mathematische ansätze1 dynamisches verhalten mathematische ansätze rechenverfahren

Mathematische Ansätze 1

Mathematische Ansätze

Dynamisches Verhalten


Rechenverfahren


Stoffunabhängige Gleichungen

Materialgesetze

Kompatibilität


15 Unbekannte:

x y z xy xz yz

x y z xy xz yz

u v w



3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen

6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen

6 Materialgleichungen


Gleichgewichtsgleichungen

F Fa

b


Virtueller Schnitt


F

Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA

Normalspannungen=dFn/dA

Tangentialspannungen =dFt/dA

dFn

dF

dFt

dA

Gleichgewichtsgleichungen



x

y

z

yx

yz

zyzx

xy

xz

Stoffunabhängige GleichungenGleichgewichts-gleichungen



Gleichgewichtsgleichungen:

x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0


G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0

G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0

G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0


Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen:

(Navier)


u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2

v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2

w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2

Mathematische AnsätzeIn den Navier Gleichungen sind:

(Laplace)


x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

(Beltrami)

Mathematische AnsätzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:


xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0

xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0

yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0


(Beltrami)


x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2

y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2

z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2

Mathematische AnsätzeIn den Beltrami-Gleichungen sind:

Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung



S - ü = 0

Spannungstensor Bechleunigungsvektor



Gleichgewichtsgleichungen:

Sx= xex + yxey+ xzez

Sy= yxex + yey + yzez

Sz= zxex + zyez + zez

Tensordarstellung:

x xy xz

S = yx y yz

zx zy z

S Spannungstensor


3 Stoffunabhängige Gleichungen

6 Materialgleichungen

6 Kompatibilitätsgleichungen


15 Unbekannte:

x y z xy xz yz

x y z xy xz yz

u v w



Kompatibilitäts-

bedingung:

Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen



Kompatibilitäts-

bedingung:

Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez



B

C

A

A1 B1

D u(x+dx,y,dy,z)

u(x+dx,y,z)

u(x,y+dy,z)

u(x,y,z)

ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx


Kinematisches Gleichgewicht

x = u/x u v w

y = v/y

z = w/z

xy = v/x + u/y

xz = w/x + u/z

yz = w/x + v/z



Kompatibilitäts-

bedingung:iklm= 0

Riemann Tensor 4. Stufe



Stoffgesetze:1-starres Material

2-linear-elastisch

3-nichtlinear-elast.

4-linear-elastisch-ideal-

plastisch

5-starr-plastisch

6-viskoses Material:

Kriechen

7-viskoses Material:

Relaxieren

12 3

45

6

7ε

σ



Stoffgesetze: , , SS

SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeit

VerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit



Elastisches

Materialverhalten

Stoffe ohne Gedächtnis

S

Spannungstensor

Verzerrungstensor



plastisches

Materialverhalten

Stoffe mit permanentem

Gedächtnis

S

Spannungsgeschwindigkeit

Verzerrungsgeschwindigkeit



viskoses

Materialverhalten

Stoffe mit schwindendem

Gedächtnis

S

Spannungstensor

Verzerrungsgeschwindigkeit


3. Schwingkopf

1. Kopf für Zellsuspension

2. Hülse

4. Sockel M6

5. Zylinderschraube

6. Beschleunigungssensor


3. Schwingkopf

• Gesamtansicht


3. Schwingkopf

• FEM - Simulation


3. Schwingkopf

• FEM - Analyse



Näherungsverfahren:

Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen

des Materialverhaltens

der Belastungsfunktionen

der Zeit, direkte Zeitintegration

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