movimiento pendular

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1 Movimiento Pendular

INVESTIGANDO UN FENÓMENO DE LA NATURALEZA

MOVIMIENTO PENDULAR

"La condición general para que se repita un

fenómeno es que se realice con las mismas

condiciones iniciales..." PRINCIPIO DE CAUSALIDAD

EXPERIENCIA N°3

I. OBJETIVOS

1. Establecer una ley mediante el movimiento de un péndulo simple.

2. Medir tiempos de eventos con una precisión determinada.

3. Calcular la aceleración de la gravedad experimental en el laboratorio.

II. EQUIPOS Y MATERIALES

- Soporte universal

- Varilla de 20 cm

- Cuerda

- Juego de pesas

- Cronómetro

- Regla métrica

- Transportador circular

- Hojas de papel milimetrado

- Hoja de papel logarítmico

III. INFORMACIÓN TEÓRICA

Un péndulo simple está constituido por un cuerpo cuya masa "m" con respecto a la

cuerda que lo sostiene es muy superior, de modo que se considera toda la masa

concentrada en el centro de masa del cuerpo, que oscila en torno al punto fijo S.

Para una pequeña amplitud, el péndulo simple describe un movimiento armónico

simple, cuyo periodo depende solamente de la longitud del péndulo y la aceleración

"g" debido a la fuerza de gravedad, se expresa teóricamente:

T= 2π √

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2 Movimiento Pendular

Elementos y características de un péndulo simple.

1. Cuerpo de masa m tipo plomada (en relojes normalmente tiene forma de

lenteja).

2. Cuerda inextensible de longitud L, de masa despreciable.

3. Amplitud es el ángulo 6 formado entre posición de dirección vertical del

péndulo y la dirección determinada por la cuerda en una posición de

desplazamiento pequeño de la masa pendular.

4. Oscilación completa, es el movimiento del péndulo que partiendo de una

posición extrema (un ángulo pequeño Ɵ = 12°), llega a la otra y vuelve a la

posición inicial.

5. El periodo T es el tiempo que demora el péndulo en realizar una oscilación

completa.

Tratamiento del movimiento del péndulo simple

1. Se aleja el péndulo de su posición de equilibrio, considerando una amplitud

angular no mayor de 12°. Se observa que el péndulo oscila bajo la acción de su

peso que no se equilibra con la tensión de la cuerda; resultando oscilaciones

isócronas.

2. Se analiza la combinación de la energía potencial y la energía cinética para

este movimiento oscilatorio. En el siguiente espacio dibuje identificando en qué

lugar del movimiento, el péndulo almacena energía potencial y en qué lugar se

manifiesta la energía cinética.

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3 Movimiento Pendular

IV. PROCEDIMIENTO

PRIMERA PARTE

1. Observe el cronómetro y analice sus características. Aprenda su manejo.

¿Cuál es el valor mínimo en la escala?, ¿Cuál es el error instrumental a

considerar, consulte con su profesor?

2. Disponga un péndulo de masa m = 50 g y de longitud L = 100 cm.

3. Aleje ligeramente la masa a una posición cerca de la posición de equilibrio

formando un ángulo Ɵ, (Ɵ < 12°).

4. Suelte la masa y mida con el cronómetro el tiempo t que se tarda en realizar 10

oscilaciones completas.

5. Cuando el péndulo se mueve con una L igual a 100 cm, que por efecto de ser

desplazado a una amplitud de 12° de la posición de equilibrio, inicia un

movimiento de vaivén hacia el otro extremo equidistante de esta posición, y

continua este movimiento oscilatorio de 20 segundos que corresponden

aproximadamente a 10 oscilaciones completas; número y tiempo óptimo para

medir el tiempo T de una oscilación completa.

6. Determine el periodo T de una oscilación completa experimental de acuerdo a

la siguiente relación: T =

, donde N es en número de oscilaciones completas.

TABLA N°1

Longitud (cm)

Tiempo de 10

oscilaciones

completas (s)

T periodo (s)

(Experimental)

T2 (s2)

(Experimental)

100 20.4 2.04 4.1616

80 18.12 1.812 3.2833

60 15.44 1.544 2.3839

50 14.34 1.434 2.0564

40 12.78 1.278 1.6333

30 11.19 1.119 1.2522

20 9.19 0.919 0.8446

10 6.43 0.463 0.4134

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4 Movimiento Pendular

SEGUNDA PARTE

7. Realice mediciones para péndulos de 40 cm de longitud y diferentes valores de

masas. Considere una amplitud angular de 10°. Complete la Tabla N°2.

TABLA N° 2

m(g) 30 40 50 60 70 80 90 100

t(s) 13.03 12.88 13.44 12.92 13.25 13.312 13.33 12.98

T(s) 1.303 1.288 1.344 1.292 1.325 1.312 1.333 1.298

8. Realice mediciones en un péndulo de 40 cm de longitud y la masa 50 g para

diferentes amplitudes angulares. Complete la Tabla N°3

TABLA N° 3

Ɵ(°) 2° 4° 6° 8° 10° 12° 30° 45°

t(s) 13.13 13.25 13.38 13.25 13.37 13.25 13.62 16.71

T(s) 1.313 1.325 1.338 1.375 1.337 1.325 1.362 1.371

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5 Movimiento Pendular

VI. CUESTIONARIO

1. De la tabla 1 grafique T2(s) versus L(cm) en papel milimetrado; coloque la

variable L en el eje X y la Variable T2 en el eje Y. A partir del gráfico

calcule el valor de g. Determine el error porcentual experimental con

respecto al valor g = 9,78m/s2 (aceleración de la gravedad en Lima)

Colocando la tabla de con L en metros.

1 4.1616

0.8 3.2833

0.6 2.3839

0.5 2.0563

0.4 1.6333

0.3 1.2521

0.2 0.8446

0.1 0.4134

Convirtiendo a recta de regresión lineal o método de mínimos cuadrados, se

obtiene la siguiente recta.

⁄

El cual aproximándolo resultaría.

⁄ … (1)

Además se sabe que:

√

… (2)

Reemplazando (1) en (2):

√

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6 Movimiento Pendular

Elevando al cuadrado:

Se eliminan los y pasando el al primer miembro se tiene:

⁄

⁄ ⁄

⁄

⁄

Calculando el error experimental porcentual:

Se sabe que el error experimental es:

Y que el error experimental porcentual es:

Entonces:

⁄ ⁄

⁄

Entonces el error porcentual es:

2. Explique cómo se ha minimizado uno de los errores sistemáticos con los

pasos del procedimiento 7) 8).

Se ha minimizado los error con los pasos del procedimiento 7 y 8, al utilizar una

cuerda lo menos extensibles posibles, para así tener una longitud final igual que la

longitud inicial.

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7 Movimiento Pendular

3. Indique otros errores sistemáticos que operan en este experimento para

cada una de las tablas.

Se deben también tener en cuenta el error de las mediciones de tiempo, al momento

de contar los segundos, también se obtiene algún tipo de error al medir la longitud de

cuerda, a la misma vez puede existir error en cuanto a la medición del ángulo.

4. Exprese los errores aleatorios con los datos de la tabla Nº1.

L(cm) t(s) T(s) g(m/s2)

100 20.4 2.04 9.486

80 18.12 1.812 9.619

60 15.44 1.544 9.936

50 14.34 1.434 9.599

40 12.78 1.278 9.669

30 11.19 1.119 9.459

20 9.19 0.919 9.349

10 6.43 0.643 9.549

Prom(g): 9.583

Desviación estándar: 0.164

Error aleatorio: 0.186

5. Halle la formula experimental cuando se linializa la gráfica en papel log.

de T versus L’. Sugerencia el origen debe ser (100,10-1).

L(cm) T(s) Log(L) Log(T) Log(L)Log(T) Log(L)2

100 2.04 2 0.310 0.62 4

80 1.812 1.903 0.258 0.491 3.622

60 1.544 1.778 0.189 0.336 3.162

50 1.434 1.699 0.157 0.267 2.886

40 1.278 1.602 0.107 0.171 2.567

30 1.119 1.477 0.049 0.072 2.182

20 0.919 1.301 -0.367 -0.477 1.693

10 0.643 1 -0.192 -0.192 1

Σ=12.76 Σ=0.511 Σ=1.288 Σ=21.112

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8 Movimiento Pendular

m= 8(1.288)-(12.76)(0.511) = 0.622

8(21.112)-(12.76)2

b= (21.112)(0.511)-(12.76)(1.288) = -0.929

8(21.112)-(12.76)2

Y = 10-0.929 x0.622

6. Con los datos de la tabla Nº2, grafique T(s) vs. m(g) en papel milimetrado.

¿A qué conclusión llega observando la gráfica?

El gráfico que obtenemos es una recta, por lo tanto deducimos que el periodo no se ve

afectado por la variación de la masa del cuerpo que realiza el movimiento pendular.

7. Grafique T(s) vs Ɵ (grados) en papel milimetrado. Determine los pares

ordenados de la tabla N°3. ¿Existe alguna dependencia entre el periodo T

con respecto a la amplitud angular Ɵ? , Si este fuera así ¿cómo sería su

dependencia?

Se demostró experimentalmente, que no existe relación, entre la amplitud angular y el

periodo del péndulo, pues para cualquier ángulo el periodo de tiempo resulto 1.3

segundos aproximadamente.

Haciendo la regresión lineal se obtuvo y = 0.0012x + 1.3189, que la pendiente 0.0012

sea muy cercana al cero quiere decir que se trata de una función prácticamente

constante, pero podríamos decir siendo bien rigurosos que la dependencia seria

directa.

1.303

1.288

1.344

1.292

1.325

1.312

1.333

1.298

y = 0.0002x + 1.302

1.28

1.29

1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

0 20 40 60 80 100 120

T(s) vs m (g)

T(s)

Lineal (T(s))

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9 Movimiento Pendular

8. ¿Hasta qué valor del ángulo, el periodo cumplirá con las condiciones de

un péndulo simple?

La condición principal que se debe cumplir para que se cumpla un péndulo simple, es

que el ángulo Ɵ se pequeño de modo que se cumpla:

Ɵ Ɵ

Ɵ … (1)

Para responder a la pregunta, debemos preguntarnos para que ángulo Ɵ el Ɵ

comienza a ser considerablemente mayor que Ɵ, para ello graficaremos la función

Podemos observar que la relación 1, es

medianamente correcta en el intervalo de

-0.1 a 0.1, considerando el valor positivo

del ángulo, llegamos a la conclusión que

el ángulo debe ser como máximo de 0.1

radianes.

Haciendo la conversión:

0.1x

= 5.73° sexagesimales

9. ¿Comprobó la dependencia de T vs L? ¿Cómo explica la construcción de

relojes de péndulo de distintos tamaños?

Utilizando los valores experimentales hacemos la grafica de T vs L:

6.43 9.19

11.9 12.78 14.34 15.44

18.12 20.4 y = 2.1097x0.4916

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

T vs L

T

Potencial (T)

f (Ɵ)=

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10 Movimiento Pendular

Experimentalmente se comprueba la dependencia directa del periodo (T) con respecto

a la Longitud (L) de la cuerda, mas como sabemos, T= 2π √

, haciendo la

comparación con la formula experimental obtenida, se llega a g = 8.87, pero sabemos

que el valor de la aceleración de la gravedad es 9.8 aproximadamente, de aquí

podríamos concluir que los efectos de la gravedad sobre el péndulo han sido

disminuidos, por causas que podemos suponer como la resistencia del aire, el peso de

la cuerda, la fricción de la cuerda con el eje, etc.

Ahora, si consideramos que los relojes de péndulo deben tener un periodo igual a 2

segundos, reemplazando en la ecuación:

2= 2π √

Despejando L y considerando g = 9.8 m/s2

L=0.993

Llegamos a la conclusión que como la única variable de la cual depende el periodo

es la longitud de la cuerda, solo existirán relojes de longitud de cuerda de 0.993 m,

pero esto es inexacto, pues existen relojes de todos los tamaños.

Investigando un poco más, concluí que no es necesariamente indispensable que el

periodo del péndulo sea 2 segundos, sino más bien que mediante un mecanismo de

pesas y engranajes se ajustan para qué las manecillas del reloj avancen una vez por

segundo como se muestra en el grafico adjunto.

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11 Movimiento Pendular

10. Cuando la longitud del péndulo de un reloj se expande por efecto del

calor, ¿gana o pierde tiempo?

Ya que el periodo es D.P. con la longitud de la cuerda, entonces al aumentar la

longitud de la cuerda aumenta el periodo y ya que éste es el tiempo sobre el número

de oscilaciones, el tiempo también aumenta. En ese caso se ganaría tiempo ya que

éste aumentaría.

11. Explique el significado de la afirmación “péndulo que vate el segundo”.

Se refiere al péndulo que cumple una oscilación simple en un segundo. Esto en lo

experimental no existe ya que la cuerda no debe rozar con la argoya y que toda la

masa del péndulo debe concentrarse en un punto (en su extremo) y esto solo es

posible si hablamos de un péndulo que no exista, mejor dicho un péndulo simple.

12. ¿Por qué es necesario que la amplitud de oscilación para cada longitud

es siempre menor que un decimo de la longitud usada?

Ya que a mayor longitud de péndulo mayor será la curvatura de la oscilación y por lo

tanto menor será la cantidad de oscilaciones en un intervalo de tiempo, entonces la

longitud del péndulo determina el periodo, siempre y cuando el arco de oscilación sea

menor que un decimo de la longitud usada para que el periodo no dependa del ángulo.

13. ¿En qué puntos de su oscilación, el péndulo tiene la mayor velocidad y la

mayor aceleración? Explique.

El péndulo alcanza su mayor velocidad, cuando en su oscilación pasa por la posición

de equilibrio. Supongamos que el péndulo tiene una velocidad inicial w0 y a medida

que se desplaza un ángulo Ѳ la energía cinética de rotación se convierte en energía

potencial hasta que alcanza una desviación máxima Ѳ0 y w=0. Luego se realiza el

proceso inverso y la energía potencial se convierte en cinética hasta que al pasar por

la posición de equilibrio Ѳ=0 toda la energía potencial será energía cinética de rotación

y tendrá su máxima velocidad.

El péndulo alcanza la mayor aceleración cuando en su oscilación pasa por sus puntos

extremos.

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12 Movimiento Pendular

VII. CONCLUSIONES

No existe relación alguna entre el periodo de oscilación del un péndulo con la

masa del mismo.

El valor del periodo es independiente del ángulo inicial de desviación inicial.

El tratamiento de datos experimentales es muy importante en la presentación

de resultados, su uso hace se hace indispensable.

Los métodos de linealización son útiles en la interpretación y presentación de

datos experimentales.

Las formulas matemáticas son usadas para respaldar los resultados

experimentales y para guiar el entendimiento de los mismos.