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ANALISIS DINAMICOToda variable evoluciona con el tiempo.
El anlisis dinmico se ocupa del estudio del comportamiento de los variables a travs del tiempo y la tendencia de ellos hacia ciertos valores de largo plazo.
En general busca encontrar funciones del tiempo.
Ejemplo: a) Anlisis Continuo:: El tiempo es una variable real innegativa (con sentido econmico).
Las ecuaciones diferenciales se estudian en tiempo continuo.
b) Anlisis Discreto:El tiempo es una variable del conjunto de nmeros enteros innegativos
t o t=0;1;2;3
El estudio del tiempo discreto corresponde a las ecuaciones en diferencia.
Tiempo continuo y ecuaciones diferenciales:El estudio de variables econmicas que son dependientes del tiempo es fundamental para el anlisis econmico.
Ejemplo el consumo de las familias puede considerarse como una trayectoria a lo largo del tiempo.
Consumo c=c (t)
La evolucin temporal del consumo no solo es el reflejo que tiene en cada instante del tiempo, tambin estara afectada por su tasa de cambio.
En general podemos establecer que el comportamiento del consumo se puede expresar mediante una ecuacin que contenga no solo a la variable c (consumo) sino tambin a la tasa de crecimiento.
El comportamiento dinmico del consumo se expresa mediante una ecuacin:
De manera especifica:
Se aprecia que la ecuacin anterior incorpora derivado o diferenciales.
Qu es una ecuacin diferencial?
Es una estructura matematica conformada por variables, simbolos matematicos, parmetros y derivados o diferenciales la solucin es hallar la trayectoria (anlisis dinamico).En toda ecuacin diferencial se distinguen:
a) El Orden: hace referencia al orden ms alto de las derivadas o diferenciales que aparezcan en la ecuacin diferencial.Ejemplo:
b) El grado de referencia a la potencia mas alta de la variable o diferenciales (derivadas) de la variable endgena.
Ejemplo:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Primer Orden:
Consideremos la expresin:
a: coeficiente
b: termino
La solucin a una ecuacin diferencial es una funcin.
Denominada trayectoria dinmica (comportamiento dinmico, trayectoria intertemporal, evolucin temporal)
Alternativamente (z) se conoce como solucin general y este conformada por dos componentes:
Solucin particular:
Denominado tambin estado estacionario , equilibrio dinamico, equilibrio de largo plazo.
Es una funcin dinmica a la cual la trayectoria de la variable endgena tiende a acercarse o alejarse.
Se deben resolver la ecuacin diferencial dada en (1) denominada ecuacin diferencial no homognea.
Proponemos la solucin de prueba:
Luego:
(4) y (5) en (1)
(6) en (4)
Qu ocurre con ?
La solucin de prueba es:
Luego:
(8) y (9) en (1)
(10) en (8)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Primer OrdenDada la ecuacin diferencial:
a) La solucin es:
Solucin complementaria Se debe resolver la ecuacin diferencial homognea
Observe de (2) obtenemos:
Aplicando integrales:
Tomando antilogaritmo:
Asumiendo:
Entonces la solucin complementaria es:
Observe dado que (3) en la soluciona (2) entonces
(3) y (4) en (2)
Exige:
Esta expresin se denomina ecuacin caracterstica
Resolviendo se obtiene la raz caracterstica
Solucin general
Sabemos:
Si a) b) Qu es la solucin complementaria?
Es una trayectoria que representa las desviaciones de con respecto a , en cada instante del tiempo.
Qu es una solucin general?
Es un conjunto de trayectoria debido al termino (A) que no esta plenamente definida y pertenece al conjunto de los nmeros reales ().
Para determinar el valor de A es necesario la condicin inicial.
Movindose determinado A la solucin ser nica es decir ser una solucin especifica.
Ejemplo:
Solucin:
Solucin complementaria
La ecuacin caracterstica es:
Y la raz caracterstica es :
Luego:
Solucin particular
Solucin general
Segn la condicin inicial
Solucin especifica
El comportamiento dinmico de es divergente de su estado estacionario a travs del tiempo la trayectoria se aleja de su equilibrio de largo plazo.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Primer
Consideramos la ecuacin diferencial
Observe que Son funciones del tiempo
Sabemos que la solucin a (1)
Siguiente funcin
Para hallar es necesario incorporar al factor integrado
Luego:
Integrando con respecto a t:
Despejando :
Si A=
Donde: complementario= A Particular= Ejemplo 1:
Resolver:Observe
Luego
Ejemplo 2:
Resuelva
Sabemos
Segunda condicin inicial:
Entonces:
Ejemplo 3:
Sea el numero de peces existentes en el lago Titicaca durante la estacin y la cantidad de peces existentes inicialmente. Si m es la tasa de mortalidad instante del tiempo ser:
a) Encuentre al final de la estacin de pesca.b) Halle el comportamiento dinmico de la existencia de peces.b) comportamiento dinmica de la existencia de peces:
Ordenando la ecuacin diferencial
Primero el estado estacionario
Solucin complementaria
La ecuacin caracterstica es la siguiente
Cuya raz caracterstica
La solucin general ser
La solucin
Segn la condicin inicial:
La evolucin temporal de la existencia de peces en el lago se muestra por la siguiente funcin
Asumiendo:
La evolucin temporal de peces es:
a)
Demuestre que la cantidad de peces existentes en el lago en el estante T es:
Sabemos
Ordenando
Aplicando integrales
Tomando antilogaritmo
Con la formula
Considerando:
Ejercicios propuestos:a) b) c) d) En un modelo de recursos naturales el stock pesquero est determinada por la funcin legislativa.
e) La poblacin de cierta especie (en individuos) de un habitad contando en el momento se asume que satisface la ley de crecimiento legislativo.
Obtengo la solucin general y particular.
Si Cunto tiempo se requiere para que la poblacin alcance 200 individuos?
Ecuaciones Diferenciales Ordinarios no Lineales Son la ecuacin diferencial
Constituye una ecuacin diferencial no lineal en la variable .
Para aplicar el procedimiento desarrollado en el curso ser necesario linealizarla.
Dividiendo por
Asumiendo Luego diferenciando con respecto a
(3) y (4) en (2)
Ordenando
Resolviendo
Proponiendo
Segn la condicin inicial
Finalmente
Ejercicio
La poblacin de cierta especie (en individuos) de un habitad controlado en el momento se asume que satisface la ley de crecimiento logstico.
a) Obtenga la solucin general y particular
b) Si Cunto tiempo se requerira para que la poblacin alcance 200 individuos?
Solucin:
a)la tasa de crecimiento de la especie es:
Alternativamente
Divididos por
Si Entonces Nota
(4) Y (5) en 3
Resolviendo
Reponiendo
Estado estacionario (solo particular)
Exige el cumplimiento de la condicin
(7) en (1)
Ejercicio casual
Observe
Si B)si,
Luego Se pide
Ejemplo: Modelo de CrecimientoSupuestos
1.- Economa cerrada
2.- No existe intervencin estatal
3.- No existe inflacin
El Ahorro (S)El ahorro de las familias es proporcional el nivel de produccin
S: propensin marginal a ahorrar
Inversin
Inversin bruta inversin neta depreciacin
Asumiendo que la tarea de depreciacin sea mala
La inversin es la proporcional de la tasa de crecimiento de la produccin
Solucin:
El equilibrio de la economa implica
(1) Y (2) en (3)
Alternativamente
Resolviendo
Si Luego La produccin evolucin de manera exponencial a la tasa Enfoque Grafico CualitativoEs una metodologa de solucin a las ecuaciones diferenciales sustentados en un diagrama de fases es un enfoque grafico para una ecuacin diferencial autnoma es decir debe tener la siguiente forma.
Despejando: En general: El diagrama de fases nos permite deducir de manera cuantitativa las caractersticas del estado estacionario y la trayectoria de l0a variable endgena.
Sea la ecuacin diferencial autnoma.
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Solucin complementaria:
Caso III: Races imaginarias
Si el discriminante es negativo
Se tendr las siguientes caractersticas:
Alternativamente
Asumiendo:
Se tendr:
La solucin complementaria tendr la forma siguiente:
Solucin Particular:
Se debe resolver la ecuacin diferencial no-homogenea.
Se tendr tres casos
Caso I: solucin constante Planteamos como solucin de prueba
Luego:
(2);(3) y (4) en (1)
(5) en (2)
Caso II: Solucin lineal (Qu ocurre si ?
Planteamos la solucin de prueba
Luego:
(7),(8) y (9) en (1)
(10) en (7)
Caso III: Solucin cuantitativa
Qu ocurre si ?
Planteamos la solucin de prueba
(12) , (13) y (14) en (1)
(15) en (12)
Ejemplo:
Encuentre la trayectoria dinmico de la variable y sabiendo que:
Sabemos que la solucin es una trayectoria a funcin del tiempo
Solucin Complementaria
Sea la ecuacin caracterstica
Cuyas races caractersticas son:
Se identifica
Sabemos:
Luego:
Solucin particular:
Solucin general:
Segn las condiciones iniciales
Observe
Luego
Finalmente
Adicionalmente
Temas a Desarrollar
1.-Metodo de eficientes indeterminados
2.-Convergencia y estabilidad
3.-Sistemas de ecuaciones diferenciales
Mtodo de Coeficientes IndeterminadosSe utiliza en ecuaciones diferenciales de segundo orden, cuyo termino independiente es una funcin del tiempo.
Ejemplo:
Se aprecia que la forma funcional del termino independiente es:
La solucin particular debe de encontrarse mediante la siguiente metodologa.
Se plantea como la solucin de prueba, una funcin general con las mismas caractersticas del termino independiente.
Luego
(2), (3) y (4) en (1)
Igualando trmino a trmino, en la identidad, se obtiene:
Entonces
De otro lado la ecuacin caracterstica es:
Cuyas races caractersticas son:
Entonces
Finalmente la solucin general ser
Dada la condicin inicial
Convergencia y Estabilidad:
Dada una ecuacin diferencial
La ecuacin caracterstica es:
Y las races caractersticas
La convergencia implica que la solucin a la ecuacin diferencial
A travs del tiempo se aproxime a su estado estacionario
La anterior significa:
Observe
Se exige
Este ultimo expresin en una forma alternativa de definir convergencia y significa que la solucin complementaria tiende a cero a travs del tiempo.
Caso I:
La convergencia exige
Sabemos:
La convergencia exige:
Entonces:
Es necesario que la parte real sea negativa para que la trayectoria tenga un comportamiento convergente.
La estabilidad del equilibrio en estado estacionario significa que ante cualquier perturbacin o shock aleatorio que altere dicho equilibrio este se restablecer a travs del tiempo
La convergencia dinmica implica que el estado estacionario es dinmicamente estable. El estado estacionario es divergente entonces es dinmicamente inestable.
Ecuaciones Diferenciales Simultneas (solo para ecuaciones de primer grado)
Dado el sistema
Representacin matricial:
Estado estacionario:
Se exige (2) En (1)
Resolviendo:
Solucin Complementaria:
La ecuacin caracterstica del sistema es:
Resolviendo:
Luego
La solucin general es:
Sean las condiciones iniciales:
(7) en (5)
(8) en (6)
Existen cuatro constantes y dos condiciones iniciales. Es conveniente reducir a solo dos constantes utilizando las relaciones que asocian races caractersticas y rectores caractersticos.
Relaciones entre A y B:Es necesario utilizar la siguiente expresin:
a) Si se asocia a Luego (10) en (9)
Resolviendo:
b) se asocia con:
Resolviendo:
Replanteando la solucin general
(11) y (12) en (5)
(7) en (13); (8) en (14) y resolviendo de manera simultanea, se tendr:
Finalmente
Solucin Particular:
Anexo
(7) en (5)
(8) en (6)
Ejercicio
Encuentre las trayectorias de las variables y considerando el siguiente sistema de ecuaciones.
Condiciones iniciales:
Estado estacionario:
Solucin complementaria
De: sea la ecuacin caracterstica:
Se obtiene
Luego
La solucin general es:
Relaciones entre A y B:
Se concluye
Simultneamente
(5) Y (6) en (3)
Segn condiciones iniciales
Resolviendo:
(7) y (8) en (3) y (4) respectivamente Consideremos
Se aprecia
El sistema es autnomo:
El enfoque grafico cualitativo se utiliza ampliamente en el anlisis dinmico debido funcionalmente a la existencia de funciones generales en las cuales solo se dispone de supuestos de comportamiento.
Estado EstacionarioExige: (3) En (1) y resolviendo
b) Curva de demarcacin:
Una curva de demarcacin es un conjunto de puntos que cumple la siguiente condicin La tasa de crecimiento de la variable objeto de anlisis es curva de demarcacin permite subdividir el espacio de fases en dos regiones una de ellas con tasa de crecimiento positiva y la otra con tasa de crecimiento negativa.
b.1) Consideremos la Ecuacin Diferencial
Para: Despejando x:
Adicionalmente:
Si Despejando x
Si La curva de demarcacin ser:
b.2) Consideremos la Ecuacin Diferencial
El diagrama de fases del sistema es:
El estado estacionario (E) es dinmicamente estable las trayectorias dinmicas de sern convergentes.
Senda de Fases: es un camino que va a recorrer un recorrido hacia el estado estacionario se acerca o se aleja.
Realice el diagrama de fases del sistema.
El estudio estacionario del sistema exige
Entonces
Reduciendo simultneamente
Existen dos equilibrios del sistema
Las curvas de demarcacin son:
a) Para:
Adems
Si;
Si;b) Para
Adems
Si;
Si;Diagrama de fases:
Encuentre la solucin y estudie la estabilidad del equilibrio a travs de un diagrama de fases.
a)
b)
c)
d)
e)
Consideremos el sistema
Estado estacionario:
Curvas de demarcacin
Diagrama de fases:
Alternativamente
Ejercicio 2:
Sea el sistema
El estado estacionario es:
Resolviendo:
Las curvas de demarcacin
Para: Para: El diagrama de fases es:
Ecuaciones en Diferencia
El estado del comportamiento dinamico de las variables econmicas tiene como variable independiente al tiempo.
La variable tiempo (t), en ecuaciones en diferencias es un valor discreto e innegativo.
Diferencia:
Donde:
: Operador de diferentes
: Valor de y en t
: Valor de y en t+1
Ejemplo:
Alternativamente
En toda ecuacin de diferencias se distingue a adelantos y rezagos de la variable endgeno.
Grado: cuadra, cubica.
Orden: cuantos adelantos o rezagos (N de adelanto o rezago) que aprecia en la ecuacin en diferencia.
Ejemplo:
Grado: de grado 2(cuadrtico)
Orden: 2do orden un rezago y un adelanto.
Qu significa resolver una ecuacin en diferencia?
Consideremos la ecuacin en diferencia
Y la condicin inicial
Segn el mtodo iteractivo
Despejemos
Alternativamente
En general
Pero
Grafico: Resolver:
Despejamos
En general
Luego
Grafica:
Observe si:
Tenemos
Cuya solucin es:
Resolver:
Solucin complementaria
Ecuaciones en Diferencias de Primer OrdenSea la expresin:
La solucin ser la funcin
Adems
: solucin complementaria
: solucin particular
Solucin complementaria:
Se exige: Es la ecuacin caracterstica resolviendo se obtiene la raz caracterstica: Solucin particular:
Resolvemos la ecuacin en diferencias no-homogeneas.
Plantemos como solucin:
Luego
(7) y (8) a (6)
(9) en (7)
Qu ocurre si ?
Planteamos
Luego
(11) y (12) en (6)
(13) en (11)
Conclusiones
Dado:La solucin general es:
Ejemplo:
Resolver:
La ecuacin caracterstica es:
La raz caracterstica es:
Entonces
Adems
Finalmente
Si:
Resolver
Solucin complementaria:
Solucin particular
Luego
Adems
Finalmente
Convergencia / Divergencia
Dada la ecuacin en diferencias
La solucin general es:
ser convergente solo si el El valor de b ser Adems
Si: es cclicamente convergente
Si: es convergente
Ser divergente solo si: a) Si, es divergente de b) Si, es cclicamente divergente de c) Si, es cclicamente no convergente
d) Si, es no convergente
Ecuaciones en Diferencias de Segundo OrdenConsideremos la expresin
La solucin general es:
Solucin particular o estado estacionario
Planteamos la solucin de prueba
Luego
(3) (4) y (5) en (1)
(6) en (3)
Cmo ser si ?
Planteamos la solucin de prueba
Luego adelantando dos periodos
(8), (9) y (10) en (1)
(11) en (8)
Cmo ser si ?
La solucin de prueba es:
Adelantando dos periodos
(13), (14) y (15) en (1)
(16) en (13)