analiza lvn kola drugog reda

Poglavlje 3

Analiza LVN kola drugogreda

U poglavlju 2 obradjene su metode i tehnike analize LVN kola prvog reda. Dokaza-no je da je prirodni odziv kola linearna funkcija pocetne vrijednosti varijable stanja(pocetnog stanja kola), a prinudni odziv linearna funkcija pobudnog signala. Uovom poglavlju obradjeni su metodi analize kola drugog reda. Kola drugog redapored otpornih elemenata sadrze dva dinamicka elementa, tako da je matematickimodel kola predstavljen diferencijalnom jednacinom drugog reda. Za odredjivanjeanalitickog oblika odziva potrebno je poznavati pocetne vrijednosti varijabli stanja.Za definisanje pocetnog stanja kola drugog reda potrebno je poznavati pocetnevrijednosti dvije varijable stanja. Metodi koji su opisani u analizu kola prvog redamogu se primjeniti i u analizi kola drugog reda.

3.1 Prirodni odziv RLC kola

U opstem slucaju prosta kola drugog reda (RLC kola) sadrze tri pasivna elementa:otpornik R, zavojnicu L i kondenzator C. Pocetne vrijednosti napona na konden-zatoru vC(0−) = VC0 i struje kroz zavojnicu iL(0−) = IL0 odredjuju pocetno stanjekola, odnosno definisu zatecene akumulirane energije u kolu u trenutku t = 0: elek-trostaticku wC(0) = CV 2

C0/2 i elektromagnetnu wL(0) = LI2L0/2. Prirodni odziv

RLC kola uzrokovan je djelovanjem zatecenih akumuliranih energija, odnosnoposljedica je procesa razmjene energije izmedju elemenata kola. Prosto redno iparalelno RLC kolo prikazani su za prirodni odziv na slici 3.1.

Diferencijalna jednacina stanja za redno RLC kolo, izvodi se na osnovu KZN iizrazena pomocu operatora p ima oblik:

Ri + Lpi +1

Cpi = 0

57

58 POGLAVLJE 3. ANALIZA LVN KOLA DRUGOG REDA

Slika 3.1: Redno i paralelno RLC kolo (prirodni odziv)

odnosnoRCp + LCp2 + 1

Cpi = 0

odakle slijedi:

(RCp + LCp2 +1

LC)i = 0

ili izrazeno pomocu polinoma operatora p, koji ima koeficijent 1 uz clan sa najvecimstepenom operatora p:

(p2 + R/Lp + 1/LC)i = 0

Prema tome, odgovarajuca homogena diferencijalna jednacina ima oblik:

d2i

dt2+

R

L

di

dt+

1LC

i = 0 (3.1)

Homogena diferencijalna jednacina, koja opisuje prirodni odziv napona v(t)=vC(t),ima identican oblik:

d2v

dt2+

R

L

dv

dt+

1LC

v = 0 (3.2)

Pocetne vrijednosti varijabli stanja su:

i(0+) = iL(0+) = IL0

v(0+) = vC(0+) = VC0

Pocetne vrijednosti i(0+) = iL(0+) = IL0 i v(0+) = vC(0+) = VC0 nazivaju senezavisne pocetne vrijednosti. Da bi diferencijalne jednacine 3.1 i 3.2 imale jedno-znacna rjesenja, pored pocetnih vrijednosti i(0+) i v(0+) potrebno je poznavati ipocetne vrijednosti pi(0+) i pv(0+).

Pocetna vrijednost pi(0+) = piL(0+) naziva se zavisna pocetna vrijednost iizracunava se iz nezavisnih pocetnih vrijednosti. Na osnovu analize kola u trenutkut = 0+, za kolo na slici 3.1.a prema KZN vrijedi:

Ri(0+) + Lpi(0+) + v(0+) = 0

LR C

iR iL iC

0CV

+_ vC

R

L

0LI

C0C

V+

_i

3.1. PRIRODNI ODZIV RLC KOLA 59

odnosno:RIL0 + Lpi(0+) + VC0 = 0

Odakle slijedi:

pi(0+) = −R

LIL0 − 1

LVC0 = −2αIL0 − 1

LVC0

gdje je α = R/2L.Zavisni pocetni uslov pv(0+) za diferencijalnu jednacinu 3.2 ima vrijednost:

pv(0+) =1C

i(0+)

Za paralelno RLC kolo, prikazano na slici 3.1.b, prema KZS vrijedi:

1R

vR +1

LpvL + CpvC = 0

ivR = vL = vC = v

odakle uvodjenjem smjene G = 1/R slijedi:

LCp2 + GLp + 1Lp

v = 0

odnosno:(LCp2 + GLp + 1)v = 0

Preuredjujuci polinom operatora p tako da clan uz najveci stepen operatora p bude1, slijedi:

(p2 +G

Cp +

1LC

)v = 0

Prema tome, diferencijalna jednacina stanja paralelnog RLC kola ima oblik:

d2v

dt2+

G

C

dv

dt+

1LC

v = 0 (3.3)

Homogena diferencijalna jednacina, koja opisuje prirodni odziv struje i(t) = iL(t)ima identican oblik:

d2i

dt2+

G

C

di

dt+

1LC

i = 0 (3.4)

Pocetne uslove jednacina 3.3 i 3.4 odredjuju:

• nezavisne pocetne vrijednosti varijabli stanja: napona v(0+)=vC(0+)=VC0

i struje i(0+)= iL(0+)=IL0


• zavisna pocetna vrijednost pv(0+) koja se odredjuje analizom kola u trenutkut = 0+, odnosno prema jednacini:

1R

vC(0+) + iL(0+) + CpvC(0+) = 0

odakle je

pv(0+) = pvC(0+) = −G

CvC(0+)− 1

CiL(0+) = −2αVC0 − 1

CIL0

gdje je α = G/2C.

• zavisna pocetna vrijednost pi(0+) = v(0+)/L = VC0/L.

Uocimo da jednacine 3.1 do 3.4 imaju isti oblik. Posto su redno i paralenoRLC kolo dualna kola, odgovarajuce dualne varijable stanja su:

iL → vC

a odgovarajuci dualni elementi kola su:

R → GL → CC → L

U opstem slucaju, diferencijalna jednacina koja opisuje prirodni odziv varijableyn(t) u kolu drugog reda ima izgled:

d2yn

dt2+ 2α

dyn

dt+ ω2

0yn = 0 (3.5)

uz pocetne uslove:

yn(0) = yn0

dyn

dt

∣∣∣∣t=0

= pyn0

Za redno RLC kolo vrijedi α = R/2L i ω20 = 1/LC, a za paralelno RCL kolo

α = G/2C i ω20 = 1/LC. Odgovarajuci opsti oblik polinoma operatora p ima

oblik:A(p) = p2 + 2αp + ω2

0

odakle se izvodi odgovarajuca karakteristicna jednacina:

A(s) = s2 + 2αs + ω20 = 0 (3.6)

Do karakteristicne jednacine 3.6 mozemo doci i na drugi nacin, uvrstavajuci opstioblik prirodnog odziva

yn(t) = Aest


u jednacinu 3.5, odakle dobijamo:

pyn = sAest

p2yn = s2Aest

odnosno:s2Aest + 2αsAest + ω2

0Aest = 0

Prethodna jednacina je zadovoljena za:

A(s) = s2 + 2αs + ω20 = 0

Rjesenja karakteristicne jednacine 3.6 zavise od medjusobnog odnosa vrijednostiparametara α i ω0. U opstem slucaju, za α ≥ ω0 svojstvene vrijednosti s1 i s2

izracunavaju se prema relaciji:

s1/2 = −α±√

α2 − ω20 = −α± αd

gdje je:

αd =√

α2 − ω20

Za slucaj α < ω0 svojstvene vrijednosti se izracunavaju prema relaciji:

s1/2 = −α± jωd

gdje je:

ωd =√

ω20 − α2

Karakter svojstvenih vrjednosti ( prirodnih frekvencija ) odredjuje oblik prirodnogodziva. Za kolo drugog reda razlikuju se tri slucaja oblika svojstvenih rjesenja:

• za α > ω0, rjesenja su realna i razlicita, ili s1/2 = −α± αd

• za α = ω0, rjesenja su realna i dvostruka, odnosno vrijedi s1 = s2 = −α

• za α<ω0, rjesenja su par konjugovano-kompleksnih brojeva, ili s1/2 =−α±jωd

U nastavku poglavlja detaljnije su obradjeni oblici prirodnog odziva kola dru-gog reda za karakteristicne oblike svojstvenih vrijednosti.

3.1.1 Prirodni odziv: eksponencijalno-prigusni(aperiodican) slucaj (α > ω0)

Ukoliko je relativni odnos parametara u jednacini 3.6 α>ω0, tada vrijedi α>αd ikorijeni karakteristicne jednacine:

s1 = −α + αd

s2 = −α− αd


Slika 3.2: Prirodne frekvencija za aperiodican slucaj

su realni i razliciti. Na slici 3.2 prikazan je polozaj prirodnih frekvencija u kom-pleksnoj σ, ω ravni.

Opsti oblik prirodnog odziva za ovaj slucaj je:

yn(t) = A1es1t + A2e

s2t = e−αt(A1eαdt + A2e

−αdt)

Vrijednosti konstanti A1 i A2 izracunavaju se iz pocetnih uslova yn0 = yn(0+) ipyn0 = pyn(0+) prema jednacinama:

yn0 = A1 + A2

pyn0 = s1A1 + s2A2

Konstante A1 i A2 tada imaju vrijednosti:

A1 =1

s1 − s2pyn0 − s2

s1 − s2yn0

A2 =−1

s1 − s2pyn0 +

s1

s1 − s2yn0

Uvrstavanjem izraza za konstante A1 i A2 u opsti izraz za prirodni odziv yn(t)dobijamo:

yn(t) =es1t − es2t

s1 − s2pyn0 +

s1es2t − s2e

s1t

s1 − s2yn0 (3.7)

odakle slijedi:

pyn(t) =s1e

s1t − s2es2t

s1 − s2pyn0 +

s1s2(es2t − es1t)s1 − s2

yn0 (3.8)

Uocimo da su izrazi za yn(t) i pyn(t) linearne funkcije pocetnih uslova yn0 i pyn0.Izraze za yn(t) i pyn(t) mozemo napisati i u obliku:

yn(t) =pyn0 − s2yn0

s1 − s2es1t − pyn0 − s1yn0

s1 − s2es2t (3.9)

pyn(t) =s1

s1 − s2(pyn0 − s2yn0)es1t − s2

s1 − s2(pyn0 − s1yn0)es2t (3.10)

01

s2

s

d

d


Dakle, prirodni odziv kola za ovaj slucaj je suma dva eksponencijalno-prigusenasignala. Na dijagramu na slici 3.3 prikazan je grafik prirodnog odziva kola koje jeopisano diferencijalnom jednacinom:

p2yn + 3pyn + 2yn = 0

sa pocetnim uslovima:

yn(0+) = 2pyn(0+) = 3

Karakteristicni korijeni jednacine su s1 = −1 i s2 = −2 tako da prirodni odzivkola ima oblik:

yn(t) = yn1(t) + yn2(t) = 7e−t − 5e−2t

pyn(t) = pyn1(t) + pyn2(t) = −7e−t + 10e−2t

Slika 3.3: Prirodni odziv kola drugog reda (eksponencijalno-prigusni slucaj )

Uvrstavanjem izraza za prirodne frekvencije s1 = −α + αd i s2 = −α − αd uopste izaze za prirodni odziv izvodimo sljedece relacije:

yn(t) = e−αt

(sinhαdt

αdpyn0 +

αd cosh αdt + α sinh αdt

αdyn0

)

pyn(t) = e−αt

(αd cosh αdt− α sinhαdt

αdpyn0 − ω2

0

αdsinh αdt yn0

)

ili nakon uvrstavanja smjene:

α = −ω0 cosh φ

αd =√

α2 − ω20 = ω0 sinhφ

odakle je:tanh φ = − α

αd

7

0n

y

t

ney

71

t

ney

25

2

t

ny

-7-7

10 npy

te

210

te

27

t


u sljedecem obliku:

yn(t) = e−αt

(sinhαdt

αdpyn0 − ω0

αdsinh(αdt− φ) yn0

)(3.11)

pyn(t) = e−αt

(ω0

αdsinh(αdt− φ)pyn0 − ω2

0

αdsinhαdt yn0

)(3.12)

Za redno RLC kolo odgovarajuci parametri u prethodnim relacijama imajuvrijednosti:

• faktor prigusenja α = R/2L

• frekvencija neprigusenih oscilacija ω0 = 2πf0 =√

1LC

Za eksponencijalno-prigusni slucaj (α > ω0) vrijedi R/2L >√

L/C ili:

R > 2

√L

C

Uvodjenjem novog parametra R0 =√

L/C, koji se naziva prirodni otpor kola, uslovnastanka eksponencijalno-prigusnog slucaja za redno RLC kolo moze se izrazitirelacijom:

R > 2R0 (3.13)

Analogno za paralelno RLC kolo odgovarajuci parametri jednacine imaju vrijed-nosti:

• faktor prigusenja α = G/2C

• frekvencija neprigusenih oscilacija ω0 =√

1LC

Uslov nastanka eksponencijalno-prigusnog slucaja (α > ω0) za ovo kolo definise serelacijom:

G > 2G0 (3.14)

gdje je parametar G0 =√

C/L = 1/R0.

Za redno RLC kolo u diferencijalnoj jednacini za prirodni odziv napona vC(t)pocetni uslovi su yn(0) = V0 i pyn(0) = I0/C. Uvrstavanjem pocetnih vrijednostiu opste izraze 3.9 i 3.10 za varijable stanja rednog RLC kola izvode se sljedeciizrazi:

vC(t) = yn(t) =1

2αd

(I0

C− s2V0

)es1t − 1

2αd

(I0

C− s1V0

)es2t

iL(t) = Cpyn(t) =s1

2αd(I0 − s2CV0) es1t − s2

2αd(I0 − s1CV0) es2t (3.15)


ili izrazeno pomocu hiperbolnih funkcija:

vC(t) = yn(t) = e−αt

[I0

αdCsinh αdt− V0ω0

αdsinh(αdt− φ)

]

iL(t) = Cpyn(t) = e−αt

[I0ω0

αdsinh(αdt + φ)− V0Cω2

0

αdsinhαdt

](3.16)

3.1.2 Prirodni odziv: kriticno-prigusni (kriticni)slucaj (α = ω0)

Za relativni odnos parametara α = ω0, diferencijalna jednacina ima oblik:

d2yn

dt2+ 2α

dyn

dt+ α2yn = 0 (3.17)

a odgovarajuca karakteristicna jednacina je:

s2 + 2αs + α2 = 0

Svojstvene vrijednosti kola za ovaj slucaj su realne i identicne, tj. vrijedi:

s1 = s2 = −α

Polozaj prirodnih frekvencija u kompleksnoj (σ, ω) ravni prikazan je na slici 3.4.

Slika 3.4: Prirodne frekvencije za kritican slucaj (α = ω 0)

Za redno RLC kolo uslov za kriticno–prigusni ili kriticni slucaj je definisanuslovom R = 2R0, a za paralelno RLC kolo uslovom G = 2G0. Za ovaj slucajrjesenje diferencijalne jednacine 3.7 odrediti cemo sljedecim postupkom:

• Preuredimo jednacinu 3.7 na sljedeci nacin:

d2yn

dt2+ α

dyn

dt+ α

dyn

dt+ α2yn = 0

d

dt(dyn

dt+ αyn) + α(

dyn

dt+ αyn) = 0

021ss

0


• Definisimo novu varijablu yn1 = dyn/dt + αyn

• Iz diferencijalne jednacine za novu varijablu yn1 koja ima oblik:

dyn1

dt+ αyn1 = 0

odredimo rjesenje yn1(t):yn1(t) = A1e

−αt

• Prirodni odziv kola yn(t) tada odredjujemo rjesavanjem jednacine:

dyn

dt+ αyn = A1e

−αt

koja predstavlja specijalni slucaj diferencijalne jednacine za kola prvog reda(za s = −α), tako da rjesenje yn(t) ima oblik:

yn(t) = e−αt(A1 + A2t) = e−ω0t(A1 + A2t)

Konstantne A1 i A2 odredjujemo iz pocetnih uslova yn0 i pyn0:

yn0 = A1

pyn0 = A2 − ω0A1

odakle slijedi:

A1 = yn0

A2 = pyn0 − ω0yn0

Tada je opsti oblik prirodnog odziva za ovaj slucaj izrazen relacijom:

yn(t) = e−ω0t [(1 + ω0t)yn0 + pyn0t] (3.18)

odakle je:pyn(t) = e−ω0t

[−ω20yn0t + (1− ω0t)pyn0

](3.19)

Uocimo da je prirodni odziv i za ovaj slucaj linearna funkcija pocetnih uslova.Na slici 3.5 prikazan je prirodni odziv za diferencijalnu jednacinu:

p2yn + 6pyn + 9 = 0yn0 = 2

pyn0 = 22

cije su karakteristicne vrijednosti s1 = s2 = −3 odnosno cije rjesenje ima oblik:

yn(t) = e−3t(A1 + A2t) = e−3t(2− 16t)


Slika 3.5: Prirodni odziv kola drugog reda (kriticni slucaj )

Uvrstavajuci pocetne uslove za napon na kondenzatoru yn0 = V0 i pyn0 = I0/Cu relacije 3.18 i 3.19 izvodimo izraze za prirodne odzive varijabli stanja vC(t) i iL(t)za kritican slucaj:

vC(t) = e−ω0t

[(1 + ω0t)V0 +

I0

Ct

]

iL(t) = e−ω0t

[−V0

Lt + (1− ω0t)I0

]

3.1.3 Prirodni odziv : eksponencijalno-sinusni(pseudoperiodicni) slucaj (α < ω0)

Eksponencijalno-sinusni (pseudoperiodican) slucaj u kolu drugog reda nastaje zarelativni odnos parametara α < ω0, kada su rjesenja karakteristicne jednacine parkonjugovano-kompleksnih brojeva:

s1 = −α + jωd

s2 = −α− jωd

gdje je ωd =√

ω20 − α2. Polozaj prirodnih frekvencija kola za ovaj slucaj prikazan

je u kompleksnoj ravni (σ, ω) na slici 3.6.Za ovaj slucaj prirodni odziv kola ima oblik:

yn(t) = A1e(−α+jωd)t + A2e

−(α+jωd)t = yn1

(t) + yn2

(t)

= e−αt(A1ejωdt + A2e

−jωd)= e−αt [A1(cos ωdt + j sinωdt) + A2(cos ωdt− j sin ωdt)]= e−αt [(A1 + A2) cos ωdt + j(A1 −A2) sin ωdt]= e−αt(B1 cos ωdt + B2 sinωdt) (3.20)

Posto su konstante B1 i B2 realni brojevi, za kompleksne konstantne (A1, A2)vrijedi:

A1 = A∗2

ny

1

2

t162

te

3

tetyt

n162

3

t


Figure 3.6: Prirodne frekvencije za pseudoperiodicni slucaj (α < ω0)

odakle slijedi:y

n1(t) = y∗

n2(t)

Do istog zakljucka mozemo doci ukoliko u izraz 3.7, koji definise prirodni odzivyn(t) za slucaj razlicitih korijene karakteristicne jednacine, uvrstimo vrijednostis1 = −α + jωd i s2 = −α − jωd. Dakle, izmedju konstanti (A1, A2) i (B1, B2)vrijede odnosi:

B1 = A1 + A∗1 = 2<A1B2 = j(A1 −A∗1) = −2=A1

ili:2A1 = B1 − jB2

Prirodni odziv kola za ovaj slucaj moze se napisati i u obliku:

yn(t) = e−αt[(A1e

jωdt) + (A1ejωdt)∗

]

= e−αt2<A1ejωdt = e−αt<(B1− jB2)ejωdt

Ako izraz B1− jB2 napisemo u polarnom obliku kompleksnog broja:

B1− jB2 =√

B21 + B2

2ej arctan(−B2/B1)

=√

B21 + B2

2ejθ

tada prirodni odziv kola mozemo napisati u obliku:

yn(t) = e−αt<√

B21 + B2

2ejθejωdt

= e−αt√

B21 + B2

2 cos(ωdt + θ) = e−αtYm cos(ωdt + θ) (3.21)

gdje su:

Ym =√

B21 + B2

2

θ = arctan(−B2/B1)

1s

2s

0

j

dj

dj


Prema tome, prirodni odziv kola drugog reda yn(t) za α > ω0 ima ekspo-nencijalno–sinusni karakter. Odziv predstavljaju prigusene oscilacije, ciji je pe-riod T = 2π/ωd. Za α > 0 amplituda oscilacija se prigusuje sa vremenskomkonstantom τ = 1/α. Ekstremi ovih funkcija ne nastupaju u istim trenucimakada i ektremi kosinusnih funkcija. Velicina αT naziva se logaritamski dekramentpseudoperiodicnih oscilacija.

Izraz yn(t) = e−αt(B1 cos ωdt + B2 sin ωdt) pogodan je za izracunavanje kon-stanti B1 i B2 iz pocetnih uslova, posto vrijedi:

yn(0) = yn0 = B1

pyn(0) = pyn0

= e−αt(−B1ωd sinωdt + B2ωd cos ωdt)− αe−αt(B1 cosωdt + B2 sin ωdt)∣∣t=0

= B2ωd − αB1

odakle je:

B1 = yn0

B2 =1ωd

(pyn0 + αB1) =1ωd

(pyn0 + αyn0)

Tada prirodni odziv ima oblik:

yn(t) = e−αt

[yn0 cosωdt +

pyn0 + αyn0

ωdsin ωdt

]

= e−αt

[yn0

ωd(ωd cosωdt + α sin ωdt) +

pyn0

ωdsinωdt

](3.22)

Uocimo da je i za ovaj slucaj prirodni odziv kola linearna funkcija pocetnih uslova.

Prirodni odziv yn(t) za diferencijalnu jednacinu:

dy2n

dt2+ 8

dyn

dt+ 25yn = 0

yn(0) = 4pyn(0) = −1

ciji su karakteristicni korijeni s1/2 = −4± j3 ima oblik:

yn(t) = e−4t(4 cos 3t + 5 sin 3t) = 6.4e−4t cos(3t− 51.34)

Dijagram prirodnog odziva yn(t) za ovaj slucaj prikazan je na slici 3.7.

Prirodni odziv yn(t) mozemo predstaviti pomocu fazora yn1

(t) = A1ejωdt i

yn2

(t) = y∗n1

(t) = A∗1e−jωdt relacijom:

yn(t) = e−αt(yn1

(t) + yn2

(t)) = A1es1t + A∗1e

s∗1t = e−αtYm cos(ωdt + θ)


Slika 3.7: Prirodni odziv kola drugog reda (eksponencijalno-sinusni slucaj )

Veza izmedju konstanti A1 = A1ejθ i Ym i θ izvodi se na osnovu sljedece relacije:

yn(t) = A1e−αt

[ej(ωdt+θ) + e−j(ωdt+θ)

]

= A1e−αt2<ej(ωdt+θ) = 2A1e

−αt cos(ωdt + θ)

odakle je :

Ym = 2A1 = |A1|θ = 6 A1

Na slici 3.8 prikazani su fazori yn1

(t) i yn2

(t) = y∗n1

(t).

Slika 3.8: Prirodni odziv kola drugog reda - fazorski model

Za redno RLC kolo, uvrstavanjem pocetnih uslova yn(0) = V0 i pyn(0) = I0/Cu relaciju 3.22, izvodimo izraze za napon vC(t):

vC(t) = e−αt

[V0

ωd(ωd cos ωdt + α sin ωdt) +

I0

ωdCsin ωdt

]

ili u obliku:

vC(t) = e−αt ω0

ωd

[V0 cos(ωdt− φ) +

I0

ω0Csinωdt

](3.23)

t

te

44.6

te

44.6

tyn

Im

Re

d

d

1uI

2uI


Tada izraz za struju iL(t) ima oblik:

iL(t) = CpvC(t) = e−αt

[− V0

ωdLsinωdt +

I0

ωd(ωd cosωdt + α sin ωdt)

]

ili u obliku:

iL(t) = e−αt ω0

ωd

[− V0

ω0Lsinωdt + I0 cos(ωdt− φ)

](3.24)

3.1.4 Prirodni odziv : specijalni slucaj sinusnog odziva (α =0)

Specijalni slucaj eksponencijalno-sinusnog odziva predstavlja kolo drugog reda bezgubitaka (R = 0) odnosno idealno LC kolo. Diferencijalna jednacina stanja za ovajslucaj (α = 0) ima oblik:

d2yn

dt2+ ω2

0yn = 0

Prirodne frekvencije LC kola su:

s1 = jωd = jω0

s2 = −jωd = −jω0

Polozaj prirodnih frekvencija za ovaj slucaj prikazan je na slici 3.9.

Slika 3.9: Polozaj prirodnih frekvencija za sinusni odziv (α = 0)

Prirodni odziv kola za ovaj slucaj ima oblik:

yn(t) = A1ejω0t + A∗1e

−jω0t = 2A1 cos(ω0t + θ)= 2<A1 cos ω0t− 2=A1 sin ω0t = B1 cos ω0t + B2 sin ω0t

Tada je:pyn(t) = −B1ω0 sin ω0t + B2ω0 cos ω0t

Na osnovu relacija koje povezuju pocetne uslove yn0 = yn(0) i pyn0 = pyn(0) ikonstante B1 i B2:

yn0 = B1

pyn0 = ω0B2

j

0j

0j

1s

2s


izvode se izrazi za prirodni odziv:

yn(t) = yn0 cosω0t +pyn0

ω0sinω0t (3.25)

pyn(t) = −yn0ω0 sin ω0t + pyn0 cos ω0t (3.26)

Za idealno LC kolo prirodni odziv varijabli vC(t) = v(t) i iL(t) = i(t) izracunavamouvrstavanjem pocetnih uslova yn0 = v(0) = V0 i pyn0 = pv(0) = I0/C u relacije3.25 i 3.26, odakle izvodimo:

vC(t) = V0 cosω0t + ω0LI0 sin ω0t (3.27)iL(t) = −V0ω0C sin ω0t + I0 cosω0t (3.28)

Uvodjenjem smjena:

V0 = Vm cos θ

I0ω0L = −Vm sin θ

odnosno uvodjenjem novih varijabli:

Vm =√

V 20 + (I0R0)2

θ = − arctanI0ω0L

V0

prirodne odzive mozemo pisati u obliku:

vC(t) = Vm cos(ω0t + θ) (3.29)iL(t) = −Cω0 Vm sin(ω0t + θ) (3.30)

Grafici koji predstavljaju prirodni odziv idealnog LC kola prikazani su na slici3.10.

Slika 3.10: Prirodni odziv idealnog LC kola

Prema tome, odziv idealnog LC kola imaju sinusni karakter (ne prigusuje se).To znaci da se proces razmjene energije izmedju L i C elementa odvija bez gubitka.

Lciu , ti

L

tuc

mCU

0

mCU

0

mV

mV


Frekvencija oscilacija ω0 naziva se prirodna frekvencija neprigusenih oscilacija, pricemu vrijedi:

ω0 = 2πT0 =1√LC

Konstanta T0 = 1/(2π√

LC) naziva se period neprigusenih oscilacija.

U toku prelaznog procesa dolazi do razmjene energije izmedju kondenzatora izavojnice, odnosno elektrostaticka energija se pretvara u elektromagnetnu energijui obrnuto. Promjena elektrostaticke energije wC(t) data je izazom:

wC(t) =12Cv2

C =12CV 2

m cos2(ω0t + θ) (3.31)

Promjena elektromagnetne energije wL(t) definisana je relacijom:

wL(t) =12Li2L =

12CV 2

m sin2(ω0t + θ) (3.32)

Maksimalna vrijednost energija wC(t) i wL(t) iznosi:

W0 =12CV 2

0 +12LI2

0

tako da je moguce izraziti energije u kolu i u obliku:

wC(t) = W0 cos2(ω0t + θ)wL(t) = W0 sin2(ω0t + θ) (3.33)

Promjena energija u kolu prikazana je na slici 3.11.

Slika 3.11: Promjena energija w C(t) i wL(t) u LC kolu

Energije u LC kolu su periodicne funkcije sa periodom T = T0/2. Svakecetvrtine perioda T0 jedan od dva elementa se isprazni, a u drugom energijadostigne maksimalnu vrijednost. Zbir energija w(t)=wC(t)+wL(t) je u svakomtrenutku konstantna vrijednost:

w(t) = wC(t) + wL(t) = W0 (3.34)

i jednak je zatecenoj energiji u kolu.

)(),( twtwLc

twL

twc

t


3.1.5 Kompleksne prirodne frekvencije, faktor prigusenja ifaktor kvaliteta

Prirodne frekvencije kola drugog reda mogu se graficki prikazati u s = σ + jωkompleksnoj ravni kao sto je prikazano na slici 3.12. Vec smo pokazali da seposmatranjem polozaja prirodnih frekvencija u s-ravni mogu se izvuci zakljucci okarakteru prirodnog odziva kola. U cilju jasnijeg predstavljanja osobina prirodnogodziva uvodi se parametar ξ, koji se naziva faktor prigusenja kola i koji odredjujerelativno prigusenje prema relaciji:

ξ =α

ω0=

faktor prigusenjafrekvencija neprigusenih oscilacija

Jednacina stanja kola moze se napisati pomocu parametra ξ u obliku:

d2yn

dt2+ 2ξω0

dyn

dt+ ω2

0yn = 0 (3.35)

kada karakteristicna jednacina ima formu:

s2 + 2ξω0s + ω20 = 0

Prirodne frekvencije kola tada imaju oblik:

s1/2 = −ξω0 ± ω0

√ξ2 − 1 (3.36)

Karakteristicni slucajevi prirodnog odziva kola drugog reda, definisu se pomocufaktora prigusenja ξ uslovima:

• ξ > 1 - eksponencijalno-prigusni slucaj

• ξ = 1 - kriticno-prigusni slucaj

• ξ < 1 - eksponencijalno-sinusni slucaj

• ξ = 0 - sinusni slucaj

Za eksponencijalno-sinusni slucaj (ξ < 1) vrijedi:

s1/2 = −ξω0 ± jω0

√1− ξ2

Prirodni odziv, izrazen pomocu parametara ξ i ω0, za ovaj slucaj ima oblik:

yn(t) = Ae−αt cos(ωdt + θ)

= Ae−ξω0t cos(ω0

√1− ξ2t + θ) (3.37)

Sa dijagrama na slici 3.12 moze se objasniti fizikalnost parametara ξ i ω0.Moduo |s| fazora s1 i s2 predstavlja udaljenost geometrijskog mjesta prirodne


Slika 3.12: Geometrijska interpretacija parametara ξ i ω 0

frekvencije od ishodista s-ravni. Sa grafika na slici 3.12 moduo |s| se izracunavaprema relaciji:

|s| =√

(−ξω0)2 + ω20(1− ξ2) =

√ω2

0 = ω0 (3.38)

Ugao izmedju fazora s i negativne σ-ose izracunava se iz relacije:

cos θ =ξω0

ω0= ξ

odakle slijedi:θ = arccos ξ (3.39)

Promjenom vrijednosti faktora prigusenja ξ mijenja se polozaj fazora s1/2. Zaξ = 0 vrijedi s1/2 = ±jω, odnosno fazori s1/2 leze na jω-osi. Kako se parametarξ povecava od 0 do 1, fazori s1/2 opisuju polukrug, koji je isprekidanom linijomprikazan na slici 3.12. Granicni slucaj predstavlja vrijednost ξ = 1, kada fazoris1 = s2 leze na −σ-osi. Za vrijednosti ξ > 1 fazori s1 6= s2 leze na −σ-osi pri cemusu prirodne frekvencije kola razlicite.

Pored faktora prigusenja ξ definise se i faktor kvaliteta, koji se oznacava sa Q.Faktor kvaliteta ili Q faktor definise se prema relaciji:

Q =12ξ

=ω0

2α

Za redno RLC kolo Q-faktor ima vrijednost:

Q =ω0

2α=

1√LCRL

=1R

√L

C=

ω0L

R=

R0

R

a za paralelno RLC kolo:

Q =ω0

2α=

ω0C

G=

G0

G=

R

R0

Iz definicije faktora kvaliteta Q slijedi da je faktor Q veci ukoliko je manji faktorprigusenja ξ. Za slucaj Q = ∞ u kolu nema gubitaka te odziv kola ima sinusni

0j

2

01 j

j

0j

2

01 j1

s

2s

1

10

0

1


karakter. Prema tome kvalitet kola se definise tako da je za kolo veceg kvalitetaparametar Q À 1, posto je u tom slucaju prigusenje oscilacija u prirodnom odzivkola manje (ξ ¿ 1).

3.2 Prinudni odziv kola drugog reda

Prinudni odziv (odziv iz stanja mirovanja) kola drugog reda ilustrovacemo za rednoRLC kolo, koje je prikljuceno na naponski generator vg(t) i za paralelno RLC kolokoje je prikljuceno na strujni generator ig(t). Generatori se prikljucuju na kolakoja se nalaze u stanju mirovanja, odnosno vrijedi iL(0−) = 0 i vC(0−) = 0. Naslici 3.13 prikazana su seme RLC kola koja se analiziraju.

Slika 3.13: Sema kola za prinudni odziv a. redno RLC i b. paralelno RLC kolo

Diferencijalne jednacine stanja, koje opisuju prinudni odziv kola za t ≥ 0 izvodese iz jednacina Kirhofovih zakona. Oblik jednacine stanja zavisi od izbora izlaznevarijable ys za koju se pise diferencijalna jednacina. Obicno se kao izlazna varijablausvaja jedna od varijabli stanja (iL(t) ili vC(t)). U nastavku poglavlja izvedenesu jednacine stanja za kola prikazana na slici 3.13 za slucajeve da se kao izlaznevarijable usvajaju struja kroz zavojnicu iL(t) i napon na kondenzatoru vC(t). Priizvodjenju jednacina koristi se operator p.

Redno RCL kolo

Za redno RLC kolo vrijede jednacine:

RiL + LpiL + vC = vg

iL = CpvC

Ako kao izlaznu varijablu usvojimo struju kroz zavojnicu iL(t) diferencijalna jednacinanakon sredjivanja ima oblik:

p2iL +R

LpiL +

1LC

iL =1L

pvg (3.40)

vCL C

iR iL iC+_ vCig(t)

+

_

+

RvR

R

C+_

i

L

vg(t)+

_

a. b.

3.2. PRINUDNI ODZIV KOLA DRUGOG REDA 77

Ako je izlazna varijabla napon na kondenzatoru vC(t) jednacina ima oblik:

p2vC +R

LpvC +

1LC

vC =1

LCvg (3.41)

Pocetni uslovi za diferencijalnu jednacinu odredjuju se analizom stanja u kolu utrenutku t = 0+, i imaju sljedece vrijednosti:

iL(0+) = iL(0−) = 0

piL(0+) =1L

vg(0+)

vC(0+) = vC(0−) = 0pvC(0+) = 0

Paralelno RLC kolo

Za paralelno RLC kolo vrijede jednacine:

1R

vC + CpvC + iL = ig

vC = LpiL

Ako je izlazna varijabla napon na kondenzatoru vC(t), uvodjenjem smjene G=1/Rdiferencijalna jednacina ima oblik:

p2vC +G

CpvC +

1LC

vC =1C

pig (3.42)

Ako je izlazna varijabla struja iL(t) jednacina ima oblik:

p2iL +G

CpiL +

1LC

iL =1

LCig (3.43)

Pocetni uslovi za paralelno RLC kolu su:

vC(0+) = vC(0−) = 0

pvC(0+) =1C

ig(0+)

iL(0+) = iL(0−) = 0piL(0+) = 0

Posto su redno RLC kolo i paralelno RLC kolo dualna kola jednacine 3.40 do3.43 imaju oblik koja odgovara dualnim mrezama. Parametri jednacina su odgo-varajuci dualni parametri kola, a varijable odgovarajuce dualne varijable. Uocimoda sve jednacine imaju identican oblik homogene diferencijalne jednacine. Dakle,homogeno rjesenje yh(t) za sve izlazne varijable u RLC kolima ima isti oblik.

U opstem slucaju diferencijalna jednacina stanja za kola prikazana na slici 3.13ima oblik:

(p2 + 2αp + ω20) ys = (b0 + b1p)x (3.44)


ili:A(p)ys(t) = B(p)x(t)

Pocetne vrijednosti izlazne varijable su ys(0+) = ys0 i pys(0+) = pys0. Na desnojstrani jednacina 3.41 i 3.43 pojavljuju se izrazi:

1LC

vg = ω20vg = b0vg

1LC

ig = ω20ig = b0ig

To znaci da na desnoj strani nema komponenti koje su izvodi pobudnog signala.Na desnoj strani jednacina 3.40 i 3.42 pojavljuju se izrazi:

1L

pvg = b1pvg

1C

pig = b1pig

U ovom slucaju na desnoj strani se pojavljuju komponente koje su izvodi pobudnogsignala.

U opstem slucaju desna strana diferencijalne jednacine ima oblik:

(bmpm + bm−1pm−1 + · · ·+ b1p + b0) x(t) = B(p)x(t) (3.45)

Za odredjivanje partikularnog rjesenja jednacina koje na desnoj strani nemajuizvode pobudnog signala (za m=0) mogu se koristiti metode koje su izvedene zakola prvog reda. U nastavku ovog poglavlja za m = 0 izvedeni su izrazi za odskocnii impulsni odziv kao i prinudni odziv za sinusni, eksponencijalni i kompleksni-eksponencijalni pobudni signal za RLC kolo. Slucajevi kada se na desnoj stranijednacine pojavljuju izvodi pobudnog signala (m 6= 0) obradjeni su u poglavlju 4.

U opstem slucaju diferencijalna jednacina za kola drugog reda za m=0 imaoblik:

(p2 + 2αp + ω20) ys(t) = b0 x(t) (3.46)

sa pocetnim uslovima: ys(0+) = 0 i pys(0+) = 0. Rjesenje nehomogene diferenci-jalne jednacine ys(t) nalazimo kao sumu rjesenja homogene diferencijalne jednacineyh(t) i partikularnog rjesenja yp(t):

ys(t) = yh(t) + yp(t)

Homogeno rjesenje ima isti oblik kao i prirodni odziv yn(t) odgovarajuceg RLCkola. Partikularno rjesenje yp(t) moze se odrediti na dva nacina:

• Primjenom postupaka odredjivanja partikularnog rjesenja, izvedenog u li-nearnoj algebri, koji su opisani u poglavlju 1.


• Za kola kod kojih je yp(t) ogranicena funkcija (sva LVN kola osim specijalnihslucajeva kola, koja se posebno obradjuju) partikularno rjesenje predstavljastacionarni prinudni odziv, koji se uspostavlja u kolu za t → ∞. Dakle, zaova kola, rjesavanjem stacionarnog odziva kola (za t→∞), primjenom nekeod metoda za rjesavanje odziva kola, moze se direktno odrediti partikularnorjesenje.

3.2.1 Odskocni odziv kola drugog reda

Odredjivanje odskocnog odziva kola drugog reda, za koje diferencijalna jednacinane sadrzi izvode pobudnog signala, ilustrovati cemo na primjeru paralelnog RLCkola, prikazanog na slici 3.13.b. Diferencijalna jednacina stanja za ovo kolo, pridjelovanju pobudnog signala ig(t) = 1 u(t), ima oblik:

LCp2iL +L

RpiL + iL = 1 u(t) (3.47)

uz pocetne uslove: iL(0+)=0 i piL(0+)=0. U opstem slucaju odskocni odziv zastruju i, gi(t) odredjujemo kao sumu homogenog i partikularnog rjesenja:

gi(t) = iL(t) = iLh(t) + iLp(t)

Partikularno rjesenje iLp(t) = u(t), odgovara stacionarnom prinudnom rjesenju.Oblik homogenog rjesenja iLh(t) zavisi od karaktera korijena karakteristicne jednacine.Za slucaj razlicitih korijena s1 6= s2 odskocni odziv ima oblik:

iL(t) = (A1es1t + A2e

s2t + 1)u(t) (3.48)

Za slucaj dvostrukih korijena karakteristicne jednacine s1 = s2 odskocni odziv imaoblik:

iL(t) =[(k1 + k2t)e−αt + 1

]u(t) (3.49)

Konstante A1 i A2, odnosno k1 i k2 odredjuju se iz pocetnih vrijednosti iL(0+) = 0i piL(0+) = 0. Za slucaj razlicitih korijena za konstante A1 i A2 vrijede jednacine:

iL(0+) = A1 + A2 + 1 = 0piL(0+) = A1s1 + A2s2 = 0

odakle rjesavanjem izvodimo izraze za konstante A1 i A2:

A1 =s2

s1 − s2

A2 =−s1

s1 − s2

Prema tome odskocni odziv za ovaj slucaj ima oblik:

iL(t) = gi(t) =[

s2

s1 − s2es1t − s1

s1 − s2es2t + 1

]u(t)

=[

1s1 − s2

(s2es1t − s1e

s2t) + 1]

u(t) (3.50)


Za slucaj eksponencijalno-sinusnog karaktera prirodnog odziva kola, prirodnefrekvencije s1 i s2 su par konjugovano-kompleksnih brojeva, odnosno vrijedi:

s1/2 = −α± jωd = ω0e±j( π

2 +φ)

gdje su:

|s1| = |s2| =√

α2 + ω2d = ω0

φ = arctanα

ω0

Kompleksne frekvencije s1 i s2 sa naznacenim vrijednostima odgovarajucih param-etara α, ω0, ωd i φ prikazane su na dijagramu na slici 3.14.

Slika 3.14: Prirodne frekvencije s 1 i s2 za eksponencijalno-sinusni slucaj

Za eksponencijalno-sinusni slucaj homogeno rjesenje ima oblik:

ih(t) =1

s1 − s2

(s2es1t − s1e

s2t)

=1

j2ωdω0e

−αt(ej(ωdt−π2−φ) − e−j(ωdt−π

2−φ))

=ω0

2jωde−αt2j sin(ωdt− π

2− φ)

= −ω0

ωde−αt cos(ωd − φ)

odnosno odskocni odziv za struju iL(t) ima oblik:

iL(t) =[−ω0

ωde−αt cos(ωdt− φ) + 1

]u(t) (3.51)

Odskocni odziv za eksponencijalno-prigusni slucaj, kada su karakteristicni ko-rijeni realni i razliciti (s1/2 = −α±αd) odredjuje se na analogan nacin i za strujuiL(t) ima oblik:

iL(t) =[

1s1 − s2

(s2es1t − s1e

s2t) + 1]

u(t)

=1

2ωd

[(s2e

s1t − s1es2t) + 1

]u(t) (3.52)

1s

2s

wj

s

djw

djw-

q

a-


Tipicni dijagrami odskocnog odziva za analizirane slucajeve prikazani su naslici 3.15.

Slika 3.15: Odskocni odziv i L(t) za paralelno RLC kolo: a. s1/2 = −α± αd, b.s1/2 = −α± jωd

Napon na kondenzatoru vC(t) pri odskocnom odzivu moze se izracunati direk-tno iz izraza za struju iL(t) prema relaciji:

vC(t) = LpiL(t)

i za razlicite prirodne frekvencije ima oblik:

vC(t) = Ls1s2

s1 − s2

(es1t − es2t)u(t) (3.53)

Tada je u slucaju kompleksnih korijena:

vC(t) =

√L

C

ω0

ωde−αt sin ωdt u(t) (3.54)

a za realne i razlicite korijene:

vC(t) = Ls1s2

s1 − s2(es1t − es2t)u(t)

= Lα2 − ω2

d

2ωd(e(−α+ωd)t − e(−α−ωd)t)u(t)

= ω0Lω0

2ωde−αt(eωdt − e−ωd)t)u(t) (3.55)

Tipicni oblici odskocnog odziva za napon na kondenzatoru u paralelnom RLCkolu prikazani su na dijagramima na slici 3.16.

Ukoliko pobudni signal ima oblik ig(t) = Igu(t) tada odskocni odziv za strujukroz zavojnicu iL(t), za kompleksne prirodne frekvencije, ima oblik:

iL(t) =[−ω0

ωde−αt cos(ωdt− φ) + 1

]Igu(t) (3.56)

t

tiL

tiL

t

d

e

0

1

t

d

e

0

1

t

11


Slika 3.16: Napon na kondenzatoru v C(t) za odskocni odziv paralelnog RLC kola

Izrazi za promjene varijabli u rednom RLC kolu, koje je prikljuceno na naponskigenerator vg(t), izvodimo zamjenom odgovarajucih parametara kola i varijablistanja u izrazima za dualno paralelno RLC kolo.

Fizikalnost procesa prilikom prinudnog odziva paralelnog RLC kola moze seobjasniti analizom analitickih oblika dijagrama odskocnih odziva za pojedine vari-jable. Posto se radi o regularnoj komutaciji struja kroz zavojnicu iL(t) i napon nakondezatoru vC(t) ne mogu trenutno da mijenjaju vrijednosti. U trenutku t=0+

struja generatora ig(0+) zatvara se kroz kondenzator, posto bi prolazenje strujekroz otpornik narusavalo uslov kontinuiteta napona ( zbog vC = vR). Za t > 0napon na kondenzatoru raste i struja pocinje proticati kroz otpornik i zavojnicu.U novo-uspostavljenom stacionarnom stanju vrijedi piL = 0 i p2iL = 0, sto znacida su napon i struja kroz otpornik i kondenzator takodje jednaki nuli. Strujageneratora protice kroz zavojnicu, koja za t=∞ predstavlja kratak spoj strujnoggeneratora.

Odskocni odziv idealnog LC kola

Idealno LC kolo predstavlja granicni slucaj RLC kola, u kome nema gubitakaenergije (R = 0 ili G = ∞). Na slici 3.17 prikazani su paralelno LC kolo, kojeje prikljuceno na strujni generator ig(t) i redno LC kolo, koje je prikljuceno nanaponski generator vg(t). Kola prikazana na slici 3.17 predstavljaju dualna kola.Zato je dovoljno odrediti izraze za odzive u jednom od kola (u nastavku poglavljaizvedeni su izrazi za paralelno LC kolo) a izraze za dualno kolo (redno LC kolo)direktno izvesti zamjenom dualnih parametara kola.

Za LC kolo vrijedi α = 0 tako da prirodni odziv ima sinusni karakter. Prinudniodziv LC kola predstavlja granicni slucaj eksponencijalno–sinusnog odziva RLCkola. Odskocni odziv paralelnog LC kola mozemo izvesti iz izraza za odskocniodziv paralelnog RLC kola uvrstavanjem α=0, odakle je φ=0 i ωd =ω0. Na ovajnacin izvodimo izraze za odskocne odzive paralelnog LC kola, koje je prikljucenona strujni izvor ig(t) = Igu(t):

iL(t) = gi(t) = Ig(1− cos ω0t)u(t) (3.57)

t

tvC

tvC

t

d

eC

L

0

t


Slika 3.17: Odskocni odziv LC kola: sema a. paralelnog i b. rednog kola

vC(t) = gv(t) = Ig

√C

Lsin ω0tu(t) = IgR0 sin ω0tu(t) (3.58)

Uocimo da je odskocni odziv takodje sinusna funkcija. To znaci da se prikljucenjemgeneratora ig(t) = Igu(t) u idealnom LC kolu pobudjuju neprigusene oscilacijefrekvencije ω0. Struja kroz zavojnicu iL(t) ima dvije komponente: konstantnuiL1 = Igu(t) i periodicnu–sinusnu iL2 = −Ig cos ω0tu(t). Struja kroz kondenzatoriC(t) ima vrijednost:

iC(t) = Cdvc

dt= CIgR0ω0 cosω0tu(t) = Ig cos ω0t

Dijagrami promjena struja iL(t) i iC(t) prikazani su na slici 3.18.

Slika 3.18: Odskocni odziv LC kola: dijagrami struja i L(t) i iC(t)

U trenutku t = 0 sva struja generatora protice kroz kondenzator posto vrijediiL(0) = 0. U prvoj polovini perioda oscilacija struja kroz kondenzator opada donule, a struja kroz zavojnicu se povecava do vrijednosti Ig. Prema KZS vrijedi:

ig(t) = iL(t) + iC(t)

Ukoliko zbir struja iL + iC napisemo na sljedeci nacin:

iL(t) + iC(t) = Ig + Ig(cos ω0t− cos ω0t) (3.59)

iL(0-) = 0

L

vg(t)+

_ C+_vC(0-) = 0L C

iL(0-) = 0+_ vC (0

-) = 0ig(t)

a. b.

t

tiL

tiC

tIg 0

cos

Li

Ci

gI2

gI

gI


mozemo zakljuciti:

• Nakon sto struja zavojnice poprimi vrijednost Ig izmedju zavojnice i kon-denzatora zatvara se periodicka komponenta struje Ig cos ω0t na koju strujageneratora prividno nema uticaja. Pri tome vrijedi iL(t)=−iC(t). Ova kom-ponenta struje se ne zatvara kroz generator posto je unutrasnja otpornostgeneratora Rg =∞. To znaci da se oscilacije struje u kolu, kada su jednomuspostavljene uslijed pobude od strane generatora, nakon toga odrzavaju bezpodrske generatora.

• Prividno, struja kroz generator se nakon prve polovine perioda zatvara krozzavojnicu, posto vrijedi iL1(t)=Ig =const. Proticanje ove komponente strujene izaziva indukovanje napona na zavojnici i zato ne utice na napon na kon-denzatoru. Generator se u stacionarnom stanju, koje se uspostavlja nakonpolovine perioda, ponasa kao da je u kratkom spoju i ne ulaze nikakvu en-ergiju za odrzavanje oscilacija u kolu.

Izraze za odskocni odziv rednog LC kola, koje je prikljuceno na naponski gene-rator vg(t) = Vgu(t), izvodimo iz izraza za dualne varijable u paralelnom LC kolu,zamjenom odgovarajucih parametara kola. Tako odredjujemo odskocne odziverednog LC kola:

vC(t) = gv(t) = Vg(1− cosω0t)u(t) (3.60)

iL(t) = gi(t) = Vg

√C

Lsinω0tu(t) = VgG0 sinω0tu(t) (3.61)

vL(t) = LdiLdt

= LIgG0ω0 cos ω0tu(t) = Vg cos ω0u(t) (3.62)

3.2.2 Impulsni odziv kola drugog reda

Diferencijalna jednacina, koja opisuje impulsni odziv paralelnog RLC kola napobudni signal oblika ig(t) = Q0δ(t) ima oblik:

LCp2iL +L

RpiL + iL = Q0δ(t) (3.63)

uz pocetne uslove:

iL(0−) = 0piL(0−) = 0

Impulsni odziv iL(t) = hi(t) odredicemo za slucaj da su prirodne frekvencije kolakompleksne vrijednosti:

s1/2 = −α± jωd = ω0e±j( π

2 +φ)

Iz analize kola prvog reda poznato je da impulsni odziv kola ima isti oblik kao iprirodni odziv. Prema tome, impulsni odziv iL(t) ima oblik:

iL(t) = hi(t) = e−αtIm cos(ωdt + φ) (3.64)


Vrijednosti konstanti Im i φ odredjuju se iz pocetnih vrijednosti iL(0+) i piL(0+).Pocetne vrijednosti se izracunavaju analizom stanja u kolu u trenutku t = 0,kada pobudni signal u kolu ima vrijednost Q0δ(t). Integralenjem diferencijalnejednacine 3.63 stanja kola u intervalu (0−, 0+) dobijamo:

LCpiL(0+)− LCpiL(0−) + LGiL(0+)− LGiL(0−) +∫ 0+

0−iL(τ)dτ = Q0

posto je: ∫ 0+

0−Q0δ(τ)dτ = Q0

Analogno sa analizom odskocnog odziva kola, koja je uradjena u prethodnompoglavlju, zakljucujemo da se struja zavojnice ne moze trenutno mijenjati, odnosnoda vrijedi jednakost:

iL(0+) = iL(0−) = 0

kao i: ∫ 0+

0−iL(τ)dτ = 0

Prema tome, struja iL(t) predstavlja kontinualnu varijablu. Kada bi struja iL(t)imala diskontinuitet tada bi clan piL(t) sadrzavao impulsnu komponentu a clanp2iL(t) dublet komponentu. U tom slucaju jednacina 3.63 ne bi bila zadovo-ljena posto desna strana jednacine ne sadrzi dublet komponentu. Dakle, iz uslovaneprekidnosti struje iL(t) slijedi:

LCpiL(0+)− LCpiL(0−) = Q0

odakle se odredjuje vrijednost pocetnog uslova piL(0+):

piL(0+) = piL(0−) +Q0

LC=

Q0

LC

Uvrstavanjem vrijednosti za iL(0+) i piL(0+) u opsti oblik impulsnog odziva zat = 0+ dobijamo:

iL(0+) = 0 = Im cosφ (3.65)

piL(0+) =Q0

LC= [−αe−αtIm cos(ωdt + φ)− e−αtIm sin(ωdt + φ)ωd]

∣∣t=0

= −αIm cos φ− Imωd sinφ (3.66)

Rjesenja jednacina 3.65 i 3.66 su:

φ = −π

2

Im =ω2

0

ωdQ0


Tada impulsni odziv za struju iL(t) paralelnog RLC kola ima oblik:

iL(t) =ω2

0

ωdQ0e

−αt cos(ωdt− π

2)u(t)

=ω2

0

ωdQ0e

−αt sin(ωdt)u(t) (3.67)

U poglavlju 3.4.1 izvedene su relacije koje povezuju ekvivalentne generatore(naponski Tevenenov i strujni Nortonov) u kolu koje sadrzi kondenzator. U para-lelnom RLC kolu, strujni generator ig(t) = Q0δ(t) vezan je paraleno sa kondenza-torom C, koji se u trenutku t = 0− nalazi u energetskom stanju mirovanja. Ovuparalelnu vezu moguce je posmatrati kao odgovarajuci Norton-ov ekvivalentni gen-erator koji sadrzi kondenzator, kao sto je oznaceno na slici 3.19a.

Slika 3.19: a. Model paralelnog RLC kola za impulsni odziv b. Kolo koje sadrziTevenenov ekvivalentni generator c. Odgovarajuci model paralelnog RLC kola zaprirodni odziv pri vC(0+) = Q0/C i iL(0+) = 0

Odavde je, na osnovu jednacina ekvivalentnosti generatora, moguce izvesti ob-lik signala ekvivalentnog Tevenenovog generatora vg(t), koji je prikazan na slici3.19.b, kako slijedi:

vg(t) =1C

∫ t

0−ig(τ)dτ =

1C

∫ t

0−Q0δ(τ)dτ =

Q0

Cu(t) (3.68)

U poglavlju 3.4.1 u knjizi 1 takodje je izvedeno kako se kondenzator sa pocetnomakumuliranom energijom we = CV 2

0 /2 moze predstaviti pomocu naponskog gen-eratora vg(t) = V0, koji je redno vezan sa kondenzatorom. Primjenjujuci analoganpostupak, kolo sa slike 3.19.b moze se predstaviti pomocu kola sa slike 3.19.c,kojim se za t > 0 modeluje prirodni odziv paralelnog RLC kola sa pocetnim vri-jednostima vC(0+) = V0 = Q0/C i iL(0+) = 0.

Promjenu napona na kondenzatoru vC(t) = hv(t) za t > 0 pri impulsnomodzivu paralelnog RLC kola odredjujemo iz poznatog oblika za struju iL(t) = hi(t)

b.

RL

C

+

_( ) ( )tuCQtvg 0=

C+

_RL

a.

( )tQH δ0= V0 RLC+_

c.


na osnovu relacije vC(t) = LpiL(t). Tada za t > 0 vrijedi:

vC(t) = LpiL(t) = Lp

[ω2

0

ωdQ0e

−αt sin(ωdt)u(t)]

= L

[δ(t)

ω20

ωdQ0e

−αt sin ωdt + u(t)p(ω2

0

ωdQ0e

−αt sin ωdt)]

(3.69)

Posto je clan uz funkciju δ(t) u izrazu 3.69 jednak nuli za t = 0, a za t > 0 δ(t) = 0slijedi:

vC(t) = L

[ω2

0Q0e−αt cos ωdt− α

ω20

ωdQ0e

−αt sin ωdt

]u(t)

= LQ0e−αt ω

20

ωd(−α sin ωdt + ωd cosωdt)

= Lω2

0

ωdQ0e

−αtω0 sin(ωdt + π/2 + φ)u(t)

=

√L

C

ω20

ωdQ0e

−αt cos(ωdt + φ)u(t) (3.70)

Dijagrami promjene struje iL(t) i napona vC(t) pri impulsnom odzivu para-lelnog RLC kola prikazani su na slici 3.20, za pocetnu vrijednost napona konden-zatora:

vC(0+) =

√L

C

ω20

ωdQ0 cosφ =

Q0

C

Slika 3.20: Impulsni odzivi h i(t) = iL(t) i hv(t) = vC(t) paralelnog RLC kola -eksponencijalno-sinusni slucaj

Ukoliko je poznat odskocni odziv LVN kola g(t) odgovarajuci impulsni odzivh(t) moguce je odrediti na osnovu osobine h(t) = dg(t)/dt. Tako za paralelno RLCkolo za koje odskocni odziv za struju ima oblik:

iL(t) = gi(t) =[1− ω2

0

ωde−αt cos(ωdt− φ)

]u(t)

tiL

t

d

eQ

0

0

t

tvC

C

Q0

t

d

eC

LQ

2

0

0

t


impulsni odziv odredjen prema relaciji:

iL(t) = hi((t) =d

dtgi(t) =

d

dt

[1− ω0


]u(t)

= δ(t)[1− ω0


]+ u(t)

ω20

ωde−αt sin(ωdt)

Posto je clan uz impulsnu funkciju δ(t) za t = 0 jednak nuli, a za t > 0 δ(t) = 0,konacno dobijamo:

iL(t) =ω2

0

ωde−αt sin(ωdt)u(t) (3.71)

sto je jednako izrazu 3.67 koji smo izveli za impulsni odziv za Q0 = 1.Posto redno RLC kolo predstavlja dualno kolo sa paralelnim RLC kolom, izrazi

za promjene varijabli stanja iL(t) i vC(t) u ovom kolu jednostavno se izvode izizraza za promjene dualnih varijabli vC(t) i IL(t) u paralelnom RLC kolu zamjenomodgovarajucih dualnih parametara kola.

Impulsni odziv idealnog LC kola

Impulsne odzive LC kola izvodimo uvrstavanjem vrijednosti parametara α = 0,ωd = ω0 i φ = 0 u izraze za impulsne odzive RLC kola. Na ovaj nacin izvodimoizraze za impulsne odzive paralelnog LC kola, koje je prikljuceno na strujni gen-erator ig(t) = δ(t) (Q0 = 1):

iL(t) = hi(t) = ω0 sin ω0t u(t) (3.72)

vC(t) = hv(t) =1C

cos ω0t u(t) (3.73)

odakle izracunavamo:

iC(t) = CdvC

dt= −ω0 sin ω0tu(t) + δ(t) (3.74)

Do istih izraza mozemo doci koristenjem relacije h(t) = dg(t)/dt.Analizom izraza 3.72 do 3.74 zakljucujemo da impulsni odziv kola drugog reda

ima isti oblik kao i prirodni odziv. Primjetimo da se u izrazu za iC(t) javljaimpulsni signal. To znaci da se u trenutku t = 0 napon na kondenzatoru skokovitomijenja sa vrijednosti vC(0−) = 0 na vrijednost vC(0+) = Q0/C = 1/C. Znaci dase u ovom slucaju radi o neregularnoj komutaciji.

Impulsne odzive rednog LC kola, koje je prikljuceno na naponski generatorvg(t) = δ(t) (φ0 = 1) izvodimo zamjenom odgovarajucih dualnih varijabli i param-etara kola u izrazima za impulsne odzive dualnog paralelnog LC kola. Na taj nacinizvodimo impulsne odzive rednog LC kola:

vC(t) = hv(t) = ω0 sin ω0t u(t) (3.75)

iL(t) = hi(t) =1L

cos ω0t u(t) (3.76)


odakle izracunavamo:

vL(t) = LdiLdt

= −ω0 sin ω0t u(t) + δ(t) (3.77)

Analizom izraza za napon vL(t) zakljucujemo da se u izrazu pojavljuje impulsnisignal. To znaci da u kolu dolazi do skokovite promjene struje kroz zavojnicu iL(t),odnosno da se u ovom slucaju radi o neregularnoj komutaciji.

3.2.3 Odziv kola drugog reda na sinusni pobudni signal (ωg = ω0)

Odziv kola drugog reda na sinusni pobudni signal ilustrovacemo na primjeru odzivaparalelnog RLC kola koje je prikljuceno na strujni generator ig(t) = Ig cosω0t u(t),cija je frekvencija jednaka frekvenciji neprigusenih oscilacija (ω0 = 1/

√LC). Ovaj

odziv predstavlja slucaj fazne rezonancije paralelnog RLC kola za koje vrijediω0C = 1/(ω0L). Diferencijalna jednacina A(p)y(t) = B(p)x(t) koja opisuje pri-nudni odziv struje kroz zavojnicu iL(t) ima oblik:

(p2 + 2αp + ω20)iL(t) = ω2

0Ig cosω0t u(t) (3.78)

uz pocetne uslove:

iL(0+) = 0piL(0+) = 0

Za slucaj da prirodni odziv ima eksponencijalno-sinusni karakter (s1/2 = −α± jωd),opsti oblik prinudnog odziva je:

iL(t) = iLh(t) + iLp(t) = e−αt(B1 cosωdt + B2 sin ωdt) + iLp(t)

Partikularno rjesenje izracunavamo prema relaciji:

iLp(t) =ω2

0Ig

|A(jω0)| cos(ω0t− θ)

gdje su:

A(jω0) = (jω0)2 + 2αjω0 + ω20 = j2αω0

= 2αω0ej π

2

|A(jω0)| = 2αω0

θ =π

2

Dakle, partikularno rjesenje ima oblik:

iLp(t) =ω2

0Ig

2αω0cos(ω0t− π

2) =

G0

GIg sin ω0t (3.79)


Uvrstavanjem izraza za iLp(t) u opsti oblik prinudnog odziva iL(t) dobija se:

iL(t) = e−αt(B1 cosωdt + B2 sin ωdt) +G0

GIg sin ω0t

Vrijednosti konstanti B1 i B2 izracunavaju se iz pocetnih uslova:

iL(0+) = B1 = 0

piL(0+) = B2ωd + ω0G0

GIg = 0

odakle slijedi:

B1 = 0

B2 = −ω0

ωd

G0

GIg

Uvrstavanjem konstanti B1 i B2 u opsti oblik za iL(t) izvodimo izraz za prinudniodziv:

iL(t) = (−ω0

ωd

G0

GIge

−αt sin ωdt +G0

GIg sin ω0t) u(t)

= IgG0

G(sin ω0t− ω0

ωde−αt sin ωdt) u(t) (3.80)

Tada napon na kondenzatoru vC(t) izracunavamo prema relaciji:

vC(t) = LdiLdt

= IgG0

G

[ω0L cosω0t− ω0L

ωde−αt(ωd cosωdt− α sinωdt)

]u(t)

= IgG0

G

[ω0L cos ω0t− ω0L

ωde−αt

√ω2

d + α2 cos(ωdt + φ)]

u(t)

=∣∣∣∣φ = arctan

α

ωd

∣∣∣∣ =Ig

G

[cosω0t− ω0

ωde−αt cos(ωd + φ)

]u(t) (3.81)

Iz izraza za napon vC(t) izvodimo izraza za struju kroz otpornik iR(t):

iR(t) = GvC(t) = Ig

[cos ω0t− ω0


]u(t) (3.82)

Struju kroz kondenzator iC(t) izvodimo iz izraza:

iC(t) = CdvC

dt=

Ig

GC

d

dt

[cosω0t− ω0


]u(t)

=Ig

G

−ω0C sin ω0t− ω0

ωdCe−αt [−α cos(ωdt + φ)− ωd sin(ωdt + φ)]

u(t)

=[−Ig

G0

Gsin ω0t + Ig

G0

G

ω0

ωde−αt sin(ωdt + 2φ)

]u(t) (3.83)

Dijagrami promjene struja u kolu za slucaj G = G0 (odakle je α = ω0/2 iωd =

√3ω0/2) prikazani su na slici 3.21.


Slika 3.21: Odzivi paralelnog RLC kola: periodicke i eksponencijalno-sinusne komponente struja iL(t), iR(t), iC(t)) prikljucenog na strujni generatorig(t) = Ig cosω0t u(t)

Analizom dobijenih izraza za struje u kolu moze se zakljuciti:

• Komutacija u kolu je regularna posto vrijedi iL(0+)=0 i vC(0+)=LiL(0+)=0

• U trenutku t=0 struja generatora ig(0+)=Ig protice kroz kondenzator postovrijedi iL(0+)=0, i iR(0+)=0 i iC(0+)=Ig.

• U kolu se pojavljuju dvije komponente struje: periodicna komponenta frekven-cije ω0 i eksponencijalno-sinusna komponenta frekvencije ωd sa faktoromprigusenja α.

• Eksponencijalno-sinusne komponente imaju isti oblik kao i prirodni odzivRLC kola za s1/2 = −α ± jωd. U svakom trenutku vremena t > 0 zbirovih komponenti jednak je nuli. Prema tome generator ig(t) = Ig cos ω0t(frekvencije ω0) ne utice na proticanje ovih komponenti struja. Posto jeotpor generatora Rg =∞ za ove struje kolo se ponasa kao da je generatorotpojen. Ove komponente struja se prigusuju za t →∞ i ne pojavljuju se ustacionarnom prinudnom odzivu.

• Zbir periodicnih komponenti struja zavojnice i kondenzatora u svakom trenut-ku t > 0 jednak je nuli. Ove komponente predstavljaju proces oscilovanjaenergije izmedju zavojnice i kondenzatora sa frekvencijom ω0. Periodicakomponenta struje otpornika za t > 0 jednaka je struji generatora. Dakle,oscilacije energije izmedju zavojnice i kondenzatora odvijaju se bez uticajageneratora. Kolo se za ove komponente struje ponasa kao da je paralelnaveza zavojnice i kondenzatora otpojena od kola. Periodicne komponentepredstavljaju stacionarne prinudne odzive kola (za t →∞).

Analiza rednog RLC kola prikljucenog na naponski generator vg(t)=Vg cosω0tu(t)jednostavno se provodi na osnovu analogije sa dulanim paralelnim RLC kolom.

gI

t

t

t

t

gI

tiR

tig

tiL

tiC

gI

gI

G

GI

g

0

G

GI

g

0

G

GI

g

0

G

GI

g

0

tIg 0

cos

teId

d

t

gcos

0

tG

GI

g 0

0sin

teG

GI

d

t

d

g

sin00

Slika 3.21.: Odzivi paralenog RLC kola: periodièke i eksponencijalno -

sinusne komponente struja prikljuèenog na strujni generatori (t) i (t), i (t)L , R C

tutItigg 0

cos


Odziv idealnog LC kola na pobudni sinusni signal za ω 6= ω0

Analizu odziva idealnog LC kola na sinusni pobudni signal ilustrovacemo zaparalelno LC kolo koje je prikljuceno na strujni generator ig(t) = Ig cosωtu(t).Diferencijalna jednacina koja opisuje prinudni odziv za struju iL(t) ima oblik:

(p2 + ω20)iL(t) = ω2

0Ig cos ωtu(t) (3.84)

uz pocetne uslove:

iL(0+) = o

piL(0+) = 0

Prinudni odziv za ovaj slucaj (s1/2 = ±jω0) ima opsti oblik:

iL(t) = B1 cosω0t + B2 sin ω0t + iLp(t)

Za ω 6= ω0 partikularno rjesenje odredjujemo iz relacije za iLp:

iLp(t) =ω2

0Ig

|A(jω)| cos(ωt− θ)

gdje su:

A(jω) = (jω)2 + ω20 = ω2

0 − ω2

θ = 6 A(jω) = 0

Dakle, partikularno rjesenje ima oblik:

iLp(t) =ω2

0

ω20 − ω2

Ig cosωt (3.85)

Uvrstavanjem u opsti oblik prinudnog rjesenja dobijamo:

iL(t) = B1 cos ω0t + B2 sin ω0t +ω2

0

ω20 − ω2

Ig cosωt

Konstante B1 i B2 odredjuju se iz pocetnih uslova:

iL(0) = B1 +ω2

0

ω20 − ω2

Ig = 0

piL(0) = ω0B2 = 0

odakle slijedi:

B1 = − ω20

ω20 − ω2

Ig

B2 = 0


Uvrstavanjem vrijednosti za konstante B1 i B2 u opsti oblik prinudnog rjesenjaizvodimo izraz za prinudni odziv za struju kroz zavojnicu:

iL(t) =ω2

0

ω20 − ω2

Ig(cos ωt− cos ω0t)u(t) (3.86)

Napon na kondenzatoru izracunavamo iz relacije:

vC(t) = LdiLdt

=ω2

0

ω20 − ω2

Ig(ω0L sin ω0t− ωL sin ωt)u(t)

=ω2

0

ω20 − ω2

Ig(R0 sinω0t− ωL sin ωt)u(t) (3.87)

Tada je struja kroz kondenzator iC(t):

iC(t) = CdvC

dt=

ω20

ω20 − ω2

Ig(ω0LC cos ω0t− ωLC cos ωt)u(t)

=ω2

0

ω20 − ω2

Ig(cos ω0t− ω

ω0cosωt)u(t) (3.88)

Na slici 3.22. prikazan je dijagram struje iL(t) za slucaj ω = 2ω0.

Slika 3.22: Prinudni odziv i L(t) paralelnog LC kola prikljucenog na generatorig(t) = Ig cosωt(t)

Komutacija je regularna posto vrijedi iL(0+)=0 i vC(0+)=0. U trenutku t=0struja generatora ig(0) = Ig zatvara se preko kondenzatora iC(0) = Ig. Analizomizraza za struje iL(t) i iC(t) zakljucujemo da prinudni odziv sadrzi dvije sinusnekomponente: frekvencije generatora ω i frekvencije neprigusenih oscilacija ω0. Si-nusna komponenta frekvecije ω0 predstavlja proces oscilovanja energije izmedjuzavojnice i kondenzatora. Ova komponenta struja iL(t) i iC(t) ne zatvara se prekogeneratora, koji predstavlja beskonacni otpor za njihovo proticanje. Za odrzavanjeove komponente struje generator ne ulaze energiju. Za t > 0 zbir komponenti strujaiL(t) i iC(t) frekvencije ω jednak je struji generatora ig(t).

Analiza rednog LC kola, prikljucenog na naponski generator vg(t)=Vg cos ω0tu(t)jednostavno se provodi na osnovu analogije sa dulanim paralelnim LC kolom.

)(tiL

t

)(tiL

2

0

2

2

0

g

I

2

0

2

2

0

g

I

tIg 02

0

2

2

0cos

tIg 02

0

2

2

02cos


Odziv idealnog LC kola na pobudni sinusni signal za ω = ω0

Specijalni slucaj prinudnog odziva idealnog LC kola predstavlja njegovo priklju-cenje na sinusni signal frekvencije ω = ω0. Ovaj odziv predstavlja slucaj idealneantirezonancije paralelnog LC kola. Za paralelno LC kolo prikljuceno na strujnigenerator ig(t) = Ig cos ω0tu(t) diferencijalni jednacina za prinudni odziv za strujuiL(t) ima oblik:

(p2 + ω20)iL(t) = ω2

0Ig cosω0tu(t) (3.89)

uz pocetne uslove:

iL(0+) = 0piL(0+) = 0

Za ovaj slucaj (A(jω0) = 0) partikularno rjesenje iLp u opstem slucaju ima oblik:

iLp(t) = (k1 + k2t) cos ω0t + (k3 + k4t) sin ω0t

Konstante ki izracunavaju se uvrstavanjem opsteg oblika partikularnog rjesenja udiferencijalnu jednacinu odakle izvodimo:

iLp(t) =Igω0

2t sin ω0t (3.90)

U ovom slucaju partikularno rjesenje nije ograniceno posto vrijedi iLp(t)→∞ zat →∞. Uvrstavanjem iLp(t) u opsti izraz za prinudni odziv slijedi:

iL(t) = iLh(t) + iLp(t) = B1 cosω0t + B2 sin ω0t +Igω0

2t sin ω0t

Konstante B1 i B2 izracunavamo iz pocetnih uslova:

iL(0) = B1 = 0piL(0) = ω0B2 = 0

odakle izracunavamo B1 = 0 i B2 = 0. Prema tome prinudni odziv LC kola setrenutno uspostavlja i ima oblik:

iL(t) = iLp(t) =Igω0

2t sin ω0tu(t) (3.91)

Napon na kondenzatoru vC(t) izracunavamo iz relacije:

vC(t) = LiLdt

=Ig

2ω0L(ω0t cosω0t + sin ω0t)u(t) (3.92)

Tada struja kroz kondenzator ima oblik:

iC(t) = CdvC

dt=

Ig

2ω0L(−ω2

0t sin ω0t + ω0 cosω0t + ω0 cosω0t)u(t)

= (−Igω0

2t sin ω0tu(t) + Ig cos ω0t)u(t) (3.93)


Slika 3.23: Prinudni odziv i L(t) paralelnog LC kola prikljucenog na generatorig(t) = Ig cosω0(t)u(t)

Dijagram promjene struje iL(t) prikazan je na slici 3.23.Analizom izraza za struju iL(t) i napon vC(t) uocavamo da je komutacija regu-

larna (iL(0+) = 0 i vC(0+) = 0). Iz izraza za struje iL(t) i iC(t) zakljucujemo da seza t > 0 struja generatora zatvara kroz kondenzator. U kolu se javljaju oscilacije(napona i struja) frekvencije ω0, cija amplituda se povecava sa faktorom ω0t/2.Ove komponente struje se zatvaraju izmedju zavojnice i kondenzatora i ne prolazekroz generator. U toku prelaznog procesa generator ulaze energiju u kolo sto semanifestuje povecanjem amplitude ovih oscilacija. Za t→∞ amplitude struja inapona na kondenzatoru i zavojnici poprimaju beskonacnu vrijednost. Teoret-ski za t→∞ izmedju dinamickih elemenata osciluje beskonacna elektromagnetnaenergija, a generator u ovom stacionarnom prinudnom odzivu ne ulaze energiju zaodrzanje oscilacija i ponasa se kao da je otpojen iz kola.

3.2.4 Odziv kola drugog reda na eksponencijalnii kompleksni eksponencijalni pobudni signal

O ovom poglavlju obradjeni su prinudni odzivi RLC kola na eksponencijalni i kom-pleksni eksponencijalni pobudni signal. Posto eksponencijalni signal x(t) = Xmeσt

predstavlja specijalni slucaj kompleksnog eksponencijalnog signala x(t) = Xmest

(za Xm = Xmejθ, s = σ+jω) za vrijednosti parametara θ = 0 i ω = 0, prinudniodziv ys(t) RLC kola na eksponencijalni pobudni signal predstavlja specijalni slucajprinudnog odziva y

s(t) na kompleksni ekponencijalni signal. Zbog toga je dovoljno

analizirati odziv ys(t) RLC kola na kompleksni eksponencijalni signal x(t). Difer-

encijalna jednacina RLC kola za prinudni odziv ys(t), koja na desnoj strani ne

sadrzi izvod pobudnog signala x(t) (za m = 0), u opstem slucaju ima oblik:

(p2 + 2αp + ω20) y

s(t) = b0Xmest u(t) (3.94)

sa pocetnim uslovima:

ys(0+) = 0

pys(0+) = 0

tiL2

0gI

ttI

tig

L 0

0

sin2

t


Opsti oblik homogenog rjesenja yh(t) zavisi od parametara kola. Konstante koje

se pojavljuju u homogenom rjesenju imaju kompleksne vrijednosti. Partikularnorjesenje y

p(t) za A(s) 6= 0 ima oblik:

yp(t) =

b0Xm

A(s)est

Pocetne vrijednosti yp(0) i py

p(0) su:

yp(0) =

b0Xm

A(s)

pyp(0) =

b0sXm

A(s)= s y

p(0)

odakle izracunavamo pocetne vrijednosti za yh(0) i py

h(0):

yh(0) = −y

p(0) = −b0Xm

A(s)

pyh(0) = −py

p(0) = −b0sXm

A(s)= −s y

p(0)

Za slucaj da su prirodne frekvencije RLC kola razlicite s1 6= s2 homogeno rjesenjeima opsti oblik:

yh(t) = A1e

s1t + A2es2t

odnosno:py

h(t) = s1A1e

s1t + s2A2es2t

Za ovaj slucaj konstante A1 i A2 izracunavamo iz pocetnih uslova:

yh(0) = A1 + A2 = −y

p(0)

pyh(0) = s1A1 + s2A2 = −sy

p(0)

odakle slijedi:

A1 =s2 − s

s1 − s2

yp(0) =

s2 − s

s1 − s2

b0Xm

A(s)

A2 =s− s1

s1 − s2

yp(0) =

s− s1

s1 − s2

b0Xm

A(s)

Uvrstavanjem vrijednosti za konstante A1 i A2 izvodimo opsti izraz za prinudniodziv y

s(t):

ys(t)= y

h(t) + y

p(t)

=b0Xm

A(s)

[s2 − s

s1 − s2

es1t +s− s1

s1 − s2

es2t + est

]u(t)

=b0Xm

A(s)

[s

s1 − s2

(es2t−es1t)− 1s1 − s2

(s1es2t−s2e

s1t) + est)]u(t) (3.95)


Iz opsteg izraza za prinudni odziv ys(t) na kompleksni eksponencijalni signal

mozemo direktno odrediti prinudni odziv paralelnog RLC kola na pobudni sinusnisignal ig(t) = Ig cos ω0t u(t). Ako odredjujemo prinudni odziv za struju iL(t),vrijede sljedece relacije:

ig(t) = <ig(t)ig(t) = x(t)

odnosno:

iL(t) = <iL(t)iL(t) = y

s(t)

pri cemu vrijedi:

Xm = Ig

s = jω0

b0 = ω20

Posto vrijedi A(jω0) = 2αjω0 6= 0 za slucaj razlicitih prirodnih frekvencija:

s1 = −α + jωd

s2 = −α− jωd

uvrstavanjem odgovarajucih parametara u relaciju 3.95 slijedi:

iL(t) =ω2

0Ig

2αjω0

[jω0

2jωd(−2j sin ωdte

−αt)− 12jωd

2jω0 cos(ωdt− φ)e−αt + ejω0t

]

=ω0Ig

2α

[ejω0t−π

2 − ω0

ωdsin ωdte

−αt + jω0

ωdcos(ωdt− φ)e−αt

]

Odatle izvodimo izraz za prinudni odziv za struju iL(t):

iL(t) = <iL(t) =ω0Ig

2α(sinω0t− ω0

ωde−αt sin ωdt)u(t) (3.96)

Identican izraz smo izveli u poglavlju 3.2.3.

Za A(s) = 0 partikularno rjesenje ima opsti oblik:

yp(t) = Xmest(k1 + k2t)

Za ovaj slucaj kompleksne konstante k1 i k2 izracunavaju se iz jednacine:

(p2 + 2αp + ω20)y

p(t) = b0Xmest (3.97)

Uvrstavanjem izraza za yp(t) i izraza za:


pyp(t) = Xmest [(k1 + k2t)s + k2]

p2yp(t) = Xmest [(k1 + k2t)s + k2] s + k2s

= Xmest[(k1 + k2t)s

2 + 2k2s]

u jednacinu 3.97, nakon sredjivanja dobijamo jednacinu:

k2(s2 + 2αs + ω2

0)t + k1(s2 + 2αs + ω2

0) + 2k2(α + s) = b0

Posto vrijedi s2 + 2αs + ω20 = 0, slijedi:

k1 = 0

k2 =b0

2(α + s)

Prema tome, za ovaj slucaj partikularno rjesenje ima oblik:

yp(t) =

b0Xm

2(α + s)test (3.98)

U opstem slucaju uslov A(s)=0 se javlja kada pobudni signal x(t) sadrzi nekuod komponenti prirodnog odziva kola yn(t). Diferencijalna jednacina:

p2ys − ys = e−tu(t) (3.99)

cije su prirodne frekvencije s1/2 = ±1, predstavlja jedan takav slucaj. Prirodniodziv za kolo opisano ovom jednacinom ima oblik yn(t) = A1e

t + A2e−t. Dakle

pobudni signal ima clan koji je identican komponenti prirodnog odziva, koja odgo-vara frekvenciji s2 = −1. Za ovaj slucaj oblik partikularnog rjesenja se dobijamnozenjem pobude e−t sa polinomom (k1 + k2t), odnosno vrijedi:

yp(t) = (k1 + k2t)e−t

Uvrstavanjem pretpostavljenog oblika za yp(t) u diferencijalnu jednacinu 3.97 do-bija se:

yp(t) = −12te−t

odakle konacno dobijamo opsti oblik prinudnog odziva ys(t):

ys(t) = yh(t) + yp(t) = A1et + A2e

−t − 12te−t (3.100)

U ovom slucaju prinudni odziv nije ogranicena funkcija (limt→∞ ys(t) = ∞). Zapozitivne vrijednosti parametara kola ovaj oblik diferencijalne jednacine ne moze sepojaviti za RLC kola. Medjutim, za slucaj sinusnog pobudnog signala frekvencijeω, koji je prikljucen na idealno LC kolo, za slucaj ω = ω0 pobudni signal sadrzikomponentu koja se pojavljuje u prirodnom odzivu.

3.3. KOMPLETAN ODZIV KOLA DRUGOG REDA 99

Specijalni slucaj odredjivanja partikularnog rjesenja za sisteme drugog redajavlja se kada je jedna od prirodnih frekvencija kola jednaka nuli (s=0). Ovajslucaj za sisteme drugog reda javlja se kada je vrijednost parametra ω0 = 0,odnosno za diferencijalnu jednacinu oblika:

p2ys + 2αpys = b0x + b1px (3.101)

Za ovu diferencijalnu jednacinu rjesenje odgovarajuce homogene diferencijalnejednacine:

p2yh + 2αpyh = 0 (3.102)

ima oblik:yh(t) = A1 + A2e

−2αt

jer su prirodne frekvencije kola za odgovarajucu karakteristicnu jednacinu s2+2αs=0jednake s1 = 0 i s2 = −2α.

Za ovaj slucaj partikularno rjesenje yp(t) nalazi se transformacijom polaznediferencijalne jednacine na sljedeci nacin:

p(pyp + 2αyp) = b0x + b1px

pyp + 2αyp =1p(b0 + b1p)x(t)

Operator 1/p oznacava integralenje desne strane jednacine 3.101. Analizirajucioblik signala [(b0 + b1p)x(t)]/p pretpostavlja se oblik partikularnog rjesenja yp(t).Pretpostavljeni oblik yp(t) uvrstava se u polaznu diferencijalnu jednacinu 3.101 saciljem odredjivanja tacnog analitickog oblika partikularnog rjesenja. Ovakav oblikdiferencijalne jednacine ne moze da se pojavi kod elektricnih kola drugog reda.

3.3 Kompletan odziv kola drugog reda

Analizu kompletnog odziva kola drugog reda uradicemo na primjeru paralelnogRLC kola, sa pocetnim vrijednostima varijabli stanja iL(0−) = I0 i vC(0−) = V0,koje je prikljuceno na strujni generator ig(t) = Igu(t). Ukoliko kao izlaznu vari-jablu izaberemo struju kroz zavojnicu iL(t) tada diferencijalna jednacina ima oblik:

LCp2iL + LGpIL + iL = Igu(t) (3.103)

Rjesavanjem kola za t = 0+ izracunava se zavisni pocetni uslov:

piL(0+) =1L

V0

Kompletan odziv kola predstavlja rjesenje nehomogene diferencijalne jednacinestanja:

iL(t) = iLh(t) + iLp(t)


Ukoliko su prirodne frekvencije par kompleksnih brojeva:

s1/2 = −α± jωd = ω0ej( π

2 +φ)

homogeno rjesenje iLh ima oblik:

ih(t) = A1es1t + A2e

s2t

Partikularno rjesenje predstavlja stacionarni prinudni odziv kola (za t→∞) i zazadani pobudni signal ima oblik:

iLp(t) = Ig

Prema tome, opsti oblik kompletnog rjesenja predstavljen je relacijom:

iL(t) = A1es1t + A2e

s2t + Ig

pri cemu vrijedi s1 = s∗2. Konstante A1 i A2 izracunavaju se iz pocetnih vrijednosti,prema relacijama:

iL(0+) = I0 = A1 + A2 + Ig

piL(0+) =1L

V0 = s1A1 + s2A2

odakle vrijedi:

A1 = (I0 − Ig)s2

s2 − s1

− 1L

V01

s2 − s1

A2 = −(I0 − Ig)s1

s2 − s1

+1L

V01

s2 − s1

Uvrstavanjem konstanti A1 i A2 dobijamo oblik kompletnog odziva:

iL(t) = (I0 − Ig)s2e

s1t − s1es2t

s2 − s1

− 1L

V0es1t − es2t

s2 − s1

+ Ig (3.104)

Uvrstavanjem vrijednosti za s1/2 u pojedine komponente rjesenja iL(t) dobijamo:

s2 − s1 = (−α− jωd)− (−α + jωd) = −2jωd

es1t − es2t = e−αt(ejωdt − e−jωdt) = e−αt2j sin ωdt

s2es1t − s1e

s2t = ω0e−j( π

2 +φ)e(−α+jωd)t − ω0ej( π

2 +φ)e(−α−jωd)t

= ω0e−αt(ej(ωdt−π

2−φ) − e−j(ωdt−π2−φ))

= ω0e−αt2j sin(ωdt− π

2− φ)

= −ω0e−αt2j cos(ωdt− φ)

Uvrstavanjem izvedenih izraza u opsti oblik za kompletno rjesenje dobijamo:

3.4. ODZIV KOLA DRUGOG REDA - MODEL U PROSTORU STANJA 101

iL(t)=iLh(t)+iLp(t)= (I0 − Ig)−ω0e

−αt2j cos(ωdt− φ)−2jωd

− 1L

V0e−αt2j sin ωdt

−2jωd+ Ig

=(I0−Ig)ω0

ωde−αt cos(ωdt−φ)+

V0

ω0L

ω0

ωde−αt sin ωdt+Ig (3.105)

Analizom prethodnog izraza moze se zakljuciti da kompletan odziv kola drugogreda, kao i kod kola prvog reda, sadrzi tranzijentnu komponentu, koja predstavljahomogeno rjesenje iLh(t), i stacionarnu komponentu iLp(t) = Ig, koja predstavljapartikularno rjesenje diferencijalne jednacine stanja.

Izraz za iL(t) preuredimo na sljedeci nacin:

iL(t) = I0ω0

ωde−αt cos(ωdt− φ) +

V0

ω0L

ω0

ωde−αt sin ωdt

+ Ig

[1− ω0


](3.106)

Analizom prethodnog izraza lako je uociti da kompletan odziv kola iL(t) cini zbirprirodnog odziva in(t) (vidi relaciju 3.24) i prinudnog odziva is(t) (vidi relaciju3.56). Dakle, za RLC kolo vrijedi:

iL(t) = iLn(t) + iLs(t)

Na taj nacin smo dokazali da princip superpozicije prirodnog i prinudnog odzivavrijedi i za kola drugog reda.

3.4 Odziv kola drugog reda - model u prostorustanja

Odredjivanje odziva kola drugog reda , koje je provedeno u prethodnim poglavljima,bazirano je na definisanju modela kola pomocu diferencijalne jednacine drugogreda za izabranu izlaznu varijablu (koja je obicno i varijabla stanja). Rjesavanjemdiferencijalne jednacine stanja odredjuje se analiticki oblik za izabranu varijablu.Ostale varijable kola odredjuju se na osnovu analitickog oblika izlaznog signalarjesavanjem kola za t > 0+. Ovaj postupak se naziva klasicni metod rjesavanjaodziva LVN kola. U ovom poglavlju obradjen je postupak koji omogucava istovre-meno odredjivanje svih varijabli stanja kola, sto za RLC kolo drugog reda znaciodredjivanje struje zavojnice iL(t) i napona kondenzatora vC(t). Umjesto modeladiferencijalne jednacine viseg reda u ovom postupku koristi se sistem diferencijal-nih jednacina prvog reda. Ovaj postupak se bazira na koristenju modela LVN kolau prostoru stanja, koji je za LVN sisteme opisan u poglavlju 1.

Prirodni odziv RLC kola odredjen je pocetnim vrijednostima varijabli stanjaiL(0) = I0 i vC(0) = V0 i karakteristikama (parametrima i strukturom) kola.Pocetne vrijednosti I0 i V0 jednoznacno odredjuju pocetno energetsko stanje kola


u trenutku komutacije t=0. Varijable stanja iL(t) i vC(t) jednoznacno odredjujustanje kola u intervalu t>0, tako da se odziv kola moze prikazati i kao trajektorijastanja u koordinatnom sistemu iL−vC pomocu koordinata stanja (iL(t), vC(t)). Ko-ordinatni sistem iL− vC naziva se prostor stanja. Koristenje obje varijable stanjaRLC kola u modelu kola omogucava definisanje pocetnih uslova preko njihovihpocetnih vrijednosti, tako da nema potrebe za izracunavanjem zavisnih pocetnihvrijednosti. Metod prostora stanja moze se primijeniti i za rjesavanje odziva ne-linearnih i vremenski promjenljivih kola, a pogodan je za rjesavanje odziva kolakada se koriste racunarski bazirani numericki postupci.

3.4.1 Jednacine stanja i trajektorija stanja RLC kola

Prirodni odziv paralelnog RLC kola za t ≥ 0, moze se opisati jednacinama:

piL =1L

vC

pvC = − 1C

iL − G

CvC (3.107)

sa pocetnim vrijednostima:

iL(0+) = I0

ivC(0+) = V0

Sistem jednacina 3.107 predstavlja sistem diferencijalnih jednacina u modeluprostora stanja. Varijable stanja iL(t) i vC(t) jednoznacno odredjuju stanje kolaza t ≥ 0. Pocetne vrijednosti varijabli stanja iL(0) i vC(0) jednoznacno odredjujupocetno (energetsko) stanje kola za t = 0. Posto je odziv kola definisan varijablamaiL(t) i vC(t) trajektorija tacaka (iL(t), vC(t)) za t ∈ (0,+∞) naziva se trajektorijau prostoru stanja.

Par vrijednosti (iL(t), vC(t)) mozemo posmatrati i kao koordinate vektora y(t)u prostoru stanja:

y(t) =[

iL(t)vC(t)

]

koji se naziva vektorom stanja, ili jednostavno stanjem kola.

Na slikama 3.24, 3.25 i 3.26 prikazani su dijagrami promjene struje zavo-jnice iL(t) i napona kondenzatora vC(t) kao i trajektorija stanja (iL(t), vC(t)),za prirodni odziv paralelnog RLC kola sa pocetnim vrijednostima iL(0) = 1A ivC(0) = 1V za sljedece slucajeve:

• eksponencijalno-prigusni slucaj, kada su parametri kola: R = 3 Ω, L = 4Hi C = 1/12F , odnosno za α = 2 i ω0 =

√3. Prirodne frekvencije kola su

s1 = −1 i s2 = −3. Prirodni odziv kola, za ovaj slucaj, ima oblik:

iL(t) =138

e−t − 58e−3t

vC(t) = −132

e−t +152

e−3t


Slika 3.24: Odzivi kola i trajektorija stanja paralelnog RLC kola za eksponenci-jalno prigusni slucaj

• eksponencijalno-sinusni slucaj, kada su parametri kola R = 1Ω, L = 1H iC = 1F , odnosno za α = 1

2 te ω0 = 1 i ωd =√

32 . Prirodne frekvencije kola

su:

s1 = −12

+ j

√3

2

s2 = −12− j

√3

2Prirodni odziv kola, za ovaj slucaj, ima oblik:

iL(t) = e−12 t(cos

√3

2t +

√3 sin

√3

2t) = 2e−

12 t(cos

√3

2t− 60)

vC(t) = e−12 t(cos

√3

2t−

√3 sin

√3

2t) = 2e−

12 t(cos

√3

2t + 60)

1

0.5

1 2 3 4 5

Li

t

2

1

0

-1

-2

1 2 3 4 5t

Cv

Cv

Li

0t1

0

-1

-2

-3

0.5 1

t

2t

1t

62.0t


Slika 3.25: Odzivi kola i trajektorija stanja paralelnog RLC kola za eksponenci-jalno sinusni slucaj

• sinusni slucaj: kada su parametri kola R = 0Ω, L = 1/4H i C = 1F , odnosnoza α = 0, ω0 = 2. Prirodne frekvencije kola su s1/2 = ±j2. Prirodni odzivkola, za ovaj slucaj, ima oblik:

iL(t) = cos 2t +12

sin 2t = 1.01 cos(2t− 7)

vC(t) = cos 2t− 8 sin 2t = 8.06 cos(2t + 83)

Li

t

1

0 1 2 3

Cv

t

1

0 1 2 3

1

1 2

0

Cv

Li


Slika 3.26: Odzivi kola i trajektorija stanja paralelnog idealnog LC kola

3.4.2 Matricna forma prirodnog odziva

Jednacine stanja za prirodni odziv paralelnog RLC kola mogu se napisati u ma-tricnoj formi:

dy(t)dt

= Ay(t) (3.108)

uz pocetni uslov y(0) = y0, gdje su:

A =[

0 1L

− 1C

GC

]

i

y0 =[

I0

V0

]

1

0

-1

4

2

4

3

t

Li

0

4

8

4

2

4

3

Cv

Li

Cv

8

4

-4

-8

-1 1

...,,0 t

a.

b.


Matricna jednacina 3.108 ima oblik kao i skalarna jednacina:

dy

dt+ αy = 0

odnosno kao jednacina:dy

dt= ay, y(0) = y0

cije je rjesenje (prirodni odziv) ima oblik yn(t) = y0eat. Analogno, prema teoriji

linearnih sistema, rjesenje matricne jednacine 3.108 ima oblik:

y(t) = y0eAt, t ≥ 0 (3.109)

gdje je eAt matrica koja zavisi od matrice A i vremena t. Matrica A definise procestransformacije vektora pocetnih stanja y0 u vektor stanja sistema sistema y(t).Transformacija, definisana relacijom 3.109, predstavlja linearnu transformaciju.Matrica eA moze se priblizno definisati pomocu reda:

eAt = I + At + A2 t2

2!+ · · ·+ An tn

n!(3.110)

gdje je I jedinicna matrica.

3.4.3 Priblizan metod odredjivanja trajektorije stanja

U jednacini 3.108 izraz dy(t)/dt predstavlja gradijent duz trajektorije y(t) u pro-storu stanja. Priblizan metod za odredjivanje trajektorije y(t) mozemo izvesti izpocetnih vrijednosti y(0) uz poznavanje vrijednosti gradijenta u t=0 (dy/dt| (t=0))koristeci jednostavni korak-po-korak metod, koji je opisan u nastavku. Ukolikoposmatramo dovoljno mali interval ∆t, mozemo smatrati da je vrijednost gradi-jenta dy/dt duz intervala ∆t konstantna tako da se trajektorija y(t) moze pribliznoprikazati pomocu pravca (dy/dt)∆t. Dakle, polazeci od pocetne vrijednosti y(0)slijedi:

(dydt

)(0) = Ay0

i

y(∆t) = y0 +dydt

(0)∆t = y0 + Ay0∆t

Odavde se izvodi rekurzivni obrazac za izracunavanje sukcesivnih, pribliznih vri-jednosti varijable stanja y[(k + 1)∆t)], za k = 0, 1, 2, ..., N :

y[(k + 1)∆t] = y(k∆t) + Ay(k∆t)∆t = (I + ∆tA)y(k∆t) (3.111)

Za vrijednosti ∆t → 0, aproksimacija y(k∆t) predstavlja trajektoriju varijablestanja y(t).


Primjenu ove metode ilustrovati cemo na primjeru paralelnog RLC kola, zaeksponencijalno - sinusni slucaj, za koje jednacina stanja, napisana u matricnojformi, ima oblik: [

dy1/dtdy2/dt

]=

[0 1

−1 −1

] [y1

y2

]

uz vektor pocetnih vrijednosti:

y(0) =[

y1(0)y2(0)

]=

[11

]

Za ∆t = 0.2(s) rekurzivni obrazac, napisan u matricnoj formi, ima oblik:

y[(k + 1)∆t] = (I + ∆tA)y(k∆t)

=[

1 00 1

]+ 0.2

[0 1−1 −1

]y(k∆t)

=[

1 0.2−0.2 0.8

]y(k∆t)

Na slici 3.27. prikazana je priblizna trajektorija y(k∆t) za vrijednost parame-tra ∆t = 0.2(s) kao trajektorija y(t).

Slika 3.27: Trajektorija y(k∆t) izracunata pribliznom metodom ”korak-po-korak”

Priblizni metod, koji koristi rekurzivne obrasce, pogodan je za programiranjena digitalnim racunarima. Ovaj postupak se moze primjeniti i za priblizno odredji-vanje trajektorije u prostoru stanja za nelinearna elektricna kola.

3.4.4 Matricna forma kompletnog odziva RLC kola u pros-toru stanja

Ukoliko se paralelno RLC kolo prikljuci na strujni generator ig(t), tada jednacinestanja, napisane u formi prostora stanja, imaju oblik:

piL =1L

vC

pvC = − 1C

iL − G

CvC +

1C

ig

Li

cv

1

1

0t

2.0t

4.0t

6.0t

8.0t

1t2.1t

4.1t6.1t0.2t

8.2t


Pocetne vrijednosti varijabli stanja su iL(0+) = I0 i vC(0+) = V 0.Napisane u matricnoj formi, jednacine stanja imaju oblik:

dydt

= Ay + Bx(t) (3.112)

gdje su vrijednosti matrica:

A =[

0 1L

− 1C −G

C

]

B =[

01C

]

i vektora:

y =[

iL(t)vC(t)

]

Pobudni signal ima vrijednost x(t) = ig(t). Vektor pocetnih vrijednosti je:

y0 = y(0) =[

I0

V0

]

Matrice A i B su matrice sa konstantnim koeficijentima, koji zavise od parametarakola.

Matricna jednacina 3.112, ima slican oblik sa skalarnom jednacinom:

dy

dt= ay + bx(t)

sa pocetnim uslovom y(0) = y0. Rjesenje ove skalarne jednacine, kao sto jepokazano u poglavlju 2 ima oblik:

y(t) = y0eat +

∫ t

0

ea(t−τ)b x(τ) dτ (3.113)

Pri tome prvi clan rjesenja odgovara prirodnom odzivu sa pocetnim uslovom y(0),a drugi clan prinudnom odzivu na pobudni signal x(t). Analogno, prema teorijisistema, rjesenje matricne 3.112 jednacine ima oblik:

y(t) = y0eAt +

∫ t

0

eA(t−τ)Bx(τ) dτ (3.114)

Prvi clan rjesenja matricne jednacine predstavlja prirodni odziv kola, a drugi clanprinudni odziv kola. Time je ponovo dokazan princip superpozicije prirodnog iprinudnog odziva za kola drugog reda.

3.5. ANALOGNI MEHANICKI SISTEMI DRUGOG REDA 109

Slika 3.28: Mehanicki sistem drugog reda

3.5 Analogni mehanicki sistemi drugog reda

Na mehanicki sistem prikazan na slici 3.28.a koji sadrzi tijelo mase M povezanosa oprugom elasticnosti K za fiksnu povrsinu, djeluje sila fs. Koeficijent trenjaizmedju tijela i povrsine je B. Ovaj sistem predstavlja dinamicki sistem drugogreda.

Na slici 3.28.b prikazane su sile koje djeluju na tijelo M. Na osnovu Njutnovogzakona, moguce je napisati jednacinu ravnoteze (stanja):

fs − fk − fB = Mdv

dt

gdje je v–brzina kretanja tijela u pravcu djelovanja sile fs. Poznato je da izmedjusile trenja fB i brzine v postoji proporcionalnost, tj. da vrijedi fB(v) = Bv, a daizmedju sile opruge fk i pomjeranja x vrijedi zavisnost fk(x) = Kx. Jednacinastanja tada ima oblik:

Mdv

dt+ Bv + Kx = fs (3.115)

pri cemu vrijedi v = dx/dt, odakle slijedi:

x =∫ t

−∞v(τ)dτ = x(0) +

∫ t

0

v(τ)dτ

Tada diferencirajuci jednacinu 3.115 izvodimo:

Md2v

dt2+ B

dv

dt+ Kv =

d

dtfs

odnosno nakon sredjivanja:

d2v

dt2+

B

M

dv

dt+

K

Mv =

1M

d

dtfs (3.116)

Jednacina je analogna jednacini stanja paralelnog RLC kola, prikljucenog na stru-jni generator, kada je varijabla stanja napon na kondenzatoru. Prema tome, para-lelno RLC kolo i mehanicki sistem prikazan na slici 3.28 su analogni sistemi. Odgo-varajuci, analogni parametri elektricnog i mehanickog sistema su:

M fSK

MfS

fkfB


• masa M i kapacitet C

• trenje B provodnost G

• elasticnost K i induktivitet L

a analogne varijable stanja:

• sila f(t) i struja i(t)

• brzina v(t) i napon v(t)

• pomjeraj x(t) i fluks φ(t)

Analogne jednacine stanja elemenata sistema su:

• za masu f = Mdv/dt i za kondenzator iC = CdvC/dt

• za trenje f = Bv i za provodnost i = Gv

• za oprugu f(t)=f(0)+K∫ t

0v(τ)dτ i za zavojnicu i(t)= i(0)+ 1

L

∫ t

0v(τ)dτ

analiza lvn kola drugog reda

Documents