modellierung von zellstrukturen1 dynamisches verhalten mathematische ansätze rechenverfahren
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Modellierung von Zellstrukturen 1
Modellierung von Zellstrukturen
Dynamisches Verhalten
Mathematische Ansätze
Rechenverfahren
Modellierung von Zellstrukturen 2
Stoffunabhängige Gleichungen
Materialgesetze
Kompatibilität
Modellierung von Zellstrukturen
15 Unbekannte:
x y z xy xz yz
x y z xy xz yz
u v w
Modellierung von Zellstrukturen 3
Mathematische Ansätze
3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen
6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen
6 Materialgleichungen
Modellierung von Zellstrukturen 4
Gleichgewichtsgleichungen
F Fa
b
Stoffunabhängige Gleichungen
Virtueller Schnitt
Modellierung von Zellstrukturen 5
F
Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA
Normalspannungen=dFn/dA
Tangentialspannungen =dFt/dA
dFn
dF
dFt
dA
Gleichgewichtsgleichungen
Stoffunabhängige Gleichungen
Modellierung von Zellstrukturen 6
x
y
z
yx
yz
zyzx
xy
xz
Stoffunabhängige GleichungenGleichgewichts-gleichungen
Modellierung von Zellstrukturen 7
Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen:
x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0
Modellierung von Zellstrukturen 8
G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0
G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0
G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0
Modellierung von Zellstrukturen
Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen:
(Navier)
Modellierung von Zellstrukturen 9
u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2
v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2
w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2
Modellierung von ZellstrukturenIn den Navier Gleichungen sind:
(Laplace)
Modellierung von Zellstrukturen 10
x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
(Beltrami)
Modellierung von ZellstrukturenEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:
Modellierung von Zellstrukturen 11
xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0
xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0
yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0
Modellierung von Zellstrukturen
(Beltrami)
Modellierung von Zellstrukturen 12
x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2
y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2
z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2
Modellierung von ZellstrukturenIn den Beltrami-Gleichungen sind:
Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung
Modellierung von Zellstrukturen 13
Stoffunabhängige Gleichungen
S - ü = 0
Spannungstensor Bechleunigungsvektor
Modellierung von Zellstrukturen 14
Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen:
Sx= xex + yxey+ xzez
Sy= yxex + yey + yzez
Sz= zxex + zyez + zez
Tensordarstellung:
x xy xz
S = yx y yz
zx zy z
S Spannungstensor
Modellierung von Zellstrukturen 15
3 Stoffunabhängige Gleichungen
6 Materialgleichungen
6 Kompatibilitätsgleichungen
Modellierung von Zellstrukturen
15 Unbekannte:
x y z xy xz yz
x y z xy xz yz
u v w
Modellierung von Zellstrukturen 16
Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts-
bedingung:
Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen
Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen
Modellierung von Zellstrukturen 17
Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts-
bedingung:
Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen
u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez
Modellierung von Zellstrukturen 18
Modellierung von Zellstrukturen
B
C
A
A1 B1
D u(x+dx,y,dy,z)
u(x+dx,y,z)
u(x,y+dy,z)
u(x,y,z)
ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx
Modellierung von Zellstrukturen 19
Kinematisches Gleichgewicht
x = u/x u v w
y = v/y
z = w/z
xy = v/x + u/y
xz = w/x + u/z
yz = w/x + v/z
Modellierung von Zellstrukturen 20
Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts-
bedingung:iklm= 0
Riemann Tensor 4. Stufe
Modellierung von Zellstrukturen 21
Modellierung von Zellstrukturen
Stoffgesetze:1-starres Material
2-linear-elastisch
3-nichtlinear-elast.
4-linear-elastisch-ideal-
plastisch
5-starr-plastisch
6-viskoses Material:
Kriechen
7-viskoses Material:
Relaxieren
12 3
45
6
7ε
σ
Modellierung von Zellstrukturen 22
Modellierung von Zellstrukturen
Stoffgesetze: , , SS
SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeit
VerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit
Modellierung von Zellstrukturen 23
Modellierung von Zellstrukturen
Elastisches
Materialverhalten
Stoffe ohne Gedächtnis
S
Spannungstensor
Verzerrungstensor
Modellierung von Zellstrukturen 24
Modellierung von Zellstrukturen
plastisches
Materialverhalten
Stoffe mit permanentem
Gedächtnis
S
Spannungsgeschwindigkeit
Verzerrungsgeschwindigkeit
Modellierung von Zellstrukturen 25
Modellierung von Zellstrukturen
viskoses
Materialverhalten
Stoffe mit schwindendem
Gedächtnis
S
Spannungstensor
Verzerrungsgeschwindigkeit
Modellierung von Zellstrukturen 26
Modellierung von Zellstrukturen
Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel:
Nichtlinear, anisotrop, inhomogen
Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße
Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen
Zellen sind dynamische SystemeAggregationsprozesseDis
Modellierung von Zellstrukturen 27
Modellierung von Zellstrukturen
Zellen, Zellstrukturen dynamische Strukturen
Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente
Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix
Frequenzabhängige Materialeigenschaften
Versuche zwingend erforderlich
Modellierung von Zellstrukturen 28
Modellierung von Zellstrukturen
Näherungsverfahren:
Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen
des Materialverhaltens
der Belastungsfunktionen
der Zeit, direkte Zeitintegration
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