kalkulus modul x integral
Post on 22-Jan-2015
2.784 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Lukmanulhakim Almamalik II- 1
10 INTEGRAL
10.1 ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)
• Integral adalah anti derivatif atau anti turunan. • Rumus Umum dari Integral Tak Tentu
∫ −≠++
= + 11
1 1 nCxn
dxx nn ,
Contoh 10.1 Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x2 Penyelesaian:
∫ x2 dx = =+
+12
121 x
x 3
3 + C
Contoh 10.2 Cari anti turunan yang umum dari f(x) = 20x4 Penyelesaian:
∫ 20x4 dx = 14
20+
x4+1 = 5x5 + C
Contoh 10.3 Cari anti turunan yang umum dari fungsi 2
3xy =
3 32 2
3 22 2
52
52
( 1)
32
( )
3 22 2
52
1( 1)
1( )1
25
x dx x C
x C
x C
x C
+
+
= ++
= ++
= +
= +
∫
Lukmanulhakim Almamalik II- 2
RUMUS UMUM INTEGRAL
1. k dx kx C= +∫
2. ( ) ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫
3. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
4. 1 1 ln | |x dx dx x Cx
− = = +∫ ∫
5. x xe dx e C= +∫
Contoh 10.3 Cari anti turunan yang umum dari fungsi ( )52 7x dx−∫
Penyelesaian
Contoh 10.4
1. Cxxdxx +=+
= +∫ 6155
61
151
2. ∫ x .dx = ∫ x½.dx = 3
2 3
23
23 xx=
/ + C
3. ∫ 13x
.dx = ∫ x-3. dx = 213
1 213
−=
+−
−+− xx = - 1
2 2x + C
4. ∫ 2m2.dm = 3
212
2 312 mm =
++ + C
5. ∫ 5 λ .dλ = 3
101
553
1
21
21
21 λλλ =
+= + +C
6. ∫ 1θ
.dθ = ∫ θ-½.dθ = θ θ 221
21
=/
/+C
7. 3
2
2
1 23 3
x dxx
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
( )5 5
5
5 1
6
2 7 2 7
2 7
12 75 1
1 73
x dx x dx dx
x dx dx
x x C
x x C
+
− = −
= −
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+⎝ ⎠
= − +
∫ ∫ ∫∫ ∫
Lukmanulhakim Almamalik II- 3
( )
( )
3 32 2
32
32
52
52
2 2
2
( 1)2 1
32
1
1 2 1 23 3 3 3
1 23 3
1 1 2 13 2 1 3 1
1 2 23 3 5
1 43 15
x xdx dx dxx x
x dx x dx
x x C
x x C
x Cx
−
+− +
−
⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
8. 3 2 5xe dxx
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
3 12 5 3 2 5
3ln | | 2 5
x x
x
e dx dx e dx dxx x
x e x C
⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
9. culnu
du+=∫
10.
Latihan
1. ∫ (3x2 + 7x).dx
2. ∫( x + 1
2x +
53
2x + 4x3)dx
ATURAN PANGKAT YANG DIPERUMUM
'( ) ( ( ))nf x f x dx⎡ ⎤⋅⎣ ⎦∫ = Cn
xf n
++
+
1
1)]([
Contoh 10.5 Cari ∫ + dxxx 22 16 )(
Penyelesaian: Misalkan f(x) = x2+1 maka f′ (x) = 2x
Jadi menurut aturan '( ) ( ( ))nf x f x dx⎡ ⎤⋅⎣ ⎦∫ = Cn
xf n
++
+
1
1)]([
Lukmanulhakim Almamalik II- 4
= Cx+
++ +
121 122 ][
= Cx ++ 32 131 ).(/ Contoh 10.6 Carilah ∫ + dxxx 132
Penyelesaian: Jika kita ambil 3( ) 1f x x= + , sehingga kita misalkan 3 1u x= + .
Kita diferensiasikan u menjadi dxx
dudxxduxdxdu
=→=→= 222
333
Sekarang kita substitusikan 3 1x + dengan u dan dx dengan 23dux
, sehingga kita dapatkan
persamaan berikut.
2 3 221
3dux x dx x ux
+ =∫ ∫
Selanjutnya integralkan
( )
12
32
32
13
131 23 329
u du
u du
u C
u C
=
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
∫
∫
Sekarang kita harus substitusikan kembali u dengan 3 1x + untuk menemukan jawaban akhir.
∫ + dxxx 132 = ( )3
232 19
x C+ +
Lukmanulhakim Almamalik II- 5
Cx
Cu
duu
dxxxdxxx
dxxduxu
dxxx
++=
+⋅=
=
⋅+=⋅+
⋅=+=
⋅+
∫
∫∫
∫
232
23
21
2122
2
2
131
32
21
21
12211
2 1misalkan
1 2
/
/
/
/
)(
)(
;.
Latihan 1. ∫ ++ dxxxx )()( 1266 253
2. ∫ + dxxx .)( 102 4
3. ∫ + dxxx .)( 222
32
Persamaan Diferensial Rumus Umum ∫ += CxFdxxf )()(
Hal ini benar asalkan F′(x) = f (x). Jika F′(x) = f (x) maka ini setara dengan dF(x) = f(x) dx. Dengan demikian maka kita bisa tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk ∫ += CxFdxxf )()(
Integral Sinus dan Kosinus ∫ cos x.dx = sin x + C
∫ sin x.dx = - cos x + C
∫ tan x.dx = - ln (cos x) + C
top related