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CENTRO UNIVERSITÁRIO CESMAC
RAYANNE RAIMUNDO FREITAS SANTOS
UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS COM VARIAÇÃO
BRUSCA DA SEÇÃO TRANSVERSAL
MACEIÓ-ALAGOAS 2017/01
RAYANNE RAIMUNDO FREITAS SANTOS
UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS COM VARIAÇÃO
BRUSCA DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito final, para conclusão do curso de Engenharia Civil do Centro Universitário Cesmac sob a orientação do professor MSc. Ricardo Sampaio Romão Filho.
MACEIÓ-ALAGOAS
2017/01
Centro Universitário CESMAC
S237u Santos, Rayanne Raimundo Freitas
Utilização do método de bielas e tirantes
para o dimensionamento de vigas com variação brusca da
seção transversal / Rayanne Raimundo Freitas Santos
.-- Maceió, 2017.
64 f.: il.
TCC (Graduação em Engenharia Civil)- Centro Univers itário
CESMAC, Maceió, AL, 2017.
Orientador: Ricardo Sampaio Romão Filho
1. Viga. 2. Bielas e tirantes. 3. Mudança brusca de seção.
I. Romão Filho, Ricardo Sampaio. II. Título.
CDU: 691.32
RAYANNE RAIMUNDO FREITAS SANTOS
UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS COM VARIAÇÃO
BRUSCA DA SEÇÃO TRANSVERSAL Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito final, para conclusão do curso de Engenharia Civil do Centro Universitário Cesmac sob a orientação do professor MSc. Ricardo Sampaio Romão Filho.
APROVADO EM: ___/___/____
__________________________________________
PROF. MSC. RICARDO SAMPAIO ROMÃO FILHO
__________________________________________
PROF. MSC. RAFAEL ARAÚJO GUILLOU
__________________________________________
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a DEUS por ter me dado a vida, por ter saúde e ter
conseguido concluir mais uma etapa dos meus estudos.
Ao meu orientador Prof. MSc. Ricardo Sampaio por toda dedicação, apoio,
paciência, confiança e aprendizado ao longo desse trabalho.
Ao meu marido Aléssio Xavier meu maior incentivador, companheiro, sempre
me motivando em todos os anos do curso, estou imensamente agradecida por toda
ajuda e paciência, teria sido muito mais difícil sem a sua compreensão e dedicação.
A toda minha família, em especial os meus pais Roberval e Jeane, os meus
irmãos Rodrigo e Ronaldo, o meu tio Givaldo e a minha tia Luciene por todo o
ensinamento e educação, fundamentais não só ao curso como a minha vida.
As minha amigas Dayanne, Nayane e Syria, o curso ficou muito melhor com a
nossa amizade, nosso eterno quarteto, meu muito obrigada meninas, nossa amizade
foi essencial para a conclusão da graduação.
UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS COM VARIAÇÃO BRUSCA DA SEÇ ÃO
TRANSVERSAL UTILIZATION OF THE STRUCT AND TIE METHOD FOR DIMENS IONING BEAMS
WITH BRUSH VARIATION OF THE CROSS SECTION
Rayanne Raimundo Freitas Santos Graduanda do Curso de Engenharia Civil
ray.freitas@hotmail.com
Ricardo Sampaio Romão Filho Professor orientador
r.s.romaofilho@gmail.com
RESUMO
O dimensionamento de vigas com mudanças de seções é um processo complexo e trabalhoso. A utilização do método de bielas e tirantes aliado ao uso dos softwares CAST (2000) e Forcepad® possibilitou uma visualização mais detalhada e abrangente dos esforços solicitantes e das forças internas para equilibra-los, bem como permitiu executar uma análise topológica mais concisa das forças atuantes em cada uma das vigas estudadas. Esse trabalho tem como foco analisar dois tipos de vigas de concreto armado: linear e com variação brusca da seção transversal. Para essa segunda, foram variadas as alturas, obtendo as tensões nas bielas e nos tirantes. Foi possível a comparação entre os quatro modelos de vigas e notória a dificuldade em modelar vigas com maior mudança de seção, as quais geram um maior esforço solicitante e uma maior área de armadura de suspensão quando comparadas a uma menor mudança de seção. PALAVRAS-CHAVE: Viga. Bielas e tirantes. Concreto. ABSTRACT The design of beams with section changes is a complex and laborious process. The use of the rod and tie method coupled with the use of the CAST (2000) and Forcepad® software enabled a more detailed and comprehensive visualization of the requesting forces and the internal forces to balance them, as well as a more concise topological analysis of the driving forces In each of the studied beams. This work focuses on two types of reinforced concrete beams: linear and abrupt cross-section variation. For this second, the heights were varied, obtaining the tensions in the cranks and the tie rods. It was possible to compare the four models of beams and notorious the difficulty in modeling beams with greater section change, which generate a greater effort request and a greater area of suspension armor when compared to a smaller section change. KEYWORDS: Beam. Struct and tie. Concrete.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Elementos especiais .................................................................................. 20
Figura 2 - Modelo da treliça de Ritter .......................................................................... 21
Figura 3 - Exemplos de modelagem através do método de Bielas e Tirantes............. 23
Figura 4 - Configurações tipicas dos campos de tensão de compressão ................... 25
Figura 5 - Modelo representativo dos tipos de nós ...................................................... 26
Figura 6 - Modelo de viga contínua (Ftool) (Modelo 01) .............................................. 28
Figura 7 – Fluxo de tensões (Forcepad®) – Modelo 1. ................................................ 31
Figura 8 – Viga contínua CAST (2000), (Modelo 1) .................................................... 32
Figura 9 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento (Modelo 1).
.................................................................................................................................... 34
Figura 10 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 1) ................... 35
Figura 11 - Modelo de bielas e tirantes ..................................................................... 356
Figura 12 - Fluxo de tensões (Forcepad®), (Modelo 2) ............................................... 37
Figura 13 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 2.1) ........................... 37
Figura 14 - Forças atuantes na estrutura, CAST (2000), (Modelo 2.1) ....................... 38
Figura 15 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 2.2) ........................... 39
Figura 16 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 2.2, parte 01 ....................................................................................... 41
Figura 17 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 2.2, parte 02 ....................................................................................... 41
Figura 18 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 2.2) ................ 43
Figura 19 - Fluxo de tensões (Forcepad®), (Modelo 3) ............................................... 44
Figura 20 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 3.1) ........................... 44
Figura 21 - Forças atuantes na estrutura, CAST (2000), (Modelo 3.1) ....................... 44
Figura 22 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 3.2) ........................... 46
Figura 23 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 3.2, parte 01........................................................................................46
Figura 24 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 3.2, parte 02 ....................................................................................... 48
Figura 25 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 3.2) ................ 49
Figura 26 - Fluxo de tensões (Forcepad®), (Modelo 4) ............................................... 50
Figura 27 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 4.1) ........................... 50
Figura 28 - Forças atuantes na estrutura, CAST (2000), (Modelo 4.1) ....................... 51
Figura 29 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 4.2), parte 01 ............ 51
Figura 30 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 4.2), parte 02 ............ 53
Figura 31 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 4.2, parte 01 ....................................................................................... 53
Figura 32 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST (2000), Modelo 4.2, parte 02........................................................................................56 Figura 33 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 4.2, parte 03 ....................................................................................... 56
Figura 34 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 4.2), parte 01 . 57
Figura 35 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 4.2), parte 02 . 59
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Armadura longitudinal (Modelo 1) .............................................................. 34
Tabela 2 - Armadura transversal (Modelo 1)............................................................... 34
Tabela 4 - Força atuante nos elementos (Modelo 1) .................................................. 35
Tabela 5 – Geometria dos nós (Modelo 1) .................................................................. 35
Tabela 6 - Armadura Transversal do Modelo 2.2 ......................................................... 42
Tabela 7 - Armadura Longitudinal do Modelo 2.2 ....................................................... 42
Tabela 8 - Propriedades geométricas dos elementos (Modelo 2.2) ............................ 43
Tabela 9 - Forças atuantes em cada elemento (Modelo 2.2) ...................................... 43
Tabela 10 - Propriedades geométricas de cada nó (Modelo 2.2) ............................... 43
Tabela 11 - Armadura transversal do Modelo 3.2 ....................................................... 48
Tabela 12 - Armadura longitudinal do Modelo 3.2 ...................................................... 49
Tabela 13 - Propriedades geométricas dos elementos (Modelo 3.2) .......................... 50
Tabela 14 - Forças atuantes em cada elemento (Modelo 3.2) .................................... 50
Tabela 15 - Propriedades geométricas de cada nó (Modelo 3.2) ............................... 50
Tabela 16 - Armadura transversal do Modelo 4.2 ....................................................... 57
Tabela 17 - Armadura longitudinal do Modelo 4.2 ...................................................... 57
Tabela 19 - Forças atuantes em cada elemento (Modelo 4.2) .................................... 59
Tabela 20 - Propriedades geométricas de cada nó (Modelo 4.2) ............................... 59
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 9 1.1 Objetivo geral ........................................................................................................ 9 1.2 Objetivo específico ............................................................................................... 9 1.3 Metodologia ......................................................................................................... 10 2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ............................................................ 11 2.1 O concreto armado ............................................................................................. 11 2.2 Dimensionamento ............................................................................................... 13 2.2.1 Método das tensões admissíveis ....................................................................... 13 2.2.2 Método dos estados limites ................................................................................ 14 2.2.2.1 Estados limites últimos .................................................................................... 14 2.2.2.2 Estados limites de serviço ............................................................................... 15 2.2.2.3 Ações .............................................................................................................. 16 2.2.2.4 Valores representativos para limites últimos ................................................... 17 2.2.2.5 Valores representativos para limites de serviço .............................................. 18 2.3 Estruturas de elementos lineares ...................................................................... 18 2.4 Estruturas de elementos não-lineares ............................................................... 19 3 BIELAS E TIRANTES .............................................................................................. 21 3.1 Introdução ao método ......................................................................................... 21 3.2 Método de bielas e tirantes ................................................................................ 22 3.3 Dimensionamento ............................................................................................... 23 3.3.1 Dimensionamento dos tirantes ........................................................................... 24 3.3.2 Dimensionamento das bielas ............................................................................. 24 3.3.3 Dimensionamento dos nós ................................................................................. 25 3.3.4 Resistência de cálculo das bielas e regiões nodais ........................................... 26 4 FORCEPAD e CAST ............................................................................................... 27 5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................................... 28 5.1 Modelo 01 ............................................................................................................. 28 5.1.1 Propriedades gerais ........................................................................................... 28 5.1.2 Determinação de �� , �� e ��................................................................................29 5.1.3 Cálculo de ��,�, ��,�, ��, .............................................................................. 29 5.1.4 Cálculo da armadura transversal ........................................................................ 29 5.1.5 Verificação das bielas segundo a NBR 6118:2014 ............................................ 30 5.1.6 Modelagem no CAST ......................................................................................... 31 5.2 Modelos 2, 3 e 4 ................................................................................................... 36 5.2.1 Modelo 2 ............................................................................................................. 37 5.2.1.1 Modelagem inicial ............................................................................................ 37 5.2.1.2 Nova modelagem ............................................................................................ 39 5.2.2 Modelo 3 ............................................................................................................. 43 5.2.2.1 Modelagem inicial ............................................................................................ 43 5.2.2.2 Nova modelagem ............................................................................................ 45 5.2.3 Modelo 4 ............................................................................................................. 50 5.2.3.1 Modelagem inicial ............................................................................................ 50 5.2.3.2 Nova modelagem ............................................................................................ 52 6 CONCLUSÃO .......................................................................................................... 61 REFERÊNCIA ............................................................................................................. 63
9
1 INTRODUÇÃO
Poucos são os autores os quais definem de forma clara e coesa o assunto,
dificultando o seu uso por projetistas, a utilização de modelos de treliças no
dimensionamento do concreto armado remete ao início do século XX, quando Ritter e
Morsch introduziram a clássica analogia de treliça. (SILVA, 1991).
Segundo Santos (2006) é possível verificar de forma mais clara a distribuição
de tensões, identificando as regiões mais solicitadas da estrutura, tornando esse
modelo bastante vantajoso devido a melhor visualização do comportamento da
estrutura.
Foi idealizada uma treliça na qual os tirantes representam uma armadura ou
um conjunto de armaduras concentradas em um único eixo, as bielas se referem a
região onde ocorre a compressão e os nós fazem a ligação das bielas e dos tirantes e
recebem as forças concentradas aplicadas ao modelo. Ao redor dos nós existirá um
volume de concreto, denominado de zona nodal. Nela será verificada a resistência
necessária para a transmissão das forças entre bielas e os tirantes. (NBR 6118/14).
“As verificações das bielas, tirantes e nós são efetuadas a partir das forças
obtidas na análise da treliça isostática sob ação do sistema autoequilibrado das forças
ativas e reativas na treliça.” (NBR 6118/14, p.181).
1.1 Objetivo geral
Utilizar o método de bielas e tirantes para analisar vigas com mudança brusca de
seção.
1.2 Objetivos específicos
Aprofundar conhecimento acerca do comportamento estrutural de elementos de
concreto armado descontínuos, fora das idealizações de Bernoulli.
Realizar uma análise de vigas com mudança brusca de seção, variando suas
alturas.
Avaliar o uso de softwares no auxilio para a criação do modelo de bielas e
tirantes.
10
1.3 Metodologia O presente trabalho foi iniciado com uma revisão bibliográfica sobre as
estruturas de concreto armado, fazendo primeiramente um breve estudo sobre o
concreto armado, em seguida foi analisado os métodos de segurança estrutural, tais
como: o método das tensões admissíveis, método dos estados limites e o método de
bielas e tirantes mais utilizado para o dimensionamento de estruturas não lineares,
tendo o último método como foco principal do estudo.
Foi realizada uma abordagem das estruturas lineares e não lineares. Todo o
levantamento de referencial bibliográfico foi feito por meio de artigos, dissertações,
teses e livros, e teve como referência a ABNT NBR 6118:2014.
Após o levantamento bibliográfico foram estudados os possíveis modelos de
bielas e tirantes mais adequados para a solução do problema abordado e para a
execução desse modelo foi necessário o estudo de programas computacionais.
O primeiro programa utilizado foi o Forcepad®, o qual faz uma otimização
topológica dos campos de tensões, permitindo observar o comportamento das
tensões nos elementos estudados. O segundo programa utilizado foi o CAST, o qual
possibilita modelar os elementos, verificar os esforços atuantes e a sua resistência,
pelo método de bielas e tirantes.
Por fim, foi realizado um estudo variando as alturas das vigas e avaliando a
área de aço obtida entre os modelos desenvolvidos.
11
2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
2.1 O concreto armado
A origem do concreto em sua forma mais primitiva remontam ao império
egípcio e romano, sendo nos dias atuais o segundo material mais consumido pelo
homem, superado apenas pela água. O cimento foi patenteado em 1824, por James
Parker e Joseph Aspdin, denominando cimento Portland (GRAZIANO, 2005).
A história do aço está associada à do ferro, que conforme registros, já era
tecnicamente utilizado na China no século VI a.C., porém é no século XVIII que a sua
utilização ganhou escala e métodos industriais de fabricação (GRAZIANO, 2005).
Estruturas de concreto armado têm sido estudadas e avaliadas por muitos
pesquisadores ao longo dos anos. Em 1849 Lambot construiu um barco de concreto
armado, em 1902 o alemão Morsch, publicou a primeira edição de um livro de sua
coleção sobre concreto armado, considerada ate os dias de hoje como a principal
referência histórica no âmbito técnico e cientifico. E no ano de 1907 Koenen propôs a
compressão previa em peças de concreto, principio básico do concreto protendido,
utilizado em vigas, pilares, lajes entre outros (CLÍMACO, 2008).
No Brasil em 1901, ocorreram construções de galerias de água em cimento
armado, com 47 m e 74 m de comprimento. Em 1904 foram construídas casas e
sobrados em Copacabana, no Rio de Janeiro (BASTOS, 2006, p.14).
O concreto é composto pela mistura de agregados (naturais ou britados) com
cimento e água. Em função de necessidades específicas são acrescentados aditivos
que podem melhorar as características do concreto fresco ou endurecido, juntamente
com aço ele é denominado, concreto armado (ARAUJO, 2003).
Os cimentos foram originariamente fabricados segundo as especificações dos
consumidores que encomendavam, das fábricas, o produto com as características
necessárias a um determinado trabalho. A partir de 1904, as primeiras especificações
foram introduzidas, assim a indústria se limitou a produzir alguns tipos de cimento.
Cal, sílica, alumina e óxido de ferro são os componentes mais presentes no cimento
Portland, geralmente constituem de 95 a 96% do total na análise de óxidos. A
magnésia se limita a 6,4% no Brasil e os óxidos menores comparecem em proporção
inferior a 1%, excepcionalmente 2% (BAUER, 2000).
Uma das propriedades físicas do cimento é o seu tempo de pega, o qual é um
fenômeno artificialmente definido como o momento em que a pasta adquire certa
12
consistência, que a torna imprópria a um trabalho, esse conceito é utilizado tanto em
concreto quanto nas argamassas. A pega do cimento deve ser regulada tendo em
vista os tipos de aplicação do material (BAUER, 2000).
Os agregados utilizados no concreto são divididos em agregados graúdos e
miúdos. Os agregados graúdos com maior uso no preparo do concreto são o
pedrisco, a brita 1, a brita 2. Entre os agregados miúdos o mais utilizado é a areia,
formada em geral por grãos de quartzo de diâmetros entre 0,06 e 2,0mm (BAUER,
2000).
Utilizam-se agregados de maiores dimensões com o propósito de reduzir os
custos na execução do concreto, já que o cimento é o insumo que apresenta o maior
custo (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).
Para uma estrutura ser considerada boa, ele deve apresentar duas
características básicas: resistência e durabilidade. O concreto tem resistência à
compressão e durabilidade muito elevadas, porém, tem baixa resistência à tração. O
aço tem resistências elevadas, mas requer proteção contra a corrosão (BASTOS,
2006).
O concreto armado é um material que pela sua própria composição se adapta a
qualquer forma estrutural atendendo, portanto, a inúmeras concepções arquitetônicas,
como atestam as edificações existentes em vários países. Ele é formado pela adição
das barras de aço ao concreto simples. Em função da baixa resistência à tração do
concreto, as barras de aço cumprem a função de absorver os esforços de tração na
estrutura. Elas também servem para aumentar a capacidade de carga das peças
comprimidas. Devido à baixa resistência a tração, o concreto fissura na zona
tracionada do elemento estrutural. Assim os esforços de tração passam a ser
absorvidos pela armadura. Dessa forma a ruptura repentina é impedida (ARAUJO,
2003; GIONGO, 2007).
Embora otimizado do ponto de vista estrutural e econômico, as novas
estruturas de concreto são mais sensíveis a qualquer defeito dos materiais, da
execução ou do cálculo, podendo então gerar situações de risco. As estruturas de
concreto armado de hoje são mais suscetíveis a apresentar uma alguma patologia do
que as mais antigas, que eram dimensionadas com uma margem de segurança
superior, dispondo de uma reserva de capacidade resistente para suplantar os efeitos
de agentes agressivos, mecânicos e químicos (BEBER, 2003).
13
2.2 Dimensionamento
O cálculo de uma estrutura deve ser feito de maneira a garantir a sua
segurança, para que sejam reduzidos os riscos de colapso da estrutura, dessa forma
ela deve suportar todos os esforços aos quais está sendo solicitada. Quando ainda
não eram conhecidos métodos seguros para realizar as construções era utilizado o
método empírico, baseando-se em obras anteriores as quais o construtor já teria feito
e obtido êxito, confiando então no que poderia ser visto a olho nu, sem conhecer
verdadeiramente o comportamento estrutural e assim tornavam as obras mais caras
ou inseguras.
O dimensionamento ou o cálculo de uma estrutura consiste em comprovar que
uma seção conhecida (forma, dimensões e quantidade de armadura) seja capaz de
resistir as solicitações mais desfavoráveis que possam atuar na estrutura, pode
também ser feito um dimensionamento de uma seção ainda não definida
completamente (algumas dimensões são impostas antes do cálculo, como a largura
de uma viga sob uma parede) a fim de que suporte as solicitações máximas a que
possa estar sujeita (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).
2.2.1 Método das tensões admissíveis
O método das tensões admissíveis foi o primeiro a ser incorporado à
normalização brasileira, no ano de 1940 com a primeira versão NB-1, dando origem à
ABNT (Associação brasileira de normas técnicas). Em 1960 foi editada a NB-1,
considerando o método dos coeficientes de segurança internos e externos, sendo os
internos referentes à resistência dos materiais e o externo às solicitações na estrutura
(VASCONCELOS, 2005).
No método das tensões admissíveis a estrutura é investigada sob ações de
trabalho (nominais), impondo-se que uma tensão admissível não seja excedida. As
ações de trabalho são as máximas ações esperadas para o tempo de vida útil da
estrutura. As tensões resultantes são calculadas admitindo comportamento elástico e
linear (CASTRO, 1997).
A tensão admissível (σ���) é uma parte de alguma tensão limitante (��á� ), tal
como a tensão de escoamento ou a tensão crítica de flambagem, com essa relação
obtemos o fator de segurança (�). Este fator prevê a possibilidade de ocorrência de
valores desfavoráveis das ações e propriedades dos materiais, assim como as
incertezas do modelo teórico. Os valores dos fatores de segurança (�) representam o
14
juízo e experiência coletiva da atividade do cálculo estrutural. Assim a tensão máxima
(CASTRO, 1997):
Define-se que:
��� ≤ ��� = ��
O método clássico ou das tensões admissíveis são determinísticos, nos quais
se consideram fixos, não-aleatórios, os distintos valores numéricos que servem como
base principal para o início do cálculo. Algumas restrições podem ser feitas a esses
métodos (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014):
Como os valores envolvidos são fixos, não aleatórios, as grandezas são
empregadas com seus valores máximos, raramente atingidos durante a vida útil da
estrutura, isso geralmente, leva a um superdimensionamento;
O cálculo por meio do método clássico conduz, frequentemente, a um mau
aproveitamento dos materiais, pois não considera sua capacidade de adaptação
plástica para resistir a maiores solicitações;
Há situações em que as solicitações não são proporcionais às ações, e um
pequeno aumento das ações pode provocar um grande aumento das solicitações ou a
situação contrária.
Algumas críticas podem ser feitas a este método. Primeiramente, o aspecto de
haver apenas uma preocupação com o estabelecimento da “distância” conveniente
entre a situação de uso e aquela correspondente à ruína (desagregação do material)
ou colapso (perda da capacidade portante) da estrutura. Assim, o método das tensões
admissíveis não considera a verificação de outras condições que possam invalidar a
utilização da estrutura como, por exemplo, a sua deformação excessiva
(VASCONCELOS, 2005).
2.2.2 Método dos estados limites
2.2.2.1 Estados limites últimos
Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína
estrutural, que determine que a estrutura deverá ser paralisada (NBR 6118:2014).
Em relação a segurança nos estados limites últimos, existe uma probabilidade
suficientemente pequena de ruína, é necessário garantir uma boa ductilidade, de
15
forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os
usuários (NBR 6118:2014).
Nesses métodos, a segurança é garantida fazendo com que as solicitações
correspondentes às cargas majoradas (solicitações de cálculo) sejam menores que as
tensões últimas, sendo essas as que levariam a estrutura à ruptura (atingir um
estado-limite último) (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).
De acordo com Pinheiro (2007) a simples ocorrência desses limites-últimos,
determina a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção. São exemplos:
a) Perda de equilíbrio com corpo rígido: tombamento, escorregamento ou
levantamento;
b) Resistência ultrapassada: ruptura do concreto;
c) Escoamento excessivo da armadura:��>1,0%;
d) Aderência ultrapassada;
e) Transformação em mecanismo;
f) Flambagem;
g) Instabilidade dinâmica: ressonância;
h) Fadiga: cargas repetidas.
2.2.2.2 Estados limites de serviço
Para Pinheiro (2007), os estados limites de serviço são aqueles que
correspondem às condições precárias em serviço. Sua ocorrência, repetição ou
duração causam efeitos estruturais que não respeitam condições especificadas para o
uso normal da construção ou que são indícios de comprometimento da durabilidade
das estruturas. Podem ser citados como exemplos: danos estruturais localizados que
comprometem a estética ou a durabilidade da estrutura (fissuração), deformações
excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético
(flechas), vibrações excessivas que causem desconforto a pessoas ou danos a
equipamentos sensíveis.
O estado-limite de serviço é aquele relacionado à durabilidade das estruturas, à
aparência, ao conforto do usuário e à boa utilização funcional. A segurança das
estruturas de concreto pode exigir a verificação de alguns dos seguintes estados-
limite de serviço (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014):
a) Formação de fissuras (ELS-F): estado em que se inicia a formação de
fissuras;
16
b) Abertura de fissuras (ELS-W): estado em que as fissuras apresentam-se
com aberturas iguais aos valores máximos especificados;
c) Deformação excessiva (ELS-DEF): estado em que as deformações
atingem os limites estabelecidos para utilização da estrutura;
d) Descompressão (ELS-D), descompressão parcial (ELS-DEP) e
compressão excessiva (ELS-CE): para estruturas em concreto protendido;
e) Vibração excessiva (ELS-VE): estado em que as vibrações atingem limites
estabelecidos para utilização normal da construção; e
f) Casos especiais: em construções especiais, pode ser necessário verificar a
segurança em relação a outros estados-limite de serviços não definidos na
norma.
Esses estados decorrem de ações que podem ser combinadas de três
maneiras, de acordo com o tempo de permanência na estrutura (CARVALHO;
FIGUEIREDO FILHO, 2014):
a) Combinações quase permanentes: podem atuar sobre a estrutura sobre
mais da metade de seu período de vida;
b) Combinações frequentes: combinação de ações que acontecem, e se
repetem, durante o processo de vida da estrutura, em torno de 10! vezes em
50 anos ou que tenham duração total igual a parte não desprezível desse
período, da ordem de 5%; e
c) Combinações raras: combinação de ações que podem atuar no máximo
algumas horas durante o período de vida da estrutura.
2.2.2.3 Ações
As ações permanentes não mudam ou variam pouco, em torno da média
durante praticamente toda a vida útil da construção. Elas se dividem em ações
permanentes diretas – peso próprio da estrutura ou de elementos construtivos
permanentes (paredes, pisos e revestimentos, por exemplo). E ações permanentes
indiretas como retração, recalque de apoio e protensão. Nas construções atuais,
admite-se que o peso próprio da estrutura seja avaliado com a massa especifica de
2400kg/m³ para concreto simples e 2500kg/m³ para concreto armado ou protendido
(PINHEIRO, 2007; CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).
As ações variáveis oscilam em relação à média significativamente durante a
vida da construção. Podem ser fixas ou móveis, estáticas ou dinâmicas, pouco
17
variáveis ou muito variáveis. São exemplos: cargas de uso (pessoas, mobiliário,
veículos etc.) e seus efeitos (frenagem, impacto, força centrífuga), vento, variação de
temperatura, empuxos de água, alguns casos de abalos sísmicos entre outros
(PINHEIRO, 2007).
Enquanto as ações excepcionais correspondem àquelas de duração
extremamente curta e há pouca probabilidade de ocorrência durante a vida útil da
construção, no entanto devem ser consideradas no projeto de determinadas
estruturas. São, por exemplo, as ações decorrentes de explosões, choques de
veículos, incêndios, enchentes ou abalos sísmicos excepcionais (PINHEIRO, 2007).
2.2.2.4 Valores representativos para limites últimos
Os valores representativos podem ser característicos, convencionais
excepcionais e reduzidos (PINHEIRO, 2007):
a) Valores característicos (Fk):
Os valores característicos das ações variáveis (Fqk) correspondem aos que
têm probabilidade de 25% a 35% de serem ultrapassados no sentido
desfavorável durante um período de 50 anos.
b) Valores característicos nominais:
Os valores característicos nominais quantificam as ações cuja variabilidade no
tempo não pode ser adequadamente expressa através de distribuições de
probabilidade.
c) Valores reduzidos de combinação:
Os valores reduzidos de combinação são empregados quando existem ações
variáveis de naturezas distintas, com possibilidade de ocorrência simultânea.
Esses valores são determinados a partir dos valores característicos através da
expressão ψ0Fk.
d) Valores convencionais excepcionais:
São arbitrados para as ações excepcionais e não podem ser definidos em
norma. Em geral são estabelecidos através de acordo entre proprietário da
construção e a entidade governamental que nela tenham interesse.
18
2.2.2.5 Valores representativos para limites de serviço
Com vistas aos estados limites de serviço, os valores representativos das
ações podem ser valores reduzidos de utilização e valores raros de utilização
(PINHEIRO, 2007):
Valores reduzidos de utilização:
Os valores reduzidos de utilização são determinados a partir dos valores
característicos, multiplicando-os por coeficientes de redução. Distinguem-se os
valores frequentes ψ1Fk e os valores quase-permanentes ψ2Fk das ações variáveis.
Valores raros de utilização:
São valores representativos de ações que atuam com duração curta sobre a
estrutura (no máximo algumas horas durante a vida da construção, como,por
exemplo, um abalo sísmico).
O método dos estados limites permite um processo mais racional para o
dimensionamento, pois envolve a identificação de todos os métodos de colapso ou
situações em que a estrutura deixaria de atender os requisitos para os quais foi
projetada, e a determinação de níveis satisfatórios de segurança para cada estado
limite (ATAÍDE, 2005).
2.3 Estruturas de elementos lineares
Estruturas de elementos lineares são aquelas em que o comprimento
longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal,
sendo também denominados barras. De acordo com sua função estrutural recebem
as seguintes designações: vigas, pilares, tirantes, arcos, elementos de superfície,
placas, chapas, cascas, pilares-paredes (NBR 6118:2014).
As vigas são elementos lineares em que a flexão é preponderante, enquanto os
pilares são elementos lineares de eixo reto, geralmente dispostos na vertical em que
as forças normais de compressão são preponderantes (CLÍMACO, 2008; GRAZIANO,
2005).
Existem elementos na engenharia estrutural que podem ser dimensionadas de
maneira simplificada, admitindo-se a Hipótese de Bernoulli, de que as seções
permanecem planas após a flexão do elemento. Essa hipótese facilita muito o
dimensionamento de elementos lineares de concreto, pois considera que a
distribuição das deformações ao longo da seção transversal segue uma relação linear
para todos os estágios de carregamento, inclusive no estado limite último de ruptura.
19
Essas regiões contínuas são denominadas regiões B (Bernoulli ou Beam) (SOUZA,
2004).
Entre os modelos estruturais originados de divisões da estrutura em partes, um
dos mais usuais é o de viga contínua, para a análise de estruturas solicitadas por
ações verticais. O modelo é simples e consiste em vigas isoladas que recebem os
carregamentos provenientes de peso próprio, lajes, alvenarias, outras vigas, entre
outros. As vigas são representadas por barras com pontos de apoios e forças
aplicadas no plano que contém o seu eixo de simetria. Os esforços predominantes os
momentos fletores e os esforços cortantes. A torção só precisa ser considerada nos
casos em que é essencial ao equilíbrio da viga, e necessita de um outro modelo, já
que a viga contínua situa-se em um plano que contém o seu eixo longitudinal e a
torção atua em um plano perpendicular. Os esforços normais que porventura surjam
são conceitos básicos geralmente desprezados, porém podem ser importantes se
considerados os efeitos de retração, de fluência e de variação de temperatura
(FONTES, 2005).
2.4 Estruturas de elementos não-lineares
As regiões dos elementos estruturais em que na análise de seu comportamento
estrutural, não seja aplicável a hipótese das seções planas, são regiões especiais, ou
seja, quando se apresentar uma distribuição não linear de deformações específicas.
Estas regiões ficam caracterizadas quando se apresentar descontinuidades bruscas
de geometria ou dos carregamentos aplicados. Regiões de introdução de cargas
concentradas, de furos e aberturas em lajes, vigas-parede, regiões de variação na
altura de vigas e de nós de pórticos são regiões especiais. São exemplos de
elementos não-lineares: vigas com abertura na alma, os blocos de fundação sobre
estacas, dente Gerber, Consolo, viga parede e outros (NBR 6118:2014).
Não é possível analisar as tensões atuantes destes elementos pela forma
simplificada de acordo com a Hipótese de Bernoulli. Outras formas de
dimensionamento são possíveis como: o Método dos Elementos Finitos (MEF), o
Método das Bielas e Tirantes e o Método Corda-Painel (MCP). As regiões de
descontinuidade são denominadas regiões D (Disturbed ou Descontinuity). Como
representada na Figura 1 (SOUZA, 2004).
20
Figura 1 – Elementos especiais
Fonte: NBR 6118/14, p.180
21
3 BIELAS E TIRANTES
3.1 Introdução ao método
Os códigos normativos atuais recomendam a utilização de análise de tensões
elásticas utilizando elementos finitos, análises não-lineares e mais recentemente, o
emprego do método de biela e tirante no dimensionamento de regiões “D”, que
consiste em supor a estrutura real formada por uma treliça, composta de bielas
comprimidas, tirantes e nós (NEPOMUCENO, 2012).
A utilização do Método das Bielas para dimensionar vigas de concreto armado
teve início do século XX, quando Ritter e Mörsch, a partir de observações
experimentais, introduziram a inspirada "Analogia de Treliça" (SOUZA, 2004).
Ritter e Mörsch propuseram para a determinação da armadura de cisalhamento
necessária ao equilíbrio de uma viga de concreto armado, uma teoria em que o
mecanismo resistente da viga no estádio II (fissurada) pudesse ser associado ao de
uma treliça (SANTOS, 2003).
Em 1902, o modelo de Ritter foi modificado por Mörsch, o qual percebeu a
representação discreta das forças diagonais que Ritter utilizou em sua treliça, seria
mais bem representada por campos de tensão de compressão. Ficando esse modelo
conhecido como treliça de Mörsch ou ainda, analogia da treliça. Na treliça de Mörsch
existe uma inclinação fixa de 45° para as bielas comprimidas de concreto e de 45°
(direção das tensões principais de tração) a 90° de inclinação para a armadura de
cisalhamento, como pode ser verificado na Figura 2 (NEPOMUCENO, 2012).
Figura 2 - Modelo da treliça de Ritter Fonte: NEPOMUCENO, 2012.
22
Mais tarde, Marti (1985) e Schlaich et al. (1987) apresentaram uma abordagem
do método para o dimensionamento de regiões descontínuas. A proposta
apresentada por Schlaich et al. (1987) foi de generalizar a analogia da treliça de modo
a ser aplicada na forma de biela e tirante, não apenas regiões de mudança de
geometria, mas sim em toda a estrutura, regiões com e sem descontinuidades
(NEPOMUCENO, 2012).
No Brasil em 2003, a ABNT incluiu na norma brasileira, NBR 6118, referência
acerca deste método, podendo ser utilizada por engenheiros estruturais em projetos
com mudança de seção, antes analisados de maneira insegura (NEPOMUCENO,
2012).
Em muitas situações o detalhamento de estruturas de concreto armado e
protendido, aplica-se o modelo de bielas e tirantes, o qual deve ser adotado de acordo
com a estrutura, as forças são calculadas, considerando o equilíbrio entre forças
externas e internas, o dimensionamento é feito de modo a verificar as forças
resistentes (MUNHOZ, 2014).
3.2 O método de bielas e tirantes
As estruturas de concreto podem ser divididas em regiões B e D. Nas regiões B
(contínuas) são válidas as hipóteses de Bernoulli, enquanto as regiões D
(descontínuas) a distribuição de deformações não é linear, a não linearidade é
produzida por descontinuidades estáticas (forças concentradas e reações) e/ou
geométricas (mudanças na geometria) (MUNHOZ, 2014).
Para projetar vigas pelo modelo de bielas e tirantes pode-se dividir em várias
etapas: definição da região descontínua, análise estrutural, processo do caminho das
cargas, escolha do modelo mais adequado, dimensionamento das bielas e tirantes,
verificação das regiões nodais e por fim detalhamento das armaduras (MUNHOZ,
2014).
O conceito de bielas de compressão mostra como o aço e o concreto se unem
para a transferência de cargas, e também como o concreto comprimido trabalha e tem
participação importante na resistência ao cisalhamento de peças fletidas (SANTOS,
2003).
O método abordado tem como principal ideia a substituição da estrutura real
por uma estrutura resistente na forma de treliça, chamada de Modelo de Bielas e
23
Tirantes, que acaba por simplificar de maneira sistemática o problema de elementos
com descontinuidade conforme ilustra a Figura 3 abaixo (SOUZA, 2004):
Figura 3 - Exemplos de modelagem através do método de Bielas e Tirantes
Fonte: SOUZA, 2004.
O modelo em questão analisa a viga como um todo sem a necessidade de
separar os esforços solicitantes e as forças internas para equilibrá-los. Com isso, as
barras longitudinais podem ser dimensionadas mais facilmente do que pelo método
tradicional, o qual analisa o momento fletor resistido por barra e considera o diagrama
de momentos fletores deslocado. Além disso, tem como base o mecanismo resistente
das vigas de concreto armado, o que resulta nos campos de tração e compressão
(SANTOS, 2003).
Em outras palavras, o modelo representa de forma discreta os campos de
tensão de tração e de compressão em cada um dos elementos estruturais. As bielas
representam os campos de compressão e os tirantes representam os de tração
(SANTOS, 2003).
3.3 Dimensionamento
Schlaich et. al. (1987) indica a utilização do limite inferior da teoria da
plasticidade, porque o concreto possui certa ductilidade, dessa maneira o modelo
escolhido não deve apresentar deformações que excedam o limite. Nas regiões de
altas tensões isso ocorre ao orientar a geometria do modelo utilizando a teoria da
elasticidade. Já as regiões de médias e baixas tensões não precisam ser fielmente
reproduzidas pelo modelo de bielas e tirantes, já que a estrutura consegue se adaptar
à estrutura interna modelada. Para estas regiões de médias e baixas trações, o
reforço pode ser reproduzido a partir de considerações práticas, como a utilização de
24
armaduras mínimas, sendo estas armaduras podem ser recomendadas a partir de
experimentação ou de cálculos sofisticados de fissuração (apud GUILLOU, 2013,
p.19)
3.3.1 Dimensionamento dos tirantes
A força atuante nos tirantes no estado limite último e a resistência ao
escamento do aço, são responsáveis pelo dimensionamento da seção transversal dos
tirantes (SOUZA, 2004).
As barras da armadura absorvem em sua maioria os esforços no tirante.
Segundo Silva & Giongo (2000), o eixo da armadura deve coincidir com o do tirante
do modelo. A área de aço necessária para resistir o esforço do tirante é determinada
a partir da equação abaixo, considerando o Estado Limite Último (GUILLOU, 2013):
A#$%&'()* e f,�$ ()-
.,./
Onde:
�0 - Área da seção transversal de aço
102 – Esforço resultante de tração
�3� – Resistência de Cálculo ao escoamento do aço
�34 – Resistência característica ao escoamento do aço
3.3.2 Dimensionamento das bielas
As bielas são, no modelo, uma forma discreta de demonstrar os campos de
tensões de compressão no concreto. Dependendo da forma como elas se distribuem
através da estrutura, têm-se bielas ou campos de compressão diferentes. Existem
três tipos de campos de distribuições de tensões de compressão, conforme pode ser
observado na Figura 4 (SILVA, 1991):
Distribuição de tensões radiais;
1. Distribuição de tensões em linha curvilínea com afunilamento da secção;
2. Distribuição de tensões paralelas.
25
Na distribuição de tensão radial a curvatura é desprezível. Esse tipo de
distribuição pode ser encontrado onde forças concentradas são introduzidas e
propagadas de maneira suave. A distribuição de tensões paralelas, por outro lado,
ocorre quando as tensões distribuem-se uniformemente. A distribuição de tensões em
linhas curvilíneas ocorre quando forças concentradas são introduzidas e propagadas
através de curvaturas acentuadas (SILVA, 1991)
3.3.3 Nós
Existem quatro tipos de regiões nodais denominadas da seguinte forma
(SOUZA, 2004):
a) CCC: É uma região nodal circundada apenas por bielas.
b) CCT: É uma zona nodal circundada por bielas e por um único tirante;
c) CTT: É uma zona nodal circundada por uma biela e por tirantes em uma ou
mais direções;
d) TTT: É uma zona nodal circundada por três ou mais tirantes.
Os nós representados nos itens a,b e c são pseudo-hidrostáticos, ou seja, a
tensão no interior do nó é igual a tensão das bielas que estão ligadas a ele (SANTOS,
2006).
Figura 4 - Configurações típicas dos campos de tensão de compressão Fonte: SILVA, 1991.
26
Os nós estão representados na Figura 5:
Figura 5 - Modelo representativo dos tipos de nós Fonte: DAMASCENO, 2012.
3.3.4 Resistência de cálculo das bielas e regiões nodais
Parâmetros definidos para verificar as máximas tensões de compressão nas
bielas e nos nós (NBR 6118:2014):
���5 = 0,85 89: ��� (bielas prismáticas ou nós CCC)
���: = 0,60 89: ��� (bielas atravessadas por mais de um tirante, ou nós CTT ou
TTT)
���< = 0,72 89: ��� (bielas atravessadas por tirante único, ou nós CCT)
27
4 FORCEPAD® e CAST - Computer Aided Strut and Tie
O Forcepad® é um software intuitivo utilizado para visualizar o comportamento
de estruturas sujeitas a condições de carga. Seu desenvolvimento foi pensado para
que o usuário, mesmo não tendo conhecimento sobre o modelo de elementos finitos,
consiga projetar estruturas, aplicar cargas e definir condições de contorno. Além
disso, ele pode fornecer imagens intuitivas das tensões e deformações do material
(FORCEPAD, 2017).
No desenvolvimento de um modelo de bielas e tirantes, o programa foi
fundamental uma vez que foi possível identificar os pontos de maiores tensões assim
como os fluxos dessas tensões na estrutura. O que serviu de base para a criação do
modelo final para cada uma das vigas estudadas, em seguida foi utilizado o CAST
(2000).
O CAST é um software utilizado para o dimensionamento de estruturas de
concreto armado, utilizando para isso o modelo de bielas e tirantes. Ele foi utilizado
neste trabalho como ferramenta de criação do modelo ótimo de bielas e tirantes para
obtenção dos esforços atuantes na estrutura. A aquisição do software é gratuita, é
possível aprender a utiliza-lo com o auxilio de exemplos de modelos que são
fornecidos juntos com o próprio programa.
Com o auxilio do CAST (2000), a modelagem torna-se bem mais simples, uma
vez que o software possui uma interface agradável e é de fácil utilização, o que auxilia
o projetista que faz uso de computador. Ao utilizá-lo, o projetista pode aproveitar uma
grande vantagem do modelo de bielas e tirantes, que é uma excelente visualização do
comportamento da estrutura. Somado a isso, ele pode determinar, de certa forma, o
comportamento estrutural, definindo a geometria da treliça de acordo com o
comportamento que se deseja. Além disso, o modelo de bielas e tirantes permite
várias soluções. A verificação das regiões nodais, feitas pelo software, é sem dúvida
uma das grandes vantagens, pois essa é uma das tarefas mais complexas quando da
aplicação de um modelo de bielas e tirantes (SANTOS, 2003).
28
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Foram analisados quatro modelos de vigas, uma viga sem mudança de seção
e três vigas com mudança de seção, todas as vigas apresentam carregamento
distribuído de 65KN/m, concreto de 25 MPa, aço CA-50, comprimento efetivo igual a
2,7 metros, base da viga com 15 centímetros e altura 60 centímetros variando a altura
da descontinuidade, sendo assim analisadas as tensões nas bielas, tirantes e nós e
realizado o detalhamento para cada uma das vigas abordadas.
5.1 Modelo 01
No modelo 01 foi considerado uma viga contínua com um carregamento distribuído,
biapoiada com uma seção transversal retangular de 15 cm x 60 cm.
5.1.1 Propriedades gerais
Figura 6 - Modelo de viga contínua (Ftool) (Modelo 01)
Fonte: Dados do autor.
Foram determinados os esforços característicos, conforme abaixo:
?4 = @. A2 = 65 . 2,7
2 = 87,75�B
�4 = @. A²8 = 65 . 2,7²
8 = 59,23�B. F
Foram determinados os esforços de cálculo, conforme abaixo:
�� = 1,4 . �4 = 1,4 . 59,23 = 82,92�B. F
�4 = 87,75�B
�� = 1,4 . �4 = 1,4 . 87,75 = 122,85�B
H IJKLFMHN = 60 − (3 + 0,63 + Q1,252 R) = 55,74SF
65kN/m
2,7m
29
5.1.2 Determinação de �� , �� e ��
�� = T . H²�� = 15 . 55,74²
8292 = 5,62
U25 = �� = 0,025
�� = áVIM HM MVFMHWVM ANXYLKWHLXMA �� = �� . ��H = 0,025 . 8292
55,74 = 3,72SF², 4∅12.5
5.1.3 Cálculo de ��,�, ��,�, ��,
��,� = FNFIXKN ALFLKI
��,� = T . H²��,� = 15 . 55,74²
1,8 = 25.891,23�B. SF NW 258,91�B. F
��, = �NVçM SNVKMXKI FíXLFM
��4 = VIJLJKêXSLM HI SáASWAN HN SNXSVIKN
��, = 0,1. ^_ . T. H = 0,1 . 1,182 .15 .55,74 = 98,83B
8`: = Q1 − ��4250R = Q1 − 25250R = 0,9
��,� = �a,�b = 0,27 . 8`: . ��� . T_. H
�a.,cb$ 0,27.0,9 . Q2,51,4R .15 .55,74 = 362,81�B
��def = 122,85 < 362,81 ⇒ UNXHLçãN j�! A força cortante máxima atuante na viga (Vd) é menor do que a força cortante
resistente da viga (Vd,u) e maior que a força cortante mínima (Vd,mín).
5.1.4 Cálculo da armadura transversal
l�_ = KIXJãN @WI HI`I JIV MTJNV`LHM mIAM MVFMHWVM KVMXJ`IVJMA l�_ = l�� − l�
l�� = ���T_ ∙ H = 122,8515SF ∙ 55,74SF = 0,15 oB
SF: NW 1,5 �pM
l� = 0,09 ∙ �S�:/< = 0,09 ∙ 25:/< = 0,77�pM
Portanto,
l�_ = l�� − l� = 0,15 − 0,77 = −0,62�pM
Mesmo dando negativo, a norma recomenda o uso de uma taxa mínima.
30
r_,í = 0,2 s��t�3_4u = 0,2 s0,3 ∙ ��4:/<�3_4 u = 0,2 s0,3 ∙ 25:/<
500 u = 0,001
Então,
r_ = KMvM HI MVFMHWVM MHNKMHM
r_ = r_,í = 0,001
Área de armadura referente a um ramo do estribo (cm²/m)
T = AMVYWVM HM `LYM
X = XúFIVN HI VMFNJ HN IJKVLTN
��_ = r_ ∙ T ∙ 100X = 0,001 ∙ 15 ∙ 100
2 = 0,75SF²/F
Adotar ∅K = 6,3FF
Confirmar diâmetro mínimo:
5FF ≤ ∅K = 6,3FF ≤ x5y = 15FF ⇒ UNXHLçãN j�!
Espaçamento máximo em função de �a�b:
Já� = z0,6 ∙ H ≤ 30SF JI ��� ≤ 0,67�a�:0,3 ∙ H ≤ 20SF JI ��� > 0,67�a�:|
����a�: = 122,85351,48 = 0,35 < 0,67
Então, }á� = 0,6 ∙ 55,43 = 33,26 SF, adotar espaçamento igual a 30,00cm
A armadura será composta por estribos de 2 ramos, com ∅6,3mm c.30,00
5.1.5 Verificação das bielas segundo a NBR 6118: 2014
�a�b = �NVçM SNVKMXKI VIJLJKIXKI HI SáASWAN, VIAMKL`M à VWLXM HMJ HLMYNXMLJ SNFmVLFLHMJ HI SNXSVIKN �a�b = 0,54 . 89 . ��� . T_ . H . sin: � . (cot 8 + cot �)
Sendo:
8 = inclinação dos estribos = 90º ⇒ cot 8 = 0;
� = inclinação das bielas 39,29º, obtida pelo modelo de bielas e tirantes modelado no
CAST, detalhado mais adiante, ⇒ sin² � = 0,4; cot � = 1,22;
31
89 = �1 − Q ��4250R� �a�b = 0,54 . 0,9 . Q2,5
1,4R .15 .55,43 .0,40 . (0 + 1,22) = 352,13�B
��� = 122,85�B < �a�b = 352,13�B ⇒ UNXHLçãN j�!
5.1.6 Modelagem no CAST
A seguir são apresentados os resultados da modelagem feita no software
CAST (2000) para a viga citada acima. As tabelas e figuras são gerada pelo mesmo e
representam as características do modelo.
O cálculo para vigas sem mudança de seção é comumente executado através
dos métodos das tensões admissíveis ou dos estados limites últimos. Para visualizar
e entender o comportamento das tensões foi utilizado o programa computacional
Forcepad®, no qual é possível analisar as direções principais das tensões, o modelo é
desenhado no programa e são colocadas as cargas e as condições de contorno,
assim são analisadas as regiões comprimidas e tracionadas. Na Figura 7, são
mostradas as direções principais no qual as regiões comprimidas tem a coloração
azul e as tracionadas tem coloração vermelha.
Figura 7 – Fluxo de tensões (Forcepad®) – Modelo 1.
Fonte: Dados do autor.
Definido o modelo de bielas e tirantes foi então utilizado o software CAST
(2000) para análise das tensões na estrutura. Desenhou-se o modelo no programa,
primeiro são inseridos os nós, depois os elementos e posteriormente são colocados
32
os carregamentos e os apoios. Para as bielas foi utilizado o parâmetro de Sclaich
1987, o qual considerada um fator de eficiência de 0,85.
Para definição dos tipos dos nós foram utilizados:
Sclaich 1987 para nós CCC, Mac Gregor 1997 para nós CTT, Mac Gregor 1997
para nós CCT, os quais são os mais próximos da NBR 6118:2014. Esses dados foram
os mesmos para os quatro modelos os quais serão relatados.
A Figura 8 apresenta o modelo de bielas e tirantes, o qual foi criado baseando-
se na análise topológica do Forcepad® conforme Figura 7. As linhas tracejadas
representam os pontos de compressão (bielas) e as contínuas representam os
elementos que sofrem tração (tirantes). Os pontos vermelhos são os nós, estes
identificam os pontos de encontro entre as bielas e os tirantes. As linhas traço e ponto
são os estabilizadores.
A Tabela 1 representa a geometria de cada um dos nós, nos quais foram
utilizados os parâmetros relatados no início desse tópico, sua posição em relação ao
eixo x e y e o seu respectivo ângulo.
A Tabela 2 apresenta informações sobre a geometria dos elementos, o
comprimento dos elementos de acordo com cada nó e a direção das bielas no modelo
elaborado. Alguns elementos no modelo não recebem compressão nem tração, por
isso são vistos como estabilizadores. Com relação a direção os ângulos ficaram entre
30º e 45º, conforme a NBR 6118/2014.
Figura 8 – Viga contínua CAST (2000), (Modelo 1) Fonte: Dados do autor.
33
Tabela 1 – Geometria dos nós (Modelo 1) Nó Função X (mm) Y (mm) Direção°
1 N1 Biela e Tirante 30,0 30,0 180,00
2 N2 Biela e Tirante 690,0 30,0 0,00
3 N3 Biela e Tirante 1350,0 30,0 0,00
4 N4 Biela e Tirante 2010,0 30,0 0,00
5 N5 Biela e Tirante 2670,0 30,0 180,00
6 N6 Biela e Tirante 30,0 570,0 0,00
7 N7 Biela e Tirante 690,0 570,0 0,00
8 N8 Biela e Tirante 1350,0 570,0 0,00
9 N9 Biela e Tirante 2010,0 570,0 0,00
10 N10 Biela e Tirante 2670,0 570,0 0,00 Fonte: Dados do autor.
Tabela 2 – Propriedades geométricas dos elementos (Modelo 1)
Elemento Função
Nó
Inicial Nó Final
Comprimento
(mm) Direção(°)
1 E1 Biela e Tirante N1 N2 660,0 0,00
2 E2 Biela e Tirante N2 N3 660,0 0,00
3 E3 Biela e Tirante N3 N4 660,0 0,00
4 E4 Biela e Tirante N4 N5 660,0 360,00
5 E5 Estabilizador N6 N7 660,0 0,00
6 E6 Biela e Tirante N7 N8 660,0 0,00
7 E7 Biela e Tirante N8 N9 660,0 0,00
8 E8 Estabilizador N9 N10 660,0 0,00
9 E9 Estabilizador N1 N6 540,0 90,00
10 E10 Biela e Tirante N2 N7 540,0 90,00
11 E11 Estabilizador N3 N8 540,0 90,00
12 E12 Biela e Tirante N4 N9 540,0 90,00
13 E13 Estabilizador N5 N10 540,0 90,00
14 E20 Biela e Tirante N4 N8 852,8 140,71
15 E21 Biela e Tirante N1 N7 852,8 39,29
16 E22 Biela e Tirante N5 N9 852,8 140,71
17 E23 Biela e tirante N2 N8 852,8 39,29 Fonte: Dados do autor.
Após a definição do modelo e o correto posicionamento dos nós e
elementos,fixando o ângulo entre 30º e 45º, foi gerado pelo programa as tensões
atuantes nas bielas e tirantes. A Figura 9 apresenta as tensões as quais a viga está
sendo submetida. Na parte inferior de cada tirante, estão expressas as razões entre
as solicitações e a resistência em cada elemento. As Tabelas 3 e 4 mostram as
quantidades referentes às armaduras que são necessárias para a viga em questão,
tendo como referência as tensões atuantes que foram geradas pelo software CAST
34
(2000). Na Tabela 4 a área efetiva encontrada se refere a um ramo do estribo, sendo
a armadura composta por estribos de dois ramos.
A Tabela 5 apresenta as forças atuantes em cada um dos elementos da treliça
e a tensão suportada por cada uma delas (esses valores são expressos em
porcentagem).
Na Figura 10 encontra-se a disposição das armaduras, obtidas pelos esforços
gerados nos tirantes na estrutura.
Figura 9 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento (Modelo 1).
Fonte: Dados do autor.
Tabela 3 - Armadura longitudinal (Modelo 1)
Elemento F (KN) Fyd
(KN/cm²) Asnec (cm²)
As,ef
E1 107,3 43,48 2,4679 2 Φ 12.5 E2 133,5 43,48 3,0705 3 Φ 12.5 E3 133,5 43,48 3,0705 3 Φ 12.5 E4 107,3 43,48 2,4679 2 Φ 12.5
Fonte: Dados do autor.
Tabela 4 - Armadura transversal (Modelo 1)
Elemento F (KN) Fyd
(KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E10 21,5 43,48 0,4946 1 Φ 6.3 E12 21,4 43,48 0,4922 1 Φ 6.3
Fonte: Dados do autor.
35
Tabela 5 - Força atuante nos elementos (Modelo 1)
Elemento Força (kN) Tensão
(MPa)
Tensão solicitadaTensão resistente
f'c
(razão)
1 E1 107,3 436,97 0,804 NA
2 E2 133,5 362,52 0,667 NA
3 E3 133,5 362,52 0,667 NA
4 E4 107,3 436,97 0,804 NA
5 E5 0,0 NA NA NA
6 E6 -107,3 11,92 0,748 0,477
7 E7 -107,3 11,92 0,748 0,477
8 E8 0,0 NA NA NA
9 E9 0,0 NA NA NA
10 E10 21,5 344,08 0,633 NA
11 E11 0,0 NA NA NA
12 E12 21,4 344,08 0,633 NA
13 E13 0,0 NA NA NA
14 E20 -33,9 3,76 0,236 0,151
15 E21 -138,6 15,40 0,966 0,616
16 E22 -138,6 15,40 0,966 0,616
17 E23 -33,9 3,76 0,236 0,151 Fonte: Dados do autor.
Para o modelo 01 foi possível observar que a tensão resistente das bielas foi
maior do que a tensão solicitante, tanto no cálculo pelo método analítico quanto pelo
CAST. A armadura longitudinal, pelo primeiro método, apresentou área superior ao
segundo método.
O modelo também foi de fácil modelagem, devido a ausência de
descontinuidade, possibilitando uma modelagem mais prática, de acordo com os
modelos de bielas e tirantes usuais.
Figura 10 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 1) Fonte: Dados do autor.
36
5.2 Modelos 2, 3 e 4
Inicialmente foi criado um modelo de viga com descontinuidade no software
Forcepad® e então foram analisadas as direções principais das tensões. Conhecendo-
se as regiões de compressão e tração foi possível determinar os locais das bielas e
dos tirantes.
Com base na analise do Forcepad® foi possível criar o primeiro modelo de
bielas e tirantes no CAST (2000), da mesma forma a qual o modelo 1 foi realizado, já
relatado no item 5.1.6.
Após criado o modelo de bielas e tirantes no CAST (2000), foram obtidas as
forças atuantes na estrutura, as quais foram utilizadas para estimar a armadura de
suspensão e encontrar o a1, que é a distancia obtida para distribuição dos tirantes
principais, conforme a Figura 11.
Em seguida foi elaborado um novo modelo de acordo com o valor de a1, com a
modelagem concluída foram obtidas as tensões nas bielas, nos tirantes, nos nós, por
fim foram determinadas as armaduras transversais e longitudinais.
Figura 11- Modelo de bielas e tirantes Fonte: SANTOS, 2013.
37
5.2.1 Modelo 2
5.2.1.1 Modelagem inicial
O modelo 2 trata-se de uma viga com descontinuidade, sendo a altura da
descontinuidade de 30 centímetros. A Figura 12 mostra a análise topológica gerada
pelo software Forcepad® que servirá de base para a criação do modelo de bielas e
tirante de acordo com as direções principais das tensões.
Figura 12 - Fluxo de tensões (Forcepad®), (Modelo 2)
Fonte: Dados do autor.
Inicialmente o modelo da Figura 13 foi adotado para obtenção das tensões nas
bielas e nos tirantes, conforme a Figura 14. Para a elaboração do modelo de bielas e
tirantes deve-se atentar ao ângulo das bielas que deverá segundo a NBR 6118: 2014
está entre 30° e 45°.
Figura 13 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 2.1)
Fonte: Dados do autor.
38
Figura 14 - Forças atuantes na estrutura, CAST (2000), (Modelo 2.1)
Fonte: Dados do autor.
Estimativa da área da armadura de suspensão, de acordo com os valores das
forças obtidas na primeira modelagem no CAST (2000). Segue abaixo:
Dados auxiliares:
89: = 1 − ��4250 = 1 − 25250 = 0,9
���: = 0,6( 89: ∙ ���) = 0,6 Q0,9 ∙ 251,4R = 9,64 �pM
Estimativa da armadura de suspensão:
1t�: = �H + �H2 = 49,9 + 206,4
2 = 153,10 oB
M5,í = 1t�:T_ ∙ ���: = 153,1015 ∙ 0,964 = 10,59 SF
���t ���� = 1t�:�3� = 153,10� !y
5,5!� = 3,522 = 1,76 SF² → 4 ∅8.0 S. 8
M5 = (4 − 1) ∙ 8 + 0,8 = 24,8 SF
39
5.2.1.2 Nova modelagem
Após a obtenção do a1, foi feito um novo modelo de viga, no qual a armadura
de suspensão será distribuída em 24,80 cm, estando o tirante principal no eixo desse
espaçamento. A altura da descontinuidade será a mesma, alterando apenas o a1, de
acordo com a Figura 15, todos os passos anteriores para a modelagem foram
repetidos iniciando com o posicionamento dos nós até a distribuição do carregamento.
Na Tabela 6 estão dispostos a geometria dos nós de acordo com sua posição e
direção, e na Tabela 7 a geometria dos elementos, onde é possível obter o tamanho
de cada elemento e o seu ângulo, o qual deverá estar entre 30º e 45º.
Figura 15 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 2.2)
Fonte: Dados do autor.
Tabela 1 - Propriedades geométricas de cada nó (Modelo 2.2) Nó Função X (mm) Y (mm)) Direção° Nó
1 N1 Bielas e Tirantes 130,0 30,0 180,00
2 N2 Bielas e Tirantes 828,0 30,0 0,00
3 N3 Bielas e Tirantes 1526,0 30,0 0,00
4 N4 Bielas e Tirantes 1826,0 30,0 0,00
5 N5 Bielas e Tirantes 2074,0 330,0 0,00
6 N6 Bielas e Tirantes 2322,0 330,0 0,00
7 N7 Bielas e Tirantes 2570,0 330,0 180,00
8 N8 Bielas e Tirantes 130,0 570,0 0,00
9 N9 Bielas e Tirantes 828,0 570,0 0,00
10 N10 Bielas e Tirantes 1526,0 570,0 0,00
11 N11 Bielas e Tirantes 1826,0 570,0 0,00
12 N12 Bielas e Tirantes 2074,0 570,0 0,00
13 N13 Bielas e Tirantes 2322,0 570,0 0,00
14 N14 Bielas e Tirantes 2570,0 570,0 0,00
15 N15 Bielas e Tirantes 1526,0 330,0 0,00 Fonte: Dados do autor
40
Tabela 7 : Propriedades geométricas dos elementos (Modelo 2.2)
Elemento Função
Nó
inicial Nó final
Comprimento
(mm) Direção°
1 E1 Bielas e Tirantes N1 N2 698,0 0,00
2 E2 Bielas e Tirantes N2 N3 698,0 0,00
3 E3 Bielas e Tirantes N3 N4 300,0 0,00
4 E4 Bielas e Tirantes N5 N6 248,0 0,00
5 E5 Bielas e Tirantes N6 N7 248,0 0,00
6 E6 Estabilizador N8 N9 698,0 0,00
7 E7 Bielas e Tirantes N9 N10 698,0 0,00
8 E8 Bielas e Tirantes N10 N11 300,0 0,00
9 E9 Bielas e Tirantes N11 N12 248,0 0,00
10 E10 Bielas e Tirantes N12 N13 248,0 0,00
11 E11 Estabilizador N13 N14 248,0 0,00
12 E12 Estabilizador N1 N8 540,0 90,00
13 E13 Bielas e Tirantes N2 N9 540,0 90,00
14 E14 Estabilizador N3 N15 300,0 90,00
6 E16 Bielas e Tirantes N4 N11 540,0 90,00
17 E17 Bielas e Tirantes N5 N12 240,0 90,00
18 E18 Bielas e Tirantes N6 N13 240,0 90,00
19 E19 Estabilizador N7 N14 240,0 90,00
20 E20 Bielas e Tirantes N5 N15 548,0 180,00
21 E21 Bielas e Tirantes N13 N7 345,1 315,94
22 E22 Bielas e Tirantes N12 N6 345,1 315,94
23 E23 Bielas e Tirantes N11 N5 345,1 315,94
24 E24 Bielas e Tirantes N11 N15 384,2 218,66
25 E25 Bielas e Tirantes N15 N4 424,3 315,00
26 E26 Bielas e Tirantes N10 N2 882,5 217,73
27 E27 Bielas e Tirantes N9 N1 882,5 217,73 Fonte: Dados do autor
Após a definição do modelo de bielas e tirantes e o correto posicionamento dos
nós e elementos, fixando o ângulo entre 30º e 45º, foi gerado pelo programa as
tensões atuantes nas bielas e tirantes, as quais a viga está sendo submetida e suas
respectivas razões entre o esforço solicitante e o resistido, podendo assim analisar o
comportamento de forma detalhada, Figura 16 e 17 apresentam as tensões as quais a
viga está sendo submetida, a estrutura foi dividida por partes para uma melhor
visualização dos esforços.
Na parte inferior de cada tirante, estão expressas as razões entre as
solicitações e a resistência em cada elemento. As Tabelas 8 e 9 mostram as
quantidades referentes às armaduras que são necessárias para a viga em questão,
tendo como referência as tensões atuantes que foram geradas pelo software CAST
41
(2000). As armaduras transversais serão formadas por dois ramos, conforme dados
do programa CAST (2000).
A Tabela 10 apresenta as forças atuantes em cada um dos elementos da
treliça e a tensão suportada por cada uma delas (esses valores são expressos em
porcentagem). Na Figura 10 encontra-se a disposição das armaduras, obtidas pelos
esforços gerados nos tirantes na estrutura.
Figura 16 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 2.2, parte 01 Fonte: Dados do autor.
Figura 17 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 2.2, parte 02 Fonte: Dados do autor.
42
Tabela 8- Armadura Transversal do Modelo 2.2 Elemento F (KN) Fyd (KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E13 4 43,48 0,0920 1 Φ 10.0 E16 109,3 43,48 2,5138 2 Φ 10.0 E17 46,2 43,48 1,0626 1 Φ 10.0 E18 62,3 43,48 1,4328 1 Φ 10.0
Fonte: Dados do autor.
Tabela 9 - Armadura Longitudinal do Modelo 2.2
Elemento F (KN) Fyd
(KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E1 104,1 43,48 2,3943 3 Φ 12.5 E2 109,3 43,48 2,5139 3 Φ 12.5 E3 109,3 43,48 2,5139 3 Φ 12.5 E20 210,3 43,48 4,8369 2 Φ 20.0 E4 162,6 43,48 3,7398 2 Φ 20.0 E5 98,1 43,48 2,2563 1 Φ 20.0
Fonte: Dados do autor.
Tabela 10 - Forças atuantes em cada elemento (Modelo 2.2)
Elemento Força
(kN)
Tensão
(MPa)
Tensão solicitadaTensão resistente
f'c
(razão)
1 E1 104,1 282,69 0,603 NA
2 E2 109,3 296,79 0,633 NA
3 E3 109,3 296,79 0,633 NA
4 E4 162,6 258,73 0,552 NA
5 E5 98,1 312,39 0,666 NA
6 E6 0,0 NA NA NA
7 E7 -104,1 11,56 0,726 0,463
8 E8 -109,3 12,14 0,762 0,486
9 E9 -162,6 18,06 1,133 (O/S) 0,723
10 E10 -98,1 10,90 0,684 0,436
11 E11 0,0 NA NA NA
12 E12 0,0 NA NA NA
13 E13 4,0 25,56 0,055 NA
14 E14 0,0 NA NA NA
15 E15 -28,4 3,16 0,198 0,126
16 E16 109,3 347,80 0,742 NA
17 E17 46,2 294,27 0,628 NA
18 E18 62,3 396,90 0,847 NA
19 E19 0,0 NA NA NA
20 E20 210,3 334,76 0,714 NA
21 E21 -136,6 15,17 0,952 0,607
22 E22 -89,6 9,96 0,625 0,398
23 E23 -66,5 7,39 0,463 0,295
43
24 E24 -129,4 14,38 0,902 0,575
25 E25 -154,5 17,17 1,077 (O/S) 0,687
26 E26 -6,6 0,73 0,046 0,029
27 E27 -131,6 14,62 0,917 0,585 Fonte: Dados do autor.
Na região da mudança de seção as tensões nos tirantes são mais elevadas,
logo necessita de armaduras com bitolas maiores, quando comparado com a região
sem descontinuidade.
As bielas possuem tensão de compressão maior na região superior e na
direção dos apoios, algumas bielas ficaram acima do que o suportado pela viga,
soluções simples podem ser obtidas pra solucionar, mais adiante será retratado como
proceder quando isso ocorrer.
5.2.2 MODELO 3
5.2.2.1 Modelagem inicial
Nesse exemplo, foi modelada uma viga novamente com mudança de seção,
porém com uma mudança na seção de 60 para 42 cm. Inserindo primeiramente os
nós, em seguida os elementos e depois as características dos nós e elementos da
estrutura. Com a análise do fluxo de tensão da Figura 19 foi possível modelar a viga
no CAST, conforme a Figura 20, depois de obtido o modelo, foi encontrado as
tensões atuantes na estrutura, de acordo com a Figura 21.
Figura 18 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 2.2) Fonte: Dados do autor.
44
Figura 19 - Fluxo de tensões (Forcepad®), (Modelo 3)
Fonte: Dados do autor.
Figura 20 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 3.1)
Fonte: Dados do autor.
Forças atuantes na estrutura, conforme a figura 21:
Figura 21 - Forças atuantes na estrutura, CAST (2000), (Modelo 3.1)
Fonte: Dados do autor
45
Foi então estimado o distancia a qual será distribuída a armadura de
suspensão, de acordo com os valores das forças obtidas na primeira modelagem no
CAST (2000). Segue abaixo:
Dados auxiliares:
89: = 1 − ��4250 = 1 − 25250 = 0,9
���: = 0,6( 89: ∙ ���) = 0,6 Q0,9 ∙ 251,4R = 9,64 �pM
Estimativa da armadura de suspensão:
1t�: = �H + �H2 = 56,9 + 150,9
2 = 132,35 oB
M5,í = 1t�:T_ ∙ ���: = 132,3515 ∙ 0,964 = 9,15 SF
���t ���� = 1t�:�3� = 132,35� !y
5,5!� = 3,042 = 1,52 SF² → 3 ∅8.0 S. 8
M5 = (3 − 1) ∙ 8 + 0,8 = 16,8 SF
5.2.2.2 Nova modelagem
Após a obtenção do a1, foi feito um novo modelo de viga descontinua, no qual
a armadura de suspensão será distribuída em 16,80 cm, estando o tirante principal no
eixo desse espaçamento. A altura da descontinuidade será a mesma, alterando
apenas o a1, de acordo com a Figura 22, todos os passos anteriores para a
modelagem foram repetidos iniciando com o posicionamento dos nós até a
distribuição do carregamento.
Na Tabela 11 estão dispostos a geometria dos nós de acordo com sua posição
e direção, e na Tabela 12 a geometria dos elementos, onde é possível obter o
tamanho de cada elemento e o seu ângulo, o qual deverá estar entre 30º e 45º.
46
Figura 22 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 3.2)
Fonte: Dados do autor. Tabela 11 - Propriedades geométricas de cada nó (Modelo 3.2)
Nó Função X (mm) Y (mm) Direção °
1 N8 Biela e Tirante 1866,0 30,0 0,00
2 N9 Biela e Tirante 1866,0 570,0 0,00
3 N10 Biela e Tirante 130,0 30,0 180,00
4 N11 Biela e Tirante 130,0 570,0 0,00
5 N12 Biela e Tirante 2570,0 570,0 0,00
6 N13 Biela e Tirante 2570,0 210,0 180,00
7 N14 Biela e Tirante 2218,0 570,0 0,00
8 N15 Biela e Tirante 2218,0 210,0 0,00
9 N16 Biela e Tirante 698,0 30,0 0,00
10 N17 Biela e Tirante 1266,0 30,0 0,00
11 N18 Biela e Tirante 1566,0 30,0 0,00
12 N19 Biela e Tirante 698,0 570,0 0,00
13 N20 Biela e Tirante 1266,0 569,0 0,00
14 N22 Biela e Tirante 1566,0 210,0 0,00
15 N23 Biela e Tirante 1266,0 210,0 0,00 Fonte: Dados do autor.
Tabela 12 - Propriedades geométricas dos elementos (Modelo 3.2)
Elemento Função
Nó
inicial Nó final
Comprimento
(mm) Direção°
1 E1 Biela e tirante N10 N16 568,0 0,00
2 E2 Biela e tirante N16 N17 568,0 0,00
3 E3 Biela e tirante N17 N18 300,0 0,00
]4 E4 Biela e tirante N18 N8 300,0 0,00
5 E5 Biela e tirante N23 N22 300,0 0,00
6 E6 Biela e tirante N22 N15 652,0 0,00
7 E7 Biela e tirante N15 N13 352,0 0,00
8 E8 Estabilizador N11 N19 568,0 0,00
9 E9 Biela e tirante N19 N20 568,0 359,90
10 E12 Biela e tirante N9 N14 352,0 0,00
47
11 E13 Estabilizador N14 N12 352,0 0,00
12 E14 Estabilizador N10 N11 540,0 90,00
13 E15 Biela e tirante N16 N19 540,0 90,00
14 E16 Estabilizador N17 N23 180,0 90,00
15 E17 Biela e tirante N23 N20 359,0 90,00
16 E18 Biela e tirante N18 N22 180,0 90,00
17 E20 Biela e tirante N8 N9 540,0 90,00
18 E21 Biela e tirante N15 N14 360,0 90,00
19 E22 Estabilizador N13 N12 360,0 90,00
20 E23 Biela e tirante N20 N9 600,0 0,10
21 E24 Biela e tirante N10 N19 783,7 43,55
22 E25 Biela e tirante N16 N20 783,0 43,50
23 E27 Biela e tirante N22 N8 349,9 329,04
24 E28 Biela e tirante N23 N9 699,7 30,96
25 E29 Biela e tirante N15 N9 503,5 134,36
26 E30 Biela e tirante N13 N14 503,5 134,36
27 E31 Biela e tirante N23 N18 349,9 329,04 Fonte: Dados do autor.
Após a definição do modelo de bielas e tirantes e o correto posicionamento dos
nós e elementos, fixando o ângulo entre 30º e 45º, foi gerado pelo programa as
tensões atuantes nas bielas e tirantes, as quais a viga está sendo submetida e suas
respectivas razões entre o esforço solicitante e o resistido, podendo assim analisar o
comportamento de forma detalhada, Figura 23 e 24 apresentam as tensões as quais a
viga está sendo submetida, a estrutura foi dividida por partes para uma melhor
visualização dos esforços.
Na parte inferior de cada tirante, estão expressas as razões entre as
solicitações e a resistência em cada elemento. As Tabelas 11 e 12 mostram as
quantidades de armaduras que são necessárias para a viga em questão, tendo como
referência as tensões atuantes que foram geradas pelo software CAST (2000). As
armaduras transversais serão formadas por dois ramos, conforme dados do programa
CAST (2000).
A Tabela 14 apresenta as forças atuantes em cada um dos elementos da
treliça e a tensão suportada por cada uma delas (esses valores são expressos em
porcentagem). Na Figura 25 encontra-se a disposição das armaduras, obtidas pelos
esforços gerados nos tirantes na estrutura.
48
Figura 23 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 3.2, parte 01 Fonte: Dados do autor
Figura 24 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 3.2, parte 02 Fonte: Dados do autor
Tabela 13 - Armadura transversal do Modelo 3.2
Elemento F (KN) Fyd
(KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E15 20,7 43,48 0,4761 1 Φ 10.0 E18 33,2 43,48 0,7636 1 Φ 10.0 E20 33,2 43,48 0,7636 1 Φ 10.0 E21 48,4 43,48 1,1132 1 Φ 10.0
Fonte: Dados do autor
49
Tabela 24 - Armadura longitudinal do Modelo 3.2
Elemento F (KN) Fyd
(KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E1 88,7 43,48 2,0401 2 Φ 12.5 E2 110,5 43,48 2,5415 2 Φ 12.5 E3 110,5 43,48 2,5415 2 Φ 12.5 E4 55,3 43,48 1,2719 2 Φ 12.5 E5 81,2 43,48 1,8676 2 Φ 12.5 E6 136,4 43,48 3,1372 3 Φ 12.5 E7 89,1 43,48 2,0493 2 Φ 12.5
Fonte: Dados do autor.
Tabela 15 - Forças atuantes em cada elemento (Modelo 3.2)
Elemento Força (kN) Tensão
(MPa)
Tensão solicitadaTensão resistente
f'c
(razão)
Beta
(razão)
1 E1 88,7 241,03 0,514 NA NA
2 E2 110,5 450,34 0,961 NA NA
3 E3 110,5 450,34 0,961 NA NA
4 E4 55,3 225,17 0,480 NA NA
5 E5 81,2 330,69 0,705 NA NA
6 E6 136,4 370,57 0,791 NA NA
7 E7 89,1 363,13 0,775 NA NA
8 E8 0,0 NA NA NA NA
9 E9 -88,7 9,86 0,619 0,394 0,619
10 E12 -89,1 9,90 0,621 0,396 0,621
11 E13 0,0 NA NA NA NA
12 E14 0,0 NA NA NA NA
13 E15 20,7 131,66 0,281 NA NA
14 E16 0,0 NA NA NA NA
15 E17 -17,6 1,96 0,123 0,078 0,123
16 E18 33,2 211,08 0,450 NA NA
17 E20 33,2 211,08 0,450 NA NA
18 E21 48,4 307,96 0,657 NA NA
19 E22 0,0 NA NA NA NA
20 E23 -110,5 12,28 0,771 0,491 0,771
21 E24 -122,4 13,60 0,854 0,544 0,854
22 E25 -30,0 3,34 0,209 0,134 0,209
23 E27 -64,4 7,16 0,449 0,286 0,449
24 E28 -30,2 3,36 0,211 0,134 0,211
25 E29 -67,7 7,52 0,472 0,301 0,472
26 E30 -127,5 14,16 0,889 0,567 0,889
27 E31 -64,4 7,16 0,449 0,286 0,449 Fonte: Dados do autor.
50
Figura 25 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 3.2) Fonte: Dados do autor.
Na região da descontinuidade as tensões nos tirantes foram menos elevadas
do que quando comparadas ao modelo 2, tendo assim armaduras com bitolas
menores. As bielas não ficaram acima do suportado pela viga, sendo a única
diferença entre o modelo 2 e 3 a altura da descontinuidade. O a1 encontrado no
modelo 2 foi 8cm maior do que o encontrado no modelo 3.
As bielas continuaram com a tensão de compressão maior na região superior e
na direção dos apoios e em todas a tensão resistente foi maior do que a tensão
solicitada, não sendo necessário modificações.
5.2.3 Modelo 4
5.2.3.1 Modelagem inicial
Para esse último modelo, a mesma viga descontinua foi modelada variando a
altura da mudança de seção para 18 centímetros, sendo a maior mudança de seção
quando comparada as outras duas vigas. Seguiu-se o mesmo passo a passo das
outras duas vigas. A Figura 26 é o ponto inicial onde foi encontrado o fluxo de tensões
atuantes na viga.
Figura 266 - Fluxo de tensões (Forcepad®), (Modelo 4)
Fonte: Dados do autor.
51
Primeiro modelo encontrado de bielas e tirantes para obtenção dos esforços,
nesse modelo foi encontrada uma maior dificuldade para sua elaboração devido a
altura de descontinuidade ser pequena, dificultando obedecer a norma quanto aos
ângulos das bielas. A Figura 27 mostra o modelo de bielas e tirantes adotado
inicialmente.
Figura 277 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 4.1)
Fonte: Dados do autor.
Figura 288 - Forças atuantes na estrutura, CAST (2000), (Modelo 4.1)
Fonte: Dados do autor.
52
Após obter o modelo de bielas e tirantes foi estimada a área da armadura de
suspensão, de acordo com os valores das forças encontradas no CAST (2000),
conforme a Figura 28. Segue abaixo:
Dados auxiliares:
89: = 1 − ��4250 = 1 − 25250 = 0,9
���: = 0,6( 89: ∙ ���) = 0,6 Q0,9 ∙ 251,4R = 9,64 �pM
Estimativa da armadura de suspensão:
1t�: = �H + �H2 = 48,1 + 411,7
2 = 253,95 oB
M5,í = 1t�:T_ ∙ ���: = 253,9515 ∙ 0,964 = 17,56 SF
���t ���� = 1t�:�3� = 253,95� !y
5,5!� = 5,842 = 2,92 SF² → 6 ∅8.0 S. 8
M5 = (6 − 1) ∙ 8 + 0,8 = 40,8 SF
5.2.3.2 Nova modelagem
Após a obtenção do a1, foi feito um novo modelo de viga descontinua, no qual
a armadura de suspensão será distribuída em 40,80 cm, estando o tirante principal no
eixo desse espaçamento. A altura da descontinuidade será a mesma, alterando
apenas o a1, de acordo com a Figura 29 e Figura 30, todos os passos anteriores para
a modelagem foram repetidos iniciando com o posicionamento dos nós até a
distribuição do carregamento.
Na Tabela 16 estão dispostos a geometria dos nós de acordo com sua posição
e direção, e na Tabela 17 a geometria dos elementos, onde é possível obter o
tamanho de cada elemento e o seu ângulo, o qual deverá estar entre 30º e 45º.
53
Figura 29 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 4.2), parte 01
Fonte: Dados do autor
Figura 290 - Viga com descontinuidade, CAST (2000), (Modelo 4.2), parte 02
Dados: Fonte do autor
Tabela 163 - Propriedades geométricas de cada nó (Modelo 4.2) Nó Função X (mm) Y (mm) Direção°
1 N1 Biela e Tirante 130,0 30,0 180,00
2 N2 Biela e Tirante 728,0 30,0 0,00
3 N3 Biela e Tirante 1326,0 30,0 0,00
4 N4 Biela e Tirante 1746,0 30,0 0,00
5 N5 Biela e Tirante 2570,0 450,0 180,00
6 N6 Biela e Tirante 2446,0 450,0 0,00
7 N7 Biela e Tirante 2322,0 450,0 0,00
8 N8 Biela e Tirante 2198,0 450,0 0,00
9 N9 Biela e Tirante 2074,0 450,0 0,00
10 N10 Biela e Tirante 1950,0 450,0 0,00
54
11 N11 Biela e Tirante 1606,0 450,0 0,00
12 N12 Biela e Tirante 1466,0 450,0 0,00
13 N13 Biela e Tirante 1326,0 450,0 0,00
14 N14 Biela e Tirante 130,0 570,0 0,00
15 N15 Biela e Tirante 728,0 570,0 0,00
16 N16 Biela e Tirante 1326,0 570,0 0,00
17 N17 Biela e Tirante 1466,0 570,0 0,00
18 N18 Biela e Tirante 1606,0 570,0 0,00
19 N19 Biela e Tirante 1746,0 570,0 0,00
20 N20 Biela e Tirante 1950,0 570,0 0,00
21 N21 Biela e Tirante 2074,0 570,0 0,00
22 N22 Biela e Tirante 2198,0 570,0 0,00
23 N23 Biela e Tirante 2322,0 570,0 0,00
24 N24 Biela e Tirante 2446,0 570,0 0,00
25 N25 Biela e Tirante 2570,0 570,0 0,00 Fonte: Dados do autor.
Tabela 47 - Propriedades geométricas dos elementos (Modelo 4.2)
Elemento Função
Nó
inicial Nó final
Comprimento
(mm) Direção°
1 E1 Biela e tirante N1 N2 598,0 0,00
2 E2 Biela e tirante N2 N3 598,0 0,00
3 E3 Biela e tirante N3 N4 420,0 0,00
4 E4 Biela e tirante N10 N9 124,0 0,00
5 E5 Biela e tirante N9 N8 124,0 0,00
6 E6 Biela e tirante N8 N7 124,0 0,00
7 E7 Biela e tirante N7 N6 124,0 0,00
8 E8 Biela e tirante N6 N5 124,0 0,00
9 E9 Biela e tirante N13 N12 140,0 0,00
10 E10 Biela e tirante N12 N11 140,0 0,00
11 E11 Estabilizador N14 N15 598,0 0,00
12 E12 Biela e tirante N15 N16 598,0 0,00
13 E13 Biela e tirante N16 N17 140,0 0,00
14 E14 Biela e tirante N17 N18 140,0 0,00
15 E15 Biela e tirante N18 N19 140,0 0,00
16 E16 Biela e tirante N19 N20 204,0 0,00
17 E17 Biela e tirante N20 N21 124,0 0,00
18 E18 Biela e tirante N21 N22 124,0 0,00
19 E19 Biela e tirante N22 N23 124,0 0,00
20 E20 Biela e tirante N23 N24 124,0 0,00
21 E21 Estabilizador N24 N25 124,0 0,00
22 E22 Estabilizador N1 N14 540,0 90,00
23 E23 Biela e tirante N2 N15 540,0 90,00
24 E24 Estabilizador N3 N13 420,0 90,00
25 E25 Biela e tirante N13 N16 120,0 90,00
26 E26 Biela e tirante N12 N17 120,0 90,00
27 E27 Biela e tirante N11 N18 120,0 90,00
55
28 E28 Biela e tirante N4 N19 540,0 90,00
29 E29 Biela e tirante N10 N20 120,0 90,00
30 E30 Biela e tirante N9 N21 120,0 90,00
31 E31 Biela e tirante N8 N22 120,0 90,00
32 E32 Biela e tirante N7 N23 120,0 90,00
33 E33 Biela e tirante N6 N24 120,0 90,00
34 E34 Estabilizador N5 N25 120,0 90,00
35 E35 Biela e tirante N10 N11 344,0 180,00
36 E36 Biela e tirante N15 N1 805,7 222,08
37 E37 Biela e tirante N16 N2 805,7 222,08
38 E38 Biela e tirante N17 N13 184,4 220,60
39 E39 Biela e tirante N13 N4 594,0 315,00
40 E40 Biela e tirante N18 N12 184,4 220,60
41 E41 Biela e tirante N19 N11 184,4 220,60
42 E42 Biela e tirante N19 N10 236,7 329,53
43 E43 Biela e tirante N20 N9 172,6 315,94
44 E44 Biela e tirante N21 N8 172,6 315,94
45 E45 Biela e tirante N22 N7 172,6 315,94
46 E46 Biela e tirante N23 N6 172,6 315,94
47 E47 Biela e tirante N24 N5 172,6 315,94 Fonte: Dados do autor.
Após a definição do modelo de bielas e tirantes e o correto posicionamento dos
nós e elementos, fixando o ângulo entre 30º e 45º, foi gerado pelo programa as
tensões atuantes nas bielas e tirantes, as quais a viga está sendo submetida e suas
respectivas razões entre o esforço solicitante e o resistido, podendo assim analisar o
comportamento de forma detalhada, Figura 31, 32 e 33 apresentam as tensões as
quais a viga está sendo submetida, a estrutura foi dividida por partes para uma melhor
visualização dos esforços.
Na parte inferior de cada tirante, estão expressas as razões entre as
solicitações e a resistência em cada elemento. As Tabelas 18 e 19 mostram as
quantidades referentes às armaduras que são necessárias para a viga em questão,
tendo como referência as tensões atuantes que foram geradas pelo software CAST
(2000). As armaduras transversais serão formadas por dois ramos, conforme dados
do programa CAST (2000). A tabela 20 mostra detalhadamente os esforços atuantes
em cada elemento da estrutura. A Figura 34 e 35 representa o detalhamento da
estrutura.
56
Figura 31 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 4.2, parte 01 Fonte: Dados do autor.
Figura 32 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento,
CAST (2000), Modelo 4.2, parte 02 Fonte: Dados do autor.
57
Figura 303 - Força nos membros da treliça e solicitação em cada elemento, CAST
(2000), Modelo 4.2, parte 03 Fonte: Dados do autor.
Tabela 18 - Armadura transversal do Modelo 4.2 Elemento F (KN) Fyd (KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E23 14,8 43,48 0,3404 1 Φ 12.5 E28 106,7 43,48 2,4540 1 Φ 12.5 E26 88,4 43,48 2,0331 1 Φ 12.5 E27 79,3 43,48 1,8238 1 Φ 12.5 E29 38,6 43,48 0,8878 1 Φ 12.5 E30 49,2 43,48 1,1316 1 Φ 12.5 E31 57,3 43,48 1,3179 1 Φ 12.5 E32 65,3 43,48 1,5018 1 Φ 12.5 E33 73,4 43,48 1,6881 1 Φ 12.5
Fonte: Dados do autor
Tabela 59 - Armadura longitudinal do Modelo 4.2
Elemento F (KN) Fyd
(KN/cm²) As,nec(cm²) As,ef
E1 90,3 43,48 2,0769 2 Φ 12.5 E2 106,7 43,48 2,4541 2 Φ 12.5 E3 106,7 43,48 2,4541 2 Φ 12.5 E9 220,4 43,48 5,0692 2 Φ 25.0 E10 323,6 43,48 7,4428 2 Φ 25.0 E35 416,1 43,48 9,5703 2 Φ 25.0 E4 350,5 43,48 8,0615 2 Φ 25.0 E5 299,7 43,48 6,8931 2 Φ 25.0 E6 240,5 43,48 5,5315 2 Φ 25.0 E7 172,9 43,48 3,9767 2 Φ 25.0 E8 97,1 43,48 2,2333 2 Φ 25.0
Fonte: Dados do autor.
58
Tabela 20 - Forças atuantes em cada elemento (Modelo 4.2)
Elemento Força (kN)
Tensão
(MPa)
Tensão solicitadaTensão resistente
f'c (razão)
1 E1 90,3 367,95 0,785 NA
2 E2 106,7 434,70 0,927 NA
3 E3 106,7 434,70 0,927 NA
4 E4 350,5 357,06 0,762 NA
5 E5 299,7 305,24 0,651 NA
6 E6 240,5 244,94 0,523 NA
7 E7 172,9 176,16 0,376 NA
8 E8 97,1 98,89 0,211 NA
9 E9 220,4 224,55 0,479 NA
10 E10 323,6 329,60 0,703 NA
11 E11 0,0 NA NA NA
12 E12 -90,3 10,03 0,630 0,401
13 E13 -106,7 11,85 0,744 0,474
14 E14 -220,4 24,49 1,537 (O/S) 0,980
15 E15 -323,6 35,95 2,256 (O/S) 1.438
16 E16 -350,5 38,95 2,444 (O/S) 1.558
17 E17 -299,7 33,30 2,089 (O/S) 1.332
18 E18 -240,5 26,72 1,676 (O/S) 1.069
19 E19 -172,9 19,22 1,206 (O/S) 0,769
20 E20 -97,1 10,79 0,677 0,431
21 E21 0,0 NA NA NA
22 E22 0,0 NA NA NA
23 E23 14,8 60,28 0,129 NA
24 E24 0,0 NA NA NA
25 E25 -9,2 1,02 0,064 0,041
26 E26 88,4 360,18 0,768 NA
27 E27 79,3 323,11 0,689 NA
28 E28 106,7 434,70 0,927 NA
29 E29 38,6 157,15 0,335 NA
30 E30 49,2 200,58 0,428 NA
31 E31 57,3 233,42 0,498 NA
32 E32 65,3 266,26 0,568 NA
33 E33 73,4 299,10 0,638 NA
34 E34 0,0 NA NA NA
35 E35 416,1 423,85 0,904 NA
36 E36 -121,7 13,52 0,848 0,541
37 E37 -22,1 2,45 0,154 0,098
38 E38 -149,8 15,37 0,964 0,615
39 E39 -150,9 15,48 0,971 0,619
40 E40 -135,8 15,09 0,947 0,604
41 E41 -121,9 13,54 0,850 0,542
42 E42 -76,1 8,45 0,530 0,338
44 E44 -82,4 9,15 0,574 0,366
59
45 E45 -94,0 10,44 0,655 0,418
46 E46 -105,6 11,73 0,736 0,469 Fonte: Dados do autor.
Esse modelo apresentou esforços solicitantes nas bielas acima do resistente e
devido a região com descontinuidade ser esbelta, necessitou de armaduras com
diâmetro maior, quando comparada com as outras vigas.
Na região da mudança de seção as tensões nos tirantes são mais elevadas,
logo necessita de armaduras com bitolas maiores, quando comparado com a região
sem descontinuidade.
Figura 31 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 4.2), parte 01
Fonte: Dados do autor.
Figura 35 - Disposição das armaduras dos tirantes da treliça (Modelo 4.2), parte 02
Fonte: Dados do autor.
60
As bielas possuem tensão de compressão maior na região superior e na
direção dos apoios, algumas bielas ficaram acima do que o suportado pela viga,
soluções simples podem ser obtidas pra solucionar, mais adiante será retratado como
proceder quando isso ocorrer.
61
6 CONCLUSÃO
Com base em todo o levantamento de referencial teórico, é possível observar a
importância da utilização do método de bielas e tirantes em elementos sem e
principalmente com descontinuidade, verificou-se a sua eficiência ao modelar vigas
descontínuas, as quais não seriam possíveis através de método mais simplificado,
onde a estrutura é analisada de forma a considerar a deformação como linear,
estando os elementos de concreto armado descontínuos fora das idealizações de
Bernoulli.
Para a modelagem são utilizados dois softwares distintos Forcepad® e CAST
2000, os quais mostraram eficiência e praticidade para o dimensionamento da viga
abordada. São softwares simples e de fácil manuseio, facilitando o uso pelo projetista,
mas requerem conhecimento prévio quanto ao dimensionamento, utilizando o modelo
de bielas e tirantes.
Os resultados apresentados pela viga contínua através do CAST 2000 e o
dimensionamento realizado segundo a NBR 6118:2014, convergiram a um resultado
próximo, mostrando a eficiência e garantia da ferramenta computacional.
Nas vigas com descontinuidade foi possível observar que quanto menor a
altura descontínua, maiores as tensões na estrutura, sendo necessárias armaduras
com bitolas maiores, tanto as transversais quanto as longitudinais. A distância de a1
também é maior, quanto menor a altura da descontinuidade, precisando de uma maior
quantidade de armaduras de suspensão.
As tensões atuantes em algumas bielas foram maiores que as tensões
resistentes para cada uma delas, representadas nas tabelas como O/S (fora de
serviço). Para esses casos, seria necessário aumentar a resistência do concreto ou a
largura da viga, sendo alternativas mais práticas, porém é necessário avaliar as
condições apresentadas ao projetista.
Nesse trabalho o modelo 4 foi o que apresentou as maiores tensões nos
tirantes e bielas, assim é necessário um maior cuidado ao projetar vigas com seções
menores, observando as dimensões da viga e o concreto utilizado.
O modelo de bielas e tirantes mostrou ser bastante eficaz na apresentação das
forças atuantes na estrutura, deixando de maneira clara as regiões comprimidas e
tracionadas e o seu real comportamento. A norma brasileira faz um breve relato sobre
62
o modelo, sendo necessários estudos mais aprofundados para sua utilização com
segurança e rapidez.
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REFERÊNCIAS
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