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Análisis Numérico.

Es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. Se puede

definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos

que permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas

cantidades numéricas, con una precisión determinada.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores, los

cuales son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última

instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta

perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo la estructura necesaria para llevar

a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que

permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números

aplicados a procesos del mundo real.

Métodos Numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones

aritméticas.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a

problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se

requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la

aproximación al problema matemático.

Números de Máquina Decimales.

Los Números de Máquina son un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros

(0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación

binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación

requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.

Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras

digitales usa componentes de apagado/encendido, o para una conexión eléctrica

abierta/cerrada.

Los Números de Máquinas Decimales son aquellos cuya representación viene dada de

la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ...,

k";

Cálculo de errores. Error absoluto y relativo.

Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a

continuación, las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.

Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en

casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).

Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.

La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados

en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud

(centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Así, es incorrecto expresar 43±0.06 ml

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula)

existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores

que se utilizan en los cálculos:

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como

exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o

inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la

medida.

Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se

multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error

absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede

ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las

siguientes:

Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error

accidental.

Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple

de los resultados.

El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y

ese valor tomado como exacto (la media aritmética).

El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el

valor tomado como exacto (la media aritmética).

Cota de Errores Absolutos y Relativos. Cotas de error:

1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa

2. Una cota para el error relativo es:

Cota de error relativo = cota del error absoluto/valor real

Fuentes Básicas de Errores.

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: error de

truncamiento y error de redondeo.

El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se

representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores

es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan

a cabo las sumas y restas dentro de una PC).

El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula

matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se

emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento).

Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso

infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

Redondeo y Truncamiento.

Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los

cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:

errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un

procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que

resultan de representar aproximadamente números exactos.

En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por:

valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico

está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado, donde Evsignifica el valor

exacto del error.

La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos

términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la

versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en

comparación con el truncamiento o cortado.

Error de Redondeo.

Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el

cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza

por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un

intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto

flotante.

Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y, y después truncar para que

resulte un número de la forma

fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se

agrega uno (1) a dk para obtener a fl(y); esto es, se redondea hacia arriba. Si dk+1 < 5,

simplemente se trunca después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo.

Error de Truncamiento.

Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que

se representará por fl(y), se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales.

Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es

simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener

fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Este tipo de error ocurre

cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número

finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o

truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a

diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se

emplee.

Errores de Suma y Resta.

En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la

computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la

máquina, se quiere ver cómo estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis

que se presenta generaliza al problema del cálculo de productos interiores.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros

especiales de más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se

llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una

precisión adicional.

Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar

cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy

pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco

relevantes.

Condicionamiento.

Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar

cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos

en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en

los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de

problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede

definirse como la razón de los errores relativos".

Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal

condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de

condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número

condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro

tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta

qué punto la incertidumbre aumenta por el método numérico.

Estabilidad e Inestabilidad.

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los

datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la

incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método

numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se

producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan

seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base

en los errores relativos, es decir, investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo

cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%,

produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una

fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.