teoría axiomática general de agregados (vii)

30/08/03 Jorge Baralt-Torrijos 1

Teoría Axiomática General de Agregados (VII)

Jorge Baralt-Torrijos

Universidad Simón BolívarAgosto 2003


Contenido Operaciones generalizadas Axioma de Clausura de Unión Naturales según von Neumann Axioma de Potencia Axioma de Escogencia


Operaciones generalizadas


Df. IntscG IntscG(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y u (u x z u))IntscG(x) =s la intersección generalizada de x


Ts. IntscG (1) PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 X} Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} Cmpl(2)(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2> | a1 a2} Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs))) =

{<a1,a2> | a1 a2 a2 X} Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))) =

{a1| a2 (a1 a2 a2 X)} Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y

{a1| ¬ a2 (a1 a2 a2 X)} = y


Ts. IntscG (2) Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y

{a1| a2 (a2 X a1 a2)} = y {a1| a2 (a2 X a1 a2)} = y EsAgregado(y)

z (z y u (u X z u))

{a1| a2 (a2 X a1 a2)} = y IntscG(X) = y Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y

IntscG(X) = y Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) =

IntscG(X)


Ts. IntscG (3) y IntscG(X) = y EsClase(IntscG(X)) IntscG(Atm(A)) = A IntscG(Par(B)(A)) = Intsc(B)(A)


Df. UnionG UnionG(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y u (z u u x))UnionG(x) =s la unión generalizada de x


Ts. UnionG (1) PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 X} Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs)) =

{<a1,a2> | a1 a2 a2 X} Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs))) =

{a1| a2 (a1 a2 a2 X)} Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs))) = y

{a1| a2 (a1 a2 a2 X)} = y


Ts. UnionG (2) {a1| a2 (a1 a2 a2 X)} = y EsAgregado(y)

z (z y u (z u u X)) {a1| a2 (a1 a2 a2 X)} = y UnionG(X) = y UnionG(X) = y

Dom(Intsc(Inv(Mbrs))(PrC(X)(Elems))) = y UnionG(X) = Dom(Intsc(Inv(Mbrs))(PrC(X)(Elems))) y UnionG(X) = y EsClase(UnionG(X)) UnionG(Atm(A)) = A UnionG(Par(B)(A)) = Union(B)(A)


Ax. de Unión Generalizada y UnionG(x) = y


Ts. UnionG (3) x (x y EsMinimal(x)) UnionG(y) = 0Z EsMinimal(x) UnionG(x) = 0Z UnionG(0Z) = 0Z EsIntegrante(x) EsIntegrante(y)

Union(y)(x) = UnionG(Par(y)(x)) Union(b)(a) = UnionG(Par(b)(a))


Ts. de Union EsAgregante(x) EsMinimal(y) Union(y)(x) = x EsAgregante(x) EsMinimal(y) Union(x)(y) = x EsAgregante(x) Union(0Z)(x) = x EsAgregante(x) Union(x)(0Z) = x EsAgregante(x) Union(x)(x) = x Union(0Z)(0Z) = 0Z


Ts. de Union (2) EsIntegrante(x) EsIntegrante(y) EsIntegrante(z)

Union(y)(x) = Union(x)(y) Union(z)(Union(y)(x)) = Union(Union(z)(y))(x) Union(z)(Intsc(y)(x)) = Intsc(Union(z)(y))(Union(z)(x)) Union(Intsc(z)(y))(x) = Intsc(Union(z)(x))(Union(y)(x)) Intsc(z)(Union(y)(x)) = Union(Intsc(z)(y))(Intsc(z)(x)) Intsc(Union(z)(y))(x) = Union(Intsc(z)(x))(Intsc(y)(x))


Df. Incl Incl(y)(x) = z =a EsAgregado(z)

u (u z u x u = y)Incl(y)(x) =s la inclusión de y en x


Ts. Incl Union(Atm(y))(x) = z EsAgregado(z)

u (u z u x u = y) Incl(y)(x) = z Union(Atm(y))(x) = z z Incl(y)(x) = z z Union(Atm(y))(x) = z z Union(Atm(a))(X) = z z Incl(a)(X) = z EsClase(Incl(a)(X))


Ts. Incl EsIntegrante(x) EsIntegrante(y)

z Incl(y)(x) = z Incl(y)(Atm(x)) = Par(y)(x)

EsIntegrante(x) EsMinimal(y) Incl(x)(y) = Atm(x) EsIntegrante(x) Incl(x)(0Z) = Atm(x) EsMinimal(x) Incl(y)(x) = z Atm(y) = z x Incl(b)(a) = x x Incl(a)(Y) = x EsClase(Incl(a)(X)) EsAgregado(x) y x Incl(y)(x) = z z = x


Df. Clase Clase(a1) =a Incl(a1)(0Z)

Clase(b)(an)…(a2)(a1) = Z =a X = Clase(an)…(a2)(a1) Z = Incl(b)(X)

{a1,a2,…an} =a Clase(an)…(a2)(a1){} =a 0Z


Ts. de Clase EsAtomo(Clase(a)) EsClsX(Clase(an)…(a2)(a1))


Ejs. de Clase (1) {a,b} = Clase(b)(a) Clase(b)(a) = Incl(b)(Clase(a)) Incl(b)(Clase(a)) = Incl(b)(Incl(a)(0Z)) Incl(b)(Incl(a)(0Z)) = Union(Atm(b))(Union(Atm(a))(0Z)) Union(Atm(b))(Union(Atm(a))(0Z)) =

Union(Atm(b))(Atm(a))

Union(Atm(b))(Atm(a)) = {x | x = a x = b} {a,b} = {x | x = a x = b}


Ejs. de Clase (2) {a,b,c} = Clase(c)(b)(a) Clase(c)(b)(a) = Incl(c)(Clase(b)(a)) Incl(c)(Clase(b)(a)) = Union(Atm(c))(Clase(b)(a)) Union(Atm(c))(Clase(b)(a)) = {x | x = a x = b x = c} {a,b,c} = {x | x = a x = b x = c}


Ax. de Clausura de unión EsElemento(UnionG(A))


Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio


Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de apareamiento 12. Clausura de unión


Naturales según von Neumann


Df. SucN SucN(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y z x z = x)SucN(x) =s el sucesor de x según von Neumann


Df. EsNatN EsNatN(x) =a x = 0Z y (EsNatN(y) x = SucN(y))

EsNatN(x) =s x es natural según von Neumann


Df. Naturales von Neumann 0N =a 0Z

1N =a SucN(0N)2N =a SucN(1N) 3N =a SucN(2N)... ’N =a SucN(N)

N

0N1N

2N

3N


Variables de Naturales n (n) =a x (EsNatN(x) (x))

n (n) =a x (EsNatN(x) (x))!n n) =a !x (EsNatN(x) (x))

/*para n,m,k,i,j,l,n1,...


Ts. EsNatN x x SucN(x) = x SucN(n) 0N SucN(n) = SucN(m) n = m SucN(n) n


Axioma de Potencia


Df. Partes Partes(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y EsParte(x)(z))Partes(x) =s el agregado de las partes de x


Ts. Partes Partes(x) = y EsAgregado(y)

(EsIndividuo(x) y = 0Z) (EsAgregado(x) (0Z y x y))

(x = 0Z y = Atm(0Z)) (EsAtomo(x) y = Par(x)(0Z))


Df. Partes Partes(a) =a {x : EsParte(a)(x))}

Partes(a) =s el agregado de las partes de a


Ts. Partes EsClase(Partes(a)) EsParte(Partes(Partes(Union(b)(a))))(PrC(b)(a))


Ax. de potencia A (Partes(a) A)


Resumen de Axiomas (II) 10. Membrecía 11. Reemplazo 12. Potencia


Ts. Potencia EsConjunto(Partes(a)) EsConjunto(Partes(0Z)) EsIndividuo(a) Partes(a) = 0Z Partes(0Z) = 1Z Partes(1Z) = 2N EsConjunto(PrC(B)(A))


Axioma de Escogencia


Ax. de escogencia EsRelacion(A) B (EsFUnioncion(B) B A

Dom(B) = Dom(A) )


Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión 2. FUniondamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unionión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación 8. Transposición 9. Dominio


Resumen de Axiomas (II) 10. Membrecía 11. Reemplazo 12. Potencia 13. Infinito 14. Escogencia


Axioma de Fundamentación


Ax. de Fundamentación EsAgrBnFnd(X)


Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Diferencia 3. Apareamiento 4. Unión 5. Fundamentación


Ts. de Fundamentación EsAgrBnFnd(A) A A A B B A


Ax. de Clausura de Unión EsElemento(Union(a))


Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Diferencia 3. Apareamiento 4. Unión 5. Fundamentación 6. Clausura de Pares 7. Clausura de Unión


Ts. Básicos de Conjuntos EsConjunto(Par(b)(a)) EsConjunto(Union(a)) EsConjunto(Union(b)(a)) EsConjunto(Incl(b)(a)) EsConjunto(Agr(an)…(a2)(a1)) Agr(a) a Agr(b)(a) a Agr(b)(a) b


Ts. de Clases EsClase(n) EsElemento(n) EsConjunto(n)


Ts. de Clases EsNatZ(x) EsConjunto(x) EsClase(n) EsElemento(n) EsConjunto(n) EsElemento(a,b) EsConjunto(a,b) EsClase(Rot(X))


TG. de orden n x (EsAgregado(x) y (y x

(y0)(y1)…(yn)(y = <y0,y1,…,yn> yiSuc(n) V(n) (y0)(y1)…(yn))))

EsAgrOrd(n)({y | (y0)(y1)…(yn)(y = <y0,y1,…,yn> yiSuc(n) V(n) (y0)(y1)…(yn))})

teoría axiomática general de agregados (vii)

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