triángulo de pascal
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EL TRIÁNGULO DE
PASCAL
Universidad de MontevideoFacultad de Humanidades
Profesorado de Matemática
Seminario II
Prof. Alejandra Pollio
PABLO SOIZA LORENZO
30 de Junio de 2009
35
1
11
1
1
1
1
2
33
1 64 4 1
10 151 105
201 156
1 217 35
15
1
16
7
1 288
21
28 1856 5670
1
9 36 84 126 126 84 36 9
45 120 210 252 210 120 45
165 330 462 462
330 165
495 792 924 792 495
1
110
55
1
1
220
11
1266
1
101
1
220
5511
6612
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30 de Junio de 2009 Seminario II Facultad de HumanidadesProfesorado de Matemática
2
INDICE
Primera parte: Construcción y propiedades .........................................................................3 –6
Construcción ................................................................................................................. 3
Propiedades.................................................................................................................. 4
Segunda parte: Numero pares e impares en el triángulo ......................................................7 –8
Números impares.......................................................................................................... 7
Números pares.............................................................................................................. 8
Tercera parte: Aplicación......................................................................................................... 9
Cuarta parte: Demuestre las siguientes igualdades .......................................................... 10 –12
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3
Primera parte: Construcción y propiedades
El triángulo de Pascal, también conocido como triangulo de Tartaglia, es un triángulo formado
por infinitos números enteros que presenta múltiples e interesantes propiedades. Lleva el nombre del
matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) pues, si bien no fue el quién lo descubrió1, sí fue él uno
de los primeros en estudiar sus propiedades. A su vez, para demostrarlas Pascal utilizó por primera vez
de forma clara y precisa el método de "inducción matemática".
A. Construcción
Para su construcción, como primer paso debemos tomar una hoja cuadriculada y escribir un
“1” centrado en la parte superior de la hoja. A continuación escribimos una serie de “1” en las casillas
situadas en sentido diagonal descendente, obteniendo una figura como la que se muestra abajo.
Fila 0 1
Fila 1 1 1
Fila 2 1 1
Fila 3 1 1
Fila 4 1 1
Fila 5 1 1
Fila 6 1 1
Fila 7 1 1
Ahora construiremos en interior del triángulo. Para ello debemos sumar las parejas de cifras
situadas horizontalmente separadas por una celda en blanco y el resultado de la suma será el número
que debemos colocar debajo de la casilla en blanco. Continuamos con este proceso escribiendo, en las
celdas inferiores, el resultado de sumar los 2 números que aparecen en la fila anterior.
Debemos obtener un dibujo como el siguiente:
Fila 0 1
Fila 1 1 1
Fila 2 1 1+1=2 1
Fila 3 1 2+1=3 2+1=3 1
Fila 4 1 4 6 4 1
Fila 5 1 5 10 10 5 1
Fila 6 1 6 15 20 15 6 1Fila 7 1 7 21 35 35 21 7 1
1En países no occidentales como China o India, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos cinco
siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
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B. Propiedades
Mencionaremos a continuación algunas de las propiedades más notables del triángulo de
Pascal.
1. Los coeficientes de la forma desarrollada del binomio de Newton (a+b)n
se encuentran en la
fila n del triángulo: para conocer los coeficientes del desarrollo de, por ejemplo, (a+b)3
basta
con ir a la fila 3 del triángulo. Los números que allí aparecen corresponden al desarrollo de
este binomio.
(a+b)n
= 1a3
+ 3a2b + 3ab
2+ 1b
3
2. El triángulo es simétrico: podemos observar que, si tomamos como eje la columna 0, ambos
lados, a la derecha y a la izquierda del eje, son simétricos.
3. Si coloreamos las casillas que contienen números pares, observamos una estructura regular:
el Triángulo de Sierpinski 2.(figura en el anexo I)
4. La suma de los números de cada fila nos da como resultado las potencias de 2: a modo de
ejemplo a continuación sumaremos los números que aparecen en las 4 primeras filas.
Fila 0: 1 = 20
Fila 2: 1 + 2 + 1 = 4 = 22
Fila 1: 1 + 1 = 2 = 21
Fila 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
5. Si consideramos cada fila como un número obtenemos las potencias de 11: aquí debemos
tener cuidado pues no basta con considerar cada fila como un número para obtener las
potencias de 11. Si en una celda aparece un número de dos o más cifras debemos dejar en esacelda la unidad y sumar los restantes dígitos del número a la celda de la izquierda.
A modo de ejemplo veremos la fila 5 y la 9:
2El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco
Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal que propuso en 1915 para demostrar que una curva puede
cruzarse consigo misma en todos sus puntos. La figura se obtiene conectando los puntos medios de los tres
lados de un triángulo equilátero y seleccionando sólo los tres subtriángulos que se forman en las esquinas,suprimiendo la parte central del triángulo. Repitiendo este proceso de construcción, quitando fragmentos cada
vez más pequeños infinitas veces, se genera el Triángulo de Sierpinski.
Fila 3 1 3 3 1
Columna5
Columna4
Columna3
Columna2
Columna1
Columna0
Columna1
Columna2
Columna3
Columna4
Columna5
Fila 0 1
Fila 1 1 1
Fila 2 1 2 1
Fila 3 1 3 3 1
Fila 4 1 4 6 4 1
Fila 5 1 5 10 10 5 1
Fila 5 1 5 10 10 5 1
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Al considerar esta fila como un número tendríamos 15.101.051, sin embargo este número no
es 115
= 161.051 (es más, ni siquiera es múltiplo de 11). Pero si seguimos el procedimiento
descrito más arriba obtenemos:
Lo mismo sucede con la fila 9. Siguiendo el procedimiento obtenemos
119
= 2.357.947.691
Fila 9
1 9 3 6 8 4 1 2 6 1 2 6 8 4 3 6 9 1
84+3=87 6 9 1
126+8=134 7 6 9 1
126+13=139 4 7 6 9 1
84+13=97 9 4 7 6 9 1
36+9=45 7 9 4 7 6 9 1
9+4=13 5 7 9 4 7 6 9 1
1+1=2 3 5 7 9 4 7 6 9 1
2 3 5 7 9 4 7 6 9 1
6. Si en una fila el primer número (sin ser el 1) es un número primo, se cumple que todos los
demás números en las celdas de esa fila son múltiplos de de ese número primo. En la fila 17
por ejemplo, el primer número después del 1 es 17 y los otros que aparecen en las celdas deesa fila son:
136 = 17x8 12.376 = 17x728
686 = 17x40 19.448 = 17x1.144
2.380 = 17x140 24.310 = 17x1.430
6.188 = 17x364
7. El resultado de la suma alterna de los números de una fila es cero. A modo de ejemplo
veremos la suma alterna de las 8 primeras filas.
Fila 1: 1-1 = 0 Fila 5: 1-5+10-10+5-1 = 0
Fila 2: 1-2+1 = 0 Fila 6: 1-6+15-20+15-6+1 = 0
Fila 3: 1-3+3-1 = 0 Fila 7: 1-7+21 –35+35-21+7-1 = 0Fila 4: 1-4+6-4+1 = 0 Fila8: 1-8+28-56+70-56+28-8+1 = 0
8. La primer diagonal está formada sólo por unos y la siguiente está formada por todos los
números naturales.
9. La tercer3
diagonal está formada por la sucesión de los números triangulares4; la cuarta, por
la de los números tetraédricos; la quinta por la de los pentaédricos y así sucesivamente.
3
La tercer diagonal es la que se encuentra en tercer lugar empezando a contar desde la diagonal formada porunos. Es la diagonal que tiene los números 1-3-6-10-15-21-… 4
Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero.
Fila 5 1 5 1 0 1 0 5 1
10+1=11 0 5 1
1 5+1=6 1 0 5 1
1 6 1 0 5 1
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10. El número resultante de sumar dos números consecutivos de la tercer diagonal es un
cuadrado perfecto.
11. Sucesión de Fibonacci5: si sumamos los números que están en las celdas de igual color
obtendremos los números de la sucesión de Fibonacci. Para pintar las celdas debemosproceder de la siguiente manera:
a. nos paramos en la primer celda no vacía de la fila 0 y la pintamos de un color.
b. nos desplazamos tres celdas a la izquierda y una hacia abajo. Si la celda a la
que llego está dentro del triángulo la pinto del mismo color y si está fuera del
triángulo paso a colorear la próxima celda no vacía de la fila 0. En caso de no
haber más celdas no vacía y sin colorear debemos pintar, de un color distinto,
la primer celda no vacía de la siguiente fila.
c. Repetimos el paso b hasta tener pintado todo el triángulo.
12. El
triángul
o
tambié
n
muestr
a
cuántas combinaciones se pueden formar, dados los cardinales de elementos del conjunto
inicial (m) y del subconjunto que quiero formar (n), cuya notación es:m
nC
Para encontrar este número debemos buscar en la fila m y en la celda n+1.Por ejemplo: Si queremos saber cuántas formas hay de elegir 2 bolitas de distinto color de un
conjunto de 6 bolitas distintas (6
2C ), basta con ir a la tercer (2+1=3) celda no vacía de la fila 6.
En esa celda hay un 15, por lo que hay 15 maneras de elegir 2 bolitas de distinto color de un
conjunto de 6 bolitas distintas.
5 La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales cuyo primer elemento es 0, el segundo
elemento es 1 y los restantes se construyen a partir de la suma de los dos elementos anteriores.
1 11 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
5 1 4 6 4 1
8 1 5 10 10 5 1
13 1 6 15 20 15 6 1
21 1 7 21 35 35 21 7 1
Fila 0 1
Fila 1 1 1
Fila 2 1 2 1
Fila 3 1 3 3 1
Fila 4 1 4 6 4 1Fila 5 1 5 10 10 5 1
Fila 6 1 6 15 20 15 6 1
1
1
1 + 1
2 + 1
1 + 3 + 1
3 + 4 + 1
1 + 6 + 5 + 1
4 + 10 + 6 + 1
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II. Segunda parte: Numero pares e impares en el triángulo
En esta parte del trabajo intentaremos deducir una fórmula que nos permita contar la cantidad
de números pares e impares que hay en cada fila del triángulo.
A. Números impares
Si observamos el triángulo de Pascal dibujado abajo, en el que hemos pintado los números
pares de negro y los impares de verde, podemos ver que:
1. La fila 2n – 1, con n Є Naturales, siempre está formada únicamente por números
impares.
2. La fila 2n, con n Є Naturales, está formada por 2 números impares y 2
n – 2 números
pares.
3. El patrón formado por los números impares que están entre la fila 0 y la fila 2n – 1, se
repite dos veces entre las filas 2n
y 2n+1
– 1 (n≥1, n Є Naturales). Por ejemplo, mirando
la figura vemos que el patrón que forman los números impares entre la fila 0 y la fila
15 (15=24 –1) se repite dos veces entre la fila 16 (16=2
n) y la 31 (31=2
4+1 –1).
De estas observaciones podemos concluir que, para saber la cantidad de números impares
que hay en una fila n, tenemos que restarle a n la potencia de 2 inmediatamente anterior y el
resultado nos indicará una nueva fila. Duplicando la cantidad de números impares que hay en ella,
obtendremos la cantidad de impares que hay en la fila n.
A modo de ejemplo, supongamos que queremos averiguar la cantidad de números impares
que hay en la fila 20.
» La potencia de 2 inmediatamente anterior a 20 es 24=16.
» 20 – 16 = 4.
» En la fila 4 hay 2 números impares.
» 2 x 2 = 4
Fila 3 = 22 – 1
Fila 7 = 23 – 1
Fila 15 = 24 – 1
Fila 31 = 25 – 1
Entonces hay 4 números
impares en la fila 20
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En forma general podemos decir que:
» siendo IPn la cantidad de números impares de la fila n
» e IPn – 2a la cantidad de números impares de la fila n – 2a
, dónde 2a
es la potencia de 2
anterior a n, se cumple que:
Si bien esta fórmula pareciera ser inútil cuando n es un número muy grande, podemos volver a
aplicarla las veces que sea necesario para llegar a una fila en la cual sepamos la cantidad de números
impares que hay.
Por ejemplo, ahora queremos averiguar cuántos números impares hay en la fila 76
» IP76 = 2 x IP12, donde IP12 es la cantidad de impares de la fila 76 – 26
= 12
» IP12 = 2 x IP4, donde IP4 es la cantidad de impares de la fila 12 – 23
= 4
B. Números pares
Una vez que sabemos cuántos números impares hay en la fila n, calcular la cantidad de
números pares (Pn) que habrá es fácil, basta con restarle la cantidad de números impares de la fila n
(IPn ) al total de números de esa fila. Dado que el total de números de una fila n es n + 1 entonces:
IPn = 2 x IPn – 2a
IP76 = 2 x (2 x IP4)
IP4 = 2 IP76 = 2 x (2 x 2) = 8
Pn = (n + 1) - IPn
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III. Tercera parte: Aplicación
¿Cuántos números impares y cuantos números pares hay en la fila 120 del triángulo de Pascal?
En la parte II llegamos a la conclusión de que:
» IPn = 2 x IPn – 2a, con IPn – 2
ala cantidad de números impares de la fila n – 2
ay 2
aes la
potencia de 2 anterior a n.
» Pn = (n + 1) - IPn
Como en este caso n = 120, las fórmulas quedarían de la siguiente manera:
» IP120 = 2 x IP56, con IP56 la cantidad de números impares de la fila 120 – 26
= 56.
IP56 = 2 x IP24, con IP24 la cantidad de números impares de la fila 56 – 25
= 24.
IP24
= 2 x IP8, con IP
8la cantidad de números impares de la fila 24 – 2
4= 8.
IP8 = 2 x IP0, con IP0 la cantidad de números impares de la fila 8 – 23
= 0.
IP0 = 1.
» P120
= (120 + 1) - IP120
IP120 = 16
IP120 = 2 x 2 x 2 x 2 x IP0
IP0 = 1IP120 = 16
P120 = 121 – 16 P120 = 105
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IV. Cuarta parte: Demuestre las siguientes igualdades
Basándose en la figura adjunta demostrar las dos desigualdades planteadas debajo de la
misma.
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11
A B
C
D
E
FO
α
β
α - β .
2
α - β .
2
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12
[OB] = (OB) (BD)
[DB]=
(EA) // (BD)
Por letra[OA] = (OA) (AE)
[AE]=
De 1 y 2, OBD = OAE = 90
ABCD rectángulo [AB] = [CD]
[BD] = [AC]
Considero el triángulo DCE:
» DCE = 90 por figura DCE rectángulo en C
» Por 3, [CD] = [AB] [DC] =
Por figura, [AB] =
[DE] =
[EC] =
» Por 4, [BD] = [AC] [EC] = [DC] =
Por figura, [AC] = CED = (α + β)/2
» Por letra, [DE] = CED = (α + β)/2
D
E
C
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