procesarea semnalelor - frecvența. domeniul fourier

Procesarea semnalelorFrecvent,a. Domeniul Fourier.

Paul Irofti

Universitatea din Bucures,tiFacultatea de Matematică s, i Informatică

Departmentul de InformaticăEmail: paul.irofti@fmi.unibuc.ro

Discretizare s, i es,antionare

Continuu:x(t) = sin(2πf0t) (1)

Discret:x(n) = sin(2πf0nts) (2)

undeI f0 – frecvent,a (Hz) măsoară numărul de oscilat, ii într-o secundăI n – es,antionul, indexul în s, irul de timpi 0, 1, 2 . . .I ts – perioada de es,antionare; constantă (ex. la fiecare secundă)I nts – orizontul de timp (s)I f0nts – numărul de oscilat, ii măsuratI 2πf0nt – unghiul măsurat în radiani (vezi note de curs)

Frecvent,ă

În analiza semnalelor suntem interesat, i adesea de frecvent,ă.

Motivat, ie:I sinusoida are o singură componentă f0 în frecvent,ă, numită s, i

componentă spectralăI suma a două sinusoide de frecvent,ă f1, respectiv, f2 are două

componente spectrale f1, f2 în domeniul frecvent,eiI suma a n sinusoide de frecvent,ă f1, . . . , fn va avea n

componente spectrale în domeniul frecvent,eiI invers, putem analiza un semnal uitându-ne în frecvent,ă s, i

analizând din ce sinusoide este compus s, i la ce frecvent,eact, ionează aceste componente

Frecvent,ă

Source: (Lyons 2004)

Recuperarea frecvent,ei

Cum determin frecvent,a semnalului real f0 în funct, ie de măsurători?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00Am

plitu

dex(t) = Asin(2 f0nts), f0 = 1, A = 1.0, nts = 0 : 2, samples = 40

T =es,antioaneperioadă

× timpes,antion︸ ︷︷ ︸

ts

= 20× 0.05 = 1s =⇒ f0 = 1Hz (3)

Frecvent,a de es,antionare

RemarcăFrecvent,a de es,antionare este inversul perioadei de es,antionare ts

fs =1ts, (4)

iar ea afectează direct determinarea frecvent,ei absolute f0,frecvent,a semnalului real (original)

Ce se întâmplă cu calculul frecvent,ei absolute f0 dacă modificfrecvent,a de es,ationare fs în (3)?

Exemplu: Frecvent,a de es,antionare fs = 7

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Ampl

itude

x(n) = sin(2 f0nts), fs = 7, nts = 0 : 1, n = 8x(0) = 0.00x(1) = 0.78x(2) = 0.97x(3) = 0.43x(4) = −0.43x(5) = −0.97x(6) = −0.78x(7) = −0.00

Exemplu: Frecvent,a de es,antionare fs = 7

Ghici, ciupercă, ce-i?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Ampl

itude

x(n) = sin(2 1nts), fs = 7, nts = 0 : 1, n = 8x(0) = 0.00x(1) = 0.78x(2) = 0.97x(3) = 0.43x(4) = −0.43x(5) = −0.97x(6) = −0.78x(7) = −0.00

Exemplu: Frecvent,a de es,antionare fs = 7

Poate cineva cu mai multă imaginat, ie ghices,te:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Ampl

itude

x(n) = sin(2 8nts), fs = 7, nts = 0 : 1, n = 8x(0) = 0.00x(1) = 0.78x(2) = 0.97x(3) = 0.43x(4) = −0.43x(5) = −0.97x(6) = −0.78x(7) = −0.00

Este adevărat?

Exemplu: Frecvent,a de es,antionare fs = 7

Ambele solut, ii sunt adevărate: fenomenul de aliere (aliasing).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Ampl

itude

x(n) = sin(2 f0nts), f0 = {1, 8}, fs = 7, nts = 0 : 1, n = 8x(0) = 0.00x(1) = 0.78x(2) = 0.97x(3) = 0.43x(4) = −0.43x(5) = −0.97x(6) = −0.78x(7) = −0.00

Există o infinitate de sinusoide care trec prin cele 8 puncte!

Aliasing

Fenomenul de aliere (aliasing) apare când:

x(n) = sin(2πf0nts) = sin(2π(f0 + kfs)nts) (5)

TeoremăFie frecvent,a de es,antionare fs (es,antioane / secundă) s, i k unnumăr întreg nenul. Atunci nu putem distinge es,antioanele uneisinusoide de frecvent,ă f0Hz de es,antioanele unei siunsoide def0 + kfsHz.

Cum putem fi siguri că ce am măsurat reprezintă realitatea?

Demonstrat, ie aliasing

Fie semnalul x(t) = sin(2πf0t) cu frecvent,a f0 pe care îles,antionăm cu o rată de fs es,antioane pe secundă la perioade detimp constante ts =

1fs(0ts , 1ts , 2ts , 3ts , . . . ):

x(0) = sin(2π0ts)x(1) = sin(2π1ts)x(2) = sin(2π2ts)x(3) = sin(2π3ts)

...x(n) = sin(2πnts) (6)

Astfel încât es,antionul x(n) are valoarea sinusoide originale lamomentul nts .

Demonstrat, ie aliasing

S, tim că sin(α) = sin(α+ 2πm) deci (6) devine:

x(n) = sin(2πf0nts) = sin(2πf0nts + 2πm) = (7)

= sin

(2π(f0 +

m

nts

)nts

)(8)

Fie m = kn a.î. putem înlocui fract, ia cu k

x(n) = sin

(2π(f0 +

k

ts

)nts

), (9)

apoi folosind fs =1ts

relat, ia devine

x(n) = sin(2πf0nts) = sin (2π (f0 + kfs) nts) . (10)

Exemplu: Frecvent,a de es,antionare fs = 7

Aliasing: f0 = 1, fs = 7, k = 1(10)=⇒ f = f0 + kfs = 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Ampl

itude

x(n) = sin(2 f0nts), f0 = {1, 8}, fs = 7, nts = 0 : 1, n = 8x(0) = 0.00x(1) = 0.78x(2) = 0.97x(3) = 0.43x(4) = −0.43x(5) = −0.97x(6) = −0.78x(7) = −0.00

Ambiguitate în domeniul frecvent,ei

Source: (Lyons 2004)

Duplicare (replici) în domeniul frecvent,ei

Source: (Lyons 2004)

Semnalul f0 = 7kHz es,antionat cu fs = 6kHz produce o secvent,ă acărui spectru reprezintă simultan semnalele (tonurile):1kHz , 7kHz , 13kHz , 19kHz , . . . .

Semnale trece-jos (lowpass)

Definit, ie

Semnalele limitate în bandă sunt semnalele a căror amplitudinespectrală este nulă în afara intervalului [−BHz,+BHz]. Altfel spus,semnalul are o frecvent,ă maximă.

Definit, ie

Un semnal trece-jos este un semal limitat în bandă s, i centrat înjurul frecvent,ei zero.

Source: (Lyons 2004)

Semnale trece-jos: de la analog la digital

Semnalul continuu este discretizat apărând duplicatele în spectrulfercvent,ei.

x(n) = sin(2πf0nts) = sin (2π (f0 + kfs) nts) .

Source: (Lyons 2004)

Se observă că fs ≥ 2B a.î. duplicatele sunt separate la ± fs2 .

Semnale trece-jos (lowpass): frecvent,a Nyquist

Definit, ie

Frecvent,a de es,antionare fs ≥ 2B este criteriul Nyquist dees,antionare, rezultat din teorema Nyquist-Shannon, ce asigurăsepararea duplicatelor în domeniul frecvent,ei.

Definit, ie

Frecvent,ele ± fs2 se numesc frecvent,e de pliere (folding frequencies)

sau frecvent,e Nyquist.

Ce se întâmplă când es,antionăm sub frecvent,a Nyquist?

Semnale trece-jos (lowpass): es,antionare sub Nyquist

Ce se întâmplă când es,antionăm sub frecvent,a Nyquist?

Source: (Lyons 2004)

Semnale trece-jos (lowpass): observat, ii

I informat, ia în interavul [−B,−B2 ] ∪ [B2 ,B] este coruptă

I valorile amplitudinilor în cazul suprapunerii sunt nedefiniteI informat, ia spectrală a semnalului original continuu este

cont, inută complet în banda [− fs2 ,

fs2 ]

I ultima observat, ie este foarte importantă în practică

Zgomot

Ce se întâmplă dacă semnalul continuu este însot, it de zgomot?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Time

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Ampl

itude

0.650 0.675 0.700 0.725 0.750 0.775 0.800 0.825 0.850Time

1.05

1.00

0.95

0.90

0.85

0.80

Ampl

itude

Semnale trece-jos (lowpass): zgomot

Pentru un semnal trece-jos es,antionat corect:I nu avem suprapuneri are duplicatelor în banda B

I dar duplicate ale zgomotului sfârs,esc s, i ele în banda de interes!

Source: (Lyons 2004)

Semnale trece-jos (lowpass): eliminarea zgomotului

Profităm de faptul că avem de a face cu semnal trece-jos s, ieliminăm cu un filtru trece-jos orice este în afara benzii BHz dupăcare discretizăm.

Source: (Lyons 2004)

Cum trecem în frecvent,ă s, i înapoi în timp?

Transformata Fourier s, i Transformata Fourier Inversă ne ajută sătrecem din domeniul timpului în domeniul frecvent,ei s, i vice-versa.

Transformata Fourier

Definit, ie

Transformata Fourier a unui semnal discret:

X (m) =N−1∑n=0

x(n)e−j2πnm/N

=N−1∑n=0

x(n) [cos(2πmn/N)− j sin(2πmn/N)]

(11)

I X (m) – componenta m DFT (ex. X (0),X (1),X (2), . . . )I m – indicele componentei DFT în domeniul frecvent,ei

(m = 0, 1, . . . ,N − 1)I x(n) – es,antioanele în timp (ex. x(0), x(1), x(2), . . . )I n – indicele es,antioanelor în domeniul timpuluiI N – numărul es,antioanelor în timp la intrare s, i

numărul componentelor în frecvent,ă la ies, ire

Transformata Fourier inversă

Transformata Fourier a unui semnal discret:

X (m) =N−1∑n=0

x(n)e−j2πnm/N

=N−1∑n=0

x(n) [cos(2πmn/N)− j sin(2πmn/N)]

Definit, ie

Transformata Fourier inversă a unui semnal discret (IDFT):

x(n) =1N

N−1∑m=0

X (m)e j2πnm/N

=1N

N−1∑m=0

X (m) [cos(2πmn/N) + j sin(2πmn/N)]

(12)