lİse - kÜmeler 3

KÜMELER KÜMELER GEZEGENİNE HOŞ GEZEGENİNE HOŞ

GELDİNİZ.GELDİNİZ.

1. Bölüm1. BölümKümenin tanımı ve gösterimiBoş kümeSonlu ve sonsuz küme

Alt küme ve özalt küme

Eşit kümeler

2. Bölüm2. Bölüm

İki kümenin kesişimi ve birleşimi

Ayrık kümeler

Evrensel küme ve fark kümesi

3.Bölüm3.Bölüm

Küme problemleri

Küme,birbirinden ayırt edilebilen bir nesneler topluluğudur.

Küme {...} parantezi içinde yazılarak gösterilir.Nesneler aralarına virgül konarak birbirinden ayırt edilir. Örneğin bir A kümesi A={1,2}

ile gösterilir

ÖrÖr::

Aşağıdaki kümelerin elemanlarını Aşağıdaki kümelerin elemanlarını yazınızyazınız..

1. A= ( 1. A= ( 8 ile 16 arasındaki çift 8 ile 16 arasındaki çift sayılarsayılar))

2. B= ( 2. B= ( durmuş ismindeki harflerdurmuş ismindeki harfler))

Çözüm:

10, 12, 14 10, 12, 14 sayılarına sayılarına ““A”A” kümesinin elemanları denir kümesinin elemanları denir

1. A= {10,12,14} 2. B= {d,u,r,m,ş}

Elemanlar {3,5,7} {5,3,7} ,{7,5,3}şeklinde yazılabilir,sıranın önemi yoktur.

a,A kümesinin bir elemanı ise bu ifade a∈A şeklinde, değilse a∉A ile gösterilir.

Elemanların birbirinden ayırt edilebilmesi için aralarına virgül koymak gerekir...

Bir küme üç şekilde gösterilebilir:

Venn şeması ile

Liste yöntemi ile

Ortak özelik metodu ile

• Elemanların kapalı bir bölgede gösterilmesine

Venn şeması ile gösterim,

• Kümenin elemanlarının {…}

süslü parantezinin içine iki

eleman arasına virgül koyarak yazılmasına

liste yöntemi ile gösterim,• Elemanların ortak bir özellik

ile önerme şeklinde yazılmasına

“ortak özellik metodu”ile gösterim denir.

Bunları biraz açıklar mısın?

*ç *i *e

*k

A

Venn diyagramı ile..

A={ç,i,e,k}

“çiçek” kelimesindeki harfler

Kümesini üç yöntemle gösterelim.

1. 2.

3.

A={Çiçek kelimesindeki harfler.}

Küme ÇeşitleriKüme Çeşitleri

,

11**Boş KümeBoş Küme2*2*Sonlu veSonlu ve

Sonsuz KümeSonsuz Küme

33**Evrensel Evrensel kümeküme

44**Eşit Eşit

kümeküme

55**Denk Denk

kümeküme

1*1* Bir kümenin elemanları

yoksa o kümeye

boş kümeboş küme denir.

Boş küme ile gösterilir.

2*2* Eğer kümenin elemanları

sayılabiliyorsa o kümeye

sonlu küme sayılamıyorsa

sonsuz küme denir.

3*3*

1

. EVRENSEL KÜME : Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir.

E harfi ile gösterilir.

44**EŞİT KÜMELER: Elemanları aynı olan kümelere eşit kümelereşit kümeler denir.

55**DENK KÜMELER: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümelerdenk kümeler denir

ALT KÜME: A ve B iki küme olmak üzere, A’ nın her elemanı B ‘ nin de elemanı oluyorsa A’ ya B’ nin alt kümesi denir. veya şeklinde yazılabilir.

.

,

Örnek

:

kümeleri denk kümelerdir.Çünkü :

Örnek

kümeleri eşit kümelerdir. Çünkü aynı elemanlara sahip.

1.Her küme kendisinin bir alt kümesidir.

2. Her küme evrensel kümenin bir alt kümesidir.

3. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.

44**

55**

6. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:

7. Bir kümenin, kendisi dışındaki bütün alt kümelerine, bu kümenin öz alt kümeleri denirAlt kümelerinin sayısı : Öz alt kümelerinin sayısı :

A boş olmayan bir küme olsun.

s(A)= n ise,

1.A nın alt küme sayısı 2^n dir.

2. A nın özalt küme sayısı 2^n–1 dir

3. Boş kümenin alt küme sayısı 1 dir.

TÜMLEYEN : Evrensel kümenin elemanlarından A’ nın elemanları çıkarılarak elde edilen kümeye A’ nın tümleyeni denir ve “A’ “ veya “ A ” ile gösterilir.

Tümleme Özellikleri

(A’)’=A

E’ =

kümesinin kuvvet kümesi P(A) olsun. n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesinin eleman

sayısı dir

.

KUVVET KÜMESİ : Bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kuvvet kümesi denir.

P(A) ={φ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ' dir.

KESİŞİM : A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B kesişim kümesi denir “

ile gösterilir.

NOT : Ortak elemanı olmayan ayrık kümeler denir.

BİRLEŞİM : A veya B kümelerinin elemanlarından oluşan kümeye A ile B’ nin

birleşim kümesi denir ve “ ” ile gösterilir.

Burada A={1,3,4,5} ve B={1,2,5} olduğundan A∪ B={1,2,3,4,5} bulunur

Örnek

Ör: A={-4,-3, -2,-1,0} ve B={x:-2<x<4,x∈Z} ise A ∪B ve n(A ∪B ) yi bulunuz.

Çözüm:

B={-1,0,1,2,3,4} dir.A ve B nin ortak elemanları, -1 ve 0. A ∪B ={-4,…4}. n(A)=5 ve n(B)=6, n(A ∪B ) =n(A) + n(B)-n(A∩B)= 5+6-2=9 olur.

FARK :A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A’nın elemanı olup da B’nin elemanı olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. Fark kümesi “A – B” veya “A \B” ile gösterilir.

Burada A={1,3,4,5} ve B={1,2,5} olduğundan A\B={3,4} bulunur.

NOT :: A \ B A \ B ≠≠ B \ A B \ A

ÖRNEK

Şekle göre A\B ‘yi bulunuz.

Çözüm

SİMETRİK FARK : A ve B herhangi iki küme olarak üzere, A – B ile B –A nın birleşimine A ile B ‘ nin simetrik farkısimetrik farkı denir ve “ ” ile gösterilir.

,

.

EK KUVVET ÖZDEĞİŞME ÖZDEĞİŞME ÖZ

Birleşme Özelliği Birleşme Özelliği Dağılma Özelliği Dağılma Özelliği

. . DeDe’’ MorganMorgan KuralKuralıı

. s(A), s(B) ve s(C) sırasıyla A,B ve C kümelerinin eleman sayıları olmak üzere :

Fark ve Simetrik farkla ilgili Özellikler :

A \ B =A ∩ B ’ = A \ (A ∩ B )A \ φ = A

E \ A = A ‘

Kombinasyonun temel teoremleri :

Ör:

A ve B kümeleri için, n(A∩B)=4, n(A)= n(B) ve n(A∪B)=14 veriliyor.B nin özalt kümelerini sayısını bulunuz.

Çözüm:

4x x

n(A∩B)=4

n(A∪B)=14 , x+4+x=14⇒ x=5 n(B)=4+x=4+5=9B nin alt küme sayısı: 2^n –1=2^9-1=511 dir.