cauculo numerico

Motivacao Sistemas de Numeracao Erros Exerccios

Sistema de Numeracao e Analise de Erros

Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva

Universidade Federal do Rio Grande do NorteDepartamento de Engenharia de Computacao e AutomacaoDCA0399 - Metodos Computacionais para Engenharia Civil

Natal, 29 de agosto de 2011

Ivanovitch Silva Sistema de Numeracao e Analise de Erros

Sumario

1 Motivacao

2 Sistemas de NumeracaoSistema DecimalSistema BinarioConversao Binario-DecimalConversao Decimal-Binario

3 ErrosErro de ArredondamentoErro de TruncamentoErro por Cancelamento

4 Exerccios

Sumario

1 Motivacao

4 Exerccios

Problema classico das Engenharias

Muitos problemas de engenharia consistem em obter umasolucao para um determinado modelo matematico querepresenta um certo sistema fsico.

Problema classico das Engenharias

Normalmente usa-se o metodo de resolucao analtica. Estasolucao sera tao boa quando for o modelo do sistema.Problemas???

Motivacao

Para a resolucao de modelos matematicos complexosutiliza-se os metodos de resolucao numerica.Vantagens

Utiliza-se algum equipamento eletronico (computador oucalculadora cientfica) para auxiliar os calculos.

DesvantagensA existencia de erros que, dependendo da aplicacao, podeinutilizar a solucao.

Sumario

1 Motivacao

4 Exerccios

Sistemas de NumeracaoIntroducao

Decimal (base 10)Octal (base 8)Hexadecimal (base 16)Binario (base 2)Sexagesimal (base 60) - usado pelos babilonicosVigesimal (base 20) - usado pelos maias

Sistema Decimal

Utilizado diariamente pelas pessoas (fator historico).Compoe-se de 10 algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).E um sistema posicional porque o valor do dgito dependeda posicao em que se encontra o numero.Nao e indicado para ser usado em sistemascomputacionais.

Sistema Decimal

275,214 = 2 102 +7 101 +5 100 +2 101 +1 102 +4 102

Sistema Decimal

275,214 = 2 102 +7 101 +5 100 +2 101 +1 102 +4 102

Sistema Binario

Um sistema de numeracao composto apenas de 2 dgitos:0 e 1.E um sistema posicional, o valor associado ao 0 ou ao 1depende da posicao que eles estao no numero.Exemplo: 10000111111100111111E o sistema de numeracao usado pelos computadores.

Sistema Binario

Porque nao usar o sistema decimal como base para ofuncionamento dos computadores?

Conversao Binario-Decimal

Para converter um numero da base 2 para a base 10 enecessario apenas conhecer a posicao do dgito nonumero.Basta multiplicar cada dgito pela base elevada arespectiva posicao.

Conversao Binario-DecimalExemplo

110100,1112 = 1 25 + 1 24 + 0 23 + 1 22 + 0 21+0 20 + 1 21 + 1 22 + 1 23

= 52,87510

Conversao Decimal-Binario

Para converter um numero decimal para binario pode-seusar duas tecnicas

Metodo das divisoes sucessivas (numero decimal inteiro)Metodo das multiplicacoes sucessivas (numero componto flutuante)

Conversao Decimal-BinarioMetodo das divisoes sucessivas

O metodo se encerra quando e alcancado um quociente igual a1.

Conversao Decima-BinarioMetodo das divisoes sucessivas

1 23102 77103 1410

Conversao Decimal-BinarioMetodo das multiplicacoes sucessivas

O metodo se encerra quando a parte fracionaria for igual azero.

Conversao Decima-BinarioMetodo das multiplicacoes sucessivas

1 0,125102 0,341103 0,75010

Sumario

1 Motivacao

4 Exerccios

Representacao generica

Considere um numero x representado na base .Qualquer que seja seu sistema de numeracao, x pode serrepresentado por:

MantissaExpoente

x = [d11

+d22

+ + dtt

] EXP

MantissaExpoente

x = [d11

+d22

+ + dtt

] EXP

MantissaExpoente

x = [d11

+d22

+ + dtt

] EXP

MantissaExpoente

x = [d11

+d22

+ + dtt

] EXP

MantissaExpoente

x = [d11

+d22

+ + dtt

] EXP

onde di com i = 1, 2, , t sao numeros inteiros contidos no intervalo0 di 1, onde d1 e diferente de zero. O expoente de esta no intervaloI EXP S. A mantissa esta entre 0 e 1 enquanto que t representa o numero dedgitos significativos.

Representacao genericaExemplo - base 10

31,41810 = 0,31418 102

=

[310

+1

102+

4103

+1

104+

8105

] 102

x = [d11

+ d22

+ + dtt

] EXP

= 10t = 5

EXP = 2

Representacao genericaExemplo - base 2

111012 = 0,11101 25

=

[12+

122

+123

+024

+125

] 25

x = [d11

+ d22

+ + dtt

] EXP

= 2t = 5

EXP = 5

Representacao genericaComo os numeros sao representados em sistemas digitais - Exemplo

Representar o numero binario 111012 dados = 2, t = 10, I =-15, S = 15 (11112).

111012 = 0,1110100000 25

=

[12+

122

+123

+024

+125

026

+027

+028

+029

+0

210

] 25

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

111012 = 0,1110100000 25

=

[12+

122

+123

+024

+125

026

+027

+028

+029

+0

210

] 25

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

111012 = 0,1110100000 25

=

[12+

122

+123

+024

+125

026

+027

+028

+029

+0

210

] 25

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

Representacao genericaComo os numeros sao representados em sistemas digitais - Limites

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

Qual o maior numero que pode ser representado por essamaquina de 16 bits?

0 1111111111 0 1111

0,11111111112 215 = 1111111111000002 = 32.73610. Porsimetria, o menor valor decimal representado por essamaquina e 32.73610.

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

0 1111111111 0 1111

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

0 1111111111 0 1111

0

[+]

1110100000

Mantissa

0

[+]

0101

EXP

0 1111111111 0 1111

O valor decimal 0:

0 0000000000 0 0000

O primeiro numero positivo: 0,10000000002 215 =0,000001525810

0 1000000000 1 1111

O segundo numero positivo: 0,10000000012 215 =0,000001528810

0 1000000001 1 1111

O valor decimal 0:

0 0000000000 0 0000

0 1000000000 1 1111

0 1000000001 1 1111

O valor decimal 0:

0 0000000000 0 0000

0 1000000000 1 1111

0 1000000001 1 1111

Erro de Arredondamento

Erro de arredondamento

Se tomarmos como base a maquina anterior, qual seria arepresentacao para um numero menor que o menornumero representado pela maquina, como por exemplo0,000001433510? Este numero e arredondado para0,000001528810Esta caracterstica de maquinas eletronicas naorepresentarem fielmente os numeros decimais econhecida como Erro de Arredondamento.

Erro de arredondamentoPrecisao

O parametro usado para avaliar a precisao de um sistemade representacao e o numero de casas decimais exatasda mantissa.

PRECISAO 1t 10d

onde d e o numero de dgitos significativos corretos.Exemplo: Na maquina de 16bits ( = 2 e t = 10), qual aprecisao? 3 dgitos.

PRECISAO 1210 103

PRECISAO 1t 10d

PRECISAO 1210 103

PRECISAO 1t 10d

PRECISAO 1210 103

Erro de arredondamentoPrecisao - Exemplo

clear;eps = 0.5;eps1 = eps + 1.0;while eps1 > 1 then

eps = eps/2.0;eps1 = eps + 1.0;

endprintf("A maquina acha que %.30f e zero", eps);

Apos execucao no Scilab:A maquina acha que 0.000000000000000111022302462516 e zero. 1016, 16dgitos de precisao.

eps = eps/2.0;eps1 = eps + 1.0;

Erro de Truncamento

Erro de truncamento e o erro introduzido quando umaexpressao matematica complicada e substituda por umaexpressao mais simples.

1/20

ex2dx = 0.544987104184 = p

Aproximando a funcao pela serie de Taylor ate o quinto termo

(ex =4

n=0

xn

n!):

1/20

ex2dx

1/20

(1 + x2 +x4

2!+

x6

3!+

x8

4!)dx

Erro de Truncamento

1/20

ex2dx = 0.544987104184 = p

(ex =4

n=0

xn

n!):

1/20

ex2dx

1/20

(1 + x2 +x4

2!+

x6

3!+

x8

4!)dx

Erro de Truncamento

1/20

ex2dx = 0.544987104184 = p

(ex =4

n=0

xn

n!):

1/20

ex2dx

1/20

(1 + x2 +x4

2!+

x6

3!+

x8

4!)dx

Erro de Truncamento

1/20

ex2dx

1/20

(1 + x2 +x4

2!+

x6

3!+

x8

4!)dx

x + x3

3+

x5

5(2!)+

x7

7(3!)+

x9

9(4!)

1/2

0

12+

124

+1

320+

15376

+1

110592

21094913870720

= 0.544986720817 = p

Erro =|p p|

p 106(6 dgitos de precisao)

Erro por Cancelamento

O erro por cancelamento ocorre quando ha, em umamaquina, calculos que envolvem varias operacoes.Deve ser verificado a quantidade de dgitos significativos ea ordem de prioridade para a realizacao dos calculos.

Erro por CancelamentoExemplo

Supondo uma maquina com 4 dgitos significativos e osseguintes numeros: x1 = 0,3491 104 e x2 = 0,2345 100

(x2 + x1) x1 = (0,2345 100 + 0,3491 104) 0,3491 104= 0,3491 104 0,3491 104 = 0

x2 + (x1 x1) = 0,2345 100 + (0,3491 104 0,3491 104)= 0,2345 100 0 = 0,2345 100

(x2 + x1) x1 = (0,2345 100 + 0,3491 104) 0,3491 104= 0,3491 104 0,3491 104 = 0

x2 + (x1 x1) = 0,2345 100 + (0,3491 104 0,3491 104)= 0,2345 100 0 = 0,2345 100

(x2 + x1) x1 = (0,2345 100 + 0,3491 104) 0,3491 104= 0,3491 104 0,3491 104 = 0

x2 + (x1 x1) = 0,2345 100 + (0,3491 104 0,3491 104)= 0,2345 100 0 = 0,2345 100

Sumario

1 Motivacao

4 Exerccios

ExercciosConverter para decimal

1 1010122 0,101010123 11100124 110110125 0,1010126 101,11012

ExercciosConverter para binario

1 23102 77103 361,125104 14105 136,65652106 5,1110

ExercciosRepresentacao numerica

Uma maquina de 8 bits possui = 2 e t = 3. Determinar:

1 O maior numero que pode ser representado na maquina2 O primeiro numero positivo da maquina3 A sua precisao4 Representar o numero 19.5810 nesta maquina

ExercciosErros

Considere a seguinte equacao:

1/40

ex2dx = 0,2553074606

Obtenha o numero de dgitos significativos exatos quandof (x) = ex

2e substitudo por:

f (x) = 1 + x2 +x4

2!+

x6

3!

MotivaoSistemas de NumeraoSistema DecimalSistema BinrioConverso Binrio-DecimalConverso Decimal-Binrio

ErrosErro de ArredondamentoErro de TruncamentoErro por Cancelamento

Exerccios

cauculo numerico

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