laborator - procesarea semnalelor ss

- 1 -

PROCESAREA SEMNALELOR

Lucrarea de laborator nr. 1

Functii treapt

n cadrul acestui laborator se va utiliza programul Mathematica, al companiei

Wolfram Research.

Reamintim cateva reguli de utilizare a programului Mathematica la scrierea i rularea

aplicaiilor, si care conduc la cele mai frecvente erori:

- Rularea programelor scrise se face cu combinaia de taste Shift+Enter;

- Matematica este case-sensitive;

- pentru operaia de nmulire se va folosi caracterul * sau un simplu spaiu;

- listele se alctuiesc folosind paranteze acolade, elementele fiind separate prin virgul;

- toate funciile programului Mathematica ncep cu liter mare;

- toate funciile folosesc paranteze drepte, nu rotunde;

- caracterul . atribuit oricrei variabile anuleaz orice valoare anterioar a acesteia;

1. Teoria lucrarii

Functia Heaviside numita i functie treapta se defineste de cele mai multe ori n felul urmator:

0, 0

( )1, 0

tt

t

(0.1)

si este reprezentata grafic n figura 1.9. Aceasta figura poate fi generata cu ajutorul programului

Mathematica prin urmatorul program:

- 2 -

Figura 1.9. Reprezentare a unei portiuni a functiei Heaviside

Cu ajutorul functiei Heaviside se poate defini matematic i reprezenta grafic un impuls

dreptunghiular. Pentru aceasta se pot utiliza doua functii Heaviside, una cu treapta la 0t , definita de

relatia (0.1), i alta cu treapta la t a definita prin:

0,

( )1,

t at a

t a

(0.2)

Prin scaderea acestor doua functii se obtine un impuls dreptunghiular, ca n programul urmator

i figura 1.10:

tr1 UnitStep t ; O functie cu treapta in 0

tr2 UnitStep t 2 ; O functie negativa cu treapta in 2

Plot tr1 tr2, t, 1, 8 , PlotRange All, PlotStyle Thickness .01 , AxesLabel t, "x t "

Compunerea celor doua functii

- 3 -

Figura 1.10. Obtinerea unui impuls dreptunghiular din doua functii Heaviside

Daca cele doua functii Heaviside ar fi avut treapta de exemplu la 6t i respectiv 8t s-ar fi

obtinut un impuls decalat cu 4T fata de primul, ca n figura 1.11.

tr1 UnitStep t 4 ; O functie cu treapta in 4

tr2 UnitStep t 6 ; O functie negativa cu treapta in 6

Plot tr1 tr2, t, 1, 8 , PlotRange All, PlotStyle Thickness .01 , AxesLabel t, "x t "

Compunerea celor doua functii

- 4 -

Figura 1.11. Impuls dreptunghiular decalat cu T=4 fata de cel anterior

Prin compunerea celor doua impusuri se obtine o succesiune ca n figura 1.12

imp1 UnitStep t UnitStep t 2 ;

imp2 UnitStep t 4 UnitStep t 6 ;

Plot imp1 imp2, t, 1, 8 , PlotRange All, PlotStyle Thickness .01 ,

AxesLabel t, "x t "

Figura 1.12. Succesiune de doua impulsuri dreptunghiulare

Generalizand, pentru Ni impulsuri se obtine:

Ni 10;

T 1;

0.3;

imp

k 0

Ni

UnitStep t k T UnitStep t k T ;

Plot imp, t, 0.5, 10 , PlotRange All, PlotStyle Thickness .01 , AxesLabel t, "x t "

- 5 -

Figura 1.13 Succesiune de 10Ni impulsuri dreptunghiulare

Pentru usurinta calculelor se poate alege originea timpului la momentul 2

, adica la jumatatea

primului impuls, i rezulta o succesiune ca n figura 1.14.

Figura 1.14 Succesiune de 10Ni impulsuri dreptunghiulare cu originea timpului centrata pe

primul impuls

2. Modul de lucru

1. S se scrie i s se ruleze urmtorul program, care descrie o funcie treapt:

x=UnitStep[t];

Plot[x,{t,-3,5}]

--------------------------------------------------------------

- 6 -

-3 -2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2. S se un program, care va afia un impuls dreptunghiular, folosind funcii treapt:

T=1;

x=UnitStep[t]-UnitStep[t-T];

Plot[x,{t,-3,5}]

--------------------------------------------------------------

-2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3. S se scrie un program care s afieze un impuls dreptunghiular, deplasat fa de

ordonat:

T=1;

x=UnitStep[t-T]-UnitStep[t-2T];

Plot[x,{t,-3,5}]

--------------------------------------------------------------

-2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4. S se scrie un program care s afieze un impuls dreptunghiular, deplasat cu 3k

perioade:

- 7 -

k=3;

x=UnitStep[t-k T]-UnitStep[t-(k+1)T];

Plot[x,{t,-3,5}]

--------------------------------------------------------------

-2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5. S se ruleze urmtorul program:

T 1;

k 3;

a 2;

b 4;

f1

2;

x a UnitStep t k T UnitStep t k f T

b UnitStep t k f T UnitStep t k 1 T ;

Plot x, t, 3, 5 --------------------------------------------------------------

-2 2 4

1

2

3

4

- 8 -


Spectru Fourier dreptunghi

1. Teoria lucrarii

Coeficienii dezvoltarii n serie Fourier trigonometrica pentru acest semnal se calculeaza cu formulele

2

2

2 2cos (sin sin )

2 2

sin22 2 sinc

2

2

n

AC A n tdt n n

T T n

nA n

A fT n

(0.3)

2

2

2sin 0nS A n t dt

T

(0.4)

2 2

0 0

2 2

1 1( ) , 0,

T

T

AC x t dt Adt Af C A

T T T

(0.5)

Asa cum a fost aleasa originea timpului, semnalul este o functie para:

( ) ( )x t x t (0.6)

ceea ce justifica anularea coeficienilor nS (sinusul fiind o functie impara i ortogonala pe cosinus nu

poate sa apara n descompunerea unui semnal par).

In relatia (0.3) s-a notat cu sinc functia sinus cardinal:

sin

sinc( )x

xx

(0.7)

Deoarece aceasta functie apare foarte des n prelucrarile de semnale, ii vom analiza n

continuare unele proprietati.

a)Valoarea n origine este unitara

- 9 -

0

sinsinc(0) lim 1

x

x

x (0.8)

b) Intersectiile cu abscisa sunt n puncte echidistante, multiplu de

sinc( ) 0, sin 0, , 0x x x k k (0.9)

c) Functia are oscilatii n jurul abscisei, cu amplitudini din ce n ce mai mici atunci cand x creste

n modul (deoarece x apare la numitor). Infasuratoarea acestor maxime i minime este deci o hiperbola

echilatera.

d) Integrala de la 0 pana la o valoare oarecare u se numeste functie sinus integral i nu are o

primitiva, valorile sale fiind calculabile doar numeric.

0

sinc( )Si( )

ux

u dxx

(0.10)

Valoarea la infinit este totusi calculabila analitic i va fi utilizata n unele aplicatii:

0

sinc( )Si( )

2

xdx

x

(0.11)

Fiind o functie para, se poate scrie de asemenea

0

sinc( ) sinc( )2

x xdx dx

x x

(0.12)

Aceste proprietati sunt vizibile n reprezentarile grafice din figurile 1.14 i 1.15.

sinc x_Sin x

x; definirea ca o functie generica, folosind underscore dupa variabila

Plot sinc x , x, 20, 20 , PlotRange All, PlotStyle Thickness .01 , AxesLabel x, "Sinc x " ;

Cand se utilizeaza, parametrul formal x_ devine parametru actual x fara underscore

Figura 1.14 O portiune a functiei sinus cardinal

- 10 -

Si u_0

u Sin x

xx; definirea ca o functie generica, folosind underscore dupa variabila

Plot Si u , u, 20, 20 , PlotRange All, PlotStyle Thickness .01 , AxesLabel u, "Si u " ;

Cand se utilizeaza, parametrul formal u_ devine parametru actual u fara underscore

Figura 1.15 O portiune a functiei sinus integral

Revenind la spectrul semnalului dreptunghiular centrat n origine, se observa ca exista doar

componente dupa functii cosinus, iar liniile spectrale au o infasuratoare de forma unui sinus cardinal.

Spectrul se obtine cu programul urmator i este prezentat n figura 1.16.

- 11 -

Figura 1.16 Spectrul unui semnal dreptunghiular periodic centrat n origine, cu factor de

umplere 0.05, amplitudine 1 i perioada 1.

Pentru a evita complicatiile introduse de semnalul necentrat n origine, este avantajos sa se

aleaga originea timpului pe mijlocul impulsului obtinandu-se un spectru numai dupa cosinus. Aceasta

conduce la o diferenta de faza 2

T

, care n cele mai multe aplicatii nu este semnificativa.

Desi teoretic numarul de armonici din spectrul semnalului este infinit, practic se poate defini o

banda de frecventa formata din componentele care se afla n lobul principal al functiei sinus cardinal,

deci intre zero i prima intersectie cu originea.

sin 0,2 2

2

n n

B n

(0.13)

Numarul de componente spectrale din lobul principal este egal cu inversul factorului de umplere

ale impulsurilor.

2 1

1

Tn

nf

(0.14)

Distanta intre doua linii spectrale este invers proportionala cu perioada semnalului

2

( 1)n nT

(0.15)

- 12 -

Rezulta ca daca se micsoreaza perioada i se mentine constant factorul de umplere, limiile

spectrale se distanteaza i invers, dar latimea lobilor ramane constanta.

Daca se micsoreaza factorul de umplere, lobul central al spectrului va cuprinde mai multe

componente, deci se mareste, deoarece distanta dintre ele depinde doar de T i nu depinde de f .

Acest lucru se poate proba cu programul urmator, n care se iau mai multe valori pentru factorul de

umplere mentinand perioada constanta i se obtin spectrele din figura 1.19.

T 1; A 2;

For 0.06, 0, 0.02, Scade factorul de umplere

g ;

For n 1, n 50, n ,

c n2

T 0A Cos n 2

Tt t;

g Append g, Graphics Thickness .008 , Line n, 0 , n, c n ;

;

Show g, Axes True, PlotRange 0, 50 , All , AxesOrigin 0, 0 , AxesLabel "n", "Cn"

- 13 -

- 14 -

Figura 1.19 Cresterea lobului central al spectrului cand factorul de umplere scade (in prima

figura 0.06 , n a doua 0.04 , iar n a treia 0.02 )

Componentele seriei Fourier n forma armonica pentru semnalul dreptunghiular centrat n

origine este identica cu modulul componentelor din seria trigonometrica, conform relatiei (2.28),

deoarece componentele dupa sinus sunt nule. Daca semnalul nu este centrat n origine, spectrul armonic

este cel prezentat n figura 1.20.

Figura 1.20a Spectrul de amplitudini al seriei Fourier armonice pentru semnal

dreptunghiular necentrat n origine

- 15 -

Figura 1.20b Spectrul de faze al seriei Fourier armonice pentru semnal dreptunghiular

necentrat n origine

Descompunerea n serie Fourier exponentiala a semnalului dreptunghiular centrat n origine

este, conform relatiilor (2.37) i (2.38)

/2

2 2

/2

sin2 2 1 2[ ] 2 2 sinc

2

2 2

jn jnjn t

nc

nA Ae dt A e e A A n

T T T Tjn n

(0.16)

sin2( ) sinc

2

2

jn t jn t

n n

nx t A e A n e

T Tn

(0.17)

Se observa ca n acest caz, amplitudinile sunt reale, n timp ce n cazul unui semnal

dreptunghiular necentrat n origine, rezulatul integrarii cu exponantiala imaginara da numere complexe.

Intr-adevar, pentru un semnal obtinut prin repetarea cu perioada T a unui impuls care este nenul intre

momentele 1 i 2 componentele seriei Fourier exponentiale sunt

2

1 2

1

2 2 22 jn t jn jn

T T Tnc

AA Ae dt j e e

T n

(0.18)

Un program care calculeaza spectrul seriei Fourier exponentiale pentru un semnal

dreptunghiular necentrat n origine este cel de mai jos, iar reprezentarea grafica este cea din figura 1.23.

- 16 -

Deoarece, asa cum am aratat, amplitudinile componentelor spectrale sunt n general complexe,

liniile spectrale se vor alege cu lungimi proportionale cu modulul componentelor, cu partea reala sau cu

partea imaginara a acestora. Vom numi spectrele obtinute n aceste cazuri spectrul modul (figura 1.21) ,

spectrul real (figura 1.22) i respectiv spectrul imaginar (figura 1.23).

Dupa cum se observa din aceste figuri, exista componente cu frecvente pozitive (pentru 0n )

dar i componente cu frecvente negative (pentru 0n ). Desi acestea din urma nu au o semnificatie

practica (in mod uzual consideram frecventa ca inversul perioadei iar pulsatia este 2

T

cu 0T ),

ele pot fi usor interpetate fizic, daca tinem seama ca frecventa (pulsatia) se poate defini ca derivata n

raport cu timpul a unghiului fazorului n planul complex

( )d t

dt

(0.19)

Daca unghiul creste n timp, deci fazorul se roteste n sens direct trigonometric, frecventa este

pozitiva, iar daca unghiul scade n timp, deci fazorul se roteste n sens invers trigonometric, frecventa

este negativa.

- 17 -

Figura 1.21 Spectrul modul al seriei Fourier exponentiale pentru semnal dreptunghiular

necentrat n origine

Figura 1.22 Spectrul real al seriei Fourier exponentiale pentru semnal dreptunghiular

necentrat n origine

- 18 -

Figura 1.23 Spectrul imaginar al seriei Fourier exponentiale pentru semnal dreptunghiular

necentrat n origine

Se observa ca spectrul modul este par, dupa cum rezulta i din relatia

1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2ni

nc n n n n n n ncA C S e C S C S A

(0.20)

De asemenea se poate utiliza relatia Euler n relatia(2.38) i se obtine

2 2 2

1 1 1

22 2 2 2 2

cos sinjn t

Tnc n nA Ae dt A n tdt j A n tdt A jB

T T T T T

(0.21)

unde nA este partea reala iar nB este partea imaginara a unei componente spectrale. Deoarece nA este

integrala unei functii pare, spectrul real este par, dupa cum se observa i n figura 1.24.De asemenea,

deoarece nB este integrala unei functii impare, spectrul imaginar este impar, dupa cum se observa i n

figura 1.23.

Comparand spectrul seriei Fourier armonice din figura 1.20a cu spectrul modul al seriei Fourier

exponentiale din figura 1.21, se pot face urmatoarele observatii:

a) Numarul de componente spectrale n seria Fourier exponentiala este dublu fata de seria armonica, cuprinzand i frecvente negative

b) Fiecare componenta spectrala din seria Fourier exponentiala are o amplitudine exact jumatate din amplitudinea componentel omoloage din seria Fioure armonica

- 19 -

c) Infasuratoarea spectrului din seria Fourier exponentiala este continua n origine, n timp ce n

seria Fourier armonica componenta 0C are o amplitudine de doua ori mai mica decat

valoarea care ar fi data de infasuratoare.

Cazuri particulare ale semnalului dreptunghiular simetric.

Semnalul cu factor de umplere .

Dupa cum rezulta din relatia (0.14) i se observa n figura 1.19, banda semnalului se ingusteaza atunci

cand factorul de umplere creste. Aceasta observatie este valabila numai pana la valoarea 1/ 2f ,

deoarece este evident ca un semnal dreptunghiular cu factorul de umplere difera de unul cu factor de

umplere 1 f doar prin componenta continua, deci variatia bezii de frecventa cu factorul de umplere

este ca n figura 1.24.

f

Figura 1.24 Variatia numarului de armonici din lobul principal cu factorul de umplere

Banda minima, corespunzatoare factorului de umplere 1/ 2f este, conform (0.14)

1 4

2Bf T

(0.22)

si cuprinde teoretic doua armonici. Practic numai prima armonica (fundamentala) este nenula, iar

spectrul semnalului periodic dreptunghiular centrat n origine arata ca n figura 1.25.

- 20 -

Figura 1.25 Spectrul semnalului dreptunghiular cu factoru de umplere

Spectrul Fourier pentru acest semnal poate fi descris analitic prin formule simple. Introducand

un factor de umplere n relatia (0.3) se obtine

2sin sin

1 4 22 sinc 222 2

4 2

n

Tn

n TC A f A AT

nT

(0.23)

Tinand cont ca sinusul este nenul numai pentru 2 12 2

n k , avand n aceste cazuri

valoarea ( 1)k , se obtine

2 1 2 1

( 1),

(2 1)2

k

k kA C k

k

(0.24)

de unde rezulta urmatoarele particuaritati:

a) Ca la orice semnal dreptunghiular centrat pe origine, exista numai componente dupa cosinus, iar forma trigonometrica este identica cu cea armonica

b) Toate armonicile pare sunt nule, n spectru exista doar armonici de ordin impar 2 1n k c) Modulul amplitudinilor componentelor spectrale sunt invers proportionale cu ordinul lor, deci

infasuratoarea spectrului n modul este o hiperbola echilatera

Semnalul periodic dreptunghiular centrat n origine se poate scrie deci sub forma urmatoarei

serii

0

( 1)( ) cos(2 1) ;

2 (2 1)2

k

k

Ax t A k t

k

(0.25)

- 21 -

Aceste observatii sunt importante n aplicatiile electronice, deoarece un spectru larg implica

exigente mai mari atat pentru aparatura de transmitere cat i pentru cea de prelucrare a semnalelor. Cel

mai avantajos ar fi ca impulsurile dreptunghiulare sa aiba un factor de umplere cat mai apropiat de

pentru a avea o banda de frecvente cat mai mica. Pentru aparatura care utilizeaza secvente de date

binare, deci impulsuri aproximativ dreptunghiulare, se folosesc uneori diversi algoritmi care sa

inlocuiasca secventele mai lungi cu valoare constanta prin secvente n care se fac inversiuni ale nivelelor

logice dupa anumite reguli (de exemplu tehnici cu intoarcere la zero).

2. Modul de lucru

1. S se ruleze n Mathematica urmtoarele programe:

$Assumptions n Reals && n Integers;

A 1;

T 1;

f 1 5;

x

k 0

10

A UnitStep t k T UnitStep t k f T ;

Plot x, t, 0, 15 T --------------------------------------------------------------

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Graphics--------------------------------------------------------------

Cn2

T 0

T

x Cos n 2Tt t

Sn2

T 0

T

x Sin n 2Tt t

An Sn2

Cn2

1

2

--------------------------------------------------------------

- 22 -

Sin2n

5

n

2 Sinn

5

2

n

4 Sinn

5

4

n2 2

Sin2n

5

2

n2 2

----------------------------------------------------------------

C01

T 0

T

x t

C2 n 12

T 0

T

x Cos 2 n 1Tt t

S2 n 12

T 0

T

x Sin 2 n 1 2Tt t

A2 n 1 S2 n 12

C2 n 12

1

2

--------------------------------------------------------------

1

5

2 Sin1

52 n

2 n

1 Cos2

52 n

2 n

1 Cos2

52 n

2

2 n 2

4 Sin1

52 n

2

2 n 2

--------------------------------------------------------------

C2 n2

T 0

T

x Cos 2 n 2Tt t

S2 n2

T 0

T

x Sin 2 n 2Tt t

A2 n S2 n2

C2 n2

1

2

--------------------------------------------------------------

Sin4n

5

2 n

Sin2n

5

2

n

Sin2n

5

4

n2 2

Sin4n

5

2

4 n2 2

--------------------------------------------------------------

- 23 -

g ; T 1; A 1;

n .;

For f 0, f 0.49, f f 0.01;

x A UnitStep t UnitStep t f T ;

C01

T 0

T

x t;

g1 Graphics Thickness .01 , Line 0, 0 , 0, C0 ;

For n 1, n 10, n ;

Cn2

T 0

T

x Cos n 2Tt t;

Sn2

T 0

T

x Sin n 2Tt t;

An Sn2

Cn2

1

2 ;

g Append g, Graphics Thickness .01 , Line n, 0 , n, An ; ;

Show g1, g, Axes True, PlotRange 0, 0.7 , AxesOrigin 0, 0 ; --------------------------------------------------------------

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

- 24 -

2. S se ruleze n Mathematica urmtorul cod. Ce observai?

g ; T 1; A 1;

n .;

For k 2, k 10, k 1,

f1

k;

g ;

x A UnitStep t UnitStep t f T ;

C01

T 0

T

x t;


For n 0, n 50, n ;

Cn2

T 0

T

x Cos n 2.0Tt t;

Sn2

T 0

T

x Sin n 2.0Tt t;

An Sn2

Cn2

1

2 ;

g Append g, Graphics Thickness .005 , Line n, 0 , n, An ;

;

Show g1, g, Axes True, PlotRange All, AxesOrigin 0, 0 ;

--------------------------------------------------------------

10 20 30 40 50

0.05

0.1

0.15

0.2

- 25 -


Spectru Fourier triunghi

1. Teoria lucrarii

Cel mai raspandita baza de vectori utilizata n analiza semnalelor o constituie setul de functii

trigonometrice ( ) cos( ), ( ) sin( )n nf t n t g t n t , cu n intreg pozitiv sau 0. Aceasta alegere este

naturala, deoarece n multe sisteme fizice, relatia intre fortele generalizate i variatia coordonatelor

generalizate este liniar daca sistemul este scos doar putin din starea de echilibru. Dupa cum se stie,

revenirea n starea de echilibru a sistemului n campul unor astfel de forte se face prin oscilatii

sinusoidale, ceea ce justifica interesul larg pentru astfel de semnale.

Folsind aceste functii se poate genera o baza a unui spatiu n care se poate efectua asa numita

analiza Fourier a semnalelor periodice.

Functiile bazei sunt:

( ) cos( )

( ) sin( )

n

n

f t n t

g t n t

(0.26)

in care s-a notat cu frecventa corespunzatoare perioadei semnalului analizat:

2

T

(0.27)

Se observa ca trebuiesc folosite atat functii de tip sinus cat i functii de tip cosinus. Aceasta

deoarece functiile sinus sunt impare i nici o combinatie liniar a lor nu ar putea genera un eventual

semnal par. De asemenea, functiile cosinus sunt pare, deci pentru a analiza un semnal oarecare trebuie

folosite ambele seturi de functii, folosind o serie de forma

0 0

( ) ( ) ( )n n n nn n

x t C f t S g t

(0.28)

unde s-au notat cu nC coeficienii dezvoltarii dupa cosinus i cu nS coeficienii dezvoltarii dupa sinus.

Functiile sunt intr-adevar ortogonale, deoarece se pot verifica prin calcul direct relatiile de

ortogonalitate (se exprima functiile trigonometrice cu exponentiale complexe folosind formula Euler):

- 26 -

cos cos , 12

sin sin , 12

sin cos 0

nm

T

nm

T

T

Tn t m t dt n m

Tn t m tdt n m

n t m tdt

(0.29)

Patratul constantei de normare este deci 2

T, pentru orice 1n , Pentru 0n patratul

constantei de normare pentru functiile cosinusoidale este T iar pentru cele sinusoidale este 0 deoarece:

cos0 cos0

sin0 sin0 0

T

T

t t dt T

t tdt

(0.30)

In aceste conditii se pot scrie relatiile fundamentale ale analizei semnalelor (2.5) i (2.6) sub

forma:

01 1

( ) cos( ) sin( )n nn n

x t C C n t S n t

(0.31)

2

( )cos( ) , 1,2,...nT

C x t n t dt nT

(0.32)

2

( )sin( ) , 1,2,...nT

S x t n t dt nT

(0.33)

01

( ) ( )T

C x t dt x tT

(0.34)

0 0S (0.35)

Se observa ca s-au separat termenii de indice 0, ramanad doar cel dupa cosinus. Conform relatiei

(0.34), acesta reprezinta valoarea medie a semnalului, numita i componenta continua.

Relatia de analiza (0.31) reprezintAforma trigonometrica a seriei Fourier.

Se poate face o reprezentare grafica tridimensionala intuitiva a seriei Fourie trigonometrice a

unui semnal, cu ajutorul unor segmente echidistante cu lungimi proportionale cu diversele amplitudini

ale componentelor spectrale, ca n figura 1.5. Aceasta reprezentare formeaza spectrul Fourier

trigonometric al unui semnal periodic.

- 27 -

Figura 1.5. Spectrul Fourier trigonometric al unui semnal periodic

Pentru evidentierea caracteristicilor energetice ale seriei Fourier se poate folosi relatia Parseval

pentru semnale periodice. Astfel energia este

2 2 2 2

0

1 1

( )2 2

n n

n nT

T Tx t dt T C C S

(0.36)

si impartind la T se obtine puterea

2 2

2 2

0

1

1( )

2 2

n n

nT

C Sx t dt C

T

(0.37)

Se observa ca n calculul puterii se iau n consideratie amplitudinile efective ale componentelor

spectrale, egale cu amplitudinile impartie la 2 .

Forma armonica a seriei Fourier

Prin transformari trigonometrice simple, forma trigonometrica se poate transforma n forma

armonica a seriei Fourier (ca n figura 1.6)

0

1

( ) cos( )n nn

x t A A n t

(0.38)

- 28 -

2 2 1/2

0 0

[ ]

1( ) ( )

n n n

T

A C S

A C x t dt x tT

(0.39)

arctan nnn

S

C (0.40)

Figura 1.6. Compunerea componentelor seriei Fourier trigonometrice n forma armonica

Marimea n reprezinta faza componente spectrale respective a seriei armonice; se observa ca ea

este masurata intre nA i nS , deci n sens invers trigonometric, avand semnul minus n fata.

Spectrul Fourier armonic al unui semnal periodic se poate reprezenta prin doua grafice

bidimesionale: unul pentru amplitudini i unul pentru faze, ca n figura 1.7.

Avantajul acestei forme este acela ca n multe aplicatii informatia referitoare la faze nu este

importanta, i se poate folosi doar reprezentarea spectrala a amplitudinilor, care, spre deosebire de cea

din cazul seriei trigonometrice, este bidimensionala, deci mai simpla.

In aceasta reprezentare, componenta 0A este componenta continua, componenta 1A este

frecventa fundamentala sau pe scurt fundamentala, iar celelalte componente, corespunzatoare unor

frecvente multiplu intreg al fundamentalei se numescu armonici.

- 29 -

Figura 1.7. Spectrul Fourier armonic cu amplitudini i faze.

Conform expresiei(0.38), relatia Parseval(0.37)pentru putere se poate scrie n cazul formei

armonice a seriei Fourier astfel

2

2 2

0

1

1( )

2

n

nT

Ax t dt A

T

(0.41)

2, Modul de lucru

1. S se ruleze n mathematica urmtorul cod:

- 30 -

$Assumptions n Integers;

A 1;

T 1;

x

k 0

10 2 A

Tt 2 k A UnitStep t k T UnitStep t k

1

2T

2 A

Tt 2 k 1 A UnitStep t k

1

2T UnitStep t k 1 T ;

Plot x, t, 0, 10 T , PlotRange All --------------------------------------------------------------

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Graphics--------------------------------------------------------------

n .;

C01

T 0

T

x t

Sn2

T 0

T

x Sin n 2T

t t

Cn2

T 0

T

x Cos n 2T

t t

--------------------------------------------------------------

1

2 0 2 1 1

n

n2 2

2. S se scrie urmtorul program n continuarea celui anterior. Ce observai?

g={};T=1;A=1;

n=.;

g1=Graphics[{Thickness[.01],Line[{{0,0},{0,C0}}]}];

For[n=0,n10,n++; Print[Cn];

g=Append[g,Graphics[{Thickness[.01],Line[{{n,0},{n,Cn}}]}]];

]

Show[g1,g,AxesTrue,PlotRangeAll,AxesOrigin{0,0}];

- 31 -

--------------------------------------------------------------

4

2

0

4

9 2 0

4

25 2 0

4

49 2 0

4

81 2 0

4

121 2

2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

- 32 -


Spectru Fourier dinte fierstru

1. Teoria lucrarii

Forma exponentiala a seriei Fourier Tinand cont, conform relatiei Euler, ca partea reala a unei exponentiale complexe este cosinusul

argumentului, un termen al seriei Fourier armonice se poate scrie sub forma:

( ) *1cos( ) Re[ ] Re[ ] Re[ ] [ ]

2n nj n t j jn t jn t jn t jn t

n n n n nc nc ncA n t A e A e e A e A A e

unde s-a notat cu nj

nc nA A e amplitudinea complexa a unei componente

Prin urmare, forma armonica a seriei Fourier (0.38) se poate scrie sub forma:

(0.42)

*

0

1

1( ) [ ]

2

jn t jn t

nc nc

n

x t A A e A e

(0.43)

Se poate demonstra urmatoarea relatie:

*

nc ncA A (0.44)

Intr-adevar, se poate calcula, succesiv:

2 2 1/2

( )*

[ ]

arctan arctan arctan

n n n

n n

n n

n n n n

n n nn n

n n n

j j j

nc n n n nc

S S

C C

A C S A

S S S

C C C

A A e A e A e A

(0.45)

Rezulta ca al doilea termen al sumei se obtine din primul pur i simplu schimband semnul lui n ,

deci luand aceiasi termeni dar cu indicele de sumare 1, 2, 3,...,n . Suma se poate scrie atunci

cu un singur tip de termeni dar cu n variind de la la :

0

0

1( )

2

jn t

nc

nn

x t A A e

(0.46)

- 33 -

Notand formal termenul cu indice 0 (componenta continua):

0 01

2cA A (0.47)

rezulta urmatoarea forma exponentiala a seriei Fourier:

1

( )2

jn t

nc

n

x t A e

(0.48)

Coeficienii dezvoltarii sunt:

2

( ) jn tncT

A x t e dtT

(0.49)

Intr-adevar, se poate calcula succesiv:

2 2 1/2

1/22

[ ] (cos sin )

1 cos (1 tan )

nj

nc n n n n n

nn n n

n

A A e C S j

SC j

C

(0.50)

unde s-a fortat factor comun n prima paranteza nC , iar n a doua paranteza cos n . Tinand cont de

relatia de definire a fazei (0.40), se obtine

2 1/2[1 tan ]nc n nA C cos n (1 tan )

2 2(1 ) ( )(cos ) ( )sin

2( )(cos sin )

n

nn n n

n T T

T

j

SC j C jS x t n t dt j x t n t dt

C T T

x t n t j n t dtT

(0.51)

ceea ce demonstreza relatia (0.49).

De altfel, aceasta relatie se putea scrie direct daca se considera ca forma exponentiala a seriei

Fourier reprezinta dezvoltarea semnalului ( )x t dupa un set de vectori ortogonali

; ,..., 2, 1,0,1,2...,jn te n (0.52) Se poate verifica (prin relatia de ortogonalitate a acestor vectori care da i patratul constantei de

normare:

- 34 -

*

,jn t jm t jn t jm t jn t jm t nmT T

e e e e dt e e dt T (0.53)

de unde rezulta conform regulii (2.6) de calcul pentru coeficieni

1 1

( )2

jn t

nc

T

A x t e dtT

(0.54)

ceea ce de asemenea demonstreaza relatia (0.49).

Conform expresiei (0.48), relatia Parseval pentru putere (2.12) se poate scrie n cazul formei

exponentiale a seriei Fourier astfel

2

21 ( )2

n

nT

Ax t dt

T

(0.55)

3. Modul de lucru

S se scrie i s se ruleze urmtorul cod:

$Assumptions n Integers;

A 1;

T 1;

x

k 0

15 A

Tt k A UnitStep t k T UnitStep t k 1 T

Plot x, t, 0, 15 T --------------------------------------------------------------

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1

--------------------------------------------------------------

Graphics

- 35 -

C01

T 0

T

x t

Sn2

T 0

T

x Sin n 2T

t t

Cn2

T 0

T

x Cos n 2T

t t

--------------------------------------------------------------

1

2

1

n 0

--------------------------------------------------------------

g = {}; T = 1; A=1;

n = .;

g1 = Graphics [{Thickness [.01], Line[{{0,0}, {0,C0}}]}];

For [n = 0, n 10, n++; Print[Sn];

g = Append[g, Graphics[{Thickness[.01], Line[{{n, 0}, {n,

Sn}}]}]];

]

Show[g1, g, Axes True, PlotRange All, AxesOrigin {0, 0}]; --------------------------------------------------------------

1

1

2

....

1

11

2 4 6 8 10

-0.2

0.2

0.4

- 36 -


Sinteza i analiza semnalelor Dirac

1. Teoria lucrarii

Semnalul cu factor de umplere nul (impulsul Dirac periodic)

Pentru semnale dreptunghiulare periodice centrate n origine se poate analiza i un alt caz limita,

cel n care factorul de umplere tinde la 0. Se impune totusi o conditie suplimentara n acest caz, deoarece

daca amplitudinea ramane finita, suprafata S a fiecarui impuls (si deci i puterea) ar tinde de asemenea

catre 0,

2 2 21 1 1

( )T

P x t dt A AS A fT T T

(0.56)

astfel ca impulsurile nu ar mai avea spectru conform relatiei Parseval (0.41).

Singura posibilitate de a pastra semnalul cand factorul de umplere este nul ar fi ca pe masura ce

factorul de umplere scade, amplitudinea sa creasca imvers proportional, astfel incat sa se mentina o

areia constanta (de exemplu unitara) a fiecarui impuls

1T

S Adt A (0.57)

Impunand aceasta conditie, daca perioada activa a impulsului, , scade la 0, amplitudinea tinde

la infinit

0 0

1lim limA

(0.58)

Fiecare impuls ar avea deci latime infinit mica i amplitudine infinita, deci ar fi similar unei functii

Dirac (mai exact, distributie Dirac). O functie Dirac centrata pe o valoare 0t se defineste n felul urmator

0

0

0

; ;( )

0; ;

t tt t

t t

(0.59)

si este reprezentata n figura 2.26

Functia Dirac are de asemenea unele proprietari remarcabile rezultate din teoria distributiilor:

a) Aria unitara: Integrala pe toata axa a unei functii Dirac (aria sa) este egala cu 1.

0( ) 1t t dt

(0.60) ( )f t

b) Proprietatea de filtare: integrala produsului unei functii oarecare cu o functie Dirac centrata intr-

un punct 0t este egala cu valoarea functiei n acel punct

- 37 -

0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f t

(0.61)

c) Derivata functiei Heaviside este functia Dirac

0 0( )

( )d t t

t tdt

(0.62)

Figura 1.26 Un impuls Dirac centrat la momentul 4t s

Daca se alege 0 0t rezulta definitia

; 0;

( )0; 0;

tt

t

(0.63)

si este reprezentata n figura 2.27

Figura 1.27 Un impuls Dirac centrat la momentul 0t

- 38 -

Vom numi impuls Dirac un semnal care are variatia n timp similara unei functii Dirac, iar prin repetarea unui astfel de impuls pe toata axa timpului la momente echidistante kT se

obtine un semnal Dirac periodic, notat ( )T t i reprezentat n figura 2.28

( ) ( );Tk

t t kT

(0.64)

Figura 1.28 O portiune a unui semnal Dirac periodic cu perioada 1

Pentru impulsuri dreptunghiulare periodice centrate n origine am dedus seria Fourier trigonometrica(0.16)

1

( ) 2 sin cos2n

Ax t A cn n t

T T

(0.65)

Punand n aceasta relatie conditia mentionata anterior 1A i tinand cont ca

0 0

sin( )limsinc lim 1

2

xn

x

(0.66)

se obtine urmatoarea formula pentru dezvoltarea n serie a semnalului Dirac periodic

1

1 2( ) cosT

n

t n tT T

(0.67)

De asemenea, punand aceasta conditie n forma exponentiala a seriei Fourier (0.17)pentru

semnalul dreptunghiular periodic, i trecand la limita, se obtine o formula de dezvoltare n serie dupa

functii exponentiale complexe:

1

( ) jn tTn

t eT

(0.68)

- 39 -

Semnalul Dirac periodic poate fi obtinut practic dintr-un semnal dreptunghiular periodic

necentrat n origine, cum este cel din figura, la care se scade foarte mult factorul de umplere. Spectrele,

initial ca in figura urmatoare, devin din ce in ce mai lagi si mai plate pe masura ce scade f.

Figura 1.17a Spectrul componentelor dupa cosinus

Figura 1.17b Spectrul componentelor dupa sinus

Reprezentarea grafica tridimensionala a spectrului Forier n forma trigonometrica pentru semnal

periodic dreptunghiular cu factor de umplere scazut, necentratin origine, este prezentat n figura

urmatoare.

- 40 -

Figura 18 Reprezentare tridimensionala a spectrului Forier trigonometric pentru un semnal

de tipul celui din figura 17

2. Modul de lucru

1. S se scrie i s se ruleze urmtorul program:

Se scade si se observa largirea si aplatizareqa spectrului.

- 41 -

2. Se va scrie si se va rula programul de reprezentare tridimensionala a semnalului Dirac

periodic. Se va scadea si se vs observa largirea si aplatizareqa spectrului.

3. Se va scrie si se va rula urmatorul program de sinteza a semnalului dreptunghiular

periodic.

A 1;

T 1;

x

k 0

100

A1

2 k 1Sin 2 k 1

2

Tt ;

Plot x, t, 0, 2 T --------------------------------------------------------------

- 42 -

0.5 1 1.5 2

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

Graphics

--------------------------------------------------------------

For n 0, n 10, n ;

Cn2

T 0

T

x Cos n 2Tt t;

Sn2

T 0

T

x Sin n 2Tt t;

An Sn2

Cn2

1

2 ;

Print n, " ", Cn, " ", Sn ;

--------------------------------------------------------------

1 0 1

2 0 0

3 0

1

3 4 0 0

5 0

1

5 6 0 0

7 0

1

7 8 0 0

9 0

1

9 10 0 0

11 0

1

11 --------------------------------------------------------------

- 43 -

g ; T 1; A 1;

n .;

C01

T 0

T

x t;


For n 0, n 10, n ;

Cn2

T 0

T

x Cos n 2Tt t;

Sn2

T 0

T

x Sin n 2Tt t;

An Sn2

Cn2

1

2 ;

g Append g, Graphics Thickness .01 , Line n, 0 , n, An ;

;

Show g1, g, Axes True, PlotRange 0, 0.7 , AxesOrigin 0, 0 ; --------------------------------------------------------------

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

4. Se va scrie si se va rula urmatorul program de sinteza a semnalului dreptunghiular

periodic.

A 1;

T 1;

xA

2k 0

100 2 A 1

2 k 1Sin 2 k 1

2

Tt ;

Plot x, t, 0, 2 T --------------------------------------------------------------

- 44 -

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

- 45 -


Transformata Fourier dreptunghi

1. Teoria lucrarii Semnalul periodizat poate i reprezentat printr-o serie Fourier exponentiala:

1

( )2

jn t

T nc

n

x t A e

(0.69)

unde 2

T

ia amplitudinile componentelor spectrale sunt, conform relatiei (0.49)

/ 2

/ 2

2( )

T

jn t

nc T

T

A x t e dtT

(0.70)

Introducand expresia coeficienilor n relatia (0.69) se obtine:

/ 2

/ 2

1 2( ) ( )

2

T

jn t jn t

T T

n T

x t x t e dt eT

(0.71)

si inlocuind expresia lui obtinem

/ 2

/ 2

1( ) ( )

2

T

jn t jn t

T T

n T

x t x t e dt e

(0.72)

Dupa cum s-a aratat, componentele spectrale au frecvente multiplu intreg al frecventei

fundamentale , astfel ca distanta pe abscisa spectrului intre doua compnente spectrale nA i 1nA

este

( 1)n n (0.73)

Vom nota cele doua frecvente cu1n respectiv n iar distanta intre ele cu , ca n

figura 2.2, iar semnalul periodizat poate fi scris

/ 2

/ 2

1( ) ( )

2n n

T

j t j t

T T n

n T

x t x t e dt e

(0.74)

Pentru a descrie spectrul semnalului neperiodic se va face acum trecerea la limita ca n relatia

Error! Reference source not found..

Tinand seama ca aceasta distanta este invers proportionala cu perioada T , rezulta ca prin

trecerea la limita T ea devine infinit mica, d , iar variabila n devine o variabila

continua, . Totodata, se observa ca suma din expresia (0.74) prin trecere la limita devine o integrala

Rieman:

- 46 -

/ 2

0/ 2

1lim ( ) lim ( ) lim ( )

2n n

T

j t j t

T T T nT T

n T

x t x t x t x t e dt e

(0.75)

Rezulta urmatoarea egalitate, denumita expresia integrala a lui Fourier

1

( ) ( )2

j t j tx t x t e dt e d

(0.76)

Integrala din paranteza are ca variabila de integrare t , deci rezultatul ei va depinde de cealalta

variabila care apare n integrand, deci de . Rezulatul integrarii va fi notat cu majuscula aceleiasi litere

cu care s-a notat semnalul, n cazul de fata ( )X . Aceasta marime, obtinuta printr-o transformare care

implica o integrala i setul de functii utilizate n forma Fourier exponentiala, o vom numi transformata

Fourier a semnalului original ( )x t iar procesul prin care se obtine il vom numi transformare Fourier

( ) ( )j tX x t e dt

(0.77)

Relatia (0.76) se poate scrie deci i sub forma

1

( ) ( )2

j tx t X e d

(0.78)

exprimand trecerea inversa, de la semnalul transformat Fourier ( )X la semnalul original ( )x t . Acest

proces poate fi deci denumit transformare Fourier inversa.

Relatia (0.78) poate fi folosita pentru a da o interpretare spectrala transformatei Fourier. Astfel,

revenind la expresia dinainte de trecerea la limita, putem scrie, prin comparatie cu seria Fourier

trigonometrica, o analogie cu componentele spectrale ale unui semnal periodic

1 1

( ) ( ) [ ( ) ]2 2

n nj t j t

T n nc

n n

x t x t X e A e

(0.79)

1

( )nc nA X

(0.80)

Rezulta ca un semnal neperiodic poate fi sintetizat ca o suma infinita de oscilatii cu frecvente n

infinit apropiate i cu amplitudini proportionale cu valoarea transformatei Fourier a impulsului pentru

frecventele respective.

Totusi analogia nu este completa, deoarece amplitudinea asociata unei valori fixe a frecventei

( 0 ) este nula conform relatiei (0.80), n schimb marimea

0

( ) lim ncA

X

(0.81)

reprezentand amplitudinea spectrala raportata la un interval de frecventa este nenula. Prin urmare,

transformata Fourier a unui semnal neperiodic reprezinta densitatea spectrala de amplitudine a

semnalului.

In general nu se poate calcula transformata Fourier n cazul unui semnal periodic, deoarece

integrala cu limite infinite (0.77) un ar fi convergenta decat n cazuri speciale i cu precautii de trecere la

- 47 -

limita, asa cum se va exemplifica mai tarziu. Facand insa o comparatie intre expresia transformatei

Fourier i expresia (0.49) a unei componente spectrale putem scrie:

2

2

2 2( ) ( )

T

jn t

nc

T

A x t e dt X nT T

(0.82)

Aceasta inseamna ca spectrul unui semnal periodic de durata finita se poate calcula tot prin

transformare Fourier. Mai intai se considera ca semnalul periodic reprezinta repetarea cu perioada T a

impulsuluide durata finita, i se calculeaza transformata Fourier a impulsului. Apoi, conform relatiei

(0.82) se calculeaza amplitudinile spectrale din esantioanele transformatei Fourier n punctele cu

frecvente multiplu de .

Transformata Fourier este n general o marime complexa. Intr-adevar, folosind relatia Euler n

relatia de definitie (0.77), se poate scrie:

( ) ( ) ( )X A jB (0.83)

unde partea reala i respectiv imaginara sunt

( ) ( ) cos

( ) ( )sin

A x t tdt

B x t tdt

(0.84)

Deoarece functa cosinus este para iar functia sinus este impara, rezulta:

a) Daca semnalul este o functie para de timp, partea reala a transformatei Fourier este nenula,

iar partea imaginara este nula. Intr-adevar, produsul intre doua functii pare fiind tot o functie para ,

prima integrala este nenula, iar produsul intre o functie para i una impara fiind o functie impara,

integrala a doua este nula. Transformata Fourier este reala.

b)Daca semnalul este o functie impara de timp, partea reala a transformatei Fourier este nula,

iar partea imaginara este nenula, din considerente similare cu cele precedente. Transformata Fourier

este pur imaginara.

Ca orice marime complexa, transformata Fourier poate fi scrisa n modul i argument ca

( )( ) | ( ) | jX X e (0.85)

( )

( ) arctan( )

B

A

(0.86)

Transformarea Fourier inversa va da insa un semnal real, deoarece ( )X este o functie para

[ ( )]

0 | ( )|

1 1( ) | ( ) | | ( ) | cos[ ( )]

2 2

1 1| ( ) | sin[ ( )] | ( ) | cos[ ( )]

2 2

j t

deoarece x e para

x t X e d X t d

X t d X t d

- 48 -

2. Modul de lucru

1. S se ruleze urmtorul program:

x a UnitStep t2

UnitStep t2

X xt

t

--------------------------------------------------------------

a UnitStep t2

UnitStep t2

2 a Sin2

---------------------------------------------------------------------------

a =1;

=2; Plot[x, {t, -2, 2}]

Plot[Re[X], {, -10, 10}, PlotRange All] Plot[Im[X], {, -10, 10}, PlotRange All] Plot[Abs[X], {, -10, 10}, PlotRange All] --------------------------------------------------------------

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Graphics

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

Graphics

- 49 -

-10 -5 5 10

-1

-0.5

0.5

1

Graphics

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

Graphics

2. n continuarea programului anterior scriei i rulai urmtorul cod:

a=1;

For[=0,"Impulsul"];

]

a=1;

For[=0,"Modulul Transformatei Fourier"];

]

For[=0,"Partea reala a transformatei Fourier"];

]

For[=0,"Partea imaginara a transformatei Fourier"];

]

--------------------------------------------------------------

- 50 -

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Impulsul

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1Modulul Transformatei Fourier

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Partea reala a transformatei Fourier

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Partea imaginara a transformatei Fourier

- 51 -


Transformata Fourier dreptunghi asimetric

1. Teoria lucrarii

Urmatorul program reprezinta grafic un impuls dreptunghiular definit prin relatia:

1 2 2 1( ) ( ) ( ) ,x t A t t t t t t (0.87) a carui transformata Fourier obtinuta prin calcul direct este:

2

1 2

1

1( ) [ ]

t

j t j tj t

t

X e dt e ej

(0.88)

Se observa ca s-a introdus instructiunea de asigurare a conditiei 2 1 , s-a luat amplitudinea

unitara i s-au trasat separat grafice pentru partea reala i cea imaginara a transformatei Fourier. De

asemenea, limitele de intergrare nu sunt infinite ci s-au ales tinand cont de intervalul pe care semnalul

este nenul.

Rezultatele sunt prezentate n continuare:

- 52 -

- 53 -

In cazul unui impuls dreptunghiular centrat n originea axei timpului, datorita faptului ca el este

descris de o functie para, transformata Fourier este reala, conform relatiei (0.84). Impulsul poate fi scris

matematic n forma:

( )2 2

x t A t t

(0.89)

iar transformata sa Fourier obtinuta prin calcul direct este:

2 2sin sin

2 2( ) 2 sinc2

2

j jAX e e A A A

j

(0.90)

Programul care afiseaza impulsul i transformata sa Fourier este urmatorul:

- 54 -

Clear "` " ;

$Assumptions 0;

x t_ A UnitStep t2

UnitStep t2

;

X _

2

2x t t t

2;

A 3;

Plot x t , t, 3, 3 , AxesLabel "t", "x t "

Plot Re X , , 20, 20 , PlotRange All,

AxesLabel " ", "Re X "

Plot Im X , , 20, 20 , PlotRange All,

AxesLabel " ", "Im X " Rezultatele programului sunt urmatoarele i se observa ca partea imaginara este intr-adevar

nula.

2 A Sin2

-3 -2 -1 1 2 3

t

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x t

- 55 -

-20 -10 10 20

-1

1

2

3

4

5

6

Re X

-20 -10 10 20

-1

-0.5

0.5

1

Im X

- 56 -

2. Modul de lucru

1. S se scrie n Mathematica urmtorul program:

x a;

X0

t1

xt

t

a 1;

t1 2;

y a UnitStep t UnitStep t t1 ;

Plot y, t, 3, 3

Plot Re X , , 10, 10 , PlotRange All

Plot Im X , , 10, 10 , PlotRange All

Plot Abs X , , 10, 10 , PlotRange All

2 Sin

--------------------------------------------------------------

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Graphics

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

- 57 -

Graphics

-10 -5 5 10

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Graphics

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

Graphics

2. S se scrie n continuarea programului anterior urmtorul cod i s se ruleze:

a=1;

For[t1=0,t1"Impulsul"] ]

For[t1=0,t1"Modulul Transformatei Fourier"];

]

For[t1=0,t1"Partea reala a transformatei Fourier"];

]

For[t1=0,t1"Partea imaginara a transformatei Fourier"];

]

--------------------------------------------------------------

- 58 -

-3 -2 -1 1 2 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2Impulsul

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75


-30 -20 -10 10 20 30

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Partea reala a transformatei Fourier

-30 -20 -10 10 20 30

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Partea imaginara a transformatei Fourier

- 59 -


Transformata Fourier a unor impulsuri exponentiale

1. Teoria lucrarii

1) Pentru un impuls exponential pornind din origine

( ) ; (0, )tx t e t (0.91)

prin calcul direct se obtine

( )

0

1( ) j tX e dt

j

(0.92)

2) Pentru un impuls exponential simetric fata de origine

| |( ) tx t e (0.93)

prin calcul direct se obtine

0

( ) ( )

2 2

0

2( ) j t j tX e dt e dt

(0.94)

3) Pentru impulsul proportional-exponential pornind din origine

( ) ; (0, )tx t te t (0.95)

prin integrare prin parti se obtine

( ) ( ) ( )

0 2

0 0

1 1 1( ) |

( )

j t j t j tX te dt te e dtj j j

(0.96)

In calculul primului termen s-a tinut cont ca factorul exponential scade mai rapid decat orice polinom

astfel ca produsul lor la infinit este nul.

Acelasi rezultat se poate obtine plecnd de la transformata Fourier a impulsului exponential

(0.92) i, observand ca impulsul proportionalexponential este dat de derivata in raport cu a acestuia:

2

1 1( )

( )

t t td d

te te e

d d j j

(0.97)

4) Prin generalizarea rezultatului precedent pentru impulsul

( ) ; (0, )k tx t t e t (0.98)

prin inductie completa obtinem

2 2 31 2

( ) ( )

t td dt e ted d j j

(0.99)

- 60 -

1 1( 1)! !

( ) ( )

k t k t

k k

d d k kt e t e

d d j j

(0.100)

5) Pentru un impuls exponential imaginar incepand din origine

( ) ; (0, )jbtx t e t (0.101)

prin calcul direct se obtine o transformata Fourier pur imaginara

( )

( )

0

0 0

1( )

( ) ( )|

j b tjbt j t j b t eX e e dt e dt

j b j b

(0.102)

Daca originea timpului se alege la mijlocul impulsului

0 0( ) ; ( , )

jbtx t e t t t (0.103)

prin calcul direct se obtine o transformata Fourier reala

0

0

0 0

( )

( ) ( ) 0

( )( )

sin( )1[ ] 2

( )

|t j b t

tjbt j t

t

t

j b t j b t

eX e e dt

j b

b te e

j b b

(0.104)

6) Un impuls in forma de clopot Gauss

2

22( ) ; ( , )

t

ax t e t

(0.105)

are transformata Fourier tot in forma de clopot Gauss

2 2

2( ) 2a

X a e

(0.106)

Pentru a calcula intrgrala

2

22( )

tj t

aX e dt

(0.107)

se face schimbarea de variabila

; ; 22 2 2

t a dtu j du dt a du

a a

(0.108)

astfel ca se poate scrie

2 2 2 2 2

2 2

2( )

2 2 22 2

t t a a aj t j u

a a

(0.109)

iar transformata Fourier este

2 2 2 2 2 2

2 22 2 2( ) 2 2

a a a

u uX e e a du e e du e a

(0.110)

- 61 -

2. Modul de lucru

1. S se ruleze n Mathematica urmtorul program:

x t

Xt1

t1x

tt

---------------------------------------------------------------

t

2 Sin t1 Cos t1 t1

2 ----------------------------------------------------------------

T 1;

tMax 10;

step 0.5;

For t1 0, t1 tMax, t1 t1 step;

f x UnitStep t t1 UnitStep t t1 ;

Plot f, t, tMax, tMax , PlotRange tMax, tMax , 10, 10 ,

PlotLabel "Impulsul"


Plot Abs X , , 10, 10 , PlotRange 0, 100 , PlotPoints 80,

PlotLabel "Modulul Transformatei Fourier"


Plot Re X , , 10, 10 , PlotRange 100, 100 , PlotPoints 80,

PlotLabel "Partea reala a Transformatei Fourier"


Plot Im X , , 10, 10 , PlotRange 100, 100 , PlotPoints 80,

PlotLabel "Partea imaginara a Transformatei Fourier"

--------------------------------------------------------------

- 62 -

-10 -5 5 10

20

40

60

80


-10 -5 5 10

20

40

60

80


-10 -5 5 10

-100

-75

-50

-25

25

50

75

100

Partea reala a Transformatei Fourier

-10 -5 5 10

-100

-75

-50

-25

25

50

75

100

Partea imaginara a Transformatei Fourier

- 63 -


Transformata Fourier triunghi

1. Teoria lucrarii

Pentru un impuls triunghiular

( ) , (0, )x t t t (0.111)

prin calcul direct se obtine transformata Fourier

0

0 0

02 2 2

( )

1

|

|

j t j tj t

j j t j j

te eX te dt

j j

e e e e

j j

(0.112)

Rezulta transformata Fourier

2 2

1 1( ) ( ) jX e

j

2. Modul de lucru 1. S se scrie urmtorul program n Mathematica:

x a t;

Xt1

t2x

tt

----------------------------------------------------

t1 1 t1t2 1 t2

2

--------------------------------------------------------------

- 64 -

a 1;

tmax 10;

step .5;

For t1 0, t1 tmax, t1 t1 step;

f a t a t1 UnitStep t t1 UnitStep t

a t a t1 UnitStep t UnitStep t t1 ;

Plot f, t, tmax, tmax , PlotRange tmax, tmax , 0, 10


f a t a t1 UnitStep t t1 UnitStep t

a t a t1 UnitStep t UnitStep t t1 ;

Xt1

0

a t a t1t

t0

t1

a t a t1t

t;

Plot Abs X , , 10, 10 , PlotRange 0, 100 , PlotPoints 80

--------------------------------------------------------------

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

2

4

6

8

10

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

2

4

6

8

10

- 65 -

-10 -5 5 10

20

40

60

80

100Modulul Transformatei Fourier Triunghi

-10 -5 5 10

20

40

60

80

100Modulul Transformatei Fourier Triunghi

2. Iar urmtorul cod, scris n continuarea celui precedent, va afia partea imaginar i cea

real a transformatei Fourier triunghi:

T 1;

tmax 10;

step 0.5;


Xt1

0

a t a t1t

t0

t1a t a t1

tt;


PlotLabel "Partea Imaginara a Transformatei Fourier Triunghi"

step 1;


Xt1

0

a t a t1t

t0

t1a t a t1

tt;


PlotLabel "Partea Reala a Transformatei Fourier Triunghi"

- 66 -

----------------------------------------------------------

-10 -5 5 10

-100

-75

-50

-25

25

50

75

100

Partea Imaginara a Transformatei Fourier Triunghi

-10 -5 5 10

-100

-75

-50

-25

25

50

75

100

Partea Reala a Transformatei Fourier Triunghi

3. Pentru un impuls triunghiular asimetric se va scrie urmtorul cod n Mathematica i se va

rula:

- 67 -

A 1;

T 1;

tmax 1;

step 0.05;

For t1 0, t1 tmax 0.05, t1 t1 step;

f tA

t1UnitStep t UnitStep t t1

tA

T t1t1

A

T t1A UnitStep t t1 UnitStep t T ;

Plot f, t, tmax, tmax , PlotRange tmax, tmax , 0, 1 ,

PlotLabel "Triunghi asimetric"


f tA


tA

T t1t1

A


X0

T

ft

t;

Plot Abs X , , 30, 30 , PlotRange 0, 0.5 , PlotPoints 80,

PlotLabel "Modulul transformatei Fourier triunghi asimetric"

----------------------------------------------------------

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1Triunghi asimetric

- 68 -

-30 -20 -10 10 20 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Modulul transformatei Fourier triunghi asimetric

4. n continuarea programului anterior se va scrie urmtorul cod i se va rula, observndu-se

att partea imaginar, ct i partea real a transformatei Fourier triunghi asimetric:


f tA


tA

T t1t1

A


X0

T

ft

t;


PlotLabel "Partea imaginara a transformatei Fourier triunghi asimetric"


f tA


tA

T t1t1

A


X0

T

ft

t;


PlotLabel "Partea reala a transformatei Fourier triunghi asimetric"

----------------------------------------------------------

- 69 -

-10 -5 5 10

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Partea imaginara a transformatei Fourier triunghi asimetric

-10 -5 5 10

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Partea reala a transformatei Fourier triunghi asimetric

- 70 -


Transformata Fourier COSINUS

1. Teoria lucrarii

Pentru o oscilatie amortizata de tip cosinusoidal incepand din originea timpului

0( ) cos , (0, )

tx t e t t (0.113)

Transformata Fourier se poate obtine aplicnd teorema translatiei spectrului(2.159)

00 0

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0

1 1 1 1cos

2 ( ) 2 ( )

1

2 2 2

t

j

e tj

j j j j j

j j

Sa consideram semnalul periodic

0( ) cos , ( , ) x t t t (0.114)

Desi acesta nu este un impuls, ca si in cazul altor semnale de durata infinita (cum sunt cele din

exemplele anterioare), se poate calcula prin trecere la limita transformata sa Fourier.

Pentru aceasta se va considera doar o portiune a acestui semnal, de durata finita, cuprinsa intere

2

si

2

.

0

( ) cos , [ , ]

2 2

x t t t

(0.115)

reprezentat in figura urmatoare (0

10 rad/s, 2,5s ):

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

Acesta este un impuls, fiind produsul intre o cosinusoida si o fereastra de timp dreptunghiulara,

deci se poate calcula transformata sa Fourier

- 71 -

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

0

0 0

2

0 0

1( ) cos

2 2 ( ) 2 ( )

sinc( ) sinc( )2 2 2 2

j j j j

j t e e e eX te dtj j

(0.116)

reprezentata in figura urmatoare:

20 10 10 20

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Daca se mareste , cele doua maxime ale transformatei Fourier cresc in inaltime si se

ingusteaza, conform figurii, aproximand intr-o oarecare masura doua impulsuri Dirac centrate pe

10 rad/s.

15 10 5 5 10 15

1.0

0.5

0.5

1.0

- 72 -

30 20 10 10 20 30

2

2

4

6

8

Trecnd la limita din impulsul ( )x t se obtine semnalul periodic iniial ( )x t , astfel ca se

poate obtine prin aceasta trecere la limita si transformata Fourier a acestuia.

0 0( ) lim ( ) lim sinc( ) sinc( )2 2 2 2

X X (0.117)

Tinnd cont de faptul ca sinusul cardinal trece la limita in impuls Dirac, conform relatiei

Error! Reference source not found. se obtine

0 0( ) ( ) ( ) X (0.118)

Acest rezultat arata, cum era de asteptat, ca o sinusoida are o singura linie spectrala in seria

Fourier trigonometrica, (si simetrica acesteia in seria Fourier exponentiala).

2. Modul de lucru

1. S se scrie urmtorul cod n Mathematica, n vederea verificrii transformatei Fourier

Cosinus:

x Cos 2Tt

Xt1

t1x

tt

----------------------------------------------------------

Cos

2 t

T

2 T 2 Cos t1 Sin2 t1

TT Cos

2 t1

TSin t1

4 2 T2 2 ----------------------------------------------------------

- 73 -

T 1;

tmax 10;

step 0.5;



Plot f, t, tmax, tmax , PlotRange tmax, tmax , 1, 1 , PlotLabel "Impulsul"


Plot Abs X , , 10, 10 , PlotRange 10, 10 ,

PlotPoints 80, PlotLabel "Modulul Transformatei Fourier Cosinus"


Plot Re X , , 10, 10 , PlotRange 10, 10 ,

PlotPoints 80, PlotLabel "Partea reala a Transformatei Fourier Cosinus"


Plot Im X , , 10, 10 , PlotRange 10, 10 ,

PlotPoints 80, PlotLabel "Partea imaginara a Transformatei Fourier Cosinus"

----------------------------------------------------------

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Impulsul

- 74 -

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Modulul Transformatei Fourier Cosinus

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Partea reala a Transformatei Fourier Cosinus

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Partea imaginara a Transformatei Fourier Cosinus


Transformata Fourier SINUS

1. Teoria lucrarii

- 75 -

Consideram un semnal definit matematic n felul urmator:

0 0( ) cos( ) ( ), 0

tx t e t t (0.119)

Acestaeste un semnal modulat n amplitudine, cu purtatoarea avand frecventa 0 . Folosind

teorema translatiei spectrului data de relatia (2.159) i transformata Fourier a semnalului exponential

Error! Reference source not found., se obtine urmatoarea transformata Fourier a impulsului modulat:

00 0

0 0

2 2 2

0

1 1 1 1cos

2 ( ) 2 ( )

1

2 2

t

j

F e tj

j j j j

j

(0.120)

2 2 2

0

( )2

jX

j

(0.121)

Similar, pentru un semnal

0 0( ) sin( ) ( ), 0tx t e t t (0.122)

al carei purtatoare difera de cea precedenta printr-o faza / 2 , se obtine

02 2 2

0

( )2

Xj

(0.123)

Programul urmator afiseaza semnalul i transformata Fourier a semnalului (0.119).

Expresia transformatei Fourier este:

2 v02

Reprezentarea grafica a semnalului este:

- 76 -

2 4 6 8 10

t

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

x t

Partea reala a transformatei Fourier este:

-20 -10 10 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Re X

Partea imaginara a transformatei Fourier este:

- 77 -

-20 -10 10 20

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Im X

2. Modul de lucru

1. n vederea verificrii transformatei Fourier Sinus, s se scrie urmtorul cod n

Mathematica i s se ruleze. Ce observai la aceasta, comparativ cu transformata Fourier

Cosinus?

x Sin 2Tt

Xt1

t1x

tt

----------------------------------------------------------

Sin2 t

T

2 T T Cos t1 Sin2 t1

T2 Cos

2 t1

TSin t1

4 2 T2 2 ----------------------------------------------------------

- 78 -

T 1;

tmax 10;

step 0.5;



Plot f, t, tmax, tmax , PlotRange tmax, tmax , 1, 1 , PlotLabel "Impulsul"


Plot Abs X , , 10, 10 , PlotRange 10, 10 ,

PlotPoints 80, PlotLabel "Modulul Transformatei Fourier Sinus"


Plot Re X , , 10, 10 , PlotRange 10, 10 ,

PlotPoints 80, PlotLabel "Partea reala a Transformatei Fourier Sinus"


Plot Im X , , 10, 10 , PlotRange 10, 10 ,

PlotPoints 80, PlotLabel "Partea imaginara a Transformatei Fourier Sinus"

----------------------------------------------------------

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Impulsul

- 79 -

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Modulul Transformatei Fourier

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Partea reala a Transformatei Fourier

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Partea imaginara a Transformatei Fourier

- 80 -


Transformata Fourier 3 armonici

1. Teoria lucrarii

Prin analiza spectrala trebuiesc determinate componentele semnalului, adica proiectiile

vectorului semnal pe axele de coordonate ale spatiului semnalelor.

Problema inversa este sinteza semnalului, adica obtinerea unui semnal ca o combinatie liniar a

semnalelor elementare cu coeficieni dai.

Acesta se realizeaz deci prin formula

0

( ) ( )n nn

x t a f t

(0.124)

n care ( )nf t reprezint functiile elementare care formeaza baza spatiului Hilbert respectiv, iar na

reprezinta coeficienii dezvoltarii semnalului ( )x t dupa axele date de vectorii bazei, numite i

componente spectrale.

Teoretic, exista numeroase semnale care au un spectru infinit, n sensul ca este nevoie de o

infinitate de componente spectale i respectiv vectori ai bazei care sa conduca la o egalitate n relatia

(0.124). De exemplu, dezvoltarea unui semnal periodic dreptunghiular dupa semnale elementare

sinusoidale necesita un numar infinit de termeni. n anumite cazuri insa, numarul de termeni este finit,

ceea ce reprezinta desigur un avantaj n ceea ce priveste usurinta i precizia calculelor. Practic, toate

semnalele au un numar finit i rezonabil de mic de termeni cu valori semnificative. Se va demonstra la

sfarsitul acestui paragraf, din considerente energetice, ca pentru orice semnal exista un rang N , astfel

incat pentru orice indice i N amplitudinile componentelor spectrale devin nesemnificative.

Pentru analiza propriu zisa se pleaca de la un semnal cunoscut i ce cere calculul coeficienilor

dezvoltarii (0.124) dupa setul de functii elementare ( )nf t .

Acest lucru este n mare masura usurat daca se alege de la bun inceput un set ortogonal de

vectori, deci care satisfac o relatie de tipul Error! Reference source not found., avand domeniul de

ortogonalitate chiar perioada T a semnalului:

2( ), ( ) ( ) *( )i j i j i ij

T

f t f t f t f t dt c (0.125)

Intr-adevar, tinand cont ca o componenta a vectorului semnal se obtine efectuand n relatia

(0.124)produsul scalar al acestuia cu vectorul respectiv al bazei, conform relatiei

Error! Reference source not found. se obtine:

- 81 -

2

* *

0

* 2

0

( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , 1,2,...,

i ni

i i n n i

nT T

n n i i i

n T

c

x t f t x t f t dt a f t f t dt

a f t f t dt c a i n

(0.126)

Prin urmare, cele doua formule fundamentale ale analizei i sintezei semnalelor sunt:

0

( ) ( )n nn

x t a f t

(0.127)

*2

1( ) ( ) , 1,2,...,i i

i T

a x t f t dt i nc

(0.128)

Se poate demonstra ca pentru un set dat de vectori ai bazei descompunerea este unica, n sensul

ca pentru un numar finit de termeni retinuti n dezvoltarea (0.127) erorile sunt minime daca se iau

coeficienii dai de (0.128). Pentru aceasta, sa presupunem ca am alege un alt set de coeficieni, nb i

calculam eroarea pentru un numar finit de termeni ca abatere patratica medie:

2 2

0

2 2 2

0

0 0 0 0

[ ( ) ( )] 0

1 1[ ( ) ( )] ( )

2 1( ) ( ) ( ) ( )

N

n n

n

N

n n

nT T

N N N N

m m n n n n m m

m n n mT T

x t b f t

x t b f t dt x t dtT T

a f t b f t dt b f t b f t dtT T

(0.129)

Efectuand inmultirile (ceea ce inseamna ca produsul de sume devine o suma dubla) i scotind n

afara integralei termenii care un depind de variabila de integrare t (ceea ce inseamna inversarea sumei

cu intergrala) rezulta:

2 2

0 0 0 0

2 2 2 2

0 0

1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1( )

N N N N

n m n m n m n m

n m n mT T T

N N

n n n n n

n nT

x t dt a b f t f t dt b b f t f t dtT T T

x t dt a b c b cT T T

(0.130)

In aceste relatii s-a tinut cont ca integralele care raman, conform conditiei de ortogonalitate

(0.125), au valoarea 2

n nmc iar din sumele dupa m ramane doar termenul pentru care m n , astfel ca

sumele duble se contracta la sume simple.

Adunand i scazand un termen de forma 2 2

0

1 N

n n

n

a cT , relatia (0.130) se poate scrie sub forma

2 2 2 2 2 2

0 0

1 1 1( ) ( ) 0

N N

n n n n n

n nT

x t dt b a c a cT T T

(0.131)

- 82 -

unde s-a tinut cont ca abaterea patratica este intotdeauna mai mare sau egala cu zero.

Analizand relatia (0.131), care da o cantitate pozitiva, se observa ca se atinge minimul n functie

de setul de coficienti nb daca al doilea termen (de asemenea mai mare sau egal cu zero) este nul, adica

daca noul set de coeficieni este chiar cel initial:

, 0,1,2,...,n nb a n N

In acest caz, eroarea minima este:

2 2 2 2min0

1 1( ) 0

N

n n

nT

x t dt a cT T

(0.132)

De aici rezulta o relatie importanta, numita inegalitatea Bessel:

2 2 2

0

( )N

n n

nT

x t dt a c

(0.133)

Evident, egalitatea se obtine, numai daca descompunerea (0.127) este exacta, deci considerand

numarul total de termeni cu coeficieni nenuli,0N (finit sau infinit). n acest caz, se obtine asa numita

relatie Parseval:

0

2 2 2

0

( )N

n n

nT

x t dt a c

(0.134)

Daca vom considera ca semnalul ( )x t este tensiunea sau intensitatea unui curent electric printr-

o rezistenta de 1 ohm, rezulta 2

2( ) ( ).11

x tx t este puterea instantanee. Prin urmare integrala din

relatia (0.134)impartita la T da puterea medie pe acest interval:

21

( )TT

P x t dtT

(0.135)

Daca se inmulteste cu intervalul T se obtine energia semnalului pe perioada T ,

2 ( )T

T

E x t dt (0.136)

Aceasta inseamna ca relatia Parseval arata modul cum se distribuie energia pe componentele

semnalului. Se observa ca amplituidinile componentelor spactrale se aduna patratic pentru a da energia

semnalului. Neglijarea unor componente ale semnalului conduce la scaderea energiei pe perioada T ,

dupa cum arata i inegalitatea Bessel.

Relatia Parseval demonstreaza afirmatia ca peste un anumit rang N componentele semnalului

trebuie sa aiba amplitudini nule. Intr-adevar, daca semnalul ar avea un numar infinit de componente de

amplitudine nenula, conform acestei relatii energia sa ar fi infinita, ceea ce este inacceptabil fizic.

2. Modul de lucru

1. S se ruleze urmtorul cod n Mathematica:

- 83 -

T 1;

0 2T;

t0 100;

f t_ Cos 0 t1

3Cos 2 0 t

1

2Cos 3 0 t ;

Xt02

t02 f t

tt;

MX Abs X ;

Plot f t , t, 15, 15 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ;

Plot MX, , 25, 25 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ; ----------------------------------------------------------------

-15 -10 -5 5 10 15

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-20 -10 10 20

10

20

30

40

50

- 84 -


Teoreme ale Transformatei Fourier

1. Teoria lucrarii

In diverse calcule care implica transformata Fourier sunt uneori utile anumite proprietati ale

acesteia date de teoremele ce vor fi prezentate n continuare

Vom nota n continuare corespondenta intre semnalul original i transformata sa Fourier ca o

corespondenta biunivoca:

( ) ( )x t X (0.137)

Definim de asemenea doi operatori de transformare Fourier directa i inversa 1 n felul

urmator:

{ ( )} ( )x t X (0.138)

1 ( ) ( )X x t (0.139)

1.Teorema intarzierii:

00( ) ( )j t

x t t e X (0.140)

Demonstratie:

0 0( )0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )j t j t tj tx t t x t t e dt e x t t e d t t

Daca n ultima integrala se face schimbarea de variabila 0 't t t se observa ca ea reprezinta

chiar transformata Fourier a semnalului ( )x t

Exemplu la teorema intarzierii

Fie semnalul 2 4

1( ) 8 2x t t t , diferit de 0 numai pe intervalul [-2,2]. El poate fi construit

matematic prin inmultire cu o fereastra formata de doua functii Heaviside i are graficul dat de

programul urmator

- 85 -

Transformata Fourier a acestui impuls este calculata i afisata grafic de programul urmator:

In continuare vom considera un semnal decalat pe axa timpului cu 1 0t , deci intarziat fata de

cel initial, dupa cum se observa din reprezentarea grafica data de programul urmator.

- 86 -

Conform teoremei intarzierii transformata Fourier a acestuia este egala cu cea a impulsului initial

inmultita cu 1j te . Prin urmare, daca se imparte cu aceasta cantitate, ar trebui sa se obtina exact

transformata Fourier a impulsului initial, fapt demonstrat de programul urmator.

- 87 -

2.Teorema dilatarii sau comprimarii axei timpului

1

( )x kt Xk k

(0.141)

Demonstratie

1 1 1

( ) ( ) ( )2

j ktkx kt x kt e d kt X

k k k

In integrala s-a facut schimbarea de variabila 'kt t , i se observa ca integrala este chiar

transformata Fourier a semnalului ( )x t , dar cu argument / k .

3.Teorema derivarii

( ( ))

( )d x t

j Xdt

(0.142)

Demonstratie

( ) ( )

( ) ( ) ( )j t j t j tdx t dx t

e dt x t e j x t e dt j Xdt dt

S-a integrat prin parti iar n primul termen s-a aplicat lema lui Jordan: integrala n planul complex

, pe un contur inchis format dintr-un semicerc centrat n origine i de raza R a unei functii al carei

modul tinde la 0 cand R , tinde de asemenea la 0:

lim ( ) 0j z

RC

f z e dz

(0.143)

4.Teorema integrarii

1

( ) ( )

t

x t dt Xj

(0.144)

Demonstratie:

1

( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

t t t

j t j t

t

j t j t

x t dt x t dt e dt x t dt d ej

x t dt e x t e dt Xj j

(0.145)

S-a integrat de asemenea prin parti i s-a aplicat lema lui Jordan.

- 88 -

2. Modul de lucru

1. Se va scrie i se va rula n Mathematica urmtorul cod:

T 1;

0 2T;

t0 100;

0;

f t_ Cos 0 t1

3Cos 2 0 t

1

2Cos 3 0 t ;

X1t02

t02 f t

tt;


Plot Re X1 , , 25, 25 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ;

Plot Im X1 , , 25, 25 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ; ----------------------------------------------------------------

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-20 -10 10 20

-10

10

20

30

40

50

- 89 -

-20 -10 10 20

-1

-0.5

0.5

1

----------------------------------------------------------------

T 1;

0 2T;

t0 100;

1.2;

f t_ Cos 0 t1

3Cos 2 0 t

1

2Cos 3 0 t ;

X2t02

t02 f t

tt;

Plot Re X2 , , 25, 25 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ;

Plot Im X2 , , 25, 25 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ;

Plot Im X1 , , 25, 25 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ;

----------------------------------------------------------------

-20 -10 10 20

-20

-15

-10

-5

5

10

15

- 90 -

-20 -10 10 20

-40

-20

20

40

-20 -10 10 20

-40

-20

20

40

2 . n vederea testrii teoremeo comprimarii, se va scrie i se va rula urmtorul cod n

Mathematica:

0 5;

t0 100;

k 1;

f t_ Cos 0 t1

3Cos 2 0 t

1

2Cos 3 0 t ;

X1t02

t02 f k t

tt;


Plot Abs X1 , , 50, 50 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ; ----------------------------------------------------------------

- 91 -

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-40 -20 20 40

10

20

30

40

50

----------------------------------------------------------------

t .;

T 1;

0 2T;

t0 100;

k 2;

f t_ Cos 0 t1

3Cos 2 0 t

1

2Cos 3 0 t ;

X2t02 k

t02 k f k t

tt;

Plot Abs X2 , , 50, 50 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ;

Plot Abs X1 , , 50, 50 , AxesOrigin 0, 0 , PlotPoints 100, PlotRange All ; ----------------------------------------------------------------

- 92 -

-40 -20 20 40

5

10

15

20

25

-40 -20 20 40

10

20

30

40

50

- 93 -


Transformata Fourier teorema translaiei spectrului

1.Teoria lucrarii

1. Teorema translatiei spectrului

Inmultirea unui semnal ( )x t cu o sinusoida de frecventa 0 i faza 0 constante se numeste

modulatie n amplitudine, i este un proces destul de raspandit n comunicatiile radio. Semnalul initial se

numeste semnal modulator, sinusoida cu frecventa constanta se numeste purtatoare iar semnalul

compus se numeste semnal modulat. Transformarea Fourier a acestui semnal compus arata ca spectrul

initial al semnalului, numit banda de baza, se translateaza de o parte i de alta a frecventei purtatoarei,

sub forma a doua benzi laterale, cu amplitudini injumatatite fata de banda de baza.

0 00 0 0 0

1 1( ) cos( ) ( ) ( )

2 2

j jx t t e X e X

(0.146)

Aplicand relatia lui Euler

0 0 0 0( ) ( )0 0

1 1cos( )

2 2

j t j tt e e

(0.147)

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( )

( )cos( ) ( )cos( )

1 1( ) ( )

2 2

j t

j t j j t j

x t x t t e dt

x t e e dt x t e e dt

(0.148)

Se observa ca daca n ultima integrala se scoate in afara constanta 0j

e

, se obtine transformata

Fourier a semnalului ( )x t , dar de argument 0 . De asemenea, n penultima integrala daca se scoate

0je

se obtine transformata Fourier a semnalului ( )x t , dar de argument 0 .

Aceasta teorema are o mare importanta practica pentru transmiterea radio a semanlelor,

deoarece n loc de frecvente de ordinul miilor de hertzi se obtin frecvente de ordinul frecventei

purtatoare. Deoarece o antena de emisie verticala trebuie sa aiba inaltimea de un sfert din lungimea de

unda (ceea ce ar insemna de exemplu 75 km la 1000 de Hz!) ea va trebui sa aiba numai 75 de m pentru o

purtatoare de 1 MHz i numa 7.5 cm pentru o purtatoare de 1GHz.

2.Teorema convolutiei n domeniul frecventei

In cazul general al semnalului format ca produs a doua semnale 1( )x t i 2 ( )x t , transformata

Fourier genereaza o integrala de convolutie.

1 2 1 2 1 21 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )2 2

x t x t X X d X X

(0.149)

- 94 -

unde este o variabila cu dimensiuni de frecventa iar operatorul de convolutie s-a notat cu , ceea ce

permite i denumirea alternativa de produs de convolutie.

Demonstratie

1 2 1 2 2 1

( )

1 2 1 2 1 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

2 2 2

j t j t j t

j t

x t x t x t x t e dt x t e X e d dt

X x t e dt d X X d X X

(0.150)

2.Teorema convolutiei n domeniul timp

Produsul de convolutie a doua semnale 1( )x t i 2 ( )x t are transformata Fourier egala cu

produsul treansformatelor Fourier ale celor doua semnale:

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t x x t d X X

(0.151)

Demonstratie: se porneste n sens invers, de la produsul celor doua transformate Fourier

1 2 1 2

( )

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j j

j

X X x e d x e d

x x e d d

(0.152)

Notand t , rezulta t i d dt . Inlocuind n (0.152) obtinem

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j t j tx x t e d dt x x t d e dt x x t d

(0.153)

ceea ce demonstreaza teorema.

3. Teorema simetriei

Daca un semnal ( )x t are transformata Fourier ( )X , atunci un alt semnal care are forma

identica cu a acestei transformate Fourier, pe care il notam cu ( )X t va avea transformata Fourier cu

forma primului semnal ( )x :

( ) ( ) ( ) 2 ( )x t X X t x (0.154) Demonstratie: consideram ca semnalul ( )x t se obtine din transformarea Fourier inversa a lui

( )X

- 95 -

1

( ) ( )2

j tx t X e d

(0.155)

O astfel de relatie este valabila pentru orice notatie a variabilelor t i , de exemplu t u i

v :

1

( ) ( )2

juvx u X v e dv

(0.156)

Aceasta se poate scrie i sub forma:

2 ( ) ( )juvx u X v e dv

(0.157)

Renotand variabilele invers, u i v t rezulta

2 ( ) ( ) j tx X t e dt

(0.158)

Se observa ca membrul drept al acestei ecuatii este chiar transformata Fourier a unui semnal

( )X t , ceea ce demonstreaza teorema.

Exemplu la teorema simetriei

Fie semnalul 2

1( )x t t , diferit de 0 numai pe intervalul [-2,2]. El poate fi construit matematic

prin inmultire cu o fereastra formata de doua functii Heaviside i are graficul dat de programul urmator

- 96 -

Transf

laborator - procesarea semnalelor ss

Documents