pitagorejska matematika - university of ljubljanahladnik/zgodmat/pitagorejci(b...filozofska,...

Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge

Pitagorejska matematika

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

10. oktober 2012


Viri za zgodnjo grško matematiko

Kasnejši zapisi in komentarji (Platon, Evdemus)

Prvi zgodovinar matematike: Evdemus z Rodosa (∼ 350-290pnš.), Aristotelov ucenec, ki je opisal cas nekako do leta 335pnš., a se je na žalost njegov spis izgubil.

Evdemov povzetek napisal neoplatonist Proclus (410-485 nš.)v svojem Komentarju o Evklidu okrog leta 450 nš. To je najboljzanesljiv vir za starejšo grško matematiko, vsebuje tudi podatkeo Pitagori in Pitagorejcih.


Tales iz Mileta (∼ 624-546 pnš.)

Slika: Tales iz Mileta


Talesove ugotovitve

premer razpolavlja krog

v enakokrakem trikotniku sta kota ob osnovnici enaka

trikotnika sta skladna, ce imata enaka dva kota in enostranico

v polkrog vcrtan kot je pravi


Pitagora s Samosa (∼ 572-495 pnš.)

Slika: Pitagora s Samosa


Pitagorejska šola

Ustanovljena v Krotoni v južni Italiji.Filozofska, znanstvena, matematicna in verska šola.Notranji krog približno 600 študentov so bili ti. matematiki,zunanji, okrog 2000 študentov, pa akuzmatiki. Aristokratskazaprtost in misticizem. Znanje na tajnih sestankih širili samoustno.Gojili so vero v moc števil (ki sestavljajo svet), njihove znanostiso bile aritmetika, geometrija, glasba in astronomija(kvadrivium).Pregnani iz Krotone so delovali še 200 let, nekateri zelo vplivni,npr. Filolaj, Arhit.


Prijateljska števila

Definicija: Vsako od dveh števil je vsota pravih deliteljevdrugega.

Pitagora: (284, 220)Euler: (2620,2924) leta 1747 (skupaj 30 parov, kasneje vsaj šetoliko)Nicolo I. Paganini: (1184, 1210) leta 1866Do leta 1946: 390 parovDo leta 2007: skoraj 12.000.000 (z racunalnikom)

Odprti problemi: Ali obstaja par prijateljskih števil nasprotneparnosti (eno sodo, eno liho) ali brez skupnega faktorja?


Popolna števila

Definicija: Enaka vsoti vseh svojih pravih deliteljev.

Grki: 6, 28, 496, 8128Neznani matematik: (33.550.336) leta 1456Do leta 1952: samo 12 popolnih številDo junija 2010: 47 popolnih števil.

Odprti problemi:

Ni znano, ali je popolnih števil neskoncno mnogo.Prav tako ni znano, ali obstaja liho popolno število; ce je, jegotovo zelo veliko, vecje od 101500.


Soda popolna števila

Evklid v IX. knjigi Elementov (metoda za iskanje sodih popolnihštevil):

Trditev

Ce je 2n −1 praštevilo (Mersennovo praštevilo), je 2n−1(2n −1)popolno število.

Euler: Velja tudi obratno.

Bijekcija med popolnimi števili in Mersennovimi praštevili. Npr.211 −1 = 2047 = 23 ·89 ni praštevilo, torej 210(211 −1) nipopolno število.


Figurativna števila

Definicija: Števila tock v neki gemetrijski konfiguraciji

Npr. trikotna, kvadratna, petkotna števila (slika).

( )a

1 3 6 10

( )b

1 5 12 22

Slika: Trikotna in petkotna števila

Razlicne zveze: 1+3+5+ ...+(2n−1)= n2, Sn = Tn +Tn−1,Pn = n +3Tn−1


Pitagorejske trojice

Definicija: Cela števila a,b,c, za katera velja a2 +b2 = c2.

Pitagora jih je znal generirati s formulo(2m)2 +(m2−1)2 = (m2 +1)2, kjer je m lih, tako da je a = m,b = (m2 −1)/2 in c = (m2 +1)/2.

Današnja reprezentacija a = 2uv , b = u2 −v2, c = u2 +v2.

Ce sta u,v tuji si števili razlicne parnosti, dobimo na ta nacinvse primitivne pitagorejske trojice, tj. pitagorejske trojice brezskupnega faktorja.


Algebraicne identitete

(1) (AQ)(QB)+ (PQ)2 = (PB)2

(2) Vstavimo AB = p in AQ = x , pa velja x2 −px +q2 = 0, ceq ≤ p/2.

A P Q B

C DE

FHG L

( )A ( )B

Q

A BP Q

E

EQ = PB

q

Slika: Evklidovo reševanje kvadratne enacbe


Geometrijsko reševanje kvadratne enacbe po Carlyleu

Thomas Carlyle (1795-1881), škotski pisec in uciteljmatematike

(0,1)

( , )a b

0 ( )x

( )y

x 2x1

Slika: Carlyleova geometrijska metoda reševanja kvadratne enacbe

x2 −ax +b = 0


Pitagorov izrek

Slika: Pitagorov dokaz

Uporaba enakosti po dopolnitvi


Evklidov dokaz Pitagorovega izreka

Slika: Evklidov dokaz Pitagorovega izreka


Še dva dokaza Pitagorovega izreka

( )a ( )b

Slika: Ibn Qurrov in Dudeneyev dokaz Pitagorovega izreka

Primer enakosti po razdelitvi


Številni drugi dokazi

Vec kot 400 razlicnih dokazovE.S. Loomis zbral in objavil leta 1927 kar 371 dokazov

E. Maor, The Pythagorean Theorem, a 4,000-year history,Princeton Science Library, Princeton University Press,Princeton and Oxford, 2007.

A.S. Posamentier, The Pythagorean Theorem, The Story ofIts Power and Beauty, Prometheus Books, New York 2010.

A. Bogomolny, The Pythagorean Theorem and Its ManyProofs, spletna stran (www.cut-the-knot.org).


Platonska telesa

Slika: Platonska telesa


Kriza: odkritje iracionalnih števil

Najverjetneje so odkrili, da√

2 ni racionalno število.Geometrijski dokaz malce bolj zapleten, s protislovjem.

B

CD

C 1

B1

A P

Q

Slika: Geometrijski dokaz iracionalnosti kvadratnega korena iz 2

Nastal je velik logicni škandal.


Škandal in njegova razrešitev

Pitagorejska filozofija je temeljila na racionalnih razmerjih daljic(in števil). Pitagorejci so odkritje hoteli obdržati v tajnosti.Hipasus izdal skrivnost in bil zato kaznovan.

Evdoks iz Knida razrešil škandal leta 370 pnš. z novodefinicijo proporcionalnosti (Evklid vkljucil v V. knjigoElementov).

Richard Dedekind leta 1872 predstavil svojo teorijoiracionalnih števil (po Evdoksovem zgledu)


Zenonovi paradoksi

Dihotomija: Ce hocemo priti do konca odseka, moramonajprej doseci polovico, še prej cetrtino itd. ad infinitum.Ali sploh lahko zacnemo?

Pušcica: v vsakem trenutku pušcica miruje, ker ima fiksnopozicijo. Ali se sploh lahko zacne gibati?

Ahil in želva: Ahil je dvakrat hitrejši od želve, ki ima prednjim doloceno prednost; ko pride Ahil do mesta, kjer je bilaželva v zacetku, je le-ta že pol poti naprej itd.Ali jo sploh kdaj ujame?

Stadion: V treh vrstah so ljudje A v prvi pri miru, v drugi seB gibljejo z doloceno hitrostjo v desno, v tretji C z istohitrostjo v levo; ce potrebuje B do naslednjega A enotocasa, potrebuje do naslednjega C le pol enote casa.Ali potem lahko obstaja najmanjši nedeljiv del casa?


Evdoks iz Knida (408-347 pnš.)

Slika: Evdoks iz Knida, Arhitov in Platonov ucenec


Evdoksova teorija sorazmernosti

Vsaka (tudi nesoizmerljiva) kolicina (npr. λ ) je dolocena, cepoznamo njeno pozicijo med kolicinami (npr. a), ki so vracionalnem razmerju z dano kolicino: Torej

λ = µ , ce iz a < λ sledi a < µ in obratnoλ < µ , ce lahko najdemo soizmerljivo kolicino a, da je λ < a < µ

Danes: iracionalno število poznamo, ce poznamo vsa manjšain vsa vecja racionalna števila (Dedekindovi rezi).


Evdoksova metoda izcrpavanja

Posplošitev teorije sorazmernosti na plošcine likov inprostornine teles, ki so prav tako dolocene z aproksimacijami.Krog npr. aproksimiramo z vcrtanimi ali ocrtanimi veckotniki,piramido s stopnicasto naloženimi prizmami ipd. Pri temzadošca koncno mnogo približkov.

A B

M

Slika: Vcrtavanje veckotnikov v krog

pitagorejska matematika - university of ljubljanahladnik/zgodmat/pitagorejci(b...filozofska,...

Documents