modellierung von zellstrukturen1 dynamisches verhalten mathematische ansätze rechenverfahren
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Modellierung von Zellstrukturen 1
Modellierung von Zellstrukturen
Dynamisches Verhalten
Mathematische Ansätze
Rechenverfahren
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Modellierung von Zellstrukturen 2
Stoffunabhängige Gleichungen
Materialgesetze
Kompatibilität
Modellierung von Zellstrukturen
15 Unbekannte:
x y z xy xz yz
x y z xy xz yz
u v w
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Modellierung von Zellstrukturen 3
Mathematische Ansätze
3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen
6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen
6 Materialgleichungen
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Modellierung von Zellstrukturen 4
Gleichgewichtsgleichungen
F Fa
b
Stoffunabhängige Gleichungen
Virtueller Schnitt
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Modellierung von Zellstrukturen 5
F
Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA
Normalspannungen=dFn/dA
Tangentialspannungen =dFt/dA
dFn
dF
dFt
dA
Gleichgewichtsgleichungen
Stoffunabhängige Gleichungen
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Modellierung von Zellstrukturen 6
x
y
z
yx
yz
zyzx
xy
xz
Stoffunabhängige GleichungenGleichgewichts-gleichungen
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Modellierung von Zellstrukturen 7
Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen:
x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0
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Modellierung von Zellstrukturen 8
G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0
G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0
G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0
Modellierung von Zellstrukturen
Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen:
(Navier)
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Modellierung von Zellstrukturen 9
u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2
v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2
w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2
Modellierung von ZellstrukturenIn den Navier Gleichungen sind:
(Laplace)
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Modellierung von Zellstrukturen 10
x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
(Beltrami)
Modellierung von ZellstrukturenEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:
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Modellierung von Zellstrukturen 11
xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0
xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0
yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0
Modellierung von Zellstrukturen
(Beltrami)
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Modellierung von Zellstrukturen 12
x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2
y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2
z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2
Modellierung von ZellstrukturenIn den Beltrami-Gleichungen sind:
Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung
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Modellierung von Zellstrukturen 13
Stoffunabhängige Gleichungen
S - ü = 0
Spannungstensor Bechleunigungsvektor
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Modellierung von Zellstrukturen 14
Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen:
Sx= xex + yxey+ xzez
Sy= yxex + yey + yzez
Sz= zxex + zyez + zez
Tensordarstellung:
x xy xz
S = yx y yz
zx zy z
S Spannungstensor
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Modellierung von Zellstrukturen 15
3 Stoffunabhängige Gleichungen
6 Materialgleichungen
6 Kompatibilitätsgleichungen
Modellierung von Zellstrukturen
15 Unbekannte:
x y z xy xz yz
x y z xy xz yz
u v w
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Modellierung von Zellstrukturen 16
Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts-
bedingung:
Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen
Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen
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Modellierung von Zellstrukturen 17
Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts-
bedingung:
Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen
u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez
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Modellierung von Zellstrukturen 18
Modellierung von Zellstrukturen
B
C
A
A1 B1
D u(x+dx,y,dy,z)
u(x+dx,y,z)
u(x,y+dy,z)
u(x,y,z)
ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx
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Modellierung von Zellstrukturen 19
Kinematisches Gleichgewicht
x = u/x u v w
y = v/y
z = w/z
xy = v/x + u/y
xz = w/x + u/z
yz = w/x + v/z
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Modellierung von Zellstrukturen 20
Modellierung von Zellstrukturen
Kompatibilitäts-
bedingung:iklm= 0
Riemann Tensor 4. Stufe
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Modellierung von Zellstrukturen 21
Modellierung von Zellstrukturen
Stoffgesetze:1-starres Material
2-linear-elastisch
3-nichtlinear-elast.
4-linear-elastisch-ideal-
plastisch
5-starr-plastisch
6-viskoses Material:
Kriechen
7-viskoses Material:
Relaxieren
12 3
45
6
7ε
σ
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Modellierung von Zellstrukturen 22
Modellierung von Zellstrukturen
Stoffgesetze: , , SS
SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeit
VerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit
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Modellierung von Zellstrukturen 23
Modellierung von Zellstrukturen
Elastisches
Materialverhalten
Stoffe ohne Gedächtnis
S
Spannungstensor
Verzerrungstensor
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Modellierung von Zellstrukturen 24
Modellierung von Zellstrukturen
plastisches
Materialverhalten
Stoffe mit permanentem
Gedächtnis
S
Spannungsgeschwindigkeit
Verzerrungsgeschwindigkeit
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Modellierung von Zellstrukturen 25
Modellierung von Zellstrukturen
viskoses
Materialverhalten
Stoffe mit schwindendem
Gedächtnis
S
Spannungstensor
Verzerrungsgeschwindigkeit
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Modellierung von Zellstrukturen 26
Modellierung von Zellstrukturen
Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel:
Nichtlinear, anisotrop, inhomogen
Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße
Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen
Zellen sind dynamische SystemeAggregationsprozesseDis
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Modellierung von Zellstrukturen 27
Modellierung von Zellstrukturen
Zellen, Zellstrukturen dynamische Strukturen
Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente
Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix
Frequenzabhängige Materialeigenschaften
Versuche zwingend erforderlich
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Modellierung von Zellstrukturen 28
Modellierung von Zellstrukturen
Näherungsverfahren:
Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen
des Materialverhaltens
der Belastungsfunktionen
der Zeit, direkte Zeitintegration