milan hladnik fmf, univerza v ljubljanihladnik/zgodmat/zacmodern(b).pdf · uvedel nove standarde in...

Logaritmi Astronomi Geometri

Zacetki moderne matematike

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

28. november 2012


Zgodovinske spremembe

Politicni, ekonomski in socialni napredek:- Prvi uporabni stroji, žage, boljša razsvetljava, kurjava, obleke- Težišce inovacij bolj na severu Evrope, v Franciji in Angliji.Plovba po oceanih, scasoma prva stalna britanska naseljevanjaNovega sveta.- Trgovina in pomorstvo, nova znanstvena odkritja.

Astronomija, navigacija, inženirstvo, vojaška obrt zahtevajohitrejše in natancnejše izracune.- V veliko pomoc je indo-arabska notacija in decimalni zapisštevil- Sledi odkritje logaritmov.

V matematiki raziskave niso vec zelo elementarne, pojavijo senova matematicna podrocja.


John Napier (1550-1617)

Slika: John Napier


Napierovo delo

John Napier (John Neper ) je bil Škot, živel je v bližiniEdinburgha, udeleženec politicnih in verskih prepirov(zagrizen antikatolik in privrženec Johna Knoxa in Jamesa I).Znan tudi po raznih znanstveno fantasticnih napovedih(plovba pod morsko gladino, oklepna bojna vozila).

Študiral je matematiko in prispeval razlicne matematicnenovotarije:- prakticni pripomocek za hitro množenje, deljenje in korenjenje(Napierove palice oziroma kosti) - pravilo krožnih delov za lažjepomnjenje formul za sfericne trikotnike (Napierov krog oziromaNapierov pentagram),- dve formuli sfericne trigonometrije (Napierova analogija),


Napierove palice

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

1 1

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9

1 1

1 1

0 0

5

5

10

15

20

25

30

35

4 0

45

50

Slika: Napierove palice za hitro množenje, tu 1615×365


Napierov krog

A

C

B

a

b

c

( )a

A

B

c

b

a

( )b

Slika: Napierov krog za lažje pomnenje formul za pravokotni sfericnitrikotnik, crta pomeni komplementarni kot

(i) Sinus katerega koli dela je enak produktu kosinusovnasprotnih delov.(ii) Sinus katerega koli dela je enak produktu tangensovpriležnih delov.


Uporaba Napierovega kroga

V pravokotnem sfericnem trikotniku (s pravim kotom pri C) velja:

sin a = sin A sin c = tgb ctgB

in podobno za b namesto a, B namesto A in obratno,

cos A = cos a sin B = tgb ctgc

in podobno za b namesto a, B namesto A in obratno,

cos c = cos a cos b = ctgActgB

(Pitagorov izrek za pravokotni sfericni trikotnik).


Napierovi logaritmi

Beseda logaritem pomeni "razmerno število", Napier jeuporabljal izraz "umetno število". Logaritmi so nastali iztrigonometricnih formul, ki povezujejo množenje in seštevanje,npr. sinα sinβ = (cos(α −β )−cos(α +β ))/2.

Napier je najprej racunal logaritme sinusov kotov in teorijorazvijal vsaj dvajset let, preden jo je objavil.


Napierova definicija logaritma

Napierova definicija logaritma je za današnje pojmenenavadna:

Imejmo koncno daljico AB in neskoncen poltrak [C,∞); tocka Snaj se giblje po daljici AB s hitrostjo, ki je enaka razdalji x tockedo krajišca B, tocka T pa istocasno po poltraku [C,∞)enakomerno s tako konstantno hitrostjo, kot jo je imela tocka Sv zacetku gibanja; potem je y = Nap log x .


Izpeljava formule Nap log x = 107 log1/e(x/107)

Predpostavimo, da je AB = 107. Potem sta−dx/dt = hitrost tocke S = x in dy/dt = hitrost tocke T = 107 zzacetnima pogojema x(0) = 107 in y(0) = 0.

Izlocimo cas t , pa je dy/dx =−107/x oziromay =−107 ln x +c. Za konstanto dobimo c = 107 ln 107 in zatoy =−107(ln x − ln 107) oziroma y =−107 ln(x/107). Tj.y = 107 log1/e(x/107).


Napierova knjiga Mirifici Logarithmorum canonisdescriptio 1614

Slika: Naslovnica prve izdaje Napierove razprave o logaritmih


Drugi ustvarjalci logaritmov

Henry Briggs (1561-1631), profesor geometrije naGreshamovem kolidžu v LondonuLeta 1615 obiskal Napiera v Edinburghu, skupaj staspremenila definicijo tako, da je log 1 enak 0 in log 10ustrezna potenca 10 (Briggsovi logaritmi z osnovo 10).Briggs leta 1624 objavil Arithmetica logarithmica, kivsebuje 14-mestne tabele desetiških logaritmov za številaod 1 do 20.000 in od 90.000 do 100.000.

Adriaan Vlacq (1600-1667), nizozemski knjigarnar inzaložnik, preracunal in dodal vmesne vrednosti. Vlackovetabele, ki so jih pogosto ponatiskovali, je izboljšal naš JurijVega s svojim Thesaurusom leta 1797.


Drugi ustvarjalci logaritmov - nadaljevanje

Jobst Bürgi (1552-1632), švicarski izdelovalecinstrumentov, urar in matematik, Keplerjev sodelavec vPragi, je leta 1620 podal alternativno definicijo logaritmov(neodvisno od Napierja)

Logaritme so potem razmeroma hitro vpeljali po vsejEvropi:Bonaventura Cavalieri v Italijo,Johannes Kepler v Nemcijo,Edmund Wingate (angleški pisec ucbenikov) v Francijo.


Thomas Harriot (1560-1621)

Slika: Oxfordski portret Thomasa Harriota


Delo Thomasa Harriota

Harriot velja za ustanovitelja angleške matematicne šole.

Leta 1585 ga je Sir Walter Raleigh poslal v Severno Ameriko,da bi kartiral Severno Karolino oziroma Virginijo. Prouceval jenavade in jezik domacinov na otoku Roanoke.

Najpomembnejše delo: Artis analyticae praxis (1631posthumno), algebrajska razprava (teorija enacb, zveze medkoeficienti in koreni, razlicne transformacije, numericnipostopki).

Uvedel nove standarde in oznake: aa za a2, znaka > in <

Kot astronom je odkril Sonceve pege, opazoval Jupitrove lune,napravil zemljevid Lune pred Galilejem, kot fizik odkril lomnizakon pred Snellom.


William Outhred (1574-1660)

Slika: Portret Williama Outhreda


Delo Williama Outhreda

Najvplivnejši angleški matematicni pisec 17. stoletja.

Cerkveni dostojanstvenik, ki je dajal privatne lekcije izmatematike. Ucenci: npr. matematik John Wallis , arhitektChristopher Wren in astronom Seth Ward .

Popularna knjiga: Clavis mathematicae iz aritmetike in algebre(leta 1631 kot Harriotova). Številne nove oznake, npr. × zamnoženje.

Še dve knjigi:The Circles of Proportions (1632) z opisom krožnegalogaritmicnega racunalaTrigonometria (1657) s kraticami sin, cos, tg, ctg.


Outhred in logaritmi

Avtor dodatka k angleški izdaji Napierove Descriptio leta 1618,s prvo tabelo naravnih logaritmov. V njej je ekvivalent formuleln10 = 2.302585, ki pomeni prvo implicitno priznanje vlogeštevila e v matematiki (sicer je to število vpeljal šele Euler ).

Leta 1647 prvi jasno formuliral znacilno lastnost logaritemskefunkcije: log(ab) = log a+ log b. Prav to dejstvo je odlocilnoprispevalo k uporabnosti novega pojma.

Vsekakor so logaritmi pomenili revolucionarno izboljšanjeracunske sposobnosti (bili so racunalniki tedanjega casa).Laplace je menda nekoc izjavil, da so logaritmi ’s skrajšanjemdela podaljšali življenje astronomov za dvakrat’.


Logaritmicno racunalo

Slika: Princip delovanja drsnega logaritmicnega racunala


Razvoj logaritmicnih racunal

Logaritmicno skalo je uvedel Edmund Gunter , Brigsov kolega,že leta 1620.

Oughtred je iznašel tako krožno kot drsno logaritmicnoracunalo leta 1622 in ga opisal leta 1632 v knjigi The Circles ofProportions.

Zares so delujoce logaritmicno racunalo konstruirali stoletjekasneje. Pravzaprav je šele francoski oficir Amédé Mannheim(1831-1906) leta 1859 standardiziral moderno logaritmicnoracunalo, kakršnega smo poznali pred uvedbo elektronskihkalkulatorjev.


Galileo Galilei (1564-1642)

Oce moderne znanosti, rojen v Pisi, študiral medicino inmatematiko, leta 1589 postal profesor matematike v Pisi(poskusi s prostim padom), leta 1592 pa v Padovi in tam ostaldo 1610.

Seznanil se je s teleskopom, ki ga je leta 1607 iznašel JohannLippersheim na Nizozemskem, ga zacel sam izdelovati, z njimopazoval Sonceve pege, Venerine faze, Saturnove kolobarje inJupitrove lune, kar je potrdilo Kopernikovo teorijo in vzbudilonasprotovanje cerkve.

Leta 1633, je bil zaslišan pred inkvizicijo in preostanek življenjapreživel v hišnem priporu.


Galilejevo delo v fiziki in matematiki

Glavno delo: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno adue nuove scienze, tiskano leta 1638 v Leidnu v italijanšcini.

Pri prostem padu je pot sorazmerna s kvadratom casa.Prvi opazil parabolicno obliko trajektorije projektila v vakuumu,iznašel moderni mikroskop.

V matematiki je odkril povratno enolicno korespondenco(bijekcij) med popolnimi kvadrati in vsemi naravnimi števili.


Galileo Galilei

Slika: Sustermansov portret Galilea

Veliko knjigo narave lahko bere le tisti, ki razume jezik,v katerem je napisana, in ta jezik je matematika.


Johannes Kepler (1571-1630)

Rojen blizu Stuttgarta, študiral v Tübingenu, leta 1594 sprejelmesto predavatelja na univerzi v Grazu v Avstriji.

Leta 1599 pa postal asistent slavnega dansko-švedskegaastronoma Tycho Braheja (1546-1601), ki je bil takrat v Pragidvorni astronom cesarja Rudolfa II. Ko je cez dve leti TychoBrahe nenadoma umrl, je njegovo mesto zasedel Kepler.


Johannes Kepler

Slika: Keplerjev portret iz leta 1610


Gibanje planetov

Leta 1609 je (na osnovi empiricnih podatkov svojegapredhodnika Braheja) formuliral prva dva zakona planetarnegagibanja, leta 1619 še tretjega:

I. Planeti se gibljejo okrog Sonca po elipticnih orbitah s Soncemv enem od gorišc.II. Radij vektor od Sonca do planeta opiše v enakih casovnihintervlih enake plošcine.III. Kvadrat obhodnega casa planeta je sorazmeren kubu velikepolosi elipse.

Po teh zakonih je še danes slaven.


Drugo Keplerjevo delo

Eden od zacetnikov integralskega racuna: poleg plošcin jeracunal prostornino sodov in drugih rotacijskih teles

V ravninski geometriji se je ukvarjal z dolocanjem stožnic,odkril idealne tocke in premice v neskoncnosti (zacetkiprojektivne geometrije).

V teoriji poliedrov je iznašel npr. rombicni dodekaeder,antiprizme, zvezdaste poliedre itd.).

V kombinatoriki je znana Keplerjeva domneva o gostemzlaganju krogel.


Keplerjeva domneva

Pri klasicnem (kubicnem) zlaganju krogel s polmerom r jevsaka celica kocka z robom 2r

√2, vanjo pa spada v vsakem

vogalu 1/8 krogle in v središcu vsake stranske ploskve 1/2krogle (glej sliko). Delež prostornine, ki jo v kocki zavzemajokrogle glede na prostornino cele kocke je povprecna gostotatakega pakiranja krogel. Dobimo vrednost π/

√18 ≈ 0.74048.

Slika: Klasicno kubicno pakiranje krogel


Keplerjev pomen za naravoslovje

Keplerjevo delo je mešanica misticnega pristopa, drznihšpekulacij in globokega znanstvenega uvida.

Privrženec velike vloge matematike v naravoslovju, upoštevaltudi estetske kriterije (Planeti in poliedri, simetrija snežinke).

Citat:

Vrhovni cilj raziskovanja zunanjega sveta mora biti odkrivanjeracionalnega reda in harmonije, ki mu jo je vtisnil Bogin ki nam ju razkriva v jeziku matematike.


Gérard Desargues (1593-1662)

V Lyonu rojeni inženir, arhitekt in oficir. Leta 1639 je v Parizuizšla njegova pomembna drobna knjižica o stožnicah, kmalupozabljena. Šele leta 1845 je francoski geometer MichelChasles (1793-1880) odkril rocni prepis knjižice, ki ga jenaredil Desarguesov ucenec.

V njej so osnove involucije, homologije, polarnosti inperspektive, zato velja Desargues za zacetnika projektivnegeometrije.


Desarguesov izrek

Slika: Ilustracija Desarguesovega izreka


Blaise Pascal (1623-1662)

Slika: Portret Blaisa Pascala


Življenje in delo

Rojen v francoski provinci Auvergne. Matematicni genij:- dvanajstleten je odkril mnoge izreke elementarne geometrije- šestnajstleten odkril nekatere globoke izreke projektivnegeometrije- devetnajstleten skonstruiral vrsto racunskega stroja.

Leta 1648 napisal obsežna študija o stožnicah(neobjavljena, le kratek povzetek)1650 je zbolel, odtlej se posvecal globokim religioznimvprašanjem in se le redko vrnil k matematiki ali fiziki.

Pred smrtjo je napisal Provincialna pisma in Misli,fundamentalni deli v izbrušenem stilu in vzor vse kasnejšefrancoske literature.


Misticni heksagram

Slika: Pascalov misticni heksagram


Drugo delo na podrocju matematike

Leta 1654 eksperimentiral s tlakom v tekocinah (po njemse imenuje enota pascal)

Korespondenca s Fermatom glede osnov verjetnosti 1654(na pobudo Chevaliera de Méréja)

Lastnosti cikloide 1658 (težišce pod lokom, prostornina,površina ustrezne vrtenine)

Pascalov trikotnik (Traité de triangle aritmétique 1665,posthumno)


Razvoj racunskih strojev

1642 Blaise Pascal (seštevanje 6-mestnih števil, 50protototipov in jih testiral, nato v desetih letih še 20 takihnaprav)1672 Gottfried Wlhelm Leibniz (naprava za množenje) 1673Samuel Morley v Angliji (podobno) 1820 Thomas de Colmar(za seštevanje, množenje in tudi za odštevanje in deljenje).1875 Frank Stephan Baldwin v Ameriki (prvi prakticnodelujoci racunski stroj za vse štiri racunske operacije) 1878Willgodt Theophile Odhner na Švedskem (podoben stroj)

1834 Charles Babbage v Angliji ima zamisel analiticnegastroja za racunanje matematicnih tabel in izvajanje aritmeticnihoperacij po inštrukcijah operaterja (prototip racunalnika).Program zanj napisala Ada Avgusta Lovelace (1815-1852),hci pesnika Lorda Byrona.

milan hladnik fmf, univerza v ljubljanihladnik/zgodmat/zacmodern(b).pdf · uvedel nove standarde in...

Documents