milan hladnik fmf, univerza v ljubljanihladnik/zgodmat/egipt(b).pdf · 2012-10-04 · zgodovinski...

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Egiptovska matematika

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

3. oktober 2012

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Stari Egipt

Vladarji faraoni(cez 30 dinastij)

Staro kraljestvo(∼ 2690 do ∼ 2180pnš.)

Srednje kraljestvo(∼ 1990 do ∼ 1800pnš.)

Novo kraljestvo(∼ 1550 do ∼ 1070pnš.)

Najvec matematicnopomembnih najdb izvira izcasa Srednjega kraljestva. Slika: Karta Egipta

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Velika piramida pri Gizi

Slika: Velika Khufujeva (Keopsova) piramida

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Velika piramida pri Gizi - nadaljevanje

Starost: zgrajena ∼ 2590-2570 pnš. za casa faraona Khufuja(Keopsa) iz 4. dinastije

Sestava: 2,300,000 kamnitih blokov, v povprecju težkih 2,5tone (nekateri so bili pripeljani od dalec),

Gradnja: 20 let, okrog 100,000 delavcev.

Velikost: višina 146,5 m, stranica meri 230,4 m, nagib stranskeploskve 51 stopinj in 50 minut.

Domaca naloga: Izracunaj razmerje med polovico stranice invišino (kotangens nagibnega kota α stranske ploskve).Izracunaj 4cotgα in cos α . Kaj ugotoviš?

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Glavni vir: Moskovski papirus

Slika: Moskovski papirus ∼ 1850 pnš.

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Moskovski papirus - podatki

Starost: ∼ 1850 pnš.

Odkritje: 1893 v Tebah Vladimir Semjonovic Golenišcev(1856-1947), prvi ruski egiptolog

Velikost: 5,4 m dolg, 6 cm širok

Vsebina: 25 besednih problemov(npr. o prostornini prisekane štiristrane piramide).

Pisava: hieratska

Shramba: Puškinov državni muzej umetnosti v Moskvi

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Glavni vir: Rhindov papirus

Slika: Rhindov papirus ∼ 1650 pnš.

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Rhindov papirus

Starost: ∼ 1650 pnš.

Odkritje: 1858 v Luxorju Alexander Henry Rhind (1833-1863),škotski pravnik in egiptolog

Velikost: 5,36 m dolg in 32 cm širok

Vsebina: ucbenik aritmetike in geometrije,85 preprostih problemov

Avtor: Ahmes, prepis 200 let starejšega teksta

Shramba: Britanski Muzej

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Hieratska pisava

Slika: Zgled hieratske pisave iz Rhindovega papirusa

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Drugi starejši viri

Lesene tablice iz Ahmima ∼ 1950 pnš. v Egiptovskem muzeju vKairu, vsebuje tabele množenj in deljenj

Matematicni papirus iz Lahuna ∼ 1850 pnš., vsebuje tabele inrazlicne probleme

Berlinski papirus ∼ 1850 pnš., vsebuje matematiko in medicino

Reisnerjev papirus ∼ 1850 pnš. v Bostonu iz Nag el-Deira,vsebuje množenja, deljenja in egipcanske ulomke

Egiptovski matematicni usnjeni svitek ∼ 1650 pnš. vBritanskem muzeju, tabele egipcanskih ulomkov

Rollinov papirus ∼ 1350 pnš. v Louvru, vsebuje primereuporabe velikih števil

Harrisov papirus ∼ 1150 pnš. v Britanskem muzeju,pripoveduje o vojaških uspehih in drugih delih Ramzesa III

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Hieroglifska znamenja za števila

Slika: Hieroglifski znaki za števila

Aditivni sistem sestavljanja števil

Domaca naloga: Zapiši števili 23, 251

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Hieratska znamenja za števila

Slika: Hieratska pisava števil

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Množenje s podvajanjem

Zgled: 26×331 332 664 1328 264

16 52826 858

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Deljenje s podvajanjem

Zgled: 753 : 26.

Podvojimo tolikokrat 26, da smo še pod 753;torej 26, 52, 104, 208, 416(naslednja podvojitev bi dala vecji rezultat);

Ker je753 = 416 + 337 = 416 + 208 + 129 = 416 + 208 + 104 + 25,dobimo (1 + 2 +) 4 + 8 + 16 = 28,torej rezultat 28 in ostanek 25.

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Egipcanski ulomki

Rracionalni ulomek s števcem enakim 1

Zapis ulomka kot vsoto razlicnih ulomkov s števcem 1 npr.2/9 = 1/6 + 1/18 ali2/9 = 1/5 + 1/45, 5/13 = 1/4 + 1/26 + 1/52 + 1/13.

Domaca naloga: Dokaži, da lahko vse ulomke oblike 2/n, kjerje n liho število, zapišemo kot vsoto dveh razlicnih egipcanskihulomkov.

Nerešen problem (P. Erdos): Dokaži, da je za vsako liho številon > 4 ulomek 4/n vsota treh razlicnih egipcanskih ulomkov.

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Algebra

Aha - problemi iz Moskovskega in Rhindovega papirusa:(preproste enacbe z eno neznanko, znaceno z Aha)

Zgled: 3/2×x +4 = 10 oziroma 3/2×x = 6.

Metoda napacne predpostavke(kasneje so ji rekli metoda regula falsi):

Npr. za x = 2 dobimo v zadnjem zgledu 3/2×2 = 3,kar je dvakrat premalo, torej je rešitev x = 2×2 = 4.

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Preprost sistem enacb

Na papirusu iz Lahuna je npr. taka naloga:

"Površina 100 enot je sestavljena iz dveh kvadratov, katerihrazmerje je 3:4".

Koliko merita stranici?

Na Berlinskem papirusu piše, da je√

6+1/4 = 2+1/2 in√

1+1/4+1/16 = 1+1/2.

Ali je to res?

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Geometrija

26 problemov iz Moskovskega in Rhindovega papirusaobravnava geometrijo (racunanje plošcin in prostornin).

Plošcina trikotnika je osnovnica krat polovica višine nanjo(pravilno), plošcina splošnega štirikotnika s stranicami a,b,c,dpa p = (a+c)(b +d)/4 (napacno).

Domaca naloga: Pokaži, da je vedno p ≤ (a+c)(b +d)/4. Kdajvelja enakost?

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Približek za π

Ploš cina kroga :

Plošcino kroga je približno (8/9)2 × (2r)2 oziroma (4/3)4 × r2.

Domaca naloga: Pokaži, da to da za π približno vrednost256/81 = 3.1605.

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Pitagorov izrek

Pitagorovega izreka Egipcani niso poznali(ni evidence, le vrv z vozli 3+4+5 = 12, ki omogoca pravi kot).

Slika: Vrv z vozli

Domaca naloga: Kako bi brez Pitagorovega izreka dokazali, daje trikotnik, ki ga razpenja na 12 delov razdeljena vrv,pravokotni?

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Stereometrija

V treh dimenzijah so znali izracunati prostornino kocke,paralepipeda in krožnega valja (posode za žito).

Moskovski papirus vsebuje zanimiv napotek za izracunprostornine prisekane štiristrane piramide, iz katerega izhaja,da so poznali tocno formulo za prostornino:V = h(a2 +ab+b2)/3.

Domaca naloga: Izpelji zgornjo formulo za prisekano piramido(glej naslednjo sliko)?

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Prisekana piramida

H

h

a

a

b

b

Slika: Prisekana piramida

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Prisekana piramida, posebni primer

Slika: Hieroglifski racun naloge o prisekani piramidi za a = 4, b = 2 inh = 6

Zgodovinski okvir Egiptovska matematika

Posebna literatura o egiptovski matematiki

Richard J. Gillings, Mathematics in the Time of Pharaohs,Dover Publ., 1982.

A. Imhausen, Ancient Egyptian Mathematics: NewPerspectives on Old Sources, Mathematical Intelligencer28 (2006), 19-27.

R. Knott’s Egyptian Mathematics Site, spletna stran