segÍthetek - oktatas.hu...5. 3 a tízes számrendszer helyiérték táblázata: milliók ezresek...

Fogarasi Ferencné

SEGÍTHETEK

SZÜLŐKNEK

GYERMEKEKNEK

NEVELŐKNEK

MATEMATIKA

Minden jog fenntartva.

Fogarasi Ferencné, 2005

ISBN 963 460 569 9 Vonalkód: 978 963 460 569 0

Előszó Negyven évig tanítottam matematikát az általános iskola felső tagozatában. Sok-sok évvel ezelőtt kerestek meg a szülők azzal a gondjukkal, hogy szeretnének segíteni gyermeküknek, ha nem ért valamit matematikából, de ők nem így tanulták, nem értik ezeket az új dolgokat, vagy értik ugyan, de nem akarják megzavarni gyermeküket egy más oldalról megközelítő magyarázattal. Ekkor dolgoztam ki ezt az anyagot, amit most szeretnék minden érdeklődőnek átadni. A szülő és gyermek együtt tanulásán kívül alkalmas egyéni tanulásra is. Ajánlanám még nevelőknek a tanórai frontális foglalkozásra, vagy tanuló-szobán, napköziben számonkérésre. A könyv 5. osztálytól 9. osztályig követi a tananyag tankönyv szerinti felépítését. Az előforduló fogalmakat, szabályokat, műveleteket, matematikai ismereteket kérdezz, felelek formában dolgoztam fel.

A lap tetején a vonal felett a kérdés, alatta a válasz található, szükséges esetekben mintapéldával. Ezért alkalmas egyéni tanulásra, és ezért a szülő kikérdező jellegű segítség-adására, ugyanis, ha valami problémát okoz, meg lehet nézni, hogyan kellene megoldani. Nekem bevált, hosszú éveken keresztül „jó mankó” volt a tanítványaim kezében. Kérem, próbálják ki!

A szerző

A tízes számrendszer helyiérték táblázata: milliók ezresek egyesek

6 2 3 8 3 0 1 5 9 7 2

Alaki érték: 3 Helyi érték: milliós Valódi érték: 3 000 000

tí z e z r e s

szá z e z r e s

m i ll i ó s

tÍ z m i ll i

sz á z m i ll i

m i ll i á r d

tíz m i ll i á r d

e z r e s

sz á z a s

t í z e s

milliárdok

Alaki érték: 5 Helyi érték: ezres Valódi érték: 5 000

A tízes számrendszer

A természetes számok a pozitív egész számok és a nulla. Pl.: 0; 1; 2; 3; 4; …

Mely számok a természetes számok?

A számokat 2000-ig egybeírjuk. Kétezren felül az egyesektől számított hármas számcsoportok szerint tagoljuk a számokat, és a csoportok közé kötőjelet teszünk. Pl.: 1 840 ezernyolcszáznegyven 2 004 kétezer-négy 6 025 005 hatmillió-huszonötezer-öt 80 000 nyolcvanezer

Mit kell tudni a számnevek helyesírásáról?

milli- ezred centi- század deci- tized deka- tíz hekto- száz kilo- ezer Pl.: milliméter ezred méter mm centiméter század méter cm deciméter tized méter dm dekagramm tíz gramm dkg hektoliter száz liter hl kilogramm ezer gramm kg

Mit jelentenek a következő

szótöredékek szóösszetételekben?

1 mm<1 cm<1 dm<1 m<1 km 10 10 10 1000 Példák az átváltásokra: 5m 16cm = …?…mm

1 mm < 1 cm < 1 dm < 1 m < 1 km 10 10 10 1000

5m=5*10*10*10mm=5*1000mm=5 000mm

1 mm < 1 cm < 1 dm < 1 m < 1 km 10 10 10 1000

16cm=16*10mm=160mm

5m 16cm = 5 160mm

14km =14 000m 2m 3dm =230cm (mert 2m=200cm, 3dm=30cm) 5m 25dm =75dm (mert 5m=50 dm)

5 000m =5km 650cm =6m 5dm 0cm 8 200mm =8m 2dm 0cm 0mm

5 000mm + 160mm 5 160mm

Melyek a hosszúság mértékegységei? (váltószámokkal)

1mg<1cg<1dg<1g<1 dkg<1 kg <1q <1 t 10 10 10 10 100 100 10 Példák az átváltásokra:

3kg 5g = …?…cg 1mg < 1 cg < 1dg < 1 g < 1 dkg < 1 kg< 1q < 1 t 10 10 10 10 100 100 10

3kg=3*100*10*10*10cg=3*100 000cg= =300000cg

1mg < 1 cg < 1dg < 1 g < 1 dkg <1 kg < 1q < 1 t 10 10 10 10 100 100 10

5g=5*10*10cg=5*100cg=500cg

3kg 5g = 300 500cg

5t =5 000kg 1kg 20dkg =120dkg (mert 1kg=100dkg) 8dkg 50g =13dkg (mert 50g=5dkg)

300dkg =3kg 1 234g =1kg 23dkg 4g (mert 1kg 1000g, 230g =23dkg) 6 000 000g =6 000kg = 6t

300 000cg + 500cg 300 500cg

Melyek a tömeg mértékegységei? (váltószámokkal)

Számegyenes készítése: 1. felveszek egy egyenest, 2. megjelölöm a növekedés irányát, 3. megjelölöm a „0” helyét, 4. a nullától egyenlő távolságokat

mérünk föl, 5. az egyenlő távolságok egyenlő

számközöket jelentenek,

pl.: 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 100 200 300 400 500 600 700 800

A számegyenes jellemzői

Relációk – a természetes számok halmazán:

1. x kisebb 7-nél; jelölése: x <7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2. x egyenlő 7-tel; jelölése: x =7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. x nagyobb 7-nél; jelölése: x >7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4. x legfeljebb 7; jelölése: x 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5. x legalább 7; jelölése: x 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6. x nem kisebb 7-nél; jelölése: x 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7. x nem nagyobb 7-nél; jelölése: x 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8. x nagyobb 2-nél de legfeljebb 7; jelölése: 2<x 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Relációk – számhalmazok

A kerekítendő helyiérték után álló 0; 1; 2; 3; 4 számjegyeket lefelé kerekítem, a kerekítés:

pl.: 34 30 (tízesre)

6728 6700 (százasra)

92027 92000 (ezresre) az 5; 6; 7; 8; 9 számjegyeket felfelé kerekítem, a kerekítés

pl.: 39 40 (tízesre)

6768 6800 (százasra) 92527 93000 (ezresre)

Mondd el a kerekítés szabályát!

8 + 6 = 14 összeadandók összeg

Mi az összeadásnál szereplő komponensek neve?

25 - 13 = 12 kisebbítendő kivonandó különbség

Mi a kivonásnál szereplő komponensek neve?

tényezők

8 * 6 = 48 szorzandó szorzó szorzat

Mi a szorzásnál szereplő komponensek neve?

másodperc perc óra

1 sec < 1 min < 1 h < 1 nap 60 60 24

Példák az átváltásokra:

1 hét = 7 nap = …?…min (perc)

1 sec < 1 min < 1 h < 1 nap 60 60 24

7 nap=7*24*60perc=10 080 perc

1 hét = 7 nap = 10 080 min (perc) 1 h (óra) = …?…sec (másodperc)

1 sec < 1 min < 1 h < 1 nap 60 60 24

1 óra=60*60másodperc=3 600 másodperc

1 h (óra) = 3 600 sec (másodperc) 3h 20min =200min (3h=180min) 30perc =fél óra 15perc =egynegyed óra 45perc =háromnegyed óra

Melyek az idő mértékegységei? (váltószámokkal)

1. Egy „a” számnak egy „b” szám akkor osztója, ha „a : b” nincs maradék. a : 1 nincs maradék minden

számnak osztója az 1; a : a nincs maradék minden

számnak osztója önmaga. 60 osztói

1 2 3 4 5 6

10 12 15 20 30 60 2. Egy „a” szám többszörösét úgy kapjuk meg, hogy az „a” számot szorozzuk bármely természetes számmal.

aetöbbszörös

etöbbszörös

3 többszörösei 0 3 6 9 12 15 27 30 300 4212 …

Véges számú elem

Végtelen sok elem

Mely számokat nevezzük egy szám osztójának, többszörösének?

tényezők

16 : 8 = 2 osztandó osztó hányados

17 : 8 = 2 1 maradék

Mi az osztásnál szereplő komponensek neve?

1. zárójel felbontása, 2. szorzás, osztás balról jobbra,

(szorzás, osztás azonos prioritású) 3. összeadás, kivonás balról jobbra,

(összeadás, kivonás azonos prioritású)

pl.: 6 10 42:7*8-(15–9)*3+5*12:(20:2)= = 42:7*8-6*3+5*12:10= balról jobbra balról jobbra

= 48 - 18 + 6 = 36 balról jobbra

Mi a műveletek sorrendje, ha egy feladatban mind a négy alapművelet szerepel, sőt még zárójel is?

Összeg osztása kétféleképpen: Először elvégzem a zárójelben lévő műveletet, (36 + 27) : 3 = 63 : 3 = 21

felbontom a zárójelet, de akkor mindkét tagot elosztom, hiszen azért van zárójelben, mert mindkét tagra vonatkozik az osztás: (36 + 27) : 3=36 : 3+27 : 3=12 + 9 = 21 Különbség osztása kétféleképpen: (42 – 14) : 7 = 28 : 7 = 4

vagy (42 – 14) : 7 =42 : 7 – 14 : 7 =6 – 2 = 4

Hogyan végezzük el az összeg és különbség osztását kétféleképpen?

1. Egy autó 4 óra alatt 328 km-t tett

meg, milyen távolságra jut el ugyanilyen sebességgel 7 óra alatt?

4 óra alatt 328 km 1 óra alatt 328 : 4 = 82 km 7 óra alatt 82 * 7 = 574 km-re jut el.

2. Édesanya paradicsomot főz be. Ha 7 dl-es üvegekbe tölti a fazék paradicsomot, akkor 15 üveg lesz tele. Hány üveget tölthet tele, ha fél literes üvegei vannak?

7 dl-es üvegekből 15 db kell 1 dl-es üvegekből 7 * 15 = 105 db kellene 5 dl-es üvegekből 105 : 5 = 21 db kell.

a. Az egyik mennyiség változása maga után vonja a másik mennyiség megváltozását is.

b. Vigyázz, ez a változás különböző is lehet! c. Mielőtt megoldod a feladatot, gondold át,

hogyan is történik ez a valóságban! Becsülj, majd számolj!

Arányos következtetések

Az egyenlet olyan egyenlőség, amely az ismeretlennek csak egy meghatározott értékére igaz.

a * 3 + 18 = 39 *3 +18 : 3 - 18 a = 7 (b * 2 - 36) : 4 = 50 *2 -36 : 4 : 2 +36 *4 b = 118

az egyenlet felépítése

az egyenlet lebontogatása

Egyenletek

Ábrázolás grafikonon: Felveszünk két egymásra merőleges

tengelyt, A tengelyek végére a növekedés

irányába nyilat teszünk, A tengelyeket elnevezzük az

ábrázolni kívánt mennyiségek szerint,

A tengelyeken felvesszük az egységet = távolság,

távolság értékét, A tengelyek metszéspontja

legtöbbször a „(0;0)” pont. 6 5 4 3 2 1 0

idő (óra) 1 2 3 4 5 6 7

út (km)

Grafikonok

Helyiérték táblázatok különböző számrendszerekben: Kettes számrendszer alaki értékei: 0;1

64 32 16 8 4 2 1 helyiért.

1 0 1 0 1 1 43 tízesben 1*32+0*16+1*8+0*4+1*2+1*1= 43 Hármas számrendszer alaki értékei: 0;1;2 243 81 27 9 3 1 helyiért.

2 0 2 1 61 tízesben 2*27+0*9+2*3+1*1= 61 Négyes számrendszer alaki értékei: 0;1;2;3

1024 256 64 16 4 1 helyiért.

1 0 3 2 78 tízesben 1*64+0*16+3*4+2*1= 78 Ötös számrendszer alaki értékei: 0;1;2;3;4 3125 625 125 25 5 1 helyiért.

1 4 2 1 3 1183 tízes. 1*625+4*125+2*25+1*5+3*1=1183 Tizenhatos számrendszer alaki értékei: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A(=10); B(=11); C(=12); D(=13); E(=14); F(=15)

… 4096 256 16 1 helyiért.

A B C 2748 tízes. 10*256+11*16+12*1=2748

Számrendszerek

A síkidom a síknak vonallal vagy vonalakkal körülhatárolt része: A sokszög olyan síkidom, amelyet csak egyenes szakaszok határolnak. Nem hurkolt, nem lyukas.

Milyen mértani alakzat a síkidom, a sokszög?

ár hektár 1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1a<1ha<1 km2 100 100 100 100 100 100

5 ha = …?…m2

1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1a<1ha<1 km2 100 100 100 100 100 100

5ha=5*100*100m2=5*10 000 m2=50 000 m2

5 ha = 50 000 m2

1 m2 = …?…mm2

1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1a<1ha<1km2 100 100 100 100 100 100

1m2=1*100*100*100mm2=1*1 000 000mm2= =1 000 000 mm2

1 m2 = 1 000 000 mm2 15dm2 =1 500cm2 1m2 5cm2 =10 005cm2 (mert 1m2 = =10 000cm2) 1m2 500dm2 =6m2 (mert 100dm2= 1m2)

Melyek a terület mértékegységei? (váltószámokkal)

A téglalap kerülete: A négyzet kerülete: b a a a K = a + b + a + b K = a + a + a + a K = 2*a + 2*b K = 4*a K = 2*(a+b) A téglalap területe: A négyzet területe: b a a a T = a*b T = a*a = a2

A négyzet és a téglalap kerülete és területe

Kerület, terület, felszín, térfogat életszerűen:

Mit értünk a következő fogalmak alatt: kerület, terület, felszín, térfogat?

Kerület: a kertem körülkerítéséhez elhasznált drót hossza.

Terület: a kertemben felásott föld területe.

Felszín: a testet beborító lapok területének összege.

Térfogat: az a vízmennyiség, amivel ezt az edényt tele tudom tölteni.

1 mm3 < 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 1000 1000 1000 Példák az átváltásokra: 12 m3 6 cm3 = …?…cm3 1 mm3 < 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 1000 1000 1000

12m3=12*1000*1000cm3=12*1 000 000cm3= =12 000 000cm3 12 000 000 cm3 + 6 cm3 = =12 000 006 cm3

1 m3 =1000 dm3 1 dm3 =1000 cm3 1 cm3 =1000 mm3 1m3 =1000*1000*1000 mm3= =1 000 000 000 mm3

Melyek a térfogat mértékegységei? (váltószámokkal)

Téglatest hálózat A = 2*(a*b+a*c+b*c) (Felszín = Area) V = a * b * c (Térfogat = Volumen) Kocka hálózat a A = 6*a*a (=6*a2) (Felszín)

V = a*a*a (= a3)

(Térfogat)

Vázold föl a téglatest, a kocka hálózatát! Számítsd ki a téglatest, a kocka felszínét, térfogatát!

1 cm3 1 dm3 1 ml < 1 cl < 1 dl < 1 l < 1 hl 10 10 10 100

magyarázat:

az 1 liter ezredrésze 1 ml és

az 1 dm3 ezredrésze 1 cm3

2 hl 52 liter = …?…dl 1 ml < 1 cl < 1 dl < 1 l < 1 hl 10 10 10 100

2hl=2*100*10dl=2*1000dl=2 000dl

1 ml < 1 cl < 1 dl < 1 l < 1 hl 10 10 10 100

52liter=52*10dl==520dl 2 hl 52 liter = 2520 dl

Milyen űrmértékeket ismersz? (váltószámokkal)

Ellentettje: - 6 ellentettje +6 0 ellentettje 0 +8 ellentettje –8 Abszolútértéke: - 6 = + 6 0 = 0 + 8 = + 8

Az abszolútérték a nullától való távolság. MINDIG POZITÍV!

Mennyi az ellentettje? Mennyi az abszolútértéke?

Ha ++pozitív számot adunk hozzá,

-2++5= +3 nő

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Ha +-negatív számot adunk hozzá,

+2+-6= -4 csökken

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Ha -+pozitív számot vonunk ki,

+4-+5= -1 csökken

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Ha --negatív számot vonunk ki?

-3--7= +4 nő

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Merre lépünk a számegyenesen és hogyan változik az összeg vagy különbség értéke?

y A F B E x

-1 0 1 C -1 D

A ( 2 ; 3 ) B (-4 ; 0 ) C (-2 ;-2 ) D ( 1 ;-5 ) E ( 3 ; 0 ) F ( 0 ; 2 ) P ( x ; y )

Rajzolj koordináta-rendszert! Ábrázolj néhány pontot.

A szorzás előjelszabálya:

Az osztás előjelszabálya:

+2 * +5 = +10 +1 * +5 = +5 0 * +5 = 0 1 * +5 = 5 2 * +5 = 10

+2 * 5 = 10 +1 * 5 = 5 0 * 5 = 0 1 * 5 = +5 2 * 5 = +10

+*+ = + *+ =

* = + +* =

+10:+5 = +2 mert +2 * +5 = +10 +10:5 = 2 mert 2 * 5 = +10 10:+5 = 2 mert 2 * +5 = 10 10: 5 = +2 mert +2 * 5 = 10

Ha a szorzandó vagy szorzó nulla, akkor a szorzat is nulla!

Mi a szorzás és az osztás előjelszabálya?

+:+ = + :+ =

: = + +: =

Ha az osztandó nulla, akkor a hányados is nulla! Ha az osztó nulla, akkor az osztás ÉRTELMETLEN!

A szögmérés mértékegységei: 1 szögmásodperc < 1 szögperc < 1 fok

1” < 1’ < 1 60 60 Pl.: 3 5’ = 185’ (mert 3=3*60’=180’) 1 = 3600” (mert 1 = 60’; 1’ = 60” tehát 1 = 60*60 = 3600”) 100’ = 1 40’ 30’ = fél fok

Melyek a szögmérés mértékegységei? (váltószámokkal)

A szögek fajtái:

nullszög = 0 0<hegyesszög<90 derékszög=90 90<tompaszög<180 egyenesszög=180 180<homorúszög<360 teljesszög=360

Milyen szögfajtákat ismersz?

A törtvonal osztást helyettesít

A tört nevezője megmutatja, hogy az egészet hány egyenlő részre osztottuk

A tört számlálója megmutatja, hogy az egész felosztása után az egyenlő részekből hányat vettünk

Milyen műveleti jelet helyettesít a törtvonal? Mit mutat meg a tört nevezője, számlálója?

A tört bővítése: a tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal megszorzom. A szorzó nem lehet nulla! Pl.:

Értelmezd a tört bővítését!

A tört egyszerűsítése: A tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal elosztom. Az osztó nem lehet nulla! Pl.:

25:125

25:1004

Értelmezd a tört egyszerűsítését!

Törteket úgy adunk össze, hogy közös nevezőre hozzuk őket, majd a számlálókat összeadjuk, a közös nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Pl.:

Törteket úgy vonunk ki, hogy közös nevezőre hozzuk őket, majd a számlálókat értelemszerűen kivonjuk, a közös nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Pl.:

Hogyan adunk össze törteket? Hogyan vonunk ki törteket?

Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy a számlálót megszorozzuk az egésszel, a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.

Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy a számlálót elosztjuk az egésszel, a nevezőt pedig változatlanul leírjuk.

Pl.: 5

Ha a számláló nem osztható az egésszel, akkor a számlálót változatlanul leírjuk, a nevezőt pedig megszorozzuk az egésszel.

Pl.: 15

mert a 5

4 bővítve 3-mal

Törtet egész számmal hogyan szorzunk, osztunk?

Egyenesre külső pontból húzott szakaszok közül a legrövidebb merőleges az egyenesre P f e jelölése: f e Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nem metszik egymást a b jelölése: a b

Mikor merőleges két egyenes egymásra? Mikor párhuzamos két egyenes egymással?

k r O A körvonal adott ponttól adott távolságra levő pontok halmaza a síkon. a körvonal: k adott pont: O adott távolság: r

Milyen mértani alakzat a körvonal?

r O A sugár a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz. d O Az átmérő a kör két pontját összekötő szakasz, amely átmegy a kör középpontján.

d =2r (az átmérő hossza = 2 sugár hosszával)

r : sugár

d : átmérő

Milyen mértani alakzat a kör sugara, átmérője?

r h O A húr a kör két pontját összekötő szakasz.

h r (a húrra merőleges sugár felezi a húrt)

r s O A szelő a körön átmenő egyenes.

h : húr

s : szelő

Milyen mértani alakzat a kör húrja, szelője?

e O r E Az érintő a körhöz viszonyítva olyan helyzetű egyenes, amelynek a körrel csak egy közös pontja van.

e r (az érintő merőleges az érintési pontba - E - húzott sugárra)

e : érintő

Milyen mértani alakzat a kör érintője?

A háromszög a síknak három (egyenes) szakasz által határolt része Speciális háromszögek:

Általános háromszög:minden oldala és minden szöge különböző

Van 2 egyenlő oldala

Mindhárom oldala egyenlő

Van derékszöge

Van 2 egyenlő oldala és van derékszöge

Milyen mértani alakzat a háromszög?

Egyenlő szárú háromszög

Egyenlő oldalú háromszög

Derékszögű háromszög

Egyenlő szárú derékszögű háromszög

A négyszög a síknak négy (egyenes) szakasz által határolt része Speciális négyszögek:

téglalapok

paralelogrammák

trapézek

deltoidok

Milyen mértani alakzat a négyszög?

minden szöge egyenlő

2 párhuzamos oldalpárja van

1 párhuzamos oldalpárja van

2-2 szomszédos oldala egyenlő

A trapézek származtatása: ha két párhuzamos egyenest úgy metszek el másik két egyenessel, hogy négyszög keletkezik, akkor az a négyszög trapéz.

A trapézek származtatása

síkidomok

sokszögek

négyszögek

trapézek

paralelogrammák

téglalapok rombuszok

A síkidomok rendszerezése

A trapéz olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala c a a c „a” párhuzamos „c” Speciális trapézek:

Egyenlőszárú trapéz

Derékszögű trapéz

Milyen mértani alakzat a trapéz?

Van 2 egyenlő oldala

Van derékszöge

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja a b b a a a „a” párhuzamos „a” és b b „b” párhuzamos „b” Speciális paralelogrammák:

téglalapok

rombuszok

Milyen mértani alakzat a paralelogramma?

minden oldala egyenlő

minden szöge egyenlő

A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő (derékszög) a b b a K = a+b+a+b = 2*a + 2*b = 2*(a + b) T = a * b Speciális téglalap: négyzet

Milyen mértani alakzat a téglalap?

minden oldala és minden szöge egyenlő

A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő a b b a a a b b K = 4 * a K = 4 * b Speciális rombusz: négyzet

Milyen mértani alakzat a rombusz?

minden oldala és minden szöge egyenlő

A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő (szabályos négyszög) a a a a K = a+a+a+a = 4*a T = a*a = a2

Milyen mértani alakzat a négyzet?

Szakaszfelező merőleges szerkesztése: f B A f AB f felezi AB-t Merőleges szerkesztése egyenes adott pontjába az egyenesre: m P e e m

Szerkesztések

1. felveszem az egyenest: e, 2. felveszek rajta egy pontot: P, 3. a P mindkét oldalára

felmérek egy (tetszőlegesen választott, de) ugyanakkora távolságot az egyenesen,

4. a kijelölt két metszéspontot egy szakasz két végpontjának tekintem, amely szakasznak megszerkesztem a felező merőlegesét: m,

5. a felező merőleges P-ben e-re.

1. felveszek egy AB szakaszt, 2. a szakasz mindkét oldalán a

szakasz felénél nagyobbra nyitott körzővel köríveket húzok A és B pontból is úgy, hogy azok messék egymást (az ábra szerint)

3. a 2-2 körív metszéspontját összekötöm, ez az egyenes (f) lesz a szakasz felező merőlegese

HELYIÉRTÉK TÁBLÁZAT egészrész törtrész

3 5 2 8 , 2 1 0 1 , 0 4 5 1 6 5 4 0 0 1 , 0 8 0 , 6 5 0 , 0 0 1

tizedesvessző 3 528m 2dm = 3 528,2m 101m 45mm = 101,045m 1 654 001m 8cm = 1 654 001,08m 65cm = 0,65m 1mm = 0,001m

Hogyan jutunk a tizedes törtekhez?

t í z e s

szá z a s

e z r e s

t í z e z r e s

sz á z e z r e s

m i ll i ó s

t i z e d

sz á z a d

e z r e d

tí z e z r e d

Tizedes törteket úgy adunk össze, mintha természetes számok lennének, de ha odaérünk a tizedesvesszőhöz, kitesszük azt az összegben is. pl.: 34,25 172,2 +63,845 270,295 Tizedes törteket úgy vonunk ki, mintha természetes számok lennének, de ha odaérünk a tizedesvesszőhöz, kitesszük azt a különbségben is. pl.: 483,50 -69,78 413,72

Hogyan adunk össze, vonunk ki tizedes törteket?

10-zel, 100-zal, 1000-rel úgy szorzunk, hogy annyi hellyel visszük jobbra a tizedesvesszőt a szorzatban, amennyi nulla a szorzóban van. pl.:

6,425 * 10 = 64,25 6,425 * 100 = 642,5

6,425 * 10000 = 64250

10-zel, 100-zal, 1000-rel úgy osztunk, hogy annyi hellyel visszük balra a tizedesvesszőt a hányadosban, amennyi nulla az osztóban van. pl.:

6,425 : 10 = 0,6425 6,425 : 100 = 0,06425 6,425 : 10000 = 0,0006425 itt volt a tizedesvessző

Hogyan szorzunk, osztunk 10-zel, 100-zal, 1000-rel?

Tizedes törteket úgy szorzunk össze, mintha természetes számok lennének, de a szorzatban annyi jegyet vágunk le hátulról, amennyi a tényezőkben összesen van. pl.: 2 1 1,32 * 0,6 0,792 3 1,32 2 tizedes jegy 0,6 1 tizedes jegy 0,792 2+1=3 tizedes jegy vagy 1 1 23,8 * 45,2 952 1190 476 1075,76 2

Hogyan végzed el a szorzást a tizedes törtek körében?

A részletszorzatokban

nem tesszük ki a tizedesvesszőt!

Tizedes törtet egész számmal úgy osztunk, mintha természetes szám lenne, de ha odaérünk a tizedesvesszőhöz, kitesszük azt a hányadosban is. pl.:

163,5 : 25 = 6,54 13 5 100

Tizedes törtet egész számmal hogyan osztunk?

Átlag kiszámítása: Kinek jobb a matematika tanulmányi átlaga, ha Jancsi jegyei: 3, 4, 2, 5, 3, 3, 1, 2, 4, 5 Kati jegyei: 5, 1, 5, 2, 3, 3, 3, 4 Jancsi:

5421335243

43332515

3,2 < 3,25 ezért Jancsi átlaga < Katiénál

kSzámaMennyisége

kÖsszegeMennyiségeÁtlag

Átlagszámítás

Mivel a törtvonal osztást helyettesít, a tört számlálóját osztjuk a tört nevezőjével. pl.:

75,04:34

3 véges tizedes tört

6,06666,03:23

2 végtelen

tizedes tört

Hogyan váltjuk át a törteket tizedes törtre?

hatványkitevő

23 = 8 hatványalap hatvány (kijelölt hatvány) (kiszámított hatvány) 20 = 1 (-2)0 = 1 a0 = 1, ha a 0 21 = 2 (-2)1 = -2 a1 = a

Milyen elnevezések szerepelnek a hatványozásnál?

Bármely szám nulladik hatványa egy.

Bármely szám első hatványa önmaga.

180 2 24 2 90 2 12 2 45 3 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 180 = 22 * 32 * 5 24 = 23 * 3 Legnagyobb közös osztó: kiválogatom a közös előforduló tényezőket az előforduló legkisebb hatványon: ( 180 ; 24 ) = 22 * 3= 12 Legkisebb közös többszörös: kiválogatom az összes előforduló tényezőt az előforduló legnagyobb hatványon: [ 180 ; 24 ] = 23 * 32 * 5 = 360

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.

2 –vel a

0-ra, 2-re, 4-re, 6-ra, 8-ra végződő számok oszthatók. Pl.: 26; 132; 2574; 590; 1008

5 –tel a 0-ra, 5-re végződő számok oszthatók. Pl.: 20; 135; 2575; 900

10 –zel a 0-ra végződő számok oszthatók.

Pl.: 20; 2570; 900

Mely számok oszthatók 2-vel, 5-tel, 10-zel?

4 –gyel azok a számok oszthatók, amelyeknek a két utolsó számjegye egybeolvasva osztható 4-gyel. Pl.: 20; 132; 2576; 99008

25 -tel azok a számok oszthatók, amelyeknek a két utolsó számjegye egybeolvasva osztható 25-tel. Pl.: 75; 150; 2525; 99000

100 -zal azok a számok oszthatók, amelyek legalább két nullára végződnek.

Pl.: 200; 13000; 2500; 990000

Mely számok oszthatók 4-gyel, 25-tel, 100-zal?

3 -mal

azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. Pl.: 1257 mert 1+2+5+7=15 15:3 = egész szám

9 -cel azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel. Pl.: 8253 mert 8+2+5+3=18

18:9 = egész szám 6 -tal

azok a számok oszthatók, amelyek oszthatók 2-vel és 3-mal is.

Pl.: 72516 vagy 1212

Mely számok oszthatók 3-mal, 9-cel, 6-tal?

Prímszám (törzsszám) az a szám, amelynek pontosan két osztója van (1 és önmaga). Pl.: 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; … Összetett szám az a szám, amelynek kettőnél több osztója van. Pl.: 0; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15;…

Prímszám, összetett szám

Valós számok (R)

Racionális sz. (Q) Irracionális sz. (I) Egész számok (Z) Természetes számok (N) -2,3 0,9 1,83

-60 0 15 -100 0,45

0 1526 4

A számhalmazok rendszerezése.

0,10110111

Törtet törttel úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát elosztjuk a nevezők szorzatával.

Pl.: 15

Hogyan szorzunk törtet törttel?

Törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprok (=fordított) értékével szorzunk.

Törttel hogyan osztunk?

Tizedes törttel úgy osztunk, hogy az osztandót és az osztót bővítjük osztás előtt annyira, hogy az osztó egész szám legyen. *100 *100

Pl.: 11,5 : 0,23 = 115’0’ : 23 = 50 0 0 vagy 0 *10 *10

342,528 : 7,5=342’5’,2’8’ : 75=45,6704 42 5 5 0 2 5 2 8 30 300 0

Hogyan osztunk tizedes törttel?

Hogyan felezünk szakaszt, szöget?

1. Felveszek egy AB szakaszt,

2. a szakasz mindkét oldalán a szakasz felénél nagyobbra nyitott körzővel köríveket húzok A és B pontból is úgy, hogy azok messék egymást (az ábra szerint)

3. a 2-2 körív metszéspontját összekötöm, ez az egyenes (f) lesz a szakasz felező merőlegese.

1. Felveszek egy szöget, 2. a szög csúcsából

tetszőleges körzőnyílással meghúzom a szögtartományt,

3. a körív és a szög szárainak metszéspontjából tetszőleges nagyságú, de két egyenlő, egymást metsző körívet húzok a szögtartományon belül,

4. a két körív metszéspontját összekötöm a szög csúcsával, ez a félegyenes (s) lesz a szögfelező.

m P e e m 1. felveszem az egyenest: e, 2. felveszek rajta egy pontot: P, 3. a P mindkét oldalára felmérek egy

(tetszőlegesen választott, de) ugyanakkora távolságot az egyenesen,

4. a kijelölt két metszéspontot egy szakasz két végpontjának tekintem, amely szakasznak megszerkesztem a felező merőlegesét: m,

5. a felező merőleges P-ben e-re.

Merőleges szerkesztése egyenes adott pontjába.

K h j h j 1. felveszem az egyenest: j, 2. felveszek rajta kívül egy pontot: K, 3. K és j távolságánál kicsit nagyobbra

nyitva a körzőmet rajzolok egy körívet (tálacska), amely elmetszi j-t két helyem,

4. A körív j-ből kivág egy szakaszt, amit megfelezek,

5. A felező merőleges adja K-ból a j-re állított merőlegest.

Merőleges szerkesztése egyenesre külső pontjából.

Szögek szerkesztése: 60 mert 6*60=360 60-os szög szerk.: 60 30-os szög szerk.: 60 felezésével

30 120 120-os szög szerk.: 60 duplázásával

Szögek szerkesztése

1. felveszek egy félegyenest, 2. a félegyenes végpontjából

húzok egy körívet, amely metszi a félegyenest,

3. ugyanezt a körzőnyílást rámérem a félegyenestől a körívre,

4. a kapott pontot és a félegyenes végpontját összekötöm.

C b a A c B A, B, C, az ábécé nagybetűi a csúcsokon az óramutató járásával ellentétes irányban; a, b, c, az ábécé kisbetűi az oldalakon, a megfelelő csúccsal szemben (A csúcs a oldal, stb,)

, a görög ábécé kisbetűi a szögek, a megfelelő csúcsban (A csúcsban szög, stb,)

befogó átfogó befogó

Jelöld a háromszög oldalait, csúcsait, szögeit!

Oldalai szerint:

általános háromszög, oldalai különböző hosszúak;

egyenlő szárú háromszög, két oldala egyenlő hosszú;

egyenlő oldalú háromszög, minden oldala egyenlő hosszú.

Szögei szerint:

hegyesszögű háromszög, minden szöge hegyesszög;

derékszögű háromszög, van derékszöge;

tompaszögű háromszög, van tompaszöge.

Csoportosítsd a háromszögeket oldalai és szögei szerint!

A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög külső szögeinek összege 360.

Hány fok a háromszög belső-és külső szögeinek összege?

1. Vágj ki papírból egy háromszöget,

2. Jelöld a szögeit, 3. Hajtsd össze az

ábra szerint, 4. = 180,

hiszen együtt egyenesszöget alkotnak.

+’= 180 +’= 180 + ’ = 180 összesen: 540 ebből ++=180 tehát

’+’+’=360

Összefüggés a háromszög szögei között: ’ 180 ’’’360 +’= 180 ’=+ Összefüggés a háromszög oldalai között: c b c b a

a+b>c a+c>b

Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között. Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között.

Belső szögek összege 180 Külső szögek összege 360 Belső + mellette külső szög 180 Külső szög = két nem mellette fekvő belső szög összegével

A háromszögben két oldal összege mindig nagyobb a

harmadik oldalnál

60 2x x 90 30 t 90 30 x 60 Az átfogó kétszerese a rövidebb befogónak (a tükrözöttel együtt egyenlő oldalú háromszöget alkotó háromszögből következik)

Mit tudunk a 30-, 60-os derékszögű háromszög oldalairól?

Rajzold le egy téglatest és egy kocka hálózatát!

1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1ár<1ha< 1km2 100 100 100 100 100 100 Példák az átváltásokra: 3,2 ha = …?...m2

1mm2<1cm2<1dm2<1m2<1ár<1ha< 1km2 100 100 100 100 100 100 3,2 ha =3,2*100*100 m2=32 000 m2 3,2 ha = 32 000m2 12,5 cm2 = …?….dm2 12,5 cm2 = …….dm2 12,5 cm2 = 0,125 dm2

Melyek a terület mértékegységei?

Ha nő a mértékegység, akkor csökken a mérőszám. Ahányszorosára nő a mértékegység, ugyanannyiad részére csökken a mérőszámTermészetesen, ez fordítva is igaz.

c b a A = (a*b + a*c + b*c ) *2 (felszín) a a a A = a * a * 6 = 6 * a2

Hogyan számítod ki a téglatest, a kocka felszínét?

1. 2. 3.

1 mm3 < 1 cm3 < 1 dm3 < 1 m3 1000 1000 1000 Példák az átváltásokra: 2,85 m3= …?...hl

2,85 m3= 2850 dm3=2850 liter =28,5 hl 2,85 m3= 28,5hl

Melyek a térfogat mértékegységei?

c b a V = a * b * c (térfogat) a a a V = a * a * a = a3

Hogyan számítod ki a téglatest, a kocka térfogatát?

Arányos osztás: Osszunk fel egy szakaszt 2 : 3 : 5

arányban: 10 rész

2 rész 3 rész 5 rész Egy munkán négyen dolgoztak.

Ali 4, Berci 3, Csabi 7 és Dani 1 órát. Mennyi pénz jár a gyerekeknek külön-külön, ha összesen 3 000 forintot kaptak a munkáért? 3 000 : (4+3+7+1)=3 000 : 15 = 200 200 * 4 = 800 Ft Alinak 200 * 3 = 600 Ft Bercinek 200 * 7 =1400 Ft Csabinak 200 * 1 = 200 Ft Daninak 3 000 Ft összesen

Arányos osztás

Két mennyiség egyenesen arányos, ha az egyik mennyiség növekedése esetén a másik mennyiség is ugyanannyiszoro-sára nő, vagy az egyik mennyiség csökkenése esetén a másik mennyiség is ugyanannyiad részére csökken. Pl.: 1 kg alma 60 Ft 5 kg alma 60 * 5 = 300 (Ft)

10 m szalag 200 Ft 3 m szalag x Ft 10 m szalag 200 Ft 1 m szalag 200 : 10 = 20 3 m szalag 20 * 3 = 60 (Ft)

Az egyenes arányosság képe a koordináta-rendszerben a (0;0) ponton átmenő egyenes.

Egyenes arányosság

Két mennyiség fordítottan arányos, ha az egyik mennyiség növekedése esetén a másik mennyiség ugyanannyiad részére csökken, vagy az egyik mennyiség csökkenése esetén a másik mennyiség ugyanannyiszorosára nő. Pl.: Egy kosár uborkát teszünk el télre.

1 literes üvegből 15 db kell 3 literes üvegből 15:3=5 (db)

vagy Vízelvezető árkot kell ásni.

5 munkás 6 nap alatt 3 munkás x nap alatt 5 munkás 6 nap alatt 1 munkás 6 * 5 = 30 nap alatt 3 munkás 30 : 3 = 10nap alatt

A fordított arányosság képe a koordináta-rendszerben hiperbola.

Fordított arányosság

Alap (100%), jele: a, pl.: 200 Ft-nak

százalékláb, jele: p, pl.: 30%-a

százalékérték, jele: e, pl.: 60 Ft.

Milyen mennyiségek szerepelnek a százalékszámításnál?

Az 1% 100

1 része az egésznek.

Az 1% hányad része az egésznek?

Mennyi 200 forintnak a 30%-a?

a.: 200 p.: 30% (0,30) e.: 60 (Ft)

*bszázaléklá

alaptékszázalékér

603,0*200100

Melyik számnak a 30%-a a 200 forint? p.: 30% e.: 200

a.: 666,6

:bszázaléklá

tékszázalékéralap

66,6663,0:200100

Hány százaléka a 200-nak a 30? a.: 200

e.: 30 p.: 15%

100*alap

tékszázalékérbszázaléklá

15100*200

30100*

Százalékszámítás

Arány 3:4

Tört 4

Tizedes tört 0,75 (=3:4)

Százalékalak 75% (=100

Arány, tört, tizedes tört, százalékalak

egyenlők

A tengelyes tükrözés és tulajdonságai:

tengelyA’

AB = A’B’ BC = B’C’ CA = C’A’ AT1 = A’T1 BT2 = B’T2 CT3 = C’T3 AA’ a tengelyre BB’ a tengelyre CC’ a tengelyre Szögtartó transzformáció

Tengelyes tükrözés

A körüljárási irány ellenkezőjére változik.

C t A T B AC = BC AT = BT AB CT = t felezi - t

Melyek a tükrös háromszög tulajdonságai?

AB alap AC szár BC szár

A B D t C AB = AD CB = CD BE = DE AC BD = t felezi - t és - t

Melyek a deltoid tulajdonságai?

A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő.

D t1 A E C t2 B AB = BC = CD = DA AE = EC és BE = ED AC BD = és = -t és -t felezi t2 -t és -t felezi t1 + = 180 + = 180 + = 180 + = 180

Melyek a rombusz tulajdonságai?

A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő

A D t B C AD BC AB = CD AC = BD = és = + = 180 + = 180 Az egyenlőszárú trapéz olyan négyszög, amelynek van a csúcsán át nem menő szimmetriatengelye.

Melyek a húrtrapéz tulajdonságai?

AD és BC alapAB és CD szárAC és BD átló

Egyenlőszárú háromszög területe: ma b a Deltoid területe: e f b a Bármely sokszög kerülete = az oldalak hosszúságának összege.

Az egyenlőszárú háromszög és a deltoid kerülete, területe?

Ttéglalap = a*b b = ma

Tháromszög = 2

Ttéglalap = a*b a = e és b = f

Tdeltoid = 2

Az elsőfokú egyenlet olyan egyenlőség, amely az ismeretlennek egy meghatározott értékére igaz.

Pl.: 3x + 2 = 17 x = 5

Az azonosság olyan egyenlőség, amely az ismeretlennek bármely értékére igaz.

Pl.: 2*(x + 2) = 2x + 4 x = bármely racionális szám

Egyenlet, azonosság

A két oldal egyenlő változtatása:

26*3:.

3:/183

2/2023

Egyenlet felépítése *3 +2 :5 -1 :3 -2 *5 +1 Egyenlet lebontogatása (megoldása)

Mérlegelv egyenletmegoldáskor

N = {természetes számok}: a pozitív egész számok és a nulla

N Naturális = természetes

Z = {egész számok}: a természetes számok és azok ellentettjei Z Zahlen = számok

Q = {racionális számok}: egész-és törtszámok, amelyek felír- hatók két egész szám hányadosaként Q Quotiens = hányados

R ={valós számok}: racionális + irracionális számok

R Reális

Számhalmazok jelölése

Hatványok szorzata: a2*a3 = a2+3 = a5 (a*a)*(a*a*a) = a*a*a*a*a = a5

Hatványok hányadosa:

a = a5-3 = a2

**** = a*a = a2

Szorzat hatványa: (a*b)3 = a3 * b3 (a*b)*(a*b)*(a*b)=a*a*a*b*b*b=a3*b3 Hányados hatványa:

Hatvány hatványa (a2)3 = a2*3 = a6 (a*a)*(a*a)*(a*a)= a*a*a*a*a*a= a6

Egyebek:

a0 = 1 ; a1 = a ; a-3 = 3

Hatványozás azonosságai

a0 ; a0

A számok normálalakja kéttényezős szorzat: a*10k amelyben az első tényező: a

1 |a| <10; a második tényező: 10k

10 egész kitevőjű hatványa. PL.: 5627 = 5,627 * 103 560000 = 5,6 * 105 5,6 = 5,6 * 100 56 = 5,6 * 101 0,056 = 5,6 * 10-2 0,0005627 = 5, 627 * 10-4

Számok normálalakja

Mennyiségek törtrészének kiszámítása a mennyiség

törttel való szorzását jelenti pl.:

Mennyi 120 kg-nak a 4

3része?

Szorzással:

120 * 4

3 = 90 (kg)

Következtetéssel:

120 kg-nak az 4

1 rész 120 : 4 = 30 (kg)

3 része 30 *3 = 90 (kg)

Felástam a 60 m2-es kertem 3

2 részét,

a felásott terület 5

4 részébe kukoricát

ültetek. Hány m2 a kukoricás területe?

60 m2 *3

4 = 32 (m2)

Mennyiségek törtrésze

Statisztikai számítások egy dolgozat jegyeinek előfordulásából:

1 2-es 3-as 4-es 5-ös 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1-es 5-ös 2-es 4-es 3-as

Szalagdiagram

jegy 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös

tanulók száma 1 4 12 8 5

Kördiagram 100% 30 fő 1 fő 3% 3*3,6=10,8 4 fő 13% 13*3,6=46,8 12 fő 40% 40*3,6=144 8 fő 27% 27*3,6=97,2 5 fő 17% 17*3,6=61,2 100% 360

Pontdiagram Oszlopdiagram

Statisztikai számítások

12 10 8 6 4 2

1210 8 6 4 2

Összevonás: 3x +12 – 2x + 7 = 1x +19 = x+19 Zárójelfelbontás:

5*(2x – 7) 10x – 35 - (6 – 3x + 2) - 6 + 3x – 2 - 3*(5x + 2 – 9y) - 15x –6 +27y Tört az egyenletben:

xxxxxx

4/*974

8)7(24

Az egyenletmegoldásnál felmerülő problémák

Tört előtti „mínusz jel” egyenlő zárójel előtti „mínusz jel”

A vektor irányított szakasz Két vektor egyenlő, ha egyenlő hosszúak és egyirányúak Jelölése: AB vektor: A B vagy a vektor:

a AB és BA ellentettje egymásnak: A B A B

A vektor

A szögek fajtái

nullszög = 0 0<hegyesszög<90 derékszög = 90 90<tompaszög<180 egyenesszög =180 180<homorúszög<360 teljesszög = 360

O r r d h s e r e r

A körvonal, sugár, átmérő, húr, szelő, érintő.

A körvonal adott ponttól (O) adott távolságra (r) levő pontok halmaza a síkon. A sugár (r ) a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz. Az átmérő (d) a kör két pontját összekötő szakasz, amely átmegy a kör középpontján.

d =2r A húr (h) a kör két pontját összekötő szakasz. h r A szelő a körön átmenő egyenes. s r Az érintő a körhöz viszonyítva olyan helyzetű egyenes, amelynek a körrel csak egy közös pontja van ( E ).

A körcikk, körszelet

A körcikk a kör két sugara és egy körívdarab által határolt terület. A körszelet a kör egy húrja és egy körívdarab által határolt terület.

Milyen mértani alakzat: háromszög, négyzet, téglalap, paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid?

A háromszög a síknak három egyenes szakasz által határolt része

A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő

A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja

A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő

A trapéz olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala

A deltoid olyan négyszög, amelynek van 2-2 egyenlő nagyságú szomszédos oldala

Paralelogramma kerülete: b a Paralelogramma területe: mb b ma a Speciális paralelogrammák: ma a a b a a a

Paralelogramma kerülete, területe.

K = a+b+a+b= =2*a+2*b= =2*(a+b) T= a*ma=b*mb

Rombusz: K=4*a T=a*ma Téglalap: K=2*(a+b) T=a*b (b= ma) Négyzet: K=4*a T=a*a (a= ma)

Deltoid kerülete: a a a a b b b b Deltoid területe: e e f f Speciális deltoidok: e f e e

Deltoid kerülete, területe.

K = a+b+a+b= =2*a+2*b= =2*(a+b)

Rombusz:

Négyzet:

*eeT (e=f)

Trapéz kerülete: c d b a Trapéz területe: c d m b a Speciális trapéz minden paralelogramma, de területüket egyszerűbben számítjuk ki a b m b a

Trapéz kerülete, területe.

K=a+b+c+d

*)( mcaT

Háromszög kerülete: c b a Háromszög területe: c mc mb b ma a Speciális háromszög: c b mb a c=ma a=mc

Háromszög kerülete, területe.

K=a+b+c

Derékszögű háromszög:

A sokszögek kerülete: d c e b a A sokszögek területe: d c m1 x m2 e y m3 b a

* 321 mymymxT

Bármely sokszöget háromszögekre bonthatok, veszem a háromszögek területének összegét, ez adja a sokszög területét.

Sokszögek kerülete, területe.

K=a+b+c+d+e

A hasáb hálózata: teteje mt bal c b oldala ma a alja A hasáb felszíne: ma mt c a b T=2*ta+ tp =2*talaplap+ tpalást

talaplapa

mcbama

mt= testmagasság

Hasáb hálózata, felszíne

jobb oldala

A hasáb térfogata: mt ma a A hasáb váza: mt c b a

Hasáb térfogata, váza

testalaplap

Váz = az élek hosszúságának összege Váz = 2*kalaplap+oldalélek Váz = 2*(a+b+c)+3*mt

A kör kerülete:

2*r* = d* d*3,14 d=2r r A kör területe:

r*r* = r2*

A kör kerülete, területe.

Ha r=3cm, akkor a kerület: 2*3*3,14=18,84cm

Ha r=3cm, akkor a terület: 3*3*3,14=28,26cm2

Körív hossza: i r O K 360-hoz tartozó körív hossza:

Kkör = 2*r* 1-hoz tartozó körív hossza:

rKív kör

-hoz tartozó körív hossza:

rKív kör

Körív hossza

O a kör középpontja K a kör kerülete r a kör sugara i a körív adott szöghöz tartozó ívet számítunk

Körcikk területe: r O 360-hoz tartozó kör területe:

Tkör = r2 * 1-hoz tartozó körcikk területe:

2 rTT körkörcikk

-hoz tartozó körcikk területe:

2rTT körkörcikk

Körcikk területe.

O a kör középpontja T a kör területe r a kör sugara Tcikk a körcikk területe adott szöghöz tartozó körcikket számítunk

HENGER a=m hálózata: a=m r felszíne: A = 2*talap + tpalást A = 2* r2+2*r**a =2r*(r+a) térfogata: V = talap *m V = r2 *m

A henger hálózata, felszíne, térfogata

r = az alaplap sugara

Tkör = r2

Tpalást = 2ra

palást

alkotó=magasság

A függvény megadható: képlettel:

értéktáblázattal:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y= -7 -4 -1 2 5 8 11

grafikonnal: y x

Mivel adható meg a függvény?

A lineáris függvényről: y 1 3 3 2 1 2 x -1 0 2 3 4 -1 1 -2 -3

A függvény általános alakja: y = a*x + b, ahol „a” a meredekség: ha emelkedő, akkor pozitív: a= 2/1=2 ha süllyedő, akkor negatív: a=-1/3 „b” azt mutatja, hogy a függvény görbéje hol metszi az y tengelyt:

b = -1 b = 3 tehát y = 2*x – 1

y = -1/3*x + 3 „x” értékek halmaza: értelmezési tartomány, „y” értékek halmaza: értékkészlet.

A lineáris függvény

emelkedő

süllyedő

A lineáris függvény képe: egyenes

Egyenletmegoldás grafikusan: y x Egyenletmegoldás algebrai úton:

Egyenletek grafikus megoldása

-1 x =3

159626

Számtani sorozat: a1 a sorozat 1. eleme; a2 a sorozat 2. eleme, a3 a sorozat 3. eleme; … an a sorozat n. eleme.

an = a1+ (n-1)*d

*)( 1 naas nn

pl.: Melyik szám a páratlan természetes

számok 100. eleme? a1 = 1 n = 100 d = 2 Mennyi ezek összege?

100002

100*200

100*)1991(100

Sorozatok

n az elemek száma d az elemek különbsége sn az n elem összege

A számtani sorozat egymást követő

elemeinek különbsége állandó

a100= 1+(100-1)*2 = 1+ 99*2 = 199

Az eltolás és tulajdonságai:

D’ E’

AA’=BB’=CC’=DD’=EE’=FF’=GG’ AB = A’B’ BC = B’C’ CD = C’D’ DE = D’E’ EF = E’F’ FG = F’G’ GA = G’A’ Szögtartó transzformáció A körüljárási irány nem változik.

Az eltolás tulajdonságai

Eltolás vektora

A tengelyes tükrözés és tulajdonságai:

tengelyA’

AB = A’B’ BC = B’C’ CA = C’A’ AT1 = A’T1 BT2 = B’T2 CT3 = C’T3 AA’ a tengelyre BB’ a tengelyre CC’ a tengelyre Szögtartó transzformáció

A tengelyes tükrözés és tulajdonságai

A körüljárási irány ellenkezőjére változik

A középpontos tükrözés és tulajdonságai

C’D’

AO = OA’ BO = OB’ CO = OC’ DO = OD’ EO = OE’ AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ EA E’A’ Szögtartó transzformáció A körüljárási irány nem változik

A középpontos tükrözés és tulajdonságai

Nevezetes szögek: 1. Párhuzamos szárú szögek: és egyállású szögek és egyállású szögek és egyállású szögek és csúcsszögek és fordított állású szögek (váltószögek) és fordított állású szögek (váltószögek) és társszögek és mellékszögek (közös csúcsú társszögek) 2. Merőleges szárú szögek: = ’ ’

Nevezetes szögek

Az elforgatás és tulajdonságai:

A’B’

D’C’

AB = A’B’ BC = B’C’ CD = C’D’ DA = D’A’ Szögtartó transzformáció A körüljárási irány nem változik

Az elforgatás és tulajdonságai

Az együttható megmutatja, hogy a

mellette álló betűkifejezésből hányat kell összeadandóul venni.

pl.: 3a = a+a+a 5ab = ab+ab+ab+ab+ab 2x2 = x2+x2

A kitevő megmutatja, hogy az alapot

hányszor kell szorzótényezőül venni.

pl.: a3 = a*a*a (ab)5 = ab*ab*ab*ab*ab a5b5 = a*a*a*a*a*b*b*b*b*b

Mit fejez ki az együttható, a kitevő?

Algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámításakor a betűk helyére a megadott értékeket

írjuk, majd a kijelölt műveleteket

elvégezzük: pl.:

ha a = 5; b = -3 4a – 2b = 4*5 – 2*-3 = 20 - -6 = =20 + 6 = 26

ha x = 4

Az algebrai kifejezés helyettesítésiértékének kiszámítása

Azokat a kifejezéseket, amelyekben azonos ismeretlen (betű) azonos hatványon szerepel, egynemű kifejezéseknek nevezzük. Pl.:

a; 2a; 6

2 2x; -x2; 3x2

Egynemű kifejezések

Egytagú kifejezés szorzása egytagú kifejezéssel: 1,5x2 * (-4xy) = 1,5 *(-4) * x2 *xy = =-6 x3y vagy 2,1xyz * (-5x2y3z) * (-10xy4z5) = =2,1*(-5)*(-10)* xyz* x2y3z* xy4z5= =+105 x1+2+1*y1+3+4*z1+1+5=105x4y8z7 Egytagú kifejezés osztása egytagú kifejezéssel:

2313253

358**8**

8,2yxxx

Egytagú kifejezés szorzása, osztása egytagú kifejezéssel

-6 x3y számot számmal, betűt betűvel

CSAK AZ EGYIK TÉNYEZŐT SZOROZZUK, OSZTJUK!

Összeg vagy különbség szorzása egytagú kifejezéssel:

a* ( b + c ) = a*b + a*c a* ( b - c ) = a*b - a*c

pl.: 3*( x + y –5 ) = 3x+3y-15

vagy 5x*(2 – x2 + 3x ) = 10x-5x3+15x2 vagy

xzxyyxx

zyxyxx

Kiemeléskor egy összeget szorzattá alakítunk: a szorzat egyik tényezője az összeg minden tagjában előforduló azonos tényező(k):

ab + ac – ad = a*(b + c- d) pl.: x +5x – xy + 2x2y = x*(1 + 5 – y + 2xy) tulajdonképpen minden tagot osztom a kiemelt kifejezéssel: x:x=1; 5x:x=5; -xy:x=-y; 2x2y:x=2xy

Összeg, különbség szorzása egytagú kifejezéssel. Kiemelés.

Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezéssel: A képen a kertem alaprajzát látod. Számítsuk ki többféleképpen a területét! 5m 2m 9m 3m 3*5 3*2 3*9 4m 4*5 4*2 4*9 T= (5+2+9)*(3+4)= =3*5+3*2+3*9+4*5+4*2+4*9= =15+6+27+20+8+36=112 (m2) T=(5+2+9)*(3+4)=16*7=112 (m2) x y z a ax ay az b bx by bz T=(x+y+z)*(a+b)= =ax+ay+az+bx+by+bz

Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezéssel

T= =(5+2+9)*(3+4)==16*7=112 (m2)

A háromszögek magasságvonalai: c=ma b mc mb c mb b a=mc M M M ma mb a a c b a

A háromszögek magasságvonalai. Oldalai, szögei közötti kapcsolat/1.

A háromszög két oldalának összege mindig nagyobb a harmadik oldalnál

A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével

a+b>c b+c>a c+a>b

ma b c

A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat: A háromszögben egyenlő oldalakkal

szemben egyenlő szögek vannak: C A B A háromszögben a hosszabb oldallal szemben fekvő szög nagyobb, mint a rövidebb oldallal szemben fekvő szög.

A háromszögek oldalai, szögei közötti kapcsolat/2.

AC = BC =

A háromszög szerkesztésének alapesetei: 1. c b a 2. c a 3. a 4. c a

A háromszögek szerkesztésének alapesetei

Adott a háromszög három oldala

Adott a háromszög két oldala és a közbezárt szög

Adott a háromszög egy oldala és a rajta fekvő két szög

Adott a háromszög két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög

A paralelogramma leírása, tulajdonságai: D C O A B AB DC AD BC AO = OC BO = OD = =

+ = 180 + = 180 + = 180 + = 180

Paralelogramma tulajdonságai

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja

A trapéz leírása, tulajdonságai, kerülete, területe: D ’ alap(=c) C szár szár d m b

A alap(=a) B AB DC + = 180 + = 180 K = a + b + c + d

*)( mcaT

Trapéz tulajdonságai

Halmazok Új jelölések bevezetése: pl.: az A halmaz a 10 és 20 közé eső természetes számok halmaza: A={ xN 10<x<20 } C

U az alaphalmaz; C halmaznak kiegészítő halmaza C: C={ x U x C }

Az A halmaznak részhalmaza B halmaz: B A

A és B halmaz metszete: A B AB={xUxA és xB}

A és B halmaz uniója: A B

AB={xUxA vagy xB}

A és B halmaz különbsége:A \ B

A\B={xUxA és xB}

Halmazok - halmazműveletek

Nevezetes azonosságok: (a+b)2= (a+b)*(a+b)=

=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

(a-b)2= (a-b)*(a-b)= = a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

(a+b)*(a-b) = a2+ab-ab+b2= a2 – b2

Nevezetes azonosságok

Számok négyzete: a hatványalap és a hatványkitevő ismeretében keresem a hatványt. 42 = 16 mert 4*4=16 4,252 = 18,06 = 1,806*101 (normálalakban) 0,04252 = (4,25*10-2) 2 = 18,06 *10-4 = = 1,806 *10-3 (=0,001806) vagy 0,04252 = (4,25:102) 2 = 18,06 :104 = = 1,806 :103 (=0,001806) 42502 = (4,250 *103) 2 = 18,06 *106 = =1,806 *107 (=18 060 000) 42572 42602 =(4,260 *103) 2=

=18,15*106= =1,815 *107 (=18 150 000)

Számok négyzete (táblázattal)

Számok négyzetgyöke: a hatvány és hatványkitevő ismeretében keresem az alapot.

9812 mert (+9) 2=81 és (-9) 2=81

4,856,70

721,010*21,710*5252,0 12

20910*09,210*3750,443750 24

24 10*36,910*6600,87876600876564 =936 Táblázat nélkül:

49'68'03'6 2 4 5 7 -4 203 : 4 4*4 -176 27 68 : 48 5*5 -2425 343 49 : 490 7*7 -343 49 0

Számok négyzetgyöke (táblázattal)

1. Hátulról számítva kettesével jelölöm a számokat;

2. Előröl veszem le; 3. Mindig a hányados

kétszeresével osztom a maradék és levett számnál az egyes helyiértékkel kisebb számot;

4. A becsült értéket 3 helyre írom be: hányados, szorzandó, szorzó.

O O M S

A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai

Az oldalfelező merőlegesekmetszéspontja a háromszög köré írható kör középpontja.

A szögfelezők metszéspontja a háromszögbe írható kör középpontja.

A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

A súlyvonal: a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Metszéspontjuk a súlypont.

A középvonalak a háromszög oldalfelező pontjait kötik össze. Párhuzamosak az oldalakkal és az aktuális oldalnak a fele.

b2 a c b a a2 c2

b2 = b

a b b a Az (a+b) oldalú egyenlő területű négyzetek területéből elvéve 4 db egyenlő területű derékszögű háromszöget, a maradék területe is egyenlő kell, hogy legyen. Ebből következik: a2+b2=c2

Pitagorasz tétele:

A derékszögű háromszög befogói négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

a2+b2=c2

GÚLA testmagasság = mt oldallap magasság = mo palást alap hálózata: mo a a felszíne: A = talap + tpalást

** omaaaA

térfogata:

A gúla

KÚP m a r alap a hálózata: palást 2r r felszíne: alap

A = talap + tpalást

*2 22 arrarrar

térfogata:

* 2 mrmtV a

A kúp

m = testmagasság a = alkotó r = alaplap sugara

GÖMB r felszíne:

A =4r2 (a körmetszetek közül a legnagyobb kör területének a négyszerese) térfogata:

A gömb

Zárójelfelbontás szabálya: 1. Az alkalmazás sorrendje: gömbölyű zárójel ( ), „ha elfogyott” szögletes zárójel [ ], „ha elfogyott” kapcsos zárójel { }.

2. A felbontás szabálya azonos az alkalmazással, belülről kifelé bontom fel a zárójeleket. gömbölyű zárójelet ( ), szögletes zárójelet [ ], kapcsos zárójelet { }.

x - {2x- [3x- (4x+5)+6]+7}= = x - {2x- [3x- 4x-5+6]+7}= = x - {2x- [-x+1]+7}= = x - {2x+x-1+7}= = x – {3x+6}= = x – 3x-6 = -2x-6

Zárójelfelbontás szabálya

Egész kifejezések

(Nincs benne betűkifejezéssel való osztás) Egytagú egész kifejezések – (Az

együttható és a betű vagy betűk szorzat alakban)

Pl.: x; 3y; 12x2yz; Kéttagú egész kifejezések

(Két egytagú kifejezés összeg alakban) Pl.: x + 3y; 3y - 12x2yz; Többtagú egész kifejezések

(Több egytagú kifejezés összeg alakban) Polinomok - többtagú egész kifejezések

Törtkifejezés (A kifejezésben betűkifejezéssel osztunk)

Pl.: 1

)12)(5(

Kiemelés – a többtagú kifejezés tagjaiban megkeressük a közös tényezőt és azt szorzóként kiemeljük - szorzattá alakítottuk.

Pl.: 15ay+10xy = 5y(3a+2x) Szorzattá alakítás történhet a tagok csoportosításával is. Pl.: 14ax-8ay+21bx-12by = =2a(7x-4y)+3b(7x-4y) = =(7x-4y)(2a+3b)

Betűk alkalmazása a matematikában

Melyik az a szám, amelyiknek a 3-szorosánál 5-tel nagyobb szám fele 15-tel nagyobb, mint a számnál 4-gyel kisebb szám 8-szorosa? +15

341653

153282

158*)4(2

8*)4(2

5 = 13x – 34 39 = 13x 3 = x A SZÖVEGES FELADATOT MINDIG A SZÖVEGBE BEHELYETTESÍTVE KELL ELLENŐRÍZNI!

1. Számok, mennyiségek közti összefüggések felírása egyenlettel

ellenőrzés:

8*)43(2

7 > -8 +15

Két zsebemben együtt 90 forint van. A bal zsebemben levő pénz 25%-a egyenlő a jobb zsebemben levő pénz 20%-ával. Hány forint van külön-külön a zsebeimben? bal jobb x 90 – x 0,25x = 0,2*(90 – x) 0,25x = 18 – 0,2x 0,45x = 18 x = 40 ell.: bal jobb

40 90-40=50 40*0,25=10 50*0,2=10

10 = 10

2. Számok, mennyiségek közti összefüggések felírása egyenlettel

Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 7, ha a jegyeket felcseréljük, az eredeti szám kétszeresénél 2-vel nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? Tízes Egyes A szám Ellenőrzés

Eredeti 7-x x 10(7-x)+x 25 Felcserélt x 7-x 10x+(7-x) 52

eredeti *2+2 felcserélt 10(7-x)+x < 10x + (7-x) [10(7-x)+x]*2+2=10x+(7-x) [70-10x+x]*2+2=10x+7-x [70-9x]*2+2=9x+7 140-18x+2=9x+7 142-18x=9x+7 142=27x+7 135=27x 5=x

„Helyiértékes” egyenletek

ellenőrzés: *2+2

25<52 +2

50<52 52=52

Kati és Judit 21km-re laknak egymástól. Kerékpáron meglátogatják egymást. Kati 8 órakor indul Judithoz 10 km/h sebességgel, Judit 9 órakor Katihoz 12 km/h sebességgel. Hol és mikor találkoznak? v(km/h) t(h) s(km) Kati 10 x 10x Judit 12 x - 1 12(x – 1)

10 km/h 12 km/h Kati Judit 8h 21 km 9h 10x + 12*(x – 1) = 21 10x + 12x – 12 = 21 22x - 12 = 21 22x = 33 ell.: x = 1,5 (h) K: 1,5 h-t volt úton, 8h+1,5h=9,5h J: 0,5h-t volt úton, 9h+0,5h=9,5h K: 10km/h*1,5h=15km-re Katiéktól J: 12km/h*0,5h= 6km-re Juditéktól 21km

„Mozgási” egyenletek

930-kor találkoztak

5 dl 60%-os és 3 dl 20%-os alkoholt keverünk össze. Hány dl és hány %-os alkoholt kapunk? 1. összetevő 2. összetevő keverék alkoholtartalma alkoholt. alkoholtartalma

60*5 +

20*3 =

100*)35(x

300 + 60 = 8x 360 = 8x 45 = x ell.: 5*0,6 + 3*0,2 = 8*0,45 3 + 0,6 = 3,6 (az összetevőkben levő „tiszta” alkohol)

Ha 8 liter 80C-os és 12 liter 10C-os vizet összekeverünk, hány C-os keveréket kapunk? leadott hőmennyiség = felvett hőmennyiség 8*(80 - x) = 12*(x - 10) 640-8x =12x - 120 640 = 20x – 120 760 = 20x 38 = x ell.: 8*(80 – 38) = 12*(38 – 10) 8*42 = 12*28 336 = 336

„Keverési” egyenletek

Apa 2 óra alatt ásná fel a kertet egyedül. Két fia közül Zoli 3 óra alatt, Dani 6 óra alatt. Mennyi idő alatt végeznek az ásással, ha mindhárman együtt dolgoznak?

3x + 2x + x = 6 6x = 6 x = 1 (óra alatt végeznek) ell.:

Együttes munkára vonatkozó egyenletek

Egy trapéz párhuzamos oldalai közül az egyik 3 cm-rel rövidebb a másiknál. A trapéz területe 135 cm2, magassága 5 cm. Mekkorák az alapok?

1510135

5*]3[135

5*)]3([135

270 = 10a – 15 285 = 10a 28,5 = a

5*54135

5*)5,255,28(135

135 = 27*5

Geometriai számításokkal kapcsolatos egyenletek

a - 3 5 a

Thales tétele: ha a háromszög derékszögű, akkor a derékszög csúcsa rajta van az átfogó, mint átmérő fölé írt körön.

Thales tétele

r E O e E1 O P E2 c d b a

Érintő szerkesztése körhöz, érintőnégyszög

Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra:

e r E érintési pont

az érintő-szakaszok egyenlők:PE1 = PE2

érintőnégyszög: a + c = b + d (minden oldala

érintője a körnek)

Szakasz felosztása egyenlő részekre hasonlóság segítségével: A B A-tól húzok egy félegyenest a rajz szerint. A-tól tetszőleges nagyságú, de egyenlő távolságokat mérek a félegyenesre, annyit, ahány részre akarom osztani a szakaszt. Az utolsó segédpontot (S) összekötöm a szakasz végével (B), majd párhuzamosokat húzok BS szakasszal a segédpontokon át. Ezek a párhu-zamosok AB szakaszt felosztják a kívánt arányban.

Egybevágóság, hasonlóság fogalma. Szakasz felosztása „hasonlósággal”

AB szakasz felosztása 5 részre

Két sokszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya megegyezik és megfelelő szögei egyenlők.

Két sokszög egybevágó, ha megfelelő oldalai és megfelelő szögei egyenlők.

ksszaiSzakaszHoazEre

apénekHosszaSzakaszKégArányaaHasonlósá

k >1 nagyítás k < -1 nagyítás A’ A’ A O O A k=1 helyben maradás; k= - 1 középpontos tükr. A=A’ O A’ O A 0<k<1 kicsinyítés; -1<k<0 kicsinyítés O A’ A A O O A’

Középpontos hasonlóság

A függvényekről:

y = 2 nulladfokú fg.

y = 2x – 2 elsőfokú fg.

y = x2- 3 másodfokú fg.

y = x - 1 abszolútérték fg.

y = x négyzetgyök fg.

4 tört fg.

Sorozatok: Mértani sorozat: a1 a sorozat 1. eleme; a2 a sorozat 2. eleme, a3 a sorozat 3. eleme; … an a sorozat n. eleme.

an = a1*qn-1

pl.: Hány Ft-ot kapok a 10. Év után, ha 1000 Ft-ot teszek a takarékba és a kamat 10%-os? a1 = 1000 n = 10 q = 1,1 (10%-os növekedés=1,1-es szorzó)

Mértani sorozat

n az elemek száma q az elemek hányadosa sn az n elem összege

a10= 1000*1,110-1=1000*1,19 1000*2,358=2358 (Ft)

A mértani sorozat egymást követő

elemeinek hányadosa állandó.

Függvény-transzformációk az y tengellyel párhuzamosan

y = x - 3 párhuzamos eltolás az y tengely mentén negatív irányba

y = x + 1 párhuzamos eltolás az y tengely mentén pozitív irányba

Függvény-transzformációk az x tengellyel párhuzamosan

y = x - 2 párhuzamos eltolás az x tengely mentén pozitív irányba

y = x + 1 párhuzamos eltolás az x tengely mentén negatív irányba

A sokszög

oldalainak száma

1 csúcsból húzható

átlóinak száma

összes átlóinak száma

3 0 0 4 1 2 5 2 5 6 3 9 n n - 3 [n*(n – 3)] : 2

A sokszög

1 csúcsból húzható

átlókkal hány háromszögre

bontható

belső szögek összege

külső szögek összege

1 1*180 360 2 2*180 360 3 3*180 360 4 4*180 360

n - 2 (n – 2)*180 360

Sokszögek: oldal-átló-háromszög-szögösszeg

Véges tizedes tört átváltása törtre:

253025,3

4545,0

Végtelen szakaszos tizedes tört

átváltása törtre:

2218218,021818,0

116166,0

A számlálóban a szakaszt megelőző és a szakasz jegyeiből álló számból kivonjuk a szakaszt megelőző jegyekből álló számot, a nevezőben annyi kilencest írunk, ahány jegyből áll a szakasz és utána annyi nullát teszünk, ahány jegy megelőzi a szakaszt. Nem szakaszos végtelen tizedes tört

nem váltható át közönséges törtre.

Tizedes tört közönséges törtté alakítása.

A={xN|3 x<6} A={3; 4; 5} Az A halmaz elemei azon természetes számok, amelyek nem kisebbek 3-nál, de kisebbek 6-nál.

0 1 2 3 4 5 6

B={ xZ|-3<x 2} B={-2;-1; 0; 1; 2} A B halmaz elemei azon egész számok, amelyek nagyobbak -3-nál, de nem nagyobbak 2-nél.

-3 -2 -1 0 1 2 3

C={ xQ|-2<x<4} A C halmaz elemei azon racionális számok, amelyek nagyobbak -2-nél és kisebbek 4-nél.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Halmazok megadása, elemszáma

Az osztályból 3 tevékenységre járnak a gyerekek: foci (F), sakk (S) és úszás (Ú). Mennyi az osztálylétszám(O), ha F=20, S=15, Ú=11, FS=10, SÚ=5, FÚ=4, FSÚ=3, sehova nem jár 2 tanuló? Az elemszám jele: pl.: |F|=20

|F SÚ|=3 |(F S)| - |(F SÚ)|=7; (10-3=7) |(FÚ)| - |(F SÚ)|=1; (4-3=1) |(SÚ)| - |(F SÚ)|=2; (5-3=2) |F|-|F S|-|FÚ|+|(F SÚ)|=9, 20-10-4+3=9 |S|-|F S|-|SÚ|+|(F SÚ)|=3, 15-10-5+3=3 |Ú|-|FÚ|-|SÚ|+|(F SÚ)|=5, 11-4-5+3=5 |O| - |F S U|=2, 32-30=2 Létszám: 3+7+1+2+9+3+5+2=32

A 3-at azért kell visszaadni, mert kétszer vettem el!

A={ xQ|-1 x 4}; [-1;4]; zárt intervallum

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

B={ xQ|-3<x<2}; ]-3;2[; nyitott intervallum

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

C={ xQ|-2 x<5}; [-2;5[;

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

D={ xQ|2<x 4}; ]2;4];

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Halmazműveletek a fenti intervallumokkal: AB ]-3;4] AB [-1;2[ A\B [2;4] B\A ]-3;-1[

CD [-2;5[ CD ]2;4] C\D [-2;2] ]4;5[ D\C { }

(B C) ]-3;5[ (B C)\D ]-3;2] ]4;5[ (A B CD)\(BC) ]-3;-2[ [2;5[

Intervallumok

balról nyitott, jobbról zárt intervallum

balról zárt , jobbról nyitott intervallum

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

A fentieket alkalmazva: x2+4x+10=(x2+4x+4)-4+10=(x+2)2+6 Az első két tag alapján tudni lehet, hogy az (x+2) négyzetéről van szó. Kifejtem tehát az (x+2) négyzetét, és azt a 4-et, amit hozzáadtam, rögtön le is vonom. Az összevonás után kialakul a kifejezés.

5x2-10x-15=5(x2-2x-3)= =5[(x2-2x+1)-1-3]=5[(x-1)2-4]= =5(x-1)2-20 Az x2 együtthatóját kiemelve, alkalmazom az előzők szerinti lépéseket.

(3x+5)(9x2-15x+25)=27x3+125

4x7+32x5y+64x3y2=4x3(x4+8x2y+16y2)= =4x3(x2+4y)2

Úgy emelek ki, hogy az első tag négyzetszám legyen!

27xy4-18x3y3+3x5y2= =3xy2(9y2-6x2y+x4)=3xy2(3y-x2)2

x8+20= (x8--25)+25+20=[(x4)2-52)]+45= =(x4+5)(x4-5)+45

Nevezetes azonosságok, teljes négyzetté alakítás, szorzattá alakítás

)3)(4(

)4(3)4(

A nevező szorzat alakja mutatja, hogy a tört akkor értelmezhető, ha x4 és y -3.

10)2)(2(

A tört akkor értelmezhető, ha x0; x -2; x2. Az osztó számlálója sem lehet nulla!

)1)(1(

)1(4)1(

A tört akkor értelmezhető, ha x -1 és x1.

Műveletek algebrai törtekkel: egyszerűsítés, szorzás-osztás, összevonás (Nevezetes azonosságokkal!).

Az x szám osztója y-nak jele: x|y

Ha x=am * bn

* ck, akkor

x osztóinak száma=(m+1)(n+1)(k+1) Pl.: 72=23

*32 osztóinak száma: 4*3=12

(1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72) 1. Igaz-e, hogy 5|23142005+14260? A 4-re végződő számok hatványai rendre 4-re, 6-ra végződnek; a 2-re végződőek 2-re, 4-re, 8-ra, 6-ra. A 2005. hatvány (páratlan) 4-re, a 60. hatvány (60 osztható 4-gyel) 6-ra. 4+6=10, tehát a válasz: igen. 2. Igaz-e, hogy ha a 13|x+3y, akkor 13|16x+9y? 16x+9y=13x+3x+9y=13x+3(x+3y) 13|13x és 13|3(x+3y), a válasz igen. 3. Milyen számjegy írható x és y helyére, ha 36|204x567y? Egy szám akkor osztható 36-tal, ha osztható 4-gyel és 9-cel.

A 4-gyel való oszthatóság miatt y lehet 2, akkor x=1, a számjegyek összege: 27; y lehet 6, akkor x=6, a számjegyek összege: 36. Ez csak x=y esetén igaz !

Oszthatóság

Átírás 10-es számrendszerbe: 10112=1*23+0*22+1*21+1*20=1110 52036=5*63+2*62+0*61+3*60=115510 2BD16=2*162+11*161+13*160=70110

Átírás 10-es számrendszerből:

Számrendszerek: átírás, alapműveletek

167 +534 723

4+7=11, amiből kitelik 1db 8-as, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 3-at. 3+6+1=10, amiből kitelik 1db 8-as, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 2-t. 5+1+1=7, leírom.

11:2=5 marad 1 5:2=2 1 2:2=1 0 1:2=0 1

1155:6=192 m 3 192:6=32 0 32:6=5 2 5:6=0 5

701:16=43 m13=D

43:16=2 11=B

2:16=0 2

2 6 16

3210 - 1323 1221

3-hoz, hogy 0+4 legyen, kell 1, leírom, maradt 1. 1+2=3-hoz, hogy 1+4=5 legyen, kell 2, leírom, maradt 1. 1+3=4-hez, hogy 2+4=6 legyen, kell 2, leírom, maradt 1. 1+1=2-höz, hogy 3 legyen, kell 1, leírom.

1021:2=122 3 1

Az 1-est kisebb helyiértékre váltom az 3, 3+0=3, 3:2=1(hányados), marad 1. 1-est kisebb helyiértékre váltom az 3, 3+2=5, 5:2=2(hányados), marad 1. 1-est kisebb helyiértékre váltom az 3, 3+1=4, 4:2=2 (hányados), marad 0.

243*42 2132 1041 22411

4*3=12, amiből kitelik 2db 5-ös, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 2-t. 4*4=16, +2 az 18, amiből kitelik 3db 5-ös, ezt eggyel magasabb helyiértékhez adom, leírom a maradékot, a 3-at...

1. Melyik az a lineáris függvény, amelynek grafikonja átmegy az A(-3;-5) és B(1;3) pontokon? 2. Rajta van-e a fenti grafikonon a C(16;33) pont? 3. Mi az ismeretlen koordináta, ha D(x;15) és E(-5;y) illeszkedik a fenti függvény grafikonjára?

Lineáris függvény

35meredekség

Ha C(16;33), akkor y=2*x+1 y=2*16+1=33 igen, rajta van

y=a*x+b pl.: A(-3;-5) alapján -5=2*-3+b b=1 y=2*x+1

Ha D(x;15), akkor y=2*x+1 15=2*x+1 x=7

Ha E(-5;y), akkor y=2*x+1 y=2*-5+1 y= -9

y 1 0 1 x A

Egy valós szám abszolútértéke nemnegatív számok esetén maga a szám, negatív számok esetén a szám ellentettje. A ]-;0] intervallumon a függvény szigorúan csökken, a 0 helyen minimuma van, f(0)=0, a [0;+ [ intervallumon a függvény szigorúan növekszik. A ]-;3] intervallumon a függvény szigorúan csökken, a 3 helyen minimuma van, f(3)=0, a [3;+ [ intervallumon a függvény szigorúan növekszik. A ]-;0 ] intervallumon a függvény szigorúan csökken, 0 helyen minimuma van, f(0)= -2, a [0;+ [ intervallumon a függvény szigorúan növekszik. ]-;-6] int. cs., [-6;-4] nő, [-4;-2] cs., [-2;0] nő, [0;2]cs., [2;4] nő, [4;6] cs., [6;+ [ nő. -6, -2, 2, 6 helyen helyi minimuma van, (értéke 0), -4, 0, 4 helyen helyi maximuma van (értéke 2).

Abszolútérték függvény

x, ha x0-x, ha x<0

x-3, ha x3-(x-3), ha x<3 -x+3

|x-3|=

x-2, ha x0 -(x)-2, ha x<0 -x-2

|x|-2=

f(x)=|x|

f(x)=|x|-4

f(x)=||x|-4|

f(x)=||x|-4|-2

f(x)=|||x|-4|-2| Értékkészlete a nemnegatív számok

tehát

Abszolútérték függvény

f(x)=|x+4|+|x|+|x-3|

Az összeg egyes tagjai az x= - 4, x=0, x=3 helyen veszik fel a 0 értéket.

A fenti 3 pont az alábbi 4 intervallumot határozza meg: x<- 4; - 4x<0; 0x<3; 3 x.

Mind a 4 esetben meg kell vizsgálni, hogy az (x+4); (x); (x-3) pozitív-e, akkor változatlanul leírom, negatív-e, akkor az ellentettjét veszem.

Minden szakasz egy–egy lineáris függvény darabja.

Ha x<- 4, - (x+4) - (x) - (x-3) = -x-4-x-x+3= - 3x-1 Ha - 4x<0, (x+4) - (x) - (x-3) = x+4-x-x+3= -x+7 Ha 0x<3, (x+4)+(x) - (x-3) = x+4+x-x+3=x+7 Ha 3 x, (x+4)+(x)+(x-3) = x+4+x+x-3=3x+1

- 3x-1, ha x<- 4, - x+7, ha - 4x<0, x+7, ha 0x<3, 3x+1, ha 3 x.

Másodfokú függvény

|x2-3|g(x)=|x2-3| A ]-;-2] int. cs., a [-2;0] int. nő, a [0;2] int cs., a [2;+ [ int. nő, x= -2 és 2 helyen minimuma van, f(-2)=0, f(2)=0, x=0 helyen helyi maximuma van, f(0)=2.

(x-2)2

(x-2)2+2f(x)=x2 A másodfokú függvény képe parabola, amely szimmetrikus az y tengelyre. Páros függvény, mert P(x ; y) és P’(-x ; y) is a parabolán van, tehát f(-x)=f(x)

f(x)=x2-4x+6=(x2-4x+4)-4+6=(x-2)2+2 A ]-;2] intervallumban csökken, a [2;+ [ intervallumban nő, x=2 helyen minimuma van, f(2)=2.

h(x)=x2-4|x| x2-4x, ha x0 (x2-4x+4)-4=(x-2)2-4 x2-4(-x), hax<0 (x2+4x+4)-4=(x+2)2-4

Értékkészlete a –4-nél nem kisebb számok.

Négyzetgyök függvény

A x azt a nemnegatív számot jelöli, amelynek a négyzete x. x és - x

az x2 tükörképe az y=x egyenesre.

f(x)= 2x , ha x-2

A [-2;+ [ intervallumban nő, x= -2 helyen minimuma van, f(-2)=0. Értékkészlete a nemnegatív számok.

2x , ha x 2

)2(2 xx ,

ha x 2

Lineáris törtfüggvény

f(x)=x

A lineáris törtfüggvény képe hiperbola, amely szimmetrikus az origóra. Páratlan függvény, mert

P(x ; y) és P(-x ; -y) is a hiperbolán van, tehát f(-x)= - f(x) A ]-;0[ és ]0;+ [ intervallumban is csökken. Sem minimuma, sem maximuma nincs. Értékkészlete a 0 kivételével az összes valós szám. Hozzásimul a tengelyekhez, de azokat soha nem éri el. A tengelyek az aszimptotái.

Egészrész függvény Minden x valós számhoz hozzárendeljük azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb x-nél. Jele: f(x)=[x] [3,2]=3 [-0,5]=-1 [0,5]=0 [-2,3]=-3 [2]=2

Egészrész, törtrész és előjel függvény

[x] [x]+2

[2x-1] 2[x]

Jele: f(x)={x} vagy f(x)=x-[x] 3,2-[3,2]=3,2-3=0,2 0,5-[0,5]=0,5-0=0,5 2-[2]=2-2=0 -0,5-[-0,5]=-0,5- -1=0,5 -2,3-[-2,3]=-2,3- -3=0,7

Előjel függvény 1, ha x>0, 0, ha x=0, -1, ha x<0.

Törtrész függvény Ha egy számból elvesszük az egészrészét, a törtrésze marad.

sgn(x)=

Függvénytranszformációk rendszerezése

g(x)=f(x+c) Eltolás az x tengely mentén c-vel. Ha c>0 , c<0 .

g(x)=f(x)+c Eltolás az y tengely mentén c-vel. Ha c>0 , c<0 .

g(x)= - f(x) Az x tengelyre tükrözzük f függvény grafikonját. Pl.: f=x+1 g= - (x+1)= -x-1

g(x)=f(-x) Az y tengelyre tükrözzük f függvény grafikonját. Pl.: f=x+1 g= - (x)+1= -x+1

Függvénytranszformációk rendszerezése

g(x)=|f(x)| Ahol az f értéke negatív, tükrözzük az x tengelyre. Pl.: f=x+1 g=|x+1| f

g(x)=f(|x|) Az x0 értékhez tartozó görbedarabot tükrözzük az y tengelyre, az x<0 részt elhagyjuk. Pl.: f=x+1 g=|x|+1

g(x)=f(2x) Minden x koordináta felére csökken, az y koordináta nem változik. Pl.: f=x+1 g=2x+1

yg(x)=2f(x) Minden y koordináta kétszeresére nő, az x koordináta nem változik. Pl.: f=x+1 g=2(x+1)=2x+2

Szakaszfelező merőleges, a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon.

A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja, amely hegyesszögű háromszögön belül, tompaszögű háromszögön kívül van, a derékszögű háromszög átfogójának felezőpontja.

Szögfelező a szög mindkét szárától egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon.

A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a beírt kör középpontja. A háromszög területe így is kiszámítható:

crbrarT

A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalra állított merőleges egyenes. A csúcs és az oldal távolsága a háromszög magassága. A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. A súlyvonalnak a háromszögbe eső szakaszát a súlypont 2:1 arányban osztja.

Nevezetes vonalak, pontok

Derékszögű háromszögbe a beírt kör átmérőjének hossza egyenlő, a befogók hosszának összege mínusz az átfogó hossza. 2r=a+b-c

Az érintési szakaszok egyenlő-ségéből

következik

)]2)(2[(/*)2)(2(

)2)(2(

)]3(3[/*)3(3

2791915

Egyenletek megoldása nevezetes szorzatok alkalmazásával

x 2 x -2

A nevezőt nevezetes szorzattá alakítottam.

x 0 x -3

A nevezőben kiemeltem.

5,15,0

25,2)5,0(

0225,0)25,0(

3:/0633

)2(/*12

Kiegészítettem nevezetes szorzattá

Az egyenlet két oldalát egy-egy függvénynek tekintem, ezeket ábrázolom, a grafikonok metszéspontjának x koordinátája adja az egyenlet gyökét.

Egyenletek megoldása grafikusan

||2x-4|-3|=2 x1= -0,5 x2= 1,5 x3= 2,5 x4= 4,5

|x-1|=|2x+2|-1 x1= 0 x2= -4

Az értelmezési tartomány azon x értékek halmaza, amelyen az egyenlet megoldásait kereshetjük. Az egyenlet két oldalán egy-egy függvény áll, amelyeknek közös értelmezési tartományán keressük a megoldást, amelyhez azonos függvényérték (y) tartozik. Ezen függvényértékek halmaza az értékkészlet. Pl.: f(x)=|x|

g(x)=x

h(x)= x

8244 xx Értelmezési tartománya:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

42 x +|4x-y| = -4z2-12z-9

42 x +|4x-y| +(2z+3)2=0 Mindhárom tag csak nemnegatív lehet, de ha összegük nulla, akkor mindegyik nulla.

Az egyenlet értelmezési tartománya, értékkészlete

Ért. tart. Ért. k. xR f(x)R\R - xR\{0} g(x)R xR\R - h(x) R\R -

4x-40 4x4 x1

-2x+80 -2x-8/:( -2) x 4

tehát 1 x 4

4x-y=0 4x=y -8=y

2z+3=0 2z= -3 z= -1,5

2x+4=0 2x= -4 x= -2

Egy szorzat akkor nulla, ha legalább egyik tényezője nulla. (x+2)(5x-4)(27-6x)=0 x1= -2; x2=0,8; x3=4,5 (x-1)(2x+7)+(3x-3)(x-2)=2-2x (x-1)(2x+7)+3(x-1)(x-2)=-2(x-1) (x-1)(2x+7)+3(x-1)(x-2)+2(x-1)=0 (x-1)[(2x+7)+3(x-2)+2]=0 (x-1)(2x+7+3x-6+2)=0 (x-1)(5x+3)=0 x1= 1; x2= -0,6

x2+7x+12=0 x2+4x+3x+12=0 x(x+4)+3(x+4)=0 (x+4)(x+3)=0 x1= -4; x2= -3

Egyenletek megoldása szorzattá alakítással

Az ekvivalens átalakítások során az egyenlet mindkét oldalán ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, tehát az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatunk, kivonhatunk ismeretlent tartalmazó tagot is, de ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, hamis gyököt kaphatunk:

)1(/*1

2+(x-1)=2 x=1 ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztunk, gyököt veszíthetünk: x(x-1)=x/:x x-1=1/+1 x1=2 Azonban az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal.

Egyenletek megoldása mérleg-elvvel

Az elvesztett gyök: x2=0.

Az 1 hamis gyök, hiszen a tört nevezője nem lehet 0!

Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor az egyenlőtlenség iránya ellenkezőjére változik.

3x-2<2

(x+1)(x-1)0

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 Egy kéttényezős szorzat értéke akkor kisebb nullánál, ha egyik tényezője negatív. Ez a 3. számegyenesen ábrázolt intervallumban teljesül. Tehát (x+1)(x-1)<0 ]-1;1[ és (x+1)(x-1)=0 -1 vagy 1 ebből következik, hogy (x+1)(x-1)0 [-1;1]

Egyenlőtlenségek

3x-2<2

x+3 /*2

6x-4<x+6 5x<10 x<2 ]-;2[

3x-2 alatta van 2

x+3-nak,

ha x<2,

x+10, ha x -1 x+10, ha x -1

x-10, ha x1 x-10, ha x1 ha –1x1, akkor x+10 x -10(x+1)(x-1)0 [-1;1]

negatív

pozitív

pozitív negatív

pozitív

-*+<0 vagy +*-<0

0)4)(3(

282842

0)4)(3(

)2()4(2)4)(2(

)4)(3(

xxxxxxx

xxxxxx

2-x<0, ha x>2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 x=0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 x+3<0, ha x< -3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 x+4<0, ha x< -4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 x<-4; -3<x<0; x>2 ]- ;-4[ ]-3;0[ ]2;+ [

Egyenlőtlenségek

pozitív

negatív

|x+2|+|x-2|4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Kiválogatom az alábbi intervallumokra vonatkozó összefüggéseket, és ezek alapján megoldom az egyenleteket. Ha x<-2, akkor (x<2 is igaz) -x-2-x+24 -2x4 x-2 Ha -2x<2, akkor x+2-x+24 44 Ha x2, akkor (x-2 is igaz) x-2+x+24 2x4 x2 Tehát a megoldás -2x2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek

x+2, ha x-2 -x-2, ha x<-2

x-2, ha x2 -x+2, ha x<2 |x+2|= |x-2|=

x<-2 -2x<2

|||x-2|-2|-3|=1

Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek

|x-2|-2= -2

1. grafikon: |x-2| 2. grafikon: |x-2|-2 3. grafikon: ||x-2|-2| 4. grafikon: ||x-2|-2|-3 5. grafikon: |||x-2|-2|-3|=1

|||x-2|-2|-3|=1

||x-2|-2|=2

||x-2|-2|-3= -1

||x-2|-2|=4

|x-2|-2=4 |x-2|-2= -4

|x-2|=6 |x-2|= -2

x-2=6 x-2= -6

x=8 x= -4

|x-2|-2=2

|x-2|=4 |x-2|=0

x-2=4 x-2= -4 x-2=0

x=6 x= -2 x=2

||x-2|-2|-3=1

A paraméter (a, b, c, …) az egyenletben szereplő tetszőleges értékű állandó. Az egyenlet gyökét (x, y, z, …) ennek segítségével kell megadni. 1. feladat: a2x+2=a(x+2) a2x+2=ax+2a a2x-ax=2a-2 ax(a-1)=2(a-1) Ha a=1, akkor ax*0=0 azonosságot kapunk, tehát az egyenletnek minden valós szám gyöke. Ha a1, akkor (a-1)-gyel oszthatunk,

2. feladat: (2b-1)x=3b+(b+2)x 2bx-x=3b+bx+2x bx-3x=3b x(b-3)=3b Ha b=3, akkor x*0=9 vagyis 0=9 kifejezést kapunk, tehát az egyenletnek b=3 paraméternél nincs gyöke. Ha b3, akkor (b-3)-mal oszthatunk,

Paraméteres egyenletek

lesz az egyenlet gyöke, ahol a0.

lesz az egyenlet gyöke.

1. Apa 40 éves, a fia 16. Hány évvel ezelőtt volt az apa négyszer annyi idős, mint a fia? Hány évesek voltak ekkor?

2. Első nap elköltöttem a pénzem felét és 200 forintot, második nap a maradék egynegyed részét és 100 forintot, a harmadik nap a maradék kettőötöd részét és 50 forintot, így 70 forintom maradt. Mennyi pénzem volt eredetileg? Az egyenletet úgy írom fel, hogy esetenként mennyi pénzem maradt:

x=1200 ellenőrzés: 1200 fele 600 és -200, marad 400, negyede 100 és -100 marad 200, kétötöde 80 és -50, marad 70. 3. Egy ruha árát felemelték 15%-kal, majd leszállították 15%-kal, így 54 forinttal lett olcsóbb. Mennyi volt az eredeti ára?

x*1,15*0,85=x-54 x=2400 ellenőrzés: 2400*1,15=2760 2760*0,85=2346

Szöveges egyenletek

3. nap maradt

apa fia volt 40-x 16-x most 40 16

40-x>16-x 40-x=(16-x)*4 x=8

ellenőrzés: apa fiavolt 32 > 8 most 40 16

2400-2346=54

2. nap maradt

1. nap maradt

1. Két oldal egyenlővé tétele: x-2y=4 y+2x=3

y=-2x+3 2. Egyenlő együtthatók módszere: x-2y=4 y+2x=3 /*2 x-2y=4 4x+2y=6 5x=10 x=2 y=-1 3. Behelyettesítéses módszer: x-2y=4 y+2x=3 x=4+2y az első egyenletből kifejezve y+2(4+2y)=3 a második egyenletbe behelyettesítve y=-1 x=2 4. Grafikus módszer: x-2y=4 y+2x=3

y=-2x+3 P(2;-1)

Kétismeretlenes egyenletrendszerek

ldá i ód i

x -2=-2x+3

2-2y=4 y=-1

Ellenőrzés mindhárom feladatra:

y+2x=3 -1+2*2=3

összeadom a két egyenletet

1. Egy szám négyszerese megegyezik egy másik szám negyedrészével. Ha két eredeti szám mindegyikéhez 4-et adok, akkor a második négyszerese lesz az elsőnek. Melyik ez a két szám?

(x+4) < y+4 16x=y (x+4)*4=y+4 4x+16=16x+4 x=1 y=16 2. Pár gyerek elvégez egy munkát. Ha 2-vel kevesebben lennének, akkor 100 forinttal többet kapnának fejenként, ha 2-vel többen végzik el a munkát, akkor 50 forinttal kevesebbet kapnak fejenként. Hányan voltak és fejenként mennyiért dolgoztak eredetileg?

x (=létszám); y(=munkabér) (x-2)(y+100)=xy (x+2)(y-50)=xy

xy-2y+100x-200=xy xy+2y-50x-100=xy

-2y+100x=200 2y-50x=100 50x=300 x=6 (6-2)(y+100)=6y 4y+400=6y y=200

Egyenletrendszerekkel megoldható feladatok

Ellenőrzés: 4*1=16:4 1+4 < 16+4

Ellenőrzés: (6-2)*(200+100)=6*200 (6+2)*(200-50)=6*200

Vezessünk be két új változót, hogy egyszerűbben megoldhassuk a feladatot.

Egyenletrendszerek – új változó bevezetése

24a+8b=5 24b-8a=5 /*3

8b+24a=5 72b-24a=15

80b=20 b=0,25 a=0,125

Egyenlő számok reciprokai is egyenlők:

x+y=8 x-y=4

2x=12 x=6 y=2 Ellenőrzés:

24: (6+2)+8: (6-2)=3+2=524: (6-2)-8: (6+2)=6-1=5

1. Hárman vagyunk testvérek: Kati, Zoli és Anti. Éva néni megkérdezte, melyikünk hány kilogramm. Mókásan így válaszoltunk: ha Kati és Zoli áll együtt a mérlegre, akkor 69 kg-ot mérnek, ha Zoli és Anti, akkor 97 kg-ot, Kati és Anti esetében 84 kg-ot mutat a mérleg. Hány kilogramm egy-egy gyerek?

k + z = 69 z + a = 97 k + a = 84 2k+2z+2a=250 /:2 k+z+a=125 a=125-69=56 z=97-56=41 k=84-56=28 Ellenőrzés: 28+41=69 41+56=97 2. 28+56=84

zxyzyx

x0; y0; z0. Az összeg akkor nulla, ha tagonként is nulla.

Többismeretlenes gyenletrendszerek

6y-4x=0 6y=4x x=1,5y

2y-8z=-yz

3z+x=xz 3z+1,5y=1,5yz /*22y-8z=-yz /*3 3y+6z=3yz 6y-24z=-3yz 9y-18z=0 y=2z x=1,5y=3z

6y-4x=0 12z-12z=0

2y-8z=-yz 4z-8z=-2z2 -4z=-2z2 2z=z2 z=2; y=4; x=6

Az olyan függvényt, amely ponthoz (értelmezési tartomány) pontot (értékkészlet) rendel hozzá, geometriai transzformációnak nevezzük. Egybevágósági transzformációnál az alakzat bármely szakaszának képe egyenlő hosszú az eredeti szakasszal. Tengelyes tükrözésnél a tengely pontjai fixpontok (helyben maradnak). Tengelyes tükrözésnél a tengely minden pontja fixpont, tehát a tengely fixalakzat. Ha egy alakzat és képe megegyezik a geometriai transzformációnál invariáns alakzatnak nevezzük. Pl.: tengelyesen tükrözve egy négyzetet az átlójára, mint tengelyre, a négyzet invariáns. A négyzet képe önmaga, de nem pontonként fix, tehát nem fixalakzat! Identikus transzformáció az a transzformáció, amely a sík minden pontjához önmagát rendeli hozzá. Pl: tengelyesen tükrözve P-t a képe P’, és ugyanerre a tengelyre tükrözve P’-t a képe P. (Az eltolás nem identikus transzformáció, mert P képe P’, de P’ képe nem P!)

Geometriai transzformációk - fogalmak

Középvonalak: Súlyvonalak:

Nevezetes vonalak: középvonal, súlyvonal

A háromszög középvonala két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, amely párhuzamos a harmadik oldallal és hossza a harmadik oldal fele. a || a/2; b || b/2; c || c/2 a

b/2 c/2

A paralelogramma középvonala két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakasz, amely egyenlő hosszú és párhuzamos az oldalakkal. AB||=DC||=F4 F3; AD||=BC||=F1 F2

A trapéz középvonala szárai felezőpontjait összekötő szakasz, amely párhuzamos az alapokkal és hossza azok összegének a fele. a || c || k; k=(a+c):2 a

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Metszéspontjuk a súlypont, amely 1:2 arányban osztja a súlyvonalakat. AS : SF2=2:1; BS : SF3=2:1; CS : SF1=2:1

A B F1

S F2 F3

Középponti szög:

Radián:

3,5714,3

180180

A teljes szög nagysága radiánba mérve:

360rad

eontiSzögÍvságúKözéppRadiánNagy

KörívhozTartozó

tehát 360 = 2 (rad) 180 = 1 (rad)

Kör középponti szöge Radián

Az r sugarú kör r nagyságú ívéhez tartozó középponti szöge 1 radián, ami 57,3

r 1rad

Középponti szögről beszélünk, ha a szög csúcsa egy adott kör középpontja

Dt és t a körcikkek területe

360 rad

Fok radián:

)(84,05,7

tehát

radrad

Radián fok:

4884,0*28,6

360)(84,0*

360)(84,0

)(*)(2

radrad

tehát )(*)(2

360rad

Fokban megadott szögek átváltása radiánba és fordítva

Kör adott középponti szögéhez tartozó körív hossza:

1. Mekkora a 10 cm sugarú körben a 30-os, azaz 6

középponti szöghöz tartozó körív hossza?

14,3*10

6*10 ri =5,2 (cm)

30*360

14,3*10*230*

r =5,2 (cm)

Kör középponti szögéhez tartozó körcikk területe:

2. Mekkora a 10 cm sugarú körben a 30-os, azaz6

középponti szöghöz tartozó körcikk területe?

14,3*100

t 26,2 (cm2)

30*360

14,3*1030*

22r 26,2 (cm2)

Körív hossza, körcikk területe

b.) Fokban számolva:

a.) Radiánban számolva:

b.) Fokban számolva:

Több vektort a háromszög-szabály alapján úgy adunk össze, hogy minden rákövetkező vektor kezdőpontját az előző végpontjába tolunk el. Az eredővektor az első kezdőpontjából az utolsó végpontjába mutat. Jelölése: Vektorok kivonása: a két vektort közös kezdőpontból kiindulva vesszük fel, az eredővektor a kivonandó vektor végpontjából a kisebbítendő vektor végpontjába mutat. Jelölése: Nullvektor: = Vektor szorzása számmal:

Műveletek vektorokkal

a b + +c

a a b -

a (-b)+

= a b - a (-b)+

a a - 0

a Ha 0 és x>0, akkor x* =|x|*| | és -ral egyirányú, x<0, -ral ellentétes irányú.

vektor kezdőpont végpont (0;0) (4;2) (-2;2) (2;4) = (4+-2 ; 2+2) (-5;-3) (-1;-1) = (4+-5 ; 2+-3) (0;-4) (4;-2) = (4+0 ; 2+-4) ha (0;0) (x0;y0), akkor (a;b) (x0+a;y0+b)

Vektorok a koordináta-rendszerben

A derékszögű koordináta-rendszerben egy pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor P(4;3) helyvektora

Bármely vektor megadható a koordináta-rendszerben reprezentánsával, amelynek kezdőpontja az origó. Az , , vektorok egyenlők, reprezentánsuk

Végzettség 0-7 osztály

Általános iskola

KözépiskolaFelsőfokú végzettség

Létszám 74000 1755000 4812000 1598000

14 év f elettiek

iskolai

v égzettsége

Magy arországon

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

közé

felső

Adatok: 9; 9; 9; 8; 8; 7; 7; 7; 7; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 3; 3; 2; 2; 2; 1; 1.

Az adatsokaságban a leggyakrabban előforduló adatot a minta móduszának nevezzük. 4 Az adatok összegének és adatok számának hányadosa a számtani közép vagy átlag. 153:30=5,1 Az adatok között előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége a minta terjedelme. 9-1=8 Az adatok mediánja páratlan számú adat esetén a középső adat, páros számú adat esetén a két középső átlaga. (Az a szám, amelynek az adatoktól vett távolsága minimális.) (6+4):2=5

Statisztika

A statisztikai elemzésekhez összegyűjtött adatokat adatsokaságnak vagy mintának nevezzük. A gyakorisági eloszlást függőleges oszlopokkal ábrázoló diagram a gyakorisági diagram vagy hisztogram.

Tartalomjegyzék Ötödik osztály 3. A tízes számrendszer. 4. A természetes számok. 5. Számnevek helyesírása. 6. Mit jelentenek e következő szótöredékek

szóösszetételekben: milli-, centi-, deci-, deka-, hekto-, kilo- ?

7. A hosszúság mértékegységei? 8. A tömeg mértékegységei? 9. A számegyenes jellemzői. 10. Relációk – számhalmazok. 11. Kerekítés szabálya. 12. Elnevezések az összeadásnál. 13. Elnevezések a kivonásnál. 14. Elnevezések a szorzásnál. 15. Az idő mértékegységei? 16. Egy szám osztói, többszörösei. 17. Elnevezések az osztásnál? 18. Műveletek sorrendje? 19. Az összeg osztása kétféleképpen. A különbség osztása kétféleképpen. 20. Arányos következtetések. 21. Egyenletek. 22. Grafikonok. 23. Számrendszerek. 24. A síkidom, sokszög meghatározása. 25. A terület mértékegységei? 26. Négyzet, téglalap kerülete, területe. 27. Kerület, terület, felszín, térfogat fogalma. 28. A térfogat mértékegységei? 29. A téglatest, a kocka hálózata.

A téglatest, a kocka felszíne. A téglatest, a kocka térfogata.

30. Milyen űrmértékeket ismersz? 31. Az ellentettje, abszolút-értéke? 32. Merre lépünk a számegyenesen előjeles

számok hozzáadásakor ill. kivonásakor? 33. Rajzolj koordináta-rendszert. 34. A szorzás, osztás előjelszabálya? 35. A szögmérés mértékegységei? 36. Milyen szögfajtákat ismersz? 37. Milyen műveleti jelet helyettesít a

törtvonal? Mit mutat meg a tört nevezője, számlálója?

38. Értelmezd a tört bővítését. 39. Értelmezd a tört egyszerűsítését. 40. Hogyan adunk össze törteket?

Hogyan vonunk ki törteket? 41. Törtet egész számmal hogyan szorzunk,

hogyan osztunk? 42. Mikor merőleges két egyenes egymásra?

Mikor párhuzamos két egyenes egymással? 43. A kör fogalma. 44. A kör sugara, átmérője? 45. A kör szelője, húrja? 46. A kör érintője? 47. A háromszög fogalma. 48. A négyszög fogalma. 49. A trapézek származtatása. 50. A síkidomok rendszerezése. 51. A trapéz fogalma. 52. A paralelogramma fogalma. 53. A téglalap fogalma. 54. A rombusz fogalma. 55. A négyzet fogalma. 56. Szerkesztések:

szakaszfelező merőleges és merőleges szerkesztése egyenes adott pontjába.

57. Hogyan jutunk a tizedes törtekhez? 58. Tizedes törtek összeadása, kivonása. 59. Hogyan szorzunk, osztunk 10-zel, 100-zal,

1000-rel? 60. Hogyan végzed el a szorzást a tizedes törtek

körében? 61. Tizedes tört osztása egész számmal. 62. Átlagszámítás. 63. Törtek átváltása tizedes törtre. Hatodik osztály 64. Elnevezések a hatványozásnál. 65. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös

többszörös. 66. Oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel? 67. Oszthatóság 4-gyel, 25-tel, 100-zal? 68. Oszthatóság 3-mal, 9-cel, 6-tal? 69. Prímszám, összetett szám. 70. A számhalmazok rendszerezése. 71. Hogyan szorzunk törtet törttel? 72. Törttel hogyan osztunk? 73. Hogyan osztunk tizedes törttel? 74. Hogyan felezünk szakaszt, szöget? 75. Merőleges szerkesztése egyenes adott

pontjába. 76. Merőleges szerkesztése egyenesre külső

pontból. 77. Szögek szerkesztése. 78. A háromszög oldalai, csúcsai, szögei -

jelölések. A derékszögű háromszög oldalai.

79. Csoportosítsd a háromszögeket oldalai, majd szögei szerint.

80. A háromszög belső szögeinek összege? A háromszög külső szögeinek összege?

81. Összefüggés a háromszög szögei között, összefüggés a háromszög oldalai között.

82. Mit kell tudni a 30-, 60-os derékszögű háromszög oldalairól?

83. A téglatest, kocka hálózata. 84. A terület mértékegységei? 85. A téglatest, kocka felszíne 86. A térfogat mértékegységei? 87. A téglatest, kocka térfogata. 88. Arányos osztás. 89. Egyenes arányosság. 90. Fordított arányosság. 91. Milyen mennyiségek szerepelnek a

százalékszámításnál? 92. Az 1% hányad része az egésznek? 93. Hogyan számítom ki a százalékértéket, az

alapot, a százaléklábat? 94. Arány, tört, tizedes tört, százalékalak. 95. Tengelyes tükrözés. 96. A tükrös háromszög tulajdonságai. 97. A deltoid tulajdonságai. 98. A rombusz tulajdonságai. 99. A húrtrapéz tulajdonságai. 100. Az egyenlőszárú háromszög és a

deltoid kerülete, területe. 101. Egyenlet, azonosság. 102. Mérlegelv egyenletmegoldáskor. Hetedik osztály 103. Számhalmazok jelölése. 104. Hatványozás azonosságai. 105. Számok normálalakja. 106. Mennyiségek törtrésze. 107. Statisztikai számítások.

108. Az egyenletmegoldásnál felmerülő problémák.

109. Mi a vektor? 110. A szögek fajtái. 111. A kör, sugár, átmérő, húr, szelő,

érintő. 112. A körcikk és körszelet. 113. A háromszög, négyzet, téglalap,

paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid fogalma.

114. Paralelogramma kerülete, területe.

115. Deltoid kerülete, területe. 116. Trapéz kerülete, területe. 117. Háromszög kerülete, területe. 118. A sokszög kerülete, területe. 119. Hasáb hálózata, felszíne. 120. Hasáb térfogata, váza. 121. A kör kerülete, területe. 122. A körív hossza. 123. A körcikk területe. 124. A henger hálózata, felszíne,

térfogata. 125. Mivel adható meg a függvény? 126. A lineáris függvény. 127. Egyenletek grafikus megoldása. 128. Számtani sorozat. 129. Az eltolás tulajdonságai. 130. A tengelyes tükrözés

tulajdonságai. 131. A középpontos tükrözés

tulajdonságai. 132. Nevezetes szögek. 133. Az elforgatás tulajdonságai.

134. Mit fejez ki az együttható, kitevő?

135. Algebrai kifejezés helyettesítési értékének kiszámítása.

136. Egynemű kifejezések. 137. Egytagú kifejezés szorzása,

osztása egytagú kifejezéssel. 138. Összeg, különbség szorzása

egytagú kifejezéssel. Kiemelés. 139. Többtagú kifejezés szorzása

többtagú kifejezéssel. 140. A háromszögek

magasságvonalai, oldalai közötti kapcsolat, szögei közötti kapcsolat.

141. A háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat.

142. A háromszög szerkesztésének alapesetei.

143. Paralelogramma tulajdonságai. 144. Trapéz tulajdonságai. Nyolcadik osztály 145. Halmazok - halmazműveletek. 146. Nevezetes azonosságok. 147. Számok négyzete. 148. Számok négyzetgyöke. 149. A háromszögek nevezetes

vonalai és pontjai. 150. Pitagorasz tétele. 151. A gúla hálózata, felszíne,

térfogata. 152. A kúp hálózata, felszíne,

térfogata. 153. A gömb felszíne, térfogata.

154. A zárójelfelbontás szabálya. 155. Betűk. 156. Számok, mennyiségek közti

összefüggés felírása egyenlettel 1. 157. Számok, mennyiségek közti

összefüggés felírása egyenlettel 2. 158. „Helyiértékes” egyenletek. 159. „Mozgási” egyenletek. 160. „Keverési” egyenletek. 161. Együttes munkára vonatkozó

egyenletek. 162. Geometriai számításokkal

kapcsolatos egyenletek. 163. Thales tétele. 164. Érintő szerkesztése körhöz,

érintőnégyszög. 165. Egybevágóság fogalma.

Hasonlóság fogalma. Szakasz felosztása egyenlő részekre hasonlósággal.

166. Középpontos hasonlóság. 167. A függvényekről. 168. Mértani sorozat. 169. Függvény-transzformációk az y

tengellyel párhuzamosan. 170. Függvény-transzformációk az x

tengellyel párhuzamosan. 171. Sokszöge: oldal – átló –

háromszög – szögösszeg. 172. Tizedes tört közönséges törtté

alakítása.

Kilencedik osztály 173. Halmazok megadása, elemszáma. 174. Intervallumok. 175. Nevezetes azonosságok, teljes

négyzetté alakítás, szorzattá alakítás. 176. Műveletek algebrai törtekkel:

egyszerűsítés, szorzás-osztás, összevonás.

177. Oszthatóság. 178. Számrendszerek: átírás,

alapműveletek. 179. Függvények. 180. Abszolútérték függvény. 182. Másodfokú függvény. 183. Négyzetgyök függvény. 184. Lineáris törtfüggvény. 185. Egészrész, törtrész és előjel

függvény. 186. Függvénytranszformációk

rendszerezése. 188. Nevezetes vonalak, pontok. 189. Egyenletek megoldása nevezetes

szorzatok alkalmazásával. 190. Egyenletek megoldása grafikusan. 191. Az egyenlet értelmezési

tartománya, értékkészlete. 192. Egyenletek megoldása szorzattá

alakítással. 193. Egyenletek megoldása

mérleg-elvvel. 194. Egyenlőtlenségek. 196. Abszolútértéket

tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek.

198. Paraméteres egyenletek.

199. Szöveges egyenletek. 200. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

megoldási módszerei. 201. Egyenletrendszerekkel megoldható

feladatok. 202. Egyenletrendszerek – új változó

bevezetése. 203. Többismeretlenes

egyenletrendszerek. 204. Geometriai transzformációk –

fogalmak. 205. Nevezetes vonalak: középvonal,

súlyvonal. 206. Kör középponti szöge. Radián. 207. Fokban megadott szögek átváltása

radiánba és fordítva. 208. Körív hossza, körcikk területe. 209. Műveletek vektorokkal. 210. Vektorok a koordináta-rendszerben. 211. Statisztika.

Név-és tárgymutató Abszolútértéke 31 Alaki érték 3 Algebrai kifejezés helyettesítési értéke 135 Arány, tört, t.tört, … 94 Arányos osztás 88 Arányosság 20 egyenes a. 89 fordított a. 90 Átlagszámítás 62 Azonosság 101 Deltoid 97 kerülete 115 területe 100, 115 Derékszögű háromszög oldalainak neve 78 szögei: 30 és 60 82 Egész kifejezés 155 Egész számok 70, 103 Egybevágóság 165, 204 Egyenlet, egyenlőtlenség 21,101,194, 195 abszolútértéket tartalmazó 196, 197 együttes munka 161 geometriai 162 helyiértékes 158 keverési 160 mozgási 159 paraméteres 198 szöveges 156, 157, 199 Egyenletmegoldás grafikus úton 127, 190 mérleg-elv 102, 108, 193 nevezetes szorzatokkal 189 szorzattá alakítással 192

Egyenletrendszerek kétismeretlenes 201 megoldási módszerek 200 új változó bevezetése 202 többismeretlenes 203 Egynemű kifejezések 136 Egytagú egész kif. 155 Együttható 134 Ekvivalens átalakítások 193 Elforgatás 133 Ellentettje 31 Előjeles számok 32 Eltolás 129 Érintő szerk. körhöz 164 Érintőnégyszög 164 Értelmezési tart. 126, 191 Értékkészlet 126, 191 Felszín gömb 153 gúla 151 hasáb 119 henger 124 kúp 152 téglatest, kocka 29, 85 Fixpont, fixalakzat 204 Függvény 125 abszolútérték 167, 180,181 egészrész fg. 185 elsőfokú fg. 167 előjel fg. 185 lineáris fg. 126, 179 lineáris törtfg. 184 másodfokú fg. 167, 182 négyzetgyök fg. 167, 183 nulladfokú 167 tört fg. 167 törtrész fg. 185

Függvények jellemzői helyi minimum 180 meredekség 179 minimuma 180 szigorúan nő 180 Függvénytranszformációk 169, 170, 186, 187 Geometriai transzform. 204 Grafikonok 22 Gyökvesztés 193 Halmazok elemszáma173 megadása 173 műveletek 145, 173, 174 Hamis gyök 193 Hálózat gúla 151 hasáb 119 henger 124 kúp 152 téglatest, kocka 29, 83 Háromszög 47 belső szögeinek ö. 80 csoportosítása 79 jelölések 78 kerülete 117 külső szögeinek ö. 80 magasságvonalai 140 nevezetes pontok 149 nevezetes vonalak 149 oldalai és szögei 140 összefüggés oldalai között 81, 140 szögei között 81, 140 szerk. alapesetei 142 területe 100, 117 tükrös háromszög 96 Hasonlóság 165

Hatványozás 64 azonosságok 104 Helyi érték 3 Hosszúság mért.egys. 7 Identikus transzform. 204 Idő mértékegységei 15 Intervallumok 174 Invariáns alakzat 204 Irracionális számok 70 Ker., ter., felsz., térf. 27 Kerekítés 11 Kéttagú egész kif. 155 Kiemelés 138, 155 Kisebb, nagyobb 10 Kitevő 134 Kivonás 13 Koordináta-rendszer 33 Kör 43, 111 átmérője 44, 111 érintője 46, 111 húrja 45, 111 kerülete, területe 121 körcikk 112 körcikk területe 123, 208 körív hossza 122, 208 körszelet 112 középponti szöge 206 sugara 44, 111 szelője 45, 111 Középpontos hasonlóság 166 Középpontos tükr. 131 Különbség osztása 19 Legfeljebb, legalább 10 Legk. közös többszörös 65 Legnagyobb közös osztó 65 Merőleges szerk. 56, 75, 76 Merőlegesség 42 Mértani sorozat 168

Milli-, centi-, deci-, stb. 6 Műveletek algebrai törtekkel 176 Műveletek sorrendje 18 Négyszög 48, 113 Négyzet 55 kerülete, területe 26 Négyzetgyökvonás 148 Négyzetre-emelés 147 Nevezetes azonosságok 146, 175 Nevezetes szögek párhuzamos szárú sz.132 csúcsszögek 132 egyállású sz. 132 fordított állású sz. 132 mellékszögek 132 társszögek 132 merőleges szárú sz. 132 Nevezetes vonalak magasságvonal 140,149,188 középvonal 149, 205 szakaszfelező merőleges 149, 188 szögfelező 149, 188 súlyvonal 149, 188, 205 Osztás 17 Osztás előjelszabálya 34 Oszthatóság 177 2-, 5-, 10-zel 66 4-, 25-, 100-zal 67 3-, 9-, 6-tal 68 Osztó 16 Összeadás 12 Összeg osztása 19 Összetett szám 69 Paralelogramma 52

Párhuzamosság 42 Pitagorasz tétele 150 Polinom 155 Prímszám 69 Racionális sz. 70, 103 Radián 206, 207 Rombusz 54, 98 Síkidom 24 Síkidomok halmaza 50 Sokszög 24, 113 átlóinak száma 171 belső szögek összege 171 kerülete, területe 118 külső szögek összege 171 Statisztika 107 adatsokaság 211 hisztogram 211 medián 211 minta terjedelme 211 módusz 211 számtani közép 211 Szakasz felezése 74 Szakasz felosztása 165 Szakaszfelező merőleges szerkesztése 56 Számegyenes 9 Számnevek helyesírása 5 Számok normálalakja 105 Számrendszerek 23, 178 Számtani sorozat 128 Százalékszámítás 91 1% 1 század rész 92 alap kiszámítása 93 százalékérték kisz. 93 százalékláb kisz. 93 Szorzattá alakítás 175 Szorzás 14 Szorzás előjelszabálya 34

kerülete, területe 114 tulajdonságai 143 Szorzás, osztás egytagú kifejezéssel 137, 138 Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal 59 Szög felezése 74 Szögek szerkesztése 77 Szögfajták 36, 110 Szögmérés mért. egys. 35 Teljes négyzetté alakítás175Téglalap 53 kerülete, területe 26 Tengelyes tükr. 95, 130 Térfogat mért. egys. 28, 86 Térfogat gömb 153 gúla 151 hasáb 120 henger 124 kúp 152 téglatest, kocka 29, 87 Természetes sz. 4, 70, 103 Terület mért. egys. 25, 84 Thales tétele 163 Tizedes törtek 57 átváltás törtre 172 kivonás 58 szorzás 60 osztás 61, 73 összeadás 58 Tízes számrendszer 3 Több tag szorzása több taggal 139 Többszörös 16 Többtagú egész kif. 155 Tömeg mért. egys. 8

Tört nevező 37 számláló 37 törtvonal 37 Tört átváltása tiz. törtre 63 Tört bővítése 38 Törtet egész számmal ho-gyan szorzunk, osztunk 41 Tört egyszerűsítése 39 Törtek kivonása 40 szorzása 71 osztása 72 összeadása 40 Törtkifejezés 155 Törtrész számítás 106 Trapézek 49 húrtrapéz 99 kerülete, területe 116 trapéz fajtái 51 tulajdonságai 144 Űrmértékek 30 Valódi érték 3 Valós számok 70, 103 Váz hasáb 120 Vektor 109 alapműveletek 209 helyvektor 210 nullvektor 209 Zárójelfelbontás 154

A könyv megrendelhető: Postacím: Fogarasi Ferencné 8060 Mór, Cserhát u. 20. Telefon: 22 / 407-121 E-mail: fogarasifne@gmail.com

segÍthetek - oktatas.hu...5. 3 a tízes számrendszer helyiérték táblázata: milliók ezresek...

Documents

hÉ! - hozam & Érték magazin 3

Élelmiszer-szabályozás, magyar termék, nemzeti érték

a közösség érték

Érték-, ár- és volumenindexek, esettanulmányok.pdf

Érték alapú növekedés

mÉdiafigyelÉs: ÉrtÉk És minŐsÉg nagydÍj...

hÉ! - hozam & Érték magazin 5

szinguláris...

Érték a fotóban. országos fotótörténeti konferencia...

Újbuda · 2020. 1. 17. · 300,00 14.409,45 ft 3-890,55 ft...

a tulajdonosi érték mérése az értékközpontú ... ·...

budapesticorvinusegyetem gazdaságidöntésektanszék...

adatbázis-kezelésitakacs.kjg.hu/info_anyagok/adatbazis-kezeles_access_x… ·...

javaslat nemzeti érték felvételére a kapos–hegyháti

ÉrtÉk rend ÉrtÉkrend -...

kre-psrgy.hu · web viewszámok írása, olvasása (10...

a tudás mint felismert és elismert érték

Épületfűtés, használati melegvíz, medencefűtés...

matematika helyi tanterv 2016 · a tizedes törtek...

helyi Érték – Értékhely!