analisis sistema r-27 prueba 3

8/16/2019 Analisis Sistema r-27 PRUEBA 3

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U niversidad de Tarapacá scuela de Ingeniería léctrica y lectrónica

Solución Prueba Optativa de Análisis de Sistemas

Primer Semestre de 2012

1.- La figura corresponde al circuito análogo fuerza-voltaje de un sistema mecánico de traslación lineal

cuya entrada es la velocidad u1( t) asociada con la fuente de corriente i1( t), siendo la salida deinterés la velocidad u3 del extremo libre del elemento representado por R2 en el circuito análogo.

a) Dibuje un sistema mecánico representado por el circuito,identifique en él las velocidades y fuerzas de las uniones y

haga una tabla de todos los parámetros y variables

análogos entre ambos sistemas.

b) Escriba las ecuaciones fundamentales de cada uno de los4 elementos en el dominio de s. A partir de las ecuaciones

individuales de cada componente, dibuje un diagrama de bloques en el que cada bloque corresponda a un elemento,

mostrando en él las fuerzas y velocidades de los elementos y uniones.

c) Aplicando transformaciones válidas, reduzca el diagrama hasta llegar a un solo bloque con la función de

transferencia entre la salida y entradas definidas, reducida a un cuociente de polinomios ordenado en

potencias descendentes de s.

d) Aprovechando el desarrollo anterior (sin repetir toda la reducción), determine la velocidad en el dominio s

del objeto representado por L, cuando la entrada u1( t) posee una aceleración de 1 [m/s2] siendo 1(0) 0u = .

(Nota: En todo el desarrollo use la notación correspondiente a cada tipo de sistema, además simplifique

ordene, factorice, etc. las expresiones resultantes de los puntos c) y d).

Solución: a)

Como el circuito tiene 3 mallas, el análogo mecánico f – v tendrá 3 uniones mecánicas:

A la unión 1 convergen la fuente de velocidad y el

amortiguador B1.

A la unión 2 se conectan la masa M , el resorte K y el

amortiguador B1.

A la unión 3 llegan el amortiguador B2 y el resorte K .

3 elementos están con un extremo en la referencia develocidades: u1(t ), B2 y M (esta última con un terminal

que normalmente no se dibuja).

R1 i1 i 2 i 3

R

L

C

v1 v2

u1(t) [i1(t )]

M [ L]

K [C ]

B2 [ R2]

B1 [ R1] u2(t) [i2(t )]

u3(t) [i3(t )]

2(t) [v2(t )]

1(t) [v1(t )]1

2

3


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Sistema Mecánico Sistema Eléctrico

Símbolo Variables Símbolo Variables

u1 velocidad aplicada por la fuente mecánica ⇔ i1 corriente aplicada por la fuente eléctricu2 velocidad de la masa M (unión 2) ⇔ i3 corriente en inductancia L (malla 2)u3 velocidad del amortiguador B2 ⇔ i3 corriente en resistencia R2 f 1 fuerza proporcionada por la fuente ⇔ v1 voltaje proporcionado por la fuente f 2 fuerza aplicada a K y B2 ⇔ v2 voltaje aplicado a C y R2

Parámetros Parámetros

M Masa ⇔ L Inductancia B1 y B2 Amortiguación ⇔ R1 y R2 Resistencias

K Elasticidad ⇔ C Capacitancia

b) Ecuaciones de los 4 elementos:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

2 1 2 2 1 2

2 2 3 2

Para : ( ) ( ) ( ) (1) Corresponde para : ( ) ( ) ( )

1 1Para : ( ) ( ) ( ) (2) Corresponde para : ( ) ( ) ( )

1Para : ( ) ( ) ( ) (3) Corresponde para : (

B F s B U s U s R V s R I s I s

M U s F s F s M I s V s V s Ms Ls

K F s U s U s C V sKs

= − = −

= − = −

= − [ ]1 2

2 3 2 2 3 2

2 2

1) ( ) ( )

1 1Para : ( ) ( ) (4) Corresponde para : ( ) ( )

I s I sCs

B U s F s R I s V s B R

= −

= =

Diagrama de bloques elementales: observando las ecuaciones anteriores se construye el siguiente D.B.:

c) Reducción del diagrama para obtener la función de transferencia 3

1

( )( )

( )

U sT s

U s=

U 1(s) +

-

1 B

2

1

B

U 2(s)

F 1(s) U 3(s)

U 1(s)-U 2(s) 1

Ms

1

Ks+

-F 2(s)

+

-U 3(s)

U 2(s)F 1(s)- F 2(s) U 2(s)-U 3(s)

F 2(s)

Ec. (1) Ec. (2) Ec. (3) Ec. (4)

U 1(s) +

-

1 B

2

1

B

U 2(s)

F 1(s) U 3(s)

U 1(s)-U 2(s) 1

Ms

1

Ks+

-F 2(s)

+

-U 3(s)

U 2( s)F 1(s)- F 2(s) U 2(s)-U 3(s)F 2(s)

2

1

B

U 1(s) +

-

1 B

2

1

B

U 2(s)

F 1(s) U 3(s)

U 1(s)-U 2(s) 1

Ms

2

21

B

B Ks ++

-F 2(s)

U 2( s)F 1(s)- F 2(s) F 2(s)

2

21

B

B Ks +


3/5

U 1(s) U 3(s) 2

1

1 B Ks +

U 2( s)( )( ) ( )

1 2

2 2 1 2

1

1 1

B B Ks

Ms B Ks B B B Ks

+

+ + + +

U 1(s) U 3(s) ( ) ( )

1

2

2 1 2 1 2

B

MB Ks M B B K s B B+ + + +

U 1(s) U 2(s) ( )

( ) ( )1 2

2 2 1 2

1

1 1

B B Ks

Ms B Ks B B B Ks

+

+ + + +

Finalmente, simplificando el factor ( )2 1 B Ks + y ordenado el polinomio del denominador en potenciasdecrecientes de s:

d) Del penúltimo paso, cuando aún está accesible la variable U 2(s), se tiene:

Como la entrada u1(t ) es una rampa unitaria: 1 1 21

( ) u( ) ( )u t t t U ss

= ⋅ ⇒ = , se tendrá:

( )

( ) ( )

1 2

2 2 22 1 2 1 2

1 B B KsU s

s MB Ks M B B K s B B

+=

⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦

( )

2.- Para el sistema lineal con dos entradas y dos salidas, cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura:

a) Encuentre las funciones de transferencia siguientes:

11

( )( ) =

( )

Y sT s

R s, 22

( )( ) =

( )

Y sT s

R s, con D(s) = 0

13

( )( ) =

( )

Y sT s

D s y 24

( )( ) =

( )

Y sT s

D s, con R(s) = 0

b) Encuentre la expresión completa de lasalida Y 1(s), cuando ambas entradas

actúan simultáneamente.

c) Encuentre la expresión completa de la

salida Y 2(s), cuando ambas entradas

actúan simultáneamente.

U 1(s) +

-U 2(s)

U 3(s) U 1(s)-U 2(s)

2

1

1 B Ks +

U 2( s)( )( )

1 2

2 2

1

1

B B Ks

Ms B Ks B

+

+ +


4/5

R

+G1 G2 Y 1

_

G4 G5

G3

+

+

Y 2

+

+

D

R

G1 G2

_

G4 G5

G3

+

+

Y 2

+

R

G1 G2

_

G4 G5

G3

+

+

Y 2

+

G3

R

G1 G2 G3

+

+_

G4 G5

G3

Y 2+

R 1 +G1 G2 G34 5

3 4 51

G G

G G G+Y 2

R( )1 2 3 4 5

3 4 5

1

1

GG G G G

G G G

+

+Y 2

Solución: El sistema original es:

a1) 11( )

( ) =( )

Y sT s

R s, con D(s) = 0, del diagrama original se ve directamente: 11 1 2=

Y T GG

R=

a2) 22( )

( ) =( )

Y sT s

R s, con D(s) = 0, y simplificando:

Ordenando:

Finalmente:


5/5

3 4 5

3 4 51

G G G

G G G+ D G1G2 Y 2

1 2 3 4 5

3 4 51

G G G G G

G G G+ D Y 2

a3) 13( )

( ) =( )

Y sT s

D s, con R(s) = 0, del diagrama original se ve directamente: 13 1 2=

Y T GG

D=

a4) 24( )

( ) =( )

Y sT s

D s, con R(s) = 0, y simplificando:

Reduciendo:

b) Y 1(s), cuando ambas entradas actúan simultáneamente. De las funciones de transferencia y porsuperposición:

1 1 3 1 2 1 2Y T R T D GG R GG D= + = ⋅ + ⋅ ⇒ ( )1 1 2Y GG R D= ⋅ +

c) Y 2(s), cuando ambas entradas actúan simultáneamente. Del mismo modo:

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 52 2 4

3 4 5 3 4 5

1

1 1

GG G G G G G G G GY T R T D R D

G G G G G G

+= + = ⋅ + ⋅

+ +

Ordenando:

( )( )2 1 2 3 4 5 4 5 3 4 5

1

1Y GG G G G R D G G R

G G G= ⋅ + + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ +

G1G2

_

G4G5

G3

+

Y 2

D

G1G2

_

G3G4G5+

Y 2 D

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