teoría axiomática general de agregados (vii)
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30/08/03 Jorge Baralt-Torrijos 1
Teoría Axiomática General de Agregados (VII)
Jorge Baralt-Torrijos
Universidad Simón BolívarAgosto 2003
30/08/03 Jorge Baralt-Torrijos 2
Contenido Operaciones generalizadas Axioma de Clausura de Unión Naturales según von Neumann Axioma de Potencia Axioma de Escogencia
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Operaciones generalizadas
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Df. IntscG IntscG(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y u (u x z u))IntscG(x) =s la intersección generalizada de x
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Ts. IntscG (1) PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 X} Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} Cmpl(2)(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2> | a1 a2} Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs))) =
{<a1,a2> | a1 a2 a2 X} Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))) =
{a1| a2 (a1 a2 a2 X)} Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y
{a1| ¬ a2 (a1 a2 a2 X)} = y
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Ts. IntscG (2) Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y
{a1| a2 (a2 X a1 a2)} = y {a1| a2 (a2 X a1 a2)} = y EsAgregado(y)
z (z y u (u X z u))
{a1| a2 (a2 X a1 a2)} = y IntscG(X) = y Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y
IntscG(X) = y Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) =
IntscG(X)
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Ts. IntscG (3) y IntscG(X) = y EsClase(IntscG(X)) IntscG(Atm(A)) = A IntscG(Par(B)(A)) = Intsc(B)(A)
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Df. UnionG UnionG(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y u (z u u x))UnionG(x) =s la unión generalizada de x
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Ts. UnionG (1) PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 X} Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs)) =
{<a1,a2> | a1 a2 a2 X} Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs))) =
{a1| a2 (a1 a2 a2 X)} Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs))) = y
{a1| a2 (a1 a2 a2 X)} = y
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Ts. UnionG (2) {a1| a2 (a1 a2 a2 X)} = y EsAgregado(y)
z (z y u (z u u X)) {a1| a2 (a1 a2 a2 X)} = y UnionG(X) = y UnionG(X) = y
Dom(Intsc(Inv(Mbrs))(PrC(X)(Elems))) = y UnionG(X) = Dom(Intsc(Inv(Mbrs))(PrC(X)(Elems))) y UnionG(X) = y EsClase(UnionG(X)) UnionG(Atm(A)) = A UnionG(Par(B)(A)) = Union(B)(A)
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Ax. de Unión Generalizada y UnionG(x) = y
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Ts. UnionG (3) x (x y EsMinimal(x)) UnionG(y) = 0Z EsMinimal(x) UnionG(x) = 0Z UnionG(0Z) = 0Z EsIntegrante(x) EsIntegrante(y)
Union(y)(x) = UnionG(Par(y)(x)) Union(b)(a) = UnionG(Par(b)(a))
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Ts. de Union EsAgregante(x) EsMinimal(y) Union(y)(x) = x EsAgregante(x) EsMinimal(y) Union(x)(y) = x EsAgregante(x) Union(0Z)(x) = x EsAgregante(x) Union(x)(0Z) = x EsAgregante(x) Union(x)(x) = x Union(0Z)(0Z) = 0Z
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Ts. de Union (2) EsIntegrante(x) EsIntegrante(y) EsIntegrante(z)
Union(y)(x) = Union(x)(y) Union(z)(Union(y)(x)) = Union(Union(z)(y))(x) Union(z)(Intsc(y)(x)) = Intsc(Union(z)(y))(Union(z)(x)) Union(Intsc(z)(y))(x) = Intsc(Union(z)(x))(Union(y)(x)) Intsc(z)(Union(y)(x)) = Union(Intsc(z)(y))(Intsc(z)(x)) Intsc(Union(z)(y))(x) = Union(Intsc(z)(x))(Intsc(y)(x))
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Df. Incl Incl(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z u x u = y)Incl(y)(x) =s la inclusión de y en x
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Ts. Incl Union(Atm(y))(x) = z EsAgregado(z)
u (u z u x u = y) Incl(y)(x) = z Union(Atm(y))(x) = z z Incl(y)(x) = z z Union(Atm(y))(x) = z z Union(Atm(a))(X) = z z Incl(a)(X) = z EsClase(Incl(a)(X))
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Ts. Incl EsIntegrante(x) EsIntegrante(y)
z Incl(y)(x) = z Incl(y)(Atm(x)) = Par(y)(x)
EsIntegrante(x) EsMinimal(y) Incl(x)(y) = Atm(x) EsIntegrante(x) Incl(x)(0Z) = Atm(x) EsMinimal(x) Incl(y)(x) = z Atm(y) = z x Incl(b)(a) = x x Incl(a)(Y) = x EsClase(Incl(a)(X)) EsAgregado(x) y x Incl(y)(x) = z z = x
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Df. Clase Clase(a1) =a Incl(a1)(0Z)
Clase(b)(an)…(a2)(a1) = Z =a X = Clase(an)…(a2)(a1) Z = Incl(b)(X)
{a1,a2,…an} =a Clase(an)…(a2)(a1){} =a 0Z
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Ts. de Clase EsAtomo(Clase(a)) EsClsX(Clase(an)…(a2)(a1))
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Ejs. de Clase (1) {a,b} = Clase(b)(a) Clase(b)(a) = Incl(b)(Clase(a)) Incl(b)(Clase(a)) = Incl(b)(Incl(a)(0Z)) Incl(b)(Incl(a)(0Z)) = Union(Atm(b))(Union(Atm(a))(0Z)) Union(Atm(b))(Union(Atm(a))(0Z)) =
Union(Atm(b))(Atm(a))
Union(Atm(b))(Atm(a)) = {x | x = a x = b} {a,b} = {x | x = a x = b}
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Ejs. de Clase (2) {a,b,c} = Clase(c)(b)(a) Clase(c)(b)(a) = Incl(c)(Clase(b)(a)) Incl(c)(Clase(b)(a)) = Union(Atm(c))(Clase(b)(a)) Union(Atm(c))(Clase(b)(a)) = {x | x = a x = b x = c} {a,b,c} = {x | x = a x = b x = c}
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Ax. de Clausura de unión EsElemento(UnionG(A))
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Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio
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Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de apareamiento 12. Clausura de unión
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Naturales según von Neumann
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Df. SucN SucN(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y z x z = x)SucN(x) =s el sucesor de x según von Neumann
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Df. EsNatN EsNatN(x) =a x = 0Z y (EsNatN(y) x = SucN(y))
EsNatN(x) =s x es natural según von Neumann
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Df. Naturales von Neumann 0N =a 0Z
1N =a SucN(0N)2N =a SucN(1N) 3N =a SucN(2N)... ’N =a SucN(N)
N
0N1N
2N
3N
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Variables de Naturales n (n) =a x (EsNatN(x) (x))
n (n) =a x (EsNatN(x) (x))!n n) =a !x (EsNatN(x) (x))
/*para n,m,k,i,j,l,n1,...
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Ts. EsNatN x x SucN(x) = x SucN(n) 0N SucN(n) = SucN(m) n = m SucN(n) n
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Axioma de Potencia
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Df. Partes Partes(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y EsParte(x)(z))Partes(x) =s el agregado de las partes de x
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Ts. Partes Partes(x) = y EsAgregado(y)
(EsIndividuo(x) y = 0Z) (EsAgregado(x) (0Z y x y))
(x = 0Z y = Atm(0Z)) (EsAtomo(x) y = Par(x)(0Z))
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Df. Partes Partes(a) =a {x : EsParte(a)(x))}
Partes(a) =s el agregado de las partes de a
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Ts. Partes EsClase(Partes(a)) EsParte(Partes(Partes(Union(b)(a))))(PrC(b)(a))
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Ax. de potencia A (Partes(a) A)
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Resumen de Axiomas (II) 10. Membrecía 11. Reemplazo 12. Potencia
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Ts. Potencia EsConjunto(Partes(a)) EsConjunto(Partes(0Z)) EsIndividuo(a) Partes(a) = 0Z Partes(0Z) = 1Z Partes(1Z) = 2N EsConjunto(PrC(B)(A))
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Axioma de Escogencia
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Ax. de escogencia EsRelacion(A) B (EsFUnioncion(B) B A
Dom(B) = Dom(A) )
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Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión 2. FUniondamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unionión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación 8. Transposición 9. Dominio
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Resumen de Axiomas (II) 10. Membrecía 11. Reemplazo 12. Potencia 13. Infinito 14. Escogencia
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Axioma de Fundamentación
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Ax. de Fundamentación EsAgrBnFnd(X)
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Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Diferencia 3. Apareamiento 4. Unión 5. Fundamentación
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Ts. de Fundamentación EsAgrBnFnd(A) A A A B B A
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Ax. de Clausura de Unión EsElemento(Union(a))
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Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Diferencia 3. Apareamiento 4. Unión 5. Fundamentación 6. Clausura de Pares 7. Clausura de Unión
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Ts. Básicos de Conjuntos EsConjunto(Par(b)(a)) EsConjunto(Union(a)) EsConjunto(Union(b)(a)) EsConjunto(Incl(b)(a)) EsConjunto(Agr(an)…(a2)(a1)) Agr(a) a Agr(b)(a) a Agr(b)(a) b
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Ts. de Clases EsClase(n) EsElemento(n) EsConjunto(n)
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Ts. de Clases EsNatZ(x) EsConjunto(x) EsClase(n) EsElemento(n) EsConjunto(n) EsElemento(a,b) EsConjunto(a,b) EsClase(Rot(X))
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TG. de orden n x (EsAgregado(x) y (y x
(y0)(y1)…(yn)(y = <y0,y1,…,yn> yiSuc(n) V(n) (y0)(y1)…(yn))))
EsAgrOrd(n)({y | (y0)(y1)…(yn)(y = <y0,y1,…,yn> yiSuc(n) V(n) (y0)(y1)…(yn))})
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