ANLISIS DE EDIFICIOS

NGEL SAN BAR TOLOM

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 1998

Primera Edicin, marzo de 1998 Diagramacin: Maril Alvarado V.

Anlisis de EdificiosCopyright por Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Catlica del Per. Av. Universitaria, cuadra 18, San Miguel. Apartado 1761. Lima 100, Per. Telfs. 4626390, 4622540, Anexo 220. Prohibida la reproduccin de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Derechos reseNados ISBN: 9972-42-112-0 Impreso en el Per - Printed in Peru

A mis alumnos del curso Anlisis Estructural2, dictado en la Facultad de Ciencias e Ingeniera de la Pontificia Universidad Catlica del Per

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nge/ San Bart%m Ramos

Ingeniero Civil, graduado en la Pontificia Universidad Catlica del Per (PUCP). Estudios de Post-Grado en Ingeniera Antissmica en el International Institute of Seismology and Earthquake Engineering (IISEE). Building Research Institute (BRI). Tokyo - Japan. Estudio Individual en Albailera Estructural en The Large Scale Structures Testing. Building Research Institute (BRI). Tsukuba - Japan. Profesor Principal del Departamento de Ingeniera, Seccin Civil -rea de Estructuras- de la Pontificia Universidad Catlica del Per y Asesor de Tesis. Investigador en las reas de Albailera Estructural, Adobe, Tapial y Concreto Armado, en el Laboratorio de Estructuras (LEDI) de la Pontificia Universidad Catlica del Per. Autor del Libro "Albailera Confinada". Libro 4 de la Coleccin del Ingeniero Civil. Consejo Departamental de Lima -Captulo de Ingeniera Civil- del Colegio de Ingenieros del Per (CIP). 1992. Autor del Libro "Construcciones de Albailera. Comportamiento Ssmico y Diseo Estructural". Pontificia Universidad Catlica del Per. Fondo Editorial. 1994. Proyectista de Estructuras, antes asociado a la Compaa STRUDA Ings. S.R.L.

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EDIFICIOS DEACERO

EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO

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que tenga la estructura ante las distintas solicitaciones. Debe mencionarse que edificios que tuvieron grandes complicaciones en sus formas estructurales llegaron a colapsar, pese a que en su diseo se utilizaron programas refinados de anlisis estructural, a diferencia de otros edificios cuya estructura era sencilla y que fueron analizados mediante procesos aproximados de clculo. 3.Distinguir cundo los efectos de una cierta deformacin repercuten significativamente sobre los esfuerzos. Saber interpretar los resultados del anlisis estructural. Cabe mencionar que ha veces ha ocurrido fuertes fallas estructurales en las edificaciones de concreto armado (por ejemplo, en los colegios, tanque elevado de agua y en la zona techada de la tribuna del estadio de Nasca, ante el sismo de 1996), porque el ingeniero constructor y el inspector mal interpretaron los planos estructurales, por su falta de conocimiento acerca de cmo se comportaban esas edificaciones ante los sismos. Analizar estructuras planas. Para esto se darn a conocer varios mtodos: Mtodos aproximados: Portal y Voladizo (con fines de predimensionamiento). Muto y Ozawa (para el diseo de edificios bajos). Cross (proceso manual de clculo). Mtodo Directo de Rigidez (proceso matricial).

4.-

5.-

Mtodos "exactos":

Los mtodos del Portal y Voladizo slo proporcionan una estimacin de los esfuerzos en las barras de los prticos sujetos a cargas laterales; aun as, el mtodo del Portal fue empleado para el diseo de uno de los edificios ms altos del mundo: el "Empire State", construido el ao 1930 en Nueva York, que hasta la fecha a podido resistir fuertes vientos, sismos leves e incluso el choque de un bombardero 8-25 (el ao 1945) contra el piso 79. Los mtodos de Muto y Ozawa, este ltimo empleado para solucionar prticos mixtos compuestos por vigas, columnas y muros de concreto armado o de albailera estructural, contemplan en cierto grado las deformaciones por flexin y por corte de las barras, proporcionando tanto los desplazamientos como los esfuerzos cuando los prticos se ven sujetos a carga lateral; puesto que en ambos mtodos no se consideran las deformaciones por carga axial que tienen las barras, sus resultados slo deben ser empleados para el diseo de edificios convencionales de hasta 10 pisos. El mtodo de Cross puede tener el mismo grado de aproximacin que el Mtodo Directo de Rigidez, para lo cual, habra que contemplar todas las deformaciones que tienen las barras en su plano: flexin, corte y axial; sin embargo, este procedimiento de clculo manual resulta muy tedioso de aplicar en prticos elevados, por lo que en este libro slo se le emplear para solucionar estructuras pequeas. Por otra parte, el Mtodo Directo de Rigidez es muy laborioso de aplicar manualmente, incluso en estructuras pequeas, por lo que ms bien se le usar computacionalmente. Para este fin, se proporciona una versin de demostracin del programa de cmputo "EDIFICIO", el cual permite resolver edificios compuestos por prticos planos conectados

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PRLOGO

En el anlisis estructural de las obras civiles no existen mtodos exactos de solucin, ni siquiera los programas de cmputo ms sofisticados, basados en la tcnica de Elementos Finitos, proporcionan resultados "exactos"; esto se debe a que existen una serie de incertidumbres que se presentan no slo en la solicitacin, sino tambin en el modelaje estructural. Por ejemplo, en el caso del terremoto de Mxico (1985), tambin en el de Kobe-Japn (1995), las fuerzas ssmicas sobrepasaron las cargas reglamentarias, producindose el colapso de muchas edificaciones, por lo cual, hubo que modificar los cdigos respectivos. Asimismo, en los edificios de concreto armado no se acostumbra contemplar los efectos del proceso constructivo, sin embargo, es muy distinto (especialmente en los edificios altos) aplicar las cargas de peso propio de una sola vez sobre el edificio ya construido que colocarlas paulatinamente conforme el edificio va construyndose. En cuanto al modelaje estructural, generalmente se obvian los problemas de interaccin tabique-prtico, losa-viga y suelo-estructura, empleando (respectivamente) sistemas aporticados con paos libres de tabiques, vigas de seccin rectangular y elementos verticales (columnas, placas, muros de albailera, etc.) empotrados en su base; algunas veces, estas simplificaciones conducen a resultados que estn fuera de la realidad. Tambin, es costumbre utilizar un slo mdulo de elasticidad para todo el edificio (que en realidad puede variar de una barra a otra o incluso dentro de la misma barra), despreciar las microfisuras (que en los elementos de concreto armado podran modificar sustancialmente al momento de inercia de la seccin transversal), despreciar los cambios bruscos de la seccin transversal de las barras en la zona de los nudos, etc. Por todas las incertidumbres sealadas y otras que sera muy largo numerarlas, es que en este libro se trata de dar nfasis a ciertos aspectos, con el afn de mejorar el comportamiento estructural de los edificios. Por lo que nuestro objetivo es que el lector adquiera los suficientes conocimientos que le permitan: 1 .Modelar o idealizar matemticamente a las estructuras, tratando de representarlas de la maner.a ms real posible. Esto es algo que se ir describiendo paulatinamente, a travs de los ejemplos que se aborden en este libro. Estructurar edificios. De una adecuada estructuracin que se proporcione a los edificios, buscando principalmente la sencillez a fin de comprender cmo se transmiten las cargas de un elemento estructural a otro, depender el comportamiento

2.-

ix

por diafragmas rgidos (losas del techo), cuya teora se describe en los captulos 8 y 9 del libro; adicionalmente, se proporcionan otros programas que permiten: a.b.Dibujar la envolvente de momento flector en vigas (VIGA 1); Calcular la rigidez al giro, el factor de transporte y los momentos de empotramiento en barras de seccin variable (KFU); Reproducir en forma aproximada los efectos del proceso constructivo (PROCONST); Determinar el momento de inercia y el rea de una seccin transversal compuesta por una serie de rectngulos (INERCIA); Resolver parrillas sujetas a cargas perpendiculares a su plano (PARRILLA); y, Solucionar armaduras planas compuestas por nudos articulados (ARMADURA).

c.d.-

e.-

f.-

Las teoras que emplean estos programas se encuentran descritas en los captulos correspondientes de este libro y los manuales de uso, as como los ejemplos respectivos, aparecen en archivos de texto contenidos en un slo diskette. Cabe resaltar que los procedimientos manuales de clculo constituyen la base que nos permite comprender y "sentir" el comportamiento de una estructura, as por ejemplo, nos obliga a tener una idea de la configuracin deformada que adoptar la estructura y los tipos de deformacin que la gobiernan, es decir, estos procedimientos son mtodos formativos con los cuales tenemos que agudizar nuestro ingenio para simplificar el modelo estructural; en cambio, estas simplificaciones no son necesarias con el procedimiento matricial, ya que la computadora es la que "trabaja" aplicando ''framente'' las matemticas sobre la estructura completa. Por la razn descrita en el prrafo anterior, el autor considera que los alumnos del pre-grado deben tener un amplio conocimiento de los procedimientos manuales y nociones generales del procedimiento matricial, que les permitan usar los programas de cmputo existentes, a no ser que el alumno decida especializarse en el diseo estructural, en cuyo caso, en el ltimo curso de la carrera, as como en la maestra, debe ensearse con mayor profundidad el procedimiento matricial. Finalmente, cabe sealar que esta publicacin est basada en los apuntes de clase del curso "Anlisis Estructural 2", dictado por el autor en la Facultad de Ciencias e Ingeniera de la Pontificia Universidad Catlica del Per, y los problemas propuestos formaron parte de los exmenes y prcticas de evaluacin acadmica en los ltimos tres aos, por lo que es a mis alumnos a quienes dedico este ejemplar.

nge/ San Bart%m Ramos

x

EDIFICIO DE ALBAILERA CONFINADA (vista sllperior) y ARMADA (vista inferior)

xi

NDICEPg.

1.1.1 . 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.2.

Metrado de Cargas VerticalesTipos de Carga. Norma de Cargas E-020. Caractersticas del Ejemplo. Aligerados Unidireccionales. Losas Armadas en Dos Sentidos y Tanque de Agua. Vigas. Viga Apoyada Sobre Otra Viga. Vigas que Soportan Losas Armadas en Dos Sentidos y Vigas Pareti. Coiumnas. Escaleras. Placas.

1

2 3 8 13 14 17 212~,

28 32 3541 41 43

Mtodo de Hardy Cross

2.1. Nomenclatura y Convencin de Signos. 2.2. Rigidez al Giro (Kij) y Factor de Transporte (fij). 2.3. Caso Particular de Barras Prismticas con Eje Recto, Deformables por Flexin. Reduccin de Grados de Libertad por Condicin de Extremo. Concepto de Barra Equivalente. 2.4. Rigidez al Giro Relativa o Coeficiente de Rigidez a Flexin (kij). 2.5. Coeficiente de Distribucin de Momentos (aij) , Momento Distribudo (Dij) , Momento Transportado (Tij) y Momentos de Empotramiento (uij). 2.6. Proceso de Liberacin Alterna. Ejemplo Algebraico de Ilustracin. - Solucin de un Aligerado. 2.7. Mtodos para el Trazado del Diagrama de Momento Flector. 2.8. Proceso de Liberacin Nudo por Nudo y de Liberacin Simultnea. - Ejemplos de Aplicacin.

44 47 48 52 54 58 60 62

xii

2.9. -

Estructuras Simtricas en Forma. Carga Simtrica. Carga Antisimtrica. Ejemplos de Aplicacin. Problema Propuesto.

6363

6464

68 69 69 70 72 75 77 78 79

3. Anlisis Simplificado de Vigas Sujetas a Carga Vertical3.1. Hiptesis Simplificatoria de la Norma E-060. - Ejemplo de Aplicacin. 3.2. Mximos Momentos Flectores en Vigas de Edificios. - Envolvente de Momento Flector. - Programa VIGA 1 . Coeficientes de la Norma E-060. Problemas Propuestos.

3.3. 3.4.

4.

Estructuras que se Desplazan Linealmente Mtodo de Cross IndirectoIdentificacin de los Grados de libertad Traslacionales. Aplicacin Algebraica del Mtodo de Cross Indirecto. Matriz de Rigidez y de Flexibilidad Lateral. Ejemplo de Aplicacin. Problemas Propuestos.

81 81

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

82 86 90

5.

Casos Especiales

93 93 97 98101 102 104 108 111 113 114

5.1. Momentos de Empotramiento en Funcin de Kij y fijo 5.2. Estructuras Compuestas por Barras de Seccin VariableDeterminacin de Kij, fijo Tablas de la PCA. Determinacin del Peralte y de la Longitud de la Cartela. Ejemplos de Aplicacin. Programa KFU. Problemas Propuestos.

5.3.-

Efectos de la Deformacin por Corte en Barras PrismticasInfluencia del Esfuerzo Cortante en una Viga Simplemente Apoyada. Modificacin de Kij, fij Y uij. Modelaje de Placas o Muros de Corte. Prticos Mixtos Sujetos a Carga Lateral. Longitud del Brazo Rgido.

115120 123

._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _--.:.x:iii

5.4. -

5.5. 5.6. 5.7. -

Prticos Mixtos Sujetos a Carga Vertical. Ejemplo de Aplicacin. Albailera Armada y Confinada. Interaccin Tabique-Prtico. Problemas Propuestos. Efectos de la Deformacin Axial en Barras Prismticas Armaduras con Nudos Rgidos. Prticos de Edificios de Concreto Armado: Solicitacin Obrando Sobre la Estructura ya Construida. Ejemplo. Solicitacin Obrando Sobre la Estructura en su Etapa Constructiva. Programa PROCONST para Simular el Proceso Constructivo. Problemas Propuestos. Sistemas Hiperestticos con Vigas Curvas Determinacin de Kij, fij Y uij. Ejemplo de Aplicacin. Prticos con Vigas Quebradas. Problemas Propuestos. Apoyos Elsticos Interaccin Suelo-Estructura. Parrillas Simples. Ejemplo. Resortes Helicoidales Incompatibles en Giro con las Barras. Problemas Propuestos. Efectos de Temperatura Cambio Uniforme de Temperatura. Cambio Diferencial (o Gradiente) de Temperatura. Problema Propuesto.

126 127 133 136 138 138 139 140 143 148 149 151 151 154 157 159 160 160 164 169 171 174 174 175 176177

6.6.1 . 6.2. 6.3. 6.4.

Anlisis Ssmico Aproximado de EdificiosMtodo del Portal Ejemplo de Aplicacin. Mtodo del Voladizo Ejemplo de Aplicacin. Mtodo de Muto Rigidez Lateral. Clculo de Desplazamientos y Cortantes. Columnas en Paralelo. Prticos con Mezzanine y Vigas de Entrepiso. Columnas en Serie. Determinacin de Esfuerzos. Ejemplos de Aplicacin. Problema Propuesto. Anlisis Ssmico Traslacional de Edificios Aporticados

179 179 180 181 183 183 186 187 188 190194

195

xiv

6.5. 6.6.

Interaccin Prtico-Placa Mtodo de Ozawa - Nomenclatura y Frmulas que Emplea el Mtodo.- Caso en que Existen Placas de Diferentes Caractersticas. - Ejemplo de Aplicacin. - Problemas Propuestos.

197201

201206

6.7. Correccin por Torsin en un Entrepiso de un Edificio- Centro de Rigidez Lateral (CR). - Centro de Carga (CQ). - Momento Torsor Reglamentario. - Ejemplo de Aplicacin. - Edificios con Ejes Inclinados en Planta. - Problemas Propuestos.

207 211 213 213 214 217 218 221223

7.

Nociones Generales Sobre Estructuracin de Edificios

225226 226

7.1. Estructuracin por Carga Vertical- Aligerados. - Ductos y Diafragmas Flexibles. - Otros Sistemas de Techados para Ambientes con Grandes Luces. - Escaleras. - Problemas Propuestos.

228232 234

7.2. Estructuracin por Carga Ssmica- Rigidez, Continuidad Vertical, Hiperestacidad y Efecto P-O - Tabiques y Alfizar de Albailera. - Simetra y Juntas Ssmicas. - Problemas Propuestos.

237 239 241245 248

251253 258

7.3. Cimentaciones- Problema Propuesto.

8.

Introduccin a la Solucin Matricial de Estructuras Planas Mtodo Directo de Rigidez

259260 263 263

8.1. Cargas Nodales { Q } 8.2. Solucin del Estado Complementario- Ensamblaje de la Matriz de Rigidez Global [R] - Matriz de Rigidez de Barra en Coordenadas Locales [k'] - Transformacin de la Matriz de Rigidez de Barra del Local al Global. - Clculo de Desplazamientos, Reacciones y Fuerzas de Seccin. 8.3. Resumen del Mtodo Directo de Rigidez.

267269273

275

------------------------ - - -

xv

8.4.

Ejemplos de Aplicacin. - Armadura. - Viga Continua.

276 276281

8.5.

Programas de Computacin. - Programa ARMADURA. - Programa PARRILLA.

8.6.

Problemas Propuestos.

283 283 283 285

9. Anlisis Matricial de Edificios Sujetos a Sismos Programa EDIFICIO9.1. 9.2. 9.3. Ensamblaje de la Matriz de Rigidez Lateral del Edificio. Clculo de Desplazamientos y Fuerzas en los Prticos. Ejemplo de Aplicacin.

287290 295 297

ANEXO 1: Tablas de la PCA ANEXO 2: Tablas de Muto ANEXO 3: Matriz de Rigidez de un Elemento Finito Triangular Plano

307 313 317

xvi

EDIFICACIONES DE MADERA

xvii

REFERENCIAS1. 2. 3. 4. Distribucin de Momentos. Gere. Mtodo de Cross. Charon. Structural Engineering. White, Gergely and Sexsmith. WILEY. Normas de Cargas E-020. Normas de Concreto Armado: E-060 y ACI-318-95. Normas de Diseo Sismo-resistente E-030. Aseismic Design of Buildings. K. Muto. MARUZEN. Clculo de Edificios de Concreto Armado. K. Muto. Estructuracin y Diseo de Edificaciones de Concreto Armado. A. Blanco. Libro 2 Coleccin del Ingeniero Civil 1990-1991. Consejo Departamental de Lima, Colegio de Ingenieros del Per. Construcciones de Albailera -Comportamiento Ssmico y Diseo Estructural. A. San Bartolom. Fondo Editorial PUCP. Anlisis Estructural. Jeffrey Laible. Mc GRAW HILL. Anlisis Elemental de Estructuras. Norris, Wilbur, Utku. Mc GRAW HILL. Analisis de Estructuras. H. H. West. CECSA.. Theory of Structures. T1moshenko &Young. Mc GRAW HILL. Diseo de Estructuras Resistentes a Sismos. D. J. Dowrick. Anlisis Ssmico de Edificios con Muros Rigidizantes. Bazn. Revista IMCYC, Vol. XVI, No. 91. Foundation Design. J. Bowles.Mc GRAW HILL. El Terremoto de Nasca del 12 de Noviembre de 1996. D:Quiun, A. San Bartolom, D. Torrealva y L. Zegarra. Pontificia Universidad Catlica del Per. Departamento de Ingeniera. Seccin Ingeniera Civil. Publicacin 01-97-01, 1997.

5. 6. 7.

8.

9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16.

xviii

ARCOS PARABLICOS DE CELOsA

xix ----------------------------------------------~------~

TIJERALES METLICOS

xx

DEFECTOS ESTRUCTURALES EN SISTEMAS APORTICADOS: COLUMNA CORTA (vista superior) Y PISO BLANDO (vista inferior).

1 -

METRADODE CARGAS VERTICALES

El metrado de cargas es una tcnica con la cual se estiman las cargas actuantes sobre los distintos elementos estructurales que componen al edificio. Este proceso es aproximado ya que por lo general se desprecian los efectos hiperestticos producidos por los momentos flectores, salvo que estos sean muy importantes. Como regla general, al metrar cargas debe pensarse en la manera como se apoya un elemento sobre otro; por ejemplo (ver la Fig. 1.1), las cargas existentes en un nivel se transmiten a travs de la losa del techo hacia las vigas (o muros) que la soportan, luego, estas vigas al apoyar sobre las columnas, le transfieren su carga; posteriormente, las columnas transmiten la carga hacia sus elementos de apoyo que son las zapatas; finalmente, las cargas pasan a actuar sobre el suelo de cimentacin.

Fig. 1. 1. Transmisin de las Cargas Verticales.

+R1 + R2 +

f COLUMNA

I I

peso de

2

1.1. Tipos de Carga

Antes de proceder con un ejemplo que ilustre el metrado de cargas verticales en los edificios, se indicar los tipos de cargas que suelen actuar en estas construcciones.

1.1. Tipos de CargaEn general, las cargas (o solicitaciones) que pueden actuar en un edificio clasifican en los siguientes tipos: Cargas Estticas, Cargas Dinmicas y Otras Solicitaciones. Estas cargas se definen de la siguiente manera: 1.CARGAS ESTTICAS. Son aquellas que se aplican lentamente sobre la estructura, lo cual hace que se originen esfuerzos y deformaciones que alcanzan sus valores mximos en conjunto con la carga mxima. Prcticamente, estas solicitaciones no producen vibraciones en la estructura, ya su vez clasifican en: Cargas Permanentes o Muertas. Son cargas gravitacionales que actan durante la vida til de la estructura, como por ejemplo: el peso propio de la estructura y el peso de los elementos aadidos a la estructura (acabados, tabiques, maquinarias para ascensores y cualquier otro dispositivo de servicio que quede fijo en la estructura). Carga Viva o Sobrecarga. Son cargas gravitacionales de carcter movible, que podran actuar en forma espordica sobre los ambientes del edificio. Entre estas solicitaciones se tiene: al peso de los ocupantes, muebles, nieve, agua, equipos removibles, puente gra, etc. Las magnitudes de estas cargas dependen del uso al cual se destinen los ambientes. CARGAS DINMICAS. Son aquellas cuya magnitud, direccin y sentido varan rpidamente con el tiempo, por lo que los esfuerzos y desplazamientos que originan sobre la estructura, tambin cambian con el tiempo; cabe indicar que el instante en que ocurre la mxima respuesta estructural, no necesariamente coincide con el de la mxima solicitacin (Fig. 1.2). Estas cargas clasifican en: Vibraciones Causadas por Maquinarias. Cuando las mquinas vibratorias no han sido aisladas de la estructura principal, sus vibraciones pueden afectar tanto a la estructura que las soporta como a las estructuras vecinas. Viento. El viento es un fluido en movimiento; sin embargo, para simplificar el diseo, se supone que acta como una carga esttica sobre las estructuras convencionales, pero, para estructuras muy flexibles (puentes colgantes, chimeneas, etc.) es necesario verificar que su perodo natural de vibrar no coincida con el de las rfagas de viento, de lo contrario, podra ocurrir la resonancia de la estructura. Sismos. Las ondas ssmicas generan aceleraciones en las masas de la estructura y por lo tanto, fuerzas de inercia que varan a lo largo del tiempo; sin embargo, las estructuras convencionales pueden ser analizadas empleando cargas estticas equivalentes a las producidas por el sismo. Cargas Impulsivas. Son aquellas que tienen corta duracin (dt), por ejemplo: las explosiones, ver la Fig. 1.2. Despus que esta solicitacin culmina, se produce el movimiento en vibracin libre de la estructura.

a.-

b.-

2.-

a.-

b.-

C.-

d.-

4

1.2. Norma de Cargas E-020

I.-AUGERADOS

Cuando los techos aligerados tienen las medidas tradicionales indicadas en la Fig.1.3, y cuando se emplea bloques huecos de arcilla (30x30 cm), puede utilizarse las siguientes cargas de peso propio, expresadas en kilogramos por metro cuadrado de rea en planta:

t(cm)

w{kg/m 2 )

40 cm

losa-1

17 20 25 30 35

280 300 350 420 475

. vigueta

Fig. 1.3. Aligerado Tradicional.

En cambio, si se utilizara bloques tubulares de concreto vibrado, o si el espesor de la losa superior o del nervio de la vigueta cambiasen con relacin a los empleados en el aligerado tradicional, el peso propio deber obtenerse empleando las cargas unitarias (en kg/m 3 ) especificadas en la Norma E-020.

II.-ACABADOS y COBERTURAS

Las siguientes cargas de peso propio (para acabados y coberturas convencionales) se proporcionan en kilogramos por metro cuadrado de rea en planta. Acabados (con falso piso): 20 kg / m 2 por centmetro de espesor (usualmente 5 cm)

Cobertura con Teja Artesanal: 160 kg / m 2 Pastelero asentado con barro: 100 kg / m 2 Plancha de asbesto-cemento: 2.5 kg / m 2 por milmetro de espesor

111.- MUROS DE ALBAILERAPara los muros estructurales y tabiques construidos con ladrillos de arcilla o snicocalcreos, puede emplearse las siguientes cargas de peso propio, expresadas en kilogramos por metro cuadrado de rea del muro por centmetro de espesor del muro, incluyendo el tarrajeo: Unidades Slidas o con pocos huecos (para muros portantes): Unidades Huecas Tubulares (Pandereta, para tabiques, Fig. 1.4):

LADRILLO

/1

I

'pandereta

19 kg / ( m 2 x cm) 14 kg / ( m 2 x cm)

~.2.

Norma de Cargas E-020

3

IFig. 1.2. Cargas Impulsivas.

t

~df\!

VI

exploSin>

trespuesta estructural

~~t

3.-

OTRAS SOLICITACIONES. Aparte de las cargas descritas existen otras solicitaciones

que pueden comprometer a la estructura y que, por lo tanto, deben contemplarse en el diseo. Ejemplo de estas solicitaciones son: el asentamiento de los apoyos, el cambio uniforme o diferencial de temperatura, los empujes de tierra, el deslizamiento del suelo, las tensiones residuales, los preesfuerzos, el fuego, las subpresiones de agua, las contracciones por secado del concreto, etc. La intencin de este libro es analizar los edificios sujetos a solicitaciones convencionales, bsicamente a cargas estticas (incluso los. efectos ssmicos se tratarn como cargas estticas equivalentes), por lo que de presentarse casos fuera de lo comn, el lector deber recurrir a libros y normas especializadas.

1.2. Norma de Cargas E-020En la Norma Peruana de Cargas E-020 se especifica las cargas estticas mnimas que se deben adoptar para el diseo estructural; asimismo, se proporciona las cargas estticas equivalentes producidas por el viento, mientras que ms bien las cargas ssmicas se especifican en las Normas de Diseo Sismo-resistente (E-0301. Esas cargas se denominan "cargas de servicio" porque son las que realmente actan en el edificio, sin producirle fallas o fisuras visibles, a diferencia de las "cargas ltimas" que son cargas ficticias obtenidas al amplificar por ciertos factores a las "cargas de servicio", con el objeto de disear en condicin de "rotura" a los distintos elementos estructurales. El propsito de este acpite es complementar la Norma E-020, agregando algunas cargas de uso comn que figuraban en la Norma "Cargas" del Reglamento anterior, asi como aclarar algunos conceptos de la Norma vigente. Cabe tambin mencionar que en nuestro pas las cargas ssmicas predominan sobre las causadas por el viento, salvo que la estructura sea muy liviana (por ejemplo, con techo metlico y cobertura con planchas de asbesto-cemento, calaminas, etc.), o que el edificio est ubicado en una zona de baja sismicidad, pero con fuertes vientos (por ejemplo, en la selva); por lo que siendo el objetivo de este libro analizar los casos convencionales, no se tratar los efectos causados por el viento.

1.2. Norma de Cargas E-020

- - - - - - - - - - _ . _ -... _ - - -

5

Cabe destacar que en la Norma E-020 se proporciona unas cargas equivalentes de peso propio (en kilogramos por metro cuadrado de rea en planta) para los casos en que no se conozca la distribucin de los tabiques ("tabiquera mvil") en los ambientes del edificio, generalmente, esto ocurre en los edificios destinados a oficinas. Para hacer uso de la Tabla 2.3 que proporciona la Norma, debe conocerse el tipo de tabique que se va a emplear y su peso por metro lineal. Por ejemplo, para un tabique de albailera con 1 5 cm de espesor (incluyendo tarrajeo en ambas caras), construido con ladrillo pandereta, con 2.4 m de altura, se tendra: w = 14 x 15 x 2.4 = 504 kg 1m. Luego, ingresando a la Tabla 2.3 de la Norma E-020, se obtiene una carga equivalente igual a 210 kg 1m 2 de rea en planta, que deber agregarse al peso propio y acabados de la losa del piso correspondiente.

TABLA 2.3 DE LA NORMA E-020

Peso del Tabique (kg / m)

Carga Equivalente (kg / m2)

74 75 150 250 400 550 700 850

o a a a a a a a

menos

149 249 399 549 699 849 1000

30 60 90 150 210 270 330 390

IV.- SOBRECARGA (sic)

A continuacin se muestra algunas de las sobrecargas especificadas en la Norma E-020 en su Tabla 3.2.1. Estas cargas estn repartidas por metro cuadrado de rea en planta.TABLA 3.2.1 DE LA NORMA E-Q20USO Bibliotecas (*) Escuelas (*) Sala de Lectura Sala de Almacenaje Aulas y Laboratorios Talleres Cuartos Sala de Operacin y Laboratorios Ambientes Comunes Sala de Archivos Corredores y Escaleras (incluye corredores y escaleras) (no utilizable) AMBIENTE SIC

(kg 1m2)300 750 300 350 200 300 250500

Hospitales (*) Oficinas

(*)

(*)Viviendas Azoteas Planas

400 200 100

Baos: emplear la sobrecarga promedio de las reas vecinas

6

1.2. Norma de CArgas E-020

V.- REDUCCIN DE SOBRECARGA (sic)

Debido a la poca probabilidad de que todos los ambientes de un edificio (especialmente cuando ste es elevado) estn 100% sobrecargados, la Norma E-020 permite reducir las sobrecargas de diseo, con las siguientes excepciones: 1.Para el diseo de la losa correspondiente a la azotea se trabajar con el 100 % de sobrecarga; sin embargo, la sobrecarga puede reducirse (Tabla 4.2.1 de la Norma) para disear las vigas que pertenecen a ese nivel. Para el diseo de los elementos horizontales (losa, vigas, etc.) que se usen para soportar bibliotecas, archivos, vehculos, almacenamientos o similares, se trabajar con el 100% de sic; mientras que para estos casos, la reduccin mxima permitida para el diseo de los elementos verticales (muros, columnas, etc.) es 20%. Para el diseo por punzonamiento de las losas planas sin vigas ("Flat Slab", Fig. 5.3) en su zona de contacto con las columnas, se utilizar el 100% de sobrecarga.

2.-

3.-

a.- Porcentaje de Sobrecarga en los Elementos Horizontales (Losas, Vigas)

Para el diseo de los elementos horizontales, la sobrecarga indicada en la Tabla 3.2.1 de la Norma podr reducirse multiplicndola por los factores mostrados en la Tabla 4.2.1.

TABLA 4.2.1 DE LA NORMA E-020Zona Contribuyente (m 2 14.9 o menos 15 a 29.9 30 a 44.9 45 a 59.9 60 o ms)

Relacin: Carga Viva I Carga Muerta 0.625 o menos 1.00 0.80 0.60 0.50 0.40 1 1.00 0.85 0.70 0.60 0.55 2 o ms 1.00 0.85 0.75 0.70 0.65

La "Zona Contribuyente" (en metros cuadrados), se calcula de la siguiente manera: 1.Para el diseo de las losas (slidas o aligeradas) armadas en uno o dos sentidos, apoyadas en vigas, se adopta: % L 2 ; donde "L" es el lado de menor longitud correspondiente al ambiente en anlisis. Para el diseo de las losas sin vigas ("Flat Slab", Fig. 5.3), se adopta la mitad del rea del ambiente. Para el diseo de vigas, se adopta el rea de la losa que es soportada por la viga en anlisis. El clculo de esa zona de influencia se ver en detalle en el acpite 1.6.

2.-

3.-

L~:..!:'.~!..1!!.a de C~r..g~_J:~Q.?!L____._._

. ._. . _ ._ .... _...__._.__. . __ ......____..._. ___..__._____. ____. .__.?.

b.- Porcentaje de Sobrecarga en los Elementos Verticales (Muros, Columnas)

E la Norma E-020 se especifica que la sobrecarga existente en la azotea no debe reducirse, mientras que en el penltimo piso la reduccin es 15% y 5% adicional por cada piso sucesivo. Como mximo se permite una reduccin de la sobrecarga existente en el piso igual a 50%, mientras que la mxima reduccin de sobrecarga es 20% cuando el ambiente est destinado a biblioteca, almacenaje, archivos, estacionamiento o similar. Esta especificacin de la Norma se interpreta como unos coeficientes que multiplican a la sobrecarga existente en el rea de influencia en cada nivel del edificio, correspondiente al elemento estructural vertical en anlisis, no a la sobrecarga axial acumulada en los entrepisos. Estos coeficientes, para un edificio de "N" niveles, son:

NIVEL N N-1 N-2 N-3 -N-7 N-8 -1

AMBIENTE CONVENCIONAL 1.00 0.85 0.80 0.75 -0.55 0.50 0.50 0.50

AMBIENTE ESPECIAL (biblioteca, archivos, etc.) 1.00 0.85 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80

--

VI.- PESOS UNITARIOS

En el Anexo 1 de la Norma E-020 se especifica los pesos unitarios (kg/m 3 ) de diversos materiales, pero, en este libro se muestra tan solo algunos valores de uso comn:

MATERIAL ALBAilERACONCRETO

y(kg/m 3 ) Adobe Armado Dura Seca Cemento Agua AceroPlomo

y(kg/m 3 ) ladrillo Slido ladrillo Hueco Simple Dura Hmeda Yeso Petrleo Aluminio Mercurio Bloque de Vidrio Vidrio Papel Arena Seca Hielo 1800 1350 2300 1000 1000 870 2750 13600 1000 2500 1000 1600 920

1600 2400 700 2000 1000 7850 11400 2700 2400 1450 1600 700

MADERAS ENlUCIOOS QUIOOS METALESOTROS

Mrmol locetas Cemento Tierra Piedra Pmez

8

1.3. Caractersticas del Ejemplo

1.3. Caractersticas del EjemploEn las Figs. 1.5 a 1.9 se muestran las plantas as como los cortes respectivos de un edificio destinado a oficinas. Cabe indicar que las vistas en planta deben mirarse de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda, tal como lo sealan los cortes XX y YY, respectivamente. Este edificio consta de dos pisos tpicos con una escalera techada a la altura de la tapa del tanque de agua, y su estructura est compuesta por prticos de concreto armado. Por otro lado, se ha elegido un edificio muy sencillo (hipottico), pero, con los problemas que suelen presentarse en los edificios reales, tales como la presencia de: --Escalera, cisterna y tanque de agua. Tabiques, alfizar de ventanas y parapetos de albailera. Losas aligeradas unidireccionales y armadas en dos sentidos (Fig. 1.7). Tabiques dirigidos en el sentido ortogonal a las viguetas del aligerado (Recepcin). Placa y viga apoyada sobre otra viga (eje 2).

Las dimensiones de los elementos son las ~guientes: losa Aligerada Unidireccional: espesor = t = 20 cm. Acabados: espesor = t = 5 cm. Losa Maciza correspondiente al techo de la escalera y tapa del tanque: t = 15 cm. Columnas: 30 x 30 cm; excepto las columnas del eje D (30 x 60 cm). Vigas: ancho x peralte (*) = 30 x 40 cm; excepto: la viga del eje D (30 x 60 cm), las del techo de la escalera (1 5 x 40 cm) y las caras laterales del tanque (1 5 x 1 70 cm). Placa del eje 2: espesor = t = 15 cm, con ensanches en los extremos de 30x30 cm. Escalera: espesor de la garganta = t = 12 cm; espesor del descanso = t = 20 cm. Tanque de Agua y Cisterna: espesor de las caras laterales, tapa y base = t = 15 cm. Tabiques, Parapetos y Alfizar de Albailera, construidos con ladrillo pandereta: espesor = t = 1 5 cm, incluyendo tarrajeos en las dos caras. Parapetos y Alfizar de Ventanas: altura = h = 0.95 m (incluye una viga de amarre de 15 x 10 cm); excepto en los baos (h = 2.00 m, ver la Fig. 1.8). Altura piso a techo de los pisos tpicos: h = 2.65 m (sin acabados: h = 2.70 m).Es una regla estructural proporcionar la seccin transversal de las vigas especificando primero su ancho (bJ y luego su peralte (dJ en el sentido de la flexin: b x d.

( *)

La nomenclatura empleada es la siguiente: D carga permanente o carga muerta (Dead Load) sobrecarga o carga viva (Live Load) L NPT nivel del piso terminado/JIQtJ:

La carga permanente debe desdoblarse de la sobrecarga debido a que los factores de seguridad que se emplean en cada caso son diferentes,' asimismo, esto se hace porque la sobrecarga puede actuar en forma alternada sobre los ambientes del edificio, a diferencia de la carga permanente que es fija.

1.3. Caractersticas del Ejemplo

9

Las cargas unitarias utilizadas en el metrado se muestran en la Tabla 1.1.

TABLA 1.1. CARGAS UNITARIAS y (concreto armado) y (agua)Aligerado (t = 20 cm) Losa maciza: Acabados:2400 kg/m 3 1000 kg/m 3 300 kg/m 2 360 kg/m 2 100 kg/m 2 100 kg/m 2 250 kg/m 2 400 kg/m 2 100 kg/m 2 432 kg/m (eje D) 216 kg/m 54 kg/m (arriostra parapetos) 792 kg/m (eje 2) 432 kg/m (eje D) 288 kg/m 144 kg/m 612 kg/m 36 kg/m (arriostra parapetos) 210 kg/m 2 de pared 215 kg/m 435 kg/m (en S.H.) 567 kg/m (en Recepcin) 525 kg/m (en ejes 1 y C) 483 kg/m (en eje D) 636 kg/m 2 580 kg/m 2

2400 x 0.15 20x5

Tabiquera mvil en la zona de Oficinas Sobrecargas: Oficinas y Baos (S. H.) Hall y Escalera Azotea plana30 x 60 cm: 2400 x 0.30 x 0.60 30 x 30 cm: 2400 x 0.30 x 0.30 15 x 15 cm: 2400 x 0.15 x 0.15

Columnas:

Placa: Vigas:

2400 x (2x 0.3x 0.3 + 0.15 x 1.0) 30 x 60 cm: 30 x 40 cm: 15 x 40 cm: 15 x 170 cm: 15 x 10 cm: 2400 x 0.30 x 0.6 2400 x 0.30 x 0.4 2400 x 0.15 x 0.4 2400 x 0.15 x 1.7 2400 x 0.15x 0.1

Albailera (pandereta): Parapetos y Alfizar: Tabiques:

14 x 15

h = 0.95 m: 210 x 0.85 + 36 h = 2.00 m: 210 x 1.90 + 36h = 2.7 m 210 x 2.7 h = 2.5 m 210 x 2.5 h = 2.3 m 210 x 2.3

Escalera: (acpite 1.8)

Tramo inclinado Descanso

100.3 2.0m-~

1.3. Caractersticas del0.3 ~ 0.3)'

0.3 1.0

A

1"

*ot 7T .[

y~

+

1.0

,1~

4.0m

0.3

1--=---4I

fl - ~-~=--- -----i J----

"

~

(3)

x.L

TY

1

iI

1I

,ij' --

Fig.l.5. Planta del Primer y Segundo Piso.

2.0

II -----j-~-~

1: l- ~--i~~-~~-~~~-I-~

r-+ --~~--

DESCANSO

I

()

X

1'"OFICINAS

!

-'"0,8

~V/S.H.:

.I

,

NPT +0.00 Y + 2.90

3.30

C)'---

0.3

(2)

:1

Placa RECEPCION ,TabiqtJ-'L_r,-!-

i}3.0j' ,1l~

HALL

y~

OFICINAS

11"

Tabiques

3.30

II1I

ll_______________

,J [Il rt1~L

I!

----~---

--

~ ~

"i

~ r(1){ (O)

__

0.3

~~~

~-

J4.30 m

2.30 m

(A)

(B)

l

1.30

(C)

!iata:

Las diferencias que existen entre las Plantas 1 y 2 (Fig. 1.5) estn en que en la primera planta la puerta de acceso est ubicada en el tramo 1-2 del eje A y adems existe una cisterna debajo del descanso de la escalera (Fig. '1.9).

y

~

(3)II!

_.A

X

I

NPT + 5.80

3.30

Fig. 1.6. Planta de la Azotea.

~ I

(2)

I

: :

I i

parapetos

l'

3.30

Arriostre de parapetos

I

I::Ll'(A)

1,

yJ2.30 m

-lh;f(B)

,.

i ___-D4.30 m

I

(1)

1~30

;-

(C)

(O)

1.3.

Caracters~icas

del_E',-'em_p,-l_o_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 11Y

------- - - - - - - - - ------- - - -

1

--

----~

..

(3)

XiL

Losa: t = 0.15

Tapa del Tanque

X--A

Fig. 1.7.Techo de Escalera y Tapa del Tanque

+ +NPT + 8.30

3.30

(Q:~_5xO.40)

0.6

T}-

_ +(A)

--- ----- ----- -y- "_.~-

(2)

.2.3o...m.__

+_(8)

1 ~ .3~0~--'1l~(C)

~0.150.25J 0.40

Agua

1.00

Fig. 1.8.

::J0.10 0.85

0.10

1

!

I

Parapeto Tpico

I Azotea I IJ. I -f

0.75

Ir + 5.80 .1 ____ _

CorteX-X

Ii---.......,........""......""."-

!I

I

1.05

IL_____ _

1I

-'j I j I

-1

IIV

II I ir -11 0.9~I i I 1'

II

i I + _.90 _11'____ -

NPT 2

0.40I

!

_ )'(A)

_ . 2.30 Jll

f_1..30(8)!

_+ _(C)

12

_ _~1, . .3u. Caractersticas del E' Jemplo

NPT + 8.301

NPT + 5.80.J

;::::-=-===1::::::=----lq~~,I[I.. J,I

l' :' i1I" 1',' ji i

. ~~~'~"

~ ~~

'

..

l' !-

0.05

NPT + 2.90J

. 0.20

----J j-

l.

1t..

,.L

[2. 65 1

-- j

-:

I

.N~T; 0.00

1.80(1)

Agua

CISTERNA( )

F; Ig. 1.9. Corte Y- Y.

0.15

1.4. Aligerados Unidireccionales

13

1.4. Aligerados UnidireccionalesConsideraciones: a.La direccin de armado (sentido en cual estn dirigidas las viguetas) se muestran con flechas en las plantas del edificio (Figs. 1.5 y 1.6). Tal como se observa en la Fig. 1.3, las viguetas se repiten modularmente cada 40 centmetros, por lo que el metrado de cargas se realiza para una vigueta tpica del tramo correspondiente, tomando franjas tributarias de ancho 0.4 m. Las vigas funcionan como apoyos simples del aligerado, mientras que la placa del eje 2 (tramo S-C) empotra al aligerado por ser mucho ms rgida que las viguetas (ver el acpite 2.6.1). Las cargas repartidas (w) se proporcionan en kg/m, mientras que la concentrada (P) en kg. El tabique ubicado en la zona de Recepcin (tramo S-C, NPT + 2.90), origina una carga concentrada sobre la vigueta.

b.-

c.-

d.-

TramoA-BmITilJllllIJL1JITITUITTllTIJlill wL = 100 x 0.4 = 40

mfJTIJIIlUrnnTITIIIIIIIIlIrrII wD =400 x 0.4 = 160 S --------- -------D ""AZOTEA (NPT

m "" +-- -- .3.30 -----.'-,r-

O)+ 5.80)Tramo B-e Segundo Nivel En todos los tramos: Peso Propio Acabados

~

= 300 kg/m2= 100 kg/m2

D-' ---.-----------. '" 3.15 m +---------------+l~

lliJLIIIIlTIIIIIITI1JllIUITTTTTTTl wL = 40 kg/m mITlIIllITllIllTIrrrrmrrrwm , wD = 160 kg/m

O)Tramo e-o

~)

oL

= 400 kg/rr2 = 100kg/m2

i ITlTTIIIIIllllITI fTllllITlIIllIUrrllTlJ 1111]J

4+(1)

lIlITil111TIlIllllI1JTrUUrrrrTDIDJJJIIIII1]

-------7\(2)

-------Z\

wL = 40 wD = 160

3.30 m ' " ' '

----*-- .

3.30 m

----*

""(3)

Tramo 2-3

D."

IIllTllnUllllTnITrrnnl IIIIIlnillJnrrlnmUTIl

---D

wL = 40 wD = 160

1

1.30 m

," ---t(e)

(B)

14

1.5. Losas Armadas en Dos Sentidos y Tanque de Agua

PRIMER NIVEL (NPT

+

2.90)

Tramo A-B: Peso Propio Acabados= 300kg/m2= 1OOkg/m2

mnJTllTIJ ru rnTIn IlTrITnTlH wL

=400 x 0.4 = 160 rlTIJIU UIJI 1LilUlIlJIln 11n1l wO = 400 x 0.4 = 1603.30 m

D LTramo B-C: D L Tabique

= 4OOkg/m

2

~,~

/1.-"PO = 567x 0.4 = 227 kg

= 4OOkg/m 2

+ (1)

L~ f

(2)

= 4OOkg/m2= 250kg/m 2 = 567kg/m

yTJn11~lrIEI~~I~lmLLlJJJ IJI~ wD = 400 x 0.4 =L

lJJ1I J I L-rJrllILU rnr JII I 11 num wL = 250 x 0.4 = 100 160

"~\1.075-J -1--- (1)

. . ............

. 3.15m

~

/(2)

Tramo C-D: Peso Propio Acabados Tab. Mvil

= 300kg/m 2

= 1OOkg/m2 = 1OOkg/m2= 500kg/m2

DlIUIILlII ITfTI LLllLlLl L11111 r IJ wL = 250 x 0.4 = 100 [lrrTTl TTTTlTULlTl LIT ITITI 11 1111J wO = 500 x 0.4 = 200

f\,'"

.t\- ..(2)

/\~

D LTramo 2-3:O

f

3.30 m'"

3.30 m

'"(3)

= 250kg/m24OOkg/m 2 = 250kg/m 2=

(1)

!'.'----"~ }_.____"1

IlTlTIIJJJJlIJ llLll rrmlTlLlI wL = 250 x 0.4 = 100 IIITIUIIIIlIrrlUll1J lllLIl II wO = 400 x 0.4 = 160

-/\,(

L

1 .30 m

'"

(8)

(C)

1.5. Losas Armadas en Dos Sentidos y Tanque de AguaLas losas macizas armadas en dos sentidos sujetas a cargas perpendiculares a su pIano, expresadas en kg/m 2 , se analizan recurriendo a programas de Elementos Finitos o empleando tablas que permiten obtener los momentos flectores, los mismos que varan de acuerdo al grado de continuidad que tienen los extremos de la losa y tambin, con la relacin de lados que tiene el ambiente techado. La losa se asume que est simplemente apoyada sobre las vigas (borde discontinuo), pero, cuando colinda con otra losa (horizontal o verticalmente), se asume que ese borde es continuo. Cabe mencionar que las caras laterales del tanque (tambin de la cisterna) trabajan a doble accin: por un lado estn sujetas a cargas perpendiculares a su plano producidas por la presin del agua (y de la tierra en el caso de la cisterna), que las hacen trabajar como si fuesen losas, y, por otro lado, su peso propio y las cargas que provienen de la tapa y base del tanque (cargas coplanares) las hacen trabajar como si fuesen vigas de gran peralte ("viga pared", ver el acpite 1.6.2).

1.5. Losas Armadas en Dos Sentidos y Tanque de Agua

15(3)

a.- TERCER NIVEL (NPT +8.30)Peso Propio = Acabados = 360 kg/m 2 100 kg/m 2 460 kg/m 2 100 kg/m 2

, ?

~AJ

apoyo simple

wDwL

= =

TECHO DE ESCALERA

(2)

(A)

(B)

(C)

b.- TANQUE DE AGUA

(3)'

~"\.,,~~"\.,"\.~apoyos . continuos

Base del Tanque peso propio = 2400 x 0.15 acabados =

f: i~'~

=

360 kg/m 100 kg/m 2

2

.

BASE DEL

~

~

wDwL

= = peso de agua = yh

460 kg/m 2= 1000 x 1

=

1000 kg/m 2

(2)"'~~=~iI

(B)

(e)

Caras Laterales del Tanque La presin ortogonal del agua, actuante contra las caras laterales del tanque, adopta una distribucin triangular, con un valor mximo igual a wL = yh = 1000 kg/m 2 Adicionalmente, estas caras laterales actan como viga pared (ver el acpite 1.6.2).

cara eje 2

1; 0.4-,.f

. apoyo.h = 1.0 mcontinuos ./

l J I~~

A

~""''",.JT[ [1

A

~

~~ ~

:1'

wL2(3)

Fig. 1. 72. Aligerado Isosttico. Tramo C-D del Edificio en Estudio.

18

1.6.

c.-

Estimar la zona de influencia para contemplar en forma aproximada el efecto hiperesttico del momento flector. En la Fig.1.13 se proporciona en forma exacta las longitudes de influencia para el caso del aligerado B-C (empotrado en un extremo y simplemente apoyado en el otro) correspondiente al edificio en estudio.

Fig. 1.13. Aligerado Hiperesttico. TramoB-C (NPT + 5.80) del Edificio en Estudio.

Zona de Influencia

-m-1-(-X-)--,"""\ ! -----? M1w

M2 "

m1(x)I

M2

+! \

+m2(x)

1m 11 rrnr rI Il [ ~,,------------------"""A i \

Estado 2 -> m2(x)

-----?

-- i

+

\./

P

+'m3(x)II

Estado 3 -> m3(x)

11Fig.2.31 Proceso Computacional para Trazar el DMF.

I

~

i/M21

IM1M(x) == m1 (x) + m2(x) + m3(x)

Cabe mencionar que el Programa uVIGA 1 u (descrito en el acpite 3.2.2) aplica el mtodo computacional propuesto, desdoblando la longitud de cada tramo de la viga continua en 16 intervalos equidistantes. Este programa soporta hasta 20 cargas distintas en cada tramo.

2.8. Proceso de Liberacin Nudo por Nudo y de Liberacin SimultneaEl procedimiento que se ha utilizado hasta el momento para la liberacin de los nudos, se u conoce como UMtodo de los Nudos Alternos , porque en cada estado la liberacin (o distribucin de momentos) se realiz sobre los nudos alternos, empotrando los adyacentes. Existen otros procedimientos que se mencionan a continuacin.

2. Mtodo de

Har4.!L9:!!s_S_____ _

__________________~61

a.- Liberacin Nudo por NudoEn este caso, por cada estado, se libera un slo nudo y se empotra al resto; con lo cual, por cada ciclo habr que llenar tantas lneas de clculo como grados de libertad rotacionales tenga la estructura (Fig. 2.32), lo que evidentemente retarda el proceso. En cambio, en el procedimiento de liberacin alterna, cualquiera sea la cantidad de nudos, por cada ciclo se llenan slo dos lneas de clculo (dos estados). Por esta razn, se descartar el procedimiento de Liberacin Nudo por Nudo.

LIBERACIN ALTERNA 11 CICLO)

LIBERACIN NUDO x NUDO 11 CICLO)

"~

~----

- - -.

----...

I-~~ ____

~.~G _1

..

,

), Mij1 --> Vij1, Nij1 Calcular R11 por equilibrio

Fig. 4.2. Aplicacin Algebraica de Cross Indirecto. Estructura con 1 GL Traslacional.

En el Estado O de es.te ejemplo, los momentos Mijo son nulos ya que no existen cargas aplicadas sobre las barras (uij == O). En el Estado 1, los momentos de fijacin son producidos por los desplazamientos relativos dij, con lo cual, luego de liberar rotacionalmente a los nudos aplicando Cross (determinando Mijl), se podr calcular por equilibrio: las fuerzas cortantes Vijl, las fuerzas axiales Nijl y la reaccin Rll. Adicionalmente, ntese que las reacciones Rl0 Y Rl1 son positivas cuando siguen el sentido positivo de la coordenada generalizada (1). Estas reacciones son ficticias y no existen en la estructura original, por lo que: Por equilibrio en la coordenada (1): De donde se obtiene: Finalmente, por superposicin: R10

+ d1 R11

= O

dl = -Rl0/Rll Mij 8i

= Mijo + dl

Mijl ... en este ejemplo Mijo

=O

= 8io +

dl 8il ... en este ejemplo 8io

=

O

4. Mtodo de Cross Indirecto

83

Segundo Ejemplo Algebraico (2 GL Traslacionales):

F2 --

lIIl] ~ d2

~I @CD,"

F!_ ~--l~d1' ~ IV~.

N/2

)

=momento de inercia en el vrtice

L2" .J~/dbrida inferior

d

.t.I M

~ N/2

Fig. 5.53. Arco Parablico Achatado.

La seccin transversal del arco es constante y podr ser rectangular o compuesta por perfiles metlicos (arco de celosa); en el ltimo caso, deber tenerse presente que el momento flector (M) produce fuerzas axiales en las bridas (M / d) que debern agregarse a las generadas por la fuerza axial interna (N).

5.5.1. Detenninacin de Kij, fij Y uij41

(x'-Lx)

)MB =fAB MA

VA

QA

Fig. 5.54. Clculo de Kij y flj.

Para determinar la rigidez al giro (Kij = KAB) Y el factor de transporte (fij = fAB) se aplicar una rotacin en el extremo A, manteniendo fijo al extremo B (Fig. 5.54). Como el sistema resulta hiperesttico en tercer grado (redundantes: MA, VA Y QA), se aplicar el mtodo de la carga unitaria. Contemplando slo las deformaciones por flexin se tiene:

152

5.5 Arcos

fJ

,

(j =

f

M m ds fL M m dx = EI o E I Cosf3+

=--

1

E lo o

fL Mmdx

Donde, por equilibrio: M = MA

VA x - OA Y = f(x) ... funcin de "x"

El valor de "m" depende del desplazamiento que se quiera determinar (b o 8), por lo que imponiendo condiciones de borde en el extremo A, se logra tres ecuaciones:

m.___----I

CLCULO DE8Am(x) = 1

I

y,I

OA

=

1

(L \ [MA+VAx-QAy](1)dx ... [1]

E lo JO

CLCULO DE6Ax

=O

m(x) = - y ... funcin de "x"

O

1 = ---

(L \ [MA + VA x - QA y] (- y) dx ... [2]

EloJO

mCLCULO DEl) Aym(x) =

=O

x1-

O

r\ L

[MA + VA x - QA y] (x) dx ... [3]

E lo JO

Realizando las integrales respectivas (en funcin de "x") y solucionando las tres ecuaciones, se obtiene las tres redundantes hiperestticas (OA, V A Y MA):

5.5 Arcos

153

15 OA = ----2f-- \j

E lo eA ---f L

I

VA= _..::~~8 L2

MA=-~!~~L

Por equilibrio:

MS =fAS MA =- MA - VA L =

__ --!=JQ~AL

Finalmente, contemplando la simetra, se tendr:

IL..KA_B_=_K_BA_=_-_rA_A_=_~-_[_I-_O--,IIL..-f_A_B_=_f_B_A_=_--_~_~_=__~___'Para determinar los momentos de empotramiento (uij), tambin se aplica el mtodo de la carga unitaria. A continuacin se muestra algunas acciones de fijacin extradas de la Ref.2.

[IIillIIITillI1JlrnmJ1IDnlUllll LIlLilllllJOA=VA1

w

W L28f

= - Ob

=

_w L2

=VS

.~~ A

'''~~~:, ",VA

WVS

o

;- OA

l'+-7 OS

o

MA= MS =0

QA

= - QS =-

45 4

E lo b f2 L

cuandoAy S se alejan

VA= VS

=O-

MA

> OA

vs l' MS -i-) os

MA = - MS =

15 2

E lo b f L

154

5.5 ArcosOA= OB = O

VA = - VB

=-

12 E lo

L36E lo ----

- o

MA = - MB =

o

L2

BIARTICULADO MA= MB=O VA =V8 = O OA= - OS= 15 8 E lo 6 f2 L

VA=-VS= MA

MA+MS L

as"VAI

; ;> OA= - OS=

5 (MA- MS) 8f

5.5.2. Ejemplo de AplicacinEmpleando el mtodo de Cross Indirecto, resolver el prtico mostrado en la Fig. 5.55. Ntese que existe un tirante de acero (rigidez al giro nula) que trata de atenuar el aplastamiento del arco; asimismo, a pesar de que hay simetra en forma y carga, existe desplazamiento lateral, cosa que no ocurrira si la viga fuese horizontal.

Da1QS:Columna y Arco: 0.3 x 0.6 m E (concreto) = E = 2'000,000 ton/m 2 El = 2xlOB xO.3xO.6 3 112 = 108ooton-m2 Tirante: As = 10 cm 2 E (acero) = Es = 2100ton/cm 2 As Es = 21000 tontt~-

Ir 1I nIlUlllillTInTnllll~+

w

= 5 ton/m

I

f =2~

!d1

d1

I

Tirante

!

h=3

Clculos:Rigideces al giro (ton-m): K'21 = 3EI/h = 3x 10800/3 = 10800 K23 = 9 E I / L = 9 x 10800 / 10 = 9720 K (tirante) = O Traccin en el tirante: T = Es As (2 d 1) / L = 21000 x 2 d 1 / 10

" (1)

(4)

-J~.

'""./-

L= 10 m

'" ,ic

'

Fig.5.55

= 4200 d 1 ...

{T en ton para "d 1 " en mJ

5.5 Arcos

155

Existen dos procedimientos para trabajar: 1) Reemplazar al tirante por una fuerza externa de magnitud desconocida: T = 4200 d1; y, 2) No cortar el tirante:

w = 5 ton/m

~1~~;~IT

[llIIIIJJJInmlillOIU -_.- ._---

-~R1~

~~.

R11 T = 12.18.'>1

[l[ ITOnllIJUllUlLlIIl

J.

16.36

9.96(2) (3)

Hl.36

5.91 J

w = 3 ton/m

3.- Dibujar el DMF para la estructura mostrada (E = 2'000,000 ton/m 2 ); la seccin transversal de todos los elementos es 0.3 xO.5m.

11 I [I[ L1LLUJTlTmnrn flllTJllTllIUflIUlIn

yi2.0I

arco parablico

5.0m

10.0m

160

5.6 Apoyos Elsticos

5.6. Apoyos ElsticosEn la prctica estructural puede presentarse una serie de casos, en los cuales los apoyos de la estructura se simulan medipnte conexiones elsticas. Uno de esos casos fue estudiado en el Captulo 3, cuando se utiliz el modelo simplificado del ACI (Fig. 5.57) para analizar las vgas sujetas a carga vertical, reemplazando las columnas descargadas, con 6 == O y con un extremo fijo, por resortes helicoidales cuyas constantes son iguales a las rigideces al giro de las columnas (Kc = 4 E Ic I h). Kc

Kc

[[11 r11111111 rr mIl2KG_~

Kc

Kc

Kc'-

1 I

~f-~i------:-Iy\~;-'':''''-_'\;':'';;--.++~' '. . ", ,,'o

2Kc

.~

Kc

_~

.,"

hFig. 5.57. Modelo Simplificado.

'"

En este captulo se estudiar tres casos adicionales: la interaccin suelo-estructura, las parrillas simples y los resortes helicoidales incompatibles en giro con las barras.

5.6.1. Interaccin Suelo-EstructuraSe supondr que la zapata (de concreto armado) es rgida en comparacin con el suelo, el cual a su vez se adoptar como un material elstico con coeficiente de sub rasante (o mdulo de Balasto) igual a "ks". El valor "ks" se obtiene al ensayar el suelo a compresin, empleando un plato estndar (Ref.15) y se define como la presin (o) necesaria de aplicar para producir un desplazamiento (a la altura del nivel de cimentacin NC) unitario: ks = o lb (Fig. 5.58), por ejemplo, para el cascajo limeo este valor es alrededor de 10 kg I cm 2 x cm.

aFig.5.58 Clculo de "ks "

tks

a

La rigidez que ofrece el suelo al tratar de impedir la rotacin (8) de la zapata, se calcula como el momento (M) que proviene del eje de la columna, placa o muro de albailera dividido entre esa rotacin, obtenindose Kz = M/8. Dicha restriccin se representa mediante un resorte helicoidal cuya constante es Kz = ks Iz, donde Iz es el momento de inercia de la zapata. A continuacin se deduce el valor Kz, trabajando con una rotacin unitaria, para esta deduccin se ha supuesto que el suelo siempre trabaja a compresin, por el efecto combinado del momento y de la carga axial que baja por la columna.

161!~~'''\I M =I

!

~

Kz

!

Por Equilibrio:

eje de columna

j

/

,o

~~ca

I

[7 {)/

=

1 zapata.~,

Kz = \ Kz = ks

"-

/iI'~

o

e

x dFx 2 dA = ks Iz

suelo elstico

l' ! "'c~~

?~

i

5

.,.~

Por lo cual:

v

i o=b ks=xks L'':~ , ~. A\'t ~~~ , I ~

Kz

= ks

Iz

Zapata en Planta

'--'l~Tl

t

. ,J

dF

= (x ks) dA

eje de columna o placa

______ ,,11

1 v!

ldA:.l f"

Kz

('t:-+~ ~ I~~"""~

T

Observaciones:

1.-

La frmula para calcular Kz es vlida siempre y cuando el suelo trabaje a compresin, como resultado de la accin compuesta Carga Axial - Momento Flector; en caso contrario, Iz debe calcularse empleando slo la zona comprimida. En suelos muy duros Kz > > Kcolumna (4 E Ic / h), con lo cual, la base de la columna estar empotrada; en cambio, en suelos muy blandos Kz < < Kcolumna, por lo cual, la base estar articulada. Hay programas de cmputo que no admiten resortes helicoidales, en cuyo caso, el resorte debe reemplazarse por una barra eje de columna o placa equivalente de igual ri"1' -1'I gidez al giro (Kz). Las = caractersticas de esa l y I ~ barra equivalente se lo'1 ~ gran proporcionndole barra una longitud determif =O I= equivalente Kz = ks Iz : 4E nada (L) y eliminando su deformacin por -:+" ,"'" corte (factor de forma f = O), con lo cual, puede calcularse el momento de inercia de la barra equivalente como I = Kz l / 4 E.

2.-

3.-

~.l1

r

~

'~I-.

162

5.6 Apoyos Elsticos

4.-

El suelo tambin se deforma verticalmente, pero, por lo general, las zapatas se dimensionan para el mismo esfuerzo de trabajo del suelo (a), con lo cual, si "a" fuese zapata constante en todas las zapatas, entonces ellas a a a se desplazaran verticalmente la misma cantidad (b = o/ks). en cuyo caso, no existira asentamiento relativo de la superestructura (desplazamiento relativo de las vigas nulo) y no se originaran esfuerzos. Cabe mencionar que en la ciudad de Mxico se han presentado casos donde la superestructura se ha asentado uniformemente ms de un metro, sin presentarse fisuras.

rnIlIIl

illlIill

llIUJI]

De existir problemas por asentamiento diferencial, el efecto del suelo puede reemplazarse por un resorte vertical, cuya constante es Kv = ks Az., donde Az es el rea en planta de la zapata, resorte que a su vez puede ser reemplazado por una barra equivalente que presente una rigidez axial (E A / l) igual a Kv, y una rigidez al giro (4 E I / L) igual a Kz, tal como se muestra a continuacin.

eje de columna o placa suelo

I ITIllillllllIlTIlIIlJ ks0=

=

~1-TKz~~ ~Kv

=

~

-- f - -ti~

I~

tbksAz=P

Kz5.-

,~,

Ll f=O~==!~~'"'' E Barra Equivalente

= ks Iz Kv = ks Az

En la Ref. 13 se presenta las frmulas de Richart-Hall y Woods para obtener las constantes de resortes que representen las restricciones al desplazamiento vertical (Kv). horizontal (Kh) y rotacional (Kz) que ofrece el suelo al libre desplazamiento de la zapata. Estas son frmulas experimentales, que contemplan el efecto dinmico del sismo, donde G es el mdulo de corte del suelo, 'U es su mdulo de Poisson (del orden de 1/3) y las constantes l3i se obtienen de grficos como el mostrado en la Fig. 5.59. Las frmulas son: Kh = 2 G (1 Kz=G

+ v)

~x" (

B l)Kv = G ~t" ( B l ) I ( 1 - v)

~cjlBl2f(1-v)

163

eje de columna o placa

sismo

::s!

'1'8

I

~

~Kh Kv

'I

,~Kz:~

i

zapata en planta

columna L L/8

D

"-""

Fig. 5.59. Grfico de la Ref. 13 para Obtener las Constantes {J.

6.-

Cuando el suelo es de muy baja calidad se recurre a los pilotes de punta, hincados sobre un estrato firme, pero, si el estrato blando es muy profundo se utilizan pilotes que trabajan por friccin del suelo. Los pilotes de punta trabajan principalmente a carga axial, restrigiendo la rotacin de la zapata, efecto que se modela empleando un resorte helicoidal cuya constante es Kz = L (E Ai xi2 / L), donde Ai es el rea axial del pilote. A continuacin se deduce la frmula que permite calcular Kz.l

eje de columna o placa zapata rgida estrato blandol, 1)

Q

Iv

"J1.5 V .",

1.5 V,

t-----__t - - - - - - ,

Determinar el centroide (CG) de las reas (Ai) de las columnas que conforman cada entrepiso. Con fines de predimen------7-t------+------t sionamiento puede asumirse: Ai = constante, con lo cual se obtiene: -:>t------+------I

Xcg

=

1: (Ai Xi) I 1: Ai

= 1: (Xi)

I NPI--

~,-

.Pf- ___Y..!

~G _-J-?y2

M P3

Donde "N" es el nmero de columnas que conforman al entrepiso en anlisis.

(1)

2.-

Calcular el momento de inercia (despreciando la inercia propia) del grupo de columnas respecto al CG. Por Steiner: I = 1: Ai yi 2 ; donde yi = Xi - Xcg = distancia entre el eje de columna '''j'' y CG.

'~-1 (2)

I

L-~Q-

(3)

3.-

Evaluar el momento volcante (M) producido por las cargas laterales. Este momento se calcula a la altura del PI de cada entrepiso (Fig. 6.2), para que de esta manera "M" sea equilibrado slo por las fuerzas axiales "Pi" que se desarrollan en las columnas, de este modo, no intervienen los momentos hiperestticos de las columnas.

6.2 Mtodo del Voladizo ._-_ ... _ .._-_.. _ ..__.__ ._.. _._-----_._._----_.

--VIGA

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 181

4.-

Calcular las fuerzas axiales acumuladas en cada columna. Por Resistencia de Materiales: oi = M Vi / I = Pi / Ai, con lo cual: Pi = M Ai Vi /LAi Vi2. Si se asume Ai = constante, entonces se obtiene:

~L J/'"~/COLUMNA

J. .------~o)o';;;.- - - - - - - 1 ' 2

V= P

/1\

VL

L/2

Pi5.-

=

M yi / l:yi 2

MA (equilibrio)

1hA

1h

Por equilibrio hallar la fuerza cortante en las vigas (V); luego, asumiendo que el PI de las vigas cae al centro de su longitud, se determina los momentos en las vigas: Mv = V L/2 V se dibuja su DMF.

MB

=MA (hB / hA)

6.-

Calcular los momentos en las columnas respetando la posicin del PI asumida inicialmente. Este clculo se efecta de arriba hacia abajo. El momento MA se determina por equilibrio de momentos en el nudo superior, mientras que el momento en el extremo inferior se evala aplicando la expresin MB = MA (hB / hA). Finalmente, se calcula la fuerza cortante en cada columna: Vc

7.-

= (MA + MB) / h.

El proceso descrito es inverso al del Portal. As, mientras que en el mtodo del Portal el primer paso es hallar la fuerza cortante en las columnas, en el mtodo del Voladizo ste es el ltimo paso. Sin embargo, el mtodo del Voladizo permite calcular las fuerzas axiales en las columnas en la etapa inicial, lo que es necesario para predimensionarlas.

6.2.1. Ejemplo de AplicacinResolver el prtico mostrado en la Fig. 6.3 mediante el mtodo del Voladizo.10 ton'

J

5 ton,ll----

J -+--1-------111,(2) :/~.

-

(---

1.95 3.01 -r1.05 1.60II

M2 = 10 x 1.95 M2 = 19.5 ton-m

}

J Xc'IG(1) ;

1(3)6.0 m

;'l!2.40

M1=10(3+1.6) + 5 x 1.6 M1

r

= 54 ton-m

5.0 m

tiI

" y2

=- 0.33

y1 = - 5.33 m

l.

y3 = 5.67 m ~

Xcg = 5 + 11 = 5.33 m 3

Lyi 2 =

(- 5.33) 2 + (- 0.33) 2 + (5.67) 2 = 60.67 m 2

182

6.2 Mtodo del Voladizo

Luego: Pi = M yi /60.67

Cargas Axiales Acumuladas Pi (ton, + en compresin) Entrepiso Eje de Col.1 (y1 =-5.33) 2 (y2=-0.33) 3 (y3= 5.67)L

1 M1=54 -4.74 -0.29 5.04 0.00

2 M2=19.5 -1.71 -0.11 1.82 0.00

\Y

,~~: I '1\

1.71 ton

'" 0.11.1\

1.82

t-----H9---I---qt'"ic ~---I3.03~ 4.74(1) (2)

3.21 0.29 5.04 II

Ntese que en cada entrepiso por equilibrio de fuerzas verticales: ~ Pi = O

(3)

4.27 4.27

1.71 '" ~----

.....------15.46

4.27 . 9.73 --

1.82 ton

5.46

I hB _ 1.Q5IhA L

1 .95 = 0.54

i

, 1.95 ml'

3.211\ __ _

1.05

, 1.60 m

!

1113 = 2.40 = 1.5hA 1.60

2.40

7.89

'" ~

5.0 m 17.92 ..... - - - - --- -;;1'----

'i'

6.0m

10.02 .,"

Cabe indicar que este prtico fue resuelto mediante el mtodo de Muto y tambin con el programa EDIFICIO (matricial), para lo cual se trabaj con vigas de 0.3xO.5 m y columnas de 0.3xO.4 m. La mayor diferencia de momentos se produjo en la base inferior de la columna central del primer piso, a continuacin, entre parntesis se muestra la diferencia porcentual respecto al anlisis matricial de los momentos obtenidos en ese nudo. M (Portal) M (Muto)

= 15.45 ton-m (27%) = 12.52 ton-m (3%)

M (Voladizo) = 17.92 ton-m (48%) M (EDIFICIO) = 12.13 ton-m

De esta manera, puede decirse que el mtodo del Portal proporciona mejores resultados que el del Voladizo cuando el prtico es achatado.

6.3 Mtodo del Muto

183

6.3. Mtodo de MuloEl mtodo de Muto se utiliza para resolver en forma aproximada a los prticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales, sujetos a carga lateral producidas por el viento o los sismos. El mtodo contempla en cierta forma la deformacin por flexin de las barras, con lo cual, los resultados que se obtienen son mucho ms precisos que los calculados mediante el mtodo del Portal o del Voladizo, e incluso pueden utilizarse para el diseo de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformacin axial son despreciables.

6.3.1. Rigidez LateralSupongamos la siguiente columna biempotrada, sujeta a un desplazamiento lateral6 E I I h2~~~

Por equilibrio: Siendo: Se obtiene:

V = 12 E I I h 3 kc = II h KoV = ( 1 2 E Ko I h 2)

I~~~

V

kch kc = h Ko

Multiplicando por: a = 1 Resulta: V = ( 12 E Ko I h2 )

(a kc)

V~~~

Se define a la Rigidez Lateral Absoluta (K o Da) como aquella fuerza cortante (V) capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definicin se obtiene:

6 El I h2

Rigidez Lateral Absoluta:: K:: Da :: Vid:: (12 E Ko I h 2 ) a k e:: Do (a kc) :: Do D

Donde Do es la denominada Rigidez Lateral Estndar (con unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton I cm) calculada como:Rigidez Lateral Estndar:: Do:: 12 E Ko/h 2

La Rigidez Lateral Estndar depende de la altura de cada columna, pero, como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrn el mismo valor Do. Por otro lado, se define a la Rigidez Lateral Relativa (adimensional) al valor:Rigidez Lateral Relativa:: D:: K/Do :: a kc

h2-t-

D02

=12 E Kch22

h1

D01 =

12 E Koh12

184

6.2 Mtodo del Voladizo

El coeficiente "a" contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos; para el caso que la columna est biempotrada (vigas muy rgidas) el valor de "a" es 1. En cambio, si la columna est biarticulada "a" es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral); por otro lado, si la columna est articulada en su base (por ejemplo, zapata sobre un suelo muy blando) y empotrada en su extremo superior (vigas rgidas). se demostrar que "a" es Y4 Por equilibrio: V = 3 E : o I no> Siendo: Resulta: Con io cual: Como: Do V

=

12 E Ka kc b / (4 h 2 )~-

V:--"3~1

o

o

h2

= 12 E Ka / h2Do (Y4 kc)b kc)h

=

~""~/ /kc=

K

= V / = Do (Y4a = Y4

K = Do(akc)

/

h Ko

Se concluye que:

+ ! T> V2 V1 concluye que en , K2 = V2 los prticos comI -_ _ _ G_A)--t-> JI K1 = b2 puestos por vigas F1 ->I------I~. y columnas, la distribucin y magnitud de las cargas Fig.6.5 laterales no afecta

r 1>

~:

.,"

6.3 Mtodo del Muto

185

el valor de K. Por ejemplo, si se calculase mediante Cross el desplazamiento y la fuerza cortante en la columna "A" del prtico mostrado en la Fig. 6.5, para dos estados de carga, resulta K 1 "" K2 "" K. Es decir, las variables que intervienen en mayor grado en el clculo de K son las propiedades elsticas y geomtricas de la columna, as como el grado de empotramiento que tiene en sus extremos. Esto no es cierto para el caso de Placas, cuya rigidez lateral depende fuertemente de la distribucin que adoptan las cargas laterales.

placa

,

K1

,""""""'"CLCULO DEL COEFICIENTE

"a"

A travs de una serie de comparaciones contra resultados obtenidos mediante mtodos matriciales, Muto recomienda emplear las siguientes frmulas para calcular "a": 1.Columnas que Pertenecen Entrepisos Superiores al Primero Observaciones: akv3

I "- kv4

I\

kc I

a.b.-

Si k

~

Ifl

F3

/F2

F2

---7

11K2 K3

K1 F1---7

J/

!/

Q=V1 +V2+V3 = F2+F3

-IV1 ..

/'

V2=V

K2.-/

b2 1 )I I

1

-

rh2

V

;'7- bl + b21

----7;

O

-- / ~>

V2=V

('--

bl/

1 / 1/

-:7- V1 = VK1

7

J ih1

:/!

IEliJ/

K=

~1+-1c,V II

1 1/ 1/-~

/

/ /V

K= II

j=

= bl

+ b2

En el primer piso: En el segundo piso: Luego: De la cual:

V1 = V = K1 b1 =:-b1 = V V2 = V = K2 b2 =:- b2 = V II = b1 + b2 = V / K 1 + K = V / II = 1 / [ 1/ K 1 +

/ K1 / K2 V / K2 = V (1 / K 1 + 1 / K2) 1 / K2 ]

En general para columnas en serie se tiene: K

1/ L (1/Ki)

Este caso de columnas en serie pue- F3 --O> de presentarse en prticos con o mezzanine, donde a la altura del F2 -> mezzanine la masa es pequea, as O> como la aceleracin ssmica, con lo o cual, la fuerza de inercia en ese ni--'7 F1 > vel es prcticamente despreciable o o '> con relacin a las que existen en los niveles superiores. Tambin puede -'-'-'--- - ' - - ' presentarse en prticos con viga inPrtico con Viga Prtico con Mezzanine termedia en el entrepiso, que sirve en el Entrepiso como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequea, la fuerza de inercia ser prcticamente nula en ese nivel./

188

6.3 Mtodo de Muto

6.3.4. Determinacin de EsfuerzosConocido el cortante que absorbe una columna (V), Muto proporciona unas Tablas (ver el Anexo 2) que permiten ubicar la posicin del punto de inflexin (PI). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado para el mtodo del Portal, se determinan los esfuerzos: a.b.Graficar el DMF en las columnas. Calcular los momentos en las vigas, repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporcin a las rigideces de las vigas (kv), y graficar su DMF. Determinar la fuerza cortante en las vigas por equilibrio. Evaluar la fuerza axial en las columnas.

MA = V (1 - y) h

(:,MB

v;:-- -""\

~,V

i-------t . I 1 - y) ~ L

c.-

(B) __ _

d.-

/f~-_./I

>V

tI

Ih jT1

.L----J

I Iyh

=V (y h)

Ubicacin del Punto de Inflexin (PI) en las Columnas Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a "y h ", el valor "y" se determina como y = yo + y1 + y2 + y3; donde "yo" es a la altura estndar del PI, "y1" es una correccin por variacin de rigideces de las vigas, mientras que "y2" e "y3" corresponden a correcciones por diferencias de alturas entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son tpicos, slo se calcula "yo". a.- Altura Estndar del PI (yo hl. Tabla 1 A Muto elabor la Tabla 1A, suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, as como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribucin de las fuerzas laterales era triangular. El clculo de "yo" se efecta en cada eje vertical de columnas. Para ingresar a la Tabla 1 A, es necesario saber cuntos niveles tiene el eje de la columna en anlisis, en que entrepiso est ubicada y el valor dek.

PI

h

(B)

columna en anlisis ubicada en el 2do. piso

kyo h~------------~------~

eje de 2 niveles

--

--

eje de 1 nivel

--

6.3 Mtodo del Muto

1891/.

b.- Correccin l/y 1

Tabla 2

Esta correccin se realiza slo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexin que las inferiores (B). Para calcular y 1" es necesario determinar el parmetro a1 y k, para luego ingresar a la Tabla 2, anotndose que:l/

kv1(A)

kv2 kal kv1 + kv2 kv3 + kv4

Sia1 = 1 ~y1 = O (es lo usual). Para el primer piso y1 = O salvo qu'e la base est semiempotrada. Si a1 > 1, se ingresa a la Tabla 2 con la inversa de a 1 y se cambia de signo al valor "y1"; es decir, el PI se corre hacia abajo.1/ 1/,

kv3 (B)

kv4

c.- Correcciones l/y 2". "y3". Tabla 3 Estas correcciones se efectan cuando la columna superior o inferior a la que est en estudio, tienen distintas alturas; para esto, es necesario calcular los parmetros a2, a 3 y k. Observaciones: Si a2 = 1 ~ Si a3 = 1 ~ Para columnas Para columnas y2 = O y3 = O del primer piso del ltimo piso

1.

[~slI

~

!

~

en

anlisis~ ~

y3 = O y2 = O

[hiJ _--+-_1+1

[03 - ~

l/

r:-

.L

2

:>

aplicar OZAWA / para calcular / MA, MB,y

b--~1

// /

kvc1F;g.6.7

190

6.3 Mtodo de Muto

6.3.5. Ejemplos de AplicacinEJEMPLO 1. Resolver el prtico mostrado en la Fig. 6.8. Suponer:

E = 210ton/cm2 Vigas: 30 x 60 cm Columnas: 30 x 45 cm Ko = 760cm3COEFICIENTE DE RIGIDEZ A FLEXiN (k)

10 ton

-t--

5ton7~--------r-------~

-t1

30 .

1

30 .

k

= I/(LKo}"" 6.0 m"" +-----+--6.0 __

-T2.0+

I

Columna con base rotulada: kc = 3Ox453 /(12x200x760} = 1.5 Vigas: kv = 3Ox6Q3/(12x600x760}

-

1.0

Fig.6.8

= 1.18kv - 1 18 kv - 1 18 1 2.36 0.54 0.54 11.49 kv= 1.18 kc = 11= a= D= K= 1 3x1.18/(2x1) = 1.77 1.77/(2+1.77) = 0.47 0.47x1 = 0.47 0.47x21.28 = 10.0 kv= 1.18 kc = 11= a= D= K= 1 1.18/1 = 1.18 (0.5+1.18)/(2+1.18) = 0.53 0.53x1 = 0.53 0.53x21 .28 = 11.27 1.5 1 1

RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA (K):

-

kc =

1 2x1.18/(2x1) = 1.18 1.18/(2+1.18) = 0.37 0.37x1 = 0.37 0.37x21.28 = 7.87 kv=1.18

D

= akc

11=a= D= K=

K = D Do (ton/cm)

7. 87

kc =

0.5 1.18/0.5 = 2.36 (0.5+2.36)/(2+2.36) = 0.65 0.65xO.5 = 0.33 0.33x5.32 =1.75

7 .87

11=a= D= K=

o.790.15 0.23 11.01

'''-''-''-'

Do = 12 E Ko / h2 Para h Para h Para h

~~

~~

= 300 cm- Do = 12x210x760/3002 = 21.28ton/cm = 600cm- Do = 12x210x760/6002 = 5.32 ton/cm = 200cm- Do = 12x210x760/2002 = 47.88 ton/cm

6.3 Mtodo del Muto --------_ .._-------_._-_._-------

191

CLCULO DE O. Trabajando con los conceptos de columnas en paralelo y en serie:10ton~

10ton

~

K= 7.87+11.49+7.87=27.23 5 ton~

K = 27.23 5 ton~

....-_---J'--_-,

....------1--..,K= 1.75 K= = 9.92 + 1 17.87 22.28

K = 10+7.87 = 17.87 K = 1.75 K= (serie) 11.27+11.01 =22.28

10ton

~ 10ton15x9.g2 1.75+9.92

10 ton

5 ton

~....-_---J'--_..,

l(5xl.z~

5 ton ~ ,------'--, dad en cada nivel. Por Fig.6.10 ejemplo, para el edificio mostrado en la Fig. 6.9, se tendr en la direccin y-y el modelo indicado en la Fig. 6.10.

r-->-

6.4 Anlisis Ssmico Traslacional de Edificios Aporticados

197

Las columnas que conforman al entrepiso de cada prtico estn dispuestas en paralelo, al igual que ambos prticos, ya que sus desplazamientos relativos son los mismos, por lo que el sistema se reduce al esquema mostrado en la Fig. 6.1 OA De esta manera, es posible determinar los desplazamientos de entrepiso ( b ) Y el cortante ( O ) que absorbe cada prtico como se indica a continuacin: b2 == 02/ K2 Eje A: Eje B: 02A = K2A b2 02B

F2 ,',,"--,-->\~,-.J

F2\'

62K2

K2A

K2BF1

=K2A + K28 =F2. 61 ,

02

I " I .K1A K1BI /

Kl = K1A + K18

i

i

"" eje A

" eje 8"

Fig.6.10A

.",.

01

= Fl

+ F2

,~'"

.

b1=01/K1 01A

== K1A b1F2A= Q2A

== K2B b2

01B = K1B b1

,--'0>.--------,:I

! Finalmente, las fuerzas laterales (F) actuantes en los niveles de cada prtico pueden ser calcu- F1A =Q1A Q2A ~ / , ul", ladas, tal como se muestra en la Fig. 6.11, Y los --'0>.------11-----1 1 esfuerzos en las barras se determinan aplicando los mtodos de Muto o Cross.

I

Fig. 6. 11. Fuerzas en el eje A.

6.5. Interaccin Prtico-PlacaEn el Anlisis Ssmico Traslacional Manual, las dificultades se presentan cuando existen placas (Fig. 6.12) cuyas rigideces de entrepiso (Kwi) dependen de la distribucin que adoptan las fuerzas laterales, cosa que no ocurre cuando se trabaja matricialmente, en vista que la matriz de flexibilidad lateral de la placa se calcula aplicando cargas unitarias en cada nivel (distribucin nica de fuerzas (C) para cada estado de carga). En cambio, como ya se ha mencionado, la rigidez lateral de una Fi columna resulta ser prcticamente indepen--7 (6) diente de la distribucin que adoptan las cargas laterales.(A)

Por lo que mientras no se conozca la rigidez lateral de la placa (Kwil. no se podr determinar la fuerza cortante que ella absorbe y viceversa, mientras no se conozca la fuerza

Fig. 6.12. Planta de un Edificio con Placa

198

6.5 Interaccin Prtico-Placa

cortante que absorbe la placa, no se podr calcular su rigidez lateral, crendose de esta manera un problema iterativo. Por ejemplo, para el edificio mostrado en la Fig. 6.12, las rigideces laterales de las columnas correspondientes a los prticos A y e, pueden calcularse aplicando el mtodo de Muto y como estn dispuestas en paralelo, se suman para condensarlas en un slo eje de columnas, obtenindose los valores Kci. Pero, la rigidez lateral de la placa del eje B (Kwi) es an desconocida y en un primer paso del proceso iterativo Kwi debe ser calculada analizando la placa como si fuese una barra en voladizo (deformable por corte y flexin), sujeta a una distribucin de cargas estimada.F3

..

_-

r-:

-----,i

F3

&3 0-.-')

i/F2

~~1/

jejeB eje A

F1

JI\1KW1,LKc1(B) (Ay C)

1 1 e1eje

Fig. 6. 13. Modelo para el Anlisis Manual Traslacional del Edificio de la Fig. 6. 12.

Si se supusiera que la placa trabaja aisladamente (Fig. 6.14), se tendra una deformada como la correspondiente a una viga en voladizo, donde en los pisos inferiores predomina la deformacin por corte (pequea), mientras que en los pisos superiores prevalece la deformacin por flexin (elevada).

:>

Kw3.;>

Kw2

-~Kw1

/i

/deformada / tipo "viga en voladizo"

/

--7

Kc3

AyC~,7sI/deformada tipo "viga / de corte"

Kc2.. ---7

feSISuperposicin de deformadas y fuerzas de interaccin

;;'

/

/Kc1

ir:; / 1I1

. ji/Ii.

~

~

eje B aislado

ejesAyC aislados

Fig. 6. 14. Ejes Aislados.

6.5 Interaccin Prtico-Placa

199

En cambio, si el conjunto de columnas (ejes A y e) trabajase aisladamente, existira poco desplazamiento relativo en los pisos superiores, mientras que estos desplazamientos seran altos en los pisos inferiores (Fig. 6.14); a este tipo de estructura se le denomina "Viga de Corte", debido a que su deformada depende fundamentalmente de la magnitud de la fuerza cortante. Esto se produce porque los valores de las rigideces laterales Kci no varan mucho entre los pisos consecutivos (Kc1 = Kc2 "" Kc3 = K), con lo cual se tendra: Vi = K Di; por lo que cunto mayor sea V, se tendr mayor D. Pero, como debe existir compatibilidad de desplazamientos laterales entre la placa y el conjunto de columnas, ocurrir que en los pisos superiores la placa no se deformar tanto y el desplazamiento del conjunto de columnas ser mayor, lo que dar lugar a la generacin de fuerzas de interaccin (iguales pero de sentido contrario) negativas en la placa (tratan de descargarla) y positivas en el conjunto de columnas (tratan de recargarlas); mientras que en los pisos inferiores ocurre todo lo contrario (Fig. 6.14). El problema descrito se acenta conforme el edificio es ms elevado, lo que puede dar lugar a distribuciones de fuerzas laterales fuera (+) de lo comn (Fig 6.15), pero -> todo esto se debe, como ya se explicado, a la interaccin prtico-placa. Por otro lado, podra pensarse que la placa es ineficiente en los piColumnas Placa Solucin sos superiores y hasta poFig.6.15 inadecuada dra tentarnos discontinuarla verticalmente, transfor- Distribucin de Fuerzas Contemplando la Interaccin Placa-Prtico mndola en columnas, pero esta solucin es inadecuada, porque se producira concentracin de esfuerzos en la zona de contacto columnaplaca, por el cambio brusco de rigideces entre los pisos consecutivos; lo ms adecuado es no perder la continuidad vertical de la placa, es ms, las fuerzas negativas que se desarrollan en su parte superior, contrarrestaran el gran momento basal que usualmente tienen las placas. En el proceso de Clculo Manual (empleado en la dcada de los 60), contemplando la interaccin prtico-placa, habra que seguir el siguiente proceso iterativo: 1.Darse una distribucin de fuerzas laterales sobre la placa, contemplando la interaccin prtico-placa. Resolver la placa como si fuese una viga en voladizo (isosttica) deformable por flexin y corte, luego hallar su rigidez lateral Kwi = Owi I di. Calcular el cortante que absorbe la placa: Owi = Oi Kwi I (Kwi + Kci), lo que dar lugar a otra distribucin de fuerzas laterales sobre la placa. En este paso se est

2.-

3.-

200

6.5 Interaccin Prtico-Placa

compatibilizando los desplazamientos laterales entre la placa y el conjunto de columnas al asumirlas como elementos en paralelo. 4.Regresar al paso 2, y as sucesivamente hasta que los valores de Kwi converjan.

Cabe mencionar que si la placa no fue(C) se una barra en voladizo (isosttica), sino ms bien formase parte de un Fi Prtico Mixto (Fig. 6.16). el paso 2 del (8) proceso iterativo se complica tremendamente, a pesar que el modelo se simplifique al mximo estimando la posicin del punto de inflexin de las vigas (A) que concurren a la placa y condensanFig. 6. 16. Planta de un Edificio con Prtico Mixto do la rigidez lateral de las 5 columnas en un slo eje, tal como se muestra en la Fig. 6.17, donde se observa que la placa es un elemento hiperesttico por las vigas coplanares.

>

F3

PI-n--~-~-

F3

~. T~--~-l

F2

x

~.J.~~-

--HII

W1

--H~-~-~i

I

F2 F1

1-1 l '..

Z

?- -,

63!

-

j~--Icl~ 1'... ejeC

Jo J,

eje B --71

~~ 1< eje A ->1

I

i. i 1 L .~I

1'

I~

I IK~1

I

~2j//

ri

Kc2

1/

~ 1bI1/

Kc1

1,

l.

->1

5 cols.

Fig. 6. 17. Simplificacin Mxima Para el Anlisis Traslacional del Edificio de la Fig. 6. 16.

Para estos casos, si se pretende realizar un Anlisis Manual, se recomienda aplicar el mtodo de Ozawa, expuesto en el acpite 6.6.

6.6 Mtodo de Ozawa

--------------------------------------------------~~

201

6.6. Mtodo de OzawaEl mtodo de Ozawa es un proceso manual de clculo que se utiliza para solucionar, en forma aproximada, prticos mixtos sujetos a carga lateral. Bajo este procedimiento se resuelve el problema de interaccin prtico-placa sin recurrirse a procesos iterativos; tambin, puede ser empleado en el anlisis ssmico traslacional de edificios de mediana altura (menos de 10 pisos) compuestos por una sla placa y columnas, o varias placas de igual geometra, pero, cuando el edificio contiene placas de diferentes caractersticas, ser necesario emplear una tcnica adicional que se explicar en el acpite 6.6.2. El mtodo contempla las deformaciones por flexin y por corte en la placa, pero no la deformacin axial, por lo que los resultados son bastantes precisos cuando se aplica en estructuras de mediana altura. Por otro lado, se trabaja con rigideces relativas estandarizadas al material de la placa (mdulo de elasticidad = E), por lo que si se tuviese, por ejemplo, vigas y columnas de concreto armado (Ec) con un muro de albailera (Ea), ser necesario aplicar el criterio de la seccin transformada, multiplicando el espesor real de las vigas y columnas por la relacin Ec / Ea, desde el inicio del problema. En este libro slo se explicar la manera como se aplica el mtodo, as cmo las hiptesis generales que permitieron la deduccin de las frmulas respectivas.

6.6.1. Nomenclatura y Frmulas que Emplea el MtodoEn la Fig. 6.18, se ilustra la nomenclatura utilizada en el Mtodo de Ozawa, sta es: n nmero asignado a un nivelo a un entrepiso (las variables relativas al entrepiso siguen la numeracin del entrepiso). ngulo de rotacin por flexin en el eje de la placa (radianes), positivo cuando est dirigido en el sentido horario.

2

82 _ _..----)'2 81 _ _. . - - - - ) '

e

= 2 E Ko eKo Don

(giro proporcional al real).

eje de la / placa

n =O

80 _ _t - - - - f

rigidez estndar, usualmente 0.001 m 3 ELEVACIN

=

1 2 E Ka I hn 2 = rigidez lateral estndar de la placa en el piso "n" Iw / (h Ka) = coeficiente de rigidez a flexin de la placa en el piso "n".

..,Dc5

PLANTADeS Dc7'-

kw

sismo~

( kvl[bC4

placa

Del:Dc

= rigidez lateral relativa de una columna.=suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman al entrepiso en la direccin en anlisis (Dc1 + ... + Dc7).

Fi

(':t

DC1

r,PC2

Dc3

Fig.6.18

'1 -

202

6.6 Mtodo de Ozawa

Aw, Iw, f == rea axial, momento de inercia y factor de forma de la seccin de la placa.

oOw Oc Vc

== cortante total del entrepiso "n" (valor conocido) == 1: Ficortante que absorbe la placa (valor desconocido) en el entrepiso "n". cortante que absorbe el grupo de columnas en el entrepiso "n" == 0- Ow cortante que absorbe una columna: Vc = Oc Oc /1: Oc

1.- CONSTANTES DE ENTREPISO

Para la deduccin de las siguientes expresiones, se ha considerado que existe compatibilidad de desplazamineto horizontal entre la placa y el conjunto de columnas (hiptesis de diafragma rgido).

Xn = 1 + Den + 12 E Ko f Den GAwnhn kwn

Zn

Den Xn

Bn == kwn - 3 Zn

An == kwn

+

3 Zn

en =

Qn hn Xn

Las constantes Xn, Zn, Bn y An son adimensionales, mientras que en tiene unidades (ton-m); ellas se tabulan ordenadamente por cada entrepiso un" de la siguiente manera:

11f------+--kw---+-Ip;,o

Bn '--+-Oc--+Xn_ Z n- I - - -

1

--+------An-+--Q~n---len1I

lJ/Qta:

si se estuviese analizando una placa aislada, sin columnas, entonces: Dc = O, Xn = 1, Zn = O, Bn = An = kwn.

2. - COEFICIENTE DE RIGIDEZ A FLEXIN DE LA VIGA DE BORDE (kv)

Este coeficiente (adimensional) se obtiene como la rigidez al giro absoluta ( K ) de la viga que llega al plano de la placa dividida entre la constante 6 E Ko; en cambio, en el mtodo de Muto se usa la constante 4 E Ko. E == mdulo de elasticidad de la placa.

kv=

K 6EKo

En el clculo de K existen varios casos, los cuales se muestran a continuacin.

6.6 Mtodo de Ozawa

203

placa'0

placa/- I

1

FILAS MODIFICADAS

1-!

126.0

-110.9 161.9 -126.0 225.1

4>3 4>2 4>1

4>3 4>2 4>1

5.158 5.063 3.679

ton-m

len Gen

CLCULO DE Qw Qc Vc. Mv. 6

= n /2 E Ka .. (rad) = Gn - Gwn ... (tan)(qm-'

Mvn Ven

= 3 n kvn ... (tan-m) = Gen Den /~ Den

Gwn 6n

= [Cn - 3 Zn (n-1

+ n)] / hn

= Gen / (Dan~ Den)

tambin: 6n = [3

+ n) + Gwn hn / kwn] / (hn Don) + f hn Gwn / (G Awn)

6.6 Mtodo de 'Ozawa

209

n 3 2 1

cpn5.158 5.063 3.679

3(cpn-1 + cpn) 30.66 26.23 11.04

Zn0.52 0.52 0.66

en88.4 147.3 176.0

Qwn 24.15 44.55 56.23

Qcn 5.85 5.45 3.77

Mvn 30.8 30.2 22.0

Nota: 4>0=0

n

3 2

1)n (m) 0.0041 0.0038 0.0021

Motal (m) 0.0100 0.0059 0.0021

1)total "EDIACIO" 0.00981 0.00580 0.00205

Kwn = Qwn/1)n (ton/m) 5890 11724 26776

Obsrvese como decrece la rigidez lateral de la placa (Kwn) conforme se sube de nivel.

En la tabla anterior se han agregado los desplazamientos totales obtenidos mediante el programa matricial EDIFICIO (incluyendo los efectos de las deformaciones axiales de las columnas y placas); puede notarse que los desplazamientos calculados mediante el mtodo de Ozawa apenas difieren en 2% con respecto a los obtenidos por computadora.

CLCULO DE LOS MOMENTOS FLECTORES_ Mvn

24.15 -

\,

) 30.8

1

30.8

7.39~--

9.83

l3~~ mi20.40 ') 30.2

11.68

1 4z1.6-t 11.4 " 1:3:6m J 30.2 18.86 " Qw= 44.55 T \) 22.0 /1:!:~ "-~---:::,~~~--t;dlio 'j 1 /~~ = 56.23 tonL..:-_.:..I

Eje de 1 Placa en voladizo (isosttico) I ""

-

13.56

292'-------~'1.34

b=4.15m

6.9 ---,-}

.-

Para ilustrar cmo se resuelve una de las placas cuando existen otras con distintas caractersticas (acpite 6.6.2), se aplicar Cross en el eje de la placa del ejemplo anterior, estimando la ubicacin del punto de inflexin de la viga de borde al 40 % de "bu (Fig. 6.22). medido desde el eje de la columna. Para el clculo de los momentos de empotramiento, se utilizarn los desplazamientos (on) determinados mediante Ozawa. Vigas: Kv = 3Elv(1 + a/b)2/b a = 1.35 m, b = 2.49 m ~ Kv = 30946 ton-m

Placas: g = 1.38 (d / h)2 = 1.38 (3/3)2 = 1.38 fij = fji = (1-g)/(2 + g) = -0.112 Kij = Kji