teoría axiomática general de agregados (i v )

10/10/03 Jorge Baralt-Torrijos 1

Teoría Axiomática General de Agregados (IV)

Jorge Baralt-Torrijos

Universidad Simón BolívarOctubre 2003


Contenido Pares Ordenados Relaciones


Pares Ordenados


Df. EsParOrd EsParOrd(x) =a y z u v (x = Par(z)(u)

u = Par(v)(y) z = Atm(y) )

EsParOrd(x) =s x es un par ordenado


Ts. EsParOrd EsParOrd(x) !y !z !u !v (x = Par(z)(y)

y = Par(v)(u) z = Atm(u))


Df. Prm Prm(x) = y =a z u v (x = Par(z)(u)

u = Par(v)(y) z = Atm(y))

Prm(x) =s el primer componente del par ordenado x


Ts. Prm y Prm(x) = y !y Prm(x) = y y Prm(x) = y EsParOrd(x)


Df. Sgd Sgd(x) = y =a z u v (x = Par(z)(u)

u = Par(y)(v) z = Atm(v))

Sgd(x) =s el segundo componente del par ordenado x


Ts. Sgd y Sgd(x) = y !y Sgd(x) = y y Sgd(x) = y EsParOrd(x)


Df. ParOrd ParOrd(y)(x) = z =a EsParOrd(z)

Prm(z) = x Sgd(z) = y ParOrd(y)(x) =s el par ordenado formado por y con xx,y =a ParOrd(y)(x)


ParOrd(y)(x)

Atm(x) Par(y)(x)

ParOrd(y)(x)

x y


Ts. ParOrd z ParOrd(y)(x) = z !z ParOrd(x) = z EsParOrd(x) x = ParOrd(Sgd(x))(Prm(x)) ParOrd(y)(x) = z (ParOrd(v)(u) = z x = u y = v) ParOrd(y)(x) = z (ParOrd(x)(y) = z x = y) x = ParOrd(y)(y) x = Atm(Atm(y))

(EsIndivQ(y) x = y) EsIntegrante(x) EsIntegrante(y) z ParOrd(y)(x) = z x ParOrd(b)(a) = x


Df. ParInv ParInv(x) = y =a EsParOrd(x)

y = ParOrd(Prm(x))(Sgd(x))ParInv(x) =s el par inverso del par ordenado x


Ts. ParInv y ParInv(x) = y !y ParInv(x) = y ParInv(x) = y EsParOrd(y) ParInv(y) = x


Df. ParSubyac ParSubyac(x) = y =a EsParOrd(x)

y = Par(Sgd(x))(Prm(x)) ParSubyac(x) =s el par subyacente al par ordenado x


Ts. ParSubyac y ParSubyac(x) = y !y ParSubyac(x) = y ParInv(x) = y ParSubyac(y) = ParSubyac(x)


Relaciones


Df. EsRelacion EsRelacion(x) =a EsAgregado(x)

y (y x EsParOrd(y))EsRelacion(x) =s x es una relación


Ts. EsRelacion EsIndividuo(x) ¬ EsRelacion(x) EsRelacion(0Z) EsRelacion(x) EsMinimal(x) x = 0Z EsRelacion(x) EsRelacion(y)

EsRelacion(Dif(y)(x)) EsRelacion(Intsc(y)(x)) EsRelacion(UnRel(z)(y)(x))

EsRelacion(x) EsParte(x)(y) EsRelacion(y)


Df. PrC PrC(y)(x) = z =a EsAgregado(z)

w (w z EsParOrd(w) Prm(w) x Sgd(w) y

)PrC(y)(x) =s el producto cartesiano por y de x


Ts. PrC (1) PrC(y)(x) = z EsRelacion(z) PrC(y)(x) = 0Z EsMinimal(x) EsMinimal(y) PrC(y)(x) = z PrC(x)(y) = z z = 0Z x = y


Ax. de Producto Cartesiano z PrC(y)(x) = z


Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano


Ts. PrC (2) EsAgrupacion(x) (PrC(y)(x) PrC(z)(x) y z) EsAgrupacion(x) (PrC(x)(y) PrC(x)(z) y z) PrC(Dif(z)(y))(x) = Dif(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) PrC(Intsc(z)(y))(x) = Intsc(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) PrC(UnEn(u)(z)(y))(x) =

UnEn(PrC(u)(x))(PrC(z)(x))(PrC(y)(x))


Df. Rot Rot(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y u v w (ParOrd(v)(ParOrd(u)(w)) = z ParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) x ) )Rot(x) =s la rotación de x


Ts. Rot y (y x EsParOrd(y) ¬EsParOrd(Prm(y))

Rot(x) = 0Z y (y x ¬EsParOrd(y)) Rot(x) = 0Z EsMinimal(x) Rot(x) = 0Z Rot(x) = y EsRelacion(y)


Ax. de Rotación y Rot(x) = y


Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación


Df. Trp Trp(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y u v w (ParOrd(w)(ParOrd(u)(v)) = z ParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) x ) )Trp(x) =s la transposición de x


Ts. Trp y (y x EsParOrd(y) ¬EsParOrd(Prm(y))

Trp(x) = 0Z

y (y x ¬EsParOrd(y)) Trp(x) = 0Z EsMinimal(x) Trp(x) = 0Z Trp(x) = y EsRelacion(y)


Ax. de Transposición y Trp(x) = y


Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición


Df. Dom Dom(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y u (u x EsParOrd(u) Prm(u) = z

) )Dom(x) =s el dominio de x


Ts. Dom y (y x ¬EsParOrd(y)) Dom(x) = 0Z EsMinimal(x) Dom(x) = 0Z Dom(x) = y EsAgregado(y)


Ax. de Dominio y Dom(x) = y


Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio


Df. Inv Inv(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y EsParOrd(z) ParInv(z) x) Inv(x) =s la inversa de x


Ts. Inv Inv(x) = Dom(Trp(PrC(x)(x))) y Inv(x) = y y (y x ¬ EsParOrd(y)) Inv(x) = 0Z EsMinimal(x) Inv(x) = 0Z EsRelacion(Inv(x))


Df. Rng Rng(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y u ParOrd(z)(u) x) Rng(x) =s el rango de x


Ts. Rng Rng(x) = Dom(Inv(x)) y Rng(x) = y y (y x ¬ EsParOrd(y)) Rng(x) = 0Z EsMinimal(x) Rng(x) = 0Z EsAgregado(Rng(x))


Df. Cmp Cmp(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y z Dom(x) z Rng(x)) Cmp(x) =s el campo de x


Ts. Cmp Cmp(x) = y y = Union(Dom(x))(Rng(x)) y (y x ¬ EsParOrd(y)) Cmp(x) = 0Z EsMinimal(x) Cmp(x) = 0Z Cmp(x) = y EsAgregado(y)


Df. Nucleo Nucleo(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y EsParOrd(z) z x) Nucleo(x) =s el núcleo de x


Ts. Nucleo Nucleo(x) = Inv(Inv(x)) y Nucleo(x) = y y (y x ¬ EsParOrd(y)) Nucleo(x) = 0Z EsMinimal(x) Nucleo(x) = 0Z EsRelacion(Nucleo(x)) Inv(x) = Inv(Nucleo(x)) Dom(x) = Dom(Nucleo(x)) Rng(x) = Rng(Nucleo(x)) Nucleo(x) = Nucleo(Nucleo(x)) EsRelacion(x) x = Nucleo(x)


Df. RstrP RstrP(y)(x) = z =a EsAgregado(z)

u (u z EsParOrd(u) u x Prm(u) y

)RstrP(y)(x) =s la restricción primaria en y de x


Ts. RstrP RstrP(y)(x) = Intsc(PrC(Rng(x))(y))(x) z RstrP(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) RstrP(y)(x) = 0Z RstrP(y)(x) x Dom(RstrP(y)(x)) y RstrP(y)(x) = RstrP(y)(Nucleo(x))


Df. RstrS RstrS(y)(x) = z =a EsAgregado(z)

u (u z EsParOrd(u) u x Sgd(u) y

)RstrS(y)(x) =s la restricción secundaria en y de x


Ts. RstrS RstrS(y)(x) = Inv(RstrP(y)(Inv(x))) z RstrS(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) RstrS(y)(x) = 0Z RstrS(y)(x) x Rng(RstrS(y)(x)) y RstrS(y)(x) = RstrS(y)(Nucleo(x))


Df. Rstr Rstr(y)(x) = z =a EsAgregado(z)

u (u z EsParOrd(u) u x Prm(u) y Sgd(u) y

)Rstr(y)(x) =s la restricción de x en y


Ts. Rstr Rstr(y)(x) = RstrS(y)(RstrP(y)(x)) z Rstr(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) Rstr(y)(x) = 0Z Rstr(y)(x) x Dom(Rstr(y)(x)) y Rng(Rstr(y)(x)) y Rstr(y)(x) = Rstr(y)(Nucleo(x))


Df. Img Img(y)(x) = z =a EsAgregado(z)

u (u z v (EsParOrd(v) v y

Prm(v) xSgd(v) = u )

) Img(y)(x) =s la imagen según y de x


Ts. Img Img(y)(x) = Rng(RstrP(x)(y)) z Img(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) Img(y)(x) = 0Z Img(y)(x) Rng(y) Img(Nucleo(y))(x) = Img(y)(x)


Df. ImgP ImgP(y)(x) = z =a EsAgregado(z)


Prm(v) = xSgd(v) = u )

) ImgP(y)(x) =s la imagen puntual según y de x


Ts. ImgP ImgP(y)(x) = Img(y)(Atm(x)) z ImgP(y)(x) = z EsMinimal(y) ImgP(y)(x) = 0Z ImgP(y)(x) Rng(y) ImgP(Nucleo(y))(x) = ImgP(y)(x)


Df. PImg PImg(y)(x) = z =a EsAgregado(z)


Prm(v) = uSgd(v) x )

)PImg(y)(x) =s la preimagen según y de x


Ts. PImg PImg(y)(x) = Dom(RstrS(x)(y)) z PImg(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) PImg(y)(x) = 0Z PImg(y)(x) Dom(y) PImg(Nucleo(y))(x) = PImg(y)(x)


Df. PImgP PImgP(y)(x) = z =a EsAgregado(z)


Prm(v) = uSgd(v) = x )

) PImgP(y)(x) =s la preimagen puntual según y de x


Ts. PImgP PImgP(y)(x) = PImg(y)(Atm(x)) z PImgP(y)(x) = z EsMinimal(y) PImgP(y)(x) = 0Z PImgP(y)(x) Dom(y) PImgP(Nucleo(y))(x) = PImgP(y)(x)

teoría axiomática general de agregados (i v )

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