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MATHEMATIK
GRUNDWISSEN
5. KLASSE
LESSING GYMNASIUM
NEU-ULM
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 2/16
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 3/16
I. ZAHLEN 1. Natürliche und ganze Zahlen 1.1 Zahlenmengen
Natürliche Zahlen ℕ = {1; 2; 3; 4; … }
Natürliche Zahlen mit der Null ℕ0 = {0; 1; 2; 3; 4; … }
Ganze Zahlen ℤ = {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … }
Primzahlen Das sind natürliche Zahlen, die genau zwei verschiedene Teiler haben.
z.B.: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; . ..
Wenn eine Zahl a zu einer Menge M gehört, schreibt man: 𝑎 ∈ 𝑀 ; 𝑧. 𝐵. 4 ∈ ℕ
Wenn eine Zahl a nicht zu einer Menge M gehört, schreibt man: 𝑎 ∉ 𝑀 ; 𝑧. 𝐵. −4 ∉ ℕ
1.2 Wichtige Stufenzahlen und Zehnerpotenzen 1T (Tausend) = 1.000 = 10 10 10 = 10³ (3 Endnullen)
1M (Million) = 1.000.000 = 106 (6 Endnullen)
1 Md (Milliarde) = 1.000.000.000 = 109 (9 Endnullen)
1 B (Billion) = 1.000.000.000.000 = 1012 (12 Endnullen)
1.3 Betrag einer Zahl
1.4 Anordnung der ganzen Zahlen
4 < 7
– 4 < 3 Die kleinere Zahl steht auf der Zahlengeraden weiter links.
– 8 < – 2
– 8 > +7
Der Abstand einer Zahl a von der Null heißt Betrag der Zahl a, kurz |a|.
z.B. |+7| = 7 = |– 7|
|– 2| = 2 = |+2|
Es gilt immer: a > 0
- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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2. Rechnen mit ganzen Zahlen
2.1 Addition und Subtraktion
z.B.: (+ 5) + (–7) = 5 – 7
(– 4) – (+8) = – 4 – 8
(+5) – (–7) = 5 + 7
z.B.: + 3 + 4 = + (3 + 4) = + 7
– 3 – 4 = – (3 + 4) = – 7
+ 5 – 3 = + (5 – 3) = + 2
+ 3 – 5 = – (5 – 3) = – 2
– 4 + 6 = + (6 – 4) = +2
– 4 + 1 = – (4 – 1) = – 3
Bei gleichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt:
+ a + b = + ( a + b )
– a – b = – ( a + b )
für alle 𝑎; 𝑏 ∈ ℤ.
Bei unterschiedlichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt:
Der kleinere Betrag wird vom größeren Betrag subtrahiert. Das Ergebnis erhält das
Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Vereinfachung der Schreibweise:
+ (+ a) = + a
– (– a) = + a
+ (– a) = – a
– (+ a) = – a
Addition: 7 + 5 = 12
1. Summand 2. Summand Wert der Summe
Summe
5 wird zu 7 addiert.
Subtraktion: 5 – 3 = 2
Minuend Subtrahend Wert der Differenz
Differenz
3 wird von 5 subtrahiert.
Die Beträge werden addiert.
Das Ergebnis hat das gemeinsame + oder – Zeichen
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2.2 Rechengesetze der Addition und Subtraktion
z. B.: – 3 + 21 = + 21 – 3 ( 17 + 41 ) + 9 = 17 + ( 41 + 9 )
Anwendung beider Rechengesetze:
17 – 25 + 3 = – 25 + 17 + 3 = – 25 + (17 + 3) = – 25 + 20 = – 5
KG AG
2.3 Multiplikation und Division
z.B.: (– 3) (+ 5) = – 15
(–21) : (–3) = + 7
18 : (–2) = – 9
Beachte: (– 2)4 = (–2) (–2) (–2) (–2) = 16
– 24 = – (2 2 2 2) = – 16
Bei der Multiplikation gilt: Bei der Division gilt:
(+ a) (+ b) = + (a b) (+ a) : (+ b) = + (a : b)
(– a) (– b) = + (a b) (– a) : (– b) = + (a : b)
(+ a) (– b) = – (a b) (+ a) : (– b) = – (a : b)
(– a) (+ b) = – (a b) (– a) : (+ b) = – (a : b)
für 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ\{0}
Beachte: Division durch Null ist nicht erlaubt!
Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Kommutativgesetz:
a + b = b + a
Vorsicht: Bei der Anwendung des Kommutativgesetzes müssen
die Vorzeichen/Rechenzeichen mitgenommen werden!
Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Assoziativgesetz:
( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
Potenz:
25 = 2 2 2 2 2 = 32
25 Potenz (lies: 2 hoch 5)
2: Basis 5: Exponent
Multiplikation:
7 5 = 35
1. Faktor 2. Faktor Wert des Produkts
Produkt 7 wird mit 5 multipliziert.
Division:
12 : 2 = 6 Dividend Divisor Wert des Quotienten
Quotient
12 wird durch 2 dividiert.
ℤ
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2.4 Rechengesetze der Multiplikation und Division
z.B.: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz:
(25 · 83) · (– 4) = (– 4 · 25) · 83 = – 100 · 83 = – 8300
(–125) · 217 · (– 8) · 3 = (125 · 8) · (217·3) = 1000 ·651 = 651000
z.B.: Klammern auflösen:
3 · 416 = 3 · (400 + 16) = 3 · 400 + 3 · 16 = 1200 + 48 = 1248
17 · 298 = 17 · (300 – 2)= 17 · 300 – 17· 2 = 5100 – 34 = 5066
378 : 7 = (350 + 28) : 7 = 350 : 7 + 28 : 7 = 50 + 4 = 54
882 : 9 = (900 – 18) : 9 = 900 : 9 – 18 : 9 = 100 – 2 = 98
z.B.: Ausklammern:
26 · 47 + 26 · 253 = 26 · (47 + 253) = 26 · 300 = 7800
768 · 18 – 618 · 18 = (768 – 618) · 18 = 150 · 18 = 2700
516 : 12 – 156 : 12 = (516 – 156) : 12 = 360 : 12 = 30
348 : (–4) + 568 : 4 = (–348 + 568): 4 = 220 : 4 = 55
Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Kommutativgesetz:
a b = b a
Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Assoziativgesetz:
( a b ) c = a ( b c ) = a b c
Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ und 𝑐 ≠ 0 gilt das Distributivgesetz:
(a + b) c = a c + b c
(a + b) : c = a : c + b : c (c ist Teiler von a und b)
Klammern auflösen
Ausklammern
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2.5 Terme
z.B.: 314 + 2 · (500 – 250) ist ein Term
Aufstellen von Termen:
z.B.: Subtrahiere die dreifache Summe der Zahlen 12 und 17 vom Produkt der Zahlen 15 und 8!
15 · 8 – 3 · (12 + 17)
Multipliziere den Quotienten der Zahlen 35 und 7 mit der Summe der Zahlen 9 und 14!
(835 : 7) · (9 + 14)
Dividiere die Summe der Zahlen 25 und 11 durch die Differenz der Zahlen 12 und 8!
(25 + 11) : (12 – 8)
z.B.: 15 – 3 · 4 = 15 – 12 = 3
24 + 12 : 6= 24 + 2 = 26
5 · 24 – 52 · (3 – 5) = 5 · 16 – 25 · (–2) = 80 + 50 = 130
18 + 5 · (30 - 8·2) = 8 + 5 · 30 – 16) = 18 + 5 · 14 = 18+ 70 = 88
[– 4 – (– 12)] · [2 + 18 : (– 3)] = [ – 4 + 12] · [2 + (– 6)] = 8 · (– 4) = – 32
2 · 32 – 4·(12 – 17)2 = 2 · 9 – 4 · (–5)2 = 18 – 4 · 25 = 18 – 100 = – 82
3 · 42 = 3 · 16 = 48
(3 · 4)2 = 122 = 144
Gliedern von Termen:
Die Rechenart, die zuletzt ausgeführt wird, bestimmt die Art des Terms.
z.B.: 25 – 12 : 4
Der Term ist eine Differenz. Der Minuend ist die Zahl 25. Der Subtrahend ist ein Quotient. Der
Dividend ist die Zahl 12. Der Divisor ist die Zahl 4.
Regeln für das Berechnen von Termen:
- Klammern vor allem.
Treten mehrere Klammern auf, so wird der Inhalt der innersten Klammer zuerst
berechnet.
- Potenzen werden vor Punktrechnungen ausgeführt, wenn nicht Klammern
eine andere Reihenfolge vorgeben.
- Die Regel Punkt vor Strich bedeutet, dass Punktrechnungen (Multiplikation
und Division) vor Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) ausgeführt
werden, wenn nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorschreiben.
- Was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibe unverändert an. (kein Missbrauch des Gleichheitszeichens!)
Eine sinnvolle Zusammenstellung von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern
nennt man Term.
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2.6 Teilbarkeit und Faktorisieren
z.B.:
343248 ist durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer 8 ist.
212527 ist nicht durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer eine 7 ist.
8751 ist durch 3 teilbar, da die Quersumme (8 + 7 + 5 + 1 = 21) durch 3 teilbar ist.
4133 ist nicht durch 3 teilbar, da die Quersumme (4 + 1 + 3 + 3 = 11) nicht durch 3 teilbar ist.
2333250 ist durch 5 teilbar, da die Zahl auf 0 endet.
34272 ist durch 9 teilbar, da die Quersumme (3 + 4 + 2 + 7 + 2 = 18) durch 9 teilbar ist.
4319 ist nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme (4 + 3 + 1 + 9 = 17) nicht durch 9 teilbar ist.
37912 ist durch 4 teilbar, da 12 durch 4 teilbar ist.
5234 ist nicht durch 4 teilbar, da 34 nicht durch 4 teilbar ist.
21852 ist durch 6 teilbar, da 21852 durch 2 und durch 3 teilbar ist.
57243 ist nicht durch 6 teilbar, da 57243 nicht durch 2 teilbar ist.
7846 ist nicht durch 6 teilbar, da 7846 nicht durch 3 teilbar ist.
23724 ist durch 12 teilbar, da 23724 durch 3 und durch 4 teilbar ist.
6438 ist nicht durch 12 teilbar, da 6438 nicht durch 4 teilbar ist.
7324 ist nicht durch 12 teilbar, da 7324 nicht durch 3 teilbar ist.
z.B: 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 23 32
4500 = 100·45 = 2·5·2·5·3·3·5 = 22·32·53
Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6, oder 8 ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4
teilbar ist.
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl erhält man, indem man die Zahl als Produkt darstellt, in dem alle Faktoren Primzahlen sind.
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II. Größen und ihre Einheiten
1. Längeneinheiten
Umrechnung von Längeneinheiten
Umrechnen von Längeneinheiten (Darstellung in gemischten Einheiten):
3040802 cm = 30 km 408 m 2 cm
8,2 km = 8 km 200 m
7,06003 km = 7 km 60 m 3 cm
Rechnen mit Längeneinheiten
9km 200m – 3km 850m = 8km 1200m – 3km 850m = 5km 350m = 5,35km
17,3m – 5m 45cm = 16m 130cm – 5m 45cm = 11m 85cm = 11,85m
24m 60cm · 4 = 96m 240cm = 98m 40cm = 98,4m
12m : 40 cm = 1200 cm : 40cm = 30
3m : 8 = 3000mm : 8 = 375mm = 37,5cm
2. Maßstab
z.B.: - 3,2 cm auf der Karte entsprechen also
32 mm · 50000 = 1600000 mm = 1600 m = 1,6 km in Wirklichkeit.
- 3,8 km in Wirklichkeit entsprechen 380000 cm : 50000 = 7,6 cm auf der Karte.
Ein Maßstab 1 : 50000 bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 50000 cm in Wirklichkeit
entsprechen.
Millimeter 1 mm
Zentimeter 1 cm = 10 mm
Dezimeter 1 dm = 10 cm
Meter 1 m = 10 dm
Kilometer 1 km = 1.000 m
Umrechnungsfaktor 10
Merke: „Größe : Größe“ = „Zahl“
„Größe : Zahl“ = „Größe“
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3. Masseneinheiten
Umrechnung von Masseneinheiten (Gemischte Einheiten und Kommaschreibweise)
30900 g = 30 kg 900 g = 30,9 kg
72003000 mg = 72 kg 3 g = 72,003 kg
4,0807 kg = 4 kg 80 g 700 mg
2,30005 t = 2 t 300 kg 50 g
4. Zeiteinheiten
Rechnen mit Zeiteinheiten – Vorsicht mit den Umrechnungszahlen!
385 min = 6h 25 min
4h 35 min = 275 min
2,5 min = 2 min 30s
3h 20 min : 8 = 200 min : 8 = 25min
1h 5 min : 20s = 3900s : 20s = 195
Zeitdauer von 8.47 Uhr bis 13.18 Uhr:
13 h 18 min – 8 h 47 min = 12 h 78 min – 8 h 47 min = 4 h 31 min
Sekunde 1 s
Minute 1 min = 60 s
Stunde 1 h = 60 min = 3600 s (h: hour, englisch: Stunde)
Tag 1 d = 24 h (d: day, englisch: Tag)
Milligramm 1 mg
Gramm 1 g = 1.000 mg
Kilogramm 1 kg = 1.000 g
Tonne 1 t = 1.000 kg
Umrechnungsfaktor 1000
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III. Geometrie
1. Koordinatensystem Punkte im Koordinatensystem:
Die Lage eines Punktes P wird durch ein
Zahlenpaar (x|y) angegeben.
z.B. P(2|1), Q(– 3|– 4)
Die x-Koordinate ist der Rechtswert,
die y-Koordinate ist der Hochwert.
Die Koordinatenachsen teilen die Zeichenebene
in vier Quadranten ein.
2. Strecken, Halbgeraden, Geraden
Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung der Punkte A und B.
Die Länge der Strecke wird mit | AB | bezeichnet.
z.B. | AB | = 1,5 cm
Die Halbgerade [AB besitzt den Anfangspunkt A und verläuft durch den Punkt B.
Die Gerade AB verläuft durch die Punkte A und B.
Eine Gerade besitzt keinen Anfangs- und keinen Endpunkt.
Wenn ein Punkt P auf der Geraden AB liegt, schreibt man P AB
Wenn ein Punkt Q nicht auf der Geraden AB liegt,
schreibt man Q AB
Senkrechte Geraden: g h
Parallele Geraden: g h
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie ein gemeinsames Lot l besitzen.
Abstand paralleler Geraden:
d(g;h) = Länge der Lotstrecke zwischen g und h
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:
d(P;g) = Länge der Lotstrecke von P zum Lotfußpunkt F
x
x
g
F
P
A x x
B
A B x x
P x
A x x
B
g
h
d(g;h)
g
h
l
I. Quadrant II. Quadrant
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
III. Quadrant IV. Quadrant
P
Q
x
x
A B x x
x
A x x B
Q
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3. Winkel
Winkel werden in der Winkeleinheit Grad ( °) angegeben.
0o < < 90o: spitzer Winkel
= 90o: rechter Winkel
90o < < 180o: stumpfer Winkel
180o< <360o: überstumpfer Winkel
= 180o: gestreckter Winkel
= 360o: Vollwinkel
Messen von Winkeln:
α
Ein Winkel wird durch zwei Halbgeraden [SA und [SB festgelegt.
Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, S ist der Scheitel des Winkels.
Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet.
z.B.: : alpha
: beta
: gamma
: delta
: epsilon
Die Schreibweise = ∡ ASB bedeutet, dass A ein Punkt auf dem 1. Schenkel, S der Scheitel und B ein
Punkt auf dem 2. Schenkel ist.
x
x
B
A
S
Geodreieck auf Schenkel 1 anlegen
Nullpunkt des Geodreiecks
an den Scheitel anlegen
Ablesen: 59°
x
α
α
α
α
α
α
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4. Kreis
Eine Gerade, die einen Kreis an genau einem Punkt berührt, heißt Tangente dieses Kreises.
5. Besondere Vierecke Parallelogramm: Bei einem Parallelogramm sind die
gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.
Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem
gegenüberliegende Seiten gleich lang sind
und die Seiten senkrecht aufeinander stehen.
Raute: Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier
Seiten gleich lang sind.
Quadrat: Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle vier
Seiten gleich lang sind und senkrecht aufeinander stehen.
6. Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck
Beispiele:
a) Ein Quadrat besitzt einen Umfang von 32 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt? s = 32cm:4 = 8cm
A = 8cm·8cm = 64cm2
b) Ein Quadrat besitzt einen Flächeninhalt von 9 ha. Wie groß ist sein Umfang?
s·s = 90000m2 ; s = 300m U = 4·300m = 1200m = 1,2 km
Rechteck:
Flächeninhalt AR = l · b
Umfang UR = 2·(l + b)
Länge l
Breite b
s
Quadrat:
Flächeninhalt: AQu = s · s
Umfang: UQu = 4 · s
s
s
Alle Punkte P auf der Kreislinie k(M; r) besitzen vom
Mittelpunkt M die gleiche Entfernung r (Radius).
d = 2·r ist der Durchmesser des Kreises.
k Kreislinie
M
r
x
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Beispiele:
a) Ein Rechteck ist 75m lang und besitzt einen Umfang von 280m. Wie breit ist das Rechteck?
2 · (75m + b) = 280m
75m + b = 140m b = 140m – 75m = 65m
b) Ein Rechteck ist 250m lang und besitzt einen Flächeninhalt von 3 ha. Welchen Umfang besitzt das Rechteck?
b = 3 ha : 250 m = 30000 m2 : 250 m = 120m
U = 2·(250m + 120m)= 740m
7. Flächeneinheiten
Umrechnen von Flächeneinheiten
753000 cm2 = 75m2 30dm2 = 75,3m2
80004 m2 = 8ha 4m2
2030,075 m2= 20a 30m2 7dm2 50cm2
709,302 ha = 7km2 9ha 30a 20m2
Rechnen mit Flächeneinheiten
18ha 25a – 3a 65m2 = 18ha 24a 100m2 – 3a 65m2 = 18ha 21a 35m2
38m2 : 20 = 3800dm2 : 20 = 190dm2 = 1,9m2
12a : 40m2 = 1200m2 : 40m2 = 30
2m2 : 80cm = 200dm2 : 8dm = 25dm
56 ha : 70m = 560000m2 : 70m = 8000m = 8 km
Quadratmillimeter 1 mm²
Quadratzentimeter 1 cm² = 100 mm²
Quadratdezimeter 1 dm² = 100 cm²
Quadratmeter 1 m² = 100 dm² Umrechnungsfaktor 100
Ar 1 a = 100 m²
Hektar 1 ha = 100 a
Quadratkilometer 1 km² = 100 ha
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8. Geometrische Körper
8.1 Geometrische Grundkörper - Überblick
Würfel Quader 5-seitiges Prisma 3-seitiges Prisma Zylinder Kegel Kugel Pyramide
8.2 Würfel und Quader Würfel:
s Oberfläche
z.B. a) Welche Oberfläche besitzt ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1,2m ?
OW = 6·12 dm·12 dm = 6·144 dm2 = 864 dm2 = 8,64 m2
b) Welche Kantenlänge besitzt ein Würfel mit einer Oberfläche von 150 cm2?
s · s = 150 cm2 : 6 = 25 cm2 => s = 5 cm
Quader:
Oberfläche
z.B. Welche Oberfläche besitzt ein Quader, der 1,5m lang, 4cm breit und 3dm hoch ist?
OQu = 2·(150 cm·4 cm + 150 cm·30 cm + 4 cm·30 cm) =
= 2·(600 cm2 + 4500 cm2 + 120 cm2) =
= 2·5220 cm2 = 10440 cm2 = 104,4 dm2 = 1,044 m2
Zusammengesetzte Körper:
z.B: Welche Oberfläche besitzt der folgende zusammengesetzte Körper?
OKörper = 2·8 cm·2 cm + 2·2 cm·1 cm + 2·8 cm·1 cm – 1 cm·3 cm +
+ 2·3 cm·4 cm + 2·4 cm·1 cm + 3 cm·1 cm =
= 32 cm2 + 4 cm2 + 16 cm2 – 3 cm2 + 24 cm2 + 8 cm2 + 3 cm2 = 84 cm2
OQu = 2·(l·b + l·h + b·h)
OW = 6·s·s
s
s s
Breite b
Höhe h
Länge l
2 cm
8 cm
3 cm
1 cm
4 cm
1 cm
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IV. Stochastik
z.B. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können aus den Ziffern 2,3,4,5 gebildet werden,
wenn sich die Ziffern nicht wiederholen dürfen?
Baumdiagramm
1. Stelle:
2. Stelle:
3. Stelle:
4. Stelle:
Es gibt 4 Belegungsmöglichkeiten für die 1. Stelle,
3 Möglichkeiten für die 2. Stelle,
2 Möglichkeiten für die 3. Stelle und
1 Möglichkeit für die 4. Stelle,
also können 4·3·2·1 = 24 Zahlen gebildet werden.
z.B. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen können aus den Ziffern 2, 3, 4 und 5 gebildet
werden?
Für jede Stelle gibt es 4 Belegungsmöglichkeiten, also gibt es 4·4·4 = 43 = 64 Zahlen.
z.B. Auf einer Speisekarte werden für ein Menü 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen
angeboten. Wie viele verschiedene Menüs aus je einer Vorspeise, einem Hauptgericht und einer
Nachspeise können zusammengestellt werden?
Es gibt 2·4·3 = 24 verschiedene Zusammenstellungen.
Zählprinzip:
Gibt es für die 1. Stelle n1 Belegungsmöglichkeiten,
für die 2. Stelle n2 Belegungsmöglichkeiten,
…
für die k. Stelle nk Belegungsmöglichkeiten,
so gibt es insgesamt n1 · n2 · … · nk Möglichkeiten.
3
3
3 3
2
2 2 2 4 4
4
4 5 5 5
5
2
2
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
4
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