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MATHEMATIK

GRUNDWISSEN

5. KLASSE

LESSING GYMNASIUM

NEU-ULM

Grundwissen 5. Jahrgangsstufe

Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 2/16



I. ZAHLEN 1. Natürliche und ganze Zahlen 1.1 Zahlenmengen

Natürliche Zahlen ℕ = {1; 2; 3; 4; … }

Natürliche Zahlen mit der Null ℕ0 = {0; 1; 2; 3; 4; … }

Ganze Zahlen ℤ = {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … }

Primzahlen Das sind natürliche Zahlen, die genau zwei verschiedene Teiler haben.

z.B.: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; . ..

Wenn eine Zahl a zu einer Menge M gehört, schreibt man: 𝑎 ∈ 𝑀 ; 𝑧. 𝐵. 4 ∈ ℕ

Wenn eine Zahl a nicht zu einer Menge M gehört, schreibt man: 𝑎 ∉ 𝑀 ; 𝑧. 𝐵. −4 ∉ ℕ

1.2 Wichtige Stufenzahlen und Zehnerpotenzen 1T (Tausend) = 1.000 = 10 10 10 = 10³ (3 Endnullen)

1M (Million) = 1.000.000 = 106 (6 Endnullen)

1 Md (Milliarde) = 1.000.000.000 = 109 (9 Endnullen)

1 B (Billion) = 1.000.000.000.000 = 1012 (12 Endnullen)

1.3 Betrag einer Zahl

1.4 Anordnung der ganzen Zahlen

4 < 7

– 4 < 3 Die kleinere Zahl steht auf der Zahlengeraden weiter links.

– 8 < – 2

– 8 > +7

Der Abstand einer Zahl a von der Null heißt Betrag der Zahl a, kurz |a|.

z.B. |+7| = 7 = |– 7|

|– 2| = 2 = |+2|

Es gilt immer: a > 0

- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8



2. Rechnen mit ganzen Zahlen

2.1 Addition und Subtraktion

z.B.: (+ 5) + (–7) = 5 – 7

(– 4) – (+8) = – 4 – 8

(+5) – (–7) = 5 + 7

z.B.: + 3 + 4 = + (3 + 4) = + 7

– 3 – 4 = – (3 + 4) = – 7

+ 5 – 3 = + (5 – 3) = + 2

+ 3 – 5 = – (5 – 3) = – 2

– 4 + 6 = + (6 – 4) = +2

– 4 + 1 = – (4 – 1) = – 3

Bei gleichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt:

+ a + b = + ( a + b )

– a – b = – ( a + b )

für alle 𝑎; 𝑏 ∈ ℤ.

Bei unterschiedlichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt:

Der kleinere Betrag wird vom größeren Betrag subtrahiert. Das Ergebnis erhält das

Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.

Vereinfachung der Schreibweise:

+ (+ a) = + a

– (– a) = + a

+ (– a) = – a

– (+ a) = – a

Addition: 7 + 5 = 12

1. Summand 2. Summand Wert der Summe

Summe

5 wird zu 7 addiert.

Subtraktion: 5 – 3 = 2

Minuend Subtrahend Wert der Differenz

Differenz

3 wird von 5 subtrahiert.

Die Beträge werden addiert.

Das Ergebnis hat das gemeinsame + oder – Zeichen



2.2 Rechengesetze der Addition und Subtraktion

z. B.: – 3 + 21 = + 21 – 3 ( 17 + 41 ) + 9 = 17 + ( 41 + 9 )

Anwendung beider Rechengesetze:

17 – 25 + 3 = – 25 + 17 + 3 = – 25 + (17 + 3) = – 25 + 20 = – 5

KG AG

2.3 Multiplikation und Division

z.B.: (– 3) (+ 5) = – 15

(–21) : (–3) = + 7

18 : (–2) = – 9

Beachte: (– 2)4 = (–2) (–2) (–2) (–2) = 16

– 24 = – (2 2 2 2) = – 16

Bei der Multiplikation gilt: Bei der Division gilt:

(+ a) (+ b) = + (a b) (+ a) : (+ b) = + (a : b)

(– a) (– b) = + (a b) (– a) : (– b) = + (a : b)

(+ a) (– b) = – (a b) (+ a) : (– b) = – (a : b)

(– a) (+ b) = – (a b) (– a) : (+ b) = – (a : b)

für 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ\{0}

Beachte: Division durch Null ist nicht erlaubt!

Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Kommutativgesetz:

a + b = b + a

Vorsicht: Bei der Anwendung des Kommutativgesetzes müssen

die Vorzeichen/Rechenzeichen mitgenommen werden!

Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Assoziativgesetz:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

Potenz:

25 = 2 2 2 2 2 = 32

25 Potenz (lies: 2 hoch 5)

2: Basis 5: Exponent

Multiplikation:

7 5 = 35

1. Faktor 2. Faktor Wert des Produkts

Produkt 7 wird mit 5 multipliziert.

Division:

12 : 2 = 6 Dividend Divisor Wert des Quotienten

Quotient

12 wird durch 2 dividiert.

ℤ



2.4 Rechengesetze der Multiplikation und Division

z.B.: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz:

(25 · 83) · (– 4) = (– 4 · 25) · 83 = – 100 · 83 = – 8300

(–125) · 217 · (– 8) · 3 = (125 · 8) · (217·3) = 1000 ·651 = 651000

z.B.: Klammern auflösen:

3 · 416 = 3 · (400 + 16) = 3 · 400 + 3 · 16 = 1200 + 48 = 1248

17 · 298 = 17 · (300 – 2)= 17 · 300 – 17· 2 = 5100 – 34 = 5066

378 : 7 = (350 + 28) : 7 = 350 : 7 + 28 : 7 = 50 + 4 = 54

882 : 9 = (900 – 18) : 9 = 900 : 9 – 18 : 9 = 100 – 2 = 98

z.B.: Ausklammern:

26 · 47 + 26 · 253 = 26 · (47 + 253) = 26 · 300 = 7800

768 · 18 – 618 · 18 = (768 – 618) · 18 = 150 · 18 = 2700

516 : 12 – 156 : 12 = (516 – 156) : 12 = 360 : 12 = 30

348 : (–4) + 568 : 4 = (–348 + 568): 4 = 220 : 4 = 55

Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Kommutativgesetz:

a b = b a

Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ gilt das Assoziativgesetz:

( a b ) c = a ( b c ) = a b c

Für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ und 𝑐 ≠ 0 gilt das Distributivgesetz:

(a + b) c = a c + b c

(a + b) : c = a : c + b : c (c ist Teiler von a und b)

Klammern auflösen

Ausklammern



2.5 Terme

z.B.: 314 + 2 · (500 – 250) ist ein Term

Aufstellen von Termen:

z.B.: Subtrahiere die dreifache Summe der Zahlen 12 und 17 vom Produkt der Zahlen 15 und 8!

15 · 8 – 3 · (12 + 17)

Multipliziere den Quotienten der Zahlen 35 und 7 mit der Summe der Zahlen 9 und 14!

(835 : 7) · (9 + 14)

Dividiere die Summe der Zahlen 25 und 11 durch die Differenz der Zahlen 12 und 8!

(25 + 11) : (12 – 8)

z.B.: 15 – 3 · 4 = 15 – 12 = 3

24 + 12 : 6= 24 + 2 = 26

5 · 24 – 52 · (3 – 5) = 5 · 16 – 25 · (–2) = 80 + 50 = 130

18 + 5 · (30 - 8·2) = 8 + 5 · 30 – 16) = 18 + 5 · 14 = 18+ 70 = 88

[– 4 – (– 12)] · [2 + 18 : (– 3)] = [ – 4 + 12] · [2 + (– 6)] = 8 · (– 4) = – 32

2 · 32 – 4·(12 – 17)2 = 2 · 9 – 4 · (–5)2 = 18 – 4 · 25 = 18 – 100 = – 82

3 · 42 = 3 · 16 = 48

(3 · 4)2 = 122 = 144

Gliedern von Termen:

Die Rechenart, die zuletzt ausgeführt wird, bestimmt die Art des Terms.

z.B.: 25 – 12 : 4

Der Term ist eine Differenz. Der Minuend ist die Zahl 25. Der Subtrahend ist ein Quotient. Der

Dividend ist die Zahl 12. Der Divisor ist die Zahl 4.

Regeln für das Berechnen von Termen:

- Klammern vor allem.

Treten mehrere Klammern auf, so wird der Inhalt der innersten Klammer zuerst

berechnet.

- Potenzen werden vor Punktrechnungen ausgeführt, wenn nicht Klammern

eine andere Reihenfolge vorgeben.

- Die Regel Punkt vor Strich bedeutet, dass Punktrechnungen (Multiplikation

und Division) vor Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) ausgeführt

werden, wenn nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorschreiben.

- Was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibe unverändert an. (kein Missbrauch des Gleichheitszeichens!)

Eine sinnvolle Zusammenstellung von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern

nennt man Term.



2.6 Teilbarkeit und Faktorisieren

z.B.:

343248 ist durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer 8 ist.

212527 ist nicht durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer eine 7 ist.

8751 ist durch 3 teilbar, da die Quersumme (8 + 7 + 5 + 1 = 21) durch 3 teilbar ist.

4133 ist nicht durch 3 teilbar, da die Quersumme (4 + 1 + 3 + 3 = 11) nicht durch 3 teilbar ist.

2333250 ist durch 5 teilbar, da die Zahl auf 0 endet.

34272 ist durch 9 teilbar, da die Quersumme (3 + 4 + 2 + 7 + 2 = 18) durch 9 teilbar ist.

4319 ist nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme (4 + 3 + 1 + 9 = 17) nicht durch 9 teilbar ist.

37912 ist durch 4 teilbar, da 12 durch 4 teilbar ist.

5234 ist nicht durch 4 teilbar, da 34 nicht durch 4 teilbar ist.

21852 ist durch 6 teilbar, da 21852 durch 2 und durch 3 teilbar ist.



23724 ist durch 12 teilbar, da 23724 durch 3 und durch 4 teilbar ist.



z.B: 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 23 32

4500 = 100·45 = 2·5·2·5·3·3·5 = 22·32·53

Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6, oder 8 ist.

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4

teilbar ist.

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl erhält man, indem man die Zahl als Produkt darstellt, in dem alle Faktoren Primzahlen sind.



II. Größen und ihre Einheiten

1. Längeneinheiten

Umrechnung von Längeneinheiten

Umrechnen von Längeneinheiten (Darstellung in gemischten Einheiten):

3040802 cm = 30 km 408 m 2 cm

8,2 km = 8 km 200 m

7,06003 km = 7 km 60 m 3 cm

Rechnen mit Längeneinheiten

9km 200m – 3km 850m = 8km 1200m – 3km 850m = 5km 350m = 5,35km

17,3m – 5m 45cm = 16m 130cm – 5m 45cm = 11m 85cm = 11,85m

24m 60cm · 4 = 96m 240cm = 98m 40cm = 98,4m

12m : 40 cm = 1200 cm : 40cm = 30

3m : 8 = 3000mm : 8 = 375mm = 37,5cm

2. Maßstab

z.B.: - 3,2 cm auf der Karte entsprechen also

32 mm · 50000 = 1600000 mm = 1600 m = 1,6 km in Wirklichkeit.

- 3,8 km in Wirklichkeit entsprechen 380000 cm : 50000 = 7,6 cm auf der Karte.

Ein Maßstab 1 : 50000 bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 50000 cm in Wirklichkeit

entsprechen.

Millimeter 1 mm

Zentimeter 1 cm = 10 mm

Dezimeter 1 dm = 10 cm

Meter 1 m = 10 dm

Kilometer 1 km = 1.000 m

Umrechnungsfaktor 10

Merke: „Größe : Größe“ = „Zahl“

„Größe : Zahl“ = „Größe“



3. Masseneinheiten

Umrechnung von Masseneinheiten (Gemischte Einheiten und Kommaschreibweise)

30900 g = 30 kg 900 g = 30,9 kg

72003000 mg = 72 kg 3 g = 72,003 kg

4,0807 kg = 4 kg 80 g 700 mg

2,30005 t = 2 t 300 kg 50 g

4. Zeiteinheiten

Rechnen mit Zeiteinheiten – Vorsicht mit den Umrechnungszahlen!

385 min = 6h 25 min

4h 35 min = 275 min

2,5 min = 2 min 30s

3h 20 min : 8 = 200 min : 8 = 25min

1h 5 min : 20s = 3900s : 20s = 195

Zeitdauer von 8.47 Uhr bis 13.18 Uhr:

13 h 18 min – 8 h 47 min = 12 h 78 min – 8 h 47 min = 4 h 31 min

Sekunde 1 s

Minute 1 min = 60 s

Stunde 1 h = 60 min = 3600 s (h: hour, englisch: Stunde)

Tag 1 d = 24 h (d: day, englisch: Tag)

Milligramm 1 mg

Gramm 1 g = 1.000 mg

Kilogramm 1 kg = 1.000 g

Tonne 1 t = 1.000 kg

Umrechnungsfaktor 1000



III. Geometrie

1. Koordinatensystem Punkte im Koordinatensystem:

Die Lage eines Punktes P wird durch ein

Zahlenpaar (x|y) angegeben.

z.B. P(2|1), Q(– 3|– 4)

Die x-Koordinate ist der Rechtswert,

die y-Koordinate ist der Hochwert.

Die Koordinatenachsen teilen die Zeichenebene

in vier Quadranten ein.

2. Strecken, Halbgeraden, Geraden

Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung der Punkte A und B.

Die Länge der Strecke wird mit | AB | bezeichnet.

z.B. | AB | = 1,5 cm

Die Halbgerade [AB besitzt den Anfangspunkt A und verläuft durch den Punkt B.

Die Gerade AB verläuft durch die Punkte A und B.

Eine Gerade besitzt keinen Anfangs- und keinen Endpunkt.

Wenn ein Punkt P auf der Geraden AB liegt, schreibt man P AB

Wenn ein Punkt Q nicht auf der Geraden AB liegt,

schreibt man Q AB

Senkrechte Geraden: g h

Parallele Geraden: g h

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie ein gemeinsames Lot l besitzen.

Abstand paralleler Geraden:

d(g;h) = Länge der Lotstrecke zwischen g und h

Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:

d(P;g) = Länge der Lotstrecke von P zum Lotfußpunkt F

x

x

g

F

P

A x x

B

A B x x

P x

A x x

B

g

h

d(g;h)

g

h

l

I. Quadrant II. Quadrant

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

O

III. Quadrant IV. Quadrant

P

Q

x

x

A B x x

x

A x x B

Q



3. Winkel

Winkel werden in der Winkeleinheit Grad ( °) angegeben.

0o < < 90o: spitzer Winkel

= 90o: rechter Winkel

90o < < 180o: stumpfer Winkel

180o< <360o: überstumpfer Winkel

= 180o: gestreckter Winkel

= 360o: Vollwinkel

Messen von Winkeln:

α

Ein Winkel wird durch zwei Halbgeraden [SA und [SB festgelegt.

Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, S ist der Scheitel des Winkels.

Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

z.B.: : alpha

: beta

: gamma

: delta

: epsilon

Die Schreibweise = ∡ ASB bedeutet, dass A ein Punkt auf dem 1. Schenkel, S der Scheitel und B ein

Punkt auf dem 2. Schenkel ist.

x

x

B

A

S

Geodreieck auf Schenkel 1 anlegen

Nullpunkt des Geodreiecks

an den Scheitel anlegen

Ablesen: 59°

x

α

α

α

α

α

α



4. Kreis

Eine Gerade, die einen Kreis an genau einem Punkt berührt, heißt Tangente dieses Kreises.

5. Besondere Vierecke Parallelogramm: Bei einem Parallelogramm sind die

gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.

Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem

gegenüberliegende Seiten gleich lang sind

und die Seiten senkrecht aufeinander stehen.

Raute: Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier

Seiten gleich lang sind.

Quadrat: Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle vier

Seiten gleich lang sind und senkrecht aufeinander stehen.

6. Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck

Beispiele:

a) Ein Quadrat besitzt einen Umfang von 32 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt? s = 32cm:4 = 8cm

A = 8cm·8cm = 64cm2

b) Ein Quadrat besitzt einen Flächeninhalt von 9 ha. Wie groß ist sein Umfang?

s·s = 90000m2 ; s = 300m U = 4·300m = 1200m = 1,2 km

Rechteck:

Flächeninhalt AR = l · b

Umfang UR = 2·(l + b)

Länge l

Breite b

s

Quadrat:

Flächeninhalt: AQu = s · s

Umfang: UQu = 4 · s

s

s

Alle Punkte P auf der Kreislinie k(M; r) besitzen vom

Mittelpunkt M die gleiche Entfernung r (Radius).

d = 2·r ist der Durchmesser des Kreises.

k Kreislinie

M

r

x



Beispiele:

a) Ein Rechteck ist 75m lang und besitzt einen Umfang von 280m. Wie breit ist das Rechteck?

2 · (75m + b) = 280m

75m + b = 140m b = 140m – 75m = 65m

b) Ein Rechteck ist 250m lang und besitzt einen Flächeninhalt von 3 ha. Welchen Umfang besitzt das Rechteck?

b = 3 ha : 250 m = 30000 m2 : 250 m = 120m

U = 2·(250m + 120m)= 740m

7. Flächeneinheiten

Umrechnen von Flächeneinheiten

753000 cm2 = 75m2 30dm2 = 75,3m2

80004 m2 = 8ha 4m2

2030,075 m2= 20a 30m2 7dm2 50cm2

709,302 ha = 7km2 9ha 30a 20m2

Rechnen mit Flächeneinheiten

18ha 25a – 3a 65m2 = 18ha 24a 100m2 – 3a 65m2 = 18ha 21a 35m2

38m2 : 20 = 3800dm2 : 20 = 190dm2 = 1,9m2

12a : 40m2 = 1200m2 : 40m2 = 30

2m2 : 80cm = 200dm2 : 8dm = 25dm

56 ha : 70m = 560000m2 : 70m = 8000m = 8 km

Quadratmillimeter 1 mm²

Quadratzentimeter 1 cm² = 100 mm²

Quadratdezimeter 1 dm² = 100 cm²

Quadratmeter 1 m² = 100 dm² Umrechnungsfaktor 100

Ar 1 a = 100 m²

Hektar 1 ha = 100 a

Quadratkilometer 1 km² = 100 ha



8. Geometrische Körper

8.1 Geometrische Grundkörper - Überblick

Würfel Quader 5-seitiges Prisma 3-seitiges Prisma Zylinder Kegel Kugel Pyramide

8.2 Würfel und Quader Würfel:

s Oberfläche

z.B. a) Welche Oberfläche besitzt ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1,2m ?

OW = 6·12 dm·12 dm = 6·144 dm2 = 864 dm2 = 8,64 m2

b) Welche Kantenlänge besitzt ein Würfel mit einer Oberfläche von 150 cm2?

s · s = 150 cm2 : 6 = 25 cm2 => s = 5 cm

Quader:

Oberfläche

z.B. Welche Oberfläche besitzt ein Quader, der 1,5m lang, 4cm breit und 3dm hoch ist?

OQu = 2·(150 cm·4 cm + 150 cm·30 cm + 4 cm·30 cm) =

= 2·(600 cm2 + 4500 cm2 + 120 cm2) =

= 2·5220 cm2 = 10440 cm2 = 104,4 dm2 = 1,044 m2

Zusammengesetzte Körper:

z.B: Welche Oberfläche besitzt der folgende zusammengesetzte Körper?

OKörper = 2·8 cm·2 cm + 2·2 cm·1 cm + 2·8 cm·1 cm – 1 cm·3 cm +

+ 2·3 cm·4 cm + 2·4 cm·1 cm + 3 cm·1 cm =

= 32 cm2 + 4 cm2 + 16 cm2 – 3 cm2 + 24 cm2 + 8 cm2 + 3 cm2 = 84 cm2

OQu = 2·(l·b + l·h + b·h)

OW = 6·s·s

s

s s

Breite b

Höhe h

Länge l

2 cm

8 cm

3 cm

1 cm

4 cm

1 cm



IV. Stochastik

z.B. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können aus den Ziffern 2,3,4,5 gebildet werden,

wenn sich die Ziffern nicht wiederholen dürfen?

Baumdiagramm

1. Stelle:

2. Stelle:

3. Stelle:

4. Stelle:

Es gibt 4 Belegungsmöglichkeiten für die 1. Stelle,

3 Möglichkeiten für die 2. Stelle,

2 Möglichkeiten für die 3. Stelle und

1 Möglichkeit für die 4. Stelle,

also können 4·3·2·1 = 24 Zahlen gebildet werden.

z.B. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen können aus den Ziffern 2, 3, 4 und 5 gebildet

werden?

Für jede Stelle gibt es 4 Belegungsmöglichkeiten, also gibt es 4·4·4 = 43 = 64 Zahlen.

z.B. Auf einer Speisekarte werden für ein Menü 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen

angeboten. Wie viele verschiedene Menüs aus je einer Vorspeise, einem Hauptgericht und einer

Nachspeise können zusammengestellt werden?

Es gibt 2·4·3 = 24 verschiedene Zusammenstellungen.

Zählprinzip:

Gibt es für die 1. Stelle n1 Belegungsmöglichkeiten,

für die 2. Stelle n2 Belegungsmöglichkeiten,

…

für die k. Stelle nk Belegungsmöglichkeiten,

so gibt es insgesamt n1 · n2 · … · nk Möglichkeiten.

3

3

3 3

2

2 2 2 4 4

4

4 5 5 5

5

2

2

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

4

5 5 5 5 5 5

5

4

5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2

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