astronomija i astrofizika ii - university of rijekarjeŠavanje lane –emdenove jednadŽbe -...
TRANSCRIPT
Astronomija i astrofizika II
POLITROPSKI MODELI I LANE-EMDENOVA
JEDNADŽBA
POLITROPSKI ZVJEZDANI MODELI
- Sustav jednadžbi strukture zvijezde nije moguće analitički riješiti nužne su numeričke metode i modeliranje
Analitički zvjezdani modeli: Lane-Emdenova jednadžba- Analitička rješenja su moguća u popsebnim i vrlo
ograničenim slučajevima
J. Homer Lane 1869.Robert Emden proširio Laneov rad
Mehaničke jednadžbe strukture zvijezde moguće je simultano riješiti bez jednadžbi za izvor i prijenos energije ukoliko postoji jednostavna ovisnost tlaka o gustoći
Mehaničke jednadžbe strukture zvijezde:
Hidrostatska ravnoteža:𝑑𝑃
𝑑𝑟= −𝐺
𝑀𝑟𝜌
𝑟2 = −𝜌𝑔
Jednadžba očuvanja mase:𝑑𝑀𝑟
𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌
Jednadžba izvora energije:𝑑𝐿𝑟
𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌𝜖
Temperaturni gradijent za prijenos energije zračenjem:𝑑𝑇
𝑑𝑟= −
3
4𝑎𝑐
𝜅𝜌
𝑇3
𝐿𝑟
4𝜋𝑟2
Adijabatski temperaturni gradijent:𝑑𝑇
𝑑𝑟= − 1 −
1
𝛾
𝜇𝑚𝐻
𝑘
𝐺𝑀𝑟
𝑟2
- Analitičko rješenje zahtjeva jednostavnu ovisnost:𝑃 = 𝑓 𝜌
- U stvarnosti tlak ne ovisi jednostavno o gustoći tlak ovisi i o temperaturi i o sastavu zvijezde ovisnost je vrlo složena
- Jednadžba stanja plina je složena 𝑃 = 𝑓 𝜌, 𝑇, 𝑋, 𝑌, 𝑍
Pod određenim uvjetima tlak ovisi samo i isključivo o gustoći!
- U adijabatskom plinu tlak eksplicitno ovisi samo o gustoći:
𝑃 = 𝐾𝜌𝛾
POLITROPI su hipotetski zvjezdani modeli u kojima tlak jednostavno ovisi o gustoći
- Relativna jednostavnost politropskih modela omogućuje uvid u zvjezdanu strukturu
LANE – EMDENOVA JEDNADŽBA
Izvod (nije potpun, koraci su preskočeni i izvedeni na nastavi)
Jednadžba hidrostatske ravnoteže:𝑑𝑃
𝑑𝑟= −𝐺 𝑀𝑟𝜌/𝑟2
𝑑
𝑑𝑟
𝑟2
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝑟= −𝐺
𝑑𝑀𝑟
𝑑𝑟
Iskoristimo jednadžbu očuvanja mase:𝑑𝑀𝑟
𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌
kako bi iz gornje jednadžbe eliminirali gradijent mase:1
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟
𝑟2
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝑟= −4𝜋𝐺𝜌
Poissonova jednadžba:𝟏
𝒓𝟐
𝒅
𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝝆
𝒅𝑷
𝒅𝒓= −𝟒𝝅𝑮𝝆 (𝟏)
Definiramo gravitacijsku potencijalnu energiju po jedinici mase:
𝜱𝒈 ≡𝑼𝒈
𝒎Iz gornje jednadžbe dobijemo sferno simetrični oblik Poissonove jednadžbe:
𝟏
𝒓𝟐
𝒅
𝒅𝒓𝒓𝟐
𝒅𝜱𝒈
𝒅𝒓= 𝟒𝝅𝑮𝝆
Izvod sferno-simetrične Poissonove jednadžbe tijekom nastave.
- Poissonova jednadžba je vrlo česta u fizici: elektromagnetizam električno polje kao negativni gradijent elektrostatskog potencijala (Maxwellove
jednadžbe): 𝐸 = −𝛻𝑈
Pretpostavka jednostavne ovisnosti tlaka o gustoći Politropska jednadžba stanja:
𝑷 𝝆 = 𝑲𝝆𝜸 𝐾, 𝛾 > 0 su konstante
Uvrstimo politropsku jednadžbu stanja u Poissonovujednadžbu (1) (koraci preskočeni):
𝛾𝐾
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟𝑟2𝜌𝛾−2
𝑑𝜌
𝑑𝑟= −4𝜋𝐺𝜌
Zamjena:
𝛾 ≡𝑛 + 1
𝑛
n je politropski indeks
𝑛 + 1
𝑛
𝐾
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟𝑟2𝜌 1−𝑛 /𝑛
𝑑𝜌
𝑑𝑟= −4𝜋𝐺𝜌
Gornju jednadžbu možemo zapisati u bezdimenzionalnom obliku radi pojednostavljenja:- Gustoću zapišemo bezdimenzionalno preko faktora
skaliranja 𝝆𝒄 i bezdimenzijske funkcije 𝑫𝒏 𝒓 koja
opisuje ovisnost gustoće o udaljenosti r :𝝆 𝒓 = 𝝆𝒄 𝑫𝒏 𝒓 𝒏 𝟎 ≤ 𝑫𝒏 ≤ 𝟏
𝜌𝑐 će predstavljati gustoću u središtu zvijezde u
politropskom modelu
Ubacimo bezdimenzionalni oblik u gornju jednadžbu (izvod na satu) i dobijemo:
𝑛 + 1𝐾𝜌𝑐
1−𝑛 /𝑛
4𝜋𝐺
1
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟𝑟2
𝑑𝐷𝑛
𝑑𝑟= −𝐷𝑛
𝑛
- Izraz u uglatim zagradama je konstantan i ima dimenziju kvadrata udaljenosti
Definiramo:
𝜆𝑛 ≡ 𝑛 + 1𝐾𝜌𝑐
1−𝑛 /𝑛
4𝜋𝐺
1/2
Uvedemo bezdimenzijsku nezavisnu varijablu 𝝃 kojom skaliramo i udaljenost r :
𝒓 ≡ 𝝀𝒏𝝃
i ubacimo u gornju jednadžbu (izvod na satu):𝜆𝑛
2
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟𝑟2
𝑑𝐷𝑛
𝑑𝑟= −𝐷𝑛
𝑛
Konačno dobijemo:
Lane – Emdenova jednadžba:
𝟏
𝝃𝟐
𝒅
𝒅𝝃𝝃𝟐
𝒅𝑫𝒏
𝒅𝝃= −𝑫𝒏
𝒏
Rješavanjem Lane-Emdenove jednadžbe dobijemo bezdimenzijsku funkciju 𝐷𝑛 𝜉 u ovisnosti o bezdimenzijskoj varijabli 𝜉 koja opisuje udaljenost za određeni politropski
indeks n- Rješenja za 𝐷𝑛 𝜉 vode do profila ovisnosti gustoće o
udaljenosti r 𝝆 = 𝝆𝒏 𝒓- Profil tlaka kao ovisnost tlaka o udaljenosti r dobijemo
iz politropske jednadžbe stanja:
𝑷𝒏 𝒓 = 𝑲𝝆𝒏𝒏+𝟏 /𝒏
- Temperaturni profil možemo dobiti uz pretpostavku idealnog plina i tlaka zračenja za konstantni sastav zvijezde:
𝑃𝑛 𝑟 =𝜌𝑛 𝑟 𝑘𝑇𝑛 𝑟
𝜇𝑚𝐻+
1
3𝑎𝑇𝑛
4 𝑟
RJEŠAVANJE LANE – EMDENOVE JEDNADŽBE
- Potrebno je riješiti diferencijalnu jednadžbu drugog reda diferencijalne jednadžbe je moguće riješiti samo uz zadane rubne uvjete
- Diferencijalna jednadžba drugog reda zahtjeva dvije konstante integracije nužna su dva rubna uvjeta
RUBNI UVJETI:
POVRŠINA ZVIJEZDE:- Na površini pretpostavljamo da su tlak i gustoća jednaka
nuli:𝑃𝑛 𝑟 = 𝑅 → 0 ⇒ 𝜌𝑛 𝑟 = 𝑅 → 0
𝑫𝒏 𝝃𝟏 = 𝟎 𝐧𝐚 𝐩𝐨𝐯𝐫š𝐢𝐧𝐢 𝐨𝐝𝐫𝐞đ𝐞𝐧𝐨𝐣 𝐬 𝝃 = 𝝃𝟏
𝜉1 predstavlja površinu i ujedno je nul-točka rješenja 𝐷𝑛 𝜉
SREDIŠTE ZVIJEZDE:
- Promatramo udaljenost inifinitezimalno blizu središtu zvijezde: 𝒓 = 𝜹
- Masa sadržana u inifinitezimalno malom volumenu radijusa 𝑟 = 𝛿:
𝑀𝑟 =4𝜋
3 𝜌𝛿3
𝜌 je srednja gustoća plina unutar radijusa 𝑟 = 𝛿, odnosno u središtu zvijezde
Uvrstimo u jednadžbu hidrostatske ravnoteže (izvod na satu):
𝑑𝑃
𝑑𝑟= −𝐺
𝑀𝑟𝜌
𝑟2
te dobijemo:𝑑𝑃
𝑑𝑟= −
4𝜋
3𝐺 𝜌2𝛿 → 0 ako 𝛿 → 0
Tlak iznosi:
𝑃 = 𝐾𝜌 𝑛+1 /𝑛
Slijedi:𝑑𝑃
𝑑𝑟= 𝐾
𝑛 + 1
𝑛𝜌1/𝑛
𝑑𝜌
𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0
ako 𝑑𝑃
𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0 slijedi:
𝒅𝝆
𝒅𝒓→ 𝟎 𝒛𝒂 𝜹 → 𝟎
𝜌 = 𝜌𝑐𝐷𝑛𝑛
𝑑𝜌
𝑑𝑟= 𝜌𝑐𝑛𝐷𝑛
𝑛−1𝑑𝐷𝑛
𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0
ako 𝑑𝜌
𝑑𝑟→ 0 za 𝛿 → 0 slijedi:
𝒅𝑫𝒏
𝒅𝒓→ 𝟎 𝐳𝐚 𝜹 → 𝟎
𝑟 ≡ 𝜆𝑛𝜉𝑑𝐷𝑛
𝑑𝑟=
𝑑𝐷𝑛
𝜆𝑛𝑑𝜉→ 0 za 𝛿 → 0
Rubni uvjet u središtu zvijezde:
𝒅𝑫𝒏
𝒅𝝃→ 𝟎 𝐳𝐚 𝜹 → 𝟎
U središtu zvijezde za 𝜉 = 0, 𝜌𝑐 treba predstavljati gustoću u središtu normaliziranje skalirane funkcije gustoće 𝑫𝒏:
𝑫𝒏 𝟎 = 𝟏
Izvod:
𝜌 𝑟 = 0 = 𝜌𝑐
𝜌 𝑟 = 𝜌𝑐 𝐷𝑛 𝑟 𝑛 ⇒ 𝑫𝒏 𝟎 = 𝟏
Ukupna masa zvijezde u politropskom modelu za određeni indeks n može se odrediti ukoliko su definirani rubni uvjeti u središtu i na površini:
𝑀 = 4𝜋 0
𝑅
𝑟2𝜌 𝑟 𝑑𝑟
Polumjer zvijezde r = R 𝑹 = 𝝀𝒏𝝃𝟏
U gornji integral ubacimo bezdimenzijske veličine (izvod izostavljen) i dobijemo:
𝑀 = 4𝜋𝜆𝑛3𝜌𝑐
0
𝜉1
𝜉2𝐷𝑛𝑛𝑑𝜉
Iz Lane-Emdenove jednadžbe dobijemo (izvod izostavljen):
𝜉2𝐷𝑛𝑛 = −
𝑑
𝑑𝜉𝜉2
𝑑𝐷𝑛
𝑑𝜉
Ubacimo taj izraz u integral za masu i integriramo (izvod izostavljen):
𝑀 = −4𝜋𝜆𝑛3𝜌𝑐𝜉1
2𝑑𝐷𝑛
𝑑𝜉 𝜉1
𝑑𝐷𝑛
𝑑𝜉 𝜉1
je derivacija 𝐷𝑛 na površini zvijezde
Lane – Emdenova jednadžba je matematički 'lijepa' ali sadrži mnoga ograničenja:1. Ne uključuje prijenos energije u zvijezdi2. Ne uključuje izvore energije u zvijezdi3. Vrijedi samo za hidrostatsku ravnotežu uz očuvanje
mase4. Vrijedi samo za idealizirane politropske jednadžbe
stanja plina
Lane – Emdenova jednadžba ima samo 3 analitička rješenja i to za indekse n = 0, 1, 5
Rješenje za politropski indeks n = 0
Lane – Emdenova jednadžba:1
𝜉2
𝑑
𝑑𝜉𝜉2
𝑑𝐷𝑛
𝑑𝜉= −𝐷𝑛
𝑛
Uvrstimo indeks n = 0:1
𝜉2
𝑑
𝑑𝜉𝜉2
𝑑𝐷0
𝑑𝜉= −𝐷0
0 = −1
Sredimo i integriramo jednom (izvod izostavljen):
𝑑𝐷0
𝑑𝜉= −
𝜉
3+
𝐶′
𝜉2
Konstantu integriranja C' odredimo iz rubnog uvjeta u središtu zvijezde:
𝑑𝐷0
𝑑𝜉= 0 𝑧𝑎 𝜉 = 0
𝜉2𝑑𝐷0
𝑑𝜉 𝜉=0
= 𝐶′ ⇒ 𝐶′ = 0
Sada imamo:𝑑𝐷0
𝑑𝜉= −
𝜉
3Integriramo i dobijemo (izvod izostavljen):
𝐷0 = −𝜉2
6+ 𝐶′′
Drugu konstantu integracije odredimo iz uvjeta normalizacije u središtu zvijezde:
𝜌 0 = 𝜌𝑐 ⇒ 𝐷0 0 = 1
𝜉 → 0 ⟹ 𝐶′′ = 1
Rješenje za politropski indeks n = 0:
𝑫𝟎 = 𝟏 −𝝃𝟐
𝟔
Na površini 𝜉1 rubni uvjet je 𝜌 𝑟 = 𝑅 = 0 𝐷0 𝜉1 = 0
𝝃𝟏 = 𝟔
Rješenje za politropski indeks n = 1
𝐷1 𝜉 =sin 𝜉
𝜉𝜉1 = 𝜋
Rješenje za politropski indeks n = 5
𝐷5 𝜉 = 1 +𝜉2
3
−1/2
𝜉1 → ∞
- Iako radijus zvijezde teži u beskonačnost, ukupna masa zvijezde je konačna!
- Politropi za 𝑛 ≥ 5 nisu fizikalni jer ukupne mase nisu
konačne
Fizikalno moguća rješenja postoje samo za politropske indekse 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝟓
Analitička rješenja Lane-Emdenove jednadžbe za politropske indekse n = 0, 1, 5
Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson
Analitička rješenja Lane-Emdenove jednadžbe za politropske indekse n = 0, 1, 5
- Sličnost politropske jednadžbe stanja sa jednadžbom stanja adijabatskog plina
- Za idealni monoatomni plina 𝛾 = 5/3
𝛾 ≡𝑛 + 1
𝑛
𝑛 ≡1
𝛾 − 1=
3
2
Adijabatski plin ima politropski indeks n = 1.5
Kompaktne zvijezde velike gustoće (bijeli patuljci) također se mogu opisati politropskim indeksom n = 1.5 (nerelativističke potpuno degenerirane zvijezde)
- Politrop n = 1.5 ne može se riješiti analitički, samo numerički!!
Eddingtonov standardni model
- Zvijezda u radijativnoj ravnoteži opisana je s politropskim indeksom n = 3
- Pretpostavimo politrop u kojem ravnotežu održavaju tlak idealnog plina i tlak zračenja
- Ukupan tlak u nekoj točki unutar zvijezde je:𝑃 = 𝑃𝑔 + 𝑃𝑟𝑎𝑑
Tlak idealnog plina:
𝑃𝑔 =𝜌𝑘𝑇
𝜇𝑚𝐻= 𝛽𝑃
0 ≤ 𝛽 ≤ 1𝛽 predstavlja udio tlaka zračenja u ukupnom tlaku
Doprinos ukupnom tlaku zbog tlaka zračenja:
𝑃𝑟𝑎𝑑 =1
3𝑎𝑇4 = 1 − 𝛽 𝑃
Politropska jednadžba stanja mora biti neovisna o temperaturi i mora ovisiti samo o gustoći eliminirajmo temperaturu T :
𝜌𝑘𝑇
𝜇𝑚𝐻= 𝛽𝑃
𝑇 =𝜇𝑚𝐻𝛽𝑃
𝜌𝑘Uvrstimo temperaturu u tlak zračenja (izvod na satu) i dobijemo konačno:
𝑃 =3 1 − 𝛽
𝑎
𝑘
𝜇𝑚𝐻𝛽
4 1/3
𝜌4/3
- Izraz u uglatim zagradama je konstantan:
𝐾 =3 1 − 𝛽
𝑎
𝑘
𝜇𝑚𝐻𝛽
4 1/3
Konačno dobijemo:
𝑃 = 𝐾𝜌4/3
𝛾 = 4/3 𝑛 =1
𝛾−1 𝒏 = 𝟑
U astrofizici najznačajniji su politropski modeli s indeksima n = 1.5 i n = 3- Ovi modeli nemaju analitička rješenja- Numerička rješenja ovih modela su jednostavna (vidi
zadatak za dodatne bodove)
Rješenja Lane-Emdenove jednadžbe za politropske indekse n = 0, 1, 1.5, 3, 5
Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson