aproximatie de 0 •mitn Le prin lipsa a lui 6,5 R,i ob~inem 2. 1mpiir"t,im pe 2 la 100 ~i ob~iQ.em 0,02 .
133
Spunem ca 0,02 este didacina patrata cu aproximatie de 0,01 ·. prin lipsa din 0 ,00065.
Verificare: . 0,022 < 0 ,00065 < 0,032
•
tn mod asemanator se define~te r5.dacina patrata cu aproxima~ie ·J 1 . l' ~ l' . l . de -, etc., prm 1psa, f mtr-un numar rat.tona nenegatJv.
. 1 000 10 000 . • .
4-. NU~1ERE IRA':flONAJ,E
Sa rezolvam urmutoarea problema: Exista un num[,r ra~ional al · carui patrat sa fie e·gal cu 2? Con-
statam ca 02 =fo 2; P i= 2; 22 =1- 2; (-1)2 i= 2; (-2)2
i= 2; l ~f ,l: 2;
(- ~ r * 2. Sa demonstram t eorema: Nu exista nici un numc/.r ra(.ional al cc'tnu: plttrat sa fie egal Cll 2. Poate exista un nnmar 1ntreg x astfel lncit x
2 = 2? Ave:rn 02 = 0, 12 = 1, 22 = L.~:, (- 1)2 = 1,' ( - 2)2 = 4. Nu mai
facem incercari., pentru ca vom oht.ine numere mai mari decit 2. l>.eci nu exista nici un numar intreg x astfel inc1t x
2 = 2. Dar oare exista un num ~u· rational x astfel incit x
2 = 2? '
Sa presupunem ca exista un numar ra·~ional x astfe1 incit x2 = 2.
A\uncj putem scrie x = : sau x = - ~ (a EN, b E N, b =1- 0).
a este frac~ie ir~ductibila. b a2 . Avem - = 2, de unde a2 = 2b2 • Dec1 a2 este pe~r. Dacft a2 este
b2 par atunci l?i' a este par. Intr-adcvftr, daca a ar fi impar atunci prin ridicarea sa la patrat am obtine un num.5r impar l?i nu un numar par. A vern egalitatea: a = 2q (q E N). Inlocuim pe a cu 2q in egalitatea a2 = 2b2 ~i ob~inem 4-q2' = 2b2
, de unde 2q2 = b2• Deci b
2 este
par. Daca b2 este par ·atunci ~1 b este par. Am ajuns la coocluzia ca
a este par ~i b este par. Deci. l'rac~i a ~ nu este irecluctibila. Accst b
tooru este insa absurd, pentrp ca am presupus ca fractia ~ este ire-
ductibila. Deci nu exista nici un m1mar rational x nstfel inc'it x2
= 2. Sa demonstram urmatoarea teorema: Daca a §i b sint numere rationale §i daca ab = 0, atune~ a = 0
sau b = 0. Demonstra/ie. Daca a= 0 teorema este demon strat a.
134
Daca a i' 0, pnt~m ~nmlJ l t,I• ~n b" 1 am n membri a1' 1· " 1 ega Itat-n cu -
~i a vern: ! . ab = 0, de unde b = 0. a
. .; Sa consideram ecua~ia:
(x- 3)(x + 3) = 0.
Avem x- 3- 0 adic~ 3 • Ecuatia (x - 3)(; + 3) a ~ = ;au_ x + 3 = 0, adica x = -3.
~i x2 = _:_3. = are eel nurnai doua radacini xi = 3
Ecuatia (x - 3)(x + 3) 0 . 2 • • ---:- are aceleas1 r 1 ~ · · . x ..,.-- 9 = 0 care are aceleasi ratP' · · ·. · . rae acm1 r.a ecuatia tia x2 = 9 are nurnai doua~, ~d- ~ ~m.nJ ca eV.c~at~a x2 = 9. Deci ecua-
E t. .
2 c rn amm x1 = g ~~ x"' = _ _ .,-9 cua 1a x - 4 are d · -~ v · · • - . ' e asemenea, mlmai doua radacini :
. xl = v4 = 2 ~i x2 = - {4 = -2. Sa consideram ecua~ia
x2 = 2.
Dupa cum am vazut acea t~ · Admitern ca ea are de a'sem . s a ecuat~e nu are radacini rationale ' enea numm do - ~ d ~ · · . ~' · nu sint numere rat-ionale, ci nu~ere e c ua ra acl.m ~I ~1. x2 care pe care le notarn astfel: p are le numim Ira~IOnale ~i
xt = {2 ~i x2 .- _ {2. Analog, numerele i/3 - { 3 .rg _r- • · · Numarul 7t, care este' ra 10rt~ll v ·' ~ v 5 SI~t U'atJonaJe.
diametrul sau, este de ase~~nea d111tl~e l_un~lmea oricarui cere si N
1 . , num ar 1rat.1onal. ·
~mere e rat1onale impreuna cu 11 1 . . negative formea~a multimea nume l n melre e lratlonale pozitive $i
re or rea e pe care o notf\m cu R.
1) Se considera nurnerele: 3· 0· - 2· .!_ . !. , , , 2 ' 1.
EXERCil'll
Care din a~este numere sint numere ~aturale? 2) Se cons1dera numerele: · - 6 ; ---:4 ; 0; 1; 2; 5; 4; 2,1; 0,5. Care dm a.ceste numere sint nu.mere 3) s in tregi? - e cons1dera numerele:
1 ; o; -1; ~ ; .,;2; 2,5; o,(3); 2,3(5).
Care din aceste numere sint numere rationale?
4) Se considera n~merele : - 2; 0; 0,(13) ; 1/2; 1/7. . . l ? • Care din aceste numere sint numere na~wna e 1 t -.t 5) Sa se completeze urmatorul tabel. Primul rind este comp e a
ca model.
Apar~ine Apar~ine Apar~ine Apartine Apa~tine Apar~ine acest acest acest
acest acest acest numar numar
numar numar numar mul~iroii Numarul numar
mul~imii mul~imii multimii mul~imii mul~imii R? R-Q?
N? N*? Z? Q?
0 Da Nu Da Da Da Nu
1
2
-4
1 -2
0,5
0,(5)
1}2
{ 3
- {2
1,41
6. EXTRAGER.EA R.ADACI~!I PA'fR.ATE DIN'l'R·UN NWilR NATURAl•
' EREA R.!\nl CTNIT PATRAT·e DINTR·UN NUMAR ~!i~~l .. PATRAT P"ERFF.C'f CO PATRU CIFRE
•
I
Sa calcul~m .radacina patra ta din patratul.perfectb 1.1.5~ .. d' am P'ent~·u a obtine num eJ'e na turale d~ patru cifre tre me s~ ri Ic
la patr~t nume~e naturale de doua cure.
136
Fie xy numihul natural astfel incit 1
V 1 156 = 10x + y
de unde 1156 • (10:n + y)2 = (lOx + y) (lOx+ y) = 100x2 + 2 · lOxy + y2• r·.'2 . - . Avem deci : 1156 = 100xz + 2 · i~X!J + y~.
Se vede ca cea mai ma1·e valoare a lui x este 3.
Inti·-adevar, duca x ar fi Agal cu 4 :-;au cu un num ar mai mare dectt 4, in mem-brul al do ilea al ega li Uitrii ar l'i un nu miir mai ma re tlecJt 1 15ti.
Vom sublinia an.umite con:statihi :
Constatarea 1.
S e obser(lq ea 32 este eel mai mare p?itrat perfect eel mult egal cu 11.
Deci daca x = 3 putem scrie
1156 = 900 + 2 . 10 . 3 . y + y2,
de unde
1156 - 900 = 2 . 10 . 3 . y + y2.
Putem scrie 2
256 = (2 . 3 . 10 + y)y.
Constatar~a 2.
In paranteza (2 · 3 · 10 + y) apare 2 · 3 adie?i numarul 3 tnmultit czt 2. Se Ped~ di la 2 · 3 · 10 trebuie adtmat tm nnmiir y astj'el ineit daeii fnmultim rezultatul oblinut eu y sa obtinem 256. Se CJedc ea y = 4.
Deei: V 1156 · 34.
Practic, pentru a afla radacina patrata din 1156 procedam tn felul urmator.
v' 11'56 3 9 -
-2
Despartim numarul in grupe de cite doua cifre tncepind de la dreapta la st1nga.
Ne intrebam : care estc eel mai mare pa traL perfectcel mult egal cu 11? Evident acesta est e 32 • Pe 3 il pun em sus in dl'eapta, n rirlicarn la patrat :::;i ob-t-ln ern 9, iar pe 9 n scadem din 11. Ob~inem restuJ partial 2 (vezi constatarea 1 ).
Linga primul r eHt partial 2, cobm'1m . gnrpa urrnato~re de nurriere adica pe 56 a~a cum se vede. S-a ob~im1t 256. Despartim la numarul 256 o ciira de ]a dreapta (25
16).
Pe 3 il dublam ~i ob~inem 6 pe care il punem sub 3 (vezi constatarea 2).
137
v11'56 34 9 --=-6-:-4-· 4-::---=-,2:::-::5,....,.6 256 256
lmpartim pe 2~ la 6 ~i obtinem 4. Trebuie sa gasi.m un numar natural mai mic sau egal cu 4 astfel inclt punindu-1 linga 6 in dreapta *i inmultind numarul 'care reznlta astfel en numarul ce trebuie gasit sa .ohtinem eel mai mare numar natural col mult egal cu 256. Se vede ca Hng~ 6 trebuie sa punem 4 (vezi constat-area 2). Inmultim pe 64 cu 4 ~i . obtinem 256 pe care il scadem din 256. Pe 4 il punem linga 3.
Deci i/ 1156 = 34. Proba: 342 = 1 156.
EXERCI'fll
Calculati:
a) t/900; b) t/324; c) t/144; d) t/1444.
EX'rRAGEREA RADACINII PlTRATE DJNTR-UN NUlliAR NATURAL PlT.RAT PEIU'ECT CARE ARE 1\lAI lUULT DE P A'rRU Cllt'RE
Sa calculam radacina patrata din 15 129. Se procedeaza analog cazului precedent:
tfi'51'29,_ Se despart grupe de cite dreapta spre stinga.
doua cifre de la
"tf1'51'29 _!_ 1 .
t/1' 51'29 _!_ 1 2 -5,1
i/1'51'29'_1.2 . 1 22. 2 = 44 -51
44 -=7
138
Extragem radacina patrata din 1 ~i ohti· nem 1 care se trece in dreapta, dupa cum se V'ede. Ridicam pe 1 la patrat (P) ~i ob~inem 1 pe care il scriem sub prima cifra a numarului 15 129 ~i scazindu-1 din prima cifra a acestuia ohtinem restul par~ial 0.
Coborim grupa urmatoare ~i anume 51 in locul in care sc vede ~i despartim o cifra de la dreapta. Dublam pe 1 aflat la rezul· tatul de sus in dreapta ~i ob~inem 2 care se pune sub 1.
Pe 5 de jos il impartim l~ 2 ~i obtine~ citul 2. Scriem pe 2 linga primul 2 ~~ rezultatul il inmultim cu 2. Am ohtinut 44. Scadem pe 44 din 51 *i obtinem restul par~ial 7. Numarul 2 convine ~i il punem linga 1, sus, dupa cum se vede.
tf1'51'29 12 C.ob~r1m l~1g~ 7 g:u pa urrnatoare adicif pe 29 ~l despar~m1 o ~afra. de la dl'eapta (in cazul ~ost~'u pe 9). II dublam pe 12 (12. 2 = - 21) ~J pe 24 il punem intr-o no11a linie a~ezata sub linia uncle am scris : 22. 2 = 44.
1 -22::-·-:::2--4-4 -51· 24
4.4.
,-
v 1'51'29 '123 !mpartim pe 72 Ja 2'1 ~i obtinem c1tu1 3. Pe
0 3 il , Purie~ Hnga 24 .. Numarul obtinut
24o, il 1nmultim cu 3 f?l obtinem 729. Pe 729 ~1 ~c~idem din 729 ::;i ob~inem restul 0. Touta luCI·al'ea ~e a~aza dupa cum se· ved.e in ace~t uH1m paragraf.
1 I-:2~2::-·-,2~--!.J:4-. -
- 51 24.3 . 3 ~ 729 44 -729-
729
1n concluzie avem: v' 15129 = 123. Proba: 1232 = 15 129.
EXER.crrn
Sa se caJculezc: ~l__v'22 500 ; b) t/256 036; c) v'2 958 ·~00; a) y96040000; e)y'1.0758(~; f) t/82083 606; g) y4028049.
EX'I'ltAGEitEA RADACL"II l"A'J'RA'J'E DIN'J'R-UX NUlUAit NA'l'URAL , CARE NU ES'l'E PArl'RA'l' PERFECT .
. Sa caJcu. lam rada.cina pa'·rata- d1·n 119. r; 67'-. cu .., ~...., <± aproxima·~·ie de o
umtate prm ]ipsa. _Yom proceda dupa cum se vede mai jos:
Restul este 330.
y3'56 '74 188 1 1~2~8-· ~8-=~2~2~~--
2 56 368 . 8 = 2 944 2 24 - 32 74
29 44 -3 30
Verificarea se face in felul urmator:
1882 + 330 = 35 674.
188 ~este' .radacina patrata cu aproxima~ie de 0 tmitate p~in lipsa ~ _.numarulm 35 674. . .
139
Iutr-adevar avem : 1882 < 35 674 < 189~.
.EX~lWll'll
sa.· se calculeze cu aproxima~ie de 0 unitate prin lipsa :
a) ..,j402; b) ..,j25LJ: 0'17.
. l~X'.'J:'RI-\O~It'EA l~AD.lCINH Pl'1'UA1'E CO ON m m .llt DA'J' DE ZECIMALJ~ EXAC'fE DI.N'J'R-UK SOl\IAl't NA'J'URAL C.A.ltE NO ES'J'E Pl'fl'tA'J' PERFEC'f
Sa calculam radacina patrata din l10 089 cu o zecimaUi . e:racta. Aceasta 'inseamna ca nu mai contin.uam calculele dupa ob~mere~ priroej zecimaJe. In acest mod, ~alcJuam 1·adacina patrat a cu apl'OXl ·
ma+ie de ~ prinlipsa din 40 089. 1nlocuim numarul 40 089 cu numaruJ y '10
ega] cu el ~i anume cu 4.0 089.,00. Daca d orim sa scoatem doua zeCl· male exacte inlocuim numarnl 40. 089 cu numaru1 40 089,0000 *.a.m .d.
in numarul !~ '00'89', 00, despartim geu pe de cite doua cifre de Ia drP.3 pta spre stinga l?i calculele se fac d.u pa ~u~ urmeaz~ . Avem grij a ca atunci cind ajungem in dreptuJ v1rgule1 sa punem v1rgula la rezulta·t.
v 4'00'89' ,00 200,2 -00 89 00 4002 . 2 = 8004
80 ot~
. ~8 96
' ·
Restul este 8,96. Virgula de la rest se pune sub virgula numarului din care se ex.traae radacina patrata.,
Prima oifr·a a ~'e~tului , l?i anume 8, corespunde cifrei unitatilor num arnlui. L.~:O 089,00 ~i anume cif1·ej 9.
A d ma cifra a restuh~i, $i anum e 9, corespunde cifrei cal'e i.udica zecimile numarului 40 089,00 adica primului 0 dupa virgula etc.
200 ,3 mrLe radacina patrat5. cu aproximat>ie de 0;1 prin lipsa o. nnmarului 40 089. intl'-adevar avem :
200,22 < l~:O 089 < 200,32•
Proba:
140
200,22 + 8,96 = 40 089.
A vern: ..,j40 089 ~ 200 ,2 ( semnlll ~ se citel?te ,.aproximativ egal" ).
Sa se cq.lculeze radacina patt'at3 d 111 2 ~' ' tn•! zecim.ale exade.
Cal?ulele se fac dupa cum urmeaza:
v2~;oo'oo'oo t ,Li.f.<i 1 oo '--::::2...,..tl-.-4,----0_,.n--96 - . - 28'1 . 1 = 231 - 4 00 2 824 ... 4 = 11 296
2 81 1 t9 00 1 12 96 - ~6 04
Proba: 1.,4142 + 0 ,00060L1 = 2. Avem : v2 ~ 1,414.
EXERCI'f ll
t) sa. se calculeze : {15376; v41 616i ,Jno1200.tl. 2) Sa se calculeze cu doua zccimale exacte ~j sa se faca proba :
-{7; v 18; v2o.
ti, EX'.fRAGEREA RAnACL~H P\'l'RA'r:F: DINTR-UN JH !)IAR RA'l'l ONAD UEPltEZEN'I'AT PLUNTUr O .I!'ItACTIE ZECllUALA.
Am vazut ca OA2 = 0,16. Avem: v'0,16 = 0,4. Analog 0 ,052 = 0,0025. ·A vern: ..,j0,0025 = 0,05.
1) Sa calcuHim radacina patrat a d1n 1,5 cu dona zecimale exacte, adica sa calculam radacjna pfltrata din 1,5 cu aproxima~ie de 0,01 prin lipsa.
A vem egalitatea: 1,5 = 1,5000.
E~tragerea radac'in ii pi.Ht·o l,r se face la fel f'A la nnm erele natu ralc cu grija ca atunci Pinct ajungPrn in drept,u l vil'gn lPi sri puuem \·irg1da la rezulta t. Ne oprim dupa ob~i ner-ea celei de a cloua zecimale. ~criem :
Pl'oba:
1!' 1,'50'00 1,22 =- 50 22 . 2 = 44
4~. 242· 2 =- LiR4 .. f) 00
ft 84 116
1,222 + 0 ,0116 = 1,5.
141
1,22 este radacina patrata ·cu aproximatie de 0 ,01 prin lipsa a numa· rului 1,5. Intr-adevar, avem : 1,222· < 1,5 < 1,232.
Sc1'iem: v 1,5 ~ 1,22. .· 2) Sa extragem radacina patrata dintr·un numar rational rnai rn1c decit 11'eprezentat printr-o frac~ie zecimala. Sa caJcuUim de exemvlu .,j0,007 cu 3 zecimale exacte ~i sa faccm proba. Vom proceda astfel:
\1'0,'00'70'06 0,083 64 l---..-:16=3-· -=3--:-::48::-:::::9
~600
489 -----rn:
ProbR: 0,0832 + 0,000111 = 0,007. A-vern: ,j0,007::::::: 0,083.
3) Sa se calculeze radacina patrata din 2,37583 cu o zecimala exac: ta. (Vom folosi numai primele doua zecimale, iar celelalte vor f1 coborite la rest.)
,; 2,37 583 1 ,5 1 37 - 2-5- · 5---,-12-:-5-
1 25 =12
Restul va fi 0,12583. Proba: 1,52 + 0,12583 = 2,37583.
EXERCI'fll
1) Sa se calculeze lf2,3; v 1,37415 cu doua zecimale exacte ~i sa se faca ~i proba.
2) Sa se calculeze cu aproximatie cle o sutime prin lipsa : ...j74,7. 3) Sa se calculeze cu trei zecimale exacte:
142
a) v'0,369694; b) y'2,5.
7. PROPRIErrATEA: V a ·b = Va · l(b, (a ~ 0, b ~ 0)
Sa calculam: v 4 · 9. Dupa cum se vede: v' 4 · 9 = {4· {9. Analog: ...j L1 • 25 = {4· ...j25.
Dam fara demonstratie teorema: Daca a ~ 0 §i b ~ 0, atunci 0 = lfa·lfb. Atragem aten~ia .ca v 4 + 9,; {4. + {9.
. Excmp1~.
a) 1f!4 = 1J (72)2 = 72; b) v96 = 93;
L, c) v 22 • 34 = -v 22. v34 = 2 . 32 • . . ' d) 11_~~. 3" v22
• 2. J4 = 2. 32 v'2 = 1s v2; e) v'12 = v22 ·3 = 2v3;
f) -vsoo = v2. 4oo = 2ov2. A vern:
v3 2 = 3; v(-3)2 = V"9 =a. ln general putem scrie;
V x2 = I x 1, unde x E Q.
Deci putem scrie v' x 2 = x numai daca x ~ 0.
EXERCI'fll
1} Sa se calculeze:
a) v4 . 2-500; b) v2552 • 36542 :(51. 3 654); c) 5- 18.75 v 2252 • 3242 2 d) v'~2 + 42 + y52 + 1.22
; e) v(-2)2• (-345)2 + v(-24557)2 +
. + -vo + v( -1)202; f) v34- v'26. .
2) Sa se calculeze
a) 2 { x2 - I X I' X E Q; bd) v (X - 1 )2
- 1'1 - X I ' X E Q.
· v-;; Va · · 8. PROPRIETA'l'EA: - = -- (a ::;:, 0 b > O)
b V1' """ ,
Sa calculam V 4 • Dupa c1.,Im se vede v 4 =' V4 = 3.. 9 . 9 V9 3.
Analog: vl0 = V16 = i.g v 1 = Vi = _!_. -49 V 4.9 7 9 V9 3
Dam fara demonstra~ie teorema:
Daca a· ~ 0 yi b L> 0 atunci V a = Va . b Vii
Exemple.
ll) v 1' = VI =.! ·. v 1 _ v9 _ V9 a 16 V- '2) 2 - ---=- ·
16 4 4 4 V4 2 •
143
1~ x t~ n~i tii Sa se culcHieze:
a) r 1~ ; b) v ;~ ; RJi l' I LJ•'ZE~ 'I' \RJ :A ;iU~\~ IlELO il l ll.t\1'10:\Al .E .SCH. FORM.\. .•
lll~ ~'ltAC'f LI ZECDl ALE l NFlr\l'l' L ·~.EPElUU DlC£
Sa consider·arn unele valori aproximative ale lui -J2. . · Prin adaos Pt··in !ipsa
I, I .4' 1.4'1 1/ t14
Gn avroxhnotie de (l unitate Cu a-pro:x1mElt1e de n zec~rne Cu npt'IJX i ltJR ~j ,. dr n s n.~m• e Cu ap1'oxima~i c· de o rnim lP
Ull 0 1111 , [\r t·a~ionaJ _8H r· ep~·e~~n.ta prir~tr---~J Jractle zecimaJa hmta sau priulr-o l'r·ac~i~~ zt't;lllt3J a m!u~Jtu pe~·IodiCa.. . . . _ .. .
l l numfu· ir·at ioual sP J'Cpt·ezmio p1' tntr-o lractw zee1mala mfl~ nituJ :epeJ·iod~ca ._ ln cozuJ_ lui {3 :;au v ~1 aceasta ' fra~~i~ ~~c~n_a~ inl'inita neve1·10dwt=t ~e obtme pr111 procedeul de extmgm e a tadacmn paLt·ate din 2 sau 3.
Avem: v2 = 1,414 ..• , v2 ~ 1,41; v2 > 1,41; v3 = 1 ,732 ... , V"3 ~ 1,73; v3 > 1. ,73;
'lt = 3,1!J,1.... 'Tt' ~ 3,14; 1t > 3,14. Admitern ca fiecar'e frac~ie zecimala infinita neperiodic~ rep1•ezin~
ta uu nUiuar ira·~ional.
EXElWl'fll ~~ PRO:BLEM.D
Sa se c~:~ lculeze:
1) (22 );) ; 2) (2 ·0)2;
6) ( ~ r; -7) ( + r; ~a se culculeze:
144
Sa se calculeze ( cu trei zecimale exacte ~ i sa se faca p r•oh~1) :·
26) 1/ 27; ~'7 ) \IB~I t1. : :28) v2,3S J : :!9) ,t"n,05: :-:01 vn .Oufl . Si:t ~e caJuuleze (cu dona t.ec nnale exacLe t;i sa l)f' i';;(jCJ proba):
31) -J2; l3; lf5 .. Sa se calculeze:
~12) ,p;:15 ; 33) -J(J~.-1~6-· -25-; 34) {9·· 625 : 35) lf2. 3. 23 • 33
aG) lf7 · 2 · 5 · 2 · !:> • 'f; 37) v22 • 5 · 22 ·53 • H i; 88) .j/'2 ·50· 49, ...
11·4 -
11:xo 11-.~ ,) v-l . 1-~---
·)9) 49; 4cO) 3o ; LJJ) {OO ; 4:-. ) V lt 9UU ; 4:i>) ,, 810 000 i ,
. 44) v2 -t-f; 45) v ~ ;; 46) It. 9
Sa se ca.lculeze:
4'7) V200 . 4.8) 11300 tn I . lU
52) V24 . oa) V25 _+ ·too . -2- ,)
'If~. si . ~ 132 . 55
68) Sa se a.*eze tn ordine crescatoare numerele!
1ov2. s, 6 v3 ·27, ~ lf36.
59) Care numar este mai mare : '1,73 ·· 1.14 sau 1A1 · {9? 60) ~a se afle eel mai mare numfu· naturaL patrat perfect, de patru
c lft·e care sa aiba cifl'a unitatilo1' ·1. · 61) Sa se afJe J; ~i y :1st 1'~ 1 1nelt numru:nJ 1/ Lry (x v= y) sa fie numar
natm·al. . . . 62) Sa se afle uumerele natu1·aJe, patrate perf~cte , de 'l'oT'ma H Oxy. 63) Sa ~e scrie toate numerele naturale de form<~~. t1 00*'-'** , patrat e
perfecte. . . 64n Sa. se afle eel mai mare numar naturaJ de patru cifre, ~tiind ca
cifra. unitatilor este 4, iar radacina sa patrat~ e&'Je numar natural.
6:>) Pentru ce valori ale lui x, numere naturale, numarul natural 1800 .
. -. -x - este ~atrat perfect?
66) Sa se afle toate numerele naturale, patrate perfecte, de forma 9x yz4. . )
67) Radacjna patrata din produsul a doua nuinere naturale distincte este 77. Sa se afle numere]e. Clte solu~ii are problema? · '
68d) Volumul unui cub este de 373,248 metrii cubi. Sa se afle lunO'i. mea laturii cubului. . o.
69) ~a se reprezinte fie care din u.rmatoarele ~nul~imi · ·s~riind ele-. mmrtele sale intre acolade; ·
A = {X I X E N' f + v'~ ~ X ~ 7 - 119}; B = { X I. X E z . - 6 + 1/W < < - 3 + V49}
· ' ' · 2 X · 2 •
70) Aria unui }>atrat este egala cu 0,09 m2 • Sa se afle lungimea laturii sale.
71) ~tiind ca aria unui patrat este egala cu 1,44 m2 sa se afle latura sa. 72) ~tii~d ca aria unui patrat este egala cu 1,0404 m 2, sa se afle
lungmlea laturii sale. 73) Sa se afle x . din:
) x 3 1.0 3 1 m 6 V49 a V25 .-10g b) V25..,. X I c) ~- ·vr6 I d) ~- 14· Vi.
. 36
Nota: ll.ezolvati §i pl'Oblemel~ 29); 30) de la pagina 189.
LUCl'are pentru verificai·ea insu~il'ii unor cuno~tinte de baza
1) Sa . se efectueze:
a) {4 + vi; b) 'vo + v9; c) tf16 + v25 + 1/36; d) t/100- {:81; 'e) .VS2 + tf99'752 ; f) y9214 .- 9212; g) 113 - v 11 s_; h) v 10 ooo- v 452 ; i) -v 16oo + -v2=5-=--:oo,-,-oo.
2) Sa s~ calculeze:
a) 1/121; h) V 144; c) v' 169; d) v'f96; e) v'57 600;
rr v' 142 8&t; · g) v 1:1. 881; h) v 4 012 oo9. 3) Sa se calculeze: ·
146
~) ~7,36; b) V24.6,49; c) v' 4,3681;
d) y0,16; e) v0,0036'; f) v o·,oo0001.
': 4) Sa· se calculeze c.l) · nproxim~~ie de o zec~me pt·in.lip~a -/(,,71. . · ~i Sa se faca ~i verjfiea t\eu . , .
5) Sa se caleuleze c u uouii zccimale exa~Lc: l:l) v'2,·t ; u) tf(9;]. t>:t' Sa se fac a ~i pt·oba. 6) Sa se calculeze v 1:.; en Lt·ci zocimal e cxac l c. Srt ~e fucu ~ i pwbu. "~ 1) ·Sa se calculezc (cu ·-uou ii zec iirwle cxacte): . a) tf0,002; b) ,j0 ,028. Srl, se fa<.;ii 9i pt·obu. sy Sa . se calculeze:
:::--:-:--:--~-:-;
. .. a) tf16,81; b) ,j0,01 · O,G4. 9) Sa se calc·uleze: ·
a) v~~ ;. b) .v~:. ; c) v 2~G • ( - 15); u.) v 1 - ~~ .
. I
LuCI·are pent.ru vrcgatiroa oliilll}ia.dclor ~i a aJtor coucursnri
1)· Sa se gaseasca tuHLe nt'ltl,1ercle pt·im e d. ~ d_o~1u cift·e as.~l'cl _ 'in~lt .r~-~ dacina pat rata din rul::l Lul'llutnl fier~~tru w. c~ntre elc ::~u fw numar 1;1a~ural. ( Rasturna L uJ. uumaruluj au es.Lc {}((,.)
.2) Sa se ru·aLe pii numur~lc . ue forma tf5n +7 unue 1/, E: ~ nu :;int numere naturaJe. ·
'3) ~tiind ca xEQ ~ i ea x < O, sa .se ealculeze:
a) -3vx2.+ 13x I; b) - 5 v x2 + j - l1x I· _
4) Sa se reprezinte m 'mii toarea rnultime enumer1nd elemEmtele !:!ale:
A = {xI x E Z, I x I < ·t/11}. 5) Sa se afle eel mai mje nttmar natui·aJ scris iil baza zece ~i care in·
depline~te urma Locu·ele doua conditii :· a) es te pat1·at pedec L; b) este mai marc uecit G 204..
9. l\lEDLi' PROPOR't'IONA.Ll ~I UALCULAREA 1~1
ln unele propor·tii cu tei·rneni poziti vi, extremii s1nt egali intl'e ei sau ~ezii sint egali intre . ei. De exemplu, a ve1~ urmatoar.ele pro· portii ·
. . 6 . 18 24 12' -~- "J -t::::;11- • 2 6 12 . 6
Numarul egal cu extremii egali intre ei ·sau cu mezii egali ~ntte ei so nume§te medie prop011ionala a celorlal]L d,oi termeni ai proporJiei.
i47
Exemple. Numarul 6 este medie vroportionala a numerelor 2 ~~.
18 d . · 6 18 N ~ l 12 d' ~ . ai-m proport.Ia 2
= 6 . urn am C:5Lo me Ie propor~1,0n ~ a
'1 2!. . 6 d. . 2.,. 12 numere or 1 ~1 m proportia - = -.
12 6 Media proportionala a cloua numere se ma1 nume~te media oeo-
metrica a aces tor numere. · o ·.!Ji.
CALCULUL l\IEIHEI PROPORTIONAU~ (1\JEDIE GEOl\IE'l'RICA)
In cazul in care extremii unei propor~ii cu termeni pozitivi ~ C5 !.. b d
sint egali 1ntre ~i, adica a = d, vom noLa cu x valoarea lor comuna ~i atunci din ad =be ob~inem ,x2 =be sau x = {!JC.
1n cazul in care mezii unei propol'tii cu Lermeni pozitivi .!!:._ = ..!:. sint b d
egali intre ei, ad ica b = c, vom noLa c11 x vnloar.ea lor comuna ~i atunci din ad = be obtinem :x;2 =ad sau x = lfad.
Deci : Media propor[-ionala a doz~a numere pozitiCJe este radacina patrata
a produsului lor~
Exemplu. Sa se determine media: ·proportion ala a lnumerelol' 8 ~i 50. Avem 8 ·50= 2? · 2 ·52 = 24 ·52
• Deci x = lf8 ·50 = 22 • 5 = = 20. Se vede ca 8 < 20 < 50. f n general:
Jl!ledia proporfionala a doiu'i numere pozitive diferite este m·ai mare decit eel mai mic dm ele $i este mai mica decU eel mai mare din ele.
Daca cele doua numere pozitwe stnt egale, media lor prop01#onala coincide cu fiecare din ele.
Nu est e neaparata nevoie ca produsul celor doua · numere sa fie un patrat perfect. De exemplu, media propor~ionala a numerelor 2 ~i 1 este lf2.
EXERCI1'11 ~I PROBLEl\IE
Sa se afle media aritmetiea ~i media proportionala a . numerelor: 1)2 ~i 8; 2) 1 ~1 4; 3) 1~iD; 4)4r;-i9; 5)4~i25;6)0 ,1 ~i 1000;
1 7) 4 ~i 36.
Sa se afle media proportionala a 'numerelor :
8) ; .~i 7; 9) 0,25 ~j 100; 10) 2,5 ~j 1 000 ; 11) ~ ~I 2~ J 12) 20 ~i 125; 13) 34 ~i 306; 14) 21lm-l ~i 2 ·32m (m EN*).
I
148
16) Se consider a~ ,
A= 40 .4- 'lf2.0t..2 · 102 ; 8 = 9 __L 9· Vij . . Sa ::;e a fl e r·apol't l.d d1n tre media geometrw8. a nnmm·elor A ~1 B ~i m edii:l lor ~:u · itmet1ea.
16ll) ·Daua a, b, c tillit L1·ei uumere maJ mar] dec1t zeru ~i daca .!!... > L c
·im· a est e m edia pr'optwt,ional a. H lui b ~i c. st\ 8e :-;erie nume1·eJe a, b, c in m·di ne m·ese~rl'.u<u·e .
17ll) ·A , B, C, X, Y, Z 8:lu L numer·c mai mar·i d eci~ 0 . Se ~tie ca. X este . . I . Y . Z . y 1 m.edm ~eom etrwa a LH !3l 1a1' -- > . ..... . z
) D X X y z ' . J 1 B c ~ d' a ac11 - =- = -- 8a se scr1e numere e .1: , , 1n or m e l l [j c'
crescatoare : b) Da.ca A X= 8 Y = CZ, sa se scr1e numerele A ~ B, C In ortlme cresoatoare.
Lncrare pentru t'epetartla unor cuno~tinte din c:tpitolele anterioare
1) Sa se afle x din: .L 8 b X
3 X 6
a) 4 o;:;s 2 ; b) -; =8; c) s = ; d) 15 = 4 ; e) 7 = .~ ~ ·t b "' b l t !: f) - =-; · g) b =..::.; h) a= -g i) - =r ..:_ .
· :C C It X b C
2) 0 piesa de metal are masa de 54 kg. Ce m asa are o piesa confee· tionata din acelu~i m etal , da1· eu volumul de do ua ori ma1 mare d ecit volumul priroei p!ese? Dar o piesa care are voJumul de trei m·i mai mic d ec1t volumul pi·imei piese? .
3) Sa se calculeze 76,5 ~~ din 2 L~oo· kg. 4) Pentru realizal'ea unui lJl'Odus erau necesare 400 kg materiaL
Consumu'J de mat eJ•ia l s-a 1•edus cu '15(1/0 • C'it Illaterial este necesar pentru 1·ealizarea p t'od.usu lui in noile condj~,i i?
o) 65°/o din surn a depu~:~5 de Ull eJev h.:l C.;E.C. este de 260 lel. Clt.i l-ei a depus e.levuJ le~ C. E. C.?
6) Pin a Ja o an am ita da L8 1n t 1·-o cooperativa agricola de p1·oducvie trebuiau arate 800 ha. Cu uHeva ziJe inainte de tel'lnenuJ stabilit f useseJ•i=i arat e tiOO ba. Cit la suta din suprafa (a planificaUi. a mai ra.mas cle ~::~. J · t:rU · .
7 ) Ma::;a urrui vas gol e~ tc\ 20°·~ din masa uoehria~:i vas pJin 1;u un a·ll ll ·
mit lich.id . Stii11d ea lie hid n1 din vas cintaret,lte 1.G kg, ~:Sa i!e afle c1t einta r·e~'Le vat:Jul go] ~1 c'lt. e1ntal·e~:te vasul plin.
8) Sa 1:!8 ca1cuJeze media propol'~ionala a nurnerelor :
a) 2 ~j 7800 : u ) .~ ~i 0.72. .,
9 ) Care 8)nt dllrizm:il numaru!ui ~'1 2? Dar a1 lui -274?
149
L.: . ..
Ca}Jitolul VII
lliONOAlUE ~I POLINOAlUE
1. 1\IONOAlUE
. In mam:ialul de matematica pentru clasa . a V-a, am· utilizat o expresie do forma a· b, care se mai scrie ab , pentru a exprima produsul .intre numerele natur~le, deci ~i ra~ionale, a ~i b. Am inai utilizat o expresie de forma 2 · a, care se mai scrie 9i 2a, pentru a expri~a produsul intre 2 ~i numarul natural , deci ~i rational, a. Cimos· ·cind numerele intregi . ~i numercle rat.i9nale, putem scrie ~i expresii de forma ( - 2)a sau 2( - a) sau-ab. Vt?m spuue ca expresia - ·ab este opusul e~presiei ab.
Vom mai spune ca expres1He de mai inainte sint monoame. J.lloJioaJitele ·sint numere intregi; numere raJionale # litere de exem
plu, x sau, a, precum $i produse cu oriciJi factori , unde factorii slnt mo· hoame. Opusul oricarui ntonorn, despre care arn {)Orbit mai inainte, este, de asernenea, . un mimom. . . . · . Intr-un monom, simbolul de inmultire ~i parantezele se omit ori de cite ori este posibil. · Exeniple~· ·urmat6arele expresii sint monoame:
2, -1, 2 - 5 a 7 0
( ' ..::... ~)' I ~ a ab - (- ~) - a, . 3 ' . 4 ' .·' 3 4 8 ' ' 4 '
- . ~ . ( ~ ~ ) ; - be, ( -a)c~ ( -(Lc)( - 2d), 3{5c2)( -2d), - ( -3d~b2) c • ~ • . , Produsele in care factorii alaturati s1n t aceea~i se scriu ca puteri.
Pentru acest motiv, in monomul - .( -3a2b2)c · '}_ apar patra-5
tele lui a ~i b. · · . Presupunind ca literele dint r-un monom sint inlocuite cu numere
rationale, in orice monom putem folosi proprieta~i1 e inmultirii nume·relor •·ationale, anurrw comutativitatea ~i asociativitatea. De aceea, putem schimba ordinea factorilor intr-un monom , pen'tru a grupa
da un lac numerele rationale ~i ale inlocui cu produsul lor} d·e asemenea, pentru a grupa Ia un ·loc literele de ac·ela~i fel, pentru a scrie o singura putere a unei .litere. Opusul unui monom poate fi inlocuit cu produsul dintre ·- 1 ~i acel monomului, ~in~nd seama de faptul ca opusul unui numar este prod'!lsul din'tre -1 ~i ace) nJ.lmar.
15f)'
1 i Datorita celor de mai MUS, monomul - ( -3aZbZ)c. 5 poate f
transformat in felul urmatol' 7
- (-3a2bZ)c· ~ = (-1) [(~ 1 ) · 3a2b:a]c· 5
= :J
7 3 ~b"' '21 n:!.bZ C. ( - 1)2 · ~ · a" "C = -.- "' . 0 ;) •,;· .....
ln mod asemanator, ' .... ~ ' . . ' . :
( -4c)( - 2d) = [( - 1) · 4c][( - 1.) · 2d] = (~1 )~ · lt.,; 2cd = -:~c1;. _ 3(5c2)( -2d) = 3(5c2)[( - 1). 2d] = ( - '1) · 3 · 5 · 2c d = -oOc d.
Din ·cele de mai 'inainte, se v~de ea un ~nonom poaLe fi adu~ ]a 0 rbrma numita canonicc'i, defiui ta astfel : ... . .
Forma canonict'i a unui monom este _ un nl!mar r~lfW;tal sau un protlus dintre _un numur rational :-;i puten d.e Li,,tere dtfente. . .
l 1. a1 t r·1mul ''ac·tor. lnt r-un asemenea p l'odus, numfu'lJ . ra~;:on _ es e p " ln cazul in care acesLa. lip se~ Le, se cons1dera ca este 1~
Exemple • . Monoai?J.elc .
7 .:._1 1 _I' ~ 2 l • . azbzc, Sed, ad2 , -30d?.d, -xy 3' 7
' 4 5
sint scrise sub form a canonica. . · . v l t oJ~al dLn fonna canonidl Coeficientul unui mqnom e$le numaru ra. L ~
a monoinalui. . . .. Exemple. Monoamele, sc~ise su~ .. ~orrl?.a canonica, di.n · exemplele
de mai inainte, au respec'tlV coeflCien~u
7 5 21 8 1 ""~0 ' 1 - -1 1, --1 -, , , -o , - • 3 ' ' '.1 5 '
Gradul unui monom, di(eril de 0, esle sunut ea.:poncnfilor l~t:r~l.o~ care fac pai'te din el. _Jn .cazul in care £ntr-un monom nu ftgure·a"'a met 0 litera, .monomul, dtfent de 0, are gradul .O.. n • ·.
Se consider a ca literelc far5. cxponen.t au exvonentul ~ e~al Ct.J .1.. Trebuie retinut ca exponeu~ii liLerelor dm~r-un monom smt numere naturale diferite de zero.
Exemplu. Monomul 2;1 .azu2c are gradul egal cu 2 -1- 2 + 1 = 5.
u . •, ' Gradul unui monom, di ferit de 0, .Zn raport cu u:~ gr~p 'de litere, in
particular zn raport cu 0 litera, estc suma exp_onenfrt lor h~erelo~· . 1~e!p~ctive sau exponentul literei din monomul c?n'SLderat. D~ca o ltle~ a .~au rnai multe litere nu figure~za fntr·:~·.n n:tona,'!!, . exponent~l.· a~~let l~tere sau al acelor litere in monomul consL'derat este ·egal ·cu O.
I
Exem}llu. Monomul ~ a2b2c are gradul 4 1n raport cu liter r le a ~i '~- ~· ~ ·. 5 ·b. AcPlal;l i mon om are graclnl 2 in raport cu litera a ~i gradul 0 .in raport cu OJ'ice liLera: dil'eriLa de a, b. ~i c. . : ..
2. OPERA'J'Il CU l\IONOAiUE
Orice monom fi ind o expresie, iar fiecare expresie avind o valoare, care 1n cazul expresiilor de numere rationale este un numar ra~i onal, vom face opera·~ii cu monoame a~a cum facem opera~ii. cu numere ra·~ionale.
lNl\IUL'fiREA
Produsul a doua monoame este un monom. Aceasta rezulta din definitia monomului , in cazu] 1n care . nici
unul d·in cele doua monoame nu es'Lc ega] en 0. In cazul in care unul din cele doua monoame este egaJ cu ·zero, pl'odusul celor doua monoame il vom consid era ega] cu 0.
Excmplu. Prodnsul monoamelor 5x2 ~i - 2y este monomul 5x2. • ( -2y) a carui forma canonica este- 10;t2y.
' EXERL1TII
A. Sa se scrie sub forma canonica monoamele: 1) x·x; 2) x·(-x); 3) -x·(-x); 4) x2 • x3 ; 5) x·X'; 6) -2· · (-x); 7) -x(-2x); 8) -2x· (-2x); 9) x(- xZ ); 10) -x· (-xz); ll)x2(-x); 12) -x2(-x2);'13) 2x(-3y); 14) -5x(-4.y); 15) ""7"3x2(-3x); 16) -4.x(-2x2 ); 17) -2x2(-5x3 ); 18) -4(-xy) ; 19) - 2x(-xy); 20) -2x(-4xy); 21) xy(-xy); 22) - xy(-2xy); 23) -xy(-x21;) ; 24) 2x(-x2 y) ; 25) -xy2(- x y2); 26) 2x2(-3xy); 27) -4x(-2x2y); 28) - 2x2(-3x3y); 29) -x(- 2x3y);30) -x(2xyz).
B. Sa se scrie sub forma canonica monoamele: 1) 2x,; (-4x); 2) 4x2
• (-x2 ) ; 3) 4.x· (-x2 ); 4) (-2x) · (- 2y)i 5) 5x--y· (-xy2 ); 6) 6xy · (-10x3 ); 7) -2x2 • (-2xzy) ;
8) -5x2 y· (-x2 yz); 9) ! x2• ( -2~t:) · 10) ~x2y·(-!xyz)~
2 ·' 4 3 , z 11) x · ( -x2
) • ( -x3); 12) xy · (- y) · ( -2y); 13) 2x · ( -3xy) · ( -4x2);
14) 10x · ( - 0,2x2) • ( -0,5x2 ).
IRIDICAltEA LA PUTERE
v Puterea unui monom, diferit de zero, tn care exponentul este un numar natural este nn monom. , . tntl'-adevaJ', daca exponentul este 0, puterea unui monom, diferlt de 0 , este monomu] 1. Daca exponentul este 1, puterea unui
152
i
monom este monomul considerat. Daca exponentul este un numar natural mai mare declt 1, puterea tmm monom este un produs de monoame, in care factorii sint egali, deci este tm rnonom.
Exemplu. Puterea a treia a monorp.ului xy este (xy)3 care are forma canonica: x3 y3
•
EXERCl'fll
Sa se scrie sub forma de monoame, in forma canonica, urmatoarele puteri de monoame:
1) (-#)2 ; 2) (2xy)2 ; 3) (-3x2)3 ; 4) (-xy)2 ; 5) (-2xy2) 3 ;
( 1· )2 ( 1 )3 6) ( - XS)4 ; 7) ( -2xy3z)2 ; 8) -- x ; 9) -- x2 y ; 10) ( -0,1x)2• 2 3 1 .
11\lPAR'fffiEA
ln egalitatea 5x2 (-2y) = -10x2 y prin care se define~te produsul m(moamelor 5x2 ~i -2y putem pune in evidenta oricare din aceste monoame astfel :
-_1_0_x2~y _ 5. 2 - 10x2y _ 2 - X, -- y. - 2y 5x2 ,
Spunem ca monomul 5x2 este citul intre monomul -1.0x2 y ~i monomul -2y. Ana~og, spunem ca, monomul -2y este citul intre monomul - 10x2y ~iA monomul 5x2
• . 1 · In cazul1ri care se gase~te un monom, in forma canonica, dar nu
mai unul singur, care sa fie citul impar~irii intre doua monoame, spunem ca, :i.mpartirea se poate efectua intre cele doua monoame.
Nu putem imparti un monom cu monomul 0. In adevar, ca sa aiba sens ~ trebuie sa existe un monom A astfel inci~
A· 0 = x, ceea ce nu se poate, deoarece A · 0 = 0. Nu are sens nici ..2.. ~ deoarece
0 exista mai multe monoame, in forma canonica, de exemplu, y, z, astfel incit y • 0 = 0, z • 0 = 0.
In general: Daca A §i B sint dou,a manoa me, astfel £ncU B =I= 0, cUul intre mo-.
noamele A ~i B, notat prin ~ , este acel monom C, in caz~l in care el
exista, pentru care .A = B · C. Se scrie
C=~ B
f;'i se cite~te ,monomul C este egal cu monomul A impartit la mo· oomul B".
Vom spnne ('i'\. efectn?im_. dtnl ~ atmici clncf ddermin~ni· monmnul
care P.st e clt.ul 1nLm morwariwle A ~ i B~ .
J~XF.RCT'fU • nf
' Sa se efeetueze 1mpartirile de monoame:
' l) X' : :r2
; 2) ?/ : Zfj' ·_.3) 71 : y; :_ ,4) y2-: y2 ; 5) -y: (- y); 6) x5 : ( -x2 ) ; 7) 5x2 y ·: ( - ·xy); 8) ( -~x3} : ( -2x);- .
9) (-6xRy) : ( -3a;2 y); ,10) ( -4.x3y) : ( -4x2 ); 11) ' ~ xs : (- ~ 12) Q?2x~ : (10x). ·
3. POU~OA.l\fE
0 e:rpresic carp, Pste nn monom smi o suma de monoame se numeste potinom. •
ClLeva exPmple de polinoame flint urmatoarele:· x2 + 3x + 1, ' . 1 1
2y2 + 1 + y\ x2 + ( -2y2) + J/ , '-a2b2
, -- 2 z + 3 . Vom nota
polinomul x2 + 3x + 1 en P(x) ~i vom scr-ie : P(x) = x2 + 3x + 1. L~ fel vom scric P(x ;y) = x2 + ( :._2y2) + y.
Yaloa.rea unui polinom: Spunem ca .P(2) eRte va1oarea p olinomului P(x) cind x este in
_Jocuit cu 2. De obicei, se spune ca P(2) este valoarea polinomului pentru x = 2. De cxemplu ·
P(2) = 22 + 3 · 2 + 1 = 11
TIXT::RCfTTU REZOLV.\'ll
Sa ronRidPram _polinomnl: . 1
P( ~r ; y ) =Xa ~"I xy2 + 1.
. Sil s.e caJcu.lr. ze P('J; - 1 ). Rrwl vn rr.: Vom l11loeui pc x en 2 ~ i po ?J Cl l - 1:
P( 'J; - ·1) =- 23 - ~ • 2 · ( - 1 )2 + 1 = 8 -.1 + 1 = 8.
. - ~ . .
I l\lononmt' lr n eilror Rnm a formAazi'l 1m polinom se numesc termenii
polinomu.f11 i. \'om Rpnno CU poJjnomnJ i'or'mat din'tr-un singur· IDOfiOID
&re un r;ingnr Lrrmr Ji .
154
Exemplu. Termenii polinomnlni . . 7 ) . 5 ) ' 5
3a2b2 + (- 5b) + (-3 a (- 3 a . + ~ .. . '
s1nt urniatoarele monoame: 3a2b2, -5b, ( ~a)(- ~ a) ~i ~ ·
In orice polinom, vom _scrie t ermenii sai sub forma canonica. Atunci polinomul
3a2 b2 + (-5b) + ( ~ a)( - ~ a) + ~ se va scrie sub forma
. 3 2b2 r::b 35 2 +' 5 • a - ::> --a - , 9 7
deoarere suma. 1ntre un. termen ~i opusul unui termen est.e diferent~ intre prirnul termcn ~i eel de a] doilea.
Termenii acestui polinom sint urmfrtoarele monoame: ')t:: 5
3a2b2 - 5b - ~ a2 si , ~ 9 , 7
Tot astfel, polinomul
-~ x+ (- ~) se . scr1e sub forma
5 1 x- -· 2 2
Termenii acestui polinom sint urmatoa~ele Iri.onoame_: - ~ x ~i - j. Un polinom care are doi termeni se nm;ne~te binom.
5 1 . Exemplu. - - x - - este un binom.
2 2 Un polinom care arc trei ternieni se nume~te trino,m.
1 Exemplu. a2b2 + c - -- este un t rinom. - -· 2
EXERCITID
Se considera: P(:l;) = x3 - 4x2 - 2x + 1. Sa se ca]cnleze :
a) ~~~)-~ b~, P~ - 1); c) P~O~; d) P( -2); e) .P( - -} )·
Fie urmatorul polinom: 5x2 + 5x + 3x + 2x· ( -3y) + (-x) · (-y).
155
. A<incind monoamele 2x · ( - 3?1) ~j (- x) · (- y ) la forma cano1)ic~ ob~mem :
5x~ . ..L 5x _L 3x- 6~y + xy.
in acest polinom t.ermenn ox ~l 3x sint- termeni care , cu except.ia coeficienWor) s1nt 1dentiCI Astfel de t.ermem se numesc term.em asfmenea.
Termenii - 6xy ~i xy sint termeni. asemenea. Termenii 5x2 si 5x nu s,1.nt. t.ermeni asemenea. Nici 3x ~i xy nu sint termeni a~emenea.
In polinomul :
5cl~ + 3.. a.'~- + x2 11 ~ xy2 - 0 ,5a2 3 ..
~g 2 ll oe:_z A ., ' 2 ' 2 'JO , - a. , - ,Jfl smt term.em asemenea, Iar x y ~~ -xy nu sint
3 t.ermeni aseJTienRa.
Prin adunare::t termeniJor ;.1 RemPnea, presupunind ca titerele sint numere rat.ion.ale. se ob·~ine un singnr t.e1'men, 1n felul urmator. Uti· lir,5nd clist.ributivi.t.ate::t inmu l-~irii mlrrH:>reJor r::~t.ionale in raport, cu adm~area ~sa\1 searl erea numere~or rationa]e, s.e _sCQf1;te in factor partea hteraJn ~I se aduna, respectiV se scad, eoef1e1enlu,
ExempJul 1 Consideram pohnomui
Sx + 3x. Putem scrie 5x + 3:v = (5 + 3)x--:- 8x. Exemplul 2.
5xy - f3xy = (5- 6)xy, deci
5xy - 6xy = - a-y.
Prm ::tc:ln n RJ'I?fl t.P-rmerulor aRt>menea dint.r-un polinom, pohnomul obtinut :wt' t,Pl'mPnii dist.1ncti do1 cite do1 .
tldz.m.orf!a tPrmen.ilor t7sem.Pnen dintr-un polinom se nume1f.~ red1l· cerea termen.ilor (fs;mnenPn.
Forma la r.a rt> PStP arln s lln pohnom (hrpa scrierNt t.ermenilor sai Etub forrna rr:tnonica ~i t'edu cerea t.erm on.i.lf?r' a~erpcmea, se uu:we~te forma canonicd n polinom1d11i. .
Conform dorini1~i e i date, rP-znltA cti form a eanonica a polino:mului 3x + :1· · ( -- x) · (- y) + 4x PRt;P. 7.?' -+- 3xy. ·
Da ca. prin rRdu ocroa tormenilor nsemenoa ~" ohtine nn monom en coefie1en'tnJ 0 (zero), ace] t.ermen nu se mai ~erie, afara de eazul cind polinomul se reduce la numarul rational 0 (zero), caz in care n serie termenul 0. '
Exemplul 1. Fie po~inornul
5 1 4 - ~ xy + 3 xy + 3 xy - 5x + 1y.
Prin red1,1cerea t ermenilor asemenea obtin em
-~ xy +_!_ xy +~ xy = (-~ + _!_ + ~) xy = 0 · xy. .3 3 3 . 3 3 3
r; Forma canoniea a polinomului eonsiderat va fi deci
-5x + 1y.
Exemplul 2. Fie polinomul ')
-3x + :.:_ x · 7. 7
Scriind termenii acestni polinom sub forma canonica ~i redueind ~ermenii asemenea ob~inem
-3x+ ~x· 7= -3x+ 3x= (-3+ 3)x = 0· X= 0. 7
Fo~ma canonica a polinomului. eonside1·at va fi deei ~- . Gradu.l 1.mui polinom dif'erit de zero,· este gradul eel maL mare dm·
tre gradele termenilor formei canoniee a polinomului eonsiderat. Exemplul I. Gradul polinomului
- ~ ab2 + 5xy +(- ~ ab)b + (-2y)(3x) 1
este gradul eel mai "mare dintre gradele termenilor formei canonice
29 b2 -6 a -xy
a polinomului eonsiderat. Termenul - 29 ab2 are gr:;1dul 1 + 2 = 3 , 6
iar termenul xy are gradul 1 + 1 = 2. Deci gradul polinomului con· siderat este 3.
Exemplul 2. Gradul polinomului
5 1 4 - 3 xy + ;j xy + 3
xy - 5x + 7y
· este gradul eel mai mare dint1·e gradele termenilor formei canonice
-5x+ 1y a polinomului eonsiderat. Termenul -5x are gradul 1 ea ~i termenul 1y. Deci gmdul. polinomului considerat est e 1.
Gmdu./ u.nai polinmn, di{ er£t cle zero, in raport cu .nn grttp. de lilere, in particular in raport cu o lil (']'t1, este gradul eel maL mare dmtre gra-
dk.:}e·· tern1e.n.ilor fnrmei cm?onke ri· pnhno~1:11lzi i considerat, ]n :raport cu gr.upu.l dot de l.ite.rP. ~n parfic!llor In rapon cu litera data. : - .·.··_ .
Ext\mplu. CI'fldul poJinornnlui ··
2fl l " - 6 .. a J• ;-:- ?'?I,
sr.~iA Rllh form FI r.n noni f'3 , 1n raport. cu grupul de Iitere x;· y esttr 2, ·)!) .. ·' . . . (
dCOHfPf'f' t.IW ITif\THlJ - -::_ ab2 arc gracln] 0 lfi raport CU grupu}-de Jitere ·' () . . . - . . ' . . t
x. ?J, inr t.ermennl -~'?J me gradtJl 2 1n raport cu acela~i - grup de li t t ore. ·. · · 1-r;
F.X"P.lWl 'fl l
1) Si'\ ?oR rrrlnr.:i t0rm enii fl sr.m onea: a) lw ...!. 'ln : b) 6.1' .,.!... .r; c) - ltx - 6x ; d) - 8y - y; · e) ~ :r - :lr: f) · R:r - 8:l: ; g) - x2y- x2 y ; h) 5x - 5xi i) --11:r j- ().r: j) -~ + :r; k) -y - y; 1) -2x +2x; m ) ~ x -- ~ J" n) _:_ l.. :r +. ! x. .
1 ,, ' :~ . 6 ~) Sa so re.dnrr, tr mwn ii HRPffiPQ f'n :
n) Rrr. -l1n : h) b - lb - 2b + 1. ; c) 3x2- 2x+ x2 + x + 7 ; d) .2:&- .3.ry + .1·y -- .&:! + 2.r:y + 2- 1; e) x2 y' - xy2 + 2xy2;
t · 'I 'I i{ 3 ·5 1 . f) - X - - y + --;--- X + - y j g ) - X - - X + y - - y • · ·
2 ~ 2 ~ ~ c 2
4. OPER.ATfl. C'lT ~OU.XOAl\TE : ADUNAR.EA, SCADEREA
Orir.c polinom fiin d o rxprr~ie, iM fi r r Rro expresie avind o vnloarP, r.nrP 1n raz11l rxpr f'F-:i ilor· rl 0 nnmer0 r ::q.ionalr. r ste un numar rat.1oral, vo"':l fM·r opera~ii cu polinoame a ~a r.um facem operatii cu numere ;ra~10nalo.
2."r + :iy ~ j /1.'t:- ?I + 'I. Prin Rnm n ::1 re~ t or pt1linn,nn r sf' lni .. <> IPgP 'r.xpresja
. ' ·;
(2.r --l :1y) l: ('r:?·- !I +"'I ).
Pri.n r1 r.s f:·1 rrr···;l pn r:nq f'zC IM oht,i rH ' m polinomul
2 .r + ~ y + l r :.r ·- U + 'I . \ 'nm ron~irl rm r.i"\ ::~ erst. polinom rste suma polinoamelor date. In
::1 r.r s t. F-;POS \ "On1 RpllnP Ci\: Suma a. doua polinoame este UJI polinom.
Ad11~em _polinomnl 2x + 3y ·+ 4x- y + 1 1~ . forma ca.n,onit?~,'l prin reducerea termenilor asemenea. A vern.: . -T''-
2x + 3y + 4x - y + 1 = 6x· + 2y + 1.
~RCI'fll (
~ ~- Efectua~i: . l) -4x + (-3x); 2) 4x + (-6x); 3) 6x + (-7x); 4) a+ (-2a); 5) 2y + (-2y); 6) x + (-x); 7) -3x + (-3.x); 8) -y + (-y); 9) 2a .+("..:-5a+b); 10) 2a+(2a-b.); 11)'- 2x+(-2x+1);. 12) 2x + (y- 2x- 7); 13) -2x + y + 1 + (2x - .Y.-: 1).
Sa se efectueze : a) 3a + b + (-2a- b); b) a+ (2a + .1.) "+ (-a -1); c) ~x2 + (x2 - y) + (-3x2 + y);
d) 3x2y·+ (2x2y- 2) + (xy2 + 1); e) ~X+(~ X- ~r
SC1DERR~
Fie polinoamelel 2x2 - 5y ~i x2 ·;..._ 4y + 1.
Prin diferenta dintre primul polinom ~i eel de al doilea polinom se in~elege expresia: •
(2x2 - 5y)_- (x2 - .4y + 1).
Prin desfacerea parantezelor obtine~ poljnomul :. .,
.2x2 - 5y- x2 + 4y-:-- 1.· .. · Vom considera ca _acest polinom este di~erenta dintre primul
polinom ~i eel de al doilea polinom din polinoamele date. 1n acest · sens vom spune ca:
DiferenJa. dintrc clou.a polinoom.e. este n.n polinom. Polinomul obt-inut ~i anume 2x2 - 5y- ~ + 4y- 1 poate fi
adns la forma c.anonica prin redurerea termenilor asemenea. A vern:
2x2 - 5y- x2 + ~y- 1 = x<J- y -- 1.
EXE.RCITII
Sa se efectueze : a ) 3x- (2x- 1); b) 5x- y- (5x- y); c) 4x- y- (4x- y); d) ab - (2ab + a2)- (a.2 - 3ab); .e) 3x2 y- ( - xy2 - 1)- (1 + 3x2y);
f) ~ X - ( ~ X - 1 ) + ( ~ X - 1) •
Prin i nr/it.-/rrPrl irare parant.eze a term.Pnilor dint.r-un polinom 'in(e· lr.:zrm ''fiPra(w wversa desfacern parantezelor pnn care se obJm termem.' Cnil .~ l rl r:m{l .
E:;emplt>.
.3o.h - .:.1
:r.y -- } xafi = dab -L ( -- ~ xu - ~- x?l" )$ s . . .-, 1 s .. ?. - s + (3 l ;, " a2) - .7 :n; + .:.Ja 1 --:- 2 ~;u -- ~ ? :r.y . a J - 2 X ~
- ~ ,r.1; + (lab - · -~ xn2 = - :1 xy - (·- 3ab + 5J· xa~)~
~ .. 1. 7 ....
~ .tn? - ~ -:nt + :3a/; = -. :~ xn2 - ( ~ xy -. 3ab) ·
l ne!'nd•:r•·" intt·•' pil J'a n l ~"'l.•~ .· ;t lN mrnilnr· din t-r · tm polinom fnnd rqw rn l.i " i l t\' t•r:~;ci d P.~ f f-t f' f'J' ii . f ' H r·nnl Pze l ~ ll ' i n ~89 mn8 ('.~, : . . .
f),.,,., , ;,, Jt~tr, pm·tm i P::.PI ·"' fi1111P sunbolal ....;. , san lUCI nn sunbol !1111n t·1 /.P,.,, ,.,,, ,fu11rr fWr rnltr:;.t' .,.,, .'itT/ It o .~·n tnm o;f,nt scn~~i i:n polnwmul ill i( fill.
L\, ·(•:,~ 1 r, ,., .!!:l t lit r·t-1l €' ,~x • ·l n p l ifi t· n1. rt JWlll primelr dona exemp]e de m::1 i _,, ,,.., itt t·:.:.t~ rnp lu ] 11 1 dui lna . I·Prnw n td :1rih e.Rt•e t;Cris nepreceda t d(~ ~i lnbtl llt l . . d fl.ont·nc:r 0~ t o st·.r.is prinmJ.
Du ( ,; l u for n pamnte:::.ei sP p u.nr. s imbolu./. -, atunci 1ntrP parant.ez", 1.71 /,)l·nl j'i r!c'fim i. 11'!'11Wn, SC scr i c O] J1lSUl sau ..
r\ I'Pcl~ l {t l'i:' ITlliR est,e OXE'mrlif]cat.a pt•in Ult,imelo doua exemp)e de mai in:., in ' ' '· in rxr.mplul fd trPilra , tr.rmcmul ~ xa.2 eR te prec8dat. de
2 . s1m bnlitl riind nRcesar· ar.ost. simhol r:u rol de simbol de ad·flmare:
fie monomll) .n / , poltnrHmd -~
- 'Jh2r 4- ; a f?l produsul lor
J.y"' ( -'}Nc: + ·i o). l\u l i1)d •·11 A Jt)on o ,n tll :l'!l· cu 8 mutH,mul -- 2h2c ~1 C-1J f. monomul
::1 a, ul.ttiw::•Jll1
1n bwu1 p t ·n ,, · i P I ~ ~. ii dro rli st.ributivit.at e a 1nmult·il'ii fa·~a ') . cle ad uTJar e A.{B + G.') - A /J 1 . It '. t·:-t
.cy2 ( -2b2c + ; a) = ( xy·~ )( -'2b~c) + (xy2)( ~ a)·
.160
· Fie produsul
a(x- y + z)
din t rc monomul a ~ i p olinomul x- y + ;;. Avem (x - y) + z = = x- y + z, ceca ce sc obpnc prin dcsfacerea paranLezelor. Deci avem
a(x - y + z) = a(x- y) + az. Dar ( - 1)y = - y . Deci a(x- y) =ax+ ( -1)ay. 1nsa ( - 1)ay = = - ay. A~aclnr ,
. 1n general : a(x - y + z) = aa;- ay + az.
Proclnsal nnui monom cu Wl potinotn este un poLinotn ob]imti fitdncl swna tuturor procluselor ciintre monom :;i fi ecare ternum at polilWJrmlu i .
L a inmultirea un ui monom cu un polinom, procluseJe dintre monom ~i fiecare Lermcu al polinomului se scriu direc L sub form{t canonicu .
Exem}}lu.
xy2 ( - 2b2c-j- ..::~ a) = -2bzcxy2 + ~ a.xy2 •
J~XERCT1'1l
Sa se efecLueze: a) 2( x :- 2y); b) a(x- 1); c) 3(2l: - y + 1); d') -2x(.£- 2y); c) a(a - 2b + 1); f) 2x(~~;2 - x y + 2yaj~ g} 3x2\x2 - 3xy2 - y2 )~
h} ax(ax2 -. 2-a.x + x2 }; i) ~ xv<y-,2).
2
SU.lHA. COEFICIE..' "1'ThOR l ' :"i'UI POLI~O:Il
Sc consider a· pahnomu.l
P (x) = 2.x3 + 5x2 - 4x + G.
Coefidentii }){)Jinomulu i sin.L i; 5; -4; 6 , iar suma coefiuientiJor polinomului esLe 2 + 5 - .'J -1 G.
Su calcultun : P ( 1 ). Avern :. P (1) = 2 · ta -+ 5 · 12 - 4 · 1 + 6 = 2 + 5 - 4 + 6. Se vede ca P(1) este Stllna coefic ienl-ilor p ohnomului d·at.
. s . niPAR'f.lREA rxr1 I'Or.Iso·n LA Gx JIO~OM
Fie monomul x"J y'!. ~ i polinornnl J'Y- !u:2 + 7y2 • Sa facem pro· du.sul lor. A vem
x2-y2( xy - 4J;2 + 7 ?/') = xa ya ~ ·4x'1yf + 7 x2yJ. .
:f1 - Matem.tttca -.al'<'.,..ebri1, cl. a Vt-a I6i
'
Spunem ca, polinomul J:37ja -- ~x4y'J + i:l"2 !1-l f\ f' imp~rte la lllOflO
mul ,'J:'J.I/ '.! , deoarcce ciLul impal'·t,irii inll'c poliuomul .rYJ/ - 4<1 !/ + + 7.1./·.z/ ~ i mouomul .rP.y2 ~~s-Le uu poliuom xy - 4.t::! + I y"!.. Lu~ elP g'fl lll prin dLul ln'Lpiirtirii intre polinomul .rP!i' - 4J}y'!. + 7. ~;:~.!/ ~ i monomul .r}y2 , poliuomul .ty - !~:c.t2 + I !l' dl 11 pruuusul
.c'l. y2 (x y - 4.t::~. + i y '.!. ) = ;t:J y 3 - !kr-ty2 + l·x2 y4 •
Vom serie
F'ieeare termen aljJolinomcdt:Li J}y3 - !u.:1y2 + 7.J.:2?/ SP impart e l<t mnnornul .J.}·y-J , tl.eoareee
. 1~'?/ _ !I.r:}y2 + 7·x2y·1 = :1:'!. y?..(x y - !u;'!._ + 7l').
Ace::1st a se con stat~l ~i din
, .1.;J!J~ -4.c4y2 !. z i .rzyl ,.. z -- =Xy, ·=-!!.X ,-., -., = ty , :r~y~ :t'~// r.lJ~
deaarece· xy, -4~2 , 7y2 sint mmwam GJ..;J.a1' monomul x~y'!. este diferit de ze~~o.
l ll g.etJ~TCJ J :
( :n. po.lirwm se impal'te La un m.onom (lifer it df! ::,era , dad£ f'iecrrrr. termf?u a{ polinomnl1-Li se imparte la nwnmnul considemt ..
Cnu l irnpfu:o~i_cii intr(l Ull p0linorn ~ j l -111 J110LlOl1l , in cazul Jn GHI'U
pollnom<t!J se irnpa.t~Le la ID~?H~m , esic Ul1 · l'>~linew. So se-r-ie
c = fJ A
~1 se cit~e ,,poHnomul C este egal cu polinomul A. impar1; it la monomuJ B".
Vom .s.pune ca efectrtiim G.lf.b.ul :_!_ atunci cind deLerminam p(i)linomul B
care es:bs: -eiJiul .in.:he pollnomtil A ~i mon(.:)mul JJ.
l~X:EltCl'l'll
&\i M elflekttet.e":
l) (x3 + x2') : x; 2) ('x5 + x'1) : x2; 3) (.x2 + x) : ~r;
4) (y2 - y): y; 5) (zt - ~): ( - .::): 6) (6.t :- !1y + 2): 2;
'i) (6.f - <Jy - J ) : ;3; 8) (2:c3 + 21·) : (2.r); 9) (.J;1 - x3 - x) : .t ;
lO) (4x5 - 2x3): (- 2x2 ); 111) (5x2 y + 5xy): (5xy);
12) (4-J/·y::.- 2yz) : (2yz); 13) (24x3y3 ~-12x2y2 - Gtrl·y.::) -: (Gx2 y).
l fi2.
'
7. FA.CIGR COM'LX
Efectuare-a produsului intre monomul b ::; i polinoJJnd c + r -1- i, expr:imata prin
b( c + r + f) = be + br + bt
poate fi exprimata ::; i sttb form;~
be + br + bl = b( c + r + f) .
\-lonornuJ b apar13 c.H fador iu Lo~i tenu enii polinornul11i d in ll'101TI. · hrul inLii al aceste i egH liLf~ti. Spunem d t monomld b Pktc fa ctor romun in Lermenii be, hr ~ i bt. l11 membl'ttl al doilea c.tl i:H'f:'] P in~i ''gnlit fi\ i. .rnonomul b apare o singu t'fL dati"t inmultiL en suHH:I ce lut·hdti l'a.dori <~i Lel'Jncnilor polinomului din llllHllb'l·ul iuUi al eg~diLfr~ii. Se :) pune d1
rnonormd b este seas 1'11 (a ctor i::omu/1. Trecerea de· ](') lll t? m brul inlii la memhrul a1 cluilea al egalita \ i i
bt + br + bt = 'b( c + r + t) se nume~te scoaterea in factor conwn a monomului b.
In mod asemanaLor obt inem
(}xv)(xy2- ~ xy + Ia) = ( ~ xy)( xy:) - ( ~ xv)C~ .l;y)+
+ -:.- .xy ( Ia) = -_- J./·y3 ---;-; x2y2 + ·:- xya, ( 7 ) .., '7 ' ' 7 ' ' 48 J J 0 ~
ceea ce, scris sub forma:
'7 . 7 . ., 't.D ( 7 ) ( " :> ) -:- x 2 y3 - -:-;- x 2 y"' +-:- xya = -=- xy xy- - -L:1 xy + 'i a J ,) 0 ,) .) :l
... m·e :semnifica~ia scoaterii in factor· coruun a monomului ~ xy. . . ,)
Scoaterea in factot' comull u. unui monom dinlr-un polinom daL se faue ca in exemplul m·matot'. Consideram polinomul de mui sus
Pentru a detehniua un monom care sa poata fi scos in factor comun diu ac~st poliuom , se caut~t, mai intii, literele comune tuturor t ermcniJor. In cazul polinomului de mai sus, literele comune tuturor t ermenilo t' po]jnomului sint x ~ i y . Se determina, apoi , putcrile cele mai mari _gde acestor litel'e care slnt comune tuturor t ermenilor polinornului . In c:azul cle fata sin t . .c1 ~i J/ sau x ~i y. Deei xy este faeLor
comun tuturor terrnenilor polinomului. Numarul rational ~ poate fi ' J
scos in factor comun , deoarece aceal:>ta revine la impat~irea tuturor ..
J.(j3
coeficientilor termenilor polinomului cu 2. , impartire care se poate f,
face lnLotdeanna in mu]timea numerclor raLionale, impartitorul l'iind nenul. ' ' '
EXERCI'fil
Sa se descompuna in fa.ctori: a) 2x + 2y; b) ax- ay; c) 4x - 2y; d) x2 - xy ; c) x2 +x; f) a3 -n2
; g) x2y+x~F; h) 3x +3y-3; i) x3 + x2 + x; j) 6x3 + 12x2 y + 6x2
; k) a8b5 + a4 b2•
EXERCITII ~I PROBL:Ei.\lE
Sa se ·scrie sub forma canonica monoamele: 1) 2a· (-3a) ; 2) - 42· (-a2); 3) x(- 2x); 4) -2:r(-x); 5) -2x(2x); 6) (-4y)·(-2y2
) ; 7) y( - 2y); 8) - y(2y) ; 9) ( -2y) · ( - y); 10) ( -y2
) • ( -y); 11) ·( -3xy)( -2xy) ; 12) ('-xy)(3x2 yz); 13) (-2x2)(-x4 ) ; 14) -x(- 2x2 y)(-3xy2z); .15) - 4x( - 2x2 y)( -xy2 ) ; 16) ( -3x5 )( - 2x-1y)( -3xyz);
17) (- 2x3y)(-+xyz).; 18) (- ~ x4y)(-4~t;2 ) . Sa se scrie sub forma de monoame, in fol'ma canonica, urmatoarele
puteri de monoame: 19) (a2 )3 ; 20) ( - a2 x3 y)5 ; 21) ( - 2xy3 )3;
( 'L )3 22) ( -4xy2
)2
; 23) - i xy2 ; 24) ( -0,1x2)2; 25) ( - 1,05x2)2.
Sa se efectueze imp art irile: 26) (-a4
): ( - a2); 27) (-4x2y) : (-4x); 28) (-3y) : (-y);
29) ( -5x3 y) : ( - 5xy); .30) ( -2x) : x; 31) ( -3x2 ) : ( - 3x); 32) ( -x) :( - x); 33) (-2x4 ) :(2x2 )' ; 34) x5 :( -x2); 35) ( -6x6y2
) : ( - 2x4y); 36) ( - 12x3 yz) : ( - '12x2);
37) ~x1 y :(- -}x2) ; 38) (-x3y2z):( -;xv); a9) ( - 2.t3 ) : ( - 0,1 x~) .
<10) Sa se afle valuarea monomului 0,0000008a8b9, pentru a = 2, b --:: - 5.
c!l) Sa :;e afle valoarea polinom ului P( ::n , y) = x2 + 2xy + y2 pcnLru :
'I H) . .~; = 2; y =-2; b) X = 2; Y = -:-0,5.
42) Sa se afle valoarea polinomului P( x) = 8x3
- 2x + 1 pentru :
LR4
a) X = -~; l.J.) X = - 1; C) X = - J_; d) X = 0. 2
43) Sa se a fl e v::~Jmwra p o1inomulni P( x, y) = 4 . .t3
- 2x2 y + 2y2 pentrn :
a) X = - 1 ; u = O; b) x.=-2; y= - 1; c)x=2; y =- ~~ d) X = 1 ; y = - 1 ; c) X = ~~ ; y = - 0, 01. Sa se reducrt t crm enii asemenea:
44) 2a. + 5a: 45) Ia + 8a; 46) a + a; 47.) -2a - 5a ; 48) - 7a -:- Ga : LJ9) - a - a; 50) -a- .3a; 51) 4b- 2b; 52) 7b - 3b: 53) 2b - 4b; t>4) ~k - 7c; 55) 6x + 6x; 56) - 7x + 7x ; 57) - 8y - 8y; 58) x- x; 59) 3xy - 2xy; 60) xy - Gxy ; 61) 2xyz - 2xyz; 62) Lla +3a -4a; 63) 3a+a -2a + 1; ()4-) 5x+ .'1 x - 7x-a~; tj5) x2 + 3y - x2
- y + 2: 66) 2x + 3xy - ;x;y - 2.x; G7) x2
- 2x- x2 + 2::e; 68) !1.1;2 - 2x2 y + 4y2 + 3xy2
- 1 ;
69) !._ _l y - ~X - J y -\- 4. 2 4 ,, 4
Sa se efectueze adml~trj]e 9i scaderile d e polinoame: 70) 3a + (- a); 7J) 2x + (- 2x); 72) 2x + (- x + 3) ; 73) T- y + ( -xy2 + x2 y): 74) x + 2y + ( -2x - 3y + 1) ; 75) :r3 + 2x2 + (- .xa - 2:v2 ); 7G) .'Ja - ( - 2a); 77) a - ( - a); 78) 2.x: - ( - 4x + -1) ; 79) J..r2 + 2y - (:t 2 + 2y - 2) ; 80) x3 + 2~~2 - (.r3 + 2x~ - :1.r + '1) ; 81) x3 - ( - x2 + 2x) - (.r3 -~ :r·2 - J );
82) I 3 ( I 3 I ·} ) ( 2 ... 1 3 ) - x y - - - J:y - - x~ y -· - - .x-IJ + - x ?J · :~ :~ ~~ ' ~1 ° ( i 0
I
83). 2a -1- (3a - '1) - (Ga - 2); 8L1) b -1- (2b- 1) - (b -\- J ); 85) 2x + (x- 2y) - (x + 1) ; 86) 4x - nx - y) + (- x - y);
') ( I ) '(I ) 87) ax - (2ax + 1) + (1 + ax ); 88) ;~ x + x - ;3
y - ,, x + 1 ;
89) Se considcra: A = x2 + ;( 2 y, B = 2x2 - J:y2 -:- 1. C = x2
- x2 y + 1 . SCt se ealcu lrze: a) A + B - C, b ) A - B - C, e) -"·1 - B - C.
Sa se efectueze: 90) a) a2
- (a~ - 2ab + b2 ) + (a2 - 2ab + 2b2);
b) 2x2 + (.~;2 + X!/ f- I ) - (JJ:2 + .ry2 -1 •J) : c) c + c(c - 'l ); d) .t· -1 .r(!J - 1) ; <') :JJ: + ;Lr (u J ).
Sil se cfeeluezt' iJJllllilt.il'ik: 91) 2a(a - b); H:!) - :J(/(112 - b) ; !);~ ) - 2.r(.r - '2y);
· ~q) -- 2x( .t:~ + ~.r -f I) ; H;>) - .t2(x2 - :1J:!f - !J'l.); U6) /1 ~~:( a;3 - 2J:!f~ + 'J!f).
Sa se cl'cuLu L'Z( ' :
Hi) :l(.c + 1) - ~( .r - ~) ; !18) 3(.r + !J) - 2( :r - y) ; H9) u -j- a(c~- 1)· . l 1 l ,
lOU) -x - 2( .r - ) : lnl) ~'( .J - !1)- J( .c - 3)· !! u 3 '
10~) S(x- l )- 3(J·+ 0) , Hfl) o(:2:t -'- 1) - 3(J:- 3);
{65
10·1) 8(y- 1)- 4(y- 2) ___,_ ,LJ; 105) 5(x- 2) - (x ~ 4) ; JOG) 6(.r; - 2) - (x- 5) - (J: - 9): lUi) S(x + y) - 4(.u + y) ; 108) 2(x - y) - 3(.1: + y) - (2x - y ) ; 109) 8(x - 2) - (4x - 3) - 2(x - 5); 110) 6(x - y) - 2(x + y) - 4(x - y)~ 111) 7(x2
- y) - 3(2x2 + y) - (.1:2 - 3y) ; 112) 2 · [x + 3(x- 1)] ; 113) 3 + 3 · [x - 2(x - 1 )] + ~~.r.
Sa se efeutue:,:-;e impartirile clintre t ill polinom ?i un monom: 114) (2x + 2y) : 2; 115) (a x + ay) :a ; llG) (x2 + 2.c) : x; 117) (a3 + a2 + a): a; 118) (x3
- x): (-x); 119) (a2 x - a2 ): a2; 120) (x2 y - ·xy2 ): (xy) ; 121) (x0y6 - x3 y3): ( - xaya) ; 122) [y + y( x .- 'y) + xy]: y; 123) {5 + 5L2 + J(c~; - 1)] - Lt1:} ::J. ·
SE'l se descompun[t in fac tori: 12L1-) 2a + 2b ; 125) 3:t + 3y; 126) 5x + 5 ; 127) 'ix -I; 128) x2 + 2x ; 129) x2 + x; 130) x3 + x2 + x; Hn) <U + ay; 1 :32) bx + by ; 133) a2 + ab ; 13±) a + a2b; 135) a( x + y) + b(x + y); 136) a(x- 1) - b( x- 1).
Sa se d escompuna in factori: 137) a2b + ab~c; 138) 2xy2 + 4x y2 + 6xy2=:; 139) 2x2 y + 3xy2 - 4.x2 y2
; 140) 12a2b + :J6ab2 ;
1-U) 24a2b3- 36ab'1 + 40ab2c; 142) x + 1 + (x + 1)2.
143) Se ~tie ca a = - 10 ~i b + c = - 24. Sa ~e calcul eze a2 + ab + ac.
1-.1•1) Se considera
P(x) ·= x5 - 27x3 + 2x + 1.
Sa se calouleze P(20 ,5 ) + P( - 20,5 ). .145a) Se consider a clou5. numere : primul $i al doi.lea .
La primul se aduna al doilea 9i se ohtine al treilca. La al do ilea' se adun[t al treilea ~i :;c ob~ine al patrulea ~ . a..m . d . Cu cit este egala suma primelor ~ase n umere as tfel ohtinute, clal'tt a l cincilea est e egal c u 7?
14611) Se consider a a = 269 ~i b = (21 0° - 2on + 934 : :-}67 _ 2!111 )1u.
DeL~rmina~i valoarea de adevar a fiecareia din urmatoarele pl'Op<?zj~ii: a) a = b; b) a > b; c) a < b.
147) Sa se scrie in b aza 10 numarul 1 010<2,. 148) Sa se scrie in baza 2 numarul L1i.
Lucra1·e pentru verificarea insu~irii unor cuno~tinl:e tle baza
a) Sa se afle valoarea poliuomului
P(x ) = x3 - 2x2 + 1
pentru x = -1.
166
b) Sa &e afle valoal'M polinonmlui
P( x, y) = x3 - 2x2 y + y~ - 1
pe11tru: x = - 1, y = 0. Sa ~e efectueze urrnatoarele operatii cu monuarne ,:
c) (-3xay) · ( - x) ; d) (-Gx3y): (- x:!).
Stt se J'educ~l tennenij uscm enea: e) 2x + 3x; I) - 3x - x;.g) 4x - 2x ; h) 7x- 8x: i) :=l.r- :ix: j ) - 4x- 4x; k) -x- x; ]) 2x2
- x2 ; m) 2a + :Jb - 2a + 1_; n) 3x + 2x + y -- x - y - tu :. Sa se efeotueze 1nmultiroa clintre 1m m onorn ~i 11n polinorn: o) 3a( a2 - 2ab + 1). · Sa se descompuna in fact01·i: p) 7a + 7b ; r) cix- ay; s) 2.x + 2y + 2; t) a2 + a ; u) ,x2y + xy.
Lucrare pentru pregatirea olimpiadelor ~ i a altot· c•otH.:ursuJ'i
1) Sa se a ra te cu p1'odusul a tl'ei numere in Lregi f·on~'"cutin' estc divizibil cu G. ,
2) a) Sa se arate ca numercle de forma a bab se divid cu 101. h) Care este eel mai maJ'e numar natural de fonna a b-rib :;; i care
are eel mai mic num5.r de divizori ? 3) Numarul intreg n nu este divizibil ni ci cu 2 nici cu J. Sa se
arate ca (n + 1)(n - 1) se div id e ou 24. 4) ~tiind . cft x E Q siL se calculeze:
I X2 + 11 + I 1 + x1
/ - I x4 + x2 I . 5) $tiind crt a E Q f;i i . e~L a < 0, s5. se calcuJci'C:
a) I a/ + I - al + 1 :.; - al + I- J + 2a l ..L I a3 1 - I a 1
3 ~ 5a ;
b) ya2 - 1/ 4a2 + I a2 + 21- ,j(a- lf2 - v'u4 .
G) Toate polinoamele la care avem: P( x) ~= P( - :c) le numim dt" tipul 1 ~i toat e polinoamele la care avem: P( - .r) = - P( .r) ll' numim de ti}Jul 2. Arata-ti carui t ip apartine fiecare d i n polit,uumdc:
P 1(x ) = Ax2Jt+l- B x (k E ~*) ;
P 2 (x) = A x~~t + Ex~k + C (1.· E ~ *) ; P 3(x ) = x6 - l L1x1 + J8.1:2 - Jli.
8. lnt.AO'fll ALGElHUCE
ExprPsii de forma a - b ab~ c.r - "21' --· -· c- d ab c
~e nume&c fractii algebrice.
167
Se obser va ca, a fract,ie algebt·ica se repr eziHta sub fm'nUl c ituJui h1. tr e d a uil paliuoame , in care pohnomul de Ja numitar etite d ifcrit de ·r. era .
- I
ln]ocuind litet·ele din tr-a frac~ie a]gehric[t cu numere ra-~ionalc, 1n part i0ular cu numere intregi , ~~ cfectuind operatiiJe 1n ordinea in car e acest ea s!n t indicate in fracvia a lgebl'ica considerata , se oh1,inc un numar rationa], care uneori se rednce la u n numar intreg, numit oaloa tea frac ~iei algebrice considerat e.
Aceastn in cazul 1n care, penLru nu m cr ele rationale cu care au fos t inlac ui-Le litereJc, numit arul a l'e ca valoare un numar rationa l diferit d e ze t'O. Dac~t insu, penLru nu merele ra ~i anale cu care a u fosL 1nlocuiLc JiLcrcJc, munitorul e::; Le zer o, a Lnnc i sc spune C~l frac-~ia alg<'bricu nu esLc clefini tu sau nu arc sen ::; pen Lru va]arile considerate ale literolor.
E I 1 . I ' . ] b . ~ a - b , ] xcmp o: . 1 ractta a ge riCa are Clte o va oare pen t ru e-el
acele valol'i a le lui a. b, c ~i. d pentru care c :f. d. Aceea~i frac~ie algebrica nu este definita sau nu are sen s p entru acele v alori ale lui a, b, c ~i d pent ru car e c = d.
2. F eacLia a lgebrica ab2
are cite o valoare pen tru acele valori ale ' ab
]ui a ~i b pentru care a :f. 0 ~i b :f. 0 ~i n u esLe d efini La sau nu al'e sens d aca a = 0 sau b = 0.
3. Frac~ia algebrica ex -2
c are cite o valoare pentru ace]e valori c
a le 1ui x ~i c pentru care c :f. 0 ~ i nu est e definita sau nu are sens pentru vaJori ale lui x ~i c in care ~ = 0.
Orice polinont sau orice monom poate fi transformat intr-o fractie alcrebrica rationala in care numaratorul este ]'JOlinomul sau mononzrtl con..-o , siderat , iar numitorul este 1.
E xemplu . Polinamul x2 - ab - 2 devine fr act.ie a]o·ebrica ratio-
' D ' . r2 - ab - 2 nala daca-1 scriem sub forma -----
1
163
EXER Vl'flU
x3 - y'lSe considera: Ji'( x, !J) = -~=----
x - y
Sti. se afle : F (i , - 3) ; F(O , -1 ); F(4 · 0)··
9. Ef'U.\.'fH DE flH ATilL I CU 0 XECUXOSCl l'£'1
In manualul de m a tem at icrt p entru clasa a V ·a, d enumirea de eruat.ie a fost data unor propozitii cu o variabila ca , d e exemplu, x + 2 = 6, uncl e x E {4 , 5} san 3x = 9, uncle x E {2, 4} . . .
E x primarea X+ 2 = 6, Llnde X E { 4 ,, 5} se nun:e~te rropoztv.le en o variabila , cleoar ece pcntrn fi ecar e valoare a lm x d m mylt.1m~a { ~ , 5} exprimarea x + 2 = 6 devine o propozitie ~are poat e f1 ad evar at a sau falsa . De exempln , claca x est e 4. atunCl /! + 2 = 6 est e o propozitie adevar at a . Daca x est e 5 atunm 5 + 2 = 6 ost e o propozii.ie falsa.
' Fiecarei prop azi1,ii c11 o variabila i s~ .a~a ciaz~t o n~ul~i:ne car e se nume~te multim ea de adcvar a propoz1t1m c11 o var1ab1la. A ceasta este -Lotalitatea elcm entelar d1n multimea elem entelor cu care x ponte fi inlacuit in propozi1,ia en a variab1la cansiderata ?i care conduc ]a r..ropazi1ii ad e.varate... . · ¥ • • ¥ •
. In cazul unet ecu a~u , mul~1mea de adevar a fas t l}ur~nta m.ult~-mf'a solnti ilor ecuafiei. A ceast a mn]ti_me a . v~m num1 $1 n_wJ}un ea radacinilor ecuatiei. E lPm cntele acestm mul~Jml an fast num1te solntiile ecuatiei. Le vom m a i numi radacinile ecuatiei. . . · Din c~]e d e m a i sus r ezultR. ra multimea d e adeva~ a ecua t1e1 x + 2 = 6, und o x E {4, 5}, est e ~ul~imea {~} . Mul~1~ea { 4! ~e mai numest e multimea solu -~1il or acele1a~1 ecuatn san ~ylt1mea ~ada~iniJar ac~Jeia~i e'cn a ~,ii. Vom mai SCl'ie S = { ~}, S fnnd. multim~~ solutiilor a celeiasi om1a ~ii. Nnmarul 4 se nume9te soluj.ta ecua ~1e1 considerate san ;.r'Jdlicina acrs tei ecu a·t,ii.
Urm rrtoare lo ccw:r~i i
2x + 1 = 0, uncl e :r ~ Q; :r - 5 = 0, u ncle x E Q; ., - ~r - It --= 0, uncle x E Q, :2
lr vom num i PC1t a ~ii de gr:.td ul lntii cu o nccunoscu ta, anum e cu necu nosrltta x .
in gen rrn 1: Fii llll date ll llli1Nf' l r rntin71 al f' a .~ i h cu n <f. 0, o ecuat ie de gradul
lntli cu nccunoscula .c f'S i r' o fC ila{ i e df' tip ul
o.r + h = 0 1 mule x E Q.
E xemplu. Sft sc re:zolvr I' Cll :l ti :t
2.t -1- 'I --=0 , lmde :-r E Q.
Pref'npnnr m f'ii ,1' a ro~ l illloc l! it (' 11 ? solu\ie, pe CaJ'f' 0 yom n?ta t- ot r u :r. tt f •C·l tfl l iP i ('OTl f:;id <'rn lP. A ltmc J
, -2.1' 1- 1 - 0,
este o egalit a te in Lre n um ere 1·a ~ i onule .
169
Prin ~c ~cterna lui 1 din amhii memhri ni acP.st.ei egaliU:lti. ohtinem 2:r + 1 - ~I = 0 - 1 sau
2x =-I. Se s pllll f' ca am trecu t t ermenul libel' cu sr.mn srhimha l din mr.m
J.mll ln Lii ln m embrul al d oilea. lmpartim ambii termeni ai ega lit a t ii 2x = - 1 cu 2. Ol?tinem
2:r - J -=-2 2
sau
I P\mind p e - - in locul lui a: in ecua ~ia consideraf~, Qpt.inem ca
2
2· ( -~ ) + 1 =0 est e o propozitie adevurat a .
1 um f.trnl --- este solut ie sm1 rftd ftc in n rt ecnatiei considerate.
2 ~lu l tim ea solut iilor sau radEte ini lor ecuatiei considerate est e
{- ~ } , deoarr. cr. preslipunerea co x a fQst inlocuit cu o ~Qht ~ie a
ecuatiei considerate .ne c ondu ce la
'I .1! = --- 1
l
iar p rin in l o cuire~ lui x en - ~ in ecu a·~ i a considerat a obtinem o
propozitie adevr.m:tHt. Yom consid era, in cele ce lll'm eaza, $i ecu atii a r aror rezolv are
se redu ce la rezolvarea un ei ecuatii d e g1·adul l.nt'ii. dupa cum rezulta din exemplele carr l11' 111 Nl.Zft.
Deoarece in orice ecu::ttie de gradul 'lnt li r n o nPclmo~cnt a, lit ern din polinom . pP r ar e o Yom numi nccunoscnto. p oat e fi inloruit a cu oriN• m1 mr1r l'a tional , mt Yom m ai ~ct·j e .c E t! , da.!' Yom p resupune ca x E Q.
Deci urmat oarele exprimar i I
2': + 'l = 0, X- 5 = 0, - .'l"- 4 = 0 ')
lr vom m1mi eruntii rl c gradn l 'inlli eu o ner.nnosenti'\. P1'in reznlc1al'M 'rmei ec u ati i dr gl'adn l intJi cu o n ecunoscuta. ~0
intelegr det ermi na r'r.a mnltimii soln-·tiilor salP..
170
ExempJul l. Sa se rezolve ecnat ia
_!_ x+ 5 = 2.:~· + (). 3
r
I
Prt'Sl !Jl i1!1 Pil1 1·;, .r n f11 s l inlcwu il c11 o soh1~i e , p e cnre .0 YOm nota t o I en .r , a e('uatiei CO II Ri c\ r J'nl c. A lmwi
2 :~ · + 5 -= ~ .. r + 6 :!
cste o r.Q:a]il nlc 1nLJ•e nnm Nc rat,ionale. ~· - 7 1
Con s t·att\.m rtt :~- Ps t r mrti marP decit 2, cl coarr.ce : l = 2 + 1 ;
iilt' !_ pste 1111 mm1ft 1' l' t~ l. .i on n l pozit iv. Atunci, ptin r-;ca.derea lui 2.1.' '1
din ~mbii xnemLl'i t=t i pgaliHi t ii de m :=ti sus, oh tinem
Sall
2.. x + 5 - 2x = 2x + 6 - 2x ' J <)
2. :r· + 5 - 2x = 6 . . , .. S0 sp111w eA. fl lll 1Trrn l lt•rmrnul de_,prad!rl lnt r: i r n semn schimha t clin meml.n·ul al d01lea Jn mPmln·nl 1n l ll. Am obt mu l
'I - :l' + 5 = 6. ·J
·' Prin scaderr.a lui 5 (l in ::~ rnhii mr mh1'i ai Ar.estei eg::lliHr~ i obtin r.m
_.!.. .r + !1 - 5 = G - f,, '.J ..)
1 - ,(' =- f) - ~. " ..
Sf' sptmP r·r, fllll trrrn t·. l rl'ni('}1TI1 hbe1· cu semn schimbat din m em-brul !nth in membrul al ~l oilea. A m ob t inut
..!..-r - 1 •). - . ..
· i u RflrP. i1 , 'il tm 1lltim nmbii mPm]H'i 8i <Wr~t ri rgnlil il( i r 113
in1vrrc:nl
. ,, . I .
1 · 1 l)]J ~l.ll."l ll 3 1 c - ·1 · ~ ' 'c'' l l x = 1 · ..::.... , deoa1·ece -· · - - = 1. 111 -::, '! '-' 13. - 1 '" '- . 'I ·J :3
·-'
,') ' = 3.
Pnnl.nd pe 3 in lor11l lni :t' in PC-lw \ifl r-onsidrrat a , ohtinem ea
~·3+5 = 2·3 + 6 ') ,,
es le o propozitie adeYf:tl'a UI , d eoarece ~ · 3 + 5 = 12 ~1 2 · 3 + 6 -=
171
= 12. Numaru l J rste solu t.ie san radarina n ec1.1atiei conF:idrratP. Pcnl.ru a ad'ita ca J cste soln-t;ie s<:Hl r fl dar in a a PC' tl n \ iPi ronsid ern te , vom mai srrie x = 3.
Multimea solutiilor sau radacinilor ecu~1 iri ronsi cl Prate este {:3}, deoarece presupu·~erea dt x a fost inlocuit cu o solutie a eruatiei considerate ne conduce la
X = J ,
iar prin 1nlocuirca lui x en .J in ecua~ia eonsiderata obtinem o pro-pozi tje :tdevarata. .
r.a modalitato de rezolvarc a 1mei er- u R~i i de t ipul celei din exrmplul 1 i.rrhu ic rc·\.innt ra se fac urmat oarele:
7) Sf' trecP. lcrmcnul clc r;raclul 1nl'ii, en semn schimbat, dintr-un m rmhru. f'n eel ill a lt .~i sc reduc trrm en ii asrmen ra.
2) Sr trrce lermcnul libel', cu scmn schimbat, chn membruJ care eon{ine necnnoscuta in celiilalt membm .~i se rPduc termeni£ asemenra.
.J ) Sr fnmul(rsc ambii mrmbri ru: f'galit£7tii obtinnte cu, inCJersu/. corficimlnlui nf'cnnoseutf'i .~i se P{ccturazir lnmultirilc.
T!'Phni r srt rrt.inrm ra ec ua\ ia en o nrrtmosenta din exemplul 'l arr o sing11rft solu ~ir.
Trr.ht1ir s[t mai ret.inem cil m1 estr ncrt'Snr si\ verifieam ea pl'in
In loeu irca lui :r: en J in ccmd in ! x + 5 -= 2.T + 6 obtinem o pro-. :1 '
pozit.ic adrvarrrL[l. Aceasta se cl atore~tc fnpLului ci\ propozi tiilc, aclicft cc1w ~ ii1 o, cnrc SP ob~in din eeua~i ::t da l.i\ prin ap li carea rrglllilor 'I , 2 ·snn 3 de ri1a i 1nnin te s7n1. echif'alenle JrlLJ' C clc 9i rcli i f'a lentc ctr Prtw t.ia daLa.
Prin JJJ'OJJO::. i(ii f'll n !'m·iahilt/ f'c/ii(1rtlrnlr. ln(Pl(~rm propo::.i(ii In cm·f' ('ttriahila poatc Ina ('(1/ori ln nna. ·>·i fiN'r'a.~i m11/{ime .~i pcntru fiecm'f' CJaloatf a c;ariabilei din acea mul{in1f' ambele propo::iti i slnt adcc;drale srw frrl se.
Eru::tlia :1' -t 2 - :r 1- 2
arc e:1 mu ltinw R solu(ii lor mu l!_ illlr:-~ Q r1 llll111rJ·rlm mtionalP. clroal 'N'(' Ol"li'H. J'P :.11· fi num ii1·u l J·~~ti onnl .c PgaliL&teu ~· + 2 = x + 2 este adL'Vfll'rt l £t.
Dacrt, insCt, consitler[ull rclw. ~ in
:r + ~ - .r + 1,
rrm lt.irnrn solnt.ii lor aerstri rrua (-ii I'SI.P mnl(.imra v id ft 0, cl c>oarece M iccn·r nt• l'i nu mi'\rn l J'a(iomd :r, Pg"[lliln l1•:1 .1· 1- 2 = .r + :l r s te I ot.dl':tun:t fit l ~il.
Prrllr11 n hu·r e:tlnlit' c· 11 l111111t ' I' C' lni, ·Pgi l:' i n11 r n numrrr rnt iona}pl Sl' Pli m i1t ft nntnil or· ii. Pt·in il('ras la Sl' ill l_ c•Jpgp 1·t1 amhij memb1·i ai ee11a1iei se iumu ltcsc l' tl e: .uLrn.uL t. al Humilol'ilm.
172 '
In cazlll ecua~iei
2 x + 5 = 2x +6 3
inmult.im, m a i int1i , amhii m embri ai ecu aviei ('.U 3. Ob~.incm 3(~ ~+ 5) =3(2x+6) sau 7x+15=6x+1.8. ~~ai d epartc> , tre~.~~ pe .Gx en sernn schimbat din membrul a] do1.181eaAm ~!':?b~~ )tl~~ll1~ btincm 7x + 15- 6x = 18 sau x + 15 = . ·. P01,. I CC. . . 0
' l · ba·~ d'1n me1nbrul intii 'in membru .l a l rlo1lea f:i l obt mem eu semn -se nm v · · · ·idcrate x = 18 _ 1.5 sau x = 3 . Deei 3 este solu1~1u ocu at1e1 cons ·
Exomplul 2. F ie ecu a-t.ia
2:r + .'3 '2
s~· + n 3
P resupunind ca x a fost 1n]oeuit cu o so1.utie, pe care o vom nota t ot cu x, a ectmtiei considerate, putem scrw
1 1 . ~ (2x + 3) = 0 (5x + 6). 2 d
Ap1ic1nd clist.ribnt ivilatea 1nmu1~irii fa~a de adunare, obtinem, mm·
l•nt'ii ~ · 2x J.. _!_ • 3 = .!. · 5x + _:!:_ • 6 san '2. 1 2. :3 3
~ 5 2 X+ - =-x+. . 2 3
1 r 1 "1 lt' d hii memhri ai eO'oalita!.ii Putem proced a ~;;i fl t c . nmu ,.m am
2:r + ;J, ==- 5.?' + R etl rcl mai mic multiplu comun [I] lui 2 ~i 3, 2 :3 6
·6 bt' 2:r. + 3 6 5x + . 6. Dar aceasta se scrie care este , o 1mcm 2
· = 3
6(2:r + 3) = 6(5x + 6) sau 2 3
:1(2:~: + 3) =- 2(5:r + 6).
Jn cnzu1 dP fn.Ft, r rJ.ulta l.11l rs te eel al 'inmul~irii numar~\ L orulni l'ract.ici 2 ·~" ; ~~ cu numitornl frac·t.iei !).r : 15
• al inmult.irii nnmEtrftl.ol'ului
f · · !J:r. + H cu numitol'ul fractiei ractwl - -- ~ , 3
2~r. + 3 ~1 al egalE'trii eel or dona 2
produs.e ob~inut.e.
Din 3(2x + 3) = 2(5x + 6),
aplieind distributivitatea lnmul ~irii fata d e adunare, oh~inem
6x + 9 = 10x + 12
173
t pli~liOnc:u .. i procrdeul de rezolvare de~cris mai 1naintel a vern· succesiv: ~~ - .1 +1 2 - 6:r·, 9=4x + 12· 9-12-4x· 0 4 ., , - , -._, = ~· sau 4.:r = -1: :r ::-= - ~ .
. Ll
Rxem.plul 3. Fie ecuatil.:l
9 5 ... r+~~
------- = .T. 2 :J
t . Presnpunind r:a. x a f~st 1n1ocuit en o solutie, pc eare o vom nota ot en ::r, n ecmr~1e 1 considerate, putem scrie
J .. (') + f') ) 'l ( 7 ") 1 I ~ · · 2 ·.IX - - - - X ..L ·:> = "~ R''ll - . 0,.. + ~ 1 7 l 0 4 :- r~ I •< I. f.< . d,t - • - -- • - X-- ) -.) ·- 2 2 ,, 5 3 " ~ • . -
c-=- :r sa ll ( }- ::r _ }____ :r) ( .~> ;~ ) :~ 1 ·1 · 2 · 1 - · + --;.;- - -::- = x sa u - x + - = x.
J " .') ao 40
Aplidnclu-i procl?deul dE' rezolvare clescris mai inainte, avem succesiv: 31 I l 1 I -x+ - -x= O· -x _ _ ·. 1. 1 30 411 ' 9() + 40 - 0 > JO X = - - , X = - - · 3Q
• ' 1 . 40 40 san
3 X=:=--•
4
'EXERI'l'PJ
Sft SE' rezolve, 1n muJtimea Q~ orna t.iile:
I) 2x= 6; 2) 4x = 8 ; 3) 4x = 0 ; 4) 7.x= 7 ; 5) - 4x = 12 ;
6) - Gx =-= - 24; 7) -9:r = 0; 8) - G::r = - 6: 9) -x. = - 1. ;
lO) -X=-=-2; ll) -:r -:::: .'1; 12) 2:r == -2 ; 1?,) - 7:r = 2'J ;
14) .i :r =- - 0· 15) - ·10.1' = 0· 16) ..,.. + 1 - ? · 1,..) 4 " ' , . ' ·• -- """' f X - = ·.'>:
18) -X+ J = 4-; 19) -;'C + 5 = 2 ; 20) -:r + ·4 = - !1;
21) -:r - !1- -= - 4 ; 22) :r- Li = 2· 23) ;r-? - 5 · , . ~ - . )
2-~) ,) -.'X' = Li ; 25) - ,J + T = 5; - 26) - 2 +:X'= - '1· '>'"') ' -
1 -~ + :r = - 4; 28) 5 - :x· = - 5; 29) - 5 + :r = 5;
:10) -5-X =- - 5; 31) 1 +y = 5; 32) --3+ y =-4;
33) 'i -.:: --= 2 ; 34) - l + z = Li; 3!1) 2:r - 4 = 0;
3G) l x: -28 = 0; 37) 3x+1.2= 0 ~ 38) !~x+ 1.6= 0;
174
::t!l) - 3:r + 27-= 0 ; ·10) - fi .r + ·18 = 0 ; ·ll) - :.l.r- :~R = n ;
4:!) - JO .r + MJ -:::: 0 ; 4~~) - :)?/ + 20 = 0; 'i4) t, ~· + G = - 10;
4fl) I, = .3 :r - 2; 4()) :~ - It !/ - S; -li) - 7 = 2y +'I ;
~ 1 8) II = 4:: .+ 3; 4fl) 1,0 -=- 2()y + 60; nO) ~)~"- 8 ~ '12i
51) 7.r- 'L = 13; f12) I~· - 8 = 20; 53) - 8:r + I = t?;
."J·I) - 7 y + '1 - - 13 ; i>il) - 0:r + 2 -= 20; 5()) l~:r - :i -= 2'1;
o7) S:r -j- 12 = 2 ; r58) - G.r+ 1.8- G; 59) - 8y + 10 = 2;
60) 8::c = :i:t; + t 5 ;, 61) 3x -= 2x + 'l ; 62) L1:r: = - 3.x + lit ;
6~) 4;~·-6 = 2x; (}tl) 2y =-:3y - 10; 65) 7x- 'J.Li,= 5x-2;
G()) R: + I = 5::; - 5 ; ()7) - Ltz + 1:1 = 'I f) - 2z;,,
GR) - ::l.: + 7 = - 7 + 1,:;; G9) 3(:r + 1) = 6;
70) 5(y - 1) = 2y + 7; 71) 4(x + l) = - 7x -7 ;
72) 3(1; + 2) = 2(:r + 4) ; 73) 6 = 4(x + 1) - 2( x + 2);
74) - 2 = 5(x + 1) - 7; 71>) ,-6 = 2(y + 4) + 5y;
7G) 5(:r + 1) = 2( .~- 'l) - 2 ; 77) 3(x - 1) - 4( x + 2) = 0;
78) 2(2.r-5) = 3(:r-2) + 7; 79) 5('L -2x) + 3 = !1(x+3)+ 10 ;
80) 2x = - 1 712 ; 81) - 5x = 5 010 ; 82) - 25x = -6 250 ;
· S:l) 'I 02y = - 20 91.0; 8-1) 2.r = 5x - 1 752;
s.~,) t 754y = 25~-y + ::: ono; s n) 2 oo9y = 1 til09y - 2ft ooo ;
87) .:J .r · 2; 88) 5.T == 2; 89) 71~ ='I ; no) - Gx = 5;
91) - R:r = - 1; 92) - l t.r = 1 ; 93) - 9::r = 3; 94) :J x +.'1 = 0;
95) Gx = 3 · 96) Li-OO x ='I ; 97) 2(x + 1) = 3x + 5; ·
!l8) 4(.r- 1). = 5(.1; + 1) + lOx; 99) 3x + 2x2 = 2(2 + :r2) ;
100) ;r =3 · IOi) :.r-1 = 3 · 102) !!._ = !_ v
2 ) 2 ) 3 2 1
103) .1:- l = ...:~ ! ]04) .:.:r = :r- l ]05) :1:r = 5:1' +'I • t 2 :3 I tJ 3 ; . 2 4 7
]06) Li.r -J = 'l +2_ ~ 107) 3x+ x + ) =2 .• 3 2 1 4 6 1
X '[ X x+ 'l X 1 J08) 2:r - · - = .:_ ~ 109) 4~; - -- = -
3 -- e
Ll . 2. 1 6 6 '
11.0) ::3(:r - 1) = ~ x - 3x; Ill) ..!.. (2x - l) = ~ :t: - 1,5x; 4 0 4 6
l7S
2 ~ . 112) -:- (x + 1) + x2 = '
2 (x -1) + :r( ~c- 4); 113) 2x = 2x;
,)
114) 3x- 3x = 0; 115) 7y = 5y + 2 y ; 116) 3t + 5 = 5 + 3t;
117) 3(x + 1) = J(x + 2)- 3; 118) 2x + 1 = 2x + 2;
119) 5(x + 1) = 5x +.4; 120) 2(x + 1) = 2(x + 2).
Sr, se rezolve ecua~iile en necnnoscuLele x sau y sau z :
121) a:x: = b, (a =I= 0); 122) ax = 5, (a :1= 0);
. 123) ax + x = 2, (a =I= - 1) ; 124) 2x = 4b;
1 25) 3ax - 5, (a =I= 0); 126) 2ax = 4a, (a =I= 0);
127) 4ax = 2ax- L~, (a =I= 0); 1 28) 5ax = ax +Sa, (a =I= 0);
1 29) 3ax = 2ax + b, (a =I= 0); .130) 4ay - b = 3ay, (a =I= 0) ;
131) 7a4- - c = 5az + 2c, (a =I= 0); 1 32) ax - bx = 1, (a =I= b) ;
133) ·ay + by = 5, (a =I= - b); 134) ay = by + 3, (a =I= b);
1!l5) az = - bz + 7, (a =1= - b); 13G) a t:- .3 = 20·1• ' (a =I= 0);
2 3 1 . ')
137) 2 (a - :r) = ~ (a + x ). •
l 38) Sa Rc reprezin te ficc:ue din t rf' n J'matoarele multimi scriind elem cntole sale in tre ucolacle:
i l -= { :r I .r E= N, 2:r = 4}; R -= f :r l 1: E N, - 2x = 0}; C' = { .T I :r E N, 5.T =- 0}; D = {:r I x E N, - 2x = 6};
E = { 1~ I x E Z, :r - 2 = 0} ; F = f :r I x E Z, - 5x = 0} ;
c = f 1· 1 :r· c z, 2(1· + 1) = l] :c· 1- 21; lf = { .r I ~t C Q, ~.T - G = 0}; I - { x I :r E Q, L~x + 8 = 0}; 1 =: J ,.,, I ,, c: Q /,1"' = 'J H • Jt - J C I ,. r Q /,1"' - q}
0 ' o ( o( '--- ., , (. \. .A, J , }.. t o I '"' '- '"I ._( - LJ •
139) Sit ~-it' I'rprPzinl.e fir car·p dintr e m'm EHoare le multimi scriind e iPrnen l.ele ::;ulo 1nlrP acolad o:
II - J r I "" r '1 ·"' ~ 0 J • B - r "' I ,, c:. N 2"' < l'l , - I • .c. "- • "i ' ,.(,. ~ ,-) J , - '1 · ' ' .(.I - 4f • t fJ J ,
C = { .-r. I x E N*, 2~r "' 0} ; D = l1' I ;r E: N ~ - 2 "' x "' 0}; F: - f X I ~- ("' N' X + l "' /l f ; F - { .t I ~·. E N' X - 1 "' 3} ; (; = f :1· I .1: E N • .r ~ - 2}; 11 = l :r I :l : E z. - 2 ~ x ~ 2} ;
1 = { :1' I x E: Z - N, ~; ~ - :~: ; .I = {:1' I :r. E= Z, - 2 ~ :r ~ .3}; .;;. = { :~.· I :r E: Z. - 3 < ;c < 4} ; L = { ~c 1 ~c E Z, 0 ~ x ~ 1}.
~40) Sa so re~rezinte fiecare dintre urmatoarele mul~imi , scriind elementele- sale 'lntre acolade :
A = { x l 'x E Q, 2(x + 1) = 2}; B = { x I x E Q, 3x = 6};
C = {x 1 x E Q, -4x - 8 = 0}; D = {xI x E Q, 10x = 5}; E = { x 1 x E Q, -5x = 1} ; F = { x I x E Q - N, 3x = 0} ; G = {xI x E Q- Z, x- 2.x = ~} .
141) Suma a douu numere 1ntregi distincte mai mari dec·lt - 2 este 0. Sa se afle nuii?-erele. Cite solu~ii are problema?
142) Suma a doua numere intregi m~ mari decit - 2 eRto L S5. se afle numerele. Cite solt:r~ii arc problema ?
143) Se considera numerele rationale a ~i b. $tiincl cU. rt < b < 0 sa se afle care este mai mare clintre I a I ~i I b I·
1444) Pentru ce numere intregi x, - 2
- este nurnar intreg? 1 + .x
J45a) Pentru cenumcre naturale x, numarul 5 este numar intreg? 3x + '[
146) sa.· se afle- valoarea de udevar a fiecare1a dint.re urmatoarele
propozi~ii:
a) {xI x E Q, b) {X I X E Q, c) {xI x E Q, d) {xI x E Q,
I X I = 2} = { -2; 2};
I X I = 0} = { 0} ;
I X I - r:;)l.- 0 · ·- - , J - '
I ::t: I+ I X- J I= - 3} = {1}.
Lucrare pentru verificarea insu~irii nnor cuno~tinte de ba za Sa se rezolve, in rnult.imea Q, ecuat.iile:
a) 3x = G; 1;) Sx = It; c) 3:.t~ ='I; d) -x = !l; e) - ltx-, It;
f) Gx = 0; g) 2y + 'l = 3 ; h) 4z + 7 = 2z + 3; i) 1G = -4x;
j) 2x- 2 = 5(:r- 1); k) x(x + 1) = x2 + 2x + 1;
1 1 1 I ) 2:: :: 1 ) 2x + .. = x + x + ; m) 2x - x = x + <±i n -;- --2
= -;;-~
) x - 1 ~c ) ~ + 'l ( + i) 1 o x - = -; p - ::c - x = · . 4 2 " :2
r) Sa se rezolve ecuatia cu neeunoscuta x :
2a.-v = 1 (a~ O).
J •:J
10. REZOLYAREA PROBLE3IELOR cr A.HTTORt'L ECLl 'fULOR.
1) Sa se afle un numar ~tiind ci'i. aduninrl duhlul san r,u ~ ob~inem 2. ;)
Rezolflare. N ot1nd cu :r numaml cau tat , a vern 2x + ~ = 2. Deci
2:r = 2 - ~ sau 2x = ~ . P rin urmare, :) 0
;)
R 4 x = - sau x =- .
'10 fj Numa-
1 - 4 ru. rmrtat E:>ste -:- . ;)
2) Sa Re a fle 1111 numf\.r ~?tiincl dt 1nmultinclu-l 011 8 obtin em acelasi rczu ltat caJ atunoi oincl soadem 2Lt cli11 el. ' ·
Reznlc)arr. Not:lncl r1.1 ::~: mtm flrnl cau l.nt , avrm 3x = :r _ 2{.
D r.r i 3.r - :r = - 21l sau 2.r = - 24. Oht inem .r = -2~ sau x =- I'). 2 . -·
Nnmaeul can Lat es te - 12.
3) Cinev~ ~ depns ]a CEC 1n cloua hmi suma de 3 600 Jei. Sumn d~puRa m_ a doua h~n~ es ~e de trei ori rnai rna1·e declt cea din pi I rna luna. Ce sumR 111 le~ a depu s la CEC 1n fiecare hma?
. Rr~o~c,arc . S[t nota~ rt~ x snma In le i clepu sa la CEC in prima lunA. A t.unc~ ,·,~ PR~r s~ ' ma m le1 ~rpns~ la CEC in a dona .luna. SLima in Jei deptl sa lH C~'..C m cele dona_ lum Nrtc LL:r. Deci Ll.x = 3 600 de uncle :r = 990: P~m nrmare, 1n pr1ma Jn n[t t1 f~s t depusa Ja CEC suma de 000 le1. 1a1' 111 R dona Juna a fost depnsa Ia CEC snmR de 2 700 lri .
4) fntr-o~ sti ~ l~ slnt 2.35 1211 cl r apa, im· lnLt·-o alta sticla slnt '12:1 m·l de apa. ~tt1 ml ne apa t 1·ebme sli Lurnam d in prima sti clf\. ln a doua ca m ambele Rt1cle sa se a fle can t itat,i egale de api'i. ?
. Re~olc,~rr . ~oLam_ cu x cant it1r tra de a pit in m l ce t1·ebnie sn fie hlrnat.a d_n~ 17r1ma stwla in a do 11 a astfellnc tt 1n cele dou u sti cle sa se ufle canllt aiq r o·ale de a1Jii. Atnnci 2iS - .,.. - ·12" + x A 2"c::. \' b L. ·< - . ,) • . VPffi ,_, , } -
- .:r - x = 121 san 235 - 2x = 12:1. Apoi - 2.r = .l2:J _ 2:15 sa Ll 2 J12 D . - 11:2 - :r = - . eCI x = -? sau x = 56. ReznlLa ca din prima
~tiel a trebu~e s~ tnrnam in ; . doua s Li cla 56 m 1 de apa asfel 1nci t m cele dona stJCle sa se afle cantita (.i egalc de apa.
;J) Un tata_sp~111e ca LI'e fii ca _sa de: 8 Rni : e[nd Rl sa ai ·vtrst a mea, eu am sa flu de 60 de an1. Cit·' an i arc Uttfil ?
. Rezol(J~re .• s~ n?tam C L~ .'{; vi~sta in an i a tatalui . Atunci, 0 sa treaca l · - 8 ~n1 pma cmd tatal ar e sa irnp lincRsrft virs ta de GO de ani.
Dec1 :r + (.~ - 8) = GO. Dec i 2.r - 8 --= GO, de unde 2x = GO + 8 sau 2.x = 68. Prm u.rmare x = .34. Vi.rsta 1 a l a.lui este de 34 de ani.
172
PROBLEM.f]
I) Un numar <?ste en 2 mni mare drci t altul. Sa ~ afle numerele $t.iind ca suma l01· cstC' 21t6.
2) Un numar rste en 2,1~ mai m a Pc clecit alt numal' . Sa se afle aceste. nnrnere , ~tiind crt sumn lor est c G.
3) Un nnmar est e de 2 0ri mai mare deeit altul. Sa se afle numerelt;) $tiind ca suma lo1~ estc L~28.
4) Sa se afle un num~w ~ti.ind ca 1nmultindu-l cu 2 ohtinem acela$i reZl,ltat ca atunci cincl il adun5.m CU 24.
5) Sa se afle nn numar ~tiincl ca inmul~indu -1 cu 2 oht,inem aqela~?i rezultat ea atunci cind soadem pe 2 di.n el.
G) ~d-am gindit lR un nnmar. L-am adunat cu 4. Rezultatul 1-am inmultit cu 2. Din noul rezulLat am scazut 8 ~i am obtinut numarul ]a care m-am glndit . La ce numar m-arn gindit?
7) Diferenta clintre lungimea ~ i H\.timea unui dreptunghi est e de 28m, iar perimetrul Pste de 456 m . Sa se afle aria dreptun-ghiului. ·
8) Snma a trei numere estc 28. Primul este de 3 ori mai mare dec'it a l doilea, iar diferenta clintre al doilea ~i al treilea este 12. Sa se afle numerele.
• 9) Suma bazelor unui "Lrapez cRte de 25 m , iar cliferenta lor de 12 m.
Sa se a fle bazele t rapezului .
10<~) ~lihai 1i spnne lt1i PetrEl: DR.ca 1mi dai 1 leu din ban ii tiii, voi avea de dona ori mai multi bani dectt vei avea tu. Petre 1i spune lni Mihai: Daca imi dai tu 5 lei voi avea cit vei avea tu. Ce suma are Petre ~i ce s~1rna arc Mihai ?
11) Snma a trei nunw re lntPegi consecut ive este 54. Sa se afle numerele. (Trei numere intregi consecut ive sint x - 1, x, x + 1.)
12) Suma a dcua num0re naturale cstc 2~7 . Daca-l impartim pe unnl din ele la ccla lalt , oht,inem citul 20 ~i restul 5. Sa se afie nnmerele .
] 0 ) s- r1 · - 1 - 1 • 1 · ~~ h · .>> , a se a e 1m m.1mar pr earP, c aca· mmu t1m Cll -;:.· , o. ~m~m ace· I
la~i rezultat ca aLunc.i c1nd scil.clem 21 din el.
-1•1) Sa se a fl e un numar $t.iind ea, inm;tl\jnclu-1 cu :·, Qbt.inem. ace· ,)
la~i rezuJtat ca atunci cind il adunam cu 20 .
179
J:J) Dnra clin cl uhltil un11 i 1111mat' poziti\r Rc acl cm jnmiHatea sa, oh~i ncm J ,2. Sa Re afle nn m ~u·u l.
1.6) Suma bazelor unui t rapez est c clP 92 m. Jumat atea uneia este cu 16 m mai mare decit dublul celeilalte. Sa se afle bazele trapezului.
17) Suma a dou~t numere ln trrgi clisLinr.t.p care 1111 sint mai mari . drciL 4 este 2. Sa se Rfle nn mrt'rlr . Cite solu "t;ii are problema.?
18)
19)
20)
21)
22)
Un. pioniot' a depns lfl CEC In Lrr i hmi suma de 420 lei. in luna H dotla a depnR de dona m·i mai mul~i bani decit in prima luna ~ i cu 20 ]oi mni pn~in cl ecit in n treia ltJna. Ce suma a depus 1n fiecare ltm a?
SCt R<' Rfle rlo11tl 11umrrc naLut·Rle consecuLive ~t.iind ca, dac5.
aclun~m :J din unul din ele cu ~ din cclalalt , obtinem 47. (Doua 0 7 .
numerr naturale consecntive sh1l. :r, x + '1.)
fntr -un o-rnp de eopii sint. de trci ori mai multi haicti clecit fe te. Daca nr ::uti veni in grup :i fr tr ~i ar pleca 7 baie~i , atunci numa-
rn l f<'Lclor· m· fi rgal cu ~ din n um arnl b rtietilor. Cite fete ~i c!t.i
h8 i r~i Rint in grup ?
lntr-ltn bidon se an a de Lt•ei Ol 'l mai mltlL lich id clecH ]n nltul. Dn.ca din fiecare biclon s-nr scoatc ci'Le /~ 11 a'Lunci in primul bidon M riim1nc de pat.rn Ot'L mai mult hebid clec1t; in al doilea. C1t.i lit1·i sin I in fiPrn t·e hid on ?
!nt r -1m vas sin! 1 Ml Jitri de li r>hicl ~i in a lt.nl 161 litri. In fiecare minn l in Jll'imnl vas ~w tonma clt.e R lit ri , iar !n al doilea c1te [1 litri. Dupa r1tr minute in primul- vas ya fi aceea~i cantitat e dr li r·h icl r n In al doilca \' f\S?
~3) S1tmn :1 doui:t ntlffiPt·c Jl rt l m all' sct'lRr Ia hnr.n '10 f'Ste rgali'i. en q 'j !}_ { ' rlttl din C' i f' S&. t cnninft l' ll ZCl 'IJ. ' l)n ('rt HP laie acest ZtH'0 1 Se
nh[inr nl doilca numa t·. Sa s r a l'l f' Hlll1tP t'P ir .
24) Sft sr nl'1c i.oa lc nnmr1·rlP nntnralr dr Lt•ri cil're scrise 1n baza 10 l;lL iinrl eft fi Pc::trc dint.rP elr lnd eplino~Le urmatoarele condit.ii;
'I ) eP. I r diviziLi l r11 2 ~i nu est e di'vizibil en G; 2) nr·r rir1·n r.ceilor :1; :_:) d::t e:l se ndnnft num:-l t'nl eu illversntnl SH n sc ohtine GftG.
(lndica ~ie: l11versatul (t•as turnatul) uumarului :ryz es1e numarul
; !f :C)
26)
Prohl(\me snplimentnre
1.'n drep~ungh i i-lre hmgimea dP tre i ori mRi mare decit l a~imea. Dar.a se mare!5te lungimea r.n 2 m !3i lat.ime.n tot en 2 n\ se ob~ine un dreptunghi a cflrui arie est.e cu 252 m2 mai ma1'e cleclt, aria primului c~r8ptunghi . Sa se afle hingimea 9i la~imea primu]ui clreptungh1.
Un ·mtmcitor tJ·eb ll ir Rrl faci'\. , dupa plan, pin a la 0 annmi'La data, nn nnmar de p i esc. PenLru nceast.a trebuie sa faca L~O picse pe zi. Introd ucind o inovatie, mnncitorul n. facut cite 50 pieRe pe zi ~ i a t erminat de realizat numarul planifi cat de p iese cu o zi 1nainte de t ermen. Cite piesc avea de facut muncitoru l dupR plan?
27) 0 echipa de tractori~t i trehnie sa are, intr-un anumit interval d.e timp, un anumit numae de hectare. Dacil arft ctte 60 h::-1. pe z1, ramine In urma cu 'I 0 hectare fata de plan. Daca a1'a cite 70 ha . pe zi, depa~e~t.e planul cu 30 ha. Cite zile sint planificate pentru a rat ~i cite hectRre are de a rat ? · -~
28) Un rnuncitor avea de exccu tat: dupft plan , in 1"' zile 1m anum it numar de piese. Lucrind c1te 2 piese pe zi, ip plus, faFt de plan, a execu tat planul in 10 zile. Sa sr afle cite piese t rebuiR s8 execut e, in to tal, muncitorul dnpa plan.
29) l~n mobil a parcurs clistan~a de 144 km In 3 ore. 0 pm•te din d1st anta a fost parcursa cu viteza de 10 m js, iar J'estul cu o v iteza. de clouf1 ori mai mm·e. Cit t imp s-a mi~cat mohilnl cu viteza de 10 m js ~i ctt t.imp s-a mi~cat. en cealalta vit.ezft?
30) Distan~a din trc doutt localitati este de 270 km. Douft autotudsnw plcaca in acela9i t.imp din acestc localitati ~i mrrg Lmnl e~\.trr celalalt. Vitcza unuia este r.u 18 kmjh mai mare cl r c iL a relnila lL ~i se inti lncsc clup:l 2 Ot'P de la plecare. Sa se a fle v iteza fi ecaruia dintrr ct?Je doua mt Lo t ut•isme.
31) Doi hicieli ~ti pm·nesr In ar.ela~ i Limp din lorn lit a trn. A ~ i merg spre loealitaLc .. a B. P1·irnnl 1Jir irlis l. are vite7.;~ cl P 'I G krn jh, iac al ~lo ilca are vi le:w de lO kmjh. Pr·imnl a jungr 'in B c· 11 o ora 1namten ce lui lle-al d oil ea . Car·e est e dis t an la d iatrc cele doua loraliL£t!i ? ·
32d) U1~ agar fnge dupa o vnlpP r::tre se afl Et la disLn11 ~ a dr ~W m de ol . ~E'mLmn ogat·nlui estr de 2 m. Sa1·iLm·a vulp ii Pstr rl P 1 m. in ttmpnl In U \1'(' v ulpt.•a l'ar.e .'1 srtrit.uri , ogn.rul f::t rr 2 s:'ll-it.tll' i. f:p ~li s tanFt LrchuiP sfl pHt'r m·g;, ogru·ul pr i1 l.I'll <l ajung<' vu lpea ?
33) lin d t•eptunghi :11'<' lu ngimrn ru :J em mni mnrP df' r lt bt lll'fl mmi p:Hrat, iar lap mea cu .2 em mni mica dec it latura aceluia~i lJal raL.
34)
Stiind r A ar in dreptnnghinlni r !' lr r 11 !i r m2 rnai lT\ fl t~r cl : c~t a t'ia p~U. ratnln i, sa se ::~fl e Jungimra r:; i lF11imrH clrr pl. tmghn dttl.
Exist a un drrptnnghi r:; i tm p i'\ Lt·a l a~ l fr l inf•it: . . I) a ria dreptnnghinlt ti si\ ~' j p r~nl rt r 11 m·in p~ l t'a t nln t !31. . 2) lnngimoa droptunghiulnt si\ ftr _c u ~ em :nFit m ar0 d Pr·t ~ . l Fi h~ r~ patrat n In i, iar Hiti mea . d rept ungh m hn sa f1 e ctt 2 c u1 tr• :.11 1111 c a declt ]atura ]18trFit nlm ?
.. H5) Est.e posib il R[t chr.ltu irn I oa t i'\ snmn. rl r 1,51 l0i cnmpRt'illd 20 m ingi din care unele r u 7. lei hncata !?i alt ele cu 3 )ej bucat[l ?
aG) D.iferent.a din tre 1m numar n a ~u ral ~i .dt1hluJ sau est e a. 1) Stt se afle mtm ~trnl. 2) Dartt a> 0, pt'oblema n t'P solntif<' 3) Dac:l a = 0, problema nrr I'Oin \ iP ., It) Dar£t a < 0, prohlem::1 mr ~o ln tiP'?
. J1 ? 37) 0 uzina a fac\.1t in 1 zile p lone de p1·ocll1Se. Ce rept'ezm I ft t
38)
39)
40)
41)
42)
I Dar - ?
/I
Smn a n. dona m1mrre r st.r .r:: , iut· d ifrl'f'n ~ a tlin trr primn1 9i nl d ni lr ::~ r~t fl r/ . Sf1 Rf' :J fle lllllTi f' f' f' ]f' .
Cl t,i lit t·i dP sn e dr R ]ri lil t'l tl lrrh11i P. nme~lf' f'i~( i ~·11 q Iil t•i r .I,P~ II C dr IL lr i litrnl prn lrll n ohtinr m1 :ltnr·RtPI.· dt· . l .'l.1 lr1 ltlr nl .
/ . CilP kilogt'amr de mnt'fCt t'l t p1·P[11l d t• m l1' i kilogT[1:111 ~ l I r' t•hmf' amest rra le rll a kilogrnmP tlr m nr iTt r n prr tu l rlt' 7J IPI blogr~llJlnl p ent rn a ob tinr un ·flnlf'st rf' t·n pt'P[tll dr 11 lri kil oQ;rrnnnl ,,
Don ~t n zinr tH' bniml P.~l prndn c:l lnlpl'Pl ll\.-1. dnp i't pll: n. lnt1·-n.n nnmn i1 i nt flJ·Yfl l d r tim r. 11:10 m n ~ i 11 i. I)' 11 11 a n t.inft :1 d t> p~t ~ l.l pbnul r·11 20 ° 0 ~i :1 donn rn 10 ° 1,. J·Pnlizind imp t·t> uMt ~~ ~·~l . \11lt~ lltl. Cll t> m:1 ~ini trr bui[l ::; ~1 ]H·odtlt'[L d11p:"t pi HII , l'it• t·:lJ · ~ · II Zl ll il .'
l 'n b ir,·ir lis t pnrcnrgr n Hll ll mi.l il d i s l.nn~ a i tt 2!_l '.nin ._ E l 111 P~gt· j11matutr <.lin diP. Ian\[1 C'll u Y,ll ezu, 1t1 l' f'P rtl RII a .Jtllilrtl :-ti P . ('1 1 "o Yit.ez[t de pat ru ori mai mm·P. ln r::l t I imp po.rcurge a .J ou ~t Jtlffi d
UttP!
43rl) fn l r ·nn cn l ~r l iv rl r mnt1r·i:'i sl td I i hrti t' l.i ~ i nn 1111nlru· tlt' ff' l r. FiC'r[lrP rn rmhrn nl rn lrr ti,Tnln i f'R I I' fi f' r lrt •IJ· if' iRn, l'it · ;; lt' t t n g nr.
182
~nm~tru ] fetrl ot' cnrc· a u prnfrsiil dr ~lt'lln gnr I'R I P Pgnl eu nnn1rmt l b~t i P \.ilor rm·r an pt'OfrF;ia ri P r ler·l ri e1an . Cit i memlwi a i colec t i· yului au profesia dr slr nngar ?
JJncrn rl.' p~n'h·n l'Ni liz:nl.'a l'f.'ea.pitnH\rii finn l& n nnor runostlnte fle baza
' ' I) Nnmarul 28 est e numar prim ?
2) I\umarul93 240 se d iv ide ru 2? Dar cu 5? Dar en 10 ? Dar Dar cu 9? Dar en 7? Dar cu ~l 8? Dar en 36?
3) sa: se efectueze: a) 522 : (5 . 52. 5l7); h ) (72)1o : j l O; c) (-- 2) 24&: (- 2)241i
4) Sa se afl e x din : ,') ' ;j
a) - = - ; ~· fJ
e)
i)
~r ..:_= 3 · 2 '
c b - =- ; a · c
m) ~ = b; n
/, 10 b) ...!..=-· ·
:1' ;) '
(j f ) - = 3 ;
J.'
j) !!_=!:_; .1.' l'
a n) --= r. ;
,I'
) G :r l) 1 S c -:;-= -4; ( -;-=-; .J ' L X
X 20 g) 4 = -:-) h) 5 = - .~
~ X I
k) !!.. = :r b p '
) .r
0 p = -; ,\'
) s
p 7' = - · .I'
cu 3 ?
5) 6 kg de mere cost a :=m lei. Cit costa 7 kg de mere de aceea$1 cali · t at e?
6) 6 muncitori po·L t ermina o ]u<(ro.re in 2 ore. in cHe ore pot. termina aceeasi ]ucrare 10 muncitori ?
' -7) Sa se impart a numarul 270 in part i direct .proportionale cu
numeJ'ele 2 ; 3; ~ .
8) ,Sa sr calcule7r 20 °~ din 'I lj ()Q ]Pi .
9) Sa se afle un n umar ~ Liincl ra 40% din el este egal cu 160.
1 0) Cit la suta din 150 rstr Ti 5?
11) S:.t se scrie urmatoarPle numere in ordine crescat oare : 2 . 'J. ()· 'J . :-) ..... ,. _ tg,
- l - ,J ~ ) ·~ l ) - . ' ,
12) Sa se efectueze :
a) 2 + ( - 5) - ( - 6) ; b ) 2 · (-5) + ( - B) : (-2) ; c) 22 + ( - 3)2 + ( - 1)3 + ,33; d. ) 'I.Q3 . [ ( - 1.)24 + ( - 'l )% - 2. (2 + 9 : 3)].
13) Sa se efectueze:
( 2)2 [ 1 I ] a) --; · -;-;- + ?: (- 0,75) j ,) •> -
b) (- 10)2• [3~ : v ~4 + ( _ ~r. ,/ 12,26 + ~J
183
( 1 1 1 ) ·lf-g ~
c) 80-21, -400 . I GOO'
d) 10,5. (-!1,02) + 104,04: (- 0, 102) + ( - O ,oty~.
14) Sii se ealculeze: a) -tf0.Lt0; h) 1/ 0,0081.
Jrl) Sa sc calculeze: a) f15; b) tfS,2; c) ,/O.OO 'D Ctl trci P;xacte ~l sa 88 far a ~ L 1Jl'O ba.
16) Sa se clescomprma 1n factot·1: R) ax;+ n?J ; b) 3x + 3.
17) Sa· se rezolve nrmatoat·ele C'CllH\ ii :
a) ! l x=O; b) :1 (x - 2) + 7 =- 5 x+ 10 (x+1).
zecim nle
Capitolu l YIII
EXERCI'-J.'II ~I PROBJ_JEJIE DIYERSE ~I RECAPITULATIVE
1 1) RaJ)Ortul a clou5. n nm ero mtturnle este -, 1ar s11rna lot' nu cste
. ~
mai mare doclt 25. SfL so afle num orele. Cite sohr~ii at·u pt·ublema?
')
2) Haportul a doua num ul'c naLurale este j-, ial' su111a lor nu este
mai mare deciL 20.
1) Sa se a fle nume1•ele. C:ite so1u~ii are problema?
2) Adaugati la concli\i ile de mai sus una din conditiile de m ai jos, a~tfel incit p roblema sa admita :
a) doua solu·yii; h) o solutie.
')
(I) Un numa e esLe ega l cu ...:. din cel5.lalt. ~ ;{
(II) Daca inmultim 1111 numar en 3, obtinein aee la~i rczultat_ ca at unci c1nd 1nmu 1 t,im celalalt numar cu 2.
' . (III) Numerele s1nt djrect propor~ionale cu 2 ~i :J. (IV) Numerele slnL jnvers p1·opor~ionale cu 2 ~i J.
(V) Suma numerclOJ_' es Le un multiplu d e L1.
(VI) Suma nu mere lor est e lH\ mul t iplu d e 5, dar nn ' es te u n multiplu de 2.
3) S - - 11 "' • (' f S- l l ar· e s L1e ca - = .L; 1 1at' - =- .. a so ca cu eze - · ' b tl 't bd
')
4) HaporiuJ d inLI'C lll l lll l' l '<' l t• a ~i b t•slc· -::-, ifll' ra p n1·L~:l dinLre Jllllll e.>
~
rcJe c 9i tl esLe -_1
• Can· (' ::; t,e n.t po1·Lul dinLre ud ~ j br.-i1
J
5) S;l. Se al'Jc SIHI!tl diJtLI'I' llllllUU'ld :] ~j ntllll [U'U] O[Jllo acestuia.
G) tla consideram Ul'Hl[LLoru1 ~~ Lablou d e numere":
15
165
Convenim sa scriem:
l ~ ~ = 2 · 5 - :i · 4 = -2. In general , I ~ ~ \ = acl- be.
Sa se calculeze:
I 2 - 1 ! b) I ~2 -1 \ . ·)I -4 -3 \· a) t l 2 ; :i - !1 ' G 2 5 '
l) I - 4 - S 1· •) I 0 :1 , . £) I 0 ~I · rr) I ~ c '"~ lO ' 8 1 - ' ' 0 ' ' 0 0 - ,) -. Ll 0
7) Sa se c<:dculeze :
( - l )2n + ( - 1Yn+t + ( - 1)2•t+s, nnd e n E ~*.
sa) lntl'·llll gru p se joaca Cilll~i c:opii : Andrei, ~m·hu , Cos~e1 , D_~l~ .~i Emil. Ficcare dintl'e ei arc aplH•.ata pc spate Cite o bucata de lw t1e de culoa1'e alba sau neagru. F ieca1·e po~te .vecle~. ce culoai'C a i'e hil'tiu de 11e spatele ot·icnl'u in dinLr·e cc1lal ~l copu ,. d ar nu .poat~
I 1 · t' d · · · t le sa~ Lt Fle"are elm eel vedea ce cu oal'e al'e lll' 1a P pc -;pa e · c · v ~ co au pe spat e hir t ia de c uJ oa1·e alba sp une mereu ad evaml, iar ccilalti mint me1·eu.
.A.ndrei a spus : vad tl'ei bu cati de hii·L ie de culoare alba ~i una d e culoaee neage5 . ~
Bm·bu a sp us : vftcl palrn huca·~i <~e ~1irL ie de CL~lo~re :-n~~g1:c.~: CoHtel a spu :-; : vad u h11catrt do hr l' t.re de culocu e albct ~1 tlet
de e1doa t·e m•ao·t•a. ~ 8 mil a spu~~ vud pnlnt htl d \ti de hil'tie dr cul~.ar~ al_ba . . . ·~ Cc culoar·c a r'e bucaLa de lllt 'L ie de p c spatcle fweann cop1l.
U) S5 Sl' Pft•r· lrte:ie:
~~ ) 0.~ I 0,2' 100 ; h) ( - 2)2 - ( - \\2)3 - 4,08 ;
c) 1t,(l~ t- 4 ,02 · (- 2,06) ; d) 0,05: ( - 0,00 1) + 0,07 ;
e) :)2/1 : ( - 0, lR) ..L ( - O.:W1 ; f) O,J · [3 + 2 · (1 - 4)];
a) 2 · { - 1 + lO · [2 + 2 · ( -~l}ll ;
01 ) ( ~) ) I J l . (() .. I J )] . i) (1 - _.!_). (!-~ ~1 -1-~) . 1 - -(j : , -x + ·1 · .. ) ' t) , 7'2. · : ~(j 10:s lG~
10) Sa se ca lculeze (la pag . . U~J se exp liL:{t (;t' se lnvelege pl'in Lx], uncl e .1· E Q):
a) l% ] +[-~ ] + L2,7J + [- 0,!)1 + LL3]; ·
b) [ -%J + [ -;J + [0 ,25J + [ - 2,4J + [- 0,75] + [~] ·
Su se calculeze:
11) 3 857. 66 666 - 3 857. 66 667.
12) 4 755. 66 664 - 4 755. 66 666.
1:1) 1 247(3 457a + 1) - 1 247 · 3 457a.
J .. l) 66 666(22 222a + 1) - 33 333(44 444a + 2). ] 5) 3 2L_d(9a + 987 792b) - 3 241(9a + 987 792b).
lU) In aceasLa pl'oblemii a ~i b sint numere. Prin ma~ (a, b) intelegem eel mai mare numa1· dintre a ~i 'h,
clacrt a # b, sa r1 a, claca a = b. De exemplu : max (2; 4) = 4, max ( - 3; -a) = - ,J.
Prin min (a, b) in~elegem eel mai mic numa1' clintl'e a ~i b, rl adi a # b, sau u, daca a = b. De exemplu : min ( 4; 5) = 4, min (7 ; 7) = 7.
S;:i se cn]cu1Pzc :
a) max( - 2 ; - 5) + max( - 2 ; 0) ;
h) max ( - t1 ; 4) + min(O; -5);
c) min (0 ; 3) + max (- 1; 0);
d) min (o,6; -2
) + max(-.!.~_:!_) ! :~ 2 I 2 1
e) n rax (- o,J ,· - l) - min(o· - .:!.)·' ~J J '2 '
f)ma x (Li. 12) + min(- .-J: _i), /(j' 17 j ' 5 ,.
. ( ') ')) g) Hllll -f ; - ~ + lllrt X ( - O,:J ; 0,(3)) ;
h) max (I - 7 I ; I -Hi) +- min ( 131 ; I - 4 1). 1 7) Sa sc scrie ntuna t·ul 'l 011 ·!> in baza 10. 1R) Sa sc sct·ie numanll I 0] 6 in baza 2. 1 U,) Strma <1 doua num ere naturale este 126, iar produsul lor este
2 525. Sa se aflc suma inveeselor acestor numet•e.
~0) ~liiJ t d cii a = - 2 ~ i b + c = -4 sa se calculeze
ab + ac.
~I) SP ~Li e ei'i ~; _ .IJ --== :L Cu ciL este egal y - x?
Srt ;;p al'le vH loHr·ea J o aclovaL' a fiecaeeia din nrmatonrPle prnpo ~: i( i i:
J) lh·icaru ell' Jl Hum erelo rationale a ~i b, daca a 7" 0 ~i b .P 0, atum;i ' ·
a + f, ¥- 0;
·lB7
2) Ori care ar fi namerele rationale a ~1 b, daca a =F 0 ~~ b :f. 0, at unci
{{, - b "' 0.
23) Se considera trei numere pozitive x, y, .: astfel in cit:
X !f Z - = - =-· 2 3 5
a) en la sut5. t'eprezinta m nnarul rei mai mic din eel mai mal'e?
b) S£t se aile cele t rci numerc ~Liincl c5..:
a.: 1/ 3 '"~""'') - + ..:- + - = 0 I OJ•
2 J 5
24) Se consiclera trei numere pozitive .x:, y, z astfel incit :
•. ( .II ::. -=-=-· 2 3 5
a) Cit la suta reprezintu munarul eel mm 11110 din suma celm'·
bite douft?
b) St't se afle cele trei n umere ~tiind ca:
:~; + Jj_ _ _:. = G. 2 :3 5 7
25) Sa se afle numerele pozitive x, y, z, t ~tiind ca ele indeplinesc,
in acclar?i. timp, urmatoarel e condit.ii:
a) ?J + 2.:: + 3t = '1. b) Daca inmultim pe x cu 5., obtinem acela~i rezultat ca atunci c1nd inmultim pe 7 ou y.
3 d' c) z este egal cu -::- m y. ::>
d) H.aput·ttll d intre z 9i l cstc 1,5.
eU'') Sil sc al'aLc ua din oriua1'r cinc i numc l'e naturale, prii:~e , 1:1 ~ i mal'i ca ~ pulcm alege doua asUel inclt difcreu t,a lor sil h e d lvl·
. ziLil[L cu 8.
27ci) S(· dau 1 833 clc numere. f1ccnrr din Pie c·::>L.e 1 snu ,- 1: ~c put lmpar~i aceslc '1 83:3 de utmwre in du1tu grupc a~Uel trw1L SllliFt numerelor din prima gt·upa sli lie cgdlu cu smna numere lot·
din GealalLa grupa?
_1sa
28tl) In cele ce m·meaza, a ~i b. sint numere intl'egi. Consider am urmatoruJ ~ i1' de numerP . Prim11l n11mar d in ~ir esLe cgal cu a, al doilea es te eguJ cu b, al treilea este egal cu diferen~a intre al doilea :?i primul, al patl'Ulea es te ega] cu diferenta 1ntre al treilea ~i al doilea ~ . a.m . d. Ce nmnar se afla pe Jocul 184?
29) Lungimea unui dreptunghi este de trei or i rnai mare declt la~i m·ea, iar aria sa este de 4. 824,03 m 2 • Sa se afle lungimea ~i lati m ea dreptunghinl tl i.
30) !-tapm:tul dintre l rqimea ~ i hmgimefl unui drepi1mghi csLe 0 ,6, mr ar1a sa de 24. 60:1 ,75 m 2 . St1 :;e afle lungimca si lCLtimea drept· unghiulu i . ' '
~H) Se considera P( x ) = 8x:3 - 4x2 + 1. Sa se cakulez.e :
a) P(1); b) P( -~,) ; c) P(O).
3'") s . l ') : l ;;:, e COllSl C era : A = .t - ~ y + 4 ) B = ti .t - 0,5 y'
C =X+ 0.25.
Sa se efectueze:
a) A-B - C; J1) A - 2(;-JB + 2C).
33<L) Sa se aratc c~i llll exisi [L tm polinom P c·11 ('Oef'icienti reali ast'fel inclt sa a vem : ,
P(x) + P(l - x) = x, oncare ar fi x E R.
34) Se considera expresia:
E( x, y) = (x2 - 2y)s.
Sa se afle valoarea accste! expresii pentru:
y = 0,5.
3;)) Se con sidPI'i't PXJ1 1'1'S iit :
i':(.r) !J ) - .r" 1/' - () .~: 1 l· + 12 . ..,.~y - 8.
Sa se a fle vu lonn·a Pi prnLru:
__ ( ).(lt ) 'r ( - 8): ·2:~ -+- 3.(102
X = (- O.U:W : ( = i l,Ol)~ ; y = - V 4,Ul GO J6
36) Se con sidera Pxrresia :
E(x, y) = (J-yJ - J ){3x~- 2[3J;y + 2x(.x- 2y)]}.
18!1
Sa se afle valoare~ expresiei ventru :
X=4
("\ · I 2 1 7 1 1 + 5 ). - S · 1/ 1 220,2036 •
y = O I 73 - 36 ~ [.) 24 . £l · [0<1 · ( - 0,04) 2
37d) Sa se gaseascft 'LaaLe rur nwr·c lt' nn. lu l'a.le n pe11 Lru car e n + 1. n + 5, n + 7, n + 11 , 11 ~ 1:-1, ·n + L/ , 11 + 2~1 sint in acela~ i 'timp flUn.tCl'C j)l'll11P.
asg) Sa sc af.le ace i.e numm·e no.Luralc .r pPn Lru care h ccare din nu morelc x + J, .j; + 3, .t: + 7, x + D, .t: f- 15 cstc Lin numar prim.
39) Se oonsidera lrei numet·e lntregi. Dif(}rcn ~a intre primnl ?i cd doilea <•ste egala on diferen(A1. in Lr e al doilc<.t ~i al tteilea. ~tiinfl ca al doilea es te 72, s~t se a fle sumn n umerelor.
40) Sa se calcu.leze:
( 2)h 21t+ l + f)k + I
:J : 3,.+ 1 + :l'!h..,.~, und e · k c: .N*.
Sa se calouleze :
1(al - a2 ) + 2(a2 - a3) + :3(a3- a.d + . · · . ·· . + 99(a09 - a100 ) + 100a11HJ'
42) Sa se afle valoarea de acl evat' a fiectireia din urmatoarele pl'O·
pozi~ii:
190
a) {x I x E Z, 2x + 1 = - 7} = {-4} ; b) { x j :;c E N. 2x + 1 ·= 3} = {1} ;
c) { x j x E N* , ~ = 0} = {0};
d) {xi X E Q, X-· .~:; J = 0} = {- J};
P) {xi ;X; E It, ~)' ~_/ ·5 = o} = {7.5];
J) {x j X E Z, .'h- 1 = -3} = {- 4};
g) {xi x E Z, - 2 < x ~ 2 ,5} = {- 2, - 1, 0, 1, 2};
h) {:rjxES*, -2< ;:r-<3. 1} ={'-2, - 1, 0, 1, 2, 3};
j) {.1·1 :C c f~ - g}, .I
11
= '} -= R. -{4}j .(' - 1
j ) {O. ·tf 2, l} n tl ~tO ; I l; k) { /3, 1} n .R = {v3; ~ }1
1) { {/, - v 2} n Q = D ; m ) {1/-~ } n R = {%} · 43) H<-qJOrl.u l ;.1 d n1 rii l<tLltl'i cdc llnui lt·iuughi 1soscB1 este 0.4, iar
pet·imPind Ps i c• d1• :24 rn. S~1 sc' aflc luLu rile Lri1rnghiului.
·H) S:t S(' nl'l t• cl nuu lllllllPI'(' i t1LI·egi ('OJlSec uLi vc $Liind ca diferenta iull't' prodm;ul lw· ~ i pi"i.Lt'<tLttl (·eJui mai mic dintrc clc r stc 245.
·tv'') DPspn· 1111 num£u· llittnm l ~L im ut· miHoarele: <~) ill'!' pull'!! 1·ifr·t· ; h) prima cifr~t (dill sli rJg<l) 11 num <irului estc 2: r) dc--t t.:i'\ llllll [lln pritna ril' rft pt' nltimu1loc. obtinem un nu:inar natut·;-d de JHlll'll t.: il'r<' mai mit dccil primul ; d) daett din lJUlll~ll'lti daL s6tdcm numal'lll format uiu acelea~i eifre , dat' scri se iJJ Ol'diue in vet·sa, ob pncm num arul 999. s~ ~(' aflr nnm~ntl .
4()) DifL'l'L' tt\H inln• un Hlltn{u· tlc tre i eifre :;;i lllllllat·ul de Lre'i eifre l'orrna L diu Hl'Ldeu::;i t'il't·t· . da r· st.:1·ise in ordille in vel'::ii\ , m;Le 693. Sil se anc lllllllru·uJ. C1L1' solu( ii are p l'o.ble ma ;,
47) Apa de llWl'e t:Qnpue 5°;, sare. CJLe kg de apa obi~nuita trehuie ad;:iugaLe ]a HO kg dt' ::tprt de marc, pentru ea eeea cc se ob~ine sa con(,inJt 2 "o scu·e ~)
-~~d ) Penlnt a Hlllnc r·oLa paginile unui volum, un Lipograf H utihza.t :2 ~J80 d<• c if1'1'. Cite pagini ;u'c volumul ? . ' .
4U) lnLr·-un depozit e::; Le de doua ol'i mai multa mada deeit in altuJ. Daca cl in pri mul d epozi t s-ar scoate 430 kg marfa, iar 1n al cl oilea ~-a t· acl uce 2 785 kg, aLunci in f iecare depozit ar fi aceea~i canti l nl r de m<~dft. Cit e ki_lograme de marfa sint 1n fiecare depozit ?
;JO) Intr-11n sHe P~t e u eHnLit.atc de marfa eo·aJft cu ~ din cantita-o :3
l ea dr marfa exisLenta in a] L sac . Dad\. s-ar muta dii1tr-un sac 1n altul 14,250 kg mad a, atunci in ambii saci ar fi aceea~i cantitaLe de mnrfa . Clt5. marfa es te in fiecare sac?
;:} J) i n t1·ei z:ile citteva cJJt'l L uic~te o s11ma de bani. lil pl'ima zi ehel
Lu i e~te :2 din snmtt si inca 50 lei. 1n a doua zi che.ltu ie~le 2 din 3 . ' . :)
din rest si Jnc5. 25 lei. 1 n a Lreia zi cheltuiest e restul de 225 lei. Sa se afl~ suma initial5. ~ i cit s-a cheltuit in fiecare zi.
191
•
52) Cineva cheltuie~te 1ntr-o zi cu 50 lei mai mult decit ! dintr-o 3
stm•a pe care o are. A doua zi ehe lt1tie~Le cu 25 lei mai put in ·
declt 2 d.in rest. A treia zi cheltuief:.Le restul de 295 lei . Ce suma 3 .,
a cheltu it 1n to tal ~i ce sum a a cheltnit in fie care zi ?
53d) l\Iihai a participat la un concurs ~colar de schiuri. Colegii 1-au 1ntrebat ce loc a ocu1jat. lata ce le-a raspuns Mihai: Daca jumat at e di.n b aiet ii care m-au depa$it ar fi parcurs distanta intr-un t imp mai mare ca al meu, atunci numarul baietilor care <:1r fi ramas 1n urma mea ar fi fo st de patru ori mai mare decit numi:tnll baie·~ilor care m -ar fi intrecut. La concurs au participat 31 de b 8.,ieti. Ce loc a ocupat Mihai ?
54) lntr-o clasa sint de doua ori mai nmlte fete decit baiet.i. a ) PoL fi in clasa 36 elevi? b) Dar 32? ·
55a) Tatal are astazi 28 ani ~i fiul 8. Sa se raspunda la urmatoarele intrebari : a) Pest e ci~i ani virsta tatalui v a fi de trei ori mai mare decit vlrst a fiului ? b) Este posibil ca, pe viitor, virsta tatalui sa fie de 3,5 ori mai m are decit virsta fiului? Daca est e posibil, aratati dupa ci"~i ani virst a tatalui va fi de 3,5 ori m ai mare decit virsta fiului. c) Este posibil ca, in viitor, virsta tatalui sa fie de patru ori mai mare deci:t virsta fiului ? Daca est e posibil, aratati dupa cit.i ani virsta tatalui va fi de patru ori inai mare decit virsta fiulu i. cl ) A fost posibil ca, in trecut , v irst a tat alui sa fi fost de patt·u mi mai mare de cit virst a fit,Ilui ? Daca aces t lucru a fost posibil~ arat ati cu citi ani in urma s-a realizat acest lucru.
.J6tl) So da un segment de dreapta A B care are lungimea de '10 em (fig. Vli1 .1). Pe acest segment se considera un punct mobil JII.
E ,.- , c 0
c D :en A B ~ M Fig. Vlll.l
192
.Fie x lungimea lni AM. Constru im de aceea~i parte a lui AB patratele ACD M ~i 1llEFB de latur1 A 1ll ~i jiJB. Fie
y = AC +CD+ DE-r-EF +FB + BA.
a) Sa se arate ca a vern:
y =__:_ 2x + 4.0 sau y = 2x + 20.
b) s~ se~ deterrn~ne X astfc] incit Y· sa fie egal Cll dublul perime-t rulm patratulm ACDM. ·
. 57) ,intre loc~li~at'ile A ~ i B este o distanta de 200 km. Din A pleaca m acela~1 tunp catrc B dm1a ma~ini , ce merg pe a.ccla~i drum. Una merge cu viteza de 40 km/h ~i cealal ta .cu viteza de 60 kmfh. Dupa, ci~ ti~~' de l_a plec~rea din A ~i inainte de a ajnnge in B, .una dm ma~m1 va fr la o d1stan~a fata de B de d oua ori mai mica decit cealalta ma~ina?
58a) Doua camioane au porniL simultan din A catre B. Primul a mers cu '~iteza de 50 kmfh jumaLaLe din· Limpul in care a parcnrs
, dr~mul, 1ar in rcstul timpului a mers cu 40 kmfh. Al doilea ca'~Io~ a mers, prima jum~i:ta-~e de drum cu 40 km/h, iar a doua Jumatate cu 50 kmfh. Care din cele doua camioane a ajuns mai lntii in B ?
59d) Un. m obil. parc11rge jumiHote dint.r-o distanta cu viteza de 40 km/h ~J . cealalta jurr. ~tLate cu viteza de 60 krn/h. Care este viteza medie?
60d) Suma a trei nurnere naturale este.222. AI doilea este mai mare decit primul, iar al Lrcilea esLe cu 2 mai mare decit surna celorlaltqr doua. Sa se afle numerele. Cite solu~ii are problema?
61d) Despre trei n:umere ~tim urmatoarele:
1) primul este · numar natural · '
2) al doi lea este mai mare decit · prj~ul; 3) al treilea cste de d oua Ol'i mai mare de cit primul;
4) diferenta din tre al doilea ~i primul nu este mai mare decit 3; 5) suma lor este 6 971. ' , Sa se afle numerele. Cite solutii are problema?
62d) Sa se arate ca daca numerele naturale ( > ) t f J x, y, y _ x , s nt ast e incit x2 + 1 = xy, aLunci y = 2.
13 - Matematlcll - algebrA; d. a vx ... 193
Din prohlemele date la olimpHul(' iu tara nonsti'a (cl. a VI-a, d . a VII-a) aritmdicii ~i algebra
1972, februarie, B ucw·e$li
1) Sa se calculeze media aritmeLica ~i m edia g~ometrica (propor~ionala) a n umerelor :
a = 6 062S _L .!_2 + v4-JG1G _ _i_~ ) I ll) l 2~) 1
b = (7 '2s u 2 - (:J 092 + u :Jl )] : 1 .:2. . ' -r 4 ) 125 8
2) Lungimea u nui ~egmenL eslc c 11 •I /:') m 1n.ai micrt deciL lun gi
nwn a ll. tti a. Sa se un' Jungimilc lot' ~ Liiml ('<l ~ din lung i mea Ulllll (;l
" ')
es1e L·g:·llrt e u ~ din luugimea celu ilaJL. ,,
3) St't sc a11e .c diu propor~ia:
r twG · · l - -z;-6 t - dn Lrci cifl'e divizibil cu 9 ~ = -_- , r:;LHnc ca :~.a es e Llll nume~r ..., - , )
(a · fii nd r ifra zeeilor). ~) S~t se ane toate pereohile ~le numet'e nalmale care au media
proport-ionala egaJa cu 91.
1!:f7 :J, februarie, Bucare$ti '2
1) Tr·ei elevi au impreuna 225 lei. Primul are ., din cit are al oJ
doil ca . iar al doilea aJ'e ~ din eiL arc <cd Lreilea. I,
EJeYi i l'ae o excursie t:are co~ttt in · Lotal •J 20 lei. fiecal'e contribu ind <.; u a('eeH$ 1 suma.
f:. lllt l ll'cbuie lrtlpar-t-ita celot' Lt'e i el eYi su1na rama~a nechelLui trt ·~ 2) Su sc aratc ca frac·t;ia:
F ~ In 226 I U 226 onn ... ooo 22G 113
• - 2 11 ~:n :211 't22uou ... noo ~22 ·2 tt
,, ~ 1, '!gRlfl cu~ , uncle mrm ~u·ul ze t'UIII'i lm d11 la numadi.tor es lc 21.J
an J Ki r u numarul zerourilot' cl e lu n umi.Lor. • v (/. :3 b
:1) Se da -= 0,6. Sa se afle ·2
, .1 U (L T .) I
1973. ma£. Bucuresti I) Lichidtd t.ur,naL intt·-un vas cintare~ie 153 kg. Vasul plin cin -
1 ;i''" i3 te de 5 ori cit vasul gol. ~tiind crt vas_ul .are v.olumul de 1,7 hl, sf, se afle masa yasului phn r;;i densitaLea hchtdulm.
194
2) _0 suma rl c banj r s tr imp~r~iU'i h 7 p]eyi asl l'rl : . Pt·tmul prin1e~Lc jumf!Lal P din Slll1l<-l ~ i iuf'tt :JO bani. al doi l "::~
prlme~·~e j~mataL~ din :mma t:amnsf1 ::;i iudl. 50 bani, a l Lrejjca prime~te_Jumata~e dm noul res t ~ ~ inca 50 bani ~i a::;a mai clcparte, plna ce ult1mul pr1me~te jumatate din ullimul rest si 1nca 50 bani. Inti:eaga_suma fi.ind astfel disLeibniLa, sa se afle 'elL a primit fiecare dm ce1 7 elev1. · ,
3) Drum'?l parcurs in alunecarca unui cot·p pc~ un plan tuclinat este p:_oportiOnal cu pfttraLu~ timp1 tlu i n ecesar e~lunet:kil'ii. Un COI'P a luneca in 5 secunde 50 meLn. Sa se a fle ce drum a pai'eut·s ncel corp daca a . alunecat timp de 8 secunde.
. 4). Doua_ corpuri se mi~c5. uniform pe 1m co r·r. Ele p lP<H.:[I Ju acela~I tunp clmtr-un punctA de p e cere in sensuri eonLrnrc•. Utiprt c'' s-au intih1it ]ntr-Hn. rnmcL R, }H·im1llui corp i-Htt nwi ll'('llll i 1 ;, sc· c~nd~ ca sa_ ajung~ Jll A, iar celui de-al uoilea, COI LLinnilld lllCl'SUJ
sau, 1.-au ma1 trebmt 9 sccunde ca sa ajungrt ~i el in , J . I;>e cite ori parcurge cel'cul intr-un minuL fi ecarc din eele dourt
corpuri? .
1974, februarie, Bncur~li
1) Un au~omobil a mers 30 km en viteza d e JG km pc ora ~i apo1 100 ltm cu Vlteza de 60 km pe or~t.
Care a fost viteza medie 'in mcLri pe secunda a aces Lui au Lomobi l? 2) a) Care este eel mai mic numar natural mai mare clecit 1 974
~~ care este paLrat perfect ? b) Care este eel mai mic numar natural mai maJ'O decit . 1 974 ·
~I care este patrat perfect ::;i multjplu ' de 6? c) Care este eel mai mic m'tmar n a tural mai m are clrr lt ']97ft
~i care este patrat ,perfec t ~ i multiplu de 7.? 197 4, mai, Buc~~re$li
1) Un mobil mi~cindu-se unifonri rec'tiliniu parcurge o anumita distanta intr-un annmit t imp. Daca viteza RC mic~oreaza eu 2 ~mfh, mobilul parcurge aceea~i distanta in~r-un Limp de doua ori mru mare. ·
Sa se afle viteza mobilului. 2) AJ:iile a trei p~traLc sint direct pr'' !'Ol'~iouale cu numerel E'
9, 16, 25, Iar difel'enta intre eel m ai mare ~~ eel mai mi(j perimeLru este de 16m.
Sa se afle laturDe fiecarui patra t. 3) 0 suma de bani s:a cljstrihltiL {'a prim r1. la 3 rrmnci-Lori
A, B , C direct proportional <· u lllLJH e~·ele _!_ , 1- ; ~.
' (j 5 :l
Unul din muncitori co nsLaLi'.i ca el pr 11ne~te astfel c 11 462 lei mai mult decH daca aceea~i suma s-ar fi JistribuiL invel':; 1Jl'UJW1'-
1,ional cu numerele 12, 10 ~ i 15 reHpectiv.
195
Sa se afle: a) Care a fost intreag:-t suma. b) Ci t a primit fil!_c :ar~ J.iu cei 3 muncttorl A , B . C (verificare ).
H!'i9, £amwrie, B ucurc>..Jl i . 1) Sa se afle c. are din numcrele [0,( x )Y ~1 ((J, x)"' , uride
x E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, este mai mare. 3) Suma dintre un numar prim ~i unul natur~l impar este
4 237. Sa se afle numerele. · 3) Sa se afle toate numerele' naturale m ~i n care satisfac
conclitia: m2(n + 1) = 80.
1977, februarie, Bucure$ti
. I) Se dau pro portiile :
a. b . b c -=- ~1 - = - · 2 3 4 5
1) Sa se determine k ~i p astfel incit sa avem
a b r - c:::: - = -· 8 k. p
2), Dad1 k = 12 ~i p = 15 sa se determine a, b, c §tiind ca :
a) a + b + c = 70, \
b) ab + be= 69,
c) a2 + b2 + c2 = 433. II) a) Sa se gaseasca eel mai mic numfu' natural n pentru care
fractia ( ~ r est e mai mare decit 2. .
b) ln anul 1976 productia unei uzine a {ost de A tone. Yn fiecare din anii urmatori productia cre~te cu 25 ~/o fat a de an ul
preredent. Care est e numaru] minim de ani dupa care productia anului res-
pectiv dcpa~e~te 2A ?
1973 , februarie, Bucure!jti
1.) Cineva spune: . , Ginde~te-te Ia un numar. Un. co leg i~i mai da inca pe atit. De 1a .
fratele t au mai prime~ti 50. Injumata·~e~te rezulta·tul. Restituie coleg11lui partea care ~i -a dat-o. Ti-a ri:i.mas 25 ?" De ce?.
2) Un numar de 3 cifre are proprieLatea ca suma dintre cifra Rttl'.e]or ~i cea a unitat ilor este egala cu cifra zecilor. Facem t:iuma. dinLre el ~i inversatul sau (adica numarul format din acelea~i cifre
196
scrise in ordine inversa). Sa se araLe ca a0easUi suma csLe divizibil" cu 121. . ....
Care este in acest caz cea. mai. mare suma~ ce se poate obt;ine 1 Etapa pe }ara 1986 - Aritmetica - algebra
I
I Sa se afle numerele naturale d'e t · ·r 34 rei Cl re x yz cu proprletatea ca 2 + 2 2 este numar natural.
X y + Z
1!. 0 buni9a .~re d?i. nepo~~·-v~_l:sta h,unicii _se . exprima printr-un nurn.ar de do~a .. clfre, heca~c mfra [nnd vn·st a unum din nepo·~.i. :Ou .. ~ la v1rsta bur.ucn se adau ga virstele celor doi nepol i se ob1• . .. ea de 83 de_ am. Ce virst a are bunica? ~'' vme vn &t a
RlSFUNSUR.I ~1 lND WA'!'II
C.\ PLTOi .L L
IllWAl'I'l'uLA.ltEA ) IA'J'EJtlE l JHS ( 'LA S . .\ .\ \ · A
1. Dh izii.Jilitat.e - pag. 4
1) a) 24; h ) 13358; c) 24080; d) 28833; e) 28000. 2) a) 17 1UO: b) l :-:u22:
c) 3298; d) 11202; e) 3513; f) 8 l 640; g) ·t iSORO: h) :1'2 IOU: i ) :lt:lltll;
j) 430 910: k) 19 0~1 1. I :1) H) I /I ll : h) :-\11\111: 1') '2'1 111)(1 : tl) -~ IH!II : t') :l-'1 IJll~;
I') 0; g-) l:;bt1: h) 824 1\1 : i) LUO:l !H I I : .il '.!. '.2l'1 tli HI : I,J 111:,111JU. I) a ) '2~UU1;
1. ) '8 ) ')'( I I ) - ~~-- -) . l') •)'3'). I I 1::·1 · "') I -~I HI: II ) 11 11~11: i) I 111 1.-;: ;>) 1.") u 'J -..; (.; - r1 : l .J i 11 • • -' -- • · -
-.. ' •. •)''II I ) ')'' ., I ··; 7) I) I I . :·q:;L 7. lj) a) 1_1: h) 1: l') II : d) ·_tH: t•) .1-: 1).1: ~) -·: I ~--. , · . ) · · li -. I'.
·>· •;. 6'· IJ ' I ··>·::- li· ~J: lbl. IS) I J<~: .\ 11 . !I) \11: .\ 11 . IU) Uu, U(t. Dn. - • •J • I • l~ I · -' . • I
ll) Da. D<t. 1:!) lJu, .\u. liJ) Du. ~u. I ·~) ,\ u . .\u
I 1. I :) IU I !I I ')
•) I It '2j I 18 I I
27 I Pr·im I
l;J) I
I h i I u., .\u Uu Ua .\II .\u .\tF :'\ u '2 ~ 11 Lla --·------------ ---
··- ,\u .:\u 'su i\u l'i u !\u :'-II .\u .\u I) " ·) I
--------------
I til lJa ..\u 1\u Ua Da !\ II .\u Da I }a .\ ii ------- - ----
'lti!:J ~II 1\u J\ II Nu N u i\11 i\ u T\ u .\ 11 .\ u ------------
10 GOU Da Da Da Da Uti lh Un lhl l)a 1\u
--------------I 715 1\u Du .\ u i\u ;\I ll 1\ u .\u .\ u .\u i\ u
------------- -~-
720 Da Da IJD On D tl Uu :'\u 1) ,1 .\u .\u ------------
19J Nu :'\u .\ u :\u .\\1 :\u :'\u .\u .\ u VCJ
198
16) a) 4 0::30 : 4 232: 4 ·"·1!i: t1 r;:w: 11 :--'.J...-:: I>) 1 4f1r1: 1 '~:,:,: I ' I ! :2tlll: 1 ~03; 1 :21 li:
I :L08 : d) 32 400; 32 4mJ; ~") :; 120 ; :1 I :lit: :J I'Ll-\: l'l '1:,11: ,,:~:2: 'tl'J: 48G; Lrfi<-- :
g) SLOUO: :J l 4~Lr::21 88~. 17) L I ~) I~:GU:l9l~ .. 1!1) ~:-1.:!(1) a) 1 4-~0;b)1LtfrOU:
~.:) 8!190: d) 33 800. 21) 1-1) 8 : b) 1.): •·) :28: d) 1/U ; c) 8; f) j; g) 177 851 ; h ) 99 999. 22) Cliul esle :20ft ~ i r·es lul 2U.
2. Opemtii eu uuwerc l'a1ioua il' ti r· u l'l'acjil zccimalt' - pag. 10
') I 1 I . :~ 17 G I 4. 1) a) ..:.. : h) -- · c) - ; cl) 1 --. :!) a) -1- · b) - · c) - · d) - ~
~-l :~ ' . 5 / :1 J) , I 2 I GO , 75 I
259 I I :n 2!1 8 699 1 e) -- 3) a) - : h) - · ; c) J'), d) --; r) 2--. 'I) a) - ; ])) 6;.
2 000 . 4 ;~ _ I 12.·) 8 888 2
2 !i I ·> '> <:)2; d) ~· e) - · l'} - - :H) J :2; l1 ) J: i)DIL/7[: j)>). 5)a)..::::b)~~
:J . 25 . 27 r. :3 0 I
1 c) 8; J ) 9: e) I. li) n) 4: h) J; \' ) JU; d) -: P) 70. 7) r~) t1276,4.995•,
I :2 .
b) l G/9,661]. 8) a) f-) !-:!70,:3; J, ) 1 11 1: t') :: 801,00ti; d) :i ~JOO, 154; e) 30 980, 109; l')tl.HL; g) 0.28; l1) 8U20. H) a) 24,j: b) 20: ~) 40; d) 1:),92; e) 10,035; r) 486,1; !!) 83GA : h) 20 140.2: i) 480: j) 48_9!)0: k) 0,12: J) ZISO 000,48. 10) o.) 0,12;
b) 2.'I:J: c)2.4: d ) 0,48: e) 0,002; I') IJ~: !.!) 24.38; h) 23.5; i) 15; j) 2Ld ; k) 4'0,08; I) l /.755238: 11 1) :2: n) :)00; o) 200: p) 14,3; 1·) 40.)0: s) 20030 : l) 200 400;
ul U IPO : ,-) 1 :~ 500:· z) 2 070. 11) n) O,O~l: h) 4 18,6G; c) O.!.l7; d) 22,LL8.
1 :l) u J4U,Gli. 'Iii) aJ I 1108: h) ~) ~Wt.K 1 I) n) 24fl,222; b) 7:l2,5G; c) 490,:305; d) :JJO: e) :30 00:3: I') '2 028,1002; g) 120 ; l1) '2 041 G56,702; i) 1119 096; j ) 22,0 L;
k ) U li8U,G5000.). 15) a) ~~-; b) : ; c) 23; d) ~ ; e) 1. lG) a) 22,5; b) :L :340;
1.7) a). \ : .h)A;t·) I ~' : d) F. 18) I. a)\ ; h) F;c) 1\:d) A;P) A; f) F; g) F. J l. a) {1,2,~1, 4}; b) {:L, 2, 3, tl, G, 7]; c) {1, 2}: d) {G}; e) 0: r) {7}; g) {8, 9}.19) A={O; 1 ;
2; :3; 4}; B = {1; 2 ;3;4;5] . 20) c~)2~); h) 70; c) 34; d) 30; e) 30; f) 12; g).·_!_~ 4 •
· h ) 20U; i ) 133~. 21) a) Sa: b) a;~.:) 8a + l; d) 23"; e) 3"; f) 2. o.)
CAP lTOLlj L II
U.APOAR'l'I!: ~I l'lWPOU.'HI
1. l-taJJOl't - pag. 16
1) a) ~OOclll ; b) J; {.;) De trei ori: d)+ ; e) De trei ori.
2) ~- a) a) -2-; h) ti 1)
1 5) 12. ·G)~. b 5 :rJ s 2
199
2. Propurtie. l't'OJH'tetatea fund~mentalfi a propot{:iei - pag. 20
:)
' > 4 8) 3G
14 9) =...::
15 1} 100. 2} 3. 3) 36. 4) 6 .. 5) 24. 6} 48
8' 11) 7·
:;, Atlarea unui termen neeuuoscut al unej pt•oportli - pag. 22
a 3 ,-, 0 · ) 2) · -- = - ; 3) .!!.. = 6 ; 4) Da, i\u. o} x = : 6) z = 2. . (
b ~0 b 0
8) X = 9. 9) X= 30. 10) X = 20 11) X = 2 12) 4
13) x = -:! ') , J
6
(!; = :J .
I
H) J~ = 20. 1;)) X= 60. 1 6~ x = 4 17) x = 2 18) 3
X= -:- 19) X = -l7 '-1
1 :.W) X= 2. 21) X= - . 22) X = -
4 4
l . I IJ{j) • 23) X= 3 N ) X= 6 25) X = :2 • ... '.!:= :J,
27) ..c = 1. • 28) X = L 29) X =·1. :.30) 31) • )
x =- --. ,, v
r. ac art be 3li) .._, •• ; t a) x = ~ · b) x = - • J .j) a) y = - , b) Y = - · ..., = " · ·
33) x = 4 34) d ' L u a
37) t = s . 38) v
I IJ u == I . R. 30) R = I
F 4D) F = p. S. 41) .) = - . '12) a) P r8-
fJ
t ul cr e.ionului este de 3 c~rj mai mic duciL p1•(>1,.ul c~:uetului. h) 6 lm. ·13) 12 le1.
4-!) 18. 45) 112. Dar 1 L2 uu el> le uumar natural. Problema nu are ::~olu~c# a 3
4. Propor~ii derivate - pag. 20 ·
9 2 5 d) 2 ) 1 f') 25 . ) ld 1) 40 · 60 2) a) - ; b ) -- I c) - ; -:-; e '1 ; 21 ' g 3S ' . 7 9 7 . ;), -
3} a) 8 ;
5 · 1o b ) 3. 4) 80 Iej; 200 lei. 5) a) 3 I b ) 3"
5. ~ir de rapoarte egale - pag. 31
1 &) 'l5 5('1 ~ -1) -. 2) 14. a) a) ~; b) 16 ; c) 4. 4) 10~ 119 i 119 ' 119'
4 I
200
i) Da.. d.a, da, da.. 2) a) ! ; b) t · c) 156,202 ; d) 27 100, 76; e) 285,34; "
. s f.' 60 ; g) 1,2.; h) 30; i 100,01 ; j) -
6 3} a1 8 : b) 12 ; c)
10; d) 28: e) ~ 4) 21..
3 . .!)
LuCTare pentru pregatirea olimpuuleloT :; i a altor concursu.n - pag. 31
i) Pntem Bcrie J
n o= l "' · 32 ·-?
~umerele naturale ale caror piitrate drYJd p e 720 slnt : a = 'I b = 2, , ..., 3 ; d =2:t; e = 2 ·3; (= 22 ·3: Aceste numere sint de01 1; 2 , .3; .+. , 6 12.
2) t) l O~ : (;)lilt + 0100 ~ !)100 t- ~1100 ~ .)1110) =
::;- 5102 : [5108. {1 -r 1 + 1 + '1 + 1)] = f, l02 : 5 101 = j , .
Si! Jmtca observa d1rect d i iJ11.1' + 5100 + oH•o ..L 51oo -,- 5 101! = ~ . 5 1w = :,1o1 ~
3) P u t.em SCl'ie :
q:; 024 = 24 • 32 • 17 • 1.9.
.\la i pulem scrie:
!=13 02A = 24 • 17 • (2 · 32)_ • 1!1; 93 024 = 16. 17 . 18 . 19.
Deci numiirul 93 024 poate fi scris ca un produs de patru numere naturale consecuti ve. Aceste numere sint 16; 17; 18 ; 19.
! ocerca1i sa :rezolvati problema ~i alt feL Concerit rati-va aten~ia as9p r·n nltimei rit rP, a f iecarui numar ~ i asuprn. fa pt.ului eli oric.are dintre numere este mai mare
d Pcit 10 ~i mai mic decit 20.
4) Putem scrlf' : 792 = 23 • 32 • 11 ; n = 1 · 2 · 3 · 4. · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 .. .' 99 : [00 t- 792 + 8 = 1 • 2 . . 3 . 4. 5. 6. 7 . 8 . 9 . 10 ... 99 . 100 + 23 . 32 . 11 + 8 .• Sroatem Jact.or comun pe 23 • 32 • :t1 ~i avem: -2,3 . ;) 2 . 1l . (.l . 2 . :1. ~ . 5. 6. 7. '10. 1.2 ... ~19 . 100 + 1) + 8. tle~'< t.ul Jmpt• rtwii lui a Ia 792 N'> Le 8 .
~~J ;1 ) .\ ntam rn L lungimea drept ungh.iului ~i cu l lat.imea. 1"11 . P Primetr,ll
drrpt unghiului e~'< le c>gal cu 2!L + l). Semiperimetrul dr~>ptuo ghiului f>i-: l f egul t.: U
l + I. '
:\\ Pm l-= .:2. • 2 · (L -1- I) -=- -~- • (L + l ). A Tern 'in contionarP.: 2~ 1 ~
1 = ..!. · L + 1 de uncle L + 1 = 14 .., 1'1 l l b
'-- + 1 -_ 1 ·~ . b ) Am \7 azot l::t punct1.1l a) ()U - Scriem in continuar~> : l s
L 9 I Avem - a:::::~ - ...
L 9
201
c) Am vazut ]a punctul .b) ca:
l 5 .. b' t 5 -=-.De a1c1 o tmem: -=-. -g L 9 · ' L-l 9-5
l . 5 l 5 - =-. Avem: 16m- c::2 7.t L -l 4 "*
5 · 16m 9 l =-,...., 20m; L =u6rn. 4
Aria drepLuoghiul11 i ~ 720 m3•
a 1 6) Putem scrie: -=-g b Li
a c. -;="di c e
- c:: -· d f
a c e. ·[ p . 1 . ·- =-=- =-. ntem sene n contmuares /J d / /1
2a = :~~ = L1e = __!_. De aici: 2a + Jc + lte = ~. ~ ~ ~ 4 U+U+~ 4
Dar 2a + 3c + lt e = 33. Av-ern:
33 = .!. , tl a und e '2b + :Jd + '4'......, It · 33 = 132. '2b + 3cl + ltf 4
'i') Dupa efectuarea calculelot' s~ ajunge la x + 1 -= 91.
.c a; + 1 - co 91 - 1 1
Avem~ ~ t w = -· ~ 1 90
u. Proport.ionalitate tlirecta. 7 Proportionalitate inversa. 8. Regula de trei
simpla- pag. 36 L) 14 1Pi. 2) 56 lei . 3) 112 lei. '~) 200 rota\ii . !l) G,G kg. 6) 72 kg. 7) 37,5 kg.
S) ~. H) 3 h. 10) 1Gu.l1) t ~ li. 12)'12 h. L3) 2 h . l4.)42 ~ h ~42h5lmin. 15) 4 kg. Hi) 6 b. 17) 3G kg. 18) 10 c.m3
•
!). Rf'gnla du trei rompnsa- pag. :·k~
1) 2 ziiP. 2) 2 ~ ore= :2. b 411 mill 3) 2 lractoare. 4) 160m. o) 8 zile. 6) 320 lei.
·' 7) ::l~ zile. 8) 25 r.il~ .
10. Impartifea nnui num:1r in pft rj.i direct propor~ionale cu mai multe numere - pug. 41
3 12 2 ])
1.0 60 80 2) 4 r.: 6 7 a) ! ! 4) 45 ,· 75,·105,· 120. o) 12·, I ; ; . j O ; ; • 25 I 25 J 0
15; 21. 6) 40; GO: ?.0 .. 120. 7) 24; '-8; 84.
}.,1/ r·rrtrro Jrrn/rll c>rnficarro in.w.~irii unor cuno~tin(e de bazQ. - pag. 4'1
n).t--:111,, , ; h, 12 orf' , c) 20, :~u, 4.0.
11 · Aplicntli prarti c~ - pag. 43
1) 1 : 1 000, 2) 40 km. :l) 25 600 ma.
Prob/eme suplimentare- pag. 4.3
J) :'\u: DR. 2) 100 gr. 3) 120 km. 4) 2. •. 1
5) La 48 icm dP A. 6) 10 zile.
7) Cn R zilP mAi pn\in: rn ti _2 zile ' l .,
lO) a) 12 zile ; b) 12 zile; c) 48 zi le.
C...\PlTOLL'L TIJ
PROCE\'TE
1. Aflarea a P% dint.r-un numar dat _ pag. 48
. I) 24 lei . 2) 12 fete .
8) 80 ore. , 9) 10 7ilr.
2· Aflarea unui numar cind cunoarotem pot d' 1 -r · ; o . m e ~ pag. 5'1
1) 800 lei . 2} 200 ropii.
3. Aflart>a raportuln i procen1 I o.') , ·1H1 - pag ~·0
1) 50° o· 2) soo.~.
PROBLE:\fE
1) -not ')) 0/,1"'1 'l) oon ' 1· tl· - 0 1 ' · • f'l kJ::: , 4) 11.48; p0~ .(1 = (Jp : 0n~ . p =!!T! ... . , . ']Ill) ·] (){), rPI'U]IHir •J, .
RmL dP.CI egaiP. 5) flo km. H) 288 ) irse 7) ')0 ' . , 1 · · ., _ clr\ 1. 8) .lO vngna nf'. !l) :HI t\()(1 lri
10) 200000kg. 11) GGn2ono L. 12) 2jQkg. 13) 100 t. 14) 500 J·rr ,. . JG 1 000 ,,.,. ·l) ,,r, ]1i P!-r.
') , g = 1 kg. J7) t, 167 ko- 18) !1 G 1 1 . t> ' • , .;:g. !l) .1Qfl/ 20) '2:!o o·
21) 20%. 23) 5%. 24) 20%. 25) 20%. 26) a) 75-ot : b) 12 - ·o:·. 1 / 0 . ,0 /o · e) u.:lo()•
27) 11-9
%. :=::::: 1'1 ,11 % cimenl; 22 3_ o~ ::::::: 22,22o;a · . 2 9 1< / ( IDSlp; 66 ? % ::::::: 66,6fj0~ u
prund1~. 28) 0,005°,~. 29) a ) 100°10 b) 200%. 30) 20%. 31) a) 12%: h) GH%;
c) 8 t60 de pie<-e. 32) a] 21 %; b ) 56%. 33) 500. 31) ~ . ~5) 1 flG4 L. 36) 2 0(J0 lw .
!l7) 50% . . 38) 2 000 lP.i ·39) 1 t·, o~: 15%. 40) 30%. 42) a) 30% ; l1) 30 ';v;
c) 480 t; 360 t ; 360 t. 43) 8) 6 °.0 ; Lf8(l
b 58 Lucrnreo pentru c•erifwarea f.nSllfj~rzi unor cuno.~tinte de azii - pag
a) 720 ; b) 800 ; c) 20%
CAPITOL'CL IV
[\'1Ji\IERE YN'l'REGI
] . ~uml're intrcgi. Reprezentareu pe o dreaptii - pug. 60
O"C: +3"C.
2. Valoarea absolutli a uuu i numiir intreg - pag. 62
1) a)G; b)25t1. 2) 5 ; 0 ; 7 ; 8 ; 200; 200 ; 48 ; 49. 3) a) 19l > 0 ; b) 1-91 r> O; r) I 01 = O; d) o < I -51 ; e) 181 .= I - 81 ; f) I 51 = 5; g) I - 71 e> I - 31 ; h ) 171 t> 131; i) I -91 i> 1-71. 4) a) A ; b) F ; c) F; d) A.
3. Adnnarea nnmerelor intregi - pag. 66
i) a) 7; h) 6 ; c) 6 ; n) 17 ; e) 9 ; f) 2; g) -8; h) - 11 ; i) -4; j ) -6; k) 0 ; l) O;· m) + 2 ; n) + 2; 0) -2; p) - 2; r) 0; s) 0; 1.) 2 ; u) 6: Y) - 9: w) - 16 : x) - 15; y ) -D. 2) a) 100 ; b) -22: c) 21 ; d) -24.; e) - .36: f) -60 ; g) 0 : h) +'16; i) - 7; j) 0 ; k) 14; 1) -3/(j ; m ) 899. 3) a) 30 ; h) -26 ; c) 11 ; d) -,- 16; e) - 26; f) 0; g) - 9 ; h) 0 ; i) 13. 4) +1°.
'
Lucrare pentru veri[1:carea fnsu!f£rii unor cuno$tin:e de bazii - _pag. 68
1) 5. 2) ~14. 3) -2. 4) -2. 5) 4. 6) 8. 7) 0 8) 0. 9) 6 10) 6. 11) 0. 12) -7. • 13) - 7, I
6. ScMerea- pag 72
i ) a) 5; b) 3 ; c) -1; d) - 4; e) +3; f) 3; g) -8; h) -9: i) 0; j) 0 ; k) 16 ; l) 18; m~ -13 ; n) - 11 ; o) - 4; p) -2; r) 0 ; s) 0 ; ~) 0; t) 0; ~) 7; u) -8;
204
• ) 1~ ~J B) 13·. b) - 8 · c) 8 d) - 3S ; e) 0 f) 34; g) - 21 ; h) -5;' i) 0 . 3) a) 0; b ) t31 .. :J - U · dt :c:l8 , a) 15 11 l 079 4) mai mica cu 5°C. o) a crescut cu 7"C.
l i I I {/ I I 1-+-a I J- n II - II I
I
l 2 - 2 2 I
3 l - 1 l I .,
-3 ., t, -~ ,) .J
0 0 0 1 ' 1
- -1 It Lt - 3 5 . - ::J05 305 ::J05 - :104 + 306
Lucrare pentru verif icarra insU~I:rh unor cuno<;t l:n(.e de ba.za - pag. 7:.1
, I) ,3. 2) -~. 3) 9. 4) 8. o) 2. 6) -1. 7) o. 8) o. 9) 10. 10) 6. 11) -7. 1~) -1.
' Df'>;[acerea parn.ntf'zelor - peg. 7~
l) a) -2 ; b ) 4 ; c) 0 , d) 0 ; c) -I, : f) 0 ; g) 3 ; h) -ft3; i) 59; j ) 2; ~) -59; 1) 0. ~) a) 19; b) -3; c) 9 ; d) 1; e) 0; f) 5 750.
";' . RAlntiil~ : <:;. ~ , !> , ~ intre numere intregi - pa~. 77
2) - 2; - ·1; 0; 1; 2 : ~- :~) - 4; - 3; -2; - 1; 0 ; 1 ,2. 4) a) 4 r> 0; .h) -4 < 0 ; c) - 4 < It; d) -2 < 1: e) 0, > -200; f) -200 i> -201; g) 21 > £>-2121; b) ! 10! t>O ;i) ! - 11 ! > 0: j ) 101=0 ; k)l91 = 9;l) 1-91 > -9; m) 151 =I -51. 6) .a) {-1; 2}; b) 0. 7) a) A = {-3; -2: -1; 0; 1; 2; 3}; B =- {0 : 1 ; 2; 3}; C == {- It: -.3; - 2 ; - 1} ; D = {-4; - 3; 3; .).}.
8. fntnllJ1il'l'!l - pn!!. ~~~
l ) 20. 2) 20. 3) 6. ·I ) -B. !5) 0. 6) 0. 7) 0. 8) 8. 9) 9. 10) -8. 11) -7. 1 ~) - 6. 1 :l) - 6. H) 9. Ji)) 0. lf1) 76R.
9. Comutatjvitatrn. nsociat.iviillirn. di~t.dhu1ivitatea iumul1irii fo1i:i, de atluunre ~ i A ciirlm·~, rlemrnt ncuiTll - pag. 81
1) a) - 1134 ; b) 0 ; c) - 34.0; d) 0 ; P) -1280 ; f) + 48; g) 40 ; h) 90; i) 2 H1 700.
Lur.rnr,. pn11ru. tJPrtfir:nreo 1nsu$irh' rmor cun.o$tin1e de baza - pag. 81
1) '10. 2) 10. :1) - 6. 4) - 12. 5) ' 0. 6) 0. 7) 0. 8) 4. 9) 9. 10) - 5. 11) -7. 1~) -0. 13) 8. 14) - 6. J:Si - 1 16) 0. 17) 0. 18) -10.
10. 1mpar1.irca - ra~. 8:3
a) 2; b) 5; c) - 3 ; J) - 5 ; e) 0 ; f) -2; g) 2; h) -120 ; i) 0.
. t 205
I Ali 111/'f' Jlf-nl/'11 r•rnfirr/1 "li!\'/(~in'i ////(}/' I'/1/W!;f i n!P dr /Jnza - pa~. ){~
1) ~ ~) \ :t) :-L 'I) : •. ;,, I• 0) ' I i) ,., S) ·': !l) () 10) 11. ll) 2
r.'X I~ HI ITI I )llg. H~
H) IIi: II} Ill;<·) ~(): d ) - G; _P) ~ !1 11 ; I') ~'til: g) - :J:lll; h) !j(il),
11. l·'nctlll' eun111 1~ ll<H!. Wi
1) n) l // / ';111 1: h) !l:J't illlll: 1·) I I. ~) 11 '2.
1 ~ . Oiviz<H'i i lllllli llllllt iil' inf l't·:: 1•;1;_;. ~~~
1) Divizn1·ii Ollnl<ll'llllli - ,"-\ ~ 1111 : I . I . ·> 2. ''· 1,_ R. - R: ni,· i7nl'ii n 11 mi\t'lfli1i 8 ~ in I: I , I . 2, :2, 't. 11 • • -.:. ~- ~) !10!1:·,_ :1) !18W1. -1) - 001 1.
' liL -P u! C'I'('a. f' ll ('XJIOllt'lll ll:lfliJ'a la llliUi lltllll;.ll'Jlltl'll!!' jill ~ . l-\\1
a) 0 : I >)~, : •·) - -:1: d ) n: ..,l :l: I') Iii:") 1, : ill I I: i) 1,: j) -~: k) n: J) n .. m ) ·1 ; 11 ) ~> : o ) 1.
l .llr·rm·t• f lr'llll'll r·rnfil·rll'tll i11,11.yir;i 111/nr 1'11 /lo~till {r rl r brr:ii- p n~. 8fl
I. 1) 10. 2) l. ;-J) L. 1) :{ .. ))_ I . 0) I 7) II. l-,) II. fl) 'J . 10) 0. 11) I. 1:!) I. 13) 1. 1~) 0. J.J) 11,
11. I) 0. :!) 't . :{) :2. ·1)·11 .~,) -x. ii) ·~n. 7) 1:111. C:) - I 1;~J(i:J l.
EXEh <'l'!'ll ':-1 l'J: OHLF'\11' p 1g. !HI
1) a) <1; h) R; r) -~1 : ri) · - 12: (' ) ~:I') '2: !.!') I ; hl II: i) n: j ) -12: k ) - 11,:
] ) -2 j 111) -3 ; J1) -:1 ; 1!) '12 ; p) Jtl : I') :2 : :-;) - 2 : I ) . f) : 11 ) J : \') -It j X) lt ;
y) 6; z) -7. 2) a) -8; h) 1:1; c) 0: d) 0: r) -:l: I' ) _t,.; g) n; h) 0. . 3) a I b I -n. I - b I (/ + ~- {/ - l l I ~ IJJI·-~
2 'I -3.l_:l~ I - ._, ; , -,)
--;, -2 -4 I
I 2 :.l ·-2 (j _ ()
' ; I 2 "I 21 ~ I_ J I - 7 7
~--4 ___ ' - !i ~~-=- -5 ~ c, - 2 o 2 I - 2 2 2 - 2
- 3 - o-3 - o-1 -~~ 3 - 3 - 3--------- -----5 5 5 -5 0 0 - 10 10 ------ - - ----
6 -G - 6 6 0 0 12 - 12 - - -- - -r--
0 0 0 0 0 0 0 0 -------- ----
1 1 - 1 - 1 2 -2 0 0 - - ---- ----- 1 1 1 -1 0 0 -2 2 --- - - ---- ----
1 -1 -1 1 0 0 2 -2
206
4) a) - 7. - 5. - 1. n. 2. fi: h) 1f\. - q . ..:....1, 0, 1, 4, !i: c) -8, - '1, -~. - ·4, 0. 1. ~. f-1. n) 4 ={- I.''· I. 2 . . ::: N :-:{. -2. - !;-: (' = {-3,- 2, -1, 0, 'l. ~- 3! D = {- :2. -1. 11:. (i) H ) 11 : h l 111.1; I I 1): d ) 20 : f:') 6: f) -i4: g) - 24: h) -- S; i) -H; j ) 0; k) 0; 1) 0; m ) .:: n) -:J: n) !1 200; p) -84; r) -2 400 ; s) - L
(/ I II I r II ab I {/(' 'I he I a he I a.+212b+c 2 ')
.) 10 G . 20 :m 60 4 16 ------ ------------- 2 - :i - 'If) (j 20 :l() - fiO D -1o ------------------
2 - !i 0 -8 () {) 0 / l -8 ------ ------- - --__.__ _ ;, :3 0 -'12 0 {) 0 - 2 6 --- - -- ------- - ---- ' ! - I - 'I - I -·1 I I ::1
., -.)
------ ------------- I 0 - I () I n n 'I - I
8) n) ~J: b) 2: r) 2: rl ) 2; <') - 4: f) -2;1g) - 11: h) - 3; i) 7: .i) -8: k) 0 : I) 0:
m) -ft .. !>) a) 0: b) 16: (·) 0: <>) - 2. JO) a) 4: h ) 0 ; c) 8 ; d ) Xi ; PI t, : I') 0 : g) - 8 : h l - D : i ) I 00 : j ) ·1 00 ; I;J 1 000 : I) - I 000 : m ) 111 ()fill :
n l It 1 nnn : o) II J(l ()(II l : p) I ()(\ ()()!) : r·) -:32 ; ~) -3 ; I ) 0 ; 11) ', ; , . ) - ·1 ; x) U;
y ) - 't2 02:1: zl .'li l:
•
11) II I " I (I J, I o 2 I a2 + b2
I ,, 2 I 7 I 10() 200. ---1 '16 I, I ,, ~5fi 272 ------- 18 - !) ,_2_1_ :J24 !,():')
- 20 ,- 10 2 1,()(1 I f)()() ------_2~ -:! 1 ;,on :,no
~~ll ,- 't - I (I 1 non I fi I fi ------_,,., :: I :, ·)'r ')'II --·> _.) I
- 1)0 1- ;j(l - :...-> i : ~ ()(10 .'j ;)ti l J ----'--(I I .1 ' f)
n 2:-, II :\ I I () fl -'---,--- - I ), 5U =---:2.._ ~ __ I_ _.)
- 7 7 - I /J!I
I ! Jl--
- - ----7 'I - ft!) 50 - _ ,
- -· - 8 'I -8 ()!, ·I ().-,
12) n)27'J5: b) '178:1:1: c) :10000: d) -Hl784 : P) - 2211q0: f) - 77:1:1:' ... g) -80640; h) 11 8 00Q; i) 16700; j) -700 : k) -/nrH): I) 1.-) 1.·1 ·~ : m ) -; 2011:
n) 'lfV, 200: 1•) ll:p) l !iRGil1: 1 ·) - l fi/:U~On: s)202 111't0: 1) -.- l, l 'd)tl: 11 1 -21iiHIIO :
v) 26000; x) 1 002001. 13) a) 280000; b) - 2 142 :-2n: e) ll: d) 111rl11; P) - 2 0011:
207
f) 4; g) 360; h) -39 298; i) 140 003; j) -204; k) 1 002; l) 18 000; m) -4 120; n) -80; o) -800; p) -182; r) 16; s) 26 800; t) 72; u) -104. 14) a) F ; b) F; c) A. IG) a) {-1,0}, {-1,1}; {-1, 0, 1}.17) a) · 8 • (3100+3105 -16). 18) Indica~ii. Ce1 mai mic numar intreg rle cinci ci fre scris }n baza 10 es te -99 999. Raspunf'-: -90 000. 19) -65 987. 20) Nu, deom·ere xyz :;::> 0. 22) a) 2a i> 3a; b) 2a= = 3a; c) 2a < 3a; d) - 2b <! -3b ; e) -2b = -3b; f) -2b > ·-3b; g) -2c > c; h) -2c = c; i) - 2c <J c; j) 2d2 :;::> -3d2 ; k) 2d2 = -::ld:l; 1) 2d2 ·> - 3d2
; m) x27 <l
< x20 ; n) x 2'1 = x2s; o) Daca 0 <: x < 1, x27 <! x20. Daca x = 1, x27 = x26• Daca x > 1, x2'1 !> x26. p) yz i> y3; r) yz = y3; s) ~/~ '> y~; t.) y2 = y3 u) y2 < ys. 2:J) a) 247 > 2~?; h) 957 > 857; c) (3~)8 > (23)8; d) 1021 > 8 . 1020; e) ( -2)43 > ( -2)45; f) 202303 :> 303202; h) 3401 , i> 2601; i) 3303 <:> 2404.
Lnc~·are pentru pregatirea olimpi:adelor !Jl: a. altor concursuri - pag. 93
1) Put,em scrie:
911 = (32)11 = (341)2. Deci 941 este patrat perfect.
2) a) sl = -200- 199- 198- ... -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 198 + + 199 + 200 + 201 + 202. AYem -200 + 200 = 0 ; -199 + 199 = 0 ~.a.m d. Deci S 1 = 201 + 202 = 403.
b) S 2 = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6- 7 - 8 + 9 + 10 - 11 - 12 + 13 + 14-- 15 .. . -296 + 297 + 298- 299-300 + 301 + 302. Observam ci'il
2-3 = -1, -4 + 5 = 11 6- 7 = -1~ -8 + 9 = 1; ............. _ --1 +20~ - 299 = -1 - 3tHl 1- :m1 = 1; s? =. t + 302 = 303.
~) a) P1
= ( -1)1. ( -1)2. ( -1)3 · ( -1)4: ... ( -1pooo • ( -1)1°01• Orioo factor en expOJ•OHt pa1• est.e egal cu 1. Produsul numerelor cu exponent par este egal l'll 1. Ramtne sa calculam produsul numerelor cu exponent impar: ( -1)1. (-1)3. (- 1)5 ... (- 1)999. (- 1poot. Sin~ in total 501 factori. Deci produsul lor esle egal cu -1. Avem deci P 1 = - 1, P 2 = (100 -12) • (100- 22
) • (100- 32) .:.
.• (100 - 252). Printr·e factorii acestui pr·odus se afHi §i factorul100- 102, care este
egal cu zer,o. Deci P2 = 0.
4) 9 990 = 9 . 11 . 101. (9. 11)1°. 99!0 <! (9 . 11)10 . 10110.
Deci 9920 < 9 99'910• '
5) Ultima cifr·a a numarului· a Pste 6. ·
6) -~5 + (-24) + (-23) + ... + (-1) + 0 + 1 + 2 + ... +24 = -25. Sint 25 + 1 + 24 = 50 (termeni).
7) Multimea A are 200 elemPnt.e; Multimea B are 215 eleme.nte; Mult,im.ea 0 are 289 elemente; Mul ~imPa f) a1·n Hl8 ell-mente; Mul~imca E are 3 969 eleme~te.
8) 382 = (32)41 = 941; 2123 = (23)41 = 841. Deci 3s2 > 2123.
A vern: 12123 - 3821 = 382 - 2123.
Pu tern scrie: (2123 + 12123 - 3821) : 381 = (2123 + 3S2 _ 2123) : 381 = 3.
9) .a ) Daca P = 0, S poate ,lua 5 valOJ·i distincte ~i anumP: -10; -5; 0; 5; 10. Ev1dent - 10 este cea mui m.icii vuloare pe care o poate lua S , iar 10 este cea mai mare valoare pe care o poate lua S. '
b) D~ca S = 0, P =.(-2) • (-1) · 0 ·1· 2 = 0. Deci p poate lua o singura valoare ~~ anume 0. .
10) Cel mai mic numar din multimea AU Beste -22. Cel mai mare numar din mult imea A U B este 12.
11) Cum produsul a doua nume1•e naturale consecutive este un numar mu].
tiplu de 2, atunci a(a:: 1) E N*.
CAPITOI:.tm V
NUlUERE RATIONALE.
Exercipu (pag. 100)
1) Numarul I N I N* I z I· Q
-2 nu nu da da
2 da da da da 0 <Ia nu da da
1-3 da - nu nu nu 5
1 da -- nu nu nu 2
0.5 nu nu nu da
- 0.75 nu ntt Dll da
1,25 nn nu nu da
7 da - nu nu nu 3
210
:L \'alollt'f'tl nbsulutl\ n nnui nnmllr rntluna l - pti? j() J
17 I) •1) 4; h) 12. 2) I I £>I bl •
't. \rlnunrl'a nutnt>l't>lor J:atiouale - pag. 10::>
1 2 3 l n) ,;- g b) -- ~ c) - - ; cl ) - ~ c)
,, 5 7 q_ t
7 . s 1 "' - .~ f) ...:__ e g) --.~ h)- ·- · 12 ' '12',. 12 ' ::l~ll i
i) .17
960 g j ) 2·1 781 ,2G; k) - 0,5.
fl . ~t'iiflN'ea nnmerfllor rat iona le - pag. 108
1 n)- - ·
J ~ 1 )
1. 1 ) - e c:) - - ~ I I II . d),~ 1')
4 f) - - ,,
. 1 1 g)-- · h) - I -- ,
:) (J. • ~ I I ~~ 'IS' ~Ull I . 1\ I
i) ~I j) :i:J
0,85; k) 1.
llt''l'nr•I'I'N\ p:uantPzr lor - pag. 110
:H n) - - ~
() j
'i. Rrlat i ilr: <1, ~. !>, ~ 1ntre nnmere ra1 iona le - pag. 11.3
11) F; h) A; c) A; d) F; e) F; f) A.
R. lll r u ul ~it'l'it - lhlg. J17
s J fl) - - . b) ~ :. \') - - .·.
2 ,. n I 2t l'
h) -:20,:)~ 1; i) - ~; j ) ll; ,)
l J. fmpar·tirt'n - pag. 122
rJ ) - _!?_ • P) If i '
k) -7 tun Olo.
l- ,. ;)
f) -+- _:!._ . 4 ·;
')
g)+-·- ~ .. '1. '
H) 1; b) - ~.~ c) 5 ~ d) J ~ r) -8,· f) 0 ,· o"l ..., l) 1020 . II '~ ' · 2' 3G ' -.•; 1 - · . ; r)-7, 6.
12. Factor comun - pag. 122.
) 111 b) 323. 8 22221 450
13 • .Puterea cu exponent unmar na t.urnl n, unui numi'ir ra tional - pag. 125
a) Oi b) 0; c) 0; d)_!_• e) 1
f) -10·, g) - 1440. 4, -51
·. EXERCITU (pug. 12G)
l ) 3 ' :!) I :J) I I -~ I) _ I I a ;, ) 7 . ' (i) 1 1 It I, G G ' ~I I I I~ i ;, J ?) :-; I
I 'i qC) 11 ". l .. Jt.J 7 I 2 8) - ~ !l) - .:.._ ~ I 0) - .. ~ 11) " 1 :!) ~ -:. 13) - t
R ' :2 I IO ' 1!111 I .{ I 1:,• H) -f) 1!-i) 4 'I I 0 I 1 I l I I
---e t7) ---.·. I H) _ ~ 1!1) - _ ·:· :.!0) - _ ~ 21) :-, .,~ 22) -- ~ l /1/l I 2 /()()' I I ,) I ''"I • '2. I
~ :l) - 1 : 24 ) - 2., ··~· n_;-1) - _I ·~ •_J(,') I •')-) 2 "o) I :> ) !> 3 I , - : ... I - • -0 - ~ L!l - ~ 0) __... - = ,
1 / :{ I :) I (j I :1 l
:31) :2 , 9 ) :) , t, . l ·I 1 1 8 --=- ; •>- - - : 3a) - .·. ;}t) - .. 3G) - - ~ 311) ~ 37) , - .~ 38) -- ~ I . L, 0 ' L,!) ' R I IIi ' 27 1 '12:) I
I I. 11 :~ 2 1 3!1)
10 ,11
.1,1
; -10) - -- · II ) 1:1; 12) -~ 4:1) I ; •H) I : •In) - l · 46)- ~ , L• 1 on · 1 11, I ' 1t1 '
47) - 12 ;)16,2/.) : ~8) - "2 .7-:> : 4!l) -t.~fl: 50) - I 900.0 1: 51) 1,80 ; 52) 4 058.1: ;):l) ~ 0 I :3.02: :j4) 0,0 l ; 55) 0,:2Lr; 5u) 0 ,04S; 57) 60; 58) 4 050; 6~1) 0,0011 :
60) - 7: 61) ~R : H2) 18.:1: fi3) - I~~ G4) -1-: H5) 111· Ufi) 1· f.i7) 0· 68) -0 90fl·
li ' 0!)0 ' ) . ' l . '
l . IHl) - ~() ; 70) J : 71) - I 0; 7~) - 2 :~48 020; 7:l) a) (0, l)~ > (0, l):; .,
,) /0
b) (0,2;))60 > (11.2:-1)70 : r) ( -CU P< (- O,l )s; d) (O, l )8 > (0,01)8; o)(l.l)4 ~ (J J )':
f) (-2,Lr:J)12 > (-2,45)13 ; 71J) O,o'09. 75) a) 1 ; b) 0. 7{i) s_ .. _ _:!_ . 77) a) F; 4 I ' /1
h) J7; c) F. 78) F. 1
L11crare pl'llil'll Prri(icarNr ifl.\'/l.~ir.ii unnr CIIIIO~·tin(r· dt• lill-ii pag. _.128
1) 2 . 2) - J.. . :~) 3 . I) '!- . :J) 2n0.om: H) - 2Xl: 7) 12~ :3 ' ~1' l:l'
9) -70; 10) 367,74 ; 11 ) l :W:38U:2 ; 12) 0,0081; 1,3)'2ot~ ; H):2llli,tl '• ; J:)) t., ll i;
1 6) -'118 821.
L11 crar~ pn?ll'/1 prrgiilirn t olimpiarlrlor .~i a a/lor rollrtii'WI'i - pn~. 12R
1) Daci:i 1mp ur·~ im l'iecnr·e <li n LI'C cele l l'ei n1.1mel'e Ia 2, fiPf'rli'E' t·t>sl. va fi ega\
en 0 san en 1: Deci vom avea douii r•estll!'i egale. Suma numet•elol' cot·espuuzatoare
acestor r est ur i se va d ivide cp 2.
2) E = ~ (198~-1983-2-4-G- . .. -39M-3966) = ~ ['l984: 1'983-
- 2(1 -+ 2 + 3 + ... + 1 983)).
Sa calculam :
s = 1 + 2 + 3 + ... + 1 983.
211 '
O'~Mewdi tffil :t'11tem tcr\t~ 1
I .... 1 983 + 1 982 +-... + 1.
' . 2S = (1 + :1 ·~B3) + (2 + ·t 932) +- ... -: r 1 ~ ·-: ~ .: ·1).
e
2.5 = 1 98:3 : •1 984; s ,::, .,
l~ vem 1rl continua rat
.E =o ..!._ (198~ · 1983 - 2 . 1. 983 • 1 !=18!1 ) - o.
2· 2
:11 \nrnllrn l a; f'~t~ o~gativ.
t 3 -~) a) , : b} -- •
6 . 80
.• ' CAPITOLVL \'l
1. Rii1l:iPi. n~ Jlatrata rliJJt.r-un numar nRt 11 ra.l p:itraf perfPr.t · _ pag. 130
a) 0: b j :1: c) 4 875.
\) Hii fl:i f•ina piltrata dintr-u.n uum{u· ra.f.·ion.al nfl .. n('"'. "1·1,. ,., ... .. .. pag. 1.1fl ., ., .
H) - -- , h) - ~ c)07· d) OS ;) , 7 4 ' ) .. t •
·!. NumMe ira!ionale - paq. 135
1) 3: 0· 4 2) -6; -4:0: ! ; :.!: .~1· .~ ~) 1: '.1 : - 1:
4J V2· V7. 212
. " . ' -· 2.S ; 0,(31;
'1,·.::;:'1 I ~ I N1. I z I Q I R IR-Q) - fl iJa I_ :u __!~ ~ll.r_-f Da_ :\11
I l>a ll :1 J)a ll :o Oa !\u - -------- --·-- -----
'2 Da l>a l>u Un . lla N u --- --------4 Nu Nu Jh D:1 I >n Nn
---------j
Nu Nu Nu Da no Nn -2 --~ ------
0,5 Nu N11 N11 ]);~ On Nu - - --------
0,(5) Nu Nu Nu Dn D:t Nu -----------
V2 Nu Nn N11 11 Da Da ,_.:...___, ________ -----v-3 Nu ~~ Nn ~~
- J/2 u Nu Nn Nt t Dn Da ---- ----------
1.1t1 Nu Nu N11 Da Da Nu
EX'ERCJTTI- pag. 138 a) ::30: h) 18 ; c) 12 ; d ) 38.
EXERCI'fll- pag. 139
a) 150; b) 506; c) 1 720; d) 9 800; e) ~28; f) 9 060 ; g) 2 OU7.
EX ERCITII - pag. 1110 a) ~20; b) ~504.
EXERCITII - pag. 1Li-1
1) 124; 204; 3 002. 2) 2,64..; 4,24; 4,47. '
EXERCITII - pag 142
1) ~l,S1: ~ l.l 7. 2) ~86!1. 3) a) :::=0,608; b) :::=1,581.
7. Proprietatra: V ah = J/ a · Vb. (a ~ 0, b ~ 0)- pag. 1.43 S3
1) a) 100; b) ~; c) 4 54
d) 18; e) 25 248; f) 1. 2) a)l xi ; b) 0.
. ropr1e ea: -= --,(a ~ 0, & > - pag. 8 P . tat va va - l. 0) b . Vb
1 2 6 9 a)41 b) r;rc)5~ d)s·
EXERCITII $I PR.OBLEME: - pA.g. 141i
1) 64; 2) 36; 3) 'to 000: 4) 129 600; 5) 142 884; 6) i. ~ 'i) ..!.. ~ 8) .!_. q ' 25 ' 27 j
9) 1 (j q ) 1 J 0 )
1 0 00 () 001 1 :2~ i 1J) 16 j J1 1000 i - 1014049 ~ 13~ , 04; 14) _,0 - ; 15) 0,001;
213
16) n.onnonoClll l : 17) 2::1:4: :1: n: Ill: 7 : R: 18) 1 '2:~: 1!1) IR!'-l: 20) 102 : 21) 204: 22) .: not,: ~:l J . ~~ 11 1: ~I) 1 'lt': ~:>) 2 ~~n(l: :W) -,_ P1ti: ~7) 17 .721>: 2S) 1 .. ~,:n : 2!1) ,-,_:221 :
• -1 . • . -t . 1 , , _ -·-· · · -~ - n .,. " . -a 1 1: .~n) .·,n : ,Jh) 1 11: 3t) 11()0: 30) 00')'· 31 ) l ' l · ~~ ·). •) ?J •:lQ) £:!. •~ 3) "() •\ I~ -- 'l' ""' ''- -
' :! ~. I I I . ) I '\
:l8) 1,20: .lfl) -::. ~ 10) . ; <11) ---: ~ 4:!) _ : t:)J -- . I I) ·-~ . '10) ~ ~ 4~) _:_:_ t I I ) I () I I) t ! Hill ' '.! • : l • 2
47) !12~ I J, I !t : IS) j / :\~ 1.1 .12: ·l!l) I ':1; !lO) j/ ::; :;1) j /:~; .i2) 1/G~ 2_1,.40:
~ ·:.) 11 · ') ·)·'G - ') <' 1. ~:-) ·)- -f·) l<l 2 - 17 0 / - 1 - -u.J " r.::::- .~ ·J: . )t •.-• : .w _.,: ~)) --- .. .j') . . 58) . 1 ::t-) · 1n 1 2. 8· :: ' '1'2 ' '1 ' '
G j/ :-l- '27: :lH) 1,41 V0 -. 1.7:1 j/ {: liO) !'-lSriL ; ul) J :~· = 2 s:.~u { .1' = C, sau \ y =- 1 y = fl
{ ~; = ~; H2) 1 J 02G. H3) /1 000 000: 4 004 ()() I : ;, 008 ()()/1. flrl) 0 GO!,_ fi5) 2.R, ·18.:10,
/2,200, l{,n . I ~t lil . lili) 0121Vc !l 'I R(i!i : 07:V111. fii) I ~i .) !12!1 : i l';\i 84/: 1'1 ~ i :)30:
~q ~i I 'Jl. p,,ldl lll't .111~ 11 ~nl u\ i i li~ ) i .'.!. 111 . (iH) .·l =-- -: : ~: 4} : B = {0 ; L}.
I I
70) 0 :l I ll. 71 ) 1,:! Il l 7:! ) l,t1'2 Ul. i J) t\) ~ • IJ ) ' '_ ! C; j 2 : d } 2, '2 ' 1 )
Lu mn· pnllru >11'1'ijlrrtrr-" //nor tllno.~l ·n{t> r/1' ba·cr. - pag. 146
I) 11) :\:h ). : : I') 1:1: d ) 1: P) ! 1 \ 1('-(fl: f) II;~) IJ : h ) ~~~1: i ) ~)4 0. ~) fl ) 1 1:
h) 1'2 : • l 1 ~{ : d l l 11: P} :l'tl l: I" J ~)/~ : l! J illCi : h ):.! OO:!. !I) n) '2. / : b) l.),i: c) 2J)!"l;
tl )l\ '1 : '') r! IHi· I' ) 11()1)[ , 1) 2. 1. 7!) t1l U4: hJ 4.1lR li) 3,605 . 7) a) CVH : b) n .. tG. ~ I 7
8) a) 4, l ; L) u,08. ~l) u) - .: L ) - .-. c) - 'I ; d) -. G l ~ I 8
Lurrare pr:ntru prepiitiren olimpinrlPior -~i a nltnr concursuri - pag. 147
I) f/1; - t i l. :.!) I -:'111 i e:: 'I :q n) tl : b) X. -1) t : ' j ; .!. 1 II · I . ~ : ' \: . ;, ) II :2'1 I
f'a lr ulul IIJ ('(l it·i JH'OIHll't ionale - pa~ l 'tR
I} ~,. 4. :!) 2:1: ' :l) ·, ·:. ~) !'i .~, · l i ;-,) 1'. .:1; 10 f\) ~)()() n~1 : 10 i) 1 8. 1 ~ ;): ::1. )
8) I ~' ) 1 , l O) ,11 l l) - · 1:.! ) ,11 l :P 10:! II .,,. ( E " "' l ") -1 20 , • , - ) n m -~ ) iJ = , I
~ l , ') B = lO; - , i lt:i ) , .. ll · l, . 17) <1 ) C < A < B ; h) B < A < C.
,I
Lucrarr f!Pntru rPpetarra unor runa.~l in' P din rapitolel~ antPrioare - pag. 1ft!1
1) C1) .1' = 16 ; b) X = 2_ · C) X = 24 : d) X = 60 · P. ) X = ~ • . f) X = .!:._ • . 8 ' ' 7 ' b 'i
b . ac g) X = ab; h) X=- .: 1) X=- -.: 2) 108 kg; 18 kg.
(/ I U I
3) 1 836. ·t) 31t0 kg.
9) 400. 6) 25%- 7) 4 kg: 20 kg. 8) 124,89; b) O,G.
214
T
MO"'OA.liE ~I POLINO..UIE
OpPNltii cu mouomne. Inrnul1i rea pag. 152
A .1 ) a-2; 2) - .1:2: !1) ~·2; t1) x5; 5) :cr~; H) 2x; 7) 2.r~; 8) ,'J:~ -'':' H) .?;3. 10) x3;
11) -z3; 12) x 4 ; J:l) - (i.ry ; II ) 20~:y; 15) 9.'ta: Ill) -8.1:~ : 1'i ) [(l.J;;; ; 18)' 4~·y · l!l) 2x2y; 20) 8x2y ; 2 1) -~:2y~: 22) 2x~y'f; 2:3) cr.~ay" · l!4) - ·).ra!J i 2G) :r2y~ ; 2G) ~Gx3y; 27) 8:~·3y ; 2S) U.'t''y ; 2H) 2:c 1y; iiO) - 2:-c2y ::..
B. 1) -8x2 ; 2) - 4x4; :3) - 4.x3 ; 4) +4xy; 6) -5x3y3; G) - 60x4y; 7) +4x4y;
S) +5x4y2z; 9) -x3 ; 10) - ~ x 3y2z; ll) x0 ; 12) 2 xy3; 13) 24 x 1y ; 14) x6
•
G.
Ridicarea ' ra putere - ]Jag. 1!Ja 1
1) xq; 2) 4x2y2; 3) -'27-;;u; 4.) x~y~; 6) -8x3 yti ; li) :c1 ~; 7) 4x~yuz~; 8) ,- x2
;
1 9) - - x6 y3 • 10) 0 OJ z !l,
27 ' '
lmpart.irea - pag. 1r,4
ll)
1) x3 ; 2) y3 ; 3) 1; 4) 1 ; u) 1 ; 6) - ~c3 ; 7) -Gx; 8) 2x2; !1) 2x
4; 10) a;y ;
2x ' - 3' ~ 12) O,O?.x2•
Polinoam0- pRg. 1 S5 7
a) - 4-; b) ~2; c) 'I ; d) -~ l ~l ; ~') - • ~
1) a) 6a,; h) i .e: ,.) - Hl.r ; d) '~ 11 ') '1 ; i)
I I J' ) O· k) -2y · 1) 0· m ) - :r · 11) - - 1 "\,!) u ) 4a; b )
' , , /j :~
' . I ,/' If e) a 211 + :w 2 • 1) x + - 11 · p-) -- + '-•
' " ' ~ . 12 ~
') I • "\ .!. I '1/ I I) I ) : i) (I ;
l• + l , , ) I, 1. • , d ) :r. '! r 1 I
Adunarea - pag. '1 !\~l
1) a:; 2) -2:c; !1) -~: ; t1) - a ; G) 0: H) n; 7) -G..c; 8) '2y : !I) -3a + b;·
JO) f.~<a-b; 11) 1; 12) y - 7; 13) 0. 2'
a.) a; .b); 2a; c) 0 ; d) 5x2y + o:y2- 1 ; E>) x -- .3 ·
Scaderea -.pag. 159
a) a:+ i; h) Oj c) 0; d) 2ab· - 2a2; e) a:y2
; f) ~~ •
f mpnrtirPa _,_ paJZ 1-62
11 7.:• _ t :!) ~s + :;;~; ~} x ~ 1; 4) y - 1 . 51 - .z .J__ 1, ·sr 3x - 2y - 1;
7) 2:t - 3y - 1 8) ~:~ + 1; 9) zP - 1P - 1; 10) -2x3 +- x , 11) x + 1,
l ~ J L .. z- I 1:·11 4xy~- 2y - z.
F~;~t• j or- r• t~roun - pag. 16~ . al ·21 r ....- t/l; b) atx- y); n) 2(2x- y), d) x(x- y)· fl) x(x--:- 1); f; a
2(a - 1,i
~~ .X!f('J. ,- yl: il.J 3(x-t-y - i}:i)x(z2 +x....-1) j)6x2(:' -'-2y,1.),
k l u~o~(a 1 b3 T ll £XERCI'fTI $1 PR mu.T:,H: - r-;og 1 1;~
1) -I>W'. ~) 't2al.; 3) -2x2 ; 4) 2.2·2 : u) -1t.r2 ; G) 'i<y 3; 'i) -'2.'1
2: q) -2!.1
2:
(I)'.! ;' : lfl) ,1:l: Jl) 6:r2y2; 12) -.'3:t31J:!::; l:l) 2.T6: l ~) -Gr4y 3
..: : J .j) -8x4y;~, j li) 1 ~,. lu11 :.!-; t'i) x4y2.z; 18) 3:.t:iiy; Hl) a6: :!0) ·-·(11
1' r 1·'!/": 21) -8~r3y 9 ; 22) 16.T
2y
4;
::!:t) ·- .1, r3,1H: ~ I) (),111x";· 25) 1 ,102:J~c• : 26) a'.!; 27) Ty: 28) :3: 2!1) r2
; :W) -2;
'" ')
3IJ 1 3:!)1: :l!l) -.1·:!: 3·1) -x'J ; 35) 3x2y, 3u) .ry::,; ;17) --; x2y, 38) 1d~yz. , oJ
:H:j) 2n:r: 40) - 400; 4 !) a) 0; b ) 0. 4.-2) e.) -59; b) -5; c) 1; d) 1. 43) a) -1t;
h) - 22: r)3f\~-~ ·d) 8; f>) :r~ .0202.4.4) 7a. : 45) ·1~10: 1-fl) 2a: '\";) - 7a . 4-8) -1~o: •) .
1fl) - 2o: il0) _:1,'1::11) '.!.h:52) t~h: iJ:~r -:2h. 5 1) - ~r , !'l.)) 121·, !')f:i ) 0: r.7) - --16:tti 58) (J:· ~ofl ) l'lj; lifl) --':ny; 61) 0: !12) .ia; 6~) 2n + 'l , G4) 0; 6~ 2y + 2.
f.li) 'J, ry: fi'i) n: l.iX) 'f.,:~- 2-c2y + ~!12 + ':Jry 2 ·-· I : ll!l) - J; .~ y + -'~~ 70) 2a-
7l) 0 : i2) r ..L 3; 7:1) 2..c2y- 1.-y2: 7-1) -:r-y 1- 1: I!'>) 0. ';G) ~w; 77) 0; 'i8) fh-·J; . I .. 1 '13 2 • 1
'j!'-J) '2;,2 4- 2: 80) .J L - '1 j 81) -21· +- [: 82 1 -( ~('')/ .· -.,.. J'lj~ I 1-; :) ?J 83) > . .\ ,-, )
I ';' J 8 1) '2h- 2: Rr1) ·2-r- 2y -1· 86) 0:87) n % ) ·-, -- -·i.f ... 1: 8fl) R) 2x
2 J_
1'2 .-:
-t 'lr~,, nt~ -- 2; b) -2x!! .-L 2T~!/ ··'- ·,_.~,~. •· ) · 11'1'
2 ·: 1'7/~: 90) n) Ct
2 ...L h'':
· 2 , 1 , f J 'l .. , ., '' 1 "'') ·)r'' L~ T1' • b) 0: e) r~: cl) X~ll; 1>) 3'J:!f; !H) ·a~·- :.r/fJ: . :.) -- .• 11'' ,.o 1: ,.., - ~ -~ 1 • ~ •
!l'l) -2~(.a -'•ll- 2x; H5) -:r~ + .');r311 -t- t'·y'i., M) ~r4 · 8-r,y'-' 12:cy: ~J.) T 1· 1;
''8) 2-+~111 qn) 11:: . 100) !.-L l · .1 0 1) 2r ·It, 10::!) ~1 '<:- 1 1; 10~) 7x+!l·, ,h.: ' ' ' ' , "- ;-, ' 12 I '
tM) ':ly ; Hl5) 4x- G. 106) tu [-2; 107) , l 11: l flf<) · .;, - 'ly; 109) 2:~:- :~ I HI) - '•.If; 111) -7?1; U 2) b?: - G: '1 J:l) lJ: II~ ) I' ' 1/. 11 7)) , .. -' y :116) .r + :l; 11/) 112 --a 1. 1 ; 118) -:-12 + l. I Jfl) .r· · I : 1:!0) 1 lj: I ~ J) -.r
3,11
3 _+ 'l: 12:'!) 1 ' ?.r -!1; 123) .1.: 121) 2ta , __ b); l2-~>) .:(, tf), 12~i) 'i(·r -+· 1): 1.27) .(.r-:-
1 1; 1~) (.N + 2): x; 1~9) :t · p, ;· 1); 1. 30) ItJ.t -.- .r. + ll; 131) a(x + u) :
r 132) b(x ..L 'II 133) a(a ..L b): 134) a t! ..Lab). 135) (x ..L !1;(t!+b)~ 13S) (~- f)(l!
- b): l:.t7) ab10 ~- lw). I ;I ~) ''''1<11 - zt l ~Hl) 1;~t(2r- 3y- 4x'') 140) 12a.b(a . ..L
_,.. 3b); 141) 4abltbah · ~~IJ~ -t- lOc1: 1 -~2) 1.r. +- l )(J; + 2); 143) 3'1:0, 144.) 2, 145) 2S, Hli) a ) F : h ) r : C) \ . 1'1'7) I 010(~) = J '• :!3 -r (). 2J' ·! :. '170 20=
..-- 8 + 2 = 10; 14.8) ·i I ~-= J(ll (101 ''>·
l-~1crar ~ pen/111 r·,~nficn:r r;a inSU$trn unor cuno~~m·e de baztl- pag. 166
11 ) P(- 1) = -2; h) / \ l,(l) = - 'l: ··) .'3..c~ ., ; d) 6:.ry., c) ~T; n -4.x; g) 2x. h) -r; 1) n. J) -8x; kl -'2r: !l ,.2 : rn) 3h + 1; u ) 0; n) 3aa . 6a2b + .3a, pl 'i(a-'- b); r l n( r - •tl. ~} :2(J' T ,11 -;- l 1: t) ata 1 1); u1 xy(~ + 1);
Lu,crarep~ntru prr;.:utur-rt olimpwdelor $'-a altr•r concursllri- pag. 167
ll) 8,fn + l l(n- 1) ~~ :\l ui-<- l )( rt :- 1.\; 4) 2. fJ) a) 4; b ) 2a+ L
8. fr·actil Rl!ieh!'iC~ - pa!? ltiR
ro - ~ J = -1 F, n - 11 = - 1: r (..!. . o) = - I . ,2 ~
!l . .CcnatH de grauul r I' ll II UI:'•:UIIU~C'Ul;i - N•.2 114 ' -
l) ' .· .dut.t:• •·••u;d,i••t •. ,l,. ~) 2: :1) II: ~) 1,' :i) -:} •. f)) '1 : 7) 0: ~) I :.
!1) I. JO) '2: I I ) .:: I:!) I : I :J) -.l: 1-l) -.~; 1.)) 0 IIi) l: l 'i) /:
I X) -:l; Ill) -1: ~0) 1'--: :!1) II : :.l:.!) li: 2:~) I: 24) - 1, 25) 8. 2fi). I · :37) n: ~~)JO : :.!!1) In; :JO) tJ: :J J) 't. :J:.!} .. l ; a:~) -~: M) 11; :Ji)} 2~ 3G) 1,:. :J7) -4:
:{'l) --'t: :J~~) !-l: ·til) :j· II) - 4: 42) 4: tt:{) 1; ..f-1) -4, if;,) '2: 4G) 2: 47) -- 'r : -IS) '2: 19) . J: ijO) '1 • :-> I) :2 : .1:!) 1i: .);!) -·2, ~I) '2; ;,~,) - '2: :iti) G: .)/} -~: :;H) '2 : :JH) ·t : liO) 3: til) :1 ; !i~) '2: {;3) ~l: IH) -'l: fi.jl n: lifi) - '2:
f>i) U: 158) 'J: tH1) 1. : 70) r,: 7 1) - J : 72) '2: 7:1) :1: 74) 0: 75) -2: 'iG) - :•.: 77) - I I : 7."1) 11 ; 7!1) 1. O) xc;ti. HI ) J 1102 : .'\:?) '2.-,u: ~3) - 'L.O:J . 81) .",·"''•: ~:i} ·2:
. . - I '2 t . l 1 1 I flb) -21~, 8 ·) ~, ~S) --, S!l) -~ UO) __ .2; !l l )-· 9:!) --· ~)H) - :. ~4) - -:
1 :; J l) 8 ' 4 I :{ I 3 1
9.i) ! ; 96) ** ~-1 1J ; H7} S - { -.J j: fiS) - CJ ; 09) -~ · LOU) o: 101 ) 7: 102} £ · "' l.'~Q(I 11 j' J'
l 0 ') • • ~ - :~ 1 · I •) :~ :.~) .J, 10-1) ·L lOu) I· lOb) -: 10.) -- ~ JOS) ... -!'! 109)0: i !H) .:..: 111 ) -~
,) J~ I 0 I f l 2'2 I
l i Z - ~ ~\ ll3) Q. Ill) (l . li :J) Q. llli) Q; 117) Q·, 118) 1:) : 11 ~1) 0 , 1:!0) 0 . 2!J
b - •) ' 121) -, <' -t= 0; l:!~) .::_. aft(> , l~;$) -""-, a =P __:1; 121} 2b; 121:>) ~ ~ a# 0;
a a . a+ l 3u
126) 2, atzO; 1~7) - ·-3
,n:f0; 12~) 2, a=/<.0; 129)!: , a :~->0: I :JO) ~,a'¥'0; u a a
3~ I ~ · 3 l~J) -
2 , a~ 0, 13:!) --, rtf. b; 133) -·- , 4 + b .f- 0; 134) --, a =fo b;
a ll u u +b a - ll
~La ~•Ito r·:U,pun~un ""m ;,upnrn-'1 •.·u'CJntr.h: •• ~nlu~1a e~nl41~i ro.:.tt.~" ... rn ra&punsurde lei ~Itt: 1\H\l'l')l, Jl V(•llt ~(1'1€ mult.im.::.. ~nlu1.UIQ1' et:uatiei (',;.! lti .. .xercitilll
ft),~u 3~.
'I
135) 7 n h,.;: 0; t aG) - iR." 1 n: rla·,.,\ n = 0. n-are solu\ie. 137) - ~~ (I 1 !J (/ ,)
l :J8) 1 t = p; ; H _ { o j : C ~ { 0 l : 1 J - 0 ; I~ ~ {'2] : F -= { 0} : G = { 0} ; 1 I -=
""" {:2}; I -= {.!-:2}: ./ = {O}: 1\-= C}; HH) . l =to. I . :!., :J} ; B = {0, 1, 2} : C - 0 ;
D -= f U} : J~' _ { U, 1 , ~, ~~} : F = { 0, t. 2, ~l. 41; G - 0: 11 - {-2, - I , 0 , 1 , 2 J : 1 = = {-S, -'.. -:l,- :2, LJ: J ={-:!., - 1, ll, I . ~. :3 ]~ A = [-~. - I. U, 1. 2. 3] ,
IJ-[Il.li. IIO) . l ~U: 1>=· {'2;;r -={--:!.;: n { ~ }: ~~·=-- { - ±}: F - 0,
(,- 0. 11 1) I. I . Prnld,•tJHI " ' (' '' singlft·a su lll\ it•. II~) I , 2 ~au U, 1. P•·oble tt1H Ht'O douft s11l ul.i i. 1 1:3) b .._,: a,. 111)· .c E ·~- :l , - :2, U, 1}. H 5) 0 . Ltlti) u) .tl ; h ) Jl ; v) . 1: d) F.
l,l/r'l'!llt 111 11 /1'11 l'fl'l/lr'll/'f'(l insu.y1111 ////()/' r' I/1 /0.y/ 111/e de /)(l : £i - pug. l / 7
I I a) 2: 1•) -- . 1')-: d)-~): i·)
'2 ,,; I. i'J tt; g) I ; It)- 'l ; i J - 1 ; j) J; k) - 1; I) Q;
. ·) I m ) 0 : 11 ) 2; 11) -I: p):: •·) -,a =fo U.
.; 2a
l'J'Ob lt'll l" - )'il,!.!. 1 1~1
I) l :n: l:h :.!) I. t\; !1, 2. ij) lid: 2g2. ~) 2~. :)) -2. li) U. 7) 12l)UU m:!.. 8) 2Li; 8; - ~. !I) li;~> 111; 1~,:) m. 10) ~1ihai a re 2:3 lei, l1 el t'C a t·e lJ lei. 11) 17 ; Ll) ; 19. 12) 245; 12. 1:~) t,n.TJ) -:JO. 15) 0,8. lti) 12m; 80 m . 17) 4 ~i -2; 3 ~i - 1 ; 2 ~i U. Pro iJl P J il>~ """ li·t•i ;;olnl,ii. l R). 80 IPi ; 1()0 IPi ; 180 lei . l!J) 48 ; 4\J. 20) ~) l'cl,e ~ ~ '17 l lc~tr· l. i . :!I) I ~ J. :Hi I; ~2) I, mi t!. ~3) 8!J ~ i HUO. 2-1) 2:{4; Lt:32. 2u) ::H ttt ;
u:: 111. :!ti) :21ll ) pi t'!'<'. 27) 1, zile. 2S) 70 pir!;P. :.l !)) :2 h r u JO mjs ; J h t' ll '20 ll1 / ti .
:10) ~,t-\,~) 1"", 1, : 70 .. , k tt1 f h. :II) :lU kn1. :l~) 1:20 m. :3a) U em; l) ~; nh 3·1) 0u. :J.)) \ 11 . ali) J ) a ; .2) i\ u ; ;)) lht ; Lt) Da. iHI) 10. tll) 200; 250. tl~) 4 min.
4:1) 17.
1-t l ri'W'f' pf'll /1' 11 reali .. orra recaptl!tltlrii j'111 alc n 11nnr rllno:jlin fe lle ba::,c/- pag. 183
1) Oa. 2) Ua. IJa, Da, Da, Da, Da, Da, Da, Da . 3) a) 25; b ) 7. 4) a) x = :2 ; b) a;= 2, c) X= 8: d) :r = 20; c) X= (); f) ;r; = 2; g) X = 2U; h) X= 4; . ali . ar ap 11 2 a 1) :.C = - ; J) ,'!; = - j k) :t; = - : J) :.1.: -= - j II\ ) X = au j 1l) X = - j 0) X = pS j
c b b m c
p) x =! . 5) 35 l~i . 6) 1' J. h. 7) GO : 90 : 120. 8) 280 Jei . fl) 400. 10) 2S'j,. r 5
~~ 11) t-9 ; -5; -3; -2; 0; 3; 7}. 12) a):~; b) - 7; c) :39; d) - 10 000 . 13) a)· -
759
b) 187 ~ ; c) - ~ ; d) - 1 062, 2 099. 14) a) 0,7; b ) 0,09. 15) a) 3,872;
3 b) 2,280; c) 0,070. 16) a) a.(:c+y): h) '3(.r.+ I); 17) a) x=O; b ) -4·
218
CAPITOLUL VII
'EXE lt.CIT II ~ I Plt.O.BLE.HC Olf ERS'E ~~ RP.CAPI'fUfJA'fiVE- pag. 185
1) J ~i !, : 2 ::- i 8 : :) ::-i 1:2 : 4 ::- i H.i :~J~i 20.Ci ncisolu~.ii. 2) 1) 2 f;\ i ~ : /1 :-;i G: G ~i D: 8 ~ i l 2. Palt·u ~olu ~i i . 2) n) St• ttd <luga condi\ ia ( \ ' 1): b) Sr adnug(IL'! lltd i t.ia ( \ ). . ac I , art I J) - = ~ · -l) - = - . • )) IJ. 6) a) 8 : b) II: e) .:___l't: d ) 2.->: ~') -::: f) U:.g) o.
bd 2 be 2 'i ) - 1. 8) .\ 11drei, IJeagt·tt: Bai'I HI. ttPugr1l : Cw;lt'l, <~ 11><1 : Dun. alho~· Etn il nea-g!'a. H) u ) :W.'l. : b) - u.nn: •·) - 1~.221: d) - '• ~UKJ: 1·) l /q.1:1: I') I '> .. ,- , g) - l)'l.: h) - J ; i )
7 .'f .);) . LO) a ) I ~> ] + 1- 7-J + 1:2.71 [ u,;,l ' 11.:2 ]
l :2HJ :1 ~ l-1-
-'-(-- 'tJ- 2 +(- 1) -j- l =- 1: h) - ti . II) -:J ~.-J I . 12) -Ujlfl. I:J) I 'JA/. 1 -~) U.
J5) U. Jli) <J) - ~ : IJ) -- I : (') 11: dJ I : •·) I I') 12
: t!l _l_: It) I I . li) II. f) . ) ';-\-, 'll
IS) IUUUOUUl 1Ll1 1,2. I \:I) Fil' I :_.;i 1/ 1'1'1 1' dtHJii 11\ll ll<' l'( •. ~Li ll i i ';l I ,, '-' I'J(j ~i L:a .r'.IJ = 2 :)2:J . IJo t·im :-.a ;·;tll'\ d ;'tt ll '- ll ll t<l ill\ Pr;;Pi olJ· lllllllPI'l'lllr r ~~ 11 <tdi1·n sulll<l
I . + ( '- i= II. :J I tl). Pu l ''" ' ,.
l ru H a ria I . ~, ittl pitr\ ttl l If
:-.1' 1'11 '
If I ;~
!I )
I .If ,. I '21 i = ---
I{ ...,, 'l I
\\Pill If 'I
1 / f . -r- -1'1/
,.,, '1/ If .1'
.r - .lf J2Li . I IJat· --- = --- . IJi 'l' t
.ry 2 52:)
l21i 20) ~. ~I) - .:. ~2) I) F conl t·a·
,I' !I l' :O. e111plu - '2 # (I ; :2 # II ~i ( :!.) t '1. II; :2) [<' L'Oillt'<ll'\l' l lljllll II '2, 2 =/=-U
12 :;:i a - b =--- 11. 2~) H) It()'~ .,: h ) :2'1:-: : .T7:2 : till !. :21 ) i1)TJ" 11 : h) _ ,
I t-1 ::1! - J
•> •) . I . - ·J ·' - - . l'j 1'7 .
~\ ' I .. : I
17
I I
•) . .1-1
. :!l i) ( lr io ·1· ll lllll ;u· JH'IIII tltoll t'H ~
"" JifH·lil l;-o ;-:. d :1 "" ,.p,t l 'tt l'> ' 1'":' 1" ri " " " I ~i lltllll ili l11111l d in nt"'"'''l'l'·, I .. :. ~>. I. IJ, ·L·i '1 •nt a\·ea d" ull tltil ll l:' t't ' o'il l'l' tl o~u i\('l' lm;i t'P:;I Ia ""IWI'I.it·l';, ''" .~. l>il't't'<' tl l,a lt lf' \(I J'i o[i ,·i zihila t: ll R 27) \II . 28) ((. 2!1) J21J,:l Ill: 1,(1,1 111. :IO) :211:2,S Ill :;oi
I 1 7 :l 12 1,JIII. :31) ;l) .·,: h ) - 1: 1·) 1. :3:2) a ) - ,,._ '/ : h).-~:r+ -y --•
{ j l) • .~ If
33) S;i pi·e~ UJll ll l ell l ~~ a. e:-.istil \ If) ""I rei d l' pu l iuum . _\lll ll l:l hnnd .r 0 ob~l-11 1::111 P(U) - P( I ) = 0 :;i luind ·' "' 1 n h~inPm J>(1)- P(O) = l. Det:i am deduce
t·at l ...::. l (ab. urd). :J LJ - · 1
. :1;>) .r = -'1. !/ = ~ -.~ , E(-~,- .~) = -1000. '17 .£. .£.
3(j) I
lj =- .. . :l
tl. :37) IJHL:a 11 = U, al.tiiH: i n + 1. nu esLe pr1m1
du t:l\ n ~ J. a l um· i 11 + ,j flU ''"I " jJt ·i tn : daea 11 = :2, uluuci 11 + 7 llU esLe prim; J uc;'1 n = :_;. aLuttc i 11 -1- I I fl U '':-l e p ri11 1: da cO:t 11 ---"'. t, , alunui n + 5 nu este prim; d,\ (' :1 II .:.. .-, , i:l[I II H: i II I flU 1' :-;11' p rilll ; daru II = o, aLunci mi m~t·ele con siderate Sllil 7:, II : I :J : 17 : 1!-J: '2:.:: '1.!1. Uil t:<lll 7k, kE X*, aLunci n+7 nu est.e lJ t't ut ; daL:a 1t = I k -r I , k C: .\ ':', a Lu n L:i n + 13 nu esLe pr} m ; daca n ·::a fJ.a .q;. r.l,
,219
-~- ---
A- E N'*, atunci n + 5 nu Pst"'l prim: daca n = 1k + 3, k E N*", atunci n + 11 nu
e!-le PJ"rn ; da.( a n = 7k 1 4. k E ~ v. atune1 n + 17 nu esLe pl' tm; daca
n = 7/r + 5, lc E 1"1 *, atunc t n + 2J nu este pr1m; daca n = 7k + 6, kEN'~<, aLun\51
n + 1 · nu este pr1m. Dec1 n = 6 este bmgw·ul caz in care tc;>aL.c numerele
w rrs1derate sint pnme. 38) x = 4. 39) 216. 4.0) - · 1 = -(
2 )h 2k+1 I 61t+f 2k
3 • 311.+! + 3:11.+:!. 31i
3k+\ (1 +"31t+l) 3 ---'------'---- =- · 41) 1(a1 - a2) + 2(a2 - ·a3) --r 3(a3 - a 4) ,.- ... + 98(a98 -
2hl (1 + Jk+l) 2
- a 99) + 99( a99 - a 100) 1 100a100 = a1 - ~ --r 2a2· - 2aa + 3tz3 - 3a4 + ... + 98aa8-
- 98ag9 + 99a99 - 99a100 - 100o:100 = a1 + a2 + a8 + ... + a99 + a1oo = 0. 42) a) A ;
b ) A , c) F ; d ) F ; e) A ; f) F , g) F; h) F: i ) A ; j) A ; k) A;l)A;m)A.43) i Um ,
10m ,4 m, 44) Fie :r, ~1 x 1 1' cele douu numere intregi consecutive .v(x + 1) - x 2 =
= 245; x = 245 l\ umerele sin t: 245, 246. 45) 2 111 sau 2 221. 46) Fie abc numiirul.
Avem: abc-cba=100a+10b+c-100c-10b_:_a ' 99(a - c). Dacaabc
- cba = 693, atunci a- c · 7. Daca e = 0, atunci a= 7; dar 7b0, u ncle b poa
te fi orwe cifdi, nu est e o solu~ie a problemei, d eoarece scriind in ordine inversa
cifre~umaulrui 7b0, pr1ma c1fra (d1y stinga) este 0. Daca c = 1, atunci a= 8;
deci 8b1 , unde b poate fi Ol'ice Cifra, este o ·solutie a problemei. Daca c = 2, aLunci
a = 9: deci 9b2, unde b poate fi or1ce cifra, este o solutie a problemei. Problema
are 20 de solu~ii. 4.7) 120 kg. 48) 1 024 paguu. 49) 6 430 kg; 3 215 kg. 50) 85,5 kg;
5? kg. 51) 2 025 lei ; 1 400 lei; 400 lei ; 225 lei. 5:.:) Sa no tam cu x numarul baietilor
care 1-au depa~1t pe .Mihru. 30 - ~ = 4 • ; , x = 12. Deci 1\llihai a ocupat locul13.
M) a) Da. b) ~u. 55) i.) Peste 2 am; b) Nu; c) Nu; d) Da. Cu 1 _!_ani in urma; 3
'
o~) b) X= 4 em ; X= 1~ em. 57) 2 h 30 mi~. 58) Primul. 59) 48 kmfh. 61) 1742.
1 745, 3 484.. 0 sm gura solu~ie. 62) Din x2 + 1. = xy deducem (y- x)x = 1.
Dec1 x este un d!Vizor natural al lui 1, inseamni:i. ca x = 1. Atunci y = iy =
= 12 + 1 = 2.
jfatematlca A ... l'itmet1ca-Algebra clasa a VI-a
Cap1tolul C. RecapitulartJa matel'iei din clasa a V-a
DtYtZibtlrhu LP
2. Operati1 c11 numet•e I'a\,wna le ~~ cu h·actn zec1male
Capitolul H . .Rapoarte ~ ~ JH'OJwrtii , . . ... .. •. ..• .... . ... . .
1. RCJfJOI't . . . ...•...... .. .....•.•
2. Pr·oportte. PI'oprietatea fund amentala a propoJ•(,lei ........ . ..... , •...
3 . . AJI<~rea unm term Pn Itecun!l~(' ut t~l uue1 pro pot•\ ii. . . . . . . . . . . . . .. ... .
4. Propnt·\11 rl c1·n ll l'~ . • . . . . . . . .. . . ................ .. ..... .... .
·,. ~i r· de l'HJ-'•.nn· lf> e~..:aJe . . . . . . . . . . . .. ... . ............ . .... .... . : ·-
~.: Pr·opol't toual iLate dil'f't: l a .. ..... .. ...... ·- . ....... . . ..... . ..... . .. ..
7. p,.np t>t·[.innn li taLe ill,-e, .... a ..... ·- ... ___ .•. __ ............... . . __
P.. n.egula de. Ll'el ::.Im]Jla . .• .... .. . . ..•.••..•. ·--- - · -·· ........................ .
9. H~gula de t 1·ei eompu!;a. . ......... .. ........... .... . ......... .
lO. Imparti1·ca lillUJ numo.t· tu pflr\ t dit·PeL pt·opoi·tiunale r:u rnai multe
n11mer·e . . . . . . . . . . . . ............ .. ....... . .
11 lmpiu·~nea unui num<'ir, in p<1r~1 u1vcr·" proportionale cu ma i multe
n U111ere . . .
1~. Aplicatll pr·net tce: ~'•·<q·n lllll·n pl:111. dPt•·t·mtllarea dt ~tl.tll\1-!i tf•lllr··· d··· u:'i
pu rwte !!t->ttllJ'ttft,;", •J a.Jtll<lf'lll h~it-11 ti ... , . . ...•... .. . .. ... , ..
Capito lut lll. P r·u1~rJJte . . .. . .
1. AflaJ·ea ~ p<> 0 ··Imtr un nutniq· rlaf . . .
2. Aflat'Pa unur numill' <'llld ('Ullll<t:;tem pc/·0
dm el
:::. -~rlilrea t·apPr·tnhu pt·n· PJJI uaJ .......... .. .
Capitolul rr. ,\ umere iut r·rg i . .
1. i'\uuHwP. lJtt r·egL .\Jnl~ i me;.r riP nu111Cn! i utr·P~i Z. Rt>fH'el.entar·ea pe tJ
rJJ'PH)Jf a . . , .. .
2. Valoarea uhwluta a unui nulllilt• intl't·g 1 modul) ....... ·~ .. ..... -· - · _
4. Cnmul ut i' i1<~Le, •.:t!->l •t · wti " r l;,~lP. •--1\' lllt'lll - Jli' lll r•tJ • . • ·- ....... · ........ . . - ·
5. Opu,ul unm nunr&1· lflLt·~>g. Upul'lul tJJJ •~t. "llJJW .. . . . ... . .... ____ _ _
6. Sc~.d.ere01 ____ - · ____ ·- _ ..... ·~ ·- -· ·- -·-· ·-~ -· _ _ ·-- _- .... ~
. '
3
.3 6'
13
13 17 21 24 28 32 33 3.J, 37
39
40
42
~(t
::)'I
59 -
ti 7
h8
T}O
221
J. ~~lA~.Hll'!! ~~ < 1
P>1
> tnt.l'e mrmPl'{!l tnt.regl -~ _- ______ -- -
8. T nmul~ircu ............... -· - -· ...... ·.·· .................. .................... . 9. ComutaLivitalc
1 asociativitate1 distrih u LiviLH I P<~ lnnwl t.irii fa \a d e
adunare ~i scadcro1
element neuLru ---- -· ................ . ...... .
10. !mpar~1rea _ --- ---- - - - - - -· · .. · . · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
11. Factor comun _- ·---------- ... · · · · · · ·. · · · · · · · · · · · · · · · 12. Divizorii unui numar intreg ·- .•. - ·--- -· ... . ............ . . ... . . . 13. Puterea cu. exponent numar natural a unui l1 u L1Hll ' i II Ll:eg .... . .. ... . .
14. Inmul~i t·ea de puteri cu aceea~i baza_-- -· ......... . . .. .. ..... .. .
15. Puterea tu;1ei puteri ---------- -· .......... . .. ·. · · .. . . .
'16. Puterea unui prod us ---- ·------ - · · ... · . · · · · ·. · · ·. · · · · ... 17. Impart.irea de puteri cu aceea~i baza_-- -· ....... . ......... ... ·.· .... .
Cnpitolnl V. INumcre rat,ionale._------- -· .......... ·. · · · · · · ·. · · 1. Numa"r ra~ional negal.iv. :rviul\-imea de n l!mero ra l,ionnlt: Q. H cpre:r.enl<•r·cn
pe axii __ ............ ·- - - - - - - - - ..,. - · · . · · . · · · · · · · · · · · · · · . · ·
2. lncluziunile iN c Z c Q - -· ... - - - - - -· . . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ~~- Valoarea absoluta a unui numar ra~ional._- .............. . .. .. .. . 4. Ad unat•ea numer~lor rationale,' co~utativitate1 asocia li v.i La Lei el e111 en t
neuLru -· ·- - -· .•. -· -· - ·- -- -- - - -· ...... · · ......... · · · · · · · · · · 5. Opusul unui numar ra~ional. Opusul unei sume ............... .. . . . . . .
l:i. Scaderea -·--------------·--·--· ..... . ..... . · · · · · · · · · · 7 Relatiile ..... ~ 1> ~ intre numere rationale . . .................... . . . .... ..
• I -.....;;:!1 ' 7 . '/
8. In~ul~irea ____ - - - - - ~ - - - - .......... . ..... · · . · · · · · · .. 9. Comutativitate. Asociativitate·. Distributivitate. ElcmenL nr u Lnr . . ... .
10. lnversul unui Jtumii•· ra~ional ... ---- -· . ......... .. ..... . ... . . .
I I. 1 mpii•·vi•·ea ...... ......... · ... ·-· -- ·-· ·- ·•· --· - ·-- · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12. Factor· c01nun ............ .................................. · .. · · · · · · · · · · · · · · l:l. Pu lerea cu exponen t. numar natural a unui n unr; tr rn( io nul . . .. . .. . : . . .
lLr. fnmul (ir·eA. de puLeri cu aceea~i baza ........ : ........ . ......... . . . . . .
I :J. Putllreo. unei puteri - ........ ...... - ... -- ............. · . · . · . · · · · · · · · 16. Puterea unui produs ...................... -· . . .......... · · · · · . · · · · · · · · 17. lmpat·~il'ea de putel'i cu aceea~i baza ... - .......... . .... . .... . .. . .. .
'75 77
79 82 84 85 87 88 88 88 80
H5 98
100
101 105 106 110 113 115 117 1.18 1.22 '123 124 124, l25 125
Capitolul VI. Radacina patrata. ____ --- .................. :. . . . . . .. . '129
1. RacH\cina patrata dintr-un numar natural pal ''"I pPI'i'ecl . . . . . . . . . . . . . . 129 :2. l:uldacina patrata dintr-un numar natural nl'rw;_!a I i". . . . . . . . . . . . . . . . '130 :~. Radacina pb'itrata c~ aproxima~ie data ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4. Numere it·a~ionale ...... __ -· ... ---- . .......... . .. . ... ... .... . 134 5. Extra.gerea radiicinii patra'te dintr-un numat· nat.mal . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6. Extragerea radacinii patrate dintr-un numi-\1· t·a~ional: Reprezenta L
prin-LI·-o fract.ie zecimala .•. _ -· ......... ·- -· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1l~1 7. P!'Opt'ii\tatea:.]/ ab = Va· Vli (a~OI b~o) ... . . ... . . ... ... ... ... ... ... ... '142
8 P · v-;; Vii < o b o) 143 . roprteLatea: b = Vli a~ 1 > - .............................. -- --
9. Media proport.10nala §i calcularea el-- ... _ ·- ·- ·- ... _ ·-- _-- 147
t a pilol ul 'I I. 3lo 11 UH JJJ C ~ i poli truurnt• ........... '" ... ·- ... ________ __.._
1. \lonoet rne ................................................ -----·> UpPntl ii ··u nru nua rr11• ....... . .............................. _ ·- __
:.:. Polinofune .................................................... -- -
'1. ()peJ·a·tji cu poliuoa Jn L-: ud un;.-t l·f'a. s.cttdtl i'L'il, ..... . .............. ·- ........ -
J. i nmul\ ir t':l unu i lllOlltl lll \'ll lll r po lin1.1111 .................. . .......... ·-0. i mptir ~ i rea unui pu limr rn ln un mo11u1n ............................. .
1. Factor eorn un ............... . .................................. .
8. Fnlc ~ii a lgcbr·ice .................... . ........................... . ~ ) l~eua \ ii de gr·CI~lul 1 ell ll llCt' UJI OSC LILU ....... · .................... ... ·-
JO. l{ezoh-an•u prnb]pnw lor· cu <•.i u I onli rc·uu\ i i lor· ........................ -
( 'Hpil.olul nu. E:-. t' l't•ip i ~ i prohl l' IJI (' dhP I'SP ';li recavi!ula tiw ................ -
• • ••••••••••• • •• 0 ..... . ............................ ·~· ·-· ..... -
•
,
•
150
150 152 1;)4
'158 1oO 161 103 167 169 178
i85
198
•
• Nr. colilor de tipar: 14 Bun de tipar : 4.VII.l989
Com. nr. 90 192/35052 Combinatul poligrafic
,CASA SClNTEII" Bucure$ti - R.S.R.
I