análisis de flujos compresibles en conductos con fricción de sección constante y variable

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

ANÁLISIS DE FLUJOS COMPRESIBLES EN

CONDUCTOS CON FRICCIÓN DE SECCIÓN CONSTANTE Y

VARIABLE.

MECÁNICA DE FLUIDOS II


RESUMEN

El estudio del flujo compresible se caracteriza mediante el parámetro adimensional denominado número de Mach. Para lo cual en el estudio de flujo compresible en ductos con fricción es importante ya que mediante el análisis DFC obtenemos resultados de como varia el número de Mach a lo largo del recorrido del ducto; siendo la rugosidad un factor importante en los resultados obtenidos debido a llega a un punto donde nos generara una onda de choque lo cual ocasiona que el flujo pase a ser subsónico.Para la evaluación del parámetros tuvimos que desarrollarlo teóricamente lo cual no lo presentamos en este informe; del tal forma obtener resultados adecuados de temperatura, presión, densidad así como también la velocidad de salida fluido, parámetros que nos muestran como es el comportamiento del fluido a lo largo del ducto los cuales nos ayudan para un posterior diseño de tal elemento.



INDICE

I. Generalidades...................................................................................................................................4

1.1 Introducción..................................................................................................................................4

1.2 Objetivos del estudio.....................................................................................................................4

II. Marco teórico................................................................................................................................5

2.1 Fundamento conceptual...............................................................................................................5

2.2 Hipótesis............................................................................................................................................8

2.3 Planteamiento y conceptualización del problema.........................................................8

2.4 Resultados de estudio.................................................................................................................10

III Análisis y discusión de resultados:......................................................................................16

IV Conclusiones.....................................................................................................................................16

V Bibliografía:.........................................................................................................................................17



I. Generalidades

I.1 Introducción

El comportamiento de flujo compresible al interior de conductos es la base de una gran cantidad de situaciones de ingeniería, tal es el caso de la descarga de gases a alta presión en motores, ó el movimiento de las ondas de presión en túneles.

En los casos particulares de flujo se involucran la generación de ondas de compresión, expansión y de choque, para a través de modelos, determinar las variaciones de las propiedades del fluido cuando se somete a cambios repentinos. Dada la complejidad de los fenómenos, esos modelos comúnmente consideran el flujo unidimensional e isentrópico. La primera condición aunque limita la variación de las propiedades a la dirección de flujo, ofrece simplicidad, buenas aproximaciones y facilidad de extensión a casos multidimensionales.

El flujo isentrópico por su parte, se refiere a un flujo en el que los niveles de entropía en cualquier región son uniformes y no varían con el tiempo, lo que implica que los efectos de la transferencia de calor y la fricción son despreciables.

Además de las simplificaciones, las técnicas de solución son otro aspecto importante en el estudio de flujos compresibles, que ha dado origen a numerosas investigaciones.

1.2 Objetivos del estudio El objetivo será hallar las curvas de evolución de la presión,

temperaturas, densidades y Mach a lo largo del conducto. Pero se debe tener en cuenta que el flujo ya no se comportará totalmente como lo hace teóricamente, es decir, que en cada sección del ducto se tenga las mismas propiedades es por eso que los datos mencionados se tomarán en el punto medio de cada sección.

MECÁNICA DE FLUIDOS II Página 4


II. Marco teórico.

2.1 Fundamento conceptual. Es claro que la entalpía de remanso se mantendrá constante también el gasto másico pero no la cantidad de movimiento por la fricción. Tomando el siguiente volumen e control:

Fig. #1

Ahora si se aplican las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento en x y de la energía entonces resultan las siguientes relaciones:

dρρ

+ dVV

=0

dP+4 τw dx

D+ ρVdV=0

CPdT +VdV=0

Siendo τ w el esfuerzo cortante debido a la fricción.

Pero para poder solucionar el sistema se necesita otras dos ecuaciones las cuales son la de los gases perfectos y la ecuación de fricción de Darcy, f : P= ρRT o



dPP

=dρρ

+ dTT

Y además

τ w=18fρV 2=1

8fKPMa2

Ahora como se sabe: V 2=Ma2KRT

Con lo que se obtiene:

2dVV

=2dMaMa

+ dTT

Y combinando lo anterior con las ecuaciones obtenidas a partir de las leyes básicas se tiene que:

dPP

=−K Ma21+( k−1 ) Ma2

2(1−Ma2)fdxD

dρρ

=(k ) Ma2

2(1−Ma2)fdxD

=−dVV

d P0P0

=d ρ0ρ0

=−12

K Ma2 fdxD

dTT

=K (k−1 )Ma4

2 (1−Ma2)fdxD

dMa2

Ma2=KMa2

1+( 12) (k−1 )Ma2

(1−Ma2)fdxD

Estas ecuaciones nos indican que:


Propiedad

Flujo subsónico

Flujo supersónico

P Decrece Aumentaρ Disminuye AumentaV Aumenta Decrece

ρ0 , P0 Disminuye DisminuyeT Decrece AumentaMa Aumenta Decrece

Entropía Aumenta Aumenta


Es decir en flujos subsónicos los efectos son en general opuestas que en el supersónico.

Ahora por experimentación y observando la ecuación:

dMa2

Ma2=KMa2

1+( 12) (k−1 )Ma2

(1−Ma2)fdxD

Se sabe que en el flujo adiabático y con fricción en un conducto con sección constante siempre tiende a Ma=1 para satisfacer el segundo principio de la termodinámica por lo que si la ecuación anterior se integra hasta el punto sónico desde el Mach de entrada entonces se tendrá un relación que nos permitirá saber las condiciones en que sale el flujo:

Luego:

f .L∗¿D

=1−Ma2

γ .Ma2+ γ+12 γ

ln( γ+1 ) Ma2

2+(γ−1 ) Ma2¿

Se toma f o coeficiente de fricción medio a lo largo de la tubería además de despreciar las variaciones del Reynolds a lo largo de la tubería.

BLOQUEO DEBIDO A LA FRICCIÓN.

El bloqueo sucede cuando la longitud alcanzada permite que justo a la salida se de flujo sónico con Mach=1 pero que pasa si la longitud es mayor esto depende de cómo se dé la entrada:

Flujo subsónico: si L>L*(Mach) entonces el flujo se “acomoda” a la situación y se ralentiza hasta que el Mach en la entrada disminuye de manera que ahora L=L* esto, claro está disminuye el flujo másico.

Flujo supersónico: en este caso la fricción actúa de manera tal que para cualquier entrada supersónica siempre llega a la condición sónica pero en estos casos es muy usual la existencia de una onda de choque normal que provoca el cambio de la condición sónica del flujo y como se dijo líneas arriba la presión aumenta.



2.2 Hipótesis Para tratar el flujo compresible en conductos con fricción se planteará en sistemas sin transferencia de calor ni variaciones de área pero con paredes rugosas y asumiendo las siguientes hipótesis:

Flujo adiabático estacionario unidimensional. Gas perfecto con calores específicos constantes. Conducto recto de área constante. El trabajo mecánico y el cambio de energía potencial se consideran

despreciables. El esfuerzo en la pared responde a correlaciones de coeficientes de

fricción de Darcy.2.3 Planteamiento y conceptualización del problema.

El problema consiste en determinar el comportamiento de temperaturas, presiones , densidades y del número de Mach a lo largo de dos conductos uno de sección constante y otro de sección variable, cuya geometría se da líneas abajo, y así verificar por medio del software la teoría dada en clase. Para esto se dan ciertas condiciones de frontera como:

T=Temperaturade la corriente deentrada=373K

P=Presiónde entrada=1MPa

ṁ=flujo másico a la salida= <15; 20; 25>Kg/seg

Rugosidad delmaterial=e=46μm

Con estos datos se tendrá que dar las condiciones de contorno en el modelo computacional.

Para el caso del flujo en el conducto de sección constante se puede calcular la longitud para alcanzar la longitud sónica con la ecuación dada en la teoría entonces para cada caso de la entrada se tiene que:

Esto nos dice de antemano que no se dará condición sónica a la salida y será una salida subsónica para la entrada subsónica pero con mayor Mach mientras que para la entrada supersónica se tendrá una salida también supersónica pero con menor número de Mach.



Modelo físico computacional.

Los modelos se construyeron según las medidas dadas abajo con un grosor de pared de 0.05 m y con un volumen de control en dos dimensiones 2-D con un ancho de 0.01 m. En las figuras que siguen se dan detalles de la geometría (ver CD)

Medidas en milímetros.

Fig. # 2 Vista isométrica del conducto de sección constante.

Fig. # 3 Vista frontal del conducto de sección variable.

Fig. # 4 Vista trimétrica del volumen de control para el conducto de sección constante.

METODOLOGÍA DE ESTUDIO, PARÁMETROS Y CONSIDERACIONES.

Luego en el programa se dan todas las condiciones para la simulación además del volumen de control (Ver CD para los detalles de la simulación). Para el estudio se da los parámetros del flujo y con los goals definidos para ambos modelos (ver Archivo para los detalles) se procede



a la simulación y ya con los datos de la temperatura, densidad, presión y Mach se procede a graficar según la posición pero con las tres primeras magnitudes normalizadas respecto a una presión, temperatura de remanso iguales a 1Mpa, 373 °K. Esto se ha tomado ya que el software no arroja las variables de condición de remanso y para el cálculo de las condiciones sónicas se tendría que buscar una posición para esta o interpolar pero como se verá esto sería demasiado impreciso debido a que en una misma sección pueden cambiar las condiciones.

2.4 Resultados de estudio

El programa arrojó las siguientes tablas (Ver CD para ver más detalles):

Resultados para una rugosidad de 1.5 micras y un flujo másico de 25 kg/s

Goal Name

Unit Value Averaged Value

Minimum Value

Maximum Value

PG Static Pressure 1

[Pa] 999999.2943

999999.4166

999999.2724

999999.6845

PG Temperature (Fluid) 1

[K] 287.7309736

287.6511042

287.4884541

287.7708115

PG Density (Fluid) 1

[kg/m^3]

12.08444357

12.0932847

12.08444357

12.1030977

PG Velocity 1

[m/s] 146.5442349

147.2545613

146.5177179

148.3572316

PG Mach Number 1

[ ] 0.431065781

0.433213634

0.430954344

0.436580812


[Pa] 994637.9592

993996.3511

992380.6049

995970.0855


[K] 286.9580866

286.8858697

286.6914559

287.0548183


[kg/m^3]

12.0697854

12.06562222

12.04344873

12.09251022

PG Velocity 2

[m/s] 151.9218006

PG Mach Number 2

[ ] 0.447482593

0.449046152

0.445838061

0.452928024


[Pa] 986447.5693

989032.2853

986447.5693

990764.7786




[K] 285.7996545

286.0089728

285.7835924

286.3476585


[kg/m^3]

12.02030627

12.04297906

12.02030627

12.0667902

PG Velocity 3

[m/s] 159.5054026

158.1171917

156.0068141

159.524679

PG Mach Number 3 [ ] 0.470768896 0.46650208

3

0.460002238

0.470839053


[Pa] 928975.2868 928093.661

3

926442.621

930769.4759


[K] 281.4275446 281.571915

6

281.3682426

281.9080724

Diagrama del número de Mach respecto a longitud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Length (m)

Mac

h N

umbe

r ( )

Temperatura del fluido respecto a la longitud



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3230

240

250

260

270

280

290

300

Length (m)

Tem

pera

ture

(Flu

id) (

K)



Velocidad del fluido respecto a la longitud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

250

300

350

Length (m)

Velo

city

(m/s

)



Densidad del fluido respecto a la longitud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

Length (m)

Dens

ity (F

luid

) (kg

/m^3

)



Presión del fluido respecto a la longitud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

Length (m)

Pres

sure

(Pa)



III Análisis y discusión de resultados:

Respecto a estos resultados se puede ver si es que se revisa los exels dados por el programa que si hay una convergencia como para decir que se ha obtenido resultados correctos y como muestran las gráficas la evolución de los parámetros es continua sin ningún salto brusco a excepción del final como muestra la gráfica pero al parecer es solo por la falta de puntos entre esos dos puntos si se tomaran más se notaría una evolución continua.

Estos resultados muestran una onda de choque normal bastante grande cerca a la salida del conducto lo cual provoca un cambio muy brusco de las propiedades en apenas unos 5 milímetros y se evidencia en las gráficas alrededor de la posición 1400 milímetros.

Al variar el material (rugosidad) se puede observar según los resultados obtenidos que mientras mayor sea la rugosidad mayor será la caída de presión debido a la onda de choque que se produce.

Al variar el flujo a la salida del conducto observamos que los cambios no son tan notorios.

IV Conclusiones

Respecto a los resultados del conducto de sección constante con la entrada subsónica se puede decir que como se predijo en el apartado de conceptualización de problema la longitud de este no alcanza para que se dé el bloqueo pero el comportamiento de flujo si es como se predice la presión baja gradualmente y el Mach sube.

En el conducto se sección constante se produce lo que se dijo en la teoría: una onda de choque normal, la cual desacelera el fluido y aumenta la presión en menos de 5 mm de recorrido del flujo lo cual ocasiona el brusco cambio que se produce en las gráficas alrededor de la posición de 1000 mm.

Respecto a los resultados del conducto de sección constante con entrada subsónica se puede decir que todos los valores del conducto rugoso suben ligeramente respecto al ideal a la parte de esto su comportamiento se ajusta al predicho para un flujo subsónico pasando por una tubería convergente-divergente, es decir acelera en la parte convergente y como alcanza la condición sónica sigue acelerando en la parte divergente, luego debido a la onda de choque el fluido se vuelve subsonico



El número de Mach para el flujo del conducto de sección variable con pared rugosa es ligeramente menor que para el fluido por el mismo conducto sin rugosidad ya que la rugosidad impide la conversión de la entalpía en energía cinética.

Para cuando la entrada es supersónica en el conducto de sección variable se ve una clara diferencia entre los dos flujos, en el que no es con sección variable y esa es la onda de choque la cual se nota muy claramente alrededor de la posición 230 mm luego de esto el comportamiento del flujo es similar y de acuerdo a la teoría en ambos casos, ya que en ambos hay ondas de choque que los llevan a ser subsónicos entonces pasan por el conducto acelerándose y alcanzan la condición sónico por lo que continúan acelerando pero difieren en la salida ya que con la pared rugosa la presión tiende a subir.

V Bibliografía:

Mecánica de Fluidos. Frank M. White.6ta Edición. Pág. 621-640 Chapter 9 -Flujo compresible. ISBN 978-84-481-6603-8.

Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte Flujo compresible- Julián Martínez de la Calle-Área de Mecánica de FluidosGijón enero 2009-Universidad de Oviedo.Pag10-14


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