krivulje drugog reda
DESCRIPTION
Krivulje Drugog RedaTRANSCRIPT
-
Formule Krunica
-
Krunica
1. Odredite sredite i radijus krunice (x-4)2+(y+3)2=25 .
2. Odredite sredite i radijus krunice x2+(y-6)2=81.
3. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2=64.
4. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2+14x-6y+33=0.
5. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2-4x-5=0.
6. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2-6y-16=0.
7. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).
8. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).
Elipsa 9. Skicirajte elipsu 9x2+4y2=36.
10. Skicirajte elipsu x2+4y2=16.
11. Odredite jednadbu elipse koja prolazi tokama A(-2,2), B(4,-1).
12. Odredite jednadbu elipse koja prolazi tokama A(-18,20), B(24,-15).
Hiperbola
13. Skicirajte hiperbolu 25x2 - 9y2 =225.
14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144.
15. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-9,0) i B(-15,-18).
16. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-6,-3) i ( )3,18B .
Parabola
17. Skicirajte parabolu y2=6x.
18. Skicirajte parabolu y2=10x.
19. Odredite jednadbu parabole iji fokus je
a) na pozitivnom dijelu x osi i koja prozazi kroz toku A(5,-5)
b) na nagativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(-5,-5) .
20. Odredite jednadbu parabole iji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(2,1) ,
b) negativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(-2,1) .
-
Rjeenja: Krunica
Na slici 1. su prikazane krunice iz zadataka 1, 2 i 3 asredita sui m po redu: S, C i D.
Opa jednadba krunice dana je formulom: (x-p)2+(y-q)2=r2 , pri emu su p I g coordinate
sredita krunice S = (p,q). a r je radijus krunice. Lako iz prva tri zadatka proita iz zadanih
jednadbi:
1. iz jednadbe (x-4)2+(y+3)2=25 => p = 4, q = -3 => S = (4,-3), r = 5
2. iz jednadbe x2+(y-6)2=81 => p = 0, q = 6 => S = (0,6), r = 9
3. iz jednadbe x2+y2=64 => p = 0, q = 0 => S = (0,0), r = 8 => ovu krunicu koja ima
sredite u ishoditu zovemo sredinja krunica.
Jednadba krunice (x-p)2+(y-q)2=r2
moe se napisati i u obliku:
x2 + y2 + ax + by + c =0,
pri emu je: a = -2p
b = -2q
c = p2 + q2 r2
4. Iz jednadbe:
x2+y2+14x-6y+33=0
vidimo da je 14 = -2p / : (-2)
-6 = -2q / : (-2)
33 = p2 + q2 r2
=> p = -7, q = 3 => S= (-7,3)
r2 = -33 + (-7)2 + 32 = -33 + 49 +9
r2 = 25
r = 5
pa jednadu moemo pisati kao : Slika 1
(x+7)2+(y-3)2=25 a graf joj je dan na slici 2.
-
Slika 2.
5. Iz jednadbe: x2+y2-4x-5=0 vidimo da je : Slika 3.
-4 = -2p / : (-2
0 = -2q / : (-2)
-5 = p2 + q2 r2
=> p = 2, q = 0 => S= (2,0)
r2 = 5 + 22 + 02 = 9
r = 5
pa jednadu moemo pisati kao :
(x-2)2 + y2 = 9 a graf joj je dan na slici 3.
6. Iz jednadbe: x2+y2-6y-16=0 vidimo da je Slika 4.
0 = -2p / : (-2
-6 = -2q / : (-2)
-16 = p2 + q2 r2
=> p = 0, q = 3 => S= (0,3)
r2 = 16 + 02 + 32 = 25
r = 5
pa jednadu moemo pisati kao :
x2 + (y-3)2 = 25 a graf joj je dan na slici 4.
-
7. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).
Slika 11.
U jednadbu krunice (x-p)2+(y-q)2=r2 uvrstimo koordinate toaka A, B i C.
222 )1()3....( rqpA =+ 222 )5()5....( rqpB =+
______________________
)4()2....( 222 rqpC =+
222 2169.... rqqppA =++++ ( )1/10251025.... 222 =+++ rqqppB
____________________________
81644.... 222 rqqppC =++++
Zbrajanjem prve i druge, te druge i tree jednadbe dobijemo:
222 2169.... rqqppA =++++ 222 10251025.... rqqppB =++ 222 10251025.... rqqppB =++ 222 81644.... rqqppC =++++
__________________________0291421.....08241616.....
=+++=+++
qpCBqpBA
( )__________________________
4/30214.....40816.....
=++=++
qpCBqpBA
-
(__________________________
4/120856.....40816.....
=+ )=++qpCB
qpBA
=> ( )
240:/8040
==
pp
408216 =+ q => 8q = 40 32 => 8q = 8 /:8 => q = 1
Uvrstimo p = 2 i q = 1 u poetnu jednadbu sa A: 222 )11()23....( rA =+ => 25 + 0 = r2 => r = 5
pa jednadba krunice glasi:
(x-2)2+(y-1)2=25 , a skica joj je na slici 11.
8. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).
Po skici na slici 12. provjeri svoje rijeenje.
Slika 12.
Rjeenje: (x-7)2 + (y-2)2 = 58
-
Rjeenja: Elipsa
9. Elipsa 9x2+4y2=36 dana je opom formulom bx2 + ay2 = a2 b2 Da bi skicirali elipsu treba
jednadbu elipse prikazati u kanonskom obliku: 122
2
2
=+by
ax .
9x2+4y2=36 / :36
194
22
=+ yx => dakle, velika poluos 24 ==a I mala poluos 39 ==b
Kordinate fokusa elipse su: )0,(2,1 eF = , ako je a > b, ),0(2,1 eF = , ako je b > a, a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :
e2 = a2 - b2 za a >b
e2 = b2 - a2 za b >a => 23,254922 ==== abe => )5,0(2,1 =F
Slika 5.
10. Elipsa x2+4y2=16
Da bi skicirali elipsu treba jednadbu elipse prikazati u kanonskom obliku: 122
2
2
=+by
ax .
x2+4y2=16 / :16
1416
22
=+ yx => dakle, velika poluos 416 ==a I mala poluos 24 ==b
Koordinate fokusa elipse su: )0,(2,1 eF = , jer je a > b =>
-
e2 = a2 - b2 => 73,3321241622 ===== bae => )0,32(2,1 =F
Slika 6.
11. Odredite jednadbu elipse koja prolazi tokama A(-2,2), B(4,-1).
U jednadbu elipse : 122
2
2
=+by
ax uvrstimo koordinate toaka A i B
( ) 122.... 22
2
2
=+ba
A => 144.... 22 =+ baA => zbrojimo jednadbe =>
( ) 114.... 22
2
2
=+ba
B => ( )4/1116.... 22 =+ baB 144.... 22 =+ baA =>
22 /360.... aa
BA =+ => => ( 3:/360 2 = a )4464.... 22 =+ baB
20 = a2 => 20=a => 14204.... 2 =+ bA => 5
1142 =b => 2
2 5/544 b
b= =>
4:/420 2b= => => 52 =b 5=b => jednadba elipse glasi:
20/1520
22
=+ yx => 204 22 =+ yx
-
Slika 13.
12. Odredite jednadbu elipse koja prolazi tokama A(-18,20), B(24,-15).
Slika 14.
Rjeenje: 22500/1625900
22
=+ yx => 225003625 22 =+ yx
Rjeenja: Hiperbola
13. Da bi skicirali hiperbolu 25x2 - 9y2 =225, zadanu u jednadbom u opem obliku:
bx2 - ay2 = a2 b2 , trebamo tu jednadbu prebaciti u kanonski oblik: 122
2
2
=by
ax .
25x2 - 9y2 =225 /: 225
1259
22
= yx => dakle, velika poluos 39 ==a I mala poluos 525 ==b
Kordinate fokusa hiperbole su: )0,(2,1 eF = , ako je jednadba hiperbole: bx2 - ay2 = a2 b2
-
),0(2,1 eF = , ako je jednadba hiperbole: - bx2 + ay2 = a2 b2 a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :
e2 = a2 + b2 => 83,53425922 ==+=+= bae => )0,34(2,1 =F
Asimptote hyperbole a1,2 dane su formulom xaby = , pa iz toga vidimo da su
xya35...2,1 =
A tjemena hiperbole su toke: A = (a,0) i B = (-a,0) za hiperbolu bx2 - ay2 = a2 b2
A = (0,b) i B = (0,-b) za hiperbolu -bx2 + ay2 = a2 b2
Pa su tjemena nae hyperbole: A = (3,0) i B = (-3,0)
Skicu hiperbole pogledati na slici 7.
Slika 7.
14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144 za vjebu. Moete se pomoi slikom 8.
-
Slika 8.
15. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-9,0) i B(-15,-18).
Rijeava se kao i zadatak 16. Za pomo su dani skica i rjeenje.
Slika 15.
Rjeenje: 1
472981
22
= yx => 729/17294
81
22
= yx => 72949 22 = yx
-
16. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-6,-3) i ( )3,18B . U jednadbu hiperbole : 12
2
2
2
=by
ax uvrstimo koordinate toaka A i B
( ) ( ) 136.... 22
2
2
=ba
A => 1936.... 22 = baA => zbrojimo jednadbe =>
1318.... 2
2
2
2
=ba
B => ( )3/1318.... 22 = baB --------------------------- -----------------------------
1936.... 22 = baA => 2
2 /218.... aa
BA =+ => => ( 2:/218 2 = a )3954.... 22 =+ baB
---------------------------
9 = a2 => 39 ==a => 19936.... 2 = bA => 41
92 = b => )(/3
9 22 bb
= =>
3:/39 2b= => => 32 =b 3=b => jednadba hiperbole glasi:
9/139
22
=+ yx => 93 22 =+ yx
Linearni ekscentricitet 32123922 ==+=+= bae pa su koordinate fokusa: F1,2 = ( 0,32 )
Slika 16.
-
Rjeenja: Parabola
17. Skicirajte parabolu y2=6x.
Jednadba parabole je: y2=2px. => 2p = 6 => p = 3, parameter parabole, a jednadba
direktrise ii ravnalice je 2px = =>
23=x . Koordinate fokusa
= 0,
2pF =>
= 0,
23F
Slika 9.
18. Skicirajte parabolu y2=10x za vjebu. Moete se pomoi slikom 10.
Slika 10.
-
19. Odredite jednadbu parabole iji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(5,-5),
b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz toku A(-5,-5) .
Rjeenje:
Jednadba parabole y2 = 2px ovisno o vrijednosti parametra p moe imati razliiti
grafii prikaz:
za p>0, a fokus F se nalazi na pozitivnom dijelu osi x
za p => xy 52 =
a koordinate fokusa su
=
= 0,450,
2pF , a ravnaloca ili direktrisa:
45=x
Slika 17.
-
b) Uvrstimo koordinate toke A i jednadbu parabole: ( )
25
1025
)10(/1025)5(25 2
====
p
pp
=> => xy 52 =
a koordinate fokusa su
=
= 0,450,
2pF , a ravnaloca ili direktrisa:
45=x
Slika 18.
20. Odredite jednadbu parabole iji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(2,1),
b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz toku A(-2,1) .
Isti zadatak kao i 20. Skica rjeenja dana na slici 19.
Slika 19.
-
Odnos krivulje i pravca
21. Odredite jednadbu tangente i normale krunice (x-1)2+(y+2)2=26 u toki D(0,3).
22. Odredite jednadbu tangente i normale elipse 115
22
=+ yx u toki D(0,-1). 23. Odredite jednadbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u toki D(9,4).
24. Odredite jednadbu tangente i normale parabole y2=18x u toki D(2,6).
25. Odredite zajednike toke pravca x-2y+3=0 i krunice (x-4)2+(y-6)2=25 .
26. Odredite zajednike toke pravca 4x+3y+1=0 i krunice x2+y2-6x-8y=0.
27. Odredite zajednike toke pravca x-y+2=0 i krunice (x+2)2+(y-3)2=4.
28. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0.
29. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=16 i pravca y= - x+5.
30. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=20 i pravca x+4y+10=0.
31. Odredite zajednike toke pravca 3x-4y-2=0 i hiperbole x2-2y2=2.
32. Odredite zajednike toke pravca 15x-8y+18=0 i hiperbole 9x2-4y2=36.
33. Odredite zajednike toke pravca 2x-y+1=0 i hiperbole x2-2y2=2.
34. Odredite zajednike toke pravca 4x+y-4=0 i parabole y2=8x.
35. Odredite zajednike toke pravca 2x-y+2=0 i parabole y2=4x.
Rjeenja:
21. Odredite jednadbu tangente i normale krunice (x-1)2+(y+2)2=26 u toki D(0,3).
Rjeenje: Ako je zadana jednadba krunice: (x-p)2+(y-q)2=r2 i toka D(x1, x2 ) koja lei na
toj krunici jednadba pravca koji dira tu krunicu u toj toki, odnosno tangenta dana je
formulom: ( 11
11 xxqy
pxyy = ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku
diralita, odnosno normala, dan je formulom: ( )11
11 xxpx
qyyy = .
Krunica: (x-1)2+(y+2)2=26 ima sredite u toki S(1,-2) i radijus: 26=r
-
Slika 20.
Izraunavanje jednadba tangente: ( )11
11 xxqy
pxyy = => ( )0
)2(3103
= xy
=> xy513 = => 3
51 += xy u eksplicitnom obliku ili t...x -5y +15 = 0 u implicitnom
obliku.
Izraunavanje jednadba normale: ( )11
11 xxqy
pxyy = => ( )0
10)2(33
= xy
=> => u eksplicitnom obliku ili n...5x +y -3 = 0 u implicitnom
obliku.
xy 53 = 35 += xy
22. Odredite jednadbu tangente i normale elipse 115
22
=+ yx u toki D(0,-1).
Rjeenje: Ako je zadana jednadba elipse: 122
2
2
=+by
ax i toka D(x1, x2 ) koja lei na toj
elipsi jednadba pravca koji dira tu elipsu u toj toki, odnosno tangenta dana je formulom:
( 11
21
2
1 xxyaxbyy = ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku diralita,
odnosno normala, dan je formulom: ( )11
21
2
1 xxxbyayy = .
Elipsa: 115
22
=+ yx ima veliku poluos 5=a , a malu poluos b = 1, a linearni ekscentricitet
215 ==e pa su koordinate fokusa )0,2(2,1 =F . Skiciramo elipsu i diralite:
-
Slika 21.
Iz slike 21. lako je oitati da je t...y = -1, a n...x = 0 . Provjerimo to raunski:
( 11
21
2
1... xxyaxbyyt = ) => ( ) ( 015
01)1(... 22
= xyt ) => t... y +1 = 0
( 11
21
2
1... xxxbyayyn = ) => ( ) ( ) 0/0
0115)1(... 2
2
= xyn => x250 = => n...x = 0
23. Odredite jednadbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u toki D(9,4).
Rjeenje: Ako je zadana jednadba hiperbola: 122
2
2
=by
ax i toka D(x1, x2 ) koja lei na toj
hiperboli jednadba pravca koji dira tu hiperbolu u toj toki, odnosno tangenta dana je
formulom: ( 11
21
2
1 xxyaxbyy = ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku
diralita, odnosno normala, dan je formulom: ( )11
21
2
1 xxxbyayy = .
Hiperbola: 2x2-9y2=18 / :18 => 129
22
= yx ima veliku poluos a = 3, a malu poluos
2=b , a linearni ekscentricitet 1129 =+=e pa su koordinate fokusa )0,11(2,1 =F . Skiciramo hiperbolu i diralite:
-
Slika 22.
Provjerimo sliku raunski:
( )11
21
2
1... xxyaxbyyt = => ( 9
49924 )= xy => ( 9
214 = xy ) => 4
29
21 += xy
=> 21
21 = xy u eksplicitnom obliku ili t ... x -2y -1= 0 u implicitnom obliku.
( 11
21
2
1.... xxxbyayyn = )=> ( 9
92494 )= xy => ( 924 = ) xy =>
=> u eksplicitnom obliku ili t ... 2x + y - 22= 0 u
implicitnom obliku.
4182 ++= xy 222 += xy
24. Odredite jednadbu tangente i normale parabole y2=18x u toki D(2,6).
Rjeenje: Ako je zadana jednadba parabole: y2 = 2px i toka D(x1, x2 ) koja lei na toj
paraboli jednadba pravca koji dira tu parabolu u toj toki, odnosno tangenta dana je
formulom: ( )11 xxpyy += , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku diralita, odnosno normala, dan je formulom: ( )111 xxp
yyy = .
Parabola y2=18x ima parametar p=9, a jednadba ravnalice joj je 29=x , a fokus u toki
= 0,29F , pa u toki D(2,6) moemo izraunati jednadbu tangente pomou formule:
-
( 11..... xxpyyt += ) => ( ) 6:/296 += xy => ( 223 += xy ) => 3
23... += xyt u
eksplicitnom obliku, a u implicitnom glasi t.... 3x 2y + 6 =0.
A jednadbu normale formulom: ( 111... xxpyyyn = ) => ( 2
966... = xyn ) =>
634
32... ++= xyn =>
322
32... += xyn u eksplicitnom obliku, a u implicitnom
2x + 3y + 22 = 0. Pogledajmo rjeenja na skici na slici 23.
Slika 23.
25. Odredite zajednike toke pravca x-2y+3=0 i krunice (x-4)2+(y-6)2=25 .Nai
jednadbe tangenti u tokama presjeka.
Rjeenje :
Ako napiemo jednadbu pravca i krunice jednu ispod druge dobivamo sustav dvije
jednadbe sa svije nepoznanice. A rjeenja tog sustava su koordinate toaka presjeka pravca i
krunice.
x-2y+3=0 => x = 2y -3
(x-4)2+(y-6)2=25 => (2y -3 4 )2 + (y 6)2 = 25 => (2y - 7 )2 + (y 6)2 = 25 =>
-----------------------
4y2 - 28y + 49 + y2 -12y +36 25 =0 => 5y2 - 40y + 60 =0 / : 6 => y2 - 8y + 12 =0
( ) ( )2
4812
121488 22,1
==y => 2,6 21 == yy => 1322
9362
2
1
====
xx
=>
-
toke presjeka su : A=(1,2) i B=(9,6). A jednadbe tangenti i normali u tokama A i B su : t1 ... 3x+4y=11 n1 ..... 4x-3y=-2 t2 ... x=9 n2 ... y=6 Vidi na slici 24.
Slika 24.
26. Odredite zajednike toke pravca 4x+3y+1=0 i krunice x2+y2-6x-8y=0. Nai jednadbe
tangenti i normala u tokama presjeka.
Postupak rjeavanja isti kao i u zadatku 25.Rezultate provjeri na slici 25.
Rjeenje A = (-1,1), pravac a je tangenta krunice : 4x -3y +1 = 0, a normala n...-3x+4y=7
-
Slika 25.
27. Odredite zajednike toke pravca x-y+2=0 i krunice (x+2)2+(y-3)2=4. Nai jednadbe
tangenti i normali u tokama presjeka.
Rjeenje :
Slika 26.
-
A=(-6.7, 4.7) B=(-0.3, -1.7) t1 -4,7x+1.7y-39.51=0 t2 -1.7x+4.7y+7.49=0
n1 1.7x+4.7y-10.7=0 n2 4.7x+1.7y+4.3=0
28. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0. Nai jednadbe
tangenti u tokama presjeka.
Rjeenje:
Slika 27.
Toke presjeka: B=(2,2) C=(4,-1) t1 y=-0,5x+2,5 t2 . y=x-5,01
-
Krunica - zadatci za vjebu
1. Odredi koordinate sredita i polumjer krunice kojoj je sredinja jednadba 9)3()1( 22 =++ yx .
2. Kako glasi centralna jednadba krunice kojoj je sredite u toki )41,3(S , a polumjer
15=r ? 3. Odredi koordinate sredita krunice, polumjer krunice i prikai grafiki krunicu :
a) 1622 =+ yxb) ( ) ( ) 932 22 =+ yx
4. Kako glasi jednadba krunice: 5),0,3( =rS 5. Odredi jednadbu krunice koncentrine krunici ( ) 492 22 =+ yx iji je polumjer r = 1. 6. Kako glasi jednadba krunice kojoj je sredite S(4,2) , a prolazi tokom A(3,-1).
7. Odredi jednadbu krunice kojoj je AB promjer ako je A(-3,-4), B(10,-1).
8. Odredi jednadbu krunice koja prolazi kroz toke A(2,5), B(4,1),C(8,3).
9. Odredi jednadbu krunice koja prolazi tokama A(6,6),B(-3,3) a sredite joj je na x
osi.
10. Odredi polumjer i sredite krunice 072222 =++ yxyx11. Odredi jednadbu krunice polumjera r = 1 koncentrine krunici 0910622 =++ yxyx12. Odredi presjek pravca i krunice 0163 =+ yx i 06422 =+ xyx13. Odredi duljinu tetive krunice odreene pravcem ako je zadano: 021422 =+ yyxi 0397 =+ yx14. Odredi jednadbu tangente na krunicu u njezinoj toki D(-6,-8). 10022 =+ yx15. Odredi jednadbu tangente na krunicu u njezinoj toki D(5,1). 0126422 =++ yxyx16. Odredi jednadbu tangente na krunicu ( ) 1691)1( 22 =++ yx u njezinoj toki D(x>-1, -9) 17. Odredi jednadbe tangenata povuene iz toke T(1,9) na krunicu ( ) 54)1( 22 =+ yx18. Odredi jednadbe tangenata krunice ( ) ( ) 5041 22 =+ yx paralelnih pravcu
10= xy
19. Kako glase jednadbe krunica koje diraju obje koordinatne osi i kojima je 2=r ?
20. Odredi polumjer i sredite krunice . 072222 =++ yxyx
21. Napii jednadbu tangente na krunicu u njenoj toki . 10022 =+ yx )0,8(
-
22. Odredi poloaj toke obzirom na krunicu )2,4(T ( ) .16)3(2 22 =++ yx
23. Kako glasi jednadba krunice koja prolazi tokama )0,2(A , i ? )0,2(B )2,0(C
Elipsa - zadatci za vjebu
1.Odredi osnu jednadbu elipse parametra 94
i male osi duljine 3.
2.Odredi jednadbu elipse koja prolazi tokama A(4,-2) i B( 6 ,3).
3.arita elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostraninog trokuta povrine 39
.Odredi jednadbu elipse.
4.Koliki kut zatvaraju tangente na elipsu 11832
22
=+ yx iz toke P(12,-3)?
5.U kojim tokama tangente elipse paralelne s pravcem 3x2y +18 = 0
dodiruju elipsu?
4843 22 =+ yx
6.Odredite zajednike toke pravca x-2y+4=0 i parabole y2=4x. Odredi m R elipse tako da je pravac x + 4y - 16 = 0 tangenta elipse. Odredi numeriki i
linearni ekscentricitet elipse.
mx y2 216 192+ =
7.Odredi tangentu na elipsu 3 iz toke T(4,2).Odredi numeriki i linearni
ekscentricitet te parametar elipse. Slika.
4 482 2x y+ =
8.Odredi normalu elipse u toki x y2 24 2+ = 0 ( )T y2, > 0 .Odredi kut normale i pravca y - x = 2.
Hiperbola - zadatci za vjebu
1.Odredi jednadbu tangente i normale hiperbole u toki sjecita hiperbole i
pravca y = 5.
9 1442 2x y =
2.Odredi jednadbu hiperbole numerikog ekscentriciteta 43
i linearnog ekscentriciteta 2.
3.Odredi jednadbu hiperbole linearnog ekscentriciteta 17 ako je a - b + 7 = 0.
4.Odredi tangentu hiperbole iz toke (3,5). Slika. 3 32 2x y =
5.Kolika je povrina trokuta to ga zatvaraju asimptote hiperbole 421 22 = yx s pravcem koji
prolazi aritem okomito na os apscisu? Koliki kut zatvaraju tangente hiperbole povuene u
tokama trokuta?
-
6.Kolika je povrina trokuta to ga zatvaraju asimptote hiperbole s pravcem koji
prolazi aritem okomito na os apscisu?
82 22 = yx
7.Pravac je asimptota hiperbole kojoj su arita udaljena 023 = yx 134 . Odredi jednadbu hiperbole.
8.Odredi zajednike tangente krivulja i . 44 22 =+ yx 3694 22 = yx
-
FormuleKrunicaElipsaHiperbolaParabolaOdnos krivulje i pravca