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hochschule für angewandte wissenschaften

FACHBEREICH ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIKhamburg

university of applied sciences

Mathematik Vorkurs

G. Finsel

S. Heitmann

K. Ronneberger

2. Auflage 2004

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlensysteme 4

1.1 Natürliche und ganze Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Rationale Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Teilbarkeitsregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Die vier Grundrechenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Das Rechnen mit Brüchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Potenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Binomische Formeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Irrationale Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Komplexe Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Funktionen 21

2.1 Der Begriff der Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Darstellung von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Analytische Darstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Darstellung durch Wertetabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3 Graphische Darstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4 Parameterdarstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Eigenschaften von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Gerade/ungerade Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Beschränktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.4 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen. . . . . . . . . . . 26

2.4 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion. . . . . . . . . . 28

2.4.2 Graph von Funktion und Umkehrfunktion. . . . . . . . . . . . . 29

2

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2.5 Rationale Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Lineare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 Lösung von linearen Gleichungen und von linearen Gleichungs-

systemen mit 2 oder 3 Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.3 Quadratische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.4 Lösen von quadratischen Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.5 Ganzrationale Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.6 Gebrochenrationale Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.7 Bruch- und Wurzelgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.8 Transzendente Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.9 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen. . . . 52

3 Trigonometrische Funktionen 54

3.1 Winkeleinheiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Recht- und schiefwinklige Dreiecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Definition der trigonometrischen Funktion am Kreis. . . . . . . . . . . . 57

3.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Additionstheoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6 Goniometrische Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 Zyklometrische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8 Berechnungen am Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8.1 Rechtwinklige Dreiecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8.2 Schiefwinklige Dreiecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.9 Näherungsformel für trigonometrische Funktionen. . . . . . . . . . . . 71

3.9.1 Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der Expo-

nentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.10 Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.11 Die Areafunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Einführung in die Vektorrechnung 79

4.1 Geometrie von Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Norm (Betrag) eines Vektors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Skalarprodukt von Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3

1 Zahlensysteme

1.1 Natürliche und ganze Zahlen

Darstellung der natürlichen Zahlen auf der Zahlengerade:

+1

111098765421 30

Abkürzungen:

N – Menge der natürlichen Zahlen

N0 – Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null

Es gibt keine größte natürliche Zahl

Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengerade:

+5-6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +60

+1-1

bzw.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 654321

Abkürzung:

Z – Menge der ganzen Zahlen

4



1.2 Rationale Zahlen

1.2.1 Teilbarkeitsregel

Definition:

Läßt sich eine natürliche Zahlb ohne Rest durch eine natürliche Zahla teilen, so

wird der Divisora Teiler der Zahlb genannt.

Spezialfälle:

1. Jede natürliche Zahl ist Teiler von sich selbst.

2. Jede natürliche Zahl ist Teiler der Zahl 0.

3. Jede natürliche Zahl hat den Teiler 1.

Eine natürlich Zahl, die keinen echten Teiler besitzt (d.h. nur sich selbst und 1 als Teiler

besitzt), wirdPrimzahl genannt, z.B.:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, . . .

Eine natürlich Zahl, die echte Teiler hat, wirdzusammengesetzte Zahlgenannt, z.B.:

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18, . . .

Sieht man von der Reihenfolge ab, so läßt sich jede zusammengesetzte Zahl eindeutig in

ein Produkt aus Primfaktoren zerlegen, z.B.:

165= 3·5·11

Teilbarkeitsregeln:

Eine Zahl ist genau dann durch

• 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

• 4 teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar

ist, oder die letzten beiden Ziffern Nullen sind.

• 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 5 oder 0 ist.

• 6 teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

• 8 teilbar, wenn die aus ihren letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.

• 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

5



Definition:

Jede Zahl, die sich als Quotient ganzer Zahlen darstellen läßt heißtrationale Zahl.

Darstellung der rationalen Zahlen auf der Zahlengerade:

3

4 - -

9

4

1

4

5

2

10 2 3-2-3 -1

Abkürzung:

Q – Menge der rationalen Zahlen.

1.2.2 Die vier Grundrechenarten

Addition

Grundregeln:

(1) a+b = b+a Kommutativgesetz

(2) a+0 = 0+a = a neutrales Element

(3) (a+b)+c = a+(b+c) Assoziativgesetz

Vorzeichenregelung:

(1) (+a)+(+b) = +a+b = a+b

(2) (−a)+(−b) =−a−b =−(a+b)

(3) (+a)+(−b) = +a−b = a−b

(4) (−a)+(+b) =−a+b =−(a−b)

6



Subtraktion

Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition.

Vorzeichenregelung:

Eine Zahl wird subtrahiert, indem sie mit entgegengesetztem Vorzeichen addiert

wird.

(1) (+a)− (+b) = (+a)+(−b) = a−b

(2) (−a)− (−b) = (−a)+(+b) =−a+b

(3) (+a)− (−b) = (+a)+(+b) = a+b

(4) (−a)− (+b) = (−a)+(−b) =−a−b

Multiplikation

Grundregeln:

(1) a·b = b·a Kommunikativgesetz

(2) a·1 = 1·a = a neutrales Element

(3) (a·b) ·c = a· (b·c) Assoziativgesetz

(4) a· (b+c) = a·b+a·c = (b+c) ·a Distributivgesetz

Vorzeichenregelung:

Zwei Faktoren mit gleichen Vorzeichen ergeben ein positives, mit ungleichen Vor-

zeichen ein negatives Produkt.

(1) (+a) · (+b) = +a·b = ab

(2) (−a) · (−b) = +a·b = ab

(3) (+a) · (−b) =−a·b =−ab

(4) (−a) · (+b) =−a·b =−ab

Spezialfälle:

a·0 = 0

(a+b) · (c+d) Multiplikation von Klammern

= a· (c+d)+b· (c+d)= ac+ad+bc+bd

7



Division

Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.

Vorzeichenregelung:

Der Quotiont ist positiv, wenn Divident und Divisor gleiche Vorzeichen haben,

negativ bei ungleichen Vorzeichen.

(1) (+a) : (+b) = +a : b =ab

(2) (−a) : (−b) = +a : b =ab

(3) (+a) : (−b) =−a : b =−ab

(4) (−a) : (+b) =−a : b =−ab

Spezialfälle:

−ab

=−ab

=a−b

(a+b) : c = a : c+b : c =ac

+bc

ab

=mamb

m∈Z, Erweitern

mamb

=ab

m∈Z, Kürzen

1.2.3 Das Rechnen mit Brüchen

Addition/Subtraktion von Brüchen

Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man den Zähler addiert

(subtrahiert) und den Nenner beibehält.

ac

+bc

=a+b

cbzw.

ac− b

c=

a−bc

a,b,c∈Z

Ungleichnamige Brüche müssen vor der Addition (Subtraktion) gleichnamig gemacht

werden (→ geschicktes Erweitern, so daß beide Brüche den gleichen Nenner haben).

ab

+cd

=adbd

+cbbd

=ad+cb

bd

8



Multiplikation von Brüchen

ab· cd

=acbd

ab·m=

amb

a,b,c,d,m∈Z

Division von Brüchen

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruchs multi-

pliziert.

a :bc

= a· cb

=acb

ab

: c =ab· 1c

=abc

ab

:cd

=

abcd

=ab· d

cDoppelbruch

∀a,b,c∈Z

Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche

Endliche Dezimalzahlen

Endliche Dezimalzahlen können durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz und an-

schließendes Kürzen sehr einfach in Brüche umgerechnet werden.

Seid eine Dezimalzahl mitx Nachkommastellen, so gilt:

d =p·10x

10x

9



Unendliche periodische Dezimalzahlen

Für eine unendliche periodische Dezimalzahlp mit Periodenlängey gilt analog:

p =d(10y−1)

10y−1

Beispiele:

(1)

0.25 =0.25·102

102

=25100

Kürzen mit 25:

⇒ 0.25 =14

(2)

0.45 =0.45· (102−1)

102−1

=45.45−0.45

99

=4599

Kürzen mit 9:

⇒ 0.45 =511

10



1.3 Reelle Zahlen

1.3.1 Potenzen

Definition:

an ist die abkürzende Schreibweise füra·a·a· . . . ·a, und zwarn-mal.

an

Potenz Exponent

Basis

Rechenregel:

∀ a > 0 oderb > 0 oderm,n∈Z

(1) am ·an = am+n

(2) an ·bn = (a·b)n

(3) a−n =1an

(4)am

an = am−n

(5)an

bn =(a

b

)n

(6) (an)m = an·m = (am)n

Spezialfälle:

(7) a1 = a, a0 = 1 für a 6= 0

0n = 0 für n 6= 0, 1n = 1

(8) (−a)2n = +a2n, (−a)2n+1 =−a2n+1

1.3.2 Binomische Formeln

(1) (a+b)2 = a2 +2ab+b2

(2) (a−b)2 = a2−2ab+b2

(3) (a+b)(a−b) = a2−b2

Höhere Potenzen:

(a±b)3 = a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4 = a4±4a3b+6a2b2±4ab3 +b4

11



Für dien-te Potenz des Ausdruckes(a±b) erhält man die Koeffizienten der gemischten

Terme mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks.

Pascalsches Dreieck

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

Verschiedene Aspekte des Potenzierens an = b:

1. Potenzrechnung

gegeben:a,n gesucht:b

Schreibweise:an = b Beispiel: 23 = 8

2. Wurzelrechnung

gegeben:b,n gesucht:a

Schreibweise:n√

b = a Beispiel: 3√

8 = 2

3. Logarithmenrechnung

gegeben:a,b gesucht:n

Schreibweise: logab = n Beispiel:log2 8 = 3

1.3.3 Wurzeln

Definition:

Unter dern-ten Wurzel n√

b aus einer Zahlb versteht man diejenige Zahla, die mit n

potenziertb ergibt. (1. Umkehrung des Potenzierens).

n√

b = a ⇔ an = b

12



Rechenregeln:

(1) n√

a = a1n n,m∈Z a > 0 oderb > 0

n√

am = amn Zusammenhang mit der Potenzrechnung

(2) n√

a· n√

b = n√

(ab)

(3)n√an√b

= n√a

b

(4) n√

m√

a = n·m√a = m√

n√

a

(5) n√

am = ( n√

a)m

Spezialfälle:

(6) n√

1 = 1 n√

0 = 0

(7) 1√

a = a n√

an = a

(8) 2√

a =√

a spezielle Bezeichnungsweise

13



1.3.4 Irrationale Zahlen

Behauptung:

Es gibt keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2 ergibt!

Beweis:

Es seix die Zahl, deren Quadrat 2 ergibt:

x2 = 2 ⇔ x =√

2

Annahme:

x ist eine rationale Zahl, d.h.x = ab, mit a,b ∈Z, wobei a und b keinen

gemeinsamen Teiler mehr besitzen (d.h. der Bruch ist vollständig gekürzt).

⇒ x2 = 2 =a2

b2

⇒ 2b2 = a2

⇒ a2 ist gerade

a2 kann aber nur dann gerade sein, wenn in der Primzahlzerlegung vona

eine 2 vorkommt, also

a2 ist durch 4 teilbar.

und damit

2b2 ist durch 4 teilbar.

⇒ b2 ist durch 2 teilbar

⇒ b ist durch 2 teilbar

⇒ ab

ist kürzbar im Widerspruch zur Annahme

⇒ x ist keine rationale Zahl!

14



Man kann die Zahl√

2 jedoch durch rationale Zahlen nähern:

Intervallschachtelung

12 = 1, 22 = 4 ⇒ 1 <√

2 < 2

1.52 = 2.25 ⇒ 1 <√

2 < 1.5

1.252 = 1.5625 ⇒ 1.25<√

2 < 1.5

1.42 = 1.96 ⇒ 1.4 <√

2 < 1.5

1.452 = 2.1025 ⇒ 1.4 <√

2 < 1.45

1.422 = 2.0164 ⇒ 1.4 <√

2 < 1.42

1.412 = 1.9881 ⇒ 1.41<√

2 < 1.42

1.4152 = 2.002225 ⇒ 1.41<√

2 < 1.415

1.4142 = 1.999396 ⇒ 1.414<√

2 < 1.415

usw.

Schneller funktioniert das

Heronverfahren

Das Heronverfahren ist einiteratives Verfahren zur Berechnung eines Nährungs-

wertes für√

a. Man startet mit einem groben Nährungswertx0 und berechnet mit dessen

Hilfe einen besseren Nährungswertx1. Diesen benutzt man wiederum, um einen noch

besseren Nährungswertx2 zu berechnen und so fort:

xn+1 =12

(xn +

axn

)n = 0,1,2. . .

Beispiel:

√6, → a = 6, x0 = 3

x1 =12

(x0 +

6x0

)=

12

(3+

63

)=

12·5 = 2.5

x2 =12

(x1 +

6x1

)=

12

(2.5+

62.5

)= 2.45

x3 =12

(x2 +

6x2

)=

12

(2.45+

62.45

)= 2.449489

x4 = 2.449489743, x5 = · · ·

15



Der Taschenrechner liefert:√

6 = 2.449489743

Beide Prozesse lassen sich beliebig lange fortsetzen, ohne daß man den genauen

Wert erhält oder sich eine periodische Wiederholung der Dezimalstellen ergibt. Daher

sind√

2,√

6 usw. unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche.

Definition:

Unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche nennt manirrationale Zahlen . Die

irrationalen Zahlen bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die Menge derreellen

Zahlen R.

Für je zwei reelle Zahlena,b gilt genau eine der folgenden drei Beziehungen:

a < b oder a = b oder a > b

Beziehungen der Forma < b unda > b werden alsUngleichungenbezeichnet. Zu ihnen

zählt man auch die Beziehungena≥ b unda≤ b.

Definition:

Unter dem Betrag einer reellen Zahl wird der Abstand des zugeordneten Bild-

punktes zum Nullpunkt verstanden. Er wird durch das Symbol|a| gekennzeichnet und ist

stets positiv:

|a|=

a a> 0

0 falls a = 0

−a a< 0

Es gilt: |a| ≥ 0

Beispiele:

|3|= 3 |−5|= 5 |π|= π

|2x+2|=

{2x+2 falls x≥−1

−(2x+2) falls x <−1

denn es gilt: 2x+2≥ 0⇔ 2x≥−2⇔ x≥−1

2x+2 < 0⇔ 2x <−2⇔ x <−1

16



Spezielle Teilmengen von R

N0= {0,1,2,3,4, . . .} natürliche Zahlen mit 0

N= {1,2,3,4, . . .} natürliche Zahlen

Z= {0,±1,±2,±3, . . .} ganze Zahlen

Q= {x|x =ab, mit a∈Z,b∈N} rationale Zahlen

Wichtige Intervalle

1. Endliche Intervalle

• [a,b] = {x|a≤ x≤ b} abgeschlossenes Intervall

• [a,b) = {x|a≤ x < b} halboffenes Intervall

• (a,b] = {x|a < x≤ b} halboffenes Intervall

• (a,b) = {x|a < x < b} offenes Intervall

2. Unendliche Intervalle

• [a,∞), (a,∞)

• (−∞,b], (−∞,b)

• (−∞,0] =R−0 , [0,∞) =R+

0

• (−∞,∞) =R

1.3.5 Logarithmen

Das Logarithmieren ist die zweite Umkehrung des Potenzierens. Mit Hilfe des Logarith-

mus läßt sich bei bekannter Potenzb und Basisa der Exponentn ermitteln:

= logn ba

BasisLogarithmus

Numerus

Sprechweise: n ist der Logarithmus vonb zur Basisa.

Rechenregeln:

(1) alogab = b

(2) loga(b·c) = logab+ logac

17



(3) loga

(bc

)= logab− logac

(4) loga(bx) = x · logab

Spezialfälle:

(5) logaa = 1 loga1 = 0

(6) loga

(1b

)=− logab

(7) logax√

b =1x· logab

Spezielle Bezeichnungsweise:

• log10 → lg Dekadischer Logarithmus

• loge → ln Natürlicher Logarithmus

• log2 → lb Binärer Logarithmus

Umrechnung von einer Basis auf die andere:

logab =logcblogca

Beweis:

nach (1) gilt: alogab = b

⇒ logc

(alogab

)= logcb

mit (4) ⇒ logab· logca = logcb

⇒ logab =logcblogca

1.4 Komplexe Zahlen

Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist eine imaginäre Zahl:

√−9 =

√9· (−1) =

√9·√−1 = 3

√−1√

−a2 =√

a2 · (−1) =√

a2 ·√−1 = a

√−1

√−1 wird als eine neue Zahl eingeführt, die nach Eulerimaginäre Einheit genannt und

mit dem Buchstabenj bezeichnet wird.

j2 =−1 j =√−1

18



Imaginäre Zahlen sind nun neben der imaginären Einheitj auch alle reellen Vielfachen

a· j,a∈ R, also z.B.

3 j, − j, −√

17j

Zu beachten ist, daß vor Anwendung von Rechenregeln auf imaginäre Zahlen diese stets

als Produkt zu schreiben sind, das den Faktorj enthält, also

√−a = j

√a

√−a√−b = j

√a j√

b = j2√

ab=−√

ab√−3√−27= j

√3 j√

27= j2√

81=−9

Definition:

Als komplexe Zahlz bezeichnet man die Zahl

z= a+ jb a,b∈R

Abkürzung:

C - Menge der komplexen Zahlen

Gleichheit von Komplexen Zahlen:

a+ jb = c+ jd genau dann, wenn a = c und b = d

Sonderfälle:

a = 0 imaginäre Zahl

b = 0 reelle Zahl

Darstellung in derGaußschen Zahlenebene:

−1

−2

−3

−4

−5

−6

j

j

j

j

j

j

−5 −4 −3 −2 −1 654321−6

4

5

3

2

1

j

j

j

j

j

4+3j

Im(z)

(imaginäre Achse)

Re(z)

(reelle Achse)

−6−3 j

19



Rechenregeln:

(1) (a+ jb)+(c+ jd) = (a+c)+ j(b+d)

(2) (a+ jb)− (c+ jd) = (a−c)+ j(b−d)

(3) (a+ jb) · (c+ jd) = (ac−bd)+ j(ad+bc)

Binomische Formeln:

(1) (a+ jb)2 = a2 +2 jab−b2

(2) (a− jb)2 = a2−2 jab−b2

(3) (a+ jb) · (a− jb) = a2 +b2

Division:

(1)a+ jb

c=

ac

+ jbc

(2)a+ jb

jc=

j(a+ jb)j2c

=ja−b−c

=bc− j

ac

(3)(a+ jb)(c+ jd)

=(a+ jb) · (c− jd)(c+ jd) · (c− jd)

=ac+bd+ j(bc−ad)

c2 +d2

=ac+bdc2 +d2 + j

bc−adc2 +d2

20

2 Funktionen

2.1 Der Begriff der Funktion

Definition:

Eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare(x,y). Dabei wird jedem Element

x aus einer MengeD genau ein Elementy aus einer MengeW zugeordnet.

Die Elementex ∈ D heißenArgument oder unabhängige Variable, die Elemente

y = f (x) ∈W heißenFunktionswert oderabhängige Variableder Funktion.

Die Menge D aller Argumente bildet denDefinitionsbereich, die Menge W den

Wertebereich der Funktion. Die Menge aller Funktionswertef (D) wird Wertemenge

genannt, für sie giltf (D)⊆W.

2.2 Darstellung von Funktionen

2.2.1 Analytische Darstellung

f : D→W

x→ y = f (x) (Angabe der Zuordnungsvorschrift), bzw.

f : y = f (x) oder f : y = y(x)

Leseart:

• y = f (0) Funktionswert an der Stellex = 0

• y = f (a) Funktionswert an der Stellex = a

• y = f (x1) Funktionswert an der Stellex = x1

Die Zuordnungsvorschrift wird i.A. durch eine Gleichung (Funktionsgleichung) darge-

stellt, z.B.

y = 2x+5 oder y−2x−5 = 0

21



Man nennt die verschiedenen Formen der Funktionsgleichungen:

• explizite Form nachy y= f (x) z.B. y = 2x−1

• explizite Form nachx x= f (y) z.B. x = 12y+ 1

2

• implizite Form F(x,y) = 0 z.B. y−2x+1 = 0

2.2.2 Darstellung durch Wertetabellen

x y

1 1

2 3

3 5

4 7

y = 2x−1

Dies findet häufige Verwendung bei der Aufnahme von Meßergebnissen und für Funktio-

nentafeln.

2.2.3 Graphische Darstellung

Kartesisches Koordinatensystem

Es kann jedem Punkt ein geordnetes Paar(x,y) zugeordnet werden. Die Menge

graph f = {(x,y)|x∈ D,y∈W : y = f (x)}

bildet dann denGraphen oder dieKurve der Funktion f.

Polarkoordinaten

Um die Lage eines Punktes in der Ebene festzulegen, kann man statt der kartesischen

Koordinaten(a,b) auch den Abstandr vom Ursprung(0,0) und den Winkelϕ, den die

Verbindungslinie zwischen Punkt und Ursprung mit derx-Achse bildet, angeben. Der

Winkel ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt.

ϕ

P(a,b)

y

x

r

a

b

22



Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten:

r =√

a2 +b2, tanϕ =ba

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

a = r ·cosϕ b = r ·sinϕ

2.2.4 Parameterdarstellung

Es ist möglich, sowohlx als auchy in Abhängigkeit einerHilfsvariablen oder eines

Parametersdarzustellen:

x = Φ(t) y = Ψ(t) t : Hilfsvariable

Die Parameterdarstellung ist häufig vorteilhaft bei der Beschreibung von Bewegungsvor-

gängen.

Beispiel:

Waagerechter Wurf

x = ν0 · t y =−12

gt2

Die Parameterdarstellung kann in kartesische Form gebracht werden, indem eine der bei-

den Gleichungen nacht hin umgestellt und dann in die andere eingesetzt wird:

t =xν0

⇒ y =−12

g

(xν0

)2

⇒ y =− g

2ν20

·x2

Der resultierende Graph ist eine Parabel (Wurfparabel).

23



2.3 Eigenschaften von Funktionen

2.3.1 Monotonie

Definition:

Eine Funktion f heißt in einem IntervallI monoton steigend, wenn für allex1,x2 ∈ I

gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1)≤ f (x2)

Eine Funktionf heißt unter den gleichen Bedingungenmonoton fallend, falls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1)≥ f (x2)

Man spricht vonstreng monoton steigendbzw.streng monoton fallend, falls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) bzw. x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

2.3.2 Gerade/ungerade Funktionen

Definition:

Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn mit jedemx ∈ D auch−x ∈ D ist,

und für allex∈ D gilt:

f (x) = f (−x)

Die Kurven gerader Funktionen sind stets symmetrisch zury-Achse (Achsensymmetrie).

Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn mit jedemx ∈ D auch−x ∈ D

ist, und für allex∈ D gilt:

f (x) =− f (−x)

Die Kurven ungerader Funktionen sind stets symmetrisch zum Koordinatenursprung

(Punktsymmetrie).

Beispiele:

(1) f (x) =x2−1x2 +1

ist gerade, denn

f (−x) =(−x)2−1(−x)2 +1

=x2−1x2 +1

= f (x)

24



(2) f (x) = 3x(x2−5) ist ungerade, denn

f (−x) = 3(−x)((−x)2−5) =−3x(x2−5) =− f (x)

(3) f (x) = x2 +2x+3 ist weder gerade noch ungerade, denn

f (−x) = (−x)2 +2(−x)+3 = x2−2x+3 6= f (x) 6=− f (x)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−13

−11

−9

−7

−5

−3

−1

1

3

5

7

9

11

13

(3)unsym−metrisch

(2)punkt−symmetrisch

(1)achsen−symmetrisch

2.3.3 Beschränktheit

Definition:

Eine Funktion heißtnach oben beschränkt bzw. nach unten beschränkt, wenn

die Wertemengef (D) nach oben bzw. nach unten begrenzt ist. Sie heißtbeschränkt,

wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

Beispiele:

(1) y = x3 +3x D = R, f (D) = R nicht beschränkt

(2) y = x2−2 D = R, f (D) = [−2,∞) nach unten beschränkt

(3) y =√

3−x D = (−∞,3], f (D) = [0,∞) nach unten beschränkt

(4) y = ln(9−x2) D = (−3,3), f (D) = (−∞, ln9] nach oben beschränkt

25



−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−10

−5

0

5

10

(1)

(2)

(3)

(4)

2.3.4 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

Definition:

Eine Funktion f : D → W, x → y = f (x) heißt injektiv , wenn für allex1,x2 ∈ D

gilt:

x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2),

d.h. falls jedemy∈W höchstens einx∈ D zugeordnet ist.

Sie heißtsurjektiv , falls

f (D) = W,

d.h. falls jedemy∈W mindestens einx∈ D zugeordnet ist.

Ist eine Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv, so wird siebijektiv genannt,

d.h. jedemy∈W ist genau einx∈ D zugeordnet und umgekehrt.

26



Beispiele:

−6 −4 −2 0 2 4 6−4

0

4

8

12

16

y = x2

• f : R→ R, x→ y = x2 weder injektiv noch surjektiv

• f : R→ R+0 , x→ y = x2 surjektiv

• f : R+0 → R, x→ y = x2 injektiv

• f : R+0 → R+

0 , x→ y = x2 bijektiv

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 x2 + y2 = 1

• D = W = R keine Funktion

• D = [−1,1] W = [−1,1] keine Funktion

• D = [−1,1] W = [0,1] surjektiv

• D = [0,1] W = R+0 injektiv

• D = [0,1] W = [0,1] bijektiv

27



2.4 Umkehrfunktionen

Ist f : D → W, x → y = f (x) bijektiv, so gibt es zu jedemy ∈ W genau ein

Urbild x mit f (x) = y. Man nennt die Funktion, welche jedemy ∈ W sein Ur-

bild x zuordnet, dieUmkehrfunktion zu f ; sie ist ebenfalls bijektiv und wird mit

f−1 : W → D, y→ x = f−1(y) bezeichnet.

Meist behält man die unübliche Schreibweise der Variablen nicht bei, sondern ver-

tauschtx undy und schreibt:

f−1 : y = f−1(x)

2.4.1 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. y = f (x) nachx auflösen und anschließend die Variablen vertauschen.

2. zunächst die Variablen vertauschen und dannx = f (y) nach y auflösen.

Beispiel: f : y = 2x+1

1. y = f (x) nachx auflösen: 2x = y−1

x =y−1

2

Variablen vertauschen: f−1 : y =x−1

2

2. Variablen tauschen: x = 2y+1

x = f (y) nach y auflösen x−1 = 2y

x−12

= y

f−1 : y =x−1

2

Es gilt:

f−1( f (x)) = x bzw. f ( f−1(x)) = x

28



Beispiel:

f : y = f (x) = x2 x∈R+

f−1 : y = f−1(x) =√

x

⇒ f−1( f (x)) = f−1(x2) =√

x2 = x

f ( f−1(x)) = f (√

x) = (√

x)2 = x

2.4.2 Graph von Funktion und Umkehrfunktion

Für eine graphische Darstellung bedeutet eine Vertauschung der Variablen eine Vertau-

schung der Koordinaten.

Man erhält die graphische Darstellung der Umkehrfunktion, indem man den

Graph der Funktion f an der Geraden y= x spiegelt.

Beispiele:

−5 0 5 10−5

0

5

10

y = exp(x)

y = ln(x)

y = x

29



−5 0 5 10−5

0

5

10

y = + x

y = − x

y = x y = x2

√

√

2.5 Rationale Funktionen

2.5.1 Lineare Funktionen

Die allgemeine Form einer linearen Funktion (Funktion 1. Grades) lautet:

y = mx+b

wobeim undb beliebige Konstanten ausR sind.

Die Kurve einer Funktion 1. Grades ist stets eine Gerade.

2y

1y

1x 2x

1yy2 -2x 1x-

=m

y

x

y= mx + b

Steigungsdreieck

b

30



In der Funktiony = mx+b ist b der Abschnitt auf dery-Achse (Achsenabschnitt) undm

dieSteigungder Geraden. Für diese gilt:

m=y2−y1

x2−x1=

f (x2)− f (x1)x2−x1

-10-2-4-6 2 4 80

-6

-4

0

2

4

6

8

-2

-8

10

3y 2y

1y

6-8

y

x

y1 = 2x

y2 = 3x

y3 =−2x−2

Spezialfälle:

1. b = 0 y = mx Gerade durch den Ursprung

2. m= 0 y = b Gerade parallel zurx-Achse

3. x = a a∈R Gerade parallel zury-Achse (KEINE Funktion!)

Abgesehen von den beiden zuletzt genannten Spezialfällen sind Geraden stets streng

monoton steigend (m > 0) oder streng monoton fallend (m < 0). Daher sind Geraden

immer bijektive Funktionen.

Nullstellen einer linearen Funktion

Die Stelle x, an der die Funktion diex-Achse schneidet, nennt manNullstelle. Sie

kann der graphischen Darstellung entnommen werden, oder aber rechnerisch bestimmt

werden.

Rechnerische Bestimmung der Nullstelle:

In die Funktionsgleichung füry den Wert 0 einsetzen und die entstehende Glei-

chung nachx auflösen.

31



Beispiel:

y = 2x+3

Nullstelle: 0 = 2x+3 |−3

−3 = 2x | : 2

x = −32

2.5.2 Lösung von linearen Gleichungen und von linearen

Gleichungssystemen mit 2 oder 3 Variablen

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen

ax+b = 0, a 6= 0

besitzt genau eine Lösung

x =−ba

Die Lösung einer linearen Gleichung mit einer Variablen stimmt mit der

Nullstelle der zugehörigen Funktion y= ax+b überein.

→ graphische Lösungsmöglichkeit

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen läßt sich stets in folgender Form angeben:

ax+by= c

Ein Zahlpaar(x,y), das diese Gleichung zu einer wahren Aussage macht heißt Lösung

dieser Gleichung.

Eine Gleichung mit zwei Variablen hat i.A. uendlich viele Lösungen, die, graphisch

dargestellt, auf der Geradenax+by= c liegen.

Um zwei Variablen eindeutig festzulegen, reicht eine einzige Gleichung nicht aus.

Erst ein System aus zwei Gleichungen kann ein Wertepaar(x,y) eindeutig festlegen, das

sowohl die erste als auch die zweite Gleichung löst.

32



Beispiel:

3x+y = 15

5x−6y = 2

}Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5x−6y=2

3x+y=15

Schnittpunkt (4,3)

Für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ergeben sich

drei Möglichkeiten:

1. Die Geraden schneiden sich → genau eine Lösung

2. Die Geraden sind parallel → keine Lösung

3. Die Geraden sind gleich → unendlich viele Lösungen

Numerische Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems:

Einsetzverfahren

Eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen umgestellt. Der enstehende

Ausdruck wird dann an Stelle dieser Variablen in die zweite Gleichung eingesetzt. Es

entsteht eine neue Gleichung mit einer Unbekannten, die man lösen kann.

33



Beispiel:

(1) 3x+y = 15

(2) 5x−6y = 2

(1) nachy auflösen:

(3) y = 15−3x

In (2) einsetzten:

5x−6(15−3x) = 2

Ausrechnen:

5x−90+18x = 2

23x = 92 ⇒ x = 4

Ergebnis fürx in (3) einsetzen:

y = 15−3·4 = 3

Gleichsetzungsverfahren

Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die so entstehenden

Ausdrücke gleich. Es entsteht wiederum eine Gleichung mit nur einer Variablen.

Beispiel:

(1) 3x+y = 15

(2) 5x−6y = 2

Auflösung beider Gleichungen nachy:

(3) y = 15−3x

(4) −6y = 2−5x ⇒ y =56

x− 13

Gleichsetzen:

15−3x =56

x− 13

Auflösen nachx:

90−18x = 5x−2

−23x =−92 ⇒ x = 4

Wert fürx in (3) einsetzen:

y = 15−3·4 = 3

34



Additionsverfahren

Man multipliziert eine der Gleichungen mit einem geeigneten Faktor, so daß eine

der Variablen herausfällt, wenn man die neuen Gleichungen addiert. Es entsteht wieder

eine Gleichung mit einer Variablen.

Beispiel:

(1) 3x+y = 15

(2) 5x−6y = 2

Multiplikation von (1) mit 6:

(3) 18x+6y = 90

(4) 5x−6y = 2

Addition von (3) und (4):

18x+5x+6y−6y = 90+2

23x = 92 ⇒ x = 4

Wert fürx in (2) einsetzen:

5·4−6y = 2

−6y =−18 ⇒ y = 3

Lineare Gleichungssysteme (drei Gleichungen mit drei Variablen)

Zur Lösung dieser Gleichungssysteme werden ebenfalls Einsetz–, Gleichsetz– und

Additionsverfahren verwendet.

Beispiel:

(1) 4x+y−2z= 0

(2) 3x+2y+3z= 16

(3) 5x−y+3z= 12

(1)+(3) : (4) 9x+z= 12

(2)+2· (3) : (5) 13x+9z= 40

−9(4)+(5) : (6) −68x =−68

35



x = 1

(4) z= 12−9x = 12−9·1 = 3

(1) y = 2z−4x = 2·3−4·1 = 2

Probe:

4·1+2−2·3 = 4+2−6 = 0√

3·1+2·2+3·3 = 3+4+9 = 16√

5·1−2+3·3 = 5−2+9 = 12√

2.5.3 Quadratische Funktionen

Eine Funktion der Form

y = ax2 +bx+c a,b,c∈R, a 6= 0

heißtquadratische Funktion.

Spezielle Formen:

1. y = x2 Normalparabel

Eigenschaften:

• gerade Funktion

• Scheitelpunkt beiS= (0,0)

• D = R f (D) = R+0 surjektiv

2. y = x2 +q

Eigenschaften:

• Die Normalparabel ist umq auf dery-Achse verschoben

• gerade Funktion

• S= (0,q)

• D = R f (D) = [q,∞) surjektiv

36



−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y=x2+2

y=x2

y=x2−4

S=(0,2)

S=(0,−4)

Scheitelpunkt S

3. y = x2 + px+q

Eigenschaften:

• Die entstehende Normalparabel ist sowohl inx– als auch iny-Richtung ver-

schoben

• weder gerade noch ungerade

• Die Bestimmung des Scheitelpunktes anhand der gegebenen Form der Glei-

chung ist schwierig. Es läßt sich jedoch jede Gleichung der Formy= x2+ px+q durch geeignete Umformung (quadratische Ergänzung) in die Gestalt

y = (x−xs)2 +ys

bringen. Der Scheitelpunkt ist dann gegeben durch

S= (xs,ys)

37



Beispiel:

y = x2−6x+7

⇔ y = x2−6x+9−9+7

⇔ y = x2−6x+9−2

⇔ y = (x−3)2−2

• D = R f (D) = [ys,∞) surjektiv

−4 −2 0 2 4 6−2

0

2

4

6

8

10

y=(x−2)2+4

y=(x−2)2 y=x2

S=(2,4)

S=(2,0)

4. y = ax2 +bx+c

Eigenschaften:

• Der Faktora vor demx2 bewirkt eine Streckung oder Stauchung der Normal-

parabel. Für Wertea < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.

38



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

y=2x2

y=x2

y=0.5x2

y= −x2

y= −0.5x2

• Auch hier läßt sich der Scheitelpunkt nach entsprechender quadratischer

Ergänzung direkt ablesen.

Beispiel:

y =−12x2 +2x+3

y =−12(x2−4x−6) | Faktor−1

2 ausklammern

y =−12(x2−4x+4−4−6) | Quadratische Ergänzung

y =−12(x2−4x+4−10)

y =−12((x−2)2−10)

y =−12(x−2)2 +5 | Faktor−1

2 einmultiplizieren

S= (2,5) | Scheitelpunkt ablesen

39



2.5.4 Lösen von quadratischen Gleichungen

Jede quadratische Gleichung der Form:

ax2 +bx+c = 0

läßt sich in dieNormalform

x2 + px+q = 0

umwandeln.

Die Lösung einer in Normalform gegebener quadratischen Gleichung läßt sich mit der

p-q-Formel berechnen:

x1/2 =− p2±

√( p2

)2−q

Eine quadratische Gleichung besitzt je nach dem Zahlenwert unter der Wurzel:

(1) (p2)2−q > 0 2 Lösungen

(2) (p2)2−q = 0 1 Lösungen

(3) (p2)2−q < 0 keine reellen Lösungen

Graphische Lösung quadratischer Gleichungen

1. Möglichkeit:

Man zeichnet die zugehörige Parabel und liest die Nullstellen ab.

2. Möglichkeit:

Man bringt das quadratische Glied allein auf eine Seite

x2 =−px−q

und zeichnet

y = x2 und y =−px−q

Die Schnittstellen beider Kurven sind dann die Nullstellen.

40



Beispiel:

y = x2 +x−2

−6 −4 −2 0 2 4 6−4

−2

0

2

4

6

8

10

y=x2

y=x2+x−2

y= −x+2

(−2,4)

(1,1)

2.5.5 Ganzrationale Funktionen

Eine Funktion der Form

f (x) = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a2x2 +a1x+a0

mit an,an−1, · · · ,a1,a0 ∈R, an 6= 0

wird ganzrationale Funktion n-ten Gradesoder auchPolynomfunktion n-ten Grades

genannt.

Beispiele:

• f (x) = 2x5−3x4 +2x2 +3 Polynom 5. Grades

• f (x) = x3 + 23x2−5x+4 Polynom 3. Grades in Normalform

• f (x) = 2x4−7x3−5x+2 Polynom 4. Grades in Normalform

41



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−250

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

f(x)=2x5−3x4+2x2+3

f(x)=2x4−7x3−5x+2

f(x)=x3+ − x2−5x+4 23

Kurvenverlauf:

• Die Kurve verläuft durch den Punkt(0,a0).

• Die Funktion ist entweder nach unten oder nach oben beschränkt, fallsn gerade ist:

an > 0: nach unten beschränkt

an < 0: nach oben beschränkt

• Die Funktion ist nicht beschränkt, fallsn ungerade ist.

Bestimmung von Nullstellen:

(1) graphisch, indem man die Kurve der Funktion zeichnet und die Schnittpunkte an

derx-Achse abliest.

(2) Zwischen zweix-Werten, für die der eine Funktionswert positiv und der andere

negativ ist, liegt mindestens eine Nullstelle. Daher gibt es die Möglichkeit der

Intervallschachtelung.

Beispiel:

f (x) = x3−2x+3 f (−2) =−1, f (−1) = 4

⇒ im Intervall (-2,-1) liegt eine Nullstelle.

42



f (−1.5) = 2.625 −2 < x0 <−1.5

f (−1.75) = 1.140625 −2 < x0 <−1.75

f (−1.85) = 0.368375 −2 < x0 <−1.85

f (−1.9) =−0.059 −1.90< x0 <−1.85

f (−1.88) = 0.115328 −1.90< x0 <−1.88

f (−1.89) = 0.028731 −1.90< x0 <−1.89

f (−1.895) =−0.014992374 −1.895< x0 <−1.890

usw.

Merkregel:

Existiert bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige

Nullstelle, so ist diese Teiler vona0.

Beispiel:

f (x) = x3 +6x2 +21x+26 26 hat die Teiler 1,2,3,13,26

f (1) = 54 f (−1) = 10

f (2) = 100 f (−2) = 0

f (13) = 3510 f (−13) =−1430

f (26) = 22204 f (−26) =−14040

⇒ x0 =−2 ist die Nullstelle.

(3) Für ein Polynom 2. Grades lassen sich die Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel

berechnen. Insbesondere läßt sich jedes Polynom der Form

f (x) = ax4 +bx2 +c

durch dieSubstitution t = x2 in die Form eines Polynoms 2. Grades bringen:

f (t) = at2 +bt+c

Polynomdivision

Ist fn(x) ein Polynom n-ten Grades, und istx0 eine Nullstelle vonfn(x) ohne Rest,

so ist fn(x) durch(x−x0) teilbar:

fn(x) = (x−x0) · fn−1(x)

Der Grad des Polynomsfn−1 ist um 1 niedriger als der vonfn(x).Man bestimmtfn−1(x) durch Polynomdivision.

43



Beispiel:

fn(x) = x3−6x2 +11x−6 hat die Nullstellex0 = 1

(x3−6x2 +11x−6) : (x−1) = x2−5x+6

x2(x−1) −→ −(x3−x2)−5x2 +11x

−5x(x−1) −→ −(−5x2 +5x)6x−6

(6x−1) −→ −(6x−6)0

⇒ f (x) = (x−1) · (x2−5x+6)

Die weiteren Nullstellen lassen sich dann mit der p-q-Formel berechnen.

Die Betragsfunktion

Die Funktion

f : R→R+

x→ f (x) = |x|

heißtBetragsfunktion.

Man erhält die graphische Darstellung des Betrages einer Funktion| f (x)|, indem

man alle Punkte der graphischen Darstellung vonf (x) die unterhalb derx-Achse liegen

an dieser spiegelt.

44



−6 −4 −2 0 2 4 6−5

0

5

10

15

f(x)=|x+1|+|x−1|+|x|

f(x)=|x2−2|

f(x)=x2−2

2.5.6 Gebrochenrationale Funktionen

Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich auf die Form

f (x) =g(x)h(x)

=anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0

bmxm+bm−1xm−1 + · · ·b1x+b0

mit g(x),h(x) ganzrationale Funktionen n-ten, bzw. m-ten Grades

bringen läßt, heißtgebrochen rationale Funktion.

Es werden die beiden Fälle unterschieden:

n≥m: unecht gebrochenrational

n < m: echt gebrochenrational

Unecht gebrochenrationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision auf die Form

f (x) =g(x)h(x)

= f ′(x)+g′(x)h(x)

bringen, wobei

f ′(x) ganzrationale Funktion

g′(x)h(x)

echt gebrochenrationale Funktion.

Definitionsbereich: i.A.R ohne die Nullstellen des Nenners.

45



Definition:

Die reelle Zahl xp heißt Pol (bzw. Polstelle) einer gebrochenrationalen Funtion

f (x) = g(x)h(x) , falls

h(xp) = 0 und g(xp) 6= 0.

An den Polstellen ist der Funktionswert nicht definiert. In der Umgebung der Polstelle

wächst der Funktionswert über alle Grenzen.

Beispiel:

f (x) =x2−1

x3 +x2−8x−12hat die Polstellenxp1 = 3 undxp2 =−2

g(3) = 9−1 = 8 g(−2) = 4−1 = 3

h(3) = 27+9−24−12= 0

h(−2) =−8+4+16−12= 0

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6

x2−1

Asymptote Pol

f(x)= x3+x2−8x−12

Pol

Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Die reelle Zahlx0 ist die Nullstelle vonf (x) = g(x)h(x) , falls

g(x0) = 0 und h(x0) 6= 0

→ Reduktion auf Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen.

46



Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Als Asymptote einer gebrochenrationalen Funktionf (x) bezeichnet man diejenige

Funktiona(x), an die sich der Graph der Funktionf (x) für x→ ±∞ anschmiegt bzw.

annähert. Es gilt:

(1) Für m= n ist die Geradef (x) = anbm

Asymptote

(2) Für n < m ist diex-Achse Asymptote

(3) Für n > m ist nach Polynomdivisionf (x) = g(x)h(x) = f ′(x)+ g′(x)

h(x) die ganzrationale

Funktion f ′(x) Asymptote.

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

f(x)= 2x2+3x+1

x2+1

Asymptote f(x) = = 2 a

n

bm

47



−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−20

−16

−12

−8

−4

0

4

8

12

16

20

f(x) = 3x2 − 4x + 3

x − 1

= 3x − 1 + 2

x − 1

Asymptote

f(x) = 3x − 1

Pol

−12 −8 −4 0 4 8 12−10

−5

0

5

10

15

f(x) = x3 − 4x + 8

4x − 8

2 =

4

x2 + 2x

Asymptote

Pol

x − 2

f(x) =

+ 4

x2 + 2x

48



2.5.7 Bruch- und Wurzelgleichungen

Bruchgleichungen

Bei Bruchgleichungen lassen sich die Brüche sofort beseitigen, indem man beide

Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert.

Rechenweg:

1. Bestimmung des Hauptnenners

2. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt eine ganzrationale Gleichung

3. Klammern auflösen, ordnen, zusammenfassen

4. Gleichung nachx auflösen

5. Probe

Beispiel:10−x

3+

13+x7

+17+4x

21=

7x+26x+21

,x 6=−21

Hauptnenner links: 21 ⇒ 7·10−7x+13·3+3x+17+4x21

=7x+26x+21

⇒ 0 =−6(x+21)x+21

+7x+26x+21

Hauptnenner rechts: (x+21) ⇒ 6 =7x+26x+21

⇒ 0 =−6x−126+7x+26

x+21

⇒ 0 =x−100x+21

⇒ 0 = x−100 ⇒ x = 100

Probe:10−100

3+

13+1007

+17+400

21= 6 =

700+26100+21

√

Wurzelgleichungen

Bei Wurzelgleichungen lassen sich die Wurzeln sofort beseitigen, indem man die

Gleichung entsprechend potenziert.

Rechenweg:

1. Wurzeln isolieren bzw. gleichverteilen

2. Potenzieren der Gleichung (notfalls mehrmals)

3. Klammern auflösen

4. Probe

49



Beispiel:4√

x2 +3x+9−√

x+2 = 0 ,x≥−2

Quadrieren ⇒√

x2 +3x+9 = x+2

Nochmals quadrieren ⇒ x2 +3x+9 = (x+2)2

⇒ x2 +3x+9 = x2 +4x+4

⇒ x = 5

Probe: 4√

52 +3·5+9 =√

7 =√

5+2√

2.5.8 Transzendente Funktionen

Exponentialfunktionen

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung

f : R→R+

x→ f (x) = ax a∈R

heißtExponentialfunktion .

Eigenschaften

• Alle Graphen haben einen gemeinsamen Punkt

(0,1) für f (x) = ax

(0,−1) für f (x) =−ax

• Die Funktionen besitzen keine Nullstellen.

• Die x-Achse ist Asymptote.

• Bei der Funktionf (x) = b·ax verschiebt sich dery-Achsenschnittpunkt nach(0,b).

50



Beispiel:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−2

0

2

4

6

8

10

f(x) = e−x

f(x) = 3ex

f(x) = e2x

f(x) = ex

Die dargestellte Exponentialfunktionen mit derEulerschen Zahl eals Basis spielen in

der Mathematik eine besondere Rolle (Siehe hierzu auch Abschnitt3.9.1auf Seite71).

Die Eulersche Zahl e ist definiert als:

e=∞

∑n=0

1n!' 2,718 281 828. . .

Logarithmusfunktionen

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung

f : R+→R

x→ f (x) = logax a∈R

heißtLogarithmusfunktion .

51



Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der zugehörigen Exponentialfunktion.

Eigenschaften:

• Alle Graphen haben den gemeinsamen Punkt(1,0).• Alle Logarithmusfunktionen haben einen Pol an der Stellexp = 0.

• Sie sind streng monoton.

−1 0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

f(x) = lb(x)

f(x) = ln(x)

f(x) = lg(x)

wobei

• log10 → lg

• loge → ln

• log2 → lb

(vergleiche auch Seite18)

2.5.9 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen können nach entsprechender Umformung durch Exponen-

tenvergleich, Logarithmierung oder Substitution gelöst werden.

Exponentenvergleich: ax = ap ⇔ x = p

52



Logarithmieren: ax = bp ⇔ lg(ax) = lg(bp)⇔ x · lg(a) = p· lg(b)⇔ x = p·lg(b)

lg(a)

Substitution: b·a2x +c·ax +d = 0

t = ax b· t2 +c· t +d = 0

→ Rückführung auf eine quadratische Gleichung

Logarithmische Gleichungen

1. Gleichungen der Form loga f (x) = b ⇔ aloga f (x) = ab

haben die Lösung f (x) = ab, f (x) > 0

2. Gleichungen der Form loga f1(x) = loga f2(x)haben die Lösung f1(x) = f2(x)

3. Gleichungen der Form loga f1(x) = logb f2(x)

lassen sich umrechnen in logb f1(x) =1

logablogb f2(x) und damit auf den

2. Fall zurückführen

53

3 Trigonometrische Funktionen

3.1 Winkeleinheiten

Gradmaß

1 Vollkreis = 360o Grad

1o= 60′ Minuten

1′= 60′′ Sekunden

Bogenmaß

Das Bogenmaßϕ oder arcϕ ist das Verhältnis der Bogenlänge zum Radius am Kreisaus-

schnitt mit dem Winkelϕ:

ϕ

rb arcϕ = ϕ =

br

Ein Vollkreis : ϕ = 2π

Als Einheit des Bogenmaßes wird dasRadiant (rad) verwendet. Da es das Verhältnis

zweier Strecken ist, ist das Bogenmaß im engeren Sinne jedoch einheitslos.

Umrechnung:

ϕ = ϕ · 180o

πin Grad, ϕ = ϕ · π

180o in rad

54



3.2 Recht- und schiefwinklige Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke

Diejenige Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber

liegt, heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel bilden,

werdenKatheten genannt.

Für das rechtwinklige Dreieck gilt derSatz des Pythagoras, der besagt, daß die

Summe der Quadrate der Kathetena undb gleich dem Quadrat der Hypotenusec ist:

a2 +b2 = c2

Die FlächeA des rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich nach der Formel

A =12

a·b

α

β .

cb

a

sinα =ac

cosα =bc

tanα =ab

cotα =ba

Schiefwinklige Dreiecke

Sinussatz(siehe auch Seite69):

α β.

γ

h

c

ab

C

A B

c

sin(α) =hc

b

sin(β ) =hc

a

⇒ sin(α) ·b = sin(β ) ·a

Es ergibt sich derSinussatz:

asinα

=b

sinβ=

csinγ

55



Cosinussatz:(siehe auch Seite70)

c

ch

B

a

A

b

. α

γ

β

C

Es gilt:

a2 = b2 +c2−2bccosα

b2 = a2 +c2−2accosβ

c2 = a2 +b2−2abcosγ

56



3.3 Definition der trigonometrischen Funktion am

Kreis

r

y-Achse

x-Achsex

yϕ

sinϕ =yr

cosϕ =xr

tanϕ =yx

cotϕ =xy

Speziellr = 1 (Einheitskreis):

1

y-Achse

x-Achsex

yϕ

sinϕ =y1

= y

cosϕ =x1

= x

tanϕ =yx

cotϕ =xy

57



3.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

Sinus:

f : R→ [−1,1]

x→ f (x) = sin(x)

Cosinus:

f : R→ [−1,1]

x→ f (x) = cos(x)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.5

0

0.5

1

π

cos x

sin x

π π π π π π

58



Tangens:

f : R \{(2n+1)π

2 | n∈Z} →R

x → f (x) = tan(x)

−3 −2 −1 0 1 2 3−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

π

f(x) = tan x

π π π π π π

Cotangens:

f : R \{nπ| n∈Z} →R

x → f (x) = cot(x)

−3 −2 −1 0 1 2 3−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

π

f(x) = cot x

π π π π π π

59



Periodizität der trigonometrischen Funktionen

Periode 2π: sin(x+k ·2π) = sinx

cos(x+k ·2π)= cosx

Periodeπ: tan(x+k ·π) = tanx

cot(x+k ·π) = cotx

Spezielle Funktionswerte

x 0, 2ππ

6,

56

ππ

4,

34

ππ

3,

23

ππ

2π

32

π

0o, 360o 30o, 150o 45o, 135o 60o, 120o 90o 180o 270o

f (x)

sin(x) 012

12

√2

12

√3 1 0 -1

cos(x) 1 ±12

√3 ±1

2

√2 ±1

20 -1 0

tan(x) 0 ±13

√3 ±1 ±

√3 ∞ 0 ∞

cot(x) ∞ ±√

3 ±1 ±13

√3 0 ∞ 0

Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

sinx = cos(

π

2−x

)tanx = cot

(π

2−x

)cosx = sin

(π

2−x

)cotx = tan

(π

2−x

)tanx ·cotx = 1 1+ tan2x =

1cos2x

60



sin2x+cos2x = 1 Trigonometrischer Pythagoras

tanx =sinxcosx

cotx =cosxsinx

Man kann jede Funktion durch die anderen ausdrücken, z.B.:

cosx =± cotx√1+cot2x

3.5 Additionstheoreme

α

β

E

A B

CD

Oα

sin(α +β ) =AE

OE

=AD+DE

OE=

BC+DE

OE

=BC

OE+

DE

OE

=BC

OC· OC

OE+

EC

OE· DE

EC

= sinα ·cosβ +sinβ ·cosα

Analog ergibt sich:

sin(α±β ) = sinα cosβ ±cosα sinβ

cos(α±β ) = cosα cosβ ∓sinα sinβ

tan(α±β ) =tanα± tanβ

1∓ tanα tanβ

cot(α±β ) =cotα cotβ ∓1cotβ ±cotα

61



Vielfache eines Winkels

Aus den Additionstheoremen ergibt sich fürα = β :

sin(2α) = 2sinα cosα

cos(2α) = cos2α−sin2α

tan(2α) =2tanα

1− tan2α

cot(2α) =cot2α−1

2cotα

Setzt man in den Additionstheoremenβ = 2α,3α, . . . so ergeben sich entsprechende

Formeln für sin(3α),sin(4α) usw.

→ Formelsammlung

Produkte trigonometrischer Funktionen

sinα ·sinβ =12

cos(α−β )− 12

cos(α +β )

cosα ·cosβ =12

cos(α−β )+12

cos(α +β )

sinα ·cosβ =12

sin(α−β )+12

sin(α +β )

Potenzen trigonometrischer Funktionen

sin2x =1−cos(2x)

2cos2x =

1+cos(2x)2

sin3x =3sinx−sin(3x)

4cos3x =

3cosx+cos(3x)4

sin4x =3−4cos(2x)+cos(4x)

8cos4x =

3+4cos(2x)+cos(4x)8

62



3.6 Goniometrische Gleichungen

Die Auflösung der goniometrischen Gleichungen (Gleichungen, die die Winkelfunktio-

nen enthalten) kann man in 5 Schritte aufgliedern:

1. Vereinheitlichung der Argumente

2. Vereinheitlichung der Funktionstypen

3. Substitution der übriggebliebenen Winkelfunktion

4. Lösen der algebraischen Gleichung und anschließende Berechnung des Winkels

5. Probe

Beispiel:

Für

sinx+sin(

x+π

2

)= 0

wird eine Lösung im Hauptwertebereich

x∈ [0,2π) bzw. x∈ [0◦,360◦)

gesucht:

Schritt 1: nach dem Additionstheorem gilt:

sinx+sinxcos(

π

2

)+cosxsin

(π

2

)= 0

⇒ sinx+cosx = 0

Schritt 2: ⇒ sinx =−cosx

⇒ tanx =−1

Schritt 3 und 4: ⇒ x = 135◦ oder 315◦

Schritt 5: sin135◦+sin(135◦+90◦) = 0√

sin315◦+sin(315◦+90◦) = 0√

⇒ x = 135◦ bzw. x = 34π und x = 315◦ bzw. x = 7

4π sind Lösungen im Hauptwerte-

bereich;

oder allgemein:

x =34

π +2kπ und x =74

π +2kπ k∈Z

63



3.7 Zyklometrische Funktionen

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen heißenzyklometrische

Funktionen.

Man bezeichnet mity = arcsinx die Umkehrfunktion zu der auf[−π

2 , π

2 ] eingeschränkten

Funktiony = sinx und nennt arcsin denarcussinus vonx:

f : [−1,1]→ [−π

2,π

2]

x→ y = arcsinx

Umkehrfunktion zuy = cosx:

f : [−1,1]→ [0,π]

x→ y = arccosx

Umkehrfunktion zuy = tanx:

f : R→ [−π

2,π

2]

x→ y = arctanx

Umkehrfunktion zuy = cotx:

f : R→ [0,π]

x→ y = arccotx

64



Es gilt also:

arcsin(sinx) = x

arccos(cosx) = x

arctan(tanx) = x

arccot(cotx) = x

und

sin(arcsinx) = x

cos(arccosx) = x

tan(arctanx) = x

cot(arccotx) = x

Graphische Darstellung:

π ππ

π

y = arcsin x

0

0.5

−0.5 0

y = sin x

0.5−0.5

65



π π

π

π

y = cos x

0

−1

0

0.5

y = arccos x

0.5 −1

π π π ππ

π

π

π

y = arctan x

y = tan x

0 0.5 −0.5

0.5

−0.5

0

66



π π π ππ

π

π

π

y = arcot x

y = cot x

0 0.5 −0.5

0.5

−0.5

0

Spezielle Werte:

f (x)\x -1 −12

√3 −1

2

√2 −1

20

12

12

√2

12

√3 1

arcsin −π

2−π

3−π

4−π

60

π

6π

4π

3π

2

arccos π56

π34

π23

ππ

2π

3π

4π

60

f (x)\x −√

3 -1 −13

√3 0

13

√3 1

√3

arctan −π

3−π

4−π

60

π

6π

4π

3

arccot56

π34

π23

ππ

2π

3π

4π

6

67



Es gilt:

arcsinx+arccosx =π

2∀−1≤ x≤ 1

arccotx+arctanx =π

2

arccotx = arctan1x

∀ x > 0

arcsinx = arctanx√

1−x2∀ |x|< 1

arccotx = arccosx√

1+x2

arctanx = arcsinx√

1+x2

arccosx = arccotx√

1−x2∀|x|< 1

Arcusfunktionen negativer Argumente:

y = arcsin(−x) =−arcsinx

y = arccos(−x) = π−arccosx

y = arctan(−x) =−arctanx

y = arccot(−x) = π−arccotx

Die zyklometrischen Additionstheoreme folgen aus den Additionstheoremen für trigono-

metrische Funktionen:

arcsinx1 +arcsinx2 =

arcsinz ∀ x21 +x2

2 ≤ 1 ∨ x1x2 ≤ 0

π−arcsinz ∀ x21 +x2

2 > 1 ∧ x1 > 0∧x2 > 0

−π−arcsinz ∀ x21 +x2

2 > 1 ∧ x1 < 0∧x2 < 0

mit z= x1

√1−x2

2 +x2

√1−x2

1

weitere Formeln: Formelsammlung

68



3.8 Berechnungen am Dreieck

3.8.1 Rechtwinklige Dreiecke

α

β .

cb

a

sinα =ac

cosα =bc

tanα =ab

cotα =ba

a2 +b2 = c2 A =12

ab

sinβ =bc

cosβ =ac· · ·

3.8.2 Schiefwinklige Dreiecke

Sinussatz:

α β.

γ

h

c

ab

C

A B

c

sinα =hc

b

sinβ =hc

a

⇒ bsinα = asinβ

Es ergibt sich:

asinα

=b

sinβ=

csinγ

69



Cosinussatz:

c

ch

B

a

A

b

. α β

C

|

| |

|

p

q

γ

a2 = h2c +q2

h2c = b2− p2

⇒ a2 = b2 +q2− p2

p = c+q

⇒ a2 = b2 +(c+q)2−q2

= b2 +c2 +2cq+q2−q2

= b2 +c2 +2cq

da

qb

= cos(180◦−α)

= −cosα

→ q = −bcosα

⇒a2 = b2 +c2−2bccosα

b2 = a2 +c2−2accosβ

c2 = a2 +b2−2abcosγ

70



3.9 Näherungsformel für trigonometrische Funktionen

sinx = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!± . . . x∈R

cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!± . . . x∈R

tanx = x+13

x3 +215

x5 +17315

x7 + . . . x∈R, |x|< π

2

cotx =1x− 1

3x− 1

45x3− 2

945x5− . . . x∈R, 0 < |x|< π

arcsinx = x+12· x3

3+

1·32·4

· x5

5+

1·3·52·4·6

· x7

7+ . . . x∈R, |x|< 1

arccosx =π

2−x− 1

2x3

3− 1·3

2·4· x5

5− . . . x∈R, |x|< 1

arctanx = x− x3

3+

x5

5− x7

7± . . . x∈R, |x| ≤ 1

arccotx =π

2−x+

x3

3− x5

5+

x7

7± . . . x∈R, |x| ≤ 1

Für kleine Winkel gilt insbesondere:

sinx ≈ x ≈ tanx

cosx ≈ 1

3.9.1 Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der

Exponentialfunktion

Eulersche Formeln:

y = ejϕ = cosϕ + j sinϕ

y = e− jϕ = cosϕ− j sinϕ

71



Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lassen sich komplexe Zahlen relativ einfach darstellen:

-ra ϕ= cos

= sinϕ

= tan ϕba

2 2

-br

2= a + br

-

r 2

z = a + jb1b

2a

b2

a1

Re(z)

Im(z)

r 1

ϕ2 ϕ

1

1 1 1

2 2 2z = a + jb

IV

I

III

II

z = a+ jb Kartesische Form

= r cosϕ + jr sinϕ

= r(cosϕ + j sinϕ) Goniometrische Form

= re jϕ Exponentialform

Bei der Überführung einer komplexen Zahl in die goniometrische Form oder in die

Exponentialform sind besonders bei der Bestimmung des Winkelsϕ die entsprechenden

Vorzeichen zu beachten:

a b z liegt im ϕ liegt zwischen tanϕ

positiv positiv I. Quadranten 0◦ und 90◦ positiv

negativ positiv II. Quadranten 90◦ und 180◦ negativ

negativ negativ III. Quadranten 180◦ und 270◦ positiv

positiv negativ IV. Quadranten 270◦ und 360◦ negativ

a = 0 ⇒ ϕ = 90◦ falls b > 0

ϕ = 270◦ falls b < 0

72



b = 0 ⇒ ϕ = 0◦ falls a > 0

ϕ = 180◦ falls a < 0

Hauptwertebereich für ϕ : 0◦ bis 360◦

bzw. 0 bis 2π

Multiplikation komplexer Zahlen in Exponentialform

Seienz1 = r1 ejϕ1 undz2 = r2 ejϕ2

z1z2 = r1ejϕ1r2ejϕ2

= r1r2ejϕ1ejϕ2

= r1r2ej(ϕ1+ jϕ2)

= r1r2ej(ϕ1+ϕ2)

Beispiel:

z1

z2

z

15°

45°

60°

15°

Im(z)

Re(z)

3

1.5

4.5

z1 = 3 ej45◦ z2 = 1.5 ej15◦

z = z1z2

= 3 ej45◦1.5 ej15◦

= 3·1.5 ej45◦ej15◦

⇒ z= 4.5 ej60◦

Der Zeigerz1 wird um den Winkelϕ = 15◦ gedreht und um den Faktor 1.5 gestreckt.

Division komplexer Zahlen in Exponentialform

z1 undz2 seien definiert wie gehabt, dann gilt:

z1

z2=

r1ejϕ1

r2ejϕ2=

r1

r2ej(ϕ1−ϕ2)

73



Beispiel:

z1

z2

Im(z)

45°2.5

5

Re(z)

45°

75°

z

2

120°

z1 = 5 ej120◦ z2 = 2.5 ej45◦

z =z1

z2

=5 ej120◦

2.5 ej45◦

=5

2.5ej(120◦−45◦)

⇒ z= 2 ej75◦

Die komplexe Zahlz1 wird um den Winkelϕ =−45◦ gedreht und um den Faktorr2 = 2.5

gestaucht.

Potenzieren komplexer Zahlen in Exponentialform

z = re jϕ

⇒ zn = (re jϕ)n

= rn(ejϕ)n

⇒ zn = rnejnϕ

= rn(cos(nϕ)+ j sin(nϕ))

Beispiel:

z5 = (1− j√

3)5

umschreiben in Exponentialform:

r =√

12 +√

32=√

1+3 =√

4 = 2

tanϕ =−√

31

=−√

3 ϕ′ =−60◦

a > 0, b < 0 ⇒ IV. Quadrant

⇒ ϕ = 360◦+ϕ′ = 300◦

⇒ z= 1− j√

3 = 2ej300◦

also

z5 = (2ej300◦)5 = 25 ej1500◦ |1500◦ = 4·360◦+60◦

⇒ z5 = 32ej60◦

74



3.10 Die Hyperbelfunktionen

y = sinhx =ex−e−x

2D = R W = R

y = coshx =ex +e−x

2D = R W = [1,∞)

y = tanhx =sinhxcoshx

=ex−e−x

ex +e−x D = R W = (−1,1)

y = cothx =coshxsinhx

=ex +e−x

ex−e−x D = R\{0} W = R\[−1,1]


−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y = coth x

y = tanh x

y = cosh x y = sinh x

Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen:

ex = sinhx+coshx

e−x = coshx−sinhx

cosh2x−sinh2x = 1

tanhxcothx = 1

75



sinh(−x) =−sinhx ungerade Funktion

cosh(−x) = coshx gerade Funktion

tanh(−x) =− tanhx ungerade Funktion

coth(−x) =−cothx ungerade Funktion

Additionstheoreme

sinh(x±y) = sinhxcoshy±coshxsinhy

cosh(x±y) = coshxcoshy±sinhxsinhy

sinh(2x) = 2sinhxcoshx

cosh(2x) = cosh2x+sinh2x

Beziehung zwischen Einheitskreis und Hyperbelfunktionen

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

cot t

tan t

sin t

cos t

P

coth t

sinh t

tanh t

cosh t

P

x = cost

y = sint

x2 +y2 = cos2 t +sin2 t = 1

⇒ x2 +y2 = 1

Kreisgleichung

x = cosht

y = sinht

x2−y2 = cosh2 t−sinh2 t = 1

⇒ x2−y2 = 1

Hyperbelgleichung

76



3.11 Die Areafunktionen

Um die Umkehrfunktion der Hyperbelfunktionen zu bilden, führt man ein weiteres neues

Funktionssymbol ein:

Die Umkehrfunktion zuy = sinhx ist:

y = arsinhx D = R W = R

(gelesen: area sinus hyperbolicus)

Entsprechend:

y = arcoshx D = [1,∞) W = [0,∞)y = artanhx D = (−1,1) W = R

y = arcothx D = (−∞,−1)∪ (1,∞) W = R\0


−4 −2 0 2 4−3

−2

−1

0

1

2

3

−4 −2 0 2 4−3

−2

−1

0

1

2

3

y = arcosh x y = arsinh x

y = arcoth x

y = artanh x

Es gilt:

arsinh(sinhx) = sinh(arsinhx) = x

arcosh(coshx) = cosh(arcoshx) = x

artanh(tanhx) = tanh(artanhx) = x

arcoth(cothx) = coth(arcothx) = x

77



Wichtige Zusammenhänge:

y = arsinhx = ln(x+√

x2 +1)

y = arcoshx =

ln(x+

√x2−1) x≥ 1, y > 0

ln(x−√

x2−1) x≥ 1, y < 0

y = artanhx =12

ln

(1+x1−x

)|x|< 1

y = arcothx =12

ln

(1+xx−1

)|x|> 1

78

4 Einführung in die Vektorrechnung

4.1 Geometrie von Vektoren

In der Ebene und im Raum lassen sich Vektoren geometrisch als gerichtete Strecken oder

Pfeile darstellen. Die Richtung des Vektors entspricht dann der Pfeilrichtung, sein Betrag

der Pfeillänge.

v➜

A

B

A: Anfangspunkt

B: Endpunkt

v: Länge des Vektors

~v: Vektor mit seiner Richtung

Vektoren heißenäquivalent, wenn ihre Länge und Richtung überein stimmen:

w➜

v➜

➜u

äquivalente Vektoren

Da man Vektoren meist ausschließlich durch Länge und Richtung charakterisiert,

betrachtet man äquivalente Vektoren alsgleich, auch wenn sie verschiedene Anfangs-

und Endpunkte haben:

~v = ~w =~z

Die Summev+ w zweier Vektoren~v und~w ist der folgendermaßen bestimmte Vektor:

Man ordne~v und ~w so an, daß der Anfangspunkt von~w mit dem Endpunkt von~v

zusammenfällt. Der Vektor~v+ ~w entspricht dann dem Pfeil vom Anfangspunkt von~v

79



zum Endpunkt von~w.

w➜

v➜

v➜

w➜

+

Summe~v+~w

w➜

v➜

v➜

w➜

+

w➜

v➜

w➜

v➜

+

~v+~w = ~w+~v

Der zu~v negative Vektor −v ist der Vektor mit dem gleichen Betrag wie~v, aber

entgegengesetzter Richtung:

v➜➜

-v

|

Für diesen Vektor gilt:~v+(−~v) =~0

Die Differenz v− w ist dann definiert als:

~v−~w =~v+(−~w)

v➜

w➜

v➜

w➜

-

w➜

-

w➜

-

v➜

w➜

v➜

w➜

-

Haben~v und~w denselben Anfangspunkt, so stellt der vom Endpunkt von~w zum Endpunkt

von~v gehende Vektor die Differenz~v−~w dar.

Das Produkt k v, k ∈ R ist der Vektor, dessen Länge sich als das|k|-fache der

Länge von~v ergibt; seine Richtung stimmt fürk > 0 mit der Richtung von~v überein, für

k < 0 ist sie entgegengesetzt.

v➜

➜-v v

➜

➜-3v v

➜

0.5

|

|

|

2

80



Ein Vektor der Gestaltk~v heißt skalares Vielfaches von~v. Skalare Vielfache sind

parallele Vektoren.

Vektoren im Koordinatensystem

Bei der Behandlung von Vektoren erweist sich die Einführung rechtwinkliger Koordina-

ten oft als zweckmäßig.

Ebene (2–dimensionaler Raum)

Sei ~v ein Vektor in der Ebene, dessen Anfangspunkt im Ursprung eines rechtwink-

ligen Koordinatensystems liegt. Die Koordinaten(x1,y1) seines Endpunktes sind die

Komponenten vonv, was man als~v = (x1,y1) schreibt.

➜v

1y

1xx

y

0

Die Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar lassen sich einfach auf die

Komponentenschreibweise übertragen:

v➜

w➜

+w➜

v➜

w➜

1x

v➜

w➜

+

y

x

1y

2y

2x

➜v

~v = (x1,y1)

~w = (x2,y2)

~v+~w = (x1 +x2,y1 +y2)

~v−~w = (x1−x2,y1−y2)

k~v = (kx1,ky1) k∈R

w➜

2y1y -

1y

2y

v➜

1x

-1 2xx2x

v➜

w➜

-

v➜

w➜

-

x

y

v➜

1x

➜vk.

➜vk.

1x.k

.k 1y

1y

x

y

81



Raum (3–dimensionaler Raum)

Analog zur Beschreibung von Vektoren in der Ebene durch Zahlenpaare kann man

Vektoren im Raum nach der Einführung eines rechtwinkligen Koordinatensystems, durch

Tripel reeller Zahlen darstellen:

v➜

1x

1y

1z

x

z

y

P(x1,y1,z1) Punkt

~v = (x1,y1,z1) Vektor vom

Ursprung zum Punkt P

Liegt der Anfangspunkt eines Vektors~v im Ursprung, so nennt man die Koordinaten des

Endpunktes wiederKomponenten vonv:

~v = (x1,y1,z1)

Es gilt dann:

~v = (x1,y1,z1)

~w = (x2,y2,z2)

~v+~w = (x1 +x2,y1 +y2,z1 +z2)

~v−~w = (x1−x2,y1−y2,z1−z2)

k~v = (kx1,ky1,kz1) k∈R

Der Anfangspunkt eines Vektors muß nicht unbedingt im Koordinatenursprung liegen.

Für den Vektor~v =−−→P1P2 mit dem AnfangspunktP1 = (x1,y1,z1) und dem EndpunktP2 =

(x2,y2,z2) ist

~v =−−→P1P2 = (x2−x1,y2−y1,z2−z1)

82



1 2PP

P2

(x ,y ,z )1 1 11P

OP2

x

y0

z

(x ,y ,z )2 2 2

OP1−−→P1P2 =

−−→OP2−

−−→OP1

−−→P1P2 = (x2,y2,z2)− (x1,y1,z1)−−→P1P2 = (x2−x1,y2−y1,z2−z1)

4.2 Norm (Betrag) eines Vektors

Die Norm eines Vektorsu, kurz |~u|, ist seine Länge. Nach dem Satz des Pythagoras gilt

für den ebenen Vektor:

1y

1x

➜u

|u|➜

x

y

0

~u = (x1,y1)

|~u|=√

x21 +y2

1

Ist~u = (x1,y1,z1) ein Vektor im Raum, so folgt durch zweifache Anwendung des Satzes

von Pythagoras:

1x

1y

1z

➜|u|

x

z

y

..

.

0

P

R

➜u

OR2 = x2

1 +y21

|~u|2 = OR2 +RP

2

RP= z1

|~u|=√

x21 +y2

1 +z21

Ein Vektor der Norm 1 heißtEinheitsvektor e.

Der Abstand zweier PunkteP1 = (x1,y1,z1) undP2 = (x2,y2,z2) im Raum ist die Norm

des Verbindungsvektors−−→P1P2:

d =√

(x2−x1)2 +(y2−y1)2 +(z2−z1)2

83



Allgemein gilt:

Für~v 6=~0 ist1|~v|

~v ein Einheitsvektor.

Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachse

➜

i

➜

k➜

j

1

1

1

x

y

z ~i = (1,0,0)~j = (0,1,0)~k = (0,0,1)

⇒~v = (x1,y1,z1)

= x1~i +y1~j +z1~k

4.3 Skalarprodukt von Vektoren

Seien~uund~vverschiedene Vektoren, die den gleichen Anfangspunkt besitzen. Als Winkel

zwischen~u und~v bezeichnet man den durch die gestrichelte Strecken~u und~v eingeschlos-

senen Winkelθ , der die Ungleichung 0≤ θ ≤ π erfüllt.

u➜

v➜

v➜

u➜

v➜

u➜

v➜

u➜

Θ

Θ Θ|

Θ

84



Definition:

Seien~u und ~v zwei- oder dreidimensionale Vektoren, die den Winkelθ einschlie-

ßen. DasSkalarprodukt oderinnere euklidische Produkt~u~v ist definiert als:

~u~v =

|~u||~v|cosθ ,~u 6=~0∧~v 6=~0

0 ,~u =~0∨~v = 0

u➜

➜|u| Θcos v

➜

Θ

Berechnung des Skalarprodukts durch die Komponenten:

Seien~u = (x1,y1,z1) und ~v = (x2,y2,z2) von Null verschiedene Vektoren, die den

Winkel θ einschließen. Nach dem Cosinussatz (a2 = b2 +c2−2bccosα) gilt dann:

1 2PP

P2

(x ,y ,z )1 1 11P

u➜

v➜

x

y

z

(x ,y ,z )2 2 2Θ

| ~P1P2|2 = |~u|2 + |~v|2−2|~u||~v|cosθ

Umrechnung ergibt:

~u~v = x1x2 +y1y2 +z1z2

Winkelbestimmung:

85



Für von~0 verschiedene Vektoren~u 6= 0 und~v 6= 0 gilt:

cosθ =~u~v|~u||~v|

Orthogonale Vektoren:

Zueinander senkrechte Vektoren heißenorthogonal. Zwei Vektoren~u,(~u 6= 0) und

~v,(~v 6= 0) sind genau dann orthogonal, wenn~u~v = 0 ist.

Schreibweise: ~u⊥~v

Orthogonalprojektionen:

In einer Reihe von Anwendungen interessiert man sich für die Zerlegung eines Vektors

~u in einen zu einem vorgegebenen Vektor~a parallelen und einem dazu senkrechten

Summanden.

➜u

➜u

➜u

➜a

➜u

➜u

➜a

➜u

➜u

➜u

➜u

➜a

Der Vektor~u‖ heißtVektorkomponente vonu entlang a. Der Vektor~u⊥ heißtVektor-

komponente vonu senkrecht zua.

Es gilt:

~u‖ =~u~a|~a|2

~a

~u⊥ =~u−~u‖ =~u− ~u~a|~a|2

~a

Die Norm der Vektorkomponenete erhält man nach:

|~u‖|=|~u~a||~a|

= |~u||cosθ |

|~u⊥|= |~u|sinθ

86



➜|u| Θsin

a➜

➜|u|

u➜

➜|u| Θcos−

u➜

➜|u|

➜|u| Θcos

➜|u| Θsin

a➜ ΘΘ

0≤ θ < π

2π

2 ≤ θ < π

4.4 Kreuzprodukt

Die Aufgabenstellung ist zu zwei gegebenen räumlichen Vektoren einen Dritten zu

finden, der auf den beiden Anderen senkrecht steht.

Definition:

Sind ~u = (x1,y1,z1) und ~v = (x2,y2,z2) Vektoren im Raum, so ist ihrKreuzpro-

dukt u× v definiert durch:

~u×~v = (y1z2−z1y2,z1x2−x1z2,x1y2−x2y1)

Es gilt:

~u×~v =−(~v×~u)

Die Richtung von~u×~v ergibt sich nach der

Rechten-Hand-Regel:

u➜

v➜

u➜

v➜

x

Θ

Zeigen die Finger der rechten Hand

von~u nach~v, so weist der Daumen

in Richtung~u×~v

Geometrische Interpretation des Kreuzproduktes

Seien~u und ~v Vektoren im Raum. Die Norm ihres Kreuzproduktes~u×~v hat eine

nützliche geometrische Bedeutung.

87



Es gilt:

|~u×~v|= |~u| · |~v| ·sinθ

v➜

➜|u| u

➜

➜|v| ΘsinΘ

➜|v|

A

C

B

A = |~u| · |~v| ·sinθ

Fläche des Parallelogramms

Sind~u und~v Vektoren im Raum, so entspricht|~u×~v| dem Flächeninhalt des von ihnen

aufgespannten Parallelogramms.

Enstsprechend ist der Flächeninhalt des DreicksABCbestimmt durch:

AABC =12· |~u| · |~v| ·sinθ

88

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